IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,

Transkript

1 IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednokový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce dela) někdy éž disribuce dela z maemaického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis eorie disribucí) δ pro pro Jednokový impuls musí splňova inegrál δ d Mohunos jednokového impulsu je edy rovna. Maemaická definice jednokového impulsu (spojié funkce) () δ ( ) f d f Pro účely analýzy elekrických obvodů (v maemaice exisují další definice) bude jednokový impuls definován: V praxi nelze samozřejmě akový impuls vyvoři, pro konkréní obvod ale sačí, pokud τ (nejkraší časová konsana obvodu) Velký význam má u diskréních obvodů, kde přechází na prosé číslo (a např. u obvodů ypu FIR je impulsová odezva rovna přímo koeficienům filru). S Grafické znázornění: Laplaceův obraz: L { w ()} Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana

2 Jednokový skok, < (), > Časé je značení u( ), v elekrických obvodech by se ale plelo s napěím. Velikos skoku v bodě budeme v elekrických obvodech předpokláda ( ), ( ), maemaicky se jednokový skok časo zobecňuje, < ().5, > Graficky jednokový skok znázorníme:.5 Mezi jednokovým impulsem a jednokovým skokem se někdy uvádí vzah d δ (), () δ ( τ) d Ačkoli rigorózní maemaika by mohla mí k uvedeným rovnicím oprávněné výhrady (eorie disribucí), rovnice poskyují dobrou předsavu o relaci mezi ěmio funkcemi viz minulý semesr, měření napěí a proudu na L, C; pokud yo prvky jednu obvodovou veličinu derivovaly, a ao obvodová veličina měla obdélníkový průběh, objevil se jako druhá veličina (přibližně) diracův impuls. Prakická realizace připojení zdroje napěí o velikosi V. { } Laplaceův obraz: L () p dτ Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana

3 Impulsní a přechodová charakerisika Uvažujme lineární obvod, kerý byl v čase bez energie. u () LO u () Vzah mezi vsupním a výsupním napěím můžeme popsa v oboru (Laplaceových) obrazů přenosem U ( p) P( p) U p. Obdobně bychom mohli přenos vyjádři pro fázory (HUS), nebo jω (Fourierova ransformace), ale nikdy ne v časové oblasi. Např. u ( ) je sejnosměrné napěí, na výsupu se může objevi kupř. exponencielní impuls podíl funkcí bude obecně v každém časovém okamžiku různý, zaímco přenos je sále sejná racionálně lomená funkce. V HUS vede přenos na komplexní číslo, keré se mění s frekvencí (ampliuda a fáze, v časové oblasi ampliuda a časové zpoždění). Impulsní charakerisika u δ, w u Přechodová charakerisika u, a u V případě obrazů je přímo daný vzah mezi přenosem obvodu a obrazem impulsní / přechodové charakerisiky: U p W p P p P p W( p) P( p) P p U ( p) A( p) P( p) p p P p A( p) P p pa p p Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana 3

4 Změřením časového průběho výsupního napěí u a jeho ransformací ak nalezneme přenos neznámého obvodu. Odud můžeme naléz m.j. kmiočovou charakerisiku obvodu. Pro impulsní charakerisiku plaí obdobně pro Fourierův obraz () P( jω ) w F, { } ale ekvivalenní vzah neexisuje pro přechodovou charakerisiku (neexisuje Fourierův obraz jednokového skoku). Vzah mezi impulsní a přechodovou charakerisikou v časové oblasi můžeme naléz z vlasnosí obrazů derivace a inegrálu: d u pu p u d L () ( ), u( ) limu da P( p) W( p) p A( p) L a d () da w () a d ( ) δ ( ) () ( ) a wτ dτ a Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana 4

5 Konvoluce Jak vyjádři vzah mezi vsupním napěím u ( ) a u () v časové oblasi? přímo Takový vzah již vyjádři umíme bohužel pouze pro dva signály jednokový impuls δ () a jednokový skok ( ). Výsupním napěím je impulsní, resp. přechodová charakerisika. Různé časové průběhy je možné aproximova (nekonečně mnoha) jednokovými impulsy, resp. jednokovými skoky, násobené funkční hodnoou pro daný časový okamžik. souče impulsních (přechodových) charakerisik. Vzdálenos mezi impulsy x Mohunos impulsu ( k ) Odpovídající výsupní napěí x ( ) w( ) k k Celkové výsupní napěí bude součem reakcí na jednolivé impulsy (impulsních charakerisik), n () ( ) x x w k k keré pro přejde v inegraci konvoluorní inegrál k () ( ) x x τ w τ dτ Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana 5

6 Symbolem konvoluce je hvězdička (*) a plaí: () ()* () () ( ) ( ) () x x w x w τ dτ x τ w dτ Geomerický význam: u( τ ) u ( τ ) w(.75 τ ), S u (.75 ) w( τ ) u ( τ ) w( τ ), S u ( ).5.5 w ( τ ) u ( τ ) w( τ ), S u (.5 ).5 ( τ ) w( τ ), S u (.5 ) u ( τ ) w( τ ), S u (.5 ) u.5.5 ( τ ) w( τ ), S u (.5 ) u ( τ ) w( τ ), S u (.75 ) u.5.75 Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana 6

7 Příklad: Mějme inegrační článek, buzený ze zdroje u U e a e a Úkol: nají časový průběh výsupního napěí u ( ). a) Laplaceova ransformace přenos P( p) p p, U p U p a U U U ( p) p a p a p a p U a u () e e a b) Impulsní charakerisika konvoluce () e, w u Ue a ( τ aτ ) u () u () * w() U e e dτ U e d e e τ a a τ U a c) Přechodová charakerisika Duhamelův vzorec, viz dále Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana 7

8 Duhamelův vzorec Namíso obdélníkových impulsů jako v případě konvoluce je možné vsupní veličinu aproximova pomocí skokových funkcí: Vzdálenos mezi skoky Výška skoku x k x ( k) Odpovídající výsupní napěí xk( k) a( k) Časový průběh výsupního napěí u na jednolivé skoky () ( ) () x x a x a k n k bude součem všech odezev obvodu Pokud, pak souče přechází v inegraci a dosaneme Duhamelův vzorec k () ( ) () ( ) x x a x τ a τ dτ Z operáorového poču: X p X p P p X p p A p dx () L, pa( p) px p x d () da L a d ( ) Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana 8

9 () dx X( p) L x( ) A( p) d da() L a( ) X ( p) d Zpěnou ransformací další vary Duhamelova vzorce: Nebo () ( ) () ()* () ( ) () ( ) u x a x a x a x τ a τ dτ () ( ) () ()* () ( ) () u a x x a a x x τ a τ dτ Sabilia ( ) a x x τ a τ dτ Obvod nazveme sabilním, pokud se po odeznění budících veličin posupně navráí do sabilního savu, edy lim u u lim w u () () p jinými slovy, odezní přechodná složka Takový obvod je sabilní. Obvody rozdělujeme na sabilní na mezi sabiliy nesabilní p Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana 9

10 u [V] Sabilní obvody [s].5 u [V] [s].5 Obvod na mezi sabiliy u [V] u [V] [s] Nesabilní obvod [s] Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana

11 Při sudiu přechodných dějů jsme poznali, že obecné řešení, keré popisuje vlasní přechodnou složku nezávisí na charakeru buzení impulsní charakerisika je obecným řešením přechodného děje Polynom v čiaeli přenosu musí bý nižšího supně, nežli supeň polynomu ve jmenovaeli: M ( p) Q( p) W( p) P( p) D N p N p Pak - Q p w () Dδ () L N p Zpěná ransformace rozklad na parciální zlomky, je určena polynomem N( p ); kořeny póly mohou bý p n reálné w Ke n vícenásobné ( n n ) komplexně sdružené sin( ω ψ ) p n w K K e n w K e α n n n Ve všech případech obsahuje řešení exponenciální funkci, akže pokud je pól (jeho reálná čás) záporný, je obvod sabilní, pro kladný pól nesabilní p - rovina Sabilní oblas Im Nesabilní oblas Mez sabiliy Re Pavel Máša, X3EO, přednáška č. 9 srana