Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v ka
|
|
- Milan Blažek
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 1 Výnačné bod a množin bodů v prostoru Souřadnicová soustava v prostoru Každému bodu v prostoru přiřaujeme v kartéské souřadnicové soustavě uspořádanou trojici reálných čísel, tv kartéských souřadnic,,,, Množinu všech uspořádaných trojic reálných čísel,, budeme naývat trojroměrným prostorem Je-li vdálenost bodů A,,, B,, definována vorcem A A A B B B ρ A, B = B A + B A + B A, naýváme trojroměrný metrický prostor trojroměrným euklidovským prostorem Značíme jej E Obdobně b se definoval víceroměrný euklidovský prostor E n Libovolná neprádná množina Ω bodů v prostoru E n se naývá n-roměrný obor Okolí bodu Množinu všech bodů X v prostoru v E n, jejichž vdálenost od daného bodu A je menší než volené číslo δ >, naýváme δ okolím bodu A Značíme jej U A, δ nebo U A ~ Redukované okolí : v okolí bodu A vnecháme bod A Značíme ho U A Například v rovině, ted v prostoru E, představuje okolí U A, δ kruhu se středem v bodě A a poloměrem δ : bodu A množinu všech bodů uvnitř A δ
2 Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v každém jeho okolí U B leží aspoň jeden bod oboru Ω a ároveň aspoň jeden bod, který do oboru Ω nepatří B A Ω Obor Ω En se naývá omeený nebo ohraničený, jsou-li všechn souřadnice k libovolného jeho bodu X konečná čísla V opačném případě se obor Ω naývá neohraničený 4 Obor Ω En se naývá otevřený, kdž každý jeho bod je vnitřní Obor Ω En se naývá uavřený, kdž obsahuje všechn své hraniční bod 5 Obor Ω En se naývá souvislý, kdž každé dva jeho bod můžeme spojit čarou, která celá leží v oblasti Ω 6 Otevřený a souvislý obor Ω se naývá oblast, uavřený a souvislý obor Ω se naývá uavřená oblast A Ω Ω B B A souvislý obor obor, který není souvislý
3 Definice funkce dvou proměnných Definice : Je-li každému bodu, oboru Ω E přiřaeno právě jedno reálné číslo, říkáme, že v oboru Ω je definována funkce dvou proměnných, a píšeme = f, nebo = f, jsou neávisle proměnné neboli argument, je ávisle proměnná nebo funkční hodnota Definičním oborem funkce = f, není-li pro danou funkci předepsán, roumíme množinu všech bodů, v rovině, pro něž výra f, nabývá reálné hodnot odmínk pro určování definičních oborů : Racionální lomené funkce m, R, = mají definiční obor celou rovinu mimo bodů, pro Q, n které je funkce ve jmenovateli rovna nule Iracionální funkce tvaru = n f, jsou definován pro bod,, pro které platí nerovnost f, Logaritmické funkce = log f, jsou definován pro bod,, pro které platí f, > a Cklometrické funkce tvaru = arcsin f,, = arccos f, jsou definován pro bod,, pro které platí 1 f, 1 Grafické náornění funkce dvou proměnných Znáorníme-li definiční obor Ω E v rovině, můžeme libovolnému bodu, oboru Ω přiřadit hodnotu tak, ab platilo = f, Trojice,, potom určuje bod v prostoru E Definice : Grafem funkce f,, kde, Ω E, naýváme množinu všech bodů,, v prostoru E, jejichž souřadnice,, vhovují rovnici = f, Takový graf naýváme plochou = f,
4 4 ři náornění funkce = f, je často užitečné sestrojit ře grafu rovinami Jsou to průsečnice grafu s výnačnými rovinami např souřadnicové rovin, rovin s nimi rovnoběžné nebo rovin procháející souřadnicovou osou Dosadíme-li do rovnice = f, a číslo, obdržíme funkci = f, = ϕ jedné proměnné Jejím grafem v rovině = je pak ta čára na ploše = f,, která leží v rovině = Naývá se ře ploch = f, rovinou = říklad řeů ploch : ψ ϕ D C Ω K výnamným řeům ploch = f, patří její ře rovinami = c, které jsou kolmé na osu Tto ře se naývají vrstevnice Znáornění vrstevnic funkce : Ttéž vrstevnice náorněné v rovině :
5 5 Limita a spojitost funkcí dvou proměnných ojem limit funkce dvou proměnných se avádí analogick jako u funkce jedné proměnné Ted říkáme, že funkce f, má v bodě, limitu L, jestliže se funkční hodnot f, neomeeně blíží číslu L, blíží-li se bod, bodu, roblém limit funkce dvou proměnných a jejího výpočtu je však mnohem složitější Zatímco u funkce jedné proměnné se při limitním přechodu bod blížil k bodu vžd jen po ose, u funkce dvou proměnných se může bod, blížit k bodu, po libovolné křivce Definice : Říkáme, že funkce f, má v bodě, limitu L, kdž k libovolnému čísluε > eistuje čísloδ > tak, že pro všechn bod X, U ~, δ platí f, L < ε íšeme lim,, f, = L nebo lim X f X = L Vlastnosti limit: 1 Funkce f, má v bodě, nejvýše jednu limitu Jestliže lim f, = L, lim g, = L, f,,,, g platí a lim [ f, k g, ] = hl kl,,, h + + f g kde h, k jsou konstant, b lim [ f, g, ] = L L,,, f g c lim f,,, g, = L L f g pro L g Výše definovanou limitu lim f,,, naýváme dvojnou limitou Jestliže eistuje, můžeme se k bodu, blížit po růných cestách, aniž b se její hodnota měnila Eistují-li však dvě růné cest vedoucí k růným hodnotám limit, potom dvojná limita lim f,,, neeistuje obr1 a A b Ω obr1 Ω obr V praktických výpočtech se nejčastěji setkáváme s případem, kd bod A a, b se k bodu, přibližuje po pravoúhlé cestě dvěma působ Nejprve po přímkách = b, = a pak po přímkách = a, = obr Mluvíme o dvojnásobné nebo postupné limitě
6 6 Tto limit apisujeme takto : L1 = lim lim f,, resp L = lim lim f, očítáme je postupným limitním přechodem vžd funkce jedné proměnné, přičemž druhou proměnnou považujeme a konstantu Z předešlého vplývá, že rovnost L 1= L dvojnásobných limit pokud eistují je nutnou podmínkou pro eistenci dvojné limit L ak platí L = L 1 = L Rovnost L 1= L však není dostatečnou podmínkou pro eistenci dvojné limit L ři výpočtu dvojnásobných limit používáme postup, námé výpočtů limit funkce jedné proměnné + říklad : oužitím postupných limit ukažte, že limita L= lim neeistuje,, + + Řešení: + L = lim lim = lim = lim1 = 1, L = lim lim = lim = lim 1= 1 rotože L1 L, dvojná limita L neeistuje + + Jak je řejmé je výpočet dvojné limit obtížnější než výpočet limit funkce jedné proměnné K počítání limit neurčitých výraů tpu a nemáme totiž u funkcí více proměnných k dispoici žádnou analogii L Hospitalova pravidla V některých případech je však možné použít postupů, analogických těm, které jsme používali při výpočtu limit funkce jedné proměnné okud po dosaení obdržíme neurčitý výra, snažíme se funkci upravit například tak, ab se dala krácením jednodušit Spojitost funkcí více proměnných Definice : 1 Funkce f, se naývá spojitá v bodě, svého definičního oboru Ω, platí-li lim f, = f,,, Funkce f, se naývá spojitá v oboru Ω, je-li spojitá v každém bodě tohoto oboru Jestliže funkce není v bodě, spojitá, říkáme, že tento bod je bodem nespojitosti 1 říklad : Určete bod nespojitosti funkce = Řešení: Funkce je spojitá všude kromě bodů, E, pro které platí =, neboli + = Jsou to všechn bod přímek = a = Věta o vlastnostech spojité funkce : Věta : Nechť funkce f, je spojitá v uavřené a ohraničené oblasti Ω ak platí : 1 funkce f, je v dané oblasti omeená tn eistuje číslo K tak, že pro všechn bod, Ω platí f, < K, funkce f, nabývá v některém bodě, Ω maimální hodnot a v některém bodě, Ω minimální hodnot 1 1
7 7 4 arciální derivace Mějme funkci = f, definovanou v oblasti Ω ovažujeme-li např proměnnou a konstantní veličinu, pak funkci = f, můžeme chápat jako funkci jedné proměnné Má-li tato funkce v nějakém bodě oblasti Ω derivaci, naýváme ji parciální derivací funkce = f, v tomto bodě podle proměnné Analogick bchom určili parciální derivaci pro druhou proměnnou Definice : Nechť funkce = f, je definovaná v okolí bodu, 1 Má-li funkce g = f, proměnné v bodě = derivaci g, naýváme ji parciální derivací podle funkce = f, v bodě, a načíme ji f, f, f, latí ted f, = lim odobně parciální derivaci podle funkce = f, v bodě, definujeme vtahem f, f, f, = lim f arciální derivace načíme i růnými jinými smbol, např f,,, Z definice vplývá, že při výpočtu parciální derivace f, považujeme a proměnnou, kdežto a konstantu Obdobně při výpočtu f, považujeme a proměnnou a a konstantu racujeme ted s funkcí f, jako s funkcí jedné proměnné oužíváme přitom pravidla, která platí pro derivování funkce jedné proměnné Geometrický výnam parciální derivace odobně jako v případě funkce jedné proměnné má i parciální derivace funkce dvou proměnných v bodě, geometrický výnam arciální derivace f,, definovaná jako derivace funkce g = f, v bodě = geometrick představuje směrnici tečn t 1, sestrojené v bodě,,, k řeu ploch = f, rovinou = Je ted f, = tg, kde α načí úhel, který svírá příslušná tečna s kladnou částí os α t 1 t f, = β α
8 8 odobně parciální derivace f, představuje směrnici tečn t sestrojené v bodě na ploše = f, rovinou = Je ted f, = tg, kdeβ načí úhel, který svírá příslušná tečna β s kladnou částí os Tečná rovina a normála ploch Rovina ρ, která je určená tečnami t, se naývá tečná rovina ploch = f, v bodě,, 1, t Její rovnice má tvar ρ = f + f římka kolmá na tečnou rovinu ploch v jejím bodě dotku se naývá normála ploch v tomto bodě Její parametrické rovnice mají tvar = + f t, = + f t, = t, kde t, říklad : Určete tečnou rovinu a normálu ploch o rovnici f, = + v bodě,4,? Řešení: Nejprve určíme hodnotu funkce v bodě,4 Dále vpočítáme parciální derivace v bodě : Rovnice tečné rovin má ted tvar f f = f,4 = = 7 =, f = f 4, = = f = = = 4 a po úpravě = 5 5 arciální derivace všších řádů Definice : Nechť funkce = f, má v každém bodě oboru Ω parciální derivace f f Mají-li tto, nové funkce f,, f, v oboru Ω 1 Ω parciální derivaci podle, případně podle, naýváme je parciálními derivacemi řádu a načíme je a f,, b f,, c f,, d f, f, f, arciální derivaci druhého řádu načíme i jinak, např,,, atd arciálním derivováním podle nebo podle parciálních derivací řádu dostaneme parciální derivace řádu neboli třetí parciální derivace Analogick se definují parciální derivace funkce = f, řádu n> řitom pořadí smbolů a v indeu případně ve jmenovateli načí pořadí, v jakém jsme derivovali Obecně parciální derivace řádu k funkce f, dostaneme parciálních derivací řádu k 1 opětovným derivováním podle, popř podle
9 9 říklad : Vpočtěte všechn parciální derivace druhého řádu funkce = 1 Řešení: Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu =, = 1 1 Jejich derivováním pak dostaneme = = 1, 6 6 =, = = 1 1 Všší parciální derivace, vniklé derivováním podle růných argumentů, se naývají smíšené V uvedené příkladě jsou smíšené parciální derivace, stejné Následující věta však ukauje, že nejde o náhodný jev, protože u smíšených parciálních derivací a jistého předpokladu neáleží na pořadí proměnných, podle kterých derivujeme Věta : Schwarova Jestliže smíšené parciální derivace U bodu, a jsou v tomto bodě spojité, pak platí f = f f, f funkce = f, eistují v okolí Derivace implicitních funkcí V diferenciálním počtu funkce jedné proměnné jste se senámili s funkcí danou implicitně, která bla definovaná takto : Definice 16: Je-li rovnicí F, = určena na nějakém intervalu I funkce = f tak, že je F, f = pro všechna I, naývá se funkce = f implicitní funkcí určenou rovnicí F, = ro derivaci implicitní funkce platí f = Vorec můžeme snadno dostat derivováním rovnosti F, f = podle, kde složená funkce F, má složk =, = f Dostaneme d d + = neboli + F = ro je odsud = d d říklad : Vpočtěte derivaci funkce dané implicitně rovnicí ln + = arctg Řešení: Dané funkci odpovídá rovnice ln + arctg = ak F =, =
10 F =, = a ted = = Funkce dvou proměnných daná implicitně Definice : Je-li rovnicí F,, = určena na oblasti Ω E funkce = f, tak, že pro všechna platí [,, f, ] =,, Ω F,, = F naývá se funkce = f, implicitní funkcí určenou rovnicí ro její derivaci platí: f =, f = říklad : Vpočtěte parciální derivace, funkce dané implicitně rovnicí = Řešení: Nejprve určíme parciální derivace F,, F =, F 6 =, = F ak = =, 6 = 5 Totální diferenciál Definice 1: Má-li funkce = f, v bodě, a v jeho okolí U spojité parciální derivace f a f, naýváme totálním nebo úplným diferenciálem funkce f, v bodě výra df = f h+ f k, kde h =, k = jsou přírůstk argumentů,, přičemž bod, = + h, + k U Uvažujeme-li funkci f, =, pak pro její totální diferenciál platí d = 1 h+ k = h odobně pro funkci f, = dostáváme totální diferenciál d = h+ 1 k = k řírůstk h, k můžeme ted považovat a diferenciál argumentů,, takže vtah pro totální diferenciál le psát ve tvaru d = f, d+ f, d, případně ve tvaru d= d+ d Výra f d, f d naýváme parciální diferenciál říklad : Vpočítejte totální diferenciál funkce = sin Řešení: Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu = cos, = cos Totální diferenciál má pak tvar d = cos d+ cos d
11 11 říklad : Vpočtěte hodnotu totálního diferenciálu funkce d =, f, = arctg v bodě 1,1 pro d =, 1 a Řešení: arciální derivace prvního řádu po úpravě mají tvar f =, + f = + Hodnota totálního diferenciálu v bodě 1,1 pro dané přírůstk je 1 1 df 1,1 =,1+,= 1 Geometrický výnam totálního diferenciálu orovnáme-li rovnici tečné rovin funkce = f, v bodě,, se vorcem totálního diferenciálu v bodě, df = f + f = f h+ f, kde h= k =, k, vidíme, že platí = df Ted totální diferenciál funkce = f, v bodě představuje přírůstek souřadnice bodu D na tečné rovině, přejdeme-li bodu, do bodu A + h, + Na obráku je totální diferenciál d náorněn úsečkou CD k = f, t 1 D d t C +k +h A Vtah mei diferenciálem a přírůstkem funkce Uvažujme funkci = f,, která je v okolí U diferenciabilní Onačíme-li smbolem f = f, f, přírůstek funkce a df její totální diferenciál f df v bodě, pro h=, k =, dá se ukáat, že platí lim = h, k, h + k
12 1 Tento vtah nám umožňuje pro malé hodnot h, k nahradit přírůstek funkce diferenciálem, ted psát f df Můžeme pak pomocí totálního diferenciálu počítat přibližně funkční hodnot v okolí bodu, v němž náme hodnotu funkce a parciálních derivací, následujícím působem f + h, + k = f, + f f, + df říklad : Vpočtěte totální diferenciál df a přírůstek f funkce f, =, jestliže je dán bod 1, a přírůstk d = d=, Řešení: Totální diferenciál df, = d d, ted pro daný bod a dané přírůstk je df 1, = 8, 16,= 4,8 1, 1 řírůstek funkce má hodnotu f 1, = f 1,;,8 f 1; = 5,,8,1 říklad : Vpočtěte přibližně hodnotu čísla 1, Řešení: Uvažujme funkci f, = Hledané číslo pak můžeme přibližně vjádřit výraem + df, pro =, =, d=,, d,1 Vhledem k tomu, že totální diferenciál 1 = df, = 1 d+ ln d a df 1, = 1, + 1, 1=, 6, je přibližná hodnota daného čísla 1,,1 1 +,6= 1,6 říklad : ři deformaci válce se jeho poloměr r většil e na,5 dm a výška v se menšila 1 na 9,8 dm Určete přibližně měnu objemu V Řešení: Na ákladě vorce pro objem válce V ro tuto funkci hledáme totální diferenciál neboť platí = π r v uvažujeme funkci dvou proměnných V = f r, v ůvodní roměr bl V dv = V r dr+ V v dv r= dm, v= 1 dm, přírůstk jsou dr =,5, dv=, Vpočítáme nejprve par- ciální derivace funkce V : V = π rv, V = π r, r takže totální diferenciál dv = π rvdr+ π r dv o dosaení V dv = π rvdr+ π r dv= π,5+, = 1,π,768 dm v Vtah mei totálním diferenciálem a přírůstkem funkce se vužívá v teorii chb Jestliže určitý výpočet je prováděn s veličinami, které bl ískán měřením, můžeme výslednou chbu určit pomocí diferenciálu V teorii chb se místo slova měna nebo přírůstek používá návu chba V praktických výpočtech, kde d a d jsou chb jednotlivých měření, je absolutní chba f f df a relativní chba δ = nejčastěji f v procentech
13 1 6 Etrém funkcí dvou proměnných Lokální etrém Definice : Říkáme, že v bodě, má funkce = f, 1 lokální maimum, jestliže eistuje okolí bodu, tak, že pro všechn bod, tohoto okolí platí f, f, lokální minimum, jestliže eistuje okolí bodu, tak, že pro všechn bod, tohoto okolí platí f, f, Lokální maima a minima naýváme lokální etrém někd se používá termín relativní etrém odobně jako u funkce jedné proměnné budeme při všetřování lokálních etrémů vužívat ponatků diferenciálního počtu Věta : Fermatova Nutnou podmínkou pro eistenci lokálního etrému funkce f, v bodě,, v němž jsou spojité parciální derivace f, f, je platnost rovnic f =, f = Definice : Bod,, v jehož okolí má funkce = f, parciální derivace 1řádu, a který vhovuje rovnicím f, = f =, se naývá stacionárním bodem dané funkce Nutná podmínka pro eistenci lokálního etrému však není postačující podmínkou Stacionárnímu bodu, ve kterém etrém neeistuje, odpovídá na ploše bod, v jehož okolí má plocha např tvar sedla obr 1 Jde o jistou analogii s inflením bodem funkce jedné proměnné To, da ve stacionárním bodě nastává lokální etrém, je možné v některých příkladech jistit všetřením chování funkce v okolí tohoto bodu obr 1
14 14 ostačující podmínk pro eistenci etrému je možné formulovat pomocí následující vět, která se obvkle používá při všetřování lokálních etrémů Věta : o postačujících podmínkách pro etrém Nechť, je stacionárním bodem funkce = f,, která má v okolí U spojité parciální derivace druhého řádu Onačme D = f f f f Je-li D >, pak v bodě nastane lokální etrém, a to : 1 lokální minimum, je-li >, f lokální maimum, je-li < f Je-li D <, lokální etrém v bodě nenastane Je-li D =, nemůžeme tímto působem o eistenci lokálního etrému rohodnout Funkce = f, může mít lokální etrém nejen ve stacionárních bodech, ale i v bodech, v nichž obě parciální derivace f, f neeistují, nebo v bodech, v nichž jedna nich neeistuje a druhá je rovna nule Funkce sama nemusí být v takových bodech definovaná a tto bod musí být vnitřními bod definičního oboru Zda má funkce v těchto bodech lokální etrém, jistíme všetřením jejího chování v jejich okolí ostup při všetřování lokálních etrémů funkce = f, : - vpočítáme parciální derivace f, f, - určíme stacionární bod i a ověříme, da patří do definičního oboru funkce f, - vpočítáme parciální derivace f, f, f a hodnot těchto derivací ve stacionárních bodech i, - určíme hodnot determinantů D i ve stacionárních bodech i a pro D i rohodneme o ei- stenci lokálních etrémů, - podle naménka výrau f určíme druh etrému, i - všetříme chování funkce v okolí stacionárních bodů, ve kterých je příslušný determinant roven nule, a v okolí bodů, v nichž parciální derivace f, f nejsou definován
15 15 Váané etrém Kromě lokálních etrémů je v prai často potřeba určit etrém funkce f,, váané podmínkou g, = Takové etrém budeme naývat váanými etrém Definice : Říkáme, že funkce = f, má v bodě, 1 váané maimum, jestliže nerovnost f, f, platí v okolí bodu pro všechn bod, ležící na křivce g, = váané minimum, jestliže nerovnost f, f, platí v okolí bodu pro všechn bod, ležící na křivce g, = Váanému maimu a váanému minimu stručně říkáme váaný etrém Geometrická interpretace váaného etrému : Bodům, které leží v definičním oboru funkce = f, a vhovují rovnici g, =, odpovídají na ploše = f, bod, tvořící křivku k Bod váaných etrémů jsou pak takové bod, v nichž funkce = f, nabývá svého lokálního etrému na křivce k na obr je takovým bodem bod = f, k g, = obr Rodíl mei lokálními a váanými etrém ted spočívá v tom, že při lokálních etrémech všetřujeme funkci v jejím celém definičním oboru, kdežto při váaných etrémech všetřujeme jen t hodnot funkce f,, kterých nabývá v bodech křivk g, = ři všetřování váaných etrémů mohou nastat dva případ : a okud rovnice g, = určuje implicitně funkci = ϕ, převede se úloha váaného etrému na úlohu určení etrému funkce = f, ϕ funkce jedné proměnné b Uvedený postup však není možný, pokud žádnou proměnných, nele podmínk g, = vjádřit V tom případě používáme tv Lagrangeovu metodu neurčitých multiplikátorů nebude probírána
16 16 Absolutní etrém Hledáme-li největší a nejmenší hodnotu funkce v dané oblasti, hledáme tv absolutní etrém funkce někd se používá termín globální etrém Definice : Říkáme, že funkce = f, má v bodě, Ω absolutní maimum minimum na oblasti Ω, jestliže nerovnost f, f, f, f, platí pro každý bod, Ω Věta : Funkce = f, spojitá na uavřené a omeené oblasti Ω nabývá svých absolutních etrémů buď v bodech lokálních etrémů ležících uvnitř oblasti Ω nebo v některém hraničním bodě ostup při všetřování absolutních etrémů funkce = f, spojité v uavřené a omeené oblasti Ω : - určíme lokální etrém funkce f a ověříme, da leží uvnitř oblasti Ω, - všetříme váané etrém funkce f na hranicích oblasti, - určíme průsečík křivek, které tvoří hranici oblasti, - porovnáním funkčních hodnot v bodech, ískaných popsaným postupem, určíme ve kterých nich nabývá daná funkce svých absolutních etrémů onámka : 1 ři všetřování absolutních etrémů není nutné jišťovat tp lokálních a váaných etrémů ted da se jedná o maimum nebo minimum, ale stačí poue najít takové bod, ve kterých tto etrém mohou nastat Charakter absolutního etrému určíme na ávěr na ákladě porovnání funkčních hodnot Není-li oblast Ω uavřená, nemusí mít funkce f žádný absolutní etrém okud eistuje, nastává v bodě lokálního etrému
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
Vícex 2(A), x y (A) y x (A), 2 f
II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceDiferenciální počet funkce jedné proměnné 1
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Více{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základ matematik pro FEK. přednáška Blanka Šedivá KMA imní semestr /7 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 / Příklad ekonomických vtahů ve formě funkcí více proměnných I Poptávková
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VíceStudijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební FUNKCE VÍCE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.
Studijní tet pro obor G+K Katedra matematik Fakulta stavební České vsoké učení technické DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle,
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceDerivace úvod. Jak zjistit míru změny?
Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Více6.1 Shrnutí základních poznatků
6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
Více8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce
8 Limita Derivace 81 Okolí bodu Okolím bodu a nazveme otevřený interval (a r, a + r), kde a, r jsou reálná čísla Číslo r je poloměr okolí, a jeho střed Okolí bodu a lze zapsat a
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
Více2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost
.7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,
VíceDERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceLIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
Více14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce
. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceMATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
Vícey 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy
36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
Více4.2. Graf funkce více proměnných
V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice
Více( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce
MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceII.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.
II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VícePojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.
LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
Více1.6 Singulární kvadriky
22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plne, že přímka, procháející singulárním bodem kvadrik má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (je-li A ) nebo celá
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceZ transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)
Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
Více1 Nulové body holomorfní funkce
Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =
VíceObsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty
Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,
Více9. Limita a spojitost
OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a + r), kde r > 0; značí se O(a, r), případně jen O(a) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a + r Obrázek
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceNejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Vícec ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
Více[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu
1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE
Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ.. Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE DIFERENCIÁLNÍ POČET Deinice: Okolí O bodu nazývané poloměr okolí O. LIMITA
VíceStručný přehled učiva
Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném
VícePrůběh funkce II (hledání extrémů)
.. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 7 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analý protože umožňují řešit mimo jiné celou řadu úloh fik a technické prae Při řešení
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceCvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
Více