4.2. Graf funkce více proměnných

Transkript

1 V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice 4... Grafem funkce dvou proměnných = f(,) budeme roumět množinu G f = {[,,f(,)] [,] D f }. Ponámka. Množina G f, tj. graf funkce dvou proměnných, je podmnožinou v R 3. Nejčastěji se budeme setkávat s funkcemi, jejichž graf tvoří v R 3 plochu.. Zobraení grafu funkce dvou proměnných je poměrně obtížné. Celý proces si můžeme do jisté mír jednodušit tím, že konstruujeme ře příslušné ploch rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami. Pro obraení grafů funkce dvou proměnných se používá především výpočetní technika. Na konkrétním příkladu si ukážeme působ jak najít graf funkce dvou proměnných. Ještě předtím si avedeme důležitý pojem, tv. vrstevnici. Definice 4... Ře grafu funkce dvou proměnných rovinou rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou (půdorsnou) se naývají vrstevnice. Vrstevnicovým grafem budeme roumět průmět vrstevnic do rovin. Vrstevnice jsou křivk na grafu funkce dvou proměnných se stejnou funkční hodnotou. S vrstevnicí jste se již určitě setkali. Stačí se podívat na mapu, na které je obraena i nadmořská výška (geologické, geografické map, apod.). Vrstevnice - 9 -

2 je křivka, která repreentuje množinu bodů se stejnou nadmořskou výškou. Řešené úloh Příklad 4... Určete definiční obor a naleněte graf funkce = 6. Řešení: Nejdříve určíme omeující podmínku na definiční obor. Druhá odmocnina je schopna působit poue na neáporná čísla. Ted, Definičním oborem je kruh se středem v počátku a poloměrem 4. Naleneme vrstevnice grafu. Budeme hledat ře grafu funkce s rovinami rovnoběžnými se souřadnicovou rovinou (s půdorsnou), resp. průmět těchto řeů do půdorsn. Ponámka V následujícím tetu budeme často totožňovat vrstevnici s jejím kolmým průmětem do rovin. Klademe = k, k je nějaká konstanta, nějaké reálné číslo. Např. pro hodnotu dostáváme rovnici = 0, což je rovnice rovin. Pro hodnotu k = dostáváme rovnici =, což je rovnice rovin, která je rovnoběžná s rovinou, a jejíž vdálenost od rovin je rovna, atd. Pro = k, k 0 k 4 dostáváme k = 6 k = 6 + = 6 k. Proč volíme k 0? Číslo k dosaujeme a a = 6, druhá odmocnina neáporného čísla bude vždck číslo neáporné, hodnota je neáporná a ted i číslo k musí být neáporné. Navíc k 4, protože k může nabývat poue hodnot intervalu 0, 4. Pro k > 4 bude rodíl na pravé straně rovnice + = 6 k áporný, kružnice se áporným poloměrem nemá smsl

3 Vrstevnicemi budou kružnice se středem v počátku a s poloměr 6 k, k 0, 4). Pro k = 4 dostaneme tv. degenerovanou kružnici s poloměrem 0, tj. bod. V tomto případě se jedná o počátek, bod o souřadnicích [0, 0]. k = k = 3 k = 3,9 k = 4 Obr. 4.. Navíc budeme ještě hledat ře grafu funkce rovinami rovnoběžnými se bývajícími souřadnicovými rovinami. Položme např. = k. Hledáme ře grafu funkce rovinami rovnoběžnými se souřadnicovou rovinou, tv. nársnou. Souřadnice leží v intervalu 0, 4, proto konstanta k 0, 4, = 6 k = 6 k + = 6 k. Protože 0, poslední rovnice představuje půlkružnice se střed v počátku a poloměr 6 k, pro hodnotu k = 4 se jedná o bod [0, 0]. Zvolíme-li = k, pak hledáme ře grafu funkce rovinami rovnoběžnými se souřadnicovou rovinou, tv. bokorsnou. Dostáváme analogickou posloupnost rovnic jako v předcháejícím případě, = 6 k = 6 k + = 6 k. Ře jsou půlkružnice se středem v počátku a poloměrem 6 k

4 k = k = 3 k = 3,9 k = 4 Obr. 4.. Nní již máme dostatek informací pro celkovou představu o grafu této funkce. Grafem je polovina kulové ploch se středem v počátku a poloměrem 4. Obr Příklad 4... Určete definiční obor a graf funkce =. Řešení: Definičním oborem je celá množina R. Podívejme se nní postupně na jednotlivé ře.. Pro k R, = k, k = = k. Vrstevnicemi jsou pro k 0 rovnoosé hperbol a pro je vrstevnice tvořená souřadnicovými osami, osou i osou

5 k = k = k = 3 k = 5 k = 0 k = k = 3 k = 5 Obr Pro k R, = k, = k. Ře jsou přímk procháející počátkem. 3. Pro k R, = k, = k. Ře jsou přímk procháející počátkem. = = = = Obr

6 Jedná se o sedlovou plochu. Její grafické náornění je poměrně obtížné, nicméně přesto nám ře posktnou ákladní informaci o grafu adané funkce. Graf adané funkce je na Obr Obr Příklad Určete definiční obor a graf funkce = +. Řešení: Definičním oborem je celá množina R. Součet v odmocnině bude neáporný be ohledu na to, co dosadíme a resp.. Hledáme ře.. Pro k 0, = k, k = + k = +. Vrstevnicemi jsou kružnice se středem v počátku a poloměr k. k = k = 3 k = 4 Obr

7 . Pro k R, = k, = k + = k + + = k k + k =. Pro pevně volené k je řeem jedno rameno rovnoosé hperbol. Všimněme si, že pro k připouštíme i hodnotu 0. Ovšem v poslední rovnici bchom pak dělili nulou, což je nepřípustné. Poslední implikace pro neplatí. V tomto případě je řeem dvojice polopřímek procháejících počátkem [0, 0], ted = = = ±. 3. Pro k R, = k, = + k = + k + = k k + k =. Pro ře platí totéž, co již blo řečeno v bodě. k = k = 3 k = 4 Obr Grafem funkce je jednodílná kuželová plocha. Obr

8 Úloh k samostatnému řešení. Určete definiční obor a naleněte ře grafu funkce = rovinou =.. Určete definiční obor a naleněte ře grafu funkce = 3 souřadnicovými rovinami. 3. Určete definiční obor a naleněte vrstevnicový graf funkce = Určete definiční obor a naleněte vrstevnicový graf funkce = Určete definiční obor a naleněte vrstevnicový graf funkce =. 6. Určete definiční obor a naleněte vrstevnicový graf funkce =. 7. Určete definiční obor a naleněte vrstevnicový graf funkce = Určete definiční obor a naleněte vrstevnicový graf funkce = ln ln Určete definiční obor a naleněte vrstevnicový graf funkce = Určete definiční obor a naleněte vrstevnicový graf funkce = +. Výsledk úloh k samostatnému řešení. D = R, Obr D = {[,] R 0}, Obr. 4.., Obr. 4.., Obr = Obr Obr

9 = 6 = 3 Obr. 4.. Obr D = R, k 4. Vrstevnice: [0, 0], + = 4 + k, Obr D = R, k R. Vrstevnice: = + 4+k, Obr k = 4 k = 3 k = 5 k = k = 4 k = 6 k = 8 Obr Obr D = {[,] R 0}, k 0. Vrstevnice: jedna vrstevnic je tvořena oběma souřadnicovými osami ( = 0, = 0) pro, ostatní vrstevnice mají pro k > 0, Obr D = {[,] R 0}, k 0. Vrstevnice: = 0 pro, = ± rovnici = k pro k > 0. Ze všech vrstevnic vnecháváme bod [0, 0], protože neleží v definičním oboru adané funkce, Obr k = k = 3 k = k Obr Obr

10 7. D = {[,] R + 9 9}, k 0, 3. Vrstevnice: bod [0, 0] pro k = 3, elips + 9 = 9 k pro k 0, 3), Obr D = {[,] R > 0 0}, k R. Vrstevnice: parabol = e k, Obr k = k = 3 k = k = Obr Obr D = R, k 5, 5 5. Vrstevnice: = 0 pro, kružnice ( k ) + = 5 pro k 0, bod [, 0] pro k = 5, [, 0] pro k = 4k 5, Obr D = {[,] R 0}, k R. Vrstevnice: = 0 pro k =, parabol = k pro k. Ponamenejme, že e všech vrstevnic vnecháváme bod [0, 0], protože neleží v definičním oboru adané funkce, Obr k = 5 + k = k = 4 k = 3 k = k = k = k = k = Obr Obr

11 Kontrolní test. Naleněte ře grafu funkce = + 9 rovinou = Obr. 4.. Obr Obr Obr Naleněte ře grafu funkce dvou proměnných = rovinou = 0. Obr Obr

12 Obr Obr Naleněte vrstevnicový graf funkce = + 4. Obr Obr k³0 Obr Obr

13 4. Naleněte vrstevnicový graf funkce = arccos( ). k 0,π k 0,π Obr Obr k á0,πñ k 0,π Obr Obr Naleněte vrstevnicový graf funkce = +. k³0 Obr Obr

14 Obr Obr Naleněte vrstevnicový graf funkce = +. Obr Obr Obr Obr

15 7. Naleněte vrstevnicový graf funkce =. k<0 k>0 k>0 Obr Obr k<0 k³0 Obr Obr Naleněte vrstevnicový graf funkce = e. k>0 Obr Obr

16 k>0 Obr Obr Naleněte vrstevnicový graf funkce = ( 3 + ). Obr Obr Obr Obr

17 0. Naleněte vrstevnicový graf funkce = 3. Obr Obr Obr Obr Výsledk testu. c),. b), 3. a), 4. d), 5. a), 6. a), 7. d), 8. b), 9. c), 0. c)