Hilbertův prostor. Kapitola Základní vlastnosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Hilbertův prostor. Kapitola 5. 5.1 Základní vlastnosti"

Transkript

1 Kpitol 5 Hilbertův prostor 5.1 Zákldní vlstnosti Historická poznámk Prostor X se sklárním součinem je strukturou n lineárnímprostorus nejsilnějšími xiomy.jetonormovnýlineárníprostor,vněmžje norm definován pomocí tzv. sklárního součinu. Proto v něm můžeme využívt všech pozntků, se kterými jsme se v rámci metrických prostorů nebo normovných lineárních prostorů seznámili. Sklární součin umožňuje zvést v prostoru se sklárním součinem nvíc kolmost(ortogonlitu) prvků. Je-li tento prostor nvíc úplný, budeme ho nzývt Hilbertův prostor. D. Hilbert( ) položil zákldy studi této struktury. Vznik teorie bstrktního Hilbertov prostoru se všk klde ž do r je spojovánsejménemj.vonneumnn( ).LátkoHilbertověprostoruptřído tzv. funkcionální nlýzy je vykládán v mnoh učebnicích věnovných této bstrktní části nlýzy. Stručný výkld nejdůležitějších výsledků lze nlézt npř. v[44] nebo[43]. Definice Nechť X je lineární prostor nd tělesem K reálných nebo komplexních čísel s binární opercí(, ), která má následující vlstnosti: Provšechn x,y,z Xvšechn α,β Kpltí (1) (x,x) 0, (2) (x,x)=0právěkdyž x=0, (3) (x,y)=(y,x), (4) (αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z). Pkříkáme,žedvojice Xspolus(, )tvoříprostorsesklárnímsoučinem(někdy téžunitárníprostor).operci(, )nzývámesklárnísoučinn X 1 ). Položíme x := (x,x), x X ukážeme,žetktodefinovnáfunkceje oprvdu norm n X, jk to odpovídá použitému oznčení běžnému v teorii normovných lineárních prostorů. Skutečně, přímo z vlstností sklárního součinu definicenormyplyne,žeprovšechn x X je x 0,přičemž x =0, právěkdyž x=0.provšechn x X α Kjetéž αx = α x.kdůkzu trojúhelníkové nerovnosti pro normu si připrvíme užitečné lemm. Lemm 5.1.3(Schwrzov nerovnost). Je-li X prostor se sklárním součinem,pkprovšechn x,y Xpltí (x,y) x y ; (5.1) rovnostv(5.1)nstává,právěkdyžjsouprvky x,y Xlineárnězávislé. Důkz.Pro x=0nebo y=0pltív(5.1)dokoncerovnostx, yjsoulineárně závislé.nerovnostrovněžtriviálněpltípro(x,y)=0.při y 0, x X α Cje 0 (x αy,x αy)= x 2 α(y,x) α(x,y)+αα y 2. (5.2) 1 ) Jdeodlšílicenci,logičtějšíbybyloříktsklárnísoučinn X X.

2 76 KAPITOLA5. Hilbertůvprostor Volme α=(x,x)/(y,x)dosďmedopředchozírovnosti;tkdostneme 0 x 2 x 2 x 2 + x 4 (y,x) 2 y 2, (5.3) zčehožjižplyne(5.1).jestližepltív(5.1)rovnost,pltípostupněv(5.3)tké v(5.2),tedy x αy=0,neboli x=αyx, yjsoulineárnězávislé.abychom ukázli, že v(5.1) nstává rovnost, právě když jsou x, y lineárně závislé, zbývá vyšetřitpřípdnenulovýchzávislých x, y.pkexistuje β Ctk,že x=βyje (x,y) = (βy,y) = β (y,y) = βy y = x y, tedyv(5.1)pltírovnost.tímjedůkztvrzenídokončen. Lemm 5.1.4(trojúhelníková nerovnost). Je-li X prostor se sklárním součinempoložíme-li x := (x,x), x X,pkprokždédvprvky x,y X pltí x y x ± y x + y (5.4) Důkz. Podle(5.1) pltí x+y 2 = (x+y,x+y) (x,x)+ (x,y) + (y,x) +(y,y) z čehož dostneme odmocněním x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2, x+y x + y. (5.5) Uvžmedále,žepltí x = x+y y x+y + y,tedy x y x+y. Zesymetriedostávámestejnýodhdpro y x spojenímobou x y x+y ; (5.6) nynístčíještěuvážit,že y = y.tímjetrojúhelníkovánerovnost(5.4) dokázán. Důsledek Funkce x x := (x,x), x Xdefinujen Xnormu. Definice Prostor se sklárním součinem, který je vzhledem k normě tímto součinem generovné úplný, nzýváme Hilbertův prostor. Příkld Nejjednodušším příkldem Hilbertov prostoru je konečněrozměrnýprostor l 2 m uspořádných m-ticreálnýchnebokomplexníchčísel,jestliže definujemepro x=(x 1,x 2,...,x m ), y=(y 1,y 2,...,y m )sklárnísoučinvzthem (x,y)= m x k y k. Sndno se ukáže, že součin má potřebné vlstnosti z Definice Proto pltí Cuchyho nerovnost m ( m ) ( m x k y k x k 1/2 ) 2 y k 2 1/2. (5.7) Úplnostprostoru l 2 m jedůsledkemúplnosti RC,protožekonvergencevtomto lineárnímprostorujekonvergencí posouřdnicích.

3 5.1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 77 Historická poznámk Existují tvry nerovnosti (5.1), spojovné s několik jmény;tománásledujícíkořeny:l.a.cuchy( )odvodilr.1821nerovnost(5.7), která je Schwrzovou nerovností(5.1) v konkrétním Hilbertově prostoru. V. J. Bunjkovskij( ) dokázl integrální vrintu nerovnosti r Nezávislenněmknídospělr.1875tkéH.A.Schwrz( ),kterýjipk zobecnil r i pro přípd vícerozměrného integrálu. Cvičení5.1.9(Cuchy1821 ). Nechť x k, y k, k = 1,..., m,jsounezápornáčísl. Dokžte přímo(bez odvolání n Schwrzovu nerovnost), že pk pltí m x k y k m x 2 k 1/2 m 1=1 y 2 k 1/2. (5.8) Návod:Pro y =0tvrzenípltí.Zvoltelibovolně x, α Ry 0.Znerovnosti Èm (x k+ αy k ) 2 0,plyne,žeprodiskriminntkvdrtickérovnicesneznámou α m 1 x 2 k+2α m 1 x k y k + α 2 m 1 y 2 k=0 musí být nekldný. Příkld5.1.10(důležitý). 0znčmesymbolem l 2 systémvšechposloupností x={x k }reálnýchnebokomplexníchčísel x k, k N,proněžpltí x k 2 <. (5.9) Sndnolzenhlédnout,že l 2 jevzhledemkpřirozenýmdefinicímsčítání člen počlenu násobenísklárem členpočlenu lineárníprostor:prokždé x l 2 zřejměpltírovnost αx k 2 = α 2 x k 2,znížplyne αx l 2.Pro libovolnádvěčísl,bvyplývásndnoznerovnosti( b ) 2 0jednoduchý odhd2 b 2 + b 2,tkže +b b + b 2 2( 2 + b 2 ). (5.10) Aplikujeme-linerovnost(5.10)n x k, y k sečtemeprovšechn k N,dostneme ( x k + y k 2 2 x k 2 + y k 2) <, coždokzuje,žeprostor l 2 jeuzvřenývzkledemkesčítání.chceme-liukázt,že (x,y):= x 1 y 1 + x 2 y 2 + = x k y k, definujen l 2 sklárnísoučin,stčídokáztjehokonečnostprokždédvprvky x,y l 2.Ktomustčídokáztnásledujícílemm. Lemm Prokždédvěposloupnosti x,y l 2 pltínerovnost ( x k y k x k 2) ( 1/2 y k 2) 1/2. (5.11) Důkz. Stčí uvážit, že podle(5.7) pltí nerovnost s konečnými součty pro kždé m N.Vnerovnosti(5.7)přejdemeksupremupřesvšechn m Nnejprven prvé strně tk dostneme n prvé strně nekonečné řdy; pk uděláme totéž n levé strně po odmocnění obdržíme(5.11). Omezení(5.9) zručuje, že prcujeme pouze s posloupnostmi, pro které jsou příslušnýsklárnísoučinodpovídjícínormkonečné.protožejižvíme,že l 2 je prostor se sklárním součinem, je přirozené se ptát, zd je tento prostor úplný, tj. zd je Hilbertovým prostorem. To se většinou dokzuje v dleko obecnějším kontextu, není všk obtížné to dokázt přímo z definice.

4 78 KAPITOLA5. Hilbertůvprostor Vět Prostor l 2 jeúplnýjetedyhilbertovýmprostorem. Důkz.Proprácisposloupnostmiprvkůzl 2 zvedemedlšíindex npro celou posloupnost místo x n = {x n1,x n2,...}budemepsátpomocídvojitýchindexů {x nk }.Procuchyovskouposloupnost {x n }prvků(posloupností) x n l 2 pltí: kekždému ε >0existuje p Ntk,žeprovšechn m,n p ( x m x n 2 = x mk x nk 2) 1/2 < ε. (5.12) Protožesčítámenezápornáčísl,pltípki x mk x nk < εprokždé k N tk {x nk } n=1jeprokždé k Ncuchyovskáposloupnost.Tytoposloupnosti indexovnéprmetrem k konvergujístejnoměrněvzhledemke k Nknějké posloupnosti x 0 = {x 0k }.Vzhledemkestejnoměrnostivk Nlzezměnitv(5.12) limitnípřechodpro n sesčítánímřdyvzhledemkesčítcímuindexu k, tk limitovtvzhledemkn zznmenímsumy.dostnemetkpodlevrinty Věty15.3.3z[67]z(5.12)odhd x m x 0 ε.ukžmeještě,žettoposloupnost x 0 ležívprostoru l 2.Pročtverecnormy x 0,pltíodhd coždává x 0 l 2. x 0 2 x 0 x n + x n 2 2 ( x 0 x n 2 + x n 2), Poznámk Čtenář ptrně zná obecnou větu o zúplnění metrických prostorů. Uveďme bez důkzu, že kždý prostor se sklárním součinem lze zúplnit že toto zúplnění je Hilbertovým prostorem: tk lze kždý unitární prostor X vnořit přirozeným způsobem donějkéhohilbertovprostoru H,kterýnení přílišveliký,tkžeproněj pltí X= H. Příkld Nyní máme k dispozici jeden velmi důležitý příkld Hilbertov prostoru, který nemá konečnou dimenzi. Je možné, že je pouze speciálním přípdem obecnější situce, se kterou jste se již setkli. Uvedeme bez důkzů některá dlší důležitá fkt, nvzující n látku z teorie míry integrálu, která později použijeme.týkjíseprostorů L 2.Budemeprcovtsprostorem(tříd)funkcí,pro kteréjepro < < b < f 2 2:= f(t) 2 dt <. (5.13) Oznčíme L 2 ((,b))prostortřídreálných(resp.komplexních)funkcídefinovných λ-skorovšuden(,b),proněžpltí(5.13).zdeprcujemestřídmifunkcípodle rovnosti λ-skoro všude, kde λ je Lebesgueov mír v R, běžně se všk nerozlišuje mezi těmito třídmi funkcemi, které je reprezentují. Tento prostor je vzhledem ke sklárnímu součinu definovnému pomocí (f,g):= f(t) g(t) dt. (5.14) prostorem se sklárním součinem. Tzv. Hölderov nerovnost má pro tento speciální přípd tvr f(t)g(t) ( dt f(t) ) 2 1/2 ( dt g(t) ) 2 1/2 dt. Prodlšívýkldjezejménpodsttné,že L 2 ((,b))jehilbertůvprostor,tj.že je úplný. Toto tvrzení, které je mimořádně důležité, dokzovt nebudeme. Poznmenáváme, že právě v něm hrje prominentní roli Lebesgueův integrál. Shrňme tedy všechny tyto připomenuté pozntky do následujícího tvrzení:

5 5.1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 79 Vět Prostor L 2 ((,b))jeúplný,seprbilníjetovzhledemkesklárnímu součinu definovnému pomocí(5.13) Hilbertův prostor. K uvedeným příkldům se ještě vrátíme, nyní dokážeme několik obecných tvrzení o Hilbertových prostorech. Lemm Nechť HjeHilbertůvprostor, y 0 H.Zobrzení x (x,y 0 ), x (y 0,x), x x jsou(připevnězvoleném y 0 )stejnoměrněspojitán H. Zobrzení[x,y] (x,y),kdedvojici[x,y]přiřzujemehodnotusklárníhosoučinu(x,y),jespojitézobrzení H Hdo C(resp. R). Důkz. Zčneme se stejnoměrnou spojitostí všech tří zobrzení z první části tvrzení njednou. Sndno užitím(5.1) dostneme odhdy (x,y 0 ) (x 0,y 0 ) y 0 x x 0, (y 0,x) (y 0,x 0 ) y 0 x x 0 ; z trojúhelníkové nerovnosti dostneme x x0 x x0. Z těchto nerovností vyplývá stejnoměrná spojitost všech tří zkoumných zobrzení (zobrzení jsou dokonce lipschitzovská). Nkonec dokážeme spojitost sklárního součinu. Sndno ověříme přímým výpočtem (x x 0,y y 0 )=(x,y) (x,y 0 ) (x 0,y)+(x 0,y 0 )= =(x,y) (x 0,y 0 ) (x x 0,y 0 ) (x 0,y y 0 ), z čehož dostneme pomocí(5.1) již odvozených nerovností (x,y) (x 0,y 0 ) x x 0 y y 0 + x 0 y y 0 + y 0 x x 0, tedyiprvoučásttvrzení. Tvrzení VHilbertověprostoru Hpltíprokždoudvojiciprvků x,y H Důkz. Stčí sečíst rovnosti x+y 2 + x y 2 =2 ( x 2 + y 2). (5.15) x+y 2 =(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y), x y 2 =(x,x) (x,y) (y,x)+(y,y), po úprvě dostneme okmžitě(5.15). Poznámk Jezjímvé,žetímtovzthemje hilbertovskánorm plněchrkterizován. Kždou normu s právě popsnými vlstnostmi lze generovt pomocí vhodného sklárního součinu. Npř. jde-li o normovný lineární prostor nd R, stčí položit (předchozí rovnosti nyní odečteme) (x, y):= x+y 2 x y 2 4 V komplexnímpřípdě jetotrochusložitější;tentofktvšknebudemevdlšímkničemu potřebovt, je všk užitečné ho znát. Geometricky je podmínk(5.15) zjímvá bývá nzýván rovnoběžníkové prvidlo. Doporučujeme čtenáři nčrtnout si obrázek uvážit, co víme v rovnoběžníku o vzthu délek jeho strn úhlopříček. Konečně stojí z povšimnutí, že podmínk se ověřuje v(mximálně) dvourozměrném podprostoru generovném prvky x, y. Je-li tedy kždý nejvýše dvourozměrný podprostor úplného normovného lineárního prostoru Hilbertovým prostorem, je tké celý prostor Hilbertovým prostorem. Vět Nechť M je neprázdná, konvexní uzvřená podmnožin Hilbertov prostoru H. Potom pro kždé x H existuje právě jedno y M tk, že x y =dist(x,m)..

6 80 KAPITOLA5. Hilbertůvprostor Důkz.Existujeposloupnost {y n } M tk,že x y n d:=dist(x,m). Potomz(5.15)plynevzhledemk y m y n = (y m x) (y n x) odhd (y n x) (y m x) 2 =2 ( y n x 2 + y m x 2 ) y n + y m 2x 2 = =2 ( y n x 2 + y m x 2 ) 4 y n+ y m x ( y m x 2 + y n x 2 ) 4d 2, zněhožplyne,žeposloupnost {y n }jecuchyovská.oznčmejejílimitu y;je y n y, y M x y =d.pokudbyexistovlydvprvky y, zstouto vlstností, musel by podle předcházející úvhy být též cuchyovská posloupnost {y,z,y,z,...}.muselbytedybýtikonvergentní,zčehožjižplyne y= z. Oznčení Jestližepro x,y H pltí(x,y)=0,říkáme,že x,yjsou ortogonální;píšemepk x y.jestližeprovšechn x A,y Bje x y,píšeme A Bmnožiny A,Bnzývámetéžortogonální.Množinuvšech y H,pro kteréje y A(tkzkrácenězpisujeme {y} A),znčíme A ;podobněpíšeme x místo {x}. Poznámk (důležitá). Z linerity sklárního součinu jeho spojitosti plyne,žeprokždé x Hpltí: (1) x jelineárnípodprostor H (2) x jeuzvřený. Odtud jednoduše plyne následující tvrzení: Důsledek Množin M = x M x jeuzvřenýpodprostor Hprokždoumnožinu M H. Vět Nechť M je uzvřený lineární podprostor v H. Potom existuje dvojice lineárních zobrzení P, Q tkových,žeprovšechn x Hpltí: (1) x=px+qx; (2) x M = Px=x, Qx=0; (3) x M = Px=0, Qx=x; P:H M, Q: H M (5.16) (4) zobrzení P, Q jsou určen jednoznčně; (5) x Px =dist(x,m); (6) x 2 = Px 2 + Qx 2. Důkz.Je-li x H,je x+m := {x+y; y M}konvexníuzvřenámnožin. Položme Qx: = zproto z x+m,projehožnormupltí z = z 0 =dist(0,x+m)=dist(x,m); Vět zručuje existenci jednoznčnost tkového prvku z. Dále definujme Pxrovností Px: = x Qx.Pkzřejměpltírovnost(1).ZQx x+mplyne Px=x Qx Mtedy P:H M. Ukžme,že(Qx,y)=0provšechn y M;tolestčíukáztprot y,pro něž y =1.Zdefinice Qx=zplyneprokždýsklár α z 2 =(z,z) z αy 2, tedy 0 α(y,z) α(z,y)+ α 2.

7 5.1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 81 Dosdíme α=(z,y),zčehožpoúprvěobdržíme0 (z,y) 2.Odtudjižvyplývárovnost(z,y)=(Qx,y)=0.Tímjsmeověřili,žezobrzení P, Qzobrzují Hdle(5.16).Zřejmětéžpltí(2)(3). Rozložme x Hnsoučet x=x 1 + x 2,kde x 1 M, x 2 M.Potomje Px+Qx=x 1 + x 2, resp. Px x 1 = x 2 Qx. Pkle Px x 1 M, x 2 Qx M (Px x 1,x 2 Qx)=(Px,x 2 )+(x 1,Qx) (x 1,x 2 ) (Px,Qx)=0 tedy Px=x 1, Qx=x 2 ;tímjedokázánjednoznčnost.použitímnlogické úvhyorozklduprolineárníkombinci αx+βydostnemelineritu P, Q:Je tedy αx+βy= P(αx+βy)+Q(αx+βy), x=px+qx, y= Py+ Qy, P(αx+βy) αpx βpy= αqx+βqy Q(αx+βy). Odtud již plyne linerit obou zobrzení. Konečně zbývá zdůvodnit poslední rovnost tvrzení, která je opět důsledkem ortogonlity: x 2 = Px+Qx 2 =(Px+Qx,Px+Qx)= = Px 2 +(Px,Qx)+(Qx,Px)+ Qx 2 = Px 2 + Qx 2. Tím je důkz celého tvrzení dokončen. Poznámky (1) Předcházející tvrzení lze zobecnit n konečný počet vzájemně ortogonálních uzvřených podprostorů H. (2)Pokudje M H,pkexistujenenulové z H, z M,neboťpro x H \ M je x=y+ z z 0.Prostor M jetedynetriviálnímpodprostorem H. (3) Lineární zobrzení A lineárního prostoru X do X, pro které pltí A 2 (x)=(a A)(x)=Ax provšechn x X se nzývjí projekce(n A(X)). Zobrzení P, Q jsou zřejmě(speciální) projekce nzývjíseortogonálníprojekceprostoru Hn M M. Definice Řekneme,že {x α ; α A}jeortonormálnísystém(též:ortonormální množin), pokud x α =1provšechn α A vektory x α jsoupodvouortogonální,tj.použijeme-likroneckerovsymbolu δ αβ =1pro α=β δ αβ =0pro α β,pltírovnost (x α,x β )=δ αβ, α,β A. Definice Mximální ortonormální množinu v Hilbertově prostoru H nzýváme ortonormální báze Hilbertov prostoru. Podrobněji: Je to tková ortonormálnímnožin B H,prokteroupltí:je-li B 1 ortonormálnímnožinvh, B B 1,potom B= B 1. Dvouslovný název ortonormální báze, se kterým v Hilbertově prostoru budeme prcovt,je nedělitelný.bázelineárníhoprostoru 2 )ortonormálníbázejsou podsttněrozdílnépojmy.kždýortonormálnísystém {x k }jetvořenlineárně nezávislýmivektory.je-litotiž α 1 x 1 + +α n x n =0,pkpostupnýmnásobením 2 ) NěkdyseužíváprorozlišeníširšíhonázvulineárníbázeneboHmelovbáze.

8 82 KAPITOLA5. Hilbertůvprostor prvky x 1,...,x n dostneme α 1 = =α n =0.Podsttnýrozdílsevškprojeví v nekonečně rozměrném prostoru. Následující látk spdá do lgebry, proto se omezíme jen n její popis. Vzniká přirozená otázk, jk lze ortonormální systém v nějkém Hilbertově prostoru H získt. Kždý konečný lineárně nezávislý systém A prvků unitárního prostoru lze nhrdit ortonormálním systémem B tk, by pro jejich lineární obly pltil rovnostlin[a]=lin[b].toseprktickyprovádípomocítzv.grm-schmidtov ortogonlizčního procesu. Při něm se postupně z báze H sestrojuje ortonormální systém, přičemž kždý krok procesu přímo souvisí s konstrukcí, se kterou jsme se setkli ve Větě se kterou budeme ještě prcovt. Je-linpř. {y k }nekonečnáposloupnostlineárněnezávislýchprvků Hjsou-li jižnlezenyortonormálníprvky x 1,...,x n tk,žepltírovnost Lin[x 1,...,x n ]=Lin[y 1,...,y n ], pksestrojímeky n+1 prvky yzpodlevěty5.1.23,kdeje y= (x,x k )x k, z= x y, položíme x n+1 = z/ z.olineárníbázipltítotodůležitétvrzení:vkždém lineárním prostoru X existuje(lineární) báze, což je podle definice tková množin A lineárně nezávislých prvků, pro kterou lineární obl Lin[ A] je roven X. Kždý lineárně nezávislý systém lze doplnit n bázi. Důkz existence báze A se provádí npř. pomocí Zornov lemmtu či podobného prátu. Poznmenejme, že báze A je mximální množinou lineárně nezávislýchprvkůvnásledujícímsmyslu:pokudexistuje A 1 X, A A 1 A 1 je lineárněnezávislá,pk A=A 1. Tvrzení Kždou ortonormální množinu B H lze doplnit n mximální ortonormální množinu, tj. ortonormální bázi. Tto vět se dokzuje podobně jko vět o existenci báze lineárního prostoru n zákldě Zornov lemmtu nebo některého jiného tvrzení s ním ekvivlentního (jsou to tvrzení ekvivlentní xiomu výběru). Ani tuto větu dokzovt nebudeme. Jevhodnésiuvědomit,žev lgebrickém přípděprcujemeskonečnýmilineárními kombincemi bez jkékoli topologie, ve druhém využíváme i topologické vlstnosti prostoru. Vágně řečeno, prcujeme s nekonečnými lineárními kombincemi. Proto též obecně dimenze prostoru H, tj. mohutnost jeho báze, může být větší než mohutnost jeho ortonormální báze. Uvědomte si rozdíl mezi Lin[A]=H Lin[A]=H. V R m jeortonormálníbázezároveňbází,všknpř.v reálném l 2 tvoří vektorye 1 =(1,0,...),e 2 =(0,1,...),... mximálníortonormálnímnožinu B. Lineární obl Lin[ B] této množiny je všk tvořen pouze tkovými posloupnostmi x=(x 1,x 2,...),proněžje {k N;x k 0}konečnámnožin.Všechnytkové posloupnostitvořílineárnípodprostorprostoru l 2,kterýjevlstnímpodprostorem l 2.Nprotitomuprokždé x l 2 je x=(x 1,x 2,...)= x k e k, x l 2. 1 Vtomtopřípděortonormálníbáze Bnení(lineární)bází l 2. Poznámk Promyslete si následující zobecnění: Je-li A libovolná množin, uvžujtechrkteristickéfunkce ϕ U jejíchpodmnožin U.Potomchrkteristickéfunkce jednobodových množin jsou zřejmě lineárně nezávislé jejich lineární obl tvoří prostor

9 5.1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 83 chrkteristických funkcí konečných podmnožin A. V lineárním prostoru X všech chrkteristických funkcí podmnožin A umíme prcovt bez obtíží(nemáme potíže s opercemi), ty nstnou při snze o definici sklárního součinu. Zmyslete se nd problémy, kterébychommuseliřešit,pokudbychomdefinovli přirozeně prochrkteristické funkce množin U, V A sklární součin (ϕ U, χ V ): = t A ϕ U(t)ϕ V(t). Tento problém vyřešíme tím, že se omezíme n speciální přípd seprbilních Hilbertových prostorů, dříve všk dokážeme ještě jedno důležité tvrzení, které pltí obecně. Vět (Rieszov vět o reprezentci). Je-li f je spojitý lineární funkcionálnhilbertověprostoru H,pkexistujeprávějedenprvek y f Htk,že provšechn x Hpltí f(x)=(x,y f ). Důkz.Je-li f 0,položíme y f =0.Vopčnémpřípděje M= {x H; f(x)=0} uzvřenýpodprostor H,přičemž M (neboť M H).Zvolme z M, z =1položme u=f(x)z f(z)x. Protožeje f(u)=f(x)f(z) f(z)f(x)=0,je u M(u,z)=0.Odtudvyplývá (u,z)=f(x)(z,z) f(z)(x,z)=0,zčehoždostneme f(x)=f(x)(z,z)=f(z)(x,z)=(x,f(z)z). Stčítedypoložit y f = f(z)z.jednoznčnostsedokážejednoduše:pokudexistují dvprvky y, y spopsnouvlstností,pkprovšechn x Hpltí 0=(x,y) (x,y )=(x,y y ), tedyi(y y,y y )=0.Odtudplyne y= y,čímžjedůkzdokončen. Lemm Nechť je prostor H seprbilní nechť A je ortonormální systém v H.Potomjesystém Aspočetný 3 ). Důkz.Jestliže x = y =1x y,pk (x y,x y)=(x,x) (x,y) (y,x)+(y,y)=2, tedy δ:= x y = 2.Protožeexistujespočetná Stková,že S= H,lze prokždé x Azvolittkové z x S,že x z x < δ/3.prorůzná x,y Aje δ= x y x z x + z x z y + z y y <2δ/3+ z x z y, tedy z x z y > δ/3zobrzení x z x jeprosté.jelikožexistujeprosté zobrzení množiny A do S, je množin A spočetná. Úmluv Budeme prcovt s ortonormálními systémy vektorů v Hilbertově prostoru H; všude v dlším výkldu budeme bez upozornění předpokládt, že tento prostor H je seprbilní. Hilbertův prostor nemusí být seprbilní, tím se všk, jk jsme již viděli, některé úvhy zkomplikují. I když jde o komplikci pouze technického rázu, vyhneme se jí. 3 ) Tedykonečnýnebonekonečnýspočetný,lzehotedyindexovtprvky N,přípdně Z.

10 84 KAPITOLA5. Hilbertůvprostor Lemm Nechť {x k ;,...,n}jeortonormálnísystémvhilbertově prostoru H.Potomprolibovolnéskláry α 1,...,α n zpolepříslušnéhokhpltí x Důkz. Dokážeme, že pltí x Spočteme nejprve n. (x,x k )x k x α k x k 2 n (x,x k )x k + α k (x,x k ) 2 = x αk (x,x k ) 2 = = = (α k (x,x k ))(α k (x,x k ))= 2 α k x k. ( αk 2 α k (x,x k ) α k (x,x k )+ (x,x k ) 2 ) = ( αk 2 α k (x k,x) α k (x,x k )+ (x,x k ) 2 ). Nyní již sndno dostneme rovnost x 2 α k x k = (x = x 2 = x 2 + α k x k, x α k x k )= α k (x k,x) α k (x,x k )+ αk (x,x k ) 2 α k 2 = (x,x k ) 2. Druhýčlenvevýrzunprvéstrněrovnostijenezápornýnbýváhodnoty0, právě když pltí Zbytek je zřejmý. α k =(x,x k ),,...,n. (5.17) Definice Je-li {x k ; k N}={x k }ortonormálnísystémvhilbertově prostoru H,pkčíslům(x,x k )říkámefourierovykoeficientyvzhledemksystému {x k ; k N}.Budemejeznčit x(k)=(x,x k ), k N. Důsledek5.1.34(Besselovnerovnost). Nechť {x k }jeortonormálnísystém v(seprbilním)hilbertověprostoru Hnechť x H x(k)=(x,x k ).Potom pltí x(k) 2 x 2. (5.18) Důkz.K(5.18)dospějemetkto:je-li HHilbertůvprostor{x k ;,...,n} jeortonormálnísystémvh,odvodilijsmeprokždé x H x α k x k 2 = x 2 + α k (x,x k ) 2 (x,x k ) 2.

11 OdtuddostávámevolbouFourierovýchkoeficientůnmístě α k 5.1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 85 (x,x k ) 2 = x 2 x (x,x k )x k 2, tedy (x,x k ) 2 x 2. Přechodem k supremu n levé strně plyne odtud(5.18). Poznámk (důležitá). Vzhledem k tomu, že máme k dispozici pojem konvergence v Hilbertově prostoru, lze sndno definovt součet řdy prvků H. Vímetotiž,jkdefinovt y m : = m x kkdy y n y.můžemetedyzcházet s řdmi v H, niž budeme budovt rozsáhlejší teorii. Budou nás zjímt řdy speciálníhotvru.je-li B= {x k }ortonormálnímnožinvhkonverguje-liřd α k x k, k y H,pkpro y m = m α kx k jezřejmě α k =(y m,x k ) m m y m 2 = (y m,x k ) 2 = α k 2. Odtudplyne,žepokudřdkonvergujeky,musípltit α k 2 = y 2, nebolivbesselověnerovnostinstávárovnostposloupnost {α k }jeprvkem l 2. Sndno též nhlédneme, že při dném ortonormálním systému {x k } je prvek (x,x k)x k jednoznčněurčenpomocí x:k (x,x k ), k N. Rovnost x(k)=(x,x k )definujespojitýlineárnífunkcionálprotojezobrzení F: H l 2,přiřzující x x,lineární.znerovnosti x(k) ŷ(k) 2 x y 2 plyne, že toto zobrzení F je spojité. Důležitou otázkou je zkoumt, zd kdy je v předchozím kontextu F zobrzenímn l 2 izometrií.důkznásledujícívětysezdálehkýjenproto,žeprcujeme s úplným prostorem. Vět5.1.36(F.Riesz,Fischer1907). Nechť {x k } Hjeortonormálnísystémnechť ϕ(k) l 2.Potomexistuje y Htk,žeje ϕ=ŷ,řd ϕ(k)x k konvergujevhpltí ( y = ϕ(k) 2) 1/2. Důkz.Oznčme y n := n ϕ(k)x k.potompro m,n N, m > n,pltí ( m y m y n 2 = k=n+1 ϕ(k)x k, m k=n+1 ϕ(k)x k )= m k=n+1 ϕ(k) 2. Protoževškřd ϕ(k) 2 konverguje,jeposlednísoučetvpředchozím vzthulibovolněmlýprovšechn m > n,jkmileje n Ndosttečněvelké. Jetedy {y n }cuchyovskáposloupnost,kterávúplnémprostoru l 2 konverguje knějkému y l 2,čímžjedůkzdokončen;zdejdeprktickyoodhdzbytkem konvergentní řdy po n-tém členu.

12 86 KAPITOLA5. Hilbertůvprostor Dokázlijsmetedy,žesohledemnúplnost H jezobrzení F : H l 2 vždyn.nássmozřejměnejvícezjímá,kdylzekždé x H vseprbilním (nekonečněrozměrném) Hilbertově prostoru vyjádřit pomocí určité ortonormální množiny D={x k },tovetvru x= (x,x k )x k, což je Fourierov řd v H vzhledem k ortonormální množině D. Nzávěrnšepozntkyshrnemedojedinévětyuvedemejedovzájemné souvislosti. Pk si již jen uvědomíme, co odtud z vybudovné bstrktní teorie dostnemepro klsické Fourierovyřdy. Vět Nechť B:= {w k } HjeortonormálnívH.Následujícípodmínky jsou ekvivlentní. () B je ortonormální báze Hilbertov prostoru H; (b) všechny konečné lineární kombince prvků z B tvoří hustou podmnožinu H, tj.lin[b]=h; (c) jestližeprovšechn w k, k N,pltí(x,w k )=0,pk x=0; (d)provšechn x Hje x= (x,w k)w k ; (e) provšechn x,y Hje (x,y)= x(k)ŷ(k). (f)provšechn x Hpltítzv.Prsevlovrovnost x 2 = x(k) 2 (5.19) Důkz.Dokážemepostupněsériiimplikcí()... (f) (). () (b): ZřejmějeLin[B]lineárnípodprostor HprotojeLin[B]uzvřený lineární podprostor H, neboť sndno ověříme, že x n x, y n y x n + y n x+y,...; operce sčítání násobení sklárem ve zřejmém smyslu spojité n H. Při Lin[B] H jelin[b] netriviálnítedy B nenímximální,coždává ekvivlentní výrok non(b) non(). (b) (c): Jestližepltí(x,w k )=0provšechn k N,jei(x,y)=0prokždé y Lin[B]zespojitostisklárníhosoučinuiprokždé y Lin[B]=H, tedyjei(x,x)=0x=0. (c) (d): Prokždé w l Bkždé x Hdostáváme ( x (x,w k )w k, w l )=(x,w l ) (x,w k )(w k,w l )= což dává potřebné tvrzení. =(x,w l ) (x,w l )=0,

13 (d) (e): Prokždédvprvky x,y Hdostáváme ( (x,y)= (w k,x)w k, 5.1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 87 (w l,y)w l )= l=1 = [k,l](x,w k,)(w k,w l )(y,w l )= (e) (f): Nynístčídotvruz(e)dosdit x=y. (x,w m )(y,w m ). (f) (): Budeme postupovt sporem: Předpokládejme, že existuje nenulové z H \B, z =1.Uvžujmeortonormálnímnožinu B 1 = B {z}.pomocí (f) Besselovy nerovnosti dostneme m=1 z 2 = (z,w k ) 2 < (z,w k ) 2 + (z,z) 2 = z 2 Nlezený spor ukzuje, že B je mximální. Tímjedůkz kolečkimplikcí tedyitvrzenívětydokončen. Příkld Teorii, se kterou jsme se seznámili, lze plikovt n klsický přípd Fourierových řd. Je všk nutná jistá optrnost související s tím, že jsme používli některá oznčení ve dvojím význmu(npř. Fourierovy koeficienty pod.). Vdlšímbudemeužívtoznčení L p (2π)pro2π-perodickéfunkcezprostoru (tříd)funkcí L p,tj.funkcískonvergentnímlebesgueovýmintegrálemnintervlu( π, π). Systémfunkcí {1,cos kx,sin kx} jetvořenfunkcemivl 2(2π),kteréjsou ortogonální; tyto funkce všk nejsou ortonormální. Odpovídjící ortonormální systémje(prcujemesnormouzl 2 (2π)!) { 1 2π, cos kx π, sin kx π }. Protožetrigonometricképolynomytvoříhustoupodmnožinu L 2 (2π),jesplněn podmínk(b)zvěty5.1.37,tedyikterákolizpodmínektéževěty. Pro Fourierovy koeficienty ve smyslu teorie Hilbertových prostorů pltí npř. ( cos kx ) f, = 1 π f(t)cosktdt, π π π tkžeodpovídjícíkoeficient k v klsickéteorii jeroventomutočíslužn fktor1/ π.obdobnývzthpltíiproosttníkoeficienty;připomeňmeještě,že bsolutníčlen jsmevklsickéteoriipslivetvru 0 /2. ProfunkcizL 2 (2π)tkdostnemerovnost(jereálnéčíslo) +2π ( f(t) dt= π 2 + ) ( k 2 + b k 2 ), (5.20) která je pouze přepisem Prsevlovy rovnosti(5.19) z podmínky(f) z Věty Tutorovnostlzevyužítnpříkldkvýpočtunormyfunkce fv L 2 (2π),známe-li její Fourierovy koeficienty umíme sečíst řdu n prvé strně rovnosti(5.20), nebo k sečtení hodnoty téže řdy v přípdě, že nopk známe hodnotu integrálu v(5.20) vlevo. Oznčíme-li k, b k, k N 0Fourierovykoeficientyfunkce g L 2 (2π)budeme-li předpokládt, že obě funkce f, g jsou reálné, můžeme pro ně odvodit vzorec +2π ( 0 ) 0 f(t)g(t)dt=π + ( k 2 k+ b k b k).

14 88 KAPITOLA5. Hilbertůvprostor Čtenářsijižvcelkusndno přeloží dlšívýsledky. ProfunkcezL 2 (2π)vycházítedyceláteorievelmielegntnějejichFourierovy řdy konvergují bodově skoro všude ve smyslu Lebesgueovy míry. Výše popsnými prostředky všk přesnější informci o množině bodů, v níž řd konverguje, nemáme. Tu při výlučném použití teorie Hilbertových prostorů získt nemůžeme. Příkld (Legendreovy polynomy). Výše probrná teorie všk dává jistou informci npř. pro různé systémy ortogonálních polynomů. V obecné poloze jde o vyšetřování systémů funkcí, jejichž sklární součin je definován vzorcem (f,g)= V(t)f(t)g(t)dt, kde(,b) RjejistýintervlV jekldná(konečná)funkcen(,b);tse nzývá váh. Pro přiblížení těchto speciálních tříd si blíže všimneme ortogonálních polynomů. které se nzývjí Legendreovy polynomy. V tom přípdě je(, b) omezený intervl v R váh V je identicky rovn 1. Podrobnější informci nlezne zvídvý čtenář v[34]. OznčímehlednéLegendreovypolynomysymbolem P n,kde njestupeňpolynomu P n.zřejmělze P n zpstjko n-touderivcipolynomu Q n,kterýje stupně2n.potomprokždýpolynom Rstupněnižšíhonež npltí(užíváme metodu per-prtes) = [ Q (n 1) n P n (t)r(t)dt= Q (n) n (t)r(t) dt = (t)r(t) Q n (n 2) (t)r (t)+ ± Q n (t)r (n 1) (t) ] b t= Zpodmínkyortogonlityplyne,žebytentovýrzmělbýtroven0.Tonstnenpříkldtehdy,jestližebudemítpolynom Q n z n-násobnékořenykrjníbody,b. Definujemetedy Q n (t)=a n (t ) n (t b) n,kdedlezvykukldeme A n =1/(2 n n!), tkže Pltí = [ Q (n) n Q (n 1) n d n P n (t)= 1 2 n n! dt n ((t )(t b)) n. P 2 n(t)dt= Q (n+1) n Q n (n 2) Q (n) n (t)q (n) n (t)dt= + ± Q (2n 1) n Q n ] b ± Q (2n) n (t)q n (t)dt. Závork je rovn 0, tkže vprvo zbude poslední integrál, který je roven (2n)! 2 2n (n!) 2 (t ) n (t b) n dt. Dlší n-násobná plikce metody per-prtes dá P 2 n(t)dt= (b )2n+1 2 2n (2n+1). Položíme-li(, b) =( 1, 1) ponecháme-li všechno osttní oznčení, dostneme P n (t)= 1 2 n n! d n dx n ( (x 2 1) n), 1 1 P 2 n(t)dt= 2 2n+1. Pro tyto polynomy lze odvodit různé rekurentní formule; srv. npř.[34], Věty : (n+1)p n+1 (t) (2n+1)tP n (t)+np n 1 (t)=0,

15 5.1. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI 89 odkud vyplývá P 0 (t)=1, P 1 (t)=t, P 2 (t)= 3t , P 3(t)= 5t t,. Legendreovypolynomysplňujíprovšechn n N 0 diferenciálnírovnici (1 t 2 )P n(t) 2tP n(t)+n(n+1)p n (t)=0. Příkld (Čebyševovy polynomy). Tyto polynomy tvoří rovněž ortogonálnísystémv( 1,1)vzhledemkváze V(t)=(1 t 2 ) 1/2.Přístupknim jerůzný.jsoutonpříkldpolynomyskoeficientem1u nejvyššímocniny x n, které nejlépe proximují v suprémové normě identicky nulovou funkci n intervlu [ 1,1].Lzejevyjádřitvzorcem T 0 (t)=1, T n (t)= 1 2n 1cos(nrccos t). Jiný přístup k ortogonálním polynomům je možný přes tzv. vytvořující funkce.

16

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik

Automaty a gramatiky. Úvod do formáln. lních gramatik. Roman Barták, KTIML. Příklady gramatik Úvod do formáln lních grmtik Automty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~rtk Grmtiky, všichni je známe, le co to je? Popis jzyk pomocí prvidel, podle kterých se vytvářejí

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.

Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. 6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2

Úvod do numerické matematiky. Přednáška pro posluchače informatiky. Zimní resp. Letní semestr 2/2 Úvod do numerické mtemtiky Přednášk pro posluchče informtiky Zimní resp Letní semestr 2/2 Ivo Mrek, Petr Myer Bohuslv Sekerk 1 Úvodní poznámky Vymezení problemtiky vystihuje následující chrkteristik Numerická

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

7 Ortogonální a ortonormální vektory

7 Ortogonální a ortonormální vektory 7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

Obsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12

Obsah. 1 Základy matematické logiky Typy důkazů Matematická indukce Množiny Zobrazení množin... 12 Mtemtická nlýz Obsh Zákldy mtemtické logiky 6. Typy důkzů.................... 7. Mtemtická indukce................ 9 Množiny. Zobrzení množin.................. 3 Reálná čísl 4 3. Mohutnost množin.................

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

f k nazýváme funkční řadou v M.

f k nazýváme funkční řadou v M. 6. Funční řdy posloupnosti. Bodová stejnoměrná onvergence. Nechť pro N jsou f omplení či reálné funce omplení či reálné proměnné, teré mjí společný definiční obor M. Posloupnost {f ; N} nzýváme funční

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3

Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3 Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.

Báze a dimense. Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Báze a dimense Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 3.1 3.3 a 3.6 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01LAG 15.10.2015: Báze a dimense 1/19 Minulé přednášky 1 Lineární

Více

Předpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité):

Předpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité): Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu: F x, y, y, y,, y n Řešení n intervlu I: funkce y : I R tková, že pro kždé x I je F x, yx, y x,, y n x Mximální řešení: neexistuje řešení

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více