10. Afinní a euklidovský prostor
|
|
- Tereza Dostálová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 10. Afinní a euklidovský prostor Definice Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která boduavektorupřiřadíbod:+:a V A,splňujícínásledujícíaxiomy: i a+o=aprolibovolnýbod a A ii a+v+w=a+v+wprolibovolnýbod a Aavektoryv,w V iiikekaždédvojicibodů a, b Aexistujeprávějedenvektorv V,prokterý a+v=b.tento vektorznačíme b a. Euklidovským prostorem EV rozumíme afinní prostor spolu se skalárním součinem na V neboli euklidovský prostor je afinní prostor nad unitárním prostorem. Dimenzí afinního nebo euklidovského prostoru rozumíme dimenzi příslušného vektorového prostoru. a + v 1 + v 2 = a + v 1 + v 2 d v 1 + v 2 v 1 v 2 a + v 1 d c a = a + o c Obrázek 1: Afinní prostor. Axiomiiříká,ževevýrazechtypu a+v 1 +v nemusímepsátzávorky.zaxiomůiaiii vidíme,že a a=o.zaxiomuiiivyplývá,že a+b a=bprolibovolnédvabody a, b. Základnímpříklademafinníhoprostorujeprostor AT n.bodyivektoryjsouuspořádané n-ticeprvků T. Operace sčítání bodu a vektoru je definována jako obvyklé sčítání n-tic. Vezmeme-li navíc na vektorovémprostoru T n běžný skalárnísoučin,mámezákladnípříkladeuklidovskéhoprostoru prostor ET n. Z kapitoly o homomorfismech vektorových prostorů víme, že každý vektorový prostor dimenze n je izomorfníaritmetickémuprostoru T n.trochuvágněřečeno,jedinývektorovýprostordimenze nje, ažnaizomorfismustj.přeznačníprvků, T n.prostoryzpředchozíhoodstavcemajípodobnouroliv afinnícheuklidovských prostorech: Uvidíme, že jediný afinníresp. euklidovský prostor dimenze n je,ažnaafinníresp.izometrickýizomorfismus,prostor AT n resp. ET n. Vlibovolnémafinnímprostoruplatínásledujícívztahy,kterájsouvafinnímprostoru AT n zřejmé. Pozorování10.2.Nechť AVjeafinníprostor, a, b, c, d Abody,u,v V vektory.pak ia+u b+v=a b+u v, iia b+c d=a d+c b, iiia b+b c=a c. 1
2 Důkaz. Pozorování lze snadno dokázat přímo z definiceviz cvičení, nebo lze výpočet převést na výpočetvat n kdejsoutvrzenízřejmávyužitímnějakésoustavysouřadnicvizníže. Podprostory Definice Nechť AV je afinníresp. euklidovský prostor. Říkáme, že BW je podprostorem AV,pokud B A, W V, W jevektorovýmpodprostorem V, Bjeuzavřenánasčítání boduavektoruzw arozdíllibovolnýchdvoubodůzb jevektorve W.Jinýmislovy, BWje podprostor AV, pokud tvoří se zúženými operacemi prostoru AV afinníeuklidovský prostor. Je-li b Blibovolnýbod,pak B= b+w= {b+w w W }. Naopak,prolibovolnýbod b Aapodprostor W V je BW,kde B= b+w,podprostorem AV. Důkaz. Dokážeme nejprve druhé tvrzení. Musíme ukázat, že 1. součetbodu b+w 1 b+w avektoruw 2 jebodvb+w.toplatí,protožeb+w 1 +w 2 = b+w 1 +w 2 axiomi. 2. rozdíldvoubodů b+w 1, b+w 2 b+wjevektorve W.Toplatí,protožeb+w 1 b+w 2 = b b+w 1 w 2 =o+w 1 w 2 =w 1 w 2 V podlepozorování,bodii,poznámceza definicí afinního prostoru a axiomui. Prvnítvrzení:SoučetboduzBavektoruzWjebodzB,tedy b+w B.Je-li a Blibovolnýbod, pak a b Wpodledefinice.Pakale a=b+a b b+wpodlepoznámkyzadefinicíafinního prostoru.čili B b+w. Chápeme-li T n jakovektorovýprostor,pakpodprostoryjsou rovnéútvary přímky,roviny,... procházejícípočátkem.podprostoryafinníhoprostoru AT n jsou rovnéútvary,kterépočátkem procházet nemusí. Afinní prostor dimenze 0 je bod. Afinnímu prostoru dimenze 1 říkáme přímka, afinnímu prostoru dimenze 2 říkáme rovina. Podprostoru dimenze n 1 v afinním prostoru dimenze n říkáme nadrovina. Při zadání afinního podprostoru většinou uvádíme pouze množinu B a říkáme, že B je podprostor AV. Příklad.Množina B=1,2,3+ 4,5,6 ={1,2,3+t 4,5,6 t R}={1+4t,2+5t,3+6t t R}jepodprostorafinníhoprostoru R 3.Jetopřímka,protožedimW=dim 4,5,6 =1. Množina B =1,2,3+ 4,5,6,7,8,9 jerovinaazároveňnadrovinavr 3,protožedimW= dim 4,5,6,7,8,9 =2. 2
3 Soustavy souřadnic, jejich transformace Soustavousouřadnicvafinnímprostoru AVrozumímemnožinu S= {a,m 1,m 2,...,m n },kde a AaM= {m 1,...,m n }jebáze V. Kartézkou soustavou souřadnic v euklidovském prostoru EV rozumíme soustavu souřadnic S= {a,m 1,m 2,...,m n },kde M= {m 1,...,m n }jeortonormálníbáze V. Bod asenazývápočáteksoustavysouřadnic.přímky a+ u i senazývajísouřadnicovéosy. Souřadnicebodu b Aresp. Evsoustavěsouřadnic Sdefinujemejakovyjádřenívektoru b av bázi M,tedyvztahem {b} S = {b a} M. Souřadnicevektoruv V vsoustavěsouřadnic Sdefinujemejakovyjádřenívektoruvvbázi M, tedy vztahem {v} S = {v} M. Zvolitsoustavusouřadnictedyznamenáurčitpočátek bod a,avektorym i,kterétvoříbázi.kartézká soustavasoustavasouřadnicjetaková,ževektorym i majívelikost1ajsounavzájemkolmé. osa a + m 2 b a b {b} S = 1.5,2 m 2 a m 1 osa a + m 1 Obrázek2:Soustavasouřadnic S= {a,m 1,m 2 }var 2.Bod bajehosouřadnice. Uvektorovýchprostorůvíme,že {v 1 +v 2 } M = {v 1 } M + {v 2 } M a {t v 1 } M = t {v 1 } M prolibovolnou bázi M,vektoryv 1,v 2 V a t T.Operaceve V tedy můžemeprovádětvat n přejdeme-liod vektorůkjejichvyjádřenívbázi M.Podobnásituacejeuafinníchprostorů všechnyoperacevafinním prostoru můžemeprovádětvat n přejdeme-liodvektorůabodůkjejichvyjádřenívzhledemk soustavě souřadnic S: Tvrzení10.4.Mějmeafinníprostor AVajehosoustavusouřadnic S.Prolibovolnévektoryv 1,v 2 V,body b, c Aaprvek t Tplatí: {v 1 +v 2 } S = {v 1 } S +{v 2 } S, {t v 1 } S = t {v 1 } S, {b+v 1 } S = {b} S +{v 1 } S, {b c} S = {b} S {c} S. Je-li EVeuklidovskýprostoraSkartézkásoustavasouřadnic,pakprolibovolnévektoryv 1,v 2 V platí v 1 v 2 = {v 1 } S {v 2 } S. 3
4 Důkaz. Snadné. Z prvního semestru víme, jak se mění souřadnice vektorů při přechodu od báze k bázi. Nyní spočítáme, jak se mění souřadnice bodů při přechodu od soustavy souřadnic k jiné soustavě. Tvrzení Mějme dvě soustavy souřadnic S = {a,m 1,...,m n } a S = {a,m 1,...,m n} v afinnímprostoru AVdimenze n.označme P maticipřechoduodbáze M = {m 1,...,m n }kbázi M = {m 1,...,m n}tedy P= {id} M M.Pakprolibovolnýbod b Aavektorv V platí {b} S = {a } S + {b} S P T, {v} S = {v } S P T. Důkaz. {b} S = {b a} M = {b a +a a} M = {a a} M + {b a } M = = {a } S + {b a } M P T = {a } S + {b} S P T. Příklad.Vafinnímprostoru R 2 mámedánysoustavysouřadnic S= {a,m 1,m 2 }={1,1,1,2, 2,3}, S = {a,m 1,m 2}={ 4,5,5,3, 7,14}. Napištevzorečkynavýpočetvyjádřeníbodu b R 2 resp.vektoruvvsoustavěsouřadnic Smáme-li danévyjádřenívsoustavěsouřadnic S Řešení. Najdeme nejprve matici přechodu P od M = {1,2, 2,3} k M = {5,3, 7,14} metodou z kapitoly o homomorfismech: Tedy P= Spočítámeještě {a } S = {a a} M = { 5,4} M : tedy {a } S = 1, Mějmebod b R 2,jehožvyjádřenívS je {b} S =x, y.pakvyjádření bvs spočtemepodle přechozího tvrzení {b} S =x, y= 1,2+x, y P T = 1,2+x, y 3 1, 1 4 takže x= 1+3x + y, y=2 x +4y. Máme-livektorv R 2 jehožvyjádřenívs je {v} S =x, y,pak {v} S =x, yspočteme x=3x + y, y= x +4y., 4
5 Afinní zobrazení, izometrie Definice10.6.Nechť AV, A V jsouafinníprostory, a A, a A body, f: V V homomorfismus.zobrazení F: A A definovanépředpisem Fa+v=a + fv nazýváme afinní zobrazení vytvořené homomorfismem f. Je-li f monomorfismus, nazývá se F regulární afinní zobrazení. Je-li f izomorfismus, nazývá se F afinní izomorfismus. Nechť EV, E V jsoueuklidovsképrostory.afinnízobrazení F: E E vytvořenéhomomorfismem f: V V senazýváizometrie,pokud fjeunitárnízobrazenízachováváskalárnísoučin. Pokud f je navíc izomorfismus, nazývá se F izometrický izomorfismus. a + v F v a = Fa fv Fa + v = a + fv a Obrázek3:AfinnízobrazenízR 2 do R 2. Afinnízobrazeníjetedyurčenoobrazemjednohoboduvdefinicibylourčeno Fa=a aobrazy vektorů.navolběbodu anezáleží:je-li Fa+v=a + fv,paktaké Fb+v=Fb+fvpro libovolnýbod b A,jaklzesnadnoověřit. Mějmeafinníprostory AU, BV, CW.Jsou-li F: A B, G:B Cafinnízobrazenívytvořená homomorfismy f : U V, g : V W,paksloženézobrazení GF : A C jeafinnízobrazení vytvořené homomorfismem f: U W. Je-li F afinní izomorfismus, pak existuje inverzní zobrazení F 1 : B Aatoto Fjeafinnízobrazenívytvořenéhomomrfismem f 1 : V U.Ověřenítěchtofaktů a formulaci podobných tvrzení pro euklidovské prostory přenecháme čtenáři. Všimněme si rovněž, že každá izometrie je regulární afinní zobrazeníprotože unitární zobrazení je prosté. Nyní dokážeme poznámku z první části: Jediný afinníresp. euklidovský prostor dimenze n je, až na afinníresp.izometrickýizomorfismus,prostor AT n resp. ET n. Věta Každý afinní prostor AV dimenze n je afinně izomorfní aritmetickému afinnímu prostoru AT n.každýeuklidovskýprostor EVdimenze njeizometrickyizomorfníaritmetickémueuklidovskémuprostoru ET n. Důkaz.Zvolímelibovolnousoustavusouřadnic Svprostoru AV.Zobrazení Fb={b} S jeafinní izomorfismusprostorů AVaAT n,protožeprolibovolné bje Fb+v={b+v} S = {b} S + {v} S, 5
6 tedy F jeafinnízobrazenívytvořenéizomorfismem f: V AT n, fv={v} M.Proeuklidovský prostor zvolíme kartézkou soustavu souřadnic a zobrazení F definujeme stejně. Parametrickéarovnicovévyjádřenípodprostorů AT n Každýpodprostor Bafinníhoprostoru AT n můžemevyjádřitvetvaru B= a+v,kde ajenějaký bodzba V jepodprostor T n.zvolíme-linějakoubázi M= {m 1,...,m k }prostoru V,máme B= a+ m 1,...,m k. Tomuto vyjádření se říká parametrické vyjádření podprostoru B. Připomeňme, že každý bod b B můžeme vyjádřit jako b=a+t 1 m t k m k, t i T. Vektort 1,...,t k jeurčenjednoznačněprotože Mjebáze,jetovlastněvyjádřeníbodu bvsoustavě souřadnica,m 1,...,m k. Zpodprostory AT n jsmesejižsetkalipřiřešenísoustavyrovnic.uvažujmesoustavu krovnicon neznámých Ax T = b,kde ha=k=ha b,tj.žádnázrovnicnení nadbytečná asoustavamá řešení.množinavšechřešeníje v p +KerA,kde v p T n jelibovolnéřešenísoustavy,dimkera= n k.takžemnožinavšechřešeníjepodprostor AT n dimenze n k.protosoustavě Ax T = b říkámerovnicovévyjádřenípodprostoru v p +KerA. Přechod od rovnicového vyjádření k parametrickému je zřejmý: Příklad.Určeteparametrickypodprostor B R 5 danýrovnicemi x 1 +2x 2 x 3 + x 5 = 1 2x 1 +4x 2 + x 4 x 5 = 4 Řešení. Máme vlastně pouze vyřešit danou soustavu rovnic. Gaussovou eliminací vypočteme Tedy B můžeme vyjádřit parametricky např. taktopři počítání báze řešení homogenní soustavy volíme parametryna2.,4.a5.místě,volímepostupně0,0,2,0,2,0,1,0,0,abyřešenívyšlo hezky B=2,0,1,0,0+ 1,0,5,0,2, 1,0, 1,2,0, 2,1,0,0,0. Mějmenynínaopakparametrickévyjádření B= a+v = a+ m 1,...,m k achcemepodprostor B vyjádřitrovnicově.tedyhledámesoustavu n krovniconneznámých Ax T = b T,jejímžřešenímje právěmnožina B.Jinýmislovychceme,abyKerA=V aabypartikulárnímřešenímbylbod a.to jsmesenaučilivkapitoleolineárníchformáchaduálech.napíšemevektorym 1...m k dořádkůmatice 6
7 Cadořádkůmatice AnapíšemenějakoubáziKerC.PakmámeKerA=V.Vektorpravýchstran určíme,abysoustavuřešilbod a zvolíme b=aa T. Příklad.Najdětenějakérovnicovévyjádřenípodprostoru B R 5 danéhoparametricky B=2,0,1,0,0+ 1,0,5,0,2, 1,0, 1,2,0, 2,1,0,0,0. Řešení. Postupujeme podle návodu nad příkladem. Vyřešíme hommogenní soustavu rovnic s maticí C: C= KerC= 1, 2, 1,0,2,5,10, 1,2,0 Rovnicové vyjádření B bude x 1 2x 2 x 3 +2x 5 = b 1 5x 1 +10x 2 x 3 +2x 4 = b 2 Pravoustranuurčíme,abyzadanésoustavěvyhovovalbod2,0,1,0,0,tedy b 1 = 3, b 2 =9.Rovnicové vyjádření B je tedy například: x 1 2x 2 x 3 +2x 5 = 3 5x 1 +10x 2 x 3 +2x 4 =9 Všimněmesiještěgeometrickéhovýznamuřádkůvrovnicovémvyjádření Ax T = b T podprostoru a+v euklidovskéhoprostoru ER n.veuklidovskémprostoru ER n jekerarovnoortogonálnímudoplňku lineárního obalu řádků matice A. Tedy v řádcích matice A máme bázi ortogonálního doplňku prostoru V.Jinýmislovy,lineárníobalřádkůmatice Ajepřesněmnožinavektorůkolmýchna V.Tomuto prostoru se proto také říká normálový prostor, libovolnému nenulovému prvku tohoto prostoru říkámenormálovývektor.vpřípadě,že a+v jenadrovina,tj.dimv=n 1,paknormálový prostor má dimenzi 1, tedy normálový vektor je určen jednoznačně až na násobek. Příklad.2x 1 3x 2 +4x 3 =2jerovnicovýpopisroviny1,0,0+ 2,0,1,3,2,0 vr 3.Vektor 2, 3,4jenormálovývektor.Normálovýprostorje 2, 3,4. 7
8 Vzájemná poloha podprostorů v afinním prostoru Definiceatvrzení10.8.Nechť BUaCWjsoupodprostoryafinníhoprostoru AV.Říkáme, že BUaCWjsou rovnoběžné,pokud U Wnebo W U; různoběžné, pokud mají alespoň jeden společný bod a nejsou rovnoběžné; mimoběžné, pokud nemají společný bod a nejsou rovnoběžné. Pokud B C,pak B C= d+u W, kde d B Cjelibovolnýbod. Průniku B Cněkdyříkámeprůsečík Ba C,jetonejvětšíafinnípodprostor AV,kterýjeobsažen v obou podprostorech. Důkaz tvrzení, viz cvičení. Proověřenírovnoběžnostidvoupodprostorůsivšimněme,ževztah W W platíprávětehdy,když dimw W =dimw.podobně W Wprávětehdy,kdyždimW W =dimw. Příklad.Určete,zdajsoupodprostory B= b+w, B = b + W Z 4 5 rovnoběžné: B=1,2,3+ 1,0,4, B =3,0,1+ 1,4,3,2,4,2 Řešení.ZřejmědimW=1.UrčímedimW : UrčímedimW W Jetedy W W,podprostory Ba B jsourovnoběžné , dimw =2, dimw W =2. Následuje kriterium na rozlišení různoběžných a mimoběžných podprostorů: Tvrzení Nechť BU a CW jsou nerovnoběžné podprostory afinního prostoru AV. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: i Podprostory B a C jsou různoběžné; iiprokaždé b B, c Cje b c U W; iiiexistují b B, c Cje b c U W. Důkaz.i ii.vezmemelibovolnýbod d B C.Vektor b dležívu,vektor d cležívw podledefinicepodprostouuzavřenostnaodčítání.tedy b c=b d+d c U W. 8
9 ii iiijezřejmé. iii i.protože b c U W,máme b c=u+w,kdeu U,w W.Bod b u=c+wležív BivC. Proprakticképočítáníjeužitečnápodmínkaiiispoluspozorováním,že b c U Wprávětehdy, kdyždim b c U W=dimU W. Mějmedvěmimoběžnépřímky p, qvafinnímprostorudimenze3.přímku r=c+ w,kteráprotíná oběpřímky,nazývámepříčkoumimoběžek paqvesměruw. Tvrzení Nechť p=a+uaq = b+vjsoumimoběžnépřímkyvafinnímprostoru AV dimenze3aw V nenulovývektor.pakpříčkamimoběžek paqvesměru w existujeprávětehdy, kdyžw u v.vtomtopřípadějeurčenajednoznačně. Důkaz.Uvažujmerovinu ρ=a+ u,w.pokud rjepříčka paqsesměremw,pak rležívrovině ρa protíná q.protože b ρtoplyneztoho,že paqjsoumimoběžné,musínutněw u v jinak byse qa ρneprotly.vtomtopřípadějeprůnikem ρaqjedinýbod dprotože u v w ={o}. Tedypříčka rjeurčenajednoznačně: r=d+ w. Přímky paqjsoumimoběžné,pokudnejsourovnoběžnétonastaneprávětehdy,kdyždim u,v =2 anejsourůznoběžnétonastaneprávětehdy,kdyždim b a,u,v >dim u,v.dohromady, paq jsoumimoběžné,právěkdyždim b a,u,v =3. Podmínkaw u v jesplněna,právěkdyždim w,u,v =dim u,v. Příklad.Vafinnímprostoru R 3 naleznětepříčkumimoběžek p=a+ u =1,2, 1+ 1, 1,1, q= b+ v =0,9, 2+ 1,0,0 vesměruw=1,2,0. Řešení.Určímenejprvedim b a,u,v tedydim w,u,v =3ap,qjsouskutečněmimoběžné.Podobněověříme,žedim w,u,v =3,tedy příčka ve směru w existuje. Spočítáme průsečík d přímky q s rovinou ρ=a+ u,w =1,2, 1+ 1, 1,1,1,2,0. Prvnízpůsob:Bod dležínapřímce q,tedy d=0,9, 2+α1,0,0,avrovině ρ,tedy d=1,2, 1+ β1, 1,1+γ1,2,0.Rozepsánímdosložekzískámesoustavutřírovnicotřechneznámých.Vyjde α=3.takže d=3,9, 2., 9
10 Druhý způsob: Spočítáme rovnicové vyjádření roviny ρ: Řešením této soustavy je 2, 1, 3.Dopočtením pravé strany získáme vyjádření ρ: 2x+y+3z= 3. Průsečík d=x, y, zmusíležetnapřímce q,tedyx, y, z=α,9, 2,avrovině ρ,tedymusíplatit 2α+9+3 2= 3.Takže α=3, d=3,9, 2. Hledanápříčkaje3,9, 2+ 1,2,0. Tvrzení10.11.Nechť p=a+uaq= b+vjsoumimoběžnépřímkyvafinnímprostoru AVdimenze 3ac Alibovolnýbodneležícína pani q.pakpříčkamimoběžek paqprocházejícíbodem cexistuje právětehdy,když c a, c b u v.vtomtopřípadějeurčenajednoznačně. Důkaz.Uvažujmerovinu ρ=a+ u, c a.pokud rjepříčka paqprocházejícíbodem c,pak rležív rovině ρ a protíná q. Tedy p a ρ nemohou být rovnoběžné. Zřejmě p a ρ jsou rovnoběžné, právě když c a u,v.symetrickouúvahourovinu ρvedemepřímkou qabodem czjistíme,že c b u,v. Vpřípadě,že c=a, c b u,v jeprůnikem ρaqjedinýbod d.příčka rexistujeajeurčena jednoznačně: r=d+ c d.detailypřenechámečtenáři. Příklad.Vafinnímprostoru R 3 naleznětepříčkumimoběžek p=a+ u =3,3,3+ 2,2,1, q= b+ v =0,5, 1+ 1,1,1 procházejícíbodem c=4,5,3. Řešení.Snadnoověříme,žedim b a,u,v =dim c a,u,v =dim c b,u,v =3,tedypřímkyjsou skutečně mimoběžné a příčka procházející bodem c existuje. Najdeme průsečík d přímky q s rovinou procházející přímkou p a bodem c: ρ=a+ u, c a =4,5,3+ 1,2,0,2,2,1. Vyjde d=0, 5,1.Hledanápříčkaje d+ c d =0, 5,1+ 4,0,4 =0, 5,1+ 1,0,1. 10
11 Vzdálenost a úhel v euklidovských prostorech Nechť EV je euklidovský prostoru dimenze n. Vzdáleností bodů a, b rozumíme velikost jejich rozdílu: da, b:= a b = a ba b. Nechť Ba Cjsoupodprostory EV.Vzdálenostípodprostorů B, B rozumímenejmenšímožnou vzdálenost b Bod c C: db, C:=min{db, c b B, c C}. Úhlemvektorůu,v V rozumímečíslo u,v 0, π 2,proněž cos u,v= uv u v. Úhlempodprostorů BU, CWrozumímenejmenšímožnýúhel αvektorůu U,w W: B, C:=min{ u,w u U,v W }. Minima v definici vzdálenosti a úhlu dvou podprostorů se skutečně nabývánebudeme dokazovat. Výraz vpravo v definici úhlu dvou vektorů je v intervalu 0, 1 Cauchyova nerovnost. Definice tedy dávají smysl. Všimněme si, že úhel dvou vektorů je stejný jako úhel jejich libovolných nenulových násobků. Nyní se naučíme počítat vzdálenost dvou rovnoběžných podprostorů a vzdálenost dvou mimoběžek. Tvrzení Mějme dva podprostory BU a CW euklidovskéhoprostoru EV, U W a libovolnýbod b B.Pakpodprostor b+w protínápodprostor Cvjedinémbodě cadb, C=db, c. Důkaz.Podprostory b+w a C= c+w zde c Cjelibovolnýbodnejsoumimoběžné,protože nejsourovnoběžnéw W = {o}ab c W W W W = Vpoužilijsmekritériumna mimoběžnost.průnikemjetedyprostor c+w W =c+{o}.zbýváukázat,ževzdálenost db, c jenejmenšímožná.vezmemelibovolnédvabody e B, f C adokážeme de, f db, c.bod g= f+b eležívcw,protože b e Ua U W.Protože g b=f e,platí de, f=db, g. Vektor c bjekolmýna c g,protože c b W a c g W.PodlePythagorovyvětymáme d 2 b, g=d 2 b, c+d 2 c, g,takže de, f=db, g db, c. Příklad.Spočítejtevzdálenostpřímky p=x+uaroviny ρ=y+ Wv ER 4 : p=6,0,1,0+ 1,3, 1,2, ρ= 2,4,5,3+ 1,2,3,1,2,5,2,3. Řešení.Snadnoověříme,žedimU=1,dimW=2,dimU W=2,takže paρjsouskutečně rovnoběžné.spočítáme W
12 Takže W = 11,4,1,0,1, 1,0,1. Řešenímsoustavyrovniczjistíme,žex+W ρ=c= 3,2,2,2.Vzdálenost pod ρje dp, ρ= dx, c= = 90=3 10. Tvrzení10.13.Mějmedvěmimoběžnépřímky p=b+u, q= c+wveuklidovskémprostoru EV dimenze3.pakexistujeprávějednapříčkamimoběžekvesměru u,w.označíme-li e, fjejíprůsečíky s paq,pak dp, q=de, f. Důkaz.Exsitenciprávějednépříčkamimoběžekvesměru v = u,w námzaručujetvrzení10.10 vektoryu,w,vtvoříbázi.uvažujmerovinu ρ=c+ uw.protožepřímka pjerovnoběžnásrovinou ρae+ u,w ρ = f,zpřechotíhotvrzenívíme,že de, f = dp, ρ.protože q ρ,máme de, f dp, q.opačnánerovnost de, f dp, qjezřejmá. Příklad.Spočtětevzdálenostmimoběžek p=b+u, q= c+wvprostoru ER 3 : p=1, 8,11+ 2,3, 6, q=8,3,13+ 6, 1,12. Řešení.Snadnoověříme,ževektory b c,u,w tvoříbázi R 3,takžepřímky paqjsouskutečně mimoběžné.určíme v = u,w : , takženapř.v=3, 6, 2.Nyníurčímeprůsečík fpříčkymimoběžek paqvesměru v spřímkou q spočítáme f=a+ u,v q.vyjde f=2,4,1.příčkavesměru v jetedy r=2,4,1+ 3,6, 2. Spočteme e=r p.vyjde e=5, 2, 1.Vzdálenost paqje de, f= =7. Nyní se naučíme počítat úhly dvou podprostorů v některých speciálních případech. Tvrzení Mějme euklidovský prostor EV. Pak i Úhel dvou přímek je roven úhlu jejich směrových vektorů. ii Úhel dvou nadrovin je roven úhlu jejich normálových vektorů iii Úhel přímky a nadroviny je roven doplňku úhlu směrového vektoru přímky a normálového vektoru nadrovinydo π 2. Důkaz. Viz cvičení. Trojpoměr, geometrická charakterizace afinních a izometrických zobrazení Definice Mějme tři různé body a, b, c v afinním prostoru A ležící na jedné přímce. Dělícím poměremnebotrojpoměrembodu cvzhledemkbodům a, brozumímeprvek λ T,prokterý c a=λc bzřejměexistuje,protožebodyležínajednépřímce.značíme λ=c; a, b. Pokudc; a, b= 1aTmácharakteristikurůznouodnuly,říkáme,že cjestředemúsečkya, b. Platí c=a+ 1 2 b a=b+1 2 a b. 12
13 Dělicípoměrtedyudává,kolikrátjevětšívektorc aoprotivektoruc b.znaménkoudává,zda jsou vektory c a a c b souhlasněznaménko +, nebo nesouhlasně orientoványznaménko-. Některé jednoduché vlastnosti dělicího poměru, viz cvičení. Následující pěkná věta charakterizuje afinní zobrazení ryze geometricky afinní zobrazení jsou přesně ta, která zachovávají trojpoměr: Věta10.16.Nechť AVaA V jsouafinníprostorynadtělesemcharakteristikyrůznéod2, F : A A zobrazení.jeekvivalentní: i Fjeafinnízobrazení ii F zachovávátrojpoměr:prolibovolnétřibody a, b, c Aležícínajednépřímcejebuď Fa= Fb=Fc,neboFa; Fb, Fc=a; b, c Důkaz.i 2.Vizcvičení. ii i.zvolímelibovolnýbod a A.Hledámehomomorfismus f: V V,kterývytváří F,tedy chceme, aby pro libovolné b A platilo Fb=Fa+fb a Položíme proto fu:= Fa+u Fa. Musímeověřit,že f jehomomorfismus ověřitžeprolibovolné t T avektoryu,v V platí ftu=tfuafu+v=fu+fv.nebolichcemedokázat,že Fa+tu Fa=t Fa+u Fa 1 a Fa+u+v Fa=Fa+u Fa+Fa+v Fa 2 Nejprveprvnívztah.Pokud t=0nebou=o,pakvztahzřejměplatí.vopačnémpřípadějsou a, a+uaa+tutřirůznébodyležícínajednépřímceaplatía; a+tu, a+u=t.podlepředpokladu buď Fa+tu=Fa+u=Faavztah1platí,neboFa; Fa+tu, Fa+u=t,cožjepřesně dokazovaný vztah. Druhý vztah můžeme upravit do ekvivalentní formy Fa+u+v Fa+u=Fa+v Fa 3 Je-liu=onebov=o,vztah3platí.Předpokládejmetedy,žeu,v o.označíme bstředúsečky a, a+u+v.snadnoověříme,že bjezároveňstředemúsečkya+u, a+v.rozlišímečtyřipřípady 1. Fb=Fa=Fa+u+v=Fa+u=Fa+v.Vtomtopřípadězřejmě3platí. 2. Fb=Fa=Fa+u+v,Fb; Fa+u, Fa+v= 1.Vtomtopřípadě Fb Fa+u= Fa+v Fb.Levástranajerovna Fb Fa+u,pravástranajerovna Fa+v Fb= Fb Fa+u. 13
14 3. Fb; Fa, Fa+u+v= 1, Fb=Fa+u=Fa+v.Vtomtopřípadě Fb Fa= Fa+u+v Fb.Levástranajerovna Fa+u+v Fb=Fb Fa.Pravástrana rovněž. 4. Fb; Fa, Fa+u+v= 1,Fb; Fa+u, Fa+v= 1.Vtomtopřípadě Fb= Fa+ 1 2 Fa+u+v Fa=Fa+u+1 2 Fa+v Fa+u.Tedy2Fa+u Fa= Fa+u+v Fa+Fa+u Fa+v.Poúpravěvyjde3. Izometrie lze charakterizovat jako zobrazení, která zachovávají vzdálenosti. Věta10.17.Nechť EVaE V jsoueuklidovsképrostory, F: E E zobrazení.jeekvivalentní: i Fjeizometrie ii F zachovávávzdálenosti:pro libovolnédva body a, b A platí dfa, Fb = da, b, kde vzdálenostvlevojevprostoru E V ;vzdálenostvpravojevprostoru EV. Důkaz.i ii.je-li F izometrievytvořenáhomomorfismeme f,pak f jedledefiniceunitární zobrazení, tj. homomorfismus, který zachovává skalární součin. Potom ale f zachovává normy vektorů, takže F zachovává vzálenosti. ii i.návodkdůkazu: 1. Nejprve pomocí trojúhelníkové nerovnosti odvoďte, že obrazem třech různých bodů na jedné přímce je trojice různých bodů ležících na jedné přímce, a že F zachovává trojpoměr. 2. Zpředchozívětyplyne,že F jeafinnízobrazení,tedy Fa+u=Fa+fu.Odvoďte,že f zachovává normy vektorů. 3. Libovolný homomorfismus, který zachovává normy vektorů, je unitární. 14
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Více11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více2. kapitola: Euklidovské prostory
2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceAB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceJosef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK
Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
Vícetransformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceLineární zobrazení. V prvním z následujících tvrzení navíc uvidíme, že odtud plynou a jsou tedy pak rovněž splněny podmínky:
Lineární zobrazení Nechť (V, +, ) a (W, +, ) jsou dva vektorové prostory nad týmž tělesem (T, +, ). Nechť f : V W je zobrazení splňující následující podmínky: ( u, v V)(f(u + v) = f(u) + f(v)), ( s T )(
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
VíceVzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
VíceEuklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)
Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
VíceLineární algebra Eva Ondráčková
Lineární algebra Eva Ondráčková Vektorové prostory Mnozízvásužsenejspíšsetkalispojmemvektor.Ukážemesi,ževektorynejsoujen množiny orientovaných úseček v rovině či trojrozměrném prostoru, ale něco zajímavějšího,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceZákladní vlastnosti eukleidovského prostoru
Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceAritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008
Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceŘešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1
Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceEuklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3
Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Více1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceMichal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceAfinní transformace Stručnější verze
[1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)
VíceMatice lineárních zobrazení
Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceJosef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK
Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Brno, 017 Předmluva Text pokrývá látku, která je přednášena v učitelském studiu matematiky v předmětu M5510 "Teorie kuželoseček a kvadrik".
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
Více