10. Afinní a euklidovský prostor

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "10. Afinní a euklidovský prostor"

Transkript

1 10. Afinní a euklidovský prostor Definice Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která boduavektorupřiřadíbod:+:a V A,splňujícínásledujícíaxiomy: i a+o=aprolibovolnýbod a A ii a+v+w=a+v+wprolibovolnýbod a Aavektoryv,w V iiikekaždédvojicibodů a, b Aexistujeprávějedenvektorv V,prokterý a+v=b.tento vektorznačíme b a. Euklidovským prostorem EV rozumíme afinní prostor spolu se skalárním součinem na V neboli euklidovský prostor je afinní prostor nad unitárním prostorem. Dimenzí afinního nebo euklidovského prostoru rozumíme dimenzi příslušného vektorového prostoru. a + v 1 + v 2 = a + v 1 + v 2 d v 1 + v 2 v 1 v 2 a + v 1 d c a = a + o c Obrázek 1: Afinní prostor. Axiomiiříká,ževevýrazechtypu a+v 1 +v nemusímepsátzávorky.zaxiomůiaiii vidíme,že a a=o.zaxiomuiiivyplývá,že a+b a=bprolibovolnédvabody a, b. Základnímpříklademafinníhoprostorujeprostor AT n.bodyivektoryjsouuspořádané n-ticeprvků T. Operace sčítání bodu a vektoru je definována jako obvyklé sčítání n-tic. Vezmeme-li navíc na vektorovémprostoru T n běžný skalárnísoučin,mámezákladnípříkladeuklidovskéhoprostoru prostor ET n. Z kapitoly o homomorfismech vektorových prostorů víme, že každý vektorový prostor dimenze n je izomorfníaritmetickémuprostoru T n.trochuvágněřečeno,jedinývektorovýprostordimenze nje, ažnaizomorfismustj.přeznačníprvků, T n.prostoryzpředchozíhoodstavcemajípodobnouroliv afinnícheuklidovských prostorech: Uvidíme, že jediný afinníresp. euklidovský prostor dimenze n je,ažnaafinníresp.izometrickýizomorfismus,prostor AT n resp. ET n. Vlibovolnémafinnímprostoruplatínásledujícívztahy,kterájsouvafinnímprostoru AT n zřejmé. Pozorování10.2.Nechť AVjeafinníprostor, a, b, c, d Abody,u,v V vektory.pak ia+u b+v=a b+u v, iia b+c d=a d+c b, iiia b+b c=a c. 1

2 Důkaz. Pozorování lze snadno dokázat přímo z definiceviz cvičení, nebo lze výpočet převést na výpočetvat n kdejsoutvrzenízřejmávyužitímnějakésoustavysouřadnicvizníže. Podprostory Definice Nechť AV je afinníresp. euklidovský prostor. Říkáme, že BW je podprostorem AV,pokud B A, W V, W jevektorovýmpodprostorem V, Bjeuzavřenánasčítání boduavektoruzw arozdíllibovolnýchdvoubodůzb jevektorve W.Jinýmislovy, BWje podprostor AV, pokud tvoří se zúženými operacemi prostoru AV afinníeuklidovský prostor. Je-li b Blibovolnýbod,pak B= b+w= {b+w w W }. Naopak,prolibovolnýbod b Aapodprostor W V je BW,kde B= b+w,podprostorem AV. Důkaz. Dokážeme nejprve druhé tvrzení. Musíme ukázat, že 1. součetbodu b+w 1 b+w avektoruw 2 jebodvb+w.toplatí,protožeb+w 1 +w 2 = b+w 1 +w 2 axiomi. 2. rozdíldvoubodů b+w 1, b+w 2 b+wjevektorve W.Toplatí,protožeb+w 1 b+w 2 = b b+w 1 w 2 =o+w 1 w 2 =w 1 w 2 V podlepozorování,bodii,poznámceza definicí afinního prostoru a axiomui. Prvnítvrzení:SoučetboduzBavektoruzWjebodzB,tedy b+w B.Je-li a Blibovolnýbod, pak a b Wpodledefinice.Pakale a=b+a b b+wpodlepoznámkyzadefinicíafinního prostoru.čili B b+w. Chápeme-li T n jakovektorovýprostor,pakpodprostoryjsou rovnéútvary přímky,roviny,... procházejícípočátkem.podprostoryafinníhoprostoru AT n jsou rovnéútvary,kterépočátkem procházet nemusí. Afinní prostor dimenze 0 je bod. Afinnímu prostoru dimenze 1 říkáme přímka, afinnímu prostoru dimenze 2 říkáme rovina. Podprostoru dimenze n 1 v afinním prostoru dimenze n říkáme nadrovina. Při zadání afinního podprostoru většinou uvádíme pouze množinu B a říkáme, že B je podprostor AV. Příklad.Množina B=1,2,3+ 4,5,6 ={1,2,3+t 4,5,6 t R}={1+4t,2+5t,3+6t t R}jepodprostorafinníhoprostoru R 3.Jetopřímka,protožedimW=dim 4,5,6 =1. Množina B =1,2,3+ 4,5,6,7,8,9 jerovinaazároveňnadrovinavr 3,protožedimW= dim 4,5,6,7,8,9 =2. 2

3 Soustavy souřadnic, jejich transformace Soustavousouřadnicvafinnímprostoru AVrozumímemnožinu S= {a,m 1,m 2,...,m n },kde a AaM= {m 1,...,m n }jebáze V. Kartézkou soustavou souřadnic v euklidovském prostoru EV rozumíme soustavu souřadnic S= {a,m 1,m 2,...,m n },kde M= {m 1,...,m n }jeortonormálníbáze V. Bod asenazývápočáteksoustavysouřadnic.přímky a+ u i senazývajísouřadnicovéosy. Souřadnicebodu b Aresp. Evsoustavěsouřadnic Sdefinujemejakovyjádřenívektoru b av bázi M,tedyvztahem {b} S = {b a} M. Souřadnicevektoruv V vsoustavěsouřadnic Sdefinujemejakovyjádřenívektoruvvbázi M, tedy vztahem {v} S = {v} M. Zvolitsoustavusouřadnictedyznamenáurčitpočátek bod a,avektorym i,kterétvoříbázi.kartézká soustavasoustavasouřadnicjetaková,ževektorym i majívelikost1ajsounavzájemkolmé. osa a + m 2 b a b {b} S = 1.5,2 m 2 a m 1 osa a + m 1 Obrázek2:Soustavasouřadnic S= {a,m 1,m 2 }var 2.Bod bajehosouřadnice. Uvektorovýchprostorůvíme,že {v 1 +v 2 } M = {v 1 } M + {v 2 } M a {t v 1 } M = t {v 1 } M prolibovolnou bázi M,vektoryv 1,v 2 V a t T.Operaceve V tedy můžemeprovádětvat n přejdeme-liod vektorůkjejichvyjádřenívbázi M.Podobnásituacejeuafinníchprostorů všechnyoperacevafinním prostoru můžemeprovádětvat n přejdeme-liodvektorůabodůkjejichvyjádřenívzhledemk soustavě souřadnic S: Tvrzení10.4.Mějmeafinníprostor AVajehosoustavusouřadnic S.Prolibovolnévektoryv 1,v 2 V,body b, c Aaprvek t Tplatí: {v 1 +v 2 } S = {v 1 } S +{v 2 } S, {t v 1 } S = t {v 1 } S, {b+v 1 } S = {b} S +{v 1 } S, {b c} S = {b} S {c} S. Je-li EVeuklidovskýprostoraSkartézkásoustavasouřadnic,pakprolibovolnévektoryv 1,v 2 V platí v 1 v 2 = {v 1 } S {v 2 } S. 3

4 Důkaz. Snadné. Z prvního semestru víme, jak se mění souřadnice vektorů při přechodu od báze k bázi. Nyní spočítáme, jak se mění souřadnice bodů při přechodu od soustavy souřadnic k jiné soustavě. Tvrzení Mějme dvě soustavy souřadnic S = {a,m 1,...,m n } a S = {a,m 1,...,m n} v afinnímprostoru AVdimenze n.označme P maticipřechoduodbáze M = {m 1,...,m n }kbázi M = {m 1,...,m n}tedy P= {id} M M.Pakprolibovolnýbod b Aavektorv V platí {b} S = {a } S + {b} S P T, {v} S = {v } S P T. Důkaz. {b} S = {b a} M = {b a +a a} M = {a a} M + {b a } M = = {a } S + {b a } M P T = {a } S + {b} S P T. Příklad.Vafinnímprostoru R 2 mámedánysoustavysouřadnic S= {a,m 1,m 2 }={1,1,1,2, 2,3}, S = {a,m 1,m 2}={ 4,5,5,3, 7,14}. Napištevzorečkynavýpočetvyjádřeníbodu b R 2 resp.vektoruvvsoustavěsouřadnic Smáme-li danévyjádřenívsoustavěsouřadnic S Řešení. Najdeme nejprve matici přechodu P od M = {1,2, 2,3} k M = {5,3, 7,14} metodou z kapitoly o homomorfismech: Tedy P= Spočítámeještě {a } S = {a a} M = { 5,4} M : tedy {a } S = 1, Mějmebod b R 2,jehožvyjádřenívS je {b} S =x, y.pakvyjádření bvs spočtemepodle přechozího tvrzení {b} S =x, y= 1,2+x, y P T = 1,2+x, y 3 1, 1 4 takže x= 1+3x + y, y=2 x +4y. Máme-livektorv R 2 jehožvyjádřenívs je {v} S =x, y,pak {v} S =x, yspočteme x=3x + y, y= x +4y., 4

5 Afinní zobrazení, izometrie Definice10.6.Nechť AV, A V jsouafinníprostory, a A, a A body, f: V V homomorfismus.zobrazení F: A A definovanépředpisem Fa+v=a + fv nazýváme afinní zobrazení vytvořené homomorfismem f. Je-li f monomorfismus, nazývá se F regulární afinní zobrazení. Je-li f izomorfismus, nazývá se F afinní izomorfismus. Nechť EV, E V jsoueuklidovsképrostory.afinnízobrazení F: E E vytvořenéhomomorfismem f: V V senazýváizometrie,pokud fjeunitárnízobrazenízachováváskalárnísoučin. Pokud f je navíc izomorfismus, nazývá se F izometrický izomorfismus. a + v F v a = Fa fv Fa + v = a + fv a Obrázek3:AfinnízobrazenízR 2 do R 2. Afinnízobrazeníjetedyurčenoobrazemjednohoboduvdefinicibylourčeno Fa=a aobrazy vektorů.navolběbodu anezáleží:je-li Fa+v=a + fv,paktaké Fb+v=Fb+fvpro libovolnýbod b A,jaklzesnadnoověřit. Mějmeafinníprostory AU, BV, CW.Jsou-li F: A B, G:B Cafinnízobrazenívytvořená homomorfismy f : U V, g : V W,paksloženézobrazení GF : A C jeafinnízobrazení vytvořené homomorfismem f: U W. Je-li F afinní izomorfismus, pak existuje inverzní zobrazení F 1 : B Aatoto Fjeafinnízobrazenívytvořenéhomomrfismem f 1 : V U.Ověřenítěchtofaktů a formulaci podobných tvrzení pro euklidovské prostory přenecháme čtenáři. Všimněme si rovněž, že každá izometrie je regulární afinní zobrazeníprotože unitární zobrazení je prosté. Nyní dokážeme poznámku z první části: Jediný afinníresp. euklidovský prostor dimenze n je, až na afinníresp.izometrickýizomorfismus,prostor AT n resp. ET n. Věta Každý afinní prostor AV dimenze n je afinně izomorfní aritmetickému afinnímu prostoru AT n.každýeuklidovskýprostor EVdimenze njeizometrickyizomorfníaritmetickémueuklidovskémuprostoru ET n. Důkaz.Zvolímelibovolnousoustavusouřadnic Svprostoru AV.Zobrazení Fb={b} S jeafinní izomorfismusprostorů AVaAT n,protožeprolibovolné bje Fb+v={b+v} S = {b} S + {v} S, 5

6 tedy F jeafinnízobrazenívytvořenéizomorfismem f: V AT n, fv={v} M.Proeuklidovský prostor zvolíme kartézkou soustavu souřadnic a zobrazení F definujeme stejně. Parametrickéarovnicovévyjádřenípodprostorů AT n Každýpodprostor Bafinníhoprostoru AT n můžemevyjádřitvetvaru B= a+v,kde ajenějaký bodzba V jepodprostor T n.zvolíme-linějakoubázi M= {m 1,...,m k }prostoru V,máme B= a+ m 1,...,m k. Tomuto vyjádření se říká parametrické vyjádření podprostoru B. Připomeňme, že každý bod b B můžeme vyjádřit jako b=a+t 1 m t k m k, t i T. Vektort 1,...,t k jeurčenjednoznačněprotože Mjebáze,jetovlastněvyjádřeníbodu bvsoustavě souřadnica,m 1,...,m k. Zpodprostory AT n jsmesejižsetkalipřiřešenísoustavyrovnic.uvažujmesoustavu krovnicon neznámých Ax T = b,kde ha=k=ha b,tj.žádnázrovnicnení nadbytečná asoustavamá řešení.množinavšechřešeníje v p +KerA,kde v p T n jelibovolnéřešenísoustavy,dimkera= n k.takžemnožinavšechřešeníjepodprostor AT n dimenze n k.protosoustavě Ax T = b říkámerovnicovévyjádřenípodprostoru v p +KerA. Přechod od rovnicového vyjádření k parametrickému je zřejmý: Příklad.Určeteparametrickypodprostor B R 5 danýrovnicemi x 1 +2x 2 x 3 + x 5 = 1 2x 1 +4x 2 + x 4 x 5 = 4 Řešení. Máme vlastně pouze vyřešit danou soustavu rovnic. Gaussovou eliminací vypočteme Tedy B můžeme vyjádřit parametricky např. taktopři počítání báze řešení homogenní soustavy volíme parametryna2.,4.a5.místě,volímepostupně0,0,2,0,2,0,1,0,0,abyřešenívyšlo hezky B=2,0,1,0,0+ 1,0,5,0,2, 1,0, 1,2,0, 2,1,0,0,0. Mějmenynínaopakparametrickévyjádření B= a+v = a+ m 1,...,m k achcemepodprostor B vyjádřitrovnicově.tedyhledámesoustavu n krovniconneznámých Ax T = b T,jejímžřešenímje právěmnožina B.Jinýmislovychceme,abyKerA=V aabypartikulárnímřešenímbylbod a.to jsmesenaučilivkapitoleolineárníchformáchaduálech.napíšemevektorym 1...m k dořádkůmatice 6

7 Cadořádkůmatice AnapíšemenějakoubáziKerC.PakmámeKerA=V.Vektorpravýchstran určíme,abysoustavuřešilbod a zvolíme b=aa T. Příklad.Najdětenějakérovnicovévyjádřenípodprostoru B R 5 danéhoparametricky B=2,0,1,0,0+ 1,0,5,0,2, 1,0, 1,2,0, 2,1,0,0,0. Řešení. Postupujeme podle návodu nad příkladem. Vyřešíme hommogenní soustavu rovnic s maticí C: C= KerC= 1, 2, 1,0,2,5,10, 1,2,0 Rovnicové vyjádření B bude x 1 2x 2 x 3 +2x 5 = b 1 5x 1 +10x 2 x 3 +2x 4 = b 2 Pravoustranuurčíme,abyzadanésoustavěvyhovovalbod2,0,1,0,0,tedy b 1 = 3, b 2 =9.Rovnicové vyjádření B je tedy například: x 1 2x 2 x 3 +2x 5 = 3 5x 1 +10x 2 x 3 +2x 4 =9 Všimněmesiještěgeometrickéhovýznamuřádkůvrovnicovémvyjádření Ax T = b T podprostoru a+v euklidovskéhoprostoru ER n.veuklidovskémprostoru ER n jekerarovnoortogonálnímudoplňku lineárního obalu řádků matice A. Tedy v řádcích matice A máme bázi ortogonálního doplňku prostoru V.Jinýmislovy,lineárníobalřádkůmatice Ajepřesněmnožinavektorůkolmýchna V.Tomuto prostoru se proto také říká normálový prostor, libovolnému nenulovému prvku tohoto prostoru říkámenormálovývektor.vpřípadě,že a+v jenadrovina,tj.dimv=n 1,paknormálový prostor má dimenzi 1, tedy normálový vektor je určen jednoznačně až na násobek. Příklad.2x 1 3x 2 +4x 3 =2jerovnicovýpopisroviny1,0,0+ 2,0,1,3,2,0 vr 3.Vektor 2, 3,4jenormálovývektor.Normálovýprostorje 2, 3,4. 7

8 Vzájemná poloha podprostorů v afinním prostoru Definiceatvrzení10.8.Nechť BUaCWjsoupodprostoryafinníhoprostoru AV.Říkáme, že BUaCWjsou rovnoběžné,pokud U Wnebo W U; různoběžné, pokud mají alespoň jeden společný bod a nejsou rovnoběžné; mimoběžné, pokud nemají společný bod a nejsou rovnoběžné. Pokud B C,pak B C= d+u W, kde d B Cjelibovolnýbod. Průniku B Cněkdyříkámeprůsečík Ba C,jetonejvětšíafinnípodprostor AV,kterýjeobsažen v obou podprostorech. Důkaz tvrzení, viz cvičení. Proověřenírovnoběžnostidvoupodprostorůsivšimněme,ževztah W W platíprávětehdy,když dimw W =dimw.podobně W Wprávětehdy,kdyždimW W =dimw. Příklad.Určete,zdajsoupodprostory B= b+w, B = b + W Z 4 5 rovnoběžné: B=1,2,3+ 1,0,4, B =3,0,1+ 1,4,3,2,4,2 Řešení.ZřejmědimW=1.UrčímedimW : UrčímedimW W Jetedy W W,podprostory Ba B jsourovnoběžné , dimw =2, dimw W =2. Následuje kriterium na rozlišení různoběžných a mimoběžných podprostorů: Tvrzení Nechť BU a CW jsou nerovnoběžné podprostory afinního prostoru AV. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: i Podprostory B a C jsou různoběžné; iiprokaždé b B, c Cje b c U W; iiiexistují b B, c Cje b c U W. Důkaz.i ii.vezmemelibovolnýbod d B C.Vektor b dležívu,vektor d cležívw podledefinicepodprostouuzavřenostnaodčítání.tedy b c=b d+d c U W. 8

9 ii iiijezřejmé. iii i.protože b c U W,máme b c=u+w,kdeu U,w W.Bod b u=c+wležív BivC. Proprakticképočítáníjeužitečnápodmínkaiiispoluspozorováním,že b c U Wprávětehdy, kdyždim b c U W=dimU W. Mějmedvěmimoběžnépřímky p, qvafinnímprostorudimenze3.přímku r=c+ w,kteráprotíná oběpřímky,nazývámepříčkoumimoběžek paqvesměruw. Tvrzení Nechť p=a+uaq = b+vjsoumimoběžnépřímkyvafinnímprostoru AV dimenze3aw V nenulovývektor.pakpříčkamimoběžek paqvesměru w existujeprávětehdy, kdyžw u v.vtomtopřípadějeurčenajednoznačně. Důkaz.Uvažujmerovinu ρ=a+ u,w.pokud rjepříčka paqsesměremw,pak rležívrovině ρa protíná q.protože b ρtoplyneztoho,že paqjsoumimoběžné,musínutněw u v jinak byse qa ρneprotly.vtomtopřípadějeprůnikem ρaqjedinýbod dprotože u v w ={o}. Tedypříčka rjeurčenajednoznačně: r=d+ w. Přímky paqjsoumimoběžné,pokudnejsourovnoběžnétonastaneprávětehdy,kdyždim u,v =2 anejsourůznoběžnétonastaneprávětehdy,kdyždim b a,u,v >dim u,v.dohromady, paq jsoumimoběžné,právěkdyždim b a,u,v =3. Podmínkaw u v jesplněna,právěkdyždim w,u,v =dim u,v. Příklad.Vafinnímprostoru R 3 naleznětepříčkumimoběžek p=a+ u =1,2, 1+ 1, 1,1, q= b+ v =0,9, 2+ 1,0,0 vesměruw=1,2,0. Řešení.Určímenejprvedim b a,u,v tedydim w,u,v =3ap,qjsouskutečněmimoběžné.Podobněověříme,žedim w,u,v =3,tedy příčka ve směru w existuje. Spočítáme průsečík d přímky q s rovinou ρ=a+ u,w =1,2, 1+ 1, 1,1,1,2,0. Prvnízpůsob:Bod dležínapřímce q,tedy d=0,9, 2+α1,0,0,avrovině ρ,tedy d=1,2, 1+ β1, 1,1+γ1,2,0.Rozepsánímdosložekzískámesoustavutřírovnicotřechneznámých.Vyjde α=3.takže d=3,9, 2., 9

10 Druhý způsob: Spočítáme rovnicové vyjádření roviny ρ: Řešením této soustavy je 2, 1, 3.Dopočtením pravé strany získáme vyjádření ρ: 2x+y+3z= 3. Průsečík d=x, y, zmusíležetnapřímce q,tedyx, y, z=α,9, 2,avrovině ρ,tedymusíplatit 2α+9+3 2= 3.Takže α=3, d=3,9, 2. Hledanápříčkaje3,9, 2+ 1,2,0. Tvrzení10.11.Nechť p=a+uaq= b+vjsoumimoběžnépřímkyvafinnímprostoru AVdimenze 3ac Alibovolnýbodneležícína pani q.pakpříčkamimoběžek paqprocházejícíbodem cexistuje právětehdy,když c a, c b u v.vtomtopřípadějeurčenajednoznačně. Důkaz.Uvažujmerovinu ρ=a+ u, c a.pokud rjepříčka paqprocházejícíbodem c,pak rležív rovině ρ a protíná q. Tedy p a ρ nemohou být rovnoběžné. Zřejmě p a ρ jsou rovnoběžné, právě když c a u,v.symetrickouúvahourovinu ρvedemepřímkou qabodem czjistíme,že c b u,v. Vpřípadě,že c=a, c b u,v jeprůnikem ρaqjedinýbod d.příčka rexistujeajeurčena jednoznačně: r=d+ c d.detailypřenechámečtenáři. Příklad.Vafinnímprostoru R 3 naleznětepříčkumimoběžek p=a+ u =3,3,3+ 2,2,1, q= b+ v =0,5, 1+ 1,1,1 procházejícíbodem c=4,5,3. Řešení.Snadnoověříme,žedim b a,u,v =dim c a,u,v =dim c b,u,v =3,tedypřímkyjsou skutečně mimoběžné a příčka procházející bodem c existuje. Najdeme průsečík d přímky q s rovinou procházející přímkou p a bodem c: ρ=a+ u, c a =4,5,3+ 1,2,0,2,2,1. Vyjde d=0, 5,1.Hledanápříčkaje d+ c d =0, 5,1+ 4,0,4 =0, 5,1+ 1,0,1. 10

11 Vzdálenost a úhel v euklidovských prostorech Nechť EV je euklidovský prostoru dimenze n. Vzdáleností bodů a, b rozumíme velikost jejich rozdílu: da, b:= a b = a ba b. Nechť Ba Cjsoupodprostory EV.Vzdálenostípodprostorů B, B rozumímenejmenšímožnou vzdálenost b Bod c C: db, C:=min{db, c b B, c C}. Úhlemvektorůu,v V rozumímečíslo u,v 0, π 2,proněž cos u,v= uv u v. Úhlempodprostorů BU, CWrozumímenejmenšímožnýúhel αvektorůu U,w W: B, C:=min{ u,w u U,v W }. Minima v definici vzdálenosti a úhlu dvou podprostorů se skutečně nabývánebudeme dokazovat. Výraz vpravo v definici úhlu dvou vektorů je v intervalu 0, 1 Cauchyova nerovnost. Definice tedy dávají smysl. Všimněme si, že úhel dvou vektorů je stejný jako úhel jejich libovolných nenulových násobků. Nyní se naučíme počítat vzdálenost dvou rovnoběžných podprostorů a vzdálenost dvou mimoběžek. Tvrzení Mějme dva podprostory BU a CW euklidovskéhoprostoru EV, U W a libovolnýbod b B.Pakpodprostor b+w protínápodprostor Cvjedinémbodě cadb, C=db, c. Důkaz.Podprostory b+w a C= c+w zde c Cjelibovolnýbodnejsoumimoběžné,protože nejsourovnoběžnéw W = {o}ab c W W W W = Vpoužilijsmekritériumna mimoběžnost.průnikemjetedyprostor c+w W =c+{o}.zbýváukázat,ževzdálenost db, c jenejmenšímožná.vezmemelibovolnédvabody e B, f C adokážeme de, f db, c.bod g= f+b eležívcw,protože b e Ua U W.Protože g b=f e,platí de, f=db, g. Vektor c bjekolmýna c g,protože c b W a c g W.PodlePythagorovyvětymáme d 2 b, g=d 2 b, c+d 2 c, g,takže de, f=db, g db, c. Příklad.Spočítejtevzdálenostpřímky p=x+uaroviny ρ=y+ Wv ER 4 : p=6,0,1,0+ 1,3, 1,2, ρ= 2,4,5,3+ 1,2,3,1,2,5,2,3. Řešení.Snadnoověříme,žedimU=1,dimW=2,dimU W=2,takže paρjsouskutečně rovnoběžné.spočítáme W

12 Takže W = 11,4,1,0,1, 1,0,1. Řešenímsoustavyrovniczjistíme,žex+W ρ=c= 3,2,2,2.Vzdálenost pod ρje dp, ρ= dx, c= = 90=3 10. Tvrzení10.13.Mějmedvěmimoběžnépřímky p=b+u, q= c+wveuklidovskémprostoru EV dimenze3.pakexistujeprávějednapříčkamimoběžekvesměru u,w.označíme-li e, fjejíprůsečíky s paq,pak dp, q=de, f. Důkaz.Exsitenciprávějednépříčkamimoběžekvesměru v = u,w námzaručujetvrzení10.10 vektoryu,w,vtvoříbázi.uvažujmerovinu ρ=c+ uw.protožepřímka pjerovnoběžnásrovinou ρae+ u,w ρ = f,zpřechotíhotvrzenívíme,že de, f = dp, ρ.protože q ρ,máme de, f dp, q.opačnánerovnost de, f dp, qjezřejmá. Příklad.Spočtětevzdálenostmimoběžek p=b+u, q= c+wvprostoru ER 3 : p=1, 8,11+ 2,3, 6, q=8,3,13+ 6, 1,12. Řešení.Snadnoověříme,ževektory b c,u,w tvoříbázi R 3,takžepřímky paqjsouskutečně mimoběžné.určíme v = u,w : , takženapř.v=3, 6, 2.Nyníurčímeprůsečík fpříčkymimoběžek paqvesměru v spřímkou q spočítáme f=a+ u,v q.vyjde f=2,4,1.příčkavesměru v jetedy r=2,4,1+ 3,6, 2. Spočteme e=r p.vyjde e=5, 2, 1.Vzdálenost paqje de, f= =7. Nyní se naučíme počítat úhly dvou podprostorů v některých speciálních případech. Tvrzení Mějme euklidovský prostor EV. Pak i Úhel dvou přímek je roven úhlu jejich směrových vektorů. ii Úhel dvou nadrovin je roven úhlu jejich normálových vektorů iii Úhel přímky a nadroviny je roven doplňku úhlu směrového vektoru přímky a normálového vektoru nadrovinydo π 2. Důkaz. Viz cvičení. Trojpoměr, geometrická charakterizace afinních a izometrických zobrazení Definice Mějme tři různé body a, b, c v afinním prostoru A ležící na jedné přímce. Dělícím poměremnebotrojpoměrembodu cvzhledemkbodům a, brozumímeprvek λ T,prokterý c a=λc bzřejměexistuje,protožebodyležínajednépřímce.značíme λ=c; a, b. Pokudc; a, b= 1aTmácharakteristikurůznouodnuly,říkáme,že cjestředemúsečkya, b. Platí c=a+ 1 2 b a=b+1 2 a b. 12

13 Dělicípoměrtedyudává,kolikrátjevětšívektorc aoprotivektoruc b.znaménkoudává,zda jsou vektory c a a c b souhlasněznaménko +, nebo nesouhlasně orientoványznaménko-. Některé jednoduché vlastnosti dělicího poměru, viz cvičení. Následující pěkná věta charakterizuje afinní zobrazení ryze geometricky afinní zobrazení jsou přesně ta, která zachovávají trojpoměr: Věta10.16.Nechť AVaA V jsouafinníprostorynadtělesemcharakteristikyrůznéod2, F : A A zobrazení.jeekvivalentní: i Fjeafinnízobrazení ii F zachovávátrojpoměr:prolibovolnétřibody a, b, c Aležícínajednépřímcejebuď Fa= Fb=Fc,neboFa; Fb, Fc=a; b, c Důkaz.i 2.Vizcvičení. ii i.zvolímelibovolnýbod a A.Hledámehomomorfismus f: V V,kterývytváří F,tedy chceme, aby pro libovolné b A platilo Fb=Fa+fb a Položíme proto fu:= Fa+u Fa. Musímeověřit,že f jehomomorfismus ověřitžeprolibovolné t T avektoryu,v V platí ftu=tfuafu+v=fu+fv.nebolichcemedokázat,že Fa+tu Fa=t Fa+u Fa 1 a Fa+u+v Fa=Fa+u Fa+Fa+v Fa 2 Nejprveprvnívztah.Pokud t=0nebou=o,pakvztahzřejměplatí.vopačnémpřípadějsou a, a+uaa+tutřirůznébodyležícínajednépřímceaplatía; a+tu, a+u=t.podlepředpokladu buď Fa+tu=Fa+u=Faavztah1platí,neboFa; Fa+tu, Fa+u=t,cožjepřesně dokazovaný vztah. Druhý vztah můžeme upravit do ekvivalentní formy Fa+u+v Fa+u=Fa+v Fa 3 Je-liu=onebov=o,vztah3platí.Předpokládejmetedy,žeu,v o.označíme bstředúsečky a, a+u+v.snadnoověříme,že bjezároveňstředemúsečkya+u, a+v.rozlišímečtyřipřípady 1. Fb=Fa=Fa+u+v=Fa+u=Fa+v.Vtomtopřípadězřejmě3platí. 2. Fb=Fa=Fa+u+v,Fb; Fa+u, Fa+v= 1.Vtomtopřípadě Fb Fa+u= Fa+v Fb.Levástranajerovna Fb Fa+u,pravástranajerovna Fa+v Fb= Fb Fa+u. 13

14 3. Fb; Fa, Fa+u+v= 1, Fb=Fa+u=Fa+v.Vtomtopřípadě Fb Fa= Fa+u+v Fb.Levástranajerovna Fa+u+v Fb=Fb Fa.Pravástrana rovněž. 4. Fb; Fa, Fa+u+v= 1,Fb; Fa+u, Fa+v= 1.Vtomtopřípadě Fb= Fa+ 1 2 Fa+u+v Fa=Fa+u+1 2 Fa+v Fa+u.Tedy2Fa+u Fa= Fa+u+v Fa+Fa+u Fa+v.Poúpravěvyjde3. Izometrie lze charakterizovat jako zobrazení, která zachovávají vzdálenosti. Věta10.17.Nechť EVaE V jsoueuklidovsképrostory, F: E E zobrazení.jeekvivalentní: i Fjeizometrie ii F zachovávávzdálenosti:pro libovolnédva body a, b A platí dfa, Fb = da, b, kde vzdálenostvlevojevprostoru E V ;vzdálenostvpravojevprostoru EV. Důkaz.i ii.je-li F izometrievytvořenáhomomorfismeme f,pak f jedledefiniceunitární zobrazení, tj. homomorfismus, který zachovává skalární součin. Potom ale f zachovává normy vektorů, takže F zachovává vzálenosti. ii i.návodkdůkazu: 1. Nejprve pomocí trojúhelníkové nerovnosti odvoďte, že obrazem třech různých bodů na jedné přímce je trojice různých bodů ležících na jedné přímce, a že F zachovává trojpoměr. 2. Zpředchozívětyplyne,že F jeafinnízobrazení,tedy Fa+u=Fa+fu.Odvoďte,že f zachovává normy vektorů. 3. Libovolný homomorfismus, který zachovává normy vektorů, je unitární. 14

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Afinní transformace Stručnější verze

Afinní transformace Stručnější verze [1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18

6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

Projektivní prostor a projektivní zobrazení

Projektivní prostor a projektivní zobrazení Kapitola 4 Projektivní prostor a projektivní zobrazení 4.1 Projektivní rozšíření eukleidovského prostoru Vlastnost býti incidentní v eukleidovském prostoru E 3 vykazuje nedostatek symetrie zatímco např.

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta. Pavel Horák Josef Janyška ANALYTICKÁ GEOMETRIE. Brno 2009

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta. Pavel Horák Josef Janyška ANALYTICKÁ GEOMETRIE. Brno 2009 Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta 1 Pavel Horák Josef Janyška ANALYTICKÁ GEOMETRIE Brno 2009 2 Předmluva Tento učební text pokrývá látku semestrálního kurzu "M3521 Geometrie 2", který je zařazen

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Geometrické transformace pomocí matic

Geometrické transformace pomocí matic Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky 8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)

Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1) 14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt

Více