10. Afinní a euklidovský prostor

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "10. Afinní a euklidovský prostor"

Transkript

1 10. Afinní a euklidovský prostor Definice Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která boduavektorupřiřadíbod:+:a V A,splňujícínásledujícíaxiomy: i a+o=aprolibovolnýbod a A ii a+v+w=a+v+wprolibovolnýbod a Aavektoryv,w V iiikekaždédvojicibodů a, b Aexistujeprávějedenvektorv V,prokterý a+v=b.tento vektorznačíme b a. Euklidovským prostorem EV rozumíme afinní prostor spolu se skalárním součinem na V neboli euklidovský prostor je afinní prostor nad unitárním prostorem. Dimenzí afinního nebo euklidovského prostoru rozumíme dimenzi příslušného vektorového prostoru. a + v 1 + v 2 = a + v 1 + v 2 d v 1 + v 2 v 1 v 2 a + v 1 d c a = a + o c Obrázek 1: Afinní prostor. Axiomiiříká,ževevýrazechtypu a+v 1 +v nemusímepsátzávorky.zaxiomůiaiii vidíme,že a a=o.zaxiomuiiivyplývá,že a+b a=bprolibovolnédvabody a, b. Základnímpříklademafinníhoprostorujeprostor AT n.bodyivektoryjsouuspořádané n-ticeprvků T. Operace sčítání bodu a vektoru je definována jako obvyklé sčítání n-tic. Vezmeme-li navíc na vektorovémprostoru T n běžný skalárnísoučin,mámezákladnípříkladeuklidovskéhoprostoru prostor ET n. Z kapitoly o homomorfismech vektorových prostorů víme, že každý vektorový prostor dimenze n je izomorfníaritmetickémuprostoru T n.trochuvágněřečeno,jedinývektorovýprostordimenze nje, ažnaizomorfismustj.přeznačníprvků, T n.prostoryzpředchozíhoodstavcemajípodobnouroliv afinnícheuklidovských prostorech: Uvidíme, že jediný afinníresp. euklidovský prostor dimenze n je,ažnaafinníresp.izometrickýizomorfismus,prostor AT n resp. ET n. Vlibovolnémafinnímprostoruplatínásledujícívztahy,kterájsouvafinnímprostoru AT n zřejmé. Pozorování10.2.Nechť AVjeafinníprostor, a, b, c, d Abody,u,v V vektory.pak ia+u b+v=a b+u v, iia b+c d=a d+c b, iiia b+b c=a c. 1

2 Důkaz. Pozorování lze snadno dokázat přímo z definiceviz cvičení, nebo lze výpočet převést na výpočetvat n kdejsoutvrzenízřejmávyužitímnějakésoustavysouřadnicvizníže. Podprostory Definice Nechť AV je afinníresp. euklidovský prostor. Říkáme, že BW je podprostorem AV,pokud B A, W V, W jevektorovýmpodprostorem V, Bjeuzavřenánasčítání boduavektoruzw arozdíllibovolnýchdvoubodůzb jevektorve W.Jinýmislovy, BWje podprostor AV, pokud tvoří se zúženými operacemi prostoru AV afinníeuklidovský prostor. Je-li b Blibovolnýbod,pak B= b+w= {b+w w W }. Naopak,prolibovolnýbod b Aapodprostor W V je BW,kde B= b+w,podprostorem AV. Důkaz. Dokážeme nejprve druhé tvrzení. Musíme ukázat, že 1. součetbodu b+w 1 b+w avektoruw 2 jebodvb+w.toplatí,protožeb+w 1 +w 2 = b+w 1 +w 2 axiomi. 2. rozdíldvoubodů b+w 1, b+w 2 b+wjevektorve W.Toplatí,protožeb+w 1 b+w 2 = b b+w 1 w 2 =o+w 1 w 2 =w 1 w 2 V podlepozorování,bodii,poznámceza definicí afinního prostoru a axiomui. Prvnítvrzení:SoučetboduzBavektoruzWjebodzB,tedy b+w B.Je-li a Blibovolnýbod, pak a b Wpodledefinice.Pakale a=b+a b b+wpodlepoznámkyzadefinicíafinního prostoru.čili B b+w. Chápeme-li T n jakovektorovýprostor,pakpodprostoryjsou rovnéútvary přímky,roviny,... procházejícípočátkem.podprostoryafinníhoprostoru AT n jsou rovnéútvary,kterépočátkem procházet nemusí. Afinní prostor dimenze 0 je bod. Afinnímu prostoru dimenze 1 říkáme přímka, afinnímu prostoru dimenze 2 říkáme rovina. Podprostoru dimenze n 1 v afinním prostoru dimenze n říkáme nadrovina. Při zadání afinního podprostoru většinou uvádíme pouze množinu B a říkáme, že B je podprostor AV. Příklad.Množina B=1,2,3+ 4,5,6 ={1,2,3+t 4,5,6 t R}={1+4t,2+5t,3+6t t R}jepodprostorafinníhoprostoru R 3.Jetopřímka,protožedimW=dim 4,5,6 =1. Množina B =1,2,3+ 4,5,6,7,8,9 jerovinaazároveňnadrovinavr 3,protožedimW= dim 4,5,6,7,8,9 =2. 2

3 Soustavy souřadnic, jejich transformace Soustavousouřadnicvafinnímprostoru AVrozumímemnožinu S= {a,m 1,m 2,...,m n },kde a AaM= {m 1,...,m n }jebáze V. Kartézkou soustavou souřadnic v euklidovském prostoru EV rozumíme soustavu souřadnic S= {a,m 1,m 2,...,m n },kde M= {m 1,...,m n }jeortonormálníbáze V. Bod asenazývápočáteksoustavysouřadnic.přímky a+ u i senazývajísouřadnicovéosy. Souřadnicebodu b Aresp. Evsoustavěsouřadnic Sdefinujemejakovyjádřenívektoru b av bázi M,tedyvztahem {b} S = {b a} M. Souřadnicevektoruv V vsoustavěsouřadnic Sdefinujemejakovyjádřenívektoruvvbázi M, tedy vztahem {v} S = {v} M. Zvolitsoustavusouřadnictedyznamenáurčitpočátek bod a,avektorym i,kterétvoříbázi.kartézká soustavasoustavasouřadnicjetaková,ževektorym i majívelikost1ajsounavzájemkolmé. osa a + m 2 b a b {b} S = 1.5,2 m 2 a m 1 osa a + m 1 Obrázek2:Soustavasouřadnic S= {a,m 1,m 2 }var 2.Bod bajehosouřadnice. Uvektorovýchprostorůvíme,že {v 1 +v 2 } M = {v 1 } M + {v 2 } M a {t v 1 } M = t {v 1 } M prolibovolnou bázi M,vektoryv 1,v 2 V a t T.Operaceve V tedy můžemeprovádětvat n přejdeme-liod vektorůkjejichvyjádřenívbázi M.Podobnásituacejeuafinníchprostorů všechnyoperacevafinním prostoru můžemeprovádětvat n přejdeme-liodvektorůabodůkjejichvyjádřenívzhledemk soustavě souřadnic S: Tvrzení10.4.Mějmeafinníprostor AVajehosoustavusouřadnic S.Prolibovolnévektoryv 1,v 2 V,body b, c Aaprvek t Tplatí: {v 1 +v 2 } S = {v 1 } S +{v 2 } S, {t v 1 } S = t {v 1 } S, {b+v 1 } S = {b} S +{v 1 } S, {b c} S = {b} S {c} S. Je-li EVeuklidovskýprostoraSkartézkásoustavasouřadnic,pakprolibovolnévektoryv 1,v 2 V platí v 1 v 2 = {v 1 } S {v 2 } S. 3

4 Důkaz. Snadné. Z prvního semestru víme, jak se mění souřadnice vektorů při přechodu od báze k bázi. Nyní spočítáme, jak se mění souřadnice bodů při přechodu od soustavy souřadnic k jiné soustavě. Tvrzení Mějme dvě soustavy souřadnic S = {a,m 1,...,m n } a S = {a,m 1,...,m n} v afinnímprostoru AVdimenze n.označme P maticipřechoduodbáze M = {m 1,...,m n }kbázi M = {m 1,...,m n}tedy P= {id} M M.Pakprolibovolnýbod b Aavektorv V platí {b} S = {a } S + {b} S P T, {v} S = {v } S P T. Důkaz. {b} S = {b a} M = {b a +a a} M = {a a} M + {b a } M = = {a } S + {b a } M P T = {a } S + {b} S P T. Příklad.Vafinnímprostoru R 2 mámedánysoustavysouřadnic S= {a,m 1,m 2 }={1,1,1,2, 2,3}, S = {a,m 1,m 2}={ 4,5,5,3, 7,14}. Napištevzorečkynavýpočetvyjádřeníbodu b R 2 resp.vektoruvvsoustavěsouřadnic Smáme-li danévyjádřenívsoustavěsouřadnic S Řešení. Najdeme nejprve matici přechodu P od M = {1,2, 2,3} k M = {5,3, 7,14} metodou z kapitoly o homomorfismech: Tedy P= Spočítámeještě {a } S = {a a} M = { 5,4} M : tedy {a } S = 1, Mějmebod b R 2,jehožvyjádřenívS je {b} S =x, y.pakvyjádření bvs spočtemepodle přechozího tvrzení {b} S =x, y= 1,2+x, y P T = 1,2+x, y 3 1, 1 4 takže x= 1+3x + y, y=2 x +4y. Máme-livektorv R 2 jehožvyjádřenívs je {v} S =x, y,pak {v} S =x, yspočteme x=3x + y, y= x +4y., 4

5 Afinní zobrazení, izometrie Definice10.6.Nechť AV, A V jsouafinníprostory, a A, a A body, f: V V homomorfismus.zobrazení F: A A definovanépředpisem Fa+v=a + fv nazýváme afinní zobrazení vytvořené homomorfismem f. Je-li f monomorfismus, nazývá se F regulární afinní zobrazení. Je-li f izomorfismus, nazývá se F afinní izomorfismus. Nechť EV, E V jsoueuklidovsképrostory.afinnízobrazení F: E E vytvořenéhomomorfismem f: V V senazýváizometrie,pokud fjeunitárnízobrazenízachováváskalárnísoučin. Pokud f je navíc izomorfismus, nazývá se F izometrický izomorfismus. a + v F v a = Fa fv Fa + v = a + fv a Obrázek3:AfinnízobrazenízR 2 do R 2. Afinnízobrazeníjetedyurčenoobrazemjednohoboduvdefinicibylourčeno Fa=a aobrazy vektorů.navolběbodu anezáleží:je-li Fa+v=a + fv,paktaké Fb+v=Fb+fvpro libovolnýbod b A,jaklzesnadnoověřit. Mějmeafinníprostory AU, BV, CW.Jsou-li F: A B, G:B Cafinnízobrazenívytvořená homomorfismy f : U V, g : V W,paksloženézobrazení GF : A C jeafinnízobrazení vytvořené homomorfismem f: U W. Je-li F afinní izomorfismus, pak existuje inverzní zobrazení F 1 : B Aatoto Fjeafinnízobrazenívytvořenéhomomrfismem f 1 : V U.Ověřenítěchtofaktů a formulaci podobných tvrzení pro euklidovské prostory přenecháme čtenáři. Všimněme si rovněž, že každá izometrie je regulární afinní zobrazeníprotože unitární zobrazení je prosté. Nyní dokážeme poznámku z první části: Jediný afinníresp. euklidovský prostor dimenze n je, až na afinníresp.izometrickýizomorfismus,prostor AT n resp. ET n. Věta Každý afinní prostor AV dimenze n je afinně izomorfní aritmetickému afinnímu prostoru AT n.každýeuklidovskýprostor EVdimenze njeizometrickyizomorfníaritmetickémueuklidovskémuprostoru ET n. Důkaz.Zvolímelibovolnousoustavusouřadnic Svprostoru AV.Zobrazení Fb={b} S jeafinní izomorfismusprostorů AVaAT n,protožeprolibovolné bje Fb+v={b+v} S = {b} S + {v} S, 5

6 tedy F jeafinnízobrazenívytvořenéizomorfismem f: V AT n, fv={v} M.Proeuklidovský prostor zvolíme kartézkou soustavu souřadnic a zobrazení F definujeme stejně. Parametrickéarovnicovévyjádřenípodprostorů AT n Každýpodprostor Bafinníhoprostoru AT n můžemevyjádřitvetvaru B= a+v,kde ajenějaký bodzba V jepodprostor T n.zvolíme-linějakoubázi M= {m 1,...,m k }prostoru V,máme B= a+ m 1,...,m k. Tomuto vyjádření se říká parametrické vyjádření podprostoru B. Připomeňme, že každý bod b B můžeme vyjádřit jako b=a+t 1 m t k m k, t i T. Vektort 1,...,t k jeurčenjednoznačněprotože Mjebáze,jetovlastněvyjádřeníbodu bvsoustavě souřadnica,m 1,...,m k. Zpodprostory AT n jsmesejižsetkalipřiřešenísoustavyrovnic.uvažujmesoustavu krovnicon neznámých Ax T = b,kde ha=k=ha b,tj.žádnázrovnicnení nadbytečná asoustavamá řešení.množinavšechřešeníje v p +KerA,kde v p T n jelibovolnéřešenísoustavy,dimkera= n k.takžemnožinavšechřešeníjepodprostor AT n dimenze n k.protosoustavě Ax T = b říkámerovnicovévyjádřenípodprostoru v p +KerA. Přechod od rovnicového vyjádření k parametrickému je zřejmý: Příklad.Určeteparametrickypodprostor B R 5 danýrovnicemi x 1 +2x 2 x 3 + x 5 = 1 2x 1 +4x 2 + x 4 x 5 = 4 Řešení. Máme vlastně pouze vyřešit danou soustavu rovnic. Gaussovou eliminací vypočteme Tedy B můžeme vyjádřit parametricky např. taktopři počítání báze řešení homogenní soustavy volíme parametryna2.,4.a5.místě,volímepostupně0,0,2,0,2,0,1,0,0,abyřešenívyšlo hezky B=2,0,1,0,0+ 1,0,5,0,2, 1,0, 1,2,0, 2,1,0,0,0. Mějmenynínaopakparametrickévyjádření B= a+v = a+ m 1,...,m k achcemepodprostor B vyjádřitrovnicově.tedyhledámesoustavu n krovniconneznámých Ax T = b T,jejímžřešenímje právěmnožina B.Jinýmislovychceme,abyKerA=V aabypartikulárnímřešenímbylbod a.to jsmesenaučilivkapitoleolineárníchformáchaduálech.napíšemevektorym 1...m k dořádkůmatice 6

7 Cadořádkůmatice AnapíšemenějakoubáziKerC.PakmámeKerA=V.Vektorpravýchstran určíme,abysoustavuřešilbod a zvolíme b=aa T. Příklad.Najdětenějakérovnicovévyjádřenípodprostoru B R 5 danéhoparametricky B=2,0,1,0,0+ 1,0,5,0,2, 1,0, 1,2,0, 2,1,0,0,0. Řešení. Postupujeme podle návodu nad příkladem. Vyřešíme hommogenní soustavu rovnic s maticí C: C= KerC= 1, 2, 1,0,2,5,10, 1,2,0 Rovnicové vyjádření B bude x 1 2x 2 x 3 +2x 5 = b 1 5x 1 +10x 2 x 3 +2x 4 = b 2 Pravoustranuurčíme,abyzadanésoustavěvyhovovalbod2,0,1,0,0,tedy b 1 = 3, b 2 =9.Rovnicové vyjádření B je tedy například: x 1 2x 2 x 3 +2x 5 = 3 5x 1 +10x 2 x 3 +2x 4 =9 Všimněmesiještěgeometrickéhovýznamuřádkůvrovnicovémvyjádření Ax T = b T podprostoru a+v euklidovskéhoprostoru ER n.veuklidovskémprostoru ER n jekerarovnoortogonálnímudoplňku lineárního obalu řádků matice A. Tedy v řádcích matice A máme bázi ortogonálního doplňku prostoru V.Jinýmislovy,lineárníobalřádkůmatice Ajepřesněmnožinavektorůkolmýchna V.Tomuto prostoru se proto také říká normálový prostor, libovolnému nenulovému prvku tohoto prostoru říkámenormálovývektor.vpřípadě,že a+v jenadrovina,tj.dimv=n 1,paknormálový prostor má dimenzi 1, tedy normálový vektor je určen jednoznačně až na násobek. Příklad.2x 1 3x 2 +4x 3 =2jerovnicovýpopisroviny1,0,0+ 2,0,1,3,2,0 vr 3.Vektor 2, 3,4jenormálovývektor.Normálovýprostorje 2, 3,4. 7

8 Vzájemná poloha podprostorů v afinním prostoru Definiceatvrzení10.8.Nechť BUaCWjsoupodprostoryafinníhoprostoru AV.Říkáme, že BUaCWjsou rovnoběžné,pokud U Wnebo W U; různoběžné, pokud mají alespoň jeden společný bod a nejsou rovnoběžné; mimoběžné, pokud nemají společný bod a nejsou rovnoběžné. Pokud B C,pak B C= d+u W, kde d B Cjelibovolnýbod. Průniku B Cněkdyříkámeprůsečík Ba C,jetonejvětšíafinnípodprostor AV,kterýjeobsažen v obou podprostorech. Důkaz tvrzení, viz cvičení. Proověřenírovnoběžnostidvoupodprostorůsivšimněme,ževztah W W platíprávětehdy,když dimw W =dimw.podobně W Wprávětehdy,kdyždimW W =dimw. Příklad.Určete,zdajsoupodprostory B= b+w, B = b + W Z 4 5 rovnoběžné: B=1,2,3+ 1,0,4, B =3,0,1+ 1,4,3,2,4,2 Řešení.ZřejmědimW=1.UrčímedimW : UrčímedimW W Jetedy W W,podprostory Ba B jsourovnoběžné , dimw =2, dimw W =2. Následuje kriterium na rozlišení různoběžných a mimoběžných podprostorů: Tvrzení Nechť BU a CW jsou nerovnoběžné podprostory afinního prostoru AV. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: i Podprostory B a C jsou různoběžné; iiprokaždé b B, c Cje b c U W; iiiexistují b B, c Cje b c U W. Důkaz.i ii.vezmemelibovolnýbod d B C.Vektor b dležívu,vektor d cležívw podledefinicepodprostouuzavřenostnaodčítání.tedy b c=b d+d c U W. 8

9 ii iiijezřejmé. iii i.protože b c U W,máme b c=u+w,kdeu U,w W.Bod b u=c+wležív BivC. Proprakticképočítáníjeužitečnápodmínkaiiispoluspozorováním,že b c U Wprávětehdy, kdyždim b c U W=dimU W. Mějmedvěmimoběžnépřímky p, qvafinnímprostorudimenze3.přímku r=c+ w,kteráprotíná oběpřímky,nazývámepříčkoumimoběžek paqvesměruw. Tvrzení Nechť p=a+uaq = b+vjsoumimoběžnépřímkyvafinnímprostoru AV dimenze3aw V nenulovývektor.pakpříčkamimoběžek paqvesměru w existujeprávětehdy, kdyžw u v.vtomtopřípadějeurčenajednoznačně. Důkaz.Uvažujmerovinu ρ=a+ u,w.pokud rjepříčka paqsesměremw,pak rležívrovině ρa protíná q.protože b ρtoplyneztoho,že paqjsoumimoběžné,musínutněw u v jinak byse qa ρneprotly.vtomtopřípadějeprůnikem ρaqjedinýbod dprotože u v w ={o}. Tedypříčka rjeurčenajednoznačně: r=d+ w. Přímky paqjsoumimoběžné,pokudnejsourovnoběžnétonastaneprávětehdy,kdyždim u,v =2 anejsourůznoběžnétonastaneprávětehdy,kdyždim b a,u,v >dim u,v.dohromady, paq jsoumimoběžné,právěkdyždim b a,u,v =3. Podmínkaw u v jesplněna,právěkdyždim w,u,v =dim u,v. Příklad.Vafinnímprostoru R 3 naleznětepříčkumimoběžek p=a+ u =1,2, 1+ 1, 1,1, q= b+ v =0,9, 2+ 1,0,0 vesměruw=1,2,0. Řešení.Určímenejprvedim b a,u,v tedydim w,u,v =3ap,qjsouskutečněmimoběžné.Podobněověříme,žedim w,u,v =3,tedy příčka ve směru w existuje. Spočítáme průsečík d přímky q s rovinou ρ=a+ u,w =1,2, 1+ 1, 1,1,1,2,0. Prvnízpůsob:Bod dležínapřímce q,tedy d=0,9, 2+α1,0,0,avrovině ρ,tedy d=1,2, 1+ β1, 1,1+γ1,2,0.Rozepsánímdosložekzískámesoustavutřírovnicotřechneznámých.Vyjde α=3.takže d=3,9, 2., 9

10 Druhý způsob: Spočítáme rovnicové vyjádření roviny ρ: Řešením této soustavy je 2, 1, 3.Dopočtením pravé strany získáme vyjádření ρ: 2x+y+3z= 3. Průsečík d=x, y, zmusíležetnapřímce q,tedyx, y, z=α,9, 2,avrovině ρ,tedymusíplatit 2α+9+3 2= 3.Takže α=3, d=3,9, 2. Hledanápříčkaje3,9, 2+ 1,2,0. Tvrzení10.11.Nechť p=a+uaq= b+vjsoumimoběžnépřímkyvafinnímprostoru AVdimenze 3ac Alibovolnýbodneležícína pani q.pakpříčkamimoběžek paqprocházejícíbodem cexistuje právětehdy,když c a, c b u v.vtomtopřípadějeurčenajednoznačně. Důkaz.Uvažujmerovinu ρ=a+ u, c a.pokud rjepříčka paqprocházejícíbodem c,pak rležív rovině ρ a protíná q. Tedy p a ρ nemohou být rovnoběžné. Zřejmě p a ρ jsou rovnoběžné, právě když c a u,v.symetrickouúvahourovinu ρvedemepřímkou qabodem czjistíme,že c b u,v. Vpřípadě,že c=a, c b u,v jeprůnikem ρaqjedinýbod d.příčka rexistujeajeurčena jednoznačně: r=d+ c d.detailypřenechámečtenáři. Příklad.Vafinnímprostoru R 3 naleznětepříčkumimoběžek p=a+ u =3,3,3+ 2,2,1, q= b+ v =0,5, 1+ 1,1,1 procházejícíbodem c=4,5,3. Řešení.Snadnoověříme,žedim b a,u,v =dim c a,u,v =dim c b,u,v =3,tedypřímkyjsou skutečně mimoběžné a příčka procházející bodem c existuje. Najdeme průsečík d přímky q s rovinou procházející přímkou p a bodem c: ρ=a+ u, c a =4,5,3+ 1,2,0,2,2,1. Vyjde d=0, 5,1.Hledanápříčkaje d+ c d =0, 5,1+ 4,0,4 =0, 5,1+ 1,0,1. 10

11 Vzdálenost a úhel v euklidovských prostorech Nechť EV je euklidovský prostoru dimenze n. Vzdáleností bodů a, b rozumíme velikost jejich rozdílu: da, b:= a b = a ba b. Nechť Ba Cjsoupodprostory EV.Vzdálenostípodprostorů B, B rozumímenejmenšímožnou vzdálenost b Bod c C: db, C:=min{db, c b B, c C}. Úhlemvektorůu,v V rozumímečíslo u,v 0, π 2,proněž cos u,v= uv u v. Úhlempodprostorů BU, CWrozumímenejmenšímožnýúhel αvektorůu U,w W: B, C:=min{ u,w u U,v W }. Minima v definici vzdálenosti a úhlu dvou podprostorů se skutečně nabývánebudeme dokazovat. Výraz vpravo v definici úhlu dvou vektorů je v intervalu 0, 1 Cauchyova nerovnost. Definice tedy dávají smysl. Všimněme si, že úhel dvou vektorů je stejný jako úhel jejich libovolných nenulových násobků. Nyní se naučíme počítat vzdálenost dvou rovnoběžných podprostorů a vzdálenost dvou mimoběžek. Tvrzení Mějme dva podprostory BU a CW euklidovskéhoprostoru EV, U W a libovolnýbod b B.Pakpodprostor b+w protínápodprostor Cvjedinémbodě cadb, C=db, c. Důkaz.Podprostory b+w a C= c+w zde c Cjelibovolnýbodnejsoumimoběžné,protože nejsourovnoběžnéw W = {o}ab c W W W W = Vpoužilijsmekritériumna mimoběžnost.průnikemjetedyprostor c+w W =c+{o}.zbýváukázat,ževzdálenost db, c jenejmenšímožná.vezmemelibovolnédvabody e B, f C adokážeme de, f db, c.bod g= f+b eležívcw,protože b e Ua U W.Protože g b=f e,platí de, f=db, g. Vektor c bjekolmýna c g,protože c b W a c g W.PodlePythagorovyvětymáme d 2 b, g=d 2 b, c+d 2 c, g,takže de, f=db, g db, c. Příklad.Spočítejtevzdálenostpřímky p=x+uaroviny ρ=y+ Wv ER 4 : p=6,0,1,0+ 1,3, 1,2, ρ= 2,4,5,3+ 1,2,3,1,2,5,2,3. Řešení.Snadnoověříme,žedimU=1,dimW=2,dimU W=2,takže paρjsouskutečně rovnoběžné.spočítáme W

12 Takže W = 11,4,1,0,1, 1,0,1. Řešenímsoustavyrovniczjistíme,žex+W ρ=c= 3,2,2,2.Vzdálenost pod ρje dp, ρ= dx, c= = 90=3 10. Tvrzení10.13.Mějmedvěmimoběžnépřímky p=b+u, q= c+wveuklidovskémprostoru EV dimenze3.pakexistujeprávějednapříčkamimoběžekvesměru u,w.označíme-li e, fjejíprůsečíky s paq,pak dp, q=de, f. Důkaz.Exsitenciprávějednépříčkamimoběžekvesměru v = u,w námzaručujetvrzení10.10 vektoryu,w,vtvoříbázi.uvažujmerovinu ρ=c+ uw.protožepřímka pjerovnoběžnásrovinou ρae+ u,w ρ = f,zpřechotíhotvrzenívíme,že de, f = dp, ρ.protože q ρ,máme de, f dp, q.opačnánerovnost de, f dp, qjezřejmá. Příklad.Spočtětevzdálenostmimoběžek p=b+u, q= c+wvprostoru ER 3 : p=1, 8,11+ 2,3, 6, q=8,3,13+ 6, 1,12. Řešení.Snadnoověříme,ževektory b c,u,w tvoříbázi R 3,takžepřímky paqjsouskutečně mimoběžné.určíme v = u,w : , takženapř.v=3, 6, 2.Nyníurčímeprůsečík fpříčkymimoběžek paqvesměru v spřímkou q spočítáme f=a+ u,v q.vyjde f=2,4,1.příčkavesměru v jetedy r=2,4,1+ 3,6, 2. Spočteme e=r p.vyjde e=5, 2, 1.Vzdálenost paqje de, f= =7. Nyní se naučíme počítat úhly dvou podprostorů v některých speciálních případech. Tvrzení Mějme euklidovský prostor EV. Pak i Úhel dvou přímek je roven úhlu jejich směrových vektorů. ii Úhel dvou nadrovin je roven úhlu jejich normálových vektorů iii Úhel přímky a nadroviny je roven doplňku úhlu směrového vektoru přímky a normálového vektoru nadrovinydo π 2. Důkaz. Viz cvičení. Trojpoměr, geometrická charakterizace afinních a izometrických zobrazení Definice Mějme tři různé body a, b, c v afinním prostoru A ležící na jedné přímce. Dělícím poměremnebotrojpoměrembodu cvzhledemkbodům a, brozumímeprvek λ T,prokterý c a=λc bzřejměexistuje,protožebodyležínajednépřímce.značíme λ=c; a, b. Pokudc; a, b= 1aTmácharakteristikurůznouodnuly,říkáme,že cjestředemúsečkya, b. Platí c=a+ 1 2 b a=b+1 2 a b. 12

13 Dělicípoměrtedyudává,kolikrátjevětšívektorc aoprotivektoruc b.znaménkoudává,zda jsou vektory c a a c b souhlasněznaménko +, nebo nesouhlasně orientoványznaménko-. Některé jednoduché vlastnosti dělicího poměru, viz cvičení. Následující pěkná věta charakterizuje afinní zobrazení ryze geometricky afinní zobrazení jsou přesně ta, která zachovávají trojpoměr: Věta10.16.Nechť AVaA V jsouafinníprostorynadtělesemcharakteristikyrůznéod2, F : A A zobrazení.jeekvivalentní: i Fjeafinnízobrazení ii F zachovávátrojpoměr:prolibovolnétřibody a, b, c Aležícínajednépřímcejebuď Fa= Fb=Fc,neboFa; Fb, Fc=a; b, c Důkaz.i 2.Vizcvičení. ii i.zvolímelibovolnýbod a A.Hledámehomomorfismus f: V V,kterývytváří F,tedy chceme, aby pro libovolné b A platilo Fb=Fa+fb a Položíme proto fu:= Fa+u Fa. Musímeověřit,že f jehomomorfismus ověřitžeprolibovolné t T avektoryu,v V platí ftu=tfuafu+v=fu+fv.nebolichcemedokázat,že Fa+tu Fa=t Fa+u Fa 1 a Fa+u+v Fa=Fa+u Fa+Fa+v Fa 2 Nejprveprvnívztah.Pokud t=0nebou=o,pakvztahzřejměplatí.vopačnémpřípadějsou a, a+uaa+tutřirůznébodyležícínajednépřímceaplatía; a+tu, a+u=t.podlepředpokladu buď Fa+tu=Fa+u=Faavztah1platí,neboFa; Fa+tu, Fa+u=t,cožjepřesně dokazovaný vztah. Druhý vztah můžeme upravit do ekvivalentní formy Fa+u+v Fa+u=Fa+v Fa 3 Je-liu=onebov=o,vztah3platí.Předpokládejmetedy,žeu,v o.označíme bstředúsečky a, a+u+v.snadnoověříme,že bjezároveňstředemúsečkya+u, a+v.rozlišímečtyřipřípady 1. Fb=Fa=Fa+u+v=Fa+u=Fa+v.Vtomtopřípadězřejmě3platí. 2. Fb=Fa=Fa+u+v,Fb; Fa+u, Fa+v= 1.Vtomtopřípadě Fb Fa+u= Fa+v Fb.Levástranajerovna Fb Fa+u,pravástranajerovna Fa+v Fb= Fb Fa+u. 13

14 3. Fb; Fa, Fa+u+v= 1, Fb=Fa+u=Fa+v.Vtomtopřípadě Fb Fa= Fa+u+v Fb.Levástranajerovna Fa+u+v Fb=Fb Fa.Pravástrana rovněž. 4. Fb; Fa, Fa+u+v= 1,Fb; Fa+u, Fa+v= 1.Vtomtopřípadě Fb= Fa+ 1 2 Fa+u+v Fa=Fa+u+1 2 Fa+v Fa+u.Tedy2Fa+u Fa= Fa+u+v Fa+Fa+u Fa+v.Poúpravěvyjde3. Izometrie lze charakterizovat jako zobrazení, která zachovávají vzdálenosti. Věta10.17.Nechť EVaE V jsoueuklidovsképrostory, F: E E zobrazení.jeekvivalentní: i Fjeizometrie ii F zachovávávzdálenosti:pro libovolnédva body a, b A platí dfa, Fb = da, b, kde vzdálenostvlevojevprostoru E V ;vzdálenostvpravojevprostoru EV. Důkaz.i ii.je-li F izometrievytvořenáhomomorfismeme f,pak f jedledefiniceunitární zobrazení, tj. homomorfismus, který zachovává skalární součin. Potom ale f zachovává normy vektorů, takže F zachovává vzálenosti. ii i.návodkdůkazu: 1. Nejprve pomocí trojúhelníkové nerovnosti odvoďte, že obrazem třech různých bodů na jedné přímce je trojice různých bodů ležících na jedné přímce, a že F zachovává trojpoměr. 2. Zpředchozívětyplyne,že F jeafinnízobrazení,tedy Fa+u=Fa+fu.Odvoďte,že f zachovává normy vektorů. 3. Libovolný homomorfismus, který zachovává normy vektorů, je unitární. 14

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické

Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické Slezská univerzita v Opavě Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava Tel. 553 684 661 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Téma 3. Afinní zobrazení Opakování Dělicí poměr; Homomorfismus vektorových prostorů,

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Reziduovaná zobrazení

Reziduovaná zobrazení Reziduovaná zobrazení Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 1. března 2015 Outline 1 Reziduované zobrazení 2 Izotónní/Antitónní zobrazení Definice Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Základy analytické geometrie. I

Základy analytické geometrie. I Základy analytické geometrie. I Prostory vnořené do Em In: Eduard Čech (author): Základy analytické geometrie. I. (Czech). Praha: Přírodovědecké vydavatelství, 1951. pp. 50 67. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402523

Více

Matematika pro ekonomy

Matematika pro ekonomy Matematika pro ekonomy Karel Hrach Matematika pro ekonomy VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU Praha 2007 Matematika pro ekonomy Karel hrach Copyright Vysoká škola ekonomie a managementu 2007. Vydání první.

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Analytická geometrie v prostoru

Analytická geometrie v prostoru Analytická geometrie v prostoru Jméno autora: Ivana Dvořáková Období vytvoření: prosinec 2012 Ročník: 4. ročník střední odborné školy Tematická oblast: Matematické vzdělávání Předmět: Matematika 4. ročník

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více