10. Afinní a euklidovský prostor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "10. Afinní a euklidovský prostor"

Transkript

1 10. Afinní a euklidovský prostor Definice Afinním prostorem A = AV nad vektorovým prostorem V rozumíme trojici A, V,+,kde Ajemnožina,jejížprvkynazývámebody, V jevektorovýprostor,+jeoperace,která boduavektorupřiřadíbod:+:a V A,splňujícínásledujícíaxiomy: i a+o=aprolibovolnýbod a A ii a+v+w=a+v+wprolibovolnýbod a Aavektoryv,w V iiikekaždédvojicibodů a, b Aexistujeprávějedenvektorv V,prokterý a+v=b.tento vektorznačíme b a. Euklidovským prostorem EV rozumíme afinní prostor spolu se skalárním součinem na V neboli euklidovský prostor je afinní prostor nad unitárním prostorem. Dimenzí afinního nebo euklidovského prostoru rozumíme dimenzi příslušného vektorového prostoru. a + v 1 + v 2 = a + v 1 + v 2 d v 1 + v 2 v 1 v 2 a + v 1 d c a = a + o c Obrázek 1: Afinní prostor. Axiomiiříká,ževevýrazechtypu a+v 1 +v nemusímepsátzávorky.zaxiomůiaiii vidíme,že a a=o.zaxiomuiiivyplývá,že a+b a=bprolibovolnédvabody a, b. Základnímpříklademafinníhoprostorujeprostor AT n.bodyivektoryjsouuspořádané n-ticeprvků T. Operace sčítání bodu a vektoru je definována jako obvyklé sčítání n-tic. Vezmeme-li navíc na vektorovémprostoru T n běžný skalárnísoučin,mámezákladnípříkladeuklidovskéhoprostoru prostor ET n. Z kapitoly o homomorfismech vektorových prostorů víme, že každý vektorový prostor dimenze n je izomorfníaritmetickémuprostoru T n.trochuvágněřečeno,jedinývektorovýprostordimenze nje, ažnaizomorfismustj.přeznačníprvků, T n.prostoryzpředchozíhoodstavcemajípodobnouroliv afinnícheuklidovských prostorech: Uvidíme, že jediný afinníresp. euklidovský prostor dimenze n je,ažnaafinníresp.izometrickýizomorfismus,prostor AT n resp. ET n. Vlibovolnémafinnímprostoruplatínásledujícívztahy,kterájsouvafinnímprostoru AT n zřejmé. Pozorování10.2.Nechť AVjeafinníprostor, a, b, c, d Abody,u,v V vektory.pak ia+u b+v=a b+u v, iia b+c d=a d+c b, iiia b+b c=a c. 1

2 Důkaz. Pozorování lze snadno dokázat přímo z definiceviz cvičení, nebo lze výpočet převést na výpočetvat n kdejsoutvrzenízřejmávyužitímnějakésoustavysouřadnicvizníže. Podprostory Definice Nechť AV je afinníresp. euklidovský prostor. Říkáme, že BW je podprostorem AV,pokud B A, W V, W jevektorovýmpodprostorem V, Bjeuzavřenánasčítání boduavektoruzw arozdíllibovolnýchdvoubodůzb jevektorve W.Jinýmislovy, BWje podprostor AV, pokud tvoří se zúženými operacemi prostoru AV afinníeuklidovský prostor. Je-li b Blibovolnýbod,pak B= b+w= {b+w w W }. Naopak,prolibovolnýbod b Aapodprostor W V je BW,kde B= b+w,podprostorem AV. Důkaz. Dokážeme nejprve druhé tvrzení. Musíme ukázat, že 1. součetbodu b+w 1 b+w avektoruw 2 jebodvb+w.toplatí,protožeb+w 1 +w 2 = b+w 1 +w 2 axiomi. 2. rozdíldvoubodů b+w 1, b+w 2 b+wjevektorve W.Toplatí,protožeb+w 1 b+w 2 = b b+w 1 w 2 =o+w 1 w 2 =w 1 w 2 V podlepozorování,bodii,poznámceza definicí afinního prostoru a axiomui. Prvnítvrzení:SoučetboduzBavektoruzWjebodzB,tedy b+w B.Je-li a Blibovolnýbod, pak a b Wpodledefinice.Pakale a=b+a b b+wpodlepoznámkyzadefinicíafinního prostoru.čili B b+w. Chápeme-li T n jakovektorovýprostor,pakpodprostoryjsou rovnéútvary přímky,roviny,... procházejícípočátkem.podprostoryafinníhoprostoru AT n jsou rovnéútvary,kterépočátkem procházet nemusí. Afinní prostor dimenze 0 je bod. Afinnímu prostoru dimenze 1 říkáme přímka, afinnímu prostoru dimenze 2 říkáme rovina. Podprostoru dimenze n 1 v afinním prostoru dimenze n říkáme nadrovina. Při zadání afinního podprostoru většinou uvádíme pouze množinu B a říkáme, že B je podprostor AV. Příklad.Množina B=1,2,3+ 4,5,6 ={1,2,3+t 4,5,6 t R}={1+4t,2+5t,3+6t t R}jepodprostorafinníhoprostoru R 3.Jetopřímka,protožedimW=dim 4,5,6 =1. Množina B =1,2,3+ 4,5,6,7,8,9 jerovinaazároveňnadrovinavr 3,protožedimW= dim 4,5,6,7,8,9 =2. 2

3 Soustavy souřadnic, jejich transformace Soustavousouřadnicvafinnímprostoru AVrozumímemnožinu S= {a,m 1,m 2,...,m n },kde a AaM= {m 1,...,m n }jebáze V. Kartézkou soustavou souřadnic v euklidovském prostoru EV rozumíme soustavu souřadnic S= {a,m 1,m 2,...,m n },kde M= {m 1,...,m n }jeortonormálníbáze V. Bod asenazývápočáteksoustavysouřadnic.přímky a+ u i senazývajísouřadnicovéosy. Souřadnicebodu b Aresp. Evsoustavěsouřadnic Sdefinujemejakovyjádřenívektoru b av bázi M,tedyvztahem {b} S = {b a} M. Souřadnicevektoruv V vsoustavěsouřadnic Sdefinujemejakovyjádřenívektoruvvbázi M, tedy vztahem {v} S = {v} M. Zvolitsoustavusouřadnictedyznamenáurčitpočátek bod a,avektorym i,kterétvoříbázi.kartézká soustavasoustavasouřadnicjetaková,ževektorym i majívelikost1ajsounavzájemkolmé. osa a + m 2 b a b {b} S = 1.5,2 m 2 a m 1 osa a + m 1 Obrázek2:Soustavasouřadnic S= {a,m 1,m 2 }var 2.Bod bajehosouřadnice. Uvektorovýchprostorůvíme,že {v 1 +v 2 } M = {v 1 } M + {v 2 } M a {t v 1 } M = t {v 1 } M prolibovolnou bázi M,vektoryv 1,v 2 V a t T.Operaceve V tedy můžemeprovádětvat n přejdeme-liod vektorůkjejichvyjádřenívbázi M.Podobnásituacejeuafinníchprostorů všechnyoperacevafinním prostoru můžemeprovádětvat n přejdeme-liodvektorůabodůkjejichvyjádřenívzhledemk soustavě souřadnic S: Tvrzení10.4.Mějmeafinníprostor AVajehosoustavusouřadnic S.Prolibovolnévektoryv 1,v 2 V,body b, c Aaprvek t Tplatí: {v 1 +v 2 } S = {v 1 } S +{v 2 } S, {t v 1 } S = t {v 1 } S, {b+v 1 } S = {b} S +{v 1 } S, {b c} S = {b} S {c} S. Je-li EVeuklidovskýprostoraSkartézkásoustavasouřadnic,pakprolibovolnévektoryv 1,v 2 V platí v 1 v 2 = {v 1 } S {v 2 } S. 3

4 Důkaz. Snadné. Z prvního semestru víme, jak se mění souřadnice vektorů při přechodu od báze k bázi. Nyní spočítáme, jak se mění souřadnice bodů při přechodu od soustavy souřadnic k jiné soustavě. Tvrzení Mějme dvě soustavy souřadnic S = {a,m 1,...,m n } a S = {a,m 1,...,m n} v afinnímprostoru AVdimenze n.označme P maticipřechoduodbáze M = {m 1,...,m n }kbázi M = {m 1,...,m n}tedy P= {id} M M.Pakprolibovolnýbod b Aavektorv V platí {b} S = {a } S + {b} S P T, {v} S = {v } S P T. Důkaz. {b} S = {b a} M = {b a +a a} M = {a a} M + {b a } M = = {a } S + {b a } M P T = {a } S + {b} S P T. Příklad.Vafinnímprostoru R 2 mámedánysoustavysouřadnic S= {a,m 1,m 2 }={1,1,1,2, 2,3}, S = {a,m 1,m 2}={ 4,5,5,3, 7,14}. Napištevzorečkynavýpočetvyjádřeníbodu b R 2 resp.vektoruvvsoustavěsouřadnic Smáme-li danévyjádřenívsoustavěsouřadnic S Řešení. Najdeme nejprve matici přechodu P od M = {1,2, 2,3} k M = {5,3, 7,14} metodou z kapitoly o homomorfismech: Tedy P= Spočítámeještě {a } S = {a a} M = { 5,4} M : tedy {a } S = 1, Mějmebod b R 2,jehožvyjádřenívS je {b} S =x, y.pakvyjádření bvs spočtemepodle přechozího tvrzení {b} S =x, y= 1,2+x, y P T = 1,2+x, y 3 1, 1 4 takže x= 1+3x + y, y=2 x +4y. Máme-livektorv R 2 jehožvyjádřenívs je {v} S =x, y,pak {v} S =x, yspočteme x=3x + y, y= x +4y., 4

5 Afinní zobrazení, izometrie Definice10.6.Nechť AV, A V jsouafinníprostory, a A, a A body, f: V V homomorfismus.zobrazení F: A A definovanépředpisem Fa+v=a + fv nazýváme afinní zobrazení vytvořené homomorfismem f. Je-li f monomorfismus, nazývá se F regulární afinní zobrazení. Je-li f izomorfismus, nazývá se F afinní izomorfismus. Nechť EV, E V jsoueuklidovsképrostory.afinnízobrazení F: E E vytvořenéhomomorfismem f: V V senazýváizometrie,pokud fjeunitárnízobrazenízachováváskalárnísoučin. Pokud f je navíc izomorfismus, nazývá se F izometrický izomorfismus. a + v F v a = Fa fv Fa + v = a + fv a Obrázek3:AfinnízobrazenízR 2 do R 2. Afinnízobrazeníjetedyurčenoobrazemjednohoboduvdefinicibylourčeno Fa=a aobrazy vektorů.navolběbodu anezáleží:je-li Fa+v=a + fv,paktaké Fb+v=Fb+fvpro libovolnýbod b A,jaklzesnadnoověřit. Mějmeafinníprostory AU, BV, CW.Jsou-li F: A B, G:B Cafinnízobrazenívytvořená homomorfismy f : U V, g : V W,paksloženézobrazení GF : A C jeafinnízobrazení vytvořené homomorfismem f: U W. Je-li F afinní izomorfismus, pak existuje inverzní zobrazení F 1 : B Aatoto Fjeafinnízobrazenívytvořenéhomomrfismem f 1 : V U.Ověřenítěchtofaktů a formulaci podobných tvrzení pro euklidovské prostory přenecháme čtenáři. Všimněme si rovněž, že každá izometrie je regulární afinní zobrazeníprotože unitární zobrazení je prosté. Nyní dokážeme poznámku z první části: Jediný afinníresp. euklidovský prostor dimenze n je, až na afinníresp.izometrickýizomorfismus,prostor AT n resp. ET n. Věta Každý afinní prostor AV dimenze n je afinně izomorfní aritmetickému afinnímu prostoru AT n.každýeuklidovskýprostor EVdimenze njeizometrickyizomorfníaritmetickémueuklidovskémuprostoru ET n. Důkaz.Zvolímelibovolnousoustavusouřadnic Svprostoru AV.Zobrazení Fb={b} S jeafinní izomorfismusprostorů AVaAT n,protožeprolibovolné bje Fb+v={b+v} S = {b} S + {v} S, 5

6 tedy F jeafinnízobrazenívytvořenéizomorfismem f: V AT n, fv={v} M.Proeuklidovský prostor zvolíme kartézkou soustavu souřadnic a zobrazení F definujeme stejně. Parametrickéarovnicovévyjádřenípodprostorů AT n Každýpodprostor Bafinníhoprostoru AT n můžemevyjádřitvetvaru B= a+v,kde ajenějaký bodzba V jepodprostor T n.zvolíme-linějakoubázi M= {m 1,...,m k }prostoru V,máme B= a+ m 1,...,m k. Tomuto vyjádření se říká parametrické vyjádření podprostoru B. Připomeňme, že každý bod b B můžeme vyjádřit jako b=a+t 1 m t k m k, t i T. Vektort 1,...,t k jeurčenjednoznačněprotože Mjebáze,jetovlastněvyjádřeníbodu bvsoustavě souřadnica,m 1,...,m k. Zpodprostory AT n jsmesejižsetkalipřiřešenísoustavyrovnic.uvažujmesoustavu krovnicon neznámých Ax T = b,kde ha=k=ha b,tj.žádnázrovnicnení nadbytečná asoustavamá řešení.množinavšechřešeníje v p +KerA,kde v p T n jelibovolnéřešenísoustavy,dimkera= n k.takžemnožinavšechřešeníjepodprostor AT n dimenze n k.protosoustavě Ax T = b říkámerovnicovévyjádřenípodprostoru v p +KerA. Přechod od rovnicového vyjádření k parametrickému je zřejmý: Příklad.Určeteparametrickypodprostor B R 5 danýrovnicemi x 1 +2x 2 x 3 + x 5 = 1 2x 1 +4x 2 + x 4 x 5 = 4 Řešení. Máme vlastně pouze vyřešit danou soustavu rovnic. Gaussovou eliminací vypočteme Tedy B můžeme vyjádřit parametricky např. taktopři počítání báze řešení homogenní soustavy volíme parametryna2.,4.a5.místě,volímepostupně0,0,2,0,2,0,1,0,0,abyřešenívyšlo hezky B=2,0,1,0,0+ 1,0,5,0,2, 1,0, 1,2,0, 2,1,0,0,0. Mějmenynínaopakparametrickévyjádření B= a+v = a+ m 1,...,m k achcemepodprostor B vyjádřitrovnicově.tedyhledámesoustavu n krovniconneznámých Ax T = b T,jejímžřešenímje právěmnožina B.Jinýmislovychceme,abyKerA=V aabypartikulárnímřešenímbylbod a.to jsmesenaučilivkapitoleolineárníchformáchaduálech.napíšemevektorym 1...m k dořádkůmatice 6

7 Cadořádkůmatice AnapíšemenějakoubáziKerC.PakmámeKerA=V.Vektorpravýchstran určíme,abysoustavuřešilbod a zvolíme b=aa T. Příklad.Najdětenějakérovnicovévyjádřenípodprostoru B R 5 danéhoparametricky B=2,0,1,0,0+ 1,0,5,0,2, 1,0, 1,2,0, 2,1,0,0,0. Řešení. Postupujeme podle návodu nad příkladem. Vyřešíme hommogenní soustavu rovnic s maticí C: C= KerC= 1, 2, 1,0,2,5,10, 1,2,0 Rovnicové vyjádření B bude x 1 2x 2 x 3 +2x 5 = b 1 5x 1 +10x 2 x 3 +2x 4 = b 2 Pravoustranuurčíme,abyzadanésoustavěvyhovovalbod2,0,1,0,0,tedy b 1 = 3, b 2 =9.Rovnicové vyjádření B je tedy například: x 1 2x 2 x 3 +2x 5 = 3 5x 1 +10x 2 x 3 +2x 4 =9 Všimněmesiještěgeometrickéhovýznamuřádkůvrovnicovémvyjádření Ax T = b T podprostoru a+v euklidovskéhoprostoru ER n.veuklidovskémprostoru ER n jekerarovnoortogonálnímudoplňku lineárního obalu řádků matice A. Tedy v řádcích matice A máme bázi ortogonálního doplňku prostoru V.Jinýmislovy,lineárníobalřádkůmatice Ajepřesněmnožinavektorůkolmýchna V.Tomuto prostoru se proto také říká normálový prostor, libovolnému nenulovému prvku tohoto prostoru říkámenormálovývektor.vpřípadě,že a+v jenadrovina,tj.dimv=n 1,paknormálový prostor má dimenzi 1, tedy normálový vektor je určen jednoznačně až na násobek. Příklad.2x 1 3x 2 +4x 3 =2jerovnicovýpopisroviny1,0,0+ 2,0,1,3,2,0 vr 3.Vektor 2, 3,4jenormálovývektor.Normálovýprostorje 2, 3,4. 7

8 Vzájemná poloha podprostorů v afinním prostoru Definiceatvrzení10.8.Nechť BUaCWjsoupodprostoryafinníhoprostoru AV.Říkáme, že BUaCWjsou rovnoběžné,pokud U Wnebo W U; různoběžné, pokud mají alespoň jeden společný bod a nejsou rovnoběžné; mimoběžné, pokud nemají společný bod a nejsou rovnoběžné. Pokud B C,pak B C= d+u W, kde d B Cjelibovolnýbod. Průniku B Cněkdyříkámeprůsečík Ba C,jetonejvětšíafinnípodprostor AV,kterýjeobsažen v obou podprostorech. Důkaz tvrzení, viz cvičení. Proověřenírovnoběžnostidvoupodprostorůsivšimněme,ževztah W W platíprávětehdy,když dimw W =dimw.podobně W Wprávětehdy,kdyždimW W =dimw. Příklad.Určete,zdajsoupodprostory B= b+w, B = b + W Z 4 5 rovnoběžné: B=1,2,3+ 1,0,4, B =3,0,1+ 1,4,3,2,4,2 Řešení.ZřejmědimW=1.UrčímedimW : UrčímedimW W Jetedy W W,podprostory Ba B jsourovnoběžné , dimw =2, dimw W =2. Následuje kriterium na rozlišení různoběžných a mimoběžných podprostorů: Tvrzení Nechť BU a CW jsou nerovnoběžné podprostory afinního prostoru AV. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: i Podprostory B a C jsou různoběžné; iiprokaždé b B, c Cje b c U W; iiiexistují b B, c Cje b c U W. Důkaz.i ii.vezmemelibovolnýbod d B C.Vektor b dležívu,vektor d cležívw podledefinicepodprostouuzavřenostnaodčítání.tedy b c=b d+d c U W. 8

9 ii iiijezřejmé. iii i.protože b c U W,máme b c=u+w,kdeu U,w W.Bod b u=c+wležív BivC. Proprakticképočítáníjeužitečnápodmínkaiiispoluspozorováním,že b c U Wprávětehdy, kdyždim b c U W=dimU W. Mějmedvěmimoběžnépřímky p, qvafinnímprostorudimenze3.přímku r=c+ w,kteráprotíná oběpřímky,nazývámepříčkoumimoběžek paqvesměruw. Tvrzení Nechť p=a+uaq = b+vjsoumimoběžnépřímkyvafinnímprostoru AV dimenze3aw V nenulovývektor.pakpříčkamimoběžek paqvesměru w existujeprávětehdy, kdyžw u v.vtomtopřípadějeurčenajednoznačně. Důkaz.Uvažujmerovinu ρ=a+ u,w.pokud rjepříčka paqsesměremw,pak rležívrovině ρa protíná q.protože b ρtoplyneztoho,že paqjsoumimoběžné,musínutněw u v jinak byse qa ρneprotly.vtomtopřípadějeprůnikem ρaqjedinýbod dprotože u v w ={o}. Tedypříčka rjeurčenajednoznačně: r=d+ w. Přímky paqjsoumimoběžné,pokudnejsourovnoběžnétonastaneprávětehdy,kdyždim u,v =2 anejsourůznoběžnétonastaneprávětehdy,kdyždim b a,u,v >dim u,v.dohromady, paq jsoumimoběžné,právěkdyždim b a,u,v =3. Podmínkaw u v jesplněna,právěkdyždim w,u,v =dim u,v. Příklad.Vafinnímprostoru R 3 naleznětepříčkumimoběžek p=a+ u =1,2, 1+ 1, 1,1, q= b+ v =0,9, 2+ 1,0,0 vesměruw=1,2,0. Řešení.Určímenejprvedim b a,u,v tedydim w,u,v =3ap,qjsouskutečněmimoběžné.Podobněověříme,žedim w,u,v =3,tedy příčka ve směru w existuje. Spočítáme průsečík d přímky q s rovinou ρ=a+ u,w =1,2, 1+ 1, 1,1,1,2,0. Prvnízpůsob:Bod dležínapřímce q,tedy d=0,9, 2+α1,0,0,avrovině ρ,tedy d=1,2, 1+ β1, 1,1+γ1,2,0.Rozepsánímdosložekzískámesoustavutřírovnicotřechneznámých.Vyjde α=3.takže d=3,9, 2., 9

10 Druhý způsob: Spočítáme rovnicové vyjádření roviny ρ: Řešením této soustavy je 2, 1, 3.Dopočtením pravé strany získáme vyjádření ρ: 2x+y+3z= 3. Průsečík d=x, y, zmusíležetnapřímce q,tedyx, y, z=α,9, 2,avrovině ρ,tedymusíplatit 2α+9+3 2= 3.Takže α=3, d=3,9, 2. Hledanápříčkaje3,9, 2+ 1,2,0. Tvrzení10.11.Nechť p=a+uaq= b+vjsoumimoběžnépřímkyvafinnímprostoru AVdimenze 3ac Alibovolnýbodneležícína pani q.pakpříčkamimoběžek paqprocházejícíbodem cexistuje právětehdy,když c a, c b u v.vtomtopřípadějeurčenajednoznačně. Důkaz.Uvažujmerovinu ρ=a+ u, c a.pokud rjepříčka paqprocházejícíbodem c,pak rležív rovině ρ a protíná q. Tedy p a ρ nemohou být rovnoběžné. Zřejmě p a ρ jsou rovnoběžné, právě když c a u,v.symetrickouúvahourovinu ρvedemepřímkou qabodem czjistíme,že c b u,v. Vpřípadě,že c=a, c b u,v jeprůnikem ρaqjedinýbod d.příčka rexistujeajeurčena jednoznačně: r=d+ c d.detailypřenechámečtenáři. Příklad.Vafinnímprostoru R 3 naleznětepříčkumimoběžek p=a+ u =3,3,3+ 2,2,1, q= b+ v =0,5, 1+ 1,1,1 procházejícíbodem c=4,5,3. Řešení.Snadnoověříme,žedim b a,u,v =dim c a,u,v =dim c b,u,v =3,tedypřímkyjsou skutečně mimoběžné a příčka procházející bodem c existuje. Najdeme průsečík d přímky q s rovinou procházející přímkou p a bodem c: ρ=a+ u, c a =4,5,3+ 1,2,0,2,2,1. Vyjde d=0, 5,1.Hledanápříčkaje d+ c d =0, 5,1+ 4,0,4 =0, 5,1+ 1,0,1. 10

11 Vzdálenost a úhel v euklidovských prostorech Nechť EV je euklidovský prostoru dimenze n. Vzdáleností bodů a, b rozumíme velikost jejich rozdílu: da, b:= a b = a ba b. Nechť Ba Cjsoupodprostory EV.Vzdálenostípodprostorů B, B rozumímenejmenšímožnou vzdálenost b Bod c C: db, C:=min{db, c b B, c C}. Úhlemvektorůu,v V rozumímečíslo u,v 0, π 2,proněž cos u,v= uv u v. Úhlempodprostorů BU, CWrozumímenejmenšímožnýúhel αvektorůu U,w W: B, C:=min{ u,w u U,v W }. Minima v definici vzdálenosti a úhlu dvou podprostorů se skutečně nabývánebudeme dokazovat. Výraz vpravo v definici úhlu dvou vektorů je v intervalu 0, 1 Cauchyova nerovnost. Definice tedy dávají smysl. Všimněme si, že úhel dvou vektorů je stejný jako úhel jejich libovolných nenulových násobků. Nyní se naučíme počítat vzdálenost dvou rovnoběžných podprostorů a vzdálenost dvou mimoběžek. Tvrzení Mějme dva podprostory BU a CW euklidovskéhoprostoru EV, U W a libovolnýbod b B.Pakpodprostor b+w protínápodprostor Cvjedinémbodě cadb, C=db, c. Důkaz.Podprostory b+w a C= c+w zde c Cjelibovolnýbodnejsoumimoběžné,protože nejsourovnoběžnéw W = {o}ab c W W W W = Vpoužilijsmekritériumna mimoběžnost.průnikemjetedyprostor c+w W =c+{o}.zbýváukázat,ževzdálenost db, c jenejmenšímožná.vezmemelibovolnédvabody e B, f C adokážeme de, f db, c.bod g= f+b eležívcw,protože b e Ua U W.Protože g b=f e,platí de, f=db, g. Vektor c bjekolmýna c g,protože c b W a c g W.PodlePythagorovyvětymáme d 2 b, g=d 2 b, c+d 2 c, g,takže de, f=db, g db, c. Příklad.Spočítejtevzdálenostpřímky p=x+uaroviny ρ=y+ Wv ER 4 : p=6,0,1,0+ 1,3, 1,2, ρ= 2,4,5,3+ 1,2,3,1,2,5,2,3. Řešení.Snadnoověříme,žedimU=1,dimW=2,dimU W=2,takže paρjsouskutečně rovnoběžné.spočítáme W

12 Takže W = 11,4,1,0,1, 1,0,1. Řešenímsoustavyrovniczjistíme,žex+W ρ=c= 3,2,2,2.Vzdálenost pod ρje dp, ρ= dx, c= = 90=3 10. Tvrzení10.13.Mějmedvěmimoběžnépřímky p=b+u, q= c+wveuklidovskémprostoru EV dimenze3.pakexistujeprávějednapříčkamimoběžekvesměru u,w.označíme-li e, fjejíprůsečíky s paq,pak dp, q=de, f. Důkaz.Exsitenciprávějednépříčkamimoběžekvesměru v = u,w námzaručujetvrzení10.10 vektoryu,w,vtvoříbázi.uvažujmerovinu ρ=c+ uw.protožepřímka pjerovnoběžnásrovinou ρae+ u,w ρ = f,zpřechotíhotvrzenívíme,že de, f = dp, ρ.protože q ρ,máme de, f dp, q.opačnánerovnost de, f dp, qjezřejmá. Příklad.Spočtětevzdálenostmimoběžek p=b+u, q= c+wvprostoru ER 3 : p=1, 8,11+ 2,3, 6, q=8,3,13+ 6, 1,12. Řešení.Snadnoověříme,ževektory b c,u,w tvoříbázi R 3,takžepřímky paqjsouskutečně mimoběžné.určíme v = u,w : , takženapř.v=3, 6, 2.Nyníurčímeprůsečík fpříčkymimoběžek paqvesměru v spřímkou q spočítáme f=a+ u,v q.vyjde f=2,4,1.příčkavesměru v jetedy r=2,4,1+ 3,6, 2. Spočteme e=r p.vyjde e=5, 2, 1.Vzdálenost paqje de, f= =7. Nyní se naučíme počítat úhly dvou podprostorů v některých speciálních případech. Tvrzení Mějme euklidovský prostor EV. Pak i Úhel dvou přímek je roven úhlu jejich směrových vektorů. ii Úhel dvou nadrovin je roven úhlu jejich normálových vektorů iii Úhel přímky a nadroviny je roven doplňku úhlu směrového vektoru přímky a normálového vektoru nadrovinydo π 2. Důkaz. Viz cvičení. Trojpoměr, geometrická charakterizace afinních a izometrických zobrazení Definice Mějme tři různé body a, b, c v afinním prostoru A ležící na jedné přímce. Dělícím poměremnebotrojpoměrembodu cvzhledemkbodům a, brozumímeprvek λ T,prokterý c a=λc bzřejměexistuje,protožebodyležínajednépřímce.značíme λ=c; a, b. Pokudc; a, b= 1aTmácharakteristikurůznouodnuly,říkáme,že cjestředemúsečkya, b. Platí c=a+ 1 2 b a=b+1 2 a b. 12

13 Dělicípoměrtedyudává,kolikrátjevětšívektorc aoprotivektoruc b.znaménkoudává,zda jsou vektory c a a c b souhlasněznaménko +, nebo nesouhlasně orientoványznaménko-. Některé jednoduché vlastnosti dělicího poměru, viz cvičení. Následující pěkná věta charakterizuje afinní zobrazení ryze geometricky afinní zobrazení jsou přesně ta, která zachovávají trojpoměr: Věta10.16.Nechť AVaA V jsouafinníprostorynadtělesemcharakteristikyrůznéod2, F : A A zobrazení.jeekvivalentní: i Fjeafinnízobrazení ii F zachovávátrojpoměr:prolibovolnétřibody a, b, c Aležícínajednépřímcejebuď Fa= Fb=Fc,neboFa; Fb, Fc=a; b, c Důkaz.i 2.Vizcvičení. ii i.zvolímelibovolnýbod a A.Hledámehomomorfismus f: V V,kterývytváří F,tedy chceme, aby pro libovolné b A platilo Fb=Fa+fb a Položíme proto fu:= Fa+u Fa. Musímeověřit,že f jehomomorfismus ověřitžeprolibovolné t T avektoryu,v V platí ftu=tfuafu+v=fu+fv.nebolichcemedokázat,že Fa+tu Fa=t Fa+u Fa 1 a Fa+u+v Fa=Fa+u Fa+Fa+v Fa 2 Nejprveprvnívztah.Pokud t=0nebou=o,pakvztahzřejměplatí.vopačnémpřípadějsou a, a+uaa+tutřirůznébodyležícínajednépřímceaplatía; a+tu, a+u=t.podlepředpokladu buď Fa+tu=Fa+u=Faavztah1platí,neboFa; Fa+tu, Fa+u=t,cožjepřesně dokazovaný vztah. Druhý vztah můžeme upravit do ekvivalentní formy Fa+u+v Fa+u=Fa+v Fa 3 Je-liu=onebov=o,vztah3platí.Předpokládejmetedy,žeu,v o.označíme bstředúsečky a, a+u+v.snadnoověříme,že bjezároveňstředemúsečkya+u, a+v.rozlišímečtyřipřípady 1. Fb=Fa=Fa+u+v=Fa+u=Fa+v.Vtomtopřípadězřejmě3platí. 2. Fb=Fa=Fa+u+v,Fb; Fa+u, Fa+v= 1.Vtomtopřípadě Fb Fa+u= Fa+v Fb.Levástranajerovna Fb Fa+u,pravástranajerovna Fa+v Fb= Fb Fa+u. 13

14 3. Fb; Fa, Fa+u+v= 1, Fb=Fa+u=Fa+v.Vtomtopřípadě Fb Fa= Fa+u+v Fb.Levástranajerovna Fa+u+v Fb=Fb Fa.Pravástrana rovněž. 4. Fb; Fa, Fa+u+v= 1,Fb; Fa+u, Fa+v= 1.Vtomtopřípadě Fb= Fa+ 1 2 Fa+u+v Fa=Fa+u+1 2 Fa+v Fa+u.Tedy2Fa+u Fa= Fa+u+v Fa+Fa+u Fa+v.Poúpravěvyjde3. Izometrie lze charakterizovat jako zobrazení, která zachovávají vzdálenosti. Věta10.17.Nechť EVaE V jsoueuklidovsképrostory, F: E E zobrazení.jeekvivalentní: i Fjeizometrie ii F zachovávávzdálenosti:pro libovolnédva body a, b A platí dfa, Fb = da, b, kde vzdálenostvlevojevprostoru E V ;vzdálenostvpravojevprostoru EV. Důkaz.i ii.je-li F izometrievytvořenáhomomorfismeme f,pak f jedledefiniceunitární zobrazení, tj. homomorfismus, který zachovává skalární součin. Potom ale f zachovává normy vektorů, takže F zachovává vzálenosti. ii i.návodkdůkazu: 1. Nejprve pomocí trojúhelníkové nerovnosti odvoďte, že obrazem třech různých bodů na jedné přímce je trojice různých bodů ležících na jedné přímce, a že F zachovává trojpoměr. 2. Zpředchozívětyplyne,že F jeafinnízobrazení,tedy Fa+u=Fa+fu.Odvoďte,že f zachovává normy vektorů. 3. Libovolný homomorfismus, který zachovává normy vektorů, je unitární. 14

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Základy analytické geometrie. I

Základy analytické geometrie. I Základy analytické geometrie. I Prostory vnořené do Em In: Eduard Čech (author): Základy analytické geometrie. I. (Czech). Praha: Přírodovědecké vydavatelství, 1951. pp. 50 67. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402523

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Reziduovaná zobrazení

Reziduovaná zobrazení Reziduovaná zobrazení Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 1. března 2015 Outline 1 Reziduované zobrazení 2 Izotónní/Antitónní zobrazení Definice Necht A, B jsou uspořádané množiny. Zobrazení f : A

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Analytická geometrie II: Geometrické transformace

Analytická geometrie II: Geometrické transformace Analytická geometrie II: Geometrické transformace Naďa Stehlíková 2006 2008 Tento materiál vzniká postupně na základě skript Geometrické transformace (metoda analytická) autorů M. Hejný, D. Jirotková,

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8].

Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8]. 1. Algebry, homomorfismy, kongruence Definice. Prokaždécelé n 0nazveme n-ární operací na množině Akaždé zobrazení A n A(číslo nbudemenazývataritounebočetnostíoperace).nechť (α i i I)jesystémoperacínamnožině

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,

1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, 1. ÚVOD 1.1 SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT, JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ FYZIKÁLNÍ VELIČINY Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme vlastnosti fyzikálních objektů parametry stavů, ve

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více