Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA"

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA NUMERICKÉ METODY Radek Kučera Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ / /0016 Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického základu studia. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

2 ISBN

3 Numerické metody STUDIJNÍ OPORY S PEVAŽUJÍCÍMI DISTANNÍMI PRVKY PRO PEDMTY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA je název projektu, který uspl v rámci první výzvy Operaního programu Rozvoj lidských zdroj. Projekt je spolufinancován státním rozpotem R a Evropským sociálním fondem. Partnery projektu jsou Regionální stedisko výchovy a vzdlávání, s.r.o. v Most, Univerzita obrany v Brn a Technická univerzita v Liberci. Projekt byl zahájen a bude ukonen Cílem projektu je zpracování studijních materiál z matematiky, deskriptivní geometrie, fyziky a chemie tak, aby umožnily pedevším samostatné studium a tím minimalizovaly poet kontaktních hodin s uitelem. Je zejmé, že vytvoené texty jsou ureny studentm všech forem studia. Studenti kombinované a distanní formy studia je využijí k samostudiu, studenti v prezenní form si mohou doplnit získané vdomosti. Všem studentm texty pomohou pi procviení a ovení získaných vdomostí. Nezanedbatelným cílem projektu je umožnit zvýšení kvalifikace širokému spektru osob, které nemohly ve studiu na vysoké škole z rzných dvod (sociálních, rodinných, politických) pokraovat bezprostedn po maturit. V rámci projektu jsou vytvoeny jednak standardní uební texty v tištné podob, koncipované pro samostatné studium, jednak e-learningové studijní materiály, pístupné prostednictvím internetu. Souástí výstup je rovnž banka testových úloh pro jednotlivé pedmty, na níž si studenti oví, do jaké míry zvládli prostudované uivo. Bližší informace o projektu mžete najít na adrese Pejeme vám mnoho úspch pi studiu a budeme mít radost, pokud vám pedložený text pomže pi studiu a bude se vám líbit. Protože nikdo není neomylný, mohou se i v tomto textu objevit nejasnosti a chyby. Pedem se za n omlouváme a budeme vám vdni, pokud nás na n upozorníte. ESF ROVNÉ PÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY - 1 -

4 Numerické metody Pokyny ke studiu POKYNY KE STUDIU V úvodu si vysvtlíme jednotnou pevnou strukturu každé kapitoly textu, která by vám mla pomoci k rychlejší orientaci pi studiu. Pro zvýraznní jednotlivých ástí textu jsou používány ikony a barevné odlišení, jejichž význam nyní objasníme. Prvodce studiem vás strun seznámí s obsahem dané kapitoly a s její motivací. Slouží také k instrukci, jak pokraovat dál po vyešení kontrolních otázek nebo kontrolních text. Cíle vás seznámí s uivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování mli umt. Pedpokládané znalosti shrnují strun uivo, které byste mli znát ješt díve než kapitolu zanete studovat. Jsou nezbytným pedpokladem pro úspšné zvládnutí následující kapitoly. Výklad oznauje samotný výklad uiva dané kapitoly, který je lenn zpsobem obvyklým v matematice na definice, vty, pípadn dkazy. Definice Zavádí základní pojmy v dané kapitole. Vta Uvádí základní vlastnosti pojm zavedených v dané kapitole. Dkaz: Vychází z pedpoklad vty a dokazuje tvrzení uvedené ve vt

5 Numerické metody Pokyny ke studiu Poznámka neformáln komentuje vykládanou látku.. ešené úlohy oznaují vzorové píklady, které ilustrují probrané uivo. Píklad Uvádí zadání píkladu. ešení: Uvádí podrobné ešení zadaného píkladu. Úlohy k samostatnému ešení obsahují zadání píklad k procviení probraného uiva. Úlohy oznaené patí k obtížnjším a jsou ureny zájemcm o hlubší pochopení tématu. Výsledky úloh k samostatnému ešení obsahují správné výsledky pedchozích píklad, slouží ke kontrole správnosti ešení. Kontrolní otázky obsahují soubor otázek k probranému uivu vetn nkolika odpovdí, z nichž je vždy alespo jedna správná. Odpovdi na kontrolní otázky uvádjí správné odpovdi na kontrolní otázky. Kontrolní test obsahuje soubor píklad k probranému uivu. Výsledky testu uvádjí správné odpovdi na píklady kontrolního testu

6 Numerické metody Pokyny ke studiu Shrnutí lekce obsahuje struný pehled uiva, které by ml student po prostudování píslušné kapitoly zvládnout. Literatura obsahuje seznam knih, které byly použity pi tvorb píslušného textu a na které byly pípadn uvedeny odkazy k hlubšímu prostudování tématu. Piktogram, který upozoruje na dležité vztahy nebo vlastnosti, které je nezbytné si zapamatovat

7 Numerické metody OBSAH Obsah 1. Numerické metodyachyby Obsah předmětu Chyby v numerických výpočtech Řešení nelineárních rovnic Separace kořenů Nejjednodušší metody Metoda půlení intervalu Metoda regula falsi Newtonova metoda Metoda prosté iterace SLR přímé metody Formulace úlohy Gaussova eliminační metoda (GEM) Zpětný chod GEM Dopředný chod GEM Výběr hlavníhoprvku LU rozklad Použití LU-rozkladu Řešení soustav lineárníchrovnic Výpočet inverzní matice Výpočet determinantu Maticové normyapodmíněnost matic SLR iterační metody Příklad iteračního výpočtu Obecné iterační metody

8 OBSAH Numerické metody Jacobiova metoda Gauss-Seidelova metoda Vlastníčísla a vlastnívektorymatic Výpočet vlastních číselmetodoulu-rozkladu Konvergence iteračních metod Interpolace a aproximace funkcí Interpolační polynom Lagrangeův tvar interpolačníhopolynomu Newtonův tvar interpolačníhopolynomu Interpolační chyba Interpolační splajny Lineární splajn Kubický splajn Aproximace metodou nejmenších čtverců Numerické integrování aderivování Newton-Cotesovy vzorce Složené vzorce Výpočet integrálu se zadanou přesností Numerické derivování ODR počáteční úlohy Formulace úlohy Eulerova metoda Jednokrokové metodyvyššího řádu Vícekrokové metody Literatura

9 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY 1. Numerické metodyachyby 1.1. Obsah předmětu Průvodce studiem Numerickou úlohou rozumíme jasný a jednoznačný popis vztahu mezi konečným počtem vstupních a výstupních dat (reálných čísel). Podstatnájepřitom konečnost vstupního a výstupního souboru, která vesvém důsledku umožňuje při řešenípoužít počítač. Postupy řešení numerických úloh se pak nazývají numerické nebo počítačové metody. Numerické úlohy patří do skupiny úloh diskrétních. Matematické modelyse však často formulujíjakoúlohy spojité,unichž se mezi vstupními nebo výstupními daty vyskytují spojité funkce. Pokud chceme takové úlohy řešit numerickými metodami, musíme je nejdříve na úlohy diskrétní převést, tj. diskretizovat. Cíle Na příkladech ukážeme diskrétní aspojitéúlohy. Dále předvedeme diskretizaci a vysvětlíme pojmy diskretizační parametr a řád. Předpokládané znalosti Kvadratická rovnice, soustava lineárních rovnic, určitý integrál, počáteční úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici. Výklad 1) Úloha řešit kvadratickou rovnici ax2 + bx + c =0,a 0,jeúloha diskrétní. Vstupní datajsoukoeficientya, b, c, výstupní datajsoureálná čísla α 1,β 1,α 2,β 2, která určují dvakomplexníkořeny x k = α k + iβ k, k =1,

10 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody 2) Diskrétní úlohou je také soustava lineárních rovnic Ax = b, kde A =(a ij )jedanáčtvercová maticeřádu n, b = (b i )jedanýsloupcový vektor o n složkách a x =(x i )jesloupcový vektor neznámých také on složkách. Například pro n =3můžeme takovou soustavu psát v maticovém tvaru a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 nebo po jednotlivých rovnicích a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2, a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3. Vstupními daty jsou zde prvky matice a ij a vektoru pravých stran b i.výstupními daty jsou složky x i vektoru neznámých. Připomeňme ještě, že řešení může být jediné, nemusí existovat, nebojichmůže být nekonečně mnoho. 3) Úloha vypočítat určitý integrál I = b a f(x) dx je spojitá úloha, protože jedním ze vstupů jespojitá funkce f. Natomtopříkladě si předvedeme diskretizaci. Integrační interval a, b rozdělíme na n úseků odélce h pomocí bodů x i, i =0, 1,...,n,tak,že x i x i 1 = h, x 0 = a a x n = b. Pakmůžeme psát I = x1 x2 xn f(x) dx + f(x) dx f(x) dx. x 0 x 1 x n 1 Každý dílčíintegrál nahradíme jeho přibližnou hodnotou xi ( ) xi 1 + x i f(x) dx hf x i

11 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY amísto hodnoty I budeme počítat její aproximaci ( ) ( ) ( ) x0 + x 1 x1 + x 2 xn 1 + x n I h = hf + hf hf. (1.1.1) Výpočet podle posledního vzorce je již úloha diskrétní. Vstupními daty jsou funkční hodnoty f ( x i 1 +x i ) 2, i =1,...,na parametr h.výstupnídatapředstavuje přibližná hodnota I h. Integrál I Aproximace I h Obrázek 1.1.1: Znázornění integrálu I ajehoaproximacei h. Smysl vzorce (1.1.1) ukazuje obrázek 1.1.1, kde jsou hodnoty I a I h znázorněny jako velikosti plochy příslušného obrazce. Odtud můžeme usoudit, že při menším h bude I h lépe aproximovat I, tj.,že platí lim I h = I. (1.1.2) h 0 + Jinými slovy řešení diskretizovanéúlohy se může přiblížit libovolněpřesněkřešení původní úlohy spojité, pokud zvolíme dostatečně malý diskretizační parametr h. Kladné číslo p, pro něž platí I I h Ch p, (1.1.3) kde C > 0 je konstanta nezávislá na h, se nazývá řád diskretizace. Výraz na levé straně nerovnosti (1.1.3) je velikost diskretizační chyby. Tato chyba bude při zmenšujícím se h klesat k nule tím rychleji, čím větší bude hodnota p. Diskretizace vysokého řádu je proto přesnější než diskretizace nízkého řádu; viz tabulka

12 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Tabulka 1.1.1: Odhady diskretizační chyby Ch p pro C =1. h p =1 p =2 p = Příklad Pomocí vzorce (1.1.1) vypočtěte přibližnou hodnotu integrálu I = 1 0 x 2 dx pro h = 0.5, 0.25 a Z výsledků odhadněte, jaký je řád diskretizace. Řešení: Přesná hodnota integrálu je I = 1.Přibližné hodnoty vypočítáme takto: 3 I 0.5 = 0.5( )=0.3125, I 0.25 = 0.25( )= , I = 0.125( )= Diskretizační chyby mají hodnotu: E 0.5 = I I 0.5 = , E 0.25 = I I 0.25 = , E = I I = Při odhadu řádu diskretizace budeme pro jednoduchost předpokládat, že v (1.1.3) nastane rovnost. Pro h =0.5 pakdostáváme E 0.5 E 0.25 = Chp C(h/2) p =2p = p =log 2 E 0.5 E = Podobně proh = 0.25 vypočteme p. = Z těchto výsledků můžeme usoudit, že diskretizace podle vzorce (1.1.1) je druhého řádu. -10-

13 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY 4) Úloha najít funkci y = y(x), která splňuje diferenciální rovnici y = x 2 0.2y (1.1.4) a vyhovuje počáteční podmínce y( 2) = 1, je spojitá úloha. Jak uvidíme později, diskretizace této úlohy bude v mnohém podobná postupu, který jsme použili při diskretizaci určitého integrálu. Kontrolní otázky Otázka 1. Jakýjerozdíl mezi diskrétní aspojitouúlohou? Otázka 2. Co je to diskretizace? Jakýjevýznam diskretizačního parametru? Otázka 3. Je přesnější diskretizace vysokého nebo nízkého řádu? Úlohy k samostatnému řešení 1. Vyřešte rovnice: a) x 2 +3x +1=0;b)x 2 +2x +1=0;c)x 2 + x +1=0. 2. Řešte následující soustavy lineárních rovnic: a) 1 3 x 1 = 6, b) 1 2 x 1 = 3, x 2 c) 1 2 x 1 = x 2 1 Jak lze rozhodnout z hodnoty determinantu matice o existenci řešení? 3. Pomocí vzorce (1.1.1) vypočtěte přibližnou hodnotu integrálu I = 1 1 x 2 dx pro h = 1, 0.5 a 0.25 a určete diskretizační chyby. 4. Vyřešte diferenciální rovnici (1.1.4) pomocí známých analytických metod. x 2-11-

14 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. a) Dva kořeny x 1. = , x2. = ; b) jeden (dvojnásobný) kořen x 1 = x 2 = 1; c) dva komplexně sdružené kořeny x 1 = x 2. = 0.5 ± i a) x =(3, 1),detA = 7; b) nekonečne mnoho řešení x =(3 2t, 3 2t), t R, deta =0;c)řešení neexistuje. 3. I. =0.6667, I 1 =0.5, I I 1 I =0.6563, I I0.25. = =0.1667, I 0.5 =0.625, I I 0.5. =0.0417, 4. Obecnéřešení jey(x) =5x 2 50x Ce 0.2x,řešení vyhovující počáteční podmínce je určeno konstantou C = Shrnutí lekce Ukázali jsem rozdělení matematických úloh na úlohy diskrétní aspojité. Diskrétní úlohy lze zpravidla okamžitěřešit pomocínumerických metod. Spojité úlohy je potřeba nejdříve diskretizovat. -12-

15 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY 1.2. Chyby v numerických výpočtech Průvodce studiem Chyby, kterými jsou ovlivněny výsledky numerických výpočtů, mají různou podstatu. Chyba matematického modelu vzniká vdůsledku toho, že místo skutečného technického nebo fyzikálního problému řešíme jeho matematický model. Je-li řešení tohoto modelu z nějakého důvodu náročné nebo nemožné, provedeme jeho aproximaci jednoduššíúlohou, čímž vzniknechyba aproximační. Jejím speciálním případem je diskretizační chyba, kterou jsme zmínili v předchozím odstavci. Dalším zdrojem chyb je počítání s nepřesnými čísly. Sem patří chyby vstupních dat a chyby zaokrouhlovací. Vstupní data mohou být naměřené veličiny, jejichžnepřesnost je dána rozlišovací schopností měřících zařízení. K zaokrouhlování mezivýsledků docházívprůběhu celého výpočtu, protože pro ukládáníčísel je k dispozici pouze omezený pamět ový prostor. Konečně jsouvýsledky ovlivněny také chybami lidského faktoru. Jedná se o chyby v počítačových programech, špatná zadání vstupních dat, nevhodnou volbu matematického modelu nebo nesprávný výběr metody řešení. Cíle Budeme se zabývat chybami zaokrouhlovacími a ukážeme jejich vliv na stabilitu numerického výpočtu. Předpokládané znalosti Základní aritmetické operace, určitý integrál, rekurentní výpočty. -13-

16 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Výklad Definice Necht x je přesná hodnota reálného čísla a x je jeho aproximace. Rozdíl e(x) = x x se nazývá absolutní chyba. Odhad absolutní chyby je číslo ɛ(x), pro které platí x x ɛ(x). (1.2.1) Je-li x 0,pakčíslo r(x) = x x x se nazývá relativní chyba. Odhad relativní chyby je číslo δ(x), pro kteréplatí x x x δ(x). Relativní chybaajejí odhad se často udávají v procentech. Nerovnost (1.2.1) znamená x x ɛ(x),x+ ɛ(x), což symbolicky zapisujeme x = x ± ɛ(x). Pokud nebude hrozit nedorozumnění, budeme psát e, r, ɛ a δ místo e(x), r(x), ɛ(x) a δ(x). Příklad Číslo x = 2.72 je aproximace Eulerova čísla x = Absolutní chybajee = ajejí odhad je například číslo ɛ =0.002, protože e ɛ. Proto x =2.72 ± Relativní chybajer = a za odhad relativní chyby můžeme vzít δ = , protože r δ. Nyní ukážeme jak se šíří chyby při provádění aritmetických operací. Budeme přitom předpokládat, že vykonáváme přesné aritmetické operace s nepřesnými čísly, tj. s aproximacemi, a že známe chyby, respektive jejich odhady. -14-

17 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Necht x i = x i + e(x i ), e(x i ) ɛ(x i ), r(x i ) δ(x i ), i =1, 2. (a) Je-li u = x 1 + x 2 aproximace součtu ū = x 1 + x 2, potom ū = x 1 + e(x 1 )+x 2 + e(x 2 )=u + e(u), kde aplatí e(u) =e(x 1 )+e(x 2 ) e(u) e(x 1 ) + e(x 2 ) ɛ(x 1 )+ɛ(x 2 ). (b) Je-li v = x 1 x 2 aproximace rozdílu v = x 1 x 2, potom e(v) =e(x 1 ) e(x 2 ) aplatí e(v) e(x 1 ) + e(x 2 ) ɛ(x 1 )+ɛ(x 2 ). (c) Je-li w = x 1 x 2 aproximace součinu w = x 1 x 2, potom w =(x 1 + e(x 1 ))(x 2 + e(x 2 )) = w + x 1 e(x 2 )+x 2 e(x 1 )+e(x 1 )e(x 2 ) aklademe Odtud e(w) x 1 e(x 2 )+x 2 e(x 1 ). e(w) x 1 ɛ(x 2 )+ x 2 ɛ(x 1 ). (d) Je-li z = x 1 /x 2 aproximace podílu z = x 1 / x 2, potom z = x 1 + e(x 1 ) x 2 + e(x 2 ) = z + e(z), kde e(z) = x 2e(x 1 ) x 1 e(x 2 ) x 2 (x 2 + e(x 2 )) x 2e(x 1 ) x 1 e(x 2 ) x

18 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody aplatí e(z) x 2 ɛ(x 1 )+ x 1 ɛ(x 2 ) x 2 2. Pro relativní chyby můžeme z pravidel (a), (b), (c) a (d) odvodit: ( ) 1 e(x 1 ) e(x 2 ) 1 (A) r(u) = x 1 + x 2 = (x 1 r(x 1 )+x 2 r(x 2 )), x 1 + x 2 x 1 x 2 x 1 + x 2 r(u) 1 (B) r(v) = x 1 x 2 r(v) 1 x 1 + x 2 ( x 1 δ(x 1 )+ x 2 δ(x 2 )), ( ) e(x 1 ) e(x 2 ) x 1 x 2 = x 1 x 2 1 x 1 x 2 ( x 1 δ(x 1 )+ x 2 δ(x 2 )), (C) r(w) x 1e(x 2 )+x 2 e(x 1 ) x 1 x 2 = r(x 2 )+r(x 1 ), r(w) δ(x 2 )+δ(x 1 ), (D) r(z) x 2e(x 1 ) x 1 e(x 2 ) x 2 2 r(z) δ(x 1 )+δ(x 2 ). x2 x 1 = r(x 1 ) r(x 2 ), 1 x 1 x 2 (x 1 r(x 1 ) x 2 r(x 2 )), Poznámka Při odčítáníblízkých čísel (pravidlo (B)) má na velikost relativní chybyrozhodující vliv zlomek 1/ x 1 x 2,kterýukazuje,že dochází keztrátě relativnípřesnosti. Příklad Necht x 1 = , x 1 = , x 2 = a x 2 = Určete k jak velké ztrátě relativní přesnosti dojde při odčítání. Řešení: Protože e(x 1 )= 10,e(x 2 ) = 10, můžeme položit = = δ(x 1 ), = = δ(x 2 ). -16-

19 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Dále je v = x 1 x 2 = 380 a v = x 1 x 2 = 400, a proto v v v = = = δ(v). Došlo ke ztrátě relativnípřesnosti zhruba o tři řády. Podle pravidla (B) totižplatí r(v) (δ(x 1)+δ(x 2 )) 2000(δ(x 1 )+δ(x 2 )). Výklad Při provádění rozsáhlejších výpočtů může nastat situace, kdy se zaokrouhlovací chyby nekontrolovatelně hromadí a mohou znehodnotit výsledek. O takovém výpočtu říkáme, že je numericky nestabilní. Ukážeme to na příkladu. Předpokládejme, že je naším úkolem vypočítat hodnoty integrálů 1 x i y i = dx pro i =0, 1,...,8. (1.2.2) 0 x +5 Pomocí úpravy 1 x i +5x i 1 1 i 1 x +5 1 y i +5y i 1 = dx = x x +5 x +5 dx = x i 1 dx = 1 i odvodíme rekurentní vzorec 0 0 y i = 1 i 5y i 1 pro i =1, 2,...,8. (1.2.3) Při výpočtu budeme zaokrouhlovat na tři desetinná místa. Nejdříve určíme startovací hodnotu 1 1 y 0 = 0 x +5 dx = [ln x +5 ]1 0 = = a potom pomocí (1.2.3) počítáme y 1 = 1 5y 0 = = 0.090, y 2 = 1 2 5y 1 = = 0.050, 2 y 3 = 1 3 5y 2 = = , y 4 = 1 4 5y 3 = =

20 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Poslední hodnota y 4 je zjevně nesmyslná, protože všechny integrály musí být kladné. Správná hodnota je y 4 = Výpočet podle vzorce (1.2.3) je tedy numericky nestabilní. Nestability se zbavíme vhodnější organizací výpočtu. Rekurentní vzorec (1.2.3) přepíšeme pro výpočet v opačném směru, tj. y i 1 = 1 5i 1 5 y i pro i =9, 8,...,1. (1.2.4).. Startovací hodnotu y 9 určímezpřibližné rovnostiy 10 = y9, odkud y 9 = 1 1y ,. a proto y 9 = Pomocí vzorce (1.2.4) dostaneme: y 8 = y 9 = = , y 7 = y 8 = = ,. y 0 = y 1 = = Hodnota y 0 je přesná (natři desetinná místa), takže výpočet podle vzorce (1.2.4) je numericky stabilní. Definice Uvažujme úlohu ȳ = U( x). Necht x je porušená vstupní hodnota a y je odpovídající porušená hodnota výsledku. Číslem podmíněnosti úlohy U nazýváme číslo C U,prokteréplatí r(y) = C U r(x), kde r(x) ar(y) jsourelativní chyby. Číslo podmíněnosti vyjadřuje citlivost úlohy na poruchu ve vstupních datech. Je-li C U 1, říkáme, že úloha U je dobře podmíněná. Je-liC U velké, říkáme, že úloha U je špatně podmíněná. Podlečísla podmíněnosti můžeme posoudit také citlivost úlohy na zaokrouhlovací chyby, protože je můžeme interpretovat jako -18-

21 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY důsledek (teoretické) počáteční poruchy. Pokud umíme určit jenom odhady relativních chyb, stanovíme číslo pomíněnosti přibližně, tj. C U δ(y) δ(x). Příklad Určete číslo podmíněnosti úlohy U vypočítat hodnotu y 4 podle vzorců (1.2.3) při zaokrouhlování na tři desetinná místa. Řešení: Dostáváme r(y 0 ) = r(y 4 ) = C U = r(y 4) r(y 0 ) = = ,. = 1.207, Všimněme si, že při výpočtu podle vzorců (1.2.3) se hodnota y i 1 násobí pěti, čímž dojde také k pětinásobnému zvětšení chyby. Vstupní porucha se v hodnotě y 4 promítne násobená číslem 5 4 = 625, což je zhruba číslo podmíněnosti C U. Kontrolní otázky Otázka 1. Jak se definuje absolutní a relativní chyba a jejich odhady? Otázka 2. Jak se chovají chyby při provádění aritmetických operací? Otázka 3. Jak se definuje číslo podmíněnosti úlohy? Úlohy k samostatnému řešení 1. Pro aproximaci x = 3.14 Ludolfova čísla x = určete absolutní arelativní chybu a jejich odhady. 2. Pro data z příkladu určete relativní chyby při sčítání, odčítání adělení. 3. Určete číslo podmíněnosti úlohy vypočítat y 0 podle vzorců (1.2.4). -19-

22 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. e(x) = , ɛ(x) =0.0016, r(x) = , δ(x) = Pro u = x 1 +x 2 je e(u) =0, e(u) 20, r(u) =0, r(u) ;prow = x 1 x 2 je e(w) = 3900, e(w) , r(w) = , r(w) ; pro z = x 1 /x 2 je e(z) = , e(z) , r(z) = , r(z) y 9 = , r(y 9 )=(y )/0.017 = , r(y 0 )=( )/ = , C U = r(y 0 ) / r(y 9 ) = Shrnutí lekce Ukázali jsem, jak se šíří chyby při provádění aritmetických operací. Dále jsme ukázali jak posuzovat citlivost úloh na vstupní a zaokrouhlovací chyby. -20-

23 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické, goniometrické atp.) umíme kořeny vypočítat pomocí (uzavřených) vzorců, pro drtivou většinu funkcí však žádné takové vzorce neexistují. Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou funkci f. Patřídotřídy metod iteračních, kterépočítají posloupnost {x k } konvergující prok ke kořenu x. Obecně platí, že konvergence nastane, pokud je počáteční aproximacex 0 zvolena dostatečně blízko u hledaného kořene. Jednotlivé iterační metodysepaklišírychlostí konvergence Separace kořenů Cíle Ukážeme několik možností, jak provést rozbor rovnice f(x) = 0,jehož výsledkem je separace kořenů v dostatečně krátkých intervalech. Předpokládané znalosti Spojitost funkce, grafy elementárních funkcí. Výklad a) Grafická separace 1. Z grafu funkce f najdeme polohu průsečíků sx-ovou osou. b) Grafická separace 2. Rovnici f(x) = 0 převedeme na ekvivalentní rovnici h(x) = g(x) anakreslíme grafy funkcí g a h. Průsečíky těchto grafů promítneme -21-

24 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody do x-ové osy,čímž zjistíme polohu kořenů. c) Separace tabelací. Sestavíme tabulku funkčních hodnot funkce f apodlezna- ménkových změn určíme intervaly obsahující kořeny. Využíváme přitomnásledující větu. Věta Necht f je spojitá funkce na intervalu a, b, pronižplatí f(a)f(b) < 0. (2.1.1) Pak uvnitř intervalu(a, b) ležíaspoň jeden kořen rovnice f(x) =0. Jinými slovy věta říká, že ze znaménkové změny u funkčních hodnot v krajních bodech intervalu a, b můžeme rozpoznat výskyt kořene uvnitř tohoto intervalu. Příklad Pro rovnici 10 cos (x 1) x 2 +2x 1=0 určete intervaly délky nejvýše 0.1 obsahující kořeny. Řešení: Z grafu funkce f(x) =10cos(x 1) x 2 +2x 1 naobrázku a lze usoudit, že existují dvakořeny x 1 a x 2,kteréležívvintervalu 5, 5. Zadanou rovnici přepíšeme do tvaru 10 cos (x 1) = x 2 2x +1. Grafy funkcí g(x) =10cos(x 1) a h(x) =x 2 2x +1jsouznázorněny na obrázku b. Odtud plyne, že x 1 1, 0 a x 2 2, 3. Dalšízpřesnění polohy kořenů provedeme pomocí tabelace. Z Tabulky je patrné, že kořeny leží vintervalech x 1 0.4, 0.3 a x 2 2.3,

25 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC a b Obrázek 2.1.1: a) Graf funkce f; b) Grafy funkcí g a h. Tabulka 2.1.1: Tabelace funkce f. x f(x) x f(x) Kontrolní otázky Otázka 1. Jak se provádí separace kořenů rovnic? Otázka 2. Jaký jegrafickýsmyslvěty ? Úlohy k samostatnému řešení 1. Proved te separaci kořenů rovnicex 2 x 6 ln x =0. 7 Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. Dva kořeny: x 1 (0.9, 0.91), x 2 =

26 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody 2.2. Nejjednoduššímetody Cíle Seznámíme se s nejjednoduššími iteračními metodami pro výpočet kořenůrovnice f(x) = 0. Jsou založeny na postupném zkracování intervalu,který obsahuje kořen. Tato strategie zaručuje konvergenci pro každou spojitou funkci, výpočet je však pomalý. Předpokládané znalosti Určení polohykořene pomocí znaménkových změn, věta Rovnice přímky. Výklad Princip zkracování intervalu použijemeudvoumetod.začněme proto nejdříve jeho obecným popisem. Budeme přitom předpokládat, že f je spojitá funkce na intervalu a 0,b 0,pronižplatí f(a 0 )f(b 0 ) < 0. Zvolíme bod x 1 (a 0,b 0 ), kterým rozdělíme původní intervalnadvěčásti, a jako nový interval a 1,b 1 vezmeme tu část, v níž ležíkořen x. Rozhodujeme se takto: je-li f(x 1 )=0,potomx 1 je kořen, tj. x = x 1 ; je-li f(a 0 )f(x 1 ) < 0, položíme a 1,b 1 = a 0,x 1 ; je-li f(x 1 )f(b 0 ) < 0, položíme a 1,b 1 = x 1,b 0. Pokud nastane první případ, jsme hotovi. V opačném případě zopakujeme celý postup na intervalu a 1,b 1,tj.zvolíme bod x 2 (a 1,b 1 ), který bud to je kořenem, nebo s jeho pomocí určíme dalšíinterval a 2,b 2 kořen obsahující atd.. Uvedeným postupem tedy vytvoříme posloupnosti {a k }, {b k } a {x k } takové, že kořen x ležíuvnitřkaždého z intervalů a k,b k. Abychom byli schopni určit číselnou hodnotu kořene x, musíkněmu konvergovat posloupnost {x k }.Tozajistíme vhodnou konkrétní volboubodů x k. -24-

27 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Metoda půleníintervalu Bod x k+1 určíme jako střed intervalu a k,b k podle vzorce x k+1 = ak + b k. (2.2.1) 2 Intervaly tedy postupněpůlíme a jejich středy tvořící posloupnost {x k } konvergují ke kořenu x. Výpočet ukončíme při dosažení zadanépřesnosti ɛ, tj.kdyžplatí x x k+1 ɛ. Otázkou je, jak takovou situaci rozpoznat, jelikož x neznáme. Musí však platit x x k+1 bk a k, 2 protože kořen x ležící v intervalu a k,b k se od středu x k+1 nemůže lišit víc než opolovinudélky intervalu. Pro ukončení výpočtu proto použijeme kritérium b k a k ɛ (2.2.2) 2 aposlednístřed x k+1 je pak aproximací kořene x spřeností ɛ. Algoritmus (Metoda půlení intervalu) Vstup: f, a 0, b 0, ɛ. Pro k =0, 1,... opakuj: x k+1 := (a k + b k )/2; je-li f(x k+1 ) = 0, potom jdi na Výstup; je-li f(a k )f(x k+1 ) < 0, potom a k+1 := a k,b k+1 := x k+1 ; je-li f(x k+1 )f(b k ) < 0, potom a k+1 := x k+1,b k+1 := b k ; dokud b k+1 a k+1 >ɛ. Výstup: poslední hodnota x k+1. Příklad Metodou půlení intervalu vypočtěte kořen rovnice f(x) 10 cos (x 1) x 2 +2x 1=0, který leží v intervalu 2.3, 2.4 spřesností ɛ =

28 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody Řešení: Na začátku je a 0 = 2.3, b 0 = 2.4 aprvnístřed je x 1 = Tabulka ukazuje průběh výpočtu. Symbolem + nebo za číslem zaznamenáváme znaménko funkční hodnoty funkce f vtomtobodě. Všimněme si, že x k+1 nahrazuje a k nebo b k tak, aby byla zachována znaménková změna. Aproximace kořene s přesností ɛ je posledníčíslo ve sloupci x k+1. Proto x =2.378±10 3. Tabulka 2.2.1: Metoda půlení intervalu. k a k b k x k+1 (b k a k )/ < 10 3 = ɛ Metoda regula falsi Vintervalu a k,b k zvolíme bod x k+1 jako kořen přímky p, kteráprocházíkrajními body grafu funkce f, viz obrázek α. Uvažovaná přímka je dána předpisem p(x) =f(a k )+ f(bk ) f(a k ) b k a k (x a k ) ajejíkořen je určen rovností p(x k+1 ) = 0. Odtud lze snadno odvodit vzorec který sepoužívá při výpočtu. x k+1 = a k b k a k f(b k ) f(a k ) f(ak ), (2.2.3) Geometrický smysl metody regula falsi je patrný z obrázku β. Ukončení iterací se provádí podle kritéria x k+1 x k ɛ, (2.2.4) -26-

29 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC x k+1 a k x b k x 1 x 2 x 3 a 0 x b 0 α β Obrázek 2.2.1: Metoda regula falsi. kde ɛ>0jedanémaléčíslo. Algoritmus (Metoda regula falsi) Vstup: f, a 0, b 0, ɛ, x 0 := a 0. Pro k =0, 1,... opakuj: x k+1 := a k (b k a k )/(f(b k ) f(a k ))f(a k ); je-li f(x k+1 ) = 0, potom jdi na Výstup; je-li f(a k )f(x k+1 ) < 0, potom a k+1 := a k,b k+1 := x k+1 ; je-li f(x k+1 )f(b k ) < 0, potom a k+1 := x k+1,b k+1 := b k ; dokud x k+1 x k >ɛ. Výstup: poslední hodnota x k+1. Příklad Metodou regula falsi vypočtěte kořen rovnice z příkladu Řešení: Na začátku je a 0 =2.3, b 0 =2.4 apoložíme ještě x 0 = a 0.Vprvní iteraci vypočítáme x 1 := 2.3 ( )f(2.3)/(f(2.4) f(2.3)). = , x 1 x 0 = = Tabulka zachycuje celývýpočet, kterýseřídípodobnými pravidly jako u me- -27-

30 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody tody půlení intervalu.výsledná aproximacekořene je x =2.379 ± Tabulka 2.2.2: Metoda regula falsi. k a k b k x k+1 x k+1 x k < 10 3 = ɛ Poznámka Ukončovací kritérium (2.2.4) říká, že poslední dvě aproximace kořene se lišíméně než ɛ. Může se ovšem stát, že obě jsouodskutečné hodnotykořene vzdálené více než ɛ. Poznáme to tak, že u funkčních hodnot f(x k ɛ),f(x k ),f(x k + ɛ) nedojde ke znaménkové změně. V takovém případě jemožno provést doplňující výpočet funkčních hodnot...,f(x k 2ɛ),f(x k ɛ),f(x k ),f(x k + ɛ),f(x k +2ɛ),... který zastavíme, když dojde ke znaménkové změně. Kontrolní otázky Otázka 1. V čem se shodují avčem se lišímetodapůlení intervalu a metoda regula falsi? Která z nich je rychlejší? Otázka 2. Podrobně odvod te vzorec (2.2.3). Otázka 3. Proč nelze metodu regula falsi ukončovat podle kritéria (2.2.2)? Úlohy k samostatnému řešení 1. Vypočtěte kořeny rovnice x 2 x 6 ln x =0metodoupůleníintervalu,ɛ 7 = Vypočtěte kořeny rovnice z předchozí úlohy metodou regula falsi. Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. Začneme-li na intervalu (0.9, 0.91), bude ve čtvrté iteraci x = ± Začneme-li na stejném intervalu, bude ve druhé iteraci x = ±

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit. 7. ODR POČÁTEČNÍ ÚLOHY Numerické metody 7. ODR počáteční úlohy Průvodce studiem Jen velmi málo diferenciálních rovnic, které se vyskytují při popisu praktických úloh, se dářešit exaktně, a i když dokážeme

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Numerické řešení rovnice f(x) = 0

Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Přemysl Vihan 9.10.2003 Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l. 2. ročník, PMVT-mag. Abstrakt Seminární práce se zabývá numerickým řešením

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ doc RNDr Josef Dalík, CSc MATEMATIKA IV NUMERICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε c Josef

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více