Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA"

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA NUMERICKÉ METODY Radek Kučera Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ / /0016 Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického základu studia. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

2 ISBN

3 Numerické metody STUDIJNÍ OPORY S PEVAŽUJÍCÍMI DISTANNÍMI PRVKY PRO PEDMTY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA je název projektu, který uspl v rámci první výzvy Operaního programu Rozvoj lidských zdroj. Projekt je spolufinancován státním rozpotem R a Evropským sociálním fondem. Partnery projektu jsou Regionální stedisko výchovy a vzdlávání, s.r.o. v Most, Univerzita obrany v Brn a Technická univerzita v Liberci. Projekt byl zahájen a bude ukonen Cílem projektu je zpracování studijních materiál z matematiky, deskriptivní geometrie, fyziky a chemie tak, aby umožnily pedevším samostatné studium a tím minimalizovaly poet kontaktních hodin s uitelem. Je zejmé, že vytvoené texty jsou ureny studentm všech forem studia. Studenti kombinované a distanní formy studia je využijí k samostudiu, studenti v prezenní form si mohou doplnit získané vdomosti. Všem studentm texty pomohou pi procviení a ovení získaných vdomostí. Nezanedbatelným cílem projektu je umožnit zvýšení kvalifikace širokému spektru osob, které nemohly ve studiu na vysoké škole z rzných dvod (sociálních, rodinných, politických) pokraovat bezprostedn po maturit. V rámci projektu jsou vytvoeny jednak standardní uební texty v tištné podob, koncipované pro samostatné studium, jednak e-learningové studijní materiály, pístupné prostednictvím internetu. Souástí výstup je rovnž banka testových úloh pro jednotlivé pedmty, na níž si studenti oví, do jaké míry zvládli prostudované uivo. Bližší informace o projektu mžete najít na adrese Pejeme vám mnoho úspch pi studiu a budeme mít radost, pokud vám pedložený text pomže pi studiu a bude se vám líbit. Protože nikdo není neomylný, mohou se i v tomto textu objevit nejasnosti a chyby. Pedem se za n omlouváme a budeme vám vdni, pokud nás na n upozorníte. ESF ROVNÉ PÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY - 1 -

4 Numerické metody Pokyny ke studiu POKYNY KE STUDIU V úvodu si vysvtlíme jednotnou pevnou strukturu každé kapitoly textu, která by vám mla pomoci k rychlejší orientaci pi studiu. Pro zvýraznní jednotlivých ástí textu jsou používány ikony a barevné odlišení, jejichž význam nyní objasníme. Prvodce studiem vás strun seznámí s obsahem dané kapitoly a s její motivací. Slouží také k instrukci, jak pokraovat dál po vyešení kontrolních otázek nebo kontrolních text. Cíle vás seznámí s uivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování mli umt. Pedpokládané znalosti shrnují strun uivo, které byste mli znát ješt díve než kapitolu zanete studovat. Jsou nezbytným pedpokladem pro úspšné zvládnutí následující kapitoly. Výklad oznauje samotný výklad uiva dané kapitoly, který je lenn zpsobem obvyklým v matematice na definice, vty, pípadn dkazy. Definice Zavádí základní pojmy v dané kapitole. Vta Uvádí základní vlastnosti pojm zavedených v dané kapitole. Dkaz: Vychází z pedpoklad vty a dokazuje tvrzení uvedené ve vt

5 Numerické metody Pokyny ke studiu Poznámka neformáln komentuje vykládanou látku.. ešené úlohy oznaují vzorové píklady, které ilustrují probrané uivo. Píklad Uvádí zadání píkladu. ešení: Uvádí podrobné ešení zadaného píkladu. Úlohy k samostatnému ešení obsahují zadání píklad k procviení probraného uiva. Úlohy oznaené patí k obtížnjším a jsou ureny zájemcm o hlubší pochopení tématu. Výsledky úloh k samostatnému ešení obsahují správné výsledky pedchozích píklad, slouží ke kontrole správnosti ešení. Kontrolní otázky obsahují soubor otázek k probranému uivu vetn nkolika odpovdí, z nichž je vždy alespo jedna správná. Odpovdi na kontrolní otázky uvádjí správné odpovdi na kontrolní otázky. Kontrolní test obsahuje soubor píklad k probranému uivu. Výsledky testu uvádjí správné odpovdi na píklady kontrolního testu

6 Numerické metody Pokyny ke studiu Shrnutí lekce obsahuje struný pehled uiva, které by ml student po prostudování píslušné kapitoly zvládnout. Literatura obsahuje seznam knih, které byly použity pi tvorb píslušného textu a na které byly pípadn uvedeny odkazy k hlubšímu prostudování tématu. Piktogram, který upozoruje na dležité vztahy nebo vlastnosti, které je nezbytné si zapamatovat

7 Numerické metody OBSAH Obsah 1. Numerické metodyachyby Obsah předmětu Chyby v numerických výpočtech Řešení nelineárních rovnic Separace kořenů Nejjednodušší metody Metoda půlení intervalu Metoda regula falsi Newtonova metoda Metoda prosté iterace SLR přímé metody Formulace úlohy Gaussova eliminační metoda (GEM) Zpětný chod GEM Dopředný chod GEM Výběr hlavníhoprvku LU rozklad Použití LU-rozkladu Řešení soustav lineárníchrovnic Výpočet inverzní matice Výpočet determinantu Maticové normyapodmíněnost matic SLR iterační metody Příklad iteračního výpočtu Obecné iterační metody

8 OBSAH Numerické metody Jacobiova metoda Gauss-Seidelova metoda Vlastníčísla a vlastnívektorymatic Výpočet vlastních číselmetodoulu-rozkladu Konvergence iteračních metod Interpolace a aproximace funkcí Interpolační polynom Lagrangeův tvar interpolačníhopolynomu Newtonův tvar interpolačníhopolynomu Interpolační chyba Interpolační splajny Lineární splajn Kubický splajn Aproximace metodou nejmenších čtverců Numerické integrování aderivování Newton-Cotesovy vzorce Složené vzorce Výpočet integrálu se zadanou přesností Numerické derivování ODR počáteční úlohy Formulace úlohy Eulerova metoda Jednokrokové metodyvyššího řádu Vícekrokové metody Literatura

9 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY 1. Numerické metodyachyby 1.1. Obsah předmětu Průvodce studiem Numerickou úlohou rozumíme jasný a jednoznačný popis vztahu mezi konečným počtem vstupních a výstupních dat (reálných čísel). Podstatnájepřitom konečnost vstupního a výstupního souboru, která vesvém důsledku umožňuje při řešenípoužít počítač. Postupy řešení numerických úloh se pak nazývají numerické nebo počítačové metody. Numerické úlohy patří do skupiny úloh diskrétních. Matematické modelyse však často formulujíjakoúlohy spojité,unichž se mezi vstupními nebo výstupními daty vyskytují spojité funkce. Pokud chceme takové úlohy řešit numerickými metodami, musíme je nejdříve na úlohy diskrétní převést, tj. diskretizovat. Cíle Na příkladech ukážeme diskrétní aspojitéúlohy. Dále předvedeme diskretizaci a vysvětlíme pojmy diskretizační parametr a řád. Předpokládané znalosti Kvadratická rovnice, soustava lineárních rovnic, určitý integrál, počáteční úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici. Výklad 1) Úloha řešit kvadratickou rovnici ax2 + bx + c =0,a 0,jeúloha diskrétní. Vstupní datajsoukoeficientya, b, c, výstupní datajsoureálná čísla α 1,β 1,α 2,β 2, která určují dvakomplexníkořeny x k = α k + iβ k, k =1,

10 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody 2) Diskrétní úlohou je také soustava lineárních rovnic Ax = b, kde A =(a ij )jedanáčtvercová maticeřádu n, b = (b i )jedanýsloupcový vektor o n složkách a x =(x i )jesloupcový vektor neznámých také on složkách. Například pro n =3můžeme takovou soustavu psát v maticovém tvaru a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 nebo po jednotlivých rovnicích a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2, a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3. Vstupními daty jsou zde prvky matice a ij a vektoru pravých stran b i.výstupními daty jsou složky x i vektoru neznámých. Připomeňme ještě, že řešení může být jediné, nemusí existovat, nebojichmůže být nekonečně mnoho. 3) Úloha vypočítat určitý integrál I = b a f(x) dx je spojitá úloha, protože jedním ze vstupů jespojitá funkce f. Natomtopříkladě si předvedeme diskretizaci. Integrační interval a, b rozdělíme na n úseků odélce h pomocí bodů x i, i =0, 1,...,n,tak,že x i x i 1 = h, x 0 = a a x n = b. Pakmůžeme psát I = x1 x2 xn f(x) dx + f(x) dx f(x) dx. x 0 x 1 x n 1 Každý dílčíintegrál nahradíme jeho přibližnou hodnotou xi ( ) xi 1 + x i f(x) dx hf x i

11 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY amísto hodnoty I budeme počítat její aproximaci ( ) ( ) ( ) x0 + x 1 x1 + x 2 xn 1 + x n I h = hf + hf hf. (1.1.1) Výpočet podle posledního vzorce je již úloha diskrétní. Vstupními daty jsou funkční hodnoty f ( x i 1 +x i ) 2, i =1,...,na parametr h.výstupnídatapředstavuje přibližná hodnota I h. Integrál I Aproximace I h Obrázek 1.1.1: Znázornění integrálu I ajehoaproximacei h. Smysl vzorce (1.1.1) ukazuje obrázek 1.1.1, kde jsou hodnoty I a I h znázorněny jako velikosti plochy příslušného obrazce. Odtud můžeme usoudit, že při menším h bude I h lépe aproximovat I, tj.,že platí lim I h = I. (1.1.2) h 0 + Jinými slovy řešení diskretizovanéúlohy se může přiblížit libovolněpřesněkřešení původní úlohy spojité, pokud zvolíme dostatečně malý diskretizační parametr h. Kladné číslo p, pro něž platí I I h Ch p, (1.1.3) kde C > 0 je konstanta nezávislá na h, se nazývá řád diskretizace. Výraz na levé straně nerovnosti (1.1.3) je velikost diskretizační chyby. Tato chyba bude při zmenšujícím se h klesat k nule tím rychleji, čím větší bude hodnota p. Diskretizace vysokého řádu je proto přesnější než diskretizace nízkého řádu; viz tabulka

12 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Tabulka 1.1.1: Odhady diskretizační chyby Ch p pro C =1. h p =1 p =2 p = Příklad Pomocí vzorce (1.1.1) vypočtěte přibližnou hodnotu integrálu I = 1 0 x 2 dx pro h = 0.5, 0.25 a Z výsledků odhadněte, jaký je řád diskretizace. Řešení: Přesná hodnota integrálu je I = 1.Přibližné hodnoty vypočítáme takto: 3 I 0.5 = 0.5( )=0.3125, I 0.25 = 0.25( )= , I = 0.125( )= Diskretizační chyby mají hodnotu: E 0.5 = I I 0.5 = , E 0.25 = I I 0.25 = , E = I I = Při odhadu řádu diskretizace budeme pro jednoduchost předpokládat, že v (1.1.3) nastane rovnost. Pro h =0.5 pakdostáváme E 0.5 E 0.25 = Chp C(h/2) p =2p = p =log 2 E 0.5 E = Podobně proh = 0.25 vypočteme p. = Z těchto výsledků můžeme usoudit, že diskretizace podle vzorce (1.1.1) je druhého řádu. -10-

13 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY 4) Úloha najít funkci y = y(x), která splňuje diferenciální rovnici y = x 2 0.2y (1.1.4) a vyhovuje počáteční podmínce y( 2) = 1, je spojitá úloha. Jak uvidíme později, diskretizace této úlohy bude v mnohém podobná postupu, který jsme použili při diskretizaci určitého integrálu. Kontrolní otázky Otázka 1. Jakýjerozdíl mezi diskrétní aspojitouúlohou? Otázka 2. Co je to diskretizace? Jakýjevýznam diskretizačního parametru? Otázka 3. Je přesnější diskretizace vysokého nebo nízkého řádu? Úlohy k samostatnému řešení 1. Vyřešte rovnice: a) x 2 +3x +1=0;b)x 2 +2x +1=0;c)x 2 + x +1=0. 2. Řešte následující soustavy lineárních rovnic: a) 1 3 x 1 = 6, b) 1 2 x 1 = 3, x 2 c) 1 2 x 1 = x 2 1 Jak lze rozhodnout z hodnoty determinantu matice o existenci řešení? 3. Pomocí vzorce (1.1.1) vypočtěte přibližnou hodnotu integrálu I = 1 1 x 2 dx pro h = 1, 0.5 a 0.25 a určete diskretizační chyby. 4. Vyřešte diferenciální rovnici (1.1.4) pomocí známých analytických metod. x 2-11-

14 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. a) Dva kořeny x 1. = , x2. = ; b) jeden (dvojnásobný) kořen x 1 = x 2 = 1; c) dva komplexně sdružené kořeny x 1 = x 2. = 0.5 ± i a) x =(3, 1),detA = 7; b) nekonečne mnoho řešení x =(3 2t, 3 2t), t R, deta =0;c)řešení neexistuje. 3. I. =0.6667, I 1 =0.5, I I 1 I =0.6563, I I0.25. = =0.1667, I 0.5 =0.625, I I 0.5. =0.0417, 4. Obecnéřešení jey(x) =5x 2 50x Ce 0.2x,řešení vyhovující počáteční podmínce je určeno konstantou C = Shrnutí lekce Ukázali jsem rozdělení matematických úloh na úlohy diskrétní aspojité. Diskrétní úlohy lze zpravidla okamžitěřešit pomocínumerických metod. Spojité úlohy je potřeba nejdříve diskretizovat. -12-

15 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY 1.2. Chyby v numerických výpočtech Průvodce studiem Chyby, kterými jsou ovlivněny výsledky numerických výpočtů, mají různou podstatu. Chyba matematického modelu vzniká vdůsledku toho, že místo skutečného technického nebo fyzikálního problému řešíme jeho matematický model. Je-li řešení tohoto modelu z nějakého důvodu náročné nebo nemožné, provedeme jeho aproximaci jednoduššíúlohou, čímž vzniknechyba aproximační. Jejím speciálním případem je diskretizační chyba, kterou jsme zmínili v předchozím odstavci. Dalším zdrojem chyb je počítání s nepřesnými čísly. Sem patří chyby vstupních dat a chyby zaokrouhlovací. Vstupní data mohou být naměřené veličiny, jejichžnepřesnost je dána rozlišovací schopností měřících zařízení. K zaokrouhlování mezivýsledků docházívprůběhu celého výpočtu, protože pro ukládáníčísel je k dispozici pouze omezený pamět ový prostor. Konečně jsouvýsledky ovlivněny také chybami lidského faktoru. Jedná se o chyby v počítačových programech, špatná zadání vstupních dat, nevhodnou volbu matematického modelu nebo nesprávný výběr metody řešení. Cíle Budeme se zabývat chybami zaokrouhlovacími a ukážeme jejich vliv na stabilitu numerického výpočtu. Předpokládané znalosti Základní aritmetické operace, určitý integrál, rekurentní výpočty. -13-

16 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Výklad Definice Necht x je přesná hodnota reálného čísla a x je jeho aproximace. Rozdíl e(x) = x x se nazývá absolutní chyba. Odhad absolutní chyby je číslo ɛ(x), pro které platí x x ɛ(x). (1.2.1) Je-li x 0,pakčíslo r(x) = x x x se nazývá relativní chyba. Odhad relativní chyby je číslo δ(x), pro kteréplatí x x x δ(x). Relativní chybaajejí odhad se často udávají v procentech. Nerovnost (1.2.1) znamená x x ɛ(x),x+ ɛ(x), což symbolicky zapisujeme x = x ± ɛ(x). Pokud nebude hrozit nedorozumnění, budeme psát e, r, ɛ a δ místo e(x), r(x), ɛ(x) a δ(x). Příklad Číslo x = 2.72 je aproximace Eulerova čísla x = Absolutní chybajee = ajejí odhad je například číslo ɛ =0.002, protože e ɛ. Proto x =2.72 ± Relativní chybajer = a za odhad relativní chyby můžeme vzít δ = , protože r δ. Nyní ukážeme jak se šíří chyby při provádění aritmetických operací. Budeme přitom předpokládat, že vykonáváme přesné aritmetické operace s nepřesnými čísly, tj. s aproximacemi, a že známe chyby, respektive jejich odhady. -14-

17 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Necht x i = x i + e(x i ), e(x i ) ɛ(x i ), r(x i ) δ(x i ), i =1, 2. (a) Je-li u = x 1 + x 2 aproximace součtu ū = x 1 + x 2, potom ū = x 1 + e(x 1 )+x 2 + e(x 2 )=u + e(u), kde aplatí e(u) =e(x 1 )+e(x 2 ) e(u) e(x 1 ) + e(x 2 ) ɛ(x 1 )+ɛ(x 2 ). (b) Je-li v = x 1 x 2 aproximace rozdílu v = x 1 x 2, potom e(v) =e(x 1 ) e(x 2 ) aplatí e(v) e(x 1 ) + e(x 2 ) ɛ(x 1 )+ɛ(x 2 ). (c) Je-li w = x 1 x 2 aproximace součinu w = x 1 x 2, potom w =(x 1 + e(x 1 ))(x 2 + e(x 2 )) = w + x 1 e(x 2 )+x 2 e(x 1 )+e(x 1 )e(x 2 ) aklademe Odtud e(w) x 1 e(x 2 )+x 2 e(x 1 ). e(w) x 1 ɛ(x 2 )+ x 2 ɛ(x 1 ). (d) Je-li z = x 1 /x 2 aproximace podílu z = x 1 / x 2, potom z = x 1 + e(x 1 ) x 2 + e(x 2 ) = z + e(z), kde e(z) = x 2e(x 1 ) x 1 e(x 2 ) x 2 (x 2 + e(x 2 )) x 2e(x 1 ) x 1 e(x 2 ) x

18 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody aplatí e(z) x 2 ɛ(x 1 )+ x 1 ɛ(x 2 ) x 2 2. Pro relativní chyby můžeme z pravidel (a), (b), (c) a (d) odvodit: ( ) 1 e(x 1 ) e(x 2 ) 1 (A) r(u) = x 1 + x 2 = (x 1 r(x 1 )+x 2 r(x 2 )), x 1 + x 2 x 1 x 2 x 1 + x 2 r(u) 1 (B) r(v) = x 1 x 2 r(v) 1 x 1 + x 2 ( x 1 δ(x 1 )+ x 2 δ(x 2 )), ( ) e(x 1 ) e(x 2 ) x 1 x 2 = x 1 x 2 1 x 1 x 2 ( x 1 δ(x 1 )+ x 2 δ(x 2 )), (C) r(w) x 1e(x 2 )+x 2 e(x 1 ) x 1 x 2 = r(x 2 )+r(x 1 ), r(w) δ(x 2 )+δ(x 1 ), (D) r(z) x 2e(x 1 ) x 1 e(x 2 ) x 2 2 r(z) δ(x 1 )+δ(x 2 ). x2 x 1 = r(x 1 ) r(x 2 ), 1 x 1 x 2 (x 1 r(x 1 ) x 2 r(x 2 )), Poznámka Při odčítáníblízkých čísel (pravidlo (B)) má na velikost relativní chybyrozhodující vliv zlomek 1/ x 1 x 2,kterýukazuje,že dochází keztrátě relativnípřesnosti. Příklad Necht x 1 = , x 1 = , x 2 = a x 2 = Určete k jak velké ztrátě relativní přesnosti dojde při odčítání. Řešení: Protože e(x 1 )= 10,e(x 2 ) = 10, můžeme položit = = δ(x 1 ), = = δ(x 2 ). -16-

19 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Dále je v = x 1 x 2 = 380 a v = x 1 x 2 = 400, a proto v v v = = = δ(v). Došlo ke ztrátě relativnípřesnosti zhruba o tři řády. Podle pravidla (B) totižplatí r(v) (δ(x 1)+δ(x 2 )) 2000(δ(x 1 )+δ(x 2 )). Výklad Při provádění rozsáhlejších výpočtů může nastat situace, kdy se zaokrouhlovací chyby nekontrolovatelně hromadí a mohou znehodnotit výsledek. O takovém výpočtu říkáme, že je numericky nestabilní. Ukážeme to na příkladu. Předpokládejme, že je naším úkolem vypočítat hodnoty integrálů 1 x i y i = dx pro i =0, 1,...,8. (1.2.2) 0 x +5 Pomocí úpravy 1 x i +5x i 1 1 i 1 x +5 1 y i +5y i 1 = dx = x x +5 x +5 dx = x i 1 dx = 1 i odvodíme rekurentní vzorec 0 0 y i = 1 i 5y i 1 pro i =1, 2,...,8. (1.2.3) Při výpočtu budeme zaokrouhlovat na tři desetinná místa. Nejdříve určíme startovací hodnotu 1 1 y 0 = 0 x +5 dx = [ln x +5 ]1 0 = = a potom pomocí (1.2.3) počítáme y 1 = 1 5y 0 = = 0.090, y 2 = 1 2 5y 1 = = 0.050, 2 y 3 = 1 3 5y 2 = = , y 4 = 1 4 5y 3 = =

20 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Poslední hodnota y 4 je zjevně nesmyslná, protože všechny integrály musí být kladné. Správná hodnota je y 4 = Výpočet podle vzorce (1.2.3) je tedy numericky nestabilní. Nestability se zbavíme vhodnější organizací výpočtu. Rekurentní vzorec (1.2.3) přepíšeme pro výpočet v opačném směru, tj. y i 1 = 1 5i 1 5 y i pro i =9, 8,...,1. (1.2.4).. Startovací hodnotu y 9 určímezpřibližné rovnostiy 10 = y9, odkud y 9 = 1 1y ,. a proto y 9 = Pomocí vzorce (1.2.4) dostaneme: y 8 = y 9 = = , y 7 = y 8 = = ,. y 0 = y 1 = = Hodnota y 0 je přesná (natři desetinná místa), takže výpočet podle vzorce (1.2.4) je numericky stabilní. Definice Uvažujme úlohu ȳ = U( x). Necht x je porušená vstupní hodnota a y je odpovídající porušená hodnota výsledku. Číslem podmíněnosti úlohy U nazýváme číslo C U,prokteréplatí r(y) = C U r(x), kde r(x) ar(y) jsourelativní chyby. Číslo podmíněnosti vyjadřuje citlivost úlohy na poruchu ve vstupních datech. Je-li C U 1, říkáme, že úloha U je dobře podmíněná. Je-liC U velké, říkáme, že úloha U je špatně podmíněná. Podlečísla podmíněnosti můžeme posoudit také citlivost úlohy na zaokrouhlovací chyby, protože je můžeme interpretovat jako -18-

21 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY důsledek (teoretické) počáteční poruchy. Pokud umíme určit jenom odhady relativních chyb, stanovíme číslo pomíněnosti přibližně, tj. C U δ(y) δ(x). Příklad Určete číslo podmíněnosti úlohy U vypočítat hodnotu y 4 podle vzorců (1.2.3) při zaokrouhlování na tři desetinná místa. Řešení: Dostáváme r(y 0 ) = r(y 4 ) = C U = r(y 4) r(y 0 ) = = ,. = 1.207, Všimněme si, že při výpočtu podle vzorců (1.2.3) se hodnota y i 1 násobí pěti, čímž dojde také k pětinásobnému zvětšení chyby. Vstupní porucha se v hodnotě y 4 promítne násobená číslem 5 4 = 625, což je zhruba číslo podmíněnosti C U. Kontrolní otázky Otázka 1. Jak se definuje absolutní a relativní chyba a jejich odhady? Otázka 2. Jak se chovají chyby při provádění aritmetických operací? Otázka 3. Jak se definuje číslo podmíněnosti úlohy? Úlohy k samostatnému řešení 1. Pro aproximaci x = 3.14 Ludolfova čísla x = určete absolutní arelativní chybu a jejich odhady. 2. Pro data z příkladu určete relativní chyby při sčítání, odčítání adělení. 3. Určete číslo podmíněnosti úlohy vypočítat y 0 podle vzorců (1.2.4). -19-

22 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. e(x) = , ɛ(x) =0.0016, r(x) = , δ(x) = Pro u = x 1 +x 2 je e(u) =0, e(u) 20, r(u) =0, r(u) ;prow = x 1 x 2 je e(w) = 3900, e(w) , r(w) = , r(w) ; pro z = x 1 /x 2 je e(z) = , e(z) , r(z) = , r(z) y 9 = , r(y 9 )=(y )/0.017 = , r(y 0 )=( )/ = , C U = r(y 0 ) / r(y 9 ) = Shrnutí lekce Ukázali jsem, jak se šíří chyby při provádění aritmetických operací. Dále jsme ukázali jak posuzovat citlivost úloh na vstupní a zaokrouhlovací chyby. -20-

23 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické, goniometrické atp.) umíme kořeny vypočítat pomocí (uzavřených) vzorců, pro drtivou většinu funkcí však žádné takové vzorce neexistují. Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou funkci f. Patřídotřídy metod iteračních, kterépočítají posloupnost {x k } konvergující prok ke kořenu x. Obecně platí, že konvergence nastane, pokud je počáteční aproximacex 0 zvolena dostatečně blízko u hledaného kořene. Jednotlivé iterační metodysepaklišírychlostí konvergence Separace kořenů Cíle Ukážeme několik možností, jak provést rozbor rovnice f(x) = 0,jehož výsledkem je separace kořenů v dostatečně krátkých intervalech. Předpokládané znalosti Spojitost funkce, grafy elementárních funkcí. Výklad a) Grafická separace 1. Z grafu funkce f najdeme polohu průsečíků sx-ovou osou. b) Grafická separace 2. Rovnici f(x) = 0 převedeme na ekvivalentní rovnici h(x) = g(x) anakreslíme grafy funkcí g a h. Průsečíky těchto grafů promítneme -21-

24 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody do x-ové osy,čímž zjistíme polohu kořenů. c) Separace tabelací. Sestavíme tabulku funkčních hodnot funkce f apodlezna- ménkových změn určíme intervaly obsahující kořeny. Využíváme přitomnásledující větu. Věta Necht f je spojitá funkce na intervalu a, b, pronižplatí f(a)f(b) < 0. (2.1.1) Pak uvnitř intervalu(a, b) ležíaspoň jeden kořen rovnice f(x) =0. Jinými slovy věta říká, že ze znaménkové změny u funkčních hodnot v krajních bodech intervalu a, b můžeme rozpoznat výskyt kořene uvnitř tohoto intervalu. Příklad Pro rovnici 10 cos (x 1) x 2 +2x 1=0 určete intervaly délky nejvýše 0.1 obsahující kořeny. Řešení: Z grafu funkce f(x) =10cos(x 1) x 2 +2x 1 naobrázku a lze usoudit, že existují dvakořeny x 1 a x 2,kteréležívvintervalu 5, 5. Zadanou rovnici přepíšeme do tvaru 10 cos (x 1) = x 2 2x +1. Grafy funkcí g(x) =10cos(x 1) a h(x) =x 2 2x +1jsouznázorněny na obrázku b. Odtud plyne, že x 1 1, 0 a x 2 2, 3. Dalšízpřesnění polohy kořenů provedeme pomocí tabelace. Z Tabulky je patrné, že kořeny leží vintervalech x 1 0.4, 0.3 a x 2 2.3,

25 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC a b Obrázek 2.1.1: a) Graf funkce f; b) Grafy funkcí g a h. Tabulka 2.1.1: Tabelace funkce f. x f(x) x f(x) Kontrolní otázky Otázka 1. Jak se provádí separace kořenů rovnic? Otázka 2. Jaký jegrafickýsmyslvěty ? Úlohy k samostatnému řešení 1. Proved te separaci kořenů rovnicex 2 x 6 ln x =0. 7 Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. Dva kořeny: x 1 (0.9, 0.91), x 2 =

26 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody 2.2. Nejjednoduššímetody Cíle Seznámíme se s nejjednoduššími iteračními metodami pro výpočet kořenůrovnice f(x) = 0. Jsou založeny na postupném zkracování intervalu,který obsahuje kořen. Tato strategie zaručuje konvergenci pro každou spojitou funkci, výpočet je však pomalý. Předpokládané znalosti Určení polohykořene pomocí znaménkových změn, věta Rovnice přímky. Výklad Princip zkracování intervalu použijemeudvoumetod.začněme proto nejdříve jeho obecným popisem. Budeme přitom předpokládat, že f je spojitá funkce na intervalu a 0,b 0,pronižplatí f(a 0 )f(b 0 ) < 0. Zvolíme bod x 1 (a 0,b 0 ), kterým rozdělíme původní intervalnadvěčásti, a jako nový interval a 1,b 1 vezmeme tu část, v níž ležíkořen x. Rozhodujeme se takto: je-li f(x 1 )=0,potomx 1 je kořen, tj. x = x 1 ; je-li f(a 0 )f(x 1 ) < 0, položíme a 1,b 1 = a 0,x 1 ; je-li f(x 1 )f(b 0 ) < 0, položíme a 1,b 1 = x 1,b 0. Pokud nastane první případ, jsme hotovi. V opačném případě zopakujeme celý postup na intervalu a 1,b 1,tj.zvolíme bod x 2 (a 1,b 1 ), který bud to je kořenem, nebo s jeho pomocí určíme dalšíinterval a 2,b 2 kořen obsahující atd.. Uvedeným postupem tedy vytvoříme posloupnosti {a k }, {b k } a {x k } takové, že kořen x ležíuvnitřkaždého z intervalů a k,b k. Abychom byli schopni určit číselnou hodnotu kořene x, musíkněmu konvergovat posloupnost {x k }.Tozajistíme vhodnou konkrétní volboubodů x k. -24-

27 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Metoda půleníintervalu Bod x k+1 určíme jako střed intervalu a k,b k podle vzorce x k+1 = ak + b k. (2.2.1) 2 Intervaly tedy postupněpůlíme a jejich středy tvořící posloupnost {x k } konvergují ke kořenu x. Výpočet ukončíme při dosažení zadanépřesnosti ɛ, tj.kdyžplatí x x k+1 ɛ. Otázkou je, jak takovou situaci rozpoznat, jelikož x neznáme. Musí však platit x x k+1 bk a k, 2 protože kořen x ležící v intervalu a k,b k se od středu x k+1 nemůže lišit víc než opolovinudélky intervalu. Pro ukončení výpočtu proto použijeme kritérium b k a k ɛ (2.2.2) 2 aposlednístřed x k+1 je pak aproximací kořene x spřeností ɛ. Algoritmus (Metoda půlení intervalu) Vstup: f, a 0, b 0, ɛ. Pro k =0, 1,... opakuj: x k+1 := (a k + b k )/2; je-li f(x k+1 ) = 0, potom jdi na Výstup; je-li f(a k )f(x k+1 ) < 0, potom a k+1 := a k,b k+1 := x k+1 ; je-li f(x k+1 )f(b k ) < 0, potom a k+1 := x k+1,b k+1 := b k ; dokud b k+1 a k+1 >ɛ. Výstup: poslední hodnota x k+1. Příklad Metodou půlení intervalu vypočtěte kořen rovnice f(x) 10 cos (x 1) x 2 +2x 1=0, který leží v intervalu 2.3, 2.4 spřesností ɛ =

28 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody Řešení: Na začátku je a 0 = 2.3, b 0 = 2.4 aprvnístřed je x 1 = Tabulka ukazuje průběh výpočtu. Symbolem + nebo za číslem zaznamenáváme znaménko funkční hodnoty funkce f vtomtobodě. Všimněme si, že x k+1 nahrazuje a k nebo b k tak, aby byla zachována znaménková změna. Aproximace kořene s přesností ɛ je posledníčíslo ve sloupci x k+1. Proto x =2.378±10 3. Tabulka 2.2.1: Metoda půlení intervalu. k a k b k x k+1 (b k a k )/ < 10 3 = ɛ Metoda regula falsi Vintervalu a k,b k zvolíme bod x k+1 jako kořen přímky p, kteráprocházíkrajními body grafu funkce f, viz obrázek α. Uvažovaná přímka je dána předpisem p(x) =f(a k )+ f(bk ) f(a k ) b k a k (x a k ) ajejíkořen je určen rovností p(x k+1 ) = 0. Odtud lze snadno odvodit vzorec který sepoužívá při výpočtu. x k+1 = a k b k a k f(b k ) f(a k ) f(ak ), (2.2.3) Geometrický smysl metody regula falsi je patrný z obrázku β. Ukončení iterací se provádí podle kritéria x k+1 x k ɛ, (2.2.4) -26-

29 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC x k+1 a k x b k x 1 x 2 x 3 a 0 x b 0 α β Obrázek 2.2.1: Metoda regula falsi. kde ɛ>0jedanémaléčíslo. Algoritmus (Metoda regula falsi) Vstup: f, a 0, b 0, ɛ, x 0 := a 0. Pro k =0, 1,... opakuj: x k+1 := a k (b k a k )/(f(b k ) f(a k ))f(a k ); je-li f(x k+1 ) = 0, potom jdi na Výstup; je-li f(a k )f(x k+1 ) < 0, potom a k+1 := a k,b k+1 := x k+1 ; je-li f(x k+1 )f(b k ) < 0, potom a k+1 := x k+1,b k+1 := b k ; dokud x k+1 x k >ɛ. Výstup: poslední hodnota x k+1. Příklad Metodou regula falsi vypočtěte kořen rovnice z příkladu Řešení: Na začátku je a 0 =2.3, b 0 =2.4 apoložíme ještě x 0 = a 0.Vprvní iteraci vypočítáme x 1 := 2.3 ( )f(2.3)/(f(2.4) f(2.3)). = , x 1 x 0 = = Tabulka zachycuje celývýpočet, kterýseřídípodobnými pravidly jako u me- -27-

30 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody tody půlení intervalu.výsledná aproximacekořene je x =2.379 ± Tabulka 2.2.2: Metoda regula falsi. k a k b k x k+1 x k+1 x k < 10 3 = ɛ Poznámka Ukončovací kritérium (2.2.4) říká, že poslední dvě aproximace kořene se lišíméně než ɛ. Může se ovšem stát, že obě jsouodskutečné hodnotykořene vzdálené více než ɛ. Poznáme to tak, že u funkčních hodnot f(x k ɛ),f(x k ),f(x k + ɛ) nedojde ke znaménkové změně. V takovém případě jemožno provést doplňující výpočet funkčních hodnot...,f(x k 2ɛ),f(x k ɛ),f(x k ),f(x k + ɛ),f(x k +2ɛ),... který zastavíme, když dojde ke znaménkové změně. Kontrolní otázky Otázka 1. V čem se shodují avčem se lišímetodapůlení intervalu a metoda regula falsi? Která z nich je rychlejší? Otázka 2. Podrobně odvod te vzorec (2.2.3). Otázka 3. Proč nelze metodu regula falsi ukončovat podle kritéria (2.2.2)? Úlohy k samostatnému řešení 1. Vypočtěte kořeny rovnice x 2 x 6 ln x =0metodoupůleníintervalu,ɛ 7 = Vypočtěte kořeny rovnice z předchozí úlohy metodou regula falsi. Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. Začneme-li na intervalu (0.9, 0.91), bude ve čtvrté iteraci x = ± Začneme-li na stejném intervalu, bude ve druhé iteraci x = ±

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit. 7. ODR POČÁTEČNÍ ÚLOHY Numerické metody 7. ODR počáteční úlohy Průvodce studiem Jen velmi málo diferenciálních rovnic, které se vyskytují při popisu praktických úloh, se dářešit exaktně, a i když dokážeme

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0548 Název školy: Gymnázium, Trutnov, Jiráskovo náměstí 325 Název materiálu: VY_32_INOVACE_143_IVT Autor: Ing. Pavel Bezděk Tematický okruh:

Více

Posloupnosti a jejich limity

Posloupnosti a jejich limity KMA/MAT Přednáška č. 7, Posloupnosti a jejich ity 5. listopadu 203 Motivační příklady Prozkoumejme, zatím laicky, následující posloupnosti: Posloupnost, 4, 9,..., n 2,... : Hodnoty rostou nade všechny

Více

Numerická matematika. Radek Kučera, Zuzana Morávková. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava

Numerická matematika. Radek Kučera, Zuzana Morávková. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Numerická matematika Radek Kučera, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava ISBN Tento materiál vznikl jako součást řešení interního

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Moderní numerické metody

Moderní numerické metody Moderní numerické metody Sbírka příkladů doc. RNDr. Jaromír Baštinec, CSc. RNDr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Moderní numerické metody 1 Obsah 1 Soustavy lineárních rovnic 7 2 Řešení jedné nelineární

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Numerické řešení rovnice f(x) = 0

Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Přemysl Vihan 9.10.2003 Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l. 2. ročník, PMVT-mag. Abstrakt Seminární práce se zabývá numerickým řešením

Více

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC

ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

ekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura

ekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura a diferenční - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 27. září 2012 Obsah 1 2 3 4 5 6 7 Proč povídat o diferenciálních (δr) a diferenčních rovnicích ( R) v kurzu? δr a R jsou vhodné pro popisy vztahů a vývoje

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojmy: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocniny neznámé x, tj. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 = 0, kde n je přirozené

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

1 Diference a diferenční rovnice

1 Diference a diferenční rovnice 1 Diference a diferenční rovnice Nechť je dána ekvidistantní síť uzlů x 0, x 1,..., x n tj. h R, h > 0 takové, že x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., n. Číslo h se nazývá krok. Někdy můžeme uvažovat i nekonečnou

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA IV STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ doc RNDr Josef Dalík, CSc MATEMATIKA IV NUMERICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε c Josef

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více