Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Radek Kučera ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA"

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA NUMERICKÉ METODY Radek Kučera Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ / /0016 Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického základu studia. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

2 ISBN

3 Numerické metody STUDIJNÍ OPORY S PEVAŽUJÍCÍMI DISTANNÍMI PRVKY PRO PEDMTY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA je název projektu, který uspl v rámci první výzvy Operaního programu Rozvoj lidských zdroj. Projekt je spolufinancován státním rozpotem R a Evropským sociálním fondem. Partnery projektu jsou Regionální stedisko výchovy a vzdlávání, s.r.o. v Most, Univerzita obrany v Brn a Technická univerzita v Liberci. Projekt byl zahájen a bude ukonen Cílem projektu je zpracování studijních materiál z matematiky, deskriptivní geometrie, fyziky a chemie tak, aby umožnily pedevším samostatné studium a tím minimalizovaly poet kontaktních hodin s uitelem. Je zejmé, že vytvoené texty jsou ureny studentm všech forem studia. Studenti kombinované a distanní formy studia je využijí k samostudiu, studenti v prezenní form si mohou doplnit získané vdomosti. Všem studentm texty pomohou pi procviení a ovení získaných vdomostí. Nezanedbatelným cílem projektu je umožnit zvýšení kvalifikace širokému spektru osob, které nemohly ve studiu na vysoké škole z rzných dvod (sociálních, rodinných, politických) pokraovat bezprostedn po maturit. V rámci projektu jsou vytvoeny jednak standardní uební texty v tištné podob, koncipované pro samostatné studium, jednak e-learningové studijní materiály, pístupné prostednictvím internetu. Souástí výstup je rovnž banka testových úloh pro jednotlivé pedmty, na níž si studenti oví, do jaké míry zvládli prostudované uivo. Bližší informace o projektu mžete najít na adrese Pejeme vám mnoho úspch pi studiu a budeme mít radost, pokud vám pedložený text pomže pi studiu a bude se vám líbit. Protože nikdo není neomylný, mohou se i v tomto textu objevit nejasnosti a chyby. Pedem se za n omlouváme a budeme vám vdni, pokud nás na n upozorníte. ESF ROVNÉ PÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY - 1 -

4 Numerické metody Pokyny ke studiu POKYNY KE STUDIU V úvodu si vysvtlíme jednotnou pevnou strukturu každé kapitoly textu, která by vám mla pomoci k rychlejší orientaci pi studiu. Pro zvýraznní jednotlivých ástí textu jsou používány ikony a barevné odlišení, jejichž význam nyní objasníme. Prvodce studiem vás strun seznámí s obsahem dané kapitoly a s její motivací. Slouží také k instrukci, jak pokraovat dál po vyešení kontrolních otázek nebo kontrolních text. Cíle vás seznámí s uivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování mli umt. Pedpokládané znalosti shrnují strun uivo, které byste mli znát ješt díve než kapitolu zanete studovat. Jsou nezbytným pedpokladem pro úspšné zvládnutí následující kapitoly. Výklad oznauje samotný výklad uiva dané kapitoly, který je lenn zpsobem obvyklým v matematice na definice, vty, pípadn dkazy. Definice Zavádí základní pojmy v dané kapitole. Vta Uvádí základní vlastnosti pojm zavedených v dané kapitole. Dkaz: Vychází z pedpoklad vty a dokazuje tvrzení uvedené ve vt

5 Numerické metody Pokyny ke studiu Poznámka neformáln komentuje vykládanou látku.. ešené úlohy oznaují vzorové píklady, které ilustrují probrané uivo. Píklad Uvádí zadání píkladu. ešení: Uvádí podrobné ešení zadaného píkladu. Úlohy k samostatnému ešení obsahují zadání píklad k procviení probraného uiva. Úlohy oznaené patí k obtížnjším a jsou ureny zájemcm o hlubší pochopení tématu. Výsledky úloh k samostatnému ešení obsahují správné výsledky pedchozích píklad, slouží ke kontrole správnosti ešení. Kontrolní otázky obsahují soubor otázek k probranému uivu vetn nkolika odpovdí, z nichž je vždy alespo jedna správná. Odpovdi na kontrolní otázky uvádjí správné odpovdi na kontrolní otázky. Kontrolní test obsahuje soubor píklad k probranému uivu. Výsledky testu uvádjí správné odpovdi na píklady kontrolního testu

6 Numerické metody Pokyny ke studiu Shrnutí lekce obsahuje struný pehled uiva, které by ml student po prostudování píslušné kapitoly zvládnout. Literatura obsahuje seznam knih, které byly použity pi tvorb píslušného textu a na které byly pípadn uvedeny odkazy k hlubšímu prostudování tématu. Piktogram, který upozoruje na dležité vztahy nebo vlastnosti, které je nezbytné si zapamatovat

7 Numerické metody OBSAH Obsah 1. Numerické metodyachyby Obsah předmětu Chyby v numerických výpočtech Řešení nelineárních rovnic Separace kořenů Nejjednodušší metody Metoda půlení intervalu Metoda regula falsi Newtonova metoda Metoda prosté iterace SLR přímé metody Formulace úlohy Gaussova eliminační metoda (GEM) Zpětný chod GEM Dopředný chod GEM Výběr hlavníhoprvku LU rozklad Použití LU-rozkladu Řešení soustav lineárníchrovnic Výpočet inverzní matice Výpočet determinantu Maticové normyapodmíněnost matic SLR iterační metody Příklad iteračního výpočtu Obecné iterační metody

8 OBSAH Numerické metody Jacobiova metoda Gauss-Seidelova metoda Vlastníčísla a vlastnívektorymatic Výpočet vlastních číselmetodoulu-rozkladu Konvergence iteračních metod Interpolace a aproximace funkcí Interpolační polynom Lagrangeův tvar interpolačníhopolynomu Newtonův tvar interpolačníhopolynomu Interpolační chyba Interpolační splajny Lineární splajn Kubický splajn Aproximace metodou nejmenších čtverců Numerické integrování aderivování Newton-Cotesovy vzorce Složené vzorce Výpočet integrálu se zadanou přesností Numerické derivování ODR počáteční úlohy Formulace úlohy Eulerova metoda Jednokrokové metodyvyššího řádu Vícekrokové metody Literatura

9 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY 1. Numerické metodyachyby 1.1. Obsah předmětu Průvodce studiem Numerickou úlohou rozumíme jasný a jednoznačný popis vztahu mezi konečným počtem vstupních a výstupních dat (reálných čísel). Podstatnájepřitom konečnost vstupního a výstupního souboru, která vesvém důsledku umožňuje při řešenípoužít počítač. Postupy řešení numerických úloh se pak nazývají numerické nebo počítačové metody. Numerické úlohy patří do skupiny úloh diskrétních. Matematické modelyse však často formulujíjakoúlohy spojité,unichž se mezi vstupními nebo výstupními daty vyskytují spojité funkce. Pokud chceme takové úlohy řešit numerickými metodami, musíme je nejdříve na úlohy diskrétní převést, tj. diskretizovat. Cíle Na příkladech ukážeme diskrétní aspojitéúlohy. Dále předvedeme diskretizaci a vysvětlíme pojmy diskretizační parametr a řád. Předpokládané znalosti Kvadratická rovnice, soustava lineárních rovnic, určitý integrál, počáteční úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici. Výklad 1) Úloha řešit kvadratickou rovnici ax2 + bx + c =0,a 0,jeúloha diskrétní. Vstupní datajsoukoeficientya, b, c, výstupní datajsoureálná čísla α 1,β 1,α 2,β 2, která určují dvakomplexníkořeny x k = α k + iβ k, k =1,

10 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody 2) Diskrétní úlohou je také soustava lineárních rovnic Ax = b, kde A =(a ij )jedanáčtvercová maticeřádu n, b = (b i )jedanýsloupcový vektor o n složkách a x =(x i )jesloupcový vektor neznámých také on složkách. Například pro n =3můžeme takovou soustavu psát v maticovém tvaru a 11 a 12 a 13 x 1 b 1 a 21 a 22 a 23 x 2 = b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 nebo po jednotlivých rovnicích a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2, a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3. Vstupními daty jsou zde prvky matice a ij a vektoru pravých stran b i.výstupními daty jsou složky x i vektoru neznámých. Připomeňme ještě, že řešení může být jediné, nemusí existovat, nebojichmůže být nekonečně mnoho. 3) Úloha vypočítat určitý integrál I = b a f(x) dx je spojitá úloha, protože jedním ze vstupů jespojitá funkce f. Natomtopříkladě si předvedeme diskretizaci. Integrační interval a, b rozdělíme na n úseků odélce h pomocí bodů x i, i =0, 1,...,n,tak,že x i x i 1 = h, x 0 = a a x n = b. Pakmůžeme psát I = x1 x2 xn f(x) dx + f(x) dx f(x) dx. x 0 x 1 x n 1 Každý dílčíintegrál nahradíme jeho přibližnou hodnotou xi ( ) xi 1 + x i f(x) dx hf x i

11 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY amísto hodnoty I budeme počítat její aproximaci ( ) ( ) ( ) x0 + x 1 x1 + x 2 xn 1 + x n I h = hf + hf hf. (1.1.1) Výpočet podle posledního vzorce je již úloha diskrétní. Vstupními daty jsou funkční hodnoty f ( x i 1 +x i ) 2, i =1,...,na parametr h.výstupnídatapředstavuje přibližná hodnota I h. Integrál I Aproximace I h Obrázek 1.1.1: Znázornění integrálu I ajehoaproximacei h. Smysl vzorce (1.1.1) ukazuje obrázek 1.1.1, kde jsou hodnoty I a I h znázorněny jako velikosti plochy příslušného obrazce. Odtud můžeme usoudit, že při menším h bude I h lépe aproximovat I, tj.,že platí lim I h = I. (1.1.2) h 0 + Jinými slovy řešení diskretizovanéúlohy se může přiblížit libovolněpřesněkřešení původní úlohy spojité, pokud zvolíme dostatečně malý diskretizační parametr h. Kladné číslo p, pro něž platí I I h Ch p, (1.1.3) kde C > 0 je konstanta nezávislá na h, se nazývá řád diskretizace. Výraz na levé straně nerovnosti (1.1.3) je velikost diskretizační chyby. Tato chyba bude při zmenšujícím se h klesat k nule tím rychleji, čím větší bude hodnota p. Diskretizace vysokého řádu je proto přesnější než diskretizace nízkého řádu; viz tabulka

12 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Tabulka 1.1.1: Odhady diskretizační chyby Ch p pro C =1. h p =1 p =2 p = Příklad Pomocí vzorce (1.1.1) vypočtěte přibližnou hodnotu integrálu I = 1 0 x 2 dx pro h = 0.5, 0.25 a Z výsledků odhadněte, jaký je řád diskretizace. Řešení: Přesná hodnota integrálu je I = 1.Přibližné hodnoty vypočítáme takto: 3 I 0.5 = 0.5( )=0.3125, I 0.25 = 0.25( )= , I = 0.125( )= Diskretizační chyby mají hodnotu: E 0.5 = I I 0.5 = , E 0.25 = I I 0.25 = , E = I I = Při odhadu řádu diskretizace budeme pro jednoduchost předpokládat, že v (1.1.3) nastane rovnost. Pro h =0.5 pakdostáváme E 0.5 E 0.25 = Chp C(h/2) p =2p = p =log 2 E 0.5 E = Podobně proh = 0.25 vypočteme p. = Z těchto výsledků můžeme usoudit, že diskretizace podle vzorce (1.1.1) je druhého řádu. -10-

13 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY 4) Úloha najít funkci y = y(x), která splňuje diferenciální rovnici y = x 2 0.2y (1.1.4) a vyhovuje počáteční podmínce y( 2) = 1, je spojitá úloha. Jak uvidíme později, diskretizace této úlohy bude v mnohém podobná postupu, který jsme použili při diskretizaci určitého integrálu. Kontrolní otázky Otázka 1. Jakýjerozdíl mezi diskrétní aspojitouúlohou? Otázka 2. Co je to diskretizace? Jakýjevýznam diskretizačního parametru? Otázka 3. Je přesnější diskretizace vysokého nebo nízkého řádu? Úlohy k samostatnému řešení 1. Vyřešte rovnice: a) x 2 +3x +1=0;b)x 2 +2x +1=0;c)x 2 + x +1=0. 2. Řešte následující soustavy lineárních rovnic: a) 1 3 x 1 = 6, b) 1 2 x 1 = 3, x 2 c) 1 2 x 1 = x 2 1 Jak lze rozhodnout z hodnoty determinantu matice o existenci řešení? 3. Pomocí vzorce (1.1.1) vypočtěte přibližnou hodnotu integrálu I = 1 1 x 2 dx pro h = 1, 0.5 a 0.25 a určete diskretizační chyby. 4. Vyřešte diferenciální rovnici (1.1.4) pomocí známých analytických metod. x 2-11-

14 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. a) Dva kořeny x 1. = , x2. = ; b) jeden (dvojnásobný) kořen x 1 = x 2 = 1; c) dva komplexně sdružené kořeny x 1 = x 2. = 0.5 ± i a) x =(3, 1),detA = 7; b) nekonečne mnoho řešení x =(3 2t, 3 2t), t R, deta =0;c)řešení neexistuje. 3. I. =0.6667, I 1 =0.5, I I 1 I =0.6563, I I0.25. = =0.1667, I 0.5 =0.625, I I 0.5. =0.0417, 4. Obecnéřešení jey(x) =5x 2 50x Ce 0.2x,řešení vyhovující počáteční podmínce je určeno konstantou C = Shrnutí lekce Ukázali jsem rozdělení matematických úloh na úlohy diskrétní aspojité. Diskrétní úlohy lze zpravidla okamžitěřešit pomocínumerických metod. Spojité úlohy je potřeba nejdříve diskretizovat. -12-

15 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY 1.2. Chyby v numerických výpočtech Průvodce studiem Chyby, kterými jsou ovlivněny výsledky numerických výpočtů, mají různou podstatu. Chyba matematického modelu vzniká vdůsledku toho, že místo skutečného technického nebo fyzikálního problému řešíme jeho matematický model. Je-li řešení tohoto modelu z nějakého důvodu náročné nebo nemožné, provedeme jeho aproximaci jednoduššíúlohou, čímž vzniknechyba aproximační. Jejím speciálním případem je diskretizační chyba, kterou jsme zmínili v předchozím odstavci. Dalším zdrojem chyb je počítání s nepřesnými čísly. Sem patří chyby vstupních dat a chyby zaokrouhlovací. Vstupní data mohou být naměřené veličiny, jejichžnepřesnost je dána rozlišovací schopností měřících zařízení. K zaokrouhlování mezivýsledků docházívprůběhu celého výpočtu, protože pro ukládáníčísel je k dispozici pouze omezený pamět ový prostor. Konečně jsouvýsledky ovlivněny také chybami lidského faktoru. Jedná se o chyby v počítačových programech, špatná zadání vstupních dat, nevhodnou volbu matematického modelu nebo nesprávný výběr metody řešení. Cíle Budeme se zabývat chybami zaokrouhlovacími a ukážeme jejich vliv na stabilitu numerického výpočtu. Předpokládané znalosti Základní aritmetické operace, určitý integrál, rekurentní výpočty. -13-

16 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Výklad Definice Necht x je přesná hodnota reálného čísla a x je jeho aproximace. Rozdíl e(x) = x x se nazývá absolutní chyba. Odhad absolutní chyby je číslo ɛ(x), pro které platí x x ɛ(x). (1.2.1) Je-li x 0,pakčíslo r(x) = x x x se nazývá relativní chyba. Odhad relativní chyby je číslo δ(x), pro kteréplatí x x x δ(x). Relativní chybaajejí odhad se často udávají v procentech. Nerovnost (1.2.1) znamená x x ɛ(x),x+ ɛ(x), což symbolicky zapisujeme x = x ± ɛ(x). Pokud nebude hrozit nedorozumnění, budeme psát e, r, ɛ a δ místo e(x), r(x), ɛ(x) a δ(x). Příklad Číslo x = 2.72 je aproximace Eulerova čísla x = Absolutní chybajee = ajejí odhad je například číslo ɛ =0.002, protože e ɛ. Proto x =2.72 ± Relativní chybajer = a za odhad relativní chyby můžeme vzít δ = , protože r δ. Nyní ukážeme jak se šíří chyby při provádění aritmetických operací. Budeme přitom předpokládat, že vykonáváme přesné aritmetické operace s nepřesnými čísly, tj. s aproximacemi, a že známe chyby, respektive jejich odhady. -14-

17 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Necht x i = x i + e(x i ), e(x i ) ɛ(x i ), r(x i ) δ(x i ), i =1, 2. (a) Je-li u = x 1 + x 2 aproximace součtu ū = x 1 + x 2, potom ū = x 1 + e(x 1 )+x 2 + e(x 2 )=u + e(u), kde aplatí e(u) =e(x 1 )+e(x 2 ) e(u) e(x 1 ) + e(x 2 ) ɛ(x 1 )+ɛ(x 2 ). (b) Je-li v = x 1 x 2 aproximace rozdílu v = x 1 x 2, potom e(v) =e(x 1 ) e(x 2 ) aplatí e(v) e(x 1 ) + e(x 2 ) ɛ(x 1 )+ɛ(x 2 ). (c) Je-li w = x 1 x 2 aproximace součinu w = x 1 x 2, potom w =(x 1 + e(x 1 ))(x 2 + e(x 2 )) = w + x 1 e(x 2 )+x 2 e(x 1 )+e(x 1 )e(x 2 ) aklademe Odtud e(w) x 1 e(x 2 )+x 2 e(x 1 ). e(w) x 1 ɛ(x 2 )+ x 2 ɛ(x 1 ). (d) Je-li z = x 1 /x 2 aproximace podílu z = x 1 / x 2, potom z = x 1 + e(x 1 ) x 2 + e(x 2 ) = z + e(z), kde e(z) = x 2e(x 1 ) x 1 e(x 2 ) x 2 (x 2 + e(x 2 )) x 2e(x 1 ) x 1 e(x 2 ) x

18 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody aplatí e(z) x 2 ɛ(x 1 )+ x 1 ɛ(x 2 ) x 2 2. Pro relativní chyby můžeme z pravidel (a), (b), (c) a (d) odvodit: ( ) 1 e(x 1 ) e(x 2 ) 1 (A) r(u) = x 1 + x 2 = (x 1 r(x 1 )+x 2 r(x 2 )), x 1 + x 2 x 1 x 2 x 1 + x 2 r(u) 1 (B) r(v) = x 1 x 2 r(v) 1 x 1 + x 2 ( x 1 δ(x 1 )+ x 2 δ(x 2 )), ( ) e(x 1 ) e(x 2 ) x 1 x 2 = x 1 x 2 1 x 1 x 2 ( x 1 δ(x 1 )+ x 2 δ(x 2 )), (C) r(w) x 1e(x 2 )+x 2 e(x 1 ) x 1 x 2 = r(x 2 )+r(x 1 ), r(w) δ(x 2 )+δ(x 1 ), (D) r(z) x 2e(x 1 ) x 1 e(x 2 ) x 2 2 r(z) δ(x 1 )+δ(x 2 ). x2 x 1 = r(x 1 ) r(x 2 ), 1 x 1 x 2 (x 1 r(x 1 ) x 2 r(x 2 )), Poznámka Při odčítáníblízkých čísel (pravidlo (B)) má na velikost relativní chybyrozhodující vliv zlomek 1/ x 1 x 2,kterýukazuje,že dochází keztrátě relativnípřesnosti. Příklad Necht x 1 = , x 1 = , x 2 = a x 2 = Určete k jak velké ztrátě relativní přesnosti dojde při odčítání. Řešení: Protože e(x 1 )= 10,e(x 2 ) = 10, můžeme položit = = δ(x 1 ), = = δ(x 2 ). -16-

19 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Dále je v = x 1 x 2 = 380 a v = x 1 x 2 = 400, a proto v v v = = = δ(v). Došlo ke ztrátě relativnípřesnosti zhruba o tři řády. Podle pravidla (B) totižplatí r(v) (δ(x 1)+δ(x 2 )) 2000(δ(x 1 )+δ(x 2 )). Výklad Při provádění rozsáhlejších výpočtů může nastat situace, kdy se zaokrouhlovací chyby nekontrolovatelně hromadí a mohou znehodnotit výsledek. O takovém výpočtu říkáme, že je numericky nestabilní. Ukážeme to na příkladu. Předpokládejme, že je naším úkolem vypočítat hodnoty integrálů 1 x i y i = dx pro i =0, 1,...,8. (1.2.2) 0 x +5 Pomocí úpravy 1 x i +5x i 1 1 i 1 x +5 1 y i +5y i 1 = dx = x x +5 x +5 dx = x i 1 dx = 1 i odvodíme rekurentní vzorec 0 0 y i = 1 i 5y i 1 pro i =1, 2,...,8. (1.2.3) Při výpočtu budeme zaokrouhlovat na tři desetinná místa. Nejdříve určíme startovací hodnotu 1 1 y 0 = 0 x +5 dx = [ln x +5 ]1 0 = = a potom pomocí (1.2.3) počítáme y 1 = 1 5y 0 = = 0.090, y 2 = 1 2 5y 1 = = 0.050, 2 y 3 = 1 3 5y 2 = = , y 4 = 1 4 5y 3 = =

20 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Poslední hodnota y 4 je zjevně nesmyslná, protože všechny integrály musí být kladné. Správná hodnota je y 4 = Výpočet podle vzorce (1.2.3) je tedy numericky nestabilní. Nestability se zbavíme vhodnější organizací výpočtu. Rekurentní vzorec (1.2.3) přepíšeme pro výpočet v opačném směru, tj. y i 1 = 1 5i 1 5 y i pro i =9, 8,...,1. (1.2.4).. Startovací hodnotu y 9 určímezpřibližné rovnostiy 10 = y9, odkud y 9 = 1 1y ,. a proto y 9 = Pomocí vzorce (1.2.4) dostaneme: y 8 = y 9 = = , y 7 = y 8 = = ,. y 0 = y 1 = = Hodnota y 0 je přesná (natři desetinná místa), takže výpočet podle vzorce (1.2.4) je numericky stabilní. Definice Uvažujme úlohu ȳ = U( x). Necht x je porušená vstupní hodnota a y je odpovídající porušená hodnota výsledku. Číslem podmíněnosti úlohy U nazýváme číslo C U,prokteréplatí r(y) = C U r(x), kde r(x) ar(y) jsourelativní chyby. Číslo podmíněnosti vyjadřuje citlivost úlohy na poruchu ve vstupních datech. Je-li C U 1, říkáme, že úloha U je dobře podmíněná. Je-liC U velké, říkáme, že úloha U je špatně podmíněná. Podlečísla podmíněnosti můžeme posoudit také citlivost úlohy na zaokrouhlovací chyby, protože je můžeme interpretovat jako -18-

21 Numerické metody 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY důsledek (teoretické) počáteční poruchy. Pokud umíme určit jenom odhady relativních chyb, stanovíme číslo pomíněnosti přibližně, tj. C U δ(y) δ(x). Příklad Určete číslo podmíněnosti úlohy U vypočítat hodnotu y 4 podle vzorců (1.2.3) při zaokrouhlování na tři desetinná místa. Řešení: Dostáváme r(y 0 ) = r(y 4 ) = C U = r(y 4) r(y 0 ) = = ,. = 1.207, Všimněme si, že při výpočtu podle vzorců (1.2.3) se hodnota y i 1 násobí pěti, čímž dojde také k pětinásobnému zvětšení chyby. Vstupní porucha se v hodnotě y 4 promítne násobená číslem 5 4 = 625, což je zhruba číslo podmíněnosti C U. Kontrolní otázky Otázka 1. Jak se definuje absolutní a relativní chyba a jejich odhady? Otázka 2. Jak se chovají chyby při provádění aritmetických operací? Otázka 3. Jak se definuje číslo podmíněnosti úlohy? Úlohy k samostatnému řešení 1. Pro aproximaci x = 3.14 Ludolfova čísla x = určete absolutní arelativní chybu a jejich odhady. 2. Pro data z příkladu určete relativní chyby při sčítání, odčítání adělení. 3. Určete číslo podmíněnosti úlohy vypočítat y 0 podle vzorců (1.2.4). -19-

22 1. NUMERICKÉ METODYACHYBY Numerické metody Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. e(x) = , ɛ(x) =0.0016, r(x) = , δ(x) = Pro u = x 1 +x 2 je e(u) =0, e(u) 20, r(u) =0, r(u) ;prow = x 1 x 2 je e(w) = 3900, e(w) , r(w) = , r(w) ; pro z = x 1 /x 2 je e(z) = , e(z) , r(z) = , r(z) y 9 = , r(y 9 )=(y )/0.017 = , r(y 0 )=( )/ = , C U = r(y 0 ) / r(y 9 ) = Shrnutí lekce Ukázali jsem, jak se šíří chyby při provádění aritmetických operací. Dále jsme ukázali jak posuzovat citlivost úloh na vstupní a zaokrouhlovací chyby. -20-

23 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC 2. Řešení nelineárních rovnic Průvodce studiem Budeme se zabývat výpočtem reálných kořenů nelineární rovnice f(x) =0, (2.0.1) kde f je v jistém smyslu rozumná reálná funkce. Pro některé funkce (kvadratické, goniometrické atp.) umíme kořeny vypočítat pomocí (uzavřených) vzorců, pro drtivou většinu funkcí však žádné takové vzorce neexistují. Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou funkci f. Patřídotřídy metod iteračních, kterépočítají posloupnost {x k } konvergující prok ke kořenu x. Obecně platí, že konvergence nastane, pokud je počáteční aproximacex 0 zvolena dostatečně blízko u hledaného kořene. Jednotlivé iterační metodysepaklišírychlostí konvergence Separace kořenů Cíle Ukážeme několik možností, jak provést rozbor rovnice f(x) = 0,jehož výsledkem je separace kořenů v dostatečně krátkých intervalech. Předpokládané znalosti Spojitost funkce, grafy elementárních funkcí. Výklad a) Grafická separace 1. Z grafu funkce f najdeme polohu průsečíků sx-ovou osou. b) Grafická separace 2. Rovnici f(x) = 0 převedeme na ekvivalentní rovnici h(x) = g(x) anakreslíme grafy funkcí g a h. Průsečíky těchto grafů promítneme -21-

24 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody do x-ové osy,čímž zjistíme polohu kořenů. c) Separace tabelací. Sestavíme tabulku funkčních hodnot funkce f apodlezna- ménkových změn určíme intervaly obsahující kořeny. Využíváme přitomnásledující větu. Věta Necht f je spojitá funkce na intervalu a, b, pronižplatí f(a)f(b) < 0. (2.1.1) Pak uvnitř intervalu(a, b) ležíaspoň jeden kořen rovnice f(x) =0. Jinými slovy věta říká, že ze znaménkové změny u funkčních hodnot v krajních bodech intervalu a, b můžeme rozpoznat výskyt kořene uvnitř tohoto intervalu. Příklad Pro rovnici 10 cos (x 1) x 2 +2x 1=0 určete intervaly délky nejvýše 0.1 obsahující kořeny. Řešení: Z grafu funkce f(x) =10cos(x 1) x 2 +2x 1 naobrázku a lze usoudit, že existují dvakořeny x 1 a x 2,kteréležívvintervalu 5, 5. Zadanou rovnici přepíšeme do tvaru 10 cos (x 1) = x 2 2x +1. Grafy funkcí g(x) =10cos(x 1) a h(x) =x 2 2x +1jsouznázorněny na obrázku b. Odtud plyne, že x 1 1, 0 a x 2 2, 3. Dalšízpřesnění polohy kořenů provedeme pomocí tabelace. Z Tabulky je patrné, že kořeny leží vintervalech x 1 0.4, 0.3 a x 2 2.3,

25 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC a b Obrázek 2.1.1: a) Graf funkce f; b) Grafy funkcí g a h. Tabulka 2.1.1: Tabelace funkce f. x f(x) x f(x) Kontrolní otázky Otázka 1. Jak se provádí separace kořenů rovnic? Otázka 2. Jaký jegrafickýsmyslvěty ? Úlohy k samostatnému řešení 1. Proved te separaci kořenů rovnicex 2 x 6 ln x =0. 7 Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. Dva kořeny: x 1 (0.9, 0.91), x 2 =

26 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody 2.2. Nejjednoduššímetody Cíle Seznámíme se s nejjednoduššími iteračními metodami pro výpočet kořenůrovnice f(x) = 0. Jsou založeny na postupném zkracování intervalu,který obsahuje kořen. Tato strategie zaručuje konvergenci pro každou spojitou funkci, výpočet je však pomalý. Předpokládané znalosti Určení polohykořene pomocí znaménkových změn, věta Rovnice přímky. Výklad Princip zkracování intervalu použijemeudvoumetod.začněme proto nejdříve jeho obecným popisem. Budeme přitom předpokládat, že f je spojitá funkce na intervalu a 0,b 0,pronižplatí f(a 0 )f(b 0 ) < 0. Zvolíme bod x 1 (a 0,b 0 ), kterým rozdělíme původní intervalnadvěčásti, a jako nový interval a 1,b 1 vezmeme tu část, v níž ležíkořen x. Rozhodujeme se takto: je-li f(x 1 )=0,potomx 1 je kořen, tj. x = x 1 ; je-li f(a 0 )f(x 1 ) < 0, položíme a 1,b 1 = a 0,x 1 ; je-li f(x 1 )f(b 0 ) < 0, položíme a 1,b 1 = x 1,b 0. Pokud nastane první případ, jsme hotovi. V opačném případě zopakujeme celý postup na intervalu a 1,b 1,tj.zvolíme bod x 2 (a 1,b 1 ), který bud to je kořenem, nebo s jeho pomocí určíme dalšíinterval a 2,b 2 kořen obsahující atd.. Uvedeným postupem tedy vytvoříme posloupnosti {a k }, {b k } a {x k } takové, že kořen x ležíuvnitřkaždého z intervalů a k,b k. Abychom byli schopni určit číselnou hodnotu kořene x, musíkněmu konvergovat posloupnost {x k }.Tozajistíme vhodnou konkrétní volboubodů x k. -24-

27 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Metoda půleníintervalu Bod x k+1 určíme jako střed intervalu a k,b k podle vzorce x k+1 = ak + b k. (2.2.1) 2 Intervaly tedy postupněpůlíme a jejich středy tvořící posloupnost {x k } konvergují ke kořenu x. Výpočet ukončíme při dosažení zadanépřesnosti ɛ, tj.kdyžplatí x x k+1 ɛ. Otázkou je, jak takovou situaci rozpoznat, jelikož x neznáme. Musí však platit x x k+1 bk a k, 2 protože kořen x ležící v intervalu a k,b k se od středu x k+1 nemůže lišit víc než opolovinudélky intervalu. Pro ukončení výpočtu proto použijeme kritérium b k a k ɛ (2.2.2) 2 aposlednístřed x k+1 je pak aproximací kořene x spřeností ɛ. Algoritmus (Metoda půlení intervalu) Vstup: f, a 0, b 0, ɛ. Pro k =0, 1,... opakuj: x k+1 := (a k + b k )/2; je-li f(x k+1 ) = 0, potom jdi na Výstup; je-li f(a k )f(x k+1 ) < 0, potom a k+1 := a k,b k+1 := x k+1 ; je-li f(x k+1 )f(b k ) < 0, potom a k+1 := x k+1,b k+1 := b k ; dokud b k+1 a k+1 >ɛ. Výstup: poslední hodnota x k+1. Příklad Metodou půlení intervalu vypočtěte kořen rovnice f(x) 10 cos (x 1) x 2 +2x 1=0, který leží v intervalu 2.3, 2.4 spřesností ɛ =

28 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody Řešení: Na začátku je a 0 = 2.3, b 0 = 2.4 aprvnístřed je x 1 = Tabulka ukazuje průběh výpočtu. Symbolem + nebo za číslem zaznamenáváme znaménko funkční hodnoty funkce f vtomtobodě. Všimněme si, že x k+1 nahrazuje a k nebo b k tak, aby byla zachována znaménková změna. Aproximace kořene s přesností ɛ je posledníčíslo ve sloupci x k+1. Proto x =2.378±10 3. Tabulka 2.2.1: Metoda půlení intervalu. k a k b k x k+1 (b k a k )/ < 10 3 = ɛ Metoda regula falsi Vintervalu a k,b k zvolíme bod x k+1 jako kořen přímky p, kteráprocházíkrajními body grafu funkce f, viz obrázek α. Uvažovaná přímka je dána předpisem p(x) =f(a k )+ f(bk ) f(a k ) b k a k (x a k ) ajejíkořen je určen rovností p(x k+1 ) = 0. Odtud lze snadno odvodit vzorec který sepoužívá při výpočtu. x k+1 = a k b k a k f(b k ) f(a k ) f(ak ), (2.2.3) Geometrický smysl metody regula falsi je patrný z obrázku β. Ukončení iterací se provádí podle kritéria x k+1 x k ɛ, (2.2.4) -26-

29 Numerické metody 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC x k+1 a k x b k x 1 x 2 x 3 a 0 x b 0 α β Obrázek 2.2.1: Metoda regula falsi. kde ɛ>0jedanémaléčíslo. Algoritmus (Metoda regula falsi) Vstup: f, a 0, b 0, ɛ, x 0 := a 0. Pro k =0, 1,... opakuj: x k+1 := a k (b k a k )/(f(b k ) f(a k ))f(a k ); je-li f(x k+1 ) = 0, potom jdi na Výstup; je-li f(a k )f(x k+1 ) < 0, potom a k+1 := a k,b k+1 := x k+1 ; je-li f(x k+1 )f(b k ) < 0, potom a k+1 := x k+1,b k+1 := b k ; dokud x k+1 x k >ɛ. Výstup: poslední hodnota x k+1. Příklad Metodou regula falsi vypočtěte kořen rovnice z příkladu Řešení: Na začátku je a 0 =2.3, b 0 =2.4 apoložíme ještě x 0 = a 0.Vprvní iteraci vypočítáme x 1 := 2.3 ( )f(2.3)/(f(2.4) f(2.3)). = , x 1 x 0 = = Tabulka zachycuje celývýpočet, kterýseřídípodobnými pravidly jako u me- -27-

30 2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Numerické metody tody půlení intervalu.výsledná aproximacekořene je x =2.379 ± Tabulka 2.2.2: Metoda regula falsi. k a k b k x k+1 x k+1 x k < 10 3 = ɛ Poznámka Ukončovací kritérium (2.2.4) říká, že poslední dvě aproximace kořene se lišíméně než ɛ. Může se ovšem stát, že obě jsouodskutečné hodnotykořene vzdálené více než ɛ. Poznáme to tak, že u funkčních hodnot f(x k ɛ),f(x k ),f(x k + ɛ) nedojde ke znaménkové změně. V takovém případě jemožno provést doplňující výpočet funkčních hodnot...,f(x k 2ɛ),f(x k ɛ),f(x k ),f(x k + ɛ),f(x k +2ɛ),... který zastavíme, když dojde ke znaménkové změně. Kontrolní otázky Otázka 1. V čem se shodují avčem se lišímetodapůlení intervalu a metoda regula falsi? Která z nich je rychlejší? Otázka 2. Podrobně odvod te vzorec (2.2.3). Otázka 3. Proč nelze metodu regula falsi ukončovat podle kritéria (2.2.2)? Úlohy k samostatnému řešení 1. Vypočtěte kořeny rovnice x 2 x 6 ln x =0metodoupůleníintervalu,ɛ 7 = Vypočtěte kořeny rovnice z předchozí úlohy metodou regula falsi. Výsledky úloh k samostatnému řešení 1. Začneme-li na intervalu (0.9, 0.91), bude ve čtvrté iteraci x = ± Začneme-li na stejném intervalu, bude ve druhé iteraci x = ±

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce.

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce. Hledání kořenů Úloha: Pro danou funkci f(x) máme najít číslo r tak, aby f(r) = 0. Pozor, počítač totiž kořen nepozná! Má jistou přesnost výpočtu δ > 0 a prohlásí f(r) = 0 pokaždé, když f(x) < δ. Není ovšem

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí Numerické algoritmy KAPITOLA 11 V této kapitole: Vyhledávání nulových bodů funkcí Iterativní výpočet hodnot funkce Interpolace funkcí Lagrangeovou metodou Derivování funkcí Integrování funkcí Simpsonovou

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM

KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM KAPITOLA 9 - POKROČILÁ PRÁCE S TABULKOVÝM PROCESOREM CÍLE KAPITOLY Využívat pokročilé možnosti formátování, jako je podmíněné formátování, používat vlastní formát čísel a umět pracovat s listy. Používat

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete!

Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura. Kurzy-Fido.cz. ...s námi TSP zvládnete! Tento seminář pro Vás připravuje vzdělávací agentura Kurzy-Fido.cz...s námi TSP zvládnete! Řešení páté série (27.4.2009) 13. Hlavní myšlenka: efektivní porovnávání zlomků a desetinných čísel Postup: V

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více