M - Příprava na pololetní písemku č. 1

Transkript

1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty s reálnými čísly Výraz je matematický zápis, ve kterém se vyskytují čísla (např. 2, 76, 896), proměnné (např. x, y, z), znaky početních operací (např. +, -, :), případně i pomocné znaky (např. závorky). Pokud se ve výrazu nevyskytují proměnné, ale pouze čísla, hovoříme o číselném výrazu. Pozn.: Úpravy číselných výrazů budeme provádět zpaměti, tedy bez použití kalkulačky Přehled základních operací s číselnými výrazy 1. Sčítání (odečítání) číselných výrazů členy při sčítání nazýváme sčítanci, výsledek pak součet; při odečítání nazýváme číslo, od něhož odečítáme, menšenec, číslo, které odečítáme, menšitel a výsledek rozdíl při sčítání využíváme vhodně komutativnost, případně asociativnost jedná-li se o složitější čísla, postupujeme odzadu, podobně jako při sčítání (odečítání) písemném - pozor na odpovídající si řády! zlomky sčítáme (odečítáme) tak, že je nejprve převedeme na společného jmenovatele 2. Násobení číselných výrazů členy, které mezi sebou násobíme, nazýváme činitelé, výsledek pak jejich součin opět výhodně využíváme komutativnost nebo asociativnost složitější čísla si vynásobíme formou pomocného výpočtu pod sebe, případně můžeme využít některých dalších pomůcek (např. máme-li číslo vynásobit 25, je vhodné ho vynásobit stem a následně vydělit čtyřmi) násobíme-li desetinná čísla, má výsledek tolik desetinných míst, kolik jich měly všechny činitelé dohromady násobíme-li mezi sebou zlomky, pak součin jejich čitatelů lomíme součinem jejich jmenovatelů Pozn.: U zlomku horní číslo nazýváme čitatel, spodní jmenovatel 3. Dělení číselných výrazů číslo, které dělíme, nazýváme dělenec, číslo, kterým dělíme, nazýváme dělitel a výsledek podíl opět můžeme používat různé triky - např. chceme-li číslo dělit 25, pak ho vydělíme stem a následně vynásobíme čtyřmi dělíme-li mezi sebou desetinná čísla, postupujeme nejprve tak, že výpočet rozšíříme tak, aby v děliteli vymizelo desetinné číslo dělení často vyjadřujeme zlomkem Pozn.: Zlomky můžeme rozšiřovat (tj. můžeme násobit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly), dále je můžeme též krátit (tj. dělit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly). Při rozšiřování nebo krácení zlomků se nemění jejich hodnota. Zlomek je v základním tvaru, pokud už honelze dále krátit. dělíme-li mezi sebou dva zlomky, násobíme první zlomek (v nezměněné podobě) převrácenou hodnotou druhého zlomku Pozn.: Převrácenou hodnotu zlomku dostaneme tak, že jeho čitatele nahradíme jmenovatelem a naopak. Pokud u zlomku změníme jen znaménko, dostáváme zlomek opačný. Při této činnosti je jedno, zda napíšeme znaménko do čitatele, do jmenovatele nebo před zlomek. 4. Umocňování číselných výrazů umocňujeme-li desetinné číslo, pak výsledek má tolik desetinných míst, kolik je součin desetinných míst u původního čísla a exponentu mocniny umocňujeme-li číslo, které končí jednou nebo více nulami, pak umocníme tu část čísla, která vznikne po pomyslném odstranění nul a připíšeme tolik nul, kolik je součin jejich původního počtu a čísla v exponentu umocňujeme-li zlomek, pak umocňujeme jeho čitatele i jmenovatele druhé mocniny čísel do 20 musíme znát zpaměti z 18

3 stejně tak musíme znát zpaměti třetí mocniny čísel do Odmocňování číselných výrazů provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) druhou odmocninu desetinného čísla, musíme nejprve číslo upravit tak, aby obsahovalo sudý počet desetinných míst a zároveň toto číslo zapsané bez ohledu na desetinnou čárku bylo v rozmezí od jedné do tisíce. To provedeme tak, že buď přidáme nulu na konec čísla, případně provedeme zaokrouhlení. U výsledku pak přibude polovina desetinných míst z jejich původního počtu. provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) třetí odmocninu desetinného čísla, postupujeme úplně stejně, jen číslo v prvním kroku upravíme tak, aby počet desetinných míst byl násobkem tří. U výsledku pak přibude třetina desetinných míst z jejich původního počtu. jedná-li se o čísla naopak příliš velká (končí jednou nebo více nulami), provedeme zaokrouhlení tak, aby počet nul byl sudé číslo (pro druhou odmocninu) a číslo odpovídající násobku tří (pro třetí odmocninu) a zbytek čísla (po pomyslném oddělení nul) byl z rozmezí od jedné do tisíce. Po odmocnění posuneme desetinnou čárku o tolik míst doprava, kolik je polovina z celkového počtu nul (pro druhou odmocninu) nebo třetina z celkového počtu nul (pro třetí odmocninu) Pokud se v číselném výrazu vyskytují závorky, řešíme je na prvním místě s tím, že v první fázi odstraňujeme závorky kulaté, dále hranaté a nakonec teprve závorky složené. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešení: Příklad 2: Vypočtěte: 2 z 18

4 Řešení: Příklad 3: Vypočtěte: Řešení: Pozn.: Sejdou-li se při úpravě číselného výrazu, pak postupujeme tak, že dvě shodná znaménka nahradíme znaménkem plus a dvě opačná znaménka nahradíme znaménkem minus. 3 z 18

5 ± Výpočty s reálnými čísly 1. Vypočti Vypočti Vypočti ,16 4. Vypočti Vypočti Vypočti: ,8 4 z 18

6 7. Vypočti Vypočti Zjednoduš: Vypočti ,1 11. Vypočti z 18

7 12. Vypočti Vypočti Vypočti Vypočti a výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa , Vypočtěte a zaokrouhlete na desítky z 18

8 18. Vypočti Vypočti Vypočti Vypočti Vypočti z 18

9 23. Vypočti Vypočti , Vypočti Vypočti číslo b a zapiš jeho převrácenou hodnotu Vypočti Vypočti z 18

10 29. Vypočti Vypočtěte Vypočti Vypočti Vypočti z 18

11 34. Vypočti Zjednoduš zlomek a potom jej převeď na desetinné číslo zaokrouhlené na tisíciny , Vypočti Vypočti bez zaokrouhlování Vypočtěte bez použití kalkulátoru: é æ ö ù ( 3) + 6,4 : ( - 0,8) - ê : ç - - (1,8-2,9) ú ë 4 è 2 ø û -7, z 18

12 39. Vypočti Vypočti Vypočti Vypočti Vypočtěte: 15,1 - (-2) ,3: (-0,7) -[(2,5-3,7) : ,1] z 18

13 44. Vypočti Vypočti Vypočti Vypočti ± Algebraické výrazy Algebraické výrazy Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Výraz s proměnnou obsahuje zpravidla čísla, znaky početních operací, proměnné a pomocné znaky (např. závorky). Přehled důležitých vzorců: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A - B) 2 = A 2-2AB + B 2 (A - B).(A + B) = A 2 - B 2 (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 (A - B) 3 = A 3-3A 2 B + 3AB 2 - B 3 A 3 - B 3 = (A - B).(A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B).(A 2 - AB + B 2 ) 12 z 18

14 Zjednodušování algebraických výrazů budeme říkat, že výrazy upravujeme. Přehled základních operací s celistvými algebraickými výrazy: 1. Sčítání a odečítání výrazů Sčítat nebo odečítat můžeme výrazy, které mají stejný základ a stejný exponent. Příklady: 2x 2 + 7x 2... lze sečíst 2x 2 + 3x... nelze sečíst 2x 2 + 3y 2... nelze sečíst 2. Násobení výrazů a) jednočlen jednočlenem Pozn.: členy výrazu nám oddělují pouze znaménka + nebo - 3x 2 y 5 z 4... jednočlen 3x 2 y 4-7x 2 y 3 dvojčlen Při násobení jednočlenu jednočlenem postupujeme tak, že nejprve učíme znaménko výsledku, pak vynásobíme koeficienty a dále vynásobíme proměnné postupně podle abecedy. Využíváme při tom pravidla, že při součinu mocnin o stejném základu opíšeme základ a exponenty sečteme. Příklad: 3x 2 y 6. (-6x 5 y 2 ) = -18x 7 y 8 Pozn.: Můžeme využívat i pravidla, že součin mocnin se stejným exponentem se rovná mocnině součinu. Příklad: x 3. y 3 = (xy) 3 Platí to samozřejmě i obráceně. b) dvojčlen jednočlenem Roznásobíme jednočlenem každý člen v závorce. Příklad: (2x 4-3y 5 ).(-2x) = -4x 5 + 6xy 5 Při tomto výpočtu je úplně jedno, jestli je v zadání nejprve jednočlen a pak závorka nebo obráceně. c) dvojčlen dvojčlenem Roznásobíme každý člen jedné závorky každým členem druhé závorky. Na pořadí provedených operací nezáleží. Vzniklý výraz zjednoduššíme. Příklad: (2x - 5). (3x 2-1) = 6x 3-2x - 15x = 6x 3-15x 2-2x + 5 Stejným způsobem postupujeme, pokud násobíme obecně mnohočlen mnohočlenem. 3. Dělení výrazů V tomto případě se nám dostane do dělitele (jmenovatele) výraz s proměnnou. Těmito výpočty se zabývá kapitola Úpravy lomených výrazů. 4. Umocňování výrazů Využíváme následující pravidla: - mocnina mocniny se vypočte tak, že základ opíšeme a exponenty mezi sebou vynásobíme 13 z 18

15 Příklad: (x 3 ) 5 = x 15 - pokud omocňujeme dvojčlen, postupujeme podle vzorců - viz začátek kapitoly 5. Rozklady výrazů na součin Využíváme následujících operací (v uvedeném pořadí) a) snažíme se ze všech členů vytknout co největší výraz b) použijeme některý ze známých vzorců c) použijeme postupné vytýkání V tomto případě musí být výslednou početní operací součin. ± Úpravy celistvých algebraických výrazů 1. Zjednoduš: 2245 (2/3 - z) 2 4/9-4/3z + z 2 2. Upravte daný výraz 3x 2 y - {xyz - (2yz - x 2 z) - 4x 2 z + [3x 2 y - (4xyz - 5x 2 z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x = 1, y = -1, z = 0 3xyz - 2x 2 z + 2yz 3. Zjednoduš: (3/7u 3-3u 2 ). (3u 2 + 3/7u 3 ) 9/49u 6-9u 4 4. Rozložte v součin výraz: 9s 2 v 2-4r 2 v 2-9u 2 s 2 + 4u 2 r 2. Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, s=1, r=0 (v - u). (v + u). (3s - 2r). (3s + 2r) 5. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost ( y) 2 = 4x xy 6. Vypočtěte: (4a 2 b + 5a 3 b 2 ) 2 = 16a 4 b a 5 b a 6 b Vypočtěte rozdíl výrazů x + 2 a x Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3-4(x + 3) 9. Zjednoduš: (u ) 2 u u z 18

16 10. Rozložte na součin: 4x 2 (y 2 z 2 ) + 25v 2 (z 2 y 2 ) (y - z). (y + z). (2x - 5v). (2x + 5v) 11. Vypočítejte: (3 - x) 2-3(x 2-3) + (-2x) 2 2.(x 2-3x + 9) 12. Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s) 2-10s.(5s + 2h) 13. Výraz - (-2x + 1) 2 se po úpravě rovná čemu? -4x 2 + 4x Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1 Rozdíl 3, součin x 2 + x Upravte: (1,2x 2-0,3y) 2 1,44x 4-0,72x 2 y + 0,09y Výraz (3k - 2) 2-4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 3 k Rozložte na součin: a 2 + 2ab + b 2 c 2 (a + b + c). (a + b - c) 18. Zjednoduš: (0,1a 3-5a 2 ). (5a 2 + 0,1a 3 ) 0,01a 6-25a Umocněte: (10-2a) a + 4a Rozlož na součin: 16r 2 s 2-16rs 2 + 4s Zjednoduš: (4rs - 2s) 2 = 4s 2. (2r - 1) (x 2 - x 3 ) 2 x 4-2x 5 + x Rozlož na součin: 9x 2 + 6xy 2 + y 4 (3x + y 2 ) z 18

17 23. Rozložte na součin výrazy: a) 2x 2-4xy + 2y 2 b) 5t - 2tm - 10m Rozlož na součin: a) 2. (x - y) 2 b) (t + 5). (5-2m) a 4 - b 6 (a 2 - b 3 ). (a 2 + b 3 ) 25. Rozložte na součin: (2m - 1).5x 8.(2m - 1) (2m - 1). (5x - 8) 26. Doplňte: (? - 3) 2 = 16x 2 -? +? První? = 4x; druhý? = 24x; třetí? = Zjednoduš: (a 2 b - 10). (a 2 b + 10) a 4 b Zjednoduš: (4x 2 + 3y 3 ). (4x 2-3y 3 ) 16x 4-9y Zjednoduš: (c + 1,2) 2 c 2 + 2,4c + 1, Zjednoduš: 2239 (2x - 3) 2 4x 2-12x Upravte: a 2. 3b 2ȧb.2b2 a 3. 4b 4 24a 6 b Výraz 4k 2 - (2k + 1) 2-4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3-8k Rozložte na součin: 4 x Zjednoduš: (0,1rs - 10r 2 ) 2 (2 - x). (2 + x) 0,01r 2 s 2-2r 3 s + 100r Rozložte na součin výraz: 18xy 2-21x 2 y 3xy.(6y - 7x) z 18

18 36. Rozlož na součin: 0,04a 2-1,2a 3 + 9a 4 (0,2a - 3a 2 ) Vypočtěte součin výrazů x + 2 a x - 1 x 2 + x Rozlož na součin: c 4 (7 - c 2 ). (7 + c 2 ) 39. Výraz K = 16a 2 a 4 x 2 rozložte na součin aspoň tří činitelů K = a 2.(4 - ax).(4+ax) 40. Upravte: (2x - 0,2y). (2x + 0,2y) 4x 2-0,04 y Upravte: (2x - 5) 2 - (2x - 3).(5x + 2) -6x 2-9x Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -2 8x - [2x 6.(x - 1) 2 + 2] - (3x 2-5x).2 4.(x + 1) 43. Upravte: [(a 2 b 3 ) 3 ] 2 a 12 b Rozlož na součin: 1/9u 4 + 2u 2 v + 9v 2 (1/3u 2 + 3v) Rozlož na součin: 1/4x 2-1/36y 4 (1/2x - 1/6y 2 ). (1/2x + 1/6y 2 ) 46. Rozložte na součin: x 2-2xy + y 2 - x + y (x - y). (x - y - 1) 47. Zjednoduš: (c 3-1/3). (c 3 + 1/3) c 6-1/9 48. Rozlož na součin: 0,25a 8 - b 6 (0,5a 4 - b 3 ). (0,5a 4 + b 3 ) z 18

19 49. Zjednoduš: (2m - n). (2m + n) 4m 2 - n Zjednoduš: (3a + 2b 2 ) (5v 4 + 2/5uv) 2 9a ab 2 + 4b Zjednoduš: (x 2-3). (x 2 + 3) x v 8 + 4uv 5 + 4/25u 2 v Zjednoduš: (0,8 - y). (0,8 + y) 0,64 - y z 18

20 Obsah Číselné výrazy 1 Výpočty s reálnými čísly 4 Algebraické výrazy 12 Úpravy celistvých algebraických výrazů :45:49 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (