Teorie informace: řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa
|
|
- Zdeňka Benešová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Teorie informace: řešené příklady 04 Tomáš Kroupa Kolik otázek je třeba v průměru položit, abychom se dozvěděli datum narození člověka (den v roce), pokud odpovědi jsou pouze ano/ne a tázaný odpovídá pravdivě? Uvažujte, že každý 4 rok je přestupný Průměrný počet otázek je při každé strategii jejich kladení zdola omezen entropií V tomto případě hledáme entropii náhodné veličiny X, která nabývá 366 hodnot, z toho 365 hodnot je stejně pravděpodobných a zbývající hodnota je 4 -méně pravděpodobná (přestupný den jednou za čtyři roky): p X (x) = { , x {,, 365},, x = Z toho dostaneme entropii H(X) = 85 bitů Horší odhad nutného počtu otázek je 9 = log 366, neboť stačí určit prvek množiny o 366 možných prvcích Je Vám nabídnuta účast ve hře v kostky Máte na výběr mezi dvěma kostkami, které nejsou symetrické a mají následující pravděpodobnosti padnutí jednotlivých stran: p = ( 3, 3, 3, 3, 3, 3 3), q = (,, 3, 3, 3, 3) Preferujete-li symetrii kostky, kterou z nich si vyberete? Bude pro Vás výhodnější, když se před začátkem hry vylosuje kostka, se kterou se bude hrát? Symetrii kostek budeme přirozeně hodnotit pomocí entropie Tak dostaneme pro jednotlivé kostky Volíme tedy druhou kostku H(p) = log 3 = 406, H(q) = 5 Losujeme-li kostku před začátkem hry, dostaneme pravděpodobnosti popsané vektorem r, který odpovídá směsi (s koeficientem ) dvou původních diskrétních rozdělení popsaných pomocí p a q: r = p + ( 3 q = 6, 3 6, 6, 6, 6, 4 ) 6 Strana z
2 Teorie informace: řešené příklady 04 Potom platí 5 3 log 3 H(r) = = 53 8 Losování kostky na začátku tedy vede k nejvyšší entropii a tudíž k nejvyšší symetrii výsledků hry Tento způsob již zaručuje entropii blízkou symetrické kostce, jejíž entropie je maximální a rovna log 6 = + log 3 = Odpověď X na otázku je náhodná veličina nad množinou Λ = {,, 3}, jejíž rozdělení je popsáno vektorem pravděpodobností ( /4, /, /4) Odpověď může být náhodně změněna, výsledek je popsán náhodnou veličinou Y Podmíněné pravděpodobnosti p Y X (y x) jsou popsány touto tabulkou: Určete: p Y X (y x) y = y = y = 3 x = 0 0 x = / 0 / x = 3 0 / / (a) entropii veličin X a entropii veličiny Y ; (b) podmíněnou entropii veličiny X pozorované prostřednictvím veličiny Y a obráceně Zřejmě lze přímo určit H(X) a H(Y X) Platí H(X) = = 3 a H(Y X) = = 3 4 Ke stanovení H(Y ) a H(X Y ) je třeba nejprve určit sdružené rozdělení náhodného vektoru (X, Y ) To získáme jako p XY = p Y X p X : p XY (x, y) y = y = y = 3 x = x = x = Z tabulky rovnou vidíme, že H(Y ) = log pravidla snadno určíme H(X Y ) jako = 4 Z řetězcového H(X Y ) = H(X, Y ) H(Y ) = H(X) + H(Y X) H(Y ) = 084 Strana z
3 Teorie informace: řešené příklady 04 4 Uvažujme abecedu Λ = Ω = {0, } Náhodná veličina X má binomické rozdělení Bi(, 3 /4), kde P [X = ] = 3 /4 Šum je vyjádřen veličinou Z mající rozdělení Bi(, /0), kde P [Z = ] = /0 Položme Y = X Z, přičemž je součet modulo Určete vzájemnou informaci veličin X a Y Platí I(X; Y ) = H(Y ) H(Y X) Stanovme nejprve H(Y X) Z definice Y dostaneme následující tabulku podmíněných pravděpodobností: p Y X (y x) y = 0 y = x = 0 9 /0 /0 x = /0 9/0 Z té plyne H(Y X) = 4 H(Y X = 0) H(Y X = ) = H(Y X = 0) = 047 Dále spočítáme p Y jako marginální rozdělení pomocí p XY : p XY (x, y) y = 0 y = x = 0 9 /40 /40 x = 3 /40 7 /40 Dostaneme H(Y ) = 088 a tudíž I(X; Y ) = 04 Jelikož H(X) = 08, lze usoudit, že při přenosu se ztratí část informace o X díky šumu Z 5 Rozhodněte, zda kód je jednoznačně dekódovatelný (JD) nebo instantní (a),0,00,000 (b),0,0,0 (c) 0,,00,00 Pokud je kód JD a nikoli instantní, lze nalézt instatní kód stejné střední délky? (a) je instantní (b) není JD: řetězec 0 lze parsovat jako (0) nebo jako (0)() (c) není instantní, ale je JD Při dekódování je totiž nutné pouze rozlišit 3 a 4 kódové slovo: pokud je počet jednotkových bitů mezi řetězcem 00 a nejbližším bitem 0 sudý, potom 00 parsujeme jako (00)(, jinak jako (00) Ke kódu (c) snadno nalezneme instantní kód, jehož slova mají stejnou délku Stačí uvážit, že délky kódových slov,,,3 splňují Kraftovu nerovnost, , a proto lze nalézt odpovídající instantní kód Je to např kód 0,, 00, 0 Strana 3 z
4 Teorie informace: řešené příklady 04 6 Pro zadaný informační zdroj X nalezněte Shannonův kód a Huffmanův kód: p X (a) = 0, p X (b) = 05, p X (c) = 005, p X (d) = 04, p X (e) = 03 Například: a b c d e C S C H Srovnáním délek kódových slov ihned plyne, že Huffmanův kód má menší střední kódovou délku Přesvědčte se o tom výpočtem! 7 Nalezněte (binární) Huffmanův kód pro informační zdroj X popsaný pravděpodobnostmi ( 3, 5, 5, 5, ) 5 Určete, zda je nalezený Huffmanův kód optimální i pro zdroj Y s pravděpodobnostmi ( 5, 5, 5, 5, ), 5 a zdůvodněte proč Huffmanův kód pro zdroj X: {00, 0,, 00, 0} Ovšem jiný Huffmanův kód pro zdroj X dostaneme bitovou inverzí ve všech kódových slovech: {, 0, 00, 0, 00} Chceme ukázat, že Huffmanův kód s délkami kódových slov,,, 3, 3 je optimální i pro zdroj Y s rovnoměrnou pravděpodobnostní funkcí Ten má entropii H(Y ) = log 5 = 3 Strana 4 z
5 Teorie informace: řešené příklady 04 Střední délka uvažovaného Huffmanova kódu je pro tuto rovnoměrnou pravděpodobnostní funkci = 5 Střední délka libovolného instantního kódu s délkami kódových slov l,, l 5 pro Y však musí splňovat nerovnost 5 5 l i H(Y ), čemuž vyhovuje každý instantní kód, jehož délky kódových slov splňují i= 5 l i i= Jelikož je součet délek slov Huffmanova kódu pro X právě, je tento kód optimální i pro zdroj Y 8 Mějme kód s těmito čtyřmi kódovými slovy: 0, 0, 0, a) Rozhodněte, zda je tento kód optimální pro nějaký informační zdroj, případně popište alespoň dva informační zdroje, pro něž je optimální b) Odstraníme-li z posledního kódového slova první bit, bude takto upravený kód jednoznačně dekódovatelný? Odpověď zdůvodněte a) Uvedený kód je optimální, neboť je instantní a délky l i jeho kódových slov splňují l i = log n i, n i N přičemž 4 n i = i= Volbou n =, n =, n 3 = n 4 = 3 tak dostaneme optimání kód pro informační zdroj popsaný pravděpodobnostmi (, 4, 8, ) 8 Strana 5 z
6 Teorie informace: řešené příklady 04 Uvedený kód je ovšem Huffmanův (a tudíž optimální) i např pro zdroj popsaný pravděpodobnostmi (, 3 8, 6, ) 6 b) Výsledný kód nemůže být jednoznačně dekódovatelný, neboť délky jeho kódových slov nesplňují Kraftovu nerovnost: Pro informační zdroj nad abecedou X = {a,b,c,d,e,f} byl nalezen kód C: a 00 b 00 c 000 d 0 e 00 f 00 Je jednoznačně dekódovatelný? Pro délky kódových slov ověříme Kraftovu nerovnost: 3, 4, 4, 4, 4, = 3 3 < Tedy existuje jednoznačně dekódovatelný binární kód s takto zadaným délkami kódových slov: a 000 b 000 c 00 d 000 e 00 f 000 Ovšem původní kód C jednoznačně dekódovatelný není, neboť např zprávy cd a af jsou zakódovány shodně Strana 6 z
7 Teorie informace: řešené příklady 04 0 Informační zdroje nad abecedou X = {,, 5} jsou popsány dvěma pravděpodobnostními funkcemi p a q Uvažujme binární kódy C a C pro tyto zdroje: x p(x) q(x) C (x) C (x) / / 0 0 /4 / /8 / /6 / /6 /8 Ověřte, že kód C je optimální pro zdroj s pravděpodobnostní funkcí p a kód C je optimální pro zdroj s pravděpodobnostní funkcí q Pokud užijeme kód C pro zdroj popsaný pomocí q, jaké chyby se dopustíme? Určíme entropie p a q: H(p) = 875, H(q) = Avšak střední délka kódu C je 875, střední délka kódu C je : oba kódy jsou optimální Střední délka L q (C ) kódu C použitého na zdroj s pravděpodobnostní funkcí q je + ( + 3) = 5 Kód C tedy není pro q optimální: za nevhodné kódování zaplatíme chybou o velikosti rozdílu L q (C ) H(q) = 05, což je právě hodnota informační divergence D(q p) Markovský řetězec nad abecedou Λ = {a, b, c} je popsán těmito pravděpodobnostmi přechodu: pravděpodobnosti přechodů ze stavu a i ze stavu b jsou rovnoměrné, přechod ze stavu c do c nikdy nemůže nastat, ostatní podmíněné pravděpodobnosti jsou shodné Určete rychlost entropie odpovídajícího markovského zdroje informace Ze zadání dostaneme matici přechodu: P = Strana 7 z
8 Teorie informace: řešené příklady 04 Rychlost entropie markovského zdroje splňuje H((X n ) n N ) = H(X X ) Stačí tedy určit H(X X ) = p(x ) H(X x ), x {a,b,c} kde p = (p(a), p(b), p(c)) je stacionární rozdělení řetězce a H(X x ) jsou podmíněné entropie jednotlivých řádku matice P Platí H(X a) = H(X b) = log 3, H(X c) = log = Stacionární rozdělení nalezneme řešením soustavy Dostaneme p = (0375, 0375, 05) Proto p P = p, p(a) + p(b) + p(c) = H(X X ) = 0375 log = 075 log = 435 Určete rychlost entropie markovského zdroje informace s abecedou X = {a, b, c}, jehož matice přechodu je 0 P = Jaká je maximální rychlost entropie libovolného markovského zdroje s abecedou X? Odpověď zdůvodněte Nejprve nalezneme stacionární rozdělení p = (p, p, p 3 ) Markovova řetězce zadaného maticí P Řešíme soustavu lineárních rovnic p = pp, p + p + p 3 = Jejím řešením je vektor p = (,, 5 5 5) Informační zdroj X, X, je markovský, pokud pro jeho počáteční rozdělení p(0) platí p(0) = p Potom je rychlost entropie tohoto zdroje rovna střední podmíněné entropii H(X X ) Tedy H(X X ) = p i (0) H(X X = i) = ( 5 H, ) = 5 i=0 Maximální rychlost entropie markovského zdroje pro tento zdroj je maximum entropie na tříprvkové množině, neboť H(X X ) je konvexní kombinací podmíněných entropií na tříprvkových množinách V našem případě tedy log 3 = 585 Strana 8 z
9 Teorie informace: řešené příklady 04 3 Nalezněte střední délku Huffmanova kódu pro informační zdroj generující řetězec aaababbcabc Určete, jaké úspory dosáhneme použitím blokového Huffmanova kódování s délkou bloku Při použití Huffmanova kódu o délce bloku máme tuto tabulku: a b c 5 4 p(x) C H 0 0 Při použití bloku délky dostaneme tento Huffmanův kód: aa ab ba ac ca bb bc cb cc p(x, y) CH Střední délky kódů vztažené na znak zdrojové abecedy: L(C H ) = 7 = 545, L(C H ) = 304 Tedy dosáhneme komprese lepší o ( 5 ) 00 % = 55 % 545 = 5 4 Při vysílání dvouprvkové abecedy {, } se zkreslí 8% teček a % čárek Zpráva, ve které se tečky a čárky vyskytují rovnočetně, obsahuje 54 bitů informace Kolik z nich uvedený informační kanál v průměru přenese správně? Rozdělení informačního zdroje X s abecedou {, } je na vstupu popsáno rovnoměrnou pravděpodobnostní funkcí p X Podmíněné pravděpodobnosti p Y X (y x), x, y {, }, vyjadřující možnou záměnu symbolu jsou dány maticí ( ) Strana 9 z
10 Teorie informace: řešené příklady 04 Nejprve určíme zpětné podmíněné pravděpodobnosti p X Y (x y) pomocí Bayesova vzorce: p Y X (y x)p X (x) p X Y (x y) = p Y X (y x )p X (x ) Potom vzájemnou informaci: x {, } I(X; Y ) = H(X) H(X Y ) = 075 Ve zprávě o 54 bitech se tak za předpokladu nezávislosti vysílaných znaků zachová přibližně = bitů 5 Informační zdroj X vysílá znaky z abecedy X = {a, a, a 3, a 4 } s pravděpodobnostmi p X (a i ), i =,, 4 Na výstupu kanálu je pozorován informační zdroj Y nad stejnou abecedou X Chybovost přenosu je popsána podmíněnými pravděpodobnostmi p Y X (a j a i ), i, j =,, 4 Pokud jsou podmíněné entropie H(Y X = a i ), i =,, 4 maximální, jaká je vzájemná informace X a Y? Maximum podmíněné entropie H(Y X = a i ) se pro každé i =,, 4 nabývá pro rovnoměrnou podmíněnou pravděpodobnostní funkci: Proto platí p Y X (a j a i ) =, j =,, 4 4 H(Y X) = 4 p X (a i ) H(Y X = a i ) = log 4 i= 4 p X (a i ) = i= Rozdělení zdroje Y je též rovnoměrné, neboť pro každé i =,, 4 platí p Y (a i ) = 4 p Y X (a i a j )p X (a j ) = 4 j= 4 p X (a j ) = 4 j= Tudíž H(Y ) = log 4 = a proto I(X; Y ) = 0 Reference [] J Adámek Stochastické procesy a teorie informace - úlohy Vydavatelství ČVUT, 989 Strana 0 z
11 Teorie informace: řešené příklady 04 [] T M Cover and J A Thomas Elements of information theory Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], Hoboken, NJ, second edition, 006 Strana z
Teorie informace II: obtížnější řešené příklady 2014 Tomáš Kroupa
Teorie informace II: obtížnější řešené příklady 204 Tomáš Kroupa. Máme n mincí, z nichž nejvýše jedna je falešná. Pozná se podle toho, že má jinou hmotnost než ostatní mince (ty váží všechny stejně). Mince
Více13. cvičení z PSI ledna 2017
cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:
VíceAlgoritmy komprese dat
Algoritmy komprese dat Úvod do teorie informace Claude Shannon (1916 2001) 5.11.2014 NSWI072-7 Teorie informace Informace Co je to informace? Můžeme informaci měřit? Existují teoretické meze pro délku
VíceÚvod do teorie kódování
Úvod do teorie kódování Matematické základy komprese a digitální komunikace Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ upravil Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/ 12. 1. 2017 Part I Úvod Teorie
Vícecv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost
3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceMarkovské metody pro modelování pravděpodobnosti
Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou
Více, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
42206, skupina (6:5-7:45) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papíry, které odevzdáváte Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí Co je škrtnuto, nebude bráno v
VíceTeorie informace. Mirko Navara. katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a navara/psi 3. 1.
Teorie informace Mirko Navara Centrum strojového vnímání katedra kbernetik FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 4a http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/psi.. 7 Obsah Informace Entropie. Entropie jako
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VíceMatematika IV 10. týden Kódování
Matematika IV 10. týden Kódování Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 22. 26. 4. 2013 Obsah přednášky 1 (n, k) kódy 2 Polynomiální kódy 3 Lineární kódy Kde je dobré číst? připravovaná učebnice
VíceKOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut.
1/24 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD 2/24 Cíl:
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceKOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč, Jan Kybic. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání.
1/25 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč, Jan Kybic Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD
VíceÚvod do teorie informace
PEF MZLU v Brně 24. září 2007 Úvod Výměna informací s okolím nám umožňuje udržovat vlastní existenci. Proces zpracování informací je trvalý, nepřetržitý, ale ovlivnitelný. Zabezpečení informací je spojeno
VíceKomprese dat. Jan Outrata KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. přednášky
Komprese dat Jan Outrata KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI přednášky Statistické metody Jan Outrata (Univerzita Palackého v Olomouci) Komprese dat Olomouc, únor březen 2016 1 / 23 Tunstallův
VíceBayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceÚvod do teorie informace
Úvod do teorie informace Matematické základy komprese a digitální komunikace Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 1 Ústav teorie informace a automatizace AV ČR 2 Katedra matematiky FEL ČVUT 1.
VíceOperační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.
Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceZpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen
VíceB A B A B A B A A B A B B
AB ABA BA BABA B AB A B B A A B A B AB A A B B B B ABA B A B A A A A A B A A B A A B A A B A BA B A BA B D A BC A B C A B A B C C ABA B D D ABC D A A B A B C D C B B A A B A B A B A A AB B A AB A B A A
VíceSamoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita
Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceInformatika Kódování. Obsah. Kód. Radim Farana Podklady předmětu Informatika pro akademický rok 2007/2008
Informatika Kódování Radim Farana Podklady předmětu Informatika pro akademický rok 27/28 Obsah Základy pojmy diskrétních kódů. Druhy kódů. Nejkratší kódy. Detekce chyb, Hammingova vdálenost. Kontrolní
Více1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!
Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VíceOdpřednesenou látku naleznete v dodatku A skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra.
Perfektní lineární kódy Odpřednesenou látku naleznete v dodatku A skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: B6B01LAG 18.5.2016: Perfektní lineární kódy 1/18 Minulé přednášky 1 Detekce
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
VíceAplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2013/2014 Radim Farana. Obsah. Kybernetika
2 Podklady předmětu pro akademický rok 2013/2014 Radim Farana Obsah Základní pojmy z Teorie informace, jednotka informace, informační obsah zprávy, střední délka zprávy, redundance. Přenosový řetězec.
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceSHANNONOVA TEORIE TAJNÉ KOMUNIKACE
SHANNONOVA TEORIE TAJNÉ KOMUNIKACE Verze 1.3 ANDREW KOZLÍK 1. ÚVOD DO DISKRÉTNÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Uvažujme náhodný pokus, při kterém házíme dokonale symetrickou kostkou a zaznamenáváme číslo, které padlo.
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceBCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27
7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
Více1 Co jsou lineární kódy
1 Žádný záznam informace a žádný přenos dat není absolutně odolný vůči chybám. Někdy je riziko poškození zanedbatelné, v mnoha případech je však zaznamenaná a přenášená informace jištěna přidáním dat,
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VíceAKM CVIČENÍ. Opakování maticové algebry. Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A
AKM - 1-2 CVIČENÍ Opakování maticové algebry Mějme matice A, B regulární, potom : ( AB) = B A 1 1 ( A ) = ( A ) ( A ) = A ( A + B) = A + B 1 1 1 ( AB) = B A, kde A je řádu mxn a B nxk Čtvercová matice
VíceTeorie informace Obsah. Kybernetika. Radim Farana Podklady pro výuku
Teorie Radim Farana Podklady pro výuku Obsah Seznámení s problematikou a obsahem studovaného předmětu. Základní pojmy z Teorie, jednotka, informační obsah zprávy, střední délka zprávy, redundance. Kód.
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceNÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení
NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.
VíceOdpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.
Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceStochastické modely Informace k závěrečné zkoušce
Stochastické modely Informace k závěrečné zkoušce Jan Zouhar Katedra ekonometrie, FIS VŠE v Praze, zouharj@vse.cz 10. února 2015 Průběh zkoušky. Zkouška je ústní s přípravou na potítku. Každý si vylosuje
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceHammingovy kódy. dekódování H.kódů. konstrukce. šifrování. Fanova rovina charakteristický vektor. princip generující a prověrková matice
Hammingovy kódy konstrukce Fanova rovina charakteristický vektor šifrování princip generující a prověrková matice dekódování H.kódů třída lineárních binárních kódů s A n, 3 n = délka kódu, d = distance
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceSíla a významnost asociace mezi proměnnými v systému
Síla a významnost asociace mezi proměnnými v systému Program 1. Entropie jako míra neuspořádanosti. 2. Entropie jako míra informace. 3. Entropie na rozkladu množiny elementárních jevů. 4. Vlastnosti entropie.
Více13. Lineární procesy
. Lineární procesy. Lineární procesy Našim cílem je studovat lineární (iterované) procesy. Každý takový proces je zadán čtvercovou maticí A Mat k k (R). Dále víme, že systém se v čase t n nachází ve stavu
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
Více1. Jordanův kanonický tvar
. Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními
Více. Určete hodnotu neznámé x tak, aby
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 206 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 2 Příklad. (3b) Binární operace je definovaná jako a b = a+b a b. Určete hodnotu
Více1. Základy teorie přenosu informací
1. Základy teorie přenosu informací Úvodem citát o pojmu informace Informace je název pro obsah toho, co se vymění s vnějším světem, když se mu přizpůsobujeme a působíme na něj svým přizpůsobováním. N.
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceVzdálenost jednoznačnosti a absolutně
Vzdálenost jednoznačnosti a absolutně bezpečné šifry Andrew Kozlík KA MFF UK Značení Pracujeme s šifrou (P, C, K, E, D), kde P je množina otevřených textů, C je množina šifrových textů, K je množina klíčů,
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceTeorie kódování aneb jak zhustit informaci
Teorie kódování aneb jak zhustit informaci Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 13. února 2015 Cíl přednášky V této přednášce se pokusíme o stučný úvod do historie teorie kódování včetně teorie informace
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
Více2. Entropie a Informace. Gerstnerova laboratoř katedra kybernetiky fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze
KYBERNETIKA A UMĚLÁ INTELIGENCE 2. Entropie a Informace laboratory Gerstner Gerstnerova laboratoř katedra kybernetiky fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze Popis složitých systémů V minulé přednášce: stavový
VíceKódováni dat. Kódy používané pro strojové operace
Kódováni dat Před zpracováním dat například v počítači je třeba znaky převést do tvaru, kterému počítač rozumí, tj. přiřadit jim určité kombinace bitů. Tomuto převodu se říká kódování. Kód je předpis pro
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více