Teorie systémů a řízení

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie systémů a řízení"

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ ECHNICKÁ UNIVERZIA V OSRAVĚ FAKULA HORNICKO - GEOLOGICKÁ INSIU EKONOMIKY A SYSÉMŮ ŘÍZENÍ eorie ytémů a řízení Prof.Ing.Aloi Burý,CSc. OSRAVA 2007

2 Předmluva Studijní materiály eorie ytémů a řízení jou určeny pro poluchače kombinovaného bakalářkého tudia v Motě, pro tudijní obor: Ekonomika, management a informační ytémy v oblati veřejné právy. Mohou z nich však čerpat i poluchači příbuzných tudijních oborů jak kombinovaného tudia, tak i tudia prezenčního v Motě a Otravě. Elektronická forma tudijních materiálů, zveřejněných protřednictvím internetu, zajišťuje větší dotupnot této základní literatury. Předmět eorie ytémů a řízení je předmětem teoretického základu tudijního oboru: Ekonomika, management a informační ytémy v oblati veřejné právy. Seznamuje e základy teorie ytémů a řízení, včetně základů ytémů automatizovaného řízení. Výklad teoretických paáží je doplněn obrázky, tabulkami a ilutrativními příklady, včetně jejich řešení. Otrava Poruba, 2007 autor. 2

3 . Charakteritika základních pojmů z teorie ytémů. Pro práci e ložitými a rozáhlými objekty, jako jou například řízení výrobních a technologických proceů, je nutný ytémový přítup. Například technologický proce exploatace uhlí na hlubinných nebo povrchových dolech, je charakterizován různorodotí pracovních činnotí, na něž půobí celá řada vlivů. Komplexně jde o mnoha rozměrný dynamický celek, který e neutále mění v čae a v protoru. Sytémový přítup počívá v tom, že jevy vykytující e při řešení vzniklých problémů, jou chápany komplexně, e všemi ouvilotmi ve vém dynamickém vývoji. V ouviloti e ytémovým přítupem je nejdůležitějším pojmem ytém. Stanoví- li e vztahy, mezi na ebe navzájem půobící objekty materiální, ale i nemateriální povahy, je na objektivní realitě vytvořen ytém. Sytém je definován jako účelově upořádaná množina prvků a množina vazeb mezi nimi, dynamickým chováním, které polečně určují vlatnoti celku. V rámci dekompozice ytému lze vyčlenit podytém. Podytém je podmnožina ytémových prvků a vazeb, která je z nějakého důvodu vyčleněna ze ytému a je chápana jako nový ytém nebo jako prvek. Prvek je čát ytému, který tvoří na dané rozlišovací úrovni dále nedělitelný celek, jehož trukturu nechceme, nebo již nemůžeme v rámci analýzy rozlišit. Rozlišovací úrovni e označuje tupeň podrobnoti zkoumání ytému. Změnou rozlišovací úrovně e může dřívější prvek ytému tát podytémem, popřípadě i ytémem a naopak. Dekompozicí ytému na jednodušší prvky, e zvyšuje rozlišovací úroveň.. Vazba ytému na okolí. Každý ytém exituje v nějakém okolí. Je tímto okolím obklopen. Při zkoumání je výhodné omezit e pouze na podtatné okolí, které má e ytémem přímý kontakt. Přitom je třeba i uvědomit, že v okolí ná nezajímají vztahy mezi jeho prvky. Pokud by tomu tak nebylo a vztahy mezi prvky tvořící okolí by ná zajímaly, tává e takové okolí dalším ytémem. Každý ytém je zaveden pouze na čáti reality. o znamená, že je v ní vlatně do určité míry izolován od jejich otatních objektů ( okolí ). Pokud neexitují vazby mezi prvky okolí a ytému, pak takový ytém e nazývá abolutně uzavřený ( izolovaný ). Je to zvláštní případ, který ve kutečnoti neexituje. Sytémy otevřené jou takové, u nichž e uvažují všechny možné interakce okolím. Je to druhý mezní případ. Nejčatějším druhem ytémů jou ytémy relativně uzavřené, které mají některé, podtatné vazby okolím. Přičemž jou přeně vymezeny cety jimiž půobí okolí na ytém ( vtupy ), a naopak jak ytém půobí na okolí ( výtupy ). Prvky ytému, které pojují pomocí vazeb relativně uzavřený ytém okolím, e nazývají hraniční ( mezní ) prvky. U relativně izolovaného ytému je nutno znát, z jakého hledika je uzavřenot míněna. Může to být například vymezení z hledika výměny látkové, energetické, informační, řídicí, apod. 3

4 Sytém a okolí na ebe navzájem půobí. Jou ve vzájemné interakci. Přitom způob, jakým ytém na vé okolí půobí, je závilý jak na vlatnotech ytému či okolí, tak i na způobu jakým okolí půobí na ytém. Vazba ytému na okolí je způob pojení mezi prvky ytému, nebo mezi prvkem ytému a jeho okolím. Při zkoumání interakce ytému a okolí e definují pojmy: vtup ytému, výtup ytému. Vtupem ytému e rozumí vazba, jejímž protřednictvím půobí okolí ( podnětem ) na ytém. Podnět je tav vtupu ytému, který charakterizuje dané půobení okolí na ytém v určitém čaovém okamžiku. Výtupem ytému nazýváme vnější vazbu ytému, kterou ytém půobí na okolí. Odezva je tav výtupu ytému ( jeho reakce ) charakterizující dané půobení na okolí, vyvolané podnětem na vtupu ytému..2 Účelovot a cílovot ytému Není-li určen účel pro který e ytém zavádí, chybějí pak kritéria pro jeho vymezení. Již amotná definice ytému zdůrazňuje jeho účelovot. Použití ytému k jinému účelu, než pro který byl definován vede k hrubým omylům.účelové vymezení ytému je nutno po celou dobu práce ním mít na paměti a repektovat je. Účelovot je dána:. z jakého hledika je ytém zkoumán. 2. jaký je zvolen tupeň podrobnoti zkoumání. S otázkou cílů ytémů úzce ouvií volba vhodné rozlišovací úrovně. Zvýší li e, (podrobnější rozlišovací úroveň) pak prvky daného ytému e mohou tát amotnými ytémy, z důvodu větší diferenciace prvků a vazeb mezi nimi. Naopak při nížení rozlišovací úrovně e celý ytém může tát prvkem ytému definovaného na méně podrobnější rozlišovací úrovni. Při formulaci cílů ytému je důležité, kromě určení nejdůležitějších hlediek kriterii optimality tavu ytému i tanovení vhodných metod umožňujících jeho doažení..3 Struktura a chování ytému. Struktura a chování tvoří nedílnou jednotu ytému a je mezi nimi tento vztah: Určité truktuře ytému odpovídá určité chování, ale určitému chování odpovídá třída truktur, která je tímto chováním definována. Struktura ytému Struktura ytému S(A,R) je množina všech prvků ytému A (a 0, a,..., a n ) a množina vazeb R ( r... r ij...r nn ) mezi prvky. Prvek množiny a 0 je charakteritikou okolí a nepatří do ytému. Relace (vztahy) mezi jednotlivými prvky popiuje množina vazeb. Prvek množiny vazeb.. r ij... vyjadřuje vazbu mezi prvky ytému a i a a j. 4

5 Chování ytému je způob reakce ytému na podněty z okolí, repektive způob realizace cílů. Chování je určeno vztahy mezi vtupy a výtupy ytému: Y(t) [X(t), Q(t), ] kde: Y(t) je vektor odezvy (reakce) na vektor podnětů X(t), Q(t) je vektor tavových proměnných určující tav ytému, je operátor tranformace. Podle tvaru operátoru tranformace jou ytémy lineární a ytémy nelineární. Dále operátor tranformace může být determinitický nebo tochatický. Determinitický operátor odpovídá determinovanému chování ytému (determinitický ytém), kdy jou všechny kutečnoti známé a chování daného ytému vyplývá jednoznačně z jeho truktury. Determinitické chování ytému je jednoznačně dáno jeho trukturou a vlatnotmi,a dá e předpovědět budoucí tav ytému. Stochatický operátor odpovídá nahodilému chování ytému (je zde určitá míra neurčitoti). Nahodilé chování e pak vyjadřuje pouze tatiticky a to i tehdy, je-li známa truktura uvažovaného ytému. Operátor tranformace je pravděpodobnotní funkcí. Nutno poznamenat, že tochatické chování mnohých ytémů e začne jevit jako determinované, jetliže e při jejich zkoumání zvýší rozlišovací úroveň. Stochatický ytém odpovídá nahodilému chování ytému. Zde chování vyjadřujeme pouze určitou pravděpodobnotí pomocí tatitických funkcí..4 Podobnot ytémů Sytémy mohou být i podobné ve truktuře a v chování. Sytémy podobné ve truktuře mohou být: -homomorfní kde ke každému prvku jednoho ytému lze jednoznačně přiřadit prvek druhého ytému a oučaně každému vztahu mezi prvky jednoho ytému je jednoznačně přiřazen vztah mezi odpovídajícími prvky druhého ytému. -izomorfní - pokud výše uvedené platí i při vzájemné záměně ytémů. Sytémy jou i podobné v chování, jetliže tejné podněty vyvolají u obou ytémů tejné reakce. Jou-li dva ytémy podobné ve truktuře, jou i rovněž podobné i v chování, ale neplatí to naopak..5 Analýza a yntéza ytémů Při práci e ytémy e etkáváme problémem analýzy a yntézy ytémů. Analýza ytému je technickým typem jednoznačné úlohy, kdy na základě znaloti truktury ytému zjišťujeme jeho chování. 5

6 Syntéza ytému je technickým typem nejednoznačné úlohy, kdy na základě požadovaného chování e hledá (navrhuje) odpovídající truktura ytému, která by toto chování zajitila. Přičemž e berou v úvahu omezení při volbě prvků ytémů..6 Klaifikace ytémů Je známo velké množtví různých třídění ytémů dle rozmanitých hlediek. Mnohdy není možné vymezit jané a zřetelné hranice mezi jednotlivými druhy ytémů. Mezi základní třídění ytémů patří:. řídění podle vztahu k realitě na ytémy reálné a abtraktní. V reálných ytémech jou všechny jejich prvky povahy hmotné (reálné objekty). Sytémy abtraktní jou tvořeny prvky nehmotné povahy (abtraktní, pojmové kategorie). 2. Podle původu vzniku e dělí ytémy na přirozené a umělé. Sytémy umělé vznikly z vědomého podnětu lidí. 3. Podle vědních oborů lze ytémy rozdělit na: matematické, fyzikální, kybernetické, ekologické, ekonomické, ociální, biologické,aj. 4. Klaifikace ytémů dle jejich vzájemné podobnoti na: ytémy podobné i ve truktuře a ytémy i podobné v chování, viz. výše. 5. Dle chování ytémů v čae e ytémy dělí na tatické a dynamické. Statické ytémy jou takové, jejichž tav e v čae nemění, jejich tatické chování je vyjádřeno tatickou charakteritikou. Sytémy, jejichž tav je v čae proměnný e nazývají dynamické. Jejich dynamické chování je určeno dynamickými charakteritikami které vyjadřují dynamické vlatnoti daného ytému, t.j. jejich vliv na čaový průběh přenášených ignálů. Dynamické vlatnoti lineárních ytémů lze popat lineárními diferenciálními rovnicemi kontantními koeficienty a operátorovými přenoy. Dynamické vlatnoti nelineárních ytémů lze popat nelineárními diferenciálními rovnicemi. 6. Podle typu ytémových veličin e ytémy dělí na pojité a dikrétní.ve pojitých ytémech probíhá děj pojitě, oučaně ve všech prvcích. V důledku uvolnění vnitřní energie, nebo v důledku půobení vnějších podnětů, přechází pojitý ytém do nového rovnovážného tavu pojitě. V dikrétních ytémech dochází k dikretizaci buď čaové oy ( událotí ), nebo hodnot proměnných veličin, nebo obojí. Změny ytémových veličin e dějí v určitých dikrétních čaových okamžicích, a obvykle ne ve všech prvcích ytému oučaně. 7. Podle tvaru tatické charakteritiky klaifikujeme ytémy na : lineární a nelineární. V lineárních ytémech platí princip uperpozice V nelineárních ytémech princip uperpoice neplatí..7 Formy prezentace ytémů Sytémy lze popiovat, vyjadřovat, zapat buď verbálně pomocí eznamu prvků a vazeb mezi nimi, blokovými chématy a nebo použitím metod z teorie grafů a teorie matic. Na obr. je uveden ytém řízení přípravných prací prezentovaný blokovým chématem. V blokovém chématu jou zobrazeny jak funkční vazby (vzájemné fyzikální ouviloti omezení), tak i vazby informační a řídicí. Funkční vazby (materiálové, energetické) toky je nutno v ytému řízení repektovat. Vazby informační a řídicí je nutno v řídicím ytému zajitit. 6

7 Obr. Preentace ytému řízení blokovým chématem Informační vazby ytému na obr. jou tyto: IPO informace o průběhu pracovních operací v proceu ražení děl ISM informace o potřebě nutného materiálu pro pracovní činnoti IPP- informace o příčinách poruch a netechnologických protojů IPČ informace o potupu čelby přípravného díla ISE informace o potřebě energie (elektrické i vzduchové) IPP informace o průběhu plnění měnových předpokladů a technických režimů Řídicí vazby v ytému jou: SPP tanovení měnových předpokladů a technických režimů ŘOH řízení odtěžení uvolněné horniny v proceu razicích prací ŘSP řízení měnových potupů ŘSV řízení právné funkce větrání ŘDM řízení dodávky materiálů a důlní výtroje ŘDE řízení dodávky energie (elektrické a vzduchové) Funkční vazby ytému jou: ZDE zajištění dodávky energie (elektrické a vzduchové) ZDM zajištění dodávky potřebného materiálu a důlní výtroje ZKP zajištění dobrých klimatických podmínek (větrního proudu) UH tok uhlí a horniny z přípravného pracoviště VHP tato vazba repektuje vliv proměnlivých hornicko- geologických podmínek. 7

8 Prezentace ytému orientovaným grafem Grafem e rozumí jitý matematický útvar. Rozeznáváme grafy orientované a neorientované. Orientovaný graf je tvořen množinou uzlů polu množinou orientovaných hran mezi těmito uzly. Prezentace ytémů protřednictvím grafové truktury vychází z podobnoti mezi pojmem ytém a pojmem orientovaný graf. Uzly grafu jou přiřazeny jednotlivým prvkům ytému a hrany pak vazbám tohoto ytému. Uzel do něhož žádná hrana nevtupuje předtavuje vtup ytému a uzel z něhož žádná hrana nevytupuje předtavuje výtup ytému. Příklad prezentace ytému protřednictvím orientovaného grafu je na obr.2. Je zde prezentován ytém řízení přípravného pracoviště, který byl uveden v obr.. Obr.2 Preentace ytému orientovaným grafem Prezentace ytémů pomocí incidenčních matic Pro potřeby unadnění projektování ytémů použitím počítače, e ytémy prezentují ve formě incidenčních matic. Incidenční matice obdobně tak, jako orientované hrany popiují trukturu a vlivy vzájemného půobení jednotlivých prvků uvnitř ytému. Incidenční matice jou dvojího typu: uzlohranové incidenční matice a uzlové incidenční matice. Uzlohranová incidenční matice je reálná matice typu (m,n). Matice má m řádků, které odpovídají počtu uzlů v orientovaném grafu daného ytému a n loupců jejichž počet odpovídá počtu orientovaných hran v grafu. Prvek a ij uzlohranové incidenční matice má hodnotu rovnou, jetliže j tá hrana vytupuje z uzlu U i, a je roven -, jetliže j- tá hrana grafu vtupuje do uzlu U i. Jinak má hodnotu 8

9 rovnou 0. Počet hodnot repektive - v každém řádku incidenční matice udává vtupní, repektive výtupní tupeň přílušného uzlu v orientovaném grafu ytému. Každý loupec této matice má však právě jednu hodnotu a jednu hodnotu -, protože každá hrana inciduje e dvěma uzly. var uzlohranové incidenční matice je závilý na pořadí, v jakém jou očílovány jednotlivé uzly a hrany daného grafu. Změna očílování však způobí pouze permutaci řádků a loupců. Na základě tohoto faktu lze pak zjišťovat izomorfnot dvou grafů ytémů. Dva ytémy jou tejné jetliže jejich incidenční uzlohranové matice jou tejné, až na případnou permutaci řádků či loupců. Kontrukce uzlohranové incidenční matice nepředpokládá exitenci myček v orientovaném grafu. Příklad incidenční uzlohranové matice, korepondující orientovaným grafem na obr.2, je uveden v obr.3 2a 2b 2c 2d 2e 3e 3d U U U U U U U Obr.3 Uzlohranová incidenční matice ytému řízení přípravného pracoviště. Uzlová incidenční matice Uzlová incidenční matice je reálná čtvercová matice řádů n, což odpovídá počtu uzlů v grafové truktuře daného ytému. Prvek v ij matice udává počet orientovaných pojení mezi uzly U i a U j. Je- li jedno pojení, má hodnotu, jou-li dvě pak má hodnotu 2, atd. Není-li žádné pojení mezi uzly pak má hodnotu 0. Přičemž za pojení mezi dvěma uzly e počítá orientovaná hrana vycházející z uvažovaného uzlu, ale ne do něj vtupující. ím je ice doti potlačena ubjektivita hran orientovaného grafu zato však, jak již bylo výše uvedeno není nutné vylučovat myčky. Uzlová incidenční matice ytému z obr.2 je na obr.4. Obr.4 Uzlová incidenční matice Ze truktury matice lze zjitit vtupní uzel v korepondujícím grafu dle toho, že daný loupec matice bude obahovat amé nuly, a výtupní uzel tak, že na odpovídajícím řádku budou amé nuly. 9

10 2. Kybernetický model řízení eoretickým základem pro ytémy řízení, včetně automatických či automatizovaných řídicí ytémů, je kybernetika. Kybernetika je vědní obor zabývající e obecnými zákonitotmi řízení v různých ytémech * ( technických, ekonomických, biologických, polečenkých, aj.). * pro práci e ložitými a rozáhlými objekty jako například: výroba, technologické procey, aj., je nutný ytémový přítup. Sytémový přítup počívá na základech dialektiky, to znamená, že jevy vykytující e při řešení daných problémů je třeba chápat komplexně e všemi ouvilotmi ve vém dynamickém vývoji. echnická kybernetika e zabývá problematikou řízení technických ytémů ( například řízení trojů, mechanizmů, komplexů, center, technologických proceů,výroby). Řízení obecně je cílevědomé půobení řídicího ubjektu na objekt řízení ( řízený objekt ) tak, aby byly plněny požadované cíle řízení, navzdory půobení poruchových vlivů, viz. obr. 5. Obr. 5 Blokové chéma principu řízení. Základním principem řízení je zpětná vazba, zajišťující informace o průběhu a výledku řízení. Jedním z útředních pojmů řízení je informace. Informace je jakékoliv dělení o tavu v jakém e nachází řízený objekt. Je-li řídicí ubjekt v obrázku 5 zcela nahrazen obecně řečeno automatem *, pak e takové řízení nazývá automatické řízení. * v oučané době je realizován řídicím počítačem či mikroproceorovým ytémem, umožňujícím řešit jak úlohy logického řízení, tak i automatické regulace 0

11 V ytémech automatického řízení (automatic control) je informace o tavu řízeného objektu zjišťována ( měřena, nímána ) zcela automaticky protřednictvím čidel a nímačů. ( Čidlo je základní oučátí nímače a je přímo ve tyku měřenou - nímanou veličinou). Informace od nímačů jou přiváděny protřednictvím elektrických ignálů*, na vtupy řídicích členů (logických obvodů - v případě řešení úloh logického typu, nebo regulátoru - v případě úlohy automatické regulace). * Signál je fyzikálním noitelem zprávy a muí ji jednoznačně charakterizovat ve mylu zachování jejího informačního obahu i přenoové rychloti. Dikrétní zprávy (informace) jou vyjadřovány dikrétními ignály. Spojité zprávy e vyjadřují ignály pojitými, nebo i ignály dikrétními za použití techniky kvantování ignálu. Jednotkou informace ( nejmenším množtvím informace) je bit. ( dvouhodnotová kódová abeceda ). Zcela plné automatické řízení výroby (technologického proceu) není možné z toho důvodu, že některé oblati výroby k tomu nejou způobilé (tam kde výrazně vytupuje lidký činitel). Například je to koordinace ubjektů ve výrobě, mezilidké problémy, odpovědnot za pracovní činnoti, příprava výroby, atd. (Zde nelze k zíkání informací použit automaticky pracující nímače, informující o tavu a průběhu vývoje). Informace zde pokytuje a zadává lidký činitel na terminálu, který je zařazen do ytémového zpracování informačních toků. Nicméně výhody automatizace (optimalizace výrobního proceu, aj.) e více uplatní tam, kde je naazována automatizace komplexně, t.j. jak automatické, tak i automatizované řízení výroby. V ytému automatizovaného řízení (automated control) výroby e lidký ubjekt podílí na řídicím proceu jak ve fází zíkávání a pokytování informací (řídicí pracovníci na různých tupních hierarchické řídicí a organizační truktury), tak i ve fází řídicí, rozhodovací (vrcholový management). K tomu jim louží technické protředky automatizace, jako například automatizované a automatické informační ytémy (běr, kódování, přeno a zpracování informací), počítačové ítě, databanky, aj. V řídicí fázi pak protředky algoritmizace rozhodovacích proceů, imulační a prognotické modely, metody optimalizace, aj. Sytémy takového řízení ložitých úloh, řešených komplexně, e nazývají automatizované řídicí ytémy ( Automated Control Sytem ). V ytémech automatizovaného řízení, informace o tavu řízeného objektu, průběhu a výledku řízení je i ve formě údajů, dat*, zpráv **, které jou vytvářeny protřednictvím počítačových terminálů, přenášeny přenoovými ytémy na dálku a vyhodnocovány pro účely řízení v řídicích centrech. * Data jou údaje obahující informaci, preentované ve formalizovaném tvaru, určené pro zpracování výpočetní technikou. **Zpráva je formalizovaný způob ( obahující data ), jakým je vyjádřena informace. Přeno zprávy od míta jejího vzniku k mítu jejího zpracování e ukutečňuje protřednictvím ignálu.

12 3. Základy řízení logického typu Automatické řízení logického typu je realizováno pomocí logických obvodů (logických ítí, logických ytémů), viz. obrázek 6. z x y LO u ŘO Obr.6 Blokové chéma obvodu řízení logického typu Do logických obvodů (LO) vtupují dvouhodnotové ignály y od nímačů, které informují o tavech řízeného objektu (ŘO). Logické obvody pak půobí na řízený objekt dvouhodnotovými řídícími (ovládacími) ignály u, které jej pře patřičné akční členy uvedou do požadovaného tavu. A to podle algoritmu, který je dán návrhem logického obvodu, a který repektuje vnější řídící povely x i poruchové vlivy z půobící na objekt řízení. Přičemž řídicí ytém (logický obvod) půobí na objekt řízení konečným počtem řídicích akcí (konečný automat). Logické obvody jou takové technické ytémy, které zpracovávají dvouhodnotové (binární) ignály, ať již je jejich fyzikální realizace z elektromechanických, elektronických, pneumatických nebo hydraulických obvodů. Pozn.: Logické obvody e široce používají při automatickém řízení logického typu, kontrole různých technologických proceů, při automatickém řízení dopravy, při řízení pojení a dálkovém přenou zpráv ve pojovací technice, při řízení práce čílicových počítačů a mikroproceorových ytémů, atd. 3. Formální logika Při návrhu logického obvodu, jenž by vytvářel binární výtupní (ovládací) ignály podle požadované zákonitoti (algoritmu), je nutno tuto zákonitot matematicky formulovat. K zíkání matematického popiu funkce logického obvodu e používá pravidel a zákonů formální logiky. Formální logika pracuje výroky. Základním pojmem pro logické vztahy je výrok. Výrokem e rozumí každá věta, o které můžeme rozhodnout, zda je pravdivá či nepravdivá. Příklad výroku: Výrobní troj pracuje (produkuje). oto je výrok, protože má myl e zeptat: Je pravda, že výrobní troj pracuje? A odpověď by byla (dle konkrétní ituace): Ano je to pravda (RUE). Nebo: není to pravda (FALSE). V tomto mylu výroky mají určitou hodnotu (RUE či FALSE) a jou noiteli elementární informace. 2

13 Matematicky můžeme výroky formulovat, přiřadíme li pravdivoti daného výroku pravdivotní hodnotu. Například bude li výrok pravdivý, bude jeho pravdivotní hodnota rovna, bude li nepravdivý bude jeho pravdivotní hodnota rovna 0. Vlatní lovní vyjádření výroku e pak nahradí vhodným ymbolem. Například pímenem z abecedy (a,b,c,d,e,f,...), nebo pímenem indexem ( x, x 2, x 3,..., y, y 2,..., u,u 2,...), apod. 3.2 Logické funkce Ze dvou nebo i více jednoduchých výroků lze jejich vhodným pojováním zíkat výroky nové, jejichž pravdivot či nepravdivot závií na způobu jejich pojení a na pravdivotních hodnotách jednoduchých výroků. Nejčatěji používaným názvem těchto ložených výroků je logická funkce. Přitom e přílušné jednoduché výroky označují jako logické proměnné, které mohou nabývat pravdivotních hodnot nebo 0 (logické jedničky nebo logické nuly). Základní logické funkce Nejjednodušší logickou funkcí je logická funkce negace. Vtupní logická proměnna je zde označena pímenem a (může nabývat hodnoty logické jedničky a nebo logické nuly). Výtupní logickou proměnnou je u (která nabývá také dvou hodnot logické nuly a jedničky a to inverzně). Její algebraický zápi je uveden ada). Definice pomocí kombinační tabulky je adb). Obecná obdélníková značka logického prvku, který realizuje logickou funkci negace je uvedena adc). Negace: a) u a b) c) a u 0 0 Další základní logické funkce jou tvořeny jakožto výledek kombinací dvou vtupních logických proměnných (zde označených pímeny a a b). Funkce logického oučtu je definována v kombinační tabulce adb), algebraický zápi této funkce je ada), obecná obdélníková značka prvku, který realizuje tuto funkci je adc). Logický oučet: a) u a + b b) c) b a u

14 Logický oučin: a) u a. b b) c) b a u yto tři elementární logické funkce tvoří úplný oubor logických funkcí tak, jak jej tanovil irký matematik Henry Boole. Vlatnotí úplného ouboru logických funkcí je, že pomocí něj e dají vyjádřit všechny otatní logické funkce. Repektive dají e realizovat pomocí logických prvků: typu negace (NO), logického oučinu (AND) a logického oučtu (OR). akže realizace dalších jednoduchých logických funkcí pro dvě vtupní proměnné a jednu výtupní logickou proměnnou je právě pomocí těchto prvků a nejou vyráběny ani prezentovány odpovídající logické prvky. Výjimku tvoří Shefferova a Peirceova funkce, které amy o obě mají vlatnot úplného ouboru logických funkcí to znamená, že pomocí každé z těchto funkcí lze realizovat funkce otatní. Implikace: a) u a b b) b a u Ekvivalence: a) u a b b) b a u Nonekvivalence: a) u a b b) b a u

15 Inhibice: / a) u a b b) b a u Zpětná implikace u, zpětná inhibice u 2, nulová funkce u 3, jednotková funkce u 4, aerce a u 5, aerce b u 6. b a u u 2 u 3 u 4 u 5 u Shefferova funkce: a) u a. b b) c) b a u Shefferova logická funkce je realizována logickým prvkem (hradlem) typu NAND, jehož obdélníková grafická značka je uvedena adc). Peirceova funkce: a) u a + b b) c) b a u Peirceova funkce, je realizována logickým prvkem (hradlem) typu NOR, viz. adc). Jak již bylo výše uvedeno,shefferova a Peirceova funkce mají amy o obě vlatnot úplného ouboru logických funkcí a to znamená, že pomocí každé z těchto funkcí lze realizovat funkce otatní a to včetně funkcí negace, logického oučtu a logického oučinu, což je výhodou používáno při realizaci logických obvodů na úrovni L logiky (čílicových integrovaných obvodů). 5

16 3.3 Booleova algebra ato logická algebra e opírá o úplný oubor logických funkcí, tvořený třemi elementárními logickými funkcemi: logickým oučtem, logickým oučinem a negací. Priorita vazeb logických proměnných v logických rovnicích (funkcích) je tato:. negace 2. logický oučin 3. logický oučet. Axiomatická pravidla této logické algebry louží k minimalizaci, čili zjednodušování logických funkcí. zákon komutativní a + b b + a a. b b. a zákon aociativní a + (b + c) (a + b) + c a. (b. c) (a. b). c zákon ditributivní a + b. c (a + b). (a + c) a. (b + c) a. b + a. c zákon dvojí negace a a zákon vyloučeného třetího a + a a. a 0 zákon aborpce a + a a a. a a zákon agreivity hodnot 0 a a + a. 0 0 zákon neutrality hodnot 0 a a + 0 a a. a zákony de Morganovy a + b a. b a. b a + b odvozená pravidla aborpce a + a. b a. ( + b ) a a + a. b a.( + b) a Příklad Minimalizujte tuto logickou rovnici: u a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c Řešení: u a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c a. c.( b + b ) + a. c ( b + b ) a. (c + c ) a Příklad 2 Minimalizujte tuto logickou rovnici: u a. ( a+b).( a +b) Řešení: u a. ( a+b).( a +b) ( a + a.b). ( a + b) a.( + b). ( a + b) a. ( a + b) a. b 3.4 Úplná dijunktní a úplná konjunktní normální forma Úplná dijunktní normální forma (ÚDNF) vyjadřuje logickou funkci zadanou kombinační tabulkou, algebraickým výrazem (logickou rovnicí) ve tvaru logických oučtů mintermů. Přičemž každý minterm je tvořen logickým oučinem logických proměnných, repektive jejich negací. S tím, že je li v daná logická funkce v tabulce charakterizována n proměnnými, pak každý minterm muí obahovat n těchto logických proměnných. Obdobně úplná konjunktní normální forma (ÚKNF) je algebraickým vyjádřením logické funkce, zadané kombinační tabulkou, ve tvaru logických oučinů maxtermů (logických oučtů) logických proměnných. V každém maxtermu muí být n logických proměnných, je li logická funkce v kombinační tabulce zadána n logickými proměnnými. 6

17 Logickou funkci, převedeme na ÚDNF tak, že procházíme v kombinační tabulce výtupní logickou proměnnou, a kde tato obahuje logickou jedničku, pak odpovídající kombinace logických proměnných vypiujeme ve tvaru mintermu. yto mintermy e pojí operandem logického oučtu. V daném mintermu je logická proměnná zatoupena vou původní hodnotou jetliže v dané kombinaci v tabulce je uvedena logická jednička a má li však hodnotu logické nuly, pak je zatoupena vou negací. Příklad Převeďte logickou funkci vyjádřenou v kombinační tabulce do úplné dijunktní normální formy. a b c u Řešení : u a. b. c + a.b.c + a.b.c Pozn. Vyjádření ÚKNF e realizuje obdobně tím, že e berou v úvahu maxtermy, kde výtupní logická proměnná u má hodnotu 0. Maxtermy e pak pojují operandem logického oučinu. V daném maxtermu jou logické proměnné vyjádřeny vými negacemi, nabývají li hodnot logické jedničky a naopak. 3.5 Grafická minimalizační metoda Minimalizace logických funkcí užitím zákonů Booleovy algebry je někdy doti obtížná. Obtížnot e zvětšuje, je-li logická funkce zadána větším počtem mintermů či maxtermů. Proto e používají k minimalizaci různé metody, z nichž je velmi výhodná metoda Kaurnaughoffovy mapy, pro čtyři až pět logických proměnných. Lze ji použít i pro šet logických proměnných, dále pak již jen doplňujícími šablonami. ato grafická minimalizační metoda počívá ve dvou krocích : ) Vytvoření grafické mapy a zapání dané logické funkce ve tvaru ÚDNF nebo ÚKNF do mapy. 2) Grafická minimalizace logické funkce v mapě a výpi výledné minimalizované logické funkce. ad ) Zápi (záznam) logické funkce do mapy. Obecně je velikot mapy (počet políček) dána počtem logických proměnných dle vztahu: M 2 n kde n je počet logických proměnných a M je počet políček tvořících mapu. 7

18 Například mapa pro tři logické proměnné má: políček, pro čtyři-šetnáct, pro pěttřicet dva a pro šet proměnných-šedeát čtyři políček. Převod dané logické funkce z ÚDNF do mapy e provádí tak, že jednotlivé mintermy e prezentují v mapě hodnotou logické jedničky, dle přílušného grafického označení logických proměnných po tranách mapy. Zbylá políčka mapy e vyplní hodnotou logické nuly. (V případě ÚKNF je tomu obráceně). ad2) Grafická minimalizace Grafická minimalizace e opírá o předtavu tzv. ouedních políček ouedících polu pře hrany (ne pře vrcholy). Souední políčka lze graficky družovat, čímž dochází k minimalizaci, protože pojením dvou ouedních políček obahujících jedničky, do jediného útvaru nazvaného dvojice e vyloučí jedna logická proměnná. Při zpětném výpiu, takto zminimalizované logické funkce z mapy, e na pojená políčka pohlíží jako na jeden útvar, který předtavuje jeden logický oučin. Souední políčka lze graficky družovat do dvojic, čtveřic, omic, šetnáctic, atd. Dvojice je potom popána logickým oučinem o jednu proměnnou chudším, o kterou e právě dvě ouední políčka liší a která e tímto vy-eliminuje, dle zákonů Booleovy algebry. Čtveřice, tj. grafický útvar vzniklý družením čtyř ouedních políček, je pak určena logickým oučinem o dvě logické proměnné jednodušším. Omice je pak určena logickým oučinem o tři proměnné, jednodušším. Šetnáctice o čtyři proměnné, atd. Při čemž při grafické minimalizaci e nažíme družovat políčka do co možná největších útvarů (vyloučí e tím více logických) a dále e nažíme,aby těchto útvarů bylo co nejméně. (Počet útvarů odpovídá počtu logických oučinů, výledné logické funkce). Označení logických proměnných na okraji mapy muí být provedeno tak, aby ouední políčka opravdu polu ouedila i podle grafické předtavy a to hranou, nikoliv však vrcholem. Příklady: Na obrázcích 7 až je uvedeno pět příkladů grafické minimalizace. V příkladu jež je prezentován obrázkem 7 obahovala původní logická rovnice ve tvaru ÚDNF om mintermů (každý tvořený logickým oučinem čtyř logických proměnných), obr.8 pak šet mintermů, obr.0 deet mintermů, obr. dokonce dvanáct mintermů. Pod každým obrázkem je pak uvedena výledná minimalizovaná logická rovnice. Pozn.Znaménka X některých políčcích mapy (v obr. 9) znamenají, že takováto kombinace logických proměnných nikdy nenatane a proto můžeme do takového políčka vepat hodnotu 0, nebo podle toho, co bude výhodnější hledika minimalizace. Z obrázku je vidět, že pro minimalizaci bude výhodné zapojit čtyři políčka označením X do dvou čtverců. Do zbylých tří políček označením X zapíšeme nuly, protože ta nám k minimalizaci nepropějí. Obr. 7 8

19 Obr.8 Obr. 9 Obr. 0 Obr. 3.6 Kombinační logické obvody Kombinační logické obvody realizují logické funkce v záviloti na kombinaci tavů vtupních logických proměnných. Syntéza těchto obvodů obahuje náledující potup: definice přiřazení logických hodnot vtupním a výtupním proměnným vyjádření požadované činnoti obvodu protřednictvím logických funkcí v kombinační tabulce převedení logické funkce (logických funkcí) z kombinační tabulky do logické rovnice (logických rovnic) pomocí ÚDNF (repektive ÚKNF). minimalizace logické funkce (logických funkcí) etavení ymbolického chématu pro danou logickou funkci, nebo funkce z grafických značek logických prvků, mající vlatnot úplného ouboru logických funkcí. realizace logické funkce (funkcí) konkrétními logickými prvky průmylově vyráběnými. 9

20 Příklad Navrhněte kombinační logický obvod (bez poledních dvou bodů yntézy), který bude pro tři vtupní logické proměnné (a, b, c) vyhodnocovat: a) překročení mezního tavu u jedné proměnných ze tří (u ) b) překročení mezního tavu u dvou proměnných ze tří (u 2 ) c) všech tří proměnných najednou (u 3 ) Řešení: Kombinační tabulka a b c u u u ÚDNF: u a. b. c + a. b. c + a. b. c u 2 a. b. c + a. b. c + a. b. c u 3 a. b. c Pozn. Uvedené tři ÚDNF jou oučaně i minimálními logickými výrazy. 3.7 Sekvenční logické obvody Sekvenční logické obvody jou ložitější oproti kombinačním logickým obvodům. Ve vé truktuře obahují i kombinační logické obvody (KLO) a navíc pak ještě i paměťovou čát ytému (PČS). Okamžité hodnoty výtupních logických proměnných U, U 2, U 3... U m jou pak určeny nejen okamžitými kombinacemi vtupních logických proměnných X, X 2, X 3... X m, ale také jejich předcházejícími kombinacemi. x u x 2 u 2 x 3. kombinační u 3. logický x n obvod u m Q k Q k- Q q q 2 paměťová čát ytému q l Obr. 2 Blokové chéma truktury ekvenčního logického obvodu 20

Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění

Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 23 2-4-3 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t

Více

Vytvoření skriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a simulace technologických procesů

Vytvoření skriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a simulace technologických procesů Vytvoření kriptů pro webové rozhraní předmětu Analýza a imulace technologických proceů M-file for the Internet Interface Ued in the Subject Analyi and Simulation of Technological Procee. Petr Tomášek Bakalářká

Více

Asynchronní stroje. Úvod. Konstrukční uspořádání

Asynchronní stroje. Úvod. Konstrukční uspořádání Aynchronní troje Úvod Aynchronní troje jou nejjednodušší, nejlevnější a nejrozšířenější točivé elektrické troje. Používají e především jako motory od výkonů řádově deítek wattů do výkonů tovek kilowattů.

Více

6. ZÁSOBOVÁNÍ 6.1. BILANCE MATERIÁLU 6.2. PROPOČTY SPOTŘEBY MATERIÁLU

6. ZÁSOBOVÁNÍ 6.1. BILANCE MATERIÁLU 6.2. PROPOČTY SPOTŘEBY MATERIÁLU 6. ZÁSOBOVÁÍ 6.1. Bilance materiálu 6.2. Propočty potřeby materiálu 6.3. Řízení záob (plánování záob) Záobování patří mezi velmi ůležité ponikové aktivity. Při řízení záob e jená v potatě o řešení tří

Více

Aut 2- regulační technika (2/3) + prvky regulačních soustav (1/2)

Aut 2- regulační technika (2/3) + prvky regulačních soustav (1/2) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: AUTOMATIZACE DRUHÝ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 27. 3. 2013 Aut 2- regulační technika (2/3) + prvky regulačních soustav (1/2) 5.5 REGULOVANÉ SOUSTAVY Regulovaná

Více

Doporučené aplikace stanovení modulu C pro jednotlivé typy technologií výroby elektřiny v KVET Zákon č. 165/2012 Sb., vyhl. č. 453/2012 Sb.

Doporučené aplikace stanovení modulu C pro jednotlivé typy technologií výroby elektřiny v KVET Zákon č. 165/2012 Sb., vyhl. č. 453/2012 Sb. Doporučené aplikace tanovení modulu C pro jednotlivé typy technologií výroby elektřiny v KVET Zákon č. 165/2012 Sb., vyhl. č. 453/2012 Sb. 1 Metodické pokyny pro určení množtví elektřiny z vyokoúčinné

Více

PSK3-4. Přístupová práva. setfacl z balíčku acl.)

PSK3-4. Přístupová práva. setfacl z balíčku acl.) PSK3-4 Název školy: Autor: Anotace: Vzdělávací oblat: Předmět: Tematická oblat: Výledky vzdělávání: Klíčová lova: Druh učebního materiálu: Vyšší odborná škola a Střední průmylová škola, Božetěchova 3 Ing.

Více

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH, DUKELSKÁ 13 PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE Provedl: Tomáš PRŮCHA Datum: 23. 1. 2009 Číslo: Kontroloval: Datum: 4 Pořadové číslo žáka: 24

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Algebra blokových schémat Osnova kurzu

Algebra blokových schémat Osnova kurzu Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD 1 Osnova

Více

Technické informace. Statika. Co je důležité vědět před začátkem návrhu. Ztužující věnce. Dimenzování zdiva

Technické informace. Statika. Co je důležité vědět před začátkem návrhu. Ztužující věnce. Dimenzování zdiva Co je důležité vědět před začátkem návrhu Nonou kontrukci zděných taveb tvoří zdi a tropy vytvářející protorově tabilní celek, chopný přenét do základů veškerá vilá a vodorovná zatížení a vyrovnávat edání

Více

Číslicové obvody základní pojmy

Číslicové obvody základní pojmy Číslicové obvody základní pojmy V číslicové technice se pracuje s fyzikálními veličinami, které lze popsat při určité míře zjednodušení dvěma stavy. Logické stavy binární proměnné nabývají dvou stavů:

Více

David Prušvic 1 Jiří Přibyl 2. VÚPSV Praha 2006

David Prušvic 1 Jiří Přibyl 2. VÚPSV Praha 2006 Komparace zatížení pracovních příjmů reprezentativních typů domácnotí zamětnanců v Čeké a Slovenké republice oobní důchodovou daní a přípěvky na ociální zabezpečení David Prušvic 1 Jiří Přibyl 2 VÚPSV

Více

Počítačová podpora automatického řízení - CAAC

Počítačová podpora automatického řízení - CAAC XXVI. AR '2001 eminar, Instruments and Control, Ostrava, April 26-27, 2001 Paper 47 Počítačová podpora automatického řízení - CAAC NAVRÁTIL, Pavel 1 & BALÁTĚ, Jaroslav 2 1 Ing., Institut Informačních Technologií,

Více

Matlab & Simulink. studijní materiály pro předmět Základy kybernetiky. Libor Kupka

Matlab & Simulink. studijní materiály pro předmět Základy kybernetiky. Libor Kupka Matlab & Simulink tudijní materiály pro předmět Základy kybernetiky Libor Kupka Obah Předmluva... 5 Úvod... 7 Základy práce v protředí MATLAB... 9. Práce v příkazovém řádku...3. Proměnné v MATLABu...5.3

Více

H&0 = ,19(578-Ë&Ë. 9é6783 5&0 X ' + X&0 1(,19(578-Ë&Ë =(0 5 '

H&0 = ,19(578-Ë&Ë. 9é6783 5&0 X ' + X&0 1(,19(578-Ë&Ë =(0 5 ' Vážení zákazníci dovolujeme i Vá upozornit že na tuto ukázku knihy e vztahují autorká práva tzv. copyright. To znamená že ukázka má loužit výhradnì pro oobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø

Více

Úvod do informačních technologií

Úvod do informačních technologií Úvod do informačních technologií přednášky Jan Outrata září prosinec 2009 (aktualizace září prosinec 2012) Jan Outrata (KI UP) Úvod do informačních technologií září prosinec 2012 1 / 58 Binární logika

Více

MSC 30-45 MSD 55-75 Pohon přes klínové řemeny. RMC 30-45 RMD 55-75 RME 75-90 Pohon pomocí spojky

MSC 30-45 MSD 55-75 Pohon přes klínové řemeny. RMC 30-45 RMD 55-75 RME 75-90 Pohon pomocí spojky MSC MSD Pohon pře klínové řemeny RMC RMD RME Pohon pomocí pojky Olejem mazané šroubové kompreory pevnou nebo proměnnou í Solidní, jednoduché, chytré Zvýšená polehlivot dodávky tlačeného u MSC/MSD Pohon

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry 18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry Digitální voltmetry Základním obvodem digitálních voltmetrů je A/D

Více

Číselné soustavy a převody mezi nimi

Číselné soustavy a převody mezi nimi Číselné soustavy a převody mezi nimi Základní požadavek na počítač je schopnost zobrazovat a pamatovat si čísla a provádět operace s těmito čísly. Čísla mohou být zobrazena v různých číselných soustavách.

Více

TECHNICKÁ PRAVIDLA. W 921 03 1. návrh ke dni 24. 4. 2007. Svařování termoplastů Svařovací metody Thermoplastics Welding Welding Methods

TECHNICKÁ PRAVIDLA. W 921 03 1. návrh ke dni 24. 4. 2007. Svařování termoplastů Svařovací metody Thermoplastics Welding Welding Methods Kód zařízení: 921 Svařování, pájení, řezání W 921 03 1. návrh ke dni 24. 4. 2007 TECHNICKÁ PRAVIDLA Svařování termoplatů Svařovací metody Thermoplatic Welding Welding Method Schválena dne: Platnot od:

Více

Zpráva o stavu a rozvoji modelu pro předvídání vzdělanostních potřeb ROA - CERGE v roce 2004

Zpráva o stavu a rozvoji modelu pro předvídání vzdělanostních potřeb ROA - CERGE v roce 2004 Zpráva o tavu a rozvoji modelu pro předvídání vzdělanotních potřeb ROA - CERGE v roce 2004 vypracováno pro čát grantového projektu Společnot vědění - nároky na kvalifikaci lidkých zdrojů a na další vzdělávání

Více

POJISTNÉ PODMÍNKY POJIŠTĚNÍ PROFI MERLIN

POJISTNÉ PODMÍNKY POJIŠTĚNÍ PROFI MERLIN POJISTNÉ PODMÍNKY POJIŠTĚNÍ PROFI MERLIN ze dne 1. 1. 2015 Článek 1 - Úvodní utanovení 1.1. Pro toto oukromé pojištění, které jednává Komerční pojišťovna, a.., e ídlem Karolinká 1/650, 186 00 Praha 8,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Title: IX 6 11:27 (1 of 6)

Title: IX 6 11:27 (1 of 6) PŘEVODNÍKY ANALOGOVÝCH A ČÍSLICOVÝCH SIGNÁLŮ Převodníky umožňující transformaci číslicově vyjádřené informace na analogové napětí a naopak zaujímají v řídícím systému klíčové postavení. Značná část měřených

Více

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů Kapitola 1 Signály a systémy 1.1 Klasifikace signálů Signál představuje fyzikální vyjádření informace, obvykle ve formě okamžitých hodnot určité fyzikální veličiny, která je funkcí jedné nebo více nezávisle

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

VŠEOBECNÉ INFORMACE DVI, a. s.

VŠEOBECNÉ INFORMACE DVI, a. s. Huitká 42/22 VŠEOBECNÉ INFORMACE DVI, a.. DVI je vzdělávací firmou, půobící především v oblati dopravy, zejména železniční. Zajišťuje však i celou řadu vzdělávacích aktivit i mimo tento ektor, vždy podle

Více

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor.

Fázorové diagramy pro ideální rezistor, skutečná cívka, ideální cívka, skutečný kondenzátor, ideální kondenzátor. FREKVENČNĚ ZÁVISLÉ OBVODY Základní pojmy: IMPEDANCE Z (Ω)- charakterizuje vlastnosti prvku pro střídavý proud. Impedance je základní vlastností, kterou potřebujeme znát pro analýzu střídavých elektrických

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Vážení čtenáři, Ing. Rostislav Vondruška ministr pro místní rozvoj

Vážení čtenáři, Ing. Rostislav Vondruška ministr pro místní rozvoj Vážení čtenáři, Minitertvo pro mítní rozvoj zajišťuje v oblati regionální politiky a trukturálních fondů především informační a metodickou podporu vyšším územním amoprávným celkům, mětům, obcím a jejich

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Způsoby realizace této funkce:

Způsoby realizace této funkce: KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY U těchto obvodů je výstup určen jen výhradně kombinací vstupních veličin. Hodnoty výstupních veličin nezávisejí na předcházejícím stavu logického obvodu, což znamená, že kombinační

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY NOSNÁ OCELOVÁ KONSTRUKCE ADMINISTRATIVNÍ BUDOVY STEEL STRUCTURE OF THE OFFICE BUILDING

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY NOSNÁ OCELOVÁ KONSTRUKCE ADMINISTRATIVNÍ BUDOVY STEEL STRUCTURE OF THE OFFICE BUILDING BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF METAL AND TIMBER STRUCTURES NOSNÁ OCELOVÁ KONSTRUKCE ADMINISTRATIVNÍ BUDOVY STEEL STRUCTURE OF THE OFFICE BUILDING DIPLOMA THESIS

Více

PARNÍ A PLYNOVÉ TURBÍNY V REDUKČNÍCH STANICÍCH

PARNÍ A PLYNOVÉ TURBÍNY V REDUKČNÍCH STANICÍCH PARNÍ A PLYNVÉ URBÍNY V REDUKČNÍCH SANICÍCH Vydala: Čeká energetická agentura Vinohradká 8, 0 00 Praha Vypracoval: Doc.Ing.Kolarčík CSc. ato publikace je určena pro poradenkou činnot a byla zpracována

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů.

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů. Modely datové Existují různé úrovně pohledu na data. Nejvyšší úroveň je úroveň, která zachycuje pouze vztahy a struktury dat samotných. Konceptuální model - E-R model. Další úrovní je logická úroveň Databázové

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

26-41-M/01 Elektrotechnika

26-41-M/01 Elektrotechnika Střední škola technická, Most, příspěvková organizace Dělnická 21, 434 01 Most PROFILOVÁ ČÁST MATURITNÍ ZKOUŠKY V JARNÍM I PODZIMNÍM OBDOBÍ ŠKOLNÍ ROK 2014/2015 Obor vzdělání 26-41-M/01 Elektrotechnika

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669

Gymnázium, Ostrava-Poruba, Čs. exilu 669 Gynáziu, Otrava-Poruba, Č. exilu 669 STUDIJNÍ OPORA DISTANČNÍHO VZDĚLÁVÁNÍ ŘEŠENÍ FYZIKÁLNÍCH ÚLOH ANTONÍN BALNAR Otrava 005 Recenze: prof. RNDr. Erika Mechlová, CSc. Publikace byla vytvořena v ráci projektu

Více

Ing. Vítězslav Doleží, Ing. Dušan Galis

Ing. Vítězslav Doleží, Ing. Dušan Galis Projekt OP VK CZ..7/..7/. Podpora odborného vzdělávání na tředních školách SK Střední škola průmylová a umělecká, Opava, přípěvková organizace Prakova 8/99 76, Opava www.pu-opava.cz tel.: 55 6 58 e-mail:

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. výstup

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í. výstup ELEKTONIKA I N V E S T I C E D O O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í 1. Usměrňování a vyhlazování střídavého a. jednocestné usměrnění Do obvodu střídavého proudu sériově připojíme diodu. Prochází jí proud

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Číselné soustavy: Druhy soustav: Počítání ve dvojkové soustavě:

Číselné soustavy: Druhy soustav: Počítání ve dvojkové soustavě: Přednášející : Ing. Petr Haberzettl Zápočet : práce na doma hlavně umět vysvětlit Ze 120 lidí udělá maximálně 25 :D Literatura : Frištacký - Logické systémy Číselné soustavy: Nevyužíváme 10 Druhy soustav:

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

3. SPLAVENINY VE VODNÍCH TOCÍCH. VZNIK SPLAVENIN (z povodí, z koryt v. t.) Proces vodní eroze

3. SPLAVENINY VE VODNÍCH TOCÍCH. VZNIK SPLAVENIN (z povodí, z koryt v. t.) Proces vodní eroze 3. SPLAVENINY VE VODNÍCH TOCÍCH VZNIK SPLAVENIN (z povodí, z koryt v. t.) Proce vodní eroze DRUHY A VLASTNOSTI SPLAVENIN Rozdělení plavenin: Plaveniny: do 7mm (překryv v 0,1 7,0 mm dle unášecí íly τ 0

Více

1. Základy teorie přenosu informací

1. Základy teorie přenosu informací 1. Základy teorie přenosu informací Úvodem citát o pojmu informace Informace je název pro obsah toho, co se vymění s vnějším světem, když se mu přizpůsobujeme a působíme na něj svým přizpůsobováním. N.

Více

Automatický optický pyrometr v systémové analýze

Automatický optický pyrometr v systémové analýze ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ K611 ÚSTAV APLIKOVANÉ MATEMATIKY K620 ÚSTAV ŘÍDÍCÍ TECHNIKY A TELEMATIKY Automatický optický pyrometr v systémové analýze Jana Kuklová, 4 70 2009/2010

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

2/2007 Media4u Magazine

2/2007 Media4u Magazine 2/2007 Media4u Magazine ISSN 1214-9187 Čtvrtletní čaopi pro podporu vzdělávání The Quarterly Magazine for Education * Квартальный журнал для образования Čaopi je archivován Národní knihovnou Čeké republiky

Více

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto

Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Gymnázium Vysoké Mýto nám. Vaňorného 163, 566 01 Vysoké Mýto Registrační číslo projektu Šablona Autor Název materiálu CZ.1.07/1.5.00/34.0951 III/2 INOVACE A ZKVALITNĚNÍ VÝUKY PROSTŘEDNICTVÍM ICT Mgr. Jana

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Uživatelská příručka k fotoaparátu

Uživatelská příručka k fotoaparátu Základy práce Uživatelká k fotoaparátu ČESKY fotoaparátu i přečtěte tuto příručku včetně čáti Bezpečnotní upozornění (= 6). Přečtení této příručky vám pomůže naučit e právně používat fotoaparát. Příručku

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Číslo pojistné události ÚDAJE O POJIŠTĚNÉM. Název pojištění: Číslo pojistné smlouvy: Příjmení a jméno: Místo narození: Pohlaví: Muž Žena

Číslo pojistné události ÚDAJE O POJIŠTĚNÉM. Název pojištění: Číslo pojistné smlouvy: Příjmení a jméno: Místo narození: Pohlaví: Muž Žena Čílo pojitné událoti Prezentační razítko Oznámení pojitné událoti Pracovní nechopnot Pokyny pro vyplnění formuláře: 1. Vyplňte formulář ve všech bodech. zapomeňte vyplnit čílo pojitné mlouvy. 2. U políček

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita

Samoopravné kódy. Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Katedra matematiky a Institut teoretické informatiky Západočeská univerzita Seminář pro učitele středních a vysokých škol, Plzeň, 30. března 2012 jsou všude Některé oblasti využití: CD přehrávače mobilní

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT

TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky TEORIE ZPRACOVÁNÍ DAT pro kombinované a distanční studium Jana Šarmanová Ostrava 2003 Jana Šarmanová, 2003 Fakulta

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů Technicko-ekonomická optimalizace cílem je určení nejvýhodnějšího řešení pro zamýšlenou akci Vždy existují nejméně dvě varianty nerealizace projektu nulová varianta realizace projektu Konstrukce variant

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Inteligentní energetické sítě - smart grids. EMIL DVORSKÝ, KEE, FEL, ZČU v Plzni

Inteligentní energetické sítě - smart grids. EMIL DVORSKÝ, KEE, FEL, ZČU v Plzni Inteligentní energetické sítě - smart grids EMIL DVORSKÝ, KEE, FEL, ZČU v Plzni Co je inteligentní sít Dánský ostrov Bornholm (42 000 obyvatel) v Baltském moři bude mít díky projektu EcoGrid sponzorovaném

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

MĚŘENÍ A REGULACE TEPLOTY V LABORATORNÍ PRAXI

MĚŘENÍ A REGULACE TEPLOTY V LABORATORNÍ PRAXI MĚŘENÍ A REGULACE TEPLOTY V LABORATORNÍ PRAXI Jaromír Škuta a Lubomír Smutný b a) VŠB-Technická Univerzita Ostrava, 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava - Poruba, ČR, jaromir.skuta@vsb.cz b) VŠB-Technická

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: I. Obor Ekonomické lyceum 78-42-M/002 1. Práce s obhajobou z ekonomiky nebo společenských věd: Témata pro práci s obhajobou budou žáci zpracovávat

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Vypracoval: Ing. Antonín POPELKA. Datum: 30. června 2005. Revize 01

Vypracoval: Ing. Antonín POPELKA. Datum: 30. června 2005. Revize 01 Popis systému Revize 01 Založeno 1990 Vypracoval: Ing. Antonín POPELKA Datum: 30. června 2005 SYSTÉM FÁZOROVÝCH MĚŘENÍ FOTEL Systém FOTEL byl vyvinut pro zjišťování fázových poměrů mezi libovolnými body

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

Stabiliz atory napˇet ı v nap ajec ıch zdroj ıch - mˇeˇren ı z akladn ıch parametr u Ondˇrej ˇ Sika

Stabiliz atory napˇet ı v nap ajec ıch zdroj ıch - mˇeˇren ı z akladn ıch parametr u Ondˇrej ˇ Sika - měření základních parametrů Obsah 1 Zadání 4 2 Teoretický úvod 4 2.1 Stabilizátor................................ 4 2.2 Druhy stabilizátorů............................ 4 2.2.1 Parametrické stabilizátory....................

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

2.1 Empirická teplota

2.1 Empirická teplota Přednáška 2 Teplota a její měření Termika zkoumá tepelné vlastnosti látek a soustav těles, jevy spojené s tepelnou výměnou, chování soustav při tepelné výměně, změny skupenství látek, atd. 2.1 Empirická

Více

Semestrální práce z předmětu MAB

Semestrální práce z předmětu MAB Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu MAB Modely investičního rozhodování Helena Wohlmuthová A07148 16. 1. 2009 Obsah 1 Úvod... 3 2 Parametry investičních

Více