Pravděpodobnost Závěrečná práce
|
|
- Pavel Staněk
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobnost Závěrečná práce Vypracoval: Jaromír Homolka, 3.D Vedoucí práce: Mgr. Viktor Ježek Rok a místo: 2015/2016, Brno
2 Prohlašuji, že jsem předloženou práci vypracoval samostatně a že jsem uvedl veškeré použité informační zdroje -umístěné dole na stránce....
3 Chtěl bych poděkovat především panu učiteli Mgr. Viktoru Ježkovi za jeho dohled a kontrolu mé práce.
4 Obsah 1. Pravděpodobnost O co se tedy jedná Související definice Historie Příklady Základní příklady Příklady s faktoriály a kombinačními čísly Sjednocení jevů Nezávislé jevy Podmíněná pravděpodobnost Bernoulliho schéma Závěr
5 1. Pravděpodobnost 1.1 O co se tedy jedná Pojmem pravděpodobnost jevu bychom si měli představit číslo, které vyjadřuje míru očekávanosti konkrétního jevu. Příkladem náhodného jevu je hod kostkou, kdy očekáváme, že výsledek je nejistý a závisí tedy na náhodě a že při opakování hodu budou stejné podmínky, které nebudou nijak ovlivňovat náhodnost pokusu. Aby se nám výsledek jednoduše počítal, budou platit následující podmínky: Je konečně mnoho všech možných výsledků (tedy Ω má v našem případě pouze 6 čísel) Jedním hodem nemůžeme hodin dva a více výsledků (tedy jedním hodem nám nemohou padnout čísla 3 a 4 zároveň) Všechny možné výsledky jsou stejně pravděpodobné (tedy žádná stěna není větší těžší apod.) 1.2 Související definice Každá činnost, která se opakuje a je zároveň závislá na náhodě se označuje jako náhodný pokus. To je tedy například hod kostkou nebo losování. Má-li pokus N možných výsledků, pak každý výsledek je stejně pravděpodobný a hodnota této pravděpodobnosti je 1 N výsledků Dále potřebujeme množinu všech možných výsledků náhodného pokusu, která nám shrne všechny možnosti, které musíme do celkové pravděpodobnosti zahrnout. Značí se písmenem Ω (omega). Převedeme-li tuto definici na hod kostkou, značí nám to čísla 1 až 6 a zapisuje se Ω =1, 2, 3, 4, 5, 6. Pokud se snažíme, aby nám padlo pouze nějaké číslo, nebo nějaký rozsah čísel, značíme náhodný jev jako podmnožina a značíme ji A Ω. Například pokud chceme, aby nám na kostce padly pouze liché čísla zapíšeme jev jako A={1,3,5}. Jev kdy na kostce mají padnout čísla pouze menší než 3 zapíšeme A={1,2}. Když hodíme kostkou, provedeme tedy pokus a na kostce padne číslo náhodné číslo 1-6, které označíme jako x. Pokud číslo x A, námi zadaný jev nastal a pokud x A, tak daný jev nenastal. Pokud bude podmnožina A={1,3,5} a padne nám číslo x=3, pak 3 1,3,5 a daný jev nastal. Pravděpodobnost jevu označujeme čísly od 0 do 1. Číslo 0 znamená, že jev nikdy nenastane a číslo 1 nám naopak značí, že jev určitě nastane. Pravděpodobnost 5
6 můžeme také vyznačit pomocí procent, kdy setina značí jedno procento, tudíž 0,45=45% a značíme P(A). Základním vzorcem je P(A) = A ω Jsou dva speciální jevy, které můžou nastat a to jev jistý a jev nemožný. Jev jistý nastane v případě, že naše podmnožina se rovná množině všech možných výsledků, zápisem A=Ω a podmnožina vždy nastane. Jako příklad zadání, kdy musí být všechny čísla, které padnou menší než 7. P(J) = ω ω = 1; Druhý speciální jev nemožný nastane v případě, kdy námi hledaná množina vůbec není v množině všech možných výsledků, zápisem A=. Příkladem může být zadání Jestliže hodíme kostkou, padne nám auto, nebo číslo 53, což je nemožné, protože na kostce jsou pouze čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6. P(N) = ω = 0; 1.3 Historie Mezi hlavní zakladatele pravděpodobnosti bychom mohli chápat čtyři osobnosti. Nejprve Pierre de Fermat a poté Blaise Pascal (1654), ti se zabývali hlavně užití pravděpodobnosti v hazardních hrát a důležitých životních kombinatorických problémů. Poté základy pravděpodobnosti jako matematické disciplíny rozšířili Christian Huygens, Abraham de Moivre a hlavně Jacob Bernoulli. Avšak první jméno, které bychom si měli spojit s pravděpodobností je Pierre-Simon Laplace. Ten napsal dílo, které nejen sjednotilo veškeré poznání všech předchůdců, ale velmi je rozšířil a použil na většinu oblastí tehdejšího poznání. Mezi oblasti patří fyzika, ale dokonce sociální vědy. Kniha se jmenuje Teorie pravděpodobnosti (Théorie analytique des probabilités). P.S.Laplace definoval pravděpodobnost jako nástroj pro popis všech problémů s neúplnou vstupní informací. Laplace rozvinul teorii pravděpodobnosti natolik, že po jeho smrti Laplace nikdo celé století v pokroku nepřekoval. Laplace začal znovu používat jednu z důležitých teorií pravděpodobnosti a to Bayesův teorém, kterou ještě zjednodušil a odvodil rozložení chyb, které se v některých konkrétních případech objevují. Laplace také poukázal na řešení pravděpodobnosti i na oblasti jevů, které se neopaku- 6
7 jí a nemají hromadný výskyt (př. Přibližná hmotnost Satarnu). Laplace napal jeho filosofickou esej o pravděpodobnosti, to byl populárně stylizovaný úvod pro jeho hlavní dílo o pravděpodobnosti, kde používá jím vynalezenou metodu vytvořujících funkcí, která je pro pravděpodobnost velice významná. Tato esej se velice rozšířila, ale vedla k různým mýtům o jeho díle, které nebyly vůbec pravda. Po těchto významných teoriích se začne objevovat novější vývoj, který se zaměřuje hlavně na dvě linie. První se zaměřovala hlavně na hromadné jevy(r. Von Mises) a druhá se zaměřovala na zachování obecnosti a ducha Laplaceova bayesovského pojetí pravděpodobnosti(kolmogorov, tes se zaměřoval spíše na matematiku a Jaynes, ten se zaměřoval na fyziku). Kolmogorova pravděpodobnost je psána jako teorie normované míry. Jaynes interpretuje svoji práci jako pravděpodobnost jako zobecněná logika, ale v celkovém měřítku jsou tyto pojetí podobné. Jedinečnost pravidel teorie pravděpodobnosti, která představovala dlouho otevřenou otázku v základech teorie, značně ujasnili R. T. Cox a E. T. Jaynes. Zároveň se ve 20. století rozvinula pravděpodobnost ve fyzice a to v tématech jako statistická fyzika, teorie chaosu, informační fyzika, kvantová mechanika, atd. I když o teorii pravděpodobnosti už víme mnohé, toto téma má stále velký potenciál a není zdaleka uzavřeno. 7
8 2. Příklady 2.1 Základní příklady 1)S kostkou hodíme 12x, hozená čísla jsou 1, 3, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 1, 2, 2 Napřed si napíšeme, kolikrát každé číslo padlo, tedy: A(1)=2 A(2)=4 A(3)=1 A(4)=2 A(5)=0 A(6)=3 Po doplnění do vzorce P(A) = A zjistíme, že i když mělo podle pravděpodobnosti ω každé číslo padnout právě 2 krát, z těchto hodů vznikla odlišná pravděpodobnost a to př. P(1) = 2 12 P(1)= 1 6 P(2)= 1 3 P(3)= 1 12 P(4)= 1 12 P(5)=0 P(6)= 1 4 2) Máme dvě kostky, bílou a černou. Jaká je pravděpodobnost jevu, že na černé padne víc než na bílé? Řešení: Hledaná čísla si označíme podmnožinou A Bílá Černá 0(-) 6 1(6) 5 2(6,5) 4 3(6,5,4) 3 4(6,5,4,3) 2 5(6,5,4,3,2) 1 Na bílé kostce je nejprve počet řešení a v závorce je číslo, které padlo a sloupec černá značí jaké číslo padlo na černé kostce 8
9 Podle pravděpodobnosti by nám měly všechny možnosti padnout za 36 pokusů. Ω = 36 Ω (A)=15 p(a) = Ω(A) Ω = 15 = 0,417 = 41,7 36 Pravděpodobnost že nám na černé padne víc než na bílé je tedy 41,7%. 3) Jaká je pravděpodobnost, že při hodu 4 mincemi(stejnými) padne třikrát L a jednou R Nejprve si zjistíme celkový počet všech možností, tedy Ω rub=r líc=l R R R R R R R L R L R L R L R R L R R R R R L L R L R L L R R L L L R R L R L R L L R L L R L L R L L R L L L R R L L L L L L L Lze počítat kombinatorickými výpočty -----Počet všech možností příznivého výsledku Počet všech možností 4 16 = 1 4 = 0,25 = 25 9
10 4) Házíme současně třemi kostkami klasickými kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že na kostkách padnou tři různá prvočísla? ze všech čísel na kostce jsou pouze 3 prvočísla a jelikož se nesmí žádné opakovat, násobíme ho dále dvojkou a jedničkou 3*2*1 6*6*6 = 1 = 0,028 = 2,8 36 násobíme čísly 6, protože na každé kostce je šest možností různých čísel 2.2 Příklady s faktoriály a kombinačními čísly Faktoriál=číslo, které se násobí jím samotným a všemi menšími celými kladnými čísly př. 5!= 5*4*3*2*1 1)Jaká je pravděpodobnost, že v rodině s 6 dětmi budou tři kluci a tři holky, počítejme s tím, že když se rodí dítě je 50% šance, že to bude kluk, či holka 6! Značí všechny možné kombinace kluků a holek 3!3! značí možnosti, kdy budou právě 3 kluci a 3 holky 6! 3! 3! 2*2*2*2*2*2 = 20 = 0,313 = 31,3 64 šestkrát dvojka, protože každé dítě musí mít jedno ze dvou pohlaví Pravděpodobnost, že z šesti dětí právě 3 budou kluci a 3 holky v libovolném pořadí je 31,3%. 2)Jaká je pravděpodobnost, že z balíčku 32 karet, v němž jsou 4 esa, vylosujeme 6 karet a právě 2 budou esa. ze 4 es potřebujeme přesně 2 a ze zbylých karet(28) potřebujeme právě 4 ( 4 2 ) * (28 4 ) ( 32 = 6 ) 4*3 2*1 * 28*27*26*25 4*3*2*1 32*31*30*29*28*27 6*5**4*3*2*1 10 = 6* celkový počet karet, z kterých jich 6 vytáhneme = = 13,56 Pravděpodobnost, že z tohoto počtu karet vytáhneme právě 2 esa je 13,56%.
11 3) Jaká je pravděpodobnost, že anagram slova ZMRZLINA obsahuje dvě Z vedle sebe? kombinace všech různých písmen(dvě ZZ=Z), 2!= kombinace ZZ mezi sebou 7! 8! 7! 2! = = 2 = 0,25 = 25 2! 8! 8 kombinace všech písmen mezi sebou Anagram slova ZMRZLINA má podle pravděpodobnosti dvě ZZ vedle sebe v každém čtvrtém případě. 4)Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru z deseti chlapců a dvaceti holek vylosujeme alespoň 4 holky. (Tedy právě 4, právě 5, všech 6) právě 4holky+právě 5 holek+ všechny holky ( 20 4 ) (10 2 ) + (20 5 ) (10 1 ) + (20 6 ) 4845* * ( 30 = = 0,69 = 69 6 ) výběr šesti žáků z celkového počtu Pravděpodobnost, že ve výběru budou alespoň 4 holky je 69%. 5) Na výlet jede 12 kluků, mezi nimiž je Karel a Adam. Všichni budou rozděleni do 3 čtyřpokojů. Jaká je pravděpodobnost, že bude Karel a Adam na stejném pokoji? kombinace všech zbylých dětí dělená kombinací dětí v jednotlivých pokojích + kombinace samostatných pokojů 10! 2! 4! 4! 3! 12! 4! 4! 4! 3! = 10! 4! 2! 12! = 4*3 12*11 = 1 11 = 0,09 = 9 kombinací všech dětí dělaná kombinací všech dětí v jednotlivých pokojích + kombinace samostatných pokojů Pravděpodobnost, že bude Karel a Adam na stejném pokoji za předpokladu, že budou děti do pokojů vybírány náhodně, je 9%. 11
12 6) Jaká je pravděpodobnost, že při volbě náhodného pěticiferného čísla budou všechny cifry navzájem rozdílné? první číslo může být pouze 1-9, další už 0-9 a jelikož se nám celkové spektrum čísel každou cifrou snižuje, snižuje se i násobení. 9*9*8*7*6 9*10*10*10*10 = = 0,3024 = 30, každá cifra může mít číslo 0-9, to je spektrum 10 čísel, pouze první cifra nemůže být 0, to by potom nebylo pěticiferné číslo Pravděpodobnost, že náhodné pěticiferné číslo bude mít všechny cifry rozdílné je 30,24%. 7) V klobouku je 12 kuliček, 3 modré, 4žluté, 5 červených. Vylosujeme 4 kuličky z 12. Jaká je pravděpodobnost, že budeme mít v ruce od každé barvy alespoň jednu kuličku. výběr 2modré, žluté a červené+modré,2 žluté a červené+ modré, žluté a 2červené ( 3 2 ) (4 1 ) (5 1 ) + (3 1 ) (4 2 ) (5 1 ) + (3 1 ) (4 1 ) (5 2 ) 3*4*5 + 3*6*5 + 3*4*10 ( 12 = 4 ) 495 kombinace výběru 4 kuliček ze všech = 270 = 0,5454 = 54, Pravděpodobnost, že budeme mít od každé kuličky alespoň jednu v ruce je 54,54%. 8) Mezi 30 výrobky je právě 5 vadných. Jaká je pravděpodobnost, že pokud náhodně vybereme právě 4 výrobky, budou nejvýše 2 vadné. Tedy právě 2 vadné nebo právě 1 vadný nebo žádný vadný. ( 5 2 ) (25 2 ) ( 25 ( ) (5 1 ) 4 ) ( 30 ( ) 4 ) ( 30 = 4 ) = 0.99 = 99 10* * = = Vždy vybereme např. 2 z 5 vadných a zbytek tedy 2 z 25 dělené celkovým počtem kombinací. Vyjde nám tedy číslo, které by mělo být menší než nula a to pouze převedeme pro lepší představivost na procenta. Pravděpodobnost, že nejvýše 2 z 30 výrobků budou vadné je 99%. 12
13 2.3 Sjednocení jevů Sjednocení jevů si můžeme ukázat na hodu kostkou. Mohou nám tedy padnout čísla 1-6. Budeme je rozdělovat do dvou skupin: A=čísla jsou sudá ->2,4,6 B=čísla jsou lichá ->2,3,5 p(aub)= 5 6 p(a)= 3 6 p(b)= kdy platí alespoň jedna z podmínek ---- kdy platí podmínka A kdy platí B p(aub)=p(a)+p(b)-p(a B) ----sečtení podmínek mínus odečtení kdy platí obě(protože by tam jinak čísla, které platí pro obojí byly dvakrát) Příklady: 1) Jaká je pravděpodobnost, že ve slově maminka budou dvě A vedle sebe nebo dvě M vedle sebe? Celkem 7 písmen A vedle sebe -> p(a) M vedle sebe ->p(m) ->p(aum)=p(a)+p(m)-p(a B) kombinace všech písmen, pokud A počítáme jako jedno písmeno, tím pádem musí být tedy vždy vedle sebe, děleno kombinací všech ostatních písmen, které se zde vyskytují více než jednou(tedy M) -- opět kombinace všech písmen, ale platí že M a A jsou 6! 2! 7! 2! 2! + 6! 2! 7! 2! 2! vedle, tedy 2M->jedno číslo a 2A taky jedno číslo 5! 7! 2! 2! = = 600 = 0,476 = 47, opět kombinace všech čísel, dělené písmeny co jsou zde více než jednou (A a M) Pravděpodobnost, že budou dvě A nebo dvě M vedle sebe je 47,6%. 13
14 2) Jaká je pravděpodobnost, že v rodině se 4 dětmi budou aspoň 2 kluci, nebo nejvýše jedna holka? Aspoň dva kluci.p(k) Nejvýše jedna holka p(l) p(kul)=p(k) + p(l) p(k L) Kdy platí p(k)+kdy platí p(l)- kdy platí obojí ( ) + (4 + 1) [1 + 4] 2*2*2*2 Pravděpodobnost, že budou platit oba jevy je 68,8%. = 11 = 0,688 = 68, Nezávislé jevy To jsou takové jevy, kdy pokud nastane jeden jev, tak je na druhém nezávislý a naopak. 1) Máme 4 dětnou rodinu, p(a) - 1. a 2. dítě je holka, p(b) 3. dítě kluk. každé dítě může být na 50% kluk a 50% holka p(a) = = 1 = 0,25 = 25% 4 p(b) = = 1 = 0,50 = 50% 2 p(a B) = = 1 = 0,125 = 12,5% 8 p(a)*p(b)=p(a B) = 1 8 pokud se součin prvního jevu a druhého rovná sjednocení, potom jev je nezávislý Pravděpodobnost, že budou tyto jevy nezávisle na sebe oba fungovat je 12,5%. 14
15 2) Jaká je pravděpodobnost, že bude alespoň jedna žárovka svítit? p(a u B) => p(a)+p(b)-p(a B) =>p(a)+p(b) p(a) * p(b) =>0,95+0,85-0,95*0,85 = 1,80 0,8075 = 0,9925 = 99,25% Pravděpodobnost je 99,25%. 3) Házíme bílou a černou kostkou. Rozhodněte, zda jsou jevy A a B nezávislé. A. B+Č=7 B.Č=3 p(a) = = 1 = 0,16666 = 16,6% 6 p(b) = = 1 = 0,16666 = 16,6% 6 p(a B) = = 1 = 0,027 = 2,7% 36 p(a)*p(b)=p(a B) = 1 36 jsou nezávislé 15
16 2.5 Podmíněná pravděpodobnost A B. Jev A budeme zkoumat, pokud platí podmínka, že nastal jev B p(a, B) = p(a B) p(b) 1) Jaká je pravděpodobnost, že na bílé kostce padne větší číslo než čtyři, za podmínky, že součet kostek je 7. A. bílá>4 B bílá+černá=7 p(a, B) = p(a B) p(b) = pravděpodobnost, že bude ze všech možností platit podmínka A sjednocena s B 2 6*6 6 6*6 = 1 = 0,33 = 33,3 3 podmínka B. Pravděpodobnost, že bude platit Pokud na kostce hodíme ciferný součet 7, potom je pravděpodobnost, že bude platit podmínka A 33,3%. 2.6 Bernoulliho schéma - pokus, který může mít pouze dva výsledky->úspěch->p >neúspěch->1 -úspěch nastane v K případech z N pokusů:( n ) k *pk *(1 p) n k 1)Fotbalista kope penalty s pravděpodobností 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že v sérii 5 penalt promění právě 3? To znamená tedy 3 z 5 s pravděpodobností 0.8,0.8,0.8,0.2,0.2 -> tři ano, dvě ne ( 5 3 ) *0.8*0.8*0.8*0.2*0.2 = 10*0,83 *0,2 2 = 0,2048 = 20,48 Fotbalista promění 3 penalty z 5 s pravděpodobností 20,48%. 16
17 2) Chlapec se rodí s pravděpodobností 0,515(dívka 0,485). Jaká je pravděpodobnost, že se v rodině se 4 dětmi narodí a)první kluk, druhý kluk, třetí holka, čtvrtý kluk? 0,515*0,515*0,485*0,515 = 0,515 3 *0,485 = 0,0662 = 6,62 b)jaká je pravděpodobnost, že se narodí 3 kluci a 1 dívka ( 4 3 ) *0,5153 *0,485 = 0,264 = 26,4 3) Píšeme test ve kterém je 10 otázek. Každá otázka má 4 odpovědi a pouze jedna odpověď je správná (tři jsou špatně). Jaká je pravděpodobnost, že pokud budu tipovat, udělám maximálně jednu chybu. ( ) *0,2510 *0, ( 10 9 ) *0,259 *0,75 1 = 0, , = 2,95*10 5 všechno dobře + pouze jedna chyba Pravděpodobnost, že udělám maximálně jednu chybu je 2,95* Závěr Tato práce mi pomohla si udělat systém v obecné pravděpodobnosti. Sjednotil jsem učivo pravděpodobnosti, které se probírá na střední škole. Doufám, že každý kdo si tuto práci pečlivě pročte, nebude mít problém s porozuměním. 17
18 Resume This work should unite and completly systematically organize history and basics of the theory of probability, which will be gradually explained on certain examples followed by commentaries. In the work I tried to describe everything as simple as possible, so that the person, who has never been taught anything about probability, will be able to count some simple examples by himself/herself. Resume Tato práce má sjednotit a celkově systematicky uspořádat historii a základy teorie pravděpodobnosti. Teorie pravděpodobnosti je zde postupně vysvětlena na jednotlivých příkladech s komentářem. V práci jsem se snažil o co nejjednodušší komentář k příkladům, aby i ten, který se nikdy neučil o pravděpodobnosti, byl schopen po přečtení této práce vypočítat některé základní příklady. 18
19 Zdroje: Marek, Luboš. Pravděpodobnost. 1.vyd. Professional Publishing,2012, 249 s. ISBN: Hebák, Kahounová. Počet pravděpodobnosti v příkladech. 1.vyd. INFORMATORIUM spol. s, 2010, 312 s. ISBN: Teorie pravděpodobnosti [online] [cit ]. Dostupné z: Související definice o pravděpodobnosti [online] [cit ]. Dostupné z: Teorie pravděpodobnosti [online] [cit ]. Dostupné z: 19
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Více( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VícePravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceNáhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VíceTeoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení
Vícenáhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 3 Pravděpodobnost jevů Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceStatistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D.
Statistické vyhodnocování experimentálních dat Mgr. Martin Čada, Ph.D. - Ústav fyziky a biofyziky, PřF JU - E-mail: mcada@prf.jcu.cz - Tel.: 266052418 - Organizace výuky, zkouška, zápočet - Přednášky a
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
Více2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).
1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též
Více22. Pravděpodobnost a statistika
22. Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost náhodných jevů. Klasická pravděpodobnost. Statistický soubor, statistické jednotky, statistické znaky. Četnosti, jejich rozdělení a grafické znázornění.
Více( n) ( ) ( ) 9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování. Předpoklady: 9109
9.1.11 Kombinatorické úlohy bez opakování Předpoklady: 9109 Pedagogická poznámka: Tato hodina slouží jednak ke zopakování probraného, ale zejména k praktickému nácviku kombinatoriky v situaci, ve které
VíceŠkola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Více1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;
I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VícePopulace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1
? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor014 Vypracoval(a),
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu Označení materiálu Název školy Autor Tematická oblast Ročník Anotace Metodický pokyn Zhotoveno CZ.1.07/1.5.00/34.0061 VY_42_INOVACE_M.2.01 Integrovaná střední škola
VícePříklad 1. Řešení 1a ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 4
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST Příklad 1 a) Jev spočívá v tom, že náhodně vybrané přirozené číslo je dělitelné pěti a jev v tom, že toto číslo náhodně vybrané přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě má
Více4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek
cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s
Více7 Pravděpodobnostní modely úvod
7 Pravděpodobnostní modely úvod 7 Pravděpodobnostní modely úvod Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Nyní ve druhé polovině kursu bude obsahem odlišná matematická disciplína, která snad má s numerickými
VíceKombinatorika. Michael Krbek. 1. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle
Kombinatorika Michael Krbek. Základní pojmy. Kombinatorika pracuje se spočitatelnými (tedy obvykle konečnými) strukturami a patří kvůli tomu mezi nejstarší oblasti matematiky. Je těžké podat přesný výčet
Vícepravděpodobnost, náhodný jev, počet všech výsledků
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: Název projektu: Číslo projektu: Autor: Tematická oblast: Název DUMu: Kód: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Inovace výuky na GSN
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
Více5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?
0. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika ) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Práce s daty, kombinatorika a pravděpodobnost Gradovaný řetězec úloh Téma: Pravděpodobnost
VíceKombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo
Kombinatorika Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 19. února 2008 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických
VíceVýznamná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
Alternativní rozdělení Příklad Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, jestli trefil: položíme X = 1, jestliže ano, a X = 0, jestliže ne. Alternativní rozdělení
Více{ 3;4;5;6 } pravděpodobnost je zřejmě 4 = 2.
9..3 Pravděpodobnosti jevů I Předpoklady: 90 Opět se vrátíme k hodu kostkou. Pokus má šest stejně pravděpodobných náhodných výsledků pravděpodobnost každého z nich je 6. Do domečku nám chybí tři políčka.
VíceSEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY
SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATIKY PETROHRADSKÝ PARADOX TEREZA KIŠOVÁ 4.B 28.10.2016 MOTIVACE: K napsání této práce mě inspiroval název tématu. Když jsem si o petrohradském paradoxu zjistila nějaké informace
Více4.5.9 Pravděpodobnost II
.5.9 Pravděpodobnost II Předpoklady: 00508 Př. 1: Který z výsledků hodu mincí čtyřikrát po sobě je pravděpodobnější. a) r, l, r, l b) r, r, r, r Oba výsledky jsou stejně pravděpodobné (pravděpodobnost
Vícekombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková
Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
VíceTeorie. Kombinatorika
Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015
VícePascalova sázka. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky
Pascalova sázka O náhodě, pravděpodobnosti, poznávání a rozhodování Zdeněk Pospíšil Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Univerzita třetího věku 1. dubna 2016 Úvod
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceS1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
VíceRozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně
Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný
VíceNapsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti:
Použité symboly: Motivace k probíranému učivu na praktickém příkladu Úvahové úlohy nebo otázky poukazující na další souvislosti probírané látky s běžným životem Připomenutí učiva, na které nová látka navazuje
VíceOdhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VíceCvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost
Více