Zjednodušený 3D model materiálu pro maltu

Transkript

1 Problémy lomové mechaniky IV. Brno, červen 2004 Zjednodušený 3D model materiálu pro maltu Jiří Brožovský, Lenka Lausová 2, Vladimíra Michalcová 3 Abstrakt : V článku je diskutován návrh jednoduchého materiálového modelu pro popis chování maltu v trojrozměrných úlohách. V příspěvku jsou rozebírány jen ty vztahy, které se váží k působení materiálu v tahu. Úvod Při analýze statického působení zděných konstrukcí se v praktických úlohách stále využívá předpokladu lineárně pružného chování materiálu. To má samozřejmě negativní vliv na výstižnost těchto výpočtů. V rámci výzkumných aktivit na Katedře stavební mechaniky FAST VŠB-TU Ostrava jsou studovány některé z možných nelineárních modelů. Jeden z dílčích problémů konstitutivní model pro maltu je diskutován v tomto příspěvku. Tento model vychází z lineárně pružných počátečních vlastností materiálu. Chování materiálu v tlaku je modelováno jako pružnoplastické, zatímco k popisu chování v tahu je pro porušený materiál využit koncept rozmazaných trhlin. 2 Popis modelu V příspěvku je podrobněji popsán jen způsob popisu chování materiálu v tahu. Podrobnějšímu rozboru chování tohoto materiálu v tlaku budou věnovány pozdější etapy naší činnosti. 2. Podmínka porušení K detekci vzniku trhlin je požívána Chen-Chenova podmínka plasticity. Ta má pro oblasti namáhání tahem a kombinací tahu a tlaku tvar: J 2 6 I2 + A t 3 I τ 2 t = 0, () kde I je první invariant napjatosti, J 2 je druhý deviátor napjatosti a A t a τ t jsou konstanty definované na základě materiálových vlastností (pevností betonu v jednoosém a dvojosém tlaku a v tahu). Uvedená podmínka byla původně vypracována pro popis chování betonu [2]. Její použití pro maltu se jeví jako oprávněné vzhledem k příbuznému charakteru obou materiálů. Jiří Brožovský, Ing., Ph.D., Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 875, Ostrava, jiri.brozovsky@vsb.cz 2 Lenka Lausová, Ing., Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 875, Ostrava, lenka.lausova@vsb.cz 3 Vladimíra Michalcová, Ing., Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 875, Ostrava, vladimira.michalcova@vsb.cz

2 3D model pro maltu J. Brožovský, L. Lausová, V. Michalcová 2.2 Model rozmazaných trhlin Popis chování materiálu (malty) po vzniku trhlin je do jisté míry problémem a existuje celá řada možných přístupů. Je použit velmi jednoduchý postup vlastnosti materiálu ve směru kolmém na rovinu trhliny jsou určovány z ekvivalentního jednoosého pracovního diagramu, jehož parametry jsou upravovány na základě odpovídajících charakteristik 3D podmínky porušení. Sestupná větev pracovního diagramu je považována za lineární. Uvedený postup je zcela konvenční a přináší i některá známá úskalí, jako je závislost výsledků na velikosti sítě konečných prvků. Tato okolnost je ošetřena tradičním způsobem pomocí modelu pásu trhlin navrženém Bažantem []. σ σt σn Eo ε n ε σ c Obrázek : Ekvivalentní jednoosý pracovní diagram V tahové oblasti pracovního diagramu je možné pro stanovení modulu vyjít z rovnice: ( σ n = ε n + σ t E ) z, (2) E 0 kde E 0 je počáteční modul pružnosti materiálu. Model pásu trhlin je aplikován obvyklým způsobem požaduje se splnění rovnice: G F = A G L = konst., (3) kde A G je plocha pod sestupnou větví pracovního diagramu na obrázku 2.2 a L je šířka pásu trhlin (v případě 3D úlohy plocha) a G F je lomová energie. Potom za předpokladu platnosti vztahu pro určení šířky trhliny po úplném uvolnění napětí podle Vose: w o = 2 G F σ t, (4) 2

3 Problémy lomové mechaniky IV. Brno, červen 2004 kde w o je šířka trhliny po úplném uvolnění napětí a vztahu pro určení šířky trhliny z hodnoty poměrné deformace ε: w = ε L, je možné stanovit vztah pro modul, který popisuje sklon sestupné větve pracovního diagramu: (5) = E o 2 G F E o L σ 2 max. (6) Je možné předpokládat, že modul pružnosti materiálu i v ostatních směrech bude mít sníženou hodnotu E, ale vzhledem k nedostatku experimentálních dat je v modelu zatím zaveden ve výši počátečního modulu pružnosti, tedy E = E o. Rozvoj trhlin má samozřejmě vliv i na chování materiálu ve smyku a smykové moduly by tedy měly být upravovány (zmenšovány) v závislosti na rozvoji trhlin. Jednou z možností je použití předpokladu Glemberga a Samuelssona [3], kteří upravují smykový modul na podle vztahu: G upr = E o G = β G, (7) kde β = E o je redukční koeficient smykového modulu. 2.3 Matice tuhosti ortotropního materiálu Výše uvedené vztahy je třeba zavést do 3D modelu. Materiálu s trhlinami (bude předpokládán pouze jeden směr trhlin) bude považován za ortotropní. Uveďme nejdříte obecný tvar matic poddajnosti a tuhosti ortotropního materiálu pro 3D problém. Matice poddajnosti C má tvar [4]: C = µxy µyx E y µ zx µzy µyz E y 2 G yz 0 0 µ xz 0 2 G zx G xy. (8) Matice tuhosti materiálu D = C má podobu: µ yz µ zy µ yx +µ zx µ yz µ zx +µ yx µ zy E y E y E y µ xy+µ xz µ zx µ zx µ xz µ zy+µ zx µ xy µ xz µ xy µ yz µ zy +µ xz µ yz µ xy µ yx D = E y E y E y, (9) 2 G yz G zx G xy 3

4 3D model pro maltu J. Brožovský, L. Lausová, V. Michalcová kde: = µ xy µ yx µ yz µ zy µ zx µ xz 2 µ xy µ yz µ zx E y (0) V obecném případě obsahují matice C a D dvanáct materiálových konstant (, E y,, G yz, G zx, G xy, µ xy, µ yx, µ yz, µ zy, µ zx, µ xz ), které je pro sestavení matic třeba znát. Tolik údajů však nelze z informací uvedených v předchozích odstavcích získat. Při konstrukci matic tuhosti a poddajnosti materiálu na základě dostupných údajů (, E, µ, G) je třeba vyjít z požadavku na symetrii matic D a C, která vyplývá z Bettiho věty. Pro C tedy musí platit: µ yx E y = µ xy, µ zx = µ xz, () µ zy = µ yz E y, zatímco pro D: µ yx + µ zx µ yz E y µ zx + µ yx µ zy E y µ zy + µ zx µ xy = µ xy + µ xz µ zx, = µ xzµ xy µ yz E y, (2) = µ zy + µ xz µ yz E y. Předpokládejme dále, že směr hlavních napětí je totožný s osou x systému souřadnic a že trhlina v maltě je na tento směr kolmá. Pak je možné ztotožnit modul s redukovaným modulem ve směru kolmém na trhlinu (rozebraném výše). V ostatních směrech je pak zřejmě možné pracovat s modulem E, který odpovídá materiálu přímo neporušenému trhlinou (tedy E y = = E ). Dále předpokládejme, že G xy = G yz = G zx = G (vliv trhliny na smykový modul bude později zaveden pomocí součinitele β). Ještě je třeba určit hodnotu Poissonových součinitelů. Zpravidla (i ze zkoušek) je k dispozici jen jedna hodnota µ. To se nám výborně hodí, protože tím vzniká prostor pro určení součinitelů z rovnic (2). Při předpokladu, že µ yz = µ zy = µ je možné dopočítat, že: µ yz = µ, µ zy = µ, µ zx = µ, µ xz = µ, E µ yx = µ, µ xy = E µ. (3) 4

5 Problémy lomové mechaniky IV. Brno, červen 2004 Po dosazení získaných hodnot má matici poddajnosti C tvar: C = µ E µ E µ E E µ E µ E µ E E 2 G 0 0. (4) 0 2 β G β G Užitečnější je však matice tuhosti materiálu D, která nabyde podoby: D = ( µ) µ 2 Ex E µ 2 µ µ 2 Ex µ µ 2 E µ 2 µ µ 2 Ex E µ 2 E µ2 µ E 2 (+µ) ( µ 2 Ex µ E 2 ) µ(e +µ) (+µ)( µ 2 µ E 2 ) µ µ 2 Ex µ (E +µ) (+µ) ( µ 2 Ex µ E 2 ) E µ 2 (+µ) ( µ 2 µ E 2 ) E µ 2 2 G yz β G zx β G xy 2.4 Transformace souřadnic Protože nelze zaručit, že trhlina vznikne právě ve směru kolmém na osu x, je žádoucí sestavit potřebné transformační matice. Je možné využít postupu, který je podrobně vysvětlen například v [5]. Výsledná transformační matice T σ má tvar: T σ = T 2 T2 2 T3 2 2 T T 3 2 T T 3 2 T T 2 T2 2 T22 2 T T 22 T 23 2 T 2 T 23 2 T 2 T 22 T3 2 T32 2 T T 32 T 33 2 T 3 T 33 2 T 3 T 32 T 2 T 3 T 22 T 32 T 23 T 33 T 22 T 33 + T 23 T 32 T 2 T 33 + T 23 T 3 T 2 T 32 + T 22 T 3 T T T 2 T 2 T 3 T 3 T 2 T 33 + T 3 T 32 T T 33 + T 3 T 3 T T 32 + T 2 T 3 T T 2 T 2 T 22 T 3 T 23 T 2 T 23 + T 3 T 22 T T 23 + T 3 T 2 T T 22 + T 2 T 2 kde T ab je kosinus úhlu mezi osou a původního systému souřadnic (x, y, z) a osou b transformovaného (pootočeného) systému (x t, y t, z t ). Podle [6] platí pro transformaci matice tuhosti materiálu vztah:.(5) (6) D t = T ε D T T ε. (7) Dále platí: T T σ = T ε, T T ε = T σ, získat inverzí výše uvedené matice T σ (například nu- proto je potřebné matice T ε a T T ε mericky). (8) 5

6 3D model pro maltu J. Brožovský, L. Lausová, V. Michalcová 2.5 Závěr Popisovaný model zdiva je v současné době ověřován. Uvedené informace by měly posloužit pro sestavení modelu pro analýzy detailů zděných konstrukcí, ve kterém bude respektována jednak nalineární povaha chování použitých materiálů (malty a materiálu cihelných nebo kamenných zdicích prvků), ale také jejich tvar a poloha. Pro úplný model je ještě třeba připravit model materiálu pro cihly, jejichž chování je možné považovat za křehké. Poděkování Práce byly (doufáme) podporovány z nějakého projektu... najde se sponzor? Literatura [] Bažant, Z. P., Planas J. Fracture and Size Effect in Concrete and Other Quasibrittle Materials, Boca Raton : CRC Press, 998 [2] Chen, A. C. T., Chen, W. F. Constitutive Relations for Concrete, Journal of the Engineering, Mechanics Division, ASCE, 975. [3] Glemberg, R., Samuelsson, A. A General Constitutive Model for Concrete Structures, Proceedings of the International Conference on Computer Aided Structures, Journal of Engineering Mechanics, Vol. 3, No. 4, ASCE, 987 [4] Internetové stránky [5] Servít a kol. Pružnost a plasticita I., Praha : SNTL, 98 [6] Zienkiewicz, O. C. The Finite Element Method in Engineering Science, London : McGraw-Hill, 97 [7] Brožovský, J. Modelování fyzikálně nelineárnícho chování železobetonových konstrukcí, disertační práce, Ostrava : VŠB-TU Ostrava,