3 Huygensův-Fresnelův princip a odvození difrakčních integrálů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3 Huygensův-Fresnelův princip a odvození difrakčních integrálů"

Transkript

1 33 3 Huygenův-Frenelův princip a odvození difrakčních integrálů 3.1 Huygenův princip 3.2 Huygenův-Frenelův princip 3.3 Příklad. Nerušené šíření rovinné vlny 3.4 Frenelovy zóny 3.5 Zonální mřížky 3.6 Odvození difrakčních integrálů z Huygenova-Frenelova principu Difrakční integrály bývají většinou odvozovány z tzv. Huygenova-Frenelova principu. Někteří autoři nazývají tento princip pouze Huygenovým jménem [1], což je poněkud paradoxní, neboť Huygen, jak e zdá, difrakční jevy vůbec neidentifikoval ([2], tr ). V jeho lavném Pojednání o větle [3] není o difrakci ani zmínky. Tvrzení, že první interpretace difrakčních jevů prováděl Huygen, nimiž e etkáváme v učebnicové literatuře, jou ai nepravdivá. V názvu Huygenova-Frenelova principu je ovšem Huygenovo jméno právem, jak ukážeme v náledujících dvou odtavcích. 3.1 Huygenův princip Chritiaan Huygen je jitě zakladatelem vlnové optiky. Nebyl však první, kdo považoval větlo za nějaký druh vlnění. Že e větlo alepoň někdy projevuje jako vlnění, vyjádřil již F. M. Grimaldi [4] a také J. M. Marci [5]. Nicméně Huygen byl první, kdo na základě vlnové předtavy kvantitativně vyvětlil šíření větla ve volném protoru, odraz, lom a dvojlom. Používal k tomu tzv. Huygenovy kontrukce, což je ekvivalentní název pro Huygenův princip. Huygenův princip obahuje dvě tvrzení: (i) Každý bod homogenního a izotropního protředí, do něhož dopěje vlnění, tj. každý bod čela vlny, je zdrojem ekundární kulové vlny. (ii) Vlnoplocha v okamžiku t + t je obálkou ekundárních kulových vln, které vyšly z bodů vlnoplochy v předcházejícím okamžiku t. Předtava vyjádřená prvním tvrzením je přijatelná. (Je zajímavé, že toto tvrzení již před Huygenem vylovil Marci [5].) Naproti tomu druhé tvrzení je zřejmě neprávné, neboť odporuje kutečnotem pozorovaným v interferenčních a difrakčních jevech. 3.2 Huygenův-Frenelův princip Augutin Jean Frenel byl prvním, kdo uměl dokonale, tj. do všech tehdy pozorovaných detailů, interpretovat difrakční jevy. Doáhl toho tím, že změnil druhé tvrzení Huygenova principu ([6], tr. 174). V literatuře e čato uvádí, že doplnil Huygenův princip tím, že ekundární vlny polu interferují. To je ice pravda, ale ne celá. Frenel také pecifikoval amplitudu a fázi ekundárních vln. Celou věc ozřejmí matematická formulace Huygenova-Frenelova principu: Nechť všechny zdroje vlnění jou uvnitř protorové oblati V (konečné nebo nekonečné) vymezené plochou S a nechť v bodech M této plochy je známa vlnová funkce ψ 0 (M). Z každého bodu M plochy S vychází do vnější čáti protorové oblati V ekundární vlna ψ(, ϑ) = i λ K(ϑ)ψ 0(M) exp(ik) = k 2π K(ϑ)ψ exp[i(k π/2)] 0(M). (1) Výraz (1) ice nazýváme ekundární vlnou, dokonce ekundární kulovou vlnou, avšak o vlnu ve vlatním mylu toho lova nemuí vůbec jít. Konkrétní tvar funkce K(ϑ) může totiž způobit že výraz (1) není řešením Helmoltzovy rovnice. Jednotlivé faktory výrazu (1) mají tento význam:

2 34 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 1: K Huygenovu-Frenelovu principu ve Frenelově pojetí (a) a ve tvaru nejčatěji používaném při výpočtech (b). je vzdálenot od bodu M. exp ik je divergentní kulová vlna vycházející z bodu M. ψ 0 (M) je známá hodnota vlnové funkce v bodech M plochy S. Říkáme jí též primární rozruch. Výraz (1) jím vyjadřuje tvrzení, že amplituda ekundárních vln je úměrná primárnímu rozruchu. i λ = k 2π exp( i π 2 ) je faktor, který vyjadřuje kutečnot, že ekundární vlny mají amplitudu nepřímo úměrnou vlnové délce a že jejich fáze předbíhá o čtvrt periody fázi primárního rozruchu (nebo e za ní o tři čtvrtiny periody opožďuje). Proto e faktoru i = exp( i π 2 ) někdy v této ouviloti říká Frenelův fázový předtih. Při heuritické formulaci Huygenova Frenelova principu není původ faktoru i/λ zřejmý. Frenel jej zavedl proto, aby dotal právný výledek pro nerušené šíření vlnění (tj. pro volné šíření za nepřítomnoti jakéhokoli difrakčního tínítka, které by omezovalo nebo nějak modifikovalo dopadající vlnu). V náledujícím odtavci 3.3 ozřejmíme nezbytnot tohoto faktoru. Skutečný původ faktoru i/λ lze nahlédnout teprve při odvozování Kirchhoffova nebo Rayleighova Sommerfeldova difrakčního integrálu (viz odt , až v dalším textu). K(ϑ) je nejproblematičtějším faktorem výrazu (1). Vyjadřuje kutečnot, že amplituda ekundárních vln závií na měru šíření vln a říká e mu faktor klonu. Frenel volil za plochu S vždy vlnoplochu. Pak úhel ϑ byl úhel mezi normálou k vlnoploše v bodě M a měrem určeným pojnicí bodu M a bodu pozorování P (viz obr. 1(a)) a faktor K(ϑ) předpokládal ve tvaru { co ϑ pro ϑ π/2, π/2, K(ϑ) = (2) 0 pro ϑ π/2, 3π/2. (Podmínka (2) zajišťuje, že ekundární vlny e šíří jen ve měru od zdroje vlnění.) Uvidíme později, že přené Rayleighovo Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu (odt ) dává pro faktor klonu týž výraz (2), zatímco matematický rozporné Kirchhoffovo odvození (viz závěr odt ) dává pro faktor klonu funkci K(ϑ) = 1 (1 + co ϑ). (3) 2 Po pravdě řečeno, pro velkou většinu výpočtů není tvar funkce K(ϑ) podtatný. V konkrétních aplikacích Frenel téměř vždy výjimkou jou jen úvahy o umaci přípěvků od Frenelových zón (rov. odt. 3.4) kladl K(ϑ) = 1. (4) Tak e to otatně v intrumentální optice dělá dodne a můžeme tedy pro (1) používat termínu ekundární vlny bez uvozovek. Zdůvodnění toho, proč i při tak necitlivém zacházení faktorem klonu e dotává apoň při výpočtu Frenelových difrakčních jevů obdivuhodně přený ouhla výpočtů experimentem, dává tzv. metoda tacionární fáze polu podmínkami použitelnoti kalární teorie difrakce.

3 3.3 Příklad. Nerušené šíření rovinné vlny 35 Zbývá ještě e zmínit o ploše S, v jejíchž bodech M je znám primární rozruch ψ 0 (M). Z textu předcházejícího výraz (1) je zřejmé, že nemuí jít o čelo vlny (jako u Huygene) ba ani o vlnoplochu. Z praktických důvodů však není účelné ani možné volit tuto plochu příliš obecně. Uvedli jme již, že Frenel volil za plochu S vždy vlnoplochu vlnění vycházejícího z bodového nebo čárového zdroje, tedy kulovou nebo válcovou plochu. Tak tomu také bývá ve tarších monografiích (viz např. [7], tr. 152, [8], kap. 13, 14). V oučané době e za plochu S volí rovina určená rovinným difrakčním tínítkem (viz obr. 1(b)) a eventuálně uzavřená čátí koule o nekonečném poloměru. Uvidíme v kap. 6 a 7, že pouze v případě, kdy plocha S je rovinou, přetává být Huygenův-Frenelův princip principem ve vlatním mylu toho lova, a lze jej považovat za aproximaci difrakčního integrálu zíkaného matematicky korektním způobem z vlnové rovnice (pouze v případě roviny je znám explicitní tvar Greenovy funkce 6.5(8)). Sekundární vlny mají v tomto případě tvar (viz 6.5(13)) ψ(, ϑ) = ik 2π co ϑ ψ 0(M) exp(ik) ( 1 + i k ). (5) I zde nejde ovšem o vlny ve vlatním mylu toho lova, neboť výraz (5) není řešením Helmholtzovy rovnice 1.7(7). Je zřejmé že pro λ, tj. k 1, je výraz (1), (2), používaný Frenelem, dobrým přiblížením přenému výrazu (5). V případě, že plocha S není vlnoplochou, je otázka, jaký tvar má faktor klonu K(ϑ), neboť měr šíření vlnění nemuí být totožný e měrem normály k ploše S. Jak jme e již zmínili, Rayleighovo-Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu však v případě, že plocha S je rovina, dává faktor klonu K(ϑ) ve tvaru (2) (viz odt a 6.5.4). Předtavme i nyní, že vyšetřujeme difrakci na nějakém difrakčním tínítku a že plocha S vyplňuje otvory v difrakčním tínítku. Označme S 0 čát plochy S, která není zatíněna neproputnými čátmi difrakčního tínítka (viz obr. 1). Podle Frenela je vlnová funkce v bodě P vně plochy S dána oučtem všech ekundárních vln vycházejících z bodů plochy S 0, tedy integrálem ψ(p ) = ik 2π S 0 exp(ik) ψ 0 (M) co ϑ ds 0. (6) Tento integrál je matematickým zápiem Huygenova-Frenelova principu. Na integrálu (6) tak jak je napán je nepříjemné, že e ním nedá téměř nic analyticky vypočítat. Použijeme-li ho totiž bez různých aproximací integrandu k výpočtu konkrétních difrakčních jevů, hledáme, že integrace nelze provét nebo že přílušný integrál neexituje. Proto e dělají aproximativní úpravy integrandu. Konkrétně kulová vlna exp(ik) e aproximuje paraxiální aproximací 1.10(6) a co ϑ e položí roven jedné. Tím e však ještě více etře předtava kulových ekundárních vln, která je tolik zdůrazňovaná při recitacích Huygenova-Frenelova principu. Jednou z mála výjimek, kdy integrál (6) lze analyticky vypočítat, je nerušené šíření rovinné vlny. V náledujícím odtavci 3.3 tento příklad propočítáme. Přinee nám to dvojí užitek. Poznáme v náznaku potíže, nimiž e při analytických výpočtech integrálu (6) etkáváme a ozřejmí e důvod, proč muí být v amplitudě ekundárních vln (1) faktor i/λ = ik/2π. 3.3 Příklad. Nerušené šíření rovinné vlny Zvolme měr šíření rovinné vlny za ou z kartézké outavy ouřadnic. V každém bodě protoru má tedy vlnová funkce tvar fázoru exp(ikz). Za plochu S v Huygenově-Frenelově principu zvolme rovinu z = 0 (viz obr. 2), v níž je vlnová funkce ψ 0 (M) = 1. Ve všech bodech P roviny z = kont. je vlnová funkce ψ(p ) = exp(ikz) a tento výledek muíme dotat výpočtem integrálu 3.2(6). Bez újmy na obecnoti zvolíme bod P na oe z. Souřadnice bodů M a P jou M(x M, y M, 0), P (0, 0, z), co ϑ = z/ a integrál 3.2(6) má tvar ψ(p ) = ik 2π Vyjádříme tento integrál v polárních ouřadnicích exp(ik) z dx M dy M. (1) x M = ρ M co ϕ M, y M = ρ M in ϕ M.

4 36 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 2: Nerušené šíření rovinné vlny. Dotaneme ψ(p ) = ikz 2π 2π 0 0 exp(ik) 2 dϕ M ρ M dρ M. Vzhledem k rotační ymetrii integrandu je integrál podle úhlové proměnné ϕ M roven 2π, takže ψ(p ) = ikz 0 exp(ik) 2 ρ M dρ M. (2) Uvažme, že 2 = z 2 +ρ 2 M a přejděme od integrační proměnné ρ M k integrační proměnné. Vzhledem k tomu, že d = ρ M dρ M přejde integrál (2) do tvaru ψ(p ) = ikz z exp(ik) d. (3) Primitivní funkci integrandu ve (3) nelze jak známo vyjádřit v uzavřeném tvaru, tj. jako oučet konečného počtu elementárních funkcí. Vyjádříme proto integrál (3) protřednictvím integrálního inu Si(x) a integrálního koinu Ci(x): x in t Si(x) = dt, (4) t Ci(x) = x 0 co t t Za tím účelem provedeme v integrálu (3) ubtituci k = t: [ exp(it) ψ(p ) = ikz dt = ikz t kz dt, x > 0. (5) kz co t t = ikz { Ci(kz) + i[si( ) Si(kz)]}. ] in t dt + i dt kz t Pro hodnoty proměnné x 2π je integrální inu a integrální koinu dotatečnou přenotí vyjádřen aymptotickým výrazem Si(x) π 2 co x x, (7) Ci(x) in x x. (8) Doadíme-li tyto aymptotické výrazy do (6), dotaneme { [ in kz π ψ(p ) ikz + i kz 2 π ]} co kz + = 2 kz { } (9) co kz in kz = kz + i = exp(ikz). kz kz Dotali jme tedy již pro kz 2π, tj. z λ, požadovaný výledek. Z výpočtu je zřejmé, že k zíkání výledku (9) bylo nezbytné opatřit amplitudu ekundárních vln 3.2(1) faktorem ik/2π. (6)

5 3.4 Frenelovy zóny Frenelovy zóny Po celé 18. toletí dominovala tzv. korpukulární teorie větla připiovaná Newtonovi nad Huygenovou vlnovou teorií. Podle korpukulární teorie jou paprky větla velmi malé čátice vyzařované vítícími látkami ([9], tr. 370). Newton ice vylovil tento názor formou otázky, ale jeho autorita způobila, že byl nekriticky akceptován a ještě v prvním deetiletí 19. toletí byly odmítány Youngovy předtavy o větle jako o vlnění. Teprve Frenel vou teorií difrakce a vými difrakčními experimenty velmi připěl k tomu, že větlo bylo opět (130 let po Huygenovi) považováno za vlnění. Hlavní tehdejší námitkou toupenců korpukulární teorie proti vlnové teorii bylo: Proč e větlo šíří v podtatě přímočaře, když má být vlněním? Frenel na ni reagoval tzv. zonální kontrukci ([6], tr. 208) a zavedl to, čemu dne říkáme Frenelovy zóny. V tomto odtavci podrobně ozřejmíme pojem Frenelových zón, neboť předtava o Frenelových zónách vyvětluje takřka bez počítání mnohé zajímavoti difrakčních jevů, je důležitá při plánování difrakčních experimentů, pro pochopení fokuace záření (např. rentgenového) zonálními (Soretovými) mřížkami a jinde. Předtavme i, že z bodového zdroje P 1 vychází kulová vlna a vybereme jednu z vlnoploch S, tj. kouli o poloměru z 1. Ve vzdálenoti z 1 + z od zdroje P 1 zvolme bod pozorování P (obr. 3). Okolo bodu P opišme Obrázek 3: K odvození výrazu pro poloměr r n n-té Frenelovy zóny. kulové plochy σ 0, σ 1, σ 2,... o poloměrech z, z + λ/2, z + 2λ/2,..., které rozčleňují vlnoplochu S do zón. Označme ψ 1, ψ 2, ψ 3,... oučty ekundárních vln došlých do bodu P z první, druhé, třetí,... zóny. Je zřejmé, že ψ 2 má opačnou fázi ve rovnání ψ 1, ψ 3 má opačnou fázi ve rovnání ψ 2 atd. Protě oučty ψ 2n 1 ekundárních vln od lichých zón mají touž fázi pro všechna n a opačnou ve rovnání e oučty ψ 2n ekundárních vln od udých zón. Vyjádřeme nyní vnější poloměr r n n-té zóny. Z Pythagorovy věty plyne (viz obr. 3) (z 1 ) 2 + r 2 n = z 2 1, (z + ) 2 + r 2 n = (z + nλ/2) 2. Po vyloučení z těchto rovnic a po úpravě dotaneme [ rn 2 = nλz 1z ( ) nλ z z 1 z z 2 1 z 1 + z 2 2 z 1 z(z 1 + z) 2 Zvolíme-li i pro kvantitativní předtavu hodnoty ( ) 2 nλ 1 2 z 1 (z 1 + z) 1 8 ( ) ] 3 nλ 1. (1) 2 z 1 z(z 1 + z) z 1 = z = 1 m, λ = m, n = 1, (2)

6 38 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ nahlédneme, že druhý člen v hranaté závorce je řádu 10 7, třetí řádu a čtvrtý řádu S vyokou přenotí tedy platí nλz1 z r n = z 1 + z. (3) Z toho plyne, že jednotlivé zóny na vlnoploše S jou velmi dobrým přiblížením rovnoploché: π ( rn 2 rn 1 2 ) λz 1 z = π z 1 + z. (4) Abychom i udělali předtavu o velikoti Frenelových zón, doaďme do (3) a (4) hodnoty (2). Dotaneme r n = n m, π ( r 2 n r 2 n 1). = m 2. (5) Průměr prvních Frenelových zón bývá tedy v optice viditelného větla při běžném experimentálním upořádání řádově 1 mm. Z toho, že Frenelovy zóny jou rovnoploché, vyplývá, že oučty ψ i ekundárních vln došlých od jednotlivých zón do bodu pozorování P mají touž abolutní hodnotu. Jetliže tedy proputíme neproputným tínítkem kruhovým otvorem právě dvě první zóny vlnoplochy S, bude vlnová funkce v bodě P nulová, neboť oučty ψ 1 a ψ 2 mají touž abolutní hodnotu a opačnou fázi, takže ψ 1 + ψ 2 = 0. Stejně tomu bude, kdykoli proputíme přeně udý počet ouedících zón. Je tedy intenzita v bodě P rovna nule a tuto kutečnot lze nadno experimentálně ověřit (viz obr. 4). Tento fakt totiž nulovou intenzitu ve tředu difrakčního obrazce na kruhovém otvoru propouštějícím udý počet zón je vhodné velmi zdůraznit. Je to totiž jediný případ, kdy e ve Frenelově difrakci na prázdných otvorech v neproputném tínítku pozoruje nulová intenzita. Nakýtá e otázka, jaká je intenzita v bodě pozorování P, proputíme-li jednu Frenelovu zónu, rep. lichý počet zón. Předtavme i, že rozevíráme kruhový otvor ve tínítku od nulového průměru. Ze způobu kontrukce Frenelových zón vyplývá, že modul amplitudy vlnové funkce, a tedy i intenzita v bodě pozorování vzrůtá a nabývá maximální hodnoty, když je propuštěna právě první zóna. Při dalším zvětšování otvoru kleá až nabude minima, konkrétně nulové hodnoty, když jou propuštěny právě dvě zóny. Potom opět rote a nabývá maximální hodnoty, když jou propuštěny tři zóny, atd. Vidíme tedy, že intenzita v bodě pozorování je maximální, je-li propuštěn lichý počet Frenelových zón. Jaká však je tato maximální intenzita? Odpověď nelze dotat pouhým uvažováním o zónách. V odt ji však zjitíme výpočtem: Je-li kruhovým otvorem ve tínítku propuštěn právě lichý počet zón, je intenzita v bodě pozorování čtyřnáobná ve rovnání intenzitou, která by byla v bodě pozorování, kdyby vlnoplochu S nic neomezovalo. Je-li intenzita v bodě pozorování při jedné propuštěné zóně čtyřnáobně větší než při neomezeném šíření vlny, tj. velikot amplitudy je dvojnáobná, znamená to, že kdybychom vlnu proputili přibližně polovinu první zóny, dotali bychom v bodě pozorování P touž intenzitu jako při neomezeném šíření vlny. Tento výledek Frenel vytušil a podpořil úvahou, jejíž nekorektnoti i byl vědom. Sečetl přípěvky ψ i jednotlivých zón takto: ψ(p ) = 1 ( 1 2 ψ ψ 1 + ψ ) 2 ψ ψ ϑ = 1 2 ψ 1 (6) a polovinu přípěvku polední zóny ψ ϑ = 1 2 ψ n, rep. ψ ϑ = 1 2 ψ n 1 + ψ n zanedbal, což zdůvodnil nulovou hodnotou faktoru klonu K(ϑ) = co ϑ při ϑ = π/2. Protě přípěvek k vlnové funkci od každé udé zóny kompenzoval přípěvky od poloviny ouedních lichých zón. (Tento potup je ovšem nekorektní, neboť bychom tejně oprávněně mohli přípěvek každé udé zóny kompenzovat řekněme deetinou přípěvku nižší liché zóny a devíti deetinami přípěvku vyšší liché zóny a dotali bychom ψ = 0, 9 ψ 1.) V literatuře lze nalézt řadu úvah zjemňujících Frenelův způob umace (viz např. [10], 44, [11], 8.2). Výledek (6), i když byl zíkán matematicky nekorektním způobem, pozoruhodně vytihuje kutečnot. Frenel z toho vyvodil závěr, že pro rozruch ψ v bodě P je rozhodující jen malý kroužek kolem bodu M 0, jehož plocha nepřevyšuje polovinu plochy první zóny, tedy kroužek, který má při hodnotách (2) poloměr 0,3 mm (a tedy plochu m 2 ). V tom patřoval zdůvodnění toho, že e větlo šíří v podtatě přímočaře. My v tom můžeme patřovat pěknou ilutraci významu okolí bodu M 0 (bod tacionární fáze) pro vlnovou funkci v bodě pozorování P. Výše uvedené výledky, zejména vztah (6) odůvodníme matematicky čitším

7 3.4 Frenelovy zóny 39 Obrázek 4: Frenelova difrakce na kruhovém otvoru v neproputném tínítku při různém počtu n propuštěných zón. způobem v odt , v němž e počítá vlnová funkce charakterizující Frenelovu difrakci na kruhovém otvoru v bodech oy rotační ymetrie. Je-li dopadající vlna rovinná, je plocha S rovina (obr. 5) a z Pythagorovy věty plyne pro vnější poloměr r n n té Frenelovy zóny výraz S vyokou přenotí tedy je r n = nλz 1 + nλ 4z. (7) r n = nλz. (8)

8 40 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 5: Poloměr r n n-té Frenelovy zóny na rovinné vlnoploše S. Zajímavá je ituace ve bíhavé kulové vlně (obr. 6). Opět aplikací Pythagorovy věty lze nalézt, že ať bod pozorování P leží vně nebo uvnitř poloměru M 0 P 1 vlnoplochy S platí vždy nλz 1 z r n = z 1 z. (9) Z toho je vidět, že když e bod pozorování P blíží tředu P 1 bíhavé vlny, tj. když z 1 z 0, rote poloměr r 1 první Frenelovy zóny nade všechny meze (ve kutečnoti je celá vlnoplocha S obažena v první Frenelově zóně). To znamená, že bod M 0 není tacionárním bodem vlnoplochy. Pro vlnovou funkci ve tředu P 1 bíhavé kulové vlny jou všechny body vlnoplochy tejně významné. Jako je exitence tacionárního bodu typickým znakem Frenelovy difrakce, je abence tacionárního bodu, tedy tejná významnot všech bodů vlnoplochy, typickým znakem Fraunhoferovy difrakce. Nulová intenzita uprotřed difrakčního obrazce od kruhového otvoru propouštějícího udý počet zón je jitě doti udivující. Frenelova zonální kontrukce však vyvětluje ještě další paradoxní jev: větlou topu uprotřed Frenelova difrakčního obrazce na neproputné kruhové překážce (tzv. Frenelova-Aragova-Poionova topa, viz obr. 7). Dopadá-li na neproputný kruh kulová vlna e tředem P 1 na oe rotační ymetrie neproputného kruhu (nebo rovinná vlna šířící e ve měru oy), je ve všech bodech P oy rotační ymetrie za tínítkem táž intenzita, jako kdyby nic nebránilo volnému šíření vlny. Výklad tohoto paradoxu lze založit na tom, že Frenelovy zóny začneme kontruovat nikoli od oového bodu, ale od okraje B kruhové překážky (viz obr. 8). Táž argumentace (6) pak vede k závěru, že tejně jako při nerušeném šíření větla, je intenzita v oovém bodě rovna čtvrtině intenzity od první Frenelovy zóny, tedy táž, jako při nerušeném šíření vlny. V odt. 5.9 podložíme tuto kutečnot výpočtem a ukážeme také, že průměr větlé topy uprotřed difrakčního obrazce je nepřímo úměrný průměru kruhové překážky. Světlá topa uprotřed tínu za neproputnou kruhovou překážkou je typický vlnový jev, který ehrál významnou úlohu při proazování vlnové povahy větla. Siméon Deni Poion pouzoval v r Frenelovu práci jako oficiální oponent francouzké Akademie a odvodil z ní, že ve všech bodech oy za dikem muí být větlá topa. Spatřoval v tom rozpor experimentem a vůbec e zkušenotí, který vyvrací Frenelovu teorii. Frenelův přítel a ochránce Dominique Françoi Arago však poku provedl a exitenci větlé topy prokázal. Poionova předpověď paradoxního jevu, původně formulovaná jako námitka proti Frenelově vlnové teorii, tak tuto teorii nejen nevyvrátila, ale velmi poílila. (Poku lze poměrně nadno provét, použijeme-li míto diku ložikovou kuličku nalepenou na kleněnou planparalelní detičku.) 3.5 Zonální mřížky Frenel pravděpodobně zonální kontrukce vícekrát nepoužil. Trvalým majetkem vlnové optiky e však tala velmi názorná a užitečná předtava, která tvoří jádro Frenelovy kontrukce: Vlnoplochu férické nebo rovinné vlny lze rozdělit na oblati (zóny), jejichž přípěvky k amplitudě v bodě pozorování jou tejné, avšak třídavě e čítají a odečítají. Zatínění oblatí jednoho druhu (např. lichých zón) tedy způobí vzrůt amplitudy větelné vlny v bodě pozorování. Právě tato úvaha pravděpodobně vedla Rayleigha [12] k návrhu zonální mřížky. Prvním, kdo experiment e zonální mřížkou a jeho interpretaci publikoval, byl J. L. Soret [13] [14], [15] v r Zatínil (tj. učinil neproputnými) všechny udé nebo všechny liché zóny (viz obr. 9). Jou-li zatíněny např. všechny udé zóny a liché zůtanou proputné, znamená to, že přípěvky ψ 2n+1 od lichých

9 3.5 Zonální mřížky 41 Obrázek 6: Poloměr Frenelovy zóny na vlnoploše bíhavé kulové vlny. Obrázek 7: Frenelova-Aragova-Poionova topa ve tředu difrakčního obrazce při Frenelově difrakci na neproputném kruhovém diku.

10 42 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 8: K výkladu Frenelovy-Aragovy-Poionovy topy. zón nejou kompenzovány přípěvky ψ 2n od udých zón. Poněvadž přicházejí do bodu pozorování e tejnou fází, je amplituda vlnové funkce v bodě pozorování veliká, obdobně jako v obrazu zdroje vlnění vytvořeném čočkou. Zonální mřížky lze tedy používat jako čočky. To má veliký aktuální význam, neboť zonální mřížka může být zobrazovacím prvkem např. pro rentgenové záření, rep. obecně pro záření, pro něž neexituje protředí indexem lomu výrazně různým od jedné, takže nelze vyrobit obvyklý typ čočky. Obrázek 9: Zonální mřížky. Zonální mřížky mají řadu pozoruhodných vlatnotí a aplikací. Pojednává o nich referativní článek [16]. Zde e jen zmíníme o několika z nich. (i) Zonální mřížka má mnoho ohniek. Např. z 3.4(8) vyplývá, že při fokuaci rovinné vlny zonální mřížkou exitují kromě hlavního ohnika ještě vedlejší ohnika ohnikovou vzdálenotí 1/3, 1/5, 1/7,... hlavní ohnikové vzdálenoti. Je to způobeno tím, že při těchto vzdálenotech každé proputné mezikruží mřížky propouští 3, 5, 7,... zón. (ii) V hlavním ohniku zonální mřížky je intenzita 1/π 2. = 0, 1 intenzity v ohniku ideální čočky tejného průměru a tejné ohnikové vzdálenoti. (iii) Rozlišovací chopnot při zobrazení zonální mřížkou je rovna šířce poledního vnějšího proputného mezikruží, tj. λz/(2 n). (iv) Koeficient barevné vady zonálních mřížek má opačné znaménko ve rovnání koeficientem barevné vady kleněných čoček. Zonálních mřížek lze tedy využít ke kompenzaci barevné vady tandardních čoček.

11 3.6 Odvození difrakčních integrálů z Huygenova-Frenelova principu 43 (v) Míto zatiňování zón je možné obracet fázi větla prošlého původně neproputnými zónami [17]. Intenzita v ohniku tím vzrote čtyřikrát, takže je 0, 4 intenzity v ohniku ideální čočky tejného průměru a tejné ohnikové vzdálenoti. Kniha [18] obahuje výběr 74 významných článků o Soretových mřížkách. 3.6 Odvození difrakčních integrálů z Huygenova-Frenelova principu Odvodíme nyní difrakční integrály 2.3(1) pro Fraunhoferovu difrakci a 2.3(2) pro Frenelovu difrakci z Huygenova- Frenelova principu 3.2(6). Uvedli jme již, že za integrační obor S 0 v integrálu 3.2(6) e vždy volí buď nezatíněná čát vlnoplochy nebo roviny difrakčního tínítka, nebo jiné vhodné roviny (viz např. [1], 60). Starší autoři brávali za plochu S 0 čát vlnoplochy, avšak aproximace, jichž při výpočtu integrálu používali, způobily, že hned po počátečních úpravách dotávali vztahy identické těmi, které e zíkají, když e za obor integrace zvolí čát roviny. Budeme tedy za obor integrace S 0 brát čát roviny odpovídající proputným čátem difrakčního tínítka a tuto rovinu zvolíme za ouřadnicovou rovinu z = 0 (viz obr. 10). Dále opět odvoláním na metodu tacionární fáze Obrázek 10: Význam ymbolů v rozvojích (3) a (4). položíme faktor klonu K(ϑ) = 1. Integrál 3.2(6) e tím redukuje do tvaru ψ(p ) = ik exp(ik) ψ 0 (x M, y M ) dx M dy M. (1) 2π S 0 Je zřejmé, že doadíme-li do tohoto integrálu za kulovou vlnu její Frenelovu aproximaci 1.10(6) exp(ik) exp(ikz) z { ik [ exp (x xm ) 2 + (y y M ) 2]} (2) 2z a klademe-li ψ 0 (x M, y M ) = 0 v bodech neproputné čáti tínítka, dotáváme difrakční integrál 2.3(2) pro Frenelovy difrakční jevy: ψ(x, y, z) = ik exp (ikz) 2π z { ik [ ψ 0 (x M, y M ) exp (x xm ) 2 + (y y M ) 2]} dx M dy M. (3) 2z Z tohoto difrakčního integrálu budeme vycházet v kap. 5, při analytickém výpočtu vlnové funkce charakterizující některé typické Frenelovy difrakční jevy. Tyto analytické výpočty nebývají zcela jednoduché, neboť většinou používají peciální funkce (Frenelovy integrály, Beelovy funkce, Lommelovy funkce). Také numerické výpočty difrakčního integrálu (3) nebývají jednoduché, neboť, jak víme, integrand je rychle ocilující funkcí polohy bodu M(x M, y M ) v rovině difrakčního tínítka. Exituje však nadný způob,

12 44 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ jak vyjádřit difrakční integrál (3) Fourierovým integrálem. K tomu tačí rozvét druhé mocniny v argumentu fázoru, vytknout před integrál fázor nezáviející na integračních proměnných a drobná úprava: ψ(x, y, z) = i k [ exp(ikz) ik ( exp x 2 + y 2)] 2π z 2z ψ 0 (x M, y M ) exp [ ik ( x 2 2z M + ym 2 ) ] exp [ ik ] z (xx M + yy M ) dx M dy M. (4) Vlnová funkce charakterizující Frenelovu difrakci je tak vyjádřena Fourierovou tranformací oučinu vlnové funkce ψ 0 v rovině difrakčního tínítka a fázoru exp[ ik 2z (x2 M + y2 M )]. K numerickému výpočtu Frenelovy difrakce tak lze využít metod vypracovaných pro Fourierovu tranformaci. Je hodno pozoru, že před integrálem je Frenelova aproximace ekundární kulové vlny vycházející z počátku ve Frenelově aproximaci: exp(ik 0 ) exp(ikz) [ ik ( exp x 2 + y 2)]. (5) 0 z 2z Odvození difrakčního integrálu 2.3(1) pro Fraunhoferovu difrakci z Huygenova Frenelova principu není elegantní. Je však v literatuře tak rozšířené (viz např. [10], tr. 153,154, [11], 8.3.3, [19], [20], tr , [21], [22], [23]), že je uvedeme i zde. (Mnohem jednodušší a přirozenější odvození podáváme v kapitole 7 (rov. vztah 7.3(3), rep. 7.4(1)).) Kulovou vlnu exp(ik)/ v Huygenově Frenelové principu (1) nyní aproximujeme poněkud jiným způobem než Frenelovou aproximací (2). Rozvineme vzdálenot = M P v mocninnou řadu v integračních proměnných x M, y M (viz obr. 10): = (x x M ) 2 + (y y M ) 2 + z 2 = z 2 + x 2 + y 2 2(x x M + y y M ) + x 2 M + y2 M = 2 0 2(x x M + y y M ) + x 2 M + y2 M = x x M + y y M 2 + x2 M + y2 M = 0 { 1 x x M + y y M x2 M + y2 M (x x M + y y M ) = (x x M + y y M ) (x 2 M + y 2 M ) 1 = 0 x M x 0 y M y { x 2 M } (x x M + y y M ) [ ( ) ] [ 2 ( ) ] 2 x y 1 + ym x M y M x 0 y 0 } + (6) Má-li funkce ψ 0 (x M, y M ) nenulové hodnoty jen v okolí počátku O, jak tomu může být např. v případě prázdných otvorů v neproputném tínítku, konkrétně je-li k ( x 2 M + ) y2 M 2π, tj. x M + y2 M 2λ 0, (7) max max můžeme v exponenciele kulové vlny zanedbat členy obahující integrační proměnné ve druhé a vyšších mocninách a aproximovat kulovou vlnu výrazem exp(ik) exp(ik [ ( 0) x exp ik x M + y )] y M. (8) S použitím (8) má difrakční integrál (1) tvar Fourierovy tranformace ψ(p ) = ik [ ( exp(ik 0 ) x ψ 0 (x M, y M ) exp ik x M + y )] y M dx M dy M, (9) 2π S 0

13 REFERENCE 45 tentokrát však (narozdíl od (4)) přímo vlnové funkce ψ 0 (x M, y M ) charakterizující vlnění v rovině difrakčního tínítka. Uvážíme-li, že kde (n x, n y, x y = n x, = n y. (10) n 2 x n 2 y) jou měrové koiny měru OP a že při plnění podmínky (7) je výraz před integrálem (9) kontantní, je vlnová funkce ψ funkcí měrových koinů n x, n y a má tvar 2.3(1): ik exp(ik 0 ) = C, (11) 2π 0 ψ(n x, n y ) = C ψ 0 (x M, y M ) exp [ ik (n x x M + n y y M )] dx M dy M. (12) Vraťme e ještě k podmínce (7). Porovnáme-li ji výrazem 3.4(8) pro poloměry Frenelových zón, hledáme, že Fraunhoferovou difrakcí máme co činit, když lineární rozměry proputné oblati difrakčního tínítka jou velmi malé ve rovnání průměrem dvou (a tedy i jedné) Frenelových zón. V této ouviloti je vhodné uvét definici tzv. Frenelova číla N f = a2 λz, (13) kde a je poloměr kružnice zahrnující oblati kde má difrakční tínítko nenulové hodnoty funkce proputnoti a z je vzdálenot difrakčního tínítka od roviny pozorování. Frenelova číla e používá k odhadům o jaký typ difrakce při určitém experimentálním upořádání jde. Je-li Frenelovo čílo N f 1, jde většinou o Frenelův difrakční jev, je-li N f < 1, nebo raději N f 1, jde většinou o Fraunhoferovu difrakci. (Výjimkou bývají případy, kdy rovinou pozorování je rovina geometrického obrazu zdroje.) V kapitole 7 uvidíme, že vlnová funkce (12) má význam amplitudy rovinné vlny vzniklé difrakcí a šířící e ve měru (n x, n y, 1 n 2 x n 2 y). V příští kapitole vypočteme integrál (12) pro typické Fraunhoferovy difrakční jevy (difrakce na obdélníkovém a na kruhovém otvoru). Reference [1] Landau L. D., Lifšic E. M.: Těorija polja. Izdatěľtvo Nauka, Mokva 1973, 59. [2] Bell A. E.: Chritian Huygen and the developmnent of cience in the eventeenth century. Edward Arnold & Co, London [3] Huygen Ch.: Traité de la lumière. Leyde [4] Grimaldi F. M.: Phyico-mathei de lumine, coloribu et iride. Bononiae [5] Marci J. M.: Thaumantia. Liber de arcu coeleti deque colorum apparentium natura, ortu et caui. Pragae [6] Frenel J. A.: Œuvre complète d Augutin Frenel, Vol. 1. (H. de Senarmont, É. Verdet, L. Frenel, ed.) Imprimerie Impériale, Pari [7] Wood R. W.: Phyical Optic. The Macmillan Company, London [8] Bouae H., Carrière Z.: Diffraction. Libraire Delagrave, Pari [9] Newton I.: Optick or a Treatie of the Reflection, Refraction, Inflection and Colour of Light. Dover Publication, Inc., New York [10] Born M.: Optik. Springer Verlag, Berlin [11] Born M., Wolf E.: Principle of Optic. 7th ed. Cambridge Univerity Pre 1999.

14 46 REFERENCE [12] Rayleigh J. W.: poznámka z laboratorního deníku z 11. dubna 1871, citovaná v knize: Strutt R. J.: John William Strutt Third Baron Rayleigh. Edward Arnold Co., London 1924, 88. [13] Soret J. L.: Sur le phénomène de diffraction produit par le réeaux circulaire. Arch. Sci. Phy. Natur. 52 (1875), [14] Soret J. L.: Ueber die durch Kreigitter erzeugten Diffractionphänomene. Pogg. Ann. 156 (1875), Též [18], tr [15] Soret J. L.: Sur le phénomène de diffraction produit par le réeaux circulaire. Compt. Rend. 80 (1875), [16] Chmelík R., Komrka J.: Zobrazování zonálními mřížkami. Č. ča. fyz. 42 (1992), [17] Wood R. W.: Phae Reveral Zone Plate, and Diffraction Telecope. Philoophical Magazine, Serie 5, 45 (1898), Též [18], tr [18] Ojeda Catañeda J., Gómez Reino C. (editor): Selected Paper on Zone Plate. SPIE Optical Engineering Pre, Bellingham, Wahington USA, [19] Drude P.: Lehrbuch der Optik. Verlag von S. Hirzel, Leipzig 1900, tr [20] Pockel F.: Beugung de Lichte. In: Handbuch der Phyik, Bd. VI. (A. Winkelmann, ed.) Johann Ambroiu Barth, Leipzig 1906, tr [21] Laue M. v.: Interferenz und Beugung elektromagneticher Wellen (mit Aunahme der Röntgentrahlen). In: Handbuch der Experimentalphyik, Bd. 18. (W. Wien, F. Harm, ed.) Akademiche Verlaggeellchaft M.B.H., Leipzig 1928, tr [22] Joo G.: Lehrbuch der theoretichen Phyik. 8. Auflage. Akademiche Verlaggeellchaft, Geet & Portig K.-G., Leipzig 1954, tr [23] Sommerfeld A.: Optik. 2. Auflage. Akademiche Verlaggeellchaft, Geet & Portig K.-G., Leipzig 1959, tr

Fyzika II. Marek Procházka Vlnová optika II

Fyzika II. Marek Procházka Vlnová optika II Fyzika II Marek Procházka Vlnová optika II Základní pojmy Reflexe (odraz) Refrakce (lom) jevy na rozhraní dvou prostředí o různém indexu lomu. Disperze (rozklad) prostorové oddělení složek vlnění s různou

Více

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Více

ANALÝZA PRŮCHODU PAPRSKOVÝCH SVAZKŮ KOUTOVÝM ODRAŽEČEM

ANALÝZA PRŮCHODU PAPRSKOVÝCH SVAZKŮ KOUTOVÝM ODRAŽEČEM ANALÝZA PRŮCHODU PAPRSKOVÝCH SVAZKŮ KOUTOVÝM ODRAŽEČEM P Kytka J Novák ČVUT v Praze Fakulta tavební katedra fyziky Práce e zabývá analýzou průchodu paprků koutovým odražečem což je typ hranolu který je

Více

Optika pro mikroskopii materiálů I

Optika pro mikroskopii materiálů I Optika pro mikroskopii materiálů I Jan.Machacek@vscht.cz Ústav skla a keramiky VŠCHT Praha +42-0- 22044-4151 Osnova přednášky Základní pojmy optiky Odraz a lom světla Interference, ohyb a rozlišení optických

Více

1.1.7 Rovnoměrný pohyb II

1.1.7 Rovnoměrný pohyb II 1.1.7 Rovnoměrný pohyb II Předpoklady: 16 Minulou hodinu jme zakončili předpovídáním dalšího pohybu autíčka. Počítali jme jeho dráhy v dalších okamžicích pomocí tabulky a nakonec i přímé úměrnoti: autíčko

Více

Přednáška Omezení rozlišení objektivu difrakcí

Přednáška Omezení rozlišení objektivu difrakcí Před A3M38VBM, J. Ficher, kat. měření, ČVUT FL Praha Přednáška Omezení rozlišení objektivu difrakcí v. 2011 Materiál je určen pouze jako pomocný materiál pro tudenty zapané v předmětu: Videometrie a bezdotykové

Více

FYZIKA II. Marek Procházka 1. Přednáška

FYZIKA II. Marek Procházka 1. Přednáška FYZIKA II Marek Procházka 1. Přednáška Historie Dělení optiky Základní pojmy Reflexe (odraz) Refrakce (lom) jevy na rozhraní dvou prostředí o různém indexu lomu. Disperze (rozklad) prostorové oddělení

Více

8 Rubinowiczovo vyjádření okrajové vlny

8 Rubinowiczovo vyjádření okrajové vlny RUBINOWICZOVO VYJÁDŘENÍ OKRAJOVÉ VLNY 121 8 Rubinowiczovo vyjádření okrajové vlny 8.1 Okrajová vlna a Kirchhoffův difrakční integrál 8.2 Převedení plošného integrálu po S na křivkový integrál po okraji

Více

1.1.14 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu

1.1.14 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu ..4 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu Předpoklady: 3 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodiny je i v této hodině potřeba potupovat tak, aby tudenti měli minimálně minut na řešení příkladů

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Gradovaný řetězec úloh Téma: Komolý kužel Autor: Kubešová Naděžda Klíčové pojmy:

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentská 2, 461 17 Liberec

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentská 2, 461 17 Liberec TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentká, 6 7 Liberec POŽADAVKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z FYZIKY Akademický rok: 0/0 Fakulta mechatroniky Studijní obor: Nanomateriály Tématické okruhy. Kinematika

Více

Výpočet zobrazovacích soustav

Výpočet zobrazovacích soustav Výpočet zobrazovacích outav. Úvod Joef Kuběna, ÚFKL, Maarykova Univerita, Brno, (25) V tomto textu popíšeme potup, který zformuluje univerzální algoritmu pro výpočet parametrů libovolně ložitých zobrazovacích

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechnik a podzemního taviteltví Modelování v geotechnice Základní veličin, rovnice a vztah (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace tudijního

Více

Propočty přechodu Venuše 8. června 2004

Propočty přechodu Venuše 8. června 2004 Propočty přechodu Venuše 8. června 2004 V tomto dokumentu předkládáme podmínky přechodu Venuše pře luneční kotouč 8. června roku 2004. Naše výpočty jme založili na planetárních teoriích VSOP87 vytvořených

Více

Vysokofrekvenční obvody s aktivními prvky

Vysokofrekvenční obvody s aktivními prvky Vokofrekvenční obvod aktivními prvk Základními aktivními prvk ve vokofrekvenční technice jou bipolární a unipolární tranzitor. Dalšími aktivními prvk jou hbridní nebo monolitické integrované obvod. Tranzitor

Více

Fabry Perotův interferometr

Fabry Perotův interferometr Fabry Perotův interferometr Princip Dvě zrcadla jsou sestavena tak aby tvořila tzv. Fabry Perotův interferometr, s jehož pomocí je vyšetřován svazek paprsků vycházejících z laseru. Při experimentu se pohybuje

Více

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 - Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické

Více

VLNOVÁ OPTIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník

VLNOVÁ OPTIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník VLNOVÁ OPTIKA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník Vlnová optika Světlo lze chápat také jako elektromagnetické vlnění. Průkopníkem této teorie byl Christian Huyghens. Některé jevy se dají

Více

MANUÁL. Modul KMITÁNÍ A VLNĚNÍ.XLS, verze 1.0

MANUÁL. Modul KMITÁNÍ A VLNĚNÍ.XLS, verze 1.0 www.eucitel.cz MANUÁL Modul KMITÁNÍ A VLNĚNÍ.XLS, verze 1.0 Autor: RNDr. Jiří Kocourek Licence: Freeware pouze pro oobní potřebu. Použití ve výuce je podmíněno uhrazením ročního předplatného přílušnou

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Dodatek B: Fresnelovy integrály

Dodatek B: Fresnelovy integrály DODATEK B: FRESNELOVY INTEGRÁLY 33 Dodatek B: Fresnelovy integrály B. Základní vlastnosti Fresnelových integrálů B. Mocninné řady Fresnelových integrálů B.3 Knochenhauerův rozvoj Fresnelových integrálů

Více

Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů. Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha

Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů. Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha V práci je vyšetřován vliv meridionální komy na přesnost měření optickými přístroji a to na základě difrakční

Více

Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech

Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech Laboratorní úloha č. 7 Difrakce na mikro-objektech Úkoly měření: 1. Odhad rozměrů mikro-objektů z informací uváděných výrobcem. 2. Záznam difrakčních obrazců (difraktogramů) vzniklých interakcí laserového

Více

Světlo jako elektromagnetické záření

Světlo jako elektromagnetické záření Světlo jako elektromagnetické záření Základní pojmy: Homogenní prostředí prostředí, jehož dané vlastnosti jsou ve všech místech v prostředí stejné. Izotropní prostředí prostředí, jehož dané vlastnosti

Více

17 Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda

17 Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda 17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA 1 17 Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda Konečnou mřížku f x) pravidelně rozmístěný motiv f

Více

25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13

25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13 5 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 3-4-3 Dopravní zpoždění (Time delay, tranport delay, dead time, delay-differential ytem) V reálných ytémech e čato vykytuje dopravní zpoždění yt ( )

Více

7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace. Co je to ohyb? 27.2 Ohyb

7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace. Co je to ohyb? 27.2 Ohyb 1 7 FYZIKÁLNÍ OPTIKA Interference Ohyb Polarizace Co je to ohyb? 27.2 Ohyb Ohyb vln je jev charakterizovaný odchylkou od přímočarého šíření vlnění v témže prostředí. Ve skutečnosti se nejedná o nový jev

Více

2. Vlnění. π T. t T. x λ. Machův vlnostroj

2. Vlnění. π T. t T. x λ. Machův vlnostroj 2. Vlnění 2.1 Vlnění zvláštní případ pohybu prostředí Vlnění je pohyb v soustavě velkého počtu částic navzájem vázaných, kdy částice kmitají kolem svých rovnovážných poloh. Druhy vlnění: vlnění příčné

Více

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ P. Novák, J. Novák Katedra fyziky, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt V práci je popsán výukový software pro

Více

Vzorový protokol pro předmět Zpracování experimentu. Tento protokol by měl sloužit jako vzor pro tvorbu vašich vlastních protokolů.

Vzorový protokol pro předmět Zpracování experimentu. Tento protokol by měl sloužit jako vzor pro tvorbu vašich vlastních protokolů. Vzorový protokol pro předmět Zpracování experimentu. Tento protokol by měl loužit jako vzor pro tvorbu vašich vlatních protokolů. Na příkladech je zde ukázán právný zápi výledků i formát tabulek a grafů.

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Vlnění Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Vlnění Vhodíme-li na klidnou vodní hladinu kámen, hladina se jeho dopadem rozkmitá a z místa rozruchu se začnou

Více

8 - Geometrické místo kořenů aneb Root Locus

8 - Geometrické místo kořenů aneb Root Locus 8 - Geometrické míto kořenů aneb Root Locu Michael Šebek Automatické řízení 206 0-3-6 Metoda Root Locu Walter R. Evan, AIEE Tranaction, 948 Metoda root locu neboli geometrické míto kořenů vykreluje polohu

Více

Optika. Co je světlo? Laser vlastnosti a využití. Josef Štěpánek Fyzikální ústav MFF UK

Optika. Co je světlo? Laser vlastnosti a využití. Josef Štěpánek Fyzikální ústav MFF UK Optika Co je světlo? Laser vlastnosti a využití Josef Štěpánek Fyzikální ústav MFF UK Optika Vědecká disciplína zabývající se světlem a zářením obdobných vlastností (optické záření) z hlediska jeho vzniku,

Více

M I K R O S K O P I E

M I K R O S K O P I E Inovace předmětu KBB/MIK SVĚTELNÁ A ELEKTRONOVÁ M I K R O S K O P I E Rozvoj a internacionalizace chemických a biologických studijních programů na Univerzitě Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0066

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

Teorie rentgenové difrakce

Teorie rentgenové difrakce Teorie rentgenové difrakce Vlna primárního záření na atomy v krystalu. Jádra atomů zůstanou vzhledem ke své velké hmotnosti v klidu, ale elektrony jsou rozkmitány se stejnou frekvencí jako má primární

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

přednáška TLAK - TAH. Prvky namáhané kombinací normálové síly a ohybového momentu

přednáška TLAK - TAH. Prvky namáhané kombinací normálové síly a ohybového momentu 7..0 přednáška TLAK - TAH Prvky namáhané kombinací normálové íly a ohybového momentu Namáhání kombinací tlakové (tahové) íly a momentu tlak Namáhání kombinací tlakové (tahové) íly a momentu Namáhání kombinací

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ODRAZ A LOM SVĚTLA 1) Index lomu vody je 1,33. Jakou rychlost má

Více

Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody

Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 013 7-4-14 Opakování: Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy tvoří okruh, ale ne těleo (Okruh tvoří také celá číla, těleo

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

MĚŘENÍ VLNOVÝCH DÉLEK SVĚTLA MŘÍŽKOVÝM SPEKTROMETREM

MĚŘENÍ VLNOVÝCH DÉLEK SVĚTLA MŘÍŽKOVÝM SPEKTROMETREM MĚŘENÍ VLNOVÝCH DÉLEK SVĚTLA MŘÍŽKOVÝM SPEKTROMETREM Difrakce (ohyb) světla je jedním z několika projevů vlnových vlastností světla. Z těchto důvodů světlo při setkání s překážkou nepostupuje dále vždy

Více

Vlnové vlastnosti světla. Člověk a příroda Fyzika

Vlnové vlastnosti světla. Člověk a příroda Fyzika Název vzdělávacího materiálu: Číslo vzdělávacího materiálu: Autor vzdělávací materiálu: Období, ve kterém byl vzdělávací materiál vytvořen: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Tematická

Více

ÚSTŘEDNÍ KOMISE FYZIKÁLNÍ OLYMPIÁDY ČESKÉ REPUBLIKY

ÚSTŘEDNÍ KOMISE FYZIKÁLNÍ OLYMPIÁDY ČESKÉ REPUBLIKY ÚSTŘEDNÍ KOMISE YZIKÁLNÍ OLYMPIÁDY ČESKÉ REPUBLIKY E-mail: ivo.volf@uhk.cz, tel.: 493 331 19, 493 331 189 Řešení úloh krajkého kola 55. ročníku yzikální olympiády Kategorie E Předložená řešení by neměla

Více

2 Difrakce, rozdělení difrakčních jevů a difrakční integrály

2 Difrakce, rozdělení difrakčních jevů a difrakční integrály 25 2 Difrakce, rozdělení difrakčních jevů a difrakční integrály 2.1 Vymezení pojmů rozptyl, difrakce a interference 2.2 Fresnelova a Fraunhoferova difrakce 2.3 Difrakční integrály Na začátku předcházející

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Zrcadla Zobrazení zrcadlem Zrcadla jistě všichni znáte z každodenního života ráno se do něj v koupelně díváte,

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Jaký význam má kritický kmitočet vedení? - nejnižší kmitočet vlny, při kterém se vlna začíná šířit vedením.

Jaký význam má kritický kmitočet vedení? - nejnižší kmitočet vlny, při kterém se vlna začíná šířit vedením. Jaký význam má kritický kmitočet vedení? - nejnižší kmitočet vlny, při kterém se vlna začíná šířit vedením. Na čem závisí účinnost vedení? účinnost vedení závisí na činiteli útlumu β a na činiteli odrazu

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

27 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace

27 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace 325 27 FYZIKÁLNÍ OPTIKA Interference Ohyb Polarizace Do fyzikální optiky zahrnujeme ty jevy, které vznikají v souvislosti se světlem, v kterých se zjevně projevuje jeho vlnová podstata. Jde především o

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí

Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Postupné, rovinné, monochromatické vlny v lineárním izotropním nemagnetickém prostředí Rovinné vlny 1 Při diskusi o řadě jevů je výhodné vycházet z rovinných vln. Vlny musí splňovat Maxwellovy rovnice

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Posouzení stability svahu

Posouzení stability svahu Inženýrký manuál č. 8 Aktualizace: 02/2016 Poouzení tability vahu Program: Soubor: Stabilita vahu Demo_manual_08.gt V tomto inženýrkém manuálu je popán výpočet tability vahu, nalezení kritické kruhové

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

3. V případě dvou na sebe kolmých posunutí o velikostech 3 cm a 4 cm obdržíme výsledné posunutí o velikosti a) 8 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 5 cm *

3. V případě dvou na sebe kolmých posunutí o velikostech 3 cm a 4 cm obdržíme výsledné posunutí o velikosti a) 8 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 5 cm * Fyzika 1 2009 Otázky za 2 body 1. Mezi tavové veličiny patří a) teplo b) teplota * c) práce d) univerzální plynová kontanta 2. Krychle má hranu o délce 2 mm. Jaký je její objem v krychlových metrech? a)

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Youngův dvouštěrbinový experiment

Youngův dvouštěrbinový experiment Youngův dvouštěrbinový experiment Cíl laboratorní úlohy: Cílem laboratorní úlohy je pochopit princip dvouštěrbinové interference a určit vlnovou délku světla na základě rozteče pozorovaných interferenčních

Více

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je:

Řešení: Nejdříve musíme určit sílu, kterou působí kladka proti směru pohybu padajícího vědra a napíná tak lano. Moment síly otáčení kladky je: Přijímací zkouška na navazující magisterské studium - 16 Studijní program Fyzika - všechny obory kromě Učitelství fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad 1 (5 bodů) Jak dlouho bude padat

Více

Automatizace Úloha č.1. Identifikace regulované soustavy Strejcovou metodou

Automatizace Úloha č.1. Identifikace regulované soustavy Strejcovou metodou Automatizace Úloha č. Identifikace regulované outavy Strejcovou metodou Petr Luzar 008/009 Zadání. Zapojte regulační obvod reálnou tepelnou outavou a eznamte e monitorovacím a řídicím programovým ytémem

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Ing. Jakub Ulmann Zobrazování optickými soustavami 1. Optické

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

Cvičení Kmity, vlny, optika Část interference, difrakce, fotometrie

Cvičení Kmity, vlny, optika Část interference, difrakce, fotometrie Cvičení Kmity, vlny, optika Část interference, difrakce, fotometrie přednášející: Zdeněk Bochníček Tento text obsahuje příklady ke cvičení k předmětu F3100 Kmity, vlny, optika. Příklady jsou rozděleny

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

18 Podmínky pro směry hlavních difrakčních maxim při difrakci na mřížkách

18 Podmínky pro směry hlavních difrakčních maxim při difrakci na mřížkách 18 SMĚRY HLAVNÍCH DIFRAKČNÍCH MAXIM PŘI DIFRAKCI NA MŘÍŽKÁCH 1 18 Podmínky pro směry hlavních difrakčních maxim při difrakci na mřížkách V odst. 2.1 bylo vysvětleno že vlnová funkce záření difraktovaného

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

3.2.5 Odraz, lom a ohyb vlnění

3.2.5 Odraz, lom a ohyb vlnění 3..5 Odraz, lom a ohyb vlnění Předpoklady: 304 Odraz a lom vlnění na rozhranní dvou prostředí s různou rychlostí šíření http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=16.0 Rovinná vlna dopadá šikmo

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Pozorování Slunce s vysokým rozlišením. Michal Sobotka Astronomický ústav AV ČR, Ondřejov

Pozorování Slunce s vysokým rozlišením. Michal Sobotka Astronomický ústav AV ČR, Ondřejov Pozorování Slunce s vysokým rozlišením Michal Sobotka Astronomický ústav AV ČR, Ondřejov Úvod Na Slunci se důležité děje odehrávají na malých prostorových škálách (desítky až stovky km). Granule mají typickou

Více

Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne Příprava Opravy Učitel Hodnocení. Vlnové vlastnosti světla difrakce, laser

Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne Příprava Opravy Učitel Hodnocení. Vlnové vlastnosti světla difrakce, laser FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEKT VUT BRNO Jméno a příjmení Petr Švaňa Ročník 1 Předmět IFY Kroužek 38 ID 155793 Spolupracoval Měřeno dne Odevzdáno dne Lukáš Teuer 8.4.2013 22.4.2013 Příprava Opravy

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ

Více

Zákon odrazu. Úhel odrazu je roven úhlu dopadu, přičemž odražené paprsky zůstávají v rovině dopadu.

Zákon odrazu. Úhel odrazu je roven úhlu dopadu, přičemž odražené paprsky zůstávají v rovině dopadu. 1. ZÁKON ODRAZU SVĚTLA, ODRAZ SVĚTLA, ZOBRAZENÍ ZRCADLY, Dívejme se skleněnou deskou, za kterou je tmavší pozadí. Vidíme v ní vlastní obličej a současně vidíme předměty za deskou. Obojí však slaběji než

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Mikrovlny

FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Mikrovlny FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: 25.3.2011 Jméno: Jakub Kákona Pracovní skupina: 4 Ročník a kroužek: Pa 9:30 Spolupracovníci: Jana Navrátilová Hodnocení: Mikrovlny Abstrakt V úloze je

Více

3 Chyby měření. 3.1 Hrubé chyby

3 Chyby měření. 3.1 Hrubé chyby 3 Chyby měření Za daných podmínek má každá fyzikální veličina určitou hodnotu, kterou ovšem z principiálních důvodů nemůžeme zjitit úplně přeně. Každé měření je totiž zatíženo chybami, které jou nejrůznějšího

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Zobrazení čočkou

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Zobrazení čočkou Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 Zobrazení čočkou Čočky, stejně jako zrcadla, patří pro mnohé z nás do běžného života. Někdo nosí brýle, jiný

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

3.2.4 Huygensův princip, odraz vlnění

3.2.4 Huygensův princip, odraz vlnění ..4 Huygensův princip, odraz vlnění Předpoklady: 0 Izotropní prostředí: prostředí, které je ve všech bodech a směrech stejné vlnění se všech směrech šíří stejnou rychlostí ve všech směrech urazí za čas

Více

Nástin formální stavby kvantové mechaniky

Nástin formální stavby kvantové mechaniky Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více