3 Huygensův-Fresnelův princip a odvození difrakčních integrálů

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3 Huygensův-Fresnelův princip a odvození difrakčních integrálů"

Transkript

1 33 3 Huygenův-Frenelův princip a odvození difrakčních integrálů 3.1 Huygenův princip 3.2 Huygenův-Frenelův princip 3.3 Příklad. Nerušené šíření rovinné vlny 3.4 Frenelovy zóny 3.5 Zonální mřížky 3.6 Odvození difrakčních integrálů z Huygenova-Frenelova principu Difrakční integrály bývají většinou odvozovány z tzv. Huygenova-Frenelova principu. Někteří autoři nazývají tento princip pouze Huygenovým jménem [1], což je poněkud paradoxní, neboť Huygen, jak e zdá, difrakční jevy vůbec neidentifikoval ([2], tr ). V jeho lavném Pojednání o větle [3] není o difrakci ani zmínky. Tvrzení, že první interpretace difrakčních jevů prováděl Huygen, nimiž e etkáváme v učebnicové literatuře, jou ai nepravdivá. V názvu Huygenova-Frenelova principu je ovšem Huygenovo jméno právem, jak ukážeme v náledujících dvou odtavcích. 3.1 Huygenův princip Chritiaan Huygen je jitě zakladatelem vlnové optiky. Nebyl však první, kdo považoval větlo za nějaký druh vlnění. Že e větlo alepoň někdy projevuje jako vlnění, vyjádřil již F. M. Grimaldi [4] a také J. M. Marci [5]. Nicméně Huygen byl první, kdo na základě vlnové předtavy kvantitativně vyvětlil šíření větla ve volném protoru, odraz, lom a dvojlom. Používal k tomu tzv. Huygenovy kontrukce, což je ekvivalentní název pro Huygenův princip. Huygenův princip obahuje dvě tvrzení: (i) Každý bod homogenního a izotropního protředí, do něhož dopěje vlnění, tj. každý bod čela vlny, je zdrojem ekundární kulové vlny. (ii) Vlnoplocha v okamžiku t + t je obálkou ekundárních kulových vln, které vyšly z bodů vlnoplochy v předcházejícím okamžiku t. Předtava vyjádřená prvním tvrzením je přijatelná. (Je zajímavé, že toto tvrzení již před Huygenem vylovil Marci [5].) Naproti tomu druhé tvrzení je zřejmě neprávné, neboť odporuje kutečnotem pozorovaným v interferenčních a difrakčních jevech. 3.2 Huygenův-Frenelův princip Augutin Jean Frenel byl prvním, kdo uměl dokonale, tj. do všech tehdy pozorovaných detailů, interpretovat difrakční jevy. Doáhl toho tím, že změnil druhé tvrzení Huygenova principu ([6], tr. 174). V literatuře e čato uvádí, že doplnil Huygenův princip tím, že ekundární vlny polu interferují. To je ice pravda, ale ne celá. Frenel také pecifikoval amplitudu a fázi ekundárních vln. Celou věc ozřejmí matematická formulace Huygenova-Frenelova principu: Nechť všechny zdroje vlnění jou uvnitř protorové oblati V (konečné nebo nekonečné) vymezené plochou S a nechť v bodech M této plochy je známa vlnová funkce ψ 0 (M). Z každého bodu M plochy S vychází do vnější čáti protorové oblati V ekundární vlna ψ(, ϑ) = i λ K(ϑ)ψ 0(M) exp(ik) = k 2π K(ϑ)ψ exp[i(k π/2)] 0(M). (1) Výraz (1) ice nazýváme ekundární vlnou, dokonce ekundární kulovou vlnou, avšak o vlnu ve vlatním mylu toho lova nemuí vůbec jít. Konkrétní tvar funkce K(ϑ) může totiž způobit že výraz (1) není řešením Helmoltzovy rovnice. Jednotlivé faktory výrazu (1) mají tento význam:

2 34 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 1: K Huygenovu-Frenelovu principu ve Frenelově pojetí (a) a ve tvaru nejčatěji používaném při výpočtech (b). je vzdálenot od bodu M. exp ik je divergentní kulová vlna vycházející z bodu M. ψ 0 (M) je známá hodnota vlnové funkce v bodech M plochy S. Říkáme jí též primární rozruch. Výraz (1) jím vyjadřuje tvrzení, že amplituda ekundárních vln je úměrná primárnímu rozruchu. i λ = k 2π exp( i π 2 ) je faktor, který vyjadřuje kutečnot, že ekundární vlny mají amplitudu nepřímo úměrnou vlnové délce a že jejich fáze předbíhá o čtvrt periody fázi primárního rozruchu (nebo e za ní o tři čtvrtiny periody opožďuje). Proto e faktoru i = exp( i π 2 ) někdy v této ouviloti říká Frenelův fázový předtih. Při heuritické formulaci Huygenova Frenelova principu není původ faktoru i/λ zřejmý. Frenel jej zavedl proto, aby dotal právný výledek pro nerušené šíření vlnění (tj. pro volné šíření za nepřítomnoti jakéhokoli difrakčního tínítka, které by omezovalo nebo nějak modifikovalo dopadající vlnu). V náledujícím odtavci 3.3 ozřejmíme nezbytnot tohoto faktoru. Skutečný původ faktoru i/λ lze nahlédnout teprve při odvozování Kirchhoffova nebo Rayleighova Sommerfeldova difrakčního integrálu (viz odt , až v dalším textu). K(ϑ) je nejproblematičtějším faktorem výrazu (1). Vyjadřuje kutečnot, že amplituda ekundárních vln závií na měru šíření vln a říká e mu faktor klonu. Frenel volil za plochu S vždy vlnoplochu. Pak úhel ϑ byl úhel mezi normálou k vlnoploše v bodě M a měrem určeným pojnicí bodu M a bodu pozorování P (viz obr. 1(a)) a faktor K(ϑ) předpokládal ve tvaru { co ϑ pro ϑ π/2, π/2, K(ϑ) = (2) 0 pro ϑ π/2, 3π/2. (Podmínka (2) zajišťuje, že ekundární vlny e šíří jen ve měru od zdroje vlnění.) Uvidíme později, že přené Rayleighovo Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu (odt ) dává pro faktor klonu týž výraz (2), zatímco matematický rozporné Kirchhoffovo odvození (viz závěr odt ) dává pro faktor klonu funkci K(ϑ) = 1 (1 + co ϑ). (3) 2 Po pravdě řečeno, pro velkou většinu výpočtů není tvar funkce K(ϑ) podtatný. V konkrétních aplikacích Frenel téměř vždy výjimkou jou jen úvahy o umaci přípěvků od Frenelových zón (rov. odt. 3.4) kladl K(ϑ) = 1. (4) Tak e to otatně v intrumentální optice dělá dodne a můžeme tedy pro (1) používat termínu ekundární vlny bez uvozovek. Zdůvodnění toho, proč i při tak necitlivém zacházení faktorem klonu e dotává apoň při výpočtu Frenelových difrakčních jevů obdivuhodně přený ouhla výpočtů experimentem, dává tzv. metoda tacionární fáze polu podmínkami použitelnoti kalární teorie difrakce.

3 3.3 Příklad. Nerušené šíření rovinné vlny 35 Zbývá ještě e zmínit o ploše S, v jejíchž bodech M je znám primární rozruch ψ 0 (M). Z textu předcházejícího výraz (1) je zřejmé, že nemuí jít o čelo vlny (jako u Huygene) ba ani o vlnoplochu. Z praktických důvodů však není účelné ani možné volit tuto plochu příliš obecně. Uvedli jme již, že Frenel volil za plochu S vždy vlnoplochu vlnění vycházejícího z bodového nebo čárového zdroje, tedy kulovou nebo válcovou plochu. Tak tomu také bývá ve tarších monografiích (viz např. [7], tr. 152, [8], kap. 13, 14). V oučané době e za plochu S volí rovina určená rovinným difrakčním tínítkem (viz obr. 1(b)) a eventuálně uzavřená čátí koule o nekonečném poloměru. Uvidíme v kap. 6 a 7, že pouze v případě, kdy plocha S je rovinou, přetává být Huygenův-Frenelův princip principem ve vlatním mylu toho lova, a lze jej považovat za aproximaci difrakčního integrálu zíkaného matematicky korektním způobem z vlnové rovnice (pouze v případě roviny je znám explicitní tvar Greenovy funkce 6.5(8)). Sekundární vlny mají v tomto případě tvar (viz 6.5(13)) ψ(, ϑ) = ik 2π co ϑ ψ 0(M) exp(ik) ( 1 + i k ). (5) I zde nejde ovšem o vlny ve vlatním mylu toho lova, neboť výraz (5) není řešením Helmholtzovy rovnice 1.7(7). Je zřejmé že pro λ, tj. k 1, je výraz (1), (2), používaný Frenelem, dobrým přiblížením přenému výrazu (5). V případě, že plocha S není vlnoplochou, je otázka, jaký tvar má faktor klonu K(ϑ), neboť měr šíření vlnění nemuí být totožný e měrem normály k ploše S. Jak jme e již zmínili, Rayleighovo-Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu však v případě, že plocha S je rovina, dává faktor klonu K(ϑ) ve tvaru (2) (viz odt a 6.5.4). Předtavme i nyní, že vyšetřujeme difrakci na nějakém difrakčním tínítku a že plocha S vyplňuje otvory v difrakčním tínítku. Označme S 0 čát plochy S, která není zatíněna neproputnými čátmi difrakčního tínítka (viz obr. 1). Podle Frenela je vlnová funkce v bodě P vně plochy S dána oučtem všech ekundárních vln vycházejících z bodů plochy S 0, tedy integrálem ψ(p ) = ik 2π S 0 exp(ik) ψ 0 (M) co ϑ ds 0. (6) Tento integrál je matematickým zápiem Huygenova-Frenelova principu. Na integrálu (6) tak jak je napán je nepříjemné, že e ním nedá téměř nic analyticky vypočítat. Použijeme-li ho totiž bez různých aproximací integrandu k výpočtu konkrétních difrakčních jevů, hledáme, že integrace nelze provét nebo že přílušný integrál neexituje. Proto e dělají aproximativní úpravy integrandu. Konkrétně kulová vlna exp(ik) e aproximuje paraxiální aproximací 1.10(6) a co ϑ e položí roven jedné. Tím e však ještě více etře předtava kulových ekundárních vln, která je tolik zdůrazňovaná při recitacích Huygenova-Frenelova principu. Jednou z mála výjimek, kdy integrál (6) lze analyticky vypočítat, je nerušené šíření rovinné vlny. V náledujícím odtavci 3.3 tento příklad propočítáme. Přinee nám to dvojí užitek. Poznáme v náznaku potíže, nimiž e při analytických výpočtech integrálu (6) etkáváme a ozřejmí e důvod, proč muí být v amplitudě ekundárních vln (1) faktor i/λ = ik/2π. 3.3 Příklad. Nerušené šíření rovinné vlny Zvolme měr šíření rovinné vlny za ou z kartézké outavy ouřadnic. V každém bodě protoru má tedy vlnová funkce tvar fázoru exp(ikz). Za plochu S v Huygenově-Frenelově principu zvolme rovinu z = 0 (viz obr. 2), v níž je vlnová funkce ψ 0 (M) = 1. Ve všech bodech P roviny z = kont. je vlnová funkce ψ(p ) = exp(ikz) a tento výledek muíme dotat výpočtem integrálu 3.2(6). Bez újmy na obecnoti zvolíme bod P na oe z. Souřadnice bodů M a P jou M(x M, y M, 0), P (0, 0, z), co ϑ = z/ a integrál 3.2(6) má tvar ψ(p ) = ik 2π Vyjádříme tento integrál v polárních ouřadnicích exp(ik) z dx M dy M. (1) x M = ρ M co ϕ M, y M = ρ M in ϕ M.

4 36 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 2: Nerušené šíření rovinné vlny. Dotaneme ψ(p ) = ikz 2π 2π 0 0 exp(ik) 2 dϕ M ρ M dρ M. Vzhledem k rotační ymetrii integrandu je integrál podle úhlové proměnné ϕ M roven 2π, takže ψ(p ) = ikz 0 exp(ik) 2 ρ M dρ M. (2) Uvažme, že 2 = z 2 +ρ 2 M a přejděme od integrační proměnné ρ M k integrační proměnné. Vzhledem k tomu, že d = ρ M dρ M přejde integrál (2) do tvaru ψ(p ) = ikz z exp(ik) d. (3) Primitivní funkci integrandu ve (3) nelze jak známo vyjádřit v uzavřeném tvaru, tj. jako oučet konečného počtu elementárních funkcí. Vyjádříme proto integrál (3) protřednictvím integrálního inu Si(x) a integrálního koinu Ci(x): x in t Si(x) = dt, (4) t Ci(x) = x 0 co t t Za tím účelem provedeme v integrálu (3) ubtituci k = t: [ exp(it) ψ(p ) = ikz dt = ikz t kz dt, x > 0. (5) kz co t t = ikz { Ci(kz) + i[si( ) Si(kz)]}. ] in t dt + i dt kz t Pro hodnoty proměnné x 2π je integrální inu a integrální koinu dotatečnou přenotí vyjádřen aymptotickým výrazem Si(x) π 2 co x x, (7) Ci(x) in x x. (8) Doadíme-li tyto aymptotické výrazy do (6), dotaneme { [ in kz π ψ(p ) ikz + i kz 2 π ]} co kz + = 2 kz { } (9) co kz in kz = kz + i = exp(ikz). kz kz Dotali jme tedy již pro kz 2π, tj. z λ, požadovaný výledek. Z výpočtu je zřejmé, že k zíkání výledku (9) bylo nezbytné opatřit amplitudu ekundárních vln 3.2(1) faktorem ik/2π. (6)

5 3.4 Frenelovy zóny Frenelovy zóny Po celé 18. toletí dominovala tzv. korpukulární teorie větla připiovaná Newtonovi nad Huygenovou vlnovou teorií. Podle korpukulární teorie jou paprky větla velmi malé čátice vyzařované vítícími látkami ([9], tr. 370). Newton ice vylovil tento názor formou otázky, ale jeho autorita způobila, že byl nekriticky akceptován a ještě v prvním deetiletí 19. toletí byly odmítány Youngovy předtavy o větle jako o vlnění. Teprve Frenel vou teorií difrakce a vými difrakčními experimenty velmi připěl k tomu, že větlo bylo opět (130 let po Huygenovi) považováno za vlnění. Hlavní tehdejší námitkou toupenců korpukulární teorie proti vlnové teorii bylo: Proč e větlo šíří v podtatě přímočaře, když má být vlněním? Frenel na ni reagoval tzv. zonální kontrukci ([6], tr. 208) a zavedl to, čemu dne říkáme Frenelovy zóny. V tomto odtavci podrobně ozřejmíme pojem Frenelových zón, neboť předtava o Frenelových zónách vyvětluje takřka bez počítání mnohé zajímavoti difrakčních jevů, je důležitá při plánování difrakčních experimentů, pro pochopení fokuace záření (např. rentgenového) zonálními (Soretovými) mřížkami a jinde. Předtavme i, že z bodového zdroje P 1 vychází kulová vlna a vybereme jednu z vlnoploch S, tj. kouli o poloměru z 1. Ve vzdálenoti z 1 + z od zdroje P 1 zvolme bod pozorování P (obr. 3). Okolo bodu P opišme Obrázek 3: K odvození výrazu pro poloměr r n n-té Frenelovy zóny. kulové plochy σ 0, σ 1, σ 2,... o poloměrech z, z + λ/2, z + 2λ/2,..., které rozčleňují vlnoplochu S do zón. Označme ψ 1, ψ 2, ψ 3,... oučty ekundárních vln došlých do bodu P z první, druhé, třetí,... zóny. Je zřejmé, že ψ 2 má opačnou fázi ve rovnání ψ 1, ψ 3 má opačnou fázi ve rovnání ψ 2 atd. Protě oučty ψ 2n 1 ekundárních vln od lichých zón mají touž fázi pro všechna n a opačnou ve rovnání e oučty ψ 2n ekundárních vln od udých zón. Vyjádřeme nyní vnější poloměr r n n-té zóny. Z Pythagorovy věty plyne (viz obr. 3) (z 1 ) 2 + r 2 n = z 2 1, (z + ) 2 + r 2 n = (z + nλ/2) 2. Po vyloučení z těchto rovnic a po úpravě dotaneme [ rn 2 = nλz 1z ( ) nλ z z 1 z z 2 1 z 1 + z 2 2 z 1 z(z 1 + z) 2 Zvolíme-li i pro kvantitativní předtavu hodnoty ( ) 2 nλ 1 2 z 1 (z 1 + z) 1 8 ( ) ] 3 nλ 1. (1) 2 z 1 z(z 1 + z) z 1 = z = 1 m, λ = m, n = 1, (2)

6 38 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ nahlédneme, že druhý člen v hranaté závorce je řádu 10 7, třetí řádu a čtvrtý řádu S vyokou přenotí tedy platí nλz1 z r n = z 1 + z. (3) Z toho plyne, že jednotlivé zóny na vlnoploše S jou velmi dobrým přiblížením rovnoploché: π ( rn 2 rn 1 2 ) λz 1 z = π z 1 + z. (4) Abychom i udělali předtavu o velikoti Frenelových zón, doaďme do (3) a (4) hodnoty (2). Dotaneme r n = n m, π ( r 2 n r 2 n 1). = m 2. (5) Průměr prvních Frenelových zón bývá tedy v optice viditelného větla při běžném experimentálním upořádání řádově 1 mm. Z toho, že Frenelovy zóny jou rovnoploché, vyplývá, že oučty ψ i ekundárních vln došlých od jednotlivých zón do bodu pozorování P mají touž abolutní hodnotu. Jetliže tedy proputíme neproputným tínítkem kruhovým otvorem právě dvě první zóny vlnoplochy S, bude vlnová funkce v bodě P nulová, neboť oučty ψ 1 a ψ 2 mají touž abolutní hodnotu a opačnou fázi, takže ψ 1 + ψ 2 = 0. Stejně tomu bude, kdykoli proputíme přeně udý počet ouedících zón. Je tedy intenzita v bodě P rovna nule a tuto kutečnot lze nadno experimentálně ověřit (viz obr. 4). Tento fakt totiž nulovou intenzitu ve tředu difrakčního obrazce na kruhovém otvoru propouštějícím udý počet zón je vhodné velmi zdůraznit. Je to totiž jediný případ, kdy e ve Frenelově difrakci na prázdných otvorech v neproputném tínítku pozoruje nulová intenzita. Nakýtá e otázka, jaká je intenzita v bodě pozorování P, proputíme-li jednu Frenelovu zónu, rep. lichý počet zón. Předtavme i, že rozevíráme kruhový otvor ve tínítku od nulového průměru. Ze způobu kontrukce Frenelových zón vyplývá, že modul amplitudy vlnové funkce, a tedy i intenzita v bodě pozorování vzrůtá a nabývá maximální hodnoty, když je propuštěna právě první zóna. Při dalším zvětšování otvoru kleá až nabude minima, konkrétně nulové hodnoty, když jou propuštěny právě dvě zóny. Potom opět rote a nabývá maximální hodnoty, když jou propuštěny tři zóny, atd. Vidíme tedy, že intenzita v bodě pozorování je maximální, je-li propuštěn lichý počet Frenelových zón. Jaká však je tato maximální intenzita? Odpověď nelze dotat pouhým uvažováním o zónách. V odt ji však zjitíme výpočtem: Je-li kruhovým otvorem ve tínítku propuštěn právě lichý počet zón, je intenzita v bodě pozorování čtyřnáobná ve rovnání intenzitou, která by byla v bodě pozorování, kdyby vlnoplochu S nic neomezovalo. Je-li intenzita v bodě pozorování při jedné propuštěné zóně čtyřnáobně větší než při neomezeném šíření vlny, tj. velikot amplitudy je dvojnáobná, znamená to, že kdybychom vlnu proputili přibližně polovinu první zóny, dotali bychom v bodě pozorování P touž intenzitu jako při neomezeném šíření vlny. Tento výledek Frenel vytušil a podpořil úvahou, jejíž nekorektnoti i byl vědom. Sečetl přípěvky ψ i jednotlivých zón takto: ψ(p ) = 1 ( 1 2 ψ ψ 1 + ψ ) 2 ψ ψ ϑ = 1 2 ψ 1 (6) a polovinu přípěvku polední zóny ψ ϑ = 1 2 ψ n, rep. ψ ϑ = 1 2 ψ n 1 + ψ n zanedbal, což zdůvodnil nulovou hodnotou faktoru klonu K(ϑ) = co ϑ při ϑ = π/2. Protě přípěvek k vlnové funkci od každé udé zóny kompenzoval přípěvky od poloviny ouedních lichých zón. (Tento potup je ovšem nekorektní, neboť bychom tejně oprávněně mohli přípěvek každé udé zóny kompenzovat řekněme deetinou přípěvku nižší liché zóny a devíti deetinami přípěvku vyšší liché zóny a dotali bychom ψ = 0, 9 ψ 1.) V literatuře lze nalézt řadu úvah zjemňujících Frenelův způob umace (viz např. [10], 44, [11], 8.2). Výledek (6), i když byl zíkán matematicky nekorektním způobem, pozoruhodně vytihuje kutečnot. Frenel z toho vyvodil závěr, že pro rozruch ψ v bodě P je rozhodující jen malý kroužek kolem bodu M 0, jehož plocha nepřevyšuje polovinu plochy první zóny, tedy kroužek, který má při hodnotách (2) poloměr 0,3 mm (a tedy plochu m 2 ). V tom patřoval zdůvodnění toho, že e větlo šíří v podtatě přímočaře. My v tom můžeme patřovat pěknou ilutraci významu okolí bodu M 0 (bod tacionární fáze) pro vlnovou funkci v bodě pozorování P. Výše uvedené výledky, zejména vztah (6) odůvodníme matematicky čitším

7 3.4 Frenelovy zóny 39 Obrázek 4: Frenelova difrakce na kruhovém otvoru v neproputném tínítku při různém počtu n propuštěných zón. způobem v odt , v němž e počítá vlnová funkce charakterizující Frenelovu difrakci na kruhovém otvoru v bodech oy rotační ymetrie. Je-li dopadající vlna rovinná, je plocha S rovina (obr. 5) a z Pythagorovy věty plyne pro vnější poloměr r n n té Frenelovy zóny výraz S vyokou přenotí tedy je r n = nλz 1 + nλ 4z. (7) r n = nλz. (8)

8 40 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 5: Poloměr r n n-té Frenelovy zóny na rovinné vlnoploše S. Zajímavá je ituace ve bíhavé kulové vlně (obr. 6). Opět aplikací Pythagorovy věty lze nalézt, že ať bod pozorování P leží vně nebo uvnitř poloměru M 0 P 1 vlnoplochy S platí vždy nλz 1 z r n = z 1 z. (9) Z toho je vidět, že když e bod pozorování P blíží tředu P 1 bíhavé vlny, tj. když z 1 z 0, rote poloměr r 1 první Frenelovy zóny nade všechny meze (ve kutečnoti je celá vlnoplocha S obažena v první Frenelově zóně). To znamená, že bod M 0 není tacionárním bodem vlnoplochy. Pro vlnovou funkci ve tředu P 1 bíhavé kulové vlny jou všechny body vlnoplochy tejně významné. Jako je exitence tacionárního bodu typickým znakem Frenelovy difrakce, je abence tacionárního bodu, tedy tejná významnot všech bodů vlnoplochy, typickým znakem Fraunhoferovy difrakce. Nulová intenzita uprotřed difrakčního obrazce od kruhového otvoru propouštějícího udý počet zón je jitě doti udivující. Frenelova zonální kontrukce však vyvětluje ještě další paradoxní jev: větlou topu uprotřed Frenelova difrakčního obrazce na neproputné kruhové překážce (tzv. Frenelova-Aragova-Poionova topa, viz obr. 7). Dopadá-li na neproputný kruh kulová vlna e tředem P 1 na oe rotační ymetrie neproputného kruhu (nebo rovinná vlna šířící e ve měru oy), je ve všech bodech P oy rotační ymetrie za tínítkem táž intenzita, jako kdyby nic nebránilo volnému šíření vlny. Výklad tohoto paradoxu lze založit na tom, že Frenelovy zóny začneme kontruovat nikoli od oového bodu, ale od okraje B kruhové překážky (viz obr. 8). Táž argumentace (6) pak vede k závěru, že tejně jako při nerušeném šíření větla, je intenzita v oovém bodě rovna čtvrtině intenzity od první Frenelovy zóny, tedy táž, jako při nerušeném šíření vlny. V odt. 5.9 podložíme tuto kutečnot výpočtem a ukážeme také, že průměr větlé topy uprotřed difrakčního obrazce je nepřímo úměrný průměru kruhové překážky. Světlá topa uprotřed tínu za neproputnou kruhovou překážkou je typický vlnový jev, který ehrál významnou úlohu při proazování vlnové povahy větla. Siméon Deni Poion pouzoval v r Frenelovu práci jako oficiální oponent francouzké Akademie a odvodil z ní, že ve všech bodech oy za dikem muí být větlá topa. Spatřoval v tom rozpor experimentem a vůbec e zkušenotí, který vyvrací Frenelovu teorii. Frenelův přítel a ochránce Dominique Françoi Arago však poku provedl a exitenci větlé topy prokázal. Poionova předpověď paradoxního jevu, původně formulovaná jako námitka proti Frenelově vlnové teorii, tak tuto teorii nejen nevyvrátila, ale velmi poílila. (Poku lze poměrně nadno provét, použijeme-li míto diku ložikovou kuličku nalepenou na kleněnou planparalelní detičku.) 3.5 Zonální mřížky Frenel pravděpodobně zonální kontrukce vícekrát nepoužil. Trvalým majetkem vlnové optiky e však tala velmi názorná a užitečná předtava, která tvoří jádro Frenelovy kontrukce: Vlnoplochu férické nebo rovinné vlny lze rozdělit na oblati (zóny), jejichž přípěvky k amplitudě v bodě pozorování jou tejné, avšak třídavě e čítají a odečítají. Zatínění oblatí jednoho druhu (např. lichých zón) tedy způobí vzrůt amplitudy větelné vlny v bodě pozorování. Právě tato úvaha pravděpodobně vedla Rayleigha [12] k návrhu zonální mřížky. Prvním, kdo experiment e zonální mřížkou a jeho interpretaci publikoval, byl J. L. Soret [13] [14], [15] v r Zatínil (tj. učinil neproputnými) všechny udé nebo všechny liché zóny (viz obr. 9). Jou-li zatíněny např. všechny udé zóny a liché zůtanou proputné, znamená to, že přípěvky ψ 2n+1 od lichých

9 3.5 Zonální mřížky 41 Obrázek 6: Poloměr Frenelovy zóny na vlnoploše bíhavé kulové vlny. Obrázek 7: Frenelova-Aragova-Poionova topa ve tředu difrakčního obrazce při Frenelově difrakci na neproputném kruhovém diku.

10 42 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 8: K výkladu Frenelovy-Aragovy-Poionovy topy. zón nejou kompenzovány přípěvky ψ 2n od udých zón. Poněvadž přicházejí do bodu pozorování e tejnou fází, je amplituda vlnové funkce v bodě pozorování veliká, obdobně jako v obrazu zdroje vlnění vytvořeném čočkou. Zonální mřížky lze tedy používat jako čočky. To má veliký aktuální význam, neboť zonální mřížka může být zobrazovacím prvkem např. pro rentgenové záření, rep. obecně pro záření, pro něž neexituje protředí indexem lomu výrazně různým od jedné, takže nelze vyrobit obvyklý typ čočky. Obrázek 9: Zonální mřížky. Zonální mřížky mají řadu pozoruhodných vlatnotí a aplikací. Pojednává o nich referativní článek [16]. Zde e jen zmíníme o několika z nich. (i) Zonální mřížka má mnoho ohniek. Např. z 3.4(8) vyplývá, že při fokuaci rovinné vlny zonální mřížkou exitují kromě hlavního ohnika ještě vedlejší ohnika ohnikovou vzdálenotí 1/3, 1/5, 1/7,... hlavní ohnikové vzdálenoti. Je to způobeno tím, že při těchto vzdálenotech každé proputné mezikruží mřížky propouští 3, 5, 7,... zón. (ii) V hlavním ohniku zonální mřížky je intenzita 1/π 2. = 0, 1 intenzity v ohniku ideální čočky tejného průměru a tejné ohnikové vzdálenoti. (iii) Rozlišovací chopnot při zobrazení zonální mřížkou je rovna šířce poledního vnějšího proputného mezikruží, tj. λz/(2 n). (iv) Koeficient barevné vady zonálních mřížek má opačné znaménko ve rovnání koeficientem barevné vady kleněných čoček. Zonálních mřížek lze tedy využít ke kompenzaci barevné vady tandardních čoček.

11 3.6 Odvození difrakčních integrálů z Huygenova-Frenelova principu 43 (v) Míto zatiňování zón je možné obracet fázi větla prošlého původně neproputnými zónami [17]. Intenzita v ohniku tím vzrote čtyřikrát, takže je 0, 4 intenzity v ohniku ideální čočky tejného průměru a tejné ohnikové vzdálenoti. Kniha [18] obahuje výběr 74 významných článků o Soretových mřížkách. 3.6 Odvození difrakčních integrálů z Huygenova-Frenelova principu Odvodíme nyní difrakční integrály 2.3(1) pro Fraunhoferovu difrakci a 2.3(2) pro Frenelovu difrakci z Huygenova- Frenelova principu 3.2(6). Uvedli jme již, že za integrační obor S 0 v integrálu 3.2(6) e vždy volí buď nezatíněná čát vlnoplochy nebo roviny difrakčního tínítka, nebo jiné vhodné roviny (viz např. [1], 60). Starší autoři brávali za plochu S 0 čát vlnoplochy, avšak aproximace, jichž při výpočtu integrálu používali, způobily, že hned po počátečních úpravách dotávali vztahy identické těmi, které e zíkají, když e za obor integrace zvolí čát roviny. Budeme tedy za obor integrace S 0 brát čát roviny odpovídající proputným čátem difrakčního tínítka a tuto rovinu zvolíme za ouřadnicovou rovinu z = 0 (viz obr. 10). Dále opět odvoláním na metodu tacionární fáze Obrázek 10: Význam ymbolů v rozvojích (3) a (4). položíme faktor klonu K(ϑ) = 1. Integrál 3.2(6) e tím redukuje do tvaru ψ(p ) = ik exp(ik) ψ 0 (x M, y M ) dx M dy M. (1) 2π S 0 Je zřejmé, že doadíme-li do tohoto integrálu za kulovou vlnu její Frenelovu aproximaci 1.10(6) exp(ik) exp(ikz) z { ik [ exp (x xm ) 2 + (y y M ) 2]} (2) 2z a klademe-li ψ 0 (x M, y M ) = 0 v bodech neproputné čáti tínítka, dotáváme difrakční integrál 2.3(2) pro Frenelovy difrakční jevy: ψ(x, y, z) = ik exp (ikz) 2π z { ik [ ψ 0 (x M, y M ) exp (x xm ) 2 + (y y M ) 2]} dx M dy M. (3) 2z Z tohoto difrakčního integrálu budeme vycházet v kap. 5, při analytickém výpočtu vlnové funkce charakterizující některé typické Frenelovy difrakční jevy. Tyto analytické výpočty nebývají zcela jednoduché, neboť většinou používají peciální funkce (Frenelovy integrály, Beelovy funkce, Lommelovy funkce). Také numerické výpočty difrakčního integrálu (3) nebývají jednoduché, neboť, jak víme, integrand je rychle ocilující funkcí polohy bodu M(x M, y M ) v rovině difrakčního tínítka. Exituje však nadný způob,

12 44 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ jak vyjádřit difrakční integrál (3) Fourierovým integrálem. K tomu tačí rozvét druhé mocniny v argumentu fázoru, vytknout před integrál fázor nezáviející na integračních proměnných a drobná úprava: ψ(x, y, z) = i k [ exp(ikz) ik ( exp x 2 + y 2)] 2π z 2z ψ 0 (x M, y M ) exp [ ik ( x 2 2z M + ym 2 ) ] exp [ ik ] z (xx M + yy M ) dx M dy M. (4) Vlnová funkce charakterizující Frenelovu difrakci je tak vyjádřena Fourierovou tranformací oučinu vlnové funkce ψ 0 v rovině difrakčního tínítka a fázoru exp[ ik 2z (x2 M + y2 M )]. K numerickému výpočtu Frenelovy difrakce tak lze využít metod vypracovaných pro Fourierovu tranformaci. Je hodno pozoru, že před integrálem je Frenelova aproximace ekundární kulové vlny vycházející z počátku ve Frenelově aproximaci: exp(ik 0 ) exp(ikz) [ ik ( exp x 2 + y 2)]. (5) 0 z 2z Odvození difrakčního integrálu 2.3(1) pro Fraunhoferovu difrakci z Huygenova Frenelova principu není elegantní. Je však v literatuře tak rozšířené (viz např. [10], tr. 153,154, [11], 8.3.3, [19], [20], tr , [21], [22], [23]), že je uvedeme i zde. (Mnohem jednodušší a přirozenější odvození podáváme v kapitole 7 (rov. vztah 7.3(3), rep. 7.4(1)).) Kulovou vlnu exp(ik)/ v Huygenově Frenelové principu (1) nyní aproximujeme poněkud jiným způobem než Frenelovou aproximací (2). Rozvineme vzdálenot = M P v mocninnou řadu v integračních proměnných x M, y M (viz obr. 10): = (x x M ) 2 + (y y M ) 2 + z 2 = z 2 + x 2 + y 2 2(x x M + y y M ) + x 2 M + y2 M = 2 0 2(x x M + y y M ) + x 2 M + y2 M = x x M + y y M 2 + x2 M + y2 M = 0 { 1 x x M + y y M x2 M + y2 M (x x M + y y M ) = (x x M + y y M ) (x 2 M + y 2 M ) 1 = 0 x M x 0 y M y { x 2 M } (x x M + y y M ) [ ( ) ] [ 2 ( ) ] 2 x y 1 + ym x M y M x 0 y 0 } + (6) Má-li funkce ψ 0 (x M, y M ) nenulové hodnoty jen v okolí počátku O, jak tomu může být např. v případě prázdných otvorů v neproputném tínítku, konkrétně je-li k ( x 2 M + ) y2 M 2π, tj. x M + y2 M 2λ 0, (7) max max můžeme v exponenciele kulové vlny zanedbat členy obahující integrační proměnné ve druhé a vyšších mocninách a aproximovat kulovou vlnu výrazem exp(ik) exp(ik [ ( 0) x exp ik x M + y )] y M. (8) S použitím (8) má difrakční integrál (1) tvar Fourierovy tranformace ψ(p ) = ik [ ( exp(ik 0 ) x ψ 0 (x M, y M ) exp ik x M + y )] y M dx M dy M, (9) 2π S 0

13 REFERENCE 45 tentokrát však (narozdíl od (4)) přímo vlnové funkce ψ 0 (x M, y M ) charakterizující vlnění v rovině difrakčního tínítka. Uvážíme-li, že kde (n x, n y, x y = n x, = n y. (10) n 2 x n 2 y) jou měrové koiny měru OP a že při plnění podmínky (7) je výraz před integrálem (9) kontantní, je vlnová funkce ψ funkcí měrových koinů n x, n y a má tvar 2.3(1): ik exp(ik 0 ) = C, (11) 2π 0 ψ(n x, n y ) = C ψ 0 (x M, y M ) exp [ ik (n x x M + n y y M )] dx M dy M. (12) Vraťme e ještě k podmínce (7). Porovnáme-li ji výrazem 3.4(8) pro poloměry Frenelových zón, hledáme, že Fraunhoferovou difrakcí máme co činit, když lineární rozměry proputné oblati difrakčního tínítka jou velmi malé ve rovnání průměrem dvou (a tedy i jedné) Frenelových zón. V této ouviloti je vhodné uvét definici tzv. Frenelova číla N f = a2 λz, (13) kde a je poloměr kružnice zahrnující oblati kde má difrakční tínítko nenulové hodnoty funkce proputnoti a z je vzdálenot difrakčního tínítka od roviny pozorování. Frenelova číla e používá k odhadům o jaký typ difrakce při určitém experimentálním upořádání jde. Je-li Frenelovo čílo N f 1, jde většinou o Frenelův difrakční jev, je-li N f < 1, nebo raději N f 1, jde většinou o Fraunhoferovu difrakci. (Výjimkou bývají případy, kdy rovinou pozorování je rovina geometrického obrazu zdroje.) V kapitole 7 uvidíme, že vlnová funkce (12) má význam amplitudy rovinné vlny vzniklé difrakcí a šířící e ve měru (n x, n y, 1 n 2 x n 2 y). V příští kapitole vypočteme integrál (12) pro typické Fraunhoferovy difrakční jevy (difrakce na obdélníkovém a na kruhovém otvoru). Reference [1] Landau L. D., Lifšic E. M.: Těorija polja. Izdatěľtvo Nauka, Mokva 1973, 59. [2] Bell A. E.: Chritian Huygen and the developmnent of cience in the eventeenth century. Edward Arnold & Co, London [3] Huygen Ch.: Traité de la lumière. Leyde [4] Grimaldi F. M.: Phyico-mathei de lumine, coloribu et iride. Bononiae [5] Marci J. M.: Thaumantia. Liber de arcu coeleti deque colorum apparentium natura, ortu et caui. Pragae [6] Frenel J. A.: Œuvre complète d Augutin Frenel, Vol. 1. (H. de Senarmont, É. Verdet, L. Frenel, ed.) Imprimerie Impériale, Pari [7] Wood R. W.: Phyical Optic. The Macmillan Company, London [8] Bouae H., Carrière Z.: Diffraction. Libraire Delagrave, Pari [9] Newton I.: Optick or a Treatie of the Reflection, Refraction, Inflection and Colour of Light. Dover Publication, Inc., New York [10] Born M.: Optik. Springer Verlag, Berlin [11] Born M., Wolf E.: Principle of Optic. 7th ed. Cambridge Univerity Pre 1999.

14 46 REFERENCE [12] Rayleigh J. W.: poznámka z laboratorního deníku z 11. dubna 1871, citovaná v knize: Strutt R. J.: John William Strutt Third Baron Rayleigh. Edward Arnold Co., London 1924, 88. [13] Soret J. L.: Sur le phénomène de diffraction produit par le réeaux circulaire. Arch. Sci. Phy. Natur. 52 (1875), [14] Soret J. L.: Ueber die durch Kreigitter erzeugten Diffractionphänomene. Pogg. Ann. 156 (1875), Též [18], tr [15] Soret J. L.: Sur le phénomène de diffraction produit par le réeaux circulaire. Compt. Rend. 80 (1875), [16] Chmelík R., Komrka J.: Zobrazování zonálními mřížkami. Č. ča. fyz. 42 (1992), [17] Wood R. W.: Phae Reveral Zone Plate, and Diffraction Telecope. Philoophical Magazine, Serie 5, 45 (1898), Též [18], tr [18] Ojeda Catañeda J., Gómez Reino C. (editor): Selected Paper on Zone Plate. SPIE Optical Engineering Pre, Bellingham, Wahington USA, [19] Drude P.: Lehrbuch der Optik. Verlag von S. Hirzel, Leipzig 1900, tr [20] Pockel F.: Beugung de Lichte. In: Handbuch der Phyik, Bd. VI. (A. Winkelmann, ed.) Johann Ambroiu Barth, Leipzig 1906, tr [21] Laue M. v.: Interferenz und Beugung elektromagneticher Wellen (mit Aunahme der Röntgentrahlen). In: Handbuch der Experimentalphyik, Bd. 18. (W. Wien, F. Harm, ed.) Akademiche Verlaggeellchaft M.B.H., Leipzig 1928, tr [22] Joo G.: Lehrbuch der theoretichen Phyik. 8. Auflage. Akademiche Verlaggeellchaft, Geet & Portig K.-G., Leipzig 1954, tr [23] Sommerfeld A.: Optik. 2. Auflage. Akademiche Verlaggeellchaft, Geet & Portig K.-G., Leipzig 1959, tr

1.1.7 Rovnoměrný pohyb II

1.1.7 Rovnoměrný pohyb II 1.1.7 Rovnoměrný pohyb II Předpoklady: 16 Minulou hodinu jme zakončili předpovídáním dalšího pohybu autíčka. Počítali jme jeho dráhy v dalších okamžicích pomocí tabulky a nakonec i přímé úměrnoti: autíčko

Více

Optika pro mikroskopii materiálů I

Optika pro mikroskopii materiálů I Optika pro mikroskopii materiálů I Jan.Machacek@vscht.cz Ústav skla a keramiky VŠCHT Praha +42-0- 22044-4151 Osnova přednášky Základní pojmy optiky Odraz a lom světla Interference, ohyb a rozlišení optických

Více

1.1.14 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu

1.1.14 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu ..4 Rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu Předpoklady: 3 Pedagogická poznámka: Stejně jako u předchozí hodiny je i v této hodině potřeba potupovat tak, aby tudenti měli minimálně minut na řešení příkladů

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentská 2, 461 17 Liberec

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentská 2, 461 17 Liberec TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentká, 6 7 Liberec POŽADAVKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z FYZIKY Akademický rok: 0/0 Fakulta mechatroniky Studijní obor: Nanomateriály Tématické okruhy. Kinematika

Více

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 - Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické

Více

MANUÁL. Modul KMITÁNÍ A VLNĚNÍ.XLS, verze 1.0

MANUÁL. Modul KMITÁNÍ A VLNĚNÍ.XLS, verze 1.0 www.eucitel.cz MANUÁL Modul KMITÁNÍ A VLNĚNÍ.XLS, verze 1.0 Autor: RNDr. Jiří Kocourek Licence: Freeware pouze pro oobní potřebu. Použití ve výuce je podmíněno uhrazením ročního předplatného přílušnou

Více

VLNOVÁ OPTIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník

VLNOVÁ OPTIKA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník VLNOVÁ OPTIKA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - 3. ročník Vlnová optika Světlo lze chápat také jako elektromagnetické vlnění. Průkopníkem této teorie byl Christian Huyghens. Některé jevy se dají

Více

Vysokofrekvenční obvody s aktivními prvky

Vysokofrekvenční obvody s aktivními prvky Vokofrekvenční obvod aktivními prvk Základními aktivními prvk ve vokofrekvenční technice jou bipolární a unipolární tranzitor. Dalšími aktivními prvk jou hbridní nebo monolitické integrované obvod. Tranzitor

Více

Fabry Perotův interferometr

Fabry Perotův interferometr Fabry Perotův interferometr Princip Dvě zrcadla jsou sestavena tak aby tvořila tzv. Fabry Perotův interferometr, s jehož pomocí je vyšetřován svazek paprsků vycházejících z laseru. Při experimentu se pohybuje

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13

25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13 5 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 3-4-3 Dopravní zpoždění (Time delay, tranport delay, dead time, delay-differential ytem) V reálných ytémech e čato vykytuje dopravní zpoždění yt ( )

Více

Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů. Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha

Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů. Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha V práci je vyšetřován vliv meridionální komy na přesnost měření optickými přístroji a to na základě difrakční

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ P. Novák, J. Novák Katedra fyziky, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt V práci je popsán výukový software pro

Více

M I K R O S K O P I E

M I K R O S K O P I E Inovace předmětu KBB/MIK SVĚTELNÁ A ELEKTRONOVÁ M I K R O S K O P I E Rozvoj a internacionalizace chemických a biologických studijních programů na Univerzitě Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0066

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ODRAZ A LOM SVĚTLA 1) Index lomu vody je 1,33. Jakou rychlost má

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody

Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 013 7-4-14 Opakování: Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy tvoří okruh, ale ne těleo (Okruh tvoří také celá číla, těleo

Více

Vlnové vlastnosti světla. Člověk a příroda Fyzika

Vlnové vlastnosti světla. Člověk a příroda Fyzika Název vzdělávacího materiálu: Číslo vzdělávacího materiálu: Autor vzdělávací materiálu: Období, ve kterém byl vzdělávací materiál vytvořen: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Tematická

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Cvičení Kmity, vlny, optika Část interference, difrakce, fotometrie

Cvičení Kmity, vlny, optika Část interference, difrakce, fotometrie Cvičení Kmity, vlny, optika Část interference, difrakce, fotometrie přednášející: Zdeněk Bochníček Tento text obsahuje příklady ke cvičení k předmětu F3100 Kmity, vlny, optika. Příklady jsou rozděleny

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

3.2.4 Huygensův princip, odraz vlnění

3.2.4 Huygensův princip, odraz vlnění ..4 Huygensův princip, odraz vlnění Předpoklady: 0 Izotropní prostředí: prostředí, které je ve všech bodech a směrech stejné vlnění se všech směrech šíří stejnou rychlostí ve všech směrech urazí za čas

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

27 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace

27 FYZIKÁLNÍ OPTIKA. Interference Ohyb Polarizace 325 27 FYZIKÁLNÍ OPTIKA Interference Ohyb Polarizace Do fyzikální optiky zahrnujeme ty jevy, které vznikají v souvislosti se světlem, v kterých se zjevně projevuje jeho vlnová podstata. Jde především o

Více

1 Skalární vlna a její matematický popis

1 Skalární vlna a její matematický popis 7 1 Skalární vlna a její matematický popis 1.1 Vlna a vlnová rovnice 1. Rovinné vlny 1. Kulové vlny 1.4 Harmonické vlny 1.5 Komplexní notace harmonických vln 1.6 Intenzita vlnění a výpočet intenzity harmonických

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Pozorování Slunce s vysokým rozlišením. Michal Sobotka Astronomický ústav AV ČR, Ondřejov

Pozorování Slunce s vysokým rozlišením. Michal Sobotka Astronomický ústav AV ČR, Ondřejov Pozorování Slunce s vysokým rozlišením Michal Sobotka Astronomický ústav AV ČR, Ondřejov Úvod Na Slunci se důležité děje odehrávají na malých prostorových škálách (desítky až stovky km). Granule mají typickou

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Frekvenční analýza optických zobrazovacích systémů

Frekvenční analýza optických zobrazovacích systémů OPT/OZI L05 Frekvenční analýza optických zobrazovacích systémů obecný model vstupní pupila výstupní pupila v z u y z o x z i difrakčně limitovaný zobrazovací systém: rozbíhavá sférická vlna od bodového

Více

2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná.

2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte tloušťku tenké vrstvy ve dvou různých místech. 2. Vyhodnoťte získané tloušťky a diskutujte, zda je vrstva v rámci chyby nepřímého měření na obou místech stejně silná. 3. Okalibrujte

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

Zákon odrazu. Úhel odrazu je roven úhlu dopadu, přičemž odražené paprsky zůstávají v rovině dopadu.

Zákon odrazu. Úhel odrazu je roven úhlu dopadu, přičemž odražené paprsky zůstávají v rovině dopadu. 1. ZÁKON ODRAZU SVĚTLA, ODRAZ SVĚTLA, ZOBRAZENÍ ZRCADLY, Dívejme se skleněnou deskou, za kterou je tmavší pozadí. Vidíme v ní vlastní obličej a současně vidíme předměty za deskou. Obojí však slaběji než

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

VÝUKA OPTIKY V MATLABU. Antonín Mikš, Jiří Novák katedra fyziky, Fakulta stavební ČVUT v Praze

VÝUKA OPTIKY V MATLABU. Antonín Mikš, Jiří Novák katedra fyziky, Fakulta stavební ČVUT v Praze VÝUKA OPTIKY V MATLABU Antonín Mikš, Jiří Novák katedra fyziky, Fakulta stavební ČVUT v Praze 1. Úvod Optika je vědní obor zabývající se vznikem, šířením, interakcí s látkou a detekcí optického záření

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění

Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 23 2-4-3 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t

Více

Měření rozložení optické intenzity ve vzdálené zóně

Měření rozložení optické intenzity ve vzdálené zóně Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: 1 1 5 Měření rozložení optické intenzity ve vzdálené zóně Measurement of the optial intensity distribution at the far field Jan Vitásek 1, Otakar Wilfert, Jan

Více

SCLPX 07 2R Ověření vztahu pro periodu kyvadla

SCLPX 07 2R Ověření vztahu pro periodu kyvadla Klasické provedení a didaktické aspekty pokusu U kyvadla, jakožto dalšího typu mechanického oscilátoru, platí obdobně vše, co bylo řečeno v předchozích experimentech SCLPX-7 a SCLPX-8. V současném pojetí

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

s požadovaným výstupem w(t), a podle této informace generuje akční zásah u(t) do

s požadovaným výstupem w(t), a podle této informace generuje akční zásah u(t) do Vážení zákazníci, dovolujeme i Vá upozornit, že na tuto ukázku knihy e vztahují autorká práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má loužit výhradnì pro oobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø

Více

II. Kinematika hmotného bodu

II. Kinematika hmotného bodu II Kinematika hmotného bodu Všechny vyřešené úlohy jou vyřešeny nejprve obecně, to znamená bez číel Číelné hodnoty jou doazeny až tehdy, dopějeme-li k vyjádření neznámé pomocí vztahu obahujícího pouze

Více

Násobení. INP 2008 FIT VUT v Brně

Násobení. INP 2008 FIT VUT v Brně Náobení INP 2008 FIT VUT v Brně Náobení a náobičky Při náobení číel v dvojkové outavě můžeme náobit abolutní hodnoty číel a pak doplnit do výledku znaménko, anebo raději náobit přímo číla e znaménkem.

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

11 - Regulátory. Michael Šebek Automatické řízení 2015 24-3-15

11 - Regulátory. Michael Šebek Automatické řízení 2015 24-3-15 - Regulátory Michael Šebe Automaticé řízení 5 4-3-5 Nejjednodušší regulátory Automaticé řízení - Kybernetia a robotia v jitém mylu nejjednodušší regulátor je On-Off (Bang-bang) má jen dvě možné výtupní

Více

Témata semestrálních prací:

Témata semestrálních prací: Témata semestrálních prací: 1. Balistická raketa v gravitačním poli Země zadal Jiří Novák Popište pohyb balistické rakety vystřelené ze zemského povrchu v gravitačním poli Země. Sestavte model této situace

Více

25 ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ

25 ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ 300 25 ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ Teoretický důkaz existence elektromagnetického vlnění Vlastnosti elektromagnetických vln Elektromagnetické záření - radiometrie, světlo - fotometrie Významným druhem vlnění

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Vlnově částicová dualita

Vlnově částicová dualita Vlnově částicová dualita Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Vlnění Vlněním rozumíme šíření změny nějaké veličiny prostorem. Příklady: Vlny na moři šíření změny výšky hladiny Zvukové

Více

6. Geometrická optika

6. Geometrická optika 6. Geometrická optika 6.1 Měření rychlosti světla Jak už bylo zmíněno v kapitole o elektromagnetickém vlnění, předpokládali přírodovědci z počátku, že rychlost světla je nekonečná. Tento předpoklad zpochybnil

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Návrh optické soustavy - Obecný postup

Návrh optické soustavy - Obecný postup Inovace a zvýšení atraktivity studia optiky reg. c.: CZ.1.07/2.2.00/07.0289 Přednášky - Metody Návrhu Zobrazovacích Soustav SLO/MNZS Návrh optické soustavy - Obecný postup Miroslav Palatka Tento projekt

Více

Název: Čočková rovnice

Název: Čočková rovnice Název: Čočková rovnice Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika) Tematický celek: Optika Ročník: 5. (3.

Více

4.4. Vlnové vlastnosti elektromagnetického záření

4.4. Vlnové vlastnosti elektromagnetického záření 4.4. Vlnové vlastnosti elektromagnetického záření 4.4.1. Interference 1. Charakterizovat význačné vlastnosti koherentních paprsků.. Umět definovat optickou dráhu v souvislosti s dráhovým rozdílem a s fázovým

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

ZOBRAZOVÁNÍ ODRAZEM NA KULOVÉ PLOŠE aneb Kdy se v zrcadle vidíme převrácení. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ZOBRAZOVÁNÍ ODRAZEM NA KULOVÉ PLOŠE aneb Kdy se v zrcadle vidíme převrácení. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ZOBRAZOVÁNÍ ODRAZEM NA KULOVÉ PLOŠE aneb Kd se v zrcadle vidíme převrácení PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Kulová zrcadla - jsou zrcadla, jejichž zrcadlící plochu tvoříčást povrchu koule (kulový

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

5. Studium vlastností vlnění na vodní hladině

5. Studium vlastností vlnění na vodní hladině 5. Studium vlastností vlnění na vodní hladině K demonstraci vlastností vlnění v izotropním prostředí je vhodná vodní hladina. Snadno se na ní vytvoří rozruch a jeho další šíření. Protože je voda průhledná,

Více

Název: Měření vlnové délky světla pomocí interference a difrakce

Název: Měření vlnové délky světla pomocí interference a difrakce Název: Měření vlnové délky světla pomocí interference a difrakce Autor: Doc. RNDr. Milan Rojko, CSc. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: fyzika, matematika

Více

ZOBRAZOVÁNÍ ČOČKAMI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Septima - Optika

ZOBRAZOVÁNÍ ČOČKAMI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Septima - Optika ZOBRAZOVÁNÍ ČOČKAMI Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Septima - Optika Čočky Zobrazování čočkami je založeno na lomu světla Obvykle budeme předpokládat, že čočka je vyrobena ze skla o indexu lomu n 2

Více

LEED (Low-Energy Electron Diffraction difrakce elektronů s nízkou energií)

LEED (Low-Energy Electron Diffraction difrakce elektronů s nízkou energií) LEED (Low-Energy Electron Diffraction difrakce elektronů s nízkou energií) RHEED (Reflection High-Energy Electron Diffraction difrakce elektronů s vysokou energií na odraz) Úvod Zkoumání povrchů pevných

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

DIFÚZNÍ VLASTNOSTI MATERIÁLŮ Z POHLEDU NOVÝCH TEPELNĚ TECHNICKÝCH NOREM. Petr Slanina

DIFÚZNÍ VLASTNOSTI MATERIÁLŮ Z POHLEDU NOVÝCH TEPELNĚ TECHNICKÝCH NOREM. Petr Slanina DIFÚZNÍ VLASTNOSTI MATERIÁLŮ Z POHLEDU NOVÝCH TEPELNĚ TECHNICKÝCH NOREM Petr Slanina DIFÚZNÍ VLASTNOSTI MATERIÁLŮ Z POHLEDU NOVÝCH TEPELNĚ TECHNICKÝCH NOREM Ing. Petr Slanina FSv, ČVUT v Praze, Thákurova

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Název a číslo materiálu VY_32_INOVACE_ICT_FYZIKA_OPTIKA

Název a číslo materiálu VY_32_INOVACE_ICT_FYZIKA_OPTIKA Název a číslo materiálu VY_32_INOVACE_ICT_FYZIKA_OPTIKA OPTIKA ZÁKLADNÍ POJMY Optika a její dělení Světlo jako elektromagnetické vlnění Šíření světla Odraz a lom světla Disperze (rozklad) světla OPTIKA

Více

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Harmonogram výuky předmětu Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra

Více

21 Diskrétní modely spojitých systémů

21 Diskrétní modely spojitých systémů 21 Dikrétní modely pojitýc ytémů Micael Šebek Automatické řízení 2015 29-4-15 Metoda emulace Automatické řízení - Kybernetika a robotika pojitý regulátor nazývá e také aproximace, dikrétní ekvivalent,

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Světlo v multimódových optických vláknech

Světlo v multimódových optických vláknech Světlo v multimódových optických vláknech Tomáš Tyc Ústav teoretické fyziky a astrofyziky, Masarykova univerzita, Kotlářská 2, 61137 Brno Úvod Optické vlákno je pozoruhodný fyzikální systém: téměř dokonalý

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Obr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků).

Obr. DI-1. K principu reverzibility (obrácení chodu paprsků). Učebí text k předášce UFY8 Dvojvzková tererece teké vrtvě Dvojvzková tererece teké vrtvě Předpokládejme, vl o mpltudě dvou delektrk tk, že mpltud održeé vly bude o dexu lomu bude t (vz obr. DI-1). v protředí

Více

PŘÍTECH. Smykové tření

PŘÍTECH. Smykové tření PŘÍTECH Smykové tření Gymnázium Cheb Nerudova 7 Tomáš Tomek, 4.E 2014/2015 Prohlášení Prohlašuji, že jem maturitní práci vypracoval amotatně pod vedením Mgr. Vítězlava Kubína a uvedl v eznamu literatury

Více

Geometrická optika. Optické přístroje a soustavy. převážně jsou založeny na vzájemné interakci světelného pole s látkou nebo s jiným fyzikálním polem

Geometrická optika. Optické přístroje a soustavy. převážně jsou založeny na vzájemné interakci světelného pole s látkou nebo s jiným fyzikálním polem Optické přístroje a soustav Geometrická optika převážně jsou založen na vzájemné interakci světelného pole s látkou nebo s jiným fzikálním polem Důsledkem této t to interakce je: změna fzikáln lních vlastností

Více

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny

λ, (20.1) 3.10-6 infračervené záření ultrafialové γ a kosmické mikrovlny Elektromagnetické vlny Optika, část fyziky zabývající se světlem, patří spolu s mechanikou k nejstarším fyzikálním oborům. Podle jedné ze starověkých teorií je světlo vyzařováno z oka a oko si jím ohmatává

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

2.9.14 Věty o logaritmech I

2.9.14 Věty o logaritmech I .9.1 Věty o itmech I Předpokldy: 910 Pedgogická poznámk: Tto náledující hodin e djí tihnout njednou, pokud oželíte počítání v tbulce někteé příkldy n konci příští hodiny. Přijde mi to tochu škod, nžím

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná

Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná Experimentální metody EVF II.: Mikrovlnná měření parametrů plazmatu Vypracovali: Štěpán Roučka, Jan Klusoň Zadání: Měření admitance kolíku impedančního transformátoru v závislosti na hloubce zapuštění.

Více

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY

2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE UČEBNÍ OSNOVY 2. 2 Cvičení z matematiky Časová dotace 7. ročník 1 hodina 8. ročník 1 hodina 9. ročník 1 hodina Charakteristika: Předmět cvičení z matematiky doplňuje vzdělávací

Více

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE

CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE CVIČENÍ č. 7 BERNOULLIHO ROVNICE Výtok z nádoby, Průtok potrubím beze ztrát Příklad č. 1: Určete hmotnostní průtok vody (pokud otvor budeme považovat za malý), která vytéká z válcové nádoby s průměrem

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

ZOBRAZOVÁNÍ ZRCADLY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Optika

ZOBRAZOVÁNÍ ZRCADLY. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Optika ZOBRAZOVÁNÍ ZRCADLY Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Septima - Optika Úvod Vytváření obrazů na základě zákonů optiky je častým jevem kolem nás Základní principy Základní principy Zobrazování optickými přístroji

Více

7.ročník Optika Lom světla

7.ročník Optika Lom světla LOM SVĚTLA. ZOBRAZENÍ ČOČKAMI 1. LOM SVĚTLA NA ROVINNÉM ROZHRANÍ DVOU OPTICKÝCH PROSTŘEDÍ Sluneční světlo se od vodní hladiny částečně odráží a částečně proniká do vody. V čisté vodě jezera vidíme rostliny,

Více