vektor a vrátili jiný vektor. Měli-li jsme jistou pozorovatelnou A, dostali jsme jejím změřením
|
|
- Miroslava Adéla Blažková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Operátor hustoty Popsueme-l vývo uzavřeného kvantového systému, vystačíme s většnou s pomem čstého stavu. Jedná se o vektor v Hlbertově prostoru H, který e danému kvantovému systému přdružen. Na daném Hlbertově prostoru e defnován skalární součn, my s tento budeme značt v souhlase s Dracovou notací ako. Spolu s vektory Hlbertova prostoru můžeme, č musíme, uvažovat zobrazení, která na těchto vektorech působí. Nebot se omezueme pouze na konečněrozměrné Hlbertovy prostory, představuí všechny operátory defnované na daném Hlbertově prostoru množnu omezených operátorů B(H ). Omezené operátory samotné tvoří další Hlbertův prostor, zavedeme-l na něm Hlbert-Schmdtův skalární součn následuícím způsobem. Měme dva operátory A, B B(H ), pak ech skalární součn e defnován vztahem (A, B) Tr(A B), () kde C e operátor hermtovsky sdružený k operátoru C a Tr(C) značí stopu operátoru C, vz sekc??. V prostoru můžeme dále vydělt množnu všech pozorovatelných {A B(H ) A = A} na prostoru H tvořenou hermtovským operátory. Jak bylo předesláno, dosud se pracovalo především s čstým stavy, vektory. Operátory představuící vývo systému č měření vzaly vektor a vrátl ný vektor. Měl-l sme stou pozorovatelnou A, dostal sme eím změřením na daném čstém stavu ψ číslo, které bylo vlastním číslem operátoru A a které sme nterpretoval ako výsledek měření. Pokud přtom nebyl vektor ψ vlastním vektorem pro A, obdržel sme různá čísla s různou pravděpodobností výskytu. Důležté bylo s uvědomt, že vše, co o daném stavu kvantového systému sme schopn zstt, sou průměrné hodnoty nerůzněších velčn. Výsledek edného měření na daném stavu neměl valné hodnoty. Rozlšume nyní na chvíl důsledně dva pomy, stav systému ψ a emu příslušný vektor ψ. Stavem systému máme na mysl soubor všech eho vlastností. Pro pops stavu kvantového systému tak e nezbytné uvést střední hodnoty A ψ všech pozorovatelných A na daném stavu působících. V případě stavů uzavřených systémů byla stuace ednodušší v tom, že místo vypsování všech těchto středních hodnot sme měl prostředek, ak e snadno spočítat. Tímto prostředkem byl vektor ψ, z něhož sme odpovídaící střední hodnotu pozorovatelné A obdržel vypočtením výrazu ψ A ψ, který sme prohlásl za střední hodnotu A ψ. Pokud se dal stav systému takto popsat pomocí vektoru, nazval sme ho čstým stavem. Použme analogcký postup v šrším kontextu. Opust me zažtou představu čstých stavů a defnume s stav ako zobrazení, které každé pozorovatelné přřazue reálné číslo, na které naklademe pár podmínek. Máme tedy přesně to, co chceme. Dané zobrazení vezme pozorovatelnou A a vrátí odpovídaící střední hodnotu A. Korektní defnce zní následovně. Defnce.. Stavem systému nazveme lneární funkconál S B(H ) R splňuící dodatečné podmínky:. Normalzace: S(I) =. (To est, na denttu vrátí ednčku.) 2. Poztvta: S(A A) 0, A B(H ). (To est, na každý poztvní operátor vrátí nezáporné číslo.)
2 Reszova věta říká, že pro každý lneární funkconál S nademe operátor ρ B(H ) tak, že S(A) = (ρ, A) = Tr(ρ A) pro každý A B(H ). O tomto operátoru s ukážeme, že e hermtovský a má ednotkovou stopu. Za tím účelem tedy uvažume lbovolný hermtovský operátor A = A B(H ). Využeme-l toho, že S( ) = S( ), kde značí komplexní sdružení, dostáváme Tr(ρ A) = (Tr(ρ A)) = Tr(ρA ) = Tr(ρA). Pro lbovolnou pozorovatelnou tedy platí Tr(A(ρ ρ)) = 0. Dále s uvědomme, že každý operátor Y B(H ) lze rozložt na lneární kombnac hermtovských operátorů Y a Y 2 způsobem Y = Y + Y 2, kde Y = (Y + Y )/2 a Y 2 = (Y Y )/2. Obdržel sme tak rovnost Tr(Y (ρ ρ)) = 0 pro obecný operátor Y, z čehož ž plyne ρ = ρ. Operátor ρ e tedy hermtovský. Z normalzační podmínky navíc vyplývá S(I) = Tr(ρ I) = Tr(ρ) =. Druhá defnční vlastnost nám přtom zašt ue 0 S(C) = Tr(ρC) pro všechny poztvní operátory C. Pokud zvolíme C = ψ ψ, tak Tr(ρC) = Tr(ρ ψ ψ ) = ψ ρ ψ 0 pro všechny ψ H. Operátor ρ e tedy dokonce poztvní. Defnce.2. Operátor z úvah výše se nazývá operátor hustoty, popř. matce hustoty. Nebot poztvta ž vynucue hermtovost, tak lze operátor hustoty charakterzovat ako poztvní operátor s ednotkovou stopou, t. ρ 0 a Tr(ρ) =. Z defnčních vlastností plyne, že obecný operátor hustoty lze vyádřt ve tvaru ρ = λ ψ ψ, kde λ 0, λ = a {ψ } e ortonormální báze tvořená eho vlastním vektory. Vdíme, že ač sme s stav defnoval ako stý lneární funkconál, veškerou prác se stavem daného systému lze redukovat na počítání s emu odpovídaící matcí hustoty. V následuícím budeme pomy operátor hustoty a stav volně zaměňovat. Množnu všech stavů na daném Hlbertově prostoru H označíme S(H ). Jedná se o konvexní množnu, nebot konvexní kombnace operátorů hustoty e opět operátor hustoty. Extremálním body této množny sou přtom čsté stavy, t. stavy, echž operátor hustoty e proektor ρ = ψ ψ pro něaké ψ H. Máme-l zadán operátor hustoty, ak snadno zstt, zda popsue čstý stav? Nutnou a postačuící podmínku uvádí následuící tvrzení. Věta.. Operátor hustoty ρ S(H ) popsue čstý stav právě tehdy, když Tr(ρ 2 ) =. Důkaz. Pro důkaz mplkace zleva s stačí uvědomt, že když e operátor hustoty ρ čstý stav, tak exstue vektor ψ H takový, že ρ = ψ ψ e proektor. Platí tedy ρ 2 = ρ a z normalzace operátoru hustoty hned Tr(ρ 2 ) = Tr(ρ) =. Pro důkaz opačné mplkace uvažume obecný tvar operátoru hustoty, ρ = λ ψ ψ, kde { ψ } e ortonormální báze a {λ } tvoří pravděpodobnostní rozdělení. Jednoduchým výpočty zstíme, že ρ 2 = λ 2 ψ ψ, ehož stopa zní Tr(ρ 2 ) = λ 2. Nebot e λ 0 a λ =, z podmínky Tr(ρ 2 ) = už rovnou plyne, že právě edno vlastní číslo λ 0 e ednčka a ostatní sou nuly. Kdyby tomu tak nebylo, tak by všechna nenulová vlastní čísla splňovala λ <, což mplkue λ 2 < λ. Máme tedy = λ > λ 2, což e spor s předpoklady dokazované mplkace. Celkem tak máme ρ = λ 0 ψ 0 ψ 0 = ψ 0 ψ 0 a ρ e tak čstý stav. V případě dvourozměrného Hlbertova prostoru lze operátory hustoty vyádřt pomocí Paulho matc. Paulho matce sou tř 2 2 matce tvaru σ X = ( 0 0 ), σ Y = ( 0 0 ), σ Z = ( 0 0 ). (2) 2
3 . Evoluce operátoru hustoty Operátory hustoty sou pak tvaru ρ = 2 (I + τ σ X + τ 2 σ Y + τ 3 σ Z ), kde τ = (τ, τ 2, τ 3 ) R 3 e vektor, ehož velkost e τ, nak by ρ nebyl poztvní operátor. Pro τ = popsue ρ čstý stav.. Evoluce operátoru hustoty v uzavřeném systému Výše sme uvedl, že se budeme zabývat otevřeným systémy. Uděleme na chvíl krok zpět a koukněme se, ak se operátor hustoty ρ chová v případě uzavřeného systému. Uvažume ρ(t) = λ (t) ψ (t) ψ (t) coby funkc času, kde ednotlvé bazcké vektory ψ (t) podléhaí Schrödngerově rovnc d ψ (t) = H ψ (t), (3) dt Zdervueme-l operátor hustoty ρ(t) podle času a dosadíme-l za vznklé výrazy ze Schrödngerovy rovnce, dospíváme k rovnc tvaru d ρ(t) dt = [H, ρ(t)] L(ρ(t)), (4) kde sme s defnoval zobrazení L B(H ) B(H ), ež se nazývá Louvlleův operátor. Jedná se o anthermtovský lneární superoperátor zachovávaící stopu (vz pozdě). Právě uvedenou rovnc budeme moc porovnat s evoluční rovncí obecného operátoru hustoty, až budeme studovat vývo otevřených systémů. Časový vývo operátoru hustoty lze explctně v případě uzavřeného systému vyádřt ve tvaru ρ(t) = U(t) ρ(0) U (t), (5) kde U(t) e ednoparametrcký systém stých untárních operátorů. Stále platí, že časovým vývoem přede čstý stav opět na čstý stav. U otevřených systémů už vývo stavu nepůde popsat pomocí untárního operátoru tímto způsobem..2 Pops složeného systému Velm důležtým konceptem v kvantové teor e poem složeného systému. Každému kvantovému systému e přdružen Hlbertův stavový prostor H. V axomatckém přístupu kvantové teore se postulue, že Hlbertův prostor systému složeného ze systémů A a B e roven tenzorovému součnu H = H A H B Hlbertova prostoru H A systému A a Hlbertova prostoru H B systému B. Množna všech omezených operátorů na prostoru složeného systému e přtom rovna B(H ) = B(H A H B ) = B(H A ) B(H B ). Víme tedy, ak ze dvou systémů udělat systém eden, akým postupem ale postupovat v opačném směru? Měme operátor hustoty ρ popsuící společný stav podsystémů A a B. Jak vypadá stav podsystému A samotného? Kdybychom ako ρ A označl stav samotného podsystému A, platla by pro lbovolnou pozorovatelnou M A působící pouze na podsystému A samozřemá rovnost M A ρa = Tr(ρ A M A ). Nebot pozorovatelná M A nak neovlvňue podsystém B, měla by platt rovnost vztažená k celému systému M A ρa = Tr(ρM), kde ρ e stav celého systému a M e pozorovatelná M A 3
4 .3 Schmdtův rozklad chápaná ako operátor na celém systému. Dohromady tedy Tr(ρM) = Tr(ρ A M A ). Pokud e celkový stav faktorzovaného tvaru ρ = ρ A ρ B, e zřemě M = M A I. Rovnost středních hodnot e pak splněna, nebot Tr(ρM) = Tr((ρ A ρ B )(M A I)) = Tr(ρ A M A ) Tr(ρ B ) = Tr(ρ A M A ). Exstue ný tvar vyma M = M A I? Pro všechny ρ A a ρ B musí být splněno Tr((ρ A ρ B ) M) = Tr((ρ A ρ B ) (M A I)), to znamená Tr((ρ A ρ B ) (M M A I)) = 0. Žádný ný tvar operátoru M ž tedy neexstue. Pro faktorzovaný stav systému ρ = ρ A ρ B, kde M A e pozorovatelná na podsystému A, e odpovídaící pozorovatelná M působící na celém systému tvaru M = M A I. Nebot e množna faktorzovaných stavů totální v prostoru operátorů, platí získaný výsledek pro všechny stavy ρ. Musí tedy platt Tr(ρ A M A ) = Tr(ρ(M A I)). Rozepíšeme-l s stopu explctně v ortonormální báz { (A) (B) }, dostáváme Tr(ρ(M A I)) = (A) (B) (ρ(m A I)) (A) (B) = (A) ( (B) ρ (B) )M A (A). Když s označíme ρ A = (B) ρ (B), e poslední výraz roven (A) ρ A M A (A) = Tr(ρ A M A ), kde nyní de stopa ž en přes podsystém A. Defnce.3. Vzorec (B) ρ (B), kterým sme v předchozím odstavc zavedl operátor ρ A, nazýváme částečná stopa operátoru ρ přes podsystém B (angl. partal trace over subsystem B) a značíme Tr B (ρ). Nebol ρ A = (B) ρ (B) = Tr B (ρ). (6) Dobrá, máme zavedený operátor ρ A, který splňue požadovanou rovnost středních hodnot, aký vztah má ale tento operátor ke skutečnému systému A? Ukážeme, že e tento operátor určen ednoznačně. K danému podsystému tedy exstue právě eden operátor schopný konzstentně popsovat střední hodnoty lbovolných pozorovatelných na tomto podsystému. Pro spor necht exstue něaký ný operátor ρ A, pro něž Tr(M A ρ A ) = Tr(Mρ). Tento operátor lze rozložt do báze prostoru B(H A ) tvořené hermtovským operátory {B }. Dostáváme tak rozvo do Fourerových koefcentů způsobem ρ A = B (B, ρ A ) = B Tr(B ρ A ) = B Tr((B I)ρ) = B Tr(B ρ A ) = ρ A, (7) což e spor. Operátor ρ A e tedy určen ednoznačně a můžeme ho nterpretovat ako stav podsystému A. Poznameneme eště důležtou věc, že nformace obsažená ve stavech ednotlvých podsystémů není schopna v obecném případě reprodukovat stav celého systému. Pokud mez oběma podsystémy exstuí korelace, provedením částečné stopy tyto korelace z popsu systému vypadnou..3 Schmdtův rozklad Př prác se stavy př důkazech nerůzněších tvrzení e velm užtečné následuící tvrzení, díky kterému lze každý čstý stav vyádřt v stém pěkném tvaru. Tomuto vyádření se říká Schmdtův rozklad (angl. Schmdt decomposton). 4
5 .3 Schmdtův rozklad Věta.2. Schmdtův rozklad. Necht ψ H A H B e čstý stav. Pak exstue ortonormální báze { e (A) } prostoru H A a ortonormální báze { f (B) } prostoru H B takové, že ψ = d = α e (A) f (B), (8) kde d = mn{dm H A, dm H B }. Koefcenty α = (α,..., α d ) lze navíc vždy volt ako nezáporná čísla splňuící rovnost α = ψ. Důkaz. Uvažume stav podsystému A, ρ A = Tr B ( ψ ψ ). Tento lze stě rozložt do ortonormální báze vlastních vektorů, ρ A = α 2 e(a). Vlastní čísla operátoru ρ A lze psát ve tvaru kvadrátu, nebot sou díky poztvtě operátoru nezáporná. Dále určtě můžeme vyádřt vektor ψ ve tvaru ψ = e (A) ϕ (B), kde ϕ (B) sou něaké vhodné vektory z prostoru H B. Pak platí ρ A = Tr B ( ψ ψ ) = Tr B ( e (A) ϕ (B) ϕ (B) ) = e (A) Tr( ϕ (B) ϕ (B) ). Využeme-l vztahu Tr( a b ) = b a, redukue se poslední výraz na e (A) ϕ (B) ϕ (B). Tento výsledek můžeme porovnat s prvním vyádřením operátoru ρ A uvedeným výše, abychom shrnul ϕ (B) ϕ (B) = α 2δ. Vektory { ϕ (B) } sou tedy navzáem kolmé a po vhodném přeškálování z nch můžeme vytvořt ortonormální báz f (B) = α ϕ (B). Vektor ψ lze tak psát ve tvaru ψ = α e (A) f (B), což bylo dokázat. Defnce.4. Koefcentům α,..., α d v rozkladu (8) se říká Schmdtovy koefcenty. Počet nenulových Schmdtových koefcentů ve Schmdtově rozkladu se nazývá Schmdtovo číslo č Schmdtova hodnost (angl. Schmdt number č Schmdt rank). Schmdtovu hodnost stavu ρ budeme označovat symbolem rank ρ. Nevětším rozdílem mez obecným rozkladem operátoru a eho Schmdtovým rozkladem e v tom, že ve druhém menovaném sčítáme en přes eden ndex, ke každému bazckému vektoru prostoru H A přísluší právě eden bazcký vektor prostoru H B. Ze Schmdtova rozkladu lze však vyčíst daleko více. Například vezmeme-l s vektor ψ ve vyádření (8), eho redukované stavy sou tvarů ρ A = α 2 e(a) a ρ B = α 2 (B) f f (B). Operátory hustoty obou podsystémů maí tedy stené spektrum! V souvslost se Schmdtovým rozkladem e užtečné uvést následuící proceduru. Poznámka.. Uvažume něaký systém A s operátorem hustoty ρ A = α 2 e e H A, který není obecně čstý. Potom ke studovanému systému A lze uměle přdat pomocný systém B o Hlbertově prostoru H B tak, že exstue čstý stav ψ H A H B splňuící ρ A = Tr B ( ψ ψ ). Jným slovy, ke každému operátoru hustoty ρ A z prostoru H A lze naít čstý stav ψ v prostoru H A H B tak, že ρ A lze nterpretovat ako stav podsystému A, kdy se přtom celý systém A + B nachází v čstém stavu ψ. Prostoru H B se v anglčtně říká anclla a eho dmenz lze položt rovnou Schmdtově číslu operátoru ρ A, t. dm H B = rank ρ A. Využívaíce postupu př důkazu předchozí věty lze zevně položt ψ = α e f, kde { f } e něaká ortonormální báze prostoru H B. 5
6 .4 Klasfkace stavů podle korelací Právě popsané matematcké hříčce vhodně přdávaící pomocný systém k původní úloze se říká purfkace č vyčšt ování (angl. purfcaton). Pro znalé přpomínáme, že právě uvedená purfkace (stavů) nemá nc společného s purfkací provázání. Poznámka.2. Monogame stavů : Čsté stavy nemohou být korelovány s ným systémem. Měme složený systém A + B ve stavu ρ S(H A H B ), přčemž stav podsystému A necht e čstý, Tr B (ρ) = ρ A = ψ ψ pro sté ψ H A. Pak stav tohoto podsystému nevykazue žádné korelace se stavem systému B. Důvod e následuící. Vzhledem k předchozí poznámce můžeme vždy zavést pomocný systém C a naít vektor ω H A H B H C tak, že Tr C ( ω ω ) = ρ. Tento vektor e tedy purfkací stavu ρ, současně e ale purfkací stavu ψ. To lze en tak, že ω = ψ ϕ BC pro sté ϕ BC H B H C. Celkem tedy ρ = Tr C ( ω ω ) = ψ ψ Tr C ( ϕ BC ϕ BC ). Vdíme tedy explctně, že stav složeného systému A + B e ve faktorzovaném tvaru, enž nepřpouští žádné korelace mez oběma podsystémy..4 Klasfkace stavů podle korelací Uvažume dva Hlbertovy prostory H a H 2 a množnu stavů defnovaných na ech tenzorovém součnu, S(H H 2 ). Tuto množnu lze rozdělt na podmnožny tvořené vždy stavy, echž tvar e podobný co do ech přípravy a kvantových vlastností. Základní dělení na čsté a smíšené stavy sme ž nastínl v předchozích sekcích, následuící seznam uvádí další podpřípady. Smíšené stavy Odpovídaící operátor hustoty není proektor. Faktorzované stavy Stav ρ e faktorzovaný, pokud lze zapsat ve tvaru tenzorového součnu ρ = ρ ρ 2, kde ρ S(H ). Tyto stavy zřemě tvoří podmnožnu separablních stavů. Separablní stavy Stav ρ e separablní, pokud lze zapsat ve tvaru sumy faktorzovaných stavů ρ = α ρ () ρ () 2, kde ρ() S(H ), ρ () 2 S(H 2 ) a {α } tvoří pravděpodobnostní rozdělení, t. α > 0 a α =. Takovýmto stavům se také říká statstcké směs č klascky korelované stavy. Korelace v měřeních na takovýchto stavech lze totž popsat čstě klascky, žádné kvantové efekty není třeba uvažovat. V tom se tato rodna stavů zásadně lší od té následuící tvořené provázaným stavy. Obecný tvar separablního stavu se zdá být dost obecný. Naprosto lbovolný operátor lze rozložt do tvaru A = α E F, kde {E } e ortonormální báze v B(H ) a podobně {F } e ortonormální báze v B(H 2 ). Nedůležtěší rozdíl tohoto obecného případu od případu separablních stavů e v tom, že nyní operátory E a F samotné museí být operátory hustoty. Provázané stavy Všechny stavy, které nesou separablní, se nazývaí provázané. Tyto stavy vykazuí čstě kvantové korelace, které lze využít př kvantovém počítání. Kvantové korelace se slně využívaí například v případě kvantové teleportace. Čsté stavy Odpovídaící operátor hustoty e proektor. 6
7 .4 Klasfkace stavů podle korelací Neprovázané stavy Čstý stav ψ e neprovázaný, pokud lze zapsat ve tvaru ψ = ψ ψ 2. Vdíme, že se edná o analog faktorzovaných stavů ve smíšeném případě. Na druhou stranu, vektor, který bychom vyádřl analogcky případu separablních smíšených stavů, ž nebude čstý. Zbývaí nám tak ž pouze provázané stavy. Provázané stavy Čstý stav ψ e provázaný, pokud není neprovázaný. Obecně e tedy tvaru ψ = α e f, vz (8). Stav ψ e přtom provázaný právě tehdy, když má alespoň dva nenulové koefcenty α, t. rank ψ 2. Z množny provázaných stavů se vyděluí maxmálně provázané stavy Ω. Jedná se o stavy, pro něž sou stavy podsystémů maxmálně smíšené. Jným slovy, čstý stav Ω e maxmálně provázaný právě tehdy, když ρ Tr 2 ( Ω Ω ) = d I a ρ 2 Tr ( Ω Ω ) = d 2 I 2. Ze Schmdtova rozkladu plyne d = d 2 = d, maxmálně provázaný stav e tedy tvaru Ω = d e f. 7
Otevˇ ren e kvantov e syst emy 02OKS 8. ledna 2019
Otevřené kvantové systémy 02OKS 8. ledna 2019 OBSAH OBSAH Obsah 1 Přehled značení 2 2 Úvod 3 2.1 Vývo v uzavřeném kvantovém systému....................... 4 3 Operátor hustoty 5 3.1 Evoluce operátoru hustoty...............................
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regulární systém hustot Vychází se z: -,, P - pravděpodobnostní prostor -, R neprázdná množna parametrů - X X 1,, náhodný vektor s sdruženou hustotou X n nebo s sdruženou pravděpodobnostní
VíceSÍŤOVÁ ANALÝZA. Základní pojmy síťové analýzy. u,. Sjednocením množin { u, u,..., 2. nazýváme grafem G.
SÍŤOVÁ ANALÝZA Využívá grafcko-analytcké metody pro plánování, řízení a kontrolu složtých návazných procesů. yto procesy se daí rozložt na dílčí a organzačně spolu souvseící čnnost. yto procesy se nazývaí
VíceEKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY
. přednáška EKONOMICKO-MATEMATICKÉ METODY Ekonomcko matematcké metody (též se užívá název operační analýza) sou metody s matematckým základem, využívané především v ekonomcké oblast, v oblast řízení a
Více1. Úvod. Cílem teorie her je popsat situaci, která nás zajímá, jako hru. Klasickým případem
Kvaternon 2/204, 79 98 79 MATICOVÉ HRY V INŽENÝRSTVÍ JAROSLAV HRDINA a PETR VAŠÍK Abstrakt. Následuící text pokrývá eden z cyklů přednášek předmětu Aplkovaná algebra pro nženýry (0AA) na FSI VUT. Text
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Příklad 1 Řešte na množně reálných čísel rovnc: x + = 0. x = Rovnce nemá v R řešení. Taková jednoduchá rovnce a nemá na množně reálných čísel žádné řešení! Co s tím? Zavedeme tzv. magnární
Více1. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů 1.1. Motivace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrické matice 1 1 A = 1 2.
. Spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.. Motvace Vlastní čísla a vlastní vektory symetrcké matce A = A λe = λ λ = λ 3λ + = λ 3+ λ 3 Vlastní čísla jsou λ = 3+, λ = 3. Pro tato vlastní čísla nalezneme
Více2 ÚVOD DO TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2.1 Náhodný jev. π, které je třeba co nejpřesněji a nejúplněji vymezit, a k nimž je třeba výsledky pokusu a
ÚVOD DO TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI.1 Náhodný ev Tato kaptola uvádí souhrn základních pomů a postupů teore pravděpodobnost, které se uplatňuí př rozboru spolehlvost stavebních konstrukcí a systémů. Výklad
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 000/00 Michal Marvan 3. Matice lineárního zobrazení V této přednášce budeme používat indexy dvoího druhu:
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019
Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete
VíceVícekriteriální rozhodování. Typy kritérií
Vícekrterální rozhodování Zabývá se hodnocením varant podle několka krtérí, přčemž varanta hodnocená podle ednoho krtéra zpravdla nebývá nelépe hodnocená podle krtéra ného. Metody vícekrterálního rozhodování
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceObsah přednášky 1. Bayesův teorém 6. Naivní Bayesovský klasifikátor (NBK)
Obsah přednášky 1. Bayesův teorém 2. Brutální Bayesovský klasfkátor (BBK) 3. Mamální aposterorní pravděpodobnost (MA) 4. Optmální Bayesovský klasfkátor (OBK) 5. Gbbsův alortmus (GA) 6. Navní Bayesovský
VíceLectureV. April 18, celou historii vývoje škálovacího faktoru a Hubleovy konstanty. Otázkou je, jak určit množství hmoty ve vesmíru.
LectureV Aprl 18, 2016 1 Temná hmota V předchozích lekcích sme ukázal, že pokud známe celkové množství hmoty ve vesmíru a eí složení, známe celou hstor vývoe škálovacího faktoru a Hubleovy konstanty. Otázkou
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
Víceρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů)
Učební text k přednášce UFY Světlo v izotropním látkovém prostředí Maxwellovy rovnice v izotropním látkovém prostředí: B rot + D rot H ( r, t) div D ρ rt, ( ) div B a materiálové vztahy D ε pro dielektrika
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceZÁKLADY GEOMETRIE KŘIVEK A PLOCH
ZÁKLADY GEOMETRIE KŘIVEK A PLOCH Povzoní studní mateál - - Křvky v toozměném postou Úvod E - toozměný eukldovský posto s pevně zvolenou katézskou soustavou P e e V - eho zaměření D Nechť J R Zobazení X
VíceAPLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU
APLIKACE MATEMATICKÉHO PROGRAMOVÁNÍ PŘI NÁVRHU STRUKTURY DISTRIBUČNÍHO SYSTÉMU APPLICATION OF MATHEMATICAL PROGRAMMING IN DESIGNING THE STRUCTURE OF THE DISTRIBUTION SYSTEM Martn Ivan 1 Anotace: Prezentovaný
VíceEnergie elektrického pole
Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný
Víceu (x i ) U i 1 2U i +U i+1 h 2. Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami bud přímo
Metoda sítí základní schémata h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = j... hodnota přblžného řešení v uzlu (x,y j ) (Possonova rovnce)
VíceKorelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d
Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceVYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ U ENÍ TECHNICKÉ V BRN BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS MATEMATICKÝ MODEL ROZPO TU MATHEMATICAL
VíceSVD rozklad a pseudoinverse
SVD rozklad a pseudoinverse Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 12 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 19.12.2016: SVD rozklad a pseudoinverse 1/21 Cíle
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceNumerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První
Numercká matematka 1 Parabolcké rovnce Budeme se zabývat rovncí t = D u x (1) tato rovnce určuje chování funkce u(t, x), která závsí na dvou proměnných. První proměnná t mívá význam času, druhá x bývá
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor Lbor Žák SP Náhodý vektor Lbor Žák Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor
SP Náhodý vektor PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Náhodý vektor SP Náhodý vektor Náhodý vektor Náhodý vektor slouží k popsu výsledku pokusu kdy měříme více údaů o procesu. Před provedeím pokusu eho výsledek a
VíceRelativistická kvantová mechanika
Relatvstcká kvantová mechanka Mchal Lenc Poznámky k přednášce v jarním semestru Obrazy Postulát o kvantové kausaltě Evoluční operátor 3 Schrödngerův a Hesenbergův obraz 3 4 Interakční obraz4 Relatvta a
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceIvana Linkeová SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE. 2 NURBS reprezentace křivek
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Ivana Lnkeová SPECIÁLNÍ PŘÍPADY NURBS REPREZENTACE Abstrakt Příspěvek prezentuje B-splne křvku a Coonsovu, Bézerovu a Fergusonovu kubku jako specální případy
VíceRekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce
Rekonstrukce křivek a ploch metodou postupné evoluce Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz Přehled Evoluce křivek princip evoluce použití evoluce křivky ve
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceANALÝZA ROZPTYLU (Analysis of Variance ANOVA)
NLÝZ OZPYLU (nalyss of Varance NOV) Používá se buď ako samostatná technka, nebo ako postup, umožňuící analýzu zdroů varablty v lneární regres. Př. použtí: k porovnání středních hodnot (průměrů) více než
VíceANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN
ANALÝZA VZTAHU DVOU SPOJITÝCH VELIČIN V dokumentu 7a_korelacn_a_regresn_analyza jsme řešl rozdíl mez korelační a regresní analýzou. Budeme se teď věnovat pouze lneárnímu vztahu dvou velčn, protože je nejjednodušší
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceSoftwarová podpora matematických metod v ekonomice a řízení
Softwarová podpora matematckých metod v ekonomce a řízení Petr Sed a Opava 2013 Hrazeno z prostředků proektu OPVK CZ.1.07/2.2.00/15.0174 Inovace bakalářských studních oborů se zaměřením na spoluprác s
VíceNáhodným (stochastickým) procesem nazveme zobrazení, které každé hodnotě náhodnou veličinu X ( t)
MARKOVOVY PROCESY JAKO APARÁT PRO ŘEŠENÍ SPOLEHLIVOSTI VÍCESTAVOVÝCH SYSTÉMŮ Náhodné rocesy Náhodným (stochastckým) rocesem nazveme zobrazení, které každé hodnotě náhodnou velčnu X ( t). Proměnná t má
Více6.1.2 Operace s komplexními čísly
6.. Operace s komplexními čísly Předpoklady: 60 Komplexním číslem nazýváme výraz ve tvaru a + bi, kde a, b jsou reálná čísla a i je číslo, pro něž platí i =. V komplexním čísle a + bi se nazývá: číslo
VícePomocné texty pro přípravu ke státním zkouškám
Pomocné texty pro přípravu ke státním zkouškám Jndřch Klapka, Vítězslav Ševčík 1. března 2014 15 Lneární programování, smplexová metoda, způsoby převádění optmalsačního problému na kanoncký tvar (Zde e
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více3 VYBRANÉ MODELY NÁHODNÝCH VELIČIN. 3.1 Náhodná veličina
3 VBRANÉ MODEL NÁHODNÝCH VELIČIN 3. Náhodná velčna Tato kaptola uvádí stručný pops vybraných pravděpodobnostních modelů spojtých náhodných velčn s důrazem na jejch uplatnění př rozboru spolehlvost stavebních
VíceProcesy paralelně komunikujících gramatických systé mů
Procesy paralelně komunkuících gramatckých systé mů Pokroč lá témata z teoretckénformatky á věrečný proekt Autor: Ivan chwarz Abstrakt: Tato prá ce se zabý vá paralelně komunkuícím gramatcký m systé my
VíceStatistická energetická analýza (SEA)
Hladna akustckého tlaku buzení harmonckou slou [db] Statstcká energetcká analýza (SA) V současné době exstue řada způsobů, ak řešt vbroakustcké problémy. odobně ako v ných odvětvích nženýrství, také ve
VíceDále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní. p i1 i 2
4 Markovovy řetězce se nazývá Markovův řetě- Defnce 7 Posloupnost celočíselných náhodných velčn {X n } zec (markovský řetězec), jestlže P(X n+ = j X n = n,, X 0 = 0 ) = P(X n+ = j X n = n ) (7) pro každé
Více1. Nejkratší cesta v grafu
08. Nekratší cesty. Úloha obchodního cestuícího. Heurstky a aproxmační algortmy. Metoda dynamckého programování. Problém batohu. Pseudopolynomální algortmy 1. Nekratší cesta v grafu - sled e lbovolná posloupnost
VíceMatematické modelování ve stavební fyzice
P6 - Numercké řešení vedení tepla ve stěně Obsa: Stěna z omogennío materálu Stěna z různýc materálů Okraové podmínky Dvorozměrné vedení tepla Rovnce vedení tepla Rovnce kontnuty (v 1D) dq qcd, x qcd, x
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
VíceNerovnovážná termodynamika
erovnovážná termodynamka Fázový prostor Dmenze 6 Bod ve ázovém prostoru ( phase pont ) ednoznačně určue dynamku systému pohybue se Soubor podmnožna ázového prostoru Hustota bodů ve ázovém prostoru: rakce
Více{ } SYNTÉZA TABULEK PŘECHODŮ 1. NEALGEBRAICKÉ METODY
SNTÉZA TABULEK PŘECHODŮ. NEALGEBRAICKÉ METOD a) GINSBURGOVA METODA Využívá tzv. korespondencí mez vstupním a výstupním slovem př dané vstupní a výstupní abecedě. Jnak řečeno, vyhodnocuí se ednotlvé odezvy
VíceDefinice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VícePružnost a plasticita II
Pružnost a plastcta II 3 ročník bakalářského studa doc Ing Martn Kresa PhD Katedra stavební mechank Řešení pravoúhlých nosných stěn metodou sítí Statcké schéma nosné stěn q G υ (μ) h l d 3 wwwfastvsbcz
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceVyužití logistické regrese pro hodnocení omaku
Využtí logstcké regrese pro hodnocení omaku Vladmír Bazík Úvod Jedním z prmárních proevů textlí e omak. Jedná se o poct který vyvolá textle př kontaktu s pokožkou. Je to ntegrální psychofyzkální vlastnost
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Defnce pravděpodobnost 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematckých struktur a algortmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou determnstcké procesy, které se
Více11 Základy analytické statiky
Zákady anaytcké statky Ve všech dřívěších kaptoách sme rovnce statcké rovnováhy heda ze vztahů mez sovým účnky t. heda sme případy pro které by vektorový součet s a ech momentů roven nue t. heda sme řešení
VíceÚloha syntézy čtyřčlenného rovinného mechanismu
Úloha syntézy čtyřčlenného rovnného mechansmu Zracoval: Jaroslav Beran Pracovště: Techncká unverzta v Lberc katedra textlních a ednoúčelových stroů Tento materál vznkl ako součást roektu In-TECH 2, který
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceU. Jestliže lineární zobrazení Df x n n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ
ASYMPTOTICKÉ VLASTNOSTI ODHADŮ S MINIMÁLNÍ KOLMOGOROVSKOU VZDÁLENOSTÍ Bc. Jtka Hanousková 1 Abstrakt: Příspěvek se zabývá postačujícím podmínkam pro konzstenc odhadů s mnmální Kolmogorovskou vzdáleností
VíceŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB. Vladimír Hanta 1, Ivan Gros 2
ŘEŠENÍ PROBLÉMU LOKALIZACE A ALOKACE LOGISTICKÝCH OBJEKTŮ POMOCÍ PROGRAMOVÉHO SYSTÉMU MATLAB Vladmír Hanta 1 Ivan Gros 2 Vysoká škola chemcko-technologcká Praha 1 Ústav počítačové a řídcí technky 2 Ústav
VíceNeurčitost a provázanost kvantový svět
Pavel Cejnar Ústav částcové a jaderné fyzky MFF UK Přednáška 6 Neurčtost a provázanost kvantový svět Fyzka jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze, letní semestr 5 Q-svět Nanofyzka Fyzka kondenzované
VíceCvičení 13 Vícekriteriální hodnocení variant a vícekriteriální programování
Cvčení 3 Vícekrterální hodnocení varant a vícekrterální programování Vícekrterální rozhodování ) vícekrterální hodnocení varant konkrétní výčet, seznam varant ) vícekrterální programování varanty ve formě
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
Více11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
VíceMaticová exponenciála a jiné maticové funkce
Matcová exponencála a jné matcové funkce Motvace: Jž víte, že řešením rovnce y = ay, jsou funkce y(t = c e at, tj exponencály Pro tuto funkc platí, že y(0 = c, tj konstanta c je počáteční podmínka v bodě
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceReprezentace přirozených čísel ve Fibonacciho soustavě František Maňák, FJFI ČVUT, 2005
Reprezentace přirozených čísel ve ibonacciho soustavě rantiše Maňá, JI ČVUT, 2005 Úvod Ja víme, přirozená čísla lze vyádřit různými způsoby Nečastěi zápisu čísel používáme soustavu desítovou, ale umíme
VíceMANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ
MANAŽERSKÉ ROZHODOVÁNÍ Téma 14 POSUZOVÁNÍ A HODNOCENÍ VARIANT doc. Ing. Monka MOTYČKOVÁ (Grasseová), Ph.D. Unverzta obrany Fakulta ekonomka a managementu Katedra voenského managementu a taktky Kouncova
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VícePROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO
PROBLEMATIKA INTELIGENTNÍHO AUTOMATICKÉHO MAPOVÁNÍ WEBOVÝCH STRÁNEK ŘIMNÁČ MARTIN 1, ŠUSTA RICHARD 2, ŽIVNŮSTKA JIŘÍ 3 Katedra řídcí technky, ČVUT-FEL, Techncká 2, Praha 6, tel. +42 224 357 359, fax. +
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 10. Rozhodování při jistotě, riziku a neurčitosti
Teore her a ekonomcké rozhodování 10. Rozhodování př stotě, rzku a neurčtost 10.1 Jednokrterální dskrétní model Jednokrterální model rozhodování: f a ) max a Aa, a,..., a ( 1 2 f krterální funkce (zsk,
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska
Více2. prosince velikosti symboly a, b, je b ω a b = a b cosω (1) a. ω pro ω π/2, π platí a b = b a a (3) a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 (5)
Vektorové prostory se skalárním součinem 2. prosince 25 1 Skalární součin geometrických vektorů Skalární součin geometrických vektorů je definován jako součin jejich velikostí násobený kosinem jejich odchylky.
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Více