6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.
|
|
- Simona Horáčková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové mechanice Už víme, jaké všechny hodnoty můžeme s takovým přístrojem naměřit, dokonce jsme se minule věnovali tomu, že vlastní funkce operátoru energie jsou pro časově nezávislý potenciál tzv stacionární stavy Ale, stále jsme v poněkud flustrující situaci, kdy máme měřící přístroj, víme jaké hodnoty dokáže změřit, ale nevíme jak s ním měřit To nyní napravíme A dále: dosud jsme se dívali odděleně na pozorovatelné veličiny Rychlost, hybnost, energie V přednášce 4: okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří proměnných Měříme tedy nějaké pozorovatelné veličiny (např energii a další) Viděli jsme v předchozích přednáškách že jedné hodnotě vlastního čísla (v případě harmonického oscilátoru energie) může odpovídat odpovídat více různých vlnových funkcí (3D HO) Jak tedy určit stav kvantové částice úplně, bez jakékoli nejistoty? Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně (SKM, cv 37)? V analogii s klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu kvantové částice, např elektronu, bylo zjistit, jakou komplexní funkcí popsat stav s danou polohou a hybností Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje Důvod je zhruba řečeno ten, že měření hybnosti změní podstatně polohu kvantové částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např experimentálně potvrzené difrakci elektronů) Problém popisu kvantových systémů spočívá v odpovědi na otázku: Jakými měřeními lze popsat stav kvantové částice? Stavem fyzikálního systému pak obecně budeme nazývat soubor hodnot všech měření, která jsme na daném systému v daném okamžiku schopni provést a otázka, kterou chceme zodpovědět v této podkapitole zní: Jakou vlnovou funkci přiřadit fyzikálnímu systému (např elektronu v atomu vodíku), který je v daném okamžiku v nějakém stavu? Když jde o určení stavu nějakého kvantové částice, musíme nejprve změřit její vlastnosti a z nich pak určit stav Minulá přednáška: (stacionární) stav jednorozměrného HO je popsán vlastní funkcí operátoru energie příslušnou vlastnímu číslu odpovídajícímu energii HO Znovu si připomeňme, že ze znalosti stavu kvantové částice (to jest její vlnové funkce) v čase t 0 už známe její budoucí vývoj (stav v libovolném čase t) díky tomu, že Schrödingerova rovnice je prvního řádu v čase Když jde o provádění měření, kvantová fyzika má postuláty, které ve stručnosti říkají následující: 47
2 1 Výsledek měření pozorovatelné A může být pouze vlastní hodnota příslušného Hermitovského operátoru A Stav kvantové částice, pro kterou naměříme hodnotu α pozorovatelné A je popsán funkcí g, která je vlastní funkcí operátoru A, přiřazeného pozorovatelné A g = g A (70) Pokud byl systém před změřením hodnoty ve stavu g, který NENÍ vlastním vektorem operátoru A, pak se měřením dostane do stavu g 3 Pokud je systém před měřením ve stavu g, který je vlastním vektorem operátoru A, pak je výsledek měření se 100% jistotou Jinak viz, (71) popř (7) Pro úplnost zde uvádím plné znění kvantově mechanických postulátů (QMCA) Postulát [P3] Měření a vlastní stavy operátorů: Měření pozorovatelné veličiny A je formálně vyjádřeno jako na stavový vektor Jediný možný výsledek takového měření je jedna z vlastních působení operátoru A Pokud je výsledek měření, stav systému okamžitě po měření je dán projekcí funkce hodnot operátoru A na vlastní vektor g příslušný vlastnímu číslu (QMCA, s 158 přesná definice projekce) Postuát [P4] Pravděpodobnostní charakter výsledku měření Diskrétní spektrum: Pokud měříme pozorovatelnou A systému, který je ve stavu, pravděpodobnost je dána změření nedegenerované vlastní hodnoty příslušného operátoru A g, P = (71), A příslušející vlastní hodnotě Pokud je vlastní hodnota kde g je vlastní vektor operátoru m-násobně degenerovaná, vztah pro P se změní na m g j, (7) P = j=1, Akt měření změní stav systému z na g Pokud je již před měřením stav systému vlastní funkcí =g operátoru A, měření A dá s jistotou příslušnou vlastní hodnotu, neboť A = Spojité spektrum: Vztahy (71), (7), které platí pouze pro diskrétní spektrum, mohou být rozšířeny pro vyprodukuje hodnotu mezi a a a da pro systém, nalezení hustoty pravděpodobnosti že měření A který je původně ve stavu následovně: d P a a = = da, a a ' da ' ; (73) například P= pravděpodobnost 1, nalezení částice mezi x a x x je dána x x x dx x Je důležité, že vlastní funkce operátorů tvoří bázi! Jsme si jisti, že na stavu nějakou hodnotu změříme, tedy pro součet pravděpodobností přes všechna vlastní čísla platí (všechna vlastní čísla): P =1 Pokud by vlastní funkce netvořili bázi, mohlo by se stát, že A 48
3 , pak by ale součet pravděpodobností byl roven nule, nenaměřili g, =0 A bychom žádnou přípustnou hodnotu V teorémech P3, P4 je kvantifikována invazivnost měření Měření mění stavovou funkci, pokud ta (náhodou) zrovna není vlastní funkcí operátoru, kterým měříme V případě jednorozměrného HO jsou vlnové funkce určeny jednoznačně vlastním číslem (až na multiplikativní konstantu, která nemá při jejich interpretaci žádný význam) To znamená, že stavy kvantového lineárního HO jsou jednoznačně určeny svou energií Pro určení stavu kvantové částice ve více rozměrech však potřebujeme měřit více fyzikálních veličin Při jejich výběru je třeba být daleko opatrnější než u částice klasické Je představitelné, že i minimální interakce mikroobjektu s přístroji nutná pro měření může změnit jeho stav, který byl vyhodnocen z měření předchozích Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v jakém měření jednotlivých veličin provedeme, což je z hlediska popisu stavu nepřípustné Pro experimentální popis stavu kvantového systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze provést, aniž by výsledek jednoho znehodnotil platnost měření ostatních Fyzikální veličiny pozorovatelné, pro které je toto splněno nazýváme kompatibilní Jejich výsledky provedené v jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů) lze pak použít k definici stavu Při důkladnějším rozboru pojmu kompatibility pomocí podmíněných pravděpodobností (viz SKM) lze ukázat, že požadavek kompatibility pozorovatelných je ekvivalentní tomu, že operátory A j přiřazené kompatibilním fyzikálním veličinám A 1,, A K vzájemně komutují Pro operátory s čistě bodovými spektry plyne z této podmínky existence ortonormální baze, jejíž prvky jsou (společné) vlastní vektory operátorů všech operátorů A 1,, A K (viz kapitola Vlatní hodnoty a vlastní funkce operátorů ) Tento požadavek zpětně klade podmínky na kompatibilitu některých pozorovatelných Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme operátory (44) a (45), pak docházíme k závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v jednom směru jsou nekompatibilní, neboť jim příslušné operátory nekomutují [ Q j, P j ]=i ℏ jk což je zkrácený zápis pro: [Q 1, P 1]=i ℏ,[ Q 1, P ]=0,[ Q 1, P 3 ]=0 [Q, P 1 ]=0, [ Q, P ]=i ℏ,[Q, P 3 ]=0 [Q 3, P 1]=0,[ Q 3, P ]=0,[ Q 3, P 3 ]=i ℏ (74) (75) Tyto vztahy odvodíme na cvičení To je mimo jiné důvod, proč v kvantové mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice stav s danou polohou a hybností Nemůžeme je současně změřit Pro výsledek měření pozorovatelné A1, tedy jednu vlastní hodnotu operátoru, může existovat více lineárně nezávislých vlastních funkcí Příkladem jsou například funkce (67), které jsou vlastními funkcemi hamiltoniánu (54) pro tutéž hodnotu energie n 3/ ℏ, n=n1 n n3 V takových případech se dá očekávat, že existují jiné měřitelné veličiny A,, AK, výsledky jejichž měření mohou rozlišit, kterou funkci (opět až na konstantu) máme přiřadit danému stavu Pozorovatelné A,, AK musí být kompatibilní s pozorovatelnou A1, jejíž 49
4 měření už jsme použili k částečnému určení (k zúžení prostoru kandidátů na) vlnové funkce daného stavu, a zároveň kompatibilní mezi sebou navzájem Přiřazení vlnové funkce g fyzikálnímu stavu, tj souboru výsledků měření kompatibilních fyzikálních veličin se řídí požadavkem: Vlnová funkce, která popisuje stav určený hodnotami 1,, K měření kompatibilních fyzikálních veličin A1,, AK, musí vyhovovat rovnicím A i g= i g pro i=1,, K (76) Znamená to tedy, že musí být společnou vlastní funkcí komutujících operátorů A i Množině kompatibilních fyzikálních veličin, hodnoty jejichž výsledků jednoznačně určí kvantový stav, říkáme úplná množina pozorovatelných a jim odpovídající množina operátorů se nazývá úplný soubor komutujících operátorů [T4] Operátory A1,, AK s čistě bodovými spektry (tj takovými, jejichž vlastní vektory tvoří ortonormální bazi) tvoří úplný soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou k tici jejich vlastních čísel 1,, K je rozměr podprostoru společných vlastních stavů roven jedné Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (např jednu částici) a jí odpovídající úplný soubor komutujících operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme po psat Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to relativně snadno měřitelná veličina Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové částice v poli centrálních sil je energie, kvadrát momentu hybnosti a jedna jeho složka Jinými slovy, tyto tři pozorovatelné tvoří úplnou množinu pozorovatelných Moment hybnosti L= r p kde r je poloha částice vzhledem k počátku souřadnic a p je její hybnost Operace mezi nimi je vektorový součin Moment hybnosti hraje důležitou úlohu při studiu objektů ve svérickém potenciálu V =V r Stejně jako v klasické mechanice platí zákon zachování momentu hybnosti (QMCA, s 69) MH je klíčový pro popis pohybu elektronů v atomech Pro složku momentu hybnosti platí (SKM 33): L j = jkl Q k P l = i ℏ jkl x k xl kl kl Zde jkl je tzv Levi-Civitův symbol ( jkl=1 pro j, k,l { 1,,3,,3,1, 3,1, }, jkl= 1 pro j, k, l { 3,,1,,1,3, 1,3, }, jkl=0 pro ostatní kombinace) Vlastní hodnoty operátoru složek momentu hybnosti mohou nabývat pouze hodnot (SKM 33) =m ℏ, kde m Z Kvadrát momentu hybnosti L := L x L y L z (77) (78) (79) Nepoznáte podle jaké osy se objekt točí Vlastní hodnoty: Z+ Platí (jednoduše odvoditelné) komutační relace: [ L j, P k ]=i ℏ jkm P m 50 (80)
5 [ L j, Q k ]=i ℏ jkl Q l [ L, H ]=0 (81) [ L 3, H ]=0 (83) [ L, L 3 ]=0 (84) (8) Význam komutátoru 51
Operátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na
4 Matematická vsuvka: Operátory na Hilbertově prostoru. Popis vlastností kvantové částice. Operátory rychlosti a polohy kvantové částice. Princip korespondence. Vlastních stavy a spektra operátorů, jejich
VíceKvantová mechanika ve 40 minutách
Stručný průvodce konečněrozměrnou kvantovou mechanikou České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Úvod do kryptologie 6. 5. 2010 Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice
VíceOd kvantové mechaniky k chemii
Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi
VíceNástin formální stavby kvantové mechaniky
Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =
VícePříklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx
1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceLehký úvod do kvantové teorie II
1 Lehký úvod do kvantové teorie II 5 Harmonický oscilátor Na příkladu harmonického oscilátoru, jehož klasické řešení známe z Fyziky 1, si ukážeme typické postupy při hledání vlastních hodnot operátoru
VíceVybrané podivnosti kvantové mechaniky
Vybrané podivnosti kvantové mechaniky Pole působnosti kvantové mechaniky Středem zájmu KM jsou mikroskopické objekty Typické rozměry 10 10 až 10 16 m Typické energie 10 22 až 10 12 J Studované objekty:
VíceKvantová mechanika (UFY100)
Cvičení k přednášce Kvantová mechanika (UFY100) Letní semestr 2004/2005, Úterý 12:25-13:55 v M4 Určeno pro 2. ročník učitelství fyziky pro SŠ Následující text obsahuje stručný přehled jednotlivých cvičení
VíceLehký úvod do kvantové teorie
1 Lehký úvod do kvantové teorie 1 Unitární prostory (prostory se skalárním součinem) Ve Fyzice 1 jsme rozšířili pojem vektoru na obecnější objekty,než jsou uspořádané trojice a zavedli lineární vektorový
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceParadoxy kvantové mechaniky
Paradoxy kvantové mechaniky Karel molek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Bezinterakční měření Mějme bombu, která je aktivována velmi citlivým mechanismem v podobě zrcátka, které je propojeno
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
Více6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207
6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceObsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15
Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Více2. Elektrotechnické materiály
. Elektrotechnické materiály Předpokladem vhodného využití elektrotechnických materiálů v konstrukci elektrotechnických součástek a zařízení je znalost jejich vlastností. Elektrické vlastnosti materiálů
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceZáklady kvantové teorie (OFY042)
Příklady na cvičení k přednášce Základy kvantové teorie (OFY042) Zimní semestr 2007/2008, pondělí 2:20-3:50 v M3 Určeno pro 3. ročník Příklady jsou vybírány z různých učebnic a sbírek příkladů. Program
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Vlnění o frekvenci v se může chovat jako proud částic (kvant - fotonů) o energii E = h.v Částice pohybující se s hybností p se může chovat jako vlna o vlnové délce λ = h/p Kde h
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceMatematické metody kvantové mechaniky
Matematické metody kvantové mechaniky Seminář současné matematiky Ing. Tomáš Kalvoda tomas.kalvoda@fit.cvut.cz KM FJFI & KTI FIT ČVUT místnost M102, FIT 11. listopadu 2010 Kalvoda (ČVUT) Seminář současné
Více17 Vlastnosti molekul
17 Vlastnosti molekul Experimentálně molekuly charakterizujeme pomocí nejrůznějších vlastností: můžeme změřit třeba NMR posuny, elektrické či magnetické parametry či třeba jejich optickou otáčivost. Tyto
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceŘešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e
8 Atom vodíku Správné řešení atomu vodíku je jedním z velkých vítězství kvantové mechaniky. Podle klasické fyziky náboj, který se pohybuje se zrychlením (elektron obíhající vodíkové jádro proton), by měl
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceHamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceÚvod do laserové techniky
Úvod do laserové techniky Látka jako soubor kvantových soustav Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické v Praze petr.koranda@gmail.com 18. září 2018 Světlo jako elektromagnetické
Více31 SCHRÖDINGEROVA FORMULACE KVANTOVÉ MECHANIKY. Schrödingerova rovnice Kvantověmechanický formalismus
278 31 SCHRÖDINGEROVA FORMULACE KVANTOVÉ MECHANIKY Schrödingerova rovnice Kvantověmechanický formalismus Korpuskulární vlastnosti částic podmiňují jejich pohyb, který vyjadřuje "newtonovská" mechanika
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceInovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/
Inovace studia molekulární a buněčné biologie reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0354 Předmět: LRR/CHPB1/Chemie pro biology 1 Elektronový obal Mgr. Karel Doležal Dr. Cíl přednášky: seznámit posluchače se stavbou
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceOptické spektroskopie 1 LS 2014/15
Optické spektroskopie 1 LS 2014/15 Martin Kubala 585634179 mkubala@prfnw.upol.cz 1.Úvod Velikosti objektů v přírodě Dítě ~ 1 m (10 0 m) Prst ~ 2 cm (10-2 m) Vlas ~ 0.1 mm (10-4 m) Buňka ~ 20 m (10-5 m)
VíceInovace studia molekulární a buněčné biologie
Investice do rozvoje vzdělávání Inovace studia molekulární a buněčné biologie Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Investice do rozvoje vzdělávání
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VícePLANCK EINSTEIN BOHR de BROGLIE
KVANTOVÁ MECHANIKA PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987 HEISENBERG 1901-1976 SCHRÖDINGER 1887-1961 BORN 1882-1970 JORDAN 1902-1980 PAULI 1900-1958 DIRAC 1902-1984 VŠECHNO
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceKomerční výrobky pro kvantovou kryptografii
Cryptofest 05 Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 19. března 2005 O čem bude řeč Kryptografie Kryptografie se zejména snaží řešit: autorizovanost přístupu autenticitu
VíceOctober 1, Interpretujte význam jejích parametrů. Vypočítejte jeho momenty. Napište vzorec pro. I(n, a, b) :=
Kvantová fyzika cvičení s návody a výsledky October 1, 007 Návody zde uvedené jsou záměrně uváděny ve stručné formě, jako nápověda a vodítko, jak při řešení úloh postupovat; nepředstavují a nenahrazují
Více1. Kvantové jámy. Tabulka 1: Efektivní hmotnosti nosičů v krystalech GaAs, AlAs, v jednotkách hmotnosti volného elektronu m o.
. Kvantové jámy Pokročilé metody růstu krystalů po jednotlivých vrstvách (jako MBE) dovolují vytvořit si v krystalu libovolný potenciál. Jeden z hojně používaných materiálů je: GaAs, AlAs a jejich ternární
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VíceVibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek
Vibrace atomů v mřížce, tepelná kapacita pevných látek Atomy vázané v mřížce nejsou v klidu. Míru jejich pohybu vyjadřuje podobně jako u plynů a kapalin teplota. - Elastické vlny v kontinuu neatomární
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Ondřej Havlíček.ročník F-Vt/SŠ Jsoucno je vždy něco, co jsme si sami zkonstruovali ve své mysli. Podstata takovýchto konstrukcí nespočívá v tom, že by byly odvozeny ze smyslových
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Více3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor
3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3.1 Jednoduchý algebraický systém Mějme operátor  a operátor  k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace 1 [Â, = m, m R +. (3.1.1) Definujme
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceAlgoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic
Úvod Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra softwarového inženýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceH = 1 ( ) 1 1. dostaneme bázi označovanou často znaménky plus a minus:
Propletené stavy Standardní bázi kubitu máme ve zvyku značit symboly a. Existuje ovšem nekonečně mnoho jiných ortonormálních bází které vzniknou ze standardní báze vždy nějakou unitární transformací. Použijeme-li
VícePočátky: už jsme potkali
KVANTOVÁ MECHANIKA Počátky: už jsme potkali Záření černého tělesa Kvantování energie Fotoefekt PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 Model atomu Vlnové vlastnosti částic BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987
VíceOperátory a maticové elementy
Operátory a matice Operátory a maticové elementy operátory je výhodné reprezentovat maticemi maticové elementy operátorů jsou dány vztahy mezi Slaterovými determinanty obsahujícími ortonormální orbitaly
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
Vícetransformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
VíceLaserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření rezonančního záření dvouhladinovým prostředím Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz 22. prosince 2016 Program
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Více1 Operátor a jeho funkce, komutátor
1 Operátor a jeho funkce, komutátor Funkce operátoru Uvedeme dvě možnosti, jak zavést funkci operátoru  na základě funkce reálného argumentu f(ξ). 1. Rozvojem do řady: Předpokládejme, že existuje rozvoj
Více15 Experimentální základy kvantové hypotézy
5 Experimentální základy kvantové hypotézy Částicové vlastnosti světla a vlnové vlastnosti částic. Planckova kvantová hypotéza, foton, fotoelektrický jev. De Broglieova hypotéza, relace neurčitosti. 5.
VíceDynamika systémů s proměnnou hmotností. Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
Dynamika systémů s proměnnou hmotností Buquoyovy úlohy Práce a energie v řešení Buquoyových úloh Mnohočásticové modely Problém rakety Pružné a nepružné srážky Fundemtální zákon vs. kinematická podmínka
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VíceRelativistická kinematika
Relativistická kinematika 1 Formalismus čtyřhybnosti Pro řešení relativistických kinematických úloh lze často s výhodou použít formalismus čtyřhybnosti. Čtyřhybnost je čtyřvektor, který v sobě zahrnuje
VíceOrtogonální projekce a ortogonální zobrazení
Drsná matematika I 9. přednáška Ortogonální projekce a ortogonální zobrazení Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 4. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Projekce a ortogonální zobrazení
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Více