ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací na zdravotnictví)

Transkript

1 PŘEMYSL ZÁŠKODNÝ RENATA HAVRÁNKOVÁ JIŘÍ HAVRÁNEK VLADIMÍR VURM ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací a zdravotictví) Vzik publikace byl ispirová myšlekami, pracemi a ávrhy výzamého sloveského vědce v oblasti kogitivího a pojmového modelováí a edukačího data miigu ig. Pavola Tarábka, Ph.D. Náš spolupracovík Pavol Tarábek se bohužel vydáí této publikace edožil opustil eadále vědeckou komuitu a jaře roku 0.

2 Základy statistiky (s aplikací a zdravotictví) Přemysl Záškodý, Reata Havráková, Jiří Havráek, Vladimír Vurm, 0. Přepracovaé druhé vydáí Žádá část této publikace esmí být publikováa a šířea žádým způsobem a v žádé podobě bez výslového svoleí autorů a vydavatelství Vydavatel CURRICULUM, Cholupická 39, 4 00 Praha 4, Czech Republic S podporou DIDAKTIS, s.r.o., Hýrošova 4, 8 04 Bratislava, Slovak Republic phcurriculum@yahoo.com Autoři Doc. RNDr. Přemysl Záškodý, CSc., Uiversity of Fiace ad Admiistratio, Prague, Czech Republic Uiversity of South Bohemia, České Budějovice, Czech Republic pzaskody@gmail.com Mgr. Reata Havráková, Ph.D. Uiversity of South Bohemia, České Budějovice, Czech Republic reka.havrakova@sezam.cz Mgr. Jiří Havráek Uiversity of South Bohemia, České Budějovice, Czech Republic jiri.havraek@sujb.cz Doc. MUDr. Vladimír Vurm, CSc. Czech Techical Uiversity i Prague, Faculty of Biomedical Egieerig, Czech Republic vurm.vladimir@sezam.cz Recezeti Doc. MUDr. Fratišek Vorel, CSc. Doc. PaeDr. Jaa Škrabáková, Ph.D. RNDr. Iva Havlíček, CSc. O lie presetatio: ISBN

3 OBSAH ÚVOD (Záškodý, Vurm)..9 ČÁST A ZÁKLADNÍ METODY. ZÁKLADNÍ METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY FORMULACE STATISTICKÉHO ŠETŘENÍ (Záškodý, Havráková) 4. ZÁKLADNÍ METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY ŠKÁLOVÁNÍ (Záškodý, Havráková).7 3. ZÁKLADNÍ METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY MĚŘENÍ V DESKRIPTIVNÍ STATISTICE (Záškodý, Havráková) ZÁKLADNÍ METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY ELEMENTÁRNÍ STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ (Záškodý, Havráková). 4. Tabulka Empirické rozděleí četostí Empirické parametry Ilustrace výpočtu empirických parametrů ZÁKLADNÍ METODY MATEMATICKÉ STATISTIKY NEPARAMETRICKÉ TESTOVÁNÍ (Záškodý, Havráková) Itervalové rozděleí četostí Teoretické rozděleí Aparát eparametrického testováí Ilustrace eparametrického testováí 4 6. ZÁKLADNÍ METODY MATEMATICKÉ STATISTIKY TEORIE ODHADŮ (Záškodý, Havráková) Bodové odhady Itervalové odhady Ilustrace kostrukce itervalů spolehlivosti ZÁKLADNÍ METODY MATEMATICKÉ STATISTIKY PARAMETRICKÉ TESTOVÁNÍ (Záškodý, Havráková) Jedovýběrové parametrické testováí Dvojvýběrové parametrické testováí Ilustrace parametrického testováí ZÁKLADNÍ METODY MATEMATICKÉ STATISTIKY MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ (Záškodý, Havráková) Vymezeí problem Jedoduchá lieárí a kvadratická regresí aalýza Jedoduchá lieárí a kvadratická korelačí aalýza Ilustrace měřeí statistických závislostí 7 5

4 ČÁST B ROZŠÍŘENÍ METOD 9. ROZŠÍŘENÍ METOD DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY Rozšířeí formulace statistického šetřeí (Záškodý) Statistický zak a jeho hodota 9.. Náhodý výběr 9..3 Druhy áhodého výběru 9..4 Aalogie mezi pojmy formulace statistického šetřeí a pojmy teorie pravděpodobosti a matematické statistiky 9. Rozšířeí škálováí (Záškodý) Typy škál 9.. Škálováí a hodoty statistického zaku 9.3 Rozšířeí měřeí v deskriptiví statistice (Záškodý) Absolutí, relativí a kumulativí četosti jako výsledky měřeí 9.3. Měřeí v deskriptiví statistice a matematické statistice 9.4 Rozšířeí elemetárího statistického zpracováí (Záškodý) Tabulka 9.4. Grafy Empirické parametry 0. PRAVDĚPODOBNOST Defiice pravděpodobosti (Záškodý) Potřebé pojmy teorie pravděpodobosti a jejich vazba a pojmy deskriptiví statistiky 0.. Klasická a geometrická defiice pravděpodobosti, teoretické rozděleí 0. Vztahy pro počítáí s pravděpodobostmi (Záškodý) Nepodmíěá a podmíěá pravděpodobost 0.. Vztahy pro pravděpodobost eslučitelých (ezávislých) jevů 0.3 Teoretické momety, mometová vytvořující fukce (Záškodý) Teoretické parametry O j, C j, N j 0.3. Regrese, korelace, kovariace Mometová vytvořující fukce m x (z) pro áhodou veličiu X 0.4 Teoretická rozděleí (Záškodý) Diskrétí teoretické rozděleí Alterativí rozděleí 0.4. Diskrétí teoretické rozděleí Biomické rozděleí Diskrétí teoretické rozděleí Poissoovo rozděleí Diskrétí teoretické rozděleí Geometrické rozděleí Diskrétí teoretické rozděleí Negativí biomické rozděleí Diskrétí teoretické rozděleí Hypergeometrické rozděleí Diskrétí teoretické rozděleí Multiomické rozděleí Spojité teoretické rozděleí Rovoměré rozděleí Spojité teoretické rozděleí Normálí a ormovaé ormálí rozděleí Spojité teoretické rozděleí Logormálí rozděleí 0.4. Spojité teoretické rozděleí Gama rozděleí 0.4. Spojité teoretické rozděleí Expoeciálí rozděleí Spojité teoretické rozděleí χ rozděleí Spojitá teoretická rozděleí t rozděleí, F rozděleí Některé limití věty. ROZŠÍŘENÍ METOD MATEMATICKÉ STATISTIKY. Rozšířeí eparametrického testováí (Záškodý).. χ -test dobré shody.. Kolmogorovův-Smirovův test dobré shody pro jede výběrový statistický soubor..3 Kolmogorovův-Smirovův test dobré shody pro dva výběrové statistické soubory..4 Přehled dalších eparametrických testů. Rozšířeí teorie odhadů (Záškodý) Bodové odhady.. Itervalové odhady 6

5 .3 Rozšířeí parametrického testováí (Záškodý) 3.3. Statistická hypotéza a její test.3. Nejsilější a stejoměrě ejsilější parametrické testy.3.3 Parametrický test teoretických parametrů ormálího rozděleí.3.4 Parametrický test teoretických parametrů libovolého teoretického rozděleí.3.5 Parametrický test shody teoretických parametrů dvou ormálích rozděleí.4 Rozšířeí měřeí statistických závislostí (Záškodý) Statistická závislost a cesty jejího zkoumáí.4. Elemetárí popis závislosti kvatitativích zaků.4.3 Kotigečí tabulka.4.4 Regresí aalýza Regresí model, regresí fukce.4.5 Regresí aalýza Přehled regresích modelů a jejich regresích fukcí.4.6 Regresí aalýza Míra variability ezávisle proměé.4.7 Regresí aalýza Volba typu regresí fukce.4.8 Korelačí aalýza Sdružeé regresí přímky.4.9 Korelačí aalýza Koeficiet korelace lieárí závislosti.4.0 Korelačí aalýza Test výzamosti koeficietu korelace lieárí závislosti.4. Korelačí aalýza Pořadová korelace a Spearmaův koeficiet korelace.4. Korelačí aalýza Test výzamosti Spearmaova koeficietu korelace. ÚVOD DO ZDRAVOTNICKÉ STATISTIKY Demografie (Havráková, Havráek, Vurm).59.. Formulace základích pojmů.. Základí demografické údaje. Zdravotí stav (Havráková, Havráek, Vurm) 67.. Zhoubé ovotvary.. Vrozeé vývojové vady..3 Nemoci z povoláí..4 Pracoví eschopost.3 Síť zdravotických zařízeí a jejich čiost (Havráková, Havráek, Vurm)..7.4 Ekoomické ukazatele (Havráková, Havráek, Vurm) APLIKACE ROZŠÍŘENÝCH METOD Aplikace v deskriptiví statistice (Záškodý) Aplikace v pravděpodobosti (Záškodý) Ilustrace Biomické rozděleí Mometová vytvořující fukce 3.. Ilustrace Biomické rozděleí Cea léčebého zařízeí 3..3 Ilustrace Biomické rozděleí Test áhodosti výběru 3..4 Ilustrace Poissoovo a ormálí rozděleí Neparametrické testováí 3..5 Ilustrace Geometrické rozděleí Pravděpodobostí fukce 3..6 Ilustrace Hypergeometrické rozděleí Pravděpodobostí fukce, aproximace 3..7 Ilustrace Triomické rozděleí Preferece lékaře 3..8 Ilustrace Triomické rozděleí Cea léčebého zařízeí 3..9 Ilustrace Rovoměré rozděleí Hustota pravděpodobosti 3..0 Ilustrace χ rozděleí Mometová vytvořující fukce, gama fukce 3.3 Aplikace v matematické statistice (Záškodý) Neparametrické testováí Kolmogorovův-Smirovův test 3.3. Teorie odhadů Metoda maximálí věrohodosti pro ormálí rozděleí N(µ, σ) Parametrické testováí Nalezeí ejsilějšího testu Měřeí statistických závislostí Aalýza rozptylu Regresí aalýza Jedodušší lieárí regresí model pro lieárí regresí fukci Regresí aalýza Složitější lieárí regresí model pro lieárí regresí fukci Korelačí aalýza Lieárí korelačí závislost Korelačí aalýza Pořadová korelace 3.4 Aplikace ve zdravotictví Ilustrace sledováí výskytu zhoubých ádorů (Havráek, Havráková, Vurm)

6 ČÁST C STATISTICKÉ TABULKY (Havráková, Havráek) Tab. I Hodoty distribučí fukce ormovaého ormálího rozděleí..33 Tab. II Kritické hodoty u testu...36 Tab. III Kritické hodoty t testu 37 Tab. IV Kritické hodoty χ - testu..38 Tab. V Kritické hodoty F - testu pro α = 0, Tab. VI Kritické hodoty F - testu pro α = 0,0..4 Tab. VII Kritické hodoty Kolmogorovova-Smirovova testu pro jede výběr..43 Tab. VIII Kritické hodoty Kolmogorovova-Smirovova testu pro dva výběry stejých rozsahů...44 REJSTŘÍK (Havráková, Havráek) 45 LITERATURA.5 CV Přemysl Záškodý CV Reata Havráková CV Jiří Havráek CV Vladimír Vurm 8

7 ÚVOD Předmětem zdravotické statistiky jsou aplikace deskriptiví a matematické statistiky a teorie pravděpodobosti při zkoumáí hromadých áhodých jevů ve zdravotictví. Aby bylo možo tyto aplikace popsat, je potřebé se ejdříve zabývat deskriptiví a matematickou statistikou a teorií pravděpodobosti. Jelikož rozsah výkladu statistiky a jejich aplikací ve zdravotictví je vzhledem k zaměřeí studijího textu a kokrétí studijí obory do jisté míry omeze, bude účelé sezámit se v Části A (Základí metody) se základími statistickými metodami a průběžě je ilustrovat zadaým příkladem, je okrajově se dotkout ěkterých pojmů teorie pravděpodobosti. Část A má charakter mauálu. Část B (Rozšířeí metod) se saží vyložit také základí teoretickou a aplikačí dimezi mauálu z Části A. V Části A (Základí metody) je studijí text urče převážě pro distačí formu studia, která je pojímáa ve své kombiovaé podobě. Pro kombiovaou formu studia je v Části A každá dílčí kapitola výkladu uvedea cíli výkladu, a cíle výkladu avazuje přehled osvojovaých pojmů a pozatků. Dále je v Části A v závěru každé dílčí kapitoly připoje přehled kotrolích otázek a kotrolí příklad, jejichž správé zodpovězeí a zpracováí by mělo být sigálem, že lze přistoupit k sezamováí s ásledující kapitolou. Všechy kapitoly Části A jsou spojey s průběžě řešeým ilustrujícím příkladem. Teto ilustrující příklad je postupě obohacová o výsledky, které odrážejí algoritmicky avazující kapitoly Části A. V souhru pak dosažeé výsledky průběžě řešeého ilustrujícího příkladu představují realizaci projektu statistického šetřeí. V Části B (Rozšířeé metody) budou statistické metody rozšířey jak v oblasti deskriptiví statistiky, tak i v oblasti teorie pravděpodobosti a matematické statistiky. Rověž bude možé v Části B přistoupit k výčtu statistik ve zdravotictví. Část B také obsahuje řadu aplikací jedotlivých rozšířeých metod, většia aplikací je již spojea s oblastí zdravotictví. I přes teto rozšiřující modul elze takto pojaté studium zaměňovat se souvislým a uceleým studiem statistiky a teorie pravděpodobosti jako samostatých vědích disciplí. Část C (Statistické tabulky) je věováa potřebým statistickým tabulkám. Statistické tabulky byly voley tak, aby byly pokryty základí potřeby eparametrického testováí, teorie odhadů, parametrického testováí a regresí a korelačí aalýzy. Kokrétí podobu statistických tabulek lze také alézt ve Statistických fukcích běžě dostupého programu Excel. 9

8 Struktura výkladu je spojea s algoritmem jedotlivých kroků statistického šetřeí. Algoritmus jedotlivých kroků statistického šetřeí je zobraze modelem a obrázku Obr.. Teto model je možé použít k okamžitému zařazeí statistické metody a k okamžitému zjištěí předcházejících a avazujících metod. Model a obrázku Obr. má rověž výzamou pozávací dimezi ukazuje, které operace aalýzy, abstrakce a sytézy je třeba provádět, aby osvojeí příslušé statistické metody bylo úplé. Předkládaý model a obrázku Obr. obsahuje čtyři dílčí aalyticko-sytetické struktury. Obrázek Obr. umožňuje okamžitou strukturálí orietace, která část statistiky a jejích aplikací ve zdravotictví je při studiu právě osvojováa. Je dobré vědět: zda je vymezová výběrový statistický soubor VSS (prví dílčí struktura od strukturího prvku a- až k prvku b-); zda je již metodami deskriptiví statistiky vytváře empirický obraz výběrového statistického souboru VSS (druhá dílčí struktura od strukturího prvku a- až k prvku b-); zda je již metodami matematické statistiky zkoumá pravděpodobostí obraz výběrového statistického souboru VSS (třetí dílčí struktura od strukturího prvku a-3 až k prvku b-3); zda již bylo dalšími metodami matematické statistiky vstoupeo do procesu vytvářeí asociativího obrazu výběrového statistického souboru VSS (čtvrtá dílčí struktura od strukturího prvku a-4 až k prvku b-4); zda již bylo použitím metod deskriptiví a matematické statistiky přistoupeo k aplikaci těchto metod apř. ve zdravotictví (strukturí prvek a-5). Návazost čtyř dílčích aalyticko-sytetických struktur a jedotlivé základí metody deskriptiví a matematické statistiky a tím také a jedotlivé kapitoly výkladu je uvedea v legedě k obrázku Obr.. Tuto legedu si lze vždy opětově přečíst před studiem další kapitoly zvláště Části A. Struktura modelu a obrázku Obr. se stala základem struktury výkladu v předkládaém studijím textu. Popsaá struktura výkladu byla dodržea jak v Části A (Základí metody), tak v Části B (Rozšířeí metod). 0

9 Hromadý áhodý jev a důvody jeho zkoumáí a- Statistická jedotka Statistický zak Hodoty statistického Výběr statistických zaku jedotek Výběrový statistický soubor VSS jako část základího statistického souboru Potřeba empirického zkoumáí metodami deskriptiví statistiky b- = a- Tvorba škály Tabulky četostí Grafické vyjádřeí Empirické parametry Měřeí (Empirická rozděleí) empirických rozděleí Empirický obraz výběrového statistického souboru VSS Potřeba pravděpodobostího zkoumáí metodami matematické statistiky b- = a-3 Výběr vhodého Kvatifikace teoretických Srováváí teoretických teoretického rozděleí parametrů a empirických parametrů Neparametrické Bodové a itervalové odhady Parametrické testováí (teorie odhadů) testováí Empirický a pravděpodobostí obraz výběrového statistického souboru VSS Potřeba asociativího zkoumáí metodami matematické statistiky b-3 = a-4 Statitická závislost Regresí aalýza Korelačí aalýza Empirický, pravděpodobostí a asociativí obraz výběrového statistického souboru VSS Aplikace empirické a matematické statistiky v kokrétích oblastech vědy Aplikace empirické a matematické statistiky v kokrétích oblastech lidské čiosti b-4 Aplikovaá statistika apř. ve zdravotictví a-5 Obr. : Model struktury statistiky jako celku.

10 LEGENDA k obrázku Obr. Část A Základí metody má charakter mauálu, jak provádět statistické šetřeí. Obrázek Obr. popisuje algoritmus jedotlivých kroků statistického šetřeí. Jedotlivé kroky statistického šetřeí odrážejí 8 základích metod statistiky 4 základí metody statistiky deskriptiví a 4 základí metody statistiky matematické. V Části B Rozšířeí metod je těchto 8 základích metod převedeo z ávodu, jak statistiku při statistickém šetřeí používat, a teoretickou a aplikačí základu statistiky. Všech 8 příček algoritmu jedotlivých kroků statického šetřeí a tím také 8 základích metod deskriptiví a matematické statistiky bude yí krátce připomeuto (lze přitom sledovat obrázek Obr. ). Vstupem do statistického šetřeí a do postupé realizace statistického projektu je rozhodutí, zda je k dispozici jev, který má hodě výsledků a který je spoje s růzými pravděpodobostmi aměřeých statistických dat. Takový jev je azvá hromadým áhodým jevem, jeho ositelem je tzv. statistická jedotka a statisticky šetřeou vlastostí statistické jedotky je tzv. statistický zak. Možia všech statistických jedotek tvoří základí statistický soubor (eboli populaci spojeou s populačími charakteristikami), který je obvykle procesem áhodého výběru reduková a výběrový statistický soubor. Výběrový statistický soubor je spoje s výběrovými charakteristikami. Ve studijím textu budou preferováy charakteristiky výběrové výběrová chyba jako odlišost mezi charakteristikami populačími a výběrovými bude miimalizováa jedak dostatečým rozsahem výběrového statistického souboru, jedak důsledým upozorňováím a ezbytost áhodosti výběru statistických jedotek. Na případé odlišosti od charakteristik populačích bude vždy upozorěo. Popsaý vstup do statistického šetřeí tvoří prví příčku algoritmu jedotlivých kroků a je současě prví základí metodou deskriptiví statistiky azvaou Formulace statistického šetřeí. Zkoumaý statistický zak má obvykle velké možství hodot. Výčet hodot statistického zaku eumožňuje zjistit, které hodoty jsou více či méě pravděpodobé. Proto se přistupuje ke škálováí, které rozčleí hodoty statistického zaku do přiměřeého počtu skupi, které esou ázev prvky škály. Popsaý postup čleěí hodot statistického zaku a prvky škály tvoří druhou příčku algoritmu jedotlivých kroků a je současě druhou základí metodou deskriptiví statistiky azvaou Škálováí. Maje k dispozici vhodou škálu, vyoří se otázka, kolik statistických jedotek výběrového statistického souboru áleží k jedotlivým prvkům škály. Odpověď a tuto otázku tvoří třetí příčku algoritmu jedotlivých kroků statistického šetřeí a je současě třetí základí metodou deskriptiví statistiky azvaou Měřeí v deskriptiví statistice. Po provedeém měřeí umoží deskriptiví statistika získat absolutí četosti (počty statistických jedotek áležejících k jedotlivým prvkům škály), relativí četosti a kumulativí četosti. Naměřeé četosti je zapotřebí zpracovat. Postup jejich zpracováí tvoří čtvrtou příčku algoritmu jedotlivých kroků statistického šetřeí a je současě čtvrtou, posledí základí metodou deskriptiví statistiky azvaou Elemetárí statistické zpracováí. V rámci této posledí základí metody deskriptiví statistiky je zpracováa tabulka, jsou vykresley grafy empirických rozděleí četostí a jsou vypočítáy empirické parametry empirických rozděleí. Mezi empirické parametry patří apř. zámý aritmetický průměr a směrodatá odchylka. Nedílou součástí Elemetárího statistického zpracováí je iter-

11 pretace vypočítaých empirických parametrů a vytvořeí předpokladů pro implemetaci 4 avazujících základích metod statistiky matematické. Cílem matematické statistiky je vyjadřovat výsledky deskriptiví statistiky vhodými kostrukty odvozeými z teorie pravděpodobosti a takto získaé pravděpodobostí kostrukty dále matematicky zpracovávat. Prvím kostruktem odvozeým z teorie pravděpodobosti je teoretické rozděleí. Podaří-li se empirické rozděleí četostí ahradit teoretickým rozděleím áhodé veličiy (áhodá veličia je dobrou aalogií statistického zaku), jsou pootevřea vrátka pro používáí difereciálího a itegrálího počtu ebo ěkterých možostí diskrétí matematiky. Nahrazováí empirického rozděleí rozděleím teoretickým tvoří pátou příčku algoritmu jedotlivých kroků statistického šetřeí a současě prví základí metodu matematické statistiky azvaou Neparametrické testováí. Bez objeveého teoretického rozděleí emá v rámci výběrových charakteristik (tj. v rámci výběrového statistického souboru) obvykle smysl pokračovat dále v šetřeí statistického zaku jako zkoumaé vlastosti statistické jedotky. V rámci populačích charakteristik (tj. v rámci základího statistického souboru) lze se začou pravděpodobostí předpokládat platost často se vyskytujícího teoretického rozděleí rozděleí ormálího. Druhým kostruktem odvozeým z teorie pravděpodobosti jsou teoretické parametry, které jsou edílou součástí objeveého teoretického rozděleí. Bez odhadutí hodot teoretických parametrů elze pootevřeá vrátka pro využíváí možostí matematiky plě otevřít. Odhadováí teoretických parametrů tvoří šestou příčku algoritmu jedotlivých kroků statistického šetřeí a současě druhou základí metodu matematické statistiky azvaou Teorie odhadů. Třetím kostruktem odvozeým z teorie pravděpodobosti je srováváí odhadutých teoretických parametrů probíhajícího statistického šetřeí s jiými teoretickými ebo empirickými parametry, které byly získáy ze statistických šetřeí jiých. Srováváí teoretických parametrů probíhajícího statistického šetřeí s jiými dosažeými výsledky tvoří sedmou příčku algoritmu jedotlivých kroků statistického šetřeí a současě třetí základí metodu matematické statistiky azvaou Parametrické testováí. I v rámci čtvrté, posledí základí metody matematické statistiky lze využívat další kostrukty odvozeé z teorie pravděpodobosti, tetokrát již v přímé kombiaci s aplikacemi matematiky. V rámci této posledí základí metody matematické statistiky je reagováo a možost, že u statistické jedotky emusí být zkoumá je jede statistický zak. Při zkoumáí více statistických zaků je pracováo s vícerozměrým výběrovým statistickým souborem a je zjišťováa možá závislost mezi apř. dvěma statistickými zaky vybraých statistických jedotek. Zjišťováí závislosti mezi apř. dvěma statistickými zaky tvoří osmou a posledí příčku algoritmu jedotlivých kroků statistického šetřeí a je současě čtvrtou, posledí základí metodou matematické statistiky azvaou Měřeí statistických závislostí. Jde o završeí projektu statistického šetřeí a ejpoužívaějšími postupy je regresí a korelačí aalýza. 3

12 ČÁST A ZÁKLADNÍ METODY. ZÁKLADNÍ METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY FORMULACE STATISTICKÉHO ŠETŘENÍ Tato prví kapitola poskyte ávod, jak používat prví základí metodu deskriptiví statistiky azvaou Formulace statistického šetřeí (viz Legeda k obrázku Obr. ). Součástí kapitoly jsou také uvedeé cíle výkladu, přehled osvojovaých pojmů a pozatků, kotrolí otázky a kotrolí příklad. Výklad je založe a zadaém příkladu, který je postupě řeše v rámci celé Části A během sezamováí se všemi 8 základími metodami statistiky. Cíle: hromadý áhodý jev a důvod jeho zkoumáí; výběrový statistický soubor jako část základího statistického souboru. Osvojovaé pojmy a pozatky: Hromadý áhodý jev, statistická jedotka, statistický zak, hodoty statistického zaku, základí statistický soubor, výběrový statistický soubor. Zadaý příklad: Testům a úspěšost metody léčby daého typu ádorového oemocěí se podrobilo 4000 pacietů. Pro předběžou iformaci bylo třeba určit průměrý stupeň zmešeí ádoru po aplikaci léčebé metody a škále až 5 ( zmešeí o %, zmešeí o %,., 5 zmešeí o 0-0 %). Proto bylo áhodě vybráo 50 testů, jejichž výsledky jsou uvedey v tabulce Tab.. Hromadý áhodý jev (úspěšost metody léčby daého typu ádorového oemocěí) zpracujte metodami deskriptiví statistiky. x i i i / Σ i / x i i x i i x 3 i i x 4 i i 9 0,8 0, ,3 0, ,4 0, ,08 0, ,04, Σ 50 Σ,00 Σ 5 Σ 363 Σ 75 Σ 443 Tab. : Výsledky zpracováí 50 testů. 4

13 Formulace statistického šetřeí je založea a vymezeí ásledujících pojmů: hromadý áhodý jev statistická jedotka statistický zak hodoty statistického zaku základí statistický soubor a jeho rozsah áhodý výběr výběrový statistický soubor a jeho rozsah HNJ SJ SZ HSZ ZSS NV VSS Hromadý áhodý jev HNJ (apř. úspěšost metody léčby daého typu ádorového oemocěí) je realizace čiostí ebo procesů, jejichž výsledek elze s jistotou předpovědět a které se odehrávají v rozsáhlé možiě prvků (apř. pacietů). Tyto prvky mají určitou skupiu vlastostí stejých (apř. stejý typ ádorového oemocěí) a další skupiu vlastostí odlišých (apř. odlišý stupeň úspěšosti metody léčby, odlišé hodoty jiých parametrů celkového zdravotího stavu). Deskriptiví a matematická statistika a teorie pravděpodobosti se zabývají kvalitativí a kvatitativí aalýzou zákoitostí hromadých áhodých jevů. Statistická jedotka SJ je vymezea stejými vlastostmi prvků zkoumaé možiy (apř. pacieti se stejým typem ádorového oemocěí). Statistický zak SZ je dá ěkterou z odlišých vlastostí prvků zkoumaé možiy (apř. odlišým stupěm úspěšosti léčby, ěkterým dalším parametrem celkového zdravotího stavu pacietů). Hodota statistického zaku HSZ je způsob popisu zkoumaého statistického zaku (apř. popis úspěšosti léčby zmešeím ádoru od 0 % až do 00 %). Základí statistický soubor ZSS (populace) je dá všemi statistickými jedotkami, jeho rozsah je rove počtu všech statistických jedotek (apř. rozsah zkoumaého základího statistického souboru ZSS je u zadaého příkladu rove celkovému počtu 4000 pacietů). Obvykle eí v praktických možostech statistiků zkoumat statistický zak u všech statistických jedotek a pracovat s populačími charakteristikami. Vhodou cestou je přistoupit k omezeí počtu statistických jedotek. 5

14 Náhodý výběr NV je omezeí počtu zkoumaých statistických jedotek takovým způsobem, aby bylo možé přeášet získaé výsledky a celý základí statistický soubor ZSS. Existují rozmaité způsoby áhodého výběru (losováí, geerováí tabulkou áhodých čísel, stratifikovaý výběr). Je potřebé ověřovat, zda je možo získaý výběr považovat za áhodý. Výběrový statistický soubor VSS je spoje s výběrovými charakteristikami a je dá těmi statistickými jedotkami, které byly vybráy ze základího statistického souboru procesem áhodého výběru. Rozsah výběrového statistického souboru je rove počtu vybraých statistických jedotek (apř. rozsah u zadaého příkladu je rove počtu 50 vybraých pacietů k miimalizaci výběrové chyby jako odlišosti mezi populačími a výběrovými charakteristikami je zapotřebí, aby rozsah byl větší ež 30 statistických jedotek). Výběrový statistický soubor VSS je jedorozměrým, je-li u ěj zkoumá je jede statistický zak, vícerozměrým, je-li zkoumáo více statistických zaků. Formulace statistického šetřeí je u zadaého příkladu uskutečěa vymezeím výběrového statistického souboru 50 pacietů. V rámci tohoto vymezeí musí být přesě charakterizováy všechy avazující pojmy zkoumaý hromadý áhodý jev HNJ, defiice statistické jedotky SJ, určeí zkoumaého statistického zaku SZ, charakteristika hodot statistického zaku HSZ, přesé vymezeí základího statistického souboru ZSS a koečě zajištěí procedury áhodého výběru NV. Kotrolí otázky: Co je předmětem zkoumáí statistiky a teorie pravděpodobosti? Co je to hromadý áhodý jev? Jak je vymezea statistická jedotka? Jak je vymeze statistický zak a jeho hodoty? Jaký je rozdíl mezi základím a výběrovým statistickým souborem? Proč je důležitý proces áhodého výběru? Kotrolí příklad: Proveďte formulaci statistického šetřeí počtu chybých odpovědí v testu o příčiách rakoviy, kterému se podrobila skupia respodetů vybraá z vymezeé populace obyvatelstva (byly alezey dvě chybé odpovědi u respodetů, tři chybé odpovědi u 30 respodetů, čtyři chybé odpovědi u 7 respodetů, 5 chybých odpovědí u respodetů). 6

15 . ZÁKLADNÍ METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY ŠKÁLOVÁNÍ Tato druhá kapitola poskyte ávod, jak používat druhou základí metodu deskriptiví statistiky azvaou Škálováí (viz Legeda k obrázku Obr. ). Součástí kapitoly jsou také uvedeé cíle výkladu, přehled osvojovaých pojmů a pozatků, kotrolí otázky a kotrolí příklad. Výklad je založe a zadaém příkladu, který je postupě řeše v rámci celé Části A během sezamováí se všemi 8 základími metodami statistiky. Cíle: tvorba škály; výběr typu škály. Osvojovaé pojmy a pozatky: Škála, klasifikace škál, parametry vybraého typu škály. Škálováí je vhodé vyjádřeí hodot statistického zaku prostředictvím prvků škály (seskupeí hodot statistického zaku do rozumých skupi, prvky škály jsou jedotlivé skupiy). Souhr prvků škály se azývá škála. Podle povahy statistického zaku je možé rozlišovat apř. čtyři typy škál: omiálí, ordiálí, kvatitativí metrickou a absolutí metrickou. Klasifikace škál lze využít také ke klasifikaci statistických zaků. V ěkterých případech lze hodoty statistického zaku ihed ztotožit se škálou a škálováí eí uté provádět. Nomiálí škála je klasifikací do kategorií (prvky škály jsou jedotlivé kategorie). O každých dvou statistických jedotkách výběrového statistického souboru lze rozhodout, zda jsou z hlediska zkoumaého statistického zaku totožé, ebo rozdílé (apř. pohlaví ebo zaměstáí, jsou-li statistickými jedotkami idividuálí osoby). Ordiálí škála umožňuje eje rozhodout o totožosti ebo rozdílosti statistických jedotek, ale také staovit jejich pořadí (apř. dosažeí stupě školího vzděláí). Prvky škály jsou jedotlivá pořadí. Neumožňuje staovit vzdáleost mezi dvěma sousedími statistickými jedotkami uspořádaými podle této škály. 7

16 Kvatitativí metrická škála již umožňuje staovit vzdáleost mezi dvěma sousedími statistickými jedotkami z tohoto pohledu je ezbyté defiovat jedotku škály (apř. bodové hodoceí procetuálí úspěšosti metody léčby ádorového oemocěí ebo jiého parametru celkového zdravotího stavu, teplota ve stupích Celsia). Prvky škály jsou jedotlivé body škály vyjádřeé číselými velikostmi. Kvatitativí metrická škála vyjadřuje hodoty statistického zaku bez možosti věcě iterpretovat počátek (ulový bod) škály volba počátku škály je proto libovolá. Absolutí metrická škála je kvatitativí metrická škála, kde avíc lze věcě iterpretovat počátek škály ula škály odpovídá skutečé ulové hodotě zkoumaého statistického zaku (apř. teplota ve stupích Kelvia, počet chyb při testováí, délka školí docházky). Prvky škály jsou jedotlivé body škály vyjádřeé eje číselou velikostí, ale také absolutí ulou škály. Pouze absolutí metrická škála umožňuje počítat podíly, podíl libovolých dvou bodů škály ezávisí a volbě jedotky škály. V zadaém příkladě jsou hodoty statistického zaku úspěšost léčby ádorového oemocěí dáy stupi,,, 5. Je zřejmé, že musel být vyviut způsob vyjádřeí úspěšosti léčby ádorového oemocěí apř. procetuálími itervaly zmešeí ádoru stupě,,, 5 lze tedy ztotožit se škálou, která je typickou kvatitativí metrickou škálou. Prvky škály jsou body škály vyjádřeé číselými velikostmi x =, x =,., x 5 = 5. Kotrolí otázky: Co je to škálováí? Podle čeho lze rozlišovat typy škál? Jaké jsou základí typy škál? Jaký je rozdíl mezi kvatitativí metrickou škálou a absolutí metrickou škálou? Kotrolí příklad: Navrhěte škálováí u statistického šetřeí, při ěmž je zkoumá počet chybých odpovědí v testu o příčiách rakoviy, kterému se podrobila skupia respodetů vybraá z vymezeé populace obyvatelstva (dvě chybé odpovědi byly alezey u respodetů, tři chybé odpovědi u 30 respodetů, čtyři chybé odpovědi u 7 respodetů, 5 chybých odpovědí u respodetů). 8

17 3. ZÁKLADNÍ METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY MĚŘENÍ V DESKRIPTIVNÍ STATISTICE Tato třetí kapitola poskyte ávod, jak používat třetí základí metodu deskriptiví statistiky azvaou Měřeí v deskriptiví statistice (viz Legeda k obrázku Obr. ). Součástí kapitoly jsou také uvedeé cíle výkladu, přehled osvojovaých pojmů a pozatků, kotrolí otázky a kotrolí příklad. Výklad je založe a zadaém příkladu, který je postupě řeše v rámci celé Části A během sezamováí se všemi 8 základími metodami statistiky. Cíle: proces měřeí; vyjádřeí výsledků měřeí. Osvojovaé pojmy a pozatky: Měřeí, absolutí četost, relativí četost, kumulativí četosti. Měřeí je proces, kterým je každé statistické jedotce výběrového statistického souboru VSS (o rozsahu statistických jedotek) přiřazová jede z k prvků škály x, x,., x k. Výsledky měřeí jsou zjištěí, že prvek škály x i (i =,,, k) byl aměře i krát. Součet všech hodot i (i =,,, k), kterým se říká absolutí četosti, musí být rove rozsahu výběrového statistického souboru VSS. Možé výsledky měřeí x i (i =,,, k) lze hodotit podle toho, jak velkou mají pravděpodobost, že při měřeí astaou. Statistická defiice pravděpodobosti vychází z krát ezávisle provedeého měřeí (počet měřeí odpovídá rozsahu výběrového statistického souboru VSS) a ze zjištěých absolutích četostí i možých výsledků měřeí. Statistická pravděpodobost p(x i ) výsledku x i je pak dáa tzv. relativí četostí i /. Součet všech relativích četostí musí být rove. Mezi výsledky měřeí lze zařadit také kumulativí četosti. Kumulativí četost i / udává pravděpodobost, že bude aměře výsledek měřeí meší ebo rový výsledku x i. Je zřejmé, že kumulativí četosti je možé zjišťovat je u kvatitativích metrických ebo absolutích metrických škál. Kumulativí četosti mají velký výzam apř. při kostrukci fiačích a ekoomických rozvah. 9

18 V rámci zadaého příkladu lze prostředictvím tabulky Tab. vysledovat, že bylo pracováo se škálou o 5 prvcích x =, x =,., x 5 = 5 (viz prví sloupec tabulky), jejichž absolutí četosti byly postupě = 9, = 5, 3 = 0, 4 = 4, 5 = (viz druhý sloupec tabulky). Relativí četosti i / jsou pak uvedey v třetím sloupci tabulky, kumulativí četosti v sloupci čtvrtém. Z padesáti pacietů výběrového statistického souboru ( = 50) bylo u 9 pacietů zmešeí ádoru o % (pravděpodobost tohoto prvku škály je 0,8), u 5 pacietů zmešeí o % (pravděpodobost 0,30), u 0 pacietů zmešeí o 40-60% (pravděpodobost 0,40), u 4 pacietů zmešeí o 0-40 % (pravděpodobost 0,08) a u pacietů zmešeí o 0-0 % (pravděpodobost 0,04). V rámci zadaého příkladu je kumulativí četost apř. výsledku x 3 = 3 dáa pravděpodobostí 0,88. Tuto pravděpodobost, že při zkoumáí zmešeí ádoru po aplikaci léčebé metody bude zjiště prvek škály, ebo 3, lze určit jako součet pravděpodobostí p() + p() + p(3) = 0,8 + 0,30 + 0,40 = 0,88. Pravděpodobost zmešeí ádoru o % je tedy začě vysoká. V případě kvatitativí metrické škály a absolutí metrické škály lze měřeí považovat za zobrazeí možiy statistických jedotek (apř. výběrového statistického souboru) do možiy reálých čísel. Metody měřeí jsou závislé a odboré oblasti, v jejímž rámci byl vymeze zkoumaý výběrový statistický soubor VSS. Odlišé budou apř. při zkoumáí hromadého áhodého jevu v sociologii (rozmaité dotazíkové formy měřeí) a při zkoumáí hromadého áhodého jevu v medicíě (rozmaité způsoby měřeí velikosti ádorů před aplikací a po aplikaci léčebé metody). Metoda měřeí musí splňovat podmíky validity (zda je měřeo to, co má být měřeo), reliability (reprodukovatelost měřeí) a objektivosti (zda růzí posuzovatelé budou měřit statistické jedotky stejým způsobem). Výsledky měřeí zkoumaého výběrového statistického souboru VSS jsou dáy údaji o hodotách statistického zaku, tj. údaji o absolutích četostech a relativích četostech jedotlivých prvků škály a údaji o četostech kumulativích. 0

19 Kotrolí otázky: Co je to měřeí při statistickém zpracováí hromadého áhodého jevu? Na čem závisí volba metody měřeí? Jaké podmíky musí splňovat metoda měřeí? Co jsou to výsledky měřeí? Jaká je statistická defiice pravděpodobosti? Jak je defiováa absolutí a relativí četost? Jak jsou defiováy kumulativí četosti? Kotrolí příklad: Navrhěte proces měřeí u statistického šetřeí, při ěmž je zkoumá počet chybých odpovědí v testu o příčiách rakoviy, kterému se podrobila skupia respodetů vybraá z vymezeé populace obyvatelstva (dvě chybé odpovědi byly alezey u respodetů, tři chybé odpovědi u 30 respodetů, čtyři chybé odpovědi u 7 respodetů, 5 chybých odpovědí u respodetů). Zapište výsledky měřeí pomocí absolutí a relativí četosti a také pomocí kumulativí četosti.

20 4. ZÁKLADNÍ METODY DESKRIPTIVNÍ STATISTIKY ELEMENTÁRNÍ STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ Tato čtvrtá kapitola poskyte ávod, jak používat čtvrtou základí metodu deskriptiví statistiky azvaou Elemetárí statistické zpracováí (viz Legeda k obrázku Obr.). Součástí kapitoly jsou také uvedeé cíle výkladu, přehled osvojovaých pojmů a pozatků, kotrolí otázky a kotrolí příklad. Výklad je založe a zadaém příkladu, který je postupě řeše v rámci celé Části A během sezamováí se všemi 8 základími metodami statistiky. Cíle: cíle zkoumáí deskriptiví statistiky; empirický obraz výběrového statistického souboru. Osvojovaé pojmy a pozatky: Tabulky četostí, empirické rozděleí, grafické vyjádřeí, grafické vyjádřeí empirického rozděleí, polygo četosti, empirické parametry, obecé momety, cetrálí momety, ormovaé momety. Výsledky měřeí je potřebé uspořádat, graficky vyjádřit a parametrizovat vhodými empirickými parametry. Tyto úkoly lze split pomocí elemetárího statistického zpracováí. Výsledkem elemetárího statistického zpracováí je empirický obraz zkoumaého výběrového statistického souboru VSS. Elemetárím statistickým zpracováím je rověž završea ta skupia základích statistických metod, kterou lze azvat deskriptiví statistikou. Dílčí úkoly uspořádáí, grafické vyjádřeí a parametrizace lze vystihout třemi základími výsledky elemetárího statistického zpracováí tabulkou, empirickými rozděleími (ejlépe v podobě polygou) a empirickými parametry.

21 4. Tabulka Tabulka představuje formu uspořádáí výsledků měřeí. Při popisu tabulky lze sledovat tabulku Tab. uvedeou u zadaého ilustrujícího příkladu v kapitole. Tabulka obsahuje osm sloupců. Prví čtyři sloupce jsou potřebé jedak pro zpřehleděí výsledků měřeí (splěí úkolu uspořádáí ), jedak pro zázorěí empirických rozděleí (splěí úkolu grafického vyjádřeí ). Zbývající čtyři sloupce mají pomocý výzam a slouží k sadému a rychlému výpočtu empirických parametrů (splěí úkolu parametrizace ). Prví čtyři sloupce obsahují: sloupec ozačeý x i sloupec ozačeý i sloupec ozačeý i / sloupec ozačeý i / prvky škály; absolutí četosti prvků škály; relativí četosti prvků škály; kumulativí četosti. Další čtyři sloupce obsahují součiy potřebé pro výpočet empirických parametrů: sloupec obsahuje součiy x i i ; sloupec obsahuje součiy x i i ; sloupec obsahuje součiy x 3 i i ; sloupec obsahuje součiy x 4 i i. Tabulka je uzavřea součty údajů v jedotlivých sloupcích. V prvích čtyřech sloupcích mají tyto součty výzam kotrolí, v dalších čtyřech sloupcích jsou potřebé pro výpočet empirických parametrů. 3

22 4. Empirická rozděleí četostí Empirická rozděleí četostí lze čleit a dva základí druhy. Prví druh přiřazuje prvkům škály x i odpovídající absolutí četosti i ebo relativí četosti i /. Druhý druh přiřazuje prvkům škály x i odpovídající kumulativí četosti i /. Grafické vyjádřeí empirického rozděleí jedorozměrého statistického souboru je spojeo s používáím souřadicového systému v roviě. V tomto souřadicovém systému jsou vždy a vodorovou osu aášey prvky škály x i, a svislou osu odpovídající četosti. Grafické vyjádřeí těchto fukčích závislostí je dáo možiou bodů, jejichž prví souřadicí je vždy prvek škály x i, druhou souřadicí je odpovídající četost. Spojeím sousedích bodů této možiy úsečkami lze obdržet lomeou čáru, která je azýváa polygo. Lze rozezávat polygo absolutích četostí, polygo relativích četostí, polygo kumulativích četostí. Vedle grafického vyjádřeí empirických rozděleí polygoem je používáa řada pomocých grafických zázorěí, jejichž předostí je odklo od matematicky exaktího aparátu a určitá rychlá orietace, edostatkem pak emožost avázat prohloubeým aparátem matematické statistiky, především z hlediska zkoumáí závislostí u vícerozměrých statistických souborů. Mezi tato pomocá grafická vyjádřeí patří sloupcové diagramy, sloupkové grafy, výsečové grafy apod. Všeobecě lze doporučit jedozačý příklo k exaktímu grafickému vyjadřováí. Výzam grafického vyjádřeí empirického rozděleí je začý. Grafické vyjádřeí umožňuje okamžité zkoumáí, kterému teoretickému rozděleí (z hlediska teorie pravděpodobosti) se přibližuje empirické rozděleí, získaé jako výsledek deskriptiví statistiky. Další výzam spočívá v okamžitém orietačím vyhodoceí parametrů polohy, variability, šikmosti a špičatosti empirického rozděleí a tím i zkoumaého statistického souboru. V rámci zadaého příkladu si lze procvičit užitím tabulky Tab. v kapitole. apř. kostrukci polygou absolutích a kumulativích četostí. Na grafu uvedeém a obrázku Obr. je zázorě polygo absolutích četostí, a grafu uvedeém a obrázku Obr. 3 pak polygo kumulativích četostí. 4

23 Obr. (graf): Polygo absolutích četostí. 0,8 0,6 0,4 0, Obr. 3 (graf): Polygo kumulativích četostí. 5

24 4.3 Empirické parametry Empirické parametry stručě a jedoduše vystihují povahu zkoumaého statistického souboru. Většiou jsou empirické parametry vztahováy k výběrovému statistickému souboru, proto často esou pojmeováí výběrové parametry a jsou součástí výběrového statistického šetřeí. Výběrové parametry patří mezi výzamé výběrové charakteristiky výběrového statistického šetřeí. Výběrové statistické šetřeí má vedle moha kladů i ěkteré zápory. K hlavím záporům patří zatížeí výběrovou chybou. Aby byla výběrová chyba miimalizováa a aby bylo možo rozšířit pozatky získaé výběrovým statistickým šetřeím a základí statistický soubor (a populaci), je uto zajistit reprezetativost výběrového statistického souboru. Nejspolehlivější cestou k zajištěí reprezetativosti je provedeí áhodého výběru statistických jedotek výběrového statistického souboru. Obvykle lze a základě áhodého výběru ztotožit výběrové charakteristiky s charakteristikami populačími, přesahuje-li rozsah výběrového statistického souboru alespoň 30 statistických jedotek. Jiou možostí je i záměrý výběr, kdy zkušeý odborík vybírá ze základího statistického souboru určité statistické jedotky záměrě tak, aby byl výběrový statistický soubor souborem reprezetativím. Výběrové parametry mají statisticko-pravděpodobostí charakter a z tohoto důvodu se chovají jako zvláští skupia statistických zaků. Teto pohled ebude v dalším výkladu rozvíje, je však uto a ěj upozorit, zvláště z hlediska hlubšího studia statistiky a teorie pravděpodobosti. V dalším výkladu budou uvažováy výběrové charakteristiky a tím i výběrové parametry, které budou získáy prostředictvím áhodého výběru s rozsahem větším ež 30 statistických jedotek. Na vyskytuvší se rozdíly mezi populačími a výběrovými charakteristikami bude upozorěo. Empirické parametry lze dělit podle toho, který rys zkoumaého statistického souboru (zkoumaého statistického zaku) vystihují: parametr polohy, parametr promělivosti (variability), parametr šikmosti, 6

25 parametr špičatosti. Druhým děleím je děleí empirických parametrů podle způsobu jejich výpočtu: mometové parametry (vystupují jako fukce všech hodot statistického zaku), kvatilové parametry (reprezetují je určité hodoty statistického zaku). Kvatilové parametry úzce souvisejí s mometovými parametry, jsou však kostruováy odlišým způsobem. Empirickým kvatilem je vždy určitá hodota statistického zaku (již lze vyjádřit kvatitativí metrickou ebo absolutí metrickou škálou), která dělí počet meších a větších hodot statistického zaku v určitém poměru. Např. kvatil dělící hodoty statistického zaku a dvě stejé části (tj. padesátiprocetí kvatil) je azývá mediá. Mezi další zámé kvatily patří kvartily, decily a percetily. Kvatilové parametry ebudou blíže zkoumáy. Mometové parametry jsou děley a obecé momety, cetrálí momety a ormovaé momety. Pomocí obecého mometu. řádu lze výstižě charakterizovat parametry (aritmetický průměr), pomocí cetrálího mometu. řádu lze charakterizovat parametry (empirický rozptyl), pomocí ormovaého mometu 3. a 4. řádu pak parametry šikmosti a špičatosti. Jelikož ormovaé momety lze vypočítat pomocí cetrálích mometů a cetrálí momety pomocí mometů obecých, bude v dalším výkladu zvole ásledující postup (písmeem x bude v rámci tohoto postupu ozače zkoumaý statistický zak SZ-x, prvky škály statistického zaku budou ozačey x i, absolutí četosti i a rozsah výběrového statistického souboru ): uvedeí obecých vztahů pro obecé a cetrálí momety; vyjádřeí potřebých cetrálích mometů pomocí mometů obecých; vyjádřeí potřebých ormovaých mometů pomocí mometů cetrálích. a) Obecé vztahy pro obecé a cetrálí parametry, variačí koeficiet Obecý momet r-tého řádu: ( ) Obecý momet. řádu: ( ) r r i i O x = x O x = i xi (aritmetický průměr) 7

26 r r i i Cetrálí momet r-tého řádu: C ( x) = ( x O ) Cetrálí momet. řádu: ( ) ( ) Směrodatá odchylka: S = C C x = x O i i (empirický rozptyl, středí kvadratická chyba) x Variačí koeficiet: S O x S, variačí koeficiet v procetech 00 O x b) Vyjádřeí potřebých cetrálích mometů pomocí mometů obecých (odvozeí s použitím biomické věty) C = O O 3 C 3 = O 3 3O O + O C 4 = O 4 4O 3 O + 6O O 4 3O c) Vyjádřeí potřebých ormovaých mometů pomocí mometů cetrálích, obecý vztah pro ormovaý momet r-tého řádu C3 N 3 = C C N = C 4 4 C N r x O = Sx i i ( x) r Postup pro výpočet obecých, cetrálích a ormovaých mometů byl uskutečě pomocí kroků ad a), ad b) a ad c). Jelikož lze pomocí tohoto postupu určit všechy potřebé mometové parametry, lze yí popsat parametr polohy, promělivosti, šikmosti a špičatosti. 8

27 Parametr polohy je urče obecým mometem. řádu O a ese ázev aritmetický průměr. Polohou empirického rozděleí četostí je myšleo jeho umístěí a vodorové ose souřadicového systému. V uvedeém vztahu jde o vážeý aritmetický průměr. Parametr promělivosti je urče cetrálím mometem. řádu C a ese ázev empirický rozptyl (odmocia rozptylu pak ese ázev směrodatá odchylka ). Směrodatá odchylka ukazuje, jakou výpovědí hodotu má aritmetický průměr. Je-li směrodatá odchylka velká, výpovědí hodota aritmetického průměru je malá a opačě. Variačí koeficiet v procetuálí podobě udává, kolik procet z aritmetického průměru tvoří směrodatá odchylka. Parametr šikmosti je ejčastěji určová pomocí ormovaého mometu 3. řádu N 3 a ese pak ázev koeficiet šikmosti. Je-li koeficiet šikmosti kladý, pak prvky škály ležící vlevo od aritmetického průměru mají vyšší četosti (kladě zešikmeé rozděleí četostí větší kocetrace meších prvků škály, meších hodot statistického zaku) a opačě. Parametr špičatosti je ejčastěji určová pomocí ormovaého mometu 4. řádu N 4 a ese pak ázev koeficiet špičatosti. Špičatějšímu rozděleí četostí při daém rozptylu odpovídá vyšší hodota koeficietu špičatosti ež rozděleí ploššímu. Používá se rověž veličia exces, defiovaá vztahem exces = N 4 3. Exces srovává špičatost empirického rozděleí se špičatostí zámého ormovaého ormálího rozděleí. Je-li exces kladý, je empirické rozděleí špičatější ež toto rozděleí. Ideálí koeficiet špičatosti má hodotu 3. 9

28 4.4 Ilustrace výpočtu empirických parametrů Pro zadaý příklad bude yí provede výpočet empirických parametrů polohy, promělivosti, šikmosti a špičatosti. Nejdříve budou užitím 5. až 8. sloupce tabulky Tab. vypočítáy obecé momety. až 4. řádu: O =,50 O = 7,6 O 3 = 3,50 O 4 = 8,86 Další část postupu bude spočívat ve výpočtu cetrálích mometů. až 4. řádu: C =,00 (směrodatá odchylka S x =,005, variačí koeficiet je přibližě 40 %) C 3 = 0,300 C 4 =,93 Závěrečá část výpočtu empirických parametrů bude směřovat k určeí ormovaých mometů 3. a 4. řádu a excesu: C3 N 3 = = 0,96 C C N C4 = =,865 4 C exces = N 4 3 = 0,35 Parametr polohy (aritmetický průměr) O ukazuje a umístěí empirického rozděleí četostí a vodorové ose aritmetický průměr zmešeí ádoru po aplikaci léčebé metody je v prvcích škály,5, v hodotách statistického zaku tomu odpovídá průměré zmešeí ádoru o 60 %. Směrodatá odchylka vyjádřeá odmociou z C dává iformaci o výpovědí hodotě aritmetického průměru. Iformaci o výpovědí hodotě lze kvatifikovat ásledujícím způsobem v rozmezí zmešeí ádoru v prvcích škály od,5 do 3,5 (tj. v hodotách statistického zaku od 80 % do 40 %) se achází zhruba 70 % pacietů (použitelost této ifor- 30

29 mace závisí a tom, zda empirické rozděleí četostí lze ahradit teoretickým ormálím rozděleím). Kladý koeficiet šikmosti N 3 ukazuje a větší kocetraci ižších prvků škály, větších hodot zmešeí ádoru. Obrázek Obr. toto zjištěí potvrzuje mírá asymetrie vlevo vůči aritmetickému průměru. Poměrě vysoká hodota koeficietu špičatosti N 4 a rověž hodota excesu ukazují a srovatelost se špičatostí ormovaého ormálího rozděleí. Toto sděleí dodatečě podporuje závěr o dobré výpovědí hodotě aritmetického průměru. Kotrolí otázky: Jaké jsou hlaví cíle elemetárího statistického zpracováí? Jak lze vhodým způsobem uspořádat výsledky měřeí? Jak lze vhodým způsobem graficky vyjádřit výsledky měřeí? Jak lze vhodým způsobem parametrizovat výsledky měřeí? Co je to empirické rozděleí četostí? Jak lze graficky vyjádřit empirické rozděleí jedorozměrého statistického souboru? Co je to polygo četostí? Jaký je výzam grafického vyjádřeí empirického rozděleí? Jak lze dělit empirické parametry podle popisovaého rysu zkoumaého statistického souboru? Jak lze dělit empirické parametry podle způsobu výpočtu, co jsou to kvatily? Jak jsou defiováy obecé, cetrálí a ormovaé momety? Co je ejdůležitějším parametrem polohy, promělivosti (variability), šikmosti a špičatosti, jaká je statistická iterpretace těchto parametrů? Jak je defiováa veličia exces a jaký je její výzam? Kotrolí příklad: Proveďte elemetárí statistické zpracováí u statistického šetřeí, při ěmž je zkoumá počet chybých odpovědí v testu o příčiách rakoviy, kterému se podrobila skupia respodetů vybraá z vymezeé populace obyvatelstva (dvě chybé odpovědi byly alezey u respodetů, tři chybé odpovědi u 30 respodetů, čtyři chybé odpovědi u 7 respodetů, 5 chybých odpovědí u respodetů). Zapište výsledky měřeí pomocí tabulky, sestrojte grafické vyjádřeí empirického rozděleí četostí, určete mometové charakteristiky polohy, variability, šikmosti a špičatosti u tohoto empirického rozděleí. 3

30 5. ZÁKLADNÍ METODY MATEMATICKÉ STATISTIKY NEPARAMETRICKÉ TESTOVÁNÍ Tato pátá kapitola poskyte ávod, jak používat prví základí metodu matematické statistiky azvaou Neparametrické testováí (viz Legeda k obrázku Obr. ). Součástí kapitoly jsou také uvedeé cíle výkladu, přehled osvojovaých pojmů a pozatků, kotrolí otázky a kotrolí příklad. Výklad je založe a zadaém příkladu, který je postupě řeše v rámci celé Části A během sezamováí se všemi 8 základími metodami statistiky. Cíle: pravděpodobostí zkoumáí výběrového statistického souboru: výběr odpovídajícího teoretického rozděleí; pravděpodobostí obraz výběrového statistického souboru: testováí eparametrických hypotéz. Osvojovaé pojmy a pozatky: Teoretické rozděleí, testováí eparametrických hypotéz, test ulové hypotézy H 0, přijetí ebo zamítutí ulové hypotézy H 0, hladia statistické výzamosti α, apř. α = 0,05. Přiřazeí teoretického rozděleí rozděleí empirickému je obsahové vystižeí statistické metody, která ese ázev eparametrické testováí ebo také testováí eparametrických hypotéz. Neparametrická hypotéza je doměka, které teoretické rozděleí lze přiřadit rozděleí empirickému. V rámci této statistické metody bude potřebé zabývat se itervalovým rozděleím četostí, pojmem teoretické rozděleí, aparátem eparametrického testováí a zadaým příkladem. Výzam testováí eparametrických hypotéz spočívá především v tom, že je vždy výhodé ahradit empirické rozděleí rozděleím teoretickým s teoretickým rozděleím je spoje jedoduchý matematický aparát, který umožňuje získat iformace jiak edostupé. 3

31 5. Itervalové rozděleí četostí V ěkterých případech (apř. pro potřeby eparametrického testováí) je užitečé rozčleit rozpětí hodot statistického zaku ebo rozpětí prvků metrické škály u zkoumaého jedorozměrého statistického souboru a určitý počet itervalů. Do každého z vytvořeých itervalů pak budou zahruty odpovídající hodoty statistického zaku ebo odpovídající prvky metrické škály. Zpravidla se doporučuje sestrojit 5 až 0 itervalů stejé délky, existují také pravidla (vycházející z rozsahu výběrového statistického souboru VSS) pro hrubé vymezeí počtu k itervalů (apř. Sturgesovo pravidlo k = + 3,3log 0 ). Patřičou pozorost je zapotřebí věovat také staoveí hraic itervalů. V rámci zadaého příkladu bude zjišťováo, zda empirické rozděleí a grafu a obrázku Obr. lze ahradit ormálím rozděleím. Grafem tzv. hustoty pravděpodobosti ormálího rozděleí je Gaussova křivka, defiičím oborem hustoty pravděpodobosti je možia všech reálých čísel dílčí itervaly je zapotřebí volit tak, aby pokryly iterval (- ; ). Teto záměr a přibližé použití apř. Sturgesova pravidla pro rozsah výběrového statistického souboru = 50 vede ke staoveí počtu 5 dílčích itervalů a jejich hraic, tak jak je to uvedeo v tabulce Tab.. x i iterval i i / Σ i / x i i x i i x 3 i i x 4 i i ( ;,5 9 0,8 0, (,5;,5 5 0,3 0, (,5; 3,5 0 0,4 0, (3,5; 4,5 4 0,08 0, (4,5; ) 0,04, Σ 50, Tab. : Itervalové rozděleí četostí. 33