Money - Models of "Time" and Distance Between Risk Events

Transkript

1 7 th Iteratoal Scetfc Coferece Maagg ad Modellg of Facal Rsks Ostrava VŠB-TU of Ostrava, Faculty of Ecoomcs, Face Departmet 8 th 9 th September 204 Moey - Models of "Tme" ad Dstace Betwee Rsk Evets Fratšek Vávra, Patrce Marek Abstract Whe dog rsk maagemet t s ecessary to use some effectve method that determes tmes or otherwse measured dstaces betwee rsk evets. Curret probablty models usually work wth a expoetal dstrbuto of tmes betwee rsk evets. Ths s coected wth Posso dstrbuto of a umber of evets utl a gve tme. I some cases, ths approach offers results that are ot acceptable. Ths paper deals wth models that use coecto betwee a dstrbuto of umber of evets utl a gve tme (or otherwse measured dstace) ad a dstrbuto of a tme (dstace) betwee cosecutve evets. The ma goal of ths paper s a demostrato of a fact that tme gve models ca be substtuted by aother quatty that have smlar cumulatve propertes. The procedure based o oparametrc models of dstrbuto fuctos s preseted. Key words Tme to falure, reewal processes, tme turover aalogy, balace of paymets JEL classfcato: C0, G32. Úvod V klasckých modelech časových ásledostí rzkových událostí (Ave a Jese, 999) je základí velčou stadardí fyzkálí čas vyjádřeý tím č oím zavedeým kaledářem. Samo odvozeí základích vtahů a pojmů epotřebuje všechy atrbuty fyzkálího času. Pro modelováí jsou důležté obecější pojetí času ásledujících vlastostí: jedá se o kladou velču a jedá se o v čase eklesající velču 2, vz (Ave a Jese, 999). To splňují ěkteré ečasové ekoomcké velčy. Jako příklad lze uvést hodoty a účtech 3 Pohledávky z obchodích vztahů, straa MD a 32 Závazky z obchodích vztahů, straa D v době od otevřeí do uzavřeí účtů 3. Jým příkladem mohou být stray dílčích ukazatelů platebí blace státu (Česká árodí baka, 204). Dalším možým využtím je modelováí poruchových stavů v závslost a produkc. Např. u automoblu je vzdáleost poruch v relac k ujetému počtu klometrů. Podobých příkladů lze alézt celou řadu. Doc. Ig. Fratšek Vávra, CSc., vavra@kma.zcu.cz, Katedra matematky, Fakulta aplkovaých věd, Západočeská uverzta v Plz, Uverztí 22, Plzeň. Ig. Patrce Marek, PhD., patrke@kma.zcu.cz, NTIS Nové techologe pro formačí společost, Fakulta aplkovaých věd, Západočeská uverzta v Plz, Uverztí 22, Plzeň. 2 Pro fyzkálí ebo kaledářový čas se v defčím zobrazeí jedá o dettu. 3 Za předpokladu, že v účetctví ejsou chyby opravovaé odečteím. 850

2 7 th Iteratoal Scetfc Coferece Maagg ad Modellg of Facal Rsks Ostrava VŠB-TU of Ostrava, Faculty of Ecoomcs, Face Departmet 8 th 9 th September Model 2. Klascký časový model Mějme ezáporé áhodé velčy T, T2,..., e utě ezávslé, e utě stejě rozděleé. Tyto velčy, v klasckém pojetí, modelují časy mez (rzkovým) událostm. Někdy vzká problém s terpretací T. Budeme předpokládat, že se jedá o čas od ěkteré referečí (ulové) událost do událost, kterou budeme považovat za prví. Dále ozačíme S T, čas, který uplye od referečí událost do té událost. Využjeme také (čítací) velču Nt max : S t, která reprezetuje počet událostí, které astaly po ulté (referečí) událost až do času t. V dalším textu budeme užívat ásledující modelové symbolky : FT x PT x F x PS x je dstrbučí fukce áhodé velčy T a je dstrbučí fukce áhodé velčy Př tomto ozačeí a za uvedeých předpokladů pak platí P N t F t F t S. a () N t 0 F t F t P 0 kde F t t 0 a F t 0 t 0, t F t 0 0, (2) F T a dále N t F t E. (3) Důkazy lze alézt apř. v (Ave a Jese, 999). Odtud trválě plye: Důkaz: P P N t F t, (4) N t 0 t 0 P a (5) N t 0 0 t 0 P. (6) N t PN t F ( t) F ( t) F ( t) Za výše uvedeých předpokladů, je problémem zjstt F x PS x T, T2,... ezávslé, pak F t F t zf z dz; 0,,..., kde z 0., pokud budou f je hustota áhodé proměé T. Odvozeí této kovoluce lze alézt apř. v (Réy, 972). Kovoluce je des jž poměrě dobře umercky zvládutelá. Statstcké postupy ám dávají jý prostředek pro odhady t. Zde musíme ale předpokládat, že máme k dspozc dostatečě velké F áhodé výběry z velč T, T2,... Ozačíme t, j; j,...,, kde t, j je jtý prvek áhodého výběru z áhodé velčy T a je rozsah tohoto výběru, tj. počet pozorováí áhodé proměé T. Pak poměrě kvaltím odhadem (oz. ˆ t ) dstrbučí fukce t F k F k bude 85

3 7 th Iteratoal Scetfc Coferece Maagg ad Modellg of Facal Rsks Ostrava VŠB-TU of Ostrava, Faculty of Ecoomcs, Face Departmet 8 th 9 th September 204 k F ˆ ˆ k t Fk t tk,. (7) k Odvozeí tohoto vztahu, založeé a eparametrckých jádrových odhadech hustot s Parzeovým (obdélíkovým) jádrem (vz Devroye a Györf, 985), včetě vlastostí a kvalty lze alézt v (Ťoupal, 204). Elegatější tvar vzorce (7) dostaeme pro T, T2,..., které jsou ezávslé a zároveň stejě rozděleé. Pak pro takový áhodý výběrt j ; j,..., m m platí Fˆ k t Fˆ k t t. Oba dva vztahy mají své vlastost odvozeé od operace, kterou m jsou tvořey, tj. od průměru. Praktcké využtí vztahu (7) omezuje potřeba mít áhodé výběry z každé časové proměé T. To lze v ěkterých úlohách ahradt postupy stacoarzace pozorovaých dat. Jeda z možostí bude uvedea dále. 2.2 Obecější model Náhrada času jou velčou má dvě základí skupy. Prví, událost jsou jak v klasckém čase, tak v daé velčě od sebe áhodě vzdáley. Příkladem může být počet ujetých klometrů u automoblu mez porucham daého typu. Náhodost je zde jak v čase mez porucham, tak v počtu ujetých klometrů mez porucham. Druhá skupa je tvořea takovým modely, u kterých jsou událost v čase determováy, ale jejch vzdáleost měřeé jou velčou jsou, v této měřeé velčě, áhodé. Jako příklad můžeme uvést ěkteré, dílčí, údaje platebí blace. Takovou kokrétí úlohou se budeme zabývat detalěj dále. Za událost budeme považovat koce sledovacích období (měsíc, čtvrtletí, rok, ). Evdetě jejch vzdáleost měřeé časem jsou determováy. Jejch vzdáleost měřeé měsíčím obratem daého údaje mají pak áhodý charakter. Problém je zázorě ásledujícím obrázkem. Obrázek : Obchodí blace vývozu roku 202. Jedotlvé událost jsou koce měsíců. Vzdáleost mez m jsou měsíčí hodoty vývozu v mld. CZK. Referečí událost je koec prosce předchozího roku. Problematka daých zámě eí a tak v základí statstcké a pravděpodobostí teor, ale ve správých terpretacích a formulacích pro aplkačí oblast. 2.3 Příklad využtí Předchozí teor budeme demostrovat a položce Obchodí blace vývoz v mld. CZK a její časové řadě (2003/0 204/05, měsíčí údaje). Průběh této položky je zobraze a ásledujícím obrázku. 852

4 7 th Iteratoal Scetfc Coferece Maagg ad Modellg of Facal Rsks Ostrava VŠB-TU of Ostrava, Faculty of Ecoomcs, Face Departmet 8 th 9 th September 204 Obrázek 2: Obchodí blace vývozu v mld. CZK, měsíčí hodoty, a ose X je čas měřeý v měsících Evdetě se jedá o estacoárí velču a proto je amístě využtí ěkteré trasformace, která takovou estacoartu v přjatelé míře kompezuje. Jedou z možostí je model středího objemového a měového růstu (flace, kurzy, ) ve tvaru Y t Y m t 0, kde t je klascký čas v měsících, m je středí mezměsíčí růst (dex), Y 0 je středí hodota velčy a počátku sledováí (zde 2003/0). Logartmováím byla úloha převedea a úlohu leárí regrese. Výsledé parametry byly m=0,49 %, tomu odpovídá mezročí (p. a.) růst 5,99 % a Y 0 =23. Průběh vlastí velčy a jemu odpovídající růstová čára jsou a ásledujícím obrázku 3. Obrázek 3: Obchodí blace vývozu a odpovídající růstová čára, v mld. CZK, měsíčí hodoty, a ose X je čas měřeý v měsících Tomuto pojetí odpovídá zpětá trasformace a hladu počátku (zde a 2003/0). Ta bude ' X t X t. Údaj po trasformac je a obrázku 4. m t 853

5 7 th Iteratoal Scetfc Coferece Maagg ad Modellg of Facal Rsks Ostrava VŠB-TU of Ostrava, Faculty of Ecoomcs, Face Departmet 8 th 9 th September 204 Obrázek 4: Obchodí blace vývozu, trasformováo k 2003/0, v mld. CZK, měsíčí hodoty, a ose X je čas měřeý v měsících Teto průběh je jž vhodější pro statstckou ferec. Uvedeý stacoarzačí postup je patrě ejjedodušším z ěkolka možých postupů. Dokoalejší lze alézt apř. v (Ťoupal, 203). Trasformovaá data umožňují poměrě sado alézt parametrcký ebo ' ' x P X x ; X X (užto ozačeí X pro hodotu údaje F X eparametrcký model ' v prvím období a X v tém období, jedá se o aaloge T a T v v modelech s fyzkálím časem). Taková emprcká dstrbučí fukce (EDF) a modelová ormálí (gaussovská) dstrbučí fukce (MDF) jsou a obrázku 5. Obrázek 5: Emprcká a modelová dstrbučí fukce obchodí blace vývoz, v mld. Kč po korekc k počátku roku 2003 Trasformací k počátku (pro možost statstcké ferece), došlo ke zkresleí hodot a pravděpodobostích modelů v dalších obdobích. Proto ásleduje zpětá trasformace: x FX x FX ; FX x F ' x. Odtud lze bez problémů odvodt trasformace X m 854

6 7 th Iteratoal Scetfc Coferece Maagg ad Modellg of Facal Rsks Ostrava VŠB-TU of Ostrava, Faculty of Ecoomcs, Face Departmet 8 th 9 th September 204 ostatích modelových popsů (hustota, ) a parametrů (středí hodota, rozptyl, ). To je demostrováo a obrázku 6. Obrázek 6: Modelové dstrbučí fukce zpětá trasformace dstrbučích fukcí, ukázka F F F pro obchodí blac vývozu korgovaou a počátek roku 2003 X,, X 6 X2 Ze základích pozorováí x korgovaých k počátku roku 2003 lze vytvořt odhady ' ' ', x2,..., xn pravděpodobostích modelů kumulací S X takto F Jejch příklady jsou a obrázku 7. N N j x PS x P X x F x m x '. (8) Obrázek 7: Modelové dstrbučí fukce příklady dstrbučích fukcí pro kumulace od počátku, ukázka F, F2, F6, F pro obchodí blac vývozu korgovaou a počátek roku

7 7 th Iteratoal Scetfc Coferece Maagg ad Modellg of Facal Rsks Ostrava VŠB-TU of Ostrava, Faculty of Ecoomcs, Face Departmet 8 th 9 th September 204 Příklady a terpretace PN t, přesěj N x P Obrázek 8:Příklady pravděpodobostí dosažeí počtu Výraz P ( N( x) 0) zameá, jaká je pravděpodobost toho, že euplye a jede celý měsíc od počátku, pokud byla celková hodota (v tomto případě) obchodí blace vývoz rova x. Aalogcky P ( N( x) 6) je pravděpodobost toho, že uplye celých šest měsíců (po šest a před kocem sedmého) od počátku, pokud byla celková hodota (v tomto případě) obchodí blace vývoz rova x. Obdobě lze modelů tohoto typu využívat ke kostrukc předpovědí toho, jak se sledovaý údaj bude vyvíjet v blízké ásledující době. Příklad pro předpověď a rok 204 počítaá z dat od počátku roku 2003 do koce roku 203 je a obrázku 9. Obrázek 9: Obchodí blace vývozu předpověď a rok 204 počítaá z dat 2003 až 203 (meze ve vzdáleost tří směrodatých odchylek), srováí se zámou skutečostí 856

8 7 th Iteratoal Scetfc Coferece Maagg ad Modellg of Facal Rsks Ostrava VŠB-TU of Ostrava, Faculty of Ecoomcs, Face Departmet 8 th 9 th September Závěr V předchozím textu jsme se pokusl ukázat, že klascký rzkový aparát dob mez událostm lze využít pro jé velčy (údaje). Ve spojeí s vhodým statstckým prostředky stacoarzace a parametrckého ebo eparametrckého modelováí, dostáváme praktcky přjatelé výsledky. Prezetovaá metodka je vhodá pro celou, poměrě šrokou, třídu kumulačích procesů ad ezáporým velčam. Další rozvoj této metodologe je možý v moha směrech. Jedím, je využtí aparátu tezt poruch, dalším, e posledím, zobecěí pro velčy, které před kumulací mohou být záporé. Lteratura [] Ave T., Jese U., (999). Stochastc Models Relablty. Sprger-Verlag, New York, Ic. [2] Devroye L., Györf L., (985). Noparametrc Desty Estmato, the L vew. Joh Wley & Sos, Ic. [3] Platebí blace měsíčí. Česká árodí baka [ole]. 204 [ct ]. Dostupé z: [4] Réy A., (972). Teore pravděpodobost. ACADEMIA, Praha. [5] Ťoupal T., (203). Neparametrcký odhad spolehlvost a odhad tredové složky. Dsertačí práce. ZČU v Plz, Fakulta aplkovaých věd. 857