K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze Malé kmity Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

Transkript

1 K přednášce NUFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 4. Malé mty Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Malé mty soustav hmotných bodů Nyní se budeme věnovat chování soustavy hmotných bodů v oolí ovnovážné polohy. Toto chování lze totž často spočítat ednoduše než v obecném případě. Příladem e pohyb našeho oblíbeného matematcého yvadla: Dobu mtu po malé výchyly učíme snadno ze známého vztahu π g l, učt po velé výchyly e mnohem obtížněší. Potencální enege v oolí ovnovážné polohy Podíveme se nepve na ednoduchý ednoozměný případ. Uvažume hmotný bod, ehož pohyb e vázán na řvu, třeba pávě na užnc, ao v případě matematcého yvadla. Rovnovážná poloha e v nenžším bodě řvy, tedy v x = x. 0 V oolí ovnovážné polohy můžeme tva řvy apoxmovat paabolou (na obázu e vyznačena tmavozeleným body). Potencální enege bodu v homogenním V = mgy = mg x x 0. Kvadatcé závslost V odpovídá síla přímo úměná výchylce to znamená, že v naší apoxmac se hmotný bod pohybue steně ao závaží na pužně. Fevenc esp. peodu mtů lze tedy už snadno spočítat. gavtačním pol e tedy přblžně ( ) Steně budeme postupovat v případě soustavy hmotných bodů. Potencální eneg v oolí ovnovážné polohy budeme apoxmovat členy, teé budou duhým mocnnam výchyle. Potože budeme uvažovat soustavu hmotných bodů s vazbam, bude vhodné pacovat v zobecněných souřadncích q, =,,, vz ap.. Souřadnce odpovídaící ovnovážné poloze budeme značt q, výchyly z ovnovážné polohy pa q q = δq =. 3 Potencální eneg v oolí ovnovážné polohy budeme apoxmovat Tayloovým ozvoem 4 V V V q V q q q q ( ) 3 ( ) = ( ) + δ + δ δ + O ( δ q ) (4.) = = = q q Členy třetího a vyššího řádu, označené ve (4.) symbolem O, budeme zanedbávat. 5 V q e onstanta. Ovšem potencální enege e defnována až na onstantu a navíc Člen ( ) lbovolná adtvní onstanta v lagangánu nezmění Lagangeovy ovnce. To znamená, že tento člen můžeme vypustt. Z obázu e vdět, že po větší výchyly se sutečná potencální enege od naší apoxmace lší (oanžová řva e výš, než zelené body). Po malé výchyly vša paabola apoxmue sutečnou řvu velm dobře. V Fx = = mg ( x x0 ) 3 Výchyly z ovnovážné polohy, tedy, pa vezmeme ao nové souřadnce místo souřadnc q, abychom nemusel pořád vypsovat q q nebo δ q. 4 Přpomeňme, že záps q zde symbolzue všechny poměnné, tedy q, q,, q. 5 S výmou patologcých případů budou tyto členy po malé výchyly zanedbatelně malé opot členům, teé v (4.) ponecháme.

2 K přednášce NUFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 4. Malé mty Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Co členy pvního řádu? Z aptoly víme, že pacální devace V podle zobecněných poměnných sou zobecněné síly, V = Q. Ve (4.) ale tyto devace beeme v ovnovážné poloze ovšem v ní sou všechny síly nulové! To znamená, že členy pvního řádu sou všechny ovny nule 6. Ve (4.) tedy zbudou pouze členy duhého řádu: V V( q ) = δq δq = = q q q Duhé devace potencální enege v ovnovážné poloze sou onstanty. Po stučnost zápsu e označíme Ja sme už avzoval výše, od souřadnc V q ozn. = V q předeme souřadncím enege e pa v naší apoxmac dána ednoduchým výazem 7. (4.) = q q. Potencální V = = V =. (4.3) Poznameneme eště, že v dalších úpavách využeme sutečnost, že V sou symetcé vzhledem záměně ndexů, tedy že platí 8 Knetcá enege Knetcá enege soustavy N hmotných bodů e Potože vazby nezávsí na čase 9 x = x q ( t) V N = = V. (4.4) T= mx. (4.5) ( ), e a složy ychlost sou dány vztahy x q. (4.6) = = Po dosazení (4.6) do (4.5) dostáváme 6 Tentýž výslede dostaneme, dyž s uvědomíme, že ovnováha e v mnmu potencální enege. V mnmu musí být všechny pvní pacální devace V ovny nule. 7 Zde ž nepíšeme symbol ovná se přblžně, tedy =. V něteých učebncích se apoxmace potencální enege odlšue od přesné hodnoty V zvláštním symbolem, např. V, my vša po ednoduchost budeme používat en symbol V, z ontextu budeme vědět, že se edná o apoxmac. 8 Předpoládáme, že podmíny po záměnnost duhých pacálních devací sou splněné. 9 Poud by vazby závsely na čase, zřemě by nemohla exstovat v čase stálá ovnovážná poloha. Je tedy ozumné, že se v našem odvození omezueme se na vazby holonomní sleonomní.

3 K přednášce NUFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 4. Malé mty Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 N N T= mx = m q q = = = = =. (4.7) N = m qq = = = Předeme-l souřadncím = q q, e zřemé, že q =. Navíc, estlže výchyly z ovnovážné polohy považueme za malé, e asné, ychlost sou taé malé. (Jestlže výchyly sou úměné ~ ε ~ něaé malé velčně ε,, e taé ε.) To znamená, že v (4.7) už máme apoxmac netcé enege steného řádu ao byla apoxmace (4.3) (tedy řádu ε ), estlže vezmeme výazy v ulatých závoách na duhém řádu (4.7) ao onstantní: (4.8) N M = m = q q q q Pacální devace x podle q přtom beeme v ovnovážné poloze 0. Výslede možná složtě vypadaících úvah e ednoduchý: netcá enege e v dané apoxmac T = M. (4.9) = = Poznameneme, že podobně ao V, sou oefcenty M symetcé vůč přehození ndexů : M = M. (4.0) Lagangán a Lagangeovy ovnce po malé mty Ze (4.3) a (4.9) oamžtě dostaneme vztah po lagangán v apoxmac malých mtů : L= T V = M V ( ) = = (4.) Po Lagangeovy ovnce. duhu potřebueme pacální devace L = = l l = = = = l ( M V ) M ( ). (4.) 0 Ve(4.8) byly tyto devace bány v atuální poloze hmotných bodů. Potože de o polohy blízo ovnováhy, lší se hodnoty devací en nepatně: = + O( ε ). Členy ( ) ql ql taové členy už v našem odvození zanedbáváme. Je to vdět přímo z (4.8). 3 O ε by po vynásobení qq měly řád ε 3 ale Je fascnuící, že tato ednoduchý obecný tva lagangánu popsue systémy od ednoho závaží na pužně č matematcého yvadla, přes neůzněší soustavy hmotných bodů spoených pužnam až třeba po 0 6 atomů v něaém ystalu, poud bychom na dané atomy pohlížel ao na lascé hmotné body spoené pužným vazbam.

4 K přednášce NUFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 4. Malé mty Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Ovšem ( ) = δ + δ l. 3 l l (4.3) taže z (4.) dostáváme L = M δ + M δ = M. 4 l l l l = = = = = (4.4) Naposto steným postupem vyde po devace podle L = V. (4.5) l l = Lagangeovy ovnce po dosazení (4.4) a (4.5) daí 5 d L L = dt 0 ( M V ) = + = 0 (4.6) po =,,. Máme tedy ovnc po neznámých. Fevence malých mtů Ja řešt ovnce (4.6)? A hlavně, a z nch učt fevence mtů? Zusme nedříve předpoládat, že všechny hmotné body mtaí se stenou fevencí ω: = e ω t 6 (4.7) Ampltudy sou po ůzná obecně ůzné, fevence ω e po všechna stená. Po dvoím ω devování podle času e = ω e t. Dosazení do (4.6) dá ( ω M V ) e = ωt + = 0. 7 Po zácení e ω t -, esp. vynásobení (-e ω t ) dostaneme = + a = 0 po l a =. 3 Je totž ( ) l l l 7 Zde e vdět, poč bylo výhodné zvolt stenou fevenc; člen e celou ovnc zátt. 4 l 4 Rozmyslete s, že obě sumy vlevo daí opavdu stený příspěve. 5 Mezo e d M V dt + = 0 = = 6 Výchyly zapsueme pomocí omplexního fomalsmu, teý sme poznal v úvodním uzu mechany. Postup uvedený dále by vša šel aplovat, poud bychom předpoládal eálná řešení = cos( ω ). ω t t díy tomu můžeme vytnout a následně ím

5 K přednášce NUFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 4. Malé mty Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 = ( ω ) =, po =,, M V 0. (4.8) To e soustava ovnc po neznámých čísel. Můžeme zapsat v matcovém tvau ω M V ω M V ω M V 0 ω M V ω M V ω M 0 V = ω M 0 V ω M V. (4.9) Můžeme vyřešt po lbovolnou hodnotu ω? Můžeme ale poud e matce na levé staně (4.9) egulání, bude řešením nulový veto, to znamená ampltudy mtů všech bodů budou nulové. Kmtání s nulovou ampltudou ale není žádné mtání! Nenulové ampltudy mtů vydou pouze v případě, dyž matce na levé staně (4.9) e sngulání.. Nutnou a postačuící podmínou po to e, že eí detemnant e oven nule, což můžeme symbolcy zapsat ao det M V ω = 0. (4.0) Pávě tato ovnce učue hodnoty fevencí mtů. Rozepsáním detemnantu bychom dostal polynom -tého stupně v poměnné ω. Podle záladní věty algeby má tento polynom obecně ořenů. To znamená, že ovnce (4.0) má obecně řešení, dává hodnot po fevence ω. 8 Po malé mty tedy dostáváme obecně řešení. (4.) ( n ) ( n ) ωn e t =, n=,, Ja z nch dostat obecné řešení našeho poblému? Rovnce (4.6) sou lneání, taže ech obecné řešení e postě supepozcí řešení (4.): ( n) ωn t e, po,, (4.) n= = = Výsledné mtání e složením mtů ůzných fevencí. 9 O mtech ednotlvých fevencí mluvíme ao o ůzných módech mtání. Př sutečném mtání nemuseí být všechny módy vybuzeny steně, mohou mít ůznou ampltudu. Po aždý ednotlvý mód sou přtom ampltudy mtů ednotlvých bodů svázány ovncem (4.8) esp. (4.9). 8 Ve specálních případech mohou něteé ořeny zmíněného polynomu splývat, tedy být vícenásobné. V taovýchto případech splývaí něteé fevence mtů. Tyto specální případy zde nebudeme blíže dsutovat. V obecném případě dostáváme ůzných fevencí mtů. 9 Přtom de o hamoncé mty. 5

6 K přednášce NUFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 4. Malé mty Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Matematcé yvadlo 0 Přílady V příladech v ap. sme po matematcé yvadlo odvodl netcou eneg a potencální eneg T = mv = ml ϕ (4.3) V = mglcosϕ. (4.4) Souřadnce ϕ e přtom pávě odchylou od ovnovážné polohy. Vztah (4.3) po netcou eneg už upavovat nemusíme, má v sobě pávě duhou mocnnu zobecněné ychlost. Potencální eneg bychom mohl ozvíet olem ovnovážné polohy ϕ = 0 s pomocí duhých devací, vz (4.). Jednodušší e ale použít známý ozvo po malá ϕ, cosϕ = ϕ, po ϕ <<. Apoxmace lagangánu po malé mty e tedy L= T V = ml ϕ mglϕ. Lagangeova ovnce d L L = 0 v apoxmac malých mtů po dosazení vychází dt ϕ ϕ d ( ml ϕ) + mgl ϕ = 0. (4.5) dt Rovnce (4.5) e ž ovncí po hamoncé osclace, ϕ+ ωϕ= 0, de ω= g l. Kmty bodu vázaného na řvu Uvažume hmotný bod pohybuící se po něaé řvce, napřílad y= A sn( x). (4.6) Rovnovážná poloha e v x0 ( 3) π novou souřadnc vezmeme x ( 3) =, taže za = π. Potencální enege e V = mgy, de y= Asn( x) = Asn( + 3π ) = Acos( ) = A+ A. T= m x + y = m + A = m. 3 Knetcá enege e ( ) ( sn ) Lagangán (v němž už nepíšeme onstantu v potencální eneg) e v apoxmac po malé mty L= m mga, Lagangeova ovnce pa dává + ga = 0. Odtud fevence malých mtů e ω = ga. 4 0 Už e tu zas Když ono se na něm opavdu řada věcí velm dobře lustue. Adtvní onstantu ž do L nepíšeme. Zde x by muselo být bezozměné. Poud bychom chtěl x měřt např. v metech, musel bychom řvu popsat např. vztahem y= A sn( x B). Zuste s přílad vypočítat po tato zadanou řvu. 3 Pohyb hmotného bodu v y-ovém směu se v netcé eneg v dané apoxmac vůbec nepoevue. Rozmyslete s, že to e ozumné. y A sn x y= A sn x B. 4 Výsledný vztah nevychází ozměově pávě poto, že sme vzal = ( ) a ne ( ) 6

7 K přednášce NUFY08 Teoetcá mechana pozatímní učební text, veze 0 4. Malé mty Leoš Dvořá, MFF UK Paha, 04 Poznáma příladům: Po ednoduchost sme zde uvedl en přílady s edním stupněm volnost. Poto sme nemusel počítat výše uvedeným postupem využívaícím detemnant (v našem případě šlo o matc ) a vyšla en edná fevence mtů. Závěečné poznámy (aneb dy popsaný postup nefungue) Zatím sme mlčy předpoládal, že ω e eálné. Ovšem (4.0) dá polynom v poměnné ω. Co dyž něteé ořeny tohoto polynomu sou záponé? Pa ω bude yze magnání. To ale znamená, že ω t (4.7) dá e a e + ω t něaému sutečnému pohybu?. Tato řešení zevně nepopsuí mtání! Odpovídá tento případ Odpovídá ovšem pohybu v blízost lablní ovnovážné polohy. 5 I toto řešení e zaímavé. Z eho časového vývoe lze vdět, že napřílad ulča položená na velou oul v nepatné vzdálenost od vcholu se bude zpočátu pohybovat ta, že eí vzdálenost od vcholu bude naůstat exponencálně. Může ovšem nastat případ, dy nám popsaná apoxmace využívaící ozvo do duhého řádu selže úplně. V ozvo (4.) sme ponechal pouze členy duhého řádu. Ovšem co dyž sou všechny tyto 6 členy duhého řádu nulové? Pa bychom členy vyššího řádu nemohl zanedbat. Příladem by byl 4 oscláto, v němž by potencální enege závsela na výchylce podle vztahu V = x. Taovýto oscláto mtá, ale nede o hamoncé mty. 5 Naše řešení e apoxmací pohybu v oolí lablní ovnovážné polohy, ale en na chvíl. Za něaou dobu + ω t odchyly od ovnovážné polohy vzostou (díy členu e ), přestanou být malé a apoxmace, teé sme výše užíval, přestanou být použtelné. 6 Tedy všechny oefcenty V ve vztazích (4.3) a následuících by byly ovny nule. 7