ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÉ A ZPOMALENÉ POHYBY. Studijní text pro soutěžící FO a ostatní zájemce o fyziku Ivo Volf, Přemysl Šedivý.

Transkript

1 ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÉ A ZPOMALENÉ POHYBY Sudijní ex pro ouěžící FO a oaní zájece o fyziku Ivo Volf, Přeyl Šedivý Obah Úvod 1 Kineaika rovnoěrně zrychleného a rovnoěrně zpoaleného příočarého pohybu honého bodu 3 Dynaika a energeická bilance rovnoěrně zrychleného a rovnoěrně zpoaleného příočarého pohybu honého bodu 7 3 Rovnoěrně zrychlený a rovnoěrně zpoalený oáčivý pohyb uhého ělea okolo pevné oy 1 4 Klouzavý pohyb uhého ělea po nakloněné rovině 16 5 Valivý pohyb roačního uhého ělea po nakloněné rovině 18 Řešení úloh 1

2 Úvod V oo udijní exu e budee zabýva pohyby, při kerých e veliko okažié rychloi v záviloi na čae rovnoěrně zvěšuje nebo rovnoěrně zenšuje. V první případě luvíe o pohybu rovnoěrně zrychlené, v druhé případě o pohybu rovnoěrně zpoalené. Oba ypy pohybu e v praxi vykyují poěrně čao. Například pohyb vlaku ezi dvěa anicei ůžee věšinou veli přeně odelova jako několik po obě náledujících rovnoěrně zrychlených, rovnoěrných a rovnoěrně zpoalených pohybů. Zvlášní případe rovnoěrně zrychleného pohybu je volný pád ve vakuu. Svilý vrh vzhůru ve vakuu probíhá zpočáku jako pohyb rovnoěrně zpoalený a po doažení nejvyššího bodu rajekorie jako pohyb rovnoěrně zrychlený. Také rozočení ervačníku nebo bruného koouče okolo pevné oy ůže probíha ak, že e obvodová rychlo rovnoěrně zvěšuje, a při jeho brzdění e naopak ůže obvodová rychlo rovnoěrně zenšova. Rovnoěrně zrychlené a zpoalené pohyby e řídí poěrně jednoduchýi kineaickýi a dynaickýi zákony, keré i přehledně zopakujee a procvičíe. Všechny fyzikální děje budee popiova z hledika pozorovaele v inerciální vzažné ouavě. Oezíe e na pohyby, jejichž rychloi jou alé ve rovnání rychloí věla ve vakuu a při kerých edy doaečně přeně plaí zákony klaické echaniky. Kineaické a dynaické zákony, keré odvodíe pro příočarý pohyb honého bodu, ůžee použí aké pro příočarý pouvný pohyb uhého ělea.

3 1 Kineaika rovnoěrně zrychleného a rovnoěrně zpoaleného příočarého pohybu honého bodu Vzažnou ouavu zvolíe ak, aby pohyb probíhal ve ěru kladné polooy x (obr. 1a, 1b). Při rovnoěrně zrychlené pohybu á vekor zrychleníav každé okažiku ejný ěr jako vekor okažié rychloiv, kdežo při pohybu rovnoěrně zpoalené je vekor zrychleníanaířen proi ěru okažié rychloiv. V obou případech ůžee však zákon rychloi zapa ve ejné vekorovévaru v=v0+a, a=v v0. (1) Pro x-ovou ouřadnici okažié rychloi plaí { ax = a =a>0 připohybuzrychlené, v x = v x0 +a x, kde () a x = a = a <0 připohybuzpoalené. Zbývajícíouřadnice v y, v z r a v jounulové. v0 y O x r0 z r a v v0 y O x r0 z Obr. 1a 310/.-,+*)('&%$#"!4Obr.1b Při řešení fyzikálních úloh používáe zákon rychloi čaěji jako vzah ezi velikoi vekorů v=v 0 + a, a= v v 0 v=v 0 a, a= v 0 v pro pohyb zrychlený, pro pohyb zpoalený. (3) 3

4 <;:98765=NMLKJIHGO O O Dráhu,kerouhonýbodurazíodpočáečníhookažiku(=0)zadobu, určíe jako obah lichoběžníku oezeného grafe rychloi(obr. a, b). = (v = v 0+ v) a propohybzrychlený, = (4) = v 0 1 a propohybzpoalený. Poupný rů rep. pokle rychloi způobují zakřivení grafu dráhy, kerý je oblouke paraboly. V někerých úlohách uíe přihlédnou k počáeční dráze 0. Závilo polohového vekorurna čae vyjadřuje u obou ypů pohybu ejný vekorovývzah r=r0+v0+ 1 a. (5) v v 0 O O v= v 0 + a =v a Obr. a =v 0 EDCBA@?>FWVUTSRQPX v v 0 v= v 0 a =v 0 =v 0 1 a Obr. b Pro x-ovou ouřadnici polohového vekoru edy plaí x=x 0 + v x0 + 1 { a x ax = a =a>0 přip.zrychlené,, kde a x = a = a <0 přip.zpoalené. (6) Zbývající ouřadnice y, z jou nulové. V nejjednodušší případě á rovnoěrně zrychlený pohyb nulovou počáečnírychloapočáečnídráhu(v 0 =0, 0 =0).Kineaickézákonypak 4

5 rqponlk O ají var v=a, = v =1 a = v (7) a a grafy rychloi a dráhy vyhlížejí podle obr. 3. Trvá-li rovnoěrně zpoalený pohyb až do zaavení, ůžee zavé veličinybrzdnádoba b abrzdnádráha b.včae = b plaí v=0.zoho plyne 0=v 0 a b, b j = v 0 a, v 0= a b. (8) Brzdnou dráhu určíe z grafu rychloi na obr. 4. Plaí b = v 0 =1 a = v 0 a. (9) v v v 0 v=a v= v 0 a b O b =v 0 1 b a `_^]\[ZYa O O = 1 a Obr.3 {zyxwvu ihgfedcbo b Obr.4 b = v 0 b Mezi vzahy(7) pro rovnoěrně zrychlený pohyb nulovou počáeční rychloí a vzahy(8) a(9) pro pohyb rovnoěrně zpoalený je pře jejich forální podobno značný význaový rozdíl. Vzahy(7) jou kineaické zákony vyjadřující veliko rychloi v a dráhu rovnoěrně zrychleného pohybu jako funkcečauaplaíprokaždé >0.Vzahy(8)a(9)plaípřirovnoěrnězpoalené pohybu pouze pro brzdnou dobu a brzdnou dráhu. Závilo velikoi rychloi v a dráhy na čae zde vyjadřují kineaické zákony v=v 0 a, =v 0 1 a. (10) 5

6 Úlohy 1. Ocelová kulička byla při volné pádu ovělena robokope, jehož zábleky ělyfrekvenci50hz.dvěpoobějdoucípolohykuličkyjouodebevzdáleny15c.jakourychloělakuličkanazačákuanakonciohooúeku rajekorie?. Auoobil e rozjížděl konanní zrychlení a běhe 1 doáhl rychloi 90 k/h. Od ohoo okažiku e pohyboval rovnoěrně. Za jak dlouho projel íe vzdálený 400 od ía aru? 3.Vlakeraprojedevzdáleno,0kezidvěaaniceiza3in10 a doáhne nejvěší rychloi 60 k/h. Při rozjíždění e pohybuje rovnoěrně zrychleně, při zaavení rovnoěrně zpoaleně e zrychlení éže velikoi. Ve řední čái je pohyb rovnoěrný. Určee další údaje o pohybu a nakrelee grafy rychloi a dráhy jako funkce čau. 4. Hoogenní koule e valila po koberci na vodorovné podlaze. Pohyb byl foograficky zaregirován záblekový zařízení, jehož zábleky e opakovaly periodou τ=1,00.třipooběnáledujícípolohykoule1,,3enacházely vevzájenýchvzdálenoech 1 =,10, =1,10(obr.5).Předpokládáe, že pohyb koule byl rovnoěrně zpoalený. Kde e koule nacházela při další zábleku? Obr.5 6

7 Dynaika a energeická bilance rovnoěrně zrychleného a rovnoěrně zpoaleného příočarého pohybu honého bodu Koná-li honý bod rovnoěrně zrychlený příočarý pohyb, jeho zrychlenía je konanní a á ěr okažié rychloiv. Podle. pohybového zákona je ivýlednicefv= avšechil,kerénahonýbodpůobí,konanníaá rovněž ěr okažié rychloi. Uvažuje nejprve o pohybu vozíku pokuné vodorovné vzduchové dráhy, kerýepohybujeprakickybezřeníaodporuvzduchuajeaženlanke konanní ilouf(obr. 6). Oaní íly půobící na vozík íhová íla a reakce vzduchového polšáře e ve vé účinku ruší. Síla lanka je edy výlednicí všechil,kerénavozíkpůobí.včae =0jevozíkuvolněnazačneepohybova rovnoěrně zrychlený pohybe. Jeho hybnopa kineická energie E k epoupnězvěšují.plaíyozákladnívzahy: F vp F= a, (11) I=F=a=v=p, I= F=v, (1) W= F=a 1 a = 1 (a) = 1 v = E k F. (13) =0, v=0 p=0, E k =0 a Obr.6 Uvedee-li honý bod z klidu do pohybu půobení álé ílyf, jeipulílyi=frovenhybnoihonéhobodup= vapráce W= Fjerovnajehokineickéenergii E k = v /. K obecnější závěrů dojdee, porovnáe-li hybnoi a kineické energie vozíkuvedvourůznýchčaech > 1 >0(obr.7).Plaí: I=F =a =a a 1 = v v1=p p1= p, (14) W= F=a= v v 1 (v + v 1 ) = (v v 1) = = 1 v 1 v 1 = E k E k1 = E k. (15) 7

8 ! "F a /.-,+*)('&%$#0 Fv F a F R F Obr.7 1, E k1 p1 v1, E k Došli je k výledků, keré ají obecnou plano: Ipul výledné íly půobící na honý bod je roven zěně jeho hybnoi. Práce vykonaná výlednou ilou půobící na honý bod je rovna zěně jeho kineické energie. Při popiu reálných pohybů uíe čao přihlédnou i ke ření, odporu vzduchuapod.naobr.8ajeznázorněnabednaohonoi aženávodorovný lane iloufpo vodorovné podlaze. Součiniel ykového ření ezi bednouapodlahouje f. Obr. 8a 1, E k1 F p1 v1, E k všech il, keré půobí na bednu, pokyuje obr. 8b. Kroě íly lanafa Ry íhové ílyfgje o reakce podlahyr. Fv T δ Rx=FFG g R x = f. R y?>=<;: obr. 8b F p p v Její vilá ložkary ruší účinek íhové íly.plaíedy R y = F G = g. Vodorovná ložkarxe uplaňuje jako ílařenífovelikoi R x = F = fg. Odchylku δ reakce podlahy od vilého ěru určíe ze vzahu Předpokládeje,že F > F.VýlednáílaFv=F+Fáveliko F v = = F F.Vakovépřípaděebednapohybujerovnoěrnězrychlenýpohybe e zrychlení a= F v = F F = F gf. (16) Včaovéinervalu( 1, )evelikorychloibednyzvěšízv 1 na v a bedna e poune po dráze. Proveďe energeickou bilanci: Práce výledné 8

9 íly W v jerovnarozdílupráce WvykonanévnějšíilouFaprácepořebované ilou řeníf. W v = F v =(F F )=W W = E k Sýkání yčných ploch po obě naává diipace(rozpýlení) echanické energievnožví,keréodpovídápráci W.Docházíkrozkiáníolekul bednyapodlahyaíkezvýšeníjejichvniřníenergie U,keréeprojeví zvýšení eploy. Práce W vykonaná vnější ilou e edy čáečně pořebuje nazvýšenívniřníenergieouavyo U= W = gfajenzbývajícíčá zvýší kineickou energii bedny. W= F= E k + W = 1 v 1 v 1+ gf. (17) Zčiěechanickéhohledikaenapráci W díváejakonaenergeickou F zráu, neboť vniřní energii neůžee bezproředně přeěni zpě na energii echanickou. Tření, odpor proředí a podobné íly označujee jako íly diipaivní. Podobná iuace jako v předcházející případě naává i při rozjíždění kabiny výahu ěre vzhůru(obr. 9). Předpokládeje, že pohyb probíhá bez ření. Výledná íla, kerá je vekorový ouče ažné íly lanafa íly íhovéfg, á veliko F v = F gakabiněudělízrychleníovelikoi v a= F v = F F G = F g. (18) a E p E k v1 E k1 E p1 FG F FG IHGFEDCBAJObr. 9 h Pročaovýinerval( 1, ),vekeréevelikorychloi kabinyzvěšízv 1 na v akabinavyoupízvýšky h 1 do výšky h,doaneeenergeickoubilanci: W v = F v =(F F G )(h h 1 )=W W G = W E p = E k W= F= E k + E p = 1 ( v v 1) +g(h h 1 ).(19) Práce W vykonaná ažnou ilou lana je rovna ouču přírůku h 1 kineickéenergiekabiny E k apráce W G pořebovanéíhovouilouf G.Prácepořebovanáíhovouiloujevšakrovna přírůkuíhovépoenciálníenergiekabiny E p. Práce vykonaná ažnou ilou lana e edy celá pořebuje na zvěšení echanické energie kabiny. Při pohybu kabiny dolů by e její poenciální energie íhová naopak zenšila o hodnou rovnou práci vykonané íhovou ilou. Takovéo íly, jiiž vykonaná 9

10 práce je rovna úbyku poenciální energie a jiiž pořebovaná práce je naopak rovna přírůku poenciální energie, nazýváe íly konzervaivní.(mezi konzervaivní íly paří například i íly elaické půobící při pružné deforaci ěle a íly elekroaické.) Pokud při nějaké ději v izolované ouavě ěle konají práci jen íly konzervaivní, plaí zde zákon zachování celkové echanické energie. Z rovnoěrně zrychlených a rovnoěrně zpoalených pohybů jou o volný pád a vilý vrh vzhůru ve vakuu, klouzání ělea po nakloněné rovině při zanedbaelné ření a řada dalších. V izolované ouavě, kde půobí diipaivní íly, je práce pořebovaná ěio ilai rovna úbyku echanické energie ouavy. Jako příklad ůžee uvéprůleřelyráe(obr.10).práce W pořebovanáilouřenípři pohybuřelydřevejerovnarozdílukineickéenergie E k1 řelypředráe akineickéenergie E k řelyzaráe.znáe-lihonořely,loušťku ráu darychloi v 1, v řelypředráeazaráe,ůžeevypočía velikoíly F,kerářelubrzdila: W = F d=e k1 E k = 1 ( v1 v ), F = ( v1 v d E k1 v1 a F d E k v ). (0) XWVUTSRQPONMLKYObr. 10 Ke ejnéu výledku ůžee ovše dojí i pře druhý pohybový zákon, aniž bycho uvažovali o práci a energii. Pohyb řely v ráu považujee za rovnoěrně zpoalený; dobu průleu označe. Plaí: a= v 1 v d= v 1+ v, = d, v 1 + v = v 1 v d, F = a= ( v1 ) v. (1) d Za zínku ojí i ožno využií vzahu ezi ipule íly a zěnou hybnoi. V naše případě plaí: F= p=p p1, F =p 1 p = v 1 v, () 10

11 d 1 d F = (v 1 v ) = ( v1 ) v. d Vidíe edy, že několika různýi způoby ůžee zíka ejný výledek. Úlohy 5.Vozíkohonoi400gjeaženpovzduchovédrázezávažíohonoi 0 g zavěšený pře kladku(obr. 6). S jaký zrychlení e pohybuje? Jakou ilou je napnuo vlákno? Hono kladky, ření a odpor vzduchu zanedbáváe. 6.Jakouíluuívyvinouoorauoobiluohonoi1100kg,á-lie jehorychlonadráze150zvěšiz60k/hna90k/h?zajakdlouhouo vzdáleno projede? Odporová íla půobící proi pohybu á veliko 400 N. 7.Auoobilohonoi100kgjedoucírychloí100k/huelzaavina dráze 130. Jakou brzdnou ílu uel vyvinou? Jakou rychloí e pohyboval ve vzdálenoi 10 před íe zaavení? Odpor vzduchu zanedbáváe. 8. Kvěináč, kerý někdo nedopaření hodil při čišění okna, padal volný páde v ěné blízkoi okna níže položeného byu, kde kdoi právě nahrával doácí video. Kvěináč byl zachycen pouze na dvou po obě náledujících nících.najednoenacházelvevzdálenoi d 1 =40canadruhéve vzdálenoi d =95codhorníhookrajeokna(obr.11).Sníkováfrekvence kaery je 5 níků za ekundu. Určee a)výšku h 1 nadhorníokrajeokna,zekerékvěináčpadal, b)veliko v 1 rychloikvěináčevokažiku,kdybylpořízenprvníníek, c)veliko v rychloíkvěináčepřidopadunachodník,kerýjevhloubce h =podhorníokrajeokna. Odpor vzduchu a rozěry kvěináče zanedbeje. Obr

12 3 Rovnoěrně zrychlený a rovnoěrně zpoalený oáčivý pohyb uhého ělea okolo pevné oy Tuhé ěleo, keré koná oáčivý pohyb okolo pevné oy, i ůžee předavi jako ouavu pevně pojených honých bodů, keré e pohybují v rovinách kolých k oe oáčení po kružnicových rajekoriích e ředy na oe oáčení. Každéu honéu bodu příluší průvodičr počáke ve ředu rajekorie (obr.1). #"! $ v1 r r3 v3 3 v (, ) r1v1 1 v4 a4 a3 v3 ada Obr. 1 Obr. 13 Při rovnoěrně zrychlené oáčivé pohybu, kerý začíná z klidu, plaí pro veliko okažié rychloi a pro dráhu zvoleného honého bodu kineaické zákony v= a, = v =1 a = v a, (3) kde a jevelikoečnéhozrychlení.celkovézrychleníhonéhoboduurčíe jako vekorový ouče zrychlení ečného a zrychlení doředivého, jehož veliko a d = ω reběhepohybuzvěšuje(obr.13). Dráha, veliko rychloi a veliko zrychlení honého bodu jou při oáčivé pohybu přío úěrné velikoi jeho průvodiče. Proo čaěji používáe úhlovéveličiny:úhlovoudráhu,úhlovourychlo aúhlovézrychlení, keré jou polečné pro celé ěleo. Jou o vekorové veličiny, keré uiťujee do oy oáčení a jejich orienaci určujee(podobně jako u oenu íly) podle v5 a5 a v 1

13 pravidla pravé ruky.(pry kroě palce oočíe podle orienace obvodové veličiny, palec ukazuje ěr úhlové veličiny.) Oba druhy veličin jou vázány vzahy: ϕ= r, ω= v r, ε= a r. (4) Při rovnoěrně zrychlené oáčivé pohybu, kerý začíná z klidu, plaí pro úhlové veličiny obdobné kineaické zákony jako pro veličiny obvodové: ω= ε, ϕ= ω =1 ε = ω ε. (5) Také při rovnoěrně zrychlených oáčivých pohybech nenulovou počáeční úhlovou rychloí a při rovnoěrně zpoalených oáčivých pohybech ůžee vycháze ze vzahů, keré plaí při analogických pohybech příočarých, a doplni je obdobnýi vzahy ezi úhlovýi veličinai. Kineickou energii roujícího ělea určíe jako ouče kineických energií jednolivých honých bodů: n 1 E k = ivi= 1 n ω i ri= 1 Jω, (6) i=1 kde J je oen ervačnoi ělea, kerý závií na honoi ělea a na jeho varu. Při řešení fyzikálních úloh obvykle pořebujee zná oen ervačnoi J 0 vzhledekoeprocházejícíěžišě.nejčaějipoužíváevzahy: i=1 prenec... J 0 = R, plnýválec... J 0 = 1 R, koule... J 0 = 5 R. (7) Základní dynaický zákon oáčivého pohybu uhého ěleo okolo pevné oy odvodíe z rovnoi práce pořebné k rozočení ělea a jeho kineické energie. (Tření v ložikách, odpor vzduchu a podobné íly zanedbáváe.) Na obr. 14 je znázorněno rozáčení ervačníku o oenu ervačnoi J poocí oouzu aženého konanní ilouf. Předpokládáe, že raeno íly r a edy i oen Mje konanní. V akové případě e půobišě ílyfpohybuje rovnoěrně zrychlenýpohybeazadobu proběhnedráhu azíkárychloovelikoi v, kerá je ejná jako veliko rychloi oáčivého pohybu ve vzdálenoi r od oy. Servačníkerozáčíúhlovýzrychlení azadobu doáhneúhlovérychloi.plaí: W= F=F 1 a = 1 Frε = E k = 1 Jω = 1 Jε, (8) 13

14 M F M= Fr=Jε, a F M= J. v (9) J r L p /.-,+*)('&%8Obr.14 Pohybový zákon oáčivého pohybu okolo pevné oy je zřejě analogický k pohybovéu zákonu pouvného pohybu ve varuf= a. V úlohách o oáčivé pohybu ůžee čao výhodně využí aké veličinu oenhybnoil=j.pohybovýzákonoáčivéhopohybuvyjádříeve varum=,kerýjeobdobouzákonaf= propohybpouvný. Budee-li roující ěleo brzdi konanní oene íly, jehož vekor Máopačnýěrnežvekorúhlovérychloi,budeejednaopohyb rovnoěrně zpoalený(obr. 15). Znáe-li oen ervačnoi J, veliko brzdícíhooenu Mapočáečnífrekvencioáčení f 0,ůžeeurčibrzdnou dobu b abrzdnouúhlovoudráhu ϕ b.použijeeanalogickévzahyjakopři rovnoěrně zpoalené příočaré pohybu honého bodu: b = ω 0 ε =πf 0 ε, ϕ b= ω 0 b = 1 ε b= ω 0 ε, (30) ε= M J, b= Jω 0 M, ϕ b= Jω 0 M. (31) Při řešení úlohy je ovše ohli aké vycháze z rovnoi ezi prací pořebovanou brzdící ilou a počáeční kineickou energií ělea a z rovnoi ezi počáeční oene hybnoi a ipule oenu brzdící íly: F=FRϕ b = Mϕ b = E k0 = 1 Jω 0, M b= L 0 = Jω 0. (3) 14

15 M F R GFEDCBA@?>=<;:9HObr. 15 Úlohy 9. Kapeník je chulán v bubnu ždíačky, kerá rouje frekvencí 1400 o/in.průěrbubnuje310.přioevřenívíkaeoorvypneaždíačka e půobení brzdy zaaví běhe,3. Určee velikoi obvodové a úhlové rychloi a doředivého zrychlení kapeníku před vypnuí ooru a jeho ečného a úhlového zrychlení běhe brzdění bubnu. Po kolika oáčkách e buben zaaví? 10.Servačníkooenuervačnoi J=, kg rozočíepoocí oouzunavinuéhonahřídeliopoloěru r =5,0(obr.14).Budee půobiilouovelikoi F =50Npodráze =80c.Sjakoufrekvencíe bude ervačník oáče? Jak dlouho bude rozáčení rva? Tření zanedbáváe. 15

16 4 Klouzavý pohyb uhého ělea po nakloněné va rovině Nakvádr,kerýkloužedolůponakloněnéroviněeklone α,půobídvě íly: íhová íla a reakce nakloněné roviny(obr. 16a, b). Tíhová ílafg e rozkládánapohybovouložkuf1ovelikoi F 1 = ginαalakovouložku Fovelikoi F = gcoα.takéreakcenakloněnérovinyráložkur1 rovnoběžnou nakloněnou R rovinou a ložkur kolou k nakloněné rovině. SložkaRkopenzujelakovouložkuíhovéíly,plaíproo R = F.Složka R1 =Fjeílařeníovelikoi F = ff R = fgcoα,kde f jeoučiniel ykového ření ezi kvádre a nakloněnou rovinou. ReakceRje od kolice knakloněnéroviněodchýlenaoúhel δ,prokerýplaíg δ= R1 R = f. R R δ T δfv F1Fv R1=F F1 α T R1=F α va α F α FG Obr. 16a FG Obr. 16b Výledná ílafv je vekorový ouče pohybové ložky íhové íly a íly řenífv=f1+f,neboťložkyfarevevéúčinkuruší.vzáviloina klonu nakloněné roviny a velikoi oučiniele ykového ření ohou naa ři případy: a) F 1 > F (obr.16a). Taoiuacenaane,jeliže ginα > fgcoα, Pohyb je rovnoěrně zrychlený e zrychlení F f < inα =g α, δ < α. coα a= F 1 F = g(inα fcoα). (33) 16

17 Vpřípadě,žeřeníjezanedbaelné,plaí a=ginα. b) F 1 = F. Voopřípadě F v =0apohybkvádrujerovnoěrný.Úhel αplňujepodínku ginα=fgcoα, f=g α, δ= α. c) F 1 < F (obr.16b). Sílařenípřevládnenadpohybovouložkouíhové íly, jeliže ginα < fgcoα, f > inα =g α, δ > α. coα Pohyb je rovnoěrně zpoalený.(kvádr ovše uel bý nejprve půobení vnější íly uveden do pohybu.) Zrychlení je orienováno proi ěru okažié rychloi a á veliko a= F F 1 = g(fcoα inα). (34) Úlohy 11.Lyžařjelpovahudlouhé35eklone0 navodorovnourovinu a zaavil e ve vzdálenoi 70. Součiniel ykového ření ezi lyžei a něhe byl běhe celého pohybu konanní. Určee jeho veliko a rychlo lyžaře na konci vahu. Jak dlouho celý pohyb rval? Odpor vzduchu zanedbáváe. 1.Špalíkpoloženýna dolní konecnakloněnérovinye klone α = byl údere uveden do klouzavého rovnoěrně zpoaleného pohybu ěre vzhůru po nakloněné rovině. Po zaavení e vráil zpě na dolní konec nakloněné roviny za dobu,5-krá delší než byla doba výupu. Určee oučiniel ykového ření. 17

18 5 Valivý pohyb roačního uhého ělea po nakloněné rovině Valivý pohyb roačního ělea po rovině ůžee považova za pohyb ložený z oáčivého O v pohybu okolo oy O procházející ěžišě a pouvného pohybu éo oy podél nakloněné roviny(obr. 17). O P Obr. 17 Obr. 18 va Veliko rychloi pouvného pohybu v, veliko úhlové rychloi oáčivého pohybu ω a poloěr ělea R plňují vzah v = ωr. Kineickou energii valícího e ělea určíe jako ouče kineické energie pouvného pohybu a kineické energie oáčivého pohybu: E k = 1 v + 1 J 0ω = 1 ( R ) + J 0 va ω, (35) kde J 0 v v jeoenervačnoiěleavzhledekoeprocházejícíěžišě. A A O O P r A R r A R P Obr. 19a Obr. 19b Tenýž pohyb i však ůžee aké nahradi velký poče alých pooočení okolo okažiých o P procházejících bode doyku ělea rovinou a 18

19 rovnoběžnýchoou O(obr.18).Naobr.19a,19bjouznázorněnyvalivépohybypravidelného n-bokéhohranolupro n 1 =10, n =100.Jednolivéhrany e poupně ávají okažiýi oai oáčení. Vidíe, že pro n = 100 e pohyb prakicky neliší od valivého pohybu válce. Pro okažiou úhlovou rychlo oáčeníokolookažiéoy P opěplaívzah v=ωrakineickouenergii ělea ůžee vyjádři jako E k = 1 Jω, (36) kde J je oen ervačnoi ělea vzhlede k okažié oe P. Porovnání (35)a(36)doáváevzahezioenyervačnoi J 0 a J,kerýenazývá Seinerova věa: J= J 0 + R. (37) Valivý pohyb uhého roačního ělea po nakloněné rovině probíhá při alých rychloech, kdy ůžee zanedba odpor vzduchu, jako pohyb rovnoěrně zrychlený. Součiniel ykového ření ezi ělee a rovinou je obvykle doaečně v a velký a pohyb probíhá bez klouzání. Je-li rovina doaečně uhá a půobení íhy ělea e nedeforuje, ůžee zanedba i valivý odpor a v akové případě plaí zákon zachování echanické energie. v=0 O A l α h α P B α FG Obr. 0 Obr. 1 Naobr.0jeznázorněnvalivýpohybponakloněnéroviněeklone α, kerýzačínázkliduvbodě A.Poproběhnuídráhy láěleovbodě B kineickou energii, kerá je rovna úbyku energie poenciální: E k = 1 ( J0 + R ) ω = 1 ( ) J0 R + v = gh=glinα. (38) Z oho určíe veliko rychloi ělea v bodě B a veliko zrychlení valivého pohybu: 19

20 gh v= = J 0 R +1 gh 4gh 3 10gh 7 proprenec, pro válec, pro kouli, (39) a= v l = gh ( )= ginα ginα pro válec, (40) J0 l R +1 J 0 R ginα pro kouli. 7 Vzah pro výpoče velikoi zrychlení ůžee nadno odvodi poocí pohybového zákona oáčivého pohybu a Seinerovy věy(obr. 1). MoenM ginα pro prenec, íhovéílyvzhledekokažiéoe Pudělujeěleuúhlovézrychlení ovelikoi ε= a R = M J = grinα J 0 + R, ginα a=. (41) J 0 R +1 Úlohy 13. Válec a kouli oučaně uvolníe na horní konci nakloněné roviny délky l avýšky h.keréěleodorazídřívenakonecroviny?kdeeveejnéokažiku bude nacháze druhé ěleo? 14. Valící e koule, kerá přešla z vodorovné roviny na nakloněnou rovinu, e zaavila ve vzdálenoi,55 od dolního konce roviny a vráila e zpě. Celý pohyb po nakloněné rovině rval 7,5. Určee počáeční rychlo koule a klon nakloněné roviny. Valivý odpor zanedbáváe. 0

21 Řešení úloh 1. =0,15, T=0,00; v 0 =? v 1 =? v 1 v 0 = gt, = (v 0+ v 1 )T Řešení éo ouavy rovnic doanee: v 0 = T gt. =7,4 1, v 1 = T + gt v 0 + v 1 = T.. =7,6 1.. v=90k h 1 =5 1, 1 =1, =400; =? = v = 1 + v 1 v = v + 1 =.! " 3. =000, v=16,7 1, =190; 1,, 3, 1,, 3, a 1, a 3,=? v 1 0 a 1 = v = a 3 = v 1 = 3 ; = v v + v 3 = v( 1+ ); = 3 = v =10, 3= 1 =70, =50, =840, 1 = 3 =580, a 1 = a 3 =0, k,0 1,5 1,0 0, τ=1,00, 1=,10, =1,10, 3=? Označe 1,, 3čayzábleků, v 1, v, v 3přílušnérychloiředukoule, aveliko zrychlení koule, ča, kdy e koule zaaví a zbývající dráhu ředu koule. Plaí v 1 v = a( 1)=aτ, v v 3= a( 3 )=aτ, (4) 1

22 1= v1+ v ( 1)= v1+ v τ, = Doazení z(4) do(43) a úpravou doanee Zoho v+ v3 ( 3 )= 1=v τ+ aτ, =v τ aτ. ( 1 )=aτ a= 4v τ=( 1+ ) v = v+ v3 τ. (43) 1 τ =1,00, (44) 1+ τ =1,60 1. Označe 3dráhu,keroukouleurazilapořeízábleku,ača,kdyezaavila. Plaí + 3= v ) (1+ ) =(1+ 3= a 8( 1 ) 8( 1 =0,18, ) 3= τ= v a τ= τ 1+ ( 1 ) τ=0,6<τ. Přičvrézáblekuekoulenacházelavkliduvevzdálenoi18codpolohypři řeí zábleku. 5. M=0,400kg, =0,00kg, g=9,8 ; a=? F=? F= Ma, F G F= g F= a; M a=g M+ =0,47, F= Ma=g M+ =0,19N. 6. =1100kg, =150, v 1=16,7 1, v =5 1, F o=400n; F=? =? Práce vykonaná oore auoobilu je rovna ouču přírůku kineické energie a práce pořebované odporovou ilou. v1+ v =, = =7,, F=F 1 o+ v 1+ v ( ) v v1, F= F ( ) v v1 o+ =400N+170N =1700N.. 7. v 0=7,8 1, b =130, 1=10, =100kg; F=? v 1=? Počáeční kineická energie auoobilu je rovna práci pořebované brzdnou ilou: 1 v 0= F b F= v 0 =3600N, b v 1 1 = v 0 b v 1= v 0 1 b =7,7 1.

23 8. d 1=40c, d =95c, f =5 1, h =; h 1=? v 1=? v =? a)označe 1dobu,keráuplynulaodzačákupádudovznikuprvníhoníkua 1 dráhukvěináčevčae 1.Dáleoznače T=0,04periodu,ekeroupracujekaera a d=d d 1=0,55vzdálenooboupolohkvěinácezachycenýchkaerou.Plaí Odečení obou rovnic doanee 1= h 1+ d 1= 1 g 1, h 1+ d = 1 g(1+ T). d=g 1 d 1 gt 1T+ gt, 1= gt Kvěináč padal z výšky = d gt T =1,38. h 1= 1 d 1= 1 g 1 d 1=9,36 0,40. =9,0. b)rychlokvěináčeělavčae 1veliko v 1= g 1= d T gt =13,55 1. noindenc)veliko v rychloikvěináčepřidopadunachodníkůžeeurči užií zákona zachování energie: g(h 1+ h )= 1 v v = g(h 1+ h )=4, f=3,3 1, r=0,155, b =,3; v 0=? a d =? a =? n=? v 0=πfr=3 1, ω=πf=146rad 1, n= f b =7, a d =4π f r=3300, a = v0 b =10, ε= a r =65rad. 10. J=, kg, F=50N, r=5,0 10 3, =0,80; f=? =? Vyjdee z rovnoi práce vykonané ilou F a kineické energie ervačníku: F= 1 Jω =Jπ f, f= 1 F π J =8 1, =ϕr= ω r=πfr, = πfr =1, =35, =70, α=0 ; f=? v=? =? Počáeční poenciální energie lyžaře je rovna práci pořebované ilai ření běhe 3

24 celého pohybu. Kineická energie lyžaře na konci vahu je rovna práci pořebované ilou ření běhe pohybu po vodorovné rovině. E p= gh=g 1in α=w 1+ W = 1gfco α+ gf, f= 1in α 1co α+ =0,116; E k = 1 v = gf, v= gf =1,6 1. = 1+ = v1 + v = v, = v =16,7. 1. k= =,5, α= ; f=? 1 Klouzavý pohybu vzhůru po nakloněné rovině bude rovnoěrně zpoalený. Zrychlení bude í veliko a 1= g(inα+fgco α). = 1 a1 1= 1 ( ) a, = k = a1 g(inα+fco α) g α+f = = 1 a g(inα gco α) g α f, f=g α k 1 k +1 =0, Vyjdee ze vzahů(40). Koule e pohybuje věší zrychlení, dorazí proo na konec nakloněné roviny dříve. Dráhy, keré obě ělea projedou za ejnou dobu, jou ve ejné poěru jako zrychlení l = av a k = 14 15, =14 15 l. 14. l=,55, =7,5; v 0=? α=? Pohyb vzhůru byl rovnoěrně zpoalený, pohyb dolů byl rovnoěrně zrychlený. Obě zrychlení ěla ejnou veliko. l= 1 ( ) a = 5g in α = v0 56 4, v 0= 4l =1,36 1, in α= 56l 5g =0,05, α=3,0. 4