Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body"

Transkript

1 Urèete, kde je unkce rostoucí a kde klesající: Prùbìh unkce a) () =ln 0; e klesající ; e ; + rostoucí b) () =+ [( ; 0) [ (0; ) klesající ; ( ; ) [ (; +) rostoucí] c) () =e jj [ ( ; 0) rostoucí ; (0; +) klesající] d) () = sin [rostoucí v R] Urèete lokální etrémy unkce: a) () = e [= 0 lokální minimum; = lokální maimum] = arctg + (k +); kzlokální minimum b) () =e cos = arctg + k ; k Zlokální maimum c) () = [= lokální minimum; = 0 lokální maimum] d) () =ln + [nemá lokální etrém] Urèete, ve kterých intervalech je unkce konvení a ve kterých jekonkávní a najdìte inení body: ; [ a) () = ++ 6 ; + konvení ; konkávní 75 = inení body b) () = ( ; ) konvení + ( ; +) konkávní ( j j ; 0) [ (0; ) [ (; +) konvení c) () = (; ) konkávní 5 =;= inení body 0; konvení d) () =ln( + ) ( ; 0) [ ; + konkávní5 =0;= inení body Urèete inení body unkce: a) () = arctg [nemá inení body] b) () =sin(ln ) =e =+k ;kz a) () = 8 +; h ;i [() = nejvìt¹í ; () = nejmen¹í] b) () =tg ; D E ; 6 " = nejmen¹í ; # = 6 nejvìt¹í 6 c) () = arccos ; h;+) [() = 0 nejmen¹í ; nejvìt¹í hodnoty nenabývá] d) () =ln ; (0; i (e )=e nejvìt¹í ; () = 0 nejmen¹í Urèete nejvìt¹í a nejmen¹í hodnotu unkce v uvedeném oboru: e) () =+e ; ( ; +) [(0) = nejmen¹í ; nejvìt¹í hodnoty nenabývá] Tyeset by AMS-T E X

2 Urèete asymtoty grau unkce : a) () = [svislé = ;=; vodorovná y =0] b) () = [svislé = ;= ; ¹ikmé y = v + y = v ] c) () = +ln [svislá =0] d) () =ln e+ svislá = e ; ¹ikmé y = +e v e) () =+ arctg h¹ikmé y =+ v +;y= i v ) ()=e [vodorovná y =0 v +] Urèete rùbìh unkce () =. D =( ; ) [ ( ; ) [ (; +) ; 0 () = + ( ) ; 00 () = ( +) ( ) & & & _ in.bod _ asym. y =0 = = y =0 Urèete rùbìh unkce () =ln D =(0;+); 0 ()=ln +ln; 00 () = (ln +) 0 e e + 0 e e % lok.ma. & lok.min. % _ in.bod asym. nemá Urèete rùbìh unkce () = arctg + D =( ; ) [ (; +) ; H ; ; 0 () = + ; 00 () = ( + ) 0 + = 0 = = = = 0 = = = & & _ in.bod asym. y = = y = =

3 Urèete rùbìh unkce () = e = D =( ; 0) [ (0; +) ; 0 () =e = ( ) ; 00 () =e + = 0 = e = & & lok.min. % asym. nemá =0 nemá Urèete rùbìh unkce () = arccos D = h ; i ; 0 () = arccos ; 00 () = = + 0 % 00 _ Urèete rùbìh unkce () =+e D =( ; +) ; 0 () = e ; 00 () =e & lok.min. % 00 + asym. nemá y = Urèete rùbìh unkce () = ln D =(0;) [ (; +) ; 0 () = ln ln ; 00 () = ln ln 0 e e e e = & & lok.min. % _ in.bod _ asym. = nemá Urèete rùbìh unkce () = arccos + D =( ; +) ; H (0;); 0 ()= jj( + ) ; 00 () = ( + ) ;>0; 00 () = ( + ) ;<0

4 & lok.min. % 00 asym. y = y = Pro které èíslo je souèet s jeho druhou mocninou minimální? [ =] Urèete rozmìry kvádru s ètvercovou základnou, který má øi daném objemu V nejmen¹í ovrch. hkrychle a = V;S=6 V i Na hyerbole dané rovnicí y = naleznìte bod, který je nejblí¾e bodu A = [; 0]. [B = [; ] ;B = [; ]] Urèete intervaly monotonie daných unkcí: a) () = [( ; ) rostoucí ; (; +) klesající] b) () = 6 [(; +) rostoucí ; ( ; ) klesající] c) () = + [( ;0) [ (; +) rostoucí ; ( ; ) [ (0; ) klesající] d) () = [( ; =) rostoucí ; (=; +) klesající] e) () = [( ;) rostoucí ; ( ; ) [ (; +) klesající] + ) ()= + [(=; ) [ (; +) rostoucí ; ( ; 0) [ (0; =) klesající] g) () = e [(0; ) rostoucí ; ( ; 0) [ (; +) klesající] h) () =ln+ [(; +) rostoucí ; (0; ) klesající] Urèete lokální etrémy unkce: " =+k ; maima a) () = cos sin 7 k Z# +k ; =6+k minima 6 b) () = arcsin [lokální maimum v =0] =+k ; maima c) () =je sin j k Z k ; minima d) () =ln + [lokální minimum v =0] lokální maimum v =e e) () =ln lokální minimum v = ) ()=+e [lokální minimum v = ln ] g) () = ln ( + e ) [ unkce nemá lokální etrémy] h) () = arccos + [lokální minimum v =0] Urèete intervaly, ve kterých je unkce konkávní, ve kterých jekonvení a inení body unkce: (; +) konvení a) () = ( ; ) konkávní = inení bod 5

5 b) () = + +e [konvení v R] (=; +) konvení c) () = +ln (0; =) konkávní 5 == inení bod d) () = ( ;) konvení ( ; ) [ (; +) konkávní ( ; =) [ ( =; +) konvení e) () =e ( =; =) konkávní 5 = = inení body ( ; 0) [ (8; +) konvení ) ()=e (0; 8) konkávní 5 =0a= 8 inení body Urèete inení body unkce: a) () =+ sin [ k = k ; k Z] b) () =e = [ = ] c) () =e ( +) [ = ; = ] d) () = ln =e 8= Urèete nejvìt¹í hodnotu (M ) a nejmen¹í hodnotu (m) unkce na daném intervalu: a) () = ; h0;i [M=() = ;m=(=) = =] b) () = +; ( ;) [M = (0) = ;m nenabývá] c) () = ; ( ;) [nenabývá M ani m] d) () = arctg + ; (; i [m = () = arctg ;M nenabývá] e) () = e = ; (0; +) m = (=)=e =;Mnenabývá ) ()=e ; (0; +) M = () = e ;mnenabývá g) () = arctg ; ( ;=i [m = (0)= 0;M nenabývá] h) () = e ; ( ; +) [m = (0)=0;M nenabývá] Urèete asymtoty grau unkce: a) () =e = [y = + v ; =0] b) () = [y= v ; =] c) () = arccos [y = = v ] d) () = ln [nemá asymtoty] e) () =lnr e [y=0 v +;=0] e ) ()=ln [= ; =] + g) () =e + [y= v ] h) () = ln ( + e ) [y =0 v +;y= v ] Urèete rùbìh unkce () = ln. D =(0;) ; 0 () = ( ) ; 00 () = ( ) 5

6 0 = = ln % _ in.bod asym. =0 = Urèete rùbìh unkce () = arccos. D =( ; i[h;+); 0 ()= jj ; 00 () = jj + = 0 = % % 00 + _ asym. y = = y = = Urèete rùbìh unkce () =ln +. D =( ;);; 0 ()= ; 00 () = ( + ) ( ) & min. % 00 + asym. = = Urèete rùbìh unkce () =lnr e e. D =(0;+); 0 e ()= e ; 00 () = ( e ) & 00 + asym. =0 y=0 Urèete rùbìh unkce () =ln +. D =( ;) ; 0 () = ; 00 () = ( ) 6

7 % _ in.bod asym. = = Urèete rùbìh unkce () =ln +. D =( ;+); 0 ()= + ; 00 () = ( ) ( + ) ln % _ in.bod in.bod _ asym. = Urèete rùbìh unkce () = + arcsin D = h0; i ; 0 () =r. ; 00 () = % 00 _ asym. nemá = Urèete rùbìh unkce () =e. D =( ; +) ; 0 () =( )e ; 00 () =( )e e e e % lok.ma. & _ in.bod asym. y =0 Urèete rùbìh unkce () = ln ( + e ). D =( ; +) ; 0 () = e +e ; 00 () = ( + e ) & 00 + asym. y = y =0 7

8 Urèete rùbìh unkce () = e +. D =( ; ) [ ( ; +) ; 0 () = e ( + ) ; 00 ( + ) () = e ( + ) & & lok.min. % 00 + _ asym. y =0 = Urèete rùbìh unkce () =+ ln. D =(0;+); 0 ()= + ln ; 00 () = ln 0 e = % _ in.bod asym. =0 y = Urèete rùbìh unkce () =ln+. D =(0;+); 0 ()= ; 00 () = = + & lok.min. % in.bod _ asym. =0 Urèete rùbìh unkce () = arctg. D =( ; +) ; 0 () = arctg + + ; 00 () = ( + ) & lok.min. % 00 + asym. y = y = Pro které kladné èíslo je jeho souèet s jeho øevrácenou hodnotou minimální? [ = ; s = ] Pro které kladné èíslo je jeho rozdíl s jeho druhou mocninou maimální? = ; r = Do kru¾nice o olomìru R vei¹te obdélník, který má nejvìt¹í obsah a tento obsah urèete. 8

9 ètverec o stranì a = R ;P=R Který obdélník vesaný do ùlkruhu o olomìru R má nejvìt¹í obsah a jaký? a = R ;b= R ;P=R Do koule o olomìru R vei¹te válec, který má nejvìt¹í objem, a který má nejvìt¹í lá¹». r = Rr ;h=r ;V= R 6 ro lá¹» bez odstav r = R ;h=r ;S=R 5+ ro lá¹» s odstavami r = Rr 5 5 ;h=rr5 ; S = R Do rotaèního ku¾ele s vý¹kou v a olomìrem odstavy R vei¹te válec s nejvìt¹ím objemem. r = R; h= v; V = vr 7 Který kvádr se ètvercovou odstavou má øi daném objemu V nejmen¹í ovrch? Který válec má øi daném objemu V minimální ovrch? i hkrychle a = V;v= V;S=6 V " r r V V # r = ;v= ;S= V 75 9

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Příklady z matematiky(pro ITS)

Příklady z matematiky(pro ITS) Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x.

27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x. Základní elementární funkce Robert Mařík 7. června 00 ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Abstrakt V tomto dokumentu jsou uvedeny základní vlastnosti nejdůležitějších základních elementárních funkcí. (Triviální

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

10. Derivace, průběh funkce

10. Derivace, průběh funkce Moderní technologie ve studiu aplikované yziky CZ..07/..00/07.008 0. Derivace, průběh unkce Před mnoha lety se matematici snažili o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83 Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8

Více

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b

Rolleova věta. Mějme funkci f, která má tyto vlastnosti : má derivaci c) f (a) = f (b). a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b Průběh unkce Rolleova věta Mějme unkci, která má tto vlastnosti : a) je spojitá v a, b b) v každém bodě a,b má derivaci c) (a) = (b). b Potom eistuje v a, alespoň jeden bod c, v němž ( c) : 1, 3 0 1 1

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Průběh funkce pomocí systému MAPLE. Vyšetřování průběhu funkce je komplení a někdy velmi obtížná úloha. V konkrétních aplikacích nás většinou zajímají jen některé otázky týkající se průběhu dané funkce.

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I.

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I. Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 008/009- Série I. Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí ze společnosti, bude-li předkládat matematické

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.

x (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f. 1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,

Více

Průběh funkce II (hledání extrémů)

Průběh funkce II (hledání extrémů) .. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné

Více

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1 Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 3 jx 1 4 j+2 = 5 + 4 sin 2x: Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj.

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

f jsou osově souměrné podle přímky y = x. x R. Najdi

f jsou osově souměrné podle přímky y = x. x R. Najdi Nechť je prostá unkce v pořád klesá) a zobrazuje D na H deinovaná vztahem: D = a) b) Gra unkcí a H, H = D INVERZNÍ FUNKCE D (tj. v celém svém deiničním oboru pořád roste nebo. Pak k této unkci eistuje

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční

Více

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 03/04 3. září 04 Předmluva ii Rozjezd

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně LDF)

Více

4.3.1 Goniometrické rovnice

4.3.1 Goniometrické rovnice .. Goniometrické rovnice Předpoklady: 6, 7 Názvosloví: Goniometrické rovnice: rovnice, ve kterých se neznámá objevuje uvnitř goniometrických funkcí. g x = a, kde Základní goniometrická rovnice: každá rovnice

Více

Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus

Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus Vysoká škola polytechnická Jihlava Obor Finance a řízení Matematika, - cvičení Miloš Kraus. vydání září 005 Obsah Matematická logika 5 Funkce a jejich vlastnosti 8 3 Inverzní a cyklometrické funkce 5

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

7) Intervaly konvexnosti a konkávnosti. 8) Inflexe, inflexní body grafu funkce. 9) Asymptoty grafu funkce. 10) Sestrojení grafu funkce.

7) Intervaly konvexnosti a konkávnosti. 8) Inflexe, inflexní body grafu funkce. 9) Asymptoty grafu funkce. 10) Sestrojení grafu funkce. Přednáška č. 12 Vyšetřování průběhu funkce a užití extrémů funkcí Jiří Fišer 11. prosince 2009 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 12 11. prosince 2009 1 / 18 Průběh funkce O vyšetřování

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová. Matematika, Mnohoúhelníky, pokračování

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová. Matematika, Mnohoúhelníky, pokračování Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Mgr. Věra Jeřábková, Mgr. Marie Chadimová Tematická oblast Matematika, Mnohoúhelníky, pokračování Ročník 2. Datum

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY II

CVIČENÍ Z MATEMATIKY II VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ CVIČENÍ Z MATEMATIKY II Řešené úlohy (Učební tet pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO PŘEDMLUVA Učební

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

1.1.3 Práce s kalkulátorem

1.1.3 Práce s kalkulátorem .. Práce s kalkulátorem Výrazy zadáváme do kalkulačky pokud možno vcelku, pozor na závorky a čísla ve jmenovateli u zlomků. Př. : Spočti na kalkulačce s maximální možnou přesností a bez zapisování mezivýsledků:

Více

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE 4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

a základ exponenciální funkce

a základ exponenciální funkce Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. červenec 0 Název zpracovaného celku: EXPONENCIÁLNÍ A LOGARIMICKÁ FUNKCE EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE Eponenciální unkce o základu a je každá

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Matematika II Aplikace derivací

Matematika II Aplikace derivací Matematika II Aplikace derivací RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Derivace slo¾ené funkce Vìta o derivaci slo¾ené funkce.

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012 VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech 009 0.

Více

Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace

Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Prstencové a kruhové okolí bodu

Více

Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma.

Matematické metody v kartografii. Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. Matematické metody v kartografii Přednáška 3. Důležité křivky na kouli a elipsoidu. Loxodroma a ortodroma. . Přehled důležitých křivek V matematické kartografii existují důležité křivky, které jdou po

Více

1) e x Integrál je roven: 1) 2xe x 3)

1) e x Integrál je roven: 1) 2xe x 3) TEST:Mgr095PMB Varianta: Tisknuto:04/09/05. Sanitka jede po vodorovné silnici stálou rychlostí 90 km/h. Při tomto pohybu motor sanitky silou 0 kn kompenzuje ztráty způsobené třením a odporem vzduchu. Vypočítejte,

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více