K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze Variační principy Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014.
|
|
- Štěpánka Horáčková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Variační princip V této kapitole se podíváme na zcela jiné vjádření zákonů, které určují pohb soustav hmotných bodů Nebudou mít formu diferenciálních rovnic 1, ale budou vjádřen požadavkem, že jistý integrál má mít minimální (resp obecně extrémní) hodnotu To na první pohled vpadá velmi podivně le ukazuje se, že podobné princip se uplatňují i v jiných oblastech fzik příkladem je Fermatův princip v geometrické optice Trochu metaforick b se snad dal tto princip vjádřit tvrzením, že příroda má ráda extrém Co to znamená a jak se to konkrétně ukazuje v klasické mechanice, se pokusíme v dalším naznačit Nejprve se ale podíváme na úlohu, která historick bla jedním z problémů, jež vedl ke vzniku tzv variačního počtu Pojďme na skluzavku! Úvod: co nejrchlejší skluzavka aneb úloha o brachistochroně Základní problém je jednoduchý: Jaký tvar má mít skluzavka mezi dvěma pevně danými bod, abchom se po ní sklouzli co nejrchleji, ted za co nejkratší čas? Problém poněkud zpřesníme: V homogenním gravitačním poli se hmotný bod pohbuje bez tření po křivce x zadanými bod a, tj platí, x x 3 mezi dvěma pevně Pro jednoduchost zvolíme soustavu souřadnic tak, že počátek bude v bodě, jak to ukazuje obrázek; osa směřuje dolů V bodě je počáteční rchlost hmotného bodu rovna nule Otázkou je, jak zvolit křivku tak, ab čas, za který se hmotný bod m vlivem gravitace dostane do bodu, bl co nejkratší Z historie je tento problém znám jako úloha o brachistochroně 4 Že takováto křivka b měla existovat, je vcelku zřejmé Pokud bchom naši skluzavku měli zpočátku jen velmi povlovnou (křivka 1 x ), hmotný bod se bude zpočátku pohbovat velmi pomalu a čas klouzání bude dlouhý Pokud b skluzavka vedla příliš dolů (viz x ), bude zbtečně dlouhá a výsledný čas se také prodlouží V obou případech můžeme úpravou křivk čas klouzání zkrátit Někde mezi krajními možnostmi ted zřejmě existuje křivka x, po níž je čas klouzání nejkratší Jak ji ale najít? Přece nemůžeme zkoušet všechn křivk, těch je nekonečný počet! Pojďme nejprve určit, jak dlouho trvá, než bod doklouže do bodu Kdž hmotný bod dojede do místa o souřadnicích hmotného bodu je ted x, x, je jeho kinetická energie 1 m mg v 5 Rchlost klouzání 1 Dosud jsme bli zvklí, že pohbové rovnice jsou vžd rovnicemi diferenciálními Vždť i druhý Newtonův dr zákon ma F je diferenciální rovnicí m F dt Pokud jste se s ním dosud nesetkali, nemusíte se bát, pro pochopení této kapitol nebude podstatný, i kdž si ho na příslušném místě krátce připomeneme 3 Můžete si představit třeba malý korálek klouzající po drátu se zanedbatelným třením 4 Slovní základ druhé části slova, chronos, nám říká, že v úloze jde o čas rachs znamená řeck krátký, třetí stupeň tohoto slova, ted nejkratší je brachistos Proto brachistochrona píšeme s měkkým i 5 O mg klesla potenciální energie hmotného bodu, o stejnou hodnotu se ted musí zvýšit kinetická energie; ta bla na začátku nulová 1
2 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Čas v g x t, za který hmotný bod urazí kousek dráh l 1 x, kde l, je t l v Délka kousku dráh je d 6 7 Čas, za který hmotný bod překoná kousek dráh, je ted dx l 1 t x v g Celkový čas dostaneme integrací 8 : x 0 1 t dx (81) g Jak ale určit křivku, pro níž je t nejmenší? V rámci výpočtů, které známe, to zatím neumíme Musíme se proto seznámit s částí matematik, která je pro nás nová, s variačním počtem 9 Vztah (81) pro nás bude dobrým východiskem, nejprve si ale (jak bývá v matematice zvkem), náš problém trochu zobecníme Variační počet: formulace úloh Ve vztahu (81) je integrál z nějakého výrazu, který obsahuje funkci Obecně takový integrál můžeme napsat jako x a její derivaci x I F x, x, x dx (8) Přidali jsme sem ještě možnou explicitní závislost výrazu F x, x, x na x 10 Úlohou je najít funkci x takovou, pro níž integrál (8) nabývá minima, resp obecně extrému Omezujeme se přitom na funkce, pro něž platí x x tj jejichž hodnot v koncových bodech intervalu jsou pevně dané,, (83) 6 Pro konečné kousk x a l toto samozřejmě platí přibližně, přesně až v limitě x 0 nebo tehd, kdž místo konečných přírůstků píšeme diferenciál Chcete-li, pište ted dt dl v, dl 1 dx apod Pro názornost však zde i v dalších vzorcích často pracujeme s konečnými kousk, aniž bchom specielně vznačovali, že v tomto případě vztah neplatí úplně přesně 7 Pokud zapomeneme vztah pro délku kousku křivk, stačí si uvědomit, že vlastně jednoduše plne z Pthagorov vět: l x x x 1 x (Přesně toto ovšem platí opět až v limitě nekonečně malých kousků ) 8 Názorně řečeno: sečtením všech kousků času 9 Nebojte se, jen s jeho základ 10 V úloze o brachistochroně blo F x, x, x 1 g, tam daný výraz závisel jen na a, nikoli explicite na x
3 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Než se pustíme do řešení, přidejme dvě poznámk Jedna bude terminologická: Pravá strana vztahu (8) je příkladem toho, čemu se v matematice říká funkcionál Jde o operaci, do níž vstupuje nějaká funkce (zde funkce x a její derivace) a výsledkem je číslo 11 Druhá poznámka se týká zápisu Dále již většinou nebudeme stále vpisovat závislost a na x, pro stručnost ted budeme např (8) psát I F,, x dx (84) Jak hledat extrém pomocí variace funkce Jak hledat extrém veličin I? Kdb závisela jen na několika proměnných, tak bchom použili známý postup: parciální derivace podle těchto proměnných bchom položili rovn nule V (8) ale můžeme nastavovat nekonečný počet hodnot x Musíme ted extrém hledat jinak Základní nápad, jak to dělat, nám může objasnit jednoduchý příklad Uvažujme funkci jedné proměnné, viz obrázek Pokud se hodnota proměnné x změní o x, pak obecně, pokud jsme mimo extrém, se také změní hodnota funkce o f 0 Jsme-li ale v bodu, který odpovídá extrému (na obrázku je to x min ), pak posun o hodnotu praktick nezmění 1 x funkční Hledat extrém veličin I ted můžeme tak, že budeme uvažovat malé změn funkce Jsme-li mimo extrém, pak se při změnách Odpovídá-li x mění i hodnota I x x extrému, pak se při malých změnách funkce hodnota I praktick nemění Tuto mšlenku může ilustrovat i příklad skluzavk v úvodu kapitol U nevhodných skluzavek 1 x a x stačí i malá změna tvaru skluzavk k tomu, ab se výrazně prodloužil nebo zkrátil čas, za nějž dojedeme do bodu V případě optimální skluzavk x malá změna tvaru skluzavk čas sklouznutí praktick neovlivní udeme ted uvažovat funkci funkcionálu I, a funkce x, která bude odpovídat extrému x, které se od ní budou o málo lišit a v koncových bodech s ní budou splývat, ted a x x Odchlk funkcí x od označovat jako Funkce x x x budeme x x x (85) x nazýváme variace funkce x Považujeme je přitom za velmi malé to znamená, že s nimi můžeme pracovat stejně, jako s diferenciál 11 Přesněji řečeno jde o zobrazení z nějakého prostoru funkcí do prostoru reálných nebo komplexních čísel; blíže zde tento pojem nebudeme precizovat 1 Přesněji řečeno, nezmění ji o člen prvního řádu v x : f xmin x f xmin o x extrém f x x f x f x x, kde f x 0 3, zatímco mimo Ve všech těchto a následujících úvahách a odvozeních přitom předpokládáme, že funkce, o něž nám jde, jsou spojité a mají první, případně druhé derivace
4 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Variací funkcionálu I nazveme rozdíl hodnot I odpovídající funkcím x a x : 13,,,,,,,, (86) I F x dx F x dx F x dx F x dx Z předchozích úvah plne, že extrém I nastává v případě, kd variace I je nulová: I 0 (87) Přitom v koncových bodech mají funkce stále pevné hodnot To znamená, že variace funkce (85) musí být na koncích intervalu nulová: x x Ze vztahů (86) (88) už budeme moci extrém I najít 0, 0 (88) Od variace funkcionálu k Eulerovým-Lagrangeovým rovnicím Vztah (86) můžeme upravit na,,,, I F x F x dx V hranaté závorce je rozdíl výrazů F ve dvou blízkých bodech Protože variace δ bereme jako velmi malé 16, můžeme psát F F F,, x F,, x Dostáváme ted F F I dx (89) Malost variace δ vjádříme explicite tak, že tuto variaci napíšeme jako 13 Chcete-li, můžete označit I,, F x dx, variace I pak je I I I 14 Ještě jednu poznámku: Ve vztahu (86) vstupuje také variace derivace funkce, Co to je? Variací rozumíme rozdíl oproti původní funkci; variací derivace je ted zřejmě x x x Derivujeme-li ale vztah (85), dostaneme d d d x x Je ted vidět, že dx dx dx derivace variace funkce se rovná variaci derivace funkce Jednoduše řečeno, nezáleží na tom, zda nejdříve vezmeme variaci funkce a tu zderivujeme nebo zda nejdřív funkci derivujeme a pak vezmeme její variaci 15 ještě jednu poznámku k označení a terminologii Pro variaci funkce, jak jsme ji zavedli vztahem (85), se z historických důvodů používá označení δ (ted malé delta) Přitom funkční hodnot x a x bereme ve stejném bodě x (V souvislosti s tím, že v úlohách je nezávisle proměnnou často čas, mluvíme ve fzice o těchto variacích jako o isochronních) V učebnicích teoretické mechanik můžete narazit i na další tp variací, kd se porovnávají funkční hodnot funkcí ve dvou blízkých, ale různých bodech, ted x a x x Tto variace bývá zvkem označovat smbolem Δ; v našem textu se jimi dále nebudeme zabývat a omezíme se jen na variace isochronní 16 Respektive nekonečně malé, jak jsme už uvedli, pracujeme s nimi jako s diferenciál 4
5 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 x kde je libovolná funkce 17 splňující a Z (89) pak dostaneme x, x x 0, 0 (810) 1 18 x F F I dx (811) b nastal extrém, musí platit (87), ted I 0 Protože 0 19, plne z (811) F F I 0 dx 0 (81) Pravá strana (81) je ted podmínkou, ab nastal extrém Můžeme ji ještě upravit 0, abchom se v ní zbavili derivace : F F F d F d F 0 dx dx dx dx F d F d F dx dx dx dx F d F F x dx dx Poslední člen v (813) je ale roven nule Je totiž x x 0 platí (810) Podmínku na extrém ted můžeme vjádřit ve tvaru F F F (813), protože F d F dx x dx 0 (814) Tato podmínka musí přitom platit pro libovolnou funkci η(x) (spojitou, derivovatelnou a splňující (810)) 17 Pozor, termín libovolná je nutno poněkud omezit Musí jít o funkci spojitou, která má první derivaci 18 Pro zpřesnění: Ve všech výrazech, kde se vsktuje δα, budeme ponechávat jen člen prvního řádu; všechn člen (δα) a všších řádů budeme zanedbávat 19 δα je sice nekonečně malé, ale různé od nul! 0 Používáme přitom obrat tpu dg d df f f g g, kde dx dx dx 5 F f a g
6 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika 8 Variační princip prozatímní učební text, verze 01 Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Co musí platit, ab blo splněno (814)? Ukážeme, že je nezbtné, ab hranatá závorka v integrálu v (814) bla na celém intervalu x, x rovna nule Jde totiž o spojitou funkci Pokud bchom ji označili jako f x, bude (814) f x x dx 0 (815) Důkaz provedeme sporem Pokud b f x blo různé od nul, třeba kladné, v nějakém bodě x0, musí být (v důsledku spojitosti) kladné i v určitém okolí tohoto bodu, viz obrázek Funkci η(x) pak můžeme zvolit v tomto okolí také kladnou a všude jinde nulovou Je zřejmé, že integrál f x x dx b pak musel být také kladný, což je spor s (815) To znamená, že platí-li (815) pak f x musí být na celém intervalu x, x rovno nule1 K čemu jsme ted dospěli? Platí I 0 F d F 0, dx (816) jinými slov: Jestliže funkcionál I F,, x dx nabývá extrému, pak funkce x splňuje rovnici F d F 0 dx (817) Rovnice (817) se nazývá Eulerova-Lagrangeova rovnice Problém nalezení extrému funkcionálu jsme ted převedli na řešení diferenciální rovnice Poznamenejme, že podobně lze hledat i extrém funkcionálu, který závisí na více funkcích 1 x, x,, ted I F,, x dx j j Místo jediné diferenciální rovnice pak dostáváme sstém Eulerových-Lagrangeových rovnic F d F j dx j 1 0 (818) Toto tvrzení bývá někd označováno jako základní lemma variačního počtu Upřesňující poznámka: Eulerova-Lagrangeova rovnice je nutnou podmínkou, ab pro danou funkci x bl funkcionál extrémní Striktně vzato to však není podmínkou postačující Může totiž nastat případ, kd I 0, ale přesto nejde o extrém nalogií v případě funkce jedné proměnné je chování funkce x 3 v bodě x 0 : Při posunu o malý kousek doleva nebo doprava se hodnota funkce praktick nemění (protože její první derivace v daném bodě je rovna nule), přesto však nejde o minimum ani o maximum Chceme-li zahrnout i tto případ, říkáme obecně, že funkcionál má stacionární hodnotu Podmínka I 0 a ted i rovnice (817) je ted ekvivalentní tomu, že funkcionál I má stacionární hodnotu 6
7 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Hamiltonův princip Přejděme zpět k dnamice soustav hmotných bodů Podívejme se pozorněji na Eulerov-Lagrangeov rovnice (818) Nepřipomínají nám něco? Jistě, vpadají praktick stejně jako Lagrangeov rovnice druhého druhu d L L dt q j qj 0, (819) jen místo nezávisle proměnné x v Eulerových-Lagrangeových rovnicích je v (819) čas t, místo funkcí j x funkce qj t a místo F lagrangián L 3 Výše jsme odvodili, že podmínka I 0 je ekvivalentní Eulerovým-Lagrangeovým rovnicím 4 Dík analogii můžeme naopak říci, že Lagrangeov rovnice druhého druhu jsou ekvivalentní podmínce kde t S 0, (80) S L q, q, t dt (81) t j j a při variaci (80) mají zobecněné souřadnice q j pevné hodnot: q t q ( ) j j q t q ( ) j j, (8) Veličina S daná vztahem (81) se nazývá akce 5 Protože Lagrangeov rovnice druhého druhu jsou pohbovými rovnicemi soustav hmotných bodů a protože, jak vidíme, jsou ekvivalentní podmínce (80), můžeme říci, že Soustava hmotných bodů, která v čase t je v pevně dané počáteční poloze a v čase t v pevně dané koncové poloze, se mezi těmito čas pohbuje tak, že variace akce je rovna nule (ted že akce je stacionární 6 ) Tento výsledek je znám pod názvem Hamiltonův princip Hamiltonův princip většinou na první pohled připadá zvláštní a překvapující Jsme totiž zvklí formulovat zákon pro pohb částic a těles (ted pohbové rovnice) v čase lokálně Příkladem je druhý Newtonův zákon: V daném čase působí na hmotný bod celková síla F, ta působí zrchlení a F m a dík tomu se za malý časový interval Δt změní rchlost na vt t v t at Vše se děje v čase t resp v jeho těsném okolí Například při šikmém vrhu síla postupně mění směr rchlosti a výsledkem těchto postupných změn je nakonec celková trajektorie, v daném případě parabola Zápis pomocí diferenciální rovnice je jen jiným vjádřením toho, jak se rchlost a poloha mění krok po kroku 3 Navíc mají rovnice opačné znaménko, ale na něm nezáleží, vnásobení faktorem -1 rovnice nezmění 4 Ted, odvodili jsme to v případě jediné funkce x, odvození pro více funkcí b blo obdobné 5 Pozor, nemá nic společného s principem akce a reakce, jde jen o shodu jmen Lze se také setkat s názv Hamiltonova principiální funkce nebo Hamiltonova akční funkce 6 Většinou jde o extrém, ale raději zde uvádíme obecnou formulaci, viz výše poznámku 7
8 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Hamiltonův princip nám předkládá úplně jiný obrázek Mezi zadaným počátečním bodem (ted bodem, z něhož v počátečním čase t házíme) a zadaným koncovým bodem (do něhož hmotný bod v pevném koncovém čase t dopadne) se hmotný bod pohbuje tak, ab jakási veličina, kterou spočteme integrálem přes všechen čas pohbu (akce S) bla minimální 7 Naprosto přirozeně se vtírá otázka: Jak ten hmotný bod ví, jaký bude integrál (81)? to nějak za letu porovnává různé možnosti, jak letět, a výsledné hodnot akce? Hmotný bod samozřejmě nic neví a nepočítá integrál stejně jako neřeší diferenciální rovnice, kdž jeho pohb popisujeme pomocí nich od se prostě pohbuje podle zákonů klasické mechanik jak jsme ukázali, tto zákon lze vjádřit nejen pomocí diferenciálních rovnic, ale také pomocí integrálního principu (80) (resp (80) (8)) Je to nezvklé, ale je to tak Variační princip nejen v klasické mechanice Variačních principů (resp integrálních principů) blo v teoretické mechanice formulováno více 8 Co je však ještě zajímavější: variační princip se významně uplatňují i mimo oblast klasické mechanik Ukazuje se, že formulovat fzikální zákon pomocí variačních principů je velmi obecný, hluboký a přínosný přístup minimálně stejně přínosný, jako jejich formulace pomocí diferenciálních rovnic Příkladem je Fermatův princip v geometrické optice: světlo se mezi dvěma pevnými bod šíří po takové trajektorii, po níž to stihne (v porovnání s blízkými trajektoriemi) za nejkratší čas 9 Podobný princip se uplatňuje i v kvantové elektrodnamice, ted v oblasti hodně vzdálené od názorných objektů klasické mechanik 30 Variační princip se uplatňují také ve speciální a obecné relativitě a dalších oblastech teoretické fzik Nejde však vžd jen o výšin teoretické fzik, pro řadu lidí vzdálené čemukoli praktickému 31 Variační počet se užívá i v technických aplikacích Ve strojnických a stavebních konstrukcích bývá potřeba spočíst rozložení mechanických napětí 3 Tento problém popisuje soustava parciálních diferenciálních rovnic Ukázalo se, že výhodnější, než řešit přímo tto rovnice, je přeformulovat celý problém na variační úlohu, ted sestrojit příslušný funkcionál a hledat jeho minimum Ne samozřejmě fitováním hodnot v nekonečně mnoha bodech, ale ve vhodně zvolených kouscích Tohle je principem tzv metod konečných prvků, která se dnes používá i pro řešení řad dalších parciálních diferenciálních rovnic 7 Obecně: stacionární 8 Zájemce odkazujeme na učebnice teoretické mechanik, m se k trochu obecnější formulaci dostaneme ještě v kapitole 10 Zároveň je vhodné připomenout, že například teorém Noetherové, který jsme zmínili v kapitole 7, bývá odvozován právě z variačního principu 9 Přesněji řečeno, za čas, který je extremální resp stacionární v porovnání s čas po blízkých trajektoriích 30 Velmi pěkný polopopulární úvod do těchto mšlenek podává kniha R Fenmana Podivuhodná teorie světla a látk 31 Tomuhle názoru b se mimochodem dalo úspěšně oponovat, ale to teď necháme stranou 3 Nechceme přece, ab nějaký nosník praskl, protože napětí překročilo mez pevnosti Na druhou stranu, zbtečně předimenzovat konstrukci b blo neekonomické 8
9 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 První integrál Eulerov-Lagrangeov rovnice a zpět ke brachistochroně Celou kapitolu jsme začali úlohou o brachistochroně Můžeme ji nní vřešit? Rozhodně můžeme sestavit příslušnou diferenciální rovnici Porovnáním (81) s obecným funkcionálem (8) vidíme, že Dosazením do Eulerov-Lagrangeov rovnice (817), ted do 1 F (83) g F d F 0 dx (84) pak získáme konkrétní rovnici, jejímž řešením b všla hledaná nejrchlejší skluzavka, ted brachistochrona Potíž je v tom, že vjde rovnice příliš složitá, kterou neumíme řešit Naštěstí však v případě, kd výraz F explicite nezávisí na proměnné x, tj kdž platí F 0, (85) x lze najít tzv první integrál rovnice (84), pomocí něhož lze často dospět k řešení v případě úloh o brachistochroně opravdu (83) na x explicite nezávisí! Pojďme se podívat, jak onen první integrál najít Kdž vnásobíme rovnici (84), můžeme výsledek postupně upravit na F d F F d F F d 0 dx dx dx F F F d F F x dx x (86) df d F F d F F F dx dx x dx x Při úpravách jsme použili často vužívaný obrat vužívající derivaci součinu funkcí 33, přičetli a odečetli jsme člen F x a navíc vužili vztah pro derivaci výrazu F podle x 34 d F Pokud F nezávisí explicite na čase, ted platí (85), plne z (86) F 0, to znamená, dx že F F konst 9 (87) Výraz na levé straně (87) je kýžený první integrál rovnice (84) (Získali jsme ho integrací této rovnice) df d dg F g f g f, kde f a g dx dx dx d F d F d F F F F F x, x, x dx dx dx x x 33 Šlo o úpravu 34 Nikoli pro parciální derivaci! Je
10 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 rachistochrona: řešení Pro nalezení brachistochron nejprve v (83) vpustíme člen g ve jmenovateli 35 Vezmeme ted F ( ) 1 + =, odtud také určíme F = ( 1 + ( ) ) Po dosazení do (87) dostaneme ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) F konst = F = = = ( ) Výsledný zlomek roven konstantě, takže konstantě musí být roven i výraz pod odmocninou ve jmenovateli: kde C je konstanta 36 ( ( ) ) 1+ = C, (88) Výsledná rovnice stále ještě nevpadá jako jednoduše řešitelná ale matematika nás poučí, že rovnice tohoto tpu lze řešit vhodnou substitucí za Dokonce poradí i substituci, která bude fungovat 37 : Z (88) po dosazení (89) dostáváme 38 ϕ = cotg (89) C = = C sin = C 1 cos 1 + ( ϕ ) ( ϕ) (830) Známe ted v závislosti na parametru ϕ Potřebujeme zjistit, jak na tomto parametru závisí x Derivaci x podle ϕ můžeme zapsat jako dx dx d 1 d 1 = = C ( 1 cosϕ) C sinϕ dϕ d dϕ d dϕ = = dx ( ϕ ) C ( ϕ ) ( ϕ ) C ( ϕ ) C( ϕ) = tg sin cos = sin = 1 cos Odtud už ( 1 cosϕ) ϕ ( ϕ sinϕ) x = C d = C 39 (831) 35 Výrazem 1 g se pouze násobí celkový čas Má-li být nejkratší, je jistě nejkratší i libovolný jeho násobek Jiným argumentem je skutečnost, že na levé straně (87) můžeme F násobit libovolnou konstantou a daná rovnost se nezmění (Zkuste si sami rozmslet, že vpuštěním členu g skutečně nepácháme žádnou nepřístojnost) 36 Na pravé straně (88) jsme napsali její dvojnásobek, protože faktor se v dalších úpravách výhodně zkrátí 37 Přiznejme, sami bchom ji asi nevmsleli 38 sin ( ϕ ) + cos ( ϕ ) 1 Při úpravách vužíváme vztah 1 + cotg ( ϕ ) = = a sin sin ( ϕ ) sin ( ϕ ) ( ϕ ) 10 1 cosϕ =
11 K přednášce NUFY08 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 8 Variační princip Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 014 Výsledná parametrická rovnice brachistochron je ted x 1cos C sin C (83) Jde o rovnici ckloid 40 Křivkou, po níž hmotný bod klouže k cíli za nejkratší čas, je ted ckloida Pro 0 je hmotný bod v počátečním bodě (počátku souřadnic), pro nějakou hodnotu je v koncovém bodě o souřadnicích x, ; hodnotu a konstantu C určíme právě ze souřadnic x a 41 Závěrečné poznámk Úlohu o brachistochroně bchom zřejmě bez variačního počtu nedokázali vřešit Není to samozřejmě jediný zajímavý problém, kde je variační počet užitečný S jeho pomocí můžeme například najít tvar řetězovk To je tvar, který zaujme řetěz pověšený mezi dvěma bod 4 Je jasné, že řetěz se zřejmě prověsí tak, že jeho potenciální energie bude minimální 43 Tato úloha je však poněkud složitější, protože při hledání minima potenciální energie musíme respektovat podmínku, že se řetěz neprotáhne, ted že má pevnou délku Proto zde v základním textu kapitol řešení tohoto problému neuvádíme Zásadním sdělením této kapitol bl ale Hamiltonův princip, resp obecně zjištění, že pohbové zákon nemusí mít jen tvar diferenciálních rovnic, ale také integrálních principů a že obě tato vjádření jsou rovnocenná Navíc jsou tto princip velmi užitečné i mimo oblast mechanik V poněkud volnější formulaci ted opravdu můžeme říci, že příroda má ráda extrém 39 Integrační konstantu volíme rovnu nule; odpovídá to počátečnímu bodu v počátku souřadnic ( x 0, x 0 pro 0) 40 si ji znáte, ale pro připomenutí: Ckloida je křivka, kterou opíše bod na obvodu kola valícího se po rovině 41 b se ckloida strefila do koncového bodu 4 Řetěz je homogenní, považujeme jej za nekonečně ohebný a je v homogenním gravitačním poli 43 Nebo si snad umíte představit, že b bl prověšen směrem vzhůru? 11
K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014
K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
Více1. Teoretická mechanika
1. Teoretická mechanika 16 Teoretická mechanika 1.1 Integrální principy mechaniky V teoretické mechanice se hojně používá Einsteinova sumační konvence, diferenciálu a Lagrangeova věta o přírůstku. Pokud
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
Více+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity
Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceVektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.
5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?
VíceDiferenciální počet funkce jedné proměnné 1
Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Více2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce
. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
Více2 Odvození pomocí rovnováhy sil
Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
Víceanalytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.
4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami
Více2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
VíceÚvod do analytické mechaniky
Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.
VíceSestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu
Sestavení pohybové rovnosti jednoduchého mechanismu pomocí Lagrangeových rovností druhého druhu Václav Čibera 12. února 2009 1 Motivace Na obrázku 1 máme znázorněný mechanický systém, který může představovat
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceDynamika soustav hmotných bodů
Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy
Více7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceQ(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
Více12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ
56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem
VíceŘešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2.
Soustav rovnic Metod řešení soustav rovnic o více neznámých jsou založen na postupné eliminaci neznámých Pro dvě lineární rovnice o dvou neznámých používáme metodu sčítací (aditivní), kd vhodně vnásobíme
VíceSeriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory
Výfučtení: Vektory Abychom zcela vyjádřili veličiny jako hmotnost, teplo či náboj, stačí nám k tomu jediné číslo (s příslušnou jednotkou). Říkáme jim skalární veličiny. Běžně se však setkáváme i s veličinami,
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha V.E... gumipuk 8 bodů; průměr 4,40; řešilo 25 studentů Závaží o hmotnosti m na gumičce délk l 0 je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích = = 0 a = 0. Z os, která je horizontálně, závaží pouštíme.
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceINŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE října 2009
INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 Robert Mařík 2. října 2009 c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod 4 2 DR se separovanými proměnnými 9 DR se sep. proměnnými.........................
Více(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení
.. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému
Více8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule
Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda
Vícex 2(A), x y (A) y x (A), 2 f
II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých
Více12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VícePřetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.
OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která
Více[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu
1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceSeznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
VíceAPLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných
Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011
VíceVzorová písemka č. 1 (rok 2015/2016) - řešení
Vzorová písemka č. rok /6 - řešení Pavla Pecherková. května 6 VARIANTA A. Náhodná veličina X je určena hustotou pravděpodobností: máme hustotu { pravděpodobnosti C x pro x ; na intervalu f x jinde jedná
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Více2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
Více4.3.7 Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: 4306
.3.7 Součtové vzorce Předpoklad: 306 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje látku na přibližně jeden a půl vučovací hodin, první část kombinuji s písemkou. Pedagogická poznámka: Úspěch této hodin (a hodin
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0
Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +
Více