Západočeská univerzita v Plzni SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Západočeská univerzita v Plzni SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY"

Transkript

1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY FUNKE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Josef MAŠEK Plzeň 996 vydání

2 3 Předmluva k vydání Tento učební text navazuje na mé sbírky úloh z vyšší matematiky, které vydalo ediční středisko VŠSE v Plzni v letech 965 a 97 Od té doby se mnoho změnilo, ale zdá se, že stále zůstává potřeba dostupného studijního materiálu k procvičení a upevnění znalostí Také možnost samostatného studia je založena na dostatku vhodných učebnic Na začátku každé kapitoly je uveden stručný přehled základních definic a důležitých teoretických výsledků Tato shrnutí však nemohou v žádném případě nahradit souvislý výklad nebo učebnici Snažil jsem se vybrat nejdůležitější typy příkladů a uspořádat je podle obtížnosti Bezprostředně za zadáním příkladu je uvedeno řešení, návod nebo výsledek K tomu, aby práce se sbírkou přinesla dobré výsledky, je třeba snažit se pracovat samostatně a nedat se ovlivnit uvedeným řešením Teprve v případě neuspěšných pokusů nebo po vyřešení úlohy prohlédnout postup řešení a zkontrolovat výsledek K označení základních číselných množin se používá obvyklé označení N - množina všech přirizených čísel, Z - množina všech celých čísel, R - množina všech reálných čísel, R + - množina všech kladných reálných čísel - množina všech komplexních čísel Podmnožiny, které jsou definovány dalšími podmínkami, jsou označeny obvyklým způsobem, např {z : z < } znamená množinu všech komplexních čísel, jejichž absolutní hodnota je menší než jedna Děkuji srdečně všem, kteří se přičinili o to, aby se počet nedopatření a chyb omezil na co nejmenší míru Především děkuji kolegovi docjosefu Polákovi a vedoucímu katedry prof Pavlu Drábkovi, kteří přispěli mnoha radami ke zlepšení výsledného textu Plzeň, 30 června 99 A u t o r Ve vydání v r 996 i v tomto vydání byly provedeny některé textové úpravy a opraveny nalezené chyby Snad se nepotvrdí známé programátorské pravidlo, že odstraněním jedné chyby vznikne jiná chyba K předmluvě dnes po šesti letech nemám, co bych dodal

3 4 Funkce komplexní proměnné Plzeň, 3 ledna 998 A u t o r

4 4 Funkce komplexní proměnné O b s a h Nutné znalosti o komplexních číslech 5 Komplexní funkce reálné proměnné 5 3 Posloupnosti a řady 3 4 Funkce komplexní proměnné 4 5 Derivace funkce komplexní proměnné 57 6 Inverzní a mnohoznačné funkce 65 7 Základy konformního zobrazení 73 8 Integrál funkce komplexní proměnné 85 9 Laurentovy řady 99 0 Teorie reziduí 09 Výpočet některých typů integrálů 7 Rejstřík 47 L i t e r a t u r a [] Szafnicki B : Zbiór zadaň z funkcji zmiennej zespolnej, Gliwice 963 [] Jevgrifov MA : Sbornik zadač po teorii analitičeskich funkcij (Nauka), Moskva 969 [3] Šulista Milan : Analýza v komplexním oboru (Matematika pro VŠT), Praha 980 [4] Polák Josef : Matematická analýza v komplexním oboru (skripta ZČU), Plzeň 994

5 Nutné znalosti o komplexních číslech 5 Nutné znalosti o komplexních číslech Středoškolské znalosti tvoří nezbytný základ ke studiu funkcí komplexní proměnné Příklady v této kapitole zahrnují takové typy úloh, bez nichž nelze úspěšně pokračovat v dalším studiu a které budou nutné k pochopení obsahu dalších kapitol Je třeba, abyste se dobře seznámili se základními pojmy a s metodami a postupy při řešení uvedených úloh Vychází se ze znalosti především těchto základních pojmů a dovedností: počítání s komplexními čísly v algebraickém tvaru (včetně dělení), pojem absolutní hodnoty a argumentu komplexního čísla, pojem komplexně sdruženého čísla, určování goniometrického tvaru komplexního čísla a používání Moivreovy věty pro násobení, umocňování a dělení komplexních čísel Pro lepší pochopení je velmi důležité co nejvíce využívat geometrické znázorňování komplexních čísel Na středních školách se obvykle nezavádí a nepoužívá exponenciální tvar komplexního čísla Připomeňme, že pro libovolné reálné číslo ϕ je zaveden dohodnutý zápis e i ϕ pro komplexní jednotku ( tj komplexní číslo, které má absolutní hodnotu rovnu jedné ) s argumentem ϕ e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Uvedená rovnost se nazývá Eulerova identita Proměnná nebo neznámá komplexní čísla budeme obvykle označovat z = x + i y případně w = u + i v, konstantní komplexní čísla se budou označovat obvykle písmeny ze začátku abecedy např a = a + i a Budeme také používat obvyklá označení : Re z = x reálná část komplexního čísla z, Im z = y imaginární část komplexního čísla z ( je to reálné číslo! ), z = r absolutní hodnota (modul) komplexního čísla z, arg z = ϕ (hlavní) argument komplexního čísla z, který je v dohodnutém intervalu π < arg z π ; argument je definován pouze pro komplexní čísla z 0 ; symbolem Arg z budeme označovat množinu všech nekonečně mnoha hodnot argumentu, z = x i y komplexně sdružené číslo s komplexním číslem z = x + i y

6 6 Funkce komplexní proměnné Najděte reálnou a imaginárni část komplexních čísel a) a = ( + i ) ; b) a = ( i ) 3 ; c) a = ( 3 + i ) 3 ; d) a = i ; e) a = + i i Řešení : a) a = ( + i ) = + i = i ; Re a = 0, Im a = ; b) a = ( i ) 3 = 3 i + 3 i i 3 = 3ı 3 + i = i ; Re a =, Im a = ; c) a = ( 3 + i ) 3 = ( 3) 3 + 3( 3) i i + i 3 = = i 3 3 i = 8 i ; Re a = 0, Im a = 8 K nalezení reálné a imaginární části následujících komplexních čísel je třeba zlomky rozšířit komplexně sdruženým číslem : d) a = i ( i )( i ) = + i ( + i )( i ) = i + i = i i = i ; Re a = 0, Im a = ; e) a = = i i i ( i ) = i = i ; Re a = 0, Im a = Určete absolutní hodnotu a (hlavní) argument komplexních čísel a) a = i ; b) a = i ; c) a = i ; d) a = 3 i ; e) a = 4 Řešení : a) Absolutní hodnota komplexního čísla a = a + i a je definována vzorcem a = a + a V Gaussově rovině znamená absolutní hodnota a vzdálenost obrazu tohoto komplexního čísla od počátku V daném případě a = = 5 Hodnotu argumentu najdeme nejspolehlivěji podle obrazu komplexního čísla v Gaussově rovině jako velikost úhlu π < ϕ π v příslušném kvadrantu (v tomto případě prvním), pro který platí tg ϕ = Im a Re a V tomto případě ϕ = arctg 4 = 0, Výsledky : b) a = 5, ϕ = arctg( ) = 0, 4636, c) a =, ϕ = arctg π = π 4 π = 3π 4 d) a = 3, ϕ = π ; e) a = 4, ϕ = π =, 356 ;

7 Nutné znalosti o komplexních číslech 7 3 Dokažte, že pro libovolná komplexní čísla z, z platí z z = z z Návod : Po vynásobení komplexních čísel z a z v algebraickém tvaru dokažte ekvivalentní rovnost z z = z z 4 Dokažte, že pro libovolná komplexní čísla z,z (z 0) platí z = z z z z Návod : Vyjádřete podíl v algebraickém tvaru a dokažte rovnost z z z = z z 5 Určete argument komplexních čísel a) z = cos ϕ i sin ϕ ; b) z = cos ϕ + i sin ϕ ; c) z = sin ϕ + i cos ϕ Návod : Uvedená komplexní čísla n e j s o u zapsána v goniometrickém tvaru, takže ϕ n e n í argument Proto je třeba provést úpravy podle vzorců pro goniometrické funkce Výsledky : a) cos ϕ i sin ϕ = cos( ϕ)+ i sin( ϕ), takže argument komplexního čísla je ( ϕ) ; b) argument komplexního čísla je π ϕ ; c) sin ϕ+ i cos ϕ = cos( π ϕ)+ i sin( π ϕ), takže argument je π ϕ 6 Vypočítejte převedením na goniometrický tvar a podle Moivreovy věty a) a = ( 3 + i ) 7 ; b) a = ( i 3) ; c) a = ( i 5 )7 ; d) a = ( i )4 ( 3 i ) 5 Řešení : a) a = [ (cos π 6 + i sin π 6 )]7 = 7 (cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) = = 7 ( 3 i ) = 64( 3 + i ) ; b) a = 5 (cos 5π + i sin 5π = 5π (cos 6 6 )5 3 6 = π π (cos + i sin ) = 64 ( 3 i ) ; + i sin 5π ) = 6 Výsledky : c) a = 8 ( + i ) ; d) a = 6 ( 3 i )

8 8 Funkce komplexní proměnné 7 Na základě Moivreovy věty vyjádřete cos 3ϕ a sin 3ϕ pomocí funkcí cos ϕ a sin ϕ Řešení : Komplexní číslo, jehož absolutní hodnota je rovna jedné a argument je roven ϕ, se zapíše ve tvaru cos ϕ + i sin ϕ Třetí mocnina se dá zapsat podle Moivreovy věty (cos ϕ + i sin ϕ) 3 = = cos 3ϕ+ i sin 3ϕ Kromě toho je možné provést umocnění algebraicky podle binomické věty a porovnáním reálných a imaginárních části vyjde cos 3ϕ = cos 3 ϕ 3 cos ϕ sin ϕ, sin 3ϕ = 3 cos ϕ sin ϕ sin 3 ϕ V příkladech 8-5 řešte binomické rovnice a výsledná komplexní čísla zobrazte jako body v Gaussově rovině 8 z = 0 Řešení : Rovnici přepíšeme na tvar z 4 = 4 a komplexní číslo 4 vyjádříme v goniometrickém tvaru : 4 = 4(cos π + i sin π) Neznámé komplexní číslo z vyjádříme také v goniometrickém tvaru z = r (cos ϕ + i sin ϕ) a podle Moivreovy věty vyjádříme čtvrtou mocninu z 4 = r 4 (cos 4ϕ + i sin 4ϕ) Jestliže má platit rovnost dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru, musí se rovnat jejich absolutní hodnoty Jejich argumenty mohou být stejné, ale také se mohou se lišit o násobek periody π Musí být tedy splněny dvě podmínky ) r 4 = 4, ) 4ϕ = π + k π, k Z Řešením těchto rovnic vyjde r =, ϕ = π + k π = π k π Vzhledem k tomu, že goniometrické funkce cos ϕ a sin ϕ jsou periodické s periodou π, stačí volit např k = 0,,, 3 a vyjde ϕ 0 = π 4, ϕ = 3π 4, ϕ = 5π 4, ϕ 3 = 7π 4 Pro další hodnoty k = 4, 5, se budou odpovídající argumenty lišit od uvedených čtyř hodnot o periodu nebo její násobek, např

9 Nutné znalosti o komplexních číslech 9 ϕ 4 = π π = π 4 + π, ϕ 5 = π π = 3π + π, atd Např pro 4 k = 4 vyjde cos ϕ 4 = cos ϕ 0, sin ϕ 4 = sin ϕ 0 a tedy z 4 = z 0 Řešením dané rovnice jsou tedy pouze čtyři různá komplexní čísla ( indexy odpovídají hodnotám k ) z 0 = (cos π 4 + i sin π 4 ) = + i, z = (cos 3π 4 + i sin 3π 4 ) = + i, z = (cos 5π 4 + i sin 5π 4 ) = i, z 3 = (cos 7π 4 + i sin 7π 4 ) = i Všechna tato komplexní čísla mají stejnou absolutní hodnotu, takže jejich obrazy v Gaussově rovině leží na téže kružnici se středem v počátku Jednotlivé argumenty se liší o π, takže obrazy tvoří na této kružnici vrcholy čtverce 9 z 3 + = 0 Výsledek : z 0 = (+ 3 i ) ; z = ; z = ( 3 i ) Obrazy těchto komplexních čísel tvoří vrcholy rovnostranného trojúhelníka 0 z 3 = 8 Výsledek : z 0 = ; z = ( + 3 i ) ; z = ( 3 i ) z 6 + = 0 Výsledek : z 0 = ( 3 + i ) ; z = i ; z = ( 3 + i ) ; z 3 = ( 3 i ) ; z 4 = i ; z 5 = ( 3 i ) z n =, n N Řešení : Pro všechna řešení musí být z =, takže zápis všech řešení v goniometrickém tvaru je velmi jednoduchý z k = cos kπ kπ + i sin, k = 0,,, n n n Algebraické vyjádření jednotlivých řešení pomocí odmocnin je ovšem možné pouze v některých případech Obrazy výsledných komplexních čísel tvoří v Gaussově rovině vrcholy pravidelného n - úhelníka

10 0 Funkce komplexní proměnné 3 z 3 + = i Řešení : Rovnici upravíme na tvar z 3 = + i a pravou stranu převedeme na goniometrický tvar + i = (cos 3π 4 + i sin 3π 4 ) Rovnice má řešení r = a ϕ k = π 4 + k π, k = 0,,, takže 3 z 0 = ( cos π 4 + i sin π ) = + i ; 4 z = ( cos π ) π = + i sin, , 336 i ; z = ( cos 9π ) 9π = + i sin 0, 336, 336 i 4 z = + i Řešení : Po vyjádření v goniometrickém tvaru vyjde r (cos ϕ + i sin ϕ) = 4(cos π 4 + i sin π ) Z této rovnosti dostaneme 4 r = a ϕ = π + kπ, k Z, kde se stačí omezit na k = 0, Takže 8 z 0 = (cos π 8 + i sin π 8 ), z = (cos 9π 8 + i sin 9π 8 ) = z 0 Je možné vyjádřit také algebraický tvar řešení převedením na funkce dvojnásobného úhlu cos π 8 = ( + cos π ( ) 4 ) = + = ( ) + = +, sin π 8 = ( cos π ( ) 4 ) = = ( ) = Takže z 0 = + + i, z = z 0 5 z = i Výsledek : z 0 = ( + i ), z = z 0 6 Řešte kvadratickou rovnici z + i z 3 i = 0 Řešení : První dva členy levé strany rovnice je třeba doplnit na druhou mocninu dvojčlenu z + i

11 Nutné znalosti o komplexních číslech z + i z + i = i + 3 i, (z + i ) = + 3 i Tato binomická rovnice pro z + i se řeší podobně jako v př 4, takže vyjde z 0 + i = ( cos π 3 + i sin π ), 3 z + i = ( cos 4π 3 + i sin 4π ), 3 z 0 = i + ( + 3 i ), z = i ( + 3 i ) 7 Řešte kvadratickou rovnici z i z + i = 0 Výsledek : z 0 = i + ( z = i + ( + i ) i ), 8 Zformulujte geometrický význam nerovnosti z + z z + z, z, z ( trojúhelníková nerovnost ) Řešení : Rovnost nastane právě tehdy, jestliže obrazy z, z a počátku O ( a také z + z ) leží na jedné přímce a arg z = arg z Jestliže arg z = - arg z, ověříme na této přímce platnost nerovnosti snadno Jestliže obrazy z, z + z a počátku O neleží na jedné přímce, potom tvoří trojúhelník, jehož velikosti stran jsou z, z a z + z Trojúhelníková nerovnost vyjadřuje známou vlastnost, že součet velikostí dvou stran v trojúhelníku musí být větší než velikost třetí strany 9 Zformulujte geometrický význam nerovnosti z + z z z, z, z Návod : Jestliže platí z z, potom je možné vynechat absolutní hodnotu, převést z na druhou stranu nerovnice a vyjde z + z + z z Ve stejném trojúhelníku jako v př l8 znamená tato podmínka, že

12 Funkce komplexní proměnné součet velikostí dvou stran je větší než velikost třetí strany Rovnost nastane právě tehdy, když arg z = arg z Pro případ z z se provede podobná úvaha, pouze při odstranění absolutní hodnoty je třeba změnit znaménko 0 Pro dvě komplexní čísla z a z zobrazte z z a vyjádřete geometrický význam z z Řešení : Komplexní číslo z z můžeme dostat jako součet komplexních čísel z a z (vektorově) Absolutní hodnota z z znamená vzdálenost obrazu komplexního čísla z z od počátku a současně vzdálenost mezi obrazy komplexních čísel z a z ( obr ) O b r Zformulujte geometrický význam nerovnice z z z + z, z, z Návod : Využijte výsledku př 0 V příkladech - 4 najděte v Gaussově rovině množinu všech obrazů komplexních čísel z, pro něž platí zadané podmínky Úmluva : Obrazu komplexního čísla z v Gaussově rovině budeme stručně říkat bod z

13 Nutné znalosti o komplexních číslech 3 Re z < Řešení : Absolutní hodnota reálné části komplexního čísla z je vzdálenost bodu z od imaginární osy Množina všech bodů z, pro které je tato vzdálenost menší než, je vnitřek pásu s osou v imaginární ose 3 Im z = i Řešení : Imaginární část komplexního čísla je definována jako reálné číslo, takže tato podmínka není splněna pro žádné komplexní číslo z 4 Re z + Im z = 0 Řešení : Algebraické vyjádření této podmínky ( x + y = 0 ) ukazuje, že množina hledaných bodů je přímka ( osa a 4 kvadrantu ) 5 Re z + z < 0, z Řešení : Zlomek je třeba vyjádřit v algebraickém tvaru a rozšířit z + z = (x + + i y)(x i y) (x + i y)(x i y) = x + y i y (x ) + y Pro reálnou část vyjde podmínka x + y < 0 Hledaná množina je tedy vnitřní oblast kružnice se středem v počátku a s poloměrem 6 Im z + z = 0, z Řešení : Po vyjádření daného zlomku v algebraickém tvaru vyjde podmínka y = 0 Hledaná množina bodů je reálná osa s vynechaným bodem z = 7 Re z + i z < 0, z 0 Výsledek : Hledaná množina je vnitřní oblast kružnice se středem v bodě [ 0, ] a s poloměrem r = 8 Im z i z = 0, z 0 Výsledek : Hledaná množina je imaginární osa s vynechaným počátkem

14 4 Funkce komplexní proměnné 9 Re z = a, z 0, a R+ Výsledek : Hledaná množina je kružnice se středem v bodě [ a, 0 ] a poloměrem r = a 30 Re (z + + i ) = a, a R + s vynechaným počátkem Řešení : Z vyjádření (x + i y + + i ) = [x + + i (y + )] vyjde podmínka pro reálnou část (x + ) (y + ) = a Hledaná množina bodů je rovnoosá hyperbola s osami, které jsou rovnoběžné s x a y 3 Im (z + i ) = Výsledek : Hledaná množina je rovnoosá hyperbola, jejíž asymptoty jsou přímky x = 0 a y = 3 z > Řešení : Vzhledem ke geometrickému významu absolutní hodnoty daná nerovnice znamená, že vzdálenost bodů z od počátku má být větší než Hledaná množina je tedy vnější oblast kružnice se středem v počátku a s poloměrem r = 33 z a = r, a, r R + Řešení : Vzhledem ke geometrickému významu absolutní hodnoty rozdílu dvou komplexních čísel ( př 0 ) daná podmínka vyžaduje, aby vzdálenost mezi body z a a byla rovna r Hledaná množina je tedy kružnice se středem v bodě a a s poloměrem r 34 < z i < Výsledek : Hledaná množina je vnitřek mezikruží se středem v bodě i a s poloměry hraničních kružnic r = a r = 35 z + i = Výsledek : Hledaná množina je kružnice se středem v bodě i a s poloměrem r = Kružnice prochází počátkem 36 z + i < Výsledek : Hledaná množina je vnitřní oblast kružnice se středem v bodě i a s poloměrem r = Hraniční kružnice prochází počátkem

15 Nutné znalosti o komplexních číslech 5 37 z + z + = 4 Řešení : Pro body z musí platit, že součet vzdáleností od bodů a je konstantní ( 4 ) Tuto podmínku splňují podle geometrické definice body elipsy, která má střed v počátku, ohniska v bodech a a délku hlavní poloosy a = 38 z + i z + i =, z i Řešení : Podmínku je vhodné upravit na rovnost dvou absolutních hodnot, která znamená, že vzdálenosti bodu z od bodu + i a od bodu i musí být stejné Hledaná množina je osa úsečky s krajními body + i a i, tj osa a 3 kvadrantu 39 z + i = z, z 0 Výsledek: Hledaná množina je přímka rovnoběžná s reálnou osou a procházející bodem i 40 Re z = z + + i Řešení : Reálná část komplexního čísla z musí být kladná (protože se rovná absolutní hodnotě) a znamená vzdálenost bodu z od imaginární osy Bod z tedy musí ležet v pravé polorovině Gaussovy roviny a proto nemůže mít stejnou vzdálenost od imaginární osy a od bodu i Takže hledaná množina je prázdná 4 z = Re z Řešení : Platí z = Re z + = Re(z + ) Vzdálenost bodu z od bodu se má rovnat vzdálenosti bodu z od přímky x = Podle geometrické definice paraboly (množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od řídící přímky a od bodu - ohniska) je hledaná množina parabola s ohniskem v bodě a s vrcholem v počátku Osa paraboly je v reálné ose 4 Re z = z i Výsledek : Podle geometrické definice paraboly je hledaná množina parabola, která má ohnisko v bodě + i Imaginární osa je řídící přímka této paraboly

16 6 Funkce komplexní proměnné 43 z + = z Řešení : Po vyjádření v algebraickém tvaru a umocnění vyjde (x + ) + y = 4[(x ) + y ], x + 4x y = 4x 8x y, 3x + 3y x = 0 Po doplnění na mocninu a po krácení vyjde (x ) + y = Hledaná množina je kružnice se středem v bodě a s poloměrem Obecně lze tímto způsobem snadno dokázat následující větu : Množina bodů v rovině, které mají od dvou daných bodů v této rovině konstantní poměr vzdáleností (různý od jedné), je kružnice V příkladech 44-5 napište analytické vyjádření daných geometrických útvarů pomocí proměnného komplexního čísla z 44 Vnitřek horní poloroviny ohraničené osou a 3 kvadrantu Výsledek : Souřadnice bodů vnitřku této poloroviny splňují podmínku y > x neboli Im z > Re z 45 Vnitřek kvadrantu Výsledek : 0 < arg z < π nebo Re z > 0 Im z > 0 46 Vnitřní oblast kružnice, která má střed v bodě i a dotýká se reálné osy Řešení : Poloměr hraniční kružnice se musí rovnat Všechny body vnitřní oblasti této kružnice mají vzdálenost od středu i menší než Hledaná podmínka má tedy tvar z + i < 47 Množina kružnic, které se dotýkají imaginární osy v počátku Řešení : Tyto kružnice mají střed na reálné ose (souřednice a R) a jejich poloměr je roven vzdálenosti středu od počátku ( a ) Hledaná množina kružnic má tedy rovnici z a = a, a R 48 Množina kružnic, které procházejí počátkem Řešení : Jestliže kružnice má střed v bodě a, musí mít poloměr a Takové kružnice mají rovnici z a = a, a

17 Nutné znalosti o komplexních číslech 7 49 Vnitřek mezikruží se středem v bodě i a s poloměry hraničních kružnic a Výsledek : Daná množina bodů je určena podmínkou < z i < 50 Přímka, která prochází bodem a bodem i Návod : Danou přímku můžete chápat jako množinu bodů které mají stejnou vzdálenost od počátku a od bodu + i 5 Množina přímek, které svírají s kladnou poloosou x úhel π 4 Výsledek : Rovnice těchto přímek může být zapsána ve tvaru z a = z i a, a R 5 Zobrazte v Gaussově rovině dvě různá nenulová komplexní čísla z a z K trojúhelníku s vrcholy v bodech O ( počátek ),, z sestrojte nad úsečkou O z podobný souhlasně orientovaný trojúhelník O z z 3 ( obr ) Dokažte, že platí z 3 = z z Řešení : Z poměru z = z 3 délek stran v podobných trojúhelnících z vyjde z 3 = z z Podle uvedené konstrukce je vidět, že pro argumenty platí arg z 3 = arg z + arg z To podle Moivreovy věty odpovídá součinu komplexních čísel Uvedený postup tedy popisuje konstrukci obrazu součinu dvou nenulových komplexních čísel v Gaussově rovině

18 8 Funkce komplexní proměnné O b r 53 Zobrazte v Gaussově rovině dvě různá nenulová komplexní čísla z a z K trojúhelníku s vrcholy v bodech 0 ( počátek ), z, z sestrojte nad úsečkou 0 podobný souhlasně orientovaný trojúhelník 0 z 3 ( obr 3 a ) Dokažte, že platí z 3 = z z Návod : Podle Moivreovy věty pro podíl dvou komplexních čísel je třeba dokázat, že z 3 = z a arg z 3 = arg z arg z K tomu se z podle obrázku použije podobnost trojúhelníků Podle popsaného návodu je tedy možné zkonstruovat obraz podílu dvou nenulových komplexních čísel v Gaussově rovině 54 Popište konstrukci obrazu komplexního čísla z, z 0 Návod : Konstrukce se provede jako zvláštní případ konstrukce z př 53 ( obr 3 b ) O b r 3 a O b r 3 b 55 Zobrazte v Gaussově rovině nenulové komplexní číslo z, pro které z > Z tohoto bodu ved te tečny ke kružnici se středem v počátku

19 Nutné znalosti o komplexních číslech 9 a s poloměrem Průsečík průvodiče bodu z a spojnice bodů dotyku tečen označte w ( obr 4 ) Dokažte, že w = z Řešení : Trojúhelník O z T je pravoúhlý a podle Euklidovy věty o odvěsně platí z w = Argumenty komplexních čísel z a w jsou stejné O b r 4 56 Ověřte v algebraickém tvaru, že platí a) z + z = z + z, b) z z = z z, c) z z = z z, z, z Návod : Tyto vlastnosti jsou při zobrazení v Gaussově rovině založeny na souměrnosti podle reálné osy 57 Ověřte v algebraickém i goniometrickém tvaru, že pro libovolné z platí z = z z 58 Dokažte, že pro libovolná z, z platí z +z + z z = ( z + z ) a zformulujte geometrický smysl této identity Řešení : Absolutní hodnoty vyjádříme pomocí komplexně sdružených komplexních čísel (př 57) a upravíme levou stranu podle př 56 z + z + z z = (z + z ) (z + z ) + (z z ) (z z ) = = (z + z ) (z + z ) + (z z )(z z ) = (z z + z z ) = = ( z + z ) S výjimkou zvláštních případů tvoří body O, z, z, z + z vrcholy rovnoběžníka, z a z jsou velikosti jeho stran a z + z a

20 0 Funkce komplexní proměnné z z jsou velikosti jeho úhlopříček Platí tedy : Součet druhých mocnin velikostí úhlopříček rovnoběžníka se rovná součtu druhých mocnin velikostí jeho stran 59 Dokažte, že pro libovolné komplexní číslo z je imaginární právě tehdy, když z = z z + ryze Řešení : Dokazujeme ekvivalenci pomocí dvou implikací Za předpokladu, že z = z z =, dostanete po rozšíření zlomku komplexním číslem z z z + = z z z z z + z = z + z = z z + = z ( ) z z + = z + Komplexní číslo se rovná opačnému komplexně sdruženému číslu právě tehdy, když je ryze imaginární Jestliže z = i a, a R, potom můžeme vypočítat z = i a z + i a Absolutní hodnota čitatele i jmenovatele se rovná + a, takže z = Geometrická interpretace : Body z a z + jsou obrazy koncových bodů úsečky délky Podíl z je ryze imaginární právě tehdy, když z + rozdíl argumentů komplexních čísel z a z+ je roven π Průvodiče bodů z a z + jsou tedy na sebe kolmé a počátek musí ležet na Thaletově kružnici nad úsečkou z, z + délky Střed této úsečky ( z ) musí mít vzdálenost od počátku rovnu 60 Dokažte, že pro libovolné komplexní číslo a, pro které Im a 0, platí: z a = právě tehdy, když z je reálné číslo z a Řešení : Protože Im a 0, musí být a a Množina všech komplexních čísel z, pro která je splněna rovnice z a = z a, je osa souměrnosti úsečky s krajními body a, a, tj množina všech reálných čísel Jestliže z je reálné číslo, potom platí z = z a vyjde z a z a = z a z a = z a z a =

21 Nutné znalosti o komplexních číslech V příkladech 6-66 zapište pomocí proměnných komplexních čísel z a z ( bez absolutních hodnot ) rovnice daných křivek nebo soustav křivek Takový zápis rovnic bude velmi výhodný při řešení př 45 a dalších 6 Kružnice se středem v bodě z 0 a s poloměrem r, r R + Která z těchto kružnic prochází počátkem? Řešení : Z rovnice z z 0 = r po umocnění a nahrazení absolutní hodnoty vyjde z z 0 = (z z 0 ) (z z 0 ) = r Po úpravách podle př55 vyjde (z z 0 ) (z z 0 ) = zz zz 0 zz 0 + z 0 z 0 = zz zz 0 zz 0 + z 0 = r Kružnice prochází počátkem právě tehdy, když poloměr kružnice se rovná vzdálenosti středu z 0 od počátku (r = z 0 ) Kružnice, která prochází počátkem, má tedy rovnici zz zz 0 zz 0 = 0 6 Množina všech kružnic, které se dotýkají imaginární osy v počátku Výsledek : zz c(z + z) = 0, c R 63 Přímka, která prochází počátkem a svírá s kladnou poloosou x úhel ϕ Řešení : Stačí zvolit v Gaussově rovině dva různé body z a z, které mají stejnou vzdálenost od počátku ( z = z ) a jejichž spojnice je kolmá na danou přímku Potom osa souměrnosti úsečky s krajními body z, z je hledaná přímka a má rovnici z z = z z Po umocnění a úpravách vyjde (z z ) (z z ) = (z z ) (z z ), (z z ) (z z ) = (z z ) (z z ), zz zz zz + z = zz zz zz + z, z(z z ) + z(z z ) = 0 z(z z ) + z(z z ) = 0 Jestliže označíme a = z z, potom toto komplexní číslo má průvodič kolmý na danou přímku Při tomto označení má rovnice jednoduchý tvar a z + a z = 0

22 Funkce komplexní proměnné 64 Přímka, která prochází počátkem a svírá s kladnou poloosou x π úhel 3 Výsledek : ( 3 + i ) z = ( 3 + i ) z 65 Soustava přímek, které svírají s kladnou poloosou x úhel π 4 Řešení : Komplexní číslo i má průvodič kolmý k daným přímkám Jedna z těchto přímek ( procházející počátkem ), má rovnici ( + i) z + ( i) z = 0 Soustava rovnoběžných přímek se dá získat posunutím ve směru reálné osy o libovolné reálné číslo Rovnice dané soustavy přímek se tedy dá zapsat ve tvaru ( + i ) z + ( i ) z = c, c R 66 Soustava přímek rovnoběžných s reálnou osou Výsledek : Rovnice se dá zapsat ve tvaru z z = c, c R 67 Najděte střed a poloměr kružnice, která je dána rovnicí zz + ( i )z ( i + )z = Řešení : Rovnici zz ( i )z ( + i )z = je třeba upravit na tvar uvedený v př 6, tj přidat hodnotu + i = Vyjde zz ( i )z ( + i )z + + i = 4 Kružnice má tedy střed v bodě + i a poloměr r = 68 Najděte střed a poloměr kružnice dané rovnicí zz i z + i z = 3 Výsledek : Kružnice má střed v bodě i a poloměr r = 69 Najděte množinu všech bodů z v Gaussově rovině, které splňují rovnici z + z = Řešení : Pro z 0 je také z 0, takže daná rovnice je ekvivalentní rovnici z + z = z z Odtud z z z z + = neboli (z ) (z ) = z = Množina hledaných bodů je tedy kružnice se středem v bodě a s poloměrem r =, ze které je vynechaný počátek ( bod z = 0 ) 70 Zapište následující komplexní čísla v exponenciálním tvaru ( r e i ϕ ) a) i 3, b) + i, c) i, d), e)

23 Nutné znalosti o komplexních číslech 3 Řešení : a) Jako při stanovení zápisu komplexních čísel v goniometrickém tvaru je třeba najít jejich absolutní hodnotu a argument Jedno vyjádření v exponenciálním tvaru je i 3 = (cos 5π 3 + i sin 5π 3 ) = e 5π 3 i Všechna možná vyjádření lze zapsat ve tvaru i 3 = e 5π 3 i +kπ i = e ( 5 3 +k)π i, k Z, Výsledky : b) + i = e ( 3 4 +k)π i, c) i = e ( 3 +k)π i, k Z, d) = e (+k)π i, k Z, e) = e kπ i, k Z 7 Zapište exponenciální tvar všech a) záporných reálných čísel, b) ryze imaginárních čísel, c) kladných reálných čísel Výsledky : a) Pro kladný reálný parametr r : z = r e (k+)πi, k Z b) Pro nenulový reálný parametr r : z = r e k+ πi, k Z c) Pro kladný reálný parametr r : z = r e kπi, k Z 7 Vyjádřete řešení následujících binomických rovnic v exponenciálním tvaru : a) z 4 +6 = 0, b) z 6 +8 = 0, c) z 3 i = 0, d) z 3 7 = 0, e) z n = 0 Výsledky : a) z k = e +k 4 πi, k = 0,,, 3 b) z k = e +k 6 πi, k = 0,,, 3, 4, 5 c) z k = e +4k 6 πi, k = 0,, d) z k = 3 e kπi 3, k = 0,, e) z k = n e kπi n, k = 0,,, 3, n

24 4 Funkce komplexní proměnné 73 Na základě Eulerovy identity vyjádřete cos ϕ a sin ϕ pomocí exponenciálních funkcí Řešení : Zapište Eulerovu identitu e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ a pro ( ϕ) e iϕ = cos( ϕ) + i sin( ϕ) = cos ϕ i sin ϕ Řešením této soustavy rovnic snadno vyjde cos ϕ = eiϕ + e iϕ, sin ϕ = eiϕ e iϕ i Není jistě náhodná podobnost s definicí hyperbolických funkcí cosh x = ex + e x, sinh x = ex e x

25 Komplexní funkce reálné proměnné 5 Komplexní funkce reálné proměnné Zobrazení w = f(t) = u(t) + i v(t) množiny I R do množiny komplexních čísel se nazývá komplexní funkce jedné reálné proměnné Pro tuto funkci definujeme přirozeným způsobem limitu, spojitost, derivaci a určitý integrál, takže tyto pojmy převádíme na dvojici reálných funkcí jedné reálné proměnné u(t) a v(t) Nejčastěji se omezujeme na případ, kdy množina I je otevřený nebo uzavřený interval Při geometrickém znázornění komplexní funkce jedné reálné proměnné tvoří obrazy komplexních čísel w = u + i v křivku v Gaussově rovině, definovanou parametrickými rovnicemi u = u(t), v = v(t), t I Orientace křivky se obvykle definuje podle rostoucího parametru t I Křivka jako množina bodů však může být definována nekonečně mnoha různými komplexními funkcemi jedné reálné proměnné Jestliže I =< a, b >, potom bod w = f(a) se nazývá počáteční bod křivky a bod w = f(b) se nazývá koncový bod křivky Jestliže f(a) = f(b), nazývá se křivka uzavřená Jestliže zobrazení, definované funkcí w = f(t) na množině I je prosté, potom se křivka nazývá jednoduchá Jestliže má funkce w = f(t) pro t (a, b) nenulovou a spojitou derivaci, nazývá se křivka hladká Obecněji se křivka nazývá po částech hladká, jestliže se dá rozdělit na konečný počet hladkých částí V příkladech - určete, jaké křivky tvoří obrazy komplexních čísel w, pro která platí w = f(t), t I Všimněte si, že v některých případech podstatně různé funkce určují tutéž křivku v Gaussově rovině Křivka totiž může být vyjádřena parametricky nekonečně mnoha způsoby w = t + t i, t < 0, > Řešení : Obrazy komplexních čísel tvoří křivku danou parametrickými rovnicemi u = t, v = t, kde t < 0, > Protože parametrické rovnice nejsou zcela běžné, snažíme se najít neparametrickou rovnici křivky vyloučením parametru t Vyjde lineární rovnice u + v =, tj rovnice přímky Hledané obrazy komplexních čísel musí ležet na této přímce, ale tvoří pouze orientovanou úsečku (odpovídající hodnotám parametru t < 0, >) s počátečním bodem [, 0 ] a s koncovým bodem [ 0, ]

26 6 Funkce komplexní proměnné w = t + i t i, t < 0, > Výsledek : Úsečka jako v př, ale opačně orientovaná 3 w = t + i (t ), t <, > Výsledek : Úsečka jako v př ( včetně orientace ) 4 w = cos t + i sin t, t < 0, π > Řešení : Hledané obrazy tvoří křivku, která je dána parametrickými rovnicemi u = cos t, v = sin t Po vynásobení první rovnice dvěma a sečtení s druhou rovnicí dostanete u + v = cos t + sin t = Hledané obrazy komplexních čísel leží na přímce u+v = a intervalu < 0, π > odpovídá táž orientovaná úsečka jako v př 5 w = ( + i t), t < 0, ) Řešení : Je třeba najít reálnou a imaginární část dané komplexní funkce reálné proměnné w = (+ i t) = t + t i, odtud dostaneme parametrické rovnice křivky u = t, v = t Dosazením t = v do první rovnice vyloučíme parametr t a vyjde u = v neboli 4 v = 4(u ) Je to rovnice paraboly s vrcholem [, 0 ], s parametrem p = ( p = znamená vzdálenost ohniska od řídicí přímky ) a s ohniskem v počátku ( vzdálenost ohniska od vrcholu je rovna polovině parametru ) Hledané obrazy komplexních čísel tvoří polovinu této paraboly ( v horní polorovině ) s počátečním bodem ve vrcholu [, 0 ] 6 w = e i t, t < 0, π > Řešení : Použitím Eulerovy identity vyjdou parametrické rovnice u = cos t, v = sin t Vyloučením parametru vyjde u + v = Hledané obrazy komplexních čísel leží na kružnici se středem v počátku a s poloměrem r = Hledaná křivka je tedy dolní polovina kružnice s počátečním bodem [, 0 ] a s koncovým bodem [ -, 0 ] 7 w = e i t, t < 0, π > Výsledek : Dolní polovina kružnice (u ) + v = se středem v bodě [, 0 ], s počátečním bodem v počátku a s koncovým bodem [, 0 ]

27 Komplexní funkce reálné proměnné 7 8 w = Řešení : + t i, t < 0, ) Je třeba najít reálnou a imaginární část dané funkce ( t i ) = = + t i + 4t + 4t + 4t + 4t, tj u = + 4t, v = 4t + 4t Umocněním a sečtením parametrických rovnic dostaneme u + v = 4 + 6t ( + 4t ) = 4 + 4t = u Tato rovnici se dá upravit na tvar (u ) + v =, takže je vidět, že obrazy komplexních čísel leží na kružnici se středem v bodě [, 0 ] a s poloměrem r = Počáteční bod hledané křivky (části této kružnice) je pro t = 0 v bodě [, 0 ], další body leží na dolní polokružnici ( pro t > 0 je v < 0 ) a pro rostoucí hodnoty parametru t se body přibližují k počátku Hledaná křivka je tedy stejná jako v př 7 9 w = i t, t R Výsledek : Záporně orientovaná kružnice se středem v bodě [ 0, ] a s poloměrem r = 0 w = + t + i t, t R Výsledek : Kladně orientovaná kružnice se středem v bodě [, ] a s poloměrem r = 5 w = t + i t, t (0, ) Výsledek : Větev hyperboly v = v prvním kvadrantu ( t > 0 ) u Orientace křivky je dána rostoucí hodnotou proměnné u w = t 3 + t i, t R Výsledek : Křivka s implicitní rovnici v 3 = u ; její orientace je dána rostoucí hodnotou proměnné u

28 8 Funkce komplexní proměnné 3 Najděte derivaci komplexních funkcí reálné proměnné na množině R a) f(t) = ( + t i ) ; b) f(t) = e i t ; c) f(t) = t i Řešení : a) f (t) = ( + 4 i t 4t ) = 8t + 4 i = 4 i ( + t i ) ; b) f (t) = (cos t + i sin t) = sin t + i cos t ; tentýž výsledek se dá dostat jednoduše tak, že při derivování se považuje číslo i za konstantu : f (t) = i e i t = i (cos t+ i sin t) = i cos t sin t Výsledek ve tvaru f (t) = i e i t je jednodušší a přehlednější c) f (t) = ( ) t + i ( ) t ( ) = + i = t t + t + t + ( + t ) + i t ( + t ) ; tentýž výsledek lze opět dostat v jednoduchém tvaru derivováním složené funkce, kde číslo i považujeme za konstantu f (t) = ( t i ) = (t i ) Úpravou tohoto zlomku na algebraický tvar je možné ověřit shodu obou výsledků 4 Dokažte : Jestliže nenulová komplexní funkce w = f(t) má v otevřeném intervalu I derivaci, potom platí d dt f(t) = f(t) Re f (t) f(t) Řešení : Počítejme derivaci absolutní hodnoty f(t) = x (t) + y (t) d ( složená funkce! ) dt f(t) = ( x (t) + y (t) ) = x(t)x (t) + y(t)y (t) x (t) + y (t) Na druhé straně Re f (t) f(t) = Re x (t) + iy (t) x(t) + it(t) = Re [x (t) + iy (t)] [x(t) iy(t)] x (t) + y (t) = x (t) x(t) + y (t) y(t) x (t) + y (t) Odtud je již vidět platnost dané rovnosti =

29 Komplexní funkce reálné proměnné 9 5 Vypočítejte Řešení : π 0 π 0 e i t dt e i t dt = π 0 (cos t i sin t)dt = π 0 cos tdt i = sin π sin 0 + i (cos π cos 0) = i ( ) = i π 0 sin tdt = Pomocí primitivní funkce k funkci e i t lze psát také stručně π 0 e it dt = i (e iπ e 0 ) = i 6 Vypočítejte 0 3( + t i ) dt Výsledek : Integrací reálné a imaginární části vyjde + i 7 Vypočítejte 0 + t i dt Výsledek : Po oddělení reálné a imaginární části a po integraci vyjde π 4 i ln 8 Dokažte, že pro komplexní funkci f(t) reálné proměnné t < a, b > b b platí stejná nerovnost jako pro reálné funkce f(t)dt a f(t) dt a ( pokud existuje integrál na pravé straně nerovnosti ) Návod : Nejprve zapište nerovnost pro absolutní hodnotu integrálního součtu ( i pro komplexní čísla platí trojúhelníková nerovnost - př 9) Riemannovým postupem se potom nerovnost přenese na integrály 9 Dokažte, že pro spojitou komplexní funkci f(t) reálné proměnné b t < a, b > platí f(t)dt (b a) max f(t) a Návod : Tato nerovnost je důsledkem př 8, kde pro integrál na pravé straně použijete známou nerovnost pro spojité reálné funkce V příkladech 0-3 rozhodněte, pro která a R absolutně konvergují integrály z komplexních funkcí reálné proměnné

30 30 Funkce komplexní proměnné 0 0 e i t t a dt Řešení : U integrálů z komplexních funkcí reálné proměnné musí konvergovat integrály z reálné i imaginární části Můžete psát 0 e i t t a dt = 0 t a cos tdt + i 0 t a sin tdt ; pro a < konvergují oba integrály absolutně e i t t a dt Výsledek : Integrál absolutně konverguje pro a > i t + i t t a dt Řešení : Integrál vyjádříme jako součet reálné a imaginární části i t t + i t t a dt = + t t a dt + i t + t t a dt 3 Integrované funkce jsou spojité; nevlastní integrály tohoto typu konvergují právě tehdy, když stupeň jmenovatele je více než o jeden stupeň větší než stupeň čitatele Aby oba integrály konvergovaly, musí tedy být a > e i ln t Návod : t a dt Po provedení substituce u = ln t dostanete Výsledek : Integrál absolutně konverguje pro a > 0 e i u du ; e (a )u

31 3Posloupnosti a řady 3 3 Posloupnosti a řady Pro formální zjednodušení některých definic a úvah je vhodné zavést také nevlastní komplexní číslo z = ; při geometrickém vyjadřování mluvíme o nevlastním bodu Gaussovy roviny Ostatní komplexní čísla ( nebo body ) se pro odlišení nazývají vlastní Gaussova rovina doplněná o nevlastní bod se nazývá rozšířená Gaussova rovina a obvykle se označuje Řada definic a vět se potom dá zformulovat společně pro vlastní i nevlastní komplexní čísla Při limitních procesech se často používají následující označení množin Pro z 0 zápisem U(z 0, ε) označujeme ( kruhové ) okolí bodu z 0 Tato množina je definována pro vlastní body z 0 jako vnitřní oblast kružnice s poloměrem ε : { z : z z 0 < ε } Pro nevlastní bod z 0 = jako vnější oblast kružnice s poloměrem : { z ε : z > } ε Pro z 0 zápisem P(z 0, ε) označujeme ( kruhové ) prstencové okolí bodu z 0 Tato množina je definována pro vlastní body z 0 jako { z : 0 < z z 0 < ε } a pro nevlastní body z 0 = jako { z : z > } ε Tato množina se používá při definici limity funkce ( kap 5 ) Posloupnost komplexních čísel ( z n ) definujeme jako zobrazení množiny všech přirozených čísel N do množiny všech komplexních čísel Pro tyto posloupnosti se přenáší většina pojmů a vlastností známých z teorie posloupností reálných čísel Zvláště definice limity : Jestliže pro libovolné okolí U(a, ε) existuje takové n 0 N, že pro všechna n > n 0 je z n U(a, ε), říkáme, že posloupnost ( z n ) má limitu a Tato definice zahrnuje pojem vlastní i nevlastní limity posloupnosti Pro nekonečné řady komplexních čísel se také bez obtíží zobecní většina definic a vlastností řad reálných čísel 3 Pro vlastní body z 0 = x 0 + i y 0 označte U (z 0, ε) ( čtvercové ) okolí bodu z 0 jako množinu, která je definována podmínkami x x 0 < ε y y 0 < ε Dokažte, že definice vlastní limity posloupnosti pomocí kruhového a čtvercového okolí jsou ekvivalentní

32 3 Funkce komplexní proměnné Řešení : V první části vyjdeme z existence limity podle původní definice (kruhové okolí) a dokážeme existenci limity pro čtvercové okolí Pro libovolné čtvercové okolí U (z, ε) existuje uvnitř čtverce kruhové okolí U(z, ε) Podle původní definice musí existovat takové n 0 N, aby pro n > n 0 platilo z n U(z, ε) Proto musí také platit z n U (z, ε) Podobně se dokáže druhá část ekvivalence 3 Necht z n = x n + i y n pro všechna n N a a = a + i a Dokažte, že lim z n = a právě tehdy, když lim x n = a lim y n = a n n n Návod : K důkazu použijte dokázanou větu z př 3 n 33 Vypočítejte limitu posloupnosti lim n n i Řešení : Na základě předcházejícího příkladu vyjádříme reálnou a n + n i imaginární část = n( + n i n = n i + n i + n + n + n + n i a n vypočítáme limity obou částí n lim + n = 0, lim n n + n = Takže lim n n n i = i 34 Vypočítejte limitu posloupnosti lim n e n i Řešení : Vyjádříme reálnou a imaginární část pomocí Eulerovy identity e n i = cos n + i sin n Daná posloupnost nemá limitu, protože limita reálné ani imaginární části neexistuje 35 Necht z n = x n + i y n 0 pro všechna n N Označte : z n = r n, a = a + i a = r, arg z n = ϕ n, arg a = ϕ a) Dokažte, že posloupnost ( z n ) má vlastní nenulovou limitu a = a + i a právě tehdy, když n lim r n = r n lim ϕ n = ϕ b) Dokažte, že posloupnost ( z n ) má nulovou limitu právě tehdy, když lim r n = 0 n Návod : a) Pro proměnné r a ϕ je možné definovat okolí obdélníkového typu a postupovat jako v př 3 b) Pro a = 0 není definován argument Stačí dokázat, že n lim r n = 0 právě tehdy, když lim x n = 0 n lim y n = 0 n

33 3Posloupnosti a řady Vypočítejte ( pokud existuje ) lim n Řešení: Vypočítáme absolutní hodnotu Protože n lim r n = n lim ( ) i n př 35 výsledek lim = 0 n 37 Vypočítejte ( pokud existuje ) lim n ( ) i n i + = ( ) n = 0, dostaneme podle druhé části ( + i ) n = + i + Řešení: Vypočítáme absolutní hodnotu = = Členy posloupnosti vyjádříme v goniometrickém tvaru a podle Moivreovy věty ( ) n ( i = cos π 4 + i sin π ) n ( = cos nπ i sin nπ ) 4 Limita této posloupnosti neexistuje 38 Dokažte, že lim n ( + iϕ n )n = cos ϕ + i sin ϕ Návod : limitu argumentů Vypočítejte limitu absolutních hodnot ( ) n + ϕ a n n arctg ϕ n Můžete použít l Hospitalovo pravidlo; vyjde limita absolutních hodnot rovna jedné a limita argumentů rovna ϕ ( z n ) 39 Rozhodněte, pro která z má posloupnost vlastní limitu + z n Výsledek : Posloupnost má vlastní limitu a = 0 pro z <, a = pro z > a a = pro z = 30 Rozhodněte, pro která z má posloupnost ( z n n ) vlastní limitu Výsledek : Posloupnost má vlastní limitu pro z < z =

34 34 Funkce komplexní proměnné 3 Dokažte, že pro každé reálné ϕ kπ (k Z) a n N platí + cos ϕ + cos ϕ + cos 3ϕ + + cos nϕ = sin(n + )ϕ sin ϕ Řešení : Podle známého vzorce pro částečný součet geometrické posloupnosti lze snadno sečíst + e i ϕ + e i ϕ + e 3 i ϕ + + e i nϕ = e i (n+)ϕ e i ϕ = = ( e i (n+)ϕ ) ( e i ϕ ) ( e i ϕ ) ( e i ϕ ) = e i ϕ e i (n+)ϕ + e i nϕ e iϕ e iϕ + Z této rovnosti komplexních čísel vyjde pro reálné části + cos ϕ + cos ϕ + + cos nϕ = cos ϕ cos(n + )ϕ + cos nϕ ( cos ϕ) = = + sin(n + )ϕ sin ϕ 4 sin ϕ Při úpravách byly použity vzorce = + sin(n + )ϕ sin ϕ cos α = sin α, cos α cos β = sin α + β sin α β 3 Dokažte, že pro každé reálné ϕ kπ (k Z) a k N plati sin ϕ + sin ϕ + sin 3ϕ + + sin nϕ = sin (n+) ϕ sin n ϕ sin ϕ Řešení : Vyjdeme ze součtu + e i ϕ + e i ϕ + + e i nϕ a zapíšeme rovnost imaginárních částí sin ϕ + sin ϕ + sin 3ϕ + + sin nϕ = sin ϕ sin(n + )ϕ + sin nϕ ( cos ϕ) =

35 3Posloupnosti a řady 35 = sin ϕ cos ϕ cos(n + )ϕ sin ϕ 4 sin ϕ = cos ϕ cos(n + )ϕ sin ϕ = = sin n+ ϕ sin n ϕ sin ϕ Při úpravách bylo třeba kromě předchozích vzorců použít ještě vzorce sin α = sin α cos α, sin α sin β = cos α + β sin α β 33 Dokažte, že pro každé reálné ϕ kπ (k Z) a n N platí cos ϕ + cos ϕ cos 3ϕ + + ( )n cos nϕ = ( ) n cos(n + )ϕ cos ϕ Řešení : Podle vzorce pro částečný součet geometrické posloupnosti e i ϕ + e i ϕ e 3 i ϕ + + ( ) n e i nϕ = + ( )n e i (n+)ϕ + e i ϕ = = ( + ( )n e i (n+)ϕ ) ( + e i ϕ ) ( + e i ϕ ) ( + e i ϕ ) = + e i ϕ + ( ) n e i (n+)ϕ + e i nϕ + e i ϕ + e i ϕ + Z této rovnosti komplexních čísel vyjde pro reálné části cos ϕ + cos ϕ cos 3ϕ + + ( ) n cos nϕ = = + cos ϕ + ( )n [cos(n + )ϕ + cos nϕ] ( + cos ϕ) = = + ( )n cos(n + )ϕ cos ϕ 4 cos ϕ Při úpravách byly použity vzorce = + cos(n + )ϕ cos ϕ + cos α = cos α, cos α + cos β = cos α + β cos α β

36 36 Funkce komplexní proměnné 34 Dokažte, že pro každé reálné ϕ kπ (k Z) a n N platí cos ϕ + cos 3ϕ + cos 5ϕ + + cos(n )ϕ = sin nϕ sin ϕ Řešení : V tomto případě se provede součet členů geometrické posloupnosti ( q = e iϕ ) e i ϕ +e 3 i ϕ ++e (n ) i ϕ = e i ϕ en i ϕ = ( e i nϕ ) (e i ϕ e i ϕ ) ( cos ϕ) e i ϕ = e i ϕ ( en i ϕ )( e i ϕ ) e i ϕ e i ϕ + = = i sin ϕ( e i nϕ ) 4 sin ϕ = i ( e i nϕ ) sin ϕ Z rovnosti reálných částí dostaneme snadno požadovanou rovnost 35 Dokažte, že pro každé reálné ϕ kπ (k Z) a n Z platí sin ϕ + sin 3ϕ + sin 5ϕ + + sin(n )ϕ = sin nϕ sin ϕ Návod : Postupujte jako v předcházejícím příkladě, ale vyjádřete rovnost imaginárních částí 36 Dokažte, že pro každé reálné ϕ kπ (k Z) a n N platí sin ϕ sin 3ϕ + sin 5ϕ + ( ) n+ e (n )ϕ = ( )n+ sin nϕ + cos ϕ Řešení : Podle vzorce najdeme částečný součet členů geometrické posloupnosti ( q = e ıϕ ) e i ϕ e 3 i ϕ + e 5 i ϕ e 7ıϕ + + ( ) n+ e (n ) i ϕ = = e i ϕ ( )n e i nϕ = e ϕ ( + ( )n+ e i nϕ ) ( + e i nϕ ) + e i ϕ + e ınϕ + e i nϕ + = = ( + ( )n+ e i nϕ ) (e i ϕ + e i ϕ ) ( + cos ϕ) = ( + ( )n+ e inϕ ) sin ϕ 4 cos ϕ =

37 3Posloupnosti a řady 37 = + ( )n+ e i nϕ cos ϕ Hledanou rovnost dostaneme z rovnosti imaginárních částí 37 Určete podmínku konvergence a součet nekonečné řady + 4z + 8z + 6z 3 + Řešení : Podle koeficientů lze snadno poznat, že jde o geometrickou řadu, která má kvocient q = z Podmínka pro konvergenci geometrické řady je q = z <, tj z < a podle známého vzorce dostaneme součet geometrické řady s(z) = z 38 Určete podmínku konvergence a součet nekonečné řady z + z 4 z3 8 + Výsledek : Pro q = k funkci s(z) = z + z < neboli z < řada konverguje 39 Určete podmínku konvergence a součet nekonečné řady z + z z 3 + z 4 z 5 + Výsledek : Pro z < řada konverguje k funkci s(z) = + z 30 Určete podmínku konvergence a součet nekonečné řady + z + (z + ) (z + ) Výsledek : Pro z + < řada konverguje k funkci s(z) = z 3 Určete podmínku konvergence a součet nekonečné řady z + z + 4z 3 + 8z 4 + 6z 5 + 3z 6 + Výsledek : Pro z < řada konverguje k funkci s(z) = z z

38 38 Funkce komplexní proměnné 3 Určete podmínku konvergence a součet nekonečné řady z z + z 3 z + 4 z 5 z + 6 Výsledek : Pro q = < neboli z > řada konverguje z k funkci s(z) = z + Poznámka : Součty nekonečných řad v př 39 a 3 jsou stejné funkce, ale jejich vznik podstatně závisel na oboru konvergence příslušné nekonečné řady 33 Určete poloměr konvergence mocninné řady n=0 z n n! Řešení : Poloměr konvergence můžeme vypočítat podle vzorce a n (n + )! r = lim = lim = lim (n + ) = + n a n n+ n! n Tato mocninná řada absolutně konverguje pro všechna z a její součet definuje funkci komplexní proměnné ( viz kap 4 ) 34 Určete poloměr konvergence mocninné řady ( ) n zn n=0 (n)! Návod : Použijte srovnání s předchozí řadou : n ( ) k zk k=0 (k)! n z k Je tedy také r = + k=0 k! 35 Dokažte, že pro libovolná komplexní čísla z, z platí ( n=0 z n ) ( z n ) = n! n=0 n! (z + z ) n n! n=0 Řešení : Pro absolutně konvergentní řady je jejich součin opět absolutně konvergentní řada Při provedení součinu řad vyjde koeficient u

39 3Posloupnosti a řady 39 součinu mocnin z k z n k k! (n k)! = n! k!(n k)! ( n n! = k ) n!, takže vzhledem k platnosti binomické věty vyjde ( ) n z k z n k k n! = (z + z ) n n! n=0 n=0 36 Určete poloměr konvergence mocninné řady + z + 3z + 4z 3 + 5z 4 + Řešení : Tato mocninná řada má koeficienty a n = n, takže vypočítáme a n n poloměr konvergence r = n lim = lim a n = Součet dané n+ n + nekonečné řady se dá pro z < určit na základě derivování řady člen po členu + z + z + z 3 + z 4 + z nz n + = z 37 Určete poloměr konvergence mocninné řady n= n n zn a n Výsledek : Poloměr konvergence r = n lim = a n+ 38 Určete poloměr konvergence mocninné řady Řešení : Poloměr konvergence n! (n + ) n+ r = lim n n n (n + )! (n + ) n = lim n n n n= n! n n zn ( = lim + n = e n n) 39 Pomocí geometrické řady vyjádřete funkci f(z) = z mocninné řady se středem v počátku Řešení : Funkci upravíme na tvar součtu geometrické řady z = z = ( + z ) + z 4 + z3 8 + = n=0 Mocninná řada konverguje k dané funkci pro z < z n n+ jako součet a q

40 40 Funkce komplexní proměnné 330 Pomocí geometrické řady vyjádřete funkci f(z) = z mocninné řady se středem v bodě z 0 = jako součet Řešení : Vzhledem k požadovanému oboru konvergence je třeba, aby kvocient obsahoval výraz z z = (z ) = +(z )+(z ) +(z ) 3 + = Mocninná řada konverguje k dané funkci pro z < 33 Pomocí geometrické řady vyjádřete funkci f(z) = z mocninné řady se středem v bodě z 0 = (z ) n n= jako součet Řešení : Kvocient geometrické řady musí obsahovat výraz z +, takže je třeba zlomek upravit z = 3 (z + ) = 3 z+ 3 = 3 n=0 (z + ) n 3 n Mocninná řada konverguje k dané funkci pro z + < 3 33 Pomocí geometrické řady vyjádřete funkci f(z) = jako součet z mocninné řady se středem v bodě z 0 = 3 Výsledek : Pro z 3 < platí z = ( ) n+ (z 3) n n=0

41 4Funkce komplexní proměnné 4 4 Funkce komplexní proměnné Zobrazení množiny D do množiny se nazývá (komplexní) funkce komplexní proměnné Znamená to, že ke každému komplexnímu číslu z D je přiřazeno jediné komplexní číslo w = f(z) V tomto smyslu mluvíme o jednoznačné funkci; možným zobecněním pojmu funkce na mnohoznačné funkce se budeme informativně zabývat v kap 6 Pro znázorňování funkce komplexní proměnné nelze použít tak jednoduchý způsob, jako je graf reálné funkce jedné nebo dvou reálných proměnných Funkci komlexní proměnné si můžeme představit jako zobrazení bodů jedné Gaussovy roviny ( např s pravoúhlými souřadnicemi x, y ) do jiné ( nebo téže ) Gaussovy roviny ( např s pravoúhlými souřadnicemi u, v ) Pro danou funkci w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) umožňují funkce u(x, y) a v(x, y) vypočítat souřadnice obrazu bodu z = x + i y V příkladech 4-43 jsou dány funkce komplexní proměnné Napište algebraický tvar těchto funkcí a charakterizujte geometrické vlastnosti zobrazení Gaussovy roviny ( bod má souřadnice x, y ) do téže Gaussovy roviny ( obraz bodu má souřadnice u, v ) definované těmito funkcemi 4 w = f(z) = z + i, D = Řešení : Souřadnice u, v obrazu bodu [x, y] jsou dány rovnicemi u = x +, v = y, které znamenají rovnice pro posunutí Tento výsledek je zřejmý také z geometrického významu přičtení konstantního komplexního čísla k libovolnému komplexnímu číslu 4 w = f(z) = z, D = Řešení : Pro souřadnice u, v obrazu bodu [x, y] dostanete snadno u = x, v = y Z geometrického hlediska obraz reálného násobku komplexního čísla z leží na přímce, která spojuje počátek s obrazem komplexního čísla z Obraz komplexního čísla z leží na opačné polopřímce ( s počátečním bodem v počátku ) a má od počátku dvojnásobnou vzdálenost ( z = z ) Jde tedy o stejnolehlost se středem v počátku a s koeficientem stejnolehlosti k =

42 4 Funkce komplexní proměnné 43 w = f(z) = i z, D = Řešení : Z algebraického tvaru dané funkce w = ( i )(x + i y) = ( x y + i x i y) můžeme snadno získat rovnice pro souřadnice obrazu bodu [x, y] u = (x + y), v = (x y) Násobení libovolného komplexního čísla z konstantním komplexním číslem a = i znamená podle Moivreovy věty otočení o argument tohoto komplexního čísla ( 3 π ) Násobení absolutní hodnotou tohoto 4 komplexního čísla se neprojeví, protože a = 44 w = f(z) = i z, D = Výsledek : Otočení v rovině o úhel u = y, v = x π Rovnice tohoto otočení jsou 45 w = f(z) = + i 3 z, D = {z : z < } Řešení : Tato funkce definuje otočení o úhel velikosti π 3 Definiční obor D je vnitřní oblast kružnice se středem z 0 = a s poloměrem Obraz oblasti D je vnitřní oblast kružnice se středem z 0 = + i 3 a s týmž poloměrem 46 w = f(z) = e i α z, D = Řešení : Z algebraického tvaru dané funkce w = (cos α + i sin α)(x + i y) = x cos α y sin α + i (x sin α + y cos α) snadno získáme rovnice pro souřadnice obrazu bodu [ x, y ] u = x cos α y sin α, v = x sin α + y cos α Z exponenciálního vyjádření w = e i α z = re i ϕ e i α = re i (ϕ+α) je vidět, že rovnice představují v rovině otočení o úhel α

43 4Funkce komplexní proměnné w = f(z) = z, D = Řešení : Pro souřadnice obrazu platí u = x, v = y Obraz každého komplexního čísla má stejnou absolutní hodnotu, ale opačný argument Jde tedy o souměrnost kolem osy reálných čísel 48 w = f(z) = z, D = {z : Im z > 0} Najděte obraz přímky y = Řešení : Z algebraického tvaru dané funkce w = (x + i y) = = x + i xy y vyjdou rovnice pro souřadnice obrazu bodu [ x, y ] u = x y, v = xy Geometrický popis tohoto zobrazení dostaneme podle Moivreovy věty ( pro druhou mocninu komplexního čísla ) Body na kružnici se středem v počátku a s poloměrem r se zobrazí na kružnici se středem v počátku, ale s poloměrem r Body na polopřímkách s počátečním bodem v počátku se zobrazí na polopřímky s dvojnásobným argumentem ( obr 5 ) Definiční obor D je vnitřek horní poloroviny s hraniční přímkou v reálné ose Obrazem D je Gaussova rovina, ze které jsou vynechána nezáporná reálná čísla Pro souřadnice obrazů bodů přímky y = musí platit u = x, v = x, x R Jsou to parametrické rovnice křivky, ze kterých lze snadno vyloučit parametr x : u = v tj v = 4(u + ) Vyšla tedy rovnice paraboly s vrcholem v bodě [ -, 0 ] a s ohniskem v počátku O b r 5

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel

KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH

MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě

Matematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 2. prosince 2014 Předmluva

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL

PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL 1.1 Základní poznatky o množinách 2 Množinou budeme rozumět souhrn libovolných objektů. Množinu považujeme za určenou, je-li možno o každém objektu jednoznačně rozhodnout, zda

Více

17 Kuželosečky a přímky

17 Kuželosečky a přímky 17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim

Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim . Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více