1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Základní pojmy. 1.1 Množiny"

Transkript

1 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat reálným číslům. Nakonec připomeneme pojmy kartézský součin a zobrazení, čímž se připravíme na další kapitolu. 1.1 Množiny Pojem množiny je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Množinou rozumíme soubor navzájem různých (rozlišitelných) matematických či jiných objektů. Jednotlivé objekty, které do dané množiny patří, se nazývají prvky množiny. Zápis a A znamená, že a je prvkem množiny A, neboli a patří do množiny A. Zápis a A znamená, že a není prvkem množiny A. Prvky množiny dáváme do složených závorek, např. A = {a, b, c}. Nejčastěji bývá množina zadána výčtem prvků nebo pomocí charakteristické vlastnosti prvků, např. B = {x R : 3 x 7}, kde R značí množinu reálných čísel. Pojmy množina, prvek a býti prvkem nějaké množiny patří mezi základní, nejjednodušší, pojmy teorie množin, které se ani nedefinují, ale pomocí nichž se definují ostatní pojmy. Např. rovnost množin nebo pojem podmnožina. Zápis A = znamená, že množina A je prázdná, a zápis A značí, že množina A není rovna prázdné množině, tj. obsahuje alespoň jeden prvek. Je tedy neprázdná. Uvědomte si { }. Prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Připomeňte si základní množinové operace sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk. Lze odvodit řadu početních pravidel pro operace s množinami jako komutativní, asociativní a distributivní zákony, taky de Morganovy zákony. Speciálními případy množin jsou tzv. číselné množiny. To jsou množiny, jejichž prvky jsou čísla. Protože budeme v matematické analýze pracovat téměř výhradně s číselnými množinami, připomeneme nyní některá standartní označení číselných množin, známá již ze střední školy. Dále značíme N = {1, 2, 3,...} Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Q = { p q : p Z, q N} R I = R\Q C R + = {x R : x > 0} = {x R : x 0} R + 0 množina přirozených čísel, množina celých čísel, množina racionálních čísel, množina reálných čísel, množina iracionálních čísel, množina komplexních čísel. množina kladných reálných čísel, množina kladných reálných čísel včetně nuly 1

2 2 1. ZÁKLADNÍ POJMY a podobně N 0, R, R 0, Q+, Q + 0, Q, Q 0, Z+, Z + 0, Z, Z 0. Poznámka 1.1. (1) Platí N Z Q R. (2) Racionální čísla mají buď ukončený desetinný rozvoj (např. 3 4 = 0.75) nebo neukončený periodický desetinný rozvoj (např = 2.09 = nebo 30 = 1.23 = ). (3) Čísla iracionální mají neukončený neperiodický desetinný rozvoj (např. π, 2, 3 5). Množinou reálných čísel se budeme podrobněji zabývat v dalším textu. Ještě předtím si připomeneme základní pojmy z výrokové logiky. 1.2 Výroky a operace s výroky Matematická logika je disciplína, která se věnuje jazyku matematiky, logické výstavbě matematických teorií, dokazování matematických vět atd. Základním pojmem matematické logiky je výrok. Výrokem nazýváme jakékoliv tvrzení, o němž lze rozhodnout, zda je pravdivé nebo nepravdivé (nastává právě jedna z těchto možností). Výroky, o kterých není dosud známo, zda jsou pravdivé nebo nepravdivé, avšak jedna z těchto možností musí nastat, se nazývají hypotézy. Příklad 1.2. Tvrzení, která jsou výroky: Venku svítí slunce. Číslo 3 je liché. Dnes je středa. Věty, které nejsou výroky: Číslo x je sudé. Přednáška z matematiky. Kdo má rád matematiku? Toto není pravda. Tato věta je pravdivá, právě tehdy, když není pravdivá. Vzhledem k tomu, že nemůže něco platit a zároveň neplatit, tzv. princip vyloučení třetího, se nejedná o výrok. U každého výroku nás bude zajímat, zda je pravdivý nebo nepravdivý. Je-li výrok pravdivý, přiřadíme mu hodnotu 1, je-li nepravdivý, přiřadíme hodnotu 0. Tyto hodnoty se nazývají pravdivostní hodnoty. Jsou-li p, q výroky můžeme z nich pomocí logických spojek negace, konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence tvořit nové, tzv. složené výroky. Definice 1.3. Nechť p, q jsou výroky. (1) Negací výroku p (značíme p nebo non p) rozumíme výrok, který je pravdivý, právě když je výrok p nepravdivý. (2) Konjunkcí výroků p, q (značíme p q) rozumíme výrok, který je pravdivý, právě když jsou pravdivé oba výroky p, q (platí p a zároveň q). (3) Disjunkcí výroků p, q (značíme p q) rozumíme výrok, který je pravdivý, právě když je pravdivý alespoň jeden z výroků p, q (platí p nebo q). (4) Implikací výroků p, q (značíme p q) rozumíme výrok, který je pravdivý ve všech případech s vyjímkou případu, že výrok p je pravdivý a výrok q nepravdivý. Říkáme, že výrok p implikuje výrok q nebo z p plyne q nebo platí-li p, pak platí q. (5) Ekvivalencí výroků p, q (značíme p q) rozumíme výrok, který je pravdivý, právě když jsou oba výroky zároveň pravdivé nebo zároveň nepravdivé. Říkáme, že výrok p je ekvivalentní s výrokem q nebo p platí právě, když platí q.

3 1. VÝROKY A OPERACE S VÝROKY 3 U implikace lze vycházet z nepravdivého výroku. Pak ať tvrdíme cokoliv, je výsledná implikace pravdivá. Například výrok Jestliže číslo 5 je sudé, pak číslo 2 je záporné je pravdivý. Pro přehled si uveďme tabulku pravdivostních hodnot pro výroky získané z původních výroků negací, konjunkcí, disjunkcí, implikací a ekvivalencí. p q p p q p q p q p q Ukažme si nyní, jak lze negovat složené výroky. ( A) A, (A B) ( A) ( B), (A B) ( A) ( B), (A B) A ( B), (A B) [(A B) (B A)] [(A B) (B A)]. Doposud jsme mluvili o výrocích, tj. o tvrzeních, o nichž lze rozhodnout, zda jsou pravdivá nebo nepravdivá. Např. tvrzení číslo x je sudé není výrok. Dosadíme-li za x konkrétní hodnoty, konstanty, pak už dostaneme výrok. Obecně, jestliže se nějaké tvrzení stane výrokem, dosadíme-li za proměnné konkrétní hodnoty, nazýváme takové tvrzení výrokovou formou. Výroková forma o jedné proměnné x se značí V (x), výroková forma o n proměnných x 1, x 2,..., x n se značí V (x 1, x 2,..., x n ). Např. výroková forma číslo x je sudé se stane výrokem, dosadíme-li za x konkrétní hodnotu: číslo 5 je sudé. Zde se jedná o nepravdivý výrok. Dosazení konstant za proměnné do výrokové formy není jediným způsobem, jak z ní vytvořit výroky. Další možností je vázat proměnné pomocí slovních vazeb, které nazýváme kvantifikátory. (1) Kvantifikátor obecný (značíme symbolem ) je vazba pro všechna nebo pro každé. (2) Kvantifikátor existenční (značíme symbolem ) je vazba existuje (alespoň jeden). (3) Kvantifikátor jednoznačné existence (značíme symbolem!) je vazba existuje právě jeden. Nechť V (x) je výroková forma proměnné x. Pak pomocí zmíněných kvantifikátorů lze tvořit následující typy kvantifikovaných výroků. x A : V (x) čteme: pro každé x z množiny A platí V (x). Někdy také zapisujeme ve tvaru x A V (x) a čteme: je-li x z množiny A, pak platí V (x). x A : V (x) čteme: existuje (alespoň jeden) prvek z množiny A takový, že platí V (x).! x A : V (x) čteme: existuje právě jeden prvek x z množiny A takový, že platí V (x). V prvním případě mluvíme o obecném výroku, v druhém o existenčním výroku a poslední případ se nazývá výrok o existenci a jednoznačnosti. Příklad 1.4. Určete, zda jsou následující výroky pravdivé nebo nepravdivé: 1. x R : x 2 0, 2. x R + : x 2 x 0, 3. n N : n < 2, 4.! x R : x 2 = 16, 5.! n N : n 2 = 16.

4 4 1. ZÁKLADNÍ POJMY Chceme-li tvořit výroky pomocí kvantifikátorů z výrokové formy více proměnných, musíme přiřadit kvantifikátor každé proměnné. Např. výrok x N y N : x y je nepravdivý výrok, protože např. pro x = 3 a y = 5 neplatí. Uvažujme výrok x A : V (x), tj. pro každé x z množiny A platí V (x). Negováním dostáváme: Není pravda, že pro všechny prvky x A je splněna V (x), tj. existuje alespoň jeden prvek x A, pro který neplatí V (x). Tedy ( x A : V (x)) x A : V (x). Uvažujme výrok: x A : V (x), tj. existuje x z množiny A, pro který platí V (x). Negováním dostáváme: Není pravda, že existuje x z množiny A, pro který platí V (x), tj. pro žádný prvek x A neplatí V (x). Tedy ( x A : V (x)) x A : V (x). Vidíme tedy, že negaci kvantifikovaných výtoků provádíme záměnou kvantifikátorů a negací výrokové formy. A to i u kvantifikovaných výroků vytvořených z výrokové formy o více proměnných. Vyjádření s kvantifikátory a logickými spojkami se nepoužívá pouze v matematice. Např. v relačních databázových systémech je takové vyjádření potřebné pro formulování dotazů v dotazovacích jazycích, jako je např. SQL. 1.3 Reálná čísla V matematické analýze budeme nejčastěji pracovat s množinou reálných čísel a jejími podmnožinami. Proto si nyní tento pojem upřesníme. Na střední škole se vychází z geometrické interpretace reálného čísla. To znamená, že reálná čísla ztotožňujeme s body na přímce (číselné reálné ose). Ne vždy si s tímto pojetím reálných čísel vystačíme. Existují dvě možnosti, jak reálná čísla vybudovat. První možnost je založena na postupném vybudování přirozených čísel, pak celých čísel, dále racionálních a z nich pak čísel reálných. Tato cesta je zdlouhavá a technicky náročná. Druhá možnost je zavést reálná čísla axiomaticky, tedy výčtem základních vlastností, které daný objekt jednoznačně určují. Axiom je to, co se bere za pravdu a nedokazuje se. Uvedeme třináct axiomů, na jejichž základě pak můžeme odvodit všechny vlastnosti reálných čísel, se kterými běžně pracujeme. Množinou reálných čísel R rozumíme množinu, na které jsou definovány operace sčítání (+) a násobení ( ), relace uspořádání (<) a platí následující podmínky pro operaci sčítání (A1) a, b R: a + b = b + a; (A2) a, b, c R: a + (b + c) = (a + b) + c; (A3) 0 R a R: a + 0 = a nulový prvek; (A4) a R a R: a + ( a) = 0 opačný prvek, pro operaci násobení (A5) a, b R: a b = b a; (A6) a, b, c R: a (b c) = (a b) c; (A7) 1 R a R: a 1 = a jednotkový prvek; (A8) a R\{0} a 1 R: a a 1 = 1 inverzní prvek, distributivní zákon (A9) a, b, c R: a (b + c) = a b + a c. Dále definujeme relaci uspořádání menší (<) (A10) a, b R nastává právě jeden z případů: a < b, a = b, b < a; (A11) a, b, c R: (a < b) (b < c) a < c;

5 1. ROZšÍŘENÁ MNODINA REÁLNÝCH ČÍSEL 5 (A12) a, b, c R: a < b a + c < b + c, (a < b) (0 < c) a c < b c. Pro úplnost nadefinujeme ještě relaci menší nebo rovno ( ): Pro každé a, b R platí a b právě tehdy, když a < b nebo a = b. Zbývá uvést poslední, třináctý, axiom, který odliší reálná čísla od racionálních. Zvolíme formulaci pomocí pojmů supremum a ohraničená množina, které jsme zatím nedefinovali. Po objasnění těchto pojmů se k axiomu vrátíme. (A13) Každá neprázdná shora ohraničená množina M R má v R supremum. 1.4 Rozšířená množina reálných čísel Přidáme-li k množině R dva nové prvky, a to + a, mluvíme o rozšířené množině reálných čísel a značíme-ji R, tj. R = R {, + }. S + a pracujeme do jisté míry jako s reálnými čísli. Pro uspořádání platí Pro každé x R : < x < +, < +. Dále definujeme v množině R následující operace s + a : Pro x > pro x < + : pro x R + {+ }: x + (+ ) = + + x = +, x + ( ) = + x =, x (+ ) = + x = +, x ( ) = x =, pro x R { }: x (+ ) = + x =, x ( ) = x = +, pro x R x + = x = 0, = + = +. Následující operace nejsou definovány (nelze je provést): + + ( ), + (+ ), 0 (± ), (± ) 0, ± ±, x 0, x R Podmnožiny množiny R Všechny známé číselné množiny jako jsou N, Z, Q, I, R jsou podmnožinami R. Dalšími důležitými podmnožinami jsou intervaly.

6 6 1. ZÁKLADNÍ POJMY Definice 1.5. Nechť a, b R, a < b. Pak (1) Uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu a, b = {x R : a x b}, (2) otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množimu (a, b) = {x R : a < x < b}, (3) zleva uzavřeným a zprava otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množimu a, b) = {x R : a x < b}, (4) zleva otevřeným a zprava uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množimu (a, b = {x R : a < x b}, 1.5 Maximum, minimum, supremum, infimum Definice 1.6. Nechť M R a nechť k, l R. Řekneme, že (1) k je horní závora množiny M, jestliže pro každé x M platí x k. (2) l je dolní závora množiny M, jestliže pro každé x M platí x l. (3) k je maximum množiny M, jestliže k je horní závora množiny M a k M. Píšeme k = max M. (4) l je minimum množiny M, jestliže l je dolní závora množiny M a l M. Píšeme l = min M. Poznámka 1.7. (1) je-li k (resp. l) horní (resp. dolní) závora množiny M, pak také každé číslo k > k (resp. l < l) je horní (resp. dolní) závorou množiny M. (2) Je-li k = max M, je k největším prvkem množiny M, tedy pro každý prvek x M platí x k. (3) Je-li l = min M, je l nejmenším prvkem množiny M, tedy pro každý prvek x M platí x l. Definice 1.8. Nechť M R a nechť U(M) značí množinu všech horních závor a L(M) množinu všech dolních závor množiny M. Nechť s, i R. Řekneme, že (1) s je supremum množiny M (píšeme s = sup M), jestliže s je minimum množiny všech horních závor množiny M, tj. s = min U(M). (2) i je infimum množiny M (píšeme i = inf M), jestliže i je maximum množiny všech dolních závor množiny M, tj. i = max L(M). Poznámka 1.9. (1) Supremum je nejmenší horní závora a infimum největší dolní závora. Pokud supremum resp. infimum existuje, je určeno jednoznačně.

7 1. EXISTENCE SUPREMA 7 (2) Pro každou M R existuje sup M i inf M, zatímco max M a min M někdy existují a někdy ne. Pokud existuje max M, resp. min M, pak platí max M = sup M a min M = inf M. (3) Je-li M, pak platí inf M sup M. Rovnost nastane právě tehdy, je-li množina M jednoprvková. (4) Je-li M =, pak platí inf M > sup M. Protože libovolné číslo x R je jak horní tak dolní závorou prázdné množiny, dostáváme inf = max R = a sup = min R =. 1.6 Existence suprema Věta Každá množina M R má v R supremum. Toto supremum může být buď konečné nebo nekonečné + resp.. Prázdná množina má supremum rovno. Konečnost suprema souvisí s tím, zda je daná množina shora ohraničená, či nikoliv. Definice Nechť M R. (1) Existuje-li konečná horní závora množiny M, pak se množina M nazývá shora ohraničená. (2) Existuje-li konečná dolní závora množiny M, pak se množina M nazývá zdola ohraničená. (3) Množina M se nazývá ohraničená, jestliže je současně ohraničená shora i zdola. První bod z definice znamená, že množina M je shora ohraničená, právě když je supremum konečné číslo nebo. Tedy každá neprázdná shora ohraničená má sup M R. Množina M, která je neprázdná a není shora ohraničená, má supremum sup M = +. Z předchozích úvah je zřejmé, že sup M R právě tehdy, když je M neprázdná shora ohraničená množina. A to je právě axiom (A13) reálných čísel. Ještě jednou si ho připomeňme: (A13) Každá neprázdná shora ohraničená množina M R má v R supremum. Analogicky pro zdola ohraničené množiny. Platí, že inf M R právě tehdy, když je M neprázdná zdola ohraničená množina. Axiom (A13) je jediný axiom, který odlišuje reálná čísla od čísel racionálních. Množina všech racionální čísel Q splňuje také axiomy (A1)-(A12) (v axiomech stačí zaměnit Q za R). Poslední axiom, který platí již pouze pro R, obdařuje R vlastností, která se nazývá úplnost. Populárně řečeno, tento axiom říká, že v R nejsou žádné díry ani mezery. Např. mezi racionálními čísly naleznete díry, které vyplňují iracionální čísla. Lze ukázat, že racinální i iracionální čísla jsou na číselné ose rozložena velmi hustě, tj. mezi každými dvěma, jakkoliv blízkými, různými reálnými čísly leží jak nekonečně mnoho racionálních, tak nekonečně mnoho iracionálních čísel. Axiom (A13) bude mít v dalším výkladu mimořádnou důležitost. Z něj lze dokázat např. existenci libovolných odmocnin z kladných čísel. Abychom například definovali číslo 2, tj. kladné řešení rovnice x 2 = 2, položíme 2 = sup{x Q : x 2 < 2}. Díky tomu, že množinu {x Q : x 2 < 2} bereme jako podmnožinu R (která je navíc neprázdná a shora ohraničená), pak podle axiomu (A13) je zaručena existence suprema. Stačí tedy ukázat, že toto supremum splňuje rovnici x 2 = 2, tj. ( 2) 2 = 2.

8 8 1. ZÁKLADNÍ POJMY Uvědomte si, že {x Q : x 2 < 2} má supremum v R, ale nemá supremum v Q. To je také důvodem toho, proč pracujeme právě s reálnými čísly a ne například s čísly racionálními Obecná mocnina Ukažme si nyní, jak využijeme axiomu (A13) k definici mocniny a r, kde a R +, r R. (1) Pro n N je symbol a n zkráceným zápisem pro součin a } {{ a}. Podobně symbol a n značí n-krát podíl 1/a n. Dále víme, že pro n N, n 2, symbol a 1 n značí n-tou odmocninu z čísla a, n tj. a. Kombinací těchto označení se na střední škole zavádí tzv. mocnina s racionálním exponentem: pro m Z a n N, n 2, je a m n = n a m. Máme tak definován symbol a r pro libovolné racionální číslo r = m/n. Platí: a r a s = a r+s, a r /a s = a r s, (a r ) s = a rs. Dále pro r < s a a > 1 je a r < a s a pro 0 < a < 1 je a r > a s. (2) Nyní pomocí axiomu (A13) rozšíříme definici symbolu a r pro libovolné reálné, tedy i iracionální číslo. Nechť r I, a > 1. Vezmeme množinu A Q všech racionálních čísel s menších než dané číslo r. Množina čísel a s, s A, s racionálními exponenty je shora ohraničená (je-li t > r, t racionální, je a t horní závora). Supremum množiny všech těchto čísel (podle zmíněné věty existuje) označíme a r. Tedy a r = sup{a s : s < r, s Q}. Pro r I, 0 < a < 1 se postupuje obdobně, jen se použije infimum (jestliže se s zvětšuje, pak a s se zmenšuje). Pro takto definované mocniny a r s libovolným reálným mocnitelem r platí stejná početní pravidla jako pro racionální mocnitele. Od této chvíle mají pro nás smysl výrazy 2 π, π 2, ( 2) 3 atd. 1.7 Kartézský součin Na základě pojmu uspořádané dvojice budeme definovat tzv. kartézský součin množin, jenž je jedním ze základních pojmů v celé matematice. Uvidíme, že na pojmu kartézského součinu jsou založeny důležité pojmy zobrazení a funkce. Uspořádaná dojice (x, y) je dvojice prvků x, y, přičemž prvek x je první a y druhý (záleží na pořadí prvků) a zřejmě (x, y) (y, x) pro x y. Tím se uspořádaná dvojice liší od dvouprvkové množiny {x, y}, neboť u množin nezáleží na pořadí prvků. Přesně matematicky definujeme uspořádanou dvojici (x, y) jako množinu, jejímiž prvky jsou jednoprvková množina {x} a dvouprvková množina {x, y}, tj. (x, y) = {{x}, {x, y}}, přičemž jednoprvková množina obsahuje první prvek uspořádané dvojice. Definice Nechť A, B jsou množiny. Kartézským součinem množin A a B nazýváme množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) takových, že x A a y B. Značíme jej A B. Tedy A B = {(x, y) : x A y B} a Příklad Uvažujme množiny A = {1, 2, 3} a B = { 1, 0}. Pak A B = {(1, 1), (1, 0), (2, 1), (2, 0), (3, 1), (3, 0)} B A = {( 1, 1), ( 1, 2), ( 1, 3), (0, 1), (0, 2), (0, 3)}.

9 1. CO JE TŘEBA ZNÁT Z TÉTO KAPITOLY 9 Obecně jsou A B a B A různé množiny. Rovnost nastane právě tehdy, když A = B nebo A = nebo B =. Platí A = A =. Jsou-li A a B číselné množiny, můžeme uspořádanou dvojici (x, y) zobrazit jako bod v rovině. Čísla x a y pak mají význam souřadnic. Tím vlastně zavadíme kartézskou soustavu souřadnic v rovině. Každému bodu roviny odpovídá dvojice reálných čísel, které udávají souřadnice tohoto bodu. Dalším důležitým pojmem je zobrazení. Na střední škole se většinou definuje zobrazení takto: Nechť jsou dány množiny A, B. Předpokládejme, že je dáno pravidlo, podle kterého je každému prvku x z množiny A přiřazen právě jeden prvek y z množiny B. Potom řekneme, že je definováno zobrazení f množiny A do množiny B. Potíž je však v použití nedefinovaného pojmu pravidlo. Nové pojmy lze definovat pouze na základě již dříve definovaných pojmů. Proto je následující definice zobrazení postavena na množinových pojmech. Definice Zobrazením f množiny A do množiny B nazýváme takovou podmnožinu kartézského součinu A B (f A B), že platí: ke každému prvku x množiny A existuje právě jeden prvek y z množiny B takový, že (x, y) f, tj. x A!y B : (x, y) f. V případě, že f A B je zobrazení a množiny A, B jsou číselné množiny (nebo aspoň množina B), používáme často místo pojmu zobrazení pojem funkce. Například zobrazení množiny A do množiny B, kde A R, B = R nazýváme reálnou funkcí jedné reálné proměnné, A R R, B = R nazýváme reálnou funkcí dvou reálných proměnných, A = N, B = R nazýváme posloupností reálných čísel. 1.8 Co je třeba znát z této kapitoly Pojmy k zapamatování výrok kvantifikátor horní a dolní závora množiny maximum a minimum množiny supremum a infimum množiny ohraničená množina axiom (A13) o supremu kartézský součin zobrazení Kontrolní otázky (1) Co se rozumí výrokem a jeho pravdivostní hodnotou? (2) Jaký výrok nazýváme hypotézou? (3) Které jsou základní logické spojky? (4) Jak lze z výrokové formy vytvořit výrok? (5) Udejte příklad množiny M R, jejíž supremum v R neexistuje. (6) Udejte příklad množiny M takové, že sup M = max M. (7) Objasněte rozdíl mezi množinou racionálních čísel a množinou všech reálných čísel. (8) Platí vždy vztah inf M sup M?

10 10 1. ZÁKLADNÍ POJMY (9) Udejte příklad množiny M takové, že platí inf M = sup M.

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

I. Úvodní pojmy. Obsah

I. Úvodní pojmy. Obsah I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....

Více

Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016

Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Jaromír Kuben Petra Šarmanová Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

1 Matematika jako část logiky

1 Matematika jako část logiky 1 Matematika jako část logiky Matematika, kterou jste se učili na střední škole, byla spíše matematikou praktickou. To znamená, že obsahovala hlavně návody jak počítat s čísly, jak upravovat různé výrazy

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I Fakulta pedagogická, Technická univerzita v Liberci DISKRÉTNÍ MATEMATIKA I Doc. RNDr. Miroslav Koucký, CSc. Prof. RNDr. Bohdan Zelinka, DrSc. Liberec, 4 Obsah Kap. Základní poznatky o množinách 7. Pojem

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

Kvantifikované výroky a jejich negace

Kvantifikované výroky a jejich negace Kvantifikované výroky a jejich negace Gymnázium a Střední odborná škola, Rokycany, Mládežníků 1115 Číslo projektu: Číslo šablony: Název materiálu: Ročník: Identifikace materiálu: CZ.1.07/1.5.00/34.0410

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede

Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy:

Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1 Úvod Nejdříve připomeneme pojmy, které jsou vám známy ze střední školy: 1.1 Elementy matematické logiky Výroky Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme předmětům

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz (tištěná ISBN 978-80-247-7512-8 (elektronická verze ve formátu verze) PDF) Grada Publishing, a.s. 2012 U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o

Více

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model

Databázové systémy. * relační kalkuly. Tomáš Skopal. - relační model Databázové systémy Tomáš Skopal - relační model * relační kalkuly Osnova přednášky relační kalkuly doménový n-ticový Relační kalkuly využití aparátu predikátové logiky 1. řádu pro dotazování rozšíření

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Matematika 1. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 1. RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika RNDr. Vlasta Krupková, CSc. RNDr. Petr Fuchs, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY Matematika Obsah Úvod 9. Elementy matematické logiky......................... 0 Výroky......................................

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika

Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Učitelství 1. stupně ZŠ tématické plány předmětů matematika Povinné předměty: Matematika I aritmetika (KMD/MATE1) 2 Matematika 3 aritmetika s didaktikou (KMD/MATE3) 3 Matematika 5 geometrie (KMD/MATE5)

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics

Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice. Commutative and non-commutative semi-rings in educational mathematics Komutativní a nekomutativní polookruhy ve školské matematice Drahomíra Holubová Resume Polookruhy, které nejsou okruhy, mají významné zastoupení ve školské matematice. Tento příspěvek uvádí příklady komutativních

Více