1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Základní pojmy. 1.1 Množiny"

Transkript

1 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat reálným číslům. Nakonec připomeneme pojmy kartézský součin a zobrazení, čímž se připravíme na další kapitolu. 1.1 Množiny Pojem množiny je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Množinou rozumíme soubor navzájem různých (rozlišitelných) matematických či jiných objektů. Jednotlivé objekty, které do dané množiny patří, se nazývají prvky množiny. Zápis a A znamená, že a je prvkem množiny A, neboli a patří do množiny A. Zápis a A znamená, že a není prvkem množiny A. Prvky množiny dáváme do složených závorek, např. A = {a, b, c}. Nejčastěji bývá množina zadána výčtem prvků nebo pomocí charakteristické vlastnosti prvků, např. B = {x R : 3 x 7}, kde R značí množinu reálných čísel. Pojmy množina, prvek a býti prvkem nějaké množiny patří mezi základní, nejjednodušší, pojmy teorie množin, které se ani nedefinují, ale pomocí nichž se definují ostatní pojmy. Např. rovnost množin nebo pojem podmnožina. Zápis A = znamená, že množina A je prázdná, a zápis A značí, že množina A není rovna prázdné množině, tj. obsahuje alespoň jeden prvek. Je tedy neprázdná. Uvědomte si { }. Prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Připomeňte si základní množinové operace sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk. Lze odvodit řadu početních pravidel pro operace s množinami jako komutativní, asociativní a distributivní zákony, taky de Morganovy zákony. Speciálními případy množin jsou tzv. číselné množiny. To jsou množiny, jejichž prvky jsou čísla. Protože budeme v matematické analýze pracovat téměř výhradně s číselnými množinami, připomeneme nyní některá standartní označení číselných množin, známá již ze střední školy. Dále značíme N = {1, 2, 3,...} Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Q = { p q : p Z, q N} R I = R\Q C R + = {x R : x > 0} = {x R : x 0} R + 0 množina přirozených čísel, množina celých čísel, množina racionálních čísel, množina reálných čísel, množina iracionálních čísel, množina komplexních čísel. množina kladných reálných čísel, množina kladných reálných čísel včetně nuly 1

2 2 1. ZÁKLADNÍ POJMY a podobně N 0, R, R 0, Q+, Q + 0, Q, Q 0, Z+, Z + 0, Z, Z 0. Poznámka 1.1. (1) Platí N Z Q R. (2) Racionální čísla mají buď ukončený desetinný rozvoj (např. 3 4 = 0.75) nebo neukončený periodický desetinný rozvoj (např = 2.09 = nebo 30 = 1.23 = ). (3) Čísla iracionální mají neukončený neperiodický desetinný rozvoj (např. π, 2, 3 5). Množinou reálných čísel se budeme podrobněji zabývat v dalším textu. Ještě předtím si připomeneme základní pojmy z výrokové logiky. 1.2 Výroky a operace s výroky Matematická logika je disciplína, která se věnuje jazyku matematiky, logické výstavbě matematických teorií, dokazování matematických vět atd. Základním pojmem matematické logiky je výrok. Výrokem nazýváme jakékoliv tvrzení, o němž lze rozhodnout, zda je pravdivé nebo nepravdivé (nastává právě jedna z těchto možností). Výroky, o kterých není dosud známo, zda jsou pravdivé nebo nepravdivé, avšak jedna z těchto možností musí nastat, se nazývají hypotézy. Příklad 1.2. Tvrzení, která jsou výroky: Venku svítí slunce. Číslo 3 je liché. Dnes je středa. Věty, které nejsou výroky: Číslo x je sudé. Přednáška z matematiky. Kdo má rád matematiku? Toto není pravda. Tato věta je pravdivá, právě tehdy, když není pravdivá. Vzhledem k tomu, že nemůže něco platit a zároveň neplatit, tzv. princip vyloučení třetího, se nejedná o výrok. U každého výroku nás bude zajímat, zda je pravdivý nebo nepravdivý. Je-li výrok pravdivý, přiřadíme mu hodnotu 1, je-li nepravdivý, přiřadíme hodnotu 0. Tyto hodnoty se nazývají pravdivostní hodnoty. Jsou-li p, q výroky můžeme z nich pomocí logických spojek negace, konjunkce, disjunkce, implikace a ekvivalence tvořit nové, tzv. složené výroky. Definice 1.3. Nechť p, q jsou výroky. (1) Negací výroku p (značíme p nebo non p) rozumíme výrok, který je pravdivý, právě když je výrok p nepravdivý. (2) Konjunkcí výroků p, q (značíme p q) rozumíme výrok, který je pravdivý, právě když jsou pravdivé oba výroky p, q (platí p a zároveň q). (3) Disjunkcí výroků p, q (značíme p q) rozumíme výrok, který je pravdivý, právě když je pravdivý alespoň jeden z výroků p, q (platí p nebo q). (4) Implikací výroků p, q (značíme p q) rozumíme výrok, který je pravdivý ve všech případech s vyjímkou případu, že výrok p je pravdivý a výrok q nepravdivý. Říkáme, že výrok p implikuje výrok q nebo z p plyne q nebo platí-li p, pak platí q. (5) Ekvivalencí výroků p, q (značíme p q) rozumíme výrok, který je pravdivý, právě když jsou oba výroky zároveň pravdivé nebo zároveň nepravdivé. Říkáme, že výrok p je ekvivalentní s výrokem q nebo p platí právě, když platí q.

3 1. VÝROKY A OPERACE S VÝROKY 3 U implikace lze vycházet z nepravdivého výroku. Pak ať tvrdíme cokoliv, je výsledná implikace pravdivá. Například výrok Jestliže číslo 5 je sudé, pak číslo 2 je záporné je pravdivý. Pro přehled si uveďme tabulku pravdivostních hodnot pro výroky získané z původních výroků negací, konjunkcí, disjunkcí, implikací a ekvivalencí. p q p p q p q p q p q Ukažme si nyní, jak lze negovat složené výroky. ( A) A, (A B) ( A) ( B), (A B) ( A) ( B), (A B) A ( B), (A B) [(A B) (B A)] [(A B) (B A)]. Doposud jsme mluvili o výrocích, tj. o tvrzeních, o nichž lze rozhodnout, zda jsou pravdivá nebo nepravdivá. Např. tvrzení číslo x je sudé není výrok. Dosadíme-li za x konkrétní hodnoty, konstanty, pak už dostaneme výrok. Obecně, jestliže se nějaké tvrzení stane výrokem, dosadíme-li za proměnné konkrétní hodnoty, nazýváme takové tvrzení výrokovou formou. Výroková forma o jedné proměnné x se značí V (x), výroková forma o n proměnných x 1, x 2,..., x n se značí V (x 1, x 2,..., x n ). Např. výroková forma číslo x je sudé se stane výrokem, dosadíme-li za x konkrétní hodnotu: číslo 5 je sudé. Zde se jedná o nepravdivý výrok. Dosazení konstant za proměnné do výrokové formy není jediným způsobem, jak z ní vytvořit výroky. Další možností je vázat proměnné pomocí slovních vazeb, které nazýváme kvantifikátory. (1) Kvantifikátor obecný (značíme symbolem ) je vazba pro všechna nebo pro každé. (2) Kvantifikátor existenční (značíme symbolem ) je vazba existuje (alespoň jeden). (3) Kvantifikátor jednoznačné existence (značíme symbolem!) je vazba existuje právě jeden. Nechť V (x) je výroková forma proměnné x. Pak pomocí zmíněných kvantifikátorů lze tvořit následující typy kvantifikovaných výroků. x A : V (x) čteme: pro každé x z množiny A platí V (x). Někdy také zapisujeme ve tvaru x A V (x) a čteme: je-li x z množiny A, pak platí V (x). x A : V (x) čteme: existuje (alespoň jeden) prvek z množiny A takový, že platí V (x).! x A : V (x) čteme: existuje právě jeden prvek x z množiny A takový, že platí V (x). V prvním případě mluvíme o obecném výroku, v druhém o existenčním výroku a poslední případ se nazývá výrok o existenci a jednoznačnosti. Příklad 1.4. Určete, zda jsou následující výroky pravdivé nebo nepravdivé: 1. x R : x 2 0, 2. x R + : x 2 x 0, 3. n N : n < 2, 4.! x R : x 2 = 16, 5.! n N : n 2 = 16.

4 4 1. ZÁKLADNÍ POJMY Chceme-li tvořit výroky pomocí kvantifikátorů z výrokové formy více proměnných, musíme přiřadit kvantifikátor každé proměnné. Např. výrok x N y N : x y je nepravdivý výrok, protože např. pro x = 3 a y = 5 neplatí. Uvažujme výrok x A : V (x), tj. pro každé x z množiny A platí V (x). Negováním dostáváme: Není pravda, že pro všechny prvky x A je splněna V (x), tj. existuje alespoň jeden prvek x A, pro který neplatí V (x). Tedy ( x A : V (x)) x A : V (x). Uvažujme výrok: x A : V (x), tj. existuje x z množiny A, pro který platí V (x). Negováním dostáváme: Není pravda, že existuje x z množiny A, pro který platí V (x), tj. pro žádný prvek x A neplatí V (x). Tedy ( x A : V (x)) x A : V (x). Vidíme tedy, že negaci kvantifikovaných výtoků provádíme záměnou kvantifikátorů a negací výrokové formy. A to i u kvantifikovaných výroků vytvořených z výrokové formy o více proměnných. Vyjádření s kvantifikátory a logickými spojkami se nepoužívá pouze v matematice. Např. v relačních databázových systémech je takové vyjádření potřebné pro formulování dotazů v dotazovacích jazycích, jako je např. SQL. 1.3 Reálná čísla V matematické analýze budeme nejčastěji pracovat s množinou reálných čísel a jejími podmnožinami. Proto si nyní tento pojem upřesníme. Na střední škole se vychází z geometrické interpretace reálného čísla. To znamená, že reálná čísla ztotožňujeme s body na přímce (číselné reálné ose). Ne vždy si s tímto pojetím reálných čísel vystačíme. Existují dvě možnosti, jak reálná čísla vybudovat. První možnost je založena na postupném vybudování přirozených čísel, pak celých čísel, dále racionálních a z nich pak čísel reálných. Tato cesta je zdlouhavá a technicky náročná. Druhá možnost je zavést reálná čísla axiomaticky, tedy výčtem základních vlastností, které daný objekt jednoznačně určují. Axiom je to, co se bere za pravdu a nedokazuje se. Uvedeme třináct axiomů, na jejichž základě pak můžeme odvodit všechny vlastnosti reálných čísel, se kterými běžně pracujeme. Množinou reálných čísel R rozumíme množinu, na které jsou definovány operace sčítání (+) a násobení ( ), relace uspořádání (<) a platí následující podmínky pro operaci sčítání (A1) a, b R: a + b = b + a; (A2) a, b, c R: a + (b + c) = (a + b) + c; (A3) 0 R a R: a + 0 = a nulový prvek; (A4) a R a R: a + ( a) = 0 opačný prvek, pro operaci násobení (A5) a, b R: a b = b a; (A6) a, b, c R: a (b c) = (a b) c; (A7) 1 R a R: a 1 = a jednotkový prvek; (A8) a R\{0} a 1 R: a a 1 = 1 inverzní prvek, distributivní zákon (A9) a, b, c R: a (b + c) = a b + a c. Dále definujeme relaci uspořádání menší (<) (A10) a, b R nastává právě jeden z případů: a < b, a = b, b < a; (A11) a, b, c R: (a < b) (b < c) a < c;

5 1. ROZšÍŘENÁ MNODINA REÁLNÝCH ČÍSEL 5 (A12) a, b, c R: a < b a + c < b + c, (a < b) (0 < c) a c < b c. Pro úplnost nadefinujeme ještě relaci menší nebo rovno ( ): Pro každé a, b R platí a b právě tehdy, když a < b nebo a = b. Zbývá uvést poslední, třináctý, axiom, který odliší reálná čísla od racionálních. Zvolíme formulaci pomocí pojmů supremum a ohraničená množina, které jsme zatím nedefinovali. Po objasnění těchto pojmů se k axiomu vrátíme. (A13) Každá neprázdná shora ohraničená množina M R má v R supremum. 1.4 Rozšířená množina reálných čísel Přidáme-li k množině R dva nové prvky, a to + a, mluvíme o rozšířené množině reálných čísel a značíme-ji R, tj. R = R {, + }. S + a pracujeme do jisté míry jako s reálnými čísli. Pro uspořádání platí Pro každé x R : < x < +, < +. Dále definujeme v množině R následující operace s + a : Pro x > pro x < + : pro x R + {+ }: x + (+ ) = + + x = +, x + ( ) = + x =, x (+ ) = + x = +, x ( ) = x =, pro x R { }: x (+ ) = + x =, x ( ) = x = +, pro x R x + = x = 0, = + = +. Následující operace nejsou definovány (nelze je provést): + + ( ), + (+ ), 0 (± ), (± ) 0, ± ±, x 0, x R Podmnožiny množiny R Všechny známé číselné množiny jako jsou N, Z, Q, I, R jsou podmnožinami R. Dalšími důležitými podmnožinami jsou intervaly.

6 6 1. ZÁKLADNÍ POJMY Definice 1.5. Nechť a, b R, a < b. Pak (1) Uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množinu a, b = {x R : a x b}, (2) otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množimu (a, b) = {x R : a < x < b}, (3) zleva uzavřeným a zprava otevřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množimu a, b) = {x R : a x < b}, (4) zleva otevřeným a zprava uzavřeným intervalem s krajními body a a b rozumíme množimu (a, b = {x R : a < x b}, 1.5 Maximum, minimum, supremum, infimum Definice 1.6. Nechť M R a nechť k, l R. Řekneme, že (1) k je horní závora množiny M, jestliže pro každé x M platí x k. (2) l je dolní závora množiny M, jestliže pro každé x M platí x l. (3) k je maximum množiny M, jestliže k je horní závora množiny M a k M. Píšeme k = max M. (4) l je minimum množiny M, jestliže l je dolní závora množiny M a l M. Píšeme l = min M. Poznámka 1.7. (1) je-li k (resp. l) horní (resp. dolní) závora množiny M, pak také každé číslo k > k (resp. l < l) je horní (resp. dolní) závorou množiny M. (2) Je-li k = max M, je k největším prvkem množiny M, tedy pro každý prvek x M platí x k. (3) Je-li l = min M, je l nejmenším prvkem množiny M, tedy pro každý prvek x M platí x l. Definice 1.8. Nechť M R a nechť U(M) značí množinu všech horních závor a L(M) množinu všech dolních závor množiny M. Nechť s, i R. Řekneme, že (1) s je supremum množiny M (píšeme s = sup M), jestliže s je minimum množiny všech horních závor množiny M, tj. s = min U(M). (2) i je infimum množiny M (píšeme i = inf M), jestliže i je maximum množiny všech dolních závor množiny M, tj. i = max L(M). Poznámka 1.9. (1) Supremum je nejmenší horní závora a infimum největší dolní závora. Pokud supremum resp. infimum existuje, je určeno jednoznačně.

7 1. EXISTENCE SUPREMA 7 (2) Pro každou M R existuje sup M i inf M, zatímco max M a min M někdy existují a někdy ne. Pokud existuje max M, resp. min M, pak platí max M = sup M a min M = inf M. (3) Je-li M, pak platí inf M sup M. Rovnost nastane právě tehdy, je-li množina M jednoprvková. (4) Je-li M =, pak platí inf M > sup M. Protože libovolné číslo x R je jak horní tak dolní závorou prázdné množiny, dostáváme inf = max R = a sup = min R =. 1.6 Existence suprema Věta Každá množina M R má v R supremum. Toto supremum může být buď konečné nebo nekonečné + resp.. Prázdná množina má supremum rovno. Konečnost suprema souvisí s tím, zda je daná množina shora ohraničená, či nikoliv. Definice Nechť M R. (1) Existuje-li konečná horní závora množiny M, pak se množina M nazývá shora ohraničená. (2) Existuje-li konečná dolní závora množiny M, pak se množina M nazývá zdola ohraničená. (3) Množina M se nazývá ohraničená, jestliže je současně ohraničená shora i zdola. První bod z definice znamená, že množina M je shora ohraničená, právě když je supremum konečné číslo nebo. Tedy každá neprázdná shora ohraničená má sup M R. Množina M, která je neprázdná a není shora ohraničená, má supremum sup M = +. Z předchozích úvah je zřejmé, že sup M R právě tehdy, když je M neprázdná shora ohraničená množina. A to je právě axiom (A13) reálných čísel. Ještě jednou si ho připomeňme: (A13) Každá neprázdná shora ohraničená množina M R má v R supremum. Analogicky pro zdola ohraničené množiny. Platí, že inf M R právě tehdy, když je M neprázdná zdola ohraničená množina. Axiom (A13) je jediný axiom, který odlišuje reálná čísla od čísel racionálních. Množina všech racionální čísel Q splňuje také axiomy (A1)-(A12) (v axiomech stačí zaměnit Q za R). Poslední axiom, který platí již pouze pro R, obdařuje R vlastností, která se nazývá úplnost. Populárně řečeno, tento axiom říká, že v R nejsou žádné díry ani mezery. Např. mezi racionálními čísly naleznete díry, které vyplňují iracionální čísla. Lze ukázat, že racinální i iracionální čísla jsou na číselné ose rozložena velmi hustě, tj. mezi každými dvěma, jakkoliv blízkými, různými reálnými čísly leží jak nekonečně mnoho racionálních, tak nekonečně mnoho iracionálních čísel. Axiom (A13) bude mít v dalším výkladu mimořádnou důležitost. Z něj lze dokázat např. existenci libovolných odmocnin z kladných čísel. Abychom například definovali číslo 2, tj. kladné řešení rovnice x 2 = 2, položíme 2 = sup{x Q : x 2 < 2}. Díky tomu, že množinu {x Q : x 2 < 2} bereme jako podmnožinu R (která je navíc neprázdná a shora ohraničená), pak podle axiomu (A13) je zaručena existence suprema. Stačí tedy ukázat, že toto supremum splňuje rovnici x 2 = 2, tj. ( 2) 2 = 2.

8 8 1. ZÁKLADNÍ POJMY Uvědomte si, že {x Q : x 2 < 2} má supremum v R, ale nemá supremum v Q. To je také důvodem toho, proč pracujeme právě s reálnými čísly a ne například s čísly racionálními Obecná mocnina Ukažme si nyní, jak využijeme axiomu (A13) k definici mocniny a r, kde a R +, r R. (1) Pro n N je symbol a n zkráceným zápisem pro součin a } {{ a}. Podobně symbol a n značí n-krát podíl 1/a n. Dále víme, že pro n N, n 2, symbol a 1 n značí n-tou odmocninu z čísla a, n tj. a. Kombinací těchto označení se na střední škole zavádí tzv. mocnina s racionálním exponentem: pro m Z a n N, n 2, je a m n = n a m. Máme tak definován symbol a r pro libovolné racionální číslo r = m/n. Platí: a r a s = a r+s, a r /a s = a r s, (a r ) s = a rs. Dále pro r < s a a > 1 je a r < a s a pro 0 < a < 1 je a r > a s. (2) Nyní pomocí axiomu (A13) rozšíříme definici symbolu a r pro libovolné reálné, tedy i iracionální číslo. Nechť r I, a > 1. Vezmeme množinu A Q všech racionálních čísel s menších než dané číslo r. Množina čísel a s, s A, s racionálními exponenty je shora ohraničená (je-li t > r, t racionální, je a t horní závora). Supremum množiny všech těchto čísel (podle zmíněné věty existuje) označíme a r. Tedy a r = sup{a s : s < r, s Q}. Pro r I, 0 < a < 1 se postupuje obdobně, jen se použije infimum (jestliže se s zvětšuje, pak a s se zmenšuje). Pro takto definované mocniny a r s libovolným reálným mocnitelem r platí stejná početní pravidla jako pro racionální mocnitele. Od této chvíle mají pro nás smysl výrazy 2 π, π 2, ( 2) 3 atd. 1.7 Kartézský součin Na základě pojmu uspořádané dvojice budeme definovat tzv. kartézský součin množin, jenž je jedním ze základních pojmů v celé matematice. Uvidíme, že na pojmu kartézského součinu jsou založeny důležité pojmy zobrazení a funkce. Uspořádaná dojice (x, y) je dvojice prvků x, y, přičemž prvek x je první a y druhý (záleží na pořadí prvků) a zřejmě (x, y) (y, x) pro x y. Tím se uspořádaná dvojice liší od dvouprvkové množiny {x, y}, neboť u množin nezáleží na pořadí prvků. Přesně matematicky definujeme uspořádanou dvojici (x, y) jako množinu, jejímiž prvky jsou jednoprvková množina {x} a dvouprvková množina {x, y}, tj. (x, y) = {{x}, {x, y}}, přičemž jednoprvková množina obsahuje první prvek uspořádané dvojice. Definice Nechť A, B jsou množiny. Kartézským součinem množin A a B nazýváme množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) takových, že x A a y B. Značíme jej A B. Tedy A B = {(x, y) : x A y B} a Příklad Uvažujme množiny A = {1, 2, 3} a B = { 1, 0}. Pak A B = {(1, 1), (1, 0), (2, 1), (2, 0), (3, 1), (3, 0)} B A = {( 1, 1), ( 1, 2), ( 1, 3), (0, 1), (0, 2), (0, 3)}.

9 1. CO JE TŘEBA ZNÁT Z TÉTO KAPITOLY 9 Obecně jsou A B a B A různé množiny. Rovnost nastane právě tehdy, když A = B nebo A = nebo B =. Platí A = A =. Jsou-li A a B číselné množiny, můžeme uspořádanou dvojici (x, y) zobrazit jako bod v rovině. Čísla x a y pak mají význam souřadnic. Tím vlastně zavadíme kartézskou soustavu souřadnic v rovině. Každému bodu roviny odpovídá dvojice reálných čísel, které udávají souřadnice tohoto bodu. Dalším důležitým pojmem je zobrazení. Na střední škole se většinou definuje zobrazení takto: Nechť jsou dány množiny A, B. Předpokládejme, že je dáno pravidlo, podle kterého je každému prvku x z množiny A přiřazen právě jeden prvek y z množiny B. Potom řekneme, že je definováno zobrazení f množiny A do množiny B. Potíž je však v použití nedefinovaného pojmu pravidlo. Nové pojmy lze definovat pouze na základě již dříve definovaných pojmů. Proto je následující definice zobrazení postavena na množinových pojmech. Definice Zobrazením f množiny A do množiny B nazýváme takovou podmnožinu kartézského součinu A B (f A B), že platí: ke každému prvku x množiny A existuje právě jeden prvek y z množiny B takový, že (x, y) f, tj. x A!y B : (x, y) f. V případě, že f A B je zobrazení a množiny A, B jsou číselné množiny (nebo aspoň množina B), používáme často místo pojmu zobrazení pojem funkce. Například zobrazení množiny A do množiny B, kde A R, B = R nazýváme reálnou funkcí jedné reálné proměnné, A R R, B = R nazýváme reálnou funkcí dvou reálných proměnných, A = N, B = R nazýváme posloupností reálných čísel. 1.8 Co je třeba znát z této kapitoly Pojmy k zapamatování výrok kvantifikátor horní a dolní závora množiny maximum a minimum množiny supremum a infimum množiny ohraničená množina axiom (A13) o supremu kartézský součin zobrazení Kontrolní otázky (1) Co se rozumí výrokem a jeho pravdivostní hodnotou? (2) Jaký výrok nazýváme hypotézou? (3) Které jsou základní logické spojky? (4) Jak lze z výrokové formy vytvořit výrok? (5) Udejte příklad množiny M R, jejíž supremum v R neexistuje. (6) Udejte příklad množiny M takové, že sup M = max M. (7) Objasněte rozdíl mezi množinou racionálních čísel a množinou všech reálných čísel. (8) Platí vždy vztah inf M sup M?

10 10 1. ZÁKLADNÍ POJMY (9) Udejte příklad množiny M takové, že platí inf M = sup M.

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016

Jaromír Kuben. Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ Jaromír Kuben Petra Šarmanová Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu

VÝUKOVÝ MATERIÁL. Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632 Číslo projektu VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská 2166, 407 47 Varnsdorf, IČO: 18383874 www.vosassvdf.cz, tel. +420412372632

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Výroková logika dokazatelnost

Výroková logika dokazatelnost Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura

KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 1 Cílem tohoto semináře je efektivní uvedení

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu:

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu: Základní pojmy výrokové logiky Výrok je každé sdělení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Přitom může nastat pouze jedna možnost. Výroky označujeme obvykle velkými písmeny A, B, C Pravdivému

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá.

Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. Výroková logika I Výroková logika se zabývá výroky. (Kdo by to byl řekl. :-)) Výrok je každá oznamovací věta (sdělení), u níž dává smysl, když uvažujeme, zda je buď pravdivá, nebo nepravdivá. U výroku

Více

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé?

Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Fuzzy logika a reálný svět, aneb jsou všechny hromady skutečně malé? Jiří Močkoř University of Ostrava Department of Mathematics Institute for Research and Applications of Fuzzy Modeling 30. dubna 22,

Více

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II.

Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Analytické myšlení TSP MU výroková logika II. Lehký úvod do výrokové logiky pro všechny, kdo se hlásí na Masarykovu univerzitu Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz)

Logický důsledek. Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Logický důsledek Petr Kuchyňka (7765@mail.muni.cz) Úvod P 1 Logický důsledek je hlavním předmětem zájmu logiky. Je to relace mezi premisami a závěry logicky platných úsudků: v logicky platném úsudku závěr

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.3 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 010402 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků. Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce

1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce 1.4.2 Složené výroky konjunkce a disjunkce Předpoklady: 1401 Složené výroky = souvětí, výroky složené z více jednoduchých výroků Výrok: Číslo 5 je sudé a je prvočíslo. Sestavený ze dvou výroků: 1. výrok:

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

4.9.70. Logika a studijní předpoklady

4.9.70. Logika a studijní předpoklady 4.9.70. Logika a studijní předpoklady Seminář je jednoletý, je určen pro studenty posledního ročníku čtyřletého studia, osmiletého studia a sportovní přípravy. Cílem přípravy je orientace ve formální logice,

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda.

Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. m_1_vyrok_priklady 6.5.011 1/9 m_1_vyrok_priklady 6.5.011 /9 Výroková logika (5) 1. Základní pojmy Ke každé větě dopište do závorky, zda věta je pravda, či nepravda. A: Číslo 6 je dělitelné 5-ti. (nepravda)

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první

Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první Lehký úvod do výrokové logiky (nejen pro ty, kteří se připravují na TSP MU) část první PRACOVNÍ VERZE TEXTU, KTERÁ BUDE DÁLE UPRAVOVÁNA TEXT SLOUŽÍ PRO POTŘEBY ÚČASTNÍKŮ EMAILOVÉHO SEMINÁŘE RESENI-TSP.CZ

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Hierarchický databázový model

Hierarchický databázový model 12. Základy relačních databází Když před desítkami let doktor E. F. Codd zavedl pojem relační databáze, pohlíželo se na tabulky jako na relace, se kterými se daly provádět různé operace. Z matematického

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD. Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová

Více

N Z ( N je podmnožinou Z ).

N Z ( N je podmnožinou Z ). ARIP3 v 9 elá čísla, početní výkony s celými čísly Příklady: 1. Určete, za jakých podmínek je rozdíl a b dvou přirozených čísel a, bčíslo přirozené. Zavedeme obor celých čísel - jsou to například čísla:.,-3,

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Diskrétní matematika. Martin Kovár

Diskrétní matematika. Martin Kovár Diskrétní matematika Martin Kovár Tento text byl vytvořen v rámci realizace projektu CZ.1.07/2.2.00/15.0156, Inovace výuky matematických předmětů v rámci studijních programů FEKT a FIT VUT v Brně, realizovaném

Více