7 Obyčejné diferenciální rovnice

Transkript

1 - 9 - Občejé difereciálí rovice 7 Občejé difereciálí rovice 7 Základí ojm Difereciálí rovice Defiice Občejou difereciálí rovicí -tého řádu rozumíme rovici F(,,,, ( ) ) ebo, je-li takzvaě rozřešea vzhledem k ejvšší derivaci, rovici tvaru ( ) ( f,,,, ) Slově řečeo, jedá se o vztah mezi fukcí jedé roměé a jejími derivacemi Řád difereciálí rovice je dá ejvšší derivací, která se v rovici vsktuje Seciálím říadem je difereciálí rovice rvího řádu F,, ebo, je-li rozřešea vzhledem k rví derivaci, f, Příklad Rovice cos je občejou difereciálí rovicí druhého řádu ro ezámou fukci ezávislé roměé Partikulárí řešeí Defiice Řešeím eboli itegrálem (také artikulárím itegrálem ebo itegrálí křivkou) rovice F,, azýváme každou fukci g, která v uvažovaém oboru této rovici idetick vhovuje Uvažovaým oborem je ejčastěji otevřeý iterval I, seciálě ař okolí ějakého bodu ebo celá možia reálých čísel Formulace vhovuje idetick zameá, že o dosazeí řešeí g za do difereciálí rovice dostaeme vztah, který je slě ve všech bodech uvažovaého oboru Řešeí může být dáo také jako imlicití fukce, tz rovicí h,, kd cháeme jako veličiu závislou a ezávislé roměé Řešeí difereciálí rovice rvího řádu f, má geometrický výzam Uvedeou rovicí je dáo tzv směrové ole, které každému bodu, z uvažovaého oboru řiřazuje směrový elemet (krátkou úsečku) se směricí tg Vřešit difereciálí rovici zameá ajít takové křivk, které se v každém svém bodě dotýkají směrového elemetu

2 Základí ojm Obecě vzato emusí mít určitá difereciálí rovice v uvažovaém oboru žádé řešeí, ěkolik řešeí ebo i ekoečě moho řešeí V ri je důležité vědět, zda řešeí vůbec eistuje a je-li (říadě za jakých odmíek) jedozačé O tom hovoří ásledující věta Počátečí odmík Nechť je dáa difereciálí rovice -tého řádu rozřešeá vzhledem k ejvšší derivaci, tj ve tvaru () ( ) f,,,,, a bod P a,b,,b,,b Nechť fukce f, d f d, d f d,, df jsou sojité (jako fukce + ( ) d roměých) v okolí bodu P Pak v určitém okolí bodu a eistuje rávě jedo řešeí g, které slňuje tzv očátečí odmík b, a b,, ( ) a a b Počátečí odmík ředeisují hodotu hledaého řešeí a jeho derivací ve vbraém bodě a Volbou očátečích odmíek si vlastě vbíráme z moha říustých řešeí ouze jedié má lokálí charakter (ojedává o řešeí v okolí bodu a) Silější větu, která b zaručovala eisteci a jedozačost řešeí v celém uvažovaém itervalu I, je možé formulovat ař ro tzv lieárí difereciálí rovice (budou uvede dále) Obecě alezeme-li řešeí určité difereciálí rovice s daými očátečími odmíkami v ějakém okolí bodu a, musíme všetřit, zda je možé toto řešeí rozšířit i mimo toto okolí (ař a celý iterval) a zda je toto rozšířeí jedozačé () Obecější tvar difereciálí rovice, tj F,,,,, oužít elze, rotože ai za uvedeých oměrě řísých odmíek ro fukci F eí zaručea jedozačost řešeí Nalezeé řešeí (v okolí zvoleého bodu a) je dáo volbou očátečích odmíek, tz -ticí hodot b,,b,,b Je ted fukcí volých arametrů Nabízí se otázka, zda je možé formulovat takové řešeí daé difereciálí rovice, ve kterém b vstuovalo ezávislých arametrů (kostat ezávislých a roměé ), jejichž vhodou volbou b toto řešeí řešlo v řešeí vhovující kokrétí očátečí odmíce Obecé řešeí Defiice Nechť je (+)-rozměrá oblast složeá z takových bodů P a,b,,b,,b, ro které má () f,,,, ( ) rávě jedo řešeí Obecým řešeím (obecým itegrá- rovice lem) difereciálí rovice () f,,,, ( ) vzhledem k oblasti rozumíme takovou fukci g,c,c,,c roměé a kostat C,C,,C takovou, že ro každý bod P lze těmto kostatám řiřadit (a to jedozačě) takové číselé hodot, že vziklá g,c,c,,c, je řešeím daé difereciálí rovice a b a b,, ( ) a b fukce roměé, tj s očátečími odmíkami,

3 Občejé difereciálí rovice Řečeo jiak, obecé řešeí (vzhledem k oblasti ) v sobě obsahuje všecha artikulárí řešeí (odovídající očátečím odmíkám P ) a tato artikulárí řešeí z ěj dostaeme vhodou volbou kostat Žádá z kostat C,C,,C v obecém řešeí eí zbtečá, tz elze ji vustit ai sojit s jiou kostatou Pokud b blo možé sížit očet kostat ař ekvivaletí úravou a zavedeím kostat ových, emohlo b jít o obecé řešeí Obecé řešeí blo výše eaktě defiováo ouze ro difereciálí rovici rozřešeou vzhledem k ejvšší derivaci Běžě se termí obecé řešeí (v určité oblasti ) oužívá volěji ro takovou fukci g,c,c,,c, kde vhodou (ale e utě jedozačou) volbou kostat C,C,,C lze slit libovolé očátečí odmík z oblasti Počátečí odmíka, daá ař bodem P a,b,,b,,b, ted může být slěa dvěma či více růzými volbami kostat C,C,,C, kterým odovídají růzá artikulárí řešeí V tomto smslu lze hovořit i o obecém řešeí difereciálí rovice erozřešeé vzhledem k ejvšší derivaci Příklad Obecým itegrálem difereciálí rovice vzhledem k oblasti 3 je fukce Ce Ce Pro libovolé očátečí odmík a b, a b, kde a,b,b (eboli bod a Pa,b,,b, ), stačí vzít C b be, a C b be Dosazeím těchto hodot do obecého 3 3 itegrálu obdržíme artikulárí itegrál b b e b b e 3 ( a), který slňuje ůvodí difereciálí rovici v celém reálém oboru a vhovuje zvoleé očátečí odmíce Sigulárí řešeí V ri se oměrě často objevuje říad, kd kromě obecého řešeí ějaké difereciálí rovice (vzhledem k ějaké oblasti ) eistuje i řešeí, které elze získat z obecého řešeí žádou volbou kostat, ale které slňuje daou difereciálí rovici ro určité očátečí odmík Defiice Sigulárím řešeím (sigulárím itegrálem) difereciálí rovice rozřešeé vzhledem k ejvšší derivaci azýváme takové řešeí (itegrálí křivku) této rovice, v jehož každém bodě je orušea jedozačost, tz každým bodem, tohoto řešeí rochází ještě jié řešeí (itegrálí křivka) Sigulárím řešeím je ař obálka (okud eistuje) arametrického sstému křivek tvořeého obecým řešeím o jedozačosti řešeí eí arušea, ouze v bodech, kterými sigulárí řešeí rochází, ejsou slě ředoklad její latosti V ri idetifikujeme sigulárí řešeí ejčastěji tak, že je (v rotikladu k běžému artikulárímu řešeí) elze získat z obecého řešeí žádou volbou kostat Zobecěí a všech difereciálí rovice je možé ožadavkem, ab každým bodem sigulárího řešeí rocházelo jié řešeí (itegrálí křivka) se stejou tečou

4 Vbraé difereciálí rovice rvího řádu Vbraé difereciálí rovice rvího řádu Podobě jako eeistuje obecý algoritmus ro výočet itegrálů, eeistuje ai obecý ávod ro řešeí difereciálích rovic, a to dokoce ai v říadě, kd se omezíme ouze a difereciálí rovice rvího řádu Jsou totiž také difereciálí rovice, které elze řešit aaltick (řeší se ař umerick, omocí fukčích řad aod) Řešeí rozličých tů difereciálích rovic se dá alézt v ejrůzějších říručkách a moografiích, a to buď ve formě určité (zravidla itegrálí) formule, ebo výočetího algoritmu V této kaitole je odáo řešeí vbraých základích tů difereciálích rovic rvího řádu rozřešeých vzhledem k rví derivaci Rovice tu f Za ředokladu, že fukce f je ve všetřovaém oboru sojitá, má uvedeá rovice obecý itegrál f d Itegračí kostata je zahruta v eurčitém itegrálu Partikulárí itegrál vhovující očátečí odmíce je f t t Na ravé straě osledí rovice se jedá o itegrál jako fukci horí meze d Rovice tu f Za ředokladu, že fukce f je ve všetřovaém oboru sojitá a růzá od ul, řešíme d rovici řesáím a tvar, čímž uvedeou rovici řevedeme a rovici ředcho- d f zího tu ro fukci d f a artikulárím itegrálem dt f t Obecým itegrálem je tudíž Rovice tu f (searovatelá) g Je-li fukce f sojitá v itervalu a,b a fukce g sojitá a růzá od ul v itervalu c,d, ak uvedeá rovice má v oblasti a,b c,d obecý itegrál f d g d Partikulárí itegrál rocházející bodem, f t dt g s ds je dá rovicí Teto t difereciálí rovice v sobě zahruje oba dva ředchozí t jako seciálí říad Název této rovice souvisí s tím, že ji řešíme tzv searací roměých, tj jejich odděleím a jedotlivé stra rovice

5 Občejé difereciálí rovice Rovice tu f (homogeí) ve všetřovaém oboru Řešíme zavedeím ové fukce z Předokládá se eboli z Derivováím osledí rovice odle dostaeme vztah z z Dosadíme-li uvedeé výraz za a do ůvodí rovice, dostaeme difereciálí rovici f z z Najdeme-li její řešeí z z f z, kterou jedoduše uravíme a rovici se searovaými roměými z z z, je řešeím ůvodí rovice fukce Termí homogeí v ázvu rovice zameá, že a ravé straě se jedá o tzv homogeí fukci (ultého s stuě) Přiomeňme, že fukce f, se azývá homogeí s-tého stuě, latí-li f t,t t f, b c Na homogeí rovici lze řevést rovici tak, že se vhodou substitucí u A, bc v B zbavíme absolutích čleů c, c Rovice tu a b (lieárí) a, b sojité v určitém itervalu, eistuje v tomto itervalu rávě jedo Jsou-li fukce řešeí slňující daou očátečí odmíku Postu alezeí tohoto řešeí je ásledující Nejrve řešíme rovici bez ravé stra, tzv homogeí rovici (ezaměňovat s ázvem ředchozí difereciálí rovice!) a Tato rovice se řeší searací roměých: d d a l K a d K e Ce, C d d Obecý itegrál ůvodí rovice (ehomogeí, s ravou straou) dostaeme tzv metodou variace kostat Předokládáme, že řešeí ehomogeí rovice má stejý tvar jako řešeí homogeí rovice, avšak itegračí kostatu ovažujeme za fukci roměé : d C e Teto výraz derivujeme odle a dosadíme do ůvodí rovice: a d a d a d a d C e C a e a C e b C e b C, jejímž řeše- Dostaeme difereciálí rovici se searovaými roměými ro fukci ím je d C b e d Dosazeím do ředokládaého řešeí ehomogeí rovice d obdržíme akoec obecý itegrál ve tvaru d e b e d K

6 Vbraé difereciálí rovice rvího řádu Eaktí rovice Defiice Je dáa rovice f,, kde fukce f,, g, g, mají v určité oblasti sojité derivace rvího řádu Rovici lze sado řevést a difereciálí formu f, dg, d Pokud je levá straa osledí rovice v totálím difereciálem ějaké fukce F,, jedá se o tzv eaktí rovici Obecý itegrál eaktí rovice je dá rovicí F, defiici) Ab výraz d C (výzam smbolů viz v ředchozí f, g, d bl totálím difereciálem, musí v latit rovost Vlastí řešeí robíhá tak, že ejrve ověříme, zda latí rovost f g f g, a okud ao, alezeme fukci F, Tato fukce je s fukcemi f, a g, svázáa vztah f, g, F,, odkud F, f,d C a F, g,d C F, Pokud rovice eí eaktí, můžeme se okusit ajít takovou fukci m,, zvaou itegračí faktor, ab rovice m, f,d m,g,d bla eaktí Najít itegračí faktor eí obecě mf mg sadé, rotože musíme řešit arciálí difereciálí rovici Dá se však sado ukázat, že f g f g okud je výraz, res, fukcí ouze roměé, res, je také itegračí faktor fukcí g f f g f g dlm dlm ouze, res, a alezeme jej řešeím rovice, res d g d f a Rovice tu f,, kde jsme zavedli arametr Derivací odle a oětým dosazeím arametru za obdržíme rovici f f d d a o úravě f, d d f, Rovici řeíšeme a tvar f,

7 Občejé difereciálí rovice rozřešeá vzhledem k derivaci Na- Toto je rovice rvího řádu ro ezámou fukci lezeme-li její obecý itegrál g, C, dosazeím do ůvodí rovice obdržíme její f,g,c obecé řešeí Jedá se o rovici erozřešeou vzhledem k rví derivaci Lze také ejrve derivovat výchozí rovici odle, čímž dostaeme rovici druhého řádu f, f,, ve které evstuuje, a terve do této rovice dosadit za, čímž dosáheme sížeí jejího řádu Zajímavý momet astává v okamžiku, kd již máme řešeí g,c Místo dosazeí do ůvodí rovice se abízí také možost vrátit se k a řešit úlohu g,c Tím bchom však dostali řešeí rovice druhého řádu uvedeé v ředchozím bodě této ozámk (se dvěma itegračími kostatami), což eí aším úkolem Seciálím říadem je rovice zvaá Clairautova (čteme klerotova ) Výše uvedeým ostuem sado zjistíme, že její obecé řešeí má tvar C C, a avíc objevíme, že eistuje i další, sigulárí řešeí, které vhovuje rovici d d Rovice tu f, Tuto rovici řešíme obdobě jako ředchozí t Zavedeím arametru a derivací rovice odle (ozor, e odle ) obdržíme rovici rvího řádu d f f d d d ro ezámou fukci, kterou oět můžeme jedoduše řevést a rovici f, d d f, rozřešeou vzhledem k rví derivaci Obecý itegrál této rovice g,c výchozí rovice a obdržíme její obecý itegrál v imlicitím tvaru f,g,c Jedá se o rovici erozřešeou vzhledem k rví derivaci f Stejým zůsobem je možé řešit rovice, res f ředchozích tů dosadíme do, které jsou seciálími říad obou

8 Vbraé difereciálí rovice všších řádů Vbraé difereciálí rovice všších řádů Rovice tu f Řešíme -ásobou oakovaou itegrací odle Příklad Prví itegrací rovice druhého řádu obdržíme rovici f d, její itegrací ak obecé řešeí f d d d f Rovice tu m m F,,,,, kde m Rovici substitucí z Nalezeme-li řešeí této rovice, ak jeho oakovaou itegrací (viz řed- ro fukci chozí t) obdržíme m z řevedeme a rovici m -tého řádu m F,z,z,,z Uvedeý ostu se azývá sížeí řádu difereciálí rovice Seciálí tvar f, a rovici rvého řádu, res F,,, můžeme uvedeým ostuem řevést dokoce Rovice tu f Rovici řevedeme a rovici rvího řádu vásobeím, čímž dostaeme rovici f, a její itegrací odle obdržíme rovici rvího řádu d f O latosti itegrace se můžeme řesvědčit derivací osledí rovice odle 74 Lieárí difereciálí rovice (obecá) Defiice Lieárí difereciálí rovicí -tého řádu rozumíme rovici tvaru a a a f, kde tzv koeficiet a,, a a ravá straa f jsou fukce roměé

9 - - Občejé difereciálí rovice Název je dá skutečostí, že se a levé straě rovice vsktuje lieárí výraz ro ezámou fukci a ro její derivace Obecá lieárí difereciálí rovice je v obecém říadě obtížě řešitelá Níže jsou uvede základí teoretické ozatk, které budou užitečé v ásledující kaitole ro řešeí seciálího tu této rovice, tzv lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet Jestliže fukce a,, a, f jsou sojité v itervalu I, ak eistuje rávě jedo řešeí uvedeé rovice defiovaé v celém itervalu I, které slňuje očátečí odmíku,,,, kde I a čísla,,, jsou libovolá reálá Defiice Rovici a a a azýváme homogeí lieárí difereciálí rovicí říslušou k ůvodí rovici f,, tj rovici bez ravé stra Libovolá lieárí kombiace řešeí homogeí lieárí rovice je také jejím řešeím Důkaz Přímým dosazeím lieárí kombiace řešeí a vužitím liearit derivace Defiice Sstém,,, v itervalu I lieárě ezávislých řešeí homogeí lieárí rovice se azývá fudametálí sstém této rovice Tvoří-li fukce,,, fudametálí sstém homogeí lieárí rovice, ak obecý itegrál této rovice má tvar kde c, c,, c jsou libovolé kostat Záme-li fudametálí sstém itegrál ehomogeí rovice má tvar cc c,,,, cc c, kde c, c,, c jsou libovolé kostat a ehomogeí rovice homogeí rovice, ak obecý je jakékoliv řešeí (artikulárí itegrál) Důkaz Stačí dosadit uvedeé řešeí do ehomogeí rovice a oět vužít její liearit

10 Lieárí difereciálí rovice (obecá) - - Slově řečeo, obecý itegrál ehomogeí rovice je součtem obecého itegrálu rovice homogeí a libovolého artikulárího itegrálu rovice ehomogeí O tom, jak ajít artikulárí itegrál ehomogeí rovice, hovoří ásledující věta (metoda variace kostat) Partikulárí itegrál ehomogeí rovice lze hledat ve tvaru c c c, tj ve tvaru obecého řešeí homogeí rovice, kde však veliči c, c,, c eovažujeme za kostat, ale za ezámé fukce roměé (tzv metoda variace kostat) Dá se dokázat, že fukce je hledaým řešeím rávě tehd, vhovují-li ezámé fukce c soustavě difereciálích rovic rvího řádu c, c,, c c c c c c c c c f Tuto soustavu řešíme obdobým ostuem jako algebraické soustav lieárích rovic (elimiačí metodou, Cramerovým ravidlem aod) Itegrací získaých rvích derivací c, c,, c akoec dostaeme hledaé fukce c, c,, c a ásledě artikulárí řešeí 75 Lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet V této kaitole je robrá samostatě v ri velmi důležitý t difereciálí rovice vššího řádu, totiž lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet, u kterého lze obecě formulovat ostu alezeí obecého řešeí, což je, jak již blo uvedeo, u jiých tů difereciálích rovic všších řádů velmi obtížé ebo emožé Homogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet Defiice Homogeí lieárí difereciálí rovicí s kostatími koeficiet rozumíme rovici a a a, kde koeficiet a, a,, a jsou kostat ezávislé a roměé

11 - - Občejé difereciálí rovice Předokládáme řešeí ve tvaru e Po dosazeí do homogeí rovice a vděleí rovice výrazem e obdržíme tzv charakteristickou rovici a a a, což je algebraická rovice -tého stuě ro ezámou Tato rovice má rávě kořeů,, Mohou astat dva říad: Všech koře jsou avzájem růzé; ak fudametálí sstém homogeí rovice je tvoře fukcemi e, e,, e Je-li ěkterý koře k r-ásobý, ak mu ve fudametálím sstému odovídá r (lieárě ezávislých) fukcí e, e,, e k k r k Předchozí větou je alezeí fudametálího sstému vřešeo až a jede detail Koře charakteristické rovice mohou totiž být obecě komleí, a ak jsou komleí také říslušé fukce fudametálího sstému Pokud racujeme v reálém oboru (a to je áš říad), zajímají ás ředostě reálá řešeí Ukazuje se, že je možé ežádoucí komleí řešeí ahradit reálými Jsou-li totiž kostat a, a,, a reálé, musí (jak le z teorie algebraických rovic) ke každému komleímu kořeu a ib charakteristické rovice eistovat také koře komleě sdružeý a ib, a to stejé a ib ásobosti Místo abchom do fudametálího sstému vzali komleí fukce e a ib, e, oužijeme jejich vhodé lieárí kombiace, a to takové, ab výsledé fukce bl oět ezávislé, a řitom reálé Vzomeeme-li si a Eulerův vzorec z teorie komleích čísel e e cos bi si b, je zřejmé, že ejjedoduš- aib a i i ší je vzít lieárí kombiace ( a b a b ) e e e cos i i b a ( a b a b ) e e e si b Pokud jsou koře i a ib, a ib r-ásobé, vezmeme dále do fudametálího sstému reálé fukce e cos b, e si b,, r r e cos b, e si b Tím je roblém alezeí reálého fudametálího sstému úsěšě uzavře r Nehomogeí lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet Defiice Nehomogeí lieárí difereciálí rovicí s kostatími koeficiet je rovice tvaru a a a f, kde a, a,, a jsou kostat Na ravé straě vstuuje fukce ulové f růzá od fukce Z teorie obecé lieárí difereciálí rovice (viz ředchozí kaitola) víme, že obecý itegrál ehomogeí rovice můžeme sát ve tvaru cc c, kde,,, tvoří fudametálí sstém homogeí rovice, c, c,, c jsou libovolé kostat a je jakékoliv řešeí (artikulárí itegrál) ehomogeí rovice Určit fudametálí sstém homogeí rovice již umíme stejě jako vočítat artikulárí itegrál metodou variace kostat Metoda variace kostat ale eí vžd tou ejrchlejší a ejsazší cestou Pro ěkteré fukce f (tzv seciálí ravé stra) můžeme totiž tvar artikulárího itegrálu ředem určit a ásledě jedoduše doočítat Hovoří o tom ásledující věta

12 Lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet (seciálí ravá straa) Nechť ravá straa lieárí difereciálí rovice s kostatími koeficiet má tvar P, cos f e P b Q si b, Q jsou mohočle obecě růzého, ejvýše však s-tého stuě s reálými kde koeficiet a a, b jsou libovolá reálá čísla Jestliže eí a ib (a ted ai a ib) kořeem charakteristické rovice, ak artikulárí itegrál má tvar R, e R cos b S si b, S jsou (zatím ezámé) mohočle ejvýše s-tého stuě kde Obecěji, je-li a ib (a ted i a ib) r-ásobým kořeem charakteristické rovice, ak artikulárí itegrál má tvar kde R, r e R cos bs si b, S jsou mohočle ejvýše s-tého stuě Fukci f e PcosbQsib azýváme v této souvislosti seciálí ravou straou Uvedeá seciálí ravá straa zahruje širokou třídu fukcí, se kterou v ri obvkle vstačíme Tak ař ro a, b řechází ravá straa v olom P, ro a, b a P dostáváme a ravé straě eoeciálí fukci Q ) dostaeme cos b (res si b ) aod e, ro a, b, P a Q (res P a Z ředchozí ozámk a osledí vět le, že je-li ravá straa ve tvaru olomu, je třeba ři hledáí artikulárího itegrálu všetřit, zda charakteristická rovice emá koře i Pokud je a ravé straě eoeciála a a i, a okud je a ravé straě fukce e, je uté všetřit eisteci kořee cos b ebo si b, je třeba učiit totéž ro hodotu ib ib Pozor a říad, kd je a ravé straě ouze jeda z fukcí cos b, si b Partikulárí itegrál musíme hledat (v souladu s osledí větou) ve tvaru, obsahujícím obě tto goiometrické fukce Provedeme-li srávě určeí tvaru artikulárího řešeí, ak jedié, co zbývá, je doočítat zatím ezámé koeficiet olomů tvar artikulárího itegrálu R a S To rovedeme ásledově: Nejrve dosadíme ředokládaý a jeho otřebé derivace do ůvodí (ehomogeí) rovice za ezámou R a S, kterou ře- a její derivace Obdržíme tak jedu rovici ro ezámé koeficiet olomů šíme tzv metodou eurčitých koeficietů Tato z algebr zámá metoda sočívá v orováí koeficietů u jedotlivých lieárě ezávislých fukcí a obou straách rovice Z rovedeého orováí obdržíme otřebý očet rovic ro jedozačé určeí hledaých koeficietů olomů R a S Výsledý artikulárí itegrál je možé ověřit římým dosazeím do ůvodí (ehomogeí) rovice Jestliže má ravá straa tvar součtu fukcí uvedeého seciálího tvaru (které se od sebe liší růzou hodotou čísel a, res b ), je také artikulárí itegrál součtem říslušých artikulárích itegrálů Tto artikulárí itegrál, říslušé jedotlivým sčítacům a ravé straě, lze hledat každý zvlášť (metodou osaou výše) a výsledk sečíst