9 Viskoelastické modely

Transkript

1 9 Viskoelasické modely Polymerní maeriály se chovají viskoelasicky, j. pod vlivem mechanického namáhání reagují současně jako pevné hookovské láky i jako viskózní newonské kapaliny. Viskoelasické maeriály reagují na deformaci vždy se zpožděním. Pro sanovení viskoelasické odezvy polymerního maeriálu rozlišujeme dva základní ypy experimenů: relaxace napěí v polymeru s časem při konsanní deformaci a eploě: σ ( ) = E( ) ε (9.1) kríp (ečení), kdy sledujeme změnu deformace polymeru v čase při konsanním napěí a eploě: ε ( ) = D( ) σ (9.2) 9.1 Maxwellův model Relaxaci lineárního polymeru lze kvaliaivně popsa pomocí Maxwellova mechanického modelu znázorněného na Obr.9.1, vořeného ocelovou pružinou s modulem pružnosi E (elasická, hookeovská čás) a písem, ve kerém je kapalina s viskoziou η (viskózní, newonská čás). Teno model popisuje případ oku komplikovaného elasiciou. Obr. 9.1: Maxwellův model Před zaížením (čas ) jsou oba komponeny nedeformovány, v klidu. V čase 1, kdy model skokově zaížíme (zdeformujeme), pružina reaguje okamžiě a proahuje se až do rovnovážného savu, kde servává. Zároveň se začne pohybova pís. Po určié době oba prvky

2 vykazují sejnou deformaci úměrnou zaížení. Po uvolnění zaížení ( 2 ) se pružina vrací okamžiě a zcela do původního savu, pís zůsává zdeformovaný. Po deformačním cyklu zůsává lineární polymer čásečně zdeformován. Míra navrácení do původního, nedeformovaného savu závisí na elasické čási, zaímco nevraná deformace je úměrná viskózní čási viskoelasického maeriálu. Celkové smykové napěí je shodné s napěími v obou čásech: σ = σ s = σ d (9.3) Celková deformace se rovná souču jednolivých deformací pružiny (spring - index s) a písu (dashpo - index d): γ + Po dosazení: = γ s γ d (9.4) dγ d = σ s G + σ η d (9.5) Po zavedení důležié viskoelasické veličiny relaxačního času λ = η/g získáme diferenciální rovnici vyjadřující deformaci ohoo modelu: dγ d G = dτ d + τ λ (9.6) V čase se model nachází v klidovém savu - deformace nulová. V čase 1 zavedeme skokově deformaci γ 1, kerá působí až do času 2, kdy přesává bý polymerní maeriál deformován (Obr. 9.2). Pro relaxaci napěí viskoelasického maeriálu jsou okrajové podmínky modelu následující: v čase je σ = v čase 1 je σ = σ, v čase 1 až 2 je σ = σ() Po inegraci vzahu (9.6) a dosazení okrajových podmínek získáme rovnici Maxwellova modelu: λ e σ ( ) = σ (9.7) Průběh napěťové odezvy (relaxace napěí) se edy nachází mezi dvěma mezními případy: relaxační křivkou ideálně elasické pevné láky a relaxační křivkou ideálně viskózní ekuiny. Relaxační čas vyjadřuje poměr mezi viskózní a elasickou čásí. V čase = : e = γ Ge = γ G λ σ ( ) = σ = σ max (9.8) j. maximálního napěí je dosaženo v okamžiku zaížení, ( = v čase = : λ σ ) = σ e = γ G (9.9)

3 edy za nekonečně dlouhou dobu po ukončení působení deformace sysém dokonale zrelaxuje a hodnoa napěí je rovna nule, ( v čase = λ λ 1 σ λ ) = σ e = γ G e = γ G, 368 (9.1) j. v čase, kerý je roven relaxačnímu času, maeriál zrelaxuje na 36,8 % maximálního napěí. Obr. 9.2: Napěťová odezva viskoelasické láky při relaxačním esu 9.2 Kelvinův model Kelvinův model předsavuje paralerní spojení písu a pružiny (Obr. 9.3), kdy přechod pružiny z nedeformovaného savu do deformovaného je brzděn písem. Bržděná konformační elasicia je u polymerů nejvýznamnější deformační děj.

4 Obr. 9.3: Kelvinův model Deformace obou prvků je sejná: γ = = γ s γ d (9.11) Napěí se rovná souču napěí v pružině a písu: σ = σ + σ = G γ + η γ s d (9.12) Diferenciální rovnice ohoo modelu má var: dγ G γ + η = σ (9.13) d V čase se model nachází v klidovém savu - deformace nulová. V čase 1 zavedeme skokově napěí σ, keré působí až do času 2 (Obr. 9.4). Pro krípový experimen jsou okrajové podmínky modelu následující: v čase je γ = v čase 1 až 2 je γ = γ() v čase je 2 je γ = γ

5 Obr. 9.4: Deformační odezva viskoelasické láky při krípovém esu Po inegraci vzahu (9.13) a dosazení okrajových podmínek získáme rovnici Kelvinova modelu: λ γ ( ) = γ 1 e (9.14) kde: λ je relaxační čas určující rychlos přechodu z nedeformovaného vzahu do deformovaného; za relaxační čas dosáhne Kelvinův model 63,2 % rovnovážné deformace γ - liminí (rovnovážná) hodnoa deformace daná pouze vlasnosmi pružiny (γ = τ /G). Zpěný kríp (elasické zoavení) nasává v čase 2, kdy přesane působi deformační síla vyvolávající napěí, j. v čase 2 je napěí rovno a deformace odpovídá liminí (rovnovážné) hodnoě γ. Nyní nás zajímá další vývoj deformace v čase delším než 2 : λ γ ( ) = γ e (9.15) Rychlos poklesu deformace je opě určena relaxačním časem.

6 9.3 Tuckeův model Tuckeův model (Obr. 9.5) může bý použi pro popis deformačního chování lineárního amorfního polymerního maeriálu. Obr. 9.5: Tuckeův model Jedná se o říparamerový model, kde jednolivým paramerům lze přisoudi 3 deformační mechanismy lineárního amorfního polymeru: pružina reprezenuje ideálně elasickou deformaci valenčních úhlů, vazeb a mezimolekulových vzdálenosí, Kelvinův model předsavuje zpožděnou elasickou deformaci polymerních klubek, pís koresponduje s nevraným přesunem klubek (ok).

7 Za předpokladu adiivní deformace lze deformační odezvu při krípovém experimenu vyjádři vzahem: 1 1 / λ 1 γ ( ) = σ +.( 1 e ) + (9.16) G1 G2 η 3 Deformační odezva se skládá z odezev ideálně elasické láky, viskoelasické deformace Kelvinova modelu a ideální viskózní kapaliny, jak znázorňuje schemaicky Obr Obr. 9.6: Kríp a zpěný kríp Tuckeova modelu deformačního chování lineární amorfní polymerní láky Průběh zv. krípového modulu pružnosi vyjádřeného poměrem konsanního napěí a časově závislé deformace zobrazuje Obr. 9.7.

8 Obr. 9.7: Časově závislý modul pružnosi Tuckeova modelu deformačního chování