5 Orientované grafy, Toky v sítích
|
|
|
- Břetislav Novák
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost (jako potrubní nebo počítačové sítě). Základní úlohou v této oblasti je problém nalezení maximálního toku v síti za podmínky respektování daných kapacit hran.
2 Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost (jako potrubní nebo počítačové sítě). Základní úlohou v této oblasti je problém nalezení maximálního toku v síti za podmínky respektování daných kapacit hran. Stručný přehled lekce * Definice a některé základní vlastnosti orientovaných grafů, souvislost. * Sítě s kapacitami hran, hledání maximálního toku a dualita. * Důsledky duality toku; vyšší souvislost, bipartitní párování, SRR.
3 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5. Základní pojmy orientovaných grafů Požadavek explicitně vyjádřit směr hrany přirozeně vede na následující definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů.
4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5. Základní pojmy orientovaných grafů Požadavek explicitně vyjádřit směr hrany přirozeně vede na následující definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů. Definice 5.. Orientovaný graf je uspoř. dvojice D = (V, E), kde E V V.
5 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5. Základní pojmy orientovaných grafů Požadavek explicitně vyjádřit směr hrany přirozeně vede na následující definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů. Definice 5.. Orientovaný graf je uspoř. dvojice D = (V, E), kde E V V. Pojmy podgrafu a isomorfismu se přirozeně přenášejí na orientované grafy.
6 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5. Základní pojmy orientovaných grafů Požadavek explicitně vyjádřit směr hrany přirozeně vede na následující definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů. Definice 5.. Orientovaný graf je uspoř. dvojice D = (V, E), kde E V V. Pojmy podgrafu a isomorfismu se přirozeně přenášejí na orientované grafy. Značení: Hrana (u, v) (zvaná také šipka) v orientovaném grafu D začíná ve vrcholu u a končí ve (míří do) vrcholu v. Opačná hrana (v, u) je různá od (u, v). Speciálně hrana tvaru (u, u) se nazývá orientovaná smyčka.
7 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5. Základní pojmy orientovaných grafů Požadavek explicitně vyjádřit směr hrany přirozeně vede na následující definici orientovaného grafu, ve kterém hrany jsou uspořádané dvojice vrcholů. Definice 5.. Orientovaný graf je uspoř. dvojice D = (V, E), kde E V V. Pojmy podgrafu a isomorfismu se přirozeně přenášejí na orientované grafy. Značení: Hrana (u, v) (zvaná také šipka) v orientovaném grafu D začíná ve vrcholu u a končí ve (míří do) vrcholu v. Opačná hrana (v, u) je různá od (u, v). Speciálně hrana tvaru (u, u) se nazývá orientovaná smyčka. Orientované grafy odpovídají relacím, které nemusí být symetrické.
8 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Orientovaná cesta délky n 0 je následujícím grafem na n + vrcholech n n +
9 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Orientovaná cesta délky n 0 je následujícím grafem na n + vrcholech n n + a orientovaná kružnice (také cyklus) délky n vypadá takto: n...
10 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Orientovaná cesta délky n 0 je následujícím grafem na n + vrcholech n n + a orientovaná kružnice (také cyklus) délky n vypadá takto: n... Definice: Počet hran začínajících ve vrcholu u orientovaného grafu D nazveme výstupním stupněm d + D (u) a počet hran končících v u nazveme vstupním stupněm d D (u). Součet všech výstupních stupňů je přirozeně roven součtu všech vstupních stupňů.
11 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech Uvedeme si odstupňovaně tři základní pohledy na orientovanou souvislost: Slabá souvislost. Jedná se o tradiční souvislost na symetrizaci grafu D (tj. po zapomenutí směru šipek).
12 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech Uvedeme si odstupňovaně tři základní pohledy na orientovanou souvislost: Slabá souvislost. Jedná se o tradiční souvislost na symetrizaci grafu D (tj. po zapomenutí směru šipek). Dosažitelnost (směrem ven ). Orientovaný graf D je dosažitelný směrem ven, pokud v něm existuje vrchol v V (D) takový, že každý vrchol x V (D) je dosažitelný orientovaným sledem z v. v
13 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Podrobným zkoumáním následujícího obrázku zjistíme, že jeho graf není dosažitelný směrem ven, nebot chybí možnost dosáhnout vrchol b úplně vpravo. Na druhou stranu po vypuštění b je zbylý graf dosažitelný ven z vrcholu a vlevo. a b
14 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech, silná Silná souvislost. V nejsilnější verzi vyžadujeme současnou existenci spojení (cest) v obou směrech mezi dvojicí vrcholů. u v
15 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech, silná Silná souvislost. V nejsilnější verzi vyžadujeme současnou existenci spojení (cest) v obou směrech mezi dvojicí vrcholů. u v Tvrzení 5.2. Necht je binární relace na vrcholové množině V (D) orientovaného grafu D taková, že u v právě když existuje dvojice orientovaných cest jedna z u do v a druhá z v do u v grafu D.
16 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech, silná Silná souvislost. V nejsilnější verzi vyžadujeme současnou existenci spojení (cest) v obou směrech mezi dvojicí vrcholů. u v Tvrzení 5.2. Necht je binární relace na vrcholové množině V (D) orientovaného grafu D taková, že u v právě když existuje dvojice orientovaných cest jedna z u do v a druhá z v do u v grafu D. Pak je relace ekvivalence. Definice 5.3. Silné komponenty orientovaného grafu D jsou třídy ekvivalence relace uvedené v Tvrzení 9.2.
17 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Souvislost na orientovaných grafech, silná Silná souvislost. V nejsilnější verzi vyžadujeme současnou existenci spojení (cest) v obou směrech mezi dvojicí vrcholů. u v Tvrzení 5.2. Necht je binární relace na vrcholové množině V (D) orientovaného grafu D taková, že u v právě když existuje dvojice orientovaných cest jedna z u do v a druhá z v do u v grafu D. Pak je relace ekvivalence. Definice 5.3. Silné komponenty orientovaného grafu D jsou třídy ekvivalence relace uvedené v Tvrzení 9.2. Orientovaný graf D je silně souvislý pokud má nejvýše jednu silnou komponentu.
18 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Pro ilustraci si mírně upravíme dříve prezentovaný orientovaný graf tak, že bude dosažitelný z nejlevějšího vrcholu. Je výsledek silně souvislý?
19 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Pro ilustraci si mírně upravíme dříve prezentovaný orientovaný graf tak, že bude dosažitelný z nejlevějšího vrcholu. Je výsledek silně souvislý? Ne, na obrázku jsou vyznačené jeho 4 silné komponenty. Zároveň uvádíme pro ilustraci obrázek kondenzace silných komponent tohoto grafu, což je acyklický orientovaný graf s vrcholy reprezentujícími zmíněné silné komponenty a směry hran mezi nimi.
20 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5.2 Definice sítě a toku Základní strukturou pro reprezentaci sítí je vážený orientovaný graf (přičemž implicitní směr hran je v tomto kontextu nezbytný).
21 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5.2 Definice sítě a toku Základní strukturou pro reprezentaci sítí je vážený orientovaný graf (přičemž implicitní směr hran je v tomto kontextu nezbytný). Definice 5.4. Sít je čtveřice S = (D, z, s, w), kde D je orientovaný graf, vrcholy z V (D), s V (D) jsou zdroj a stok, w : E(D) R + je kladné ohodnocení hran, zvané kapacita hran. z s
22 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5.2 Definice sítě a toku Základní strukturou pro reprezentaci sítí je vážený orientovaný graf (přičemž implicitní směr hran je v tomto kontextu nezbytný). Definice 5.4. Sít je čtveřice S = (D, z, s, w), kde D je orientovaný graf, vrcholy z V (D), s V (D) jsou zdroj a stok, w : E(D) R + je kladné ohodnocení hran, zvané kapacita hran. z s Poznámka: V praxi může být zdrojů a stoků více, ale v definici stačí pouze jeden zdroj a stok, z něhož / do nějž vedou hrany do ostatních zdrojů / stoků. (Dokonce pak různé zdroje a stoky mohou mít své kapacity.)
23 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Velikost toku v síti Značení: Pro jednoduchost píšeme ve výrazech značku e v pro hranu e končící ve vrcholu v a e v pro hranu e začínající z v.
24 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Velikost toku v síti Značení: Pro jednoduchost píšeme ve výrazech značku e v pro hranu e končící ve vrcholu v a e v pro hranu e začínající z v. Definice 5.5. Tok v síti S = (D, z, s, w) je funkce f : E(D) R + 0 e E(D) : 0 f(e) w(e), v V (D), v z, s : f(e) = f(e). e v e v splňující (respektování kapacity) (zachování substance)
25 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Velikost toku v síti Značení: Pro jednoduchost píšeme ve výrazech značku e v pro hranu e končící ve vrcholu v a e v pro hranu e začínající z v. Definice 5.5. Tok v síti S = (D, z, s, w) je funkce f : E(D) R + 0 e E(D) : 0 f(e) w(e), v V (D), v z, s : f(e) = f(e). e v e v Velikost toku f je dána výrazem f = f(e) f(e). e z e z splňující (respektování kapacity) (zachování substance)
26 Velikost toku v síti Značení: Pro jednoduchost píšeme ve výrazech značku e v pro hranu e končící ve vrcholu v a e v pro hranu e začínající z v. Definice 5.5. Tok v síti S = (D, z, s, w) je funkce f : E(D) R + 0 e E(D) : 0 f(e) w(e), v V (D), v z, s : f(e) = f(e). e v splňující (respektování kapacity) Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích e v Velikost toku f je dána výrazem f = f(e) f(e). e z e z (zachování substance) Značení: Tok a kapacitu hran v obrázku sítě budeme zjednodušeně zapisovat ve formátu F/C, kde F je hodnota toku na hraně a C je její kapacita. 2/5 2/4 2/2 z 0/ 3/3 0/3 0/2 0/2 3/5 0/ 3/4 s
27 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5.3 Nalezení maximálního toku Naším úkolem je nalézt co největší přípustný tok v dané síti. Pro jeho nalezení existují jednoduché i velmi rychlé algoritmy. Definice 5.6. Úloha hledání maximálního toku v síti S = (D, z, s, w). Úkolem je v síti S najít tok f ze zdroje z do stoku s podle Definice 9.5 takový, který maximalizuje velikost f.
28 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5.3 Nalezení maximálního toku Naším úkolem je nalézt co největší přípustný tok v dané síti. Pro jeho nalezení existují jednoduché i velmi rychlé algoritmy. Definice 5.6. Úloha hledání maximálního toku v síti S = (D, z, s, w). Úkolem je v síti S najít tok f ze zdroje z do stoku s podle Definice 9.5 takový, který maximalizuje velikost f. Tok velikosti 5 uvedený v ukázce v předchozí části nebyl optimální, nebot v této síti najdeme i tok velikosti 6: 2/5 2/4 2/2 z 0/ 3/3 0/3 0/2 3/5 0/2 0/ 3/4 s
29 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5.3 Nalezení maximálního toku Naším úkolem je nalézt co největší přípustný tok v dané síti. Pro jeho nalezení existují jednoduché i velmi rychlé algoritmy. Definice 5.6. Úloha hledání maximálního toku v síti S = (D, z, s, w). Úkolem je v síti S najít tok f ze zdroje z do stoku s podle Definice 9.5 takový, který maximalizuje velikost f. Tok velikosti 5 uvedený v ukázce v předchozí části nebyl optimální, nebot v této síti najdeme i tok velikosti 6: 2/5 3=2/4 2/2 z 0/ 3/3 =0/3 0/2 0/2 4=3/5 0/ Jak však poznáme, že větší tok již v dané síti neexistuje? 4=3/4 s
30 Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 5.7. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s.
31 Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 5.7. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s. Velikostí řezu X rozumíme součet kapacit hran z X, tj. X = e X w(e). 4 2 z s
32 Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 5.7. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s. Velikostí řezu X rozumíme součet kapacit hran z X, tj. X = e X w(e). 4 2 z 3 C = s
33 Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 5.7. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s. Velikostí řezu X rozumíme součet kapacit hran z X, tj. X = e X w(e). 4 2 z 3 X C = s
34 Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 5.7. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s. Velikostí řezu X rozumíme součet kapacit hran z X, tj. X = e X w(e). 4 2 z 3 C = 5 X C = s
35 Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 5.7. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s. Velikostí řezu X rozumíme součet kapacit hran z X, tj. X = e X w(e). 4 2 z 3 C = 5 X C = s Věta 5.8. Maximální velikost toku v síti je rovna minimální velikosti řezu.
36 Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích Pojem řezu v síti Definice 5.7. Řez v síti S = (D, z, s, w) je podmnožina hran X E(D) taková, že v podgrafu D X (tj. po odebrání hran X z D) nezbude žádná orientovaná cesta ze z do s. Velikostí řezu X rozumíme součet kapacit hran z X, tj. X = e X w(e). 4 2 z 3 C = 5 X C = s Věta 5.8. Maximální velikost toku v síti je rovna minimální velikosti řezu. V uvedeném obrázku nalezneme tok velikosti 5. Vyznačený řez má také velikost 5.
37 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Nenasycené cesty v síti Definice: Mějme sít S a v ní tok f. Nenasycená cesta P (v S vzhledem k f) je neorientovaná cesta v D mezi určenými vrcholy (obvykle ze z do s), tj. posloupnost navazujících libovolně orientovaných hran e, e 2,..., e m,
38 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Nenasycené cesty v síti Definice: Mějme sít S a v ní tok f. Nenasycená cesta P (v S vzhledem k f) je neorientovaná cesta v D mezi určenými vrcholy (obvykle ze z do s), tj. posloupnost navazujících libovolně orientovaných hran e, e 2,..., e m, kde f(e i ) < w(e i ) pro e i ve směru ze z do s a f(e j ) > 0 pro e j jinak. 3/4 /2 / 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0
39 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Nenasycené cesty v síti Definice: Mějme sít S a v ní tok f. Nenasycená cesta P (v S vzhledem k f) je neorientovaná cesta v D mezi určenými vrcholy (obvykle ze z do s), tj. posloupnost navazujících libovolně orientovaných hran e, e 2,..., e m, kde f(e i ) < w(e i ) pro e i ve směru ze z do s a f(e j ) > 0 pro e j jinak. 3/4 /2 / 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0 Hodnotám w(e i ) f(e i ) > 0 pro hrany e i ve směru ze z do s a f(e j ) > 0 pro hrany e j v opačném směru říkáme rezerva kapacity hran. Nenasycená cesta je tudíž cesta s kladnými rezervami kapacit všech hran.
40 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Metoda 5.9. Maximální tok vylepšováním nenasycených cest. Základní myšlenkou této jednoduché metody hledání maximálního toku v dané síti je prostě opakovaně vylepšovat tok podél nalezených nenasycených cest. 3/4 /2 / 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0
41 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Metoda 5.9. Maximální tok vylepšováním nenasycených cest. Základní myšlenkou této jednoduché metody hledání maximálního toku v dané síti je prostě opakovaně vylepšovat tok podél nalezených nenasycených cest. 3/4 /2 / 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0 min. rezerva r = + P z 4/4 2/2 0/ /3 3/4 s
42 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Metoda 5.9. Maximální tok vylepšováním nenasycených cest. Základní myšlenkou této jednoduché metody hledání maximálního toku v dané síti je prostě opakovaně vylepšovat tok podél nalezených nenasycených cest. 3/4 /2 / 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0 min. rezerva r = + P z 4/4 2/2 0/ /3 3/4 s Pro rekapitulaci, náš tok se vylepší následovně; pro hrany e i E(P ) ve směru ze z do s zvýšíme tok na f (e i ) = f(e i ) + r, pro hrany e j E(P ) ve směru ze s do z snížíme tok na f (e j ) = f(e j ) r. Výsledný tok f pak bude opět přípustný.
43 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích z./4./3./2./././4./ Algoritmus 5.0. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.4. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující: Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U../2./4 s
44 z 0/4./4 0/3./3 0/2./2 0/./ 0/./ 0/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích./ 0/ Algoritmus 5.0. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.4. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2./4 0/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s tok = 0
45 z 0/4./4 0/3./3 0/2./2 0/./ 0/./ 0/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích./ 0/ Algoritmus 5.0. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.4. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2./4 0/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 0
46 z 0/4 /4./4 0/3./3 0/2./2 0/./ 0/ /./ 0/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích./ 0/ Algoritmus 5.0. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.4. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 /2./4 0/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 0
47 z 0/4 /4./4 0/3./3 0/2./2 0/./ 0/ /./ 0/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích./ 0/ Algoritmus 5.0. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.4. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 /2./4 0/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 0
48 z 0/4 /4./4 0/3 3/3./3 0/2./2 0/./ 0/ /./ 0/4 3/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích./ 0/ Algoritmus 5.0. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.4. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 /2./4 0/4 3/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 0 4
49 z 0/4 /4./4 0/3 3/3./3 0/2./2 0/./ 0/ /./ 0/4 3/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích./ 0/ Algoritmus 5.0. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.4. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 /2./4 0/4 3/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 0 4
50 z 0/4 /4 2/4./4 0/3 3/3./3 0/2 /2./2 0/./ 0/ /./ 0/4 3/4 4/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích./ 0/ Algoritmus 5.0. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.4. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 /2./4 0/4 3/4 4/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno tok = 0 45
51 z 0/4 /4 2/4./4 0/3 3/3./3 0/2 /2./2 0/./ U / 0/./ 0/4 3/4 4/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích./ 0/ Algoritmus 5.0. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.4. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 /2./4 0/4 3/4 4/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno nasyceno tok = 0 45
52 z 0/4 /4 2/4./4 0/3 3/3./3 0/2 /2./2 0/./ U / 0/./ 0/4 3/4 4/4./4 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích./ 0/ Algoritmus 5.0. Ford Fulkersonův pro tok v síti. Vstup: Sít S = (D, z, s, w) podle Definice 9.4. Tok f (0, 0,... 0). Dále opakujeme následující:./2 0/2 /2./4 0/4 3/4 4/4 Prohledáváním grafu najdeme množinu U vrcholů D, do kterých se dostaneme ze z po nenasycených cestách. Pokud s U, necht P značí nalezenou nenasycenou cestu v S ze z do s. Zvětšíme tok f o minimální rezervu kapacity hran v P. Opakujeme kroky výše, dokud nenastane s U. Výstup: Vypíšeme maximální tok f a také minimální řez jako množinu všech hran vedoucích z U do V (D) U. s nenasyceno nasyceno tok = 0 45
53 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Důkaz správnosti Algoritmu 9.0: Pro každý tok f a každý řez X v síti S platí f X. Jestliže po zastavení algoritmu s tokem f nalezneme v síti S řez o stejné velikosti X = f, je jasné, že jsme našli maximální možný tok v síti S. (Pozor, zastavení algoritmu jsme zatím nezdůvodnili.)
54 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Důkaz správnosti Algoritmu 9.0: Pro každý tok f a každý řez X v síti S platí f X. Jestliže po zastavení algoritmu s tokem f nalezneme v síti S řez o stejné velikosti X = f, je jasné, že jsme našli maximální možný tok v síti S. (Pozor, zastavení algoritmu jsme zatím nezdůvodnili.) Takže dokažme, že po zastavení algoritmu nastane rovnost f = X, kde X je vypsaný řez mezi U a zbytkem grafu D. Vezměme tok f v S bez nenasycené cesty ze z do s. Pak množina U z algoritmu neobsahuje s. U z f(e) = w(e) s f(e) = 0
55 Důkaz správnosti Algoritmu 9.0: Pro každý tok f a každý řez X v síti S platí f X. Jestliže po zastavení algoritmu s tokem f nalezneme v síti S řez o stejné velikosti X = f, je jasné, že jsme našli maximální možný tok v síti S. (Pozor, zastavení algoritmu jsme zatím nezdůvodnili.) Takže dokažme, že po zastavení algoritmu nastane rovnost f = X, kde X je vypsaný řez mezi U a zbytkem grafu D. Vezměme tok f v S bez nenasycené cesty ze z do s. Pak množina U z algoritmu neobsahuje s. U z f(e) = w(e) s f(e) = 0 Nyní má každá hrana e U (odch. z U) plný tok f(e) = w(e) a každá hrana e U (přich. do U) tok f(e) = 0, takže f = e U f(e) e U f(e) = e U f(e) = e X w(e) = X. Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích
56 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Důsledky Ford Fulkersonova algoritmu Z důkazu Algoritmu 9.0 odvodíme několik zajímavých faktů: Pokud Algoritmus 9.0 vždy skončí, dokážeme tím i platnost Věty 9.8.
57 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Důsledky Ford Fulkersonova algoritmu Z důkazu Algoritmu 9.0 odvodíme několik zajímavých faktů: Pokud Algoritmus 9.0 vždy skončí, dokážeme tím i platnost Věty 9.8. Pro celočíselné kapacity hran sítě S Algoritmus 9.0 vždy skončí. 3/4 /2 / 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0
58 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Důsledky Ford Fulkersonova algoritmu Z důkazu Algoritmu 9.0 odvodíme několik zajímavých faktů: Pokud Algoritmus 9.0 vždy skončí, dokážeme tím i platnost Věty 9.8. Pro celočíselné kapacity hran sítě S Algoritmus 9.0 vždy skončí. 3/4 /2 / 2/3 2/4 z s rezerva kapacity: > 0 Pokud jsou kapacity hran sítě S celočíselné, opt. tok také vyjde celočíselně.
59 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5.4 Zobecněné použití sítí 5.4 Zobecněné použití sítí Sítě s kapacitami vrcholů: U sítě můžeme zadat kapacity vrcholů, neboli kapacitní váhová funkce je dána jako w : E(D) V (D) R a b z s a b z s
60 5.4 Zobecněné použití sítí Sítě s kapacitami vrcholů: U sítě můžeme zadat kapacity vrcholů, neboli kapacitní váhová funkce je dána jako w : E(D) V (D) R +. 5 z b 4 z 3 a 2 b 4 a 5 s 5 s Sítě s dolními kapacitami: Pro hrany sítě lze zadat také jejich minimální kapacity, tedy dolní meze přípustného toku, jako váhovou funkci l : E(D) R + 0. l(e) f(e) w(e) Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích
61 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Bipartitní párování Definice: Párování v (nyní bipartitním) grafu G je podmnožina hran M E(G) taková, že žádné dvě hrany z M nesdílejí koncový vrchol.
62 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Bipartitní párování Definice: Párování v (nyní bipartitním) grafu G je podmnožina hran M E(G) taková, že žádné dvě hrany z M nesdílejí koncový vrchol. Metoda 5.2. Nalezení bipartitního párování Pro daný bipartitní graf G s vrcholy rozdělenými do množin A, B sestrojíme sít S následovně: A B z s
63 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Bipartitní párování Definice: Párování v (nyní bipartitním) grafu G je podmnožina hran M E(G) taková, že žádné dvě hrany z M nesdílejí koncový vrchol. Metoda 5.2. Nalezení bipartitního párování Pro daný bipartitní graf G s vrcholy rozdělenými do množin A, B sestrojíme sít S následovně: A B z s Hrany sítě S orientujeme od zdroje do stoku a přiřadíme jim kapacity.
64 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Bipartitní párování Definice: Párování v (nyní bipartitním) grafu G je podmnožina hran M E(G) taková, že žádné dvě hrany z M nesdílejí koncový vrchol. Metoda 5.2. Nalezení bipartitního párování Pro daný bipartitní graf G s vrcholy rozdělenými do množin A, B sestrojíme sít S následovně: A B z s Hrany sítě S orientujeme od zdroje do stoku a přiřadíme jim kapacity. Nyní najdeme (celočíselný) maximální tok v S Algoritmem 9.0. Do párování vložíme ty hrany grafu G, které mají nenulový tok.
65 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Výběr různých reprezentantů Definice: Necht M, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Systémem různých reprezentantů množin M, M 2,..., M k nazýváme takovou posloupnost různých prvků (x, x 2,..., x k ), že x i M i pro i =, 2,..., k.
66 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Výběr různých reprezentantů Definice: Necht M, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Systémem různých reprezentantů množin M, M 2,..., M k nazýváme takovou posloupnost různých prvků (x, x 2,..., x k ), že x i M i pro i =, 2,..., k. Věta 5.3. (Hall) Necht M, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Pro tyto množiny existuje systém různých reprezentantů, právě když platí J {, 2,..., k} : M j J, j J neboli pokud sjednocení libovolné skupiny z těchto množin má alespoň tolik prvků, kolik množin je sjednoceno. Důkaz lze podat konstrukcí vhodné sítě podobné té v Metodě 9.2:
67 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Výběr různých reprezentantů Definice: Necht M, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Systémem různých reprezentantů množin M, M 2,..., M k nazýváme takovou posloupnost různých prvků (x, x 2,..., x k ), že x i M i pro i =, 2,..., k. Věta 5.3. (Hall) Necht M, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Pro tyto množiny existuje systém různých reprezentantů, právě když platí J {, 2,..., k} : M j J, j J neboli pokud sjednocení libovolné skupiny z těchto množin má alespoň tolik prvků, kolik množin je sjednoceno. Důkaz lze podat konstrukcí vhodné sítě podobné té v Metodě 9.2: Použijí se speciální vrcholy u a v odpovídající zdroji a stoku; další vrcholy reprezentují (zleva) množiny a (vpravo) prvky naší úlohy a
68 Petr Hliněný, FI MU Brno, / 9 FI: IB000: Toky v sítích Výběr různých reprezentantů Definice: Necht M, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Systémem různých reprezentantů množin M, M 2,..., M k nazýváme takovou posloupnost různých prvků (x, x 2,..., x k ), že x i M i pro i =, 2,..., k. Věta 5.3. (Hall) Necht M, M 2,..., M k jsou neprázdné množiny. Pro tyto množiny existuje systém různých reprezentantů, právě když platí J {, 2,..., k} : M j J, j J neboli pokud sjednocení libovolné skupiny z těchto množin má alespoň tolik prvků, kolik množin je sjednoceno. Důkaz lze podat konstrukcí vhodné sítě podobné té v Metodě 9.2: Použijí se speciální vrcholy u a v odpovídající zdroji a stoku; další vrcholy reprezentují (zleva) množiny a (vpravo) prvky naší úlohy a ostatní hrany mimo zdrojové a stokové (kapacity ) vždy spojují množinu M j se všemi jejími prvky x i.
4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Kostry. 9. týden. Grafy. Marie Demlová (úpravy Matěj Dostál) 16. dubna 2019
Grafy 16. dubna 2019 Tvrzení. Je dán graf G, pak následující je ekvivalentní. 1 G je strom. 2 Graf G nemá kružnice a přidáme-li ke grafu libovolnou hranu, uzavřeme přesně jednu kružnici. 3 Graf G je souvislý
4 Stromy a les. Definice a základní vlastnosti stromů. Kostry grafů a jejich počet.
4 Stromy a les Jedním ze základních, a patrně nejjednodušším, typem grafů jsou takzvané stromy. Jedná se o souvislé grafy bez kružnic. Přes svou (zdánlivou) jednoduchost mají stromy bohatou strukturu a
Operační výzkum. Síťová analýza. Metoda CPM.
Operační výzkum Síťová analýza. Metoda CPM. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
H {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
= je prostý orientovaný graf., formálně c ( u, v) 0. dva speciální uzly: zdrojový uzel s a cílový uzel t. Dále budeme bez
Síť Síť je čtveřice N = ( G, s, t, c) kde G ( V, A) = je prostý orientovaný graf a každé orientované hraně ( u, v) je přiřazeno nezáporné číslo, které se nazývá kapacita hrany ( u, v), formálně c ( u,
Grafy. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta.
6 RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz http://surynkova.info množina vrcholů a množina hran hrana vždy spojuje
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 5. března 2013 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko) Úloha:
1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus
1. Toky, řezy a Fordův-Fulkersonův algoritmus V této kapitole nadefinujeme toky v sítích, odvodíme základní věty o nich a také Fordův-Fulkersonův algoritmus pro hledání maximálního toku. Také ukážeme,
8 Přednáška z
8 Přednáška z 3 12 2003 Problém minimální kostry: Dostaneme souvislý graf G = (V, E), w : E R + Našim úkolem je nalézt strom (V, E ) tak, aby výraz e E w(e) nabýval minimální hodnoty Řešení - Hladový (greedy)
TOKY V SÍTÍCH II. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze
TOKY V SÍTÍCH II Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 010/011, Lekce 10 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Počátek teorie grafů Leonard Euler (1707 1783) 1735 pobyt v Královci (Prusko), dnes Kaliningrad (Rusko)
Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
III přednáška Toky v sítích
S Dalsi aplikace OOOOOOOO Matematika III - 11. přednáška Toky v sítích Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 11. 2007 O Toky v sítích Q Problém maximálního toku v síti Q Další aplikace
Základy informatiky. Teorie grafů. Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová
Základy informatiky Teorie grafů Zpracoval: Pavel Děrgel Úprava: Daniela Szturcová Obsah přednášky Barvení mapy Teorie grafů Definice Uzly a hrany Typy grafů Cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy
autorovu srdci... Petr Hliněný, FI MU Brno 1 FI: MA010: Průnikové grafy
9 Krátké povídání o průnikových grafech Od této lekce teorie grafů se zaměříme lehce na několik vybraných partíı teorie grafů bĺızkých autorovu srdci... Naším prvním výběrem jsou průnikové grafy, což jsou
07 Základní pojmy teorie grafů
07 Základní pojmy teorie grafů (definice grafu, vlastnosti grafu, charakteristiky uzlů, ohodnocené grafy) Definice grafu množina objektů, mezi kterými existují určité vazby spojující tyto objekty. Uspořádaná
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy
TGH02 - teorie grafů, základní pojmy Jan Březina Technical University of Liberec 28. února 2017 Metainformace materiály: jan.brezina.matfyz.cz/vyuka/tgh (./materialy/crls8.pdf - Introduction to algorithms)
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]
![Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]](/thumbs/25/4817299.jpg "Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]")
Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme
Teorie grafů BR Solutions - Orličky Píta (Orličky 2010) Teorie grafů / 66
Teorie grafů Petr Hanuš (Píta) BR Solutions - Orličky 2010 23.2. 27.2.2010 Píta (Orličky 2010) Teorie grafů 23.2. 27.2.2010 1 / 66 Pojem grafu Graf je abstraktní pojem matematiky a informatiky užitečný
10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
10 Podgrafy, isomorfismus grafů
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 470-2301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 25, 2018) 1 10 Podgrafy, isomorfismus grafů 10.1. Určete v grafu G na obrázku Obrázek 10.1: Graf G. (a) největší
Vrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
Úvod do teorie grafů
Úvod do teorie grafů Neorientovaný graf G = (V,E,I) V množina uzlů (vrcholů) - vertices E množina hran - edges I incidence incidence je zobrazení, buď: funkce: I: E V x V relace: I E V V incidence přiřadí
Stromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
Základy informatiky. 07 Teorie grafů. Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant
Základy informatiky 07 Teorie grafů Kačmařík/Szturcová/Děrgel/Rapant Obsah přednášky barvení mapy teorie grafů definice uzly a hrany typy grafů cesty, cykly, souvislost grafů Barvení mapy Kolik barev je
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
3. Grafy a matice. Definice 3.2. Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A =
3 Grafy a matice Definice 32 Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A = A 11 A 12 0 A 22 kde A 11 a A 22 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1 a 0 je nulová matice, anebo lze-li
Hledáme efektivní řešení úloh na grafu
Hledáme efektivní řešení úloh na grafu Mějme dán graf následující úlohy: G = ( V, E), chceme algoritmicky vyřešit Je daný vrchol t dosažitelný z vrcholu s? Pokud ano, jaká nejkratší cesta tyto vrcholy
VLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5
VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
Výroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
TGH10 - Maximální toky
TGH10 - Maximální toky Jan Březina Technical University of Liberec 23. dubna 2013 - motivace Elektrická sít : Elektrická sít, jednotlivé vodiče mají různou kapacitu (max. proud). Jaký maximální proud může
Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,
[161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p
zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.
Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít
Teorie grafů Jirka Fink
Teorie grafů Jirka Fink Nejprve malý množinový úvod Definice. Množinu {Y; Y X} všech podmnožin množiny X nazýváme potenční množinoumnožiny Xaznačíme2 X. Definice. Množinu {Y; Y X, Y =n}všech n-prvkovýchpodmnožinmnožiny
PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH
PLANARITA A TOKY V SÍTÍCH Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 9 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme
Minimalizace KA - Úvod
Minimalizace KA - Úvod Tyto dva KA A,A2 jsou jazykově ekvivalentní, tzn. že rozpoznávají tentýž jazyk. L(A) = L(A2) Názorně lze vidět, že automat A2 má menší počet stavů než A, tudíž našim cílem bude ukázat
Jan Pavĺık. FSI VUT v Brně 14.5.2010
Princip výškovnice Jan Pavĺık FSI VUT v Brně 14.5.2010 Osnova přednášky 1 Motivace 2 Obecný princip 3 Příklady Světové rekordy Turnajové uspořádání Skupinové hodnocení Rozhledny 4 Geografická výškovnice
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 28. března 2017 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
PQ-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase
-stromy a rozpoznávání intervalových grafů v lineárním čase ermutace s předepsanými intervaly Označme [n] množinu {1, 2,..., n}. Mějme permutaci π = π 1, π 2,..., π n množiny [n]. Řekneme, že množina S
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky
TGH05 - aplikace DFS, průchod do šířky Jan Březina Technical University of Liberec 31. března 2015 Grafová formulace CPM (critical path method) Orientovaný acyklický graf (DAG) je orientovaný graf neobsahující
Množiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT
PEF ČZU Modely teorie grafů, min.kostra, max.tok, CPM, MPM, PERT Okruhy SZB č. 5 Zdroje: Demel, J., Operační výzkum Jablonský J., Operační výzkum Šubrt, T., Langrová, P., Projektové řízení I. a různá internetová
popel, glum & nepil 16/28
Lineární rezoluce další způsob zjemnění rezoluce; místo stromu směřujeme k lineární struktuře důkazu Lineární rezoluční odvození (důkaz) z Ë je posloupnost dvojic ¼ ¼ Ò Ò taková, že Ò ½ a 1. ¼ a všechna
Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu
Vzdálenosti a grafy Vzdálenost uzlů v neorientovaném grafu Je dán neorientovaný neohodnocený graf G = (V,E,I) vzdálenost uzlů u a v v neorientovaném souvislém grafu G je délka nejkratší cesty spojující
Algoritmizace prostorových úloh
INOVACE BAKALÁŘSKÝCH A MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH OBORŮ NA HORNICKO-GEOLOGICKÉ FAKULTĚ VYSOKÉ ŠKOLY BÁŇSKÉ - TECHNICKÉ UNIVERZITY OSTRAVA Algoritmizace prostorových úloh Grafové úlohy Daniela Szturcová Tento
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Metody síťové analýzy
Metody síťové analýzy Řeší problematiku složitých systémů, zejména pak vazby mezi jejich jednotlivými prvky. Vychází z teorie grafů. Základní metody síťové analýzy: CPM (Critical Path Method) deterministický
5 Minimální kostry, Hladový algoritmus
5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho
ORIENTOVANÉ GRAFY, REPREZENTACE GRAFŮ
ORIENTOVANÉ GRAFY, REPREZENTACE GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2/2, Lekce Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme
1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
Analýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28
Analýza Petriho sítí Analýza Petriho sítí p.1/28 1. Základní pojmy Základní problémy analýzy bezpečnost (safeness) omezenost (boundness) konzervativnost (conservation) živost (liveness) Definice 1: Místo
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je
28 [181105-1236 ] 2.7 Další uzávěrové vlastnosti třídy regulárních jazyků Z předchozích přednášek víme, že třída regulárních jazyků je uzavřena na sjednocení, průnik, doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci
Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Rovinné grafy Kostra grafu Minimální kostra Toky v sítích Problém maximálního toku v síti. Stromy a kostry. Michal Bulant
Matematika III 10. přednáška Stromy a kostry Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 1. 12. 20 Obsah přednášky 1 Rovinné grafy Platónská tělesa Barvení map 2 Kostra grafu 3 Minimální kostra
Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů
Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti
1 Nenulové toky. 1.1 Úvod. 1.2 Definice
1 Nenulové toky 1.1 Úvod Naším výchozím bodem bude grafová dualita. Nechť G je graf s daným vnořením v rovině, které určuje jeho duální graf G. V rámci duality si navzájem odpovídají například následující
Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
Grafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
TEORIE GRAFŮ TEORIE GRAFŮ 1
TEORIE GRAFŮ 1 TEORIE GRAFŮ Přednášející: RNDr. Jiří Taufer, CSc. Fakulta dopravní ČVUT v Praze, letní semestr 1998/99 Zpracoval: Radim Perkner, tamtéž, v květnu 1999 ZÁKLADNÍ POJMY Říkáme, že je dán prostý
Obsah prezentace. Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest
Obsah prezentace Základní pojmy v teorii o grafech Úlohy a prohledávání grafů Hledání nejkratších cest 1 Základní pojmy Vrchol grafu: {množina V} Je to styčná vazba v grafu, nazývá se též uzlem, prvkem
Teorie grafů. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Teorie grafů Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Opakování z minulé přednášky Co je to složitostní třída? Jaké složitostní třídy známe? Kde leží hranice mezi problémy řešitelnými
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Definice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský
Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diskrétní matematika študenti MFF 15. augusta 2008 1 16 Diskrétní matematika Požadavky Uspořádané množiny Množinové systémy, párování, párování v bipartitních
4EK311 Operační výzkum. 5. Teorie grafů
4EK311 Operační výzkum 5. Teorie grafů 5. Teorie grafů definice grafu Graf G = uspořádaná dvojice (V, E), kde V označuje množinu n uzlů u 1, u 2,, u n (u i, i = 1, 2,, n) a E označuje množinu hran h ij,
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Grafy. 1. Základní pojmy. 1. Definice grafu. Grafy.nb 1
Grafy.nb 1 1. Základní pojmy Grafy 1. Definice grafu 1.1. Orientovaný graf. Orientovaný graf je trojice G =HV, E, L tvořená konečnou množinou V, konečnou množinou E disjunktní s V a zobrazením : E Ø V
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra Zdeněk Dvořák 10. prosince 2018 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení je dobré obarvení
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Jan Březina. 7. března 2017
TGH03 - stromy, ukládání grafů Jan Březina Technical University of Liberec 7. března 2017 Kružnice - C n V = {1, 2,..., n} E = {{1, 2}, {2, 3},..., {i, i + 1},..., {n 1, n}, {n, 1}} Cesta - P n V = {1,
STROMY. v 7 v 8. v 5. v 2. v 3. Základní pojmy. Řešené příklady 1. příklad. Stromy
STROMY Základní pojmy Strom T je souvislý graf, který neobsahuje jako podgraf kružnici. Strom dále budeme značit T = (V, X). Pro graf, který je stromem platí q = n -, kde q = X a n = V. Pro T mezi každou
Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ
Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran, kde
Kapitola 5 Grafy 5.1 Definice Definice 5.1 Graf G = (V, E) je tvořen množinou vrcholů V a množinou hran E ( V 2), kde ( ) V = {{x, y} : x, y V a x y} 2 je množina všech neuspořádaných dvojic prvků množiny
Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
Regulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:
IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a
Kongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem
1.1 Úvod Algoritmus pro hledání nejkratší cesty orientovaným grafem Naprogramoval jsem v Matlabu funkci, která dokáže určit nejkratší cestu v orientovaném grafu mezi libovolnými dvěma vrcholy. Nastudoval
Přijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
Lineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška desátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle R. Bělohlávek, V. Vychodil: Diskrétní matematika 2, http://phoenix.inf.upol.cz/esf/ucebni/dm2.pdf P. Martinek: Základy teoretické informatiky,
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Teorie grafů. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Teorie grafů študenti MFF 15. augusta 2008 1 17 Teorie grafů Požiadavky Základní pojmy teorie grafů, reprezentace grafu. Stromy a jejich základní vlastnosti,
B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
Grafové algoritmy. Programovací techniky
Grafové algoritmy Programovací techniky Grafy Úvod - Terminologie Graf je datová struktura, skládá se z množiny vrcholů V a množiny hran mezi vrcholy E Počet vrcholů a hran musí být konečný a nesmí být
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Výroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.
Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1
Úvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška