ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE"

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí dvojitých diferencí školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 1 NG1-88 Jan Dolista

2 GPS - výpočet polohy stanice pomocí dvojitých diferencí Zadání: Máte k dispozici observační a navigační soubory formátu RINEX, pořízené pro body 4001, 4003 a V první části úlohy vypočítejte polohu a opravu hodin přijímače referenčního bodu 4004 na základě časových epoch t 1, t 2, t 3 observačního souboru RINEX. Výpočet proveďte zpracováním kódových měření, pracujte s pseudovzdálenostmi získanými v P2-kódu. Polohy družic a opravy družicových hodin určujte na základě příslušného navigačního souboru formátu RINEX (pokud nejsou v daném souboru k dispozici nejbližší dřívější efemeridy - nejbližší nižší čas efemerid, tak použijte nejbližší pozdější). Jako přibližnou polohu bodu 4004 vstupující do vyrovnání použijte přibližné souřadnice přijímače udané v observačním souboru formátu RINEX. V druhé části úlohy vypočítejte polohu připojovaného bodu 4001/4003 relativně k bodu Pracujte opět s pseudovzdálenostmi získanými v P2-kódu ve stejných časových epochách a výpočet proveďte zpracováním dvojitě diferencovaných měření. Při výpočtu berte v úvahu družice společné pro referenční a připojovaný bod. Jako rychlost světla použijte hodnotu c = ms 1, jako geocentrickou gravitační konstantu GM = 398, m 3 s 2 a jako úhlovou rychlost rotace Země ω e = , s 1. Číselné zadání 3: číslo zadání referenční bod připojovaný bod epocha t 1 [s] epocha t 2 [s] epocha t 3 [s] Epochy t 1, t 2, t 3 jsou zadány v sekundách od začátku dne. Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Poloha bodu Načtení měřené pseudovzdálenosti a přibližných souřadnic stanice Jako první byly zadané časy epoch převedeny na hodiny, minuty a vteřiny v rámci daného dne. Pro tyto časy byla z observačního RINEXu vybrána měření na všechny družice NAVSTAR GPS. Pro další zpracování bylo načteno PRN družice a měřená pseudovzdálenost získaná z P2-kódu. Z hlavičky souboru byly převzaty přibližné souřadnice určovaného bodu [X 0, Y 0, Z 0 ]. Pro tento účel byla v programu Octave vytvořena funkce, která pro zadaný observační soubor a čas epochy vrací vektory výše zmíněných hodnot (PRN, pseudovzdálenost a přibližné souřadnice). Funkce ještě vyžaduje pomocný parametr a to rok měření. 1.2 Poloha družice v době vyslání signálu Na základě již načtených pseudovzdáleností byl pro každou z družic určen přibližný čas vyslání signálu: t i1 = t epochy R c, kde t epochy je zadaný čas měření, R měřená pseudovzdálenost a c rychlost světla. Pro tento čas a každou z družic byl v navigačním RINEXu vyhledán záznam s nejbližším nižším časem, pokud takový záznam nebyl nalezen, byl použit nejbližší vyšší čas měření. Pro vyhledání záznamu a výpočet polohy byla opět vytvořena funkce v programu Octave, jejíž vstupní parametry

3 jsou PRN, přibližný čas vyslání signálu, soubor navigačního RINEXu a pomocný parametr rok měření. Funkce po nalezení příslušného záznamu ve tvaru: δ PRN ROK MĚSÍC DEN HODINA MINUTA SEKUNDA δ c c t C rs n M 0 C uc e C uc a T oe C ic l 0 C is I 0 C rc ω 0 Ω I. načte parametry dráhy družice do proměnných a spočte souřadnice družice v systému WGS-84 a chybu hodin. Tyto hodnoty pak vrátí jako výstup Přesný čas vyslání signálu a chyba hodin družice Jako první je pro danou družici určena chyba hodin v přibližném čase vyslání signálu t i1 : Dále je zpřesněn čas vyslání signálu: δ s = δ c + δ c t (t i1 t 0 ) + 2 δ c t 2 (t i1 t 0 ) 2 t 1 = t i1 δ s Vzhledem k malým rozdílům časů t 1 a t i1 již nebyla dále zpřesňována chyba hodin družice. Dalším krokem byl výpočet Keplerovských oskulačních elementů: Střední anomálie Excentrická anomálie M = M 0 + n(t 1 t 0 ) + n(t 1 t 0 ) E = M + e sin E Excentrická anomálie byla určena iteračně, kdy v první iteraci je hodnota excentrické anomálie volena E 0 = M + e sin M. V dalších iteracích je hodnota anomálie dána vztahem E i = M + e sin E i 1. Výpočet je opakován, dokud rozdíl ve dvou po sobě jdoucích iteracích není menší než dvojnásobek přesnosti výpočtu (dáno možnostmi počítače). 2 δ c t Pravá anomálie v = 2atan ( 1 + e tg E ) 1 e Argument šířky u 0 = ω 0 + v ω = ω 0 + C uc cos (2u 0 ) + C us sin (2u 0 ) u = ω + v

4 1.2.6 Průvodič r 0 = a(1 e cos E) r = r 0 + C rc cos (2u) + C rs sin (2u) Po výpočtu argumentu šířky a délky průvodiče byly určeny souřadnice družice v systému, kde oběžná dráha družice je v rovině xy, a osa x směřuje do výstupního uzlu (průsečík dráhy s rovinou rovníku). X S = r cos u sin u Sklon I = I 0 + C ic cos (2u) + C is sin (2u) + I(t 1 t 0 ) Délka výstupního uzlu 1.3 Rotace do WGS l = l 0 + ( Ω ω E )(t 1 t 0 ) T oeω E Posledním krokem výpočtu souřadnic družice je rotace do systému WGS. Ta probíhá ve dvou krocích. Nejprve sklopením kolem osy x o úhel I v matematicky záporném smyslu. Tím je ztotožněna osa z s osou Z systému WGS. Druhým krokem je pak rotace kolem osy Z o úhel l v matematicky záporném smyslu. X WGS = R Z ( l)r X ( I)X S, kde R Z ( l) = cos ( l) sin ( l) 0 sin ( l) cos ( l) R X ( I) = 1.4 Určení polohy bodu vyrovnáním MNČ cos ( I) sin ( I) 0 sin ( I) cos ( I) Pomocí obou funkcí byly získany přibližné souřadnice stanice X R0, Y R0, Z R0 a měřené pseudovzdálenosti RR S na všechny družice dostupné v daných etapách. Ke každé pseudovzdálenosti byly také určeny souřadnice družice v době vyslání signálu X S, Y S, Z S a chyba hodin družice δ s v tomto okamžiku. Pro výpočet vyrovnání byla vytvořena další funkce v programu Octeve, jejímž vstupem je vektor přibližných souřadnic stanice, matice, která na každém řádku obsahuje: PRN RR S XS Y S Z S δ s, posledním vstupem je pak vektor obsahující počty měření v jednotlivých etapách Přibližná geometrická vzdálenost mezi určovaným bodem a družicí Z těchto hodnot lze určit přibližnou geometrickou vzdálenost mezi družicí a stanicí: ρ S R0 = (X R0 X S ) 2 + (Y R0 Y S ) 2 + (Z R0 Z S ) Vektor redukovaných měření Vektor l obsahuje redukovaná měření pro všechny použité družice ve všech třech epochách. Jednotlivé prvky vektoru l jsou určeny l i = ρ S R0 R S R cδ S, kde ρ S R0 je přibližná geometrická vzdálenost, RS R je měřená pseudovzdálenost a δs chyba hodin družice.

5 1.4.3 Derivace funkčního vztahu podle neznámých Měřená pseudovzdálenost je vzhledem k neznámým souřadnicím a chybě hodin přijímače vyjádřena vztahem: ρ S R = (X R X S ) 2 + (Y R Y S ) 2 + (Z R Z S ) 2 + cδ R cδ S Derivace tohoto vztahu podle souřadnic: a S R0 = X R0 X S ρ S R0 b S R0 = Y R0 Y S ρ S R0 c S R0 = Z R0 Z S ρ S R0 Derivace tohoto vztahu podle chyby hodin přijímače: d S R0 = 1 Derivováno bylo podle chyby hodin přijímače násobené rychlostí světla, tento fakt je nutné v dalším výpočtu zohlednit Matice plánu submatice pro 1. epochu: A 1 = a 1 R0 b 1 R0 c 1 R a k R0 b k R0 c k R , kde k je počet družic v 1. epoše submatice pro 2. epochu: A 2 = kde p je počet družic ve 2. epoše submatice pro 3. epochu: A 3 = a 1 R0 b 1 R0 c 1 R a p R0 b p R0 c p R a 1 R0 b 1 R0 c 1 R a q R0 b q R0 c q R ,, kde q je počet družic ve 3. epoše výsledná matice plánu: A = A 1 A 2 A Opravy přibližných hodnot neznámých (vlastní vyrovnání) Opravy přibližných hodnot souřadnic a chyb hodin přijímače byly vypočteny vyrovnáním MNČ. ( 1 dh = A A) T A T l

6 1.4.6 Vyrovnané hodnoty souřadnic bodu a chyb hodin přijímače Vyrovnané hodnoty neznámých se vypočtou přičtením oprav k přibližným hodnotám. Přibližné hodnoty chyb hodin přijímače jsou δ R1 = δ R2 = δ R3 = 0. h = X R0 Y R0 Z R dh Jelikož byla v matici plánu použita derivace podle chyb hodin přijímače násobené rychlostí světla, (cδ R ) bylo nutné opravy chyb hodin přijímače vydělit konstantou c Vektor vyrovnaných měření ( ) T h = X R Y R Z R δ R1 δ R2 δ R2 S využitím vyrovnaných hodnot neznámých byl vypočten vektor vyrovnaných měření l vyr : I. a II. výpočet oprav l vyr i = (X R X S ) 2 + (Y R Y S ) 2 + (Z R Z S ) 2 + cδ R cδ S Opravy byly vypočteny dvakrát. Jednou v rámci vyrovnání a podruhé jako rozdíl pseudovzdáleností vypočtených z vyrovnaných neznámých a měřených pseudovzdáleností. v I = A dh + l v II = l vyr l P2, kde l P2 je vektor obsahující měřené pseudovzdálenosti Porovnání I. a II. výpočtu oprav I. a II. výpočet oprav byly vzájemně porovnány. Jelikož rozdíl řádově 10 6 byl považován za dostatečně malý, nebyla provedena další iterace. 1.5 Charakteristiky přesnosti v I v II Na závěr byly vypočteny charakteristiky přesnosti Aposteriorní střední jednotková chyba v m 0 = T v n m, kde n=k+p+q... počet družic, m=6... počet neznámých. K výpočtu byl použit I. výpočet oprav Kovarianční matice neznámých Q dh = ( ) 1 A T A

7 1.5.3 Střední chyby neznámých m dh = m 0 diag(q dh ) Střední chyby chyb hodin přijímače jsou opět vzhledem k použité derivaci v matici plánu násobeny rychlostí světla c. 1.6 Číselné výsledky pro bod 4004 Přibližné souřadnice určovaného bodu: X 0 = m Y 0 = m Z 0 = m Střední aposteriorní jednotková chyba: m 0 = 4.1 Vyrovnané hodnoty souřadnic a chyb hodin přijímače a jejich střední chyby: X = m m X = 2.6m Y = m m Y = 1.7m Z = m m Z = 2.8m δ R1 = e 07s m δr1 = 9.170e 09s δ R2 = s m δr2 = 9.122e 09s δ R3 = s m δr3 = 9.027e 09s 2 Poloha bodu 4003 Pro výpočet souřadnic bodu 4003 pomocí druhých diferencí byly souřadnice bodu 4004 zafixovány na hodnotách vypočtených v první části úlohy: X 4004 = m Y 4004 = m Z 4004 = m 2.1 Načtení měřené pseudovzdálenosti a přibližných souřadnic stanice Pomocí výše popsané funkce v programu Octave byla z observačních RINEXů pro stanice na bodech 4004 a 4003 načtena měření pro dané časy epoch t 1, t 2, t 3. Použita byla opět kódová měření (P-kód) na nosné vlně L2. Současně byly načteny přibližné souřadnice obou stanic. Jelikož ale pro stanici 4004 jsou již známé přesné souřadnice nejsou přibližné souřadnice potřeba. Souřadnice bodu 4004 jsou určeny se střední chybou 2m a tedy označení přesné je zavádějící, ale pro další výpočet jsou fixovány. 2.2 Poloha družice v době vyslání signálu Pro každé měření byl opět určen přibližný okamžik vyslání signálu: t 1 = t i1 δ s Druhou z již zmíněných funkcí byly pro tento okamžik vypočteny z navigačních RINEXů polohy všech družic, z nichž byl přijat signál a tedy měřena pseudovzdálenost. Vzhledem k rozdílné poloze bodů je měřená pseudovzdálenost na družici se stejným PRN různá a tedy i okamžik vyslání signálu je odlišný. Odlišná je tedy i poloha družice v okamžiku vyslání. Tyto rozdíly v poloze družice dosahují řádově decimetrů, avšak pro další výpočet byly uvažovány. Oproti tomu chod hodin družice dosahuje velmi malých hodnot. Chyba hodin družice v okamžiku vyslání pro bod 4004 se od chyby hodin družice v okamžiku vyslání pro bod 4003 liší řádově o s a lze jí pro oba okamžiky považovat za shodnou, čehož je dále ve výpočtu využito.

8 Z přibližných souřadnic bodu 4003 resp. fixovaných souřadnic bodu 4004 a souřadnic družice byly vypočteny přibližné geometrické vzdálenosti: ρ S = (X X S ) 2 + (Y Y S ) 2 + (Z Z S ) 2 resp. ρ S 4004 = (X 4004 X S ) 2 + (Y 4004 Y S ) 2 + (Z 4004 Z S ) 2 Načtené seznamy družic v každé epoše byly porovnány a pro další výpočet byly použity pouze společné družice resp. měření na ně pro obě stanoviska. 2.3 Výpočet 1. diferencí V dalším kroku byly vypočteny 1. diference měřených pseudovzdáleností: R S 4003,4004 = R S 4004 R S 4003 a zároveň i 1. diference přibližných geometrických vzdáleností: ρ S ,4004 = ρ S 4004 ρ S , kde S je PRN družice společné pro obě stanoviska. Při přechodu na 1. diference dojde k vyloučení chyby hodin družice, neboť je považována za přibližně stejnou pro měření z obou stanovisek, jak bylo uvedeno výše. Dále je odstraněn vliv inosférické refrakce, který lze pro obě stanoviska považovat za stejný (s vysokou přesností) a částečně je vyloučen i vliv troposférické refrakce. Troposférickou refrakci nelze pro oba přijímače považovat za stejnou, neboť největší vliv mají vlastnosti spodní vrstvy atmosféry, tedy podmínky v okolí přijímačů, které se mohou i značně lišit. Podle přibližných souřadnic jsou však oba přijímače velmi blízko sebe (několik metrů) a tedy chyba při považování vlivu troposféry za stejný nebude příliš velká. 2.4 Výpočet 2. diferencí Poté byly vypočteny 2. diference měřených pseudovzdáleností a to odečtením měřené pseudovzdálenosti od jedné referenční (libovolně zvolené): R kl 4003,4004 = R k 4003,4004 R l 4003,4004. Zároveň byly vypočteny i 2. diference přibližných geometrických vzdáleností: ρ kl ,4004 = ρ k ,4004 ρ l ,4004, kde k je PRN referenční družice a l je PRN ostatních družic v epoše. Jako referenční byla zvolena vždy první družice v dané epoše. Přechodem na 2. diference je vyloučena chyba hodin přijímače. 2.5 Matice vah Vzhledem k tomu, že při přechodu na druhé diference je zvolena jedna družice jako referenční, je toto měření ve výpočtu použito vícekrát a měření jsou tedy závislá. Proto je nutné zavést do výpočtu matici vah. Jelikož první diference jsou nezávislé, lze matici vah 1. diferencí považovat za diagonální: P Di = ,

9 Rozměr matice odpovídá počtu 1. diferencí v rámci jedné etapy. Vztah mezi 1. a 2. diferencí lze zapsat pomocí matice F, což je matice derivací funkčního vztahu podle 1. diferencí. Obdobně jako matice plánu při vyrovnání F = , Počet sloupců matice F odpovídá počtu 1. diferencí a počet řádku počtu 2. diferencí, tedy o 1 méně než 1. diferencí. Matice vah 2. diferencí je pak podle zákona přenášení vah: P DDi = ( F ) (P Di ) 1 F T 1 Druhé diference mezi epochami jsou však nezávislé a tak matici vah pro všechny epochy lze sestavit jako diagonální matici, kde na diagonále jsou submatice vah pro jednotlivé etapy a mimo diagonálu 0. P DD = P DD P DD P DD3 2.6 Určení polohy bodu vyrovnáním MNČ Vektor redukovaných měření Vektor l obsahuje redukovaná měření (2. diference). Jednotlivé prvky vektoru l jsou určeny l i = ρ kl ,4004 R kl 4003,4004, kde ρ kl ,4004 je 2. diference přibližné geometrické vzdálenosti a Rkl 4003,4004 je 2. diference měřené pseudovzdálenosti Derivace funkčního vztahu podle neznámých Druhá diference pseudovzdálenosti je vzhledem k neznámým souřadnicím přijímače vyjádřena vztahem: R kl 4003,4004 = (ρ k 4004 ρ l 4004) + ( ρ k ρ l 4003) Derivace tohoto vztahu podle souřadnic určovaného bodu 4003: Matice plánu, a kl 4003 = X X k ρ k + X X l ρ l b kl 4003 = Y Y k ρ k + Y Y l ρ l c kl 4003 = Z Z k ρ k + Z Z l ρ l A = kde n je počet 2. diferencí ve všech epochách. a b c a n 4003 b n 4003 c n 4003,

10 2.6.4 Opravy přibližných hodnot neznámých (vlastní vyrovnání) Opravy přibližných hodnot souřadnic přijímače byly vypočteny vyrovnáním MNČ. ( 1 dx = A T P DD A) A T P DD l Vyrovnané hodnoty souřadnic bodu Vyrovnané hodnoty neznámých se vypočtou přičtením oprav k přibližným hodnotám. X x = Y dx Z Vektor vyrovnaných měření S využitím vyrovnaných hodnot neznámých byl vypočten vektor vyrovnaných měření l vyr : kde ρ S R = l vyr i = (ρ k 4004 ρ l 4004) + ( ρ k ρ l 4003), (X R X S ) 2 + (Y R Y S ) 2 + (Z R Z S ) 2, kde R jsou stanoviska 4004 a 4003 a S je PRN družic. Při výpočtu vyrovnaných měření je nutné zachovat stejné pořadí družic a jako referenční (k) zvolit stejnou družici jako při výpočtu vektoru l I. a II. výpočet oprav Opravy byly vypočteny dvakrát. Jednou v rámci vyrovnání a podruhé jako rozdíl 2. diferencí vypočtených z vyrovnaných neznámých a 2. diferencí měřených pseudovzdáleností. v I = A dh + l v II = l vyr l R, kde l R je vektor obsahující 2. diference měřených pseudovzdáleností Porovnání I. a II. výpočtu oprav I. a II. výpočet oprav byly vzájemně porovnány. Jelikož rozdíl řádově 10 6 byl považován za dostatečně malý, nebyla provedena další iterace. 2.7 Charakteristiky přesnosti v I v II Na závěr byly vypočteny charakteristiky přesnosti Aposteriorní střední jednotková chyba v m 0 = T v n m, kde n... počet 2. diferencí (velikost vektoru l), m=3... počet neznámých. K výpočtu byl použit I. výpočet oprav.

11 2.7.2 Kovarianční matice neznámých ( ) 1 Q dh = A T P DD A Střední chyby neznámých m dh = m Číselné výsledky pro bod 4003 diag(q dh ) Přibližné souřadnice určovaného bodu: X 0 = m Y 0 = m Z 0 = m Střední aposteriorní jednotková chyba: m 0 = 0.65 Vyrovnané hodnoty souřadnic přijímače a jejich střední chyby: X = m m X = 0.41m Y = m m Y = 0.27m Z = m m Z = 0.46m 3 Shrnutí výsledků Poloha bodu 4004: X 4004 = m Y 4004 = m Z 4004 = m m X = 2.6m m Y = 1.7m m Z = 2.8m Poloha bodu 4003: X 4003 = m Y 4003 = m Z 4003 = m m X = 0.41m m Y = 0.27m m Z = 0.46m Závěr: V první části úlohy byly z dat obsažených v observačním a navigačním RINEXu určeny souřadnice bodu K výpočtu byly použity zdrojové kódy pro předchozí dvě úlohy, které byly upraveny tak, aby je bylo možné použít jako funkce. Pro výpočet bylo použito kódové měření a to P-kód na nosné vlně L2. Výsledné souřadnice bodu 4004 jsou určeny s přesností 2-3m. V druhé části úlohy byly určeny souřadnice bodu 4003 a to pomocí dvojitých diferencí. Jako referenční bod byl zvolen bod 4004, jehož souřadnice vypočtené v první části úlohy byly zafixovány. Použitím druhých diferencí byl odstraněn vliv ionosférické refrakce a snížen vliv troposférické refrakce (viz výše). Dále byl eliminován vliv broadcast efemeridů a chyby hodin družice, jejichž střední chyba může být až 1m. Použitím dvojitých diferencí rovněž není potřeba zavádět chybu hodin přijímače jako neznámou do výpočtu, neboť je vyloučena. Při vyrovnání je dosaženo o řád lepší přesnosti výsledných souřadnic. Je však nutné uvážit, že pomocí dvojitých diferencí je určována pouze relativní poloha vůči referenčnímu bodu. Proto i když bylo dosaženo relativní přesnosti v řádu decimetrů, absolutní poloha bodu 4003 je určena se stejnou přesností jako poloha referenčního bodu 4004, tedy 2-3m. To lze demonstrovat porovnáním posunů (dx) obou bodů: X 4003 = 7.297m X 4004 = 7.089m Y 4003 = m Y 4004 = m Z 4003 = 8.910m Z 4004 = 8.764m Tyto posuny jsou v řádech metrů stejné. Tedy do výsledných souřadnic bodu 4003 se plnou měrou promítly souřadnice bodu Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou Jan Dolista

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Geodetická astronomie 3/6 Aplikace keplerovského pohybu

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA MAPOVÁNÍ A KARTOGRAFIE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA MAPOVÁNÍ A KARTOGRAFIE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ, OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA MAPOVÁNÍ A KARTOGRAFIE název předmětu TOPOGRAFICKÁ A TEMATICKÁ KARTOGRAFIE číslo úlohy název úlohy 2 Tvorba tematických

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy

Více

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Hornicko-geologická fakulta Institut geodézie a důlního měřictví GEODÉZIE II

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Hornicko-geologická fakulta Institut geodézie a důlního měřictví GEODÉZIE II Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Hornicko-geologická fakulta Institut geodézie a důlního měřictví Ing. Hana Staňková, Ph.D. Ing. Filip Závada GEODÉZIE II 8. Technologie GNSS Navigační systémy

Více

Global Positioning System

Global Positioning System Písemná příprava na zaměstnání Navigace Global Positioning System Popis systému Charakteristika systému GPS GPS (Global Positioning System) je PNT (Positioning Navigation and Timing) systém vyvinutý primárně

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 14. listopadu 2007 1 Diferenciální 2 Motivace Linearizace Metoda Matematický model Global Positioning System - Diferenciální 24 navigačních satelitů

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Základní jednotky v astronomii

Základní jednotky v astronomii v01.00 Základní jednotky v astronomii Ing. Neliba Vlastimil AK Kladno 2005 Délka - l Slouží pro určení vzdáleností ve vesmíru Základní jednotkou je metr metr je definován jako délka, jež urazí světlo ve

Více

Vypracoval: Ing. Antonín POPELKA. Datum: 30. června 2005. Revize 01

Vypracoval: Ing. Antonín POPELKA. Datum: 30. června 2005. Revize 01 Popis systému Revize 01 Založeno 1990 Vypracoval: Ing. Antonín POPELKA Datum: 30. června 2005 SYSTÉM FÁZOROVÝCH MĚŘENÍ FOTEL Systém FOTEL byl vyvinut pro zjišťování fázových poměrů mezi libovolnými body

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Principy GPS mapování

Principy GPS mapování Principy GPS mapování Irena Smolová GPS GPS = globální družicový navigační systém určení polohy kdekoliv na zemském povrchu, bez ohledu na počasí a na dobu, kdy se provádí měření Vývoj systému GPS původně

Více

GEPRO řešení pro GNSS Leica

GEPRO řešení pro GNSS Leica GEPRO řešení pro GNSS Leica GEPRO spol. s r. o. Ing. Jan Procházka GEPRO řešení pro GNSS Leica GNSS rover» odolný PC tablet s Win 7» GNSS anténa přes bluetooth» až 1 cm přesnost» KOKEŠ, MISYS, PROLAND

Více

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0553 Elektronická podpora zkvalitnění výuky CZ.1.07 Vzděláním pro konkurenceschopnost Projekt je realizován v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurence

Více

TECHNICKÁ ZPRÁVA. Geodetické zaměření Neštěmického potoka Geodetické zaměření Neštěmického potoka v úseku 0-3,632 ř. km.

TECHNICKÁ ZPRÁVA. Geodetické zaměření Neštěmického potoka Geodetické zaměření Neštěmického potoka v úseku 0-3,632 ř. km. TECHNICKÁ ZPRÁVA Číslo zakázky: Název zakázky: Název akce: Obec: Katastrální území: Objednatel: Měření zadal: Geodetické zaměření Neštěmického potoka Geodetické zaměření Neštěmického potoka v úseku 0-3,632

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

České vysoké učení technické v Praze Katedra speciální geodézie DIPLOMOVÁ PRÁCE Společné zpracování měření totální stanicí a GPS 1999 KOUKL Jan

České vysoké učení technické v Praze Katedra speciální geodézie DIPLOMOVÁ PRÁCE Společné zpracování měření totální stanicí a GPS 1999 KOUKL Jan České vysoké učení technické v Praze Katedra speciální geodézie DIPLOMOVÁ PRÁCE Společné zpracování měření totální stanicí a GPS 1999 KOUKL Jan Čestné prohlášení ČESTNÉ PROHLÁŠENÍ "Místopřísežně prohlašuji,

Více

Úvod Příklad Výpočty a grafické znázornění. Filip Habr. České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská

Úvod Příklad Výpočty a grafické znázornění. Filip Habr. České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Neuronové sítě-delta učení Filip Habr České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská 30. března 2009 Obsah prezentace Obsah prezentace Delta učení 1 Teorie k delta učení 2

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Geoinformační technologie

Geoinformační technologie Geoinformační technologie Globáln lní navigační a polohové družicov icové systémy Výukový materiál pro gymnázia a ostatní střední školy Gymnázium, Praha 6, Nad Alejí 1952 Vytvořeno v rámci projektu SIPVZ

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Historie sledování EOP (rotace)

Historie sledování EOP (rotace) Historie sledování EOP (rotace) 1895 IAG > ILS, 7 ZT na 39 s.š., stejné hvězdy, stejné přístroje. 1962 IPMS (Mizusawa, JPN), až 80 přístrojů. FK4, různé metody, různé přístroje, i jižní polokoule. 1921

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda oddělených elementů (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního

Více

GIS ANALÝZA VLIVU DÁLNIČNÍ SÍTĚ NA OKOLNÍ KRAJINU. Veronika Berková 1

GIS ANALÝZA VLIVU DÁLNIČNÍ SÍTĚ NA OKOLNÍ KRAJINU. Veronika Berková 1 GIS ANALÝZA VLIVU DÁLNIČNÍ SÍTĚ NA OKOLNÍ KRAJINU Veronika Berková 1 1 Katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT, Thákurova 7, 166 29, Praha, ČR veronika.berkova@fsv.cvut.cz Abstrakt. Metody

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

ČÁST I DÍL 4 - HLAVA 5 PŘEDPIS L 8168

ČÁST I DÍL 4 - HLAVA 5 PŘEDPIS L 8168 ČÁST I DÍL 4 - HLAVA 5 PŘEDPIS L 8168 HLAVA 5 ÚSEK KONEČNÉHO PŘIBLÍŽENÍ 5.1 VŠEOBECNĚ 5.1.1 Účel Toto je úsek, kde se provádí vyrovnání do směru a klesání na přistání. Konečné přiblížení může být provedeno

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Terestrické 3D skenování

Terestrické 3D skenování Jan Říha, SPŠ zeměměřická www.leica-geosystems.us Laserové skenování Technologie, která zprostředkovává nové možnosti v pořizování geodetických dat a výrazně rozšiřuje jejich využitelnost. Metoda bezkontaktního

Více

EXCELentní tipy a triky pro mírně pokročilé. Martina Litschmannová

EXCELentní tipy a triky pro mírně pokročilé. Martina Litschmannová EXCELentní tipy a triky pro mírně pokročilé Martina Litschmannová Obsah semináře definování názvu dynamicky měněné oblasti, kontingenční tabulky úvod, kontingenční tabulky násobné oblasti sloučení, převod

Více

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10

MODELOVÁNÍ. Základní pojmy. Obecný postup vytváření induktivních modelů. Měřicí a řídicí technika magisterské studium FTOP - přednášky ZS 2009/10 MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

INFORMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

INFORMATIKA vyšší úroveň obtížnosti INFORMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST PRAKTICKÝ SUBTEST ITIVS12C0T01 ILUSTRAČNÍ TEST Maximální bodové hodnocení: 41 bodů Hranice úspěšnosti: % 1 Základní informace k zadání zkoušky Zkouška

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě

SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě SOUHRNNÝ PŘEHLED nově vytvořených / inovovaných materiálů v sadě Název projektu Zlepšení podmínek vzdělávání SZŠ Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0358 Název školy Střední zdravotnická škola, Turnov, 28.

Více

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 2. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 2 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208

III. 4.2.12 Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus. Předpoklady: 4207, 4208 4.. Rychlé určování hodnot funkcí sinus a cosinus Předpoklady: 4, 48 Pedagogická poznámka: Tato kapitola nepřináší nic nového a nemá ekvivalent v klasických učebnicích. Cílem hodiny je uspořádat v hlavách

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 22 úloh. Časový limit pro

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Laserové skenování (1)

Laserové skenování (1) (1) Prohloubení nabídky dalšího vzdělávání v oblasti zeměměřictví a katastru nemovitostí ve Středočeském kraji CZ.1.07/3.2.11/03.0115 Projekt je finančně podpořen Evropským sociálním fondem astátním rozpočtem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy

Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Postup při řešení matematicko-fyzikálně-technické úlohy Michal Kolesa Žádná část této publikace NESMÍ být jakkoliv reprodukována BEZ SOUHLASU autora! Poslední úpravy: 3.7.2010 Úvod Matematicko-fyzikálně-technické

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

Programování jako nástroj porozumění matematice (seriál pro web modernivyuka.cz)

Programování jako nástroj porozumění matematice (seriál pro web modernivyuka.cz) Programování jako nástroj porozumění matematice (seriál pro web modernivyuka.cz) Autor: Radek Vystavěl Díl 8: Analytická geometrie Polární souřadnice, kružnice, elipsa, spirála MATEMATIKA Pro úlohy aplikované

Více

6.16. Geodetické výpočty - GEV

6.16. Geodetické výpočty - GEV 6.16. Geodetické výpočty - GEV Obor: 36-46-M/01 Geodézie a katastr nemovitostí Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 8 Platnost učební osnovy: od 1.9.2010 1) Pojetí vyučovacího

Více

FUNKCE 3. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika

FUNKCE 3. Autor: Mgr. Dana Kaprálová. Datum (období) tvorby: září, říjen 2013. Ročník: sedmý. Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika FUNKCE 3 Autor: Mgr. Dana Kaprálová Datum (období) tvorby: září, říjen 2013 Ročník: sedmý Vzdělávací oblast: Informatika a výpočetní technika 1 Anotace: Žáci se seznámí se základní obsluhou tabulkového

Více

Kartometrická analýza starých map část 2

Kartometrická analýza starých map část 2 Podpora tvorby národní sítě kartografie nové generace Kartometrická analýza starých map část 2 Seminář NeoCartoLink, Olomouc, 29. 11. 2012 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem

Více

KALKULÁTORY EXP LOCAL SIN

KALKULÁTORY EXP LOCAL SIN + = KALKULÁTORY 2014 201 C π EXP LOCAL SIN MU GT ŠKOLNÍ A VĚDECKÉ KALKULÁTORY 104 103 102 Hmotnost: 100 g 401 279 244 EXPONENT EXPONENT EXPONENT 142 mm 170 mm 1 mm 7 mm 0 mm 4 mm Výpočty zlomků Variace,

Více

Ing. Jiří Fejfar, Ph.D. Souřadné systémy

Ing. Jiří Fejfar, Ph.D. Souřadné systémy Ing. Jiří Fejfar, Ph.D. Souřadné systémy SRS (Spatial reference system) CRS (Coordinate Reference system) Kapitola 1: Základní pojmy Základní prostorové pojmy Geografický prostor Prostorové vztahy (geometrie,

Více

1.1 Oslunění vnitřního prostoru

1.1 Oslunění vnitřního prostoru 1.1 Oslunění vnitřního prostoru Úloha 1.1.1 Zadání V rodném městě X slavného fyzika Y má být zřízeno muzeum, připomínající jeho dílo. Na určeném místě v galerii bude umístěna deska s jeho obrazem. V den

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Ovládání programu Měření délky

Ovládání programu Měření délky Ovládání programu Měření délky Program Měření délky je jednoduchý program pro měření rozměrů na fotografii podle předem známého měřítka. Tento program umožňuje zjistit rozměry jednotlivých objektů (velikost

Více

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAHZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAHZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

GoClever Map 2.5 manuál

GoClever Map 2.5 manuál GoClever Map 2.5 manuál Obsah 1. Na dotyku záleží... 4 2. Navádění k lokaci... 5 3. Navigační okno... 7 3.1. Změna nastavení systému navigačního okna... 7 4. Hlavní vlastnosti GoClever Map 2.5... 8 5.

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Automatický optický pyrometr v systémové analýze

Automatický optický pyrometr v systémové analýze ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ K611 ÚSTAV APLIKOVANÉ MATEMATIKY K620 ÚSTAV ŘÍDÍCÍ TECHNIKY A TELEMATIKY Automatický optický pyrometr v systémové analýze Jana Kuklová, 4 70 2009/2010

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Moderní přístrojová technika. Vybrané kapitoly: GNSS

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Moderní přístrojová technika. Vybrané kapitoly: GNSS Moderní přístrojová technika Vybrané kapitoly: GNSS Praha 2014 Ing. Jan Říha 1. Globální navigační satelitní systémy (GNSS)... 3 GPS... 4 GLONASS... 4 GALILEO... 4 Data GNSS... 5 Principy určování polohy...

Více

viagps 3.0 Black edition Uživatelská příručka

viagps 3.0 Black edition Uživatelská příručka viagps 3.0 Black edition Uživatelská příručka Obsah 1. Úvod..... 4 2. Navigace k cíli... 6 3. Navigace... 8 4. Náhled a editace trasy... 9 4.1. Jak změnit cíl cesty nebo přidat průjezdové body... 9 4.2.

Více

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry 18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry Digitální voltmetry Základním obvodem digitálních voltmetrů je A/D

Více

Experimentáln. lní toků ve VK EMO. XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký. www.vf.

Experimentáln. lní toků ve VK EMO. XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký. www.vf. Experimentáln lní měření průtok toků ve VK EMO XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký Systém měření průtoku EMO Měření ve ventilačním komíně

Více

Vstupní data pro program Deformace ve formátu XML

Vstupní data pro program Deformace ve formátu XML geocaktualizace:22.11.2004 Vstupní data pro program Deformace ve formátu XML Pro formát vstupních dat je využit jazyk XML pro popis strukturovaných dat. Formát je definován v souladu s definicí jazyka

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

OBSAH Kapitola 1. Od kamenů k satelitům... Kapitola 2. Navigační satelity... 10 Kapitola 3. Zdroje nepřesnosti: problémy... 15

OBSAH Kapitola 1. Od kamenů k satelitům... Kapitola 2. Navigační satelity... 10 Kapitola 3. Zdroje nepřesnosti: problémy... 15 OBSAH Kapitola 1. Od kamenů k satelitům... 2 Doba kamenná... 2 Doba hvězd... 3 Doba rádiová... 5 Doba LORAN... 7 Doba satelitů... 8 Kapitola 2. Navigační satelity... 10 Měření vzdáleností k satelitům...

Více

Orientace v terénu bez mapy

Orientace v terénu bez mapy Písemná příprava na zaměstnání Terén Orientace v terénu bez mapy Zpracoval: por. Tomáš Diblík Pracoviště: OVIÚ Osnova přednášky Určování světových stran Určování směrů Určování č vzdáleností Určení č polohy

Více

PROGRAM RP45. Vytyčení podrobných bodů pokrytí. Příručka uživatele. Revize 05. 05. 2014. Pragoprojekt a.s. 1986-2014

PROGRAM RP45. Vytyčení podrobných bodů pokrytí. Příručka uživatele. Revize 05. 05. 2014. Pragoprojekt a.s. 1986-2014 ROADPAC 14 RP45 PROGRAM RP45 Příručka uživatele Revize 05. 05. 2014 Pragoprojekt a.s. 1986-2014 PRAGOPROJEKT a.s., 147 54 Praha 4, K Ryšánce 16 RP45 1. Úvod. Program VÝŠKY A SOUŘADNICE PODROBNÝCH BODŮ

Více

Přehled vhodných metod georeferencování starých map

Přehled vhodných metod georeferencování starých map Přehled vhodných metod georeferencování starých map ČVUT v Praze, katedra geomatiky 12. 3. 2015 Praha Georeferencování historická mapa vs. stará mapa georeferencování umístění obrazu mapy do referenčního

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

Postup 1 Půdorys. Zvolíme prostor nutné pro schodiště jak v půdorysu tak i v řezu

Postup 1 Půdorys. Zvolíme prostor nutné pro schodiště jak v půdorysu tak i v řezu Návrh schodiště Postup 1 Půdorys Zvolíme prostor nutné pro schodiště jak v půdorysu tak i v řezu Zvolený prostor Zvolený prostor Postup 1 Půdorys 2 Zvolený prostor Postup 1a Řez Z řezu určíme konstrukční

Více

Geoinformační technologie

Geoinformační technologie Geoinformační technologie Geografické informační systémy (GIS) Výukový materiál l pro gymnázia a ostatní středn ední školy Gymnázium, Praha 6, Nad Alejí 1952 Vytvořeno v rámci projektu SIPVZ 1357P2006

Více