Gaussovská prvočísla
|
|
- Gabriela Zemanová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14) Zdvtel ráce: Brno, 2006 Jihomorvský krj
2 Prohlšuji, že jsem ředloženou ráci zrcovl smosttně oužil jen uvedené rmeny literturu. Jkub Oršl V Brně dne
3 Abstrkt Abstrkt Tto ráce oisuje konkrétní část mtemtiky Gussov rvočísl, resektive teorii kolem Gussových celých čísel její zákldní věty. Kromě této roblemtiky řeší některé části teorie čísel (zvláště Legendreovy symboly) komlexní čísl. Gussov celá čísl jsou komlexní čísl s celočíselnou reálnou imginární částí. V této množině můžeme definovt dělitelnost obdobně jko v celých číslech. Pokud se hlouběji onoříme, zjistíme, že Gussov čísl mjí vlstnosti velmi odobné číslům celým, nř. věty o dělitelnosti, největší soleční dělitelé, Euklidův lgoritmus, Bezoutov vět, rozkld n rvočinitele dlší. Z zmínku stojí zvlášt Euklidův lgoritmus, který je běžně zložen n dělení se zbytkem. Náš Euklidův lgoritmus, tk jk je osán v této ráci, je zložen n odobných zákldech, le smotné dělení se zbytkem neoužívá, roto se dělením se zbytkem, které je v Gussových číslech znčně složitější než v celých číslech, nemusíme zbývt. Nším cílem bylo krom dokázání všech zákldních vět i ost tvr Gussových rvočísel (v závislosti n běžných rvočíslech). Dokázání tkového fktu nám zjednoduší hledání Gussových rvočísel, rotože velké množství běžných rvočísel známe. A krom toho nám roblém rozhodnutí, zd dné Gussovo číslo je rvočíslo, řevádí n více řešený roblém o rozhodnutí, zd je celé číslo rvočíslem. Gussov čísl mjí mnoho ultnění v běžné teorii čísel. Velmi jednoduše lze nříkld zst dné číslo jko součet dvou druhých mocnin omocí rozkldu n Gussovy rvočinitele. V závěru ráce tké ukzujeme oužití n jednom konkrétním říkldě z letošního ročníku mtemtické olymiády. 3
4 Obsh Obsh Obsh 4 1. Vybrné kitoly z teorie čísel Kongruence Kvdrtické zbytky Legendreovy symboly Komlexní čísl Zvedení komlexních čísel Absolutní hodnot, goniometrický tvr komlexního čísl Gussov rovin Celá komlexní čísl Dělitelnost v celých komlexních číslech Největší solečný dělitel nejmenší solečný násobek Obdob Euklidov lgoritmu Bezoutovy věty Gussov rvočísl Vlstnosti Gussových rvočísel Tvr Gussových rvočísel Využití Gussových rvočísel Použitá litertur 18 4
5 1. Vybrné kitoly z teorie čísel 1. Vybrné kitoly z teorie čísel V této kitole bychom rádi čtenářovi řiblížili některé kitoly z teorie čísel, které se běžně neučí n střední škole které budeme v dlších kitolách využívt. Všechn obecně známá tvrzení neuvádíme nedokzujeme, můžete je nlézt i s důkzy v [2] Kongruence Def. Říkáme, že je kongruentní s b modulo c rávě tehdy, když b dávjí stejný zbytek o dělení číslem c. Píšeme b (mod c). Vět b (mod m) t Z : = mt + b m ( b) Důkz této věty solu s dlšími vlstnostmi kongruencí nleznete v [2] od strny Kvdrtické zbytky Budeme-li zkoumt zbytky druhých mocnin celých čísel o dělení nějkým číslem n sndno zjistíme, že mohou nbývt jen některých hodnot. Které zbytky můžeme dostt sndno ověříme, dosdíme-li do kongruence všechny možné zbytky umocníme je ostuně n druhou, nříkld druhé mocniny mohou modulo 8 nbývt jen zbytky: (mod 8) (mod 8) Def. Nechť n N. Říkáme, že číslo {0, 1,..., n 1} je kvdrtickým zbytkem modulo n okud existuje celé číslo c tkové, že c 2 (mod n). V očném řídě nzveme číslo kvdrtickým nezbytkem modulo n. Krom modulu 8 jsou zjímvé ještě kvdrtické zbytky všech jednociferných modulů. Čsto se djí využít v úlohách z teorie čísel. Přehledně je udává následující tbulk: 3,4 0,1 7 0,1,2,4 5 0,1,4 8 0,1,4 6 0,1,3,4 9 0,1,4,7 Vět Nechť je liché rvočíslo, k existuje rávě 1 2 nenulových kvdrtických zbytků modulo. Důkz: Všechny nenulové kvdrtické zbytky modulo njdeme tk, že vezmeme čísl 1, 2,..., 1 umocním je n druhou. Uvědomme si, že ltí: x 2 1 x 2 2 (mod ) x 2 1 x (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 ) 0 x 1 ±x 2 Tedy kvdráty dvou různých čísel x 1 x 2 z množiny {1, 2,..., 1} dávjí stejný zbytek o dělení rávě tehdy, když x 1 x 2. Můžeme tedy tto čísl rozdělit do dvojic, odle kvdrtického zbytku těchto dvojic je k
6 1. Vybrné kitoly z teorie čísel Přímým důsledkem věty je tvrzení, že existuje rávě 1 2 kvdrtických nezbytků modulo lichým rvočíslem Legendreovy symboly Ještě si zobecníme definici kvdrtického zbytku ro všechn celá čísl logickým rozšířením: Def. Nechť n Z, k celé číslo nzveme kvdrtický zbytkem modulo n rávě tehdy, když existuje c Z : c 2 (mod n). ( ) Def. Mějme liché rvočíslo celé číslo, k číslo nzýváme Legendreovým symbolem definujeme tkto: ( ) { +1 když je nenulovým kvdrtickým zbytkem modulo = 0 ro 1 když není kvdrtickým zbytkem modulo ( Vět Pokud b (mod ) k Důkz: Zřejmý. ) ( ) = ( Vět (Eulerovo kritérium) Pro kždé celé liché rvočíslo ltí: b ) 1 2 (mod ). Důkz: Příd je jednoduchý, změřím se tedy n říd N SD(, ) = 1. Podle mlé Fermtovy věty ltí: 1 1 (mod ) ( )( 1 2 1) 0 (mod ) Tedy 1 2 ±1. Je-li kvdrtický zbytek k ltí, že existuje c Z tkové, že c 2 tedy 1 2 c 1 1 (oět odle mlé Fermtovy věty), tedy ro kvdrtický zbytek vět ltí. Nvíc žádné jiné číslo kromě 1 2 nenulových kvdrtických zbytků modulo nemůže slňovt , rotože levá strn této kongruence je mnohočlen stuně 1 2 roto má tto rovnice nejvýše 1 2 kořenů modulo. Tedy ro kvdrtické nezbytky ltí: ( ) b Vět Nechť, b Z; je liché rvočíslo, k ltí: = ( ) ( b ) Důkz: Podle věty ltí: (b ) (b) 1 2 = 1 2 b 1 2 ( ) ( ) b A rotože Legendreovy symboly mohou nbývt ouze hodnot( 0, ) 1 ( 1) ( zároveň ) jsou tto čísl nekongruentní modulo, k z této kongruence vylývá rovnost =. Vět Pro kždé rvočíslo tvru 4k + 1 existuje n N tkové, že n Důkz: Stčí dokázt, že číslo 1 je kvdrtický zbytek modulo. Sočteme si symbol: ( ) 1 = ( 1) 1 2 = ( 1) 4k = ( 1) 2k = 1. Proto číslo 1 je kvdrtickým zbytkem modulo. 6 b b
7 2. Komlexní čísl 2. Komlexní čísl V této kitole bychom chtěli čtenáři řiblížit zákldy komlexních čísel Zvedení komlexních čísel Def. Komlexním číslem rozumíme usořádnou dvojici (, b) reálných čísel b. Množinu všech komlexních čísel oznčíme C. N komlexních čísel definujeme relci = : ( 1, 2 ) = (b 1, b 2 ) 1 = b 1 2 = b 2, oerce + (sčítání) (násobení) následujícím zůsobem: ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) = ( 1 + b 1, 2 + b 2 ), ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) = ( 1 b 1 2 b 2, 1 b b 1 ). Znménko u oerce násobení obvykle vynecháváme. Vět Pro všechn komlexní čísl ( 1, 2 ), (b 1, b 2 ), (c 1, c 2 ) ltí: ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) = (b 1, b 2 ) + ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) + ( (b 1, b 2 ) + (c 1, c 2 ) ) = ( ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) ) + (c 1, c 2 ) ( 1, 2 ) + (0, 0) = ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) + ( 1, 2 ) = (0, 0) ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) = (b 1, b 2 ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) ((b 1, b 2 ) (c 1, c 2 ) ) = ( ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) ) (c 1, c 2 ) ( 1, 2 ) (1, 0) = ( 1, 2 ) ( ) ( 1, 2 ) (0, 0) = ( 1, 2 ) 1, 2 = (1, 0) ( 1, 2 ) ((b 1, b 2 ) + (c 1, c 2 ) ) = ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) + ( 1, 2 ) (c 1, c 2 ) Toto tvrzení se sndno dokáže rozesáním využitím vlstností reálných čísel. Zvedeme-li bijekci mezi čísly (, 0) (kde R), zjistíme, že množin komlexních čísel tvru (, 0) má stejné vlstnosti jko množin všech reálných čísel. Proto můžeme tyto dvě množiny rohlásit z totožné budeme sát (, 0) =. Def. Komlexní číslo (0, 1) nzýváme imginární jednotkou, obvykle znčíme i. Vět Kždé komlexní číslo (, b) lze zst jko + bi. Důkz: Vylývá z jednoduchého rozesání komlexního čísl: (, b) = (, 0) + (0, b) = (1, 0) + b (0, 1) = + bi Uvědomme si, že i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Pk dvě komlexní čísl můžeme násobit jko dvojčleny: ( + bi)(c + di) = c + bci + di + bdi 2 = (c bd) + (bc + d)i Podobně tké můžeme dvě komlexní čísl dělit (resektive hledt číslo inverzní k nějkému nenulovému komlexnímu číslu): 1 + bi = bi ( + bi)( bi) = bi 2 + b 2 = Tento ostu nzýváme usměrňování komlexního zlomku b 2 + b 2 + b 2 i
8 2. Komlexní čísl Def. Nechť z = +bi je komlexní číslo. Pk reálné číslo res. b nzýváme reálnou částí čísl z (íšeme R(z) = ) res. imginární částí čísl z (íšeme I(z) = b). Pltí z C : z = R(z) + I(z) i. Dále si uvědomme, že kždé reálné číslo, lze zst jko + 0i, to znmená, že R : R() = I() = 0. Def. Komlexní číslo, které má nulovou reálnou nenulovou imginární část nzýváme ryze imginární číslo. Komlexní číslo, které má nenulovou imginární část k ouze imginární číslo Absolutní hodnot, goniometrický tvr komlexního čísl Def. Nechť z C, z = + bi, k komlexní číslo z = bi nzýváme číslem komlexně sdruženým s číslem. Pltí z = z z R. Sndno ověříme, rotože z R I(z) = 0 I(z) = I(z). Pokud tedy má ltit z = z k I(z) = I(z) = I(z) = 0 nok. Def. Nechť z C, z = + ib k reálné číslo z = 2 + b 2 nzýváme bsolutní hodnotou čísl z. Vět Nechť z C k ltí: z 2 = z z Důkz: Nechť z = + ib, k z = ib z z = ( + ib)( ib) = 2 (ib) 2 = 2 + b 2 = z 2. Vět (goniometrický tvr komlexního čísl) Pro kždé komlexní číslo z existuje reálné číslo ϕ tkové, že ltí: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Důkz: Nechť z = + bi, kde, b R. Pk z = 2 + b 2 rotože ltí < z, k existuje ϕ tkové, že z cos ϕ =. Nvíc ro tkové ϕ ltí z sin ϕ = b, rotože: z 2 = 2 + b 2 z 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = 2 + b 2 ( z cos ϕ) 2 + ( z sin ϕ) 2 = 2 + b 2 ( z sin ϕ) 2 = b 2 z sin ϕ = b V důkzu jsme nvíc ukázli, jk se tkové číslo ϕ dá njít. Tomuto číslu říkáme rgument čísl z (íšeme rg(z)). Je známo, že tkových čísel je víc, rotože funkce sinus kosinus jsou eriodické mjí eriodu 2π, roto okud nějké číslo ϕ slňuje zdání k i všechn čísl, která dostneme řičtením nebo odečtením násobku 2π jsou tké vyhovující. Proto obvykle hledáme ϕ, které leží v intervlu 0, 2π). Tkové číslo k nzveme hlvním rgumentem čísl z (íšeme Arg(z)). Vět (násobení dělení čísel v goniometrickém tvru) Nechť = (cos ϕ + i sin ϕ) b = b (cos ψ + i sin ψ) jsou dvě komlexní čísl v goniometrickém tvru, k ltí: b = b ( cos (ϕ + ψ) + i sin (ϕ + ψ) ) b = ( ) cos (ϕ ψ) + i sin (ϕ ψ) b Tuto větu sndno dokážeme omocí následujícího lemmtu: 8
9 2. Komlexní čísl Lemm. cos(α + β) + i sin(α + β) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) Důkz: Podle součtových vzorců ltí: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β = cos α cos β + i 2 sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Jednoduchým rozesáním k dostáváme: cos(α + β) + i sin(α + β) = cos α cos β + i sin α cos β + i cos α sin β + i 2 sin α sin β = = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) A nyní se můžeme vrátit k důkzu věty 2.2.3: b = (cos ϕ + i sin ϕ) b (cos ψ + i sin ψ) = b ( cos (ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) ) (cos ϕ + i sin ϕ) = b b (cos ψ + i sin ψ) = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ i sin ψ) b (cos 2 ψ + sin 2 = ψ) = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos( ψ) + i sin( ψ)) = b b ( cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ) ) Vět (Moivreov vět) Nechť z = z (cos ϕ + i sin ϕ) je goniometrický tvr komlexního čísl z k ro kždé n N ltí: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Důkz: Mtemtickou indukcí: I. n = 1 Pltí triviálně. II. Přeokládejme, že z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) k: z n+1 = z n z = z n (cos nϕ + i sin nϕ) z (cos ϕ + i sin ϕ) Což odle ředchozí věty je rávě z n+1( cos(nϕ+ϕ)+i sin(nϕ+ϕ) ) = z n+1( cos(n+1)ϕ+i sin(n+1)ϕ ). Moivreov vět lze zobecnit i ro libovolnou celou mocninu. Stčí si uvědomit, že ro n = 0 ltí z 0 = z 0 (cos 0 + i sin 0) = 1 ro n < 0: z n = ( z 1) n z 1 = 1 z je odle věty 2.2.3: z 1 ( cos( ϕ) + i sin( ϕ) ) nyní už můžeme oužít Moivreovu větu ro řirozené n: z n = ( z 1) n = ( z 1 ) n ( cos( n)( ϕ) + i sin( n)( ϕ) ) = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Gussov rovin Komlexní čísl jsou usořádné dvojice čísel reálných, může nám to tedy řiomenout souřdnicový systém v rovině. Můžeme tedy zvést bijekci mezi všemi komlexními čísly všemi body v rovině. Mějme rovinu s krtézským souřdným systémem. Komlexnímu číslu = 1 + i 2 řiřdíme bod A[ 1, 2 ] roviny nok. Tuto rovinu k nzveme Gussovou rovinou. Osu x Gussovy roviny nzveme reálnou osou (znčíme R) osu y imginární (znčíme I). Podle výše uvedené bijekce budeme komlexní číslo nzývt jk komlexním číslem, tk bodem Gussovy roviny. Def. Bod O = 0 + 0i nzveme očátkem Gussovy roviny. 9
10 Následující obrázek ukzuje geometrický význm některých vlstností kolexních čísel. 2. Komlexní čísl I z = + ib O z Arg (z) b R Otočení kolem očátku Def. Zobrzení f : C C, f(z) = z, kde C je tkové komlexní číslo, které lze zst ve tvru = cos α + i sin α, nzveme otočením kolem očátku o úhel α. Toto otočení je zřejmě shodné s otočením, jk je známe z lnimetrie, neboť: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) z = z (cos ϕ + i sin ϕ) (cos α + i sin α) = z ( cos(ϕ + α) + i sin(ϕ + α) ) I f(z) = z z ϕ + α α ϕ O R Otočení o ± π 2 je vlstně násobení číslem ±i, o π (neboli středová souměrnost) je násobení číslem 1. Obdobně se djí definovt i dlší zobrzení, která známe z lnimetrie. 10
11 3. Celá komlexní čísl 3. Celá komlexní čísl Def. Množinu všech komlexních čísel +ib tkových, že, b Z, nzýváme množinou všech komlexních celých čísel nebo tké množinou všech Gussových celých čísel (tuto množinu budeme znčit Z[i]). Celá komlexní čísl jsou rozšířením celých čísel, nebo tké zúžením komlexních Dělitelnost v celých komlexních číslech Množin Z[i] je uzvřená vůči oercím +,. Obdobně jk celá čísl všk není uzvřená vůči oerci /, nříkld: 1 + i (1 + i)(2 + i) = 2 i (2 i)(2 + i) = 1 + 3i = i Z[i] Proto má, obdobně jko v celých číslech, smysl definovt dělitelnost. Def. Pro, b Z[i] říkáme, že b rávě tehdy, když existuje c Z[i] tkové, že c = b. Vět (Zákldní vlstnosti dělitelnosti) Pro všechn, b, c Z[i] ltí: b b c = c ( ) b c = b + c b c ( ) c 0 = ( b c bc) ( ) b b 0 = b ( ) Důkz: Tvrzení 1 ž 3 se sndno dokáže rozesáním z definice obdobně jko v celých číslech. Podrobněji se budeme věnovt čtvrtému tvrzení, rotože se liší od běžné teorie čísel v celých číslech. Jestliže b, k existuje c tkové, že c = b, tedy odle věty (2.2.3) ltí i c = b. A rotože b 0 k i c 0, b = 0 c = 0. Protože c > 0 c Z[i], k c 1. Z toho lyne, že b. V řirozených číslech je dělitelnost nejjednoduší, rotože kždé číslo n (vyjm jedničky) má rávě dv nevlstní dělitele (tj. tkové, které vždy musí mít) to jsou 1 n. V celých číslech se nám situce komlikuje číslo n má čtyři nevlstní dělitele: 1, 1, n n (smozřejmě kromě čísel 1 1, která mjí ouze dv). V komlexních číslech je situce ještě složitější nevlstních dělitelů čísl n {1, i, 1, i} je rovnou osm: 1, i, 1, i, n, in, n in Největší solečný dělitel nejmenší solečný násobek Def. Solečným dělitelem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c c b. Kždá dvě čísl mjí solečné dělitele čísl 1, i, 1 i. Tto čísl mjí v množině Z[i] stejné ostvení, jko číslo 1 v množině N, roto je budeme nzývt jednotkmi definujeme množinu U = {1, i, 1, i} obecně budeme znčit její rvek u. Násobení číslem u neovlivní dělitelnost, rotože u 1 U u 2 U : u 1 u 2 = 1. A nvíc Z[i], U : u u. Def. Čísl b nzveme shodnými rávě tehdy, když u U : = ub. Nechť b jsou dvě shodná čísl k zřejmě ltí: c Z[i] : c c b c b c. Pokud budeme mluvit o jednoznčnosti vzhledem k dělitelnosti, budeme vždy mluvit o shodnosti tkových čísel. 11
12 3. Celá komlexní čísl Přímým důsledkem věty je tvrzení:, b Z[i] : b b b jsou shodná. Def. Největším solečným dělitelem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c je dělitelné kždým solečným dělitelem čísel b. Budeme znčit c = N SD(, b). Def. Solečným násobkem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c b c. Kždá dvě čísl, b mjí solečné násobky nř. čísl b, ib, b, ib. A nvíc, okud je nějké číslo c solečným násobkem čísel b k i libovolný násobek čísl c je solečným násobkem čísel b. Def. Nejmenším solečným násobkem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c dělí libovolný solečný násobek čísel b. Budeme znčit c = N SN (, b). Nříkld solečným násobkem čísel i je číslo 4 2i, neboť 4 2i = 2 (2 i) = (3 + i)(1 i). Dlší solečný násobek je číslo 10 = 2 5 = (3 + i)(3 i). Všimněte si, že 4 2i dělí 10 jejich odíl je 2 + i. Číslo 4 2i je totiž nejmenším solečným násobkem čísel i. Protože i nok nejmenším (odle bsolutní hodnoty) dlším možným násobkem čísl 3 + i je rávě 4 2i, omocí věty sndno ukážeme, že nejmenší solečný násobek je mimo jiné tké nejmenší odle bsolutní hodnoty. Jejich solečným dělitelem je nř. číslo 1 + i, rotože 2 = (1 + i)(1 i) 3 + i = (1 + i)(2 i). A nvíc je toto číslo i jejich největším solečným dělitelem, rotože číslo 2 je dělitelné ouze jednotkovými násobky čísel 1, 1 + i 2. A rotože i i. Obdobně jko u nejmenšího solečného násobku i největší solečný dělitel je největší odle bsolutní hodnoty Obdob Euklidov lgoritmu Bezoutovy věty V těto kitole ukážeme, jk se dá njít největší solečný dělitel tké jeho jednoznčnost. Euklidův lgoritmus Hledejme N SD(, b), kde, b Z[i]. Bez újmy n obecnosti můžeme ředokládt, že b. Uvžujme čísl ub ro kždé u U. Předstvíme-li si tto čísl jko vektory v Gussově rovině, k jsou dvojice b, ib; ib, b; b, ib ib, b dvojicemi n sebe kolmých vektorů čísl b, ib, b, ib tvoří vrcholy čtverce, který má střed v očátku (viz obrázek). Vektor k svírá s jedním z těchto čísel úhel α π 4 (sndno ukážeme omocí Dirichletov rinciu). Uvžuji-li trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel menší nebo roven π 4, k strn roti tomuto úhlu je určitě krtší než nejdelší strn tohoto trojúhelníku (nř. ze sinové věty, z ředokldu, že funkce sinus je rostoucí n intervlu ) 0, π 2 ). Proto můžeme říct, že existuje tkové u U, že ub <. I b ib O ib R b Čísl b ub mjí stejného největšího solečného dělitele jko čísl b, rotože: d Z[i], d b : d d ub Zvolíme 1, b 1 = b, ub tk, by znovu ltilo b 1 1. A okujeme ostu tk dlouho, dokud jedno z čísel nevyjde nul. To se zcel jistě stne, rotože bsolutní hodnoty 1, b 1 klesjí mohou nbývt jen 12
13 3. Celá komlexní čísl některých diskrétních hodnot (druhá mocnin je vždy nezáorné celé číslo). Proto se dříve nebo ozději dostnu k číslu 0. Největším solečným dělitelem nuly nenulového čísl b n je číslo b n, rotože nul je dělitelná libovolným z Z[i]. Tkové b n k je i největším solečným dělitelem čísel b. Vět (Bezoutov vět), b Z[i] k, l Z[i] : k + lb = N SD(, b) Důkz: Vylývá z Euklidov lgoritmu, budeme-li ostuovt v očném ořdí. Vyjádříme N SD(, b) nejdříve jko n + ub n k z n, resektive b n, budeme doszovt z ředchozích vzthů. Budeme-li ostuovt dál, z kždé rovnice jsme schoni sočítt dlší (jeden) člen. A o konečném očtu kroků se dostneme k vyjádření největšího solečného dělitele omocí čísel b. Všichni soleční dělitelé jsou o dvou shodná čísl. Toto tvrzení můžeme dokázt sorem. Předokládejme, že existuje tková d 1, d 2 Z[i], že d 1 d 2 nebo d 2 d 1 zároveň jsou obě největším solečným dělitelem b. Proto d 1 d 2 jsou soleční dělitelé nvíc největší soleční dělitelé čísel, b. Musí tedy ltit, že d 1 i d 2 se dělí nvzájem sor. Tímto jsme ukázli jednoznčnost největšího solečného dělitele. Def. Čísl, b Z[i], ro která N SD(, b) U, nzýváme nesoudělná. Vět Nechť, b, c Z[i] N SD(, b) U k ltí: bc = c. Důkz: Podle věty existují čísl k, l Z[i] u U tková, že u N SD(, b) = 1 = k + lb. Vynásobíme-li tuto rovnost číslem c, dostáváme c = kc + lbc rotože kc lbc ( bc) tk musí dělit i jejich součet, tedy c. 13
14 4. Gussov rvočísl 4. Gussov rvočísl Def. Číslo z Z[i], které má ouze nevlstní dělitele, nzveme rvočíslem v komlexních celých číslech nebo tké Gussovým rvočíslem. Protože se ndále budeme zbývt i běžnými rvočísly, uřesníme ještě trochu názvosloví. budeme-li mluvit o běžném rvočísle, máme tím n mysli rvočíslo v Z (tj. tkové kldné číslo, které má rávě dv kldné dělitele). V druhém řídě rvočíslo v Z[i] budeme vždy nzývt Gussovo rvočíslo nebo jen rvočíslo. Množinu všech běžných rvočísel budeme znčit P množinu všech Gussových rvočísel P G. Některá Gussov rvočísl: 1 + i, 1 i, 1 i, 1 + i, 3, 3i, 3, 3i, 2 + i, 2 i, Vlstnosti Gussových rvočísel Pokud, k N SD(, ) U, rotože kdyby to tk nebylo N SD(, ) bylo nějké d k ltí d tj. d {1, i, 1, i,,, i, i}. A rotože, k d dostáváme to, co jsme chtěli. Vět Číslo Z[i] je Gussovo rvočíslo rávě tehdy, když, b Z[i] : b = b. Důkz: Nejdříve dokážeme imlikci zlev dorv: Rozebereme dv řídy: k je imlikce triviálně slněn. Pokud k N SD(, ) U roto ro, b ltí vět tj. b. Nyní budeme ředokládt, že ro nějké Z[i] ltí, b Z[i] : b = b. Důkz ovedeme sorem: ředokládejme, že existuje nějké d tk, že d je vlstní dělitel čísl. Proto existuje c Z[i] tkové, že c d = nvíc c, d U, tk nedělí ni c ni d, le dělí jejich součin dostáváme sor. Tím dostáváme ekvivlentní odmínku rvočíselnosti tké velmi důležitou vlstnost rvočísel. Vět (Vět o rozkldu čísl n rvočísl) Kždé Gussovo celé číslo různé od jednotky od nuly lze nst jko součin Gussových rvočísel. Důkz: Větu budeme dokzovt indukcí vzhledem k druhé mocnině bsolutní hodnoty. Mějme číslo nechť je jeho bsolutní hodnot. I. 2 = 2 Tuto odmínku slňují čísl 1 + i, 1 i jejich u-násobky. Tto čísl jsou rvočísl roto je netřeb rozkládt. II. Předokládejme, že všechn čísl s druhou mocninou bsolutní hodnoty menší než 2 jdou rozložit n součin rvočísel. Číslo buď je rvočíslem, k je rozkld jsný, nebo není rvočíslem, k existuje nějký jeho vlstní dělitel d odíl c tk, by cd =. Nvíc c i d je menší než tkže ro ně ltí indukční ředokld, roto i číslo umíme rozložit n součin rvočísel. Vět Existuje nekonečně mnoho Gussových rvočísel. Důkz: Sorem. Předokládejme, že existuje konečně mnoho Gussových rvočísel. Oznčme je 1, 2,..., k, kde k N. Uvžujme číslo = k + 1. Toto číslo není dělitelné žádným rvočíslem, okud by tomu bylo jink, k i 1, 2,..., k : i = i k, dostáváme i 1, což je sor. Ale odle ředchozí věty číslo lze rozložit n rvočinitele = sor Tvr Gussových rvočísel Vět Číslo z Z[i] je Gussovým rvočíslem rávě tehdy, když nbývá jednoho z těchto tvrů: 14
15 4. Gussov rvočísl { + ib z = 2 + b 2 je běžné rvočíslo, b 0 u u U je běžné rvočíslo, které nelze zst jko součet dvou kvdrátů Důkz: Rozdělíme si roblém n dv řídy: I. z = + ib, b 0 II. z = u, u U. I. z = + bi: Uvžme číslo zz Z jeho rozkld n běžná rvočísl. Pk z dělí jedno z těchto rvočísel. Nechť je toto rvočíslo x = z, x = c + id. Pltí = xz = (c bd) + i(d + bc) roto: d + bc = 0 d = bc b = c d Poslední úrvu si můžeme dovolit, rotože, b 0 0 roto i c, d 0. Zlomek b je v zákldním tvru, rotože kdyby nebyl existovlo by nějké celé k k b, le tkové k dělí i z, což je sor s rvočíselností čísl z. Proto ltí: k Z : c = k d = kb. zx = k b ( kb) = A rotože 2 + b 2 2 (z P G ) k k = 1 tj. = z 2. k( 2 + b 2 ) = Ještě druhou imlikci: Mějme běžné rvočíslo = 2 + b 2. Pk = ( + ib)( ib). Uvžujme nějké Gussovo rvočíslo z ± ib k i z tj. z = ± ib. Proto čísl ± ib jsou Gussovská rvočísl. II. Pokud z = u, k mohu místo z uvžovt, co se týče dělitelnosti. A rotože neexistuje žádné číslo, které má nulovou reálnou nebo imginární část dělí číslo (z důvodu, že je obyčejné rvočíslo), jediné číslo, které by mohlo dělit je Gussovo rvočíslo ředchozího tvru, le to by muselo být součtem dvou kvdrátů sor. Všechny úvhy se djí i obrátit, roto je vět dokázán. Vět Kždé běžné rvočíslo tvru 4k + 1 lze zst jko součet dvou kvdrátů. Důkz: Podle věty ltí, že kždé tkové rvočíslo dělí nějké n Uvžujme rozkld čísl n = (n + i)(n i). Jk n + i tk n i nemůže být dělitelné žádným Gussovým rvočíslem tvru u, kde je běžné rvočíslo (které nelze zst jko součet dvou druhých mocnin) u U, rotože k by bylo dělitelné i rvočíslem tedy n±i Z[i]: n ± i = n ± 1 i Z[i] = 1 Z což je sor. Čísl n ± i jsou tedy dělitelná ouze Gussovými rvočísly z tkovými, že z 2 je běžné rvočíslo. Tkže v rozkldu čísl n n Gussovy rvočinitele se nchází jen tto rvočísl, nvíc ke kždému je tm i komlexně sdružené, rotože okud z (n ± i) k z (n i). Když vynásobíme dvě komlexně sdružená rvočísl, vyjde nám běžné rvočíslo, které lze zst jko součet dvou druhých mocnin. Tedy n je dělitelné ouze rvočísly, které lze zst jko součet dvou druhých mocnin. Mějme rvočíslo tvru 4k + 1 (k Z), k dělí n lze ho tedy zst jko součin dvou druhých mocnin. Lemm. Běžné rvočíslo lze zst jko součet dvou kvdrátů rávě tehdy když není tvru 4k + 3. Důkz: Prvočísl tvru 4k neexistují. Prvočísl tvru 4k + 1 jdou zst jko součet dvou kvdrátů odle věty Tvru 4k + 2 je ouze dvojk 2 = A číslo tvru 4k + 3 nelze zst jko součet dvou kvdrátů, rotože kvdrtické zbytky modulo 4 jsou 0 1. A žádným součtem dvou z těchto čísel nedostneme 3. 15
16 Větu lze tedy ekvivlentně formulovt tkto: Číslo z Z[i] je Gussovým rvočíslem rávě tehdy, když je jednoho z těchto tvrů: { + ib z = 2 + b 2 =, kde je běžné rvočíslo tvru 4k + 1, nebo 2 u u U je běžné rvočíslo tvru 4k Gussov rvočísl 4.3. Využití Gussových rvočísel Gussov rvočísl mjí mnohé využtí v běžné teorii čísel, ro ukázku zde uvádíme větu: Vět Celé číslo, které lze zst jko součin dvou čísel b, c tkových, že je lze zst jko součet dvou kvdrátů, lze zst jko součet dvou kvdrátů. Důkz: Nechť b = b b 2 2 c = c c 2 2. Pk ltí: = b c = (b b 2 2)(c c 2 2) = (b 1 + ib 2 )(b 1 ib 2 )(c 1 + ic 2 )(c 1 ic 2 ) = = ( (b 1 + ib 2 )(c 1 + ic 2 ) )( (b 1 ib 2 )(c 1 ic 2 ) ) Což je součin dvou komlexně sdružených čísel z = x + iy z = x iy: = zz = x 2 + y 2. A jeden říkld: Příkld: (Mtemtická olymiád 55. roč. A-I-6) Njděte všechny usořádné dvojice (x, y) řirozených čísel, ro něž ltí x 2 + y 2 = 2005(x y). Řešení: Nejdříve si zdnou rovnici urvíme vynásobíme čtyřmi. ( x 2005 ) 2 ( + y ) 2 = Rozložíme si číslo n Gussov rvočísl: (2x 2005) 2 + (2y ) 2 = = (1 + i)(1 i)(2 + i) 2 (2 i) 2 (20 + i) 2 (20 i) 2 Snžíme se vyjádřit číslo jko součet dvou kvdrátů, neboli jko součin dvou komlexně sdružených Gussových čísel. Aby nějká dvě čísl byl komlexně sdružená musí se v jejich rozkldu n rvočísl ncházet komlexně sdružená čísl. Proto rozdělíme rvočinitele čísl do komlexně sdružených dvojic z kždé vybereme jedno číslo. Vybrná čísl k vynásobíme dostneme tkové číslo + ib, že 2 + b 2 = Tzn. nemusíme ni očítt druhý součin, b co víc, všechn čísl tvru u ( + ib), kde u U, nám djí stejné dvojice druhých mocnin. Proto si můžeme očítání velmi urychlit. Uvědomíme si, že 1 + i = i (1 i) tkže výběr v dvojici 1 + i, 1 i nebude mít n výsledek efekt. Dále si můžeme ještě jedno číslo zvolit z konstntní, rotože jink bychom ke všem součinům dostli i komlexně sdružená čísl. Bude nám stčit sočítt jen šest součinů: (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 + i)(20 + i) = i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 + i)(20 + i) = i (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 + i)(20 i) = i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 + i)(20 i) = i (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 i)(20 i) = i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 i)(20 i) = i 16
17 4. Gussov rvočísl Všechny neusořádné dvojice řirozených čísel (, b) tkových, že 2 + b 2 = jsou tedy: (119, 2833), (401, 2807), (679, 2753), (1795, 2195), (2005, 2005) N dvojici (2005, 2005) můžeme s klidem v duši zomenout, rotože víme, že y je řirozené tedy y Tto nerovnost nám tké říká, které číslo z dvojice řiřdíme k y které k x. Dále nesmíme zomenout, že číslo x může být i záorné k nám zbude jen doočítt řešení. Úloh má celkem osm řešení: (x, y) { (1062, 414), (943, 414), (105, 95), (1900, 95), (663, 374), (1342, 374), (802, 401), (1203, 401) } 17
18 Použitá litertur Použitá litertur [1] Prof. RNDr. Miloš Ráb, DrSc.: Komlexní čísl v elementární mtemtice, Msrykov univerzit, Brno, 1997; ISBN X [2] RNDr. Jiří Hermn, Ph.D., Doc. RNDr. Rdn Kučer, CSc., Doc. RNDr. Jromír Šimš, CSc.: Metody řešení mtemtických úloh I, Msrykov univerzit, Brno, 2001; ISBN [3] Eric W. Weisstein: Gussin Prime, From MthWorld A Wolfrm Web Resource htt://mthworld.wolfrm.com/gussinprime.html [4] Eric W. Weisstein: Gussin Integer, From MthWorld A Wolfrm Web Resource htt://mthworld.wolfrm.com/gussininteger.html [5] Mrtin Klzr: Introduction in Number Theory, htt:// [6] 55. ročník Mtemtické olymiády: Úlohy domácí části I. kol ktegorie A, htt:// rvmo/mo/55/55i.df 18
Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
VíceÚlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C
52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.
VíceŘešení diferenciálních rovnic 1. řádu (lineárních, s konstantními koeficienty)
Exonenciální funkce - jejic "vužití" ři řešení diferenciálníc rovnic (Tto dolňková omůck nemůže v žádném řídě nrdit sstemtickou mtemtickou řírvu.) Vlstností exonenciální funkce lze výodně oužít ři řešení
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
Více3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
67. ročník mtemtické olympiády Úlohy krjského kol ktegorie A 1. Pvel střídvě vpisuje křížky kolečk do políček tbulky (zčíná křížkem). Když je tbulk celá vyplněná, výsledné skóre spočítá jko rozdíl X O,
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VícePřednáška 9: Limita a spojitost
4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty
Více2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
VíceSymbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky
Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,
ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceVětu o spojitosti a jejich užití
0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceDiskrétní matematika 1. týden
Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé
Více3. Kvadratické rovnice
CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:
Více8. cvičení z Matematiky 2
8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,
Více5.2.4 Kolmost přímek a rovin II
5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
Více1.2 Množina komplexních čísel... 10
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
Více( a) Okolí bodu
0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více4. cvičení z Matematiky 2
4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
VíceGONIOMETRICKÉ ROVNICE -
1 GONIOMETRICKÉ ROVNICE - Pois zůsobu oužití: teorie k samostudiu (i- learning) ro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vyracovala: Ivana Klozová Datum vyracování:
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceZkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.
1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic
..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci
VíceRepetitorium z matematiky
Rovnie, nerovnie jejih soustvy (lineární, kvdrtiké, irionální) Reetitorium z mtemtiky Podzim Ivn Vulová A) Rovnie jejih řešení Mnoho fyzikálníh, tehnikýh jinýh úloh lze mtemtiky formulovt jko úlohu tyu:
VíceKomplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0
Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Vícea a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)
. Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního
Více9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie
9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu
VíceTechnická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)
Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceP2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách
P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceII. kolo kategorie Z5
II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceJensenova nerovnost David Hruška
Jensenov nerovnost Dvid Hrušk Abstrkt. Příspěvek seznmuje s jednou z klsických lgebrických nerovností ukzuje její použití n dokzování nerovností olympiádního typu. Konvexní kombince Definice. Nechť x,...,x
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
Více5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami
5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin
VíceVýraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují
. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně
VíceZákladní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami
/ Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky
Více5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
Více67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018
67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Přerov, 8.. března 08 MO . Ve společnosti lidí jsou některé dvojice spřátelené. Pro kladné celé číslo k 3 řekneme, že společnost je k-dobrá, pokud
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
VíceZáklady teorie matic
Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
Více( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t
7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách
Více3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE
.. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceKomentáře k domácímu kolu kategorie Z9
5. ročník Mtemtické olympiády Komentáře k domácímu kolu ktegorie Z9. Čtyřúhelník, který nemá žádné dvě strny stejně dlouhé, nzveme nerovnostrnným. Prvidelný dvnáctiúhelník má obsh 8 cm. Nrýsujte všechny
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceURČITÝ INTEGRÁL FUNKCE
URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log
Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Více3.2.1 Shodnost trojúhelníků I
3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud
Vícevás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.
POKYNY KE STUDIU Pokyny ke studiu V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu kždé kpitoly tetu, která by vám měl pomoci k rychlejší orientci při studiu Pro zvýrznění jednotlivých částí tetu jsou
Více5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I
5.. Objemy orchy mnohostěnů I Předokldy: 51 Význm slo objem i orch je intuitině jsný. Mtemtická definice musí být oněkud řesnější. Okoání z lnimetrie: Obsh obrzce je kldné číslo, řiřzené obrzci tk, že
Více2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II
2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II Předpokldy: 020406 Př. 1: oplň tbulku. Zdání sss α < 180 c Zdání Náčrtek Podmínky sss sus usu b + b > c b + c > c + c > b b α < 180 c α + β < 180 c Pedgogická poznámk: Původní
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
Vícem n. Matice typu m n má
MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme
VíceŘešené příklady k MAI III.
Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceDefinice limit I
08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceLogaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice
Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >
VíceLogaritmická funkce teorie
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
VíceSvazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:
vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
Více