Gaussovská prvočísla

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Gaussovská prvočísla"

Transkript

1 Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14) Zdvtel ráce: Brno, 2006 Jihomorvský krj

2 Prohlšuji, že jsem ředloženou ráci zrcovl smosttně oužil jen uvedené rmeny literturu. Jkub Oršl V Brně dne

3 Abstrkt Abstrkt Tto ráce oisuje konkrétní část mtemtiky Gussov rvočísl, resektive teorii kolem Gussových celých čísel její zákldní věty. Kromě této roblemtiky řeší některé části teorie čísel (zvláště Legendreovy symboly) komlexní čísl. Gussov celá čísl jsou komlexní čísl s celočíselnou reálnou imginární částí. V této množině můžeme definovt dělitelnost obdobně jko v celých číslech. Pokud se hlouběji onoříme, zjistíme, že Gussov čísl mjí vlstnosti velmi odobné číslům celým, nř. věty o dělitelnosti, největší soleční dělitelé, Euklidův lgoritmus, Bezoutov vět, rozkld n rvočinitele dlší. Z zmínku stojí zvlášt Euklidův lgoritmus, který je běžně zložen n dělení se zbytkem. Náš Euklidův lgoritmus, tk jk je osán v této ráci, je zložen n odobných zákldech, le smotné dělení se zbytkem neoužívá, roto se dělením se zbytkem, které je v Gussových číslech znčně složitější než v celých číslech, nemusíme zbývt. Nším cílem bylo krom dokázání všech zákldních vět i ost tvr Gussových rvočísel (v závislosti n běžných rvočíslech). Dokázání tkového fktu nám zjednoduší hledání Gussových rvočísel, rotože velké množství běžných rvočísel známe. A krom toho nám roblém rozhodnutí, zd dné Gussovo číslo je rvočíslo, řevádí n více řešený roblém o rozhodnutí, zd je celé číslo rvočíslem. Gussov čísl mjí mnoho ultnění v běžné teorii čísel. Velmi jednoduše lze nříkld zst dné číslo jko součet dvou druhých mocnin omocí rozkldu n Gussovy rvočinitele. V závěru ráce tké ukzujeme oužití n jednom konkrétním říkldě z letošního ročníku mtemtické olymiády. 3

4 Obsh Obsh Obsh 4 1. Vybrné kitoly z teorie čísel Kongruence Kvdrtické zbytky Legendreovy symboly Komlexní čísl Zvedení komlexních čísel Absolutní hodnot, goniometrický tvr komlexního čísl Gussov rovin Celá komlexní čísl Dělitelnost v celých komlexních číslech Největší solečný dělitel nejmenší solečný násobek Obdob Euklidov lgoritmu Bezoutovy věty Gussov rvočísl Vlstnosti Gussových rvočísel Tvr Gussových rvočísel Využití Gussových rvočísel Použitá litertur 18 4

5 1. Vybrné kitoly z teorie čísel 1. Vybrné kitoly z teorie čísel V této kitole bychom rádi čtenářovi řiblížili některé kitoly z teorie čísel, které se běžně neučí n střední škole které budeme v dlších kitolách využívt. Všechn obecně známá tvrzení neuvádíme nedokzujeme, můžete je nlézt i s důkzy v [2] Kongruence Def. Říkáme, že je kongruentní s b modulo c rávě tehdy, když b dávjí stejný zbytek o dělení číslem c. Píšeme b (mod c). Vět b (mod m) t Z : = mt + b m ( b) Důkz této věty solu s dlšími vlstnostmi kongruencí nleznete v [2] od strny Kvdrtické zbytky Budeme-li zkoumt zbytky druhých mocnin celých čísel o dělení nějkým číslem n sndno zjistíme, že mohou nbývt jen některých hodnot. Které zbytky můžeme dostt sndno ověříme, dosdíme-li do kongruence všechny možné zbytky umocníme je ostuně n druhou, nříkld druhé mocniny mohou modulo 8 nbývt jen zbytky: (mod 8) (mod 8) Def. Nechť n N. Říkáme, že číslo {0, 1,..., n 1} je kvdrtickým zbytkem modulo n okud existuje celé číslo c tkové, že c 2 (mod n). V očném řídě nzveme číslo kvdrtickým nezbytkem modulo n. Krom modulu 8 jsou zjímvé ještě kvdrtické zbytky všech jednociferných modulů. Čsto se djí využít v úlohách z teorie čísel. Přehledně je udává následující tbulk: 3,4 0,1 7 0,1,2,4 5 0,1,4 8 0,1,4 6 0,1,3,4 9 0,1,4,7 Vět Nechť je liché rvočíslo, k existuje rávě 1 2 nenulových kvdrtických zbytků modulo. Důkz: Všechny nenulové kvdrtické zbytky modulo njdeme tk, že vezmeme čísl 1, 2,..., 1 umocním je n druhou. Uvědomme si, že ltí: x 2 1 x 2 2 (mod ) x 2 1 x (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 ) 0 x 1 ±x 2 Tedy kvdráty dvou různých čísel x 1 x 2 z množiny {1, 2,..., 1} dávjí stejný zbytek o dělení rávě tehdy, když x 1 x 2. Můžeme tedy tto čísl rozdělit do dvojic, odle kvdrtického zbytku těchto dvojic je k

6 1. Vybrné kitoly z teorie čísel Přímým důsledkem věty je tvrzení, že existuje rávě 1 2 kvdrtických nezbytků modulo lichým rvočíslem Legendreovy symboly Ještě si zobecníme definici kvdrtického zbytku ro všechn celá čísl logickým rozšířením: Def. Nechť n Z, k celé číslo nzveme kvdrtický zbytkem modulo n rávě tehdy, když existuje c Z : c 2 (mod n). ( ) Def. Mějme liché rvočíslo celé číslo, k číslo nzýváme Legendreovým symbolem definujeme tkto: ( ) { +1 když je nenulovým kvdrtickým zbytkem modulo = 0 ro 1 když není kvdrtickým zbytkem modulo ( Vět Pokud b (mod ) k Důkz: Zřejmý. ) ( ) = ( Vět (Eulerovo kritérium) Pro kždé celé liché rvočíslo ltí: b ) 1 2 (mod ). Důkz: Příd je jednoduchý, změřím se tedy n říd N SD(, ) = 1. Podle mlé Fermtovy věty ltí: 1 1 (mod ) ( )( 1 2 1) 0 (mod ) Tedy 1 2 ±1. Je-li kvdrtický zbytek k ltí, že existuje c Z tkové, že c 2 tedy 1 2 c 1 1 (oět odle mlé Fermtovy věty), tedy ro kvdrtický zbytek vět ltí. Nvíc žádné jiné číslo kromě 1 2 nenulových kvdrtických zbytků modulo nemůže slňovt , rotože levá strn této kongruence je mnohočlen stuně 1 2 roto má tto rovnice nejvýše 1 2 kořenů modulo. Tedy ro kvdrtické nezbytky ltí: ( ) b Vět Nechť, b Z; je liché rvočíslo, k ltí: = ( ) ( b ) Důkz: Podle věty ltí: (b ) (b) 1 2 = 1 2 b 1 2 ( ) ( ) b A rotože Legendreovy symboly mohou nbývt ouze hodnot( 0, ) 1 ( 1) ( zároveň ) jsou tto čísl nekongruentní modulo, k z této kongruence vylývá rovnost =. Vět Pro kždé rvočíslo tvru 4k + 1 existuje n N tkové, že n Důkz: Stčí dokázt, že číslo 1 je kvdrtický zbytek modulo. Sočteme si symbol: ( ) 1 = ( 1) 1 2 = ( 1) 4k = ( 1) 2k = 1. Proto číslo 1 je kvdrtickým zbytkem modulo. 6 b b

7 2. Komlexní čísl 2. Komlexní čísl V této kitole bychom chtěli čtenáři řiblížit zákldy komlexních čísel Zvedení komlexních čísel Def. Komlexním číslem rozumíme usořádnou dvojici (, b) reálných čísel b. Množinu všech komlexních čísel oznčíme C. N komlexních čísel definujeme relci = : ( 1, 2 ) = (b 1, b 2 ) 1 = b 1 2 = b 2, oerce + (sčítání) (násobení) následujícím zůsobem: ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) = ( 1 + b 1, 2 + b 2 ), ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) = ( 1 b 1 2 b 2, 1 b b 1 ). Znménko u oerce násobení obvykle vynecháváme. Vět Pro všechn komlexní čísl ( 1, 2 ), (b 1, b 2 ), (c 1, c 2 ) ltí: ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) = (b 1, b 2 ) + ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) + ( (b 1, b 2 ) + (c 1, c 2 ) ) = ( ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) ) + (c 1, c 2 ) ( 1, 2 ) + (0, 0) = ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) + ( 1, 2 ) = (0, 0) ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) = (b 1, b 2 ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) ((b 1, b 2 ) (c 1, c 2 ) ) = ( ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) ) (c 1, c 2 ) ( 1, 2 ) (1, 0) = ( 1, 2 ) ( ) ( 1, 2 ) (0, 0) = ( 1, 2 ) 1, 2 = (1, 0) ( 1, 2 ) ((b 1, b 2 ) + (c 1, c 2 ) ) = ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) + ( 1, 2 ) (c 1, c 2 ) Toto tvrzení se sndno dokáže rozesáním využitím vlstností reálných čísel. Zvedeme-li bijekci mezi čísly (, 0) (kde R), zjistíme, že množin komlexních čísel tvru (, 0) má stejné vlstnosti jko množin všech reálných čísel. Proto můžeme tyto dvě množiny rohlásit z totožné budeme sát (, 0) =. Def. Komlexní číslo (0, 1) nzýváme imginární jednotkou, obvykle znčíme i. Vět Kždé komlexní číslo (, b) lze zst jko + bi. Důkz: Vylývá z jednoduchého rozesání komlexního čísl: (, b) = (, 0) + (0, b) = (1, 0) + b (0, 1) = + bi Uvědomme si, že i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Pk dvě komlexní čísl můžeme násobit jko dvojčleny: ( + bi)(c + di) = c + bci + di + bdi 2 = (c bd) + (bc + d)i Podobně tké můžeme dvě komlexní čísl dělit (resektive hledt číslo inverzní k nějkému nenulovému komlexnímu číslu): 1 + bi = bi ( + bi)( bi) = bi 2 + b 2 = Tento ostu nzýváme usměrňování komlexního zlomku b 2 + b 2 + b 2 i

8 2. Komlexní čísl Def. Nechť z = +bi je komlexní číslo. Pk reálné číslo res. b nzýváme reálnou částí čísl z (íšeme R(z) = ) res. imginární částí čísl z (íšeme I(z) = b). Pltí z C : z = R(z) + I(z) i. Dále si uvědomme, že kždé reálné číslo, lze zst jko + 0i, to znmená, že R : R() = I() = 0. Def. Komlexní číslo, které má nulovou reálnou nenulovou imginární část nzýváme ryze imginární číslo. Komlexní číslo, které má nenulovou imginární část k ouze imginární číslo Absolutní hodnot, goniometrický tvr komlexního čísl Def. Nechť z C, z = + bi, k komlexní číslo z = bi nzýváme číslem komlexně sdruženým s číslem. Pltí z = z z R. Sndno ověříme, rotože z R I(z) = 0 I(z) = I(z). Pokud tedy má ltit z = z k I(z) = I(z) = I(z) = 0 nok. Def. Nechť z C, z = + ib k reálné číslo z = 2 + b 2 nzýváme bsolutní hodnotou čísl z. Vět Nechť z C k ltí: z 2 = z z Důkz: Nechť z = + ib, k z = ib z z = ( + ib)( ib) = 2 (ib) 2 = 2 + b 2 = z 2. Vět (goniometrický tvr komlexního čísl) Pro kždé komlexní číslo z existuje reálné číslo ϕ tkové, že ltí: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Důkz: Nechť z = + bi, kde, b R. Pk z = 2 + b 2 rotože ltí < z, k existuje ϕ tkové, že z cos ϕ =. Nvíc ro tkové ϕ ltí z sin ϕ = b, rotože: z 2 = 2 + b 2 z 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = 2 + b 2 ( z cos ϕ) 2 + ( z sin ϕ) 2 = 2 + b 2 ( z sin ϕ) 2 = b 2 z sin ϕ = b V důkzu jsme nvíc ukázli, jk se tkové číslo ϕ dá njít. Tomuto číslu říkáme rgument čísl z (íšeme rg(z)). Je známo, že tkových čísel je víc, rotože funkce sinus kosinus jsou eriodické mjí eriodu 2π, roto okud nějké číslo ϕ slňuje zdání k i všechn čísl, která dostneme řičtením nebo odečtením násobku 2π jsou tké vyhovující. Proto obvykle hledáme ϕ, které leží v intervlu 0, 2π). Tkové číslo k nzveme hlvním rgumentem čísl z (íšeme Arg(z)). Vět (násobení dělení čísel v goniometrickém tvru) Nechť = (cos ϕ + i sin ϕ) b = b (cos ψ + i sin ψ) jsou dvě komlexní čísl v goniometrickém tvru, k ltí: b = b ( cos (ϕ + ψ) + i sin (ϕ + ψ) ) b = ( ) cos (ϕ ψ) + i sin (ϕ ψ) b Tuto větu sndno dokážeme omocí následujícího lemmtu: 8

9 2. Komlexní čísl Lemm. cos(α + β) + i sin(α + β) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) Důkz: Podle součtových vzorců ltí: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β = cos α cos β + i 2 sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Jednoduchým rozesáním k dostáváme: cos(α + β) + i sin(α + β) = cos α cos β + i sin α cos β + i cos α sin β + i 2 sin α sin β = = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) A nyní se můžeme vrátit k důkzu věty 2.2.3: b = (cos ϕ + i sin ϕ) b (cos ψ + i sin ψ) = b ( cos (ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) ) (cos ϕ + i sin ϕ) = b b (cos ψ + i sin ψ) = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ i sin ψ) b (cos 2 ψ + sin 2 = ψ) = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos( ψ) + i sin( ψ)) = b b ( cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ) ) Vět (Moivreov vět) Nechť z = z (cos ϕ + i sin ϕ) je goniometrický tvr komlexního čísl z k ro kždé n N ltí: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Důkz: Mtemtickou indukcí: I. n = 1 Pltí triviálně. II. Přeokládejme, že z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) k: z n+1 = z n z = z n (cos nϕ + i sin nϕ) z (cos ϕ + i sin ϕ) Což odle ředchozí věty je rávě z n+1( cos(nϕ+ϕ)+i sin(nϕ+ϕ) ) = z n+1( cos(n+1)ϕ+i sin(n+1)ϕ ). Moivreov vět lze zobecnit i ro libovolnou celou mocninu. Stčí si uvědomit, že ro n = 0 ltí z 0 = z 0 (cos 0 + i sin 0) = 1 ro n < 0: z n = ( z 1) n z 1 = 1 z je odle věty 2.2.3: z 1 ( cos( ϕ) + i sin( ϕ) ) nyní už můžeme oužít Moivreovu větu ro řirozené n: z n = ( z 1) n = ( z 1 ) n ( cos( n)( ϕ) + i sin( n)( ϕ) ) = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Gussov rovin Komlexní čísl jsou usořádné dvojice čísel reálných, může nám to tedy řiomenout souřdnicový systém v rovině. Můžeme tedy zvést bijekci mezi všemi komlexními čísly všemi body v rovině. Mějme rovinu s krtézským souřdným systémem. Komlexnímu číslu = 1 + i 2 řiřdíme bod A[ 1, 2 ] roviny nok. Tuto rovinu k nzveme Gussovou rovinou. Osu x Gussovy roviny nzveme reálnou osou (znčíme R) osu y imginární (znčíme I). Podle výše uvedené bijekce budeme komlexní číslo nzývt jk komlexním číslem, tk bodem Gussovy roviny. Def. Bod O = 0 + 0i nzveme očátkem Gussovy roviny. 9

10 Následující obrázek ukzuje geometrický význm některých vlstností kolexních čísel. 2. Komlexní čísl I z = + ib O z Arg (z) b R Otočení kolem očátku Def. Zobrzení f : C C, f(z) = z, kde C je tkové komlexní číslo, které lze zst ve tvru = cos α + i sin α, nzveme otočením kolem očátku o úhel α. Toto otočení je zřejmě shodné s otočením, jk je známe z lnimetrie, neboť: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) z = z (cos ϕ + i sin ϕ) (cos α + i sin α) = z ( cos(ϕ + α) + i sin(ϕ + α) ) I f(z) = z z ϕ + α α ϕ O R Otočení o ± π 2 je vlstně násobení číslem ±i, o π (neboli středová souměrnost) je násobení číslem 1. Obdobně se djí definovt i dlší zobrzení, která známe z lnimetrie. 10

11 3. Celá komlexní čísl 3. Celá komlexní čísl Def. Množinu všech komlexních čísel +ib tkových, že, b Z, nzýváme množinou všech komlexních celých čísel nebo tké množinou všech Gussových celých čísel (tuto množinu budeme znčit Z[i]). Celá komlexní čísl jsou rozšířením celých čísel, nebo tké zúžením komlexních Dělitelnost v celých komlexních číslech Množin Z[i] je uzvřená vůči oercím +,. Obdobně jk celá čísl všk není uzvřená vůči oerci /, nříkld: 1 + i (1 + i)(2 + i) = 2 i (2 i)(2 + i) = 1 + 3i = i Z[i] Proto má, obdobně jko v celých číslech, smysl definovt dělitelnost. Def. Pro, b Z[i] říkáme, že b rávě tehdy, když existuje c Z[i] tkové, že c = b. Vět (Zákldní vlstnosti dělitelnosti) Pro všechn, b, c Z[i] ltí: b b c = c ( ) b c = b + c b c ( ) c 0 = ( b c bc) ( ) b b 0 = b ( ) Důkz: Tvrzení 1 ž 3 se sndno dokáže rozesáním z definice obdobně jko v celých číslech. Podrobněji se budeme věnovt čtvrtému tvrzení, rotože se liší od běžné teorie čísel v celých číslech. Jestliže b, k existuje c tkové, že c = b, tedy odle věty (2.2.3) ltí i c = b. A rotože b 0 k i c 0, b = 0 c = 0. Protože c > 0 c Z[i], k c 1. Z toho lyne, že b. V řirozených číslech je dělitelnost nejjednoduší, rotože kždé číslo n (vyjm jedničky) má rávě dv nevlstní dělitele (tj. tkové, které vždy musí mít) to jsou 1 n. V celých číslech se nám situce komlikuje číslo n má čtyři nevlstní dělitele: 1, 1, n n (smozřejmě kromě čísel 1 1, která mjí ouze dv). V komlexních číslech je situce ještě složitější nevlstních dělitelů čísl n {1, i, 1, i} je rovnou osm: 1, i, 1, i, n, in, n in Největší solečný dělitel nejmenší solečný násobek Def. Solečným dělitelem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c c b. Kždá dvě čísl mjí solečné dělitele čísl 1, i, 1 i. Tto čísl mjí v množině Z[i] stejné ostvení, jko číslo 1 v množině N, roto je budeme nzývt jednotkmi definujeme množinu U = {1, i, 1, i} obecně budeme znčit její rvek u. Násobení číslem u neovlivní dělitelnost, rotože u 1 U u 2 U : u 1 u 2 = 1. A nvíc Z[i], U : u u. Def. Čísl b nzveme shodnými rávě tehdy, když u U : = ub. Nechť b jsou dvě shodná čísl k zřejmě ltí: c Z[i] : c c b c b c. Pokud budeme mluvit o jednoznčnosti vzhledem k dělitelnosti, budeme vždy mluvit o shodnosti tkových čísel. 11

12 3. Celá komlexní čísl Přímým důsledkem věty je tvrzení:, b Z[i] : b b b jsou shodná. Def. Největším solečným dělitelem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c je dělitelné kždým solečným dělitelem čísel b. Budeme znčit c = N SD(, b). Def. Solečným násobkem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c b c. Kždá dvě čísl, b mjí solečné násobky nř. čísl b, ib, b, ib. A nvíc, okud je nějké číslo c solečným násobkem čísel b k i libovolný násobek čísl c je solečným násobkem čísel b. Def. Nejmenším solečným násobkem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c dělí libovolný solečný násobek čísel b. Budeme znčit c = N SN (, b). Nříkld solečným násobkem čísel i je číslo 4 2i, neboť 4 2i = 2 (2 i) = (3 + i)(1 i). Dlší solečný násobek je číslo 10 = 2 5 = (3 + i)(3 i). Všimněte si, že 4 2i dělí 10 jejich odíl je 2 + i. Číslo 4 2i je totiž nejmenším solečným násobkem čísel i. Protože i nok nejmenším (odle bsolutní hodnoty) dlším možným násobkem čísl 3 + i je rávě 4 2i, omocí věty sndno ukážeme, že nejmenší solečný násobek je mimo jiné tké nejmenší odle bsolutní hodnoty. Jejich solečným dělitelem je nř. číslo 1 + i, rotože 2 = (1 + i)(1 i) 3 + i = (1 + i)(2 i). A nvíc je toto číslo i jejich největším solečným dělitelem, rotože číslo 2 je dělitelné ouze jednotkovými násobky čísel 1, 1 + i 2. A rotože i i. Obdobně jko u nejmenšího solečného násobku i největší solečný dělitel je největší odle bsolutní hodnoty Obdob Euklidov lgoritmu Bezoutovy věty V těto kitole ukážeme, jk se dá njít největší solečný dělitel tké jeho jednoznčnost. Euklidův lgoritmus Hledejme N SD(, b), kde, b Z[i]. Bez újmy n obecnosti můžeme ředokládt, že b. Uvžujme čísl ub ro kždé u U. Předstvíme-li si tto čísl jko vektory v Gussově rovině, k jsou dvojice b, ib; ib, b; b, ib ib, b dvojicemi n sebe kolmých vektorů čísl b, ib, b, ib tvoří vrcholy čtverce, který má střed v očátku (viz obrázek). Vektor k svírá s jedním z těchto čísel úhel α π 4 (sndno ukážeme omocí Dirichletov rinciu). Uvžuji-li trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel menší nebo roven π 4, k strn roti tomuto úhlu je určitě krtší než nejdelší strn tohoto trojúhelníku (nř. ze sinové věty, z ředokldu, že funkce sinus je rostoucí n intervlu ) 0, π 2 ). Proto můžeme říct, že existuje tkové u U, že ub <. I b ib O ib R b Čísl b ub mjí stejného největšího solečného dělitele jko čísl b, rotože: d Z[i], d b : d d ub Zvolíme 1, b 1 = b, ub tk, by znovu ltilo b 1 1. A okujeme ostu tk dlouho, dokud jedno z čísel nevyjde nul. To se zcel jistě stne, rotože bsolutní hodnoty 1, b 1 klesjí mohou nbývt jen 12

13 3. Celá komlexní čísl některých diskrétních hodnot (druhá mocnin je vždy nezáorné celé číslo). Proto se dříve nebo ozději dostnu k číslu 0. Největším solečným dělitelem nuly nenulového čísl b n je číslo b n, rotože nul je dělitelná libovolným z Z[i]. Tkové b n k je i největším solečným dělitelem čísel b. Vět (Bezoutov vět), b Z[i] k, l Z[i] : k + lb = N SD(, b) Důkz: Vylývá z Euklidov lgoritmu, budeme-li ostuovt v očném ořdí. Vyjádříme N SD(, b) nejdříve jko n + ub n k z n, resektive b n, budeme doszovt z ředchozích vzthů. Budeme-li ostuovt dál, z kždé rovnice jsme schoni sočítt dlší (jeden) člen. A o konečném očtu kroků se dostneme k vyjádření největšího solečného dělitele omocí čísel b. Všichni soleční dělitelé jsou o dvou shodná čísl. Toto tvrzení můžeme dokázt sorem. Předokládejme, že existuje tková d 1, d 2 Z[i], že d 1 d 2 nebo d 2 d 1 zároveň jsou obě největším solečným dělitelem b. Proto d 1 d 2 jsou soleční dělitelé nvíc největší soleční dělitelé čísel, b. Musí tedy ltit, že d 1 i d 2 se dělí nvzájem sor. Tímto jsme ukázli jednoznčnost největšího solečného dělitele. Def. Čísl, b Z[i], ro která N SD(, b) U, nzýváme nesoudělná. Vět Nechť, b, c Z[i] N SD(, b) U k ltí: bc = c. Důkz: Podle věty existují čísl k, l Z[i] u U tková, že u N SD(, b) = 1 = k + lb. Vynásobíme-li tuto rovnost číslem c, dostáváme c = kc + lbc rotože kc lbc ( bc) tk musí dělit i jejich součet, tedy c. 13

14 4. Gussov rvočísl 4. Gussov rvočísl Def. Číslo z Z[i], které má ouze nevlstní dělitele, nzveme rvočíslem v komlexních celých číslech nebo tké Gussovým rvočíslem. Protože se ndále budeme zbývt i běžnými rvočísly, uřesníme ještě trochu názvosloví. budeme-li mluvit o běžném rvočísle, máme tím n mysli rvočíslo v Z (tj. tkové kldné číslo, které má rávě dv kldné dělitele). V druhém řídě rvočíslo v Z[i] budeme vždy nzývt Gussovo rvočíslo nebo jen rvočíslo. Množinu všech běžných rvočísel budeme znčit P množinu všech Gussových rvočísel P G. Některá Gussov rvočísl: 1 + i, 1 i, 1 i, 1 + i, 3, 3i, 3, 3i, 2 + i, 2 i, Vlstnosti Gussových rvočísel Pokud, k N SD(, ) U, rotože kdyby to tk nebylo N SD(, ) bylo nějké d k ltí d tj. d {1, i, 1, i,,, i, i}. A rotože, k d dostáváme to, co jsme chtěli. Vět Číslo Z[i] je Gussovo rvočíslo rávě tehdy, když, b Z[i] : b = b. Důkz: Nejdříve dokážeme imlikci zlev dorv: Rozebereme dv řídy: k je imlikce triviálně slněn. Pokud k N SD(, ) U roto ro, b ltí vět tj. b. Nyní budeme ředokládt, že ro nějké Z[i] ltí, b Z[i] : b = b. Důkz ovedeme sorem: ředokládejme, že existuje nějké d tk, že d je vlstní dělitel čísl. Proto existuje c Z[i] tkové, že c d = nvíc c, d U, tk nedělí ni c ni d, le dělí jejich součin dostáváme sor. Tím dostáváme ekvivlentní odmínku rvočíselnosti tké velmi důležitou vlstnost rvočísel. Vět (Vět o rozkldu čísl n rvočísl) Kždé Gussovo celé číslo různé od jednotky od nuly lze nst jko součin Gussových rvočísel. Důkz: Větu budeme dokzovt indukcí vzhledem k druhé mocnině bsolutní hodnoty. Mějme číslo nechť je jeho bsolutní hodnot. I. 2 = 2 Tuto odmínku slňují čísl 1 + i, 1 i jejich u-násobky. Tto čísl jsou rvočísl roto je netřeb rozkládt. II. Předokládejme, že všechn čísl s druhou mocninou bsolutní hodnoty menší než 2 jdou rozložit n součin rvočísel. Číslo buď je rvočíslem, k je rozkld jsný, nebo není rvočíslem, k existuje nějký jeho vlstní dělitel d odíl c tk, by cd =. Nvíc c i d je menší než tkže ro ně ltí indukční ředokld, roto i číslo umíme rozložit n součin rvočísel. Vět Existuje nekonečně mnoho Gussových rvočísel. Důkz: Sorem. Předokládejme, že existuje konečně mnoho Gussových rvočísel. Oznčme je 1, 2,..., k, kde k N. Uvžujme číslo = k + 1. Toto číslo není dělitelné žádným rvočíslem, okud by tomu bylo jink, k i 1, 2,..., k : i = i k, dostáváme i 1, což je sor. Ale odle ředchozí věty číslo lze rozložit n rvočinitele = sor Tvr Gussových rvočísel Vět Číslo z Z[i] je Gussovým rvočíslem rávě tehdy, když nbývá jednoho z těchto tvrů: 14

15 4. Gussov rvočísl { + ib z = 2 + b 2 je běžné rvočíslo, b 0 u u U je běžné rvočíslo, které nelze zst jko součet dvou kvdrátů Důkz: Rozdělíme si roblém n dv řídy: I. z = + ib, b 0 II. z = u, u U. I. z = + bi: Uvžme číslo zz Z jeho rozkld n běžná rvočísl. Pk z dělí jedno z těchto rvočísel. Nechť je toto rvočíslo x = z, x = c + id. Pltí = xz = (c bd) + i(d + bc) roto: d + bc = 0 d = bc b = c d Poslední úrvu si můžeme dovolit, rotože, b 0 0 roto i c, d 0. Zlomek b je v zákldním tvru, rotože kdyby nebyl existovlo by nějké celé k k b, le tkové k dělí i z, což je sor s rvočíselností čísl z. Proto ltí: k Z : c = k d = kb. zx = k b ( kb) = A rotože 2 + b 2 2 (z P G ) k k = 1 tj. = z 2. k( 2 + b 2 ) = Ještě druhou imlikci: Mějme běžné rvočíslo = 2 + b 2. Pk = ( + ib)( ib). Uvžujme nějké Gussovo rvočíslo z ± ib k i z tj. z = ± ib. Proto čísl ± ib jsou Gussovská rvočísl. II. Pokud z = u, k mohu místo z uvžovt, co se týče dělitelnosti. A rotože neexistuje žádné číslo, které má nulovou reálnou nebo imginární část dělí číslo (z důvodu, že je obyčejné rvočíslo), jediné číslo, které by mohlo dělit je Gussovo rvočíslo ředchozího tvru, le to by muselo být součtem dvou kvdrátů sor. Všechny úvhy se djí i obrátit, roto je vět dokázán. Vět Kždé běžné rvočíslo tvru 4k + 1 lze zst jko součet dvou kvdrátů. Důkz: Podle věty ltí, že kždé tkové rvočíslo dělí nějké n Uvžujme rozkld čísl n = (n + i)(n i). Jk n + i tk n i nemůže být dělitelné žádným Gussovým rvočíslem tvru u, kde je běžné rvočíslo (které nelze zst jko součet dvou druhých mocnin) u U, rotože k by bylo dělitelné i rvočíslem tedy n±i Z[i]: n ± i = n ± 1 i Z[i] = 1 Z což je sor. Čísl n ± i jsou tedy dělitelná ouze Gussovými rvočísly z tkovými, že z 2 je běžné rvočíslo. Tkže v rozkldu čísl n n Gussovy rvočinitele se nchází jen tto rvočísl, nvíc ke kždému je tm i komlexně sdružené, rotože okud z (n ± i) k z (n i). Když vynásobíme dvě komlexně sdružená rvočísl, vyjde nám běžné rvočíslo, které lze zst jko součet dvou druhých mocnin. Tedy n je dělitelné ouze rvočísly, které lze zst jko součet dvou druhých mocnin. Mějme rvočíslo tvru 4k + 1 (k Z), k dělí n lze ho tedy zst jko součin dvou druhých mocnin. Lemm. Běžné rvočíslo lze zst jko součet dvou kvdrátů rávě tehdy když není tvru 4k + 3. Důkz: Prvočísl tvru 4k neexistují. Prvočísl tvru 4k + 1 jdou zst jko součet dvou kvdrátů odle věty Tvru 4k + 2 je ouze dvojk 2 = A číslo tvru 4k + 3 nelze zst jko součet dvou kvdrátů, rotože kvdrtické zbytky modulo 4 jsou 0 1. A žádným součtem dvou z těchto čísel nedostneme 3. 15

16 Větu lze tedy ekvivlentně formulovt tkto: Číslo z Z[i] je Gussovým rvočíslem rávě tehdy, když je jednoho z těchto tvrů: { + ib z = 2 + b 2 =, kde je běžné rvočíslo tvru 4k + 1, nebo 2 u u U je běžné rvočíslo tvru 4k Gussov rvočísl 4.3. Využití Gussových rvočísel Gussov rvočísl mjí mnohé využtí v běžné teorii čísel, ro ukázku zde uvádíme větu: Vět Celé číslo, které lze zst jko součin dvou čísel b, c tkových, že je lze zst jko součet dvou kvdrátů, lze zst jko součet dvou kvdrátů. Důkz: Nechť b = b b 2 2 c = c c 2 2. Pk ltí: = b c = (b b 2 2)(c c 2 2) = (b 1 + ib 2 )(b 1 ib 2 )(c 1 + ic 2 )(c 1 ic 2 ) = = ( (b 1 + ib 2 )(c 1 + ic 2 ) )( (b 1 ib 2 )(c 1 ic 2 ) ) Což je součin dvou komlexně sdružených čísel z = x + iy z = x iy: = zz = x 2 + y 2. A jeden říkld: Příkld: (Mtemtická olymiád 55. roč. A-I-6) Njděte všechny usořádné dvojice (x, y) řirozených čísel, ro něž ltí x 2 + y 2 = 2005(x y). Řešení: Nejdříve si zdnou rovnici urvíme vynásobíme čtyřmi. ( x 2005 ) 2 ( + y ) 2 = Rozložíme si číslo n Gussov rvočísl: (2x 2005) 2 + (2y ) 2 = = (1 + i)(1 i)(2 + i) 2 (2 i) 2 (20 + i) 2 (20 i) 2 Snžíme se vyjádřit číslo jko součet dvou kvdrátů, neboli jko součin dvou komlexně sdružených Gussových čísel. Aby nějká dvě čísl byl komlexně sdružená musí se v jejich rozkldu n rvočísl ncházet komlexně sdružená čísl. Proto rozdělíme rvočinitele čísl do komlexně sdružených dvojic z kždé vybereme jedno číslo. Vybrná čísl k vynásobíme dostneme tkové číslo + ib, že 2 + b 2 = Tzn. nemusíme ni očítt druhý součin, b co víc, všechn čísl tvru u ( + ib), kde u U, nám djí stejné dvojice druhých mocnin. Proto si můžeme očítání velmi urychlit. Uvědomíme si, že 1 + i = i (1 i) tkže výběr v dvojici 1 + i, 1 i nebude mít n výsledek efekt. Dále si můžeme ještě jedno číslo zvolit z konstntní, rotože jink bychom ke všem součinům dostli i komlexně sdružená čísl. Bude nám stčit sočítt jen šest součinů: (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 + i)(20 + i) = i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 + i)(20 + i) = i (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 + i)(20 i) = i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 + i)(20 i) = i (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 i)(20 i) = i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 i)(20 i) = i 16

17 4. Gussov rvočísl Všechny neusořádné dvojice řirozených čísel (, b) tkových, že 2 + b 2 = jsou tedy: (119, 2833), (401, 2807), (679, 2753), (1795, 2195), (2005, 2005) N dvojici (2005, 2005) můžeme s klidem v duši zomenout, rotože víme, že y je řirozené tedy y Tto nerovnost nám tké říká, které číslo z dvojice řiřdíme k y které k x. Dále nesmíme zomenout, že číslo x může být i záorné k nám zbude jen doočítt řešení. Úloh má celkem osm řešení: (x, y) { (1062, 414), (943, 414), (105, 95), (1900, 95), (663, 374), (1342, 374), (802, 401), (1203, 401) } 17

18 Použitá litertur Použitá litertur [1] Prof. RNDr. Miloš Ráb, DrSc.: Komlexní čísl v elementární mtemtice, Msrykov univerzit, Brno, 1997; ISBN X [2] RNDr. Jiří Hermn, Ph.D., Doc. RNDr. Rdn Kučer, CSc., Doc. RNDr. Jromír Šimš, CSc.: Metody řešení mtemtických úloh I, Msrykov univerzit, Brno, 2001; ISBN [3] Eric W. Weisstein: Gussin Prime, From MthWorld A Wolfrm Web Resource htt://mthworld.wolfrm.com/gussinprime.html [4] Eric W. Weisstein: Gussin Integer, From MthWorld A Wolfrm Web Resource htt://mthworld.wolfrm.com/gussininteger.html [5] Mrtin Klzr: Introduction in Number Theory, htt://www.ms.mff.cuni.cz/cd/km/klzr/utc04.s [6] 55. ročník Mtemtické olymiády: Úlohy domácí části I. kol ktegorie A, htt://www.mth.muni.cz/ rvmo/mo/55/55i.df 18

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I 5.. Objemy orchy mnohostěnů I Předokldy: 51 Význm slo objem i orch je intuitině jsný. Mtemtická definice musí být oněkud řesnější. Okoání z lnimetrie: Obsh obrzce je kldné číslo, řiřzené obrzci tk, že

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá

Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jko přehled mtiky k mturitě, tkže jeho form odpovídá rozshu mého učiv mým poždvkům. Docel se mi osvědčilo už během roku, bylo mi nvrženo, bych ho dl k dispozici n

Více

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant Algebra 2 Teorie čísel Home Page Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Page 1 of 103 Abstrakt.

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz

Petriho sítě PES 2007/2008. ceska@fit.vutbr.cz. Doc. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz PES Petriho sítě p. 1/34 Petriho sítě PES 2007/2008 Prof. RNDr. Miln Češk, CS. esk@fit.vutr.z Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. vojnr@fit.vutr.z Sz: Ing. Petr Novosd, Do. Ing. Tomáš Vojnr, Ph.D. (verze 06.04.2010)

Více

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA OBRAOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO RCADLA vtšení optického zobrzení pedešlých kpitol již víme, že pi zobrzení okmi nebo kulovými zrcdly mohou vznikt zvtšené nebo zmenšené obrzy pedmt. Pro jejich mtemtický

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1 Grnt předmětu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (do 31.8.00) Prof. RNDr. Jn CHVALINA, DrSc. (od 1.9.00) Autoři

Více

2.9.14 Věty o logaritmech I

2.9.14 Věty o logaritmech I .9.1 Věty o itmech I Předpokldy: 910 Pedgogická poznámk: Tto náledující hodin e djí tihnout njednou, pokud oželíte počítání v tbulce někteé příkldy n konci příští hodiny. Přijde mi to tochu škod, nžím

Více

Prvočísla a čísla složená

Prvočísla a čísla složená Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je každé přirozené číslo, které má právě dva různé dělitele, číslo 1 a samo sebe. Nejmenším a jediným sudým je prvočíslo 2. Další prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

Více

Důkazové metody v teorii čísel

Důkazové metody v teorii čísel Důkazové metody v teorii čísel Michal Kenny Rolínek ØÖ ØºPříspěveknejenukazujeklasickátvrzenízelementárníteoriečísel, ale především ukazuje obvyklé postupy při jejich používání, a to převážně na úlohách

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta.

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 4. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:42 Obsah 1 Dělitelnost 1 1.1 Největší společný dělitel................................

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících

Více

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo

Odraz na kulové ploše Duté zrcadlo Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. Podle oázku

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor

Datamining a AA (Above Average) kvantifikátor Dtmining AA (Above Averge) kvntifikátor Jn Burin Lbortory of Intelligent Systems, Fculty of Informtics nd Sttistics, University of Economics, W. Churchill Sq. 4, 13067 Prgue, Czech Republic, burinj@vse.cz

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška

Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie

Více

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz

Příručka k portálu. Katalog sociálních služeb v Ústeckém kraji. socialnisluzby.kr-ustecky.cz Příručk k portálu Ktlog sociálních služeb v Ústeckém krji socilnisluzby.kr-ustecky.cz Uživtelská příručk k portálu socilnisluzby.kr-ustecky.cz 0 BrusTech s.r.o. Všechn práv vyhrzen. Žádná část této publikce

Více

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku?

Automaty a gramatiky. Organizační záležitosti. Přednáška: na webu (http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak/automaty) Proč chodit na přednášku? Orgnizční záležitosti Atomty grmtiky Romn Brták, KTIML rtk@ktiml.mff.cni.cz http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk Přednášk: n we (http://ktiml.mff.cni.cz/~rtk/tomty) Proč chodit n přednášk? dozvíte se více než

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

1,2,3,6,9,18, 1,2,3,5,6,10,15,30.

1,2,3,6,9,18, 1,2,3,5,6,10,15,30. ARNP 1 2015 Př. 9 Společný dělitel a společný násobek Společný dělitel Příklad 1: Najděte množinu všech dělitelů čísla 18 a množinu všech dělitelů čísla 30. Řešení: Množina všech dělitelů čísla 18 je množina

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA 1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kpitole se ozvíte: co rozumíme lgebrickým výrzem; jk jsou efinovány zlomky jké záklní operce s nimi prováíme; jk je

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

7.5.13 Rovnice paraboly

7.5.13 Rovnice paraboly 7.5.1 Rovnice arabol Předoklad: 751 Př. 1: Seiš všechn rovnice ro arabol a nakresli k nim odovídající obrázk. Na každém obrázku vznač vzdálenost. = = = = Pedagogická oznámka: Sesání arabol je důležité,

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod

SEMINÁŘ I Teorie absolutních a komparativních výhod PODKLDY K SEMINÁŘŮM ŘEŠENÉ PŘÍKLDY SEMINÁŘ I eorie bsolutních komprtivních výhod Zákldní principy teorie komprtivních výhod eorie komprtivních výhod ve své klsické podobě odvozuje motivci k obchodu z rozdílných

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her

DIPLOMOVÁ PRÁCE. Teorie nekonečných her UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Teorie nekonečných her Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Krel Pstor, Ph.D Rok odevzdání:

Více

II. termodynamický zákon a entropie

II. termodynamický zákon a entropie Přednášk 5 II. termodynmický zákon entropie he lw tht entropy lwys increses holds, I think, the supreme position mong the lws of Nture. If someone points out to you tht your pet theory of the universe

Více

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více