Gaussovská prvočísla

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Gaussovská prvočísla"

Transkript

1 Středoškolská odborná činnost 2005/2006 Obor 01 mtemtik mtemtická informtik Gussovská rvočísl Autor: Jkub Oršl Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14, Brno, 4.A Konzultnt ráce: Mgr. Viktor Ježek (Gymnázium Brno, tř. Kt. Jroše 14) Zdvtel ráce: Brno, 2006 Jihomorvský krj

2 Prohlšuji, že jsem ředloženou ráci zrcovl smosttně oužil jen uvedené rmeny literturu. Jkub Oršl V Brně dne

3 Abstrkt Abstrkt Tto ráce oisuje konkrétní část mtemtiky Gussov rvočísl, resektive teorii kolem Gussových celých čísel její zákldní věty. Kromě této roblemtiky řeší některé části teorie čísel (zvláště Legendreovy symboly) komlexní čísl. Gussov celá čísl jsou komlexní čísl s celočíselnou reálnou imginární částí. V této množině můžeme definovt dělitelnost obdobně jko v celých číslech. Pokud se hlouběji onoříme, zjistíme, že Gussov čísl mjí vlstnosti velmi odobné číslům celým, nř. věty o dělitelnosti, největší soleční dělitelé, Euklidův lgoritmus, Bezoutov vět, rozkld n rvočinitele dlší. Z zmínku stojí zvlášt Euklidův lgoritmus, který je běžně zložen n dělení se zbytkem. Náš Euklidův lgoritmus, tk jk je osán v této ráci, je zložen n odobných zákldech, le smotné dělení se zbytkem neoužívá, roto se dělením se zbytkem, které je v Gussových číslech znčně složitější než v celých číslech, nemusíme zbývt. Nším cílem bylo krom dokázání všech zákldních vět i ost tvr Gussových rvočísel (v závislosti n běžných rvočíslech). Dokázání tkového fktu nám zjednoduší hledání Gussových rvočísel, rotože velké množství běžných rvočísel známe. A krom toho nám roblém rozhodnutí, zd dné Gussovo číslo je rvočíslo, řevádí n více řešený roblém o rozhodnutí, zd je celé číslo rvočíslem. Gussov čísl mjí mnoho ultnění v běžné teorii čísel. Velmi jednoduše lze nříkld zst dné číslo jko součet dvou druhých mocnin omocí rozkldu n Gussovy rvočinitele. V závěru ráce tké ukzujeme oužití n jednom konkrétním říkldě z letošního ročníku mtemtické olymiády. 3

4 Obsh Obsh Obsh 4 1. Vybrné kitoly z teorie čísel Kongruence Kvdrtické zbytky Legendreovy symboly Komlexní čísl Zvedení komlexních čísel Absolutní hodnot, goniometrický tvr komlexního čísl Gussov rovin Celá komlexní čísl Dělitelnost v celých komlexních číslech Největší solečný dělitel nejmenší solečný násobek Obdob Euklidov lgoritmu Bezoutovy věty Gussov rvočísl Vlstnosti Gussových rvočísel Tvr Gussových rvočísel Využití Gussových rvočísel Použitá litertur 18 4

5 1. Vybrné kitoly z teorie čísel 1. Vybrné kitoly z teorie čísel V této kitole bychom rádi čtenářovi řiblížili některé kitoly z teorie čísel, které se běžně neučí n střední škole které budeme v dlších kitolách využívt. Všechn obecně známá tvrzení neuvádíme nedokzujeme, můžete je nlézt i s důkzy v [2] Kongruence Def. Říkáme, že je kongruentní s b modulo c rávě tehdy, když b dávjí stejný zbytek o dělení číslem c. Píšeme b (mod c). Vět b (mod m) t Z : = mt + b m ( b) Důkz této věty solu s dlšími vlstnostmi kongruencí nleznete v [2] od strny Kvdrtické zbytky Budeme-li zkoumt zbytky druhých mocnin celých čísel o dělení nějkým číslem n sndno zjistíme, že mohou nbývt jen některých hodnot. Které zbytky můžeme dostt sndno ověříme, dosdíme-li do kongruence všechny možné zbytky umocníme je ostuně n druhou, nříkld druhé mocniny mohou modulo 8 nbývt jen zbytky: (mod 8) (mod 8) Def. Nechť n N. Říkáme, že číslo {0, 1,..., n 1} je kvdrtickým zbytkem modulo n okud existuje celé číslo c tkové, že c 2 (mod n). V očném řídě nzveme číslo kvdrtickým nezbytkem modulo n. Krom modulu 8 jsou zjímvé ještě kvdrtické zbytky všech jednociferných modulů. Čsto se djí využít v úlohách z teorie čísel. Přehledně je udává následující tbulk: 3,4 0,1 7 0,1,2,4 5 0,1,4 8 0,1,4 6 0,1,3,4 9 0,1,4,7 Vět Nechť je liché rvočíslo, k existuje rávě 1 2 nenulových kvdrtických zbytků modulo. Důkz: Všechny nenulové kvdrtické zbytky modulo njdeme tk, že vezmeme čísl 1, 2,..., 1 umocním je n druhou. Uvědomme si, že ltí: x 2 1 x 2 2 (mod ) x 2 1 x (x 1 x 2 )(x 1 + x 2 ) 0 x 1 ±x 2 Tedy kvdráty dvou různých čísel x 1 x 2 z množiny {1, 2,..., 1} dávjí stejný zbytek o dělení rávě tehdy, když x 1 x 2. Můžeme tedy tto čísl rozdělit do dvojic, odle kvdrtického zbytku těchto dvojic je k

6 1. Vybrné kitoly z teorie čísel Přímým důsledkem věty je tvrzení, že existuje rávě 1 2 kvdrtických nezbytků modulo lichým rvočíslem Legendreovy symboly Ještě si zobecníme definici kvdrtického zbytku ro všechn celá čísl logickým rozšířením: Def. Nechť n Z, k celé číslo nzveme kvdrtický zbytkem modulo n rávě tehdy, když existuje c Z : c 2 (mod n). ( ) Def. Mějme liché rvočíslo celé číslo, k číslo nzýváme Legendreovým symbolem definujeme tkto: ( ) { +1 když je nenulovým kvdrtickým zbytkem modulo = 0 ro 1 když není kvdrtickým zbytkem modulo ( Vět Pokud b (mod ) k Důkz: Zřejmý. ) ( ) = ( Vět (Eulerovo kritérium) Pro kždé celé liché rvočíslo ltí: b ) 1 2 (mod ). Důkz: Příd je jednoduchý, změřím se tedy n říd N SD(, ) = 1. Podle mlé Fermtovy věty ltí: 1 1 (mod ) ( )( 1 2 1) 0 (mod ) Tedy 1 2 ±1. Je-li kvdrtický zbytek k ltí, že existuje c Z tkové, že c 2 tedy 1 2 c 1 1 (oět odle mlé Fermtovy věty), tedy ro kvdrtický zbytek vět ltí. Nvíc žádné jiné číslo kromě 1 2 nenulových kvdrtických zbytků modulo nemůže slňovt , rotože levá strn této kongruence je mnohočlen stuně 1 2 roto má tto rovnice nejvýše 1 2 kořenů modulo. Tedy ro kvdrtické nezbytky ltí: ( ) b Vět Nechť, b Z; je liché rvočíslo, k ltí: = ( ) ( b ) Důkz: Podle věty ltí: (b ) (b) 1 2 = 1 2 b 1 2 ( ) ( ) b A rotože Legendreovy symboly mohou nbývt ouze hodnot( 0, ) 1 ( 1) ( zároveň ) jsou tto čísl nekongruentní modulo, k z této kongruence vylývá rovnost =. Vět Pro kždé rvočíslo tvru 4k + 1 existuje n N tkové, že n Důkz: Stčí dokázt, že číslo 1 je kvdrtický zbytek modulo. Sočteme si symbol: ( ) 1 = ( 1) 1 2 = ( 1) 4k = ( 1) 2k = 1. Proto číslo 1 je kvdrtickým zbytkem modulo. 6 b b

7 2. Komlexní čísl 2. Komlexní čísl V této kitole bychom chtěli čtenáři řiblížit zákldy komlexních čísel Zvedení komlexních čísel Def. Komlexním číslem rozumíme usořádnou dvojici (, b) reálných čísel b. Množinu všech komlexních čísel oznčíme C. N komlexních čísel definujeme relci = : ( 1, 2 ) = (b 1, b 2 ) 1 = b 1 2 = b 2, oerce + (sčítání) (násobení) následujícím zůsobem: ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) = ( 1 + b 1, 2 + b 2 ), ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) = ( 1 b 1 2 b 2, 1 b b 1 ). Znménko u oerce násobení obvykle vynecháváme. Vět Pro všechn komlexní čísl ( 1, 2 ), (b 1, b 2 ), (c 1, c 2 ) ltí: ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) = (b 1, b 2 ) + ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) + ( (b 1, b 2 ) + (c 1, c 2 ) ) = ( ( 1, 2 ) + (b 1, b 2 ) ) + (c 1, c 2 ) ( 1, 2 ) + (0, 0) = ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) + ( 1, 2 ) = (0, 0) ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) = (b 1, b 2 ( 1, 2 ) ( 1, 2 ) ((b 1, b 2 ) (c 1, c 2 ) ) = ( ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) ) (c 1, c 2 ) ( 1, 2 ) (1, 0) = ( 1, 2 ) ( ) ( 1, 2 ) (0, 0) = ( 1, 2 ) 1, 2 = (1, 0) ( 1, 2 ) ((b 1, b 2 ) + (c 1, c 2 ) ) = ( 1, 2 ) (b 1, b 2 ) + ( 1, 2 ) (c 1, c 2 ) Toto tvrzení se sndno dokáže rozesáním využitím vlstností reálných čísel. Zvedeme-li bijekci mezi čísly (, 0) (kde R), zjistíme, že množin komlexních čísel tvru (, 0) má stejné vlstnosti jko množin všech reálných čísel. Proto můžeme tyto dvě množiny rohlásit z totožné budeme sát (, 0) =. Def. Komlexní číslo (0, 1) nzýváme imginární jednotkou, obvykle znčíme i. Vět Kždé komlexní číslo (, b) lze zst jko + bi. Důkz: Vylývá z jednoduchého rozesání komlexního čísl: (, b) = (, 0) + (0, b) = (1, 0) + b (0, 1) = + bi Uvědomme si, že i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1. Pk dvě komlexní čísl můžeme násobit jko dvojčleny: ( + bi)(c + di) = c + bci + di + bdi 2 = (c bd) + (bc + d)i Podobně tké můžeme dvě komlexní čísl dělit (resektive hledt číslo inverzní k nějkému nenulovému komlexnímu číslu): 1 + bi = bi ( + bi)( bi) = bi 2 + b 2 = Tento ostu nzýváme usměrňování komlexního zlomku b 2 + b 2 + b 2 i

8 2. Komlexní čísl Def. Nechť z = +bi je komlexní číslo. Pk reálné číslo res. b nzýváme reálnou částí čísl z (íšeme R(z) = ) res. imginární částí čísl z (íšeme I(z) = b). Pltí z C : z = R(z) + I(z) i. Dále si uvědomme, že kždé reálné číslo, lze zst jko + 0i, to znmená, že R : R() = I() = 0. Def. Komlexní číslo, které má nulovou reálnou nenulovou imginární část nzýváme ryze imginární číslo. Komlexní číslo, které má nenulovou imginární část k ouze imginární číslo Absolutní hodnot, goniometrický tvr komlexního čísl Def. Nechť z C, z = + bi, k komlexní číslo z = bi nzýváme číslem komlexně sdruženým s číslem. Pltí z = z z R. Sndno ověříme, rotože z R I(z) = 0 I(z) = I(z). Pokud tedy má ltit z = z k I(z) = I(z) = I(z) = 0 nok. Def. Nechť z C, z = + ib k reálné číslo z = 2 + b 2 nzýváme bsolutní hodnotou čísl z. Vět Nechť z C k ltí: z 2 = z z Důkz: Nechť z = + ib, k z = ib z z = ( + ib)( ib) = 2 (ib) 2 = 2 + b 2 = z 2. Vět (goniometrický tvr komlexního čísl) Pro kždé komlexní číslo z existuje reálné číslo ϕ tkové, že ltí: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Důkz: Nechť z = + bi, kde, b R. Pk z = 2 + b 2 rotože ltí < z, k existuje ϕ tkové, že z cos ϕ =. Nvíc ro tkové ϕ ltí z sin ϕ = b, rotože: z 2 = 2 + b 2 z 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = 2 + b 2 ( z cos ϕ) 2 + ( z sin ϕ) 2 = 2 + b 2 ( z sin ϕ) 2 = b 2 z sin ϕ = b V důkzu jsme nvíc ukázli, jk se tkové číslo ϕ dá njít. Tomuto číslu říkáme rgument čísl z (íšeme rg(z)). Je známo, že tkových čísel je víc, rotože funkce sinus kosinus jsou eriodické mjí eriodu 2π, roto okud nějké číslo ϕ slňuje zdání k i všechn čísl, která dostneme řičtením nebo odečtením násobku 2π jsou tké vyhovující. Proto obvykle hledáme ϕ, které leží v intervlu 0, 2π). Tkové číslo k nzveme hlvním rgumentem čísl z (íšeme Arg(z)). Vět (násobení dělení čísel v goniometrickém tvru) Nechť = (cos ϕ + i sin ϕ) b = b (cos ψ + i sin ψ) jsou dvě komlexní čísl v goniometrickém tvru, k ltí: b = b ( cos (ϕ + ψ) + i sin (ϕ + ψ) ) b = ( ) cos (ϕ ψ) + i sin (ϕ ψ) b Tuto větu sndno dokážeme omocí následujícího lemmtu: 8

9 2. Komlexní čísl Lemm. cos(α + β) + i sin(α + β) = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) Důkz: Podle součtových vzorců ltí: cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β = cos α cos β + i 2 sin α sin β sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Jednoduchým rozesáním k dostáváme: cos(α + β) + i sin(α + β) = cos α cos β + i sin α cos β + i cos α sin β + i 2 sin α sin β = = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) A nyní se můžeme vrátit k důkzu věty 2.2.3: b = (cos ϕ + i sin ϕ) b (cos ψ + i sin ψ) = b ( cos (ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ) ) (cos ϕ + i sin ϕ) = b b (cos ψ + i sin ψ) = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ i sin ψ) b (cos 2 ψ + sin 2 = ψ) = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos( ψ) + i sin( ψ)) = b b ( cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ) ) Vět (Moivreov vět) Nechť z = z (cos ϕ + i sin ϕ) je goniometrický tvr komlexního čísl z k ro kždé n N ltí: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Důkz: Mtemtickou indukcí: I. n = 1 Pltí triviálně. II. Přeokládejme, že z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) k: z n+1 = z n z = z n (cos nϕ + i sin nϕ) z (cos ϕ + i sin ϕ) Což odle ředchozí věty je rávě z n+1( cos(nϕ+ϕ)+i sin(nϕ+ϕ) ) = z n+1( cos(n+1)ϕ+i sin(n+1)ϕ ). Moivreov vět lze zobecnit i ro libovolnou celou mocninu. Stčí si uvědomit, že ro n = 0 ltí z 0 = z 0 (cos 0 + i sin 0) = 1 ro n < 0: z n = ( z 1) n z 1 = 1 z je odle věty 2.2.3: z 1 ( cos( ϕ) + i sin( ϕ) ) nyní už můžeme oužít Moivreovu větu ro řirozené n: z n = ( z 1) n = ( z 1 ) n ( cos( n)( ϕ) + i sin( n)( ϕ) ) = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Gussov rovin Komlexní čísl jsou usořádné dvojice čísel reálných, může nám to tedy řiomenout souřdnicový systém v rovině. Můžeme tedy zvést bijekci mezi všemi komlexními čísly všemi body v rovině. Mějme rovinu s krtézským souřdným systémem. Komlexnímu číslu = 1 + i 2 řiřdíme bod A[ 1, 2 ] roviny nok. Tuto rovinu k nzveme Gussovou rovinou. Osu x Gussovy roviny nzveme reálnou osou (znčíme R) osu y imginární (znčíme I). Podle výše uvedené bijekce budeme komlexní číslo nzývt jk komlexním číslem, tk bodem Gussovy roviny. Def. Bod O = 0 + 0i nzveme očátkem Gussovy roviny. 9

10 Následující obrázek ukzuje geometrický význm některých vlstností kolexních čísel. 2. Komlexní čísl I z = + ib O z Arg (z) b R Otočení kolem očátku Def. Zobrzení f : C C, f(z) = z, kde C je tkové komlexní číslo, které lze zst ve tvru = cos α + i sin α, nzveme otočením kolem očátku o úhel α. Toto otočení je zřejmě shodné s otočením, jk je známe z lnimetrie, neboť: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) z = z (cos ϕ + i sin ϕ) (cos α + i sin α) = z ( cos(ϕ + α) + i sin(ϕ + α) ) I f(z) = z z ϕ + α α ϕ O R Otočení o ± π 2 je vlstně násobení číslem ±i, o π (neboli středová souměrnost) je násobení číslem 1. Obdobně se djí definovt i dlší zobrzení, která známe z lnimetrie. 10

11 3. Celá komlexní čísl 3. Celá komlexní čísl Def. Množinu všech komlexních čísel +ib tkových, že, b Z, nzýváme množinou všech komlexních celých čísel nebo tké množinou všech Gussových celých čísel (tuto množinu budeme znčit Z[i]). Celá komlexní čísl jsou rozšířením celých čísel, nebo tké zúžením komlexních Dělitelnost v celých komlexních číslech Množin Z[i] je uzvřená vůči oercím +,. Obdobně jk celá čísl všk není uzvřená vůči oerci /, nříkld: 1 + i (1 + i)(2 + i) = 2 i (2 i)(2 + i) = 1 + 3i = i Z[i] Proto má, obdobně jko v celých číslech, smysl definovt dělitelnost. Def. Pro, b Z[i] říkáme, že b rávě tehdy, když existuje c Z[i] tkové, že c = b. Vět (Zákldní vlstnosti dělitelnosti) Pro všechn, b, c Z[i] ltí: b b c = c ( ) b c = b + c b c ( ) c 0 = ( b c bc) ( ) b b 0 = b ( ) Důkz: Tvrzení 1 ž 3 se sndno dokáže rozesáním z definice obdobně jko v celých číslech. Podrobněji se budeme věnovt čtvrtému tvrzení, rotože se liší od běžné teorie čísel v celých číslech. Jestliže b, k existuje c tkové, že c = b, tedy odle věty (2.2.3) ltí i c = b. A rotože b 0 k i c 0, b = 0 c = 0. Protože c > 0 c Z[i], k c 1. Z toho lyne, že b. V řirozených číslech je dělitelnost nejjednoduší, rotože kždé číslo n (vyjm jedničky) má rávě dv nevlstní dělitele (tj. tkové, které vždy musí mít) to jsou 1 n. V celých číslech se nám situce komlikuje číslo n má čtyři nevlstní dělitele: 1, 1, n n (smozřejmě kromě čísel 1 1, která mjí ouze dv). V komlexních číslech je situce ještě složitější nevlstních dělitelů čísl n {1, i, 1, i} je rovnou osm: 1, i, 1, i, n, in, n in Největší solečný dělitel nejmenší solečný násobek Def. Solečným dělitelem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c c b. Kždá dvě čísl mjí solečné dělitele čísl 1, i, 1 i. Tto čísl mjí v množině Z[i] stejné ostvení, jko číslo 1 v množině N, roto je budeme nzývt jednotkmi definujeme množinu U = {1, i, 1, i} obecně budeme znčit její rvek u. Násobení číslem u neovlivní dělitelnost, rotože u 1 U u 2 U : u 1 u 2 = 1. A nvíc Z[i], U : u u. Def. Čísl b nzveme shodnými rávě tehdy, když u U : = ub. Nechť b jsou dvě shodná čísl k zřejmě ltí: c Z[i] : c c b c b c. Pokud budeme mluvit o jednoznčnosti vzhledem k dělitelnosti, budeme vždy mluvit o shodnosti tkových čísel. 11

12 3. Celá komlexní čísl Přímým důsledkem věty je tvrzení:, b Z[i] : b b b jsou shodná. Def. Největším solečným dělitelem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c je dělitelné kždým solečným dělitelem čísel b. Budeme znčit c = N SD(, b). Def. Solečným násobkem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c b c. Kždá dvě čísl, b mjí solečné násobky nř. čísl b, ib, b, ib. A nvíc, okud je nějké číslo c solečným násobkem čísel b k i libovolný násobek čísl c je solečným násobkem čísel b. Def. Nejmenším solečným násobkem komlexních celých čísel b nzveme tkové c Z[i], že c dělí libovolný solečný násobek čísel b. Budeme znčit c = N SN (, b). Nříkld solečným násobkem čísel i je číslo 4 2i, neboť 4 2i = 2 (2 i) = (3 + i)(1 i). Dlší solečný násobek je číslo 10 = 2 5 = (3 + i)(3 i). Všimněte si, že 4 2i dělí 10 jejich odíl je 2 + i. Číslo 4 2i je totiž nejmenším solečným násobkem čísel i. Protože i nok nejmenším (odle bsolutní hodnoty) dlším možným násobkem čísl 3 + i je rávě 4 2i, omocí věty sndno ukážeme, že nejmenší solečný násobek je mimo jiné tké nejmenší odle bsolutní hodnoty. Jejich solečným dělitelem je nř. číslo 1 + i, rotože 2 = (1 + i)(1 i) 3 + i = (1 + i)(2 i). A nvíc je toto číslo i jejich největším solečným dělitelem, rotože číslo 2 je dělitelné ouze jednotkovými násobky čísel 1, 1 + i 2. A rotože i i. Obdobně jko u nejmenšího solečného násobku i největší solečný dělitel je největší odle bsolutní hodnoty Obdob Euklidov lgoritmu Bezoutovy věty V těto kitole ukážeme, jk se dá njít největší solečný dělitel tké jeho jednoznčnost. Euklidův lgoritmus Hledejme N SD(, b), kde, b Z[i]. Bez újmy n obecnosti můžeme ředokládt, že b. Uvžujme čísl ub ro kždé u U. Předstvíme-li si tto čísl jko vektory v Gussově rovině, k jsou dvojice b, ib; ib, b; b, ib ib, b dvojicemi n sebe kolmých vektorů čísl b, ib, b, ib tvoří vrcholy čtverce, který má střed v očátku (viz obrázek). Vektor k svírá s jedním z těchto čísel úhel α π 4 (sndno ukážeme omocí Dirichletov rinciu). Uvžuji-li trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel menší nebo roven π 4, k strn roti tomuto úhlu je určitě krtší než nejdelší strn tohoto trojúhelníku (nř. ze sinové věty, z ředokldu, že funkce sinus je rostoucí n intervlu ) 0, π 2 ). Proto můžeme říct, že existuje tkové u U, že ub <. I b ib O ib R b Čísl b ub mjí stejného největšího solečného dělitele jko čísl b, rotože: d Z[i], d b : d d ub Zvolíme 1, b 1 = b, ub tk, by znovu ltilo b 1 1. A okujeme ostu tk dlouho, dokud jedno z čísel nevyjde nul. To se zcel jistě stne, rotože bsolutní hodnoty 1, b 1 klesjí mohou nbývt jen 12

13 3. Celá komlexní čísl některých diskrétních hodnot (druhá mocnin je vždy nezáorné celé číslo). Proto se dříve nebo ozději dostnu k číslu 0. Největším solečným dělitelem nuly nenulového čísl b n je číslo b n, rotože nul je dělitelná libovolným z Z[i]. Tkové b n k je i největším solečným dělitelem čísel b. Vět (Bezoutov vět), b Z[i] k, l Z[i] : k + lb = N SD(, b) Důkz: Vylývá z Euklidov lgoritmu, budeme-li ostuovt v očném ořdí. Vyjádříme N SD(, b) nejdříve jko n + ub n k z n, resektive b n, budeme doszovt z ředchozích vzthů. Budeme-li ostuovt dál, z kždé rovnice jsme schoni sočítt dlší (jeden) člen. A o konečném očtu kroků se dostneme k vyjádření největšího solečného dělitele omocí čísel b. Všichni soleční dělitelé jsou o dvou shodná čísl. Toto tvrzení můžeme dokázt sorem. Předokládejme, že existuje tková d 1, d 2 Z[i], že d 1 d 2 nebo d 2 d 1 zároveň jsou obě největším solečným dělitelem b. Proto d 1 d 2 jsou soleční dělitelé nvíc největší soleční dělitelé čísel, b. Musí tedy ltit, že d 1 i d 2 se dělí nvzájem sor. Tímto jsme ukázli jednoznčnost největšího solečného dělitele. Def. Čísl, b Z[i], ro která N SD(, b) U, nzýváme nesoudělná. Vět Nechť, b, c Z[i] N SD(, b) U k ltí: bc = c. Důkz: Podle věty existují čísl k, l Z[i] u U tková, že u N SD(, b) = 1 = k + lb. Vynásobíme-li tuto rovnost číslem c, dostáváme c = kc + lbc rotože kc lbc ( bc) tk musí dělit i jejich součet, tedy c. 13

14 4. Gussov rvočísl 4. Gussov rvočísl Def. Číslo z Z[i], které má ouze nevlstní dělitele, nzveme rvočíslem v komlexních celých číslech nebo tké Gussovým rvočíslem. Protože se ndále budeme zbývt i běžnými rvočísly, uřesníme ještě trochu názvosloví. budeme-li mluvit o běžném rvočísle, máme tím n mysli rvočíslo v Z (tj. tkové kldné číslo, které má rávě dv kldné dělitele). V druhém řídě rvočíslo v Z[i] budeme vždy nzývt Gussovo rvočíslo nebo jen rvočíslo. Množinu všech běžných rvočísel budeme znčit P množinu všech Gussových rvočísel P G. Některá Gussov rvočísl: 1 + i, 1 i, 1 i, 1 + i, 3, 3i, 3, 3i, 2 + i, 2 i, Vlstnosti Gussových rvočísel Pokud, k N SD(, ) U, rotože kdyby to tk nebylo N SD(, ) bylo nějké d k ltí d tj. d {1, i, 1, i,,, i, i}. A rotože, k d dostáváme to, co jsme chtěli. Vět Číslo Z[i] je Gussovo rvočíslo rávě tehdy, když, b Z[i] : b = b. Důkz: Nejdříve dokážeme imlikci zlev dorv: Rozebereme dv řídy: k je imlikce triviálně slněn. Pokud k N SD(, ) U roto ro, b ltí vět tj. b. Nyní budeme ředokládt, že ro nějké Z[i] ltí, b Z[i] : b = b. Důkz ovedeme sorem: ředokládejme, že existuje nějké d tk, že d je vlstní dělitel čísl. Proto existuje c Z[i] tkové, že c d = nvíc c, d U, tk nedělí ni c ni d, le dělí jejich součin dostáváme sor. Tím dostáváme ekvivlentní odmínku rvočíselnosti tké velmi důležitou vlstnost rvočísel. Vět (Vět o rozkldu čísl n rvočísl) Kždé Gussovo celé číslo různé od jednotky od nuly lze nst jko součin Gussových rvočísel. Důkz: Větu budeme dokzovt indukcí vzhledem k druhé mocnině bsolutní hodnoty. Mějme číslo nechť je jeho bsolutní hodnot. I. 2 = 2 Tuto odmínku slňují čísl 1 + i, 1 i jejich u-násobky. Tto čísl jsou rvočísl roto je netřeb rozkládt. II. Předokládejme, že všechn čísl s druhou mocninou bsolutní hodnoty menší než 2 jdou rozložit n součin rvočísel. Číslo buď je rvočíslem, k je rozkld jsný, nebo není rvočíslem, k existuje nějký jeho vlstní dělitel d odíl c tk, by cd =. Nvíc c i d je menší než tkže ro ně ltí indukční ředokld, roto i číslo umíme rozložit n součin rvočísel. Vět Existuje nekonečně mnoho Gussových rvočísel. Důkz: Sorem. Předokládejme, že existuje konečně mnoho Gussových rvočísel. Oznčme je 1, 2,..., k, kde k N. Uvžujme číslo = k + 1. Toto číslo není dělitelné žádným rvočíslem, okud by tomu bylo jink, k i 1, 2,..., k : i = i k, dostáváme i 1, což je sor. Ale odle ředchozí věty číslo lze rozložit n rvočinitele = sor Tvr Gussových rvočísel Vět Číslo z Z[i] je Gussovým rvočíslem rávě tehdy, když nbývá jednoho z těchto tvrů: 14

15 4. Gussov rvočísl { + ib z = 2 + b 2 je běžné rvočíslo, b 0 u u U je běžné rvočíslo, které nelze zst jko součet dvou kvdrátů Důkz: Rozdělíme si roblém n dv řídy: I. z = + ib, b 0 II. z = u, u U. I. z = + bi: Uvžme číslo zz Z jeho rozkld n běžná rvočísl. Pk z dělí jedno z těchto rvočísel. Nechť je toto rvočíslo x = z, x = c + id. Pltí = xz = (c bd) + i(d + bc) roto: d + bc = 0 d = bc b = c d Poslední úrvu si můžeme dovolit, rotože, b 0 0 roto i c, d 0. Zlomek b je v zákldním tvru, rotože kdyby nebyl existovlo by nějké celé k k b, le tkové k dělí i z, což je sor s rvočíselností čísl z. Proto ltí: k Z : c = k d = kb. zx = k b ( kb) = A rotože 2 + b 2 2 (z P G ) k k = 1 tj. = z 2. k( 2 + b 2 ) = Ještě druhou imlikci: Mějme běžné rvočíslo = 2 + b 2. Pk = ( + ib)( ib). Uvžujme nějké Gussovo rvočíslo z ± ib k i z tj. z = ± ib. Proto čísl ± ib jsou Gussovská rvočísl. II. Pokud z = u, k mohu místo z uvžovt, co se týče dělitelnosti. A rotože neexistuje žádné číslo, které má nulovou reálnou nebo imginární část dělí číslo (z důvodu, že je obyčejné rvočíslo), jediné číslo, které by mohlo dělit je Gussovo rvočíslo ředchozího tvru, le to by muselo být součtem dvou kvdrátů sor. Všechny úvhy se djí i obrátit, roto je vět dokázán. Vět Kždé běžné rvočíslo tvru 4k + 1 lze zst jko součet dvou kvdrátů. Důkz: Podle věty ltí, že kždé tkové rvočíslo dělí nějké n Uvžujme rozkld čísl n = (n + i)(n i). Jk n + i tk n i nemůže být dělitelné žádným Gussovým rvočíslem tvru u, kde je běžné rvočíslo (které nelze zst jko součet dvou druhých mocnin) u U, rotože k by bylo dělitelné i rvočíslem tedy n±i Z[i]: n ± i = n ± 1 i Z[i] = 1 Z což je sor. Čísl n ± i jsou tedy dělitelná ouze Gussovými rvočísly z tkovými, že z 2 je běžné rvočíslo. Tkže v rozkldu čísl n n Gussovy rvočinitele se nchází jen tto rvočísl, nvíc ke kždému je tm i komlexně sdružené, rotože okud z (n ± i) k z (n i). Když vynásobíme dvě komlexně sdružená rvočísl, vyjde nám běžné rvočíslo, které lze zst jko součet dvou druhých mocnin. Tedy n je dělitelné ouze rvočísly, které lze zst jko součet dvou druhých mocnin. Mějme rvočíslo tvru 4k + 1 (k Z), k dělí n lze ho tedy zst jko součin dvou druhých mocnin. Lemm. Běžné rvočíslo lze zst jko součet dvou kvdrátů rávě tehdy když není tvru 4k + 3. Důkz: Prvočísl tvru 4k neexistují. Prvočísl tvru 4k + 1 jdou zst jko součet dvou kvdrátů odle věty Tvru 4k + 2 je ouze dvojk 2 = A číslo tvru 4k + 3 nelze zst jko součet dvou kvdrátů, rotože kvdrtické zbytky modulo 4 jsou 0 1. A žádným součtem dvou z těchto čísel nedostneme 3. 15

16 Větu lze tedy ekvivlentně formulovt tkto: Číslo z Z[i] je Gussovým rvočíslem rávě tehdy, když je jednoho z těchto tvrů: { + ib z = 2 + b 2 =, kde je běžné rvočíslo tvru 4k + 1, nebo 2 u u U je běžné rvočíslo tvru 4k Gussov rvočísl 4.3. Využití Gussových rvočísel Gussov rvočísl mjí mnohé využtí v běžné teorii čísel, ro ukázku zde uvádíme větu: Vět Celé číslo, které lze zst jko součin dvou čísel b, c tkových, že je lze zst jko součet dvou kvdrátů, lze zst jko součet dvou kvdrátů. Důkz: Nechť b = b b 2 2 c = c c 2 2. Pk ltí: = b c = (b b 2 2)(c c 2 2) = (b 1 + ib 2 )(b 1 ib 2 )(c 1 + ic 2 )(c 1 ic 2 ) = = ( (b 1 + ib 2 )(c 1 + ic 2 ) )( (b 1 ib 2 )(c 1 ic 2 ) ) Což je součin dvou komlexně sdružených čísel z = x + iy z = x iy: = zz = x 2 + y 2. A jeden říkld: Příkld: (Mtemtická olymiád 55. roč. A-I-6) Njděte všechny usořádné dvojice (x, y) řirozených čísel, ro něž ltí x 2 + y 2 = 2005(x y). Řešení: Nejdříve si zdnou rovnici urvíme vynásobíme čtyřmi. ( x 2005 ) 2 ( + y ) 2 = Rozložíme si číslo n Gussov rvočísl: (2x 2005) 2 + (2y ) 2 = = (1 + i)(1 i)(2 + i) 2 (2 i) 2 (20 + i) 2 (20 i) 2 Snžíme se vyjádřit číslo jko součet dvou kvdrátů, neboli jko součin dvou komlexně sdružených Gussových čísel. Aby nějká dvě čísl byl komlexně sdružená musí se v jejich rozkldu n rvočísl ncházet komlexně sdružená čísl. Proto rozdělíme rvočinitele čísl do komlexně sdružených dvojic z kždé vybereme jedno číslo. Vybrná čísl k vynásobíme dostneme tkové číslo + ib, že 2 + b 2 = Tzn. nemusíme ni očítt druhý součin, b co víc, všechn čísl tvru u ( + ib), kde u U, nám djí stejné dvojice druhých mocnin. Proto si můžeme očítání velmi urychlit. Uvědomíme si, že 1 + i = i (1 i) tkže výběr v dvojici 1 + i, 1 i nebude mít n výsledek efekt. Dále si můžeme ještě jedno číslo zvolit z konstntní, rotože jink bychom ke všem součinům dostli i komlexně sdružená čísl. Bude nám stčit sočítt jen šest součinů: (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 + i)(20 + i) = i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 + i)(20 + i) = i (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 + i)(20 i) = i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 + i)(20 i) = i (1 + i)(2 + i)(2 + i)(20 i)(20 i) = i (1 + i)(2 + i)(2 i)(20 i)(20 i) = i 16

17 4. Gussov rvočísl Všechny neusořádné dvojice řirozených čísel (, b) tkových, že 2 + b 2 = jsou tedy: (119, 2833), (401, 2807), (679, 2753), (1795, 2195), (2005, 2005) N dvojici (2005, 2005) můžeme s klidem v duši zomenout, rotože víme, že y je řirozené tedy y Tto nerovnost nám tké říká, které číslo z dvojice řiřdíme k y které k x. Dále nesmíme zomenout, že číslo x může být i záorné k nám zbude jen doočítt řešení. Úloh má celkem osm řešení: (x, y) { (1062, 414), (943, 414), (105, 95), (1900, 95), (663, 374), (1342, 374), (802, 401), (1203, 401) } 17

18 Použitá litertur Použitá litertur [1] Prof. RNDr. Miloš Ráb, DrSc.: Komlexní čísl v elementární mtemtice, Msrykov univerzit, Brno, 1997; ISBN X [2] RNDr. Jiří Hermn, Ph.D., Doc. RNDr. Rdn Kučer, CSc., Doc. RNDr. Jromír Šimš, CSc.: Metody řešení mtemtických úloh I, Msrykov univerzit, Brno, 2001; ISBN [3] Eric W. Weisstein: Gussin Prime, From MthWorld A Wolfrm Web Resource htt://mthworld.wolfrm.com/gussinprime.html [4] Eric W. Weisstein: Gussin Integer, From MthWorld A Wolfrm Web Resource htt://mthworld.wolfrm.com/gussininteger.html [5] Mrtin Klzr: Introduction in Number Theory, htt://www.ms.mff.cuni.cz/cd/km/klzr/utc04.s [6] 55. ročník Mtemtické olymiády: Úlohy domácí části I. kol ktegorie A, htt://www.mth.muni.cz/ rvmo/mo/55/55i.df 18

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Diskrétní matematika 1. týden

Diskrétní matematika 1. týden Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Repetitorium z matematiky

Repetitorium z matematiky Rovnie, nerovnie jejih soustvy (lineární, kvdrtiké, irionální) Reetitorium z mtemtiky Podzim Ivn Vulová A) Rovnie jejih řešení Mnoho fyzikálníh, tehnikýh jinýh úloh lze mtemtiky formulovt jko úlohu tyu:

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami / Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I 3.2.1 hodnost trojúhelníků I Předpokldy: 3108 v útvry jsou shodné, pokud je možné je přemístěním ztotožnit. v prxi těžko proveditelné hledáme jinou možnost ověření shodnosti v útvry jsou shodné, pokud

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I

5.4.2 Objemy a povrchy mnohostěnů I 5.. Objemy orchy mnohostěnů I Předokldy: 51 Význm slo objem i orch je intuitině jsný. Mtemtická definice musí být oněkud řesnější. Okoání z lnimetrie: Obsh obrzce je kldné číslo, řiřzené obrzci tk, že

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

Dráhy planet. 28. července 2015

Dráhy planet. 28. července 2015 Dáhy plnet Pet Šlecht 28. čevence 205 Výpočet N střední škole se zpvidl učí, že dáhy plnet jsou elipsy se Sluncem v ohnisku. Tké se učí, že tento fkt je možné dokázt z Newtonov gvitčního zákon. Příslušný

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 11. červenec 2012 Název zpracovaného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 11. červenec 2012 Název zpracovaného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: MATEMATIA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁ 11. červenec 01 Název zrcovného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM Rovnice s rmetrem obshuje kromě neznámých

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308

( t) ( t) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Vzdálenost bodu od přímky I. Předpoklady: 7308 731 Vzdálenost odu od římky I Předokldy: 7308 Pedgogiká oznámk: Pokud máte málo čsu, můžete odvodit vzore ez smosttné ráe studentů oužít některý z říkldů z dlší hodiny Tím jednu ze dvou hodin ro vzdálenost

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!!

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!! . Dělení celku zlomek 0 zlomek zlomková čár čittel udává z kolik stejných částí se zlomek skládá ( z ) jmenovtel udává n kolik stejných částí je celek rozdělen () Vlstnosti: Je-li v čitteli zlomku nul

Více

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček

Matematická analýza I (pro učitelské obory) Stanislav Trávníček Pavel Calábek Jaroslav Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček Obsh Úvod.........................................

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

Teorie jazyků a automatů

Teorie jazyků a automatů Slezská univerzit v Opvě Filozoficko-přírodovědecká fkult v Opvě Šárk Vvrečková Teorie jzyků utomtů Skript do předmětů II Zákldy teoretické informtiky Ústv informtiky Filozoficko-přírodovědecká fkult v

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81

skripta MZB1.doc 8.9.2011 1/81 skript MZB.doc 8.9. /8 skript MZB.doc 8.9. /8 Osh Osh... Zlomk... Dělitelnost v množině přirozených čísel... Trojčlenk... 9 Výrz s mocninmi s celočíselným eponentem ()... Výrz s mocninmi s rcionálním eponentem...

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace

Opakovací test. Klíčová slova: výraz, interval, množina, kvadratický trojčlen, mocnina, exponent, výrok, negace VY_32_INOVACE_MAT_190 Opkovcí test lgebrické výrzy, logik, množiny A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvoření: září 2012 Ročník: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzdělávání Klíčová slov: výrz, intervl, množin,

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Definice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M.

Definice. Necht M = (Q, T, δ, q 0, F ) je konečný automat. Dvojici (q, w) Q T nazveme konfigurací konečného automatu M. BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 2/3 Konfigurce konečného utomtu BI-AAG (20/202) J. Holu: 2. Deterministické nedeterministické konečné utomty p. 4/3 Automty

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY 1. Mezinárodní soustv jednotek SI Slovo fyzik je odvozeno z řeckého slov fysis, které znmená přírod. Abychom správně

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá

Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jako přehled matiky k maturitě, takže jeho forma odpovídá Toto dílko bylo původně tvořeno pouze jko přehled mtiky k mturitě, tkže jeho form odpovídá rozshu mého učiv mým poždvkům. Docel se mi osvědčilo už během roku, bylo mi nvrženo, bych ho dl k dispozici n

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. pochopení znaků vztahů mezi čísly METODICKÝ LIST DA6 Název tématu: Autor: Předmět: Dělitelnost dělitel a násobek, sudá a lichá čísla, prvočísla a čísla složená Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky:

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor

Více

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant Algebra 2 Teorie čísel Home Page Michal Bulant katedra matematiky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Janáčkovo nám. 2a, 662 95 Brno E-mail address: bulant@math.muni.cz Page 1 of 103 Abstrakt.

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více