RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni."

Transkript

1 KMA/ZM1 Přednášky RNDr. Blanka Šedivá, PhD. Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni Obsah 0.1 Matematické objekty, matematické definice, matematické věty Množina a operace s množinami Definice základních množinových pojmů Číselné množiny Intervaly Operace s množinami, Vénnovy diagramy Omezenost množin, maximum a minimum množiny, supremum a infimum množiny Přehled používaných symbolů Posloupnosti reálných čísel Definice posloupnosti, zadávání posloupnosti, graf posloupnosti, operace s posloupnostmi Operace s posloupnostmi Vlastnosti posloupností Konvergence posloupnosti, definice limity posloupnosti Algebra limit posloupností Příklady limit posloupností Nekonečné řady reálných čísel Základní vlastnosti číselných řad Příklady číselných řad Konvergence číselných řad Základní vlastnosti funkcí Reálná funkce f reálné proměnné x Operace s funkcemi Vlastnosti funkcí Prostá funkce a inverzní funkce Základní typy funkcí Lineární funkce f : y = a 0 + a 1 x Kvadratická funkce f : y = a 0 + a 1 x + a 2 x Polynomické funkce x 3, x 4, x 5, Lineární lomené funkce f : y = a 0 + a 1 x b 0 + b 1 x Exponenciální funkce f : y = a x

2 4.5.6 Logaritmické funkce f : y = log z (x) Funkce s absolutní hodnotou Polynomy Dělení polynomu polynomem Hornerovo schéma Odhady kořenů Racionální kořeny Odhad počtu reálných kořenů a jejich polohy Numerické metody odhadu reálných kořenů polynomu P (x) Rozklad lomené racionální funkce na parciální zlomky Vektory a vektorový prostor Vektorový prostor Volný a vázaný vektor, podprostor vektorového prostoru Báze vektorového prostoru a souřadnice vektorového prostoru vzhledem k bázi Skalární součin vektorů a norma vektoru, vektorový součin v R Matice - základní pojmy a definice Operace s maticemi Determinant maticemi Inverzní matice Výpočet inverzní matice pomocí Jordanovy eliminace Soustava lineárních rovnic Grafické řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Elementární úpravy matic a hodnost matice Řešení soustav lineárních rovnic Graficky Substituční metoda Gaussovou eliminační metodou Cramerovým pravidlem Nalezením inverzní matice Homogenní a nehomogenní soustavy Analytická geometrie Analytická geometrie v rovině Směrnicová, úseková, obecná a vektorová rovnice přímky Odchylka dvou přímek a vzdálenost bodu od přímky Vzájemná poloha dvou přímek v rovině Transformace kartézských souřadnic Analytická geometrie v prostoru Obecná, úseková a parametrická rovnice roviny Odchylka dvou rovin, vzdálenost bodu od roviny, poloha dvou rovin

3 9.2.3 Přímka v prostoru Limita funkce v bodě x 0 R { ; + } Definice limity funkce Vlastnosti limit funkcí Některé limity vybraných funkcí Neurčité výrazy - speciální typy limit Spojitost reálné funkce reálné proměnné Spojitost v bodě x Body nespojitosti Spojitost funkce v uzavřeném intervalu I = a; b Derivace reálné funkce reálné proměnné Definice diferenčního podílu a derivace a jejich geometrická interpretace Pravidla pro derivování Přehled derivací elementárních funkcí Využití derivace Stacionární body a vztah k lokálním maximům a minimům Věty o střední hodnotě - nabývání hodnot na uzavřeném intervalu Využití derivací pro výpočet limit - l Hospitalovo pravidlo Využití derivací pro určování rovnice tečen a rovnice normály Využití derivací pro aproximaci funkce polynomem - Taylorův polynom Vyšetřování průběhu funkce Základní pojmy důležité pro průběh reálné funkce f Postup při vyšetřování průběhu funkce

4 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): Matematické objekty, matematické definice, matematické věty Mezi základní pojmy, se kterými se budeme často potkávat jsou: Definice pojmu je charakteristika nějakého matematického jevu, charakteristika (vymezení pojmu) musí být jednoznačná tak, abychom mohli rozhodnout, zda nějaký matematický objekt definici vyhovuje nebo ne. Obvykle v definici vyjmenujeme vlastnosti, které matematický objekt musí mít, abychom ho mohly označovat příslušným pojmem. Věta (matematická věta) je tvrzení, které můžeme pomocí dříve zavedených definic a jednoduchých logických úvah považovat za platné. Každá věta má svoje předpoklady a dále vlastní tvrzení. Z hlediska logiky má tedy charakter: Když jsou splněny předpoklady..., pak platí.... Jednoduché (snadno dokazatelné) věty se často nazývají tvrzení nebo lemma. Věty, které jsou založeny na základních (intuitivních) matematických pojmech, které nelze dokázat, nazýváme axiomy. Důkaz je logický postup, pomocí kterého ověřujeme platnost matematické věty. Při důkazech se opíráme o principy výrokové logiky, založené na pojmu výrok (cokoliv o čem má smysl uvažovat, zda je pravda nebo není pravda). V matematice používáme logiku využívající pouze dva stavy: výrok má smysl (pravdivý výrok) nebo výrok nemá smysl (nepravdivý výrok). Pro složené výroky budeme používat následující označení a zároveň značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme platí výrok V 1 a zároveň výrok V 2 nebo značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme platí výrok V 1 nebo výrok V 2 nebo platí oba výroky, tj. platí alespoň jeden z výroků implikace značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme když platí výrok V 1 pak platí výrok V 2, POZOR pokud výrok V 1 neplatí mohou pro výrok V 2 nastat obě situace, tedy může platit a nemusí ekvivalence značíme V 1 V 2 a slovně interpretujeme výrok V 1 platí právě tehdy, když platí výrok V 2 negace značíme V 1 nebo non V 1 a slovně interpretujeme není pravda, že V 1, hodnota výrazu V 1 nabývá opačných hodnot než je hodnota výrazu V 1 Poznámka: Matematické věty mají charakter implikací nebo ekvivalencí. Často při důkazech využíváme toho, že platí V 1 V 2 non V 2 non V září 2010

5 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 5 1 Množina a operace s množinami 1.1 Definice základních množinových pojmů Zavedení pojmu množina je velice složité, my budeme pod pojmem množina chápat souhrn matematických objektů, které mají společnou vlastnost a dokážeme tyto objekty tedy vymezit. Je nezbytně nutné, abychom VŽDY dokázali rozhodnout, zda matematický objekt je prvkem množiny nebo není prvkem množiny. Používáme značení objekt x je prvkem množiny M (objekt x náleží do množiny M): x M objekt x není prvkem množiny M (objekt x nenáleží do množiny M): x / M každý prvek x množiny M (všechny prvky x z množiny M): x M existuje (alespoň jeden) prvek x množiny M : x M existuje právě jeden prvek x množiny M :! x M Množinu vymezujeme dvěmi základními způsoby: 1. výčtem všech prvků {x 1, x 2,..., x n } 2. stanovením charakteristických vlastností {x : V (x)}, kde V (x) je vlastnost prvku, např. x je sudé číslo. Pokud nad prvky množiny zavedeme algebraické operaci (sčítání, odčítání, násobení a podobně) s prvky mluvíme obvykle o algebře. Moderní algebra studuje vlastnosti různých množin co nejobecněji, aby bylo možno dosažené závěry použít na co nejvíce konkrétních případů. 1.2 Číselné množiny Speciálním typem množiny jsou číselné množiny, kdy prvky nazýváme číslem. Pojem čísla patří k jednomu ze základních pojmů matematiky, postupně v rámci historického vývoje byl tento pojem stále rozšiřován a každé dítě zopakuje při seznamování s čísly tento historický vývoj. Přirozená čísla značíme N = {1, 2, 3,... } Přirozená čísla rozšířená o nulu značíme N 0 = {0, 1, 2, 3,... } Celá čísla značíme Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } { } p Racionální čísla značíme Q = : p, q Z, nesoudělná, q 0 q Reálná čísla značíme R (definici neuvádíme nikoliv proto, že neexistuje, ale protože je tak složitá, že to přesahuje jednu přednášku) září 2010

6 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 6 Iracionální čísla {x R : x není racionální} Komplexní čísla značíme C = {[x, y] : x, y R, uspořádaná dvojice reálných čísel} Platí N Z Q R Budeme předpokládat, že pro výše uvedené číselné množiny známe základní operace (je dobré si rozmyslet, které algebraické operace nám zachovávají množinu, tj. při kterých operacích dostaneme číslo opět ze stejné množiny : rovnost-nerovnost umíme rozhodnout, které dvě čísla jsou stejná uspořádání pro dvě čísla umíme rozhodnout, které číslo je menší <, ev. větší >, případně menší nebo rovno nebo větší nebo rovno geq sčítání pro dvě čísla umíme najít a + b násobení pro dvě čísla umíme najít a b odčítání pro dvě čísla umíme najít a b dělení pro dvě čísla umíme najít a/b Rozmyslete si, ve kterých číselných množinách platí následující tvrzení: komutativní zákon tj. a + b = b + a, resp. a b = b a asociativní zákon tj. (a + b) + c = a + (b + c), resp. (a b) c = a (b c) existence nulového prvku 0 tj. existence prvku, pro který platí a + 0 = 0 + a = a existence opačného prvku k prvku a tj. existence prvku a, pro který platí a + ( a) = 0 existence jednotkového prvku 1 tj. existence prvku, pro který platí a 1 = 1 a = a existence inverzního prvku k prvku a tj. existence prvku a 1, pro který platí a a 1 = 1 distributivní zákon tj. (a + b) c = a c + b c tranzitivnost rovnosti tj. a = b a zároveň b = c, pak a = c tranzitivnost nerovnosti tj. pokud a < b a zároveň b < c, pak a < c září 2010

7 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami Intervaly Pro jednoduchost zavedeme následující pojmy a označení pro speciální podmnožiny reálných čísel Omezené intervaly uzavřený interval a; b je množina {x R : a x b} a b polouzavřený interval (a; b je množina {x R : a < x b} a b polouzavřený interval a; b) je množina {x R : a x < b} a b otevřený interval (a; b) je množina {x R : a < x < b} a b Neomezené intervaly a; + ) je množina {x R : x a} (a; + ) je množina {x R : x > a} ( ; a je množina {x R : x a} ( ; a) je množina {x R : x < a} ( ; + ) je množina x R a a a a 1.4 Operace s množinami, Vénnovy diagramy Množina je tedy matematický objekt, se kterým můžeme různé množinové operace a zajímat se o vztahy mezi různými množinami. My budeme potřebovat následující množinové operace: inkluse značíme A B a slovně interpretujeme množina A je podmnožinou množiny B, platí výrok x A x B množinová rovnost (identita) značíme A B a slovně interpretujeme množina A je ekvivalentní s množinou B, platí výrok x A x B sjednocení značíme A B a slovně interpretujeme sjednocení množin A a B, platí A B {x : x A x B} n též používáme symboly A i pro sjednocení konečného počtu množin, i=1 nekonečného počtu množin a i I A i pro sjednocení množin z indexové množiny I A i pro sjednocení i= září 2010

8 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 8 průnik značíme A B a slovně interpretujeme průnik množin A a B, platí A B {x : x A x B} n též používáme symboly A i pro průnik konečného počtu množin, A i pro průnik nekonečného i=1 i=1 počtu množin a i I A i pro průnik množin z indexové množiny I rozdíl značíme A\B a slovně interpretujeme rozdíl množin A a B,resp. doplněk množiny B v množině A platí A \ B {x : x A x / B} kartézský součin značíme A B a slovně interpretujeme kartézský součin množin A a B (ZÁLEŽÍ NA POŘADÍ) platí A B {[x; y] : x A y B} Užitečné je grafické znázorňování množinových vztahů a operací pomocí tzv. Vénnových diagramů, kdy množiny znázorňujeme pomocí obrázků. Množina B je podmnožina množiny B Sjednocení množin A B září 2010

9 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 9 Průnik množin A B Vztahy mezi dvěmi a více množinami se zabývá matematická analýza. Základním pojmem je v této matematické oblasti pojem zobrazení množiny A do množiny B. Speciálním případem jednoznačného zobrazení z množiny reálných čísel do množiny reálných jsou reálné funkce reálných proměnných. 1.5 Omezenost množin, maximum a minimum množiny, supremum a infimum množiny V této kapitole se budeme zabývat pouze podmnožinami množiny R. Pod pojmem množina M tedy v následujícím textu chápeme M R. Mohli bychom pracovat i v obecnějších množinách, ale potřebujeme především tyto dvě základní vlastnosti reálných čísel. Na reálných číslech máme definovanou relaci uspořádání, tj. pro dvě různá reálná čísla a, b R nastane vždy právě jedna z možností a < b nebo b < a. V reálných číslech platí Cantorův axiom spojitosti. Pro každé dvě různá reálná čísla a, b R, a < b, existuje reálné číslo c tak, že platí a < c < b. Definice 1.1 Množina M se nazývá shora omezená množina, pokud existuje reálné číslo a R tak, že x M x < a. (pro každé číslo x z množiny M platí, že x je menší než číslo a) Definice říká, že musí existovat číslo a R, takových čísel může ale existovat i více. Definice 1.2 Množina M se nazývá zdola omezená množina, pokud existuje reálné číslo b R tak, že x M b < x. (pro každé číslo x z množiny M platí, že x je větší než číslo b) Definice 1.3 Množina M se nazývá omezená množina, pokud je omezená shora a zároveň je omezená zdola září 2010

10 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 10 Definice 1.4 Číslo a R se nazývá supremem množiny M, pokud 1. x M x < a nebo x = a (zkráceně x a) 2. číslo a je nejmenší číslo splňující podmínku (1.) Supremum množiny M značíme sup M, supremum množiny je číslo, které může, ale nemusí ležet v množině M. Supremum množiny je vždy určeno jednoznačně, tj. neexistují dvě suprema. Definice 1.5 Číslo b R se nazývá infimem množiny M, pokud 1. x M x > a nebo x = a (zkráceně x a) 2. číslo a je největší číslo splňující podmínku (1.) Infimum množiny M značíme inf M, infimum množiny je číslo, které může, ale nemusí ležet v množině M. Infimum množiny je určeno jednoznačně. Definice 1.6 Číslo a M se nazývá maximem množiny M, pokud x M x a Maximum množiny M značíme max M, maximum množiny je vždy prvkem množiny M. Maximum množiny je určeno jednoznačně. Definice 1.7 Číslo b M se nazývá minimem množiny M, pokud x M x b Maximum množiny M značíme min M, maximum množiny je vždy prvkem množiny M. Minimum množiny je určeno jednoznačně. Věta 1.1 Necht M R je podmnožina reálných čísel, pak platí následující tvrzení: Jestliže množina M je shora omezená, pak množina M má supremum. Jestliže množina M je zdola omezená, pak množina M má infimum. Jestliže množina M má maximální prvkem, pak množina M má supremum a max M = sup M. Jestliže množina M má minimální prvkem, pak množina M má infimum a min M = inf M. Jestliže množina M má konečný počet prvků, pak množina M je omezená (shora i zdola) a má maximum i minimum a supremum i infimum. Příklady: Pro uzavřený interval 1; 100 platí množina je omezená shora, číslo a z definice je například číslo 101 nebo číslo množina je omezená zdola množina má maximum a minimum max M = 100 a min M = 1 množina má supremum a infimum sup M = 100 a inf M = září 2010

11 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami 11 Pro otevřený interval ( 1; 100) platí množina je omezená shora, číslo a z definice je například číslo 101 nebo číslo množina je omezená zdola množina nemá maximum a nemá minimum max M = a min M = množina má supremum a infimum sup M = 100 a inf M = 1 Pro interval ( 1; + ) platí množina není omezená shora množina je omezená zdola množina nemá maximum a nemá minimum max M = a min M = množina nemá supremum ale má infimum sup M = a inf M = 1 { } 1 Pro množinu M = n : n N = {1; 12 ; 13 ; 14 } ;... platí množina je omezená shora, například číslem 2 množina je omezená zdola, například číslem 0 množina má maximum ale nemá minimum max M = 1 a min M = množina má supremum a má infimum sup M = 1 a inf M = 0 Pro množinu M = { n 2 : n N } = {1; 4; 9; 16;... } platí množina není omezená shora množina je omezená zdola, například číslem 0 množina nemá maximum ale má minimum max M = a min M = 1 množina nemá supremum ale má infimum sup M = a inf M = 1 množina M může být zobrazena též graficky množina M- silně vyznačená část a a = inf M = min M b b = sup M září 2010

12 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami září 2010

13 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 1 Množina a operace s množinami Přehled používaných symbolů V 1 V 2 jestliže platí V 1, pak platí V 2 V 1 V 2 obecně neplatí tato implikace V 1 V 2 V 1 platí právě tehdy, když platí V 2 V 1 V 2 platí výrok V 1 a zároveň platí výrok V 2 V 1 V 2 platí výrok V 1 nebo platí výrok V 2 (nebo platí oba výroky) V 1 negace (opak) výroku V 1 M = {x : V (x)} množina M zadána pomocí výroku V x M objekt x je prvkem množiny M x / M objekt x není prvkem množiny M x M pro každý prvek množiny M x M existuje prvek množiny M! x M existuje právě jeden prvek množiny M neexistuje A B sjednocení množin A a B Ai A B sjednocení více množin A i průnik množin A a B Ai A B A B A B N průnik více množin A i množina A je podmnožina množiny B množina A je podmnožina množiny B (množiny mohou být ekvivalentní) množina A je podmnožina množiny B (množiny nejsou ekvivalentní) množina všech přirozených čísel N 0 množina všech přirozených čísel rozšířená o prvek 0 Z Q R R + (R ) R + 0 (R 0 ) a = b a b a. = b a b a b max M (min M) sup M (inf M) množina všech celých čísel množina všech racionálních čísel množina všech reálných čísel množina všech kladných (záporných) reálných čísel množina všech nezáporných (nekladných) reálných čísel číslo a je rovno číslu b číslo a není rovno číslu b číslo a je po zaokrouhlení rovno číslu b číslo a je přibližně rovno číslu b číslo a je mnohem (řádově) menší než číslo b maximum (minimum) množiny M supremum (infimum) množiny M září 2010

14 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 14 2 Posloupnosti reálných čísel 2.1 Definice posloupnosti, zadávání posloupnosti, graf posloupnosti, operace s posloupnostmi Definice 2.1 Posloupností reálných čísel (číselnou posloupností) nazýváme každé zobrazení množiny všech přirozených čísel N do množiny reálných čísel R. N R n a n Pro posloupnosti čísel používáme značení {a n } + n=1, případně značení (a n) + n=1, případně {a 1; a 2 ; a 3 ;... } nebo (a 1 ; a 2 ; a 3 ;... ) Posloupnost je dána slovním vyjádřením například- každému přirozenému číslu je přiřazena jeho druhá mocnina; tabelárně (výčtem všech členů), pokud je jasný princip konstrukce posloupnosti, například {1; 4; 9; 16, ; 25;... } analyticky (vzorem pro n-tý člen, například a n = n rekurentně (je dáno několik prvních členů posloupnosti a je dán předpis, jak se vypočte další člen na základě předcházejících členů), například a 1 = 1, a 2 = 4 a a n 2a n 1 = 2 Graf posloupnosti musí odpovídat situaci, kdy definiční obor posloupnosti jsou přirozená čísla. TAKTO ANO TAKTO NE!!! září 2010

15 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 15 Vybranou posloupností z posloupnosti {a n } + n=1 nazýváme posloupnost {b n} + n=1, k níž existuje taková rostoucí posloupnost přirozených čísel {k n } + n=1, že b n = a kn. Posloupnost { n 2} + je vybranou posloupností z posloupnosti {n}+ n=1 n= Operace s posloupnostmi S posloupnostmi můžeme provádět základní algebraické operace tak, že například součet dvou posloupností je posloupnost, která má členy odpovídající součtu příslušných členů původních posloupností. {a n } + n=1 + {b n} + n=1 = {a n + b n } + n=1 Obdobným způsobem zavedeme odčítání posloupností, součin posloupností a podíl posloupností (pokud mají všechny podíly smysl). 2.3 Vlastnosti posloupností Definice 2.2 Posloupnost {a n } + n=1 se nazývá rostoucí, pokud pro každé n N platí a n a n+1 ; ostře rostoucí, pokud pro každé n N platí a n < a n+1 ; klesající, pokud pro každé n N platí a n a n+1 ; ostře klesající, pokud pro každé n N platí a n > a n+1. Souhrnně nazýváme rostoucí, ostře rostoucí, klesající a ostře klesající posloupnosti jako posloupnosti monotónní. Konstantní posloupnost nazýváme takovou posloupnost, pro kterou platí a n = konstanta pro n N Definice 2.3 Posloupnost {a n } + n=1 se nazývá omezená shora, pokud existuje reálné číslo K H takové, že pro každé n N platí a n K H ; omezená zdola, pokud existuje reálné číslo K D takové, že pro každé n N platí K D a n ; omezená, pokud existuje reálné číslo K takové, že pro každé n N platí a n K. Někdy používáme místo termínu omezená posloupnost termín posloupnost ohraničená. Věta 2.1 Posloupnost je omezená právě tehdy, když je omezená zdola a zároveň je omezená shora. Speciálním případem posloupností jsou posloupnosti aritmetické a geometrické. POZOR většina posloupností není ani aritmetická ani geometrická září 2010

16 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 16 Aritmetická posloupnost je posloupnost, pro kterou platí a n a n+1 = d = konstanta pro n N. Číslo d se nazývá diferencí aritmetické posloupnosti. Pokud diference aritmetické posloupnosti je kladná, pak posloupnost je ostře rostoucí. Pokud diference aritmetické posloupnosti je záporná, pak posloupnost je ostře klesající. Pokud diference aritmetické posloupnosti je rovna nule, pak posloupnost je konstantní. Geometrická posloupnost je posloupnost, pro kterou platí Číslo q se nazývá kvocientem geometrické posloupnosti. a n a n+1 = q = konstanta pro n N. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je q > 1 a a 1 > 0, pak posloupnost je ostře rostoucí. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je q > 1 a a 1 < 0, pak posloupnost je ostře klesající. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je 0 < q < 1 a a 1 > 0, pak posloupnost je ostře klesající. Pokud kvocientem geometrické posloupnosti je 0 < q < 1 a a 1 < 0, pak posloupnost je ostře rostoucí. Pro q < 0 je geometrická posloupnost alternující, tj. a n = ( 1) n b n (posloupnost se střídavými znaménky). Pro q = 1 je geometrická konstantní. Definice 2.4 Necht je dána posloupnost {a n } + n=1, označme A = {a R; existuje n N tak, že a = a n } pak definuje pojmy maximum posloupnosti, minimum posloupnosti, infimum posloupnosti a supremum posloupnosti následujícím způsobem max {a n } + n=1 = max A; min {a n } + n=1 = min A; sup {a n } + n=1 = sup A; inf {a n } + n=1 = inf A. Věta 2.2 Z každé posloupnosti lze vybrat posloupnost monotónní září 2010

17 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel Konvergence posloupnosti, definice limity posloupnosti Definice 2.5 Řekneme, že číslo a R je vlastní (konečnou) limitou posloupnosti {a n} + n=1, jestliže ɛ > 0 n 0 N; n > n 0 (n N) = a n a < ɛ Tuto skutečnost stručně zapisujeme lim a n = a nebo stručněji a n a pro n n Ilustrační obrázek vlastní limity posloupnosti. Definice 2.6 Řekneme, že posloupnost {a n} + n=1 má nevlastní limitou posloupnosti +, jestliže Tuto skutečnost stručně zapisujeme Řekneme, že posloupnost {a n } + n=1 Tuto skutečnost stručně zapisujeme K > 0 n 0 N; n > n 0 (n N) = a n > K lim a n = + nebo stručněji a n + pro n n má nevlastní limitou posloupnosti, jestliže L < 0 n 0 N; n > n 0 (n N) = a n < L lim a n = nebo stručněji a n pro n n Definice 2.7 Posloupnost, která má vlastní (konečnou) limitu se nazývá posloupnost konvergentní. Posloupnost, která není konvergentní se nazývá divergentní. Divergentní posloupnost může mít limitu rovnu + nebo nebo limita neexistuje září 2010

18 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel 18 Nyní uvedeme několik základních vět o limitách. Důkazy těchto vět budou pouze naznačeny. Věta 2.3 Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz věty sporem: Omezím se pouze na vlastní limity. Budu předpokládat, že existují dvě různá a b čísla lim a n = a a lim a n = b. Pak zvolím 0 < ɛ <. Podle definice limity musí existovat index n n 2 n 0 (a) pro hodnotu a a index n 0 (b) pro hodnotu b, vezmu větší z těchto hodnot. Pak musí platit n > max(n 0 (a); n 0 (b)) (n N) = a ɛ < a n < a + ɛ a zároveň b ɛ < a n < b + ɛ A to je spor, protože intervaly (a ɛ; a + ɛ) a (b ɛ; b + ɛ) jsou disjunktní (mají prázdný průnik). Věta 2.4 Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz: Zvolíme si ɛ = 1 a najdeme příslušný index n 0 a pak musí platit pro všechny n > n O (n N) a 1 < a n < a + 1 Jestliže zvolím K H = max {a 1 ; a 2 ;... ; a n0 1; a + 1} a K D = {a 1 ; a 2 ;... ; a n0 1; a 1} dostanu omezující konstanty pro posloupnost. POZOR: obrácená implikace neplatí. Existuje posloupnost, které je omezená, ale nemá konečnou limitu, například a n = ( 1) n. Platí však následující věty. Věta 2.5 Každá omezené monotónní posloupnosti je konvergentní. A pro klesající posloupnost platí lim a n = inf {a n } + n n=1 a pro rostoucí posloupnost platí lim a n = sup {a n } + n n=1 Věta 2.6 Z každé omezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost, která je konvergentní září 2010

19 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel Algebra limit posloupností Pod pojmem algebra limit chápeme operace sčítáním, odčítáním,... limit. V této části se omezíme pouze na vlastní (konečné) limity. Věta 2.7 Necht jsou dány dvě konvergentní posloupnosti {a n } + n=1 a {b n} + n=1, přičemž lim a n = a a n lim b n = b, pak platí n lim n a n + b n = a + b; lim n a n b n = a b; lim n K a n = K a, kde K je libovolné reálné číslo (včetně nuly); lim n a n b n = a b; a n lim = a, pokud b 0. n b n b Věta 2.8 Věty o limitování posloupností 1. Necht lim a n = a a lim b n = b n n a necht existuje index n 0 takový, že pro všechny n > n 0 N platí pak také platí a n b n lim a n lim b n n n 2. Necht lim a n = a a lim b n = b a necht a < b, pak exituje index n 0 takový, že pro všechny n n n > n 0 N platí a n < b n. POZOR: { Neostré } nerovnosti při limitě zůstávají! Ostrá nerovnost může přejít v neostrou. + { } Příklad a, platí a n < b n, ale lim a n = lim b n. n n=1 n n n n=1 Věta 2.9 Věta o sevření, věta o dvou policistech Necht jsou dány tři posloupnosti {a n } + {b n } + n=1 a {c n} + n=1, kde lim a n = a a lim c n = a n n a necht existuje index n 0 takový, že pro všechny n > n 0 N platí a n b n c n, n=1, pak také lim b n = a n září 2010

20 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 2 Posloupnosti reálných čísel Příklady limit posloupností 1. lim n q n =, pro q ( ; 1 0, pro q ( 1; 1) 1, pro q = 1 +, pro q (1; + ) P k (n) 2. lim n Q m (n) = lim a 0 + a 1 n + + a k n k n b 0 + b 1 n + + b m n m 3. lim (1 + a ) n = e a n n 4. limita typu konst. ± 5. limita typu konst limita typu ± ± je rovna 0 a k, b m pro k = m 0, pro k < m ±, pro k > m může být rovna + nebo nebo nemusí existovat může být cokoliv, často můžeme použít následujících vztahů 4 n 3 n n n n 2 n 3 ( ) n 1 4 ( ) n 1 1 (2) n (4) n 2 ln n n e n n! n n září 2010

21 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 3 Nekonečné řady reálných čísel 21 3 Nekonečné řady reálných čísel V dalším budeme zkoumat význam symbolu a 1 + a 2 + a 3 + = nekonečné (a případně konečné) řady se často používají pro vyjádření očekávaných příjmů nebo plateb v budoucích obdobích. 3.1 Základní vlastnosti číselných řad Definice 3.1 Bud {a n } + n=1 n=1 posloupnost reálných (komplexních) čísel. Označme s 1 = a 1 s 2 = a 1 + a 2 s 3 = a 1 + a 2 + a 3 s 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a a n s n = a 1 + a 2 + a 3 + a a n. Číslo s n nazveme n-tým částečným součtem řady částečných součtů dané řady. Symbol a n = a 1 + a 2 + a se nazývá řada. n=1 n=1 a n a posloupnost {s n } + n=1 nazveme posloupnost Jestliže existuje (vlastní nebo nevlastní) limita posloupnosti částečných součtů, tj. existuje s tak, že pak číslo s nazveme součtem řady a píšeme Pokud s je konečné číslo, tj. Pokud s je ±, tj. lim s n = s, n a n = s n=1 a n = s R říkáme, že řada konverguje. n=1 a n = ± říkáme, že řada diverguje. n=1 Pokud lim n s n neexistuje, říkáme, že řada osciluje září 2010

22 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 3 Nekonečné řady reálných čísel Příklady číselných řad Geometrická řada konverguje pro q < 1 Řadu a + aq + aq 2 + aq 3 + = aq n, kde a a q jsou daná čísla (a je první člen řady a q je kvocient řady), nazveme geometrickou řadou. Pro částečné součty platí s n = a 1 qn 1 q a limita částečných součtů pro n je pro q < 1 rovna a 1, pro ostatní případy je limita 1 q rovna +, - nebo neexistuje. Celkově tedy platí, že geometrická řada pro konverguje pro q < 1 n=0 a + aq + aq 2 + aq 3 + = aq n = n=0 a 1 q pro q < 1 Příklad: Je dána nekonečná číselná řada n=0 a n, kde a n = 1 4 2n+4 1. Určete pro n tý člen posloupnosti částečných součtů s n. 2. Sečtěte prvních 10,15 a 16 členů posloupnosti a n. 3. Vypočtěte součet nekonečné číselné řady. Pro členy této řady platí a n == 1 4 2n+4 = 1 4 2n 4 4 = n=0 a n = 1 ( ) kde první člen řady a má hodnotu a kvocient řady q má hodnotu a = = = q = , tedy jedná se o geometrickou řadu 16n 1 16 ( ) , 2 Podle předcházejících vztahů víme, že pro částečné součty platí s n = a 1 qn 1 q pro q < 1 k hodnotě s = a 1 q. a řada konverguje září 2010

23 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 3 Nekonečné řady reálných čísel 23 Řada 1. Pro n tý člen posloupnosti částečných součtů s n platí ) n s n = a 1 qn 1 q = 1 1 ( ( ) Sečtěte prvních 10,15 a 16 členů posloupnosti a n. s 10 = 1 1 ( ( 1 s 15 = 1 1 ( ( 1 s 16 = 1 1 ( s = a 1 q = ) 10 ) 16 ) 15 ) 16 ) 16 1 ( 1 16 ). = = = Vypočtěte součet nekonečné číselné řady, kde q = 1 16 a 1 16 < 1 ( 1 ) 4096 n=0 1 n(n + 1) konverguje Použijeme následující trik 1 n(n + 1) = 1 n 1 n ( 1 16 ) = a dostáváme posloupnost částečných součtů s 1 = s 2 = s 3 = s 4 = s n = n + 1 Pro limitu částečných součtů pak platí lim 1 1 n n + 1 = 1, září 2010

24 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 3 Nekonečné řady reálných čísel 24 tedy řada n=0 1 n(n + 1) konverguje a součet řady je roven jedné. n=0 1 n(n + 1) = 1 Řada n=0 1 n diverguje, harmonická řady 1 n = n=0 = ( ) ( ) ( ) ( )... 4 = ( ) ( ) Konvergence číselných řad Věta 3.1 Nutná podmínka konvergence číselné řady Necht konverguje, pak lim n a n = 0. Poznámky: a n = a 1 + a 2 + a jedná se nutnou podmínku, tedy: pokud lim n a n je různá od nuly, pak řada nemůže být konvergentní nejedná se o podmínku postačující: příkladem je harmonická řada lim a n = 0 je splněna, ale řada je divergentní n n=1 n=0 1, kde podmínka n Rozhodnutí o konvergenci číselné řady je v konkrétních situacích velmi složité, pomáhají nám různá kritéria konvergence. Jednodušší je situace pro řady s nezápornými členy, kdy můžeme používat například následující kritéria Srovnávací kritérium: Bud a n a n=0 b n dvě řady s nezápornými členy a necht existuje k tak, n=0 že pro všechna n > k platí a n b n, potom platí: je-li b n konvergentní, je n=0 a n také konvergentní n= září 2010

25 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 3 Nekonečné řady reálných čísel 25 je-li a n divergentní, je n=0 b n také divergentní n=0 Příkladem použití je řada n=0 Cauchyho (odmocninové) kritérium Bud lim n n an = A, potom platí: je-li A < 1, je je-li A > 1, je a n konvergentní; n=0 a n divergentní; n=0 1 1, která je divergentní (srovnám ln n ln n > 1 n ) a n řada s nezápornými členy a necht existuje limita je-li A = 1, nemohu o konvergenci na základě tohoto kritéria rozhodnout. D Alembertovo (podílové) kritérium Bud a n+1 lim n a n = A, potom platí: je-li A < 1, je je-li A > 1, je a n konvergentní; n=0 a n divergentní; n=0 n=0 a n řada s kladnými členy a necht existuje limita je-li A = 1, nemohu o konvergenci na základě tohoto kritéria rozhodnout. n= září 2010

26 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 26 4 Základní vlastnosti funkcí 4.1 Reálná funkce f reálné proměnné x zobrazení f : A B, kde A R a B R zobrazení, které ke každému x A přiřazuje právě jedno y = f(x) B x A! y B : y = f(x) x - argument funkce f; y - funkční hodnota funkce f D (f) = A: definiční obor funkce f H (f) = B: obor (funkčních) hodnot funkce f maximální (existenční) definiční obor je taková podmnožina reálných čísel, pro která má analytický vzorec funkce smysl graf funkce: množina všech bodů {[x, y]; x D (f), y = f(x)} ve zvolené soustavě souřadnic (kartézské souřadnice Oxy, sférické souřadnice,... ) způsoby zadání funkce analytické (vzorec, rovnice, několik rovnic pro různé části definičního oboru + definiční obor) Např. f : y = 2x { + 3 x 2 pro x ( 3, 3) f(x) := 9 jinak grafickým zadáním výčtem funkčních hodnot {(1; 1), (2; 4), (3; 9), (4, 16)} 4.2 Operace s funkcemi ekvivalence funkcí rovnost funkcí f 1 a f 2 : f 1 f 2 D (f 1 ) = D (f 2 ) x D (f 1 ) : f 1 (x) = f 2 (x) upořádání funkcí funkce f 1 je větší než f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ) : f 1 f 2 x M : f 1 (x) f 2 (x) funkce f 1 je ostře větší než f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ) : f 1 > f 2 x M : f 1 (x) > f 2 (x) září 2010

27 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 27 funkce f 1 je menší než f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ) : f 1 f 2 x M : f 1 (x) f 2 (x) funkce f 1 je ostře menší než f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ) : algebraické operace s funkcemi f 1 < f 2 x M : f 1 (x) < f 2 (x) sčítání (odčítání) funkcí f 1 a f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ): g = f 1 ± f 2 x M : g(x) = f 1 (x) ± f 2 (x) násobení funkcí f 1 a f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ): g = f 1 f 2 x M : g(x) = f 1 (x) f 2 (x) dělení funkcí f 1 a f 2 na množine M D (f 1 ) D (f 2 ): skládání funkcí g = f 1 f 2 x M; f 2 (x) 0 : g(x) = f 1(x) f 2 (x) g = f 1 f 2 : g(x) = f 1 (f 2 (x)), pokud je splněno, že H (f 2 ) D (f 1 ) D (g) D (f 2 ) H (g) H (f 1 ) g: složená funkce f 1 : vnější funkce f 2 : vnitřní funkce opačným postupem dostáváme rozklad složené funkce na elementární funkce září 2010

28 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 28 transformace grafu funkcí (speciální typy skládání) g(x) = f(x): graf funkce g je souměrný s grafem funkce f podle osy x g(x) = f( x): graf funkce g je souměrný s grafem funkce f podle osy y g(x) = f(x) + K: graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f posunutý o konstatnu K ve směru osy y září 2010

29 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 29 g(x) = f(x + K): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f posunutý o konstatnu K ve směru osy x g(x) = f(x K): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f deformovaný směru osy x (body průniku grafu s osou y zůstávají zachovány) g(x) = K f(x): graf funkce g je vzhledem ke grafu funkce f deformovaný směru osy y (body průniku grafu s osou x zůstávají zachovány) září 2010

30 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí Vlastnosti funkcí sudá (lichá) funkce sudá funkce: x D (f) : x D (f) f( x) = f(x) sudá funkce je souměrná podle osy y x 2, x 1/2, cos(x), x,... lichá funkce: x D (f) : x D (f) f( x) = f(x) lichá funkce je souměrná podle počátku 0 1/x, x 3, sin(x),... periodická funkce p R \ {0} : x D (f) : x ± p D (f) f(x ± p) = f(x) p je perioda funkce základní (primitivní) perioda: existuje-li pro funkci f nejmenší kladná perioda p goniometrické funkce - sin, cos, tg, cotg,... funkce omezená funkce f je omezená zdola na množině M D (f): d R : x M platí d f(x) funkce f je omezená shora na množině M D (f): h R : x M platí f(x) h funkce f je omezená na množině M D (f): září 2010

31 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 31 d: dolní mez funkčních hodnot h: horní mez funkčních hodnot extrémy funkcí d, h R : x M platí d f(x) h funkce f má v bodě x min minimum na množině M D (f): x M platí f(x min ) f(x) funkce f má v bodě x min ostré minimum na množině M D (f): x M platí f(x min ) < f(x) funkce f má v bodě x min maximum na množině M D (f): x M platí f(x min ) f(x) funkce f má v bodě x min ostré maximum na množině M D (f): x M platí f(x min ) > f(x) pokud M = D (f), jedná se o globální extrém funkce f (globální minimum, globální ostré minimum, globální maximum, globální ostré maximum) funkce f má v bodě x min lokální minimum: ɛ > 0 takové, že x (x min ɛ, x min + ɛ) platí f(x min ) f(x) funkce f má v bodě x min ostré lokální minimum: ɛ > 0 takové, že x (x min ɛ, x min + ɛ) platí f(x min ) < f(x) funkce f má v bodě x min lokální maximum: ɛ > 0 takové, že x (x min ɛ, x min + ɛ) platí f(x min ) f(x) funkce f má v bodě x min ostré lokální maximum: POZOR NA ZNAČENÍ ɛ > 0 takové, že x (x min ɛ, x min + ɛ) platí f(x min ) > f(x) max f(x) je funkční hodnota v bodě maxima - leží na ose y x max = argmax f(x) je bod, ve kterém funkce svého maxima nabývá - leží na ose x monotóní funkce funkce f je na množině M D (f) ostře rostoucí: x 1, x 2 M, x 1 < x 2 platí f(x 1 ) < f(x 2 ) funkce f je na množině M D (f) ostře klesající: září 2010

32 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí 32 funkce f je na množině M D (f) rostoucí: funkce f je na množině M D (f) klesající: funkce monotóní: funkce klesající, rostoucí x 1, x 2 M, x 1 < x 2 platí f(x 1 ) > f(x 2 ) x 1, x 2 M, x 1 < x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ) x 1, x 2 M, x 1 < x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ) funkce ryze monotóní: funkce ostře rostoucí, ostře klesající vzájemné vazby mezi omezeností, existencí lokálních a globálních extrémů a monotónií pokud má funkce globální minimum, pak je omezená zdola pokud má funkce globální maximum, pak je omezená shora lokální extrémy k omezenosti nepostačují každý globální extrém je i extrém lokální existují funkce omezené zdola, které nemají globální minimum existují funkce omezené shora, které nemají globální maximum pokud má funkce v bodě x min ostré lokální minimum, pak ɛ > 0 takové, že funkce f je v intervalu (x min ɛ, x min ) ostře klesající a v intervalu (x min, x min + ɛ) ostře rostoucí pokud má funkce v bodě x min lokální minimum, pak ɛ > 0 takové, že funkce f je v intervalu (x min ɛ, x min ) klesající a v intervalu (x min, x min + ɛ) rostoucí pokud má funkce v bodě x max ostré lokální maximum, pak ɛ > 0 takové, že funkce f je v intervalu (x max ɛ, x max ) ostře rostoucí a v intervalu (x max, x max + ɛ) ostře klesající pokud má funkce v bodě x max lokální maximum, pak ɛ > 0 takové, že funkce f je v intervalu (x max ɛ, x max ) rostoucí a v intervalu (x max, x max + ɛ) klesající existují funkce f, které jsou v intervalu (a ɛ, a) monotónní a v intervalu (a, a + ɛ) opačně monotónní, ale nemají v bodě a extrém září 2010

33 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí Prostá funkce a inverzní funkce funkce f je prostá: funkce f je prostá na množině M D (f): x 1, x 2 D (f), x 1 x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ) x 1, x 2 M, x 1 x 2 platí f(x 1 ) f(x 2 ) funkce f 1 je inverzní k funkci f: pokud funkce f je prostá a platí D (f 1 ) H (f) D (f) H (f 1 ) x D (f) : x = f 1 (f(x)) f 1 f(x) 1 y = f(x) x = f 1 (y) pokud je funkce f prostá prostá na množině M D (f), existuje inverzní funkce na této množině M každá ryze monotóní funkce je prostá ke každé ryze monotóní funkci existuje funkce inverzní grafy inverzních funkcí jsou symetrické podle osy prvního a třetího kvadrantu září 2010

34 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí Základní typy funkcí lineární funkce f : y = a 0 + a 1 x kvadratické funkce f : y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 grafem je přímka grafem je p parabola mocninné funkce f : y = x α přirozený mocnitel α N celý mocnitel α Z racionální mocnitel α = p g Q iracionální mocnitel α R lineární lomené funkce f : y = a 0 + a 1 x b 0 + b 1 x grafem je hyperbola algebraické funkce (vznikne z lineární funkce pomocí konečného počtu operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování) polynomické funkce stupně n (polynom P n ) f : y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n lomené racionální funkce f : y = P n Q m iracionální funkce (obsahuje odmocniny x) exponenciální funkce f : y = a x logaritmické funkce (inverzní k exponenciálním) f : y = log a (x) funkce s absolutní hodnotou goniometrické funkce f : sin, cos, tg, cotg cyklometrické funkce (inverzní ke goniometrickým) f : arcsin, arccos, arctg, arccotg září 2010

35 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí Lineární funkce f : y = a 0 + a 1 x definiční obor i obor hodnot jsou reálná čísla monotónní funkce, a 1 > 0 ostře rostoucí a 1 < 0 ostře klesající a 1 = 0 konstanta, nerostoucí, neklesající neomezená funkce (pro a 1 0) inverzní funkce existuje pokud a 1 0 grafem je přímka grafem inverzní funkce je opět přímka Příklady Sestrojte grafy funkcí f 1 : y = x + 3 a f 2 : y = 2x 1 a najděte k funkcím funkce inverzní Sestrojte grafy funkcí f 1 : y = 1 3 x 2 a f 2 : y = 3 2x 2 Sestrojte graf funkce f 1 : y = 4x2 5x 2x a najděte k funkcím funkce inverzní září 2010

36 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí Kvadratická funkce f : y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 definiční obor jsou reálná čísla funkce omezená zdola pokud a 2 > 0 funkce omezená zhora pokud a 2 < 0 existují dvě větve inverzní funkce grafem je parabola, parabola protíná osu x v nulových bodech f 1 : y = x 2 4 f 2 : y = x 2 x + 6 = (x + 3)(x 2) Příklady Sestrojte graf funkce f : y = x 2 5x+6 pro x 5; 7, určete obor funkčních hodnot, sestrojte graf funkce g(x) = f(x) a sestrojte graf funkce h(x) = x 2 5 x + 6 Sestrojte graf funkce f : y = x 2 5x + 6, určete průsečíky funkce f s osami, najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f na intervalu 0; září 2010

37 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí Polynomické funkce x 3, x 4, x 5,... x 2, x 4, x 6 x, x 3, x 5 Příklady Sestrojte grafy funkcí f 1 : y = x 4 a f 2 : y = x 6 a na grafech vyznačte body funkčních hodnot pro x = 1 14 Sestrojte grafy funkcí f 1 : y = x 3 a f 2 : y = x 5 a na grafech vyznačte body funkčních hodnot pro x 1 = 1 32 a pro x 2 = 0, září 2010

38 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí Lineární lomené funkce f : y = a 0 + a 1 x b 0 + b 1 x definiční obor jsou všechna reálná čísla kromě bodu b 0 b 1 obor hodnot jsou všechna reálná čísla kromě bodu a 1 b 1 grafem je hyperbola inverzní funkcí je opět lineární lomená funkce 1 x a x + 2 x 1 Příklady Sestrojte graf funkce f : y = 2x 2 a vypočtěte průsečíky s osami, určete definiční obor a obor x + 1 hodnot Sestrojte graf funkce f : y = 3x + 5 a vypočtěte průsečíky s osami, vypočtěte funkční hodnoty x + 2 f( 1), f( 1/3), f(1) září 2010

39 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí Exponenciální funkce f : y = a x 2 x, 1 2 x = 2 x, 2 x 1 2 x, 2 x Příklady Sestrojte grafy funkcí 3 x, 3 x, 3 x, 3 x + 1, 3 x+1 Sestrojte grafy funkcí 1 2 x, 1 x 2 Sestrojte grafy funkcí 3 x, 4 x a sestrojte k funkcím grafy funkcí inverzních září 2010

40 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí Logaritmické funkce f : y = log z (x) Logaritmické funkce jsou inverzní k exponenciálním funkcím Definiční obor (0; ), obor hodnot jsou všechna reálná čísla log 10 (x), log e (x), 10 x log 2 (x), log 1/2 (x), 2 x září 2010

41 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 4 Základní vlastnosti funkcí Funkce s absolutní hodnotou 2x + 1, 2x + 1, 2x x 2 2x 8, x 2 2 x 8, x 2 2x září 2010

42 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 5 Polynomy 42 5 Polynomy Definice 5.1 Necht a 0,..., a n jsou prvky množiny T, n 0 přirozené číslo. Polynomem (mnohočlenem) P proměnné x T nazýváme předpis P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 x, a n 0 Stupeň polynomu P (x) je nejvyšší mocnina proměnné x u níž je nenulový koeficient, značíme st(p ). Nulový polynom je polynom, který má všechny koeficienty rovny 0. Stupeň nulového polynomu není definován. Někdy je vhodné dodefinovat stupeň nulového polynomu číslem 1. V dalším budeme předpokládat, že pracujeme s reálnými T = R (případně komplexními polynomy T = C), tj. x R resp. x C. Příklady polynomů: 5x 2 + 4x + 6 JE polynom stupně 2 7x x JE polynom stupně 10 5 JE polynom stupně 0 4x 3 + πx 19 JE polynom stupně 3 sin x + 7x 5 NENÍ polynom 0 JE polynom, stupeň není definován 4 3 x3 + x JE polynom stupně 3 5x 6 + x 5 NENÍ polynom (4 + 2i )x 2 + i x 7 JE polynom stupně 7 Definice 5.2 Polynomy P (x) a Q(x) se rovnají (P (x) = Q(x)), pokud platí P (α) = Q(α) α Věta 5.1 Polynomy P (x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 a Q(x) = b m x m +b m 1 x m b 1 x+b 0 se rovnají právě tehdy, když mají stejný stupeň a rovnají se jejich koeficienty, tj. n = m a a i = b j i = 0, 1,..., n. Příklad: Určete koeficienty A, B, C, D polynomu P (x) = A(x + 1) + B(x 3 + x 2 ) + Cx 2 3D tak, aby byl roven polynomu x 3 + 2x + 5. Bx 3 + (B + C)x 2 + Ax + (A 3D) = 1x 3 + 0x 2 + 2x + 5 B = 1 B + C = 0 A = 2 A 3D = 5 A = 2 B = 1 C = 1 D = září 2010

43 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 5 Polynomy 43 Definice 5.3 Operace s polynomy Necht jsou dány dva polynomy a P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = Q(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 = n a i x i i=0 m b j x j j=0 1. Součet dvou polynomů P (x) + Q(x) = (P + Q)(x) je polynom stupně max {n; m} P (x) + Q(x) = (P + Q)(x) = max{n;m} i=0 (a i + b i )x i 2. Násobení polynomu nenulovým číslem λ R je polynom stupně n λ P (x) = n (λ a i )x i i=0 3. Násobení polynomu polynomem je polynom stupně n + m P (x) Q(x) = n+m k=0 c k x k, kde c k = n m a i b j i=0 j=0 4. Dělení polynomu polynomem NENÍ OBECNĚ POLYNOM, ale racionální lomená funkce. Pokud Q(x) nenulový, pak existují jednoznačně určené polynomy S(x) a R(x) tak, že P (x) = S(x) Q(x) + R(x), kde R(x) nazýváme zbytek po dělení a st(r) < st(q). Definice 5.4 Necht je dán polynom P (x) = (nulovým bodem polynomu) P (x), jestliže platí P (c) = n a i x i. Řekneme, že číslo c je kořenem polynomu i=0 n a i c i = 0. i=0 Poznámka: Polynom s reálnými koeficienty nemusí mít obecně žádný reálný kořen - například polynom p(t) = 1 + t 2 nemá žádný reálný kořen, má však dva imaginární kořeny i a i září 2010

44 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 5 Polynomy 44 Věta 5.2 Vlastnosti kořenů polynomů s reálnými koeficienty ZÁKLADNÍ VĚTA ALGEBRY Každý polynom stupně n 1 má v C alespoň jeden kořen. Jestliže c je kořenem polynomu P (x), pak polynom x c dělí polynom P (x) beze zbytku, tj. P (x) = (x c) S(x); Jestliže c = a + i b je komplexním kořenem polynomu P (x), pak kořenem polynomu je také komplexně sdružené číslo c = a i b a platí P (x) = (x (a + i b)) (x (a i b)) S(x) = ( x 2 2 ax + a 2 + b 2) S(x); Definice 5.5 Necht je dán polynom P (x) = n a i x i. Řekneme, že číslo c je k-násobným kořenem polynomu (nulovým bodem polynomu) P (x), jestliže existuje S(x) 0 tak, že platí i=0 P (x) = (x c) k S(x) Věta 5.3 DŮSLEDEK ZÁKLADNÍ VĚTY ALGEBRY Každý polynom stupně n 1 s reálnými nebo komplexními koeficienty má v tělese komplexních čísel právě n kořenů, jestliže každý kořen počítáme tolikrát, kolik je jeho násobnost. Označíme-li c 1, c 2,... c r všechny navzájem různé (komplexní) kořeny polynomu P a označíme-li k j násobnost j tého kořenu, pak k 1 + k k r = n a platí P (x) = a n (x c 1 ) k1 (x c 2 ) k2 (x c r ) kr. Polynomy (x c j ) k j nazýváme kořenovými činiteli polynomu P a předchozímu vztahu říkáme rozklad polynomu na (komplexní) součin kořenových činitelů. Pokud využijeme skutečnosti, že pro komplexní kořenem polynomu platí, že kořenem je též komplexně sdružené číslo a označíme c 1, c 2,..., c r reálné kořeny a c r+1, c r+1,..., c r+s, c r+s komplexní kořeny polynomu P dostáváme reálný rozklad na kořenové činitele tvaru P (x) = a n (x c 1 ) k1 (x c r ) kr (x 2 (c r+1 +c r+1 )x+c r+1 c r+1 ) k r+1 (x 2 (c r+s +c r+s )x+c r+s c r+s ) k r+s září 2010

45 KMA/ZM1 (Blanka Šedivá): 5 Polynomy Dělení polynomu polynomem Algoritmus dělení polynomu polynomem je obdobný algoritmu dělení reálných čísel a ukážeme ho na příkladu dělení polynomu P (x) = 2x 4 3x 3 5x + 6 polynomem Q(x) = x (2x 4 3x 3 5x +6) : (x 2 +1) = 2x 2 vydělím nejvyšší mocniny 2x 4 /x 2 = 2x 2 (2x 4 +2x 2 ) vynásobím 2x 2 (x 2 + 1) odečtu celkově 3x 3 2x 2 5x +6 a pokračuji analogicky 3x 3 /x 2 = 3x (2x 4 3x 3 5x +6) : (x 2 +1) = 2x 2 3x 2 (2x 4 +2x 2 ) 3x 3 2x 2 5x +6 ( 3x 3 3x) 2x 2 2x +6 ( 2x 2 2) 2x +8 Tedy platí P (x) Q(x) = 2x4 3x 3 5x + 6 x = (2x 2 3x 2) + 2x + 8 x Hornerovo schéma n Pro dělení polynomu P (x) = a i x i lineárním dvojčlenem (x α) lze použít Hornerovo schéma. Na základě následující rovnosti i=0 a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = (x α) (b n 1 x n b 1 x + b 0 ) + P (α) lze dokázat, že pro koeficienty b n 1, b n 2,..., b 1, b 0 platí b n 1 = a n b n 2 = a n 1 + αb n b 1 = a 2 + αb 2 b 0 = a 1 + αb září 2010

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech:

Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Informace k jednotlivým zkouškám na jednotlivých oborech: Obor Obchodní akademie 63-41-M/004 1. Praktická maturitní zkouška Praktická maturitní zkouška z odborných předmětů ekonomických se skládá z obsahu

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

6.06. Matematika - MAT

6.06. Matematika - MAT 6.06. Matematika - MAT Obor: 36-47-M/01 Stavebnictví Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 12 Platnost učební osnovy: od 1.9.2008 1) Pojetí vyučovacího předmětu a) Cíle vyučovacího

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

1. Množiny, zobrazení, relace

1. Množiny, zobrazení, relace Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách

Více

Matematika Ekonomické lyceum. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem

Matematika Ekonomické lyceum. Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) od 1.9.2009 počínaje 1.ročníkem 7.15 Pojetí vyučovacího předmětu matematika Název vyučovacího předmětu: Matematika Obor vzdělání: Ekonomické lyceum Forma vzdělání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za studium: 396(12) Platnost: od

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky

Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky. Školní výstupy Učivo Průřezová témata, přesahy, poznámky Gymnázium Rumburk (vyšší stupeň osmiletého gymnázia a čtyřleté gymnázium v Rumburku) Předmět:Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu 1. Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět vzniká Matematika

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Organic Search Traffic

Organic Search Traffic http://forum.matweb.cz http://forum.matweb.cz Matematické forum [DEFAULT] Organic Search Traffic Jan 1, 2012 Dec 31, 2012 % of visits: 86.15% Explorer Site Usage Visits 10,000 5,000 April 2012 July 2012

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více