Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi"

Transkript

1 Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Lineární systémy se speciálními maticemi Diplomová práce květen 2006 Jaroslava Benáčková

2 Poděkování V úvodu bych ráda poděkovala vedoucí diplomové práce prof. RNDr. Ivaně Horové, CSc. z Katedry aplikované matematiky PřF MU v Brně za pečlivé přečtení textu, cenné rady, připomínky k práci a za trpělivost. Dále bych chtěla poděkovat svým rodičům za veškerou podporu, které se mi v průběhu studia dostalo.

3 Prohlášení Čestně prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracovala samostatně a použila jsem pouze uvedenou literaturu. V Brně dne 25. května 2006

4 Obsah Úvod 5 1 Základní pojmy Matice a operace s nimi Grafy a matice Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic Gaussova eliminační metoda Metoda LU-rozkladu Metoda největšího spádu Speciální matice Nezáporné matice Stochastické matice Dvojitě stochastické matice Symetrické a hermitovské matice M-matice Stabilní matice Pásové matice Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iterační metody Jacobiho metoda (metoda prosté iterace) Gauss-Seidelova metoda Superrelaxační metoda Singulární lineární systémy Semikonvergentní matice Semiiterační metoda Závěr 53 Literatura 54 Příloha 55 4

5 Úvod V poslední době stále roste zájem o řešení velkých soustav lineárních algebraických soustav jak s řídkými, tak s plnými maticemi nebo o řešení úloh na vlastní čísla matic. Podstatný vliv na přehodnocení starých numerických metod lineární algebry měly moderní počítače, které podnítily zájem o nové algoritmy, jež se hodí k automatizovanému provádění výpočtů. Základní skupinu metod lineární algebry tvoří metody přímé. Přímou metodou se obvykle rozumí metoda, která umožňuje získat řešení úlohy pomocí konečného počtu operací. Tyto metody hrají v numerické lineární algebře důležitou roli. Klasickými příklady jsou Gaussova eliminace nebo metoda LU-rozkladu. Druhou skupinu tvoří gradientní metody jako například metoda sdružených gradientů nebo metoda střídavých směrů. Přímé metody jsou však při řešení některých úloh většinou málo efektivní. Velmi důležitým prostředkem řešení soustav lineárních rovnic jsou tzv. iterační metody. Ve své diplomové práci se tedy hlavně zabývám iteračními metodami pro řešení soustav s různými speciálními typy matic. V první kapitole jsou definovány základní pojmy, které budou potřeba v dalším výkladu. A to definice matice a různé operace s nimi, dále souvislost grafů a matic a nakonec náznak přímých metod pro hledání řešení soustav lineárních rovnic. Ve druhé kapitole jsou popsány různé speciální typy matic, jejich vlastnosti, hledání vlastních čísel a vektorů. Nakonec se zabývám konkrétními iteračními metodami pro různé matice soustav. V poslední kapitole je to konkrétně případ semiiterační metody pro singulární systémy. Výklad je doplněn příklady, na kterých jsou jasně ukázány teoretické poznatky. V příloze pak najdeme programy vytvořené pro výpočetní systém Matlab a k některým příkladům obrázky získané pomocí těchto programů. 5

6 Kapitola 1 Základní pojmy 1.1 Matice a operace s nimi V první kapitole jsou uvedeny základní pojmy, které se týkají matic a nejdůležitější operace s maticemi. Definice Matice typu (m, n) je soustava mn čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců A = a a 1n a m1... a mn Označujeme ji A = (a ik ). Číslo a ik je prvek matice na místě (i, k), tj. v i-tém řádku a k-tém sloupci. Jsou-li prvky reálné, říkáme, že matice je reálná, jsou-li komplexní, matice je komplexní. n-rozměrný vektor je potom matice typu (n, 1). Je-li m = n, pak mluvíme o čtvercové matici n-tého řádu. Jestliže a = (a 1,...,a n ) T a b = (b 1,...,b n ) T, pak jejich skalární součin je a,b = a T b = n a j b j. j=1 Dále uvedeme různé speciální typy a vlastnosti matic. Řekneme, že čtvercová matice A je regulární, jestliže k ní existuje matice B tak, že AB = BA = I. Jestliže taková matice neexistuje, potom A se nazývá singulární. Matice B je pak inverzní matice k A a označujeme ji A 1. Čtvercová matice A se nazývá ryze řádkově diagonálně dominantní (resp. matice s převládající diagonálou), jestliže a ii > n a ij, i = 1,...,n. j=1 j i Řekneme, že čtvercová matice A je podobná matici B, existuje-li regulární matice 6

7 T tak, že A = TBT 1. Řekneme, že matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existuje permutační matice P taková, že platí B = PAP T. Přitom permutační matice je taková, která má v každém řádku a každém sloupci jediný nenulový prvek, rovný jedné. Definice Necht A je čtvercová matice. Nenulový vektor x se nazývá vlastní vektor matice A, platí-li Ax = λx pro nějaké číslo λ. Toto λ se nazývá vlastní číslo matice A odpovídající vlastnímu vektoru x. Množina všech vlastních čísel matice se nazývá spektrum matice, ozn. σ(a). Spektrálním poloměrem pak nazýváme číslo ρ(a) = max{ λ,λ σ(a)}. Označení: Necht A = (a ik ), matice typu (n, n). Vynecháme-li v této matici i-tý řádek a k-tý sloupec, dostaneme matici typu (n-1, n-1), kterou označíme A ik. Definice Determinant čtvercové matice A = (a ik ) n-tého řádu je číslo deta = sgn(p)a 1k1...a nkn, P=(k 1,...,k n) kde P jsou všechny permutace indexů 1,..., n a sgn(p) je znaménko permutace P. Připomeňme nyní základní poznatek z lineární algebry. Soustavou n lineární rovnic o n neznámých rozumíme soustavu Ax = b, kde A, matice soustavy, je A = a a 1n.... a m1... a mn a b = (b 1,...,b n ) T. Věta (Frobenius). Systém Ax = b je řešitelný právě tehdy, když hodnost matice A je rovna hodnosti rozšířené matice systému (A b). 1.2 Grafy a matice S maticemi poměrně úzce souvisí pojem graf. Některé vlastnosti matice můžeme dokonce z grafu matice odvozovat. Proto zde uvedeme několik základní definic a vět týkajících se grafů a matic. Definice Orientovaný graf G(V,H) je uspořádaná dvojice konečných množin V, H, kde H je tvořena některými uspořádanými dvojicemi prvků z V: H V V. 7

8 Prvky množiny V se nazývají uzly (vrcholy, body), prvky množiny H hrany. Jestliže hrana začíná i končí ve stejném uzlu, mluvíme o smyčce. Posloupnost uzlů (u 1,...,u k ) taková, že (u 1,u 2 ), (u 2,u 3 ),..., (u k 1,u k ) jsou hrany, se nazývá spojení; neopakují-li se uzly, označíme ji jako dráha. Přitom počet hran ve spojení nazveme délkou spojení. G 1 = (V 1,H 1 ) je podgrafem grafu G 2 = (V 2,H 2 ), jestliže je V 1 V 2 a H 1 H 2. Definice Cyklus v grafu G je spojení uzlů (u 1,...,u m,u 1 ). Délkou cyklu je pak číslo m. Přitom předpokládáme, že všechny uzly jsou navzájem různé. Orientovaný graf nazveme acyklický, jestliže neobsahuje žádný cyklus. Věta (Základní věta o acyklických grafech). Necht G = (V,H) je orientovaný graf, V = n. Potom následující vlastnosti jsou ekvivalentní: 1. Graf G je acyklický. 2. Každý neprázdný podgraf G grafu G má vlastnost, že v něm existuje uzel, do něhož v G nejde žádná hrana. 3. Existuje očíslování množiny uzlů V čísly 1, 2,...,n takové, že každá hrana v G jde z uzlu s menším číslem do uzlu s číslem větším. 4. G nemá žádnou smyčku a pro každou dvojici různých uzlů u, v bud neexistuje v G dráha z u do v nebo neexistuje v G dráha z v do u. D ů k a z. viz [3] Graf G se nazývá silně souvislý, jestliže existuje z každého uzlu v G dráha do každého jiného uzlu grafu G. A = (a ik ) je čtvercová matice řádu n. Označme N množinu indexů 1, 2,...,n. Matici A přiřadíme orientovaný graf G(A) o n uzlech takto: G(A) = (N,H), kde H je množina dvojic (i,k), i N, k N, pro které a ik 0. Hranově ohodnocený graf je graf, v němž je každé hraně přiřazena její hodnota. Orientovanému grafu tedy můžeme naopak přiřadit tzv. uzlovou matici U( G) = (u ik ): u ik = 1, je-li v grafu hrana z uzlu i do uzlu k a u ik = 0, není-li v grafu taková hrana. Řád uzlové matice je roven počtu uzlů grafu. Definice Čtvercová matice A se nazývá reducibilní (rozložitelná), je-li tvaru ( ) A 1 B, 0 A 2 kde A 1, A 2 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1, anebo lze-li A převést na tento tvar permutací řádků a sloupců. Čtvercová matice se nazývá ireducibilní (nerozložitelná), není-li reducibilní. 8

9 Věta Čtvercová matice je ireducibilní, právě když její orientovaný graf je silně souvislý. Každou čtvercovou matici lze permutací řádků a sloupců (odpovídající permutační matici P) převést na horní blokově trojúhelníkový tvar, jehož diagonální bloky jsou už ireducibilní: A 11 A A 1r 0 A PAP T = A 2r A rr D ů k a z. viz. [3] Tento tvar matice se nazývá normální tvar. Druhá část z této věty má rozsáhlé aplikace v numerické matematice, zejména při řešení rovnic a výpočtu vlastních čísel matic. Definice Konečný neorientovaný graf (krátce graf) G = (V, H) je uspořádaná dvojice konečných množin (V, H). V je množina uzlů, H množina některých neuspořádaných dvojic prvků z V, tzv. neorientovaných hran. Sled v grafu G je posloupnost uzlů u 1,...,u s, kde každé dva po sobě jdoucí uzly u k, u k+1, pro k = 1,...,s 1 jsou spojeny hranou v G. Cesta v grafu G je sled, v němž se žádné dva uzly neopakují. Souvislý graf je graf, v němž mezi každými dvěma různými uzly existuje cesta. 1.3 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V této diplomové práci se zabývám převážně iteračními metodami pro řešení soustav lineárních rovnic. Proto bych zde ráda krátce připomněla i základní přímé metody, které jsou také důležité pro řešení těchto soustav Gaussova eliminační metoda Předpokládejme, že systém lineárních rovnic je zapsán v maticovém tvaru: Ax = b. Předpokládáme, že matice koeficientů na levé straně není singulární a že koeficient a 11 není nulový. První řádek vztahu dělíme koeficientem a 11. Pak postupně pro všechny hodnoty indexu i = 2,...,n od i-tého řádku odečítáme nový první 9

10 řádek, vynásobený koeficientem a i1. Dostáváme 1 a a 1 1n x 1 0 a a 1 2n x = b 1 1 b 1 2., 0 a 1 n2... a 1 nn x n b 1 n kde a 1 ij = a ij a 11, pro j = 1,...,n. V případě, že by koeficient a 11 byl nulový, je vždy možné vyměnit pořadí rovnic tak, aby nový koeficient nulový nebyl. Stejným způsobem pokračujeme dále. Nakonec (po provedeném n-tém kroku) má výsledný systém lineárních rovnic tvar: 1 a 1 12 a a 1 1n 0 1 a a 2 2n a 3 3n x 1 x 2 x 3. x n = Všechny prvky matice pod hlavní diagonálou jsou nulové, diagonální prvky jsou jedničky. Horní index vždy ukazuje příslušný krok, ve kterém byl koeficient získán. Řešení nyní vypočítáme pomocí vztahů: x i = b i i n j=i+1 b 1 1 b 2 2 b 3 3. b n n a i ijx j, i = n,n 1,...,1. Příklad Řešte pomocí Gaussovy eliminační metody soustavu lineárních rovnic. 7, 9x 1 + 5, 6x 2 + 5, 7x 3 7, 2x 4 = 6, 68 8, 5x 1 4, 8x 2 + 0, 8x 3 + 3, 5x 4 = 9, 95 4, 3x 1 + 4, 2x 2 3, 2x 3 + 9, 3x 4 = 8, 60 3, 2x 1 1, 4x 2 8, 9x 3 + 3, 3x 4 = 1, 00. Řešení: Soustavu rovnic si přepíšeme do maticového tvaru a postupně upravujeme, jak bylo uvedeno v předchozí teoretické části. 7, 9 5, 6 5, 7 7, 2 8, 5 4, 8 0, 8 3, 5 4, 3 4, 2 3, 2 9, 3 3, 2 1, 4 8, 9 3, 3 1 0, , , , , , , , , , , , x 1 x 2 x 3 x 4. 6, 68 = 9, 95 8, 60. x 1 x 2 x 3 x 4 1, 00 = 0, , , ,

11 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 0, = 0, , , , = 0, , , , = 0, , , Z této soustavy již velice jednoduše získáme řešení původní soustavy lineárních rovnic: x 1 = 0, 9671,x 2 = 0, 1248,x 3 = 0, 4263,x 4 = 0, Výsledek můžeme zkontrolovat dosazením do soustavy rovnic. Řešení nedourčených soustav, neboli soustav se singulární maticí koeficientů, pomocí Gaussovy eliminační metody je analogické jako při soustavě lineárních rovnic s regulární maticí koeficientů. Příklad Najděte řešení soustavy rovnic: x 1 + x 2 2x 3 + x 4 = 1 x 1 3x 2 + x 3 + x 4 = 0 4x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 4x 1 + 3x 2 4x 3 x 4 = 2. Řešení: Soustavu rovnic si opět přepíšeme v maticovém tvaru a postupně upravujeme x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 1 = = 1 3 =

12 x 1 x 2 x 3 x 4 = Hodnost matice koeficientů je 3. Proto položíme x 4 = u, kde u je parametr. Obecné řešení soustavy je tedy jednoparametrické a má tvar: x 1 = u, x 2 = u, x 3 = u,x 4 = u Metoda LU - rozkladu Základem této metody řešení systémů lineárních rovnic je rozklad čtvercové matice na součin dolní a horní trojúhelníkové matice. Libovolnou čtvercovou matici můžeme takto jednoznačně rozložit, jestliže jsou dány nenulové diagonální prvky jedné z hledaných trojúhelníkových matic a nejsou-li zároveň hlavní subdeterminanty rozkládané matice nulové. Například pro n = 4 tedy platí A = LU, a 11 a 12 a 13 a 14 l u 11 u 12 u 13 u 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 = l 21 l u 22 u 23 u 24 l 31 l 32 l u 33 u 34. a 41 a 42 a 43 a 44 l 41 l 42 l 43 l u 44 Naším úkolem je tedy určit prvky l ij a u ij, pro daná i a j, a ty určíme ze vztahů, které dostaneme roznásobením těchto matic. Tím dostaneme 16 rovnic pro 20 neznámých a čtyři neznámé veličiny si tedy můžeme libovolně vybrat. Nejčastěji se používá výběr nebo l 11 = l 22 = l 33 = l 44 = 1 u 11 = u 22 = u 33 = u 44 = 1. Při řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b metodou LU-rozkladu vyjádříme matici A jako součin horní trojúhelníkové matice U a dolní trojúhelníkové matice L. Pak tedy máme LUx = b a označíme-li Ux = y, můžeme řešit dvě soustavy Ux = y a Ly = b. Řešení soustav najdeme snadno, protože L i U jsou trojúhelníkové matice. Řešení soustavy Ux = y je již řešení původní soustavy lineárních rovnic. Příklad Metodou LU-rozkladu řešte následující soustavu lineárních rovnic. 0, 500x 1 + 1, 000x 3 + 1, 023x 4 = 4, 725 1, 500x 1 + 1, 000x 2 + 3, 702x 4 = 3, 402 1, 273x 1 2, 752x 2 + 3, 208x 3 1, 305x 4 = 2, 709 2, 000x 1 + 1, 000x 2 + 1, 000x 3 + 4, 007x 4 = 1,

13 Řešení: Nejdříve si soustavu přepíšeme do maticového tvaru 0, , 023 x 1 4, 725 1, , 702 x 2 1, 273 2, 752 3, 208 1, 305 = 3, 402 2, , 007 x 3 x 4 1, 231. Najdeme matice L a U (přičemž volíme l ii = 1,i = 1,...,n) a pak řešíme soustavy: y 1 4, y 2 2, 546 2, = 3, 402 2, a 0, , , , 594 2, , 718 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 = 1, 231 4, , , , 896 Řešení první soustavy je y = (4, 725, 10, 773, 38, 968, 6, 896) T a po dosazení tohoto vektoru do druhé soustavy dostaneme již řešení původního systému rovnic x 1 = 14, 980, x 2 = 9, 682, x 3 = 2, 390 a x 4 = 9, 604. Speciálním případem metody LU-rozkladu je Choleského metoda (metoda odmocnin). Tato metoda se používá pro systémy lineárních rovnic tvaru Ax = b, kde matice A je symetrická. Symetrickou matici lze totiž vyjádřit jako součin dvou navzájem transponovaných trojúhleníkových matic a rovnice Ax = b pak přejde na tvar T T Tx = b a řešení přejde na řešení dvou soustav T T y = b a Tx = y Metoda největšího spádu Věta Jestliže je A symetrická a pozitivně definitní matice typu (n, n) a x a b jsou vektory z R n, potom kvadratická forma F(x) = Ax,x 2 b,x dosahuje minimální hodnoty pro výběr x = x soustavy Ax = b. právě tehdy, když je x řešením D ů k a z. Mějme řešení x soustavy Ax = b a x o. Pak F(x + x) F(x ) = = A(x + x),x + x 2 b,x + x ( Ax,x 2 b,x ) = 13

14 = Ax,x + Ax, x + A x,x + A x, x } {{ } stejné výrazy 2 b,x 2 b, x Ax,x + 2 b,x = = 2 Ax }{{}, x 2 b, x + A x, x = =b = 2 b, x 2 b, x + A x, x = = A x, x > 0, nebot A je pozitivně definitní. Odtud již plyne F(x + x) > F(x ). Naopak mějme F(ˆx) = minf(x) a chceme dokázat, že Aˆx = b. Necht t R, v R n. Jestliže definujeme funkci F(ˆx + tv), pak minimum funkce F najdeme pro t = 0. Tedy F(ˆx + tv) = A(ˆx + tv), ˆx + tv 2 b, ˆx + tv = = Aˆx, ˆx + 2t Aˆx,v + t 2 Av,v 2 b, ˆx 2t b,v. Nyní zderivujeme podle proměnné t a položíme rovno 0. df(ˆx + tv) dt = 0 2 Aˆx,v + 2t Av,v 2 b,v = 0. Protože víme, že v bodě t = 0 nastává minimum F, dostaneme Aˆx,v = b,v, v R n a tedy Aˆx = b. Řešení úlohy Ax = b je tedy pro symetrickou a pozitivně definitní matici A možné nahradit minimalizací F(x). Zvolíme počáteční aproximaci minima x 0 a vybereme vhodný směr v 0. Vektor x 1 nyní určíme podle vzorce x k+1 = x k + δ k v k, kde δ k je konstanta. v k a δ k volíme tak, aby platilo F(x k+1 ) < F(x k ). Jestliže posloupnost x 0, x 1, x 2,... konverguje, musí být její limita řešením systému Ax = b. Metoda největšího spádu, neboli gradientní metoda, je založena na výběru vektoru v v každém kroku tak, aby ležel ve směru největší změny funkce F, tj. ve směru gradientu této funkce: grad(f) = ( F x1,..., F xn ) T. Kvadratickou formu F a její parciální derivaci můžeme zapsat ve tvaru: n n F = a ij x i x j 2 b i x i, i,j=1 i=1 14

15 F xi = 2 n a ij x j 2b i. Označíme-li reziduum r i = 1 2 F x i, tj. r i = b i n i=1 a ijx j, potom platí i=1 grad(f) = 2r, kde r = (r 1,...,r n ) T. V této metodě zvolíme v k jako reziduum r k, kde r k i = b i n a ij x k j,i = 1,...,n. i=1 Koeficient λ k vybereme nyní tak, aby hodnota F(x k+1 ) = F(x k +λ k r k ) byla minimální. F(x k + λ k r k ) = A(x k + λ k r k ),x k + λ k r k 2 b,x k + λ k r k = = Ax k,x k + 2λ k Ax k,r k + λ 2 k Ar k,r k 2 b,x k 2λ k b,r k = r k = b Ax k a tedy Ax k = b r k = b,x k r k,x k + 2λ k b,r k 2λ k r k,r k + +λ 2 k Ar k,r k 2 b,x k 2λ k b,r k = = b,x k r k,x k 2λ k r k,r k + λ 2 k Ar k,r k. Nyní zderivujeme podle λ i a položíme rovno 0. Tím dostaneme minimum. 2 r i,r i + 2λ i Ar i,r i = 0 λ i = ri,r i Ar i,r i. Dostáváme tedy iterační vzorec metody největšího spádu: kde k = 0, 1,... x k+1 = x k + rk,r k Ar k,r k rk, Příklad Metodou největšího spádu najděte řešení systému rovnic 4x 1 x 2 = 2 x 1 + 4x 2 x 3 = 6 x 2 + 4x 3 = 2. Řešení: Nejdříve si zvolíme počáteční aproximaci x 0 = (0, 0, 0) T. Rezidua budou mít tvar r 1 = 2 4x 1 + x 2, r 2 = 6 + x 1 4x 2 + x 3, r 3 = 2 + x 2 4x 3. 15

16 Potom r 0 = (2, 6, 2) T a určíme koeficient λ 0 První iterace tedy bude λ 0 = r0,r 0 Ar 0,r 0. = 0, x 1 = x 0 + λ 0 r 0 = (0, 6876, 2, 0628, 0, 6876) T. Stejným postupem dostaneme r 1 = (1, 3125, 0, 8750, 1, 3125) T, λ 1. = 0, 1964 a tedy x 2 = x 1 + λ 1 r 1 = (0, 9453, 1, 8906, 0, 9453) T, r 2 = (0, 1094, 0, 3281, 0, 1094) T, λ 2. = a tedy x 3 = x 2 + λ 2 r 2 = (0, 9829, 2, 0034, 0, 9829) T. Pro srovnání, přesné řešení soustavy je x = (1, 2, 1) T. 16

17 Kapitola 2 Speciální matice 2.1 Nezáporné matice Tato kapitola se zabývá čtvercovými nezápornými maticemi, tedy takovými, které mají všechny prvky nezáporné. Nejdříve zavedeme tato označení: A B, A > B, jestliže a ij b ij pro všechna i,j, jestliže a ij > b ij pro všechna i,j. Nyní můžeme uvést následující definice a některé věty o nezáporných maticích. Definice Řekneme, že matice A je nezáporná, když A 0, tedy všechny její prvky jsou nezáporné. Matice A je kladná, když A > 0, tedy všechny její prvky jsou kladné. Nezáporné matice mají některé zřejmé vlastnosti: Věta Mějme dvě nezáporné matice A, B. Pak platí: 1. Jsou-li A a B téhož typu, je A + B opět nezáporná matice. 2. Lze-li A a B násobit, je jejich součin AB nezáporná matice. 3. Součin AB kladné matice A a nezáporné nenulové matice B je nezáporná nenulová matice. D ů k a z. Zřejmý. 17

18 Z toho vyplývá, že podobná tvrzení platí i pro násobení matice a vektoru (vektor je matice typu (n, 1)). Dále je uvedena ještě jiná definici reducibilní a ireducibilní matice, než jaká je uvedena v kapitole Grafy a matice. Definice Matice A 0 je reducibilní, jestliže i,j k N : (A k ) ij = 0. Matice A 0 je ireducibilní, jestliže i,j k N : (A k ) ij > 0. Poznámka (A k ) ij označuje prvek na pozici (i,j) v k-té mocnině matice A, tj. A k. Zaved me nyní pojem struktury nenulových prvků matice, která se nejčastěji vyšetřuje pomocí tzv. booleovských matic. Definice Dvě matice A = (a ik ) a B = (b ik ) mají stejnou strukturu nenulových prvků, jestliže pro všechna i, k platí: a ik 0, b ik 0. Struktura nenulových prvků mocniny čtvercové nezáporné matice A souvisí také se sledy v orientovaném grafu G(A) této matice. Tato souvislost je popsána v následující větě. Věta Je-li A čtvercová nezáporná matice a k N, pak v mocnině A k je na místě (i, j) nenulový prvek, právě když existuje v orientovaném grafu G(A) sled délky k z uzlu i do uzlu j. D ů k a z. Větu dokážeme matematickou indukcí. Pro k = 1 věta zřejmě platí. Předpokládejme tedy nyní, že věta platí pro k a dokážeme, že platí i pro k + 1. Označme A = (a pq ), A k = B = (b pq ), A k+1 = C = (c pq ). Protože tedy C = AB, pak c ij = p b ip a pj. Necht v orientovaném grafu G(A) existuje sled délky k +1 z i do j: (i,p 1,...,p k,j). Podle indukčního předpokladu je b ipk > 0. Protože také a pk j > 0 a všechny sčítance v předchozí sumě jsou nezáporné, je i c ij > 0, tj. v A k+1 na místě (i,j) nenulový (tedy kladný) prvek. Pak je v sumě některý z členů kladný, např. b it a tj > 0. To znamená, že b it > 0 a a tj > 0 a podle indukčního předpokladu tedy existuje v grafu G(A) sled délky k z i do t. A protože (i,t) je hrana v G(A), existuje i sled délky k + 1 z i do j. 18

19 Věta Je-li A nezáporná nerozložitelná matice n-tého řádu a k 0, k 1,..., k n 1 kladná čísla, pak matice k 0 I + k 1 A + k 2 A k n 1 A n 1 je kladná. Speciálně je (I + A) n 1 > 0. D ů k a z. Protože matice n 1 i=0 k ia i je součet nezáporných matic, stačí dokázat, že pro libovolná pevná i a j je u některé mocniny A p, 0 p n 1, na místě (i,j) kladný prvek. To platí pro i = j, nebot I má na tomto místě kladný prvek. Je-li i j, pak ze silné souvislosti grafu G(A) plyne, že existuje dráha z i do j. Délka d této dráhy nepřevýší n 1, nebot v G(A) je n uzlů a dráha obsahuje jen různé uzly. Podle předchozí věty je však prvek na místě (i,j) matice A d, 1 d n 1, kladný. Tím je první tvrzení dokázáno. Druhé tvrzení je důsledkem prvního, protože s použitím binomické věty dostaneme ( ) ( ) (I + A) n 1 n 1 n 1 = I + A A k A n 1. 1 k Nyní můžeme uvést hlavní větu o nezáporných maticích. Věta (Perronova-Frobeniova věta o nezáporných maticích). Necht A je čtvercová nezáporná ireducibilní matice n-tého řádu, n > 1. Pak spektrální poloměr ρ(a) je kladné jednoduché vlastní číslo matice A a tomuto vlastnímu číslu odpovídá kladný vlastní vektor. Žádnému jinému vlastnímu číslu matice A už neodpovídá nezáporný vlastní vektor. K důkazu této věty potřebujeme ještě jedno lemma, které je zde uvedeno bez důkazu. Lemma (Perron). Je-li A > 0, pak ρ(a) je kladné vlastní číslo matice A. Tomuto vlastnímu číslu odpovídá jediný lineárně nezávislý vlastní vektor, který přitom lze volit kladný. D ů k a z. (Perronovy-Frobeniovy věty): Nejdříve označme m(a) matici ( a ik ) a nazvěme ji modul matice A a tedy m(x) = ( x 1,..., x n ) T je modul vektoru x. Nyní mějme ireducibilní matici A. Matice (I + A) n 1 je kladná a tedy i matice (I + A T ) n 1 = ( (I + A) n 1) T je kladná. Podle Perronova lemmatu existuje vektor y > 0 tak, že ( ) (I + A) n 1 T ( y = ρ ((I + A) n 1 ) T) y neboli y T (I + A) n 1 = ρ ( (I + A) n 1) y T. Necht dále λ je vlastní číslo matice A takové, že λ = ρ(a). 19

20 Necht x je některý vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu λ (tedy x 0), tj. Ax = λx. Platí pak neboli Obdobně λ m(x) Am(x) ρ(a)m(x) Am(x). ρ 2 (A)m(x) ρ(a)am(x) = Aρ(A)m(x) A 2 m(x), a obecně ρ k (A)m(x) A k m(x), ( k = 1, 2,... ) Násobíme-li k-tou z nerovností číslem n 1 k a sečteme pro k = 1,...,n 1, spolu s rovností m(x) = Im(x) dostaneme (1 + ρ(a)) n 1 m(x) (I + A) n 1 m(x). Násobme zleva kladným vektorem y T. Máme pak (1 + ρ(a)) n 1 (y T m(x)) y T (I + A) n 1 m(x). Pravá strana je rovna ρ((i + A) n 1 )(y T m(x)). Protože y T m(x) je kladné číslo, dostáváme (1 + ρ(a)) n 1 ρ((i + A) n 1 ). Matice (I + A) n 1 má vlastní čísla tvaru (1 + α) n 1, kde α probíhá vlastní čísla matice A. To znamená, že existuje vlastní číslo µ matice A tak, že (1 + µ) n 1 = ρ((i + A) n 1 ). Přitom však µ ρ(a). Dosazením do předchozí nerovnosti plyne (1 + ρ(a)) n 1 (1 + µ) n 1 neboli 1 + ρ(a) 1 + µ 1 + µ 1 + ρ(a). Protože levá strana splývá s pravou, platí všude rovnost. Speciálně odtud plyne, že µ 0, 20

21 a tedy µ = ρ(a). Rovnost také platí ve všech nerovnostech, které jsme dříve sčítali. Speciálně pro k = 1 je Am(x) = ρ(a)m(x) neboli a také Am(x) = µm(x) (I + A) n 1 m(x) = (1 + µ) n 1 m(x) = ρ((i + A) n 1 )m(x). Podle Perronova lemmatu je m(x) > 0. K vlastnímu číslu µ existuje jediný lineárně nezávislý vlastní vektor. Navíc ρ(a) > 0, protože A je nenulová matice (n > 1!). Zbývá dokázat, že ρ(a) je jednoduché vlastní číslo matice A. To vyplývá z tzv. Schurovy věty [A čtvercová matice, λ její vlastní číslo, pak λ je jednoduché, právě když jsou splněny dvě podmínky: a) existuje jediný lineárně nezávislý vlastní vektor matice A a tedy také jediný lineárně nezávislý vlastní vektor matice A T ; b) o vektorech u a v z a) platí v T u 0]. Vlastnímu číslu ρ(a) totiž odpovídá jediný lineárně nezávislý vlastní vektor matice A, např. u, který je přitom kladný. Příslušný vlastní vektor v matice A T, která je také nerozložitelná, lze volit kladný v > 0. Proto je jejich součin v,u = v T u kladný a z Schurovy věty plyne jednoduchost vlastního čísla ρ(a). Nakonec ukážeme, že žádnému jinému vlastnímu číslu už neodpovídá nezáporný vlastní vektor. Necht tedy Az = ξz, z 0 a ξ ρ(a). Podle dokázaného existuje k matici A T kladný vlastní vektor w > 0: A T w = ρ(a)w. Potom však ale také Celkem tedy w T Az = w T ξz = ξ(w T z), w T Az = ρ(a)(w T z). (ρ(a) ξ)(w T z) = 0, což vzhledem k ρ(a) ξ 0 a w T z > 0 je spor. Z Perronovy-Frobeniovy věty také plyne následující. Vezměme nejmenší kruh se středem v počátku, který obsahuje všechna vlastní čísla nezáporné ireducibilní matice - tento kruh má poloměr rovný spektrálnímu poloměru matice. Pak vlastní čísla této matice jsou v komplexní rovině umístěna tak, že na hranici uvažovaného 21

22 kruhu je vždy na kladné poloose vlastní číslo. To však neznamená, že na hranici tohoto kruhu už nemohou být jiná vlastní čísla. Platí také zajímavá věta: Věta Necht A je nezáporná ireducibilní matice n-tého řádu. Necht h je přirozené číslo. Pak tyto vlastnosti matice A a čísla h jsou ekvivalentní: 1. Existuje právě h různých vlastních čísel matice A, jejichž absolutní hodnota je rovna ρ(a). 2. Existuje permutační matice P tak, že PAP T má tvar 0 A A PAP T = A h 1,h A h se čtvercovými diagonálními bloky, a žádnou permutační maticí nelze A převést na obdobný tvar s více než h blokovými řádky. 3. Největší společný dělitel délek všech cyklů orientovanéh grafu G(A) matice A je h. 4. Je-li ( 1) n λ n +k n1 λ n 1 +k n2 λ n k ns λ ns charakteristický polynom matice A, k n1 0, k n2 0,..., k ns 0, n > n 1 >... > n s 0, pak největší společný dělitel čísel n n 1, n 1 n 2,..., n s 1 n s je h. 5. O spektru σ(z) matice Z platí h = max{k N,σ(e 2πi k A) = σ(a)}. D ů k a z. Označíme-li h t, t = 1,...,5, číslo h v t-tém tvrzení, stačí dokázat, že h 1 h 2, h 2 h 3, h 3 h 4, h 4 h 5, h 5 h 1. Celý důkaz najdeme v [3]. Důsledek Je-li A nezáporná ireducibilní matice a má-li A právě h různých vlastních čísel o absolutní hodnotě ρ(a), pak tato vlastní čísla tvoří v rovině komplexních čísel vrcholy pravidelného h-úhelníku o středu v počátku, jehož jeden vrchol je ρ(a). Všechna tato vlastní čísla jsou jednoduchá. Příklad h = 1 v komplexní rovině je jen bod ρ(a), h = 2 v komplexní rovině jsou body ρ(a) a ρ(a). Poznámka Ireducibilní nezáporná matice, pro kterou je h = 1, se nazývá primitivní. Je-li h > 1, nazývá se imprimitivní a h je index imprimitivity. jestliže Existuje ještě jiná definice primitivní matice. Matice A 0 se nazývá primitivní, k N : A k > 0. Matice A 0 se nazývá imprimitivní, jestliže k N i,j : (A k ) ij = 0. 22

23 Věta Je-li A nezáporná čtvercová matice, pak ρ(a) je vlastním číslem matice A a existuje nezáporný vlastní vektor matice A, odpovídající tomuto vlastnímu číslu. D ů k a z. viz [3] Vlastní číslo ρ(a) nezáporné matice A se zpravidla nazývá Perronovo vlastní číslo a odpovídající nezáporný vlastní vektor Perronův vlastní vektor. Věta Necht A je nezáporná matice n-tého řádu, n 2. Potom následující podmínky jsou ekvivalentí: 1. A n 1 = 0, 2. existuje k N tak, že A k = 0, 3. orientovaný graf G(A) matice A je acyklický, 4. existuje permutační matice P tak, že PAP T je horní trojúhelníková matice s nulami na hlavní diagonále, 5. ρ(a) = 0. D ů k a z. Je třeba dokázat implikace: 1. 2., 2. 3., 3. 4., a Zřejmé Obsahuje-li graf G(A) matice A cyklus délky s a je-li uzel j v tomto cyklu, je j-tý diagonální prvek každé z matic A s, A 2s, A 3s,... kladný. Nemůže tedy pro žádné k platit A k = Z teorie grafů víme, že každá silná komponenta acyklického grafu je jednouzlová; existuje tedy permutační matice P taková, že PAP T je horní trojúhleníková matice. Diagonální prvky jsou téměř všechny rovny nule, nebot by v G(A) existovala smyčka, což je cyklus délky Protože PAP T je horní trojúhelníková matice s nulovými diagonálními prvky, jsou všechna vlastní čísla matice PAP T nulová a tedy i všechna vlastní čísla matice A jsou nulová. Proto je ρ(a) = Z 5. vyplývá, že A má všechna vlastní čísla nulová. Proto v Jordanově tvaru A jsou všechny Jordanovy bloky tvaru Přitom je vždy (n 1)-ní mocnina tohoto Jordanova bloku nulová. Proto A n 1 = 0. 23

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Ohodnocené orientované grafy

Ohodnocené orientované grafy Ohodnocené orientované grafy Definice Buď G graf Funkce w : H( G) (, ) se nazývá (hranové) ohodnocení grafu G; graf se zadaným ohodnocením se nazývá ohodnocený graf Definice Nechť G je orientovaný graf

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory]

Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] Část I Základní pojmy teorie grafů [Graph theory] V matematice grafem obvykle rozumíme grafické znázornění funkční závislosti. Pro tento předmět je však podstatnější pohled jiný. V teorii grafů rozumíme

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Numerické metody pro nalezení

Numerické metody pro nalezení Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Numerické metody pro nalezení vlastních čísel matic Diplomová práce květen 006 Alena Baštincová Poděkování V úvodu bych ráda

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce.

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce. Hledání kořenů Úloha: Pro danou funkci f(x) máme najít číslo r tak, aby f(r) = 0. Pozor, počítač totiž kořen nepozná! Má jistou přesnost výpočtu δ > 0 a prohlásí f(r) = 0 pokaždé, když f(x) < δ. Není ovšem

Více