Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi"

Transkript

1 Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Lineární systémy se speciálními maticemi Diplomová práce květen 2006 Jaroslava Benáčková

2 Poděkování V úvodu bych ráda poděkovala vedoucí diplomové práce prof. RNDr. Ivaně Horové, CSc. z Katedry aplikované matematiky PřF MU v Brně za pečlivé přečtení textu, cenné rady, připomínky k práci a za trpělivost. Dále bych chtěla poděkovat svým rodičům za veškerou podporu, které se mi v průběhu studia dostalo.

3 Prohlášení Čestně prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracovala samostatně a použila jsem pouze uvedenou literaturu. V Brně dne 25. května 2006

4 Obsah Úvod 5 1 Základní pojmy Matice a operace s nimi Grafy a matice Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic Gaussova eliminační metoda Metoda LU-rozkladu Metoda největšího spádu Speciální matice Nezáporné matice Stochastické matice Dvojitě stochastické matice Symetrické a hermitovské matice M-matice Stabilní matice Pásové matice Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iterační metody Jacobiho metoda (metoda prosté iterace) Gauss-Seidelova metoda Superrelaxační metoda Singulární lineární systémy Semikonvergentní matice Semiiterační metoda Závěr 53 Literatura 54 Příloha 55 4

5 Úvod V poslední době stále roste zájem o řešení velkých soustav lineárních algebraických soustav jak s řídkými, tak s plnými maticemi nebo o řešení úloh na vlastní čísla matic. Podstatný vliv na přehodnocení starých numerických metod lineární algebry měly moderní počítače, které podnítily zájem o nové algoritmy, jež se hodí k automatizovanému provádění výpočtů. Základní skupinu metod lineární algebry tvoří metody přímé. Přímou metodou se obvykle rozumí metoda, která umožňuje získat řešení úlohy pomocí konečného počtu operací. Tyto metody hrají v numerické lineární algebře důležitou roli. Klasickými příklady jsou Gaussova eliminace nebo metoda LU-rozkladu. Druhou skupinu tvoří gradientní metody jako například metoda sdružených gradientů nebo metoda střídavých směrů. Přímé metody jsou však při řešení některých úloh většinou málo efektivní. Velmi důležitým prostředkem řešení soustav lineárních rovnic jsou tzv. iterační metody. Ve své diplomové práci se tedy hlavně zabývám iteračními metodami pro řešení soustav s různými speciálními typy matic. V první kapitole jsou definovány základní pojmy, které budou potřeba v dalším výkladu. A to definice matice a různé operace s nimi, dále souvislost grafů a matic a nakonec náznak přímých metod pro hledání řešení soustav lineárních rovnic. Ve druhé kapitole jsou popsány různé speciální typy matic, jejich vlastnosti, hledání vlastních čísel a vektorů. Nakonec se zabývám konkrétními iteračními metodami pro různé matice soustav. V poslední kapitole je to konkrétně případ semiiterační metody pro singulární systémy. Výklad je doplněn příklady, na kterých jsou jasně ukázány teoretické poznatky. V příloze pak najdeme programy vytvořené pro výpočetní systém Matlab a k některým příkladům obrázky získané pomocí těchto programů. 5

6 Kapitola 1 Základní pojmy 1.1 Matice a operace s nimi V první kapitole jsou uvedeny základní pojmy, které se týkají matic a nejdůležitější operace s maticemi. Definice Matice typu (m, n) je soustava mn čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců A = a a 1n a m1... a mn Označujeme ji A = (a ik ). Číslo a ik je prvek matice na místě (i, k), tj. v i-tém řádku a k-tém sloupci. Jsou-li prvky reálné, říkáme, že matice je reálná, jsou-li komplexní, matice je komplexní. n-rozměrný vektor je potom matice typu (n, 1). Je-li m = n, pak mluvíme o čtvercové matici n-tého řádu. Jestliže a = (a 1,...,a n ) T a b = (b 1,...,b n ) T, pak jejich skalární součin je a,b = a T b = n a j b j. j=1 Dále uvedeme různé speciální typy a vlastnosti matic. Řekneme, že čtvercová matice A je regulární, jestliže k ní existuje matice B tak, že AB = BA = I. Jestliže taková matice neexistuje, potom A se nazývá singulární. Matice B je pak inverzní matice k A a označujeme ji A 1. Čtvercová matice A se nazývá ryze řádkově diagonálně dominantní (resp. matice s převládající diagonálou), jestliže a ii > n a ij, i = 1,...,n. j=1 j i Řekneme, že čtvercová matice A je podobná matici B, existuje-li regulární matice 6

7 T tak, že A = TBT 1. Řekneme, že matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existuje permutační matice P taková, že platí B = PAP T. Přitom permutační matice je taková, která má v každém řádku a každém sloupci jediný nenulový prvek, rovný jedné. Definice Necht A je čtvercová matice. Nenulový vektor x se nazývá vlastní vektor matice A, platí-li Ax = λx pro nějaké číslo λ. Toto λ se nazývá vlastní číslo matice A odpovídající vlastnímu vektoru x. Množina všech vlastních čísel matice se nazývá spektrum matice, ozn. σ(a). Spektrálním poloměrem pak nazýváme číslo ρ(a) = max{ λ,λ σ(a)}. Označení: Necht A = (a ik ), matice typu (n, n). Vynecháme-li v této matici i-tý řádek a k-tý sloupec, dostaneme matici typu (n-1, n-1), kterou označíme A ik. Definice Determinant čtvercové matice A = (a ik ) n-tého řádu je číslo deta = sgn(p)a 1k1...a nkn, P=(k 1,...,k n) kde P jsou všechny permutace indexů 1,..., n a sgn(p) je znaménko permutace P. Připomeňme nyní základní poznatek z lineární algebry. Soustavou n lineární rovnic o n neznámých rozumíme soustavu Ax = b, kde A, matice soustavy, je A = a a 1n.... a m1... a mn a b = (b 1,...,b n ) T. Věta (Frobenius). Systém Ax = b je řešitelný právě tehdy, když hodnost matice A je rovna hodnosti rozšířené matice systému (A b). 1.2 Grafy a matice S maticemi poměrně úzce souvisí pojem graf. Některé vlastnosti matice můžeme dokonce z grafu matice odvozovat. Proto zde uvedeme několik základní definic a vět týkajících se grafů a matic. Definice Orientovaný graf G(V,H) je uspořádaná dvojice konečných množin V, H, kde H je tvořena některými uspořádanými dvojicemi prvků z V: H V V. 7

8 Prvky množiny V se nazývají uzly (vrcholy, body), prvky množiny H hrany. Jestliže hrana začíná i končí ve stejném uzlu, mluvíme o smyčce. Posloupnost uzlů (u 1,...,u k ) taková, že (u 1,u 2 ), (u 2,u 3 ),..., (u k 1,u k ) jsou hrany, se nazývá spojení; neopakují-li se uzly, označíme ji jako dráha. Přitom počet hran ve spojení nazveme délkou spojení. G 1 = (V 1,H 1 ) je podgrafem grafu G 2 = (V 2,H 2 ), jestliže je V 1 V 2 a H 1 H 2. Definice Cyklus v grafu G je spojení uzlů (u 1,...,u m,u 1 ). Délkou cyklu je pak číslo m. Přitom předpokládáme, že všechny uzly jsou navzájem různé. Orientovaný graf nazveme acyklický, jestliže neobsahuje žádný cyklus. Věta (Základní věta o acyklických grafech). Necht G = (V,H) je orientovaný graf, V = n. Potom následující vlastnosti jsou ekvivalentní: 1. Graf G je acyklický. 2. Každý neprázdný podgraf G grafu G má vlastnost, že v něm existuje uzel, do něhož v G nejde žádná hrana. 3. Existuje očíslování množiny uzlů V čísly 1, 2,...,n takové, že každá hrana v G jde z uzlu s menším číslem do uzlu s číslem větším. 4. G nemá žádnou smyčku a pro každou dvojici různých uzlů u, v bud neexistuje v G dráha z u do v nebo neexistuje v G dráha z v do u. D ů k a z. viz [3] Graf G se nazývá silně souvislý, jestliže existuje z každého uzlu v G dráha do každého jiného uzlu grafu G. A = (a ik ) je čtvercová matice řádu n. Označme N množinu indexů 1, 2,...,n. Matici A přiřadíme orientovaný graf G(A) o n uzlech takto: G(A) = (N,H), kde H je množina dvojic (i,k), i N, k N, pro které a ik 0. Hranově ohodnocený graf je graf, v němž je každé hraně přiřazena její hodnota. Orientovanému grafu tedy můžeme naopak přiřadit tzv. uzlovou matici U( G) = (u ik ): u ik = 1, je-li v grafu hrana z uzlu i do uzlu k a u ik = 0, není-li v grafu taková hrana. Řád uzlové matice je roven počtu uzlů grafu. Definice Čtvercová matice A se nazývá reducibilní (rozložitelná), je-li tvaru ( ) A 1 B, 0 A 2 kde A 1, A 2 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1, anebo lze-li A převést na tento tvar permutací řádků a sloupců. Čtvercová matice se nazývá ireducibilní (nerozložitelná), není-li reducibilní. 8

9 Věta Čtvercová matice je ireducibilní, právě když její orientovaný graf je silně souvislý. Každou čtvercovou matici lze permutací řádků a sloupců (odpovídající permutační matici P) převést na horní blokově trojúhelníkový tvar, jehož diagonální bloky jsou už ireducibilní: A 11 A A 1r 0 A PAP T = A 2r A rr D ů k a z. viz. [3] Tento tvar matice se nazývá normální tvar. Druhá část z této věty má rozsáhlé aplikace v numerické matematice, zejména při řešení rovnic a výpočtu vlastních čísel matic. Definice Konečný neorientovaný graf (krátce graf) G = (V, H) je uspořádaná dvojice konečných množin (V, H). V je množina uzlů, H množina některých neuspořádaných dvojic prvků z V, tzv. neorientovaných hran. Sled v grafu G je posloupnost uzlů u 1,...,u s, kde každé dva po sobě jdoucí uzly u k, u k+1, pro k = 1,...,s 1 jsou spojeny hranou v G. Cesta v grafu G je sled, v němž se žádné dva uzly neopakují. Souvislý graf je graf, v němž mezi každými dvěma různými uzly existuje cesta. 1.3 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V této diplomové práci se zabývám převážně iteračními metodami pro řešení soustav lineárních rovnic. Proto bych zde ráda krátce připomněla i základní přímé metody, které jsou také důležité pro řešení těchto soustav Gaussova eliminační metoda Předpokládejme, že systém lineárních rovnic je zapsán v maticovém tvaru: Ax = b. Předpokládáme, že matice koeficientů na levé straně není singulární a že koeficient a 11 není nulový. První řádek vztahu dělíme koeficientem a 11. Pak postupně pro všechny hodnoty indexu i = 2,...,n od i-tého řádku odečítáme nový první 9

10 řádek, vynásobený koeficientem a i1. Dostáváme 1 a a 1 1n x 1 0 a a 1 2n x = b 1 1 b 1 2., 0 a 1 n2... a 1 nn x n b 1 n kde a 1 ij = a ij a 11, pro j = 1,...,n. V případě, že by koeficient a 11 byl nulový, je vždy možné vyměnit pořadí rovnic tak, aby nový koeficient nulový nebyl. Stejným způsobem pokračujeme dále. Nakonec (po provedeném n-tém kroku) má výsledný systém lineárních rovnic tvar: 1 a 1 12 a a 1 1n 0 1 a a 2 2n a 3 3n x 1 x 2 x 3. x n = Všechny prvky matice pod hlavní diagonálou jsou nulové, diagonální prvky jsou jedničky. Horní index vždy ukazuje příslušný krok, ve kterém byl koeficient získán. Řešení nyní vypočítáme pomocí vztahů: x i = b i i n j=i+1 b 1 1 b 2 2 b 3 3. b n n a i ijx j, i = n,n 1,...,1. Příklad Řešte pomocí Gaussovy eliminační metody soustavu lineárních rovnic. 7, 9x 1 + 5, 6x 2 + 5, 7x 3 7, 2x 4 = 6, 68 8, 5x 1 4, 8x 2 + 0, 8x 3 + 3, 5x 4 = 9, 95 4, 3x 1 + 4, 2x 2 3, 2x 3 + 9, 3x 4 = 8, 60 3, 2x 1 1, 4x 2 8, 9x 3 + 3, 3x 4 = 1, 00. Řešení: Soustavu rovnic si přepíšeme do maticového tvaru a postupně upravujeme, jak bylo uvedeno v předchozí teoretické části. 7, 9 5, 6 5, 7 7, 2 8, 5 4, 8 0, 8 3, 5 4, 3 4, 2 3, 2 9, 3 3, 2 1, 4 8, 9 3, 3 1 0, , , , , , , , , , , , x 1 x 2 x 3 x 4. 6, 68 = 9, 95 8, 60. x 1 x 2 x 3 x 4 1, 00 = 0, , , ,

11 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 0, = 0, , , , = 0, , , , = 0, , , Z této soustavy již velice jednoduše získáme řešení původní soustavy lineárních rovnic: x 1 = 0, 9671,x 2 = 0, 1248,x 3 = 0, 4263,x 4 = 0, Výsledek můžeme zkontrolovat dosazením do soustavy rovnic. Řešení nedourčených soustav, neboli soustav se singulární maticí koeficientů, pomocí Gaussovy eliminační metody je analogické jako při soustavě lineárních rovnic s regulární maticí koeficientů. Příklad Najděte řešení soustavy rovnic: x 1 + x 2 2x 3 + x 4 = 1 x 1 3x 2 + x 3 + x 4 = 0 4x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 4x 1 + 3x 2 4x 3 x 4 = 2. Řešení: Soustavu rovnic si opět přepíšeme v maticovém tvaru a postupně upravujeme x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 1 = = 1 3 =

12 x 1 x 2 x 3 x 4 = Hodnost matice koeficientů je 3. Proto položíme x 4 = u, kde u je parametr. Obecné řešení soustavy je tedy jednoparametrické a má tvar: x 1 = u, x 2 = u, x 3 = u,x 4 = u Metoda LU - rozkladu Základem této metody řešení systémů lineárních rovnic je rozklad čtvercové matice na součin dolní a horní trojúhelníkové matice. Libovolnou čtvercovou matici můžeme takto jednoznačně rozložit, jestliže jsou dány nenulové diagonální prvky jedné z hledaných trojúhelníkových matic a nejsou-li zároveň hlavní subdeterminanty rozkládané matice nulové. Například pro n = 4 tedy platí A = LU, a 11 a 12 a 13 a 14 l u 11 u 12 u 13 u 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 = l 21 l u 22 u 23 u 24 l 31 l 32 l u 33 u 34. a 41 a 42 a 43 a 44 l 41 l 42 l 43 l u 44 Naším úkolem je tedy určit prvky l ij a u ij, pro daná i a j, a ty určíme ze vztahů, které dostaneme roznásobením těchto matic. Tím dostaneme 16 rovnic pro 20 neznámých a čtyři neznámé veličiny si tedy můžeme libovolně vybrat. Nejčastěji se používá výběr nebo l 11 = l 22 = l 33 = l 44 = 1 u 11 = u 22 = u 33 = u 44 = 1. Při řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b metodou LU-rozkladu vyjádříme matici A jako součin horní trojúhelníkové matice U a dolní trojúhelníkové matice L. Pak tedy máme LUx = b a označíme-li Ux = y, můžeme řešit dvě soustavy Ux = y a Ly = b. Řešení soustav najdeme snadno, protože L i U jsou trojúhelníkové matice. Řešení soustavy Ux = y je již řešení původní soustavy lineárních rovnic. Příklad Metodou LU-rozkladu řešte následující soustavu lineárních rovnic. 0, 500x 1 + 1, 000x 3 + 1, 023x 4 = 4, 725 1, 500x 1 + 1, 000x 2 + 3, 702x 4 = 3, 402 1, 273x 1 2, 752x 2 + 3, 208x 3 1, 305x 4 = 2, 709 2, 000x 1 + 1, 000x 2 + 1, 000x 3 + 4, 007x 4 = 1,

13 Řešení: Nejdříve si soustavu přepíšeme do maticového tvaru 0, , 023 x 1 4, 725 1, , 702 x 2 1, 273 2, 752 3, 208 1, 305 = 3, 402 2, , 007 x 3 x 4 1, 231. Najdeme matice L a U (přičemž volíme l ii = 1,i = 1,...,n) a pak řešíme soustavy: y 1 4, y 2 2, 546 2, = 3, 402 2, a 0, , , , 594 2, , 718 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 = 1, 231 4, , , , 896 Řešení první soustavy je y = (4, 725, 10, 773, 38, 968, 6, 896) T a po dosazení tohoto vektoru do druhé soustavy dostaneme již řešení původního systému rovnic x 1 = 14, 980, x 2 = 9, 682, x 3 = 2, 390 a x 4 = 9, 604. Speciálním případem metody LU-rozkladu je Choleského metoda (metoda odmocnin). Tato metoda se používá pro systémy lineárních rovnic tvaru Ax = b, kde matice A je symetrická. Symetrickou matici lze totiž vyjádřit jako součin dvou navzájem transponovaných trojúhleníkových matic a rovnice Ax = b pak přejde na tvar T T Tx = b a řešení přejde na řešení dvou soustav T T y = b a Tx = y Metoda největšího spádu Věta Jestliže je A symetrická a pozitivně definitní matice typu (n, n) a x a b jsou vektory z R n, potom kvadratická forma F(x) = Ax,x 2 b,x dosahuje minimální hodnoty pro výběr x = x soustavy Ax = b. právě tehdy, když je x řešením D ů k a z. Mějme řešení x soustavy Ax = b a x o. Pak F(x + x) F(x ) = = A(x + x),x + x 2 b,x + x ( Ax,x 2 b,x ) = 13

14 = Ax,x + Ax, x + A x,x + A x, x } {{ } stejné výrazy 2 b,x 2 b, x Ax,x + 2 b,x = = 2 Ax }{{}, x 2 b, x + A x, x = =b = 2 b, x 2 b, x + A x, x = = A x, x > 0, nebot A je pozitivně definitní. Odtud již plyne F(x + x) > F(x ). Naopak mějme F(ˆx) = minf(x) a chceme dokázat, že Aˆx = b. Necht t R, v R n. Jestliže definujeme funkci F(ˆx + tv), pak minimum funkce F najdeme pro t = 0. Tedy F(ˆx + tv) = A(ˆx + tv), ˆx + tv 2 b, ˆx + tv = = Aˆx, ˆx + 2t Aˆx,v + t 2 Av,v 2 b, ˆx 2t b,v. Nyní zderivujeme podle proměnné t a položíme rovno 0. df(ˆx + tv) dt = 0 2 Aˆx,v + 2t Av,v 2 b,v = 0. Protože víme, že v bodě t = 0 nastává minimum F, dostaneme Aˆx,v = b,v, v R n a tedy Aˆx = b. Řešení úlohy Ax = b je tedy pro symetrickou a pozitivně definitní matici A možné nahradit minimalizací F(x). Zvolíme počáteční aproximaci minima x 0 a vybereme vhodný směr v 0. Vektor x 1 nyní určíme podle vzorce x k+1 = x k + δ k v k, kde δ k je konstanta. v k a δ k volíme tak, aby platilo F(x k+1 ) < F(x k ). Jestliže posloupnost x 0, x 1, x 2,... konverguje, musí být její limita řešením systému Ax = b. Metoda největšího spádu, neboli gradientní metoda, je založena na výběru vektoru v v každém kroku tak, aby ležel ve směru největší změny funkce F, tj. ve směru gradientu této funkce: grad(f) = ( F x1,..., F xn ) T. Kvadratickou formu F a její parciální derivaci můžeme zapsat ve tvaru: n n F = a ij x i x j 2 b i x i, i,j=1 i=1 14

15 F xi = 2 n a ij x j 2b i. Označíme-li reziduum r i = 1 2 F x i, tj. r i = b i n i=1 a ijx j, potom platí i=1 grad(f) = 2r, kde r = (r 1,...,r n ) T. V této metodě zvolíme v k jako reziduum r k, kde r k i = b i n a ij x k j,i = 1,...,n. i=1 Koeficient λ k vybereme nyní tak, aby hodnota F(x k+1 ) = F(x k +λ k r k ) byla minimální. F(x k + λ k r k ) = A(x k + λ k r k ),x k + λ k r k 2 b,x k + λ k r k = = Ax k,x k + 2λ k Ax k,r k + λ 2 k Ar k,r k 2 b,x k 2λ k b,r k = r k = b Ax k a tedy Ax k = b r k = b,x k r k,x k + 2λ k b,r k 2λ k r k,r k + +λ 2 k Ar k,r k 2 b,x k 2λ k b,r k = = b,x k r k,x k 2λ k r k,r k + λ 2 k Ar k,r k. Nyní zderivujeme podle λ i a položíme rovno 0. Tím dostaneme minimum. 2 r i,r i + 2λ i Ar i,r i = 0 λ i = ri,r i Ar i,r i. Dostáváme tedy iterační vzorec metody největšího spádu: kde k = 0, 1,... x k+1 = x k + rk,r k Ar k,r k rk, Příklad Metodou největšího spádu najděte řešení systému rovnic 4x 1 x 2 = 2 x 1 + 4x 2 x 3 = 6 x 2 + 4x 3 = 2. Řešení: Nejdříve si zvolíme počáteční aproximaci x 0 = (0, 0, 0) T. Rezidua budou mít tvar r 1 = 2 4x 1 + x 2, r 2 = 6 + x 1 4x 2 + x 3, r 3 = 2 + x 2 4x 3. 15

16 Potom r 0 = (2, 6, 2) T a určíme koeficient λ 0 První iterace tedy bude λ 0 = r0,r 0 Ar 0,r 0. = 0, x 1 = x 0 + λ 0 r 0 = (0, 6876, 2, 0628, 0, 6876) T. Stejným postupem dostaneme r 1 = (1, 3125, 0, 8750, 1, 3125) T, λ 1. = 0, 1964 a tedy x 2 = x 1 + λ 1 r 1 = (0, 9453, 1, 8906, 0, 9453) T, r 2 = (0, 1094, 0, 3281, 0, 1094) T, λ 2. = a tedy x 3 = x 2 + λ 2 r 2 = (0, 9829, 2, 0034, 0, 9829) T. Pro srovnání, přesné řešení soustavy je x = (1, 2, 1) T. 16

17 Kapitola 2 Speciální matice 2.1 Nezáporné matice Tato kapitola se zabývá čtvercovými nezápornými maticemi, tedy takovými, které mají všechny prvky nezáporné. Nejdříve zavedeme tato označení: A B, A > B, jestliže a ij b ij pro všechna i,j, jestliže a ij > b ij pro všechna i,j. Nyní můžeme uvést následující definice a některé věty o nezáporných maticích. Definice Řekneme, že matice A je nezáporná, když A 0, tedy všechny její prvky jsou nezáporné. Matice A je kladná, když A > 0, tedy všechny její prvky jsou kladné. Nezáporné matice mají některé zřejmé vlastnosti: Věta Mějme dvě nezáporné matice A, B. Pak platí: 1. Jsou-li A a B téhož typu, je A + B opět nezáporná matice. 2. Lze-li A a B násobit, je jejich součin AB nezáporná matice. 3. Součin AB kladné matice A a nezáporné nenulové matice B je nezáporná nenulová matice. D ů k a z. Zřejmý. 17

18 Z toho vyplývá, že podobná tvrzení platí i pro násobení matice a vektoru (vektor je matice typu (n, 1)). Dále je uvedena ještě jiná definici reducibilní a ireducibilní matice, než jaká je uvedena v kapitole Grafy a matice. Definice Matice A 0 je reducibilní, jestliže i,j k N : (A k ) ij = 0. Matice A 0 je ireducibilní, jestliže i,j k N : (A k ) ij > 0. Poznámka (A k ) ij označuje prvek na pozici (i,j) v k-té mocnině matice A, tj. A k. Zaved me nyní pojem struktury nenulových prvků matice, která se nejčastěji vyšetřuje pomocí tzv. booleovských matic. Definice Dvě matice A = (a ik ) a B = (b ik ) mají stejnou strukturu nenulových prvků, jestliže pro všechna i, k platí: a ik 0, b ik 0. Struktura nenulových prvků mocniny čtvercové nezáporné matice A souvisí také se sledy v orientovaném grafu G(A) této matice. Tato souvislost je popsána v následující větě. Věta Je-li A čtvercová nezáporná matice a k N, pak v mocnině A k je na místě (i, j) nenulový prvek, právě když existuje v orientovaném grafu G(A) sled délky k z uzlu i do uzlu j. D ů k a z. Větu dokážeme matematickou indukcí. Pro k = 1 věta zřejmě platí. Předpokládejme tedy nyní, že věta platí pro k a dokážeme, že platí i pro k + 1. Označme A = (a pq ), A k = B = (b pq ), A k+1 = C = (c pq ). Protože tedy C = AB, pak c ij = p b ip a pj. Necht v orientovaném grafu G(A) existuje sled délky k +1 z i do j: (i,p 1,...,p k,j). Podle indukčního předpokladu je b ipk > 0. Protože také a pk j > 0 a všechny sčítance v předchozí sumě jsou nezáporné, je i c ij > 0, tj. v A k+1 na místě (i,j) nenulový (tedy kladný) prvek. Pak je v sumě některý z členů kladný, např. b it a tj > 0. To znamená, že b it > 0 a a tj > 0 a podle indukčního předpokladu tedy existuje v grafu G(A) sled délky k z i do t. A protože (i,t) je hrana v G(A), existuje i sled délky k + 1 z i do j. 18

19 Věta Je-li A nezáporná nerozložitelná matice n-tého řádu a k 0, k 1,..., k n 1 kladná čísla, pak matice k 0 I + k 1 A + k 2 A k n 1 A n 1 je kladná. Speciálně je (I + A) n 1 > 0. D ů k a z. Protože matice n 1 i=0 k ia i je součet nezáporných matic, stačí dokázat, že pro libovolná pevná i a j je u některé mocniny A p, 0 p n 1, na místě (i,j) kladný prvek. To platí pro i = j, nebot I má na tomto místě kladný prvek. Je-li i j, pak ze silné souvislosti grafu G(A) plyne, že existuje dráha z i do j. Délka d této dráhy nepřevýší n 1, nebot v G(A) je n uzlů a dráha obsahuje jen různé uzly. Podle předchozí věty je však prvek na místě (i,j) matice A d, 1 d n 1, kladný. Tím je první tvrzení dokázáno. Druhé tvrzení je důsledkem prvního, protože s použitím binomické věty dostaneme ( ) ( ) (I + A) n 1 n 1 n 1 = I + A A k A n 1. 1 k Nyní můžeme uvést hlavní větu o nezáporných maticích. Věta (Perronova-Frobeniova věta o nezáporných maticích). Necht A je čtvercová nezáporná ireducibilní matice n-tého řádu, n > 1. Pak spektrální poloměr ρ(a) je kladné jednoduché vlastní číslo matice A a tomuto vlastnímu číslu odpovídá kladný vlastní vektor. Žádnému jinému vlastnímu číslu matice A už neodpovídá nezáporný vlastní vektor. K důkazu této věty potřebujeme ještě jedno lemma, které je zde uvedeno bez důkazu. Lemma (Perron). Je-li A > 0, pak ρ(a) je kladné vlastní číslo matice A. Tomuto vlastnímu číslu odpovídá jediný lineárně nezávislý vlastní vektor, který přitom lze volit kladný. D ů k a z. (Perronovy-Frobeniovy věty): Nejdříve označme m(a) matici ( a ik ) a nazvěme ji modul matice A a tedy m(x) = ( x 1,..., x n ) T je modul vektoru x. Nyní mějme ireducibilní matici A. Matice (I + A) n 1 je kladná a tedy i matice (I + A T ) n 1 = ( (I + A) n 1) T je kladná. Podle Perronova lemmatu existuje vektor y > 0 tak, že ( ) (I + A) n 1 T ( y = ρ ((I + A) n 1 ) T) y neboli y T (I + A) n 1 = ρ ( (I + A) n 1) y T. Necht dále λ je vlastní číslo matice A takové, že λ = ρ(a). 19

20 Necht x je některý vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu λ (tedy x 0), tj. Ax = λx. Platí pak neboli Obdobně λ m(x) Am(x) ρ(a)m(x) Am(x). ρ 2 (A)m(x) ρ(a)am(x) = Aρ(A)m(x) A 2 m(x), a obecně ρ k (A)m(x) A k m(x), ( k = 1, 2,... ) Násobíme-li k-tou z nerovností číslem n 1 k a sečteme pro k = 1,...,n 1, spolu s rovností m(x) = Im(x) dostaneme (1 + ρ(a)) n 1 m(x) (I + A) n 1 m(x). Násobme zleva kladným vektorem y T. Máme pak (1 + ρ(a)) n 1 (y T m(x)) y T (I + A) n 1 m(x). Pravá strana je rovna ρ((i + A) n 1 )(y T m(x)). Protože y T m(x) je kladné číslo, dostáváme (1 + ρ(a)) n 1 ρ((i + A) n 1 ). Matice (I + A) n 1 má vlastní čísla tvaru (1 + α) n 1, kde α probíhá vlastní čísla matice A. To znamená, že existuje vlastní číslo µ matice A tak, že (1 + µ) n 1 = ρ((i + A) n 1 ). Přitom však µ ρ(a). Dosazením do předchozí nerovnosti plyne (1 + ρ(a)) n 1 (1 + µ) n 1 neboli 1 + ρ(a) 1 + µ 1 + µ 1 + ρ(a). Protože levá strana splývá s pravou, platí všude rovnost. Speciálně odtud plyne, že µ 0, 20

21 a tedy µ = ρ(a). Rovnost také platí ve všech nerovnostech, které jsme dříve sčítali. Speciálně pro k = 1 je Am(x) = ρ(a)m(x) neboli a také Am(x) = µm(x) (I + A) n 1 m(x) = (1 + µ) n 1 m(x) = ρ((i + A) n 1 )m(x). Podle Perronova lemmatu je m(x) > 0. K vlastnímu číslu µ existuje jediný lineárně nezávislý vlastní vektor. Navíc ρ(a) > 0, protože A je nenulová matice (n > 1!). Zbývá dokázat, že ρ(a) je jednoduché vlastní číslo matice A. To vyplývá z tzv. Schurovy věty [A čtvercová matice, λ její vlastní číslo, pak λ je jednoduché, právě když jsou splněny dvě podmínky: a) existuje jediný lineárně nezávislý vlastní vektor matice A a tedy také jediný lineárně nezávislý vlastní vektor matice A T ; b) o vektorech u a v z a) platí v T u 0]. Vlastnímu číslu ρ(a) totiž odpovídá jediný lineárně nezávislý vlastní vektor matice A, např. u, který je přitom kladný. Příslušný vlastní vektor v matice A T, která je také nerozložitelná, lze volit kladný v > 0. Proto je jejich součin v,u = v T u kladný a z Schurovy věty plyne jednoduchost vlastního čísla ρ(a). Nakonec ukážeme, že žádnému jinému vlastnímu číslu už neodpovídá nezáporný vlastní vektor. Necht tedy Az = ξz, z 0 a ξ ρ(a). Podle dokázaného existuje k matici A T kladný vlastní vektor w > 0: A T w = ρ(a)w. Potom však ale také Celkem tedy w T Az = w T ξz = ξ(w T z), w T Az = ρ(a)(w T z). (ρ(a) ξ)(w T z) = 0, což vzhledem k ρ(a) ξ 0 a w T z > 0 je spor. Z Perronovy-Frobeniovy věty také plyne následující. Vezměme nejmenší kruh se středem v počátku, který obsahuje všechna vlastní čísla nezáporné ireducibilní matice - tento kruh má poloměr rovný spektrálnímu poloměru matice. Pak vlastní čísla této matice jsou v komplexní rovině umístěna tak, že na hranici uvažovaného 21

22 kruhu je vždy na kladné poloose vlastní číslo. To však neznamená, že na hranici tohoto kruhu už nemohou být jiná vlastní čísla. Platí také zajímavá věta: Věta Necht A je nezáporná ireducibilní matice n-tého řádu. Necht h je přirozené číslo. Pak tyto vlastnosti matice A a čísla h jsou ekvivalentní: 1. Existuje právě h různých vlastních čísel matice A, jejichž absolutní hodnota je rovna ρ(a). 2. Existuje permutační matice P tak, že PAP T má tvar 0 A A PAP T = A h 1,h A h se čtvercovými diagonálními bloky, a žádnou permutační maticí nelze A převést na obdobný tvar s více než h blokovými řádky. 3. Největší společný dělitel délek všech cyklů orientovanéh grafu G(A) matice A je h. 4. Je-li ( 1) n λ n +k n1 λ n 1 +k n2 λ n k ns λ ns charakteristický polynom matice A, k n1 0, k n2 0,..., k ns 0, n > n 1 >... > n s 0, pak největší společný dělitel čísel n n 1, n 1 n 2,..., n s 1 n s je h. 5. O spektru σ(z) matice Z platí h = max{k N,σ(e 2πi k A) = σ(a)}. D ů k a z. Označíme-li h t, t = 1,...,5, číslo h v t-tém tvrzení, stačí dokázat, že h 1 h 2, h 2 h 3, h 3 h 4, h 4 h 5, h 5 h 1. Celý důkaz najdeme v [3]. Důsledek Je-li A nezáporná ireducibilní matice a má-li A právě h různých vlastních čísel o absolutní hodnotě ρ(a), pak tato vlastní čísla tvoří v rovině komplexních čísel vrcholy pravidelného h-úhelníku o středu v počátku, jehož jeden vrchol je ρ(a). Všechna tato vlastní čísla jsou jednoduchá. Příklad h = 1 v komplexní rovině je jen bod ρ(a), h = 2 v komplexní rovině jsou body ρ(a) a ρ(a). Poznámka Ireducibilní nezáporná matice, pro kterou je h = 1, se nazývá primitivní. Je-li h > 1, nazývá se imprimitivní a h je index imprimitivity. jestliže Existuje ještě jiná definice primitivní matice. Matice A 0 se nazývá primitivní, k N : A k > 0. Matice A 0 se nazývá imprimitivní, jestliže k N i,j : (A k ) ij = 0. 22

23 Věta Je-li A nezáporná čtvercová matice, pak ρ(a) je vlastním číslem matice A a existuje nezáporný vlastní vektor matice A, odpovídající tomuto vlastnímu číslu. D ů k a z. viz [3] Vlastní číslo ρ(a) nezáporné matice A se zpravidla nazývá Perronovo vlastní číslo a odpovídající nezáporný vlastní vektor Perronův vlastní vektor. Věta Necht A je nezáporná matice n-tého řádu, n 2. Potom následující podmínky jsou ekvivalentí: 1. A n 1 = 0, 2. existuje k N tak, že A k = 0, 3. orientovaný graf G(A) matice A je acyklický, 4. existuje permutační matice P tak, že PAP T je horní trojúhelníková matice s nulami na hlavní diagonále, 5. ρ(a) = 0. D ů k a z. Je třeba dokázat implikace: 1. 2., 2. 3., 3. 4., a Zřejmé Obsahuje-li graf G(A) matice A cyklus délky s a je-li uzel j v tomto cyklu, je j-tý diagonální prvek každé z matic A s, A 2s, A 3s,... kladný. Nemůže tedy pro žádné k platit A k = Z teorie grafů víme, že každá silná komponenta acyklického grafu je jednouzlová; existuje tedy permutační matice P taková, že PAP T je horní trojúhleníková matice. Diagonální prvky jsou téměř všechny rovny nule, nebot by v G(A) existovala smyčka, což je cyklus délky Protože PAP T je horní trojúhelníková matice s nulovými diagonálními prvky, jsou všechna vlastní čísla matice PAP T nulová a tedy i všechna vlastní čísla matice A jsou nulová. Proto je ρ(a) = Z 5. vyplývá, že A má všechna vlastní čísla nulová. Proto v Jordanově tvaru A jsou všechny Jordanovy bloky tvaru Přitom je vždy (n 1)-ní mocnina tohoto Jordanova bloku nulová. Proto A n 1 = 0. 23

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení. October 2, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení October 2, 2008 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojmy: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocniny neznámé x, tj. a n x n + a n 1 x n 1 +... + a x + a 1 x + a 0 = 0, kde n je přirozené

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení

Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení November 9, 2008 Soustavy lineárních rovnic-numerické řešení 1 / 52 (Systém lin. rovnic) Systém rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro 1 nebo více pravých stran Výpočet

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

3. Grafy a matice. Definice 3.2. Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A =

3. Grafy a matice. Definice 3.2. Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A = 3 Grafy a matice Definice 32 Čtvercová matice A se nazývá rozložitelná, lze-li ji napsat ve tvaru A = A 11 A 12 0 A 22 kde A 11 a A 22 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1 a 0 je nulová matice, anebo lze-li

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Numerická matematika Banka řešených příkladů Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6

Více

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod

MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE. 1. Úvod Kvaternion 1/2013, 7 14 7 MOORE-PENROSEOVA INVERZE MATICE A JEJÍ APLIKACE LADISLAV SKULA Abstrakt V článku je uvedena definice pseudoinverzní matice, ukázána její existence a jednoznačnost a zmíněny dvě

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty 8 MATICE A DETERMINANTY 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice 81 Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Dijkstrův algoritmus

Dijkstrův algoritmus Dijkstrův algoritmus Hledání nejkratší cesty v nezáporně hranově ohodnoceném grafu Necht je dán orientovaný graf G = (V, H) a funkce, která každé hraně h = (u, v) H přiřadí nezáporné reálné číslo označované

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady

Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více