Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi"

Transkript

1 Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Lineární systémy se speciálními maticemi Diplomová práce květen 2006 Jaroslava Benáčková

2 Poděkování V úvodu bych ráda poděkovala vedoucí diplomové práce prof. RNDr. Ivaně Horové, CSc. z Katedry aplikované matematiky PřF MU v Brně za pečlivé přečtení textu, cenné rady, připomínky k práci a za trpělivost. Dále bych chtěla poděkovat svým rodičům za veškerou podporu, které se mi v průběhu studia dostalo.

3 Prohlášení Čestně prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci vypracovala samostatně a použila jsem pouze uvedenou literaturu. V Brně dne 25. května 2006

4 Obsah Úvod 5 1 Základní pojmy Matice a operace s nimi Grafy a matice Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic Gaussova eliminační metoda Metoda LU-rozkladu Metoda největšího spádu Speciální matice Nezáporné matice Stochastické matice Dvojitě stochastické matice Symetrické a hermitovské matice M-matice Stabilní matice Pásové matice Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iterační metody Jacobiho metoda (metoda prosté iterace) Gauss-Seidelova metoda Superrelaxační metoda Singulární lineární systémy Semikonvergentní matice Semiiterační metoda Závěr 53 Literatura 54 Příloha 55 4

5 Úvod V poslední době stále roste zájem o řešení velkých soustav lineárních algebraických soustav jak s řídkými, tak s plnými maticemi nebo o řešení úloh na vlastní čísla matic. Podstatný vliv na přehodnocení starých numerických metod lineární algebry měly moderní počítače, které podnítily zájem o nové algoritmy, jež se hodí k automatizovanému provádění výpočtů. Základní skupinu metod lineární algebry tvoří metody přímé. Přímou metodou se obvykle rozumí metoda, která umožňuje získat řešení úlohy pomocí konečného počtu operací. Tyto metody hrají v numerické lineární algebře důležitou roli. Klasickými příklady jsou Gaussova eliminace nebo metoda LU-rozkladu. Druhou skupinu tvoří gradientní metody jako například metoda sdružených gradientů nebo metoda střídavých směrů. Přímé metody jsou však při řešení některých úloh většinou málo efektivní. Velmi důležitým prostředkem řešení soustav lineárních rovnic jsou tzv. iterační metody. Ve své diplomové práci se tedy hlavně zabývám iteračními metodami pro řešení soustav s různými speciálními typy matic. V první kapitole jsou definovány základní pojmy, které budou potřeba v dalším výkladu. A to definice matice a různé operace s nimi, dále souvislost grafů a matic a nakonec náznak přímých metod pro hledání řešení soustav lineárních rovnic. Ve druhé kapitole jsou popsány různé speciální typy matic, jejich vlastnosti, hledání vlastních čísel a vektorů. Nakonec se zabývám konkrétními iteračními metodami pro různé matice soustav. V poslední kapitole je to konkrétně případ semiiterační metody pro singulární systémy. Výklad je doplněn příklady, na kterých jsou jasně ukázány teoretické poznatky. V příloze pak najdeme programy vytvořené pro výpočetní systém Matlab a k některým příkladům obrázky získané pomocí těchto programů. 5

6 Kapitola 1 Základní pojmy 1.1 Matice a operace s nimi V první kapitole jsou uvedeny základní pojmy, které se týkají matic a nejdůležitější operace s maticemi. Definice Matice typu (m, n) je soustava mn čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců A = a a 1n a m1... a mn Označujeme ji A = (a ik ). Číslo a ik je prvek matice na místě (i, k), tj. v i-tém řádku a k-tém sloupci. Jsou-li prvky reálné, říkáme, že matice je reálná, jsou-li komplexní, matice je komplexní. n-rozměrný vektor je potom matice typu (n, 1). Je-li m = n, pak mluvíme o čtvercové matici n-tého řádu. Jestliže a = (a 1,...,a n ) T a b = (b 1,...,b n ) T, pak jejich skalární součin je a,b = a T b = n a j b j. j=1 Dále uvedeme různé speciální typy a vlastnosti matic. Řekneme, že čtvercová matice A je regulární, jestliže k ní existuje matice B tak, že AB = BA = I. Jestliže taková matice neexistuje, potom A se nazývá singulární. Matice B je pak inverzní matice k A a označujeme ji A 1. Čtvercová matice A se nazývá ryze řádkově diagonálně dominantní (resp. matice s převládající diagonálou), jestliže a ii > n a ij, i = 1,...,n. j=1 j i Řekneme, že čtvercová matice A je podobná matici B, existuje-li regulární matice 6

7 T tak, že A = TBT 1. Řekneme, že matice A je kongruentní s maticí B, jestliže existuje permutační matice P taková, že platí B = PAP T. Přitom permutační matice je taková, která má v každém řádku a každém sloupci jediný nenulový prvek, rovný jedné. Definice Necht A je čtvercová matice. Nenulový vektor x se nazývá vlastní vektor matice A, platí-li Ax = λx pro nějaké číslo λ. Toto λ se nazývá vlastní číslo matice A odpovídající vlastnímu vektoru x. Množina všech vlastních čísel matice se nazývá spektrum matice, ozn. σ(a). Spektrálním poloměrem pak nazýváme číslo ρ(a) = max{ λ,λ σ(a)}. Označení: Necht A = (a ik ), matice typu (n, n). Vynecháme-li v této matici i-tý řádek a k-tý sloupec, dostaneme matici typu (n-1, n-1), kterou označíme A ik. Definice Determinant čtvercové matice A = (a ik ) n-tého řádu je číslo deta = sgn(p)a 1k1...a nkn, P=(k 1,...,k n) kde P jsou všechny permutace indexů 1,..., n a sgn(p) je znaménko permutace P. Připomeňme nyní základní poznatek z lineární algebry. Soustavou n lineární rovnic o n neznámých rozumíme soustavu Ax = b, kde A, matice soustavy, je A = a a 1n.... a m1... a mn a b = (b 1,...,b n ) T. Věta (Frobenius). Systém Ax = b je řešitelný právě tehdy, když hodnost matice A je rovna hodnosti rozšířené matice systému (A b). 1.2 Grafy a matice S maticemi poměrně úzce souvisí pojem graf. Některé vlastnosti matice můžeme dokonce z grafu matice odvozovat. Proto zde uvedeme několik základní definic a vět týkajících se grafů a matic. Definice Orientovaný graf G(V,H) je uspořádaná dvojice konečných množin V, H, kde H je tvořena některými uspořádanými dvojicemi prvků z V: H V V. 7

8 Prvky množiny V se nazývají uzly (vrcholy, body), prvky množiny H hrany. Jestliže hrana začíná i končí ve stejném uzlu, mluvíme o smyčce. Posloupnost uzlů (u 1,...,u k ) taková, že (u 1,u 2 ), (u 2,u 3 ),..., (u k 1,u k ) jsou hrany, se nazývá spojení; neopakují-li se uzly, označíme ji jako dráha. Přitom počet hran ve spojení nazveme délkou spojení. G 1 = (V 1,H 1 ) je podgrafem grafu G 2 = (V 2,H 2 ), jestliže je V 1 V 2 a H 1 H 2. Definice Cyklus v grafu G je spojení uzlů (u 1,...,u m,u 1 ). Délkou cyklu je pak číslo m. Přitom předpokládáme, že všechny uzly jsou navzájem různé. Orientovaný graf nazveme acyklický, jestliže neobsahuje žádný cyklus. Věta (Základní věta o acyklických grafech). Necht G = (V,H) je orientovaný graf, V = n. Potom následující vlastnosti jsou ekvivalentní: 1. Graf G je acyklický. 2. Každý neprázdný podgraf G grafu G má vlastnost, že v něm existuje uzel, do něhož v G nejde žádná hrana. 3. Existuje očíslování množiny uzlů V čísly 1, 2,...,n takové, že každá hrana v G jde z uzlu s menším číslem do uzlu s číslem větším. 4. G nemá žádnou smyčku a pro každou dvojici různých uzlů u, v bud neexistuje v G dráha z u do v nebo neexistuje v G dráha z v do u. D ů k a z. viz [3] Graf G se nazývá silně souvislý, jestliže existuje z každého uzlu v G dráha do každého jiného uzlu grafu G. A = (a ik ) je čtvercová matice řádu n. Označme N množinu indexů 1, 2,...,n. Matici A přiřadíme orientovaný graf G(A) o n uzlech takto: G(A) = (N,H), kde H je množina dvojic (i,k), i N, k N, pro které a ik 0. Hranově ohodnocený graf je graf, v němž je každé hraně přiřazena její hodnota. Orientovanému grafu tedy můžeme naopak přiřadit tzv. uzlovou matici U( G) = (u ik ): u ik = 1, je-li v grafu hrana z uzlu i do uzlu k a u ik = 0, není-li v grafu taková hrana. Řád uzlové matice je roven počtu uzlů grafu. Definice Čtvercová matice A se nazývá reducibilní (rozložitelná), je-li tvaru ( ) A 1 B, 0 A 2 kde A 1, A 2 jsou čtvercové matice řádu alespoň 1, anebo lze-li A převést na tento tvar permutací řádků a sloupců. Čtvercová matice se nazývá ireducibilní (nerozložitelná), není-li reducibilní. 8

9 Věta Čtvercová matice je ireducibilní, právě když její orientovaný graf je silně souvislý. Každou čtvercovou matici lze permutací řádků a sloupců (odpovídající permutační matici P) převést na horní blokově trojúhelníkový tvar, jehož diagonální bloky jsou už ireducibilní: A 11 A A 1r 0 A PAP T = A 2r A rr D ů k a z. viz. [3] Tento tvar matice se nazývá normální tvar. Druhá část z této věty má rozsáhlé aplikace v numerické matematice, zejména při řešení rovnic a výpočtu vlastních čísel matic. Definice Konečný neorientovaný graf (krátce graf) G = (V, H) je uspořádaná dvojice konečných množin (V, H). V je množina uzlů, H množina některých neuspořádaných dvojic prvků z V, tzv. neorientovaných hran. Sled v grafu G je posloupnost uzlů u 1,...,u s, kde každé dva po sobě jdoucí uzly u k, u k+1, pro k = 1,...,s 1 jsou spojeny hranou v G. Cesta v grafu G je sled, v němž se žádné dva uzly neopakují. Souvislý graf je graf, v němž mezi každými dvěma různými uzly existuje cesta. 1.3 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V této diplomové práci se zabývám převážně iteračními metodami pro řešení soustav lineárních rovnic. Proto bych zde ráda krátce připomněla i základní přímé metody, které jsou také důležité pro řešení těchto soustav Gaussova eliminační metoda Předpokládejme, že systém lineárních rovnic je zapsán v maticovém tvaru: Ax = b. Předpokládáme, že matice koeficientů na levé straně není singulární a že koeficient a 11 není nulový. První řádek vztahu dělíme koeficientem a 11. Pak postupně pro všechny hodnoty indexu i = 2,...,n od i-tého řádku odečítáme nový první 9

10 řádek, vynásobený koeficientem a i1. Dostáváme 1 a a 1 1n x 1 0 a a 1 2n x = b 1 1 b 1 2., 0 a 1 n2... a 1 nn x n b 1 n kde a 1 ij = a ij a 11, pro j = 1,...,n. V případě, že by koeficient a 11 byl nulový, je vždy možné vyměnit pořadí rovnic tak, aby nový koeficient nulový nebyl. Stejným způsobem pokračujeme dále. Nakonec (po provedeném n-tém kroku) má výsledný systém lineárních rovnic tvar: 1 a 1 12 a a 1 1n 0 1 a a 2 2n a 3 3n x 1 x 2 x 3. x n = Všechny prvky matice pod hlavní diagonálou jsou nulové, diagonální prvky jsou jedničky. Horní index vždy ukazuje příslušný krok, ve kterém byl koeficient získán. Řešení nyní vypočítáme pomocí vztahů: x i = b i i n j=i+1 b 1 1 b 2 2 b 3 3. b n n a i ijx j, i = n,n 1,...,1. Příklad Řešte pomocí Gaussovy eliminační metody soustavu lineárních rovnic. 7, 9x 1 + 5, 6x 2 + 5, 7x 3 7, 2x 4 = 6, 68 8, 5x 1 4, 8x 2 + 0, 8x 3 + 3, 5x 4 = 9, 95 4, 3x 1 + 4, 2x 2 3, 2x 3 + 9, 3x 4 = 8, 60 3, 2x 1 1, 4x 2 8, 9x 3 + 3, 3x 4 = 1, 00. Řešení: Soustavu rovnic si přepíšeme do maticového tvaru a postupně upravujeme, jak bylo uvedeno v předchozí teoretické části. 7, 9 5, 6 5, 7 7, 2 8, 5 4, 8 0, 8 3, 5 4, 3 4, 2 3, 2 9, 3 3, 2 1, 4 8, 9 3, 3 1 0, , , , , , , , , , , , x 1 x 2 x 3 x 4. 6, 68 = 9, 95 8, 60. x 1 x 2 x 3 x 4 1, 00 = 0, , , ,

11 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 0, = 0, , , , = 0, , , , = 0, , , Z této soustavy již velice jednoduše získáme řešení původní soustavy lineárních rovnic: x 1 = 0, 9671,x 2 = 0, 1248,x 3 = 0, 4263,x 4 = 0, Výsledek můžeme zkontrolovat dosazením do soustavy rovnic. Řešení nedourčených soustav, neboli soustav se singulární maticí koeficientů, pomocí Gaussovy eliminační metody je analogické jako při soustavě lineárních rovnic s regulární maticí koeficientů. Příklad Najděte řešení soustavy rovnic: x 1 + x 2 2x 3 + x 4 = 1 x 1 3x 2 + x 3 + x 4 = 0 4x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 4x 1 + 3x 2 4x 3 x 4 = 2. Řešení: Soustavu rovnic si opět přepíšeme v maticovém tvaru a postupně upravujeme x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 1 = = 1 3 =

12 x 1 x 2 x 3 x 4 = Hodnost matice koeficientů je 3. Proto položíme x 4 = u, kde u je parametr. Obecné řešení soustavy je tedy jednoparametrické a má tvar: x 1 = u, x 2 = u, x 3 = u,x 4 = u Metoda LU - rozkladu Základem této metody řešení systémů lineárních rovnic je rozklad čtvercové matice na součin dolní a horní trojúhelníkové matice. Libovolnou čtvercovou matici můžeme takto jednoznačně rozložit, jestliže jsou dány nenulové diagonální prvky jedné z hledaných trojúhelníkových matic a nejsou-li zároveň hlavní subdeterminanty rozkládané matice nulové. Například pro n = 4 tedy platí A = LU, a 11 a 12 a 13 a 14 l u 11 u 12 u 13 u 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 = l 21 l u 22 u 23 u 24 l 31 l 32 l u 33 u 34. a 41 a 42 a 43 a 44 l 41 l 42 l 43 l u 44 Naším úkolem je tedy určit prvky l ij a u ij, pro daná i a j, a ty určíme ze vztahů, které dostaneme roznásobením těchto matic. Tím dostaneme 16 rovnic pro 20 neznámých a čtyři neznámé veličiny si tedy můžeme libovolně vybrat. Nejčastěji se používá výběr nebo l 11 = l 22 = l 33 = l 44 = 1 u 11 = u 22 = u 33 = u 44 = 1. Při řešení soustavy lineárních rovnic Ax = b metodou LU-rozkladu vyjádříme matici A jako součin horní trojúhelníkové matice U a dolní trojúhelníkové matice L. Pak tedy máme LUx = b a označíme-li Ux = y, můžeme řešit dvě soustavy Ux = y a Ly = b. Řešení soustav najdeme snadno, protože L i U jsou trojúhelníkové matice. Řešení soustavy Ux = y je již řešení původní soustavy lineárních rovnic. Příklad Metodou LU-rozkladu řešte následující soustavu lineárních rovnic. 0, 500x 1 + 1, 000x 3 + 1, 023x 4 = 4, 725 1, 500x 1 + 1, 000x 2 + 3, 702x 4 = 3, 402 1, 273x 1 2, 752x 2 + 3, 208x 3 1, 305x 4 = 2, 709 2, 000x 1 + 1, 000x 2 + 1, 000x 3 + 4, 007x 4 = 1,

13 Řešení: Nejdříve si soustavu přepíšeme do maticového tvaru 0, , 023 x 1 4, 725 1, , 702 x 2 1, 273 2, 752 3, 208 1, 305 = 3, 402 2, , 007 x 3 x 4 1, 231. Najdeme matice L a U (přičemž volíme l ii = 1,i = 1,...,n) a pak řešíme soustavy: y 1 4, y 2 2, 546 2, = 3, 402 2, a 0, , , , 594 2, , 718 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4 = 1, 231 4, , , , 896 Řešení první soustavy je y = (4, 725, 10, 773, 38, 968, 6, 896) T a po dosazení tohoto vektoru do druhé soustavy dostaneme již řešení původního systému rovnic x 1 = 14, 980, x 2 = 9, 682, x 3 = 2, 390 a x 4 = 9, 604. Speciálním případem metody LU-rozkladu je Choleského metoda (metoda odmocnin). Tato metoda se používá pro systémy lineárních rovnic tvaru Ax = b, kde matice A je symetrická. Symetrickou matici lze totiž vyjádřit jako součin dvou navzájem transponovaných trojúhleníkových matic a rovnice Ax = b pak přejde na tvar T T Tx = b a řešení přejde na řešení dvou soustav T T y = b a Tx = y Metoda největšího spádu Věta Jestliže je A symetrická a pozitivně definitní matice typu (n, n) a x a b jsou vektory z R n, potom kvadratická forma F(x) = Ax,x 2 b,x dosahuje minimální hodnoty pro výběr x = x soustavy Ax = b. právě tehdy, když je x řešením D ů k a z. Mějme řešení x soustavy Ax = b a x o. Pak F(x + x) F(x ) = = A(x + x),x + x 2 b,x + x ( Ax,x 2 b,x ) = 13

14 = Ax,x + Ax, x + A x,x + A x, x } {{ } stejné výrazy 2 b,x 2 b, x Ax,x + 2 b,x = = 2 Ax }{{}, x 2 b, x + A x, x = =b = 2 b, x 2 b, x + A x, x = = A x, x > 0, nebot A je pozitivně definitní. Odtud již plyne F(x + x) > F(x ). Naopak mějme F(ˆx) = minf(x) a chceme dokázat, že Aˆx = b. Necht t R, v R n. Jestliže definujeme funkci F(ˆx + tv), pak minimum funkce F najdeme pro t = 0. Tedy F(ˆx + tv) = A(ˆx + tv), ˆx + tv 2 b, ˆx + tv = = Aˆx, ˆx + 2t Aˆx,v + t 2 Av,v 2 b, ˆx 2t b,v. Nyní zderivujeme podle proměnné t a položíme rovno 0. df(ˆx + tv) dt = 0 2 Aˆx,v + 2t Av,v 2 b,v = 0. Protože víme, že v bodě t = 0 nastává minimum F, dostaneme Aˆx,v = b,v, v R n a tedy Aˆx = b. Řešení úlohy Ax = b je tedy pro symetrickou a pozitivně definitní matici A možné nahradit minimalizací F(x). Zvolíme počáteční aproximaci minima x 0 a vybereme vhodný směr v 0. Vektor x 1 nyní určíme podle vzorce x k+1 = x k + δ k v k, kde δ k je konstanta. v k a δ k volíme tak, aby platilo F(x k+1 ) < F(x k ). Jestliže posloupnost x 0, x 1, x 2,... konverguje, musí být její limita řešením systému Ax = b. Metoda největšího spádu, neboli gradientní metoda, je založena na výběru vektoru v v každém kroku tak, aby ležel ve směru největší změny funkce F, tj. ve směru gradientu této funkce: grad(f) = ( F x1,..., F xn ) T. Kvadratickou formu F a její parciální derivaci můžeme zapsat ve tvaru: n n F = a ij x i x j 2 b i x i, i,j=1 i=1 14

15 F xi = 2 n a ij x j 2b i. Označíme-li reziduum r i = 1 2 F x i, tj. r i = b i n i=1 a ijx j, potom platí i=1 grad(f) = 2r, kde r = (r 1,...,r n ) T. V této metodě zvolíme v k jako reziduum r k, kde r k i = b i n a ij x k j,i = 1,...,n. i=1 Koeficient λ k vybereme nyní tak, aby hodnota F(x k+1 ) = F(x k +λ k r k ) byla minimální. F(x k + λ k r k ) = A(x k + λ k r k ),x k + λ k r k 2 b,x k + λ k r k = = Ax k,x k + 2λ k Ax k,r k + λ 2 k Ar k,r k 2 b,x k 2λ k b,r k = r k = b Ax k a tedy Ax k = b r k = b,x k r k,x k + 2λ k b,r k 2λ k r k,r k + +λ 2 k Ar k,r k 2 b,x k 2λ k b,r k = = b,x k r k,x k 2λ k r k,r k + λ 2 k Ar k,r k. Nyní zderivujeme podle λ i a položíme rovno 0. Tím dostaneme minimum. 2 r i,r i + 2λ i Ar i,r i = 0 λ i = ri,r i Ar i,r i. Dostáváme tedy iterační vzorec metody největšího spádu: kde k = 0, 1,... x k+1 = x k + rk,r k Ar k,r k rk, Příklad Metodou největšího spádu najděte řešení systému rovnic 4x 1 x 2 = 2 x 1 + 4x 2 x 3 = 6 x 2 + 4x 3 = 2. Řešení: Nejdříve si zvolíme počáteční aproximaci x 0 = (0, 0, 0) T. Rezidua budou mít tvar r 1 = 2 4x 1 + x 2, r 2 = 6 + x 1 4x 2 + x 3, r 3 = 2 + x 2 4x 3. 15

16 Potom r 0 = (2, 6, 2) T a určíme koeficient λ 0 První iterace tedy bude λ 0 = r0,r 0 Ar 0,r 0. = 0, x 1 = x 0 + λ 0 r 0 = (0, 6876, 2, 0628, 0, 6876) T. Stejným postupem dostaneme r 1 = (1, 3125, 0, 8750, 1, 3125) T, λ 1. = 0, 1964 a tedy x 2 = x 1 + λ 1 r 1 = (0, 9453, 1, 8906, 0, 9453) T, r 2 = (0, 1094, 0, 3281, 0, 1094) T, λ 2. = a tedy x 3 = x 2 + λ 2 r 2 = (0, 9829, 2, 0034, 0, 9829) T. Pro srovnání, přesné řešení soustavy je x = (1, 2, 1) T. 16

17 Kapitola 2 Speciální matice 2.1 Nezáporné matice Tato kapitola se zabývá čtvercovými nezápornými maticemi, tedy takovými, které mají všechny prvky nezáporné. Nejdříve zavedeme tato označení: A B, A > B, jestliže a ij b ij pro všechna i,j, jestliže a ij > b ij pro všechna i,j. Nyní můžeme uvést následující definice a některé věty o nezáporných maticích. Definice Řekneme, že matice A je nezáporná, když A 0, tedy všechny její prvky jsou nezáporné. Matice A je kladná, když A > 0, tedy všechny její prvky jsou kladné. Nezáporné matice mají některé zřejmé vlastnosti: Věta Mějme dvě nezáporné matice A, B. Pak platí: 1. Jsou-li A a B téhož typu, je A + B opět nezáporná matice. 2. Lze-li A a B násobit, je jejich součin AB nezáporná matice. 3. Součin AB kladné matice A a nezáporné nenulové matice B je nezáporná nenulová matice. D ů k a z. Zřejmý. 17

18 Z toho vyplývá, že podobná tvrzení platí i pro násobení matice a vektoru (vektor je matice typu (n, 1)). Dále je uvedena ještě jiná definici reducibilní a ireducibilní matice, než jaká je uvedena v kapitole Grafy a matice. Definice Matice A 0 je reducibilní, jestliže i,j k N : (A k ) ij = 0. Matice A 0 je ireducibilní, jestliže i,j k N : (A k ) ij > 0. Poznámka (A k ) ij označuje prvek na pozici (i,j) v k-té mocnině matice A, tj. A k. Zaved me nyní pojem struktury nenulových prvků matice, která se nejčastěji vyšetřuje pomocí tzv. booleovských matic. Definice Dvě matice A = (a ik ) a B = (b ik ) mají stejnou strukturu nenulových prvků, jestliže pro všechna i, k platí: a ik 0, b ik 0. Struktura nenulových prvků mocniny čtvercové nezáporné matice A souvisí také se sledy v orientovaném grafu G(A) této matice. Tato souvislost je popsána v následující větě. Věta Je-li A čtvercová nezáporná matice a k N, pak v mocnině A k je na místě (i, j) nenulový prvek, právě když existuje v orientovaném grafu G(A) sled délky k z uzlu i do uzlu j. D ů k a z. Větu dokážeme matematickou indukcí. Pro k = 1 věta zřejmě platí. Předpokládejme tedy nyní, že věta platí pro k a dokážeme, že platí i pro k + 1. Označme A = (a pq ), A k = B = (b pq ), A k+1 = C = (c pq ). Protože tedy C = AB, pak c ij = p b ip a pj. Necht v orientovaném grafu G(A) existuje sled délky k +1 z i do j: (i,p 1,...,p k,j). Podle indukčního předpokladu je b ipk > 0. Protože také a pk j > 0 a všechny sčítance v předchozí sumě jsou nezáporné, je i c ij > 0, tj. v A k+1 na místě (i,j) nenulový (tedy kladný) prvek. Pak je v sumě některý z členů kladný, např. b it a tj > 0. To znamená, že b it > 0 a a tj > 0 a podle indukčního předpokladu tedy existuje v grafu G(A) sled délky k z i do t. A protože (i,t) je hrana v G(A), existuje i sled délky k + 1 z i do j. 18

19 Věta Je-li A nezáporná nerozložitelná matice n-tého řádu a k 0, k 1,..., k n 1 kladná čísla, pak matice k 0 I + k 1 A + k 2 A k n 1 A n 1 je kladná. Speciálně je (I + A) n 1 > 0. D ů k a z. Protože matice n 1 i=0 k ia i je součet nezáporných matic, stačí dokázat, že pro libovolná pevná i a j je u některé mocniny A p, 0 p n 1, na místě (i,j) kladný prvek. To platí pro i = j, nebot I má na tomto místě kladný prvek. Je-li i j, pak ze silné souvislosti grafu G(A) plyne, že existuje dráha z i do j. Délka d této dráhy nepřevýší n 1, nebot v G(A) je n uzlů a dráha obsahuje jen různé uzly. Podle předchozí věty je však prvek na místě (i,j) matice A d, 1 d n 1, kladný. Tím je první tvrzení dokázáno. Druhé tvrzení je důsledkem prvního, protože s použitím binomické věty dostaneme ( ) ( ) (I + A) n 1 n 1 n 1 = I + A A k A n 1. 1 k Nyní můžeme uvést hlavní větu o nezáporných maticích. Věta (Perronova-Frobeniova věta o nezáporných maticích). Necht A je čtvercová nezáporná ireducibilní matice n-tého řádu, n > 1. Pak spektrální poloměr ρ(a) je kladné jednoduché vlastní číslo matice A a tomuto vlastnímu číslu odpovídá kladný vlastní vektor. Žádnému jinému vlastnímu číslu matice A už neodpovídá nezáporný vlastní vektor. K důkazu této věty potřebujeme ještě jedno lemma, které je zde uvedeno bez důkazu. Lemma (Perron). Je-li A > 0, pak ρ(a) je kladné vlastní číslo matice A. Tomuto vlastnímu číslu odpovídá jediný lineárně nezávislý vlastní vektor, který přitom lze volit kladný. D ů k a z. (Perronovy-Frobeniovy věty): Nejdříve označme m(a) matici ( a ik ) a nazvěme ji modul matice A a tedy m(x) = ( x 1,..., x n ) T je modul vektoru x. Nyní mějme ireducibilní matici A. Matice (I + A) n 1 je kladná a tedy i matice (I + A T ) n 1 = ( (I + A) n 1) T je kladná. Podle Perronova lemmatu existuje vektor y > 0 tak, že ( ) (I + A) n 1 T ( y = ρ ((I + A) n 1 ) T) y neboli y T (I + A) n 1 = ρ ( (I + A) n 1) y T. Necht dále λ je vlastní číslo matice A takové, že λ = ρ(a). 19

20 Necht x je některý vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu λ (tedy x 0), tj. Ax = λx. Platí pak neboli Obdobně λ m(x) Am(x) ρ(a)m(x) Am(x). ρ 2 (A)m(x) ρ(a)am(x) = Aρ(A)m(x) A 2 m(x), a obecně ρ k (A)m(x) A k m(x), ( k = 1, 2,... ) Násobíme-li k-tou z nerovností číslem n 1 k a sečteme pro k = 1,...,n 1, spolu s rovností m(x) = Im(x) dostaneme (1 + ρ(a)) n 1 m(x) (I + A) n 1 m(x). Násobme zleva kladným vektorem y T. Máme pak (1 + ρ(a)) n 1 (y T m(x)) y T (I + A) n 1 m(x). Pravá strana je rovna ρ((i + A) n 1 )(y T m(x)). Protože y T m(x) je kladné číslo, dostáváme (1 + ρ(a)) n 1 ρ((i + A) n 1 ). Matice (I + A) n 1 má vlastní čísla tvaru (1 + α) n 1, kde α probíhá vlastní čísla matice A. To znamená, že existuje vlastní číslo µ matice A tak, že (1 + µ) n 1 = ρ((i + A) n 1 ). Přitom však µ ρ(a). Dosazením do předchozí nerovnosti plyne (1 + ρ(a)) n 1 (1 + µ) n 1 neboli 1 + ρ(a) 1 + µ 1 + µ 1 + ρ(a). Protože levá strana splývá s pravou, platí všude rovnost. Speciálně odtud plyne, že µ 0, 20

21 a tedy µ = ρ(a). Rovnost také platí ve všech nerovnostech, které jsme dříve sčítali. Speciálně pro k = 1 je Am(x) = ρ(a)m(x) neboli a také Am(x) = µm(x) (I + A) n 1 m(x) = (1 + µ) n 1 m(x) = ρ((i + A) n 1 )m(x). Podle Perronova lemmatu je m(x) > 0. K vlastnímu číslu µ existuje jediný lineárně nezávislý vlastní vektor. Navíc ρ(a) > 0, protože A je nenulová matice (n > 1!). Zbývá dokázat, že ρ(a) je jednoduché vlastní číslo matice A. To vyplývá z tzv. Schurovy věty [A čtvercová matice, λ její vlastní číslo, pak λ je jednoduché, právě když jsou splněny dvě podmínky: a) existuje jediný lineárně nezávislý vlastní vektor matice A a tedy také jediný lineárně nezávislý vlastní vektor matice A T ; b) o vektorech u a v z a) platí v T u 0]. Vlastnímu číslu ρ(a) totiž odpovídá jediný lineárně nezávislý vlastní vektor matice A, např. u, který je přitom kladný. Příslušný vlastní vektor v matice A T, která je také nerozložitelná, lze volit kladný v > 0. Proto je jejich součin v,u = v T u kladný a z Schurovy věty plyne jednoduchost vlastního čísla ρ(a). Nakonec ukážeme, že žádnému jinému vlastnímu číslu už neodpovídá nezáporný vlastní vektor. Necht tedy Az = ξz, z 0 a ξ ρ(a). Podle dokázaného existuje k matici A T kladný vlastní vektor w > 0: A T w = ρ(a)w. Potom však ale také Celkem tedy w T Az = w T ξz = ξ(w T z), w T Az = ρ(a)(w T z). (ρ(a) ξ)(w T z) = 0, což vzhledem k ρ(a) ξ 0 a w T z > 0 je spor. Z Perronovy-Frobeniovy věty také plyne následující. Vezměme nejmenší kruh se středem v počátku, který obsahuje všechna vlastní čísla nezáporné ireducibilní matice - tento kruh má poloměr rovný spektrálnímu poloměru matice. Pak vlastní čísla této matice jsou v komplexní rovině umístěna tak, že na hranici uvažovaného 21

22 kruhu je vždy na kladné poloose vlastní číslo. To však neznamená, že na hranici tohoto kruhu už nemohou být jiná vlastní čísla. Platí také zajímavá věta: Věta Necht A je nezáporná ireducibilní matice n-tého řádu. Necht h je přirozené číslo. Pak tyto vlastnosti matice A a čísla h jsou ekvivalentní: 1. Existuje právě h různých vlastních čísel matice A, jejichž absolutní hodnota je rovna ρ(a). 2. Existuje permutační matice P tak, že PAP T má tvar 0 A A PAP T = A h 1,h A h se čtvercovými diagonálními bloky, a žádnou permutační maticí nelze A převést na obdobný tvar s více než h blokovými řádky. 3. Největší společný dělitel délek všech cyklů orientovanéh grafu G(A) matice A je h. 4. Je-li ( 1) n λ n +k n1 λ n 1 +k n2 λ n k ns λ ns charakteristický polynom matice A, k n1 0, k n2 0,..., k ns 0, n > n 1 >... > n s 0, pak největší společný dělitel čísel n n 1, n 1 n 2,..., n s 1 n s je h. 5. O spektru σ(z) matice Z platí h = max{k N,σ(e 2πi k A) = σ(a)}. D ů k a z. Označíme-li h t, t = 1,...,5, číslo h v t-tém tvrzení, stačí dokázat, že h 1 h 2, h 2 h 3, h 3 h 4, h 4 h 5, h 5 h 1. Celý důkaz najdeme v [3]. Důsledek Je-li A nezáporná ireducibilní matice a má-li A právě h různých vlastních čísel o absolutní hodnotě ρ(a), pak tato vlastní čísla tvoří v rovině komplexních čísel vrcholy pravidelného h-úhelníku o středu v počátku, jehož jeden vrchol je ρ(a). Všechna tato vlastní čísla jsou jednoduchá. Příklad h = 1 v komplexní rovině je jen bod ρ(a), h = 2 v komplexní rovině jsou body ρ(a) a ρ(a). Poznámka Ireducibilní nezáporná matice, pro kterou je h = 1, se nazývá primitivní. Je-li h > 1, nazývá se imprimitivní a h je index imprimitivity. jestliže Existuje ještě jiná definice primitivní matice. Matice A 0 se nazývá primitivní, k N : A k > 0. Matice A 0 se nazývá imprimitivní, jestliže k N i,j : (A k ) ij = 0. 22

23 Věta Je-li A nezáporná čtvercová matice, pak ρ(a) je vlastním číslem matice A a existuje nezáporný vlastní vektor matice A, odpovídající tomuto vlastnímu číslu. D ů k a z. viz [3] Vlastní číslo ρ(a) nezáporné matice A se zpravidla nazývá Perronovo vlastní číslo a odpovídající nezáporný vlastní vektor Perronův vlastní vektor. Věta Necht A je nezáporná matice n-tého řádu, n 2. Potom následující podmínky jsou ekvivalentí: 1. A n 1 = 0, 2. existuje k N tak, že A k = 0, 3. orientovaný graf G(A) matice A je acyklický, 4. existuje permutační matice P tak, že PAP T je horní trojúhelníková matice s nulami na hlavní diagonále, 5. ρ(a) = 0. D ů k a z. Je třeba dokázat implikace: 1. 2., 2. 3., 3. 4., a Zřejmé Obsahuje-li graf G(A) matice A cyklus délky s a je-li uzel j v tomto cyklu, je j-tý diagonální prvek každé z matic A s, A 2s, A 3s,... kladný. Nemůže tedy pro žádné k platit A k = Z teorie grafů víme, že každá silná komponenta acyklického grafu je jednouzlová; existuje tedy permutační matice P taková, že PAP T je horní trojúhleníková matice. Diagonální prvky jsou téměř všechny rovny nule, nebot by v G(A) existovala smyčka, což je cyklus délky Protože PAP T je horní trojúhelníková matice s nulovými diagonálními prvky, jsou všechna vlastní čísla matice PAP T nulová a tedy i všechna vlastní čísla matice A jsou nulová. Proto je ρ(a) = Z 5. vyplývá, že A má všechna vlastní čísla nulová. Proto v Jordanově tvaru A jsou všechny Jordanovy bloky tvaru Přitom je vždy (n 1)-ní mocnina tohoto Jordanova bloku nulová. Proto A n 1 = 0. 23

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Numerické metody lineární algebry

Numerické metody lineární algebry Numerické metody lineární algebry 1 Úvod 11 Úlohy lineární algebry 1 Řešení soustav lineárních rovnic A x = b Řešení soustavy s regulární čtvercovou maticí A řádu n n pro jednu nebo více pravých stran

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI

LINEÁRNÍ ALGEBRA. RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI LINEÁRNÍ ALGEBRA RNDr. Marie Hojdarová, CSc. Určeno pro studenty PS a AI Jihlava, říjen 2012 ISBN 978 80 87035 65-8 Úvod do studia předmětu Základy lineární algebry Milí studenti! Lineární algebra, kterou

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116.

Cykly a pole 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. Cykly a pole Tato část sbírky je tvořena dalšími úlohami na práci s cykly. Na rozdíl od předchozího oddílu se zde již v řešeních úloh objevuje více cyklů, ať už prováděných po sobě nebo vnořených do sebe.

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více