EKONOMICKÁ OPTIMALIZACE SMĚŠOVACÍHO PROBLÉMU

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "EKONOMICKÁ OPTIMALIZACE SMĚŠOVACÍHO PROBLÉMU"

Transkript

1 EKONOMICKÁ OPTIMALIZACE SMĚŠOVACÍHO PROBLÉMU Josef Košťálek Klíčová slova: Analýza nákladů, optimalizace směšovaných surovin, směšovací problém, nutriční problém, matematický zápis, matematický algoritmus, lineární programování, nástroj řešitel v MS Excel, obecný matematický model Key words: Cost analysis, optimization mixed raw materials, mixing problem, nutritional problem, mathematical notation, mathematical algorithms, linear programming, tool into MS Excel, general mathematical model Abstrakt Předmětem mého příspěvku je představení jednoduchého a přitom užitečného nástroje sloužícího k optimalizaci směšovaných surovin za účelem dosažení směsi požadovaných vlastností s minimálními náklady. Východiskem je matematický zápis a jeho řešení pomocí algoritmu lineární programování v kombinaci s některými kroky a funkcemi Excelu, za pomoci kterých lze celou situaci zobecnit a vytvořit model fungující pro libovolné zadání směšovacího problému. Typické oblasti možného použití jsou: hutní a potravinářský průmysl, výroba zemědělských směsí atd. Abstract In my article was described the simple tool for a solution with a mixing problem. This tool is the model in Excel and it can determine optimum of raw materials which will be mixed, but cost of materials must be minimum. The situation will be written mathematically and scientifically to solve it is not too difficult. The benefit of my model is that it can solve the problem generally for any situation. Typical areas of application are: metallurgical and food industries, production of agricultural mixtures, etc. Úvod Současné podnikatelské prostředí se vyznačuje převisem nabídky nad poptávkou a silným konkurenčním prostředím. Je to způsobeno řadou okolností, jako technický pokrok, který přinesl zvýšení produkce výrobních zařízení všeho druhu, jak uvádí např. Kavan (2006, s. 1), prudký rozvoj přepravních a komunikačních prostředků, což zkrátilo vzdálenosti a umožnilo rozmach obchodu. Dalším atributem dneška je snížení koupěschopnosti i ochoty utrácet na straně spotřebitelů v důsledku dozvuků hospodářské krize a panující nejistoty z budoucího vývoje u nás i v Evropě. Pokud chce podnikatel za takových okolností obstát je nucen dosahovat co nejvyšší efektivity (poměr vstupů k výstupům) a to se neobejde bez pečlivé analýzy nákladů a urputné snahy odstraňovat plýtvání všeho druhu. Minimalizace nákladů nesmí být prázdnou frází a rovněž nesmí podtrhnout budoucí rozvoj a konkurenceschopnost podniku. Skutečně efektivní řízení nákladů je založeno na hluboké znalosti výrobního procesu a soustavném hledání možností úspor, nových řešení i zlepšení byť dílčích, lepších způsobů organizace práce atd., jak uvádí Freiberg (2007, s. 65). V tomto příspěvku popisuji jednoduchý model sestavený v prostředí MS Excel představující snadný a přitom efektivní nástroj umožňující hledat úspory v procesech užívajících směšování 803

2 vstupních surovin určitých vlastností, ze kterých vzniká výsledná směs o vlastnostech pohybujících se ve stanovených intervalech. Požadavek na výslednou směs je dosáhnout takové kombinace vstupních surovin, aby celkové náklady na tyto suroviny byly minimální optimalizace vstupních surovin z hlediska ceny. Např. nalezení takových surovin tvořících vsázku pro výrobu oceli, aby obsah každého klíčového chemického prvku v oceli splňoval požadovanou vlastnost danou intervalovým rozpětím. Obdobný požadavek lze nalézt v potravinářském průmyslu i při optimalizaci krmných dávek v zemědělské živočišné výrobě. Nepředpokládám, že se povede s novou kombinací surovin snížit náklady na jejich pořizování o desítky procent, spíše půjde o úspory v procentech, ale i to může ve velkovýrobě snadno představovat statisícové úspory a to s nulovými investičními výdaji či riziky. Fletcher a Clarke (1964, s. 37) uvádí zajímavý příklad z historie. Společnost North Western Gas Board řešila v 50. letech 20. stol. dopravní problém a hledala optimální řešení distribuce různých druhů uhlí (lišícího se svými parametry) do plynáren na severu Anglie. Jedná se o jinou optimalizační úlohu, ovšem způsob řešení se v některých rysech podobá směšovacímu problému minimálně v použití algoritmu lineární programování, o kterém pohovořím dále. A zmiňovaná společnost dokázala na základě propočtů nalézt optimální řešení, které oproti původní organizaci distribuce přineslo úsporu 1,75 %, což ovšem při výši přepravních nákladů této britské společnosti znamenalo liber. Chci tím demonstrovat, že rozhodovací analýza má svůj smysl není to aplikovaná matematika pro matematiku, že je vhodné opírat se o výpočty ne jen o intuici a v neposlední řadě ukázat jaké možnosti dnes nabízí v oblasti výpočtů a rozhodovacích analýz program Excel. 1. Charakteristika problému Zmiňovaná problematika je dobře známá, v minulosti se jí věnovala řada matematiků i ekonomů a vžil se pro ni termín,,směšovací nebo,,nutriční problém jak uvádí např. Kořenář a kol. (2003, s ). Známý je také způsob řešení tohoto problému, které používá algoritmu lineárního programování (LP). Cílem mého modelu je tento výpočet zobecnit, aby stačilo zadat parametry vstupních surovin a požadavky na výslednou směs, model poté exaktně nalezne správný poměr surovin s nejnižšími možnými pořizovacími náklady a v tom je jeho originalita. Přidaná hodnota tedy spočívá v tom, že se nemusí celá situace znovu programovat. Popisovaná problematika může možná působit dojmem, že se jedná o analogii s nepříliš složitou úlohou známou ze základní školy, kdy máme např. vodu o teplotě 50 C a vodu o teplotě 10 C a požadujeme jejich namíchání v takovém poměru, aby vzniklo 10 litrů vody o teplotě 20 C, ale není tomu tak. Směšovací problém se kromě vyššího počtu směšovaných komodit a tím vyššího počtu neznámých odlišuje především tím, že požadovaný výsledek není dán jednou hodnotou, ale intervalovým rozpětím. Tím dostává celá problematika zcela novou dimenzi, neboť neznámé dostávají v rámci intervalového rozpětí,,určitou volnost, což implikuje teoreticky nekonečný počet vyhovujících řešení takových řešení, které vyhovují požadavkům intervalového rozpětí (např. výsledná vodní lázeň s teplotou 15 až 25 C, požadovaný obsah tuku v jogurtu 5 až 6 % apod.). A zde se dostávám k podstatě problému, ze všech přípustných řešení, která reprezentují různé kombinace vstupních surovin plnící požadavky výsledné směsi, je třeba vybrat řešení jediné, a sice to, jehož surovinová kombinace bude pořízena za nejnižší cenu. 804

3 2. Příklad popisovaného problému Pro lepší názornost uvádím řešení typického problému optimalizaci vsázkových surovin z hlediska minimalizace nákladů na vsázku pro výrobu např. litiny ČSN Obrázek 1: Optimalizace vsázkových surovin Vsázkou označuji soubor surovin, ze kterých se roztavením v peci a následnými chemickými procesy docílí požadované slitiny. Situaci ilustruje obrázek 1. Požadavky na obsah chemických prvků vyráběné litiny ČSN v procentech uvádí tabulka 1 (nové označení české normy v souladu s harmonizací v EU je EN-GJL-100). Tabulka 1: Požadované chemické složení litiny ČSN (EN-GJL-100) Uhlík Křemík Mangan Fosfor Síra Prvek C Si Mn P S Interval (%) 3,55 3,75 2,2 2,3 0,4 0,6 0,5 0,7 Max. 0,15 Zdroj: (Němec a kol., 2009, s ) Ještě je třeba dodat, že uvažuji určité zjednodušení této problematiky, předpokládám totiž shodu mezi výslednou vsázkou (směsicí různých vsázkových surovin) a litinou, která vznikne roztavením této vsázky v jednu homogenní směs. Tento předpoklad v praxi platit může, ale také nemusí zejména při chemických interakcí mezi vsázkovými surovinami, palivovým koksem i vyzdívkou pece. 805

4 Seznam možných vsázkových surovin a jejich parametry: Tabulka 2: Parametry surovin Zdroj: (Novotný a kol., 2006, s ) Nyní je třeba vyřešit otázku, které suroviny použít (není nutné využít všechny) a v jakých poměrech mají být ve vsázce zastoupeny, při požadavku minimálních nákladů na pořizované suroviny. Celou situaci, definované podmínky, veškeré hodnoty z tabulek 1 a 2 i souvislosti mezi těmito hodnotami lze zapsat matematicky, jak popisuje Kožíšek a kol. (2008, s ). Zastoupení jednotlivých surovin ve výsledné vsázce označují neznámé x 1 až x 10 viz tab. 3. Tabulka 3: Označení množství suroviny ve výsledné vsázce pomocí neznámých Matematický zápis se skládá ze tří vztahů: Vztah 1: Podmínka celku x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 = 1 x 1, x 2 až x n představují relativní podíl (např. 0,4; 0,1 apod.), kde celek představuje výslednou vsázku (směs). Jestliže všechny suroviny smíchané dohromady, obdržíme výslednou vsázku. Logicky musí platit, že součet všech relativních četností musí být roven jedné. 806

5 Vztah 2: Omezující podmínky dané požadavky výsledné vsázky resp. litiny C: 3,8 x 1 + 4,2 x x 3 + 4,1 x 4 + 3,3 x 5 + 0,4 x 6 + 0,09 x 7 + 3,7 x 8 3,55 C: 3,8 x 1 + 4,2 x x 3 + 4,1 x 4 + 3,3 x 5 + 0,4 x 6 + 0,09 x 7 + 3,7 x 8 3,75 Si: 1,5 x 1 + 0,3 x 2 + 2,3 x 3 + 0,6 x x 5 + 0,3 x 6 + 0,22 x 7 + 2,7 x 8 2,2 Si: 1,5 x 1 + 0,3 x 2 + 2,3 x 3 + 0,6 x x 5 + 0,3 x 6 + 0,22 x 7 + 2,7 x 8 2,3 Mn: 1 x 1 + 0,1 x 2 + 0,3 x 3 + 0,2 x 4 + 0,7 x 5 + 0,5 x 6 + 0,4 x 7 + 0,5 x 8 0,4 Mn: 1 x 1 + 0,1 x 2 + 0,3 x 3 + 0,2 x 4 + 0,7 x 5 + 0,5 x 6 + 0,4 x 7 + 0,5 x 8 0,6 P: 0,3 x ,5 P: 0,3 x ,7 S: 0,06 x ,15 Jestliže první vsázková surovina (surové železo ) obsahuje 3,8 % uhlíku a ve výsledné vsázce je tato surovina zastoupena v množství x 1, potom do výsledné vsázky (směsi) přispívá prvkem uhlíku 3,8 x 1. Sečtou se příspěvky tohoto prvku od všech surovin, a jelikož požadavek na obsah uhlíku ve výsledné vsázce resp. výsledné litině činí minimálně 3,55 % uhlíku, musí být výsledný součet vyšší než tato hranice. Obdobně se postupuje při formulaci podmínky říkající, že maximální koncentrace uhlíku ve výsledné vsázce je 3,75, potom tento součet musí být nižší. (V tomto případě požadavky na výslednou litinu připouští ještě hraniční hodnotu intervalu, nerovnosti proto nebudou ostré, ale budou,,větší rovno a,,menší rovno.) Stejným způsobem se zapíše jakýkoliv počet podmínek daných požadavky vsázky. Pokud je dán požadavek jen jednou hranicí intervalu, vzniká jen jedna omezující podmínka, tak je tomu ve vztahu 1 v případě síry, u které není uvedena její minimální koncentrace, ale pouze maximální 0,15 %. Vztah 3: Účelová funkce F = 5,3 x ,5 x ,5 x x x 5 + 1,5 x x x 8 = minimum Účelová funkce vyjadřuje výši nákladů na vsázkové suroviny. Např. 1 kg surového železa reprezentovaného neznámou x 1 stojí 5,3 Kč. Tímto způsobem vznikne funkce, ve které figurují všechny zavedené proměnné, a celá problematika spočívá v nalezení takových hodnot proměnných, aby hodnota této funkce byla samozřejmě minimální. Na druhé straně jsou všechny proměnné x 1 až x 8,,svázány omezujícími podmínkami viz vztahy 1 a 2. Řešení jakéhokoliv jiného směšovacího (nutriční) problému je postaveno na stejném principu a výsledkem jeho matematického zápisu je účelová funkce, pro kterou se hledá minimum a dále množina nerovnic i rovnic, které udávají proměnným v účelové funkci určitá omezení. 3. Exaktní řešení matematického zápisu V této etapě je celá situace matematicky zapsaná a vyvstává otázka jakým matematickým aparátem ji vyřešit. Na začátku svého příspěvku jsem uvedl, že takto zadaný problém nelze řešit jako soustavu rovnic. Jak uvádí Kožíšek a kol. (2008, s. 80) extrém nelze nalézt ani parciálním derivováním podle proměnných ani pomocí Lagrangeových multiplikátorů, což způsobuje nerovnicový zápis, viz vztah 2. Algoritmus schopný v konečném počtu kroků vyřešit takto zadanou úlohu nalezením hodnot minimalizující účelovou funkci se nazývá Lineární programování (LP). Rovnice, nerovnice i účelová funkce jsou lineární, viz vztahy 1 až 3, proto termín lineární programování (tento matematický nástroj má řádu modifikací včetně podoby nelineárního programování, neslouží pouze k řešení této problematiky, ale 807

6 k celé škále problémů postavených na hledání obecně extrému účelové funkce, čili také maxima), jak popisují Jablonský (2007, s. 8 10) a Fábry (2010, s ). Tyto propočty jsou velice zdlouhavé a pracné. Ovšem jak uvádí Kožíšek a kol. (2008, s ) s pomocí nástroje,,řešitel, který je běžnou součástí programu Excel lze nalézt hodnoty neznámých velice snadno a rychle. Pro mnou zvolený příklad řešící optimalizaci vsázkových surovin litiny ČSN vyšlo následující řešení, které jsem pro lepší přehlednost převedl z desetinných čísel na procenta, viz tabulka 4. Tabulka 4: Hodnoty neznámých v % Zdroj: Výsledky z mého modelu pro optimalizaci vsázky Náklady na suroviny pro přípravu 1 kg vsázky, tj. hodnota účelové fce. F = 3 Kč. 4. Zobecnění problému pro libovolnou situaci V dosavadní části příspěvku jsem se věnoval popisu směšovacího problému a způsobu řešení. Stejným způsobem by se postupovalo při přípravě vsázky pro výrobu kterékoliv jiné litiny či oceli nebo slitiny neželezných kovů např. hliníku. Čím více by bylo stanoveno požadavků na chemické složení výsledné taveniny, tím více by bylo nerovnic ve vztahu 1. Čím větší by byl sortiment volených surovin, tím více by bylo neznámých. Na tom všem není nic objevného ani originálního. Právě proto, aby nebylo třeba při každé změně zadání celou situaci znovu a znovu matematicky vyjadřovat a následně přepisovat rovnice do maticových zápisů v Excelu, rozhodl jsem se tento problém zobecnit a naprogramovat do Excelu tak, aby při změně požadavku na výslednou slitinu stačilo uvést její žádané chemické složení. Ještě jednoduší je způsob výběru surovin, ze kterých lze vsázku sestavovat, zde jsem nastavil 31 různých surovin běžně používaných pro přípravy vsázek litin či ocelí označením se surovina automaticky zařadí do skupiny, ze kterých se vybírá řešení. Funguje to takto, označím několik surovin připadajících v úvahu (nemá smysl uvažovat drahé legující suroviny pro výrobu podřadných slitin), na takto navolené škále následně proběhne propočet optimálního smísení a může se stát, že některé suroviny nebudou vybrány (jejich podíl na vsázce bude nulový) jak k tomu došlo v řešení ilustrovaném tabulkou 4. Toto je přidaná hodnota mnou představovaného jednoduchého modelu. V další části popíši způsob řešení některých problémů spojených s přechodem od konkrétního příkladu k obecnému modelu. Prvním krokem je zavedení tabulky umožňující nastavení požadavků na výslednou vsázku viz tabulka 5. V tabulce jsou zadány meze intervalů, ve kterých se má chemické složení pohybovat (pro ilustraci jsem zvolil litinu tentokráte ČSN ). 808

7 Tabulka 5: Vkládání požadavků na taveninu (vsázku), obsah prvku v % (ukázka z mého modelu v Excelu) Nyní se dostávám k prvnímu problému, který jsem musel vyřešit. Pokud bych optimalizoval vsázku pouze pro tuto litinu postačily by mi řádky,,a až,,e. Jestliže má být model skutečně obecný musí obsahovat možnost zadání ještě jiných prvků z ostatních řádků např. Cr, Mo atd. pro legované oceli atd. Jak si, ale poradit s přítomností těchto,,nadbytečných prvků při zadání např.,,obyčejné litiny. Východisko jsem nalezl v rozšíření rozpětí intervalů na takové hodnoty, aby de facto žádné omezení nepředstavovaly. Tzn. pokud je mi při zadávání vlastností množství některého z nabízených prvků lhostejné nadefinuji jeho koncentraci 0 % až 100 % viz tabulka 5. Zadané hodnoty se odtud automaticky přenesou do políček tvořících samotnou výpočtovou část. Tabulka 6: Výběr vhodných vsázkových surovin (ukázka z mého modelu v Excelu část) Východisko jsem nalezl v rozšíření rozpětí intervalů na takové hodnoty, aby de facto žádné omezení nepředstavovaly. Tzn. pokud je mi při zadávání vlastností množství některého z nabízených prvků lhostejné nadefinuji jeho koncentraci 0 % až 100 % viz tabulka 5. Zadané hodnoty se odtud automaticky přenesou do políček tvořících samotnou výpočtovou část. 809

8 Volba suroviny se realizuje napsáním hodnoty 1 do spodního řádku tabulky 6, použitím podmíněného formátování se takové políčko zbarví zeleně. Pro,,Nevybrání suroviny napíši jakoukoliv jinou hodnotu než 1, políčko se zbarví červeně. Na tomto místě se pokusím osvětlit fungování výpočetního mechanismu, který se skládá z uvedených vztahů 1 až 3, ovšem transformovaných tak, aby fungovaly nikoliv pro rigidně zadané hodnoty nýbrž obecně pro jakékoliv hodnoty podle potřeby zadavatele. Tabulka 7: Výběr vhodných vsáz. surovin (ukázka z mého modelu v Excelu část) Buňky programu Excel jsou naprogramovány tak, aby se hodnoty představující obsah chemických prvků těch surovin, které byly vybrány viz tabulka 6 přesunuly do výpočtu a naopak u těch surovin, které vybrány nebyly dojde k přesunu nulových hodnot. Nulové i nenulové hodnoty jsou součástí výpočtu (jde o princip maticového součinu, ale celý výpočet je komplikovanější, jde zde o naprogramování do takové podoby, se kterou umí nástroj,,řešitel pracovat. Tomu odpovídá také zaznamenání hodnot přicházejících ze zadaných požadavků na výslednou vsázku v pravé části tabulky 7. Kromě požadavků na správné obsazení, vybrání a označení buněk v programu Excel je třeba navíc vyplnit cosi jako menu nástroje řešitel, jedná se např. o omezení oboru hodnotu proměnných x1 až x 31 na nezáporná čísla. Ve finálním modelu zůstává toto nastavení zachováno, což je dalším podstatným zjednodušením. Princip fungování naprogramovaných buněk volně přibližuje na prvních dvou řádcích vztah 4. Řádek nulových hodnot pod řádkem označující neznámé x 1, x 2 atd. jsou vlastní počáteční hodnoty těchto neznámých. Vztah 4: Princip zobecněného výpočtu Použití tohoto modelu tedy spočívá v zadání požadovaných vstupních parametrů, které se automaticky přenáší do předpřipraveného propočtu. Samotný propočet je spuštěn aktivací nástroje,,řešitel. Propočet vygeneruje hodnoty neznámých viz tabulka 8 (vybarvený řádek). 810

9 Tabulka 8: Výsledek výpočtu (ukázka z mého modelu v Excelu část) Matematické výsledky z tabulky 8 v podobě podílů na vsázce v rozmezí 0 až 1 jsou následně transformovány do přehlednější podoby. Surovina, která bude použita k přípravě zadané vsázky, se barevně označí, viz tabulka 9, napíše se podíl suroviny ve vsázce v % a při zadání požadované hmotnosti výsledné vsázky také v kg. Z takové podoby výsledku lze snadno získat informaci o celkové ceně surovin potřebných k přípravě vsázky, výpočet se skládá ze sumy dílčích součinů cen a použitou hmotností zvolené suroviny a na takový propočet lze v prostředí Excel s výhodou použít fci. skalární součin. Tabulka 9: Výsledek výpočtu (ukázka z mého modelu v Excelu část) Závěr Směšovací problém spočívá v nalezení vsázkových surovin a stanovení jejich správného množství tak, aby na jedné straně měla tavenina požadované chemické složení (což determinuje vlastnosti výsledného materiálu) a na straně druhé byly suroviny kombinovány takovým způsobem, který přinese nejnižší náklady na pořizované suroviny. Východiskem je optimalizace vsázkových surovin za účelem minimalizace nákladů pomocí algoritmu lineárního programování s využitím možností MS Excel, který nahradí pracný a zdlouhavý výpočetní algoritmus pomocí simplexové tabulky. Při volbě jiných surovin vyznačujících se odlišnou cenou i chemickým složením a při potřebě docílit taveniny jiných vlastností bude zapotřebí celý výpočet předělat. Proto jsem se pokusil uvést v život myšlenku o obecném modelu, který by dokázal celou situaci zobecnit. Primární oblast použití tohoto modelu je ve snižování materiálových nákladů pomocí lepší optimální kombinace vsázkových surovin. Je tak možno dosáhnout značných úspor s nulovou vstupní investicí, pouze pomocí lepšího rozhodnutí. V součastné situaci neúprosného konkurenčního boje a silného tlaku na snižování nákladových položek se jedná o užitečný nástroj. Jiná možnost využití je v propočtu změn materiálových nákladů v závislosti na jakosti výsledné 811

10 taveniny. Nebo ve výpočtech změn materiálových nákladů za nedostatku některých vstupních surovin a nutnosti jejich náhrady substituty. Směšovací problém se neřeší pouze ve slévárnách, ale v celé řadě dalších provozů při činnostech jako přípravy nejrůznějších substrátů, potravin, roztoků, krmiv apod. Na úplný závěr bych si dovolil uvést jednu zajímavost obdobný problém, jehož řešení jsem v příspěvku představil, je možné spatřit ve filmu Mladé víno z r. 1986, kde se skupina programátorů pokouší s pomocí počítače (pro dnešního uživatele kyklopských rozměrů) stanovit optimální krmné dávky pro dojné krávy. Na tomto příkladu je dobře patrná neuvěřitelná dynamika vývoje výpočetní techniky v posledních 20-ti letech a díky tomu úkol pro skupinu lidí zvládne jediný člověk za zlomek času. Literatura: [1] FÁBRY, Jan. Matematické modelování. 1. vyd. Praha: ČVUT, s. ISBN: [2] FLETCHER, Allan a Geoffrey CLARKE. Ekonomie a společnost. Řízení a matematika. 1. vyd. Praha: Svoboda, s. [3] FREIBERG, František. Financování podniku. 1. vyd. Praha: ČVUT, s. ISBN: [4] JABLONSKÝ, Josef. Programy pro matematické modelování. 1. vyd. Praha: VŠE, s. ISBN: [5] KAVAN, Michal. Výrobní management. 1. vyd. Praha: ČVUT, s. ISBN: [6] KOŘENÁŘ, Václav a kol. Optimalizační metody. 1. vyd. Praha: VŠE, s. ISBN: [7] KOŽÍŠEK, Jan a kol. Statistická a rozhodovací analýza. 1. vyd. Praha: ČVUT, s. ISBN: [8] NĚMEC, Milan a kol. Teorie slévání. 1. vyd. Praha: ČVUT, s. ISBN: [9] NOVOTNÝ, Jiří a kol. Technologie I. (Slévání, tváření a povrchové úpravy). 1. vyd. Praha: ČVUT, s. ISBN: Ing. Josef Košťálek Doktorand Ústav řízení a ekonomika podniku Strojní fakulta České vysoké učení technické v Praze Karlovo náměstí 13, Praha 2 josef.kostalek@fs.cvut.cz 812

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování

4EK212 Kvantitativní management. 2. Lineární programování 4EK212 Kvantitativní management 2. Lineární programování 1.7 Přídatné proměnné Přídatné proměnné jsou nezáporné Mají svoji ekonomickou interpretaci, která je odvozena od ekonomické interpretace omezení

Více

4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování

4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování 4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených

Více

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Obecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis

Více

Ekonomická formulace. Matematický model

Ekonomická formulace. Matematický model Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest

Více

4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování

4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování 4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x

Více

4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení

4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení 4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Příklady modelů lineárního programování

Příklady modelů lineárního programování Příklady modelů lineárního programování Příklad 1 Optimalizace výroby konzerv. Podnik vyrábí nějaký výrobek, který prodává v 1 kg a 2 kg konzervách, přičemž se řídí podle následujících velmi zjednodušených

Více

Otázky ke státní závěrečné zkoušce

Otázky ke státní závěrečné zkoušce Otázky ke státní závěrečné zkoušce obor Ekonometrie a operační výzkum a) Diskrétní modely, Simulace, Nelineární programování. b) Teorie rozhodování, Teorie her. c) Ekonometrie. Otázka č. 1 a) Úlohy konvexního

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS

OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB D24FZS OPTIMALIZACE A MULTIKRITERIÁLNÍ HODNOCENÍ FUNKČNÍ ZPŮSOBILOSTI POZEMNÍCH STAVEB Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb Anotace: Optimalizace objektů pozemních staveb

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Lineární programování

Lineární programování 24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování.

Operační výzkum. Vícekriteriální programování. Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační výzkum Lexikografická metoda. Metoda agregace účelových funkcí. Cílové programování. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu

Více

12. Lineární programování

12. Lineární programování . Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)

Více

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb 16 Optimální hodnoty svázaných energií stropních konstrukcí (Graf. 6) zde je rozdíl materiálových konstant, tedy svázaných energií v 1 kg materiálu vložek nejmarkantnější, u polystyrénu je téměř 40krát

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP

4EK311 Operační výzkum. 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 4EK311 Operační výzkum 3. Optimalizační software a stabilita řešení úloh LP 3.1 Příklad matematický model Lis: 1 x 1 + 2 x 2 120 [min] Balení: 1 x 1 + 4 x 2 180 [min] Poptávka: 1 x 1 1 x 2 90 [krabiček]

Více

Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení

Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení Projektování dopravní obslužnosti Systematická tvorba jízdního řádu 2. cvičení Ing. Zdeněk Michl Ústav logistiky a managementu dopravy ČVUT v Praze Fakulta dopravní Rekapitulace zadání Je dána následující

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení

Více

4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu

4EK311 Operační výzkum. 1. Úvod do operačního výzkumu 4EK311 Operační výzkum 1. Úvod do operačního výzkumu Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka Garant kurzu:

Více

Měření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr

Měření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr Měření dat Filtrace dat, Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAMY čtvrtek 28. února 2018 verze: 2018-02-28 12:20 Obsah

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

4EK201 Matematické modelování. 4. Typické úlohy lineárního programování

4EK201 Matematické modelování. 4. Typické úlohy lineárního programování 4EK201 Matematické modelování 4. Typické úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy

Více

3. ANTAGONISTICKÉ HRY

3. ANTAGONISTICKÉ HRY 3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,

Více

4. Aplikace matematiky v ekonomii

4. Aplikace matematiky v ekonomii 4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

Úloha - rozpoznávání číslic

Úloha - rozpoznávání číslic Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání

Více

MODELS FOR INVENTORY MANAGEMENT

MODELS FOR INVENTORY MANAGEMENT MODELY PRO ŘÍZENÍ ZÁSOB MODELS FOR INVENTORY MANAGEMENT Josef KOŠŤÁLEK Abstract Models for inventory management is addressed by many economists and mathematicians in that time it was created a lot of patterns

Více

MOŽNOST VYUŽITÍ INPUT-OUTPUT ANALÝZY PRO ŘÍZENÍ VE VEŘEJNÉ SPRÁVĚ

MOŽNOST VYUŽITÍ INPUT-OUTPUT ANALÝZY PRO ŘÍZENÍ VE VEŘEJNÉ SPRÁVĚ MOŽNOST VYUŽITÍ INPUT-OUTPUT ANALÝZY PRO ŘÍZENÍ VE VEŘEJNÉ SPRÁVĚ Pavla Jindrová Univerzita Pardubice, Fakulta ekonomicko-správní, Ústav matematiky Abstract: The principle of aggregation is a mathematical

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu.

1.1 Typy úloh LP. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1. Formulace ekonomického modelu. Klíčová slova: úlohy LP, formulace modelu. 1 Úlohy Lineárního programování Lineární programování je jednou z částí operačního výzkumu a zpravidla se používá pro řešení optimalizačních úloh ekonomických

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Příklady použití tenkých vrstev Jaromír Křepelka

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Příklady použití tenkých vrstev Jaromír Křepelka Příklady použití tenkých vrstev Jaromír Křepelka Příklad 01 Spočtěte odrazivost prostého rozhraní dvou izotropních homogenních materiálů s indexy lomu n 0 = 1 a n 1 = 1,52 v závislosti na úhlu dopadu pro

Více

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech

4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech 4.Řešení optimalizačních úloh v tabulkových kalkulátorech Tabulkové kalkulátory patří mezi nejpoužívanější a pro běžného uživatele nejdostupnější programové systémy. Kromě základních a jim vlastních funkcí

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

OSA. maximalizace minimalizace 1/22

OSA. maximalizace minimalizace 1/22 OSA Systémová analýza metodika používaná k navrhování a racionalizaci systémů v podmínkách neurčitosti vyšší stupeň operační analýzy Operační analýza (výzkum) soubor metod umožňující řešit rozhodovací,

Více

4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1

4EK311 Operační výzkum. 4. Distribuční úlohy LP část 1 4EK311 Operační výzkum 4. Distribuční úlohy LP část 1 4. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování (plánování

Více

Vybrané statistické metody. Simulace pokladen supermarketu Albert na Spojovací

Vybrané statistické metody. Simulace pokladen supermarketu Albert na Spojovací ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE, Fakulta dopravní Ústav aplikované matematiky K611 Vybrané statistické metody Simulace pokladen supermarketu Albert na Spojovací 1 85 Jakub Ondřich 2010/2011 85101910/0040

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. GARANT KURZU Prof. Ing. Josef Jablonský, CSc. Místnost: NB 437 Konzultační hodiny: úterý 13:00 15:00 E-mail: jablon@vse.cz

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

1. V jakých typech sloučenin se železo v přírodě nachází? 2. Jmenujte příklad jedné železné rudy (název a vzorec):

1. V jakých typech sloučenin se železo v přírodě nachází? 2. Jmenujte příklad jedné železné rudy (název a vzorec): ŽELEZO - cvičení 1. V jakých typech sloučenin se železo v přírodě nachází? 2. Jmenujte příklad jedné železné rudy (název a vzorec): 1. V jakých typech sloučenin se železo v přírodě nachází? V oxidech,

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?]

Optimalizace obecný úvod. [proč optimalizovat?] Formalizace problému. [existují podobné problémy?] Optimalizace obecný úvod 1 Optimalizace obecný úvod Motivace optimalizačních úloh [proč optimalizovat?] Formalizace problému [jak obecně popsat optimalizační úlohu?] Klasifikace optimalizačních problémů

Více

APLIKACE. Poznámky Otázky

APLIKACE. Poznámky Otázky APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy

Více

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY

4EK213 LINEÁRNÍ MODELY 4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Modelování a simulace Lukáš Otte

Modelování a simulace Lukáš Otte Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast

Více

ZÁKLADY STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ ÚDAJŮ 5. hodina , zapsala Veronika Vinklátová Revize zápisu Martin Holub,

ZÁKLADY STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ ÚDAJŮ 5. hodina , zapsala Veronika Vinklátová Revize zápisu Martin Holub, ZÁKLADY STATISTICKÉHO ZPRACOVÁNÍ ÚDAJŮ 5. hodina - 22. 3. 2018, zapsala Revize zápisu Martin Holub, 27. 3. 2018 I. Frekvenční tabulky opakování z minulé hodiny Frekvenční tabulka je nejzákladnější nástroj

Více

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Ing. Tomáš MAUDER prof. Ing. František KAVIČKA, CSc. doc. Ing. Josef ŠTĚTINA, Ph.D.

Ing. Tomáš MAUDER prof. Ing. František KAVIČKA, CSc. doc. Ing. Josef ŠTĚTINA, Ph.D. OPTIMALIZACE BRAMOVÉHO PLYNULÉHO ODLÉVÁNÍ OCELI ZA POMOCI NUMERICKÉHO MODELU TEPLOTNÍHO POLE Ing. Tomáš MAUDER prof. Ing. František KAVIČKA, CSc. doc. Ing. Josef ŠTĚTINA, Ph.D. Fakulta strojního inženýrství

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

aneb jiný úhel pohledu na prvák

aneb jiný úhel pohledu na prvák Účelná matematika aneb jiný úhel pohledu na prvák Jan Hejtmánek FEL, ČVUT v Praze 24. června 2015 Jan Hejtmánek (FEL, ČVUT v Praze) Technokrati 2015 24. června 2015 1 / 18 Outline 1 Motivace 2 Proč tolik

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování

Systémové modelování. Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Ekonomicko matematické metody I. Lineární programování Modelování Modelování je způsob zkoumání reality, při němž složitost, chování a další vlastnosti jednoho celku vyjadřujeme složitostí, chováním a

Více

DEFORMACE JEDNODUCHÝCH LAGRANGEOVÝCH SYSTÉMŮ VYBRANÝMI NEHOLONOMNÍMI VAZBAMI

DEFORMACE JEDNODUCHÝCH LAGRANGEOVÝCH SYSTÉMŮ VYBRANÝMI NEHOLONOMNÍMI VAZBAMI DEFORMACE JEDNODUCHÝCH LAGRANGEOVÝCH SYSTÉMŮ VYBRANÝMI NEHOLONOMNÍMI VAZBAMI Karolína Šebová Přírodovědecká fakulta, Ostravská univerzita v Ostravě, 30. dubna 22, 701 03 Ostrava, carolina.sebova@seznam.cz

Více

OPTIMALIZACE CHEMICKÝCH STUPŇOVÝCH PROCESŮ POMOCÍ MATLAB SYMBOLIC MATH TOOLBOXU. Vladimír Hanta

OPTIMALIZACE CHEMICKÝCH STUPŇOVÝCH PROCESŮ POMOCÍ MATLAB SYMBOLIC MATH TOOLBOXU. Vladimír Hanta OPTIMALIZACE CHEMICKÝCH STUPŇOVÝCH PROCESŮ POMOCÍ MATLAB SYMBOLIC MATH TOOLBOXU Vladimír Hanta Vysoká škola chemicko-technologická Praha, Ústav počítačové a řídicí techniky Při modelování a simulaci chemicko-inženýrských

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem

3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem ČVUT FEL X36PAA - Problémy a algoritmy 3. úloha - problém batohu metodami branch & bound, dynamické programování, heuristika s testem Jméno: Marek Handl Datum: 1. 1. 2009 Cvičení: Pondělí 9:00 Zadání Naprogramujte

Více

4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování

4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4EK201 Matematické modelování 5. Speciální úlohy lineárního programování 4. Typické úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Směšovací problémy

Více

4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP

4EK212 Kvantitativní management. 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP 4EK212 Kvantitativní management 1. Úvod do kvantitativního managementu a LP Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Nová budova, místnost 433 Konzultační hodiny InSIS E-mail: jana.seknickova@vse.cz Web: jana.seknicka.eu/vyuka

Více

4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování

4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování 4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a

Více

DSS a De Novo programming

DSS a De Novo programming De Novo Programming DSS a De Novo programming DSS navrhují žádoucí budoucnost a cesty k jejímu uskutečnění Optimalizační modely vhodné nástroje pro identifikaci optimálního řešení problému Je ale problém

Více

Rozhodovací procesy 8

Rozhodovací procesy 8 Rozhodovací procesy 8 Rozhodování za jistoty Příprava předmětu byla podpořena projektem OPPA č. CZ.2.17/3.1.00/33253 VIII rozhodování 1 Rozhodování za jistoty Cíl přednášky 8: Rozhodovací analýza Stanovení

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Přednáška 13 Redukce dimenzionality

Přednáška 13 Redukce dimenzionality Vytěžování Dat Přednáška 13 Redukce dimenzionality Miroslav Čepek Fakulta Elektrotechnická, ČVUT Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti ČVUT (FEL) Redukce dimenzionality 1 /

Více

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7

Přiřazovací problém. Přednáška č. 7 Přiřazovací problém Přednáška č. 7 Přiřazovací problém je jednou podtřídou logistických úloh. Typickým problémem může být nejkratší převoz materiálu od dodavatelů ke spotřebitelům. spotřebitelé a i dodavatelé

Více

Lineární klasifikátory

Lineární klasifikátory Lineární klasifikátory Lineární klasifikátory obsah: perceptronový algoritmus základní verze varianta perceptronového algoritmu přihrádkový algoritmus podpůrné vektorové stroje Lineární klasifikátor navrhnout

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Manažerská ekonomika KM IT

Manažerská ekonomika KM IT KVANTITATIVNÍ METODY INFORMAČNÍ TECHNOLOGIE (zkouška č. 3) Cíl předmětu Získat základní znalosti v oblasti práce s ekonomickými ukazateli a daty, osvojit si znalosti finanční a pojistné matematiky, zvládnout

Více

Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25

Simplexové tabulky z minule. (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexové tabulky z minule (KMI ZF JU) Lineární programování EMM a OA O6 1 / 25 Simplexová metoda symbolicky Výchozí tabulka prom. v bázi zákl. proměné přídatné prom. omez. A E b c T 0 0 Tabulka po přepočtu

Více

ÚVOD DO ROZHODOVÁNÍ PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ Přednáška 1. Zuzana Bělinová

ÚVOD DO ROZHODOVÁNÍ PŘEDNÁŠKA. OPTIMALIZACE A ROZHODOVÁNÍ V DOPRAVĚ Přednáška 1. Zuzana Bělinová PŘEDNÁŠKA 1 ÚVOD DO ROZHODOVÁNÍ Organizační Vyučující Ing., Ph.D. email: belinova@k620.fd.cvut.cz Doporučená literatura Dudorkin J. Operační výzkum. Požadavky zápočtu docházka zápočtový test (21.5.2015)

Více

Státnicová otázka 6, okruh 1

Státnicová otázka 6, okruh 1 Státnicová otázka 6, okruh 1 Vojtěch Franc, xfrancv@electra.felk.cvut.cz 7. února 2000 1 Zadání Statické optimalizace. Lineární a nelineární programování. Optimální řízení a rozhodování v dynamických systémech,

Více

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

GEODETICKÉ VÝPOČTY I. SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TABELACE FUNKCE LINEÁRNÍ INTERPOLACE TABELACE FUNKCE Tabelace funkce se v minulosti často využívala z důvodu usnadnění

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Měření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr

Měření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr Měření dat Filtrace dat, Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAMY čtvrtek 28. února 2018 verze: 2018-03-21 16:45 Obsah

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Tvarová optimalizace v prostředí ANSYS Workbench

Tvarová optimalizace v prostředí ANSYS Workbench Tvarová optimalizace v prostředí ANSYS Workbench Jan Szweda, Zdenek Poruba VŠB-Technická univerzita Ostrava, Fakulta strojní, katedra mechaniky Ostrava, Czech Republic Anotace Prezentace je soustředěna

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Numerické metody a programování. Lekce 8

Numerické metody a programování. Lekce 8 Numerické metody a programování Lekce 8 Optimalizace hledáme bod x, ve kterém funkce jedné nebo více proměnných f x má minimum (maximum) maximalizace f x je totéž jako minimalizace f x Minimum funkce lokální:

Více

Globální matice konstrukce

Globální matice konstrukce Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Ústav materiálového inženýrství - odbor slévárenství 1 PŘÍLOHA KE KAPITOLE 11 2 Seznam příloh ke kapitole 11 Podkapitola 11.2. Přilité tyče: Graf 1 Graf 2 Graf 3 Graf 4 Graf 5 Graf 6 Graf 7 Graf 8 Graf 9 Graf 1 Graf 11 Rychlost šíření ultrazvuku vs. pořadí

Více

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

PROGRAM PRO SNADNÉ ŘEŠENÍ ÚLOHY OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO S DESETI BODY A JEHO VYUŽITÍ

PROGRAM PRO SNADNÉ ŘEŠENÍ ÚLOHY OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO S DESETI BODY A JEHO VYUŽITÍ PROGRAM PRO SNADNÉ ŘEŠENÍ ÚLOHY OBCHODNÍHO CESTUJÍCÍHO S DESETI BODY A JEHO VYUŽITÍ Josef Košťálek ÚVOD Předmětem tohoto příspěvku je popis fungování a využití programu EDITA 4, který jsem sestavil pro

Více

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.

Více

Čebyševovy aproximace

Čebyševovy aproximace Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu

Více