Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích

Transkript

1 Pohled do historie fiačí matematiky Ja Zahradík, Pedagogická fakulta Jihočeské uiverzity v Českých Budějovicích Úvod Častým tématem diskusí současých ekoomů je ízká úroveň fiačí gramotosti ašich občaů. V tisku se dočítáme o lidech, schopých vzít si úvěr s podmíkami, které mohou způsobit zhrouceí jejich rodiých fiací, ztrátu majetku a často také rozpad rodi. Jedou z příči tohoto jevu je, že si lidé vůbec edokáží ai rámcově představit, atož pak vypočítat, jaký vývoj by měl jejich dluh v případě, když jej ebudou schopi splácet. To, že teto problém eí pouze jevem ovodobým, že se s ím vyrovávali i aši předkové, dokazuje poměrě častý výskyt čláků s tématikou fiačě-matematickou v odborém tisku, případě její zařazováí do výuky a středích školách. V tomto čláku chci ukázat, jak bylo téma fiačí matematiky prezetováo v kize ěmeckého fiačíka Paula Friedricha Keila vydaé v roce 1854 a zejméa pak v Časopise pro pěstováí mathematiky a fysiky v sedmdesátých létech devateáctého století. Z autorů, kteří přispívali do Časopisu pro pěstováí mathematiky a fysiky v době krátce po jeho vziku v roce 1872, se tomuto tématu věovali zejméa Fratišek Josef Studička a Fratišek Hoza. Stěžejími čláky jsou Příspěvek k arithmetice árodohospodářské F. J. Studičky ([3], ročík III, 1874, str ) a poměrě komplexí čláek O složitém úrokováí a počtu důchodovém, který pro žáky středích škol apsal Fratišek Hoza 1 ([3], ročík V, 1876, str a ). Fratišek Josef Studička ( ), rodák z jihočeského Jaova u Soběslavi, studoval s výborými výsledky a gymáziu v Jidřichově Hradci a po maturitě v roce 1857 vstoupil a filozofickou fakultu Vídeňské uiverzity, kde se věoval studiím matematickopřírodovědeckým. Od roku 1871 byl profesorem matematiky a pražské uiverzitě a po rozděleí uiverzity a českou a ěmeckou byl zvole prvím děkaem české filozofické fakulty. V letech byl pak rektorem české uiverzity. F. J. Studička byl výzamou osobostí českého vědeckého i kulturího života druhé poloviy devateáctého století a v prvích deseti letech existece Časopisu pro pěstováí mathematiky a fysiky byl jeho redaktorem. [2] Příspěvek k aritmetice árodo-hospodářské, kterému se budeme věovat, zahajuje Studička objasěím výzamu pojmu aritmetika árodo-hospodářská, použitého v jeho ázvu. Zahruje pod ěj všecky úkoly početí, jež plyou přímo eb epřímo z poměrů státích a společeských a jako jeho účel vymezuje dobře hospodařiti s jměím vůbec a s peězi zvlášť, aby se ikde ic eztratilo a co možá ejvíce vytěžilo. Spor o iterusurium Jako základí problém uvádí Studička spor o to, zda se při úročeí mají používat úroky jedoduché ebo složité (usurae simplices vel compositae), tedy problém, zda je možé ebo lépe řečeo správé považovat evyplaceý úrok za ový kapitál. Studička se věuje popisu historie problému, jak se má vypočítávat tak zvaé iterusurium. Prvím, kdo hájil 1 Fratišek Hoza, Studoval a české reálce v Praze; posluchač strojího oboru a pražské a techice. Učil matematiku a deskriptiví geometrii a reálkách v Praze, Litomyšli, Hradci Králové. Od roku 1891 ředitel české reálky v Plzi, od roku 1896 ředitelem reálky a Malé Straě. Od roku 1896 vládím radou. Autor učebic (apř. Algebra pro vyšší reálky, 1892), publikoval v Časopise pro pěstováí mathematiky a fysiky. ([4], díl 11, str ) 1

2 ázor, že se iterusurium má počítat pomocí složitého úrokováí, byl podle Studičky G. W. Leibiz. Te defiuje ve svém pojedáí Meditatio juridico-mathematica de iterusurio simplice z roku 1683 ikrimiovaý pojem takto: Iterusurium sive resegmetum aticipatiois, vulgo Rabat, est differetia iter pecuiam i diem certum debitam et praesetem ejus valorem, seu quato plus petat, qui plus temporis petit, vel quato mius solvere aequum sit qui post aliquot aos demum debiturus, uc solvit. 2 Proti Leibizovi stál Gottfried August Hoffma (te se ve spisu Prudetia oecoomica i formam artis redacta z roku 1731 zastává jedoduchého úročeí takovým způsobem, že je podle Studičky zřejmé, že Leibizovi eporozuměl) a jeho podporovatelé, kteří mimo jié argumetovali tím, že brát úroky z úroků (aatocismus) je zapovězeo zákoy. 3 Problematice způsobu úročeí a výpočtu iterusuria se podrobě věuje také právicko-matematické pojedáí, které vydal ěmecký fiačí úředík Dr. Paul Friedrich Keil pod ázvem Das Iterusurium oder die richtige Bestimmug der Forderugswerthe zu ader, als de Verfallzeite ud die damit zusammehägede Reteredukzioslehre [1] v Jeě v roce Autor popisuje dokoce tři způsoby, jak iterusurium počítat. Počítáme-li podle Carpzova (Be. Carpzovii opus decisioum illustrium, 174, [1], str. 4) ačítáme prostě úrok z celého půjčeého kapitálu v jedotlivých letech za dobu, za kterou by měl být teprve splatý. Keil uvádí příklad, ve kterém 1 tolarů půjčeých a 4 % má být zaplaceo o rok dříve. Věřitel pak dostae pouze 96 tolarů. Tato metoda však vede podle autora k edůsledostem, protože za daých podmíek by splaceí tohoto dluhu o 25 let, případě o 3 let dříve zamealo, že v prvím případě věřitel edostae ic, ve druhém dokoce vydá dlužíkovi 2 tolarů. Proto podle Keila těžko ještě ěkdo des může považovat tuto metodu za správou. Hoffmaova metoda ([1], str. 5 a 6) využívá jedoduchého úročeí, takže pro z hodotu c kapitálu x po letech úročeí z procety platí c x1, takže chceme-li 1 1c splatit kapitál c za daých podmíek o let dříve, zaplatíme pouze x. Předchozí 1 z 11 příklad tedy řešíme výpočtem x 96,15 tolarů, v případě, že 25 vychází x 5 tolarů Metoda Leibizova ([1], str. 7 1), která již respektuje to, že se počítají úroky c z úroků, používá pak pro výpočet hodoty kapitálu x vzorec x. Pro Keilův 1 z 1 příklad dává tato metoda stejý výsledek jako metoda Hoffmaova, v případě 25 ale 2 Iterusurium, čili očekávaý odpočet, obecě Rabat, je rozdíl mezi dlužou částkou v určitý de a její současou hodotou. Buď o kolik více může požadovat te, kdo své pohledávky uplatí teprve později ebo o kolik méě musí právem platil te, kdo platí yí, ačkoli by k tomu byl povie teprve po ěkolika letech. 3 Zapovězeí aatocismu podle tradic římského práva vycházelo ze zcela jiých společeských, ekoomických a kulturích podmíek, ež ve kterých se des acházíme. Zatímco římské právo a později též křesťaství se stavěly proti půjčováí peěz a úrok (smluví), deší hospodářství je v emalé míře právě a úvěrovém obchodu založeé a smlouva o úvěru musí vždy obsahovat závazek zaplatit za poskytuté peěží prostředky úroky. [5] 2

3 1 vychází x 37,5 tolarů. Metoda je podrobě popsáa v další části Studičkova 25 1,4 čláku. Keil uvádí výhody i evýhody obou relevatích metod (Hoffmaovy a Leibizovy) a říká, že pravda leží obvykle víceméě mezi oběma, avšak pravidlo, které by přiášelo výhody obou, se ikde epodařilo ajít. Svou kihu sad také proto zahajuje i kočí parafrází slavého citátu z Goethova Fausta: Grü ist des Lebes golder Baum, grau alle Theorie! Spor o iterusurium byl podle Studičky vede hlavě mezi matematiky zastáci Leibizovy teorie - a právíky, kteří se přikláěli k teorii Hoffmaově. Když byl akoec výroky dvou tehdejších slavých právíků Ardtse a Vagerova odstraě rozpor ve věci samé, tedy v otázce práví přípustosti složitého úrokováí, v Leibizův prospěch, skočil i boj obou táborů. 4 Studička souhlasí s tím, že bylo správé přeechat řešeí tohoto sporu zákou, jak říká, juristům. Stěžuje si však, že právíci yí tím méě pozorosti věují této vědě, čím jest pro ě důležitější, zejméa pro ty, kteří co zeměpaští komisaři mají dohlídku a podiky árodohospodářské. V žertu to zdůvodňuje tím, že počítáí podle Leibice vyžaduje zalost logaritmů; sad ty byly juristům tak odporé?! Studička kostatuje: V ašich dobách arci eapade tak sado ěkomu, aby chtěl jiak počítati ežli po způsobu Leibice. Zabývá se dokoce myšlekou, že doba jedoho roku jako jedotka času ve složitém úrokováí je příliš dlouhá a zvažuje používat jako ejpřirozeější úrokováí epřetržité a zdůvodňuje to tím, že dlužík půjčeý kapitál užívá rověž epřetržitě. Příspěvek k arithmetice árodo-hospodářské F. J. Studičky Studička zahajuje matematickou část svého čláku ([3], ročík III, 1874, str ) p připomeutím dle ěj zámého vzorce K K 1 Kq, kde K začí hodotu 1 kapitálu K po letech při celoročím úrokováí s úrokem p procet. Dále se zabývá případem, který má v praxi zásadí výzam, a to úlohou vypočítat, jak velký kapitál se uspoří za let, bude-li se každým rokem ukládat kapitál K a p procet. S využitím vzorce pro součet prvích čleů geometrické poslouposti dostává 1 q q Ki K qi K (1) i1 i1 q 1 a teto vzorec rozebírá s ohledem a výpočet všech tří dalších veliči, které do ěj vstupují, tedy K,, q. Pro K dostává jedoduše q 1 K K 1 i, což je částka, kterou musíme q q i1 každoročě ukládat, chceme-li mít po letech při p procetím složitém úrokováí ašetřeo celkem Ki (teto součet budeme adále ozačovat jako Ki i1 ). 4 Ottův slovík aučý [4] uvádí ve svém dvaáctém díle z roku 1897 pod heslem iterusurium a stráce 696 všechy tři metody, Carpzovu, Hoffmaovu i Leibizovu, zmiňuje však používáí pouze druhé a třetí. Metodu prví zavrhuje s poukazem a to, že při větších termíech vede teto způsob výpočtu k pravým absurdostem. 3

4 Pro řešeí rovice podle Studička zavádí a a po úpravě a logaritmováí K log( q( a 1) a) získává 1, což představuje počet let, po který je uté každoročě log q ukládat kapitál K a p procet, aby se ašetřil kapitál Ki. Chceme-li určit procetovou sazbu p, řešíme rovici (1) podle q, což vede k rovici 1 q ( a 1) q a, ze které po výpočtu q sado určíme p 1( q 1). Studička se zabývá řešeím této rovice, která jako rovice stupě 1 má v možiě komplexích čísel 1 kořeů, z ichž koře rový 1 vidíme a prví pohled. Teto koře však emá pro ás výzam, eboť pak vychází p, což se esrovává s duchem a podstatou podmíek v úloze podložeých, čímž F. J. Studička aráží a svou předášku O duchu mathematickém a ěkterých jeho zjevech ([3], ročík II, 1873, str ), kterou proslovil při zahájeí ové čiosti Jedoty českých mathematiků 2. říja Je-li rovice sudého stupě, má ještě jede reálý koře (větší ež 1), je-li stupě lichého, má ještě další dva reálé kořey, z ichž jede je záporý, druhý kladý. 1 Zmíěou rovici řeší Studička přibližou metodou. Ozačí y q ( a 1) q a a věuje se zkoumáí této fukce z hlediska parity čísla. Je-li liché, protíá kovexí křivka osu x dvakrát, jedou v bodě 1, podruhé v hledaém bodě q 1, je-li sudé, protíá křivka osu x třikrát; pro ás je výzamý opět průsečík q 1. Dále Studička určí prví derivaci y ( 1) q ( a 1) a staoví bod, ve kterém má fukce lokálí miimum ( y ): a 1 q (v případě sudého vyjde ještě druhý koře 1 rovice y, který přísluší lokálímu maximu, je záporý a pro ás emá výzam). Určí bod, který je od bodu q stejě daleko jako je q od bodu 1 a dvojím půleím itervalu určeého těmito dvěma body dostae jako prví přibližou hodotu kořeu rovice 7 a 1 3 q 1. Tato hodota obvykle stačila pro odhad úrokové míry p. V případě potřeby přesějšího výsledku doporučuje Studička užít metodu regula falsi. Já pro zajímavost u všech příkladů uvádím, jaké řešeí rovice získáme s použitím programu DERIVE 6. K této problematice uvádí Studička ve svém čláku ásledující příklad a fugováí tak zvaých dědičých společostí, eboli toti: Úloha A (str. 13): Pojišťova Praha slibuje apř. ukládajícímu po 19 let každoročě 1 zl. vyplatiti pak ajedou ejméě 48 zl.; jak súrokuje se tu kapitál? 5 Řešeí: V tomto případě platí: a48, 19, tedy rovice pro q má tvar 2 q 49q 48 ; prví přibližá hodota vychází q1 1,845, tedy p 8,5%. Program DERIVE 6 dává výsledek 8,615 %. Pokud zavedeme amísto q jeho převráceou hodotu 1, získáme model situace, q která spočívá v časově opačém průběhu děje. Základí vzorec pak má tvar K Kq, kde K zameá yější hodotu kapitálu, který má být ve výši K vyplace za let při p procetím složitém úrokováí. K i 5 Texty úloh uvádím v původím zěí, jak jsou otištěy v časopise. 4

5 Situace aalogická kumulaci kapitálu vypadá tak, že a začátku máme kapitál, ze kterého po daý čas vyplácíme retu (důchod) ebo který jako úvěr splácíme pravidelými splátkami (auita) po dobu let při současém úročeí. 1 q q Příslušé vzorce pak vycházejí ve tvaru K Ki, kde K q je buď reta 1 ebo auita a Ki je buď kapitál složeý k vypláceí rety ebo úvěr. Pro pak platí vztah logb log(1 b q), kde log q b 1 a K a rovice pro výpočet q má tvar 1 q ( b 1) q b. Postup alezeí prví přibližé hodoty pro q je aalogický předchozímu případu. Po b 1 derivováí a řešeí rovice y vyjde q a stejým postupem získáme 1 (7b4) 3 q1. V textu čláku uvádí Studička k tomuto tématu ásledující úlohu: 4( 1) Úloha B (str. 16): Jakými procety úročil dluh, kdo 19 ročími splátkami 1 percetími zároveň umořil kapitál Řešeí: Platí b,1 a 19. Příslušá rovice má tvar q 1,1q,1. 1 Podle předchozího vzorce pro prví přiblížeí platí q1 1,7875. Odhadujeme, že kapitál je úroče přibližě 7,5 %. Použitím programu DERIVE 6 dostáváme p 7,44 %. Další úlohy z Časopisu pro pěstováí mathematiky a fysiky V Časopise pro pěstováí mathematiky a fysiky se v létech objevuje ěkolik příkladů, které byly zadáváy k řešeí čteářům časopisu a které se věují fiačí matematice. Uvádím jejich texty, včetě čísla úlohy, ročíku časopisu, ve kterém vyšly a údaje o tom, kdo zaslal do redakce jejich řešeí. Dále uvádím ásti řešeí, jak bylo v časopise uvedeo a u vhodých úloh také výsledek, získaý s použitím programu DERIVE 6. Úloha 31 ([3], ročík II, 1873, str. 1) Jakým spůsobem amortisuje se při ějakém akciovém podiku během desíti let v poloročích lhůtách 1 akcií po 2 zl. při 5% úročeí. Řešeí ([3], ročík III, 1874, str. 45) (podal X. Y., žák VII. tř. g. v J. Hradci): Řešitel uvádí pouze ásledující tabulku, kterou zřejmě získal rozvržeím amortizačích částek do 2 období (lhůty) při současém jedoduchém úročeí zůstatků s tím, že úroky byly vyplacey. K i Lhůta Kapitál Úrok Úmor zlatých akcií

6 Úloha 39 ([3], ročík II, 1873, str. 199): Aby se umořil dluh 2 zl., platí ěkdo 2 po sobě jdoucích let každoročě 4 zl.; moho-li platí procet? Řešeí ([3], ročík III, 1874, str. 28, podal B. Bečka, řešil rověž A. Hazlovský.): Placeo tu ze sta 19,424. Podrobější řešeí eí uvedeo; podle Studičky vychází rovice 21 2 pro q ve tvaru q 1,2q,2. Jako přibližé řešeí vychází 25%, řešeím rovice v programu DERIVE 6 vyjde 19,43%. Úloha 41 ([3], ročík II, 1873, str. 286): Do tak zvaých dědičých společostí, jaké pojišťova Praha zřizuje, vkládal by ěkdo 14 po sobě jdoucích let po 1 zl. a obdržel by koečě 25 zl.; jak by tu peíze vložeé byly zúrokováy? Řešeí ([3], ročík III, 1874, str. 142, podal Aug. Hazlovský, oktavá v Písku, tutéž úlohu řešil J. Pytlík, učitel a občaské škole ve Vodňaech.): Řešitel zavede ozačeí, x podobé ozačeím z čláku F. J. Studičky, počítá však přímo s výrazem 1 pro 1 15 x x hledaou úrokovou míru x. Získá rovici 25x a z í x x logaritmováím jejích obou stra rovici log, 25 log 1 1 log x. 1 1 Lichým pravidlem pak vyhledá, že koře leží mezi 7,441 a 7,442, blíže při této hodotě. Odhaduje tedy úrokovou míru a 7,5 %. Rovice podle F. J. Studičky má tvar 15 q 26q 25 a odhadem získáme q 1 7%. V programu DERIVE 6 vychází pak q 1,74413, tedy p 7,44 % potvrzuje velmi dobře výsledek paa Hazlovského. Úloha 46 ([3], ročík III, 1874, str. 143): Nové stavby požívají yí 25 let tak zvaého osvobozeí od daí; jaký kapitál představuje tato výhoda, obáší-li promiutá daň 1 zl. ročě, při poloročím úročeí 6% a) yí, b) za 25 let. Řešeí (Řešeí této úlohy se mezi řešeími zaslaými do redakce evyskytuje): Na základě čláku F. J. Studičky by mohlo vypadat takto: Pokud majitel domu uloží promiutou daň 1 zl. každý rok při 6% poloročím složitém úrokováí, bude mít po 25 letech (5 lhůtách) celkem ( K 1, q 1,3, 5 ) aspořeo Přepočteme-li tuto částku a začátek času, dostaeme K 51 1,3 1,3 K i zl. 1, , zl. Od roku 1874 do roku 1878 ejsou úlohy pro čteáře v Časopisu pro pěstováí mathematiky a fysiky zadáváy. V roce 1878 se redakce vrací ke svému původímu programu 6

7 a zavádí opět rubriku Úlohy s výslovým přáím, aby se jí dostalo účasteství co ejhojějšího. Číslováí úloh začíá opět od čísla 1. Úloha 1 ([3], ročík VII, 1878, str. 182): Majitel domu, jehož cea se páčí a 66 zl., stal se v 62. roce věku svého eschopým ku práci; a poěvadž z ájemého emohl se uživiti, postoupil dům sousedovi svému, vymíiv sobě byt v ceě 1 zl. a doživotí důchod ročích 7 zl. Nebyl při tom zkráce? Řešeí ([3], ročík VII, 1878, str. 252, zaslal Jos. Zvěřia, žák VII. tř. r. g. v Chrudimi, řešeí zaslali též Matěj Vaěček z Tábora a Petrov, žák VII. tř r. g. obec. a Malé Straě v Praze.): Hodotu doživotího důchodu 8 zl. počítá řešitel podle vzorce Sm 1 67,8 Vm v , 74 a odvolává se a Studičkovu učebici Algebry str s m 9,32 Teoreticky tedy majitel domu utrpí škodu, avšak vzhledem k tomu, že v pojišťově by a teto důchod musel složit ejméě 7 zl., pozáme, že v prakci má výhodu, píše septimá Zvěřia. Problematice důchodů se v Časopise pro pěstováí mathematiky a fysiky věuje Marti Pokorý, ředitel vyššího reálého gymasia a Malé Straě, v sérii čtyř čláků Důchod ivalidí ([3], ročík XIV, 1885, str , , 21 28, ). Te se a stráce 25 a 26 věuje odpovědi a otázku: Moho-li musí složiti osoba aktiví -letá jedou pro vždy, aby si zabezpečila doživotí důchod od té chvíle, kdy se stae ivalidí? 6 Pokorý vychází z předpokladu, že pokud každá z A osob aktivích -letých zaplatí příslušý vklad V (dohromady tedy A V), musí být vybraá částka rova yější hodotě důchodů přiřčeých všem ivalidům každého roku ově povstalým (teto počet začí Pokorý i 1). 1 i i i Pokorý uvádí pro výpočet této částky vzorec: V, kde je v A p diskotovaý počet povstávajících ivalidů,, kde v 1, je diskotovaý počet v 1 žijících aktivích a i je jejich důchod. Pro tyto hodoty byly sestavey tabulky, které Pokorý uvádí a koci svého čláku. Úloha 4 ([3], ročík VII, 1878, str. 254): Někdo uložil a úroky 1 zl. a obdržel při poloročím úrokováí za 12 let 256 zl. azpět; a kolik procet byl tu kapital ulože? Řešeí ([3], ročík VIII, 1879, str. 38, podal Josef Koříek, žák VIII. tř. gym. v Jidř. Hradci, dále řešili Jos. Zvěřia a Josef Prouza, z VIII. tř. z gym. z Chrudimi, Ja Mayer z VIII. tř. gym. v Jidř. Hradci a Bedřich Špidlé z VIII. tř. reálích škol v Praze): Řešitel dochází jedoduchým postupem k výsledku p 7,988 %. Úloha 5. ([3], ročík VII., 1878, str. 255): Někdo ukládá každoročě 1 zl. do spořitely a 4 % a do záložy a 6 %; za kolik let bude míti v záložě jedou tolik astřádáo co ve spořitelě? Řešeí ([3], ročík VIII, 1879, str. 38, podal Ja Mayer, žák VIII. tř. gym. v Jidř. Hradci, dále řešili Josef Koříek z VIII. tř. téže školy, Jos. Prouza z VIII. tř. gym. v Chrudimi.): Obsáhlejší řešeí je možo shrout takto: Ukládá-li se kapitál a začátku dob, 6 Osoba ivalidí je taková, která eí aktiví, tedy je ezpůsobilá ku práci. 7

8 vzroste jistia C 1 zl. ve spořitelě postupě za let a v záložě a p 1 C2 C p q 1 C1 C q q 1, kde q 1,4 a p, kde p 1,6. Podle zadáí má platit C2 2C1. Po dosazeí a 1 úpravě vychází rovice 1,4, ,6, Její řešeí ejprve řešitel úlohy odhade mezi čísly 51 a 52 a po alezeí druhé přibližé hodoty 2 51,95283 odpovídá a zadaou otázku hodotou 51 let a 11 měsíců, za kterýžto čas se kapitál v záložě zdvojásobí v porováí s kapitálem ve spořitelě. Řešeím v programu DERIVE 6 dostáváme hodotu 51, , což potvrzuje výsledek žáka Jaa Mayera. Závěr Šedá, můj příteli, je všecha teorie, a žití zlatý strom se zeleá. 7 Tato slova říká Mefistofeles žákovi, když před ím paroduje růzé směry uiverzitího studia a svádí jej k pouhému užíváí života. Proč jejich parafrázi použil v poloviě 19. století P. F. Keil jako motto svého díla o fiačí matematice? Možá tím důvodem byla jeho důvěra v to, že předivo teorií, jejichž pravdivost tak pečlivě zkoumal a posuzoval, rozmotá samotá praxe - bouřlivě se rozvíjející ekoomika. My si des musíme přizat, že v současém předivu ekoomických abídek a svodů, které ás ze všech stra obklopují, by eškodilo trochu více té šedé teorie. Proto je třeba přivítat sahu vlády o zvyšováí fiačí gramotosti a doufat, že dojde aplěí. Literatura [1] Keil, P. F.: Das Iterusurium oder die richtige Bestimmug der Forderugswerthe zu ader, als de Verfallzeite ud die damit zusammehägede Reteredukzioslehre. Jea, [2] Němcová, M.: Fratišek Josef Studička Prométheus, Praha, [3] Časopis pro pěstováí mathematiky a fysiky, ročíky II až XIII. Jedota českých mathematiků v Praze, 1873 až 1884, [4] Ottův slovík aučý. Illustrovaá ecyklopedie obecých vědomostí. Fotoreprit původího vydáí z let Sdružeí pro Ottův slovík aučý Paseka/ Argo, [5] 7 Goethe, J. W., Delacroix E.: Faust, přeložil Otokar Fischer, str. 17. Státí akladatelství krásé literatury, hudby a uměí, Praha,