ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I"

Transkript

1 JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

2 Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost odporu vzorku rtut. V okolí teploty 4, K aměřl skokový pokles odporu o čtyř řády (vz obrázek, který je hstorckým orgálím zázamem epermetu, a ose je vyesea teplota v Kelvech (K)). Jev, který byl pozděj potvrze a aleze př žších teplotách a jých kovech, apř. cíu a olovu, byl terpretová jako fázový přechod látky do kvaltatvě ového stavu, který byl azvá stavem supravodvým. Podrobost a hstorcké souvslost epermetu jsou uvedey apř. v čláku C. J. Gortera (Rev. Mod. Phys. (964)). Za teto výsledek a další prác v oblast fyzky a techky ízkých teplot byl prof. H. Kamerlgh Oes oceě v roce 93 Nobelovou ceou za fyzku.

3 JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ matfyzpress PRAHA 006

4 Balstcký galvaoměr a obálce byl součástí polarografu, který byl zkostruová podle ávrhu prof. J. Heyrovského. Prof. Heyrovský, jako dosud jedý vědec české árodost, získal v roce (959) Nobelovu ceu právě za objev a rozvoj metody polarografcké aalýzy. Automatzovaé verze polarografů, které obsahovaly teto galvaoměr, byly vyráběy frmou Dr. V. & J. Nejedlý v letech Všecha práva vyhrazea. Tato publkace a žádá její část esmí být re pro du ko vá a ebo šířea v žádé formě, elektrocké ebo mechacké, včetě fotokopí, bez písemého souhla su vydavatele. Jří Eglch, 006 MATFYZPRESS, vydavatelství Matematcko-fyzkálí fakulty Uverzty Karlovy v Praze, 006 ISBN

5 OBSAH. Fyzkálí velčy a jejch jedotky. Systematka fyzkálích velč. Jedotky fyzkálích velč 3.3 Metrologcké rovce 4.4 Soustavy jedotek 8. Nejstota měřeí 4. Základí pojmy 5. Odhad mamálí ejstoty epřímých měřeí 8.3 Nejstota metody, ejstoty měřdel 30.4 Zaokrouhlováí kostat Vybraé základí pojmy matematcké statstky Statstcký epermet, áhodý jev, pravděpodobost Rozděleí pravděpodobost, dstrbučí fukce Středí hodota, momety áhodé velčy, medá Rozděleí pravděpodobost více áhodých velč Cetrálí lmtí věta 7 4. Prcp mamálí věrohodost Odhad parametrů rozděleí z jedého epermetu Opakovaé ezávslé epermety Zpracováí výsledků měřeí jedé velčy Přeos ejstoty Zpracováí výsledků epřímých měřeí Příspěvek ejstoty typu B Příklad - měřeí vskozty Iterpolace fukčích závslostí 0 5. Přímka procházející počátkem Příklad - měřeí tuhost pružy Polyom k-tého stupě Obecá přímka Možost využtí trasformace souřadc Alteratví řešeí 3 v

6 6. Přílohy 9 6. Defce základích jedotek SI 9 6. Měřeí odporu metodou přímou Prcp oa Rozděleí pravděpodobost součtu áhodých velč Semárí úlohy Lteratura 45 v

7 PŘEDMLUVA Teto tet vzkal postupě jako základí lteratura pro semárí výuku předmětu Úvod do praktcké fyzky, kterou autor řadu let vede v prvím semestru magsterského a v současé době bakalářského studa fyzky a matematcko-fyzkálí fakultě (MFF) UK v Praze. Předmět je teoretckým úvodem, který má posluchačům přést v prvé řadě základí formac a podat kokrétí ávody pro zpracováí výsledků měřeí. Součástí této část výuky je podrobější rozbor systému fyzkálích jedotek. V současé době jsou výstupem rozhodující část měřcích metod ve všech oblastech epermetálí fyzky elektrcké velčy, jejchž aalogové hodoty se ásledě převádějí do číslcového formátu s možostí dalšího zpracováí s využtím stále zdokoalovaé výpočetí techky. Neméě výzamou součástí úvodu k praktcké výuce epermetálích fyzků je proto formace o metodách měřeí základích, zejméa elektrckých velč, a způsobech jejch dgtalzace. Vzhledem k tomu, že v současé době je výuka Úvodu do praktcké fyzky dotováa pouze jedou hodou týdě, bylo uto se omezt pouze a oblast zpracováí výsledků měřeí. Pro tuto výuku je také kokrétě urče teto tet, přčemž jeho teoretcká úroveň musela být přzpůsobea úrov zalost matematky v prvím semestru studa. Skrptum bylo proto pojmeováo Úvod do praktcké fyzky I, s podttulem Zpracováí výsledků měřeí, aby byla zdůrazěa potřeba dalšího pokračováí, ve kterém by mohla být podroběj a a vyšší úrov zpracováa problematka statstckých metod zpracováí výsledků měřeí, a dále zmíěá problematka měřcích metod základích fyzkálích velč. V eposledí řadě by teto druhý díl měl obsahovat kokrétější formac o způsobu realzace základích jedotek systému SI, protože problematce metrologe, ač je pro epermetálí fyzku důležtá, eí ve výuce a MFF UK z růzých důvodů věováa odpovídající pozorost. Doufejme je, že se druhý díl dočká v brzké době své realzace. V prví kaptole předkládaého tetu se autor saží překoat dojem, který s ve své většě studet přášejí ze středí školy, totž že estující systém fyzkálích jedotek SI je jedou možou alteratvou a v systému obsažeé (u- v

8 verzálí) kostaty jsou eměou součástí příslušých fyzkálích zákoů. Podrobější studum této část tetu je zároveň cvčeím k metodě rozměrové aalýzy vyložeé v prví kaptole. Druhá kaptola je věováa základím představám a pravdlům prezetace výsledků fyzkálích měřeí. Ve smyslu moderích evropských orem je zde saha zavést pojem ejstoty výsledku v kotrastu s tradčě užívaým pojmem chyba. Důležtým aspektem této část je oddělt ejstotu statstckého charakteru od ejstoty způsobeé omezeou přesostí měřících přístrojů. Právě v této oblast je uté další prohloubeí, zejméa v otázkách zdrojů chyby u růzých typů měřeí elektrckých velč. Zde by tedy mělo být těžště problematky předpokládaé druhé část skrpta. Ve třetí kaptole jsou jedoduchým způsobem, bez ároků a úplost, zavedey základí pojmy matematcké statstky, uté pro výklad statstckých metod odhadu výsledků měřeí jedé velčy, kterým se zabývá kaptola čtvrtá, a výsledků terpolace měřeí fukčích závslostí v kaptole páté. Tet je v ěkterých odstavcích doplě jedoduchým příklady a v kaptole čtvrté potom podrobě zpracovaým měřeím dyamcké vskozty kapaly s využtím epermetálích výsledků z praktka mechaky a molekulové fyzky a MFF UK. Pro potřeby semárí výuky jsou v kaptole sedmé uvedey semárí úlohy, jejchž řešeí má čteář usadt pochopeí tetu. Jako semárí úlohy jsou též zařazey důkazy ěkterých tvrzeí, použtých v tetu. Pro řešeí všech úloh je v tetu příslušých kaptol dostatek formací a aalogckých postupů. Úlohy jsou ozačey číslem kaptol, ke kterým se vztahují. Autor chce touto cestou poděkovat řadě kolegů a studetů MFF UK, kteří se růzou formou zúčastl přípravy rukopsu. Výzamý podíl a vzku a kvaltě tetu má RNDr. H. Valetová, CSc. (v současost FgÚ AV ČR), která díky svým zkušeostem získaým během své dlouholeté čost v základí fyzkálím praktku a MFF UK mohla poskytout výzamé poděty a přpomíky, zejméa vzhledem ke kokrétím potřebám studetů př praktkálí výuce. Dále patří dík dalším kolegům a MFF UK, zejméa doc. RNDr. J. Nedbalov, CSc., RNDr. J. Čížkov, CSc., doc. RNDr. Z. Práškové, CSc. a prof. RNDr. B. Sedlákov, DrSc. za přečteí tetu a řadu stmulujících přpomíek a dskusí. V eposledí řadě děkuje autor recezetce doc. RNDr. I. Stulíkové, CSc., která svým zájmem a podporou výzamě přspěla ke koečé realzac tohoto tetu. Praha, lstopad 006 Jří Eglch v

9 . FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY. SYSTEMATIKA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN V řadě oblastí přírodích a techckých věd, v techcké a obchodí pra, ale v běžém žvotě se vyskytuje potřeba charakterzovat objektví vlastost a stav předmětů a okolího prostředí, popsat průběh růzých procesů apod. K tomu se zavádí systém velč, které uvedeé vlastost a stav charakterzují. Potřebé formace potom získáváme pozorováím, tedy specálím postupem, př ěmž staovíme kvattatví, popřípadě kvaltatví parametry příslušých velč, evetuálě jejch vztahy k velčám ostatím. Pozorovat můžeme a jedé straě jevy a procesy, které probíhají bez ašeho zásahu a bez možost jejch průběh ovlvňovat, a a druhé straě stav, děje a procesy, které cujeme, řídíme, volíme podmíky jejch průběhu apod. V prvím případě jsou typckým příkladem pozorováí astroomcká, ve druhém případě pak hovoříme o pokusu ebo epermetu. Podle charakteru výsledku můžeme pokus dále dělt a pokus kvaltatví a pokus kvattatví. Kvaltatvím pokusem může být apříklad staoveí charakteru ph roztoku zbarveím lakmusového papírku ebo zjštěí, že pozorovaá kapala dosáhla teploty varu. Jako kvattatví chápeme takové pokusy, kdy lze výsledek, tedy objektví stav studovaé velčy, vyjádřt v číselé formě srováím s obecě zavedeou jedotkou. V takovém případě hovoříme o měřeí. Defcí pojmu fyzkálí velčy se ldé zabýval od samých počátků svých obchodích, hospodářských, techckých a vědeckých aktvt. Jako příklad je možé uvést defc, kterou podal Leoard Euler ve svém díle Algebra z roku 766:. velčou rozumíme vše to, co se může zvětšovat ebo zmešovat, ebo to, k čemu můžeme ěco přdat ebo ubrat (hmotost, čas, délka, teplota, tlak, teplo, úhel,...),. estují velčy růzého druhu, jejchž studem se zabývají růzé oblast vědy (fyzky). Každá oblast vědy má své charakterstcké velčy. Fyzka je aukou o velčách, 3. měřeí je srováváí daé velčy s vybraou velčou téhož druhu (jedotkou).

10 Prví část Eulerovy defce se v současé době obvykle ahrazuje moderější defcí: Velčou popsujeme objektví vlastost (stav) předmětu ebo fyzkálího jevu, kterou lze kvaltatvě odlšt a kvattatvě popsat. Druhá část defce se ahrazuje klasfkací velč a a) etezví (možství, kvatty) - adtví (hmotost, áboj, teplo,...) b) tezví (kvalty) - velčy stavové (teplota, apětí, tlak,...) c) protezví (stále plyoucí) - (čas) Charakterstka pojmu měřeí se od dob Eulerových ezměla a výsledek měřeí velčy, tedy srováí její velkost s velkostí daé jedotky, zapsujeme ve tvaru, c [ ] = ( µ ± u ), (.) kde µ je ejpravděpodobější hodota měřeé velčy, číslo u c, je vyjádřeím ejstoty výsledku měřeí a hraatá závorka v (.) je obecým symbolem pro ozačeí použté jedotky měřeí, pokud je toto ozačeí platou ormou zavedeo (vz apř. []). Jedotky měřeí dělíme dále a jedotky základí a jedotky odvozeé. Jedotky základí, tedy jedotky velč, které byly v daém systému jedotek za základí vybráy, defují tzv. systém (soustavu) jedotek a jejch volba je ovlvěa spíše tradcí a požadavky techcké prae, ež ějakým rgorózím požadavky fyzkálím. V každém případě by však měl estovat pokud možo všeobecě akceptovaý systém poměrě sado realzovatelých, dobře reprodukovatelých a časově stablích základích jedotek, protože v opačém případě by se zkomplkovaly eje podmíky komukace uvtř vědeckých komut, což je problém prcpálě řeštelý, ale hlavě by se zemožly procesy stadardzace ve výrobě, techcké pra a v obchodě, což by praktcky eřeštelým způsobem zemožlo rozvoj všech rozhodujících oblastí techckých a hospodářských aktvt moderí společost. V současé době je až a drobé výjmky všeobecě akceptová a árodím ormam uzákoě mezárodí systém jedotek ( System Iteratoal (SI) - vz odst..4). Jedotkam odvozeým jsou pak jedotky velč, které jsou s velčam základím spojey pokud možo jedoduchým defčím vztahy (vz dále). V případě měřeí jedotek odvozeých, kdy eí ormou zavedeo ozačeí jedotky, má hraatá závorka v (.) výzam tzv. rozměru. Rozměr je vyjádřeím jedotky

11 měřeé jedotkam základím pomocí defčího vztahu. Například pro jedotku rychlost eí v systému SI zavedeo ozačeí a proto se podle defčího vztahu v = s/t ozačeí jedotky rychlost ahrazuje rozměrem [v] m s.. JEDNOTKY FYZIKÁLNÍCH VELIČIN Jedotky fyzkálích velč se, jak jž bylo řečeo, vytvářely hstorcky, hlavě vzhledem k potřebám obchodu a rozvoj techcké prae. Od začátku byla hlavím krtérem praktčost a sadá dostupost jedotky, pozděj se rozvíjely sahy o objektvtu. Příkladem může být saha o objektvzac jedotky délky. Stadardě používaé jedotky palec ebo loket byly samozřejmě závslé a tělesé kostrukc kokrétích osob. Proto jž v 6. století avrhl Jakob Köble ve svém díle Geometre, které bylo vydáo ve Frakfurtu (a.m), jako jedotku délky středí stopu, která měla být středí hodotou délky choddla šestáct áhodě vybraých osob. Proces hledáí systému základích jedotek byl postupem času završe vytvořeím mezárodě uzávaých stadardů, od kterých byly dále odvozováy stadardy árodí. Vzhledem k tomu, že člověk žje v prostoru a čase, je pochoptelé, že mez základí jedotky v každém systému patřly vždy jedotky pro měřeí délky a času, k mž byla pro potřeby mechaky, která byla hstorcky prví z výzamě se rozvíjejících oblastí fyzky, přdáa jedotka hmotost. Vlastí způsob realzace jedotek délky a času se vzhledem ke vzrůstajícím árokům a přesost a objektvtu postupě poměrě rozmatě měl. Způsob realzace jedotky hmotost formou stadardu vytvořeého jž v roce 889 aprot tomu všechy reformy přečkal v ezměěé podobě až do doby moderí. Podrobost o způsobu současé realzace eje základích jedotek délky, času a hmotost, ale všech ostatích fyzkálích jedotek v současě užívaém systému SI je možo ajít apř. v ormě [] ebo publkac []. S rozvojem dalších oblastí fyzky se systém základích jedotek postupě rozšřoval. Způsob tohoto rozšřováí však eí jak rgorózě defová, ve volbě dalších základích jedotek je začá lbovůle, takže dosažeí všeobecě uzávaého kosezu je áročé. V současé době je hlavím krtérem pro evetuálí zásahy do systému jedotek ekoomcká áročost případé změy. 3

12 Blíže bude o pravdlech a ěkterých zákotostech výstavby systému základích jedotek pojedáo v odstavc.4..3 METROLOGICKÉ ROVNICE Jako metrologcké rovce se souhrě ozačují matematcké formulace vztahů mez fyzkálím velčam, jejch jedotkam a rozměry. V prvím případě mluvíme o rovcích velčových, dále pak o rovcích jedotkových a rozměrových. Velčové rovce popsují zkoumaé přírodí zákoy ebo zavádějí ové velčy. Například velčová rovce F = dp dt (.) je obecou formulací. Newtoova zákoa, která popsuje vztah mez působící slou F a časovou změou hybost p. Já velčová rovce F = q( E + (v B)) (.3) popsuje slové působeí elektrckého ( E ) a magetckého pole ( B ) a pohybující se elektrcký áboj q, zatímco rovce dm ρ =, (.4) dv kde M začí hmotost a V objem, zavádí hustotu látky (ρ ). Jedotkové rovce popsují vztahy mez jedotkam studovaých velč a formulují se v co ejjedodušší formě, bez dferecálích, tegrálích, popř. jých složtějších operátorů. Pro jž uvedeé příklady velčových rovc (..) (.4) jsou jedotkovým rovcem postupě 4

13 j p j F =, j F = j q.j E, j F = j q.j v.j B, j ρ = j t j j m V, (.5) kde symbolem j F je ozačea jedotka síly a obdobě v ostatích případech jedotky dalších použtých velč. Rozměrovým rovcem jsou jedotkové rovce rozepsaé pomocí jedotek základích, tedy bez užtí případých specálích ozačeí jedotek zavedeých v daém systému. Například v systému SI je rozměrovou rovcí velčové rovce (.) rovce [ F] = kg m s =[ p][ t ]= kg m s s. V případě rovce (.3) pro slové působeí a áboj pohybující se v magetckém pol máme rozměrovou rovc [ F ] = kg m s = [ q][v][ B] =As ms kgs A. Rovost pravé a levé stray rozměrových rovc je možé využít pro kotrolu správost formulace rovc velčových. Tomuto postupu říkáme rozměrová aalýza. Protože však rozměrové rovce eobsahují bezrozměré číselé kostaty, je případé splěí rovc rozměrových pro celkovou správost rovc pouze podmíkou utou, kolv postačující. Uveďme dále ěkolk příkladů pro užtí rozměrové aalýzy. Prví z možostí je kotrola odvozeých formulí. Předpokládejme, že jsme užtím defčího vztahu J r dv = V ρ (.6) vypočetl, že momet setrvačost homogeího válce o poloměru R a hmotost M je dá vztahem = J MR. (.7) Z defčího vztahu je zřejmé, že rozměr mometu setrvačost v soustavě SI je [J] = kg m. Potom ale pro výsledý vzorec (.7) v této soustavě skutečě platí kg m = J = [ M][ R ] = kg m [ ] 5

14 a odvozeý vzorec je rozměrovou aalýzou potvrze. Další možostí je tzv. kotrola stupě mocých závslostí. V řadě případů jsou výsledé fyzkálí formule dáy jedoduchým mocým závslostm, př čemž eí vždy a pror jasý stupeň příslušých moc. Předpokládejme apříklad, že se sažíme formulovat vztah pro dobu kyvu matematckého kyvadla (T ). Předpokládáme, že doba kyvu bude záležet a gravtačím zrychleí g, délce kyvadla l a jeho hmotost m, přčemž eí předem jasé, v jakých mocách se budou příslušé velčy ve výsledé formul vyskytovat. Napíšeme tedy α β γ T ~ g l m. (.8) Rozměr levé stray rovce (.8) v soustavě SI je [T ] = s. Rozměr pravé stray je - - g α l β M γ m α s α m β kg γ =m α + = β s α kg γ. Srováím rozměrů levé a pravé stray rovce (.8) α + β -α γ s=m s kg dostáváme podmíky pro epoety α, β, γ α + β = 0, α =, γ = 0. (.9) Z rovc (.9) je okamžtě vdět, že předpoklad o závslost doby kyvu a hmotost kyvadla byl mylý, protože γ = 0 a dále sado ajdeme α =, β =. Formule (.8), která eí v rozporu s rozměrovou aalýzou, má tedy tvar l T. g Jako další případ uveďme formul pro sílu, kterou a sebe působí pólové ástavce elektromagetu se vzduchovou mezerou a s uzavřeým jádrem. Předpokládejme, že vzduchová mezera je úzká a síla bude tedy úměrá ploše ástavců S, magetcké dukc v mezeře elektromagetu B a permeabltě µ. Hledáme tedy formul ve tvaru F µ α B β S γ. (.0) 6

15 Rozměr levé stray formule (.0) je v soustavě SI Rozměr pravé stray potom [ F ] kg ms =. [ α ][ B β ][ S γ ] kg α m α s α A α kg β s β µ = A β m γ = kg α + β m α + γ s α β A α = β. Srováí rozměru pravé a levé stray formule (.0) dostaeme pro α, β, γ podmíky: α+ β=, α+ γ =, α β= 0. (.) Řešeím soustavy rovc (.) jsou hodoty epoetů α =, β =, γ =. Formule (.0) eodporující rozměrové aalýze má tedy tvar F B S. µ Některé další možost aplkace rozměrové aalýzy jsou podroběj probráy apříklad v prác [3]. Popsaá ejjedodušší metoda užtí rozměrové aalýzy pro kotrolu fyzkálích rovc je prcpálě omezea počtem základích jedotek, kterým je urče počet možých ezávslých rovc pro koefcety mocých závslostí. Užtí rozměrové aalýzy má však mohem šrší oblast možostí využtí. Je zejméa důležtou součástí teore fyzkálí podobost a modelováí, kde se používá př řešeí základích rovc matematcké fyzky, apříklad v mechace stavebích kostrukcí, mechace tekut, termomechace, modelováí elektrckých polí apod. Blíže jsou základy této problematky vyložey apříklad v kze [4]. 7

16 .4 SOUSTAVY JEDNOTEK Výstavba všeobecě akceptovatelé soustavy fyzkálích jedotek probíhala postupě. Důležtým mezíkem bylo uzavřeí mezárodí metrcké kovece v roce 875 a ásledující aktvty jejího ejvyššího orgáu Geerálí koferece pro míry a váhy. Tato koferece přjala a svém zasedáí v roce 960 Mezárodí soustavu jedotek (SI). Předchůdc soustavy SI byly všeobecě užívaé soustavy CGS, CGSE, CGSM, soustava Gaussova, MKS a koečě MKSA. Hstorcké aspekty postupého zaváděí zmíěých soustav jedotek jsou blíže rozebráy apř. v publkac [] ebo v kze [5]. V ozačeí soustav vystupují zkratky ozačeí základích jedotek. Tak v případě CGS je to cetmetr, gram, sekuda a podobě metr, klogram, sekuda a ampér u soustavy MKSA. Soustava CGS byla vytvořea pro použtí v mechace a její další použtí v ostatích oblastech fyzky vyžadovalo buď doplěí o další základí jedotky ebo, př poecháí tří základích jedotek, zavedeí jedotek všech dalších užívaých velč jako jedotek odvozeých. Například v oblast elektřy a magetzmu se jako prví odvozeá jedotka používala jedotka pro elektrcký áboj, odvozeá z Coulombova zákoa. Všechy ostatí jedotky elektrcké magetcké byly jedotkam odvozeým. Vzkla soustava jedotek ozačovaá jako CGSE (absolutí soustava elektrostatcká). Př opačém postupu, kdy prví odvozeou jedotkou byla jedotka pro hypotetcké magetcké možství odvozeá z formálě platého Coulombova zákoa pro slové působeí magetckých možství, byla vytvořea soustava jedotek CGSM (absolutí soustava elektromagetcká). Výhodou těchto soustav bylo to, že apř. př použtí soustavy CGSE eobsahovaly rovce vyjadřující vztahy mez velčam elektrckým žádé číselé faktory. Podobě v soustavě CGSM byly rovce popsující vztahy mez magetckým velčam bez číselých faktorů. V rovcích, ve kterých vystupovaly společě velčy jak elektrcké, tak magetcké, se však v obou soustavách kostaty úměrost vyskytovat musely. Př epermetálím zkoumáí těchto faktorů bylo objeveo, že vesměs jde o kostaty s číselou hodotou a rozměrem moc rychlost světla ve vakuu. Tato skutečost vedla pozděj k úvahám o elektromagetcké povaze světla (vz apř. [5]). 8

17 Spojeím soustav CGSE a CGSM vzkla soustava Gaussova, v íž byly jedotky elektrckých velč převzaty z CGSE a jedotky magetckých velč z CGSM. Základí zákoy tím získaly symetrckou podobu, cméě ve smíšeých vztazích se kostaty velkost a rozměru moc rychlost světla stále vyskytují. Nevýhodou uvedeých soustav elektrckých a magetckých jedotek (odvozeých od soustavy CGS), je epraktčost velkost jedotek běžě užívaých velč. Například pro jedotku proudu v soustavě CGSE (sa statampér) platí sa A, pro jedotku odporu (sω statohm) dostaeme sω 9.0 Ω. Podobě je v absolutí soustavě elektromagetcké apříklad pro jedotku apětí (av abvolt) av = 0 8 V a v soustavě Gaussově aprot tomu pro (sv statvolt) sv 3.0 V. Proto byla dále avržea soustava MKSA, která pro oblast elektřy a magetzmu opustla prcp výstavby užtím pouze tří základích jedotek a zavedla ovou základí jedotku pro elektrcký proud (A ampér). Tato soustava se pozděj stala základem pro současě používaou soustavu SI. Podroběj je o jedotkách používaých v elektřě a magetzmu pojedáo apř. v učebc [5]. Prcp výstavby soustavy jedotek s využtím pouze tří základích jedotek ostatě ebyl dodrže a u soustavy CGS a ostatích (CGSE, CGSM a Gaussova), protože pro další oblast fyzky byly zavedey další základí jedotky. Například pro termodyamku a auku o teple byla jako základí jedotka zavedea jedotka pro teplotí stupeň, v optce jedotka pro svítvost, v molekulové fyzce jedotka molekulového možství. Způsob realzace jedotek jedotlvých fyzkálích velč, zejméa jedotek základích, je předmětem metrologe a eí cílem tohoto tetu zabíhat do detalů, v kokrétích otázkách je možo odkázat a jž zmíěou khu [] ebo publkac []. Dále přesto uveďme dvě základí vlastost, které by všeobecě užívaá soustava jedotek měla mít. Soustava jedotek by předě měla být koheretí, což zameá, že velčové (a jedotkové) rovce používaé jako defčí pro velčy odvozeé, by eměly obsahovat číselé koefcety. Například velčovou rovc zavádějící rychlost hmotého bodu je možo formulovat jako dr = v k dt, v tedy rychlost je úměrá časové změě polohového vektoru. Zjedodušeí této rovce pro rovoměrý přímočarý pohyb 9

18 = v s v k t je defčím vztahem pro rychlost a v koheretím systému jedotek musí být kostata úměrost k v = a bezrozměrá. V tomto případě by ovšem mělo být v přesém slovím vyjádřeí defčího vztahu uvedeo: rychlost rovoměrého přímočarého pohybu je číselě rova poměru dráhy a času. V defčích vztazích, které vyhovují kulové ebo válcové symetr se v ěkterých případech zavádějí faktory 4π(π) s cílem odstrat ásobky π z praktcky užívaých formulí. Takové soustavy jedotek se azývají racoalzovaé. Příkladem může být soustava SI. Coulombův záko pro slové působeí mez dvěma bodovým áboj o velkost q ve vzdáleost r má zde zámý tvar q F = kc. r Použjeme-l dále stadardí postup a ajdeme vztah pro kapactu deskového kodezátoru s plochou desek S ve vzdáleost d (ve vakuu), dostaeme S C =. π kd 4 c Má-l kostata k c racoalzovaý tvar k c =, 4π ε 0 dostaeme běžě používaý vztah ε0 S C =, d ve kterém jž faktor 4π evystupuje. Praktcky užívaá formule tak obsahuje pouze jedu kostatu. Racoalzace se používá v případech, které mají podobě jako teto příklad určtý praktcký výzam. V jých případech formulí s kulovou symetrí, kde eí potřeba odstrat faktory úměré π přílš výrazá, se racoalzace epoužívá. Příkladem může být gravtačí záko Newtoův, jehož kostata úměrost (gravtačí kostata) se v SI faktorem 4π eormuje. Soustava SI, jakož větša dřívějších soustav jedotek, eí tedy důsledě racoalzovaá. Pro volbu základích jedotek daé soustavy fyzkálích jedotek, tzv. báze, eestují žádá pevá pravdla. Hlavím požadavkem a jejch výběr je mož- 0

19 ost sadé realzace příslušých stadardů, jejch dostupost pro srovávací a kalbračí měřeí a samozřejmě časová stablta. Základích jedotek by emělo být přílš moho, aby se ekomplkovalo vyjádřeí odvozeých jedotek formou rozměru. Hstorcky byly proto jako prví dvě základí jedotky realzováy jedotky pro délku (L) a čas (T). Stejě potřebá (a eje pro fyzku) byla jedotka pro hmotost (M). Pomocí těchto tří základích jedotek pak bylo možo vytvořt celý koheretí systém jedotek pro mechaku. Jedotka síly je v této tříjedotkové báz (L,T,M) jedotkou odvozeou. Dále záleží a tom, který fyzkálí záko použjeme pro odvozeí jedotky síly (F). V systému SI se využívá II. Newtoův záko ve zjedodušeém tvaru F = M a, kde jedotka pro zrychleí a je staovea jako jedotka odvozeá z jedotek rychlost a času. Postup je zázorě v tab... Př formulac dalších zákoů, které obsahují velčy, jejchž jedotky jž byly zavedey, musíme příslušé kostaty úměrost staovt epermetálě. Například v Newtoově gravtačím zákoě př vyjádřeí velkost slového působeí mez dvěma hmotým body M, M ve vzdáleost r MM F = κ (.) r musíme epermetálě staovt číselou hodotu kostaty úměrost κ (gravtačí kostaty). Tato číselá hodota závsí ovšem a velkost jedotek síly, hmotost a délky. Například př vyjádřeí jedotkam soustavy SI je (epermetálě staoveá) gravtačí kostata 3 κ 6, kg m s. (.3) Př přechodu k soustavě s jou tříjedotkovou bází, apř. CGS se velkost gravtačí kostaty změí κ CGS = 6, g cm 3 s. Pokud by se př přechodu k ové soustavě eměly jedotky pouze řádově, změl by se samozřejmě v hodotě gravtačí kostaty eje řád. Podobě je uto Plackovu hypotézu o vztahu mez eergí a kmtočtem elektromagetcké vly formulovat obecě ve tvaru E = hν

20 Tab.. Tříjedotková báze Velča Ozačeí Defčí vztah Rozměr Velkost jedotky (v jedotkách SI) základí délka s L m čas t T s hmotost M M kg odvozeé rychlost v = s/ t LT m.s zrychleí a = v/ t LT m.s síla F = Ma MLT kg.m.s (N) práce A = Fs ML T kg.m.s (J) kmtočet ν = /T T s (Hz)... a kostatu úměrost h (Plackovu kostatu) s rozměrem [h] = ML T staovt epermetálě. V soustavě SI aměříme h 6, kg m s. Velkost kostaty opět závsí a volbě velkost jedotek báze. Jako posledí příklad uveďme zámý Esteův vztah pro ekvvalec eerge a hmotost E = kem. Z rozměru kostaty úměrost [k] = L T plye, že kostata má rozměr čtverce rychlost. Číselá hodota kostaty je obdobě jako v předchozích případech závslá a volbě jedotek daé soustavy, cméě podle výsledku specálí teore relatvty platí, že je rova čtverc rychlost světla ve vakuu c, takže v soustavě mechackých jedotek s bází (L,T,M), kostruovaé postupem podle tab.. platí E = c M, bez ohledu a formu realzace jedotlvých jedotek báze. Dále ukážeme, že teto populárí tvar Esteovy formule se změí eje př změě báze systému jedotek, ale př změě zákoů vybraých pro defc jedotek odvozeých, apříklad jedotky síly. Kostaty úměrost, které je potřeba vložt do vztahů, které ejsou vztahy defčím, jsou často azýváy uverzálím kostatam. Role uverzáích kostat bývá ěkdy poěkud přeceňováa a objevují se sahy hledat

21 v jejch estec a velkost ějaký hlubší výzam. Ukažme dále, jak by se změl hypotetcký systém jedotek mechaky s tříjedotkovou bází (LTM) v případě, že by se pro defc jedotky síly epoužl II. Newtoův záko (tab..), ale záko jý, apříklad Newtoův záko gravtačí. Tab.. Alteratví tříjedotková báze Velča Ozačeí Defčí vztah Rozměr základí délka s (r) L m čas t T s hmotost M M kg odvozeé rychlost v = s/ t LT m.s zrychleí a = v/ t LT m.s Velkost jedotky (v jedotkách SI) síla F M r = / M L κ N N práce A = Fs M L κ J J kmtočet ν = /T T s (Hz)... Stuace je dokumetováa v tabulce.. Velkost síly v alteratví soustavě s tříjedotkovou bází se změí. Jedotkou síly bude yí síla, kterou a sebe působí jedotkové hmotost v jedotkové vzdáleost. Poecháme-l pro porováí jedotky báze ze soustavy SI (L,T,M) = (m,s,kg), je jedotkovou slou síla o velkost jf κ N 6,673.0 N =. (.4) Newtoův gravtačí záko bude v alteratvím systému jedotek zapsá bez kostaty úměrost (gravtačí kostaty) ve tvaru MM F =, r 3

22 zatímco ve II. Newtoově zákoě musíme yí zavést ovou kostatu úměrost (uverzálí kostatu k N, kterou azveme apříklad Newtoovou kostatou ) F= k Ma. (.5) N Rozměrovou aalýzou s využtím tab.. sado ukážeme, že rozměr Newtoovy kostaty je [k N ] = ML 3 T což odpovídá převráceé hodotě rozměru gravtačí kostaty κ. Pokud by byl ový (alteratví) systém systémem původím, bylo by uté Newtoovu kostatu staovt epermetálě. Ncméě s ohledem a vztah mez rozměry a ovou velkost jedotky síly je zřejmé, že pro velkost kostaty k platí N k N =, (.6) κ a pokud je velkost gravtačí kostaty z původího systému jedotek záma, stačí Newtoovu kostatu, potřebou v ovém systému, pouze přepočítat. Newtoova kostata bude v alteratvím tříjedotkovém systému vystupovat apříklad v defcích ketcké a potecálí eerge: kn E k = Mv a Ep = kn M gh, zatímco třetí Keplerův záko o vztahu mez dobam oběhu (T) a velkostí hlaví poloosy (a) oběžé dráhy plaet pohybujících se okolo cetrálího tělesa o hmotost (M) bude v alteratví soustavě bez gravtačí kostaty T 4π =. 3 a M V dalším zákoě, uváděém jako příklad v této dskus, v zákoě Plackově, se samozřejmě změí jak velkost, tak rozměr kostaty úměrost (k (3) p ) a záko bude mít tvar (3) E = k ν. Zde zavádíme v kostatě úměrost horí de jako ozačeí dmeze báze základích jedotek mechaky. Srováím s tab.. sado ajdeme, že [k p (3) ] = M L T, což odpovídá poměru rozměrů Plackovy a gravtačí kostaty v báz původí. Přestože rozměrová aalýza eí schopa určt velkost ko- p 4

23 staty k (3) p, lze rozborem velkost jedotky eerge, podobě jako v případě dskuse velkost Newtoovy kostaty (.6), sado ukázat, že platí (3) h k p =, κ kde h a κ jsou Plackova a gravtačí kostata v báz původí. Koečě pro Esteův vztah mez hmotostí a eergí dostaeme (3) E = ke M s kostatou úměrost s rozměrem [k E (3) ] = ML. Chceme-l ovou kostatu úměrost vyjádřt pomocí kostat úměrost v původí tříjedotkové báz se základím jedotkam SI (L,T,M) = (m,s,kg), je srováím rozměrů zřejmé, že v tomto případě platí (3) c ke = κ a kostatou úměrost mez eergí a hmotostí v tomto případě eí čtverec rychlost světla ve vakuu. Způsob defce jedotky síly tedy změl systém uverzálích kostat. Místo gravtačí kostaty se v systému achází ová kostata Newtoova a u ostatích uverzálích kostat se měí jak jejch rozměr, tak velkost. Neměí se však jejch celkový počet. Celkový počet uverzálích kostat se měí až s počtem základích jedotek, s velkostí báze. Př zvětšeí počtu základích jedotek dochází obecě ke zvětšeí počtu uverzálích kostat. V ašem hypotetckém systému základích jedotek mechaky můžeme jako další základí jedotku zavést apříklad jedotku síly. Realzujeme j ějakým stadardem, apříklad deálí pružou. Postup odvozováí dalších mechackých jedotek je podobý jako v soustavě s tříjedotkovou bází a je zázorě v tab..3. Př formulac Newtoova pohybového zákoa je zde třeba uvážt, že všechy velčy v zákoě vystupující už mají v tomto případě jedotky zavedey, záko tedy eí defčím vztahem a musí obsahovat uverzálí kostatu F = k M a. (.7) (4) N Velkost uverzálí kostaty (Newtoovy) k (4) N, je závslá a velkost základích jedotek a musí být staovea epermetálě. Její rozměr je (4) - - [ k ] = FM L T. N 5

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

C V I Č E N Í 4 1. Představení firmy Splintex Czech 2. Vlastnosti skla a skloviny 3. Aditivita 4. Příklady výpočtů

C V I Č E N Í 4 1. Představení firmy Splintex Czech 2. Vlastnosti skla a skloviny 3. Aditivita 4. Příklady výpočtů Techologe skla 00/03 C V I Č E N Í 4. Představeí rmy pltex Czech. Vlastost skla a sklovy 3. Adtvta 4. Příklady výpočtů Hospodářská akulta. Představeí rmy pltex Czech a.s. [,] Frma pltex Czech je součástí

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Odůvodnění. Obecná část

Odůvodnění. Obecná část Odůvoděí k ávrhu změy vyhlášky č. 502/2005 Sb., kterou se staoví způsob vykazováí možství elektřy př společém spalováí bomasy a eobovtelého zdroje Obecá část Zhodoceí platého právího stavu Podpora výroby

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC Jří HŘEBÍČEK, Mchal HEJČ, Jaa SOUKOPOVÁ ECO-Maagemet,

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Návod pro výpočet základních induktorů s jádrem na síťové frekvenci pro obvody výkonové elektroniky.

Návod pro výpočet základních induktorů s jádrem na síťové frekvenci pro obvody výkonové elektroniky. Návod pro cvičeí předmětu Výkoová elektroika Návod pro výpočet základích iduktorů s jádrem a síťové frekveci pro obvody výkoové elektroiky. Úvod V obvodech výkoové elektroiky je možé většiu prvků vyrobit

Více

Metodický postup pro určení úspor primární energie

Metodický postup pro určení úspor primární energie Metodický postup pro určeí úspor primárí eergie Parí protitlaká turbía ORGRZ, a.s., DIVIZ PLNÉ CHNIKY A CHMI HUDCOVA 76, 657 97 BRNO, POŠ. PŘIHR. 97, BRNO 2 z.č. Obsah abulka hodot vstupujících do výpočtu...3

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15 VŠB - T Ostrava, FE MĚŘENÍ PARAMETRŮ OVĚTLOVACÍCH OTAV VEŘEJNÉHO OVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGLÁTOR E5 Řešitelé: g. taislav Mišák, Ph.D., Prof. g. Karel okaský, Cc. V Ostravě de.8.2007 g. taislav Mišák, Prof.

Více

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 -

Střední průmyslová škola, Uherské Hradiště, Kollárova 617 MECHANIKA I M.H. 2003 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST - 1 - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště, Kollárova 67 MECHANIKA I M.H. 00 MECHANIKA I STATIKA, PRUŽNOST A PEVNOST Studjí obor (kód a ázev): -4-M/00 Strojíreství - - Středí průmyslová škola, Uherské Hradště,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

IV. NEJISTOTY MENÍ A ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDK

IV. NEJISTOTY MENÍ A ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDK IV. NEJISTOTY MENÍ A ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDK Meí patí mez základí zpsoby získáváí kvattatvích formací o stav sledovaé vely. 4. Chyby meí Nedokoalost metod meí, ašch smysl, omezeá pesost mcích pístroj, promé

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB 6 VĚSTNÍK MZ ČR ČÁSTKA 4 METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB Miisterstvo zdravotictví vydává podle 80 odst., písm. a)

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

4. Strojové učení. 4.1 Základní pojmy

4. Strojové učení. 4.1 Základní pojmy 4. Stroové učeí 4. Základí pomy Důležtou vlastostí žvých orgasmů e schopost přzpůsobovat se měícím se podmíkám (adaptovat se), evetuálě se učt a základě vlastích zkušeostí. Schopost učt se bývá ěkdy dokoce

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI

2. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI . TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI

10.2.3 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR S REÁLNÝMI VAHAMI Zatím jsme počítal s tím, že četost ve vztahu pro vážeý artmetcý průměr byla přrozeá čísla Četost mohou

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

3689/101/13-1 - Ing. Vítězslav Suchý, U stadionu 1355/16, 434 01 Most tel.: 476 709 704 mobil: 605 947 813 E-mail: vit.suchy@volny.

3689/101/13-1 - Ing. Vítězslav Suchý, U stadionu 1355/16, 434 01 Most tel.: 476 709 704 mobil: 605 947 813 E-mail: vit.suchy@volny. 3689/101/13-1 - o ceě : Bytu č. 2654/16 v č. p. 2654 v bloku č. 10 složeém z domů č.p. 2651, 2652, 2653, 2654 a 2655 a pozemcích p. č. 2450, 2449, 2448, 2447 a 2446. včetě příslušeství v katastrálím území

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu.

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu. Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cveí 4 JEDNODUCHÁ LINEÁRNÍ REGRESE asto chceme prozkoumat vztah mez dvma velam, kde jeda z ch, tzv. ezávsle promá x, má ovlvovat druhou, tzv. závsle promou Y. edpokládá

Více

Rotační šroubové kompresory se vstřikem chladiva. řady R 55-75 kw

Rotační šroubové kompresory se vstřikem chladiva. řady R 55-75 kw Rotačí šroubové kompresory se vstřkem chladva řady R 55-75 kw Nová úroveň spolehlvost, účost a produktvty Vzduchové kompresory s rotačím šrouby Igersoll Rad řady R poskytují to ejlepší z dlouhodobě osvědčeých

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více