ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I"

Transkript

1 JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

2 Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost odporu vzorku rtut. V okolí teploty 4, K aměřl skokový pokles odporu o čtyř řády (vz obrázek, který je hstorckým orgálím zázamem epermetu, a ose je vyesea teplota v Kelvech (K)). Jev, který byl pozděj potvrze a aleze př žších teplotách a jých kovech, apř. cíu a olovu, byl terpretová jako fázový přechod látky do kvaltatvě ového stavu, který byl azvá stavem supravodvým. Podrobost a hstorcké souvslost epermetu jsou uvedey apř. v čláku C. J. Gortera (Rev. Mod. Phys. (964)). Za teto výsledek a další prác v oblast fyzky a techky ízkých teplot byl prof. H. Kamerlgh Oes oceě v roce 93 Nobelovou ceou za fyzku.

3 JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ matfyzpress PRAHA 006

4 Balstcký galvaoměr a obálce byl součástí polarografu, který byl zkostruová podle ávrhu prof. J. Heyrovského. Prof. Heyrovský, jako dosud jedý vědec české árodost, získal v roce (959) Nobelovu ceu právě za objev a rozvoj metody polarografcké aalýzy. Automatzovaé verze polarografů, které obsahovaly teto galvaoměr, byly vyráběy frmou Dr. V. & J. Nejedlý v letech Všecha práva vyhrazea. Tato publkace a žádá její část esmí být re pro du ko vá a ebo šířea v žádé formě, elektrocké ebo mechacké, včetě fotokopí, bez písemého souhla su vydavatele. Jří Eglch, 006 MATFYZPRESS, vydavatelství Matematcko-fyzkálí fakulty Uverzty Karlovy v Praze, 006 ISBN

5 OBSAH. Fyzkálí velčy a jejch jedotky. Systematka fyzkálích velč. Jedotky fyzkálích velč 3.3 Metrologcké rovce 4.4 Soustavy jedotek 8. Nejstota měřeí 4. Základí pojmy 5. Odhad mamálí ejstoty epřímých měřeí 8.3 Nejstota metody, ejstoty měřdel 30.4 Zaokrouhlováí kostat Vybraé základí pojmy matematcké statstky Statstcký epermet, áhodý jev, pravděpodobost Rozděleí pravděpodobost, dstrbučí fukce Středí hodota, momety áhodé velčy, medá Rozděleí pravděpodobost více áhodých velč Cetrálí lmtí věta 7 4. Prcp mamálí věrohodost Odhad parametrů rozděleí z jedého epermetu Opakovaé ezávslé epermety Zpracováí výsledků měřeí jedé velčy Přeos ejstoty Zpracováí výsledků epřímých měřeí Příspěvek ejstoty typu B Příklad - měřeí vskozty Iterpolace fukčích závslostí 0 5. Přímka procházející počátkem Příklad - měřeí tuhost pružy Polyom k-tého stupě Obecá přímka Možost využtí trasformace souřadc Alteratví řešeí 3 v

6 6. Přílohy 9 6. Defce základích jedotek SI 9 6. Měřeí odporu metodou přímou Prcp oa Rozděleí pravděpodobost součtu áhodých velč Semárí úlohy Lteratura 45 v

7 PŘEDMLUVA Teto tet vzkal postupě jako základí lteratura pro semárí výuku předmětu Úvod do praktcké fyzky, kterou autor řadu let vede v prvím semestru magsterského a v současé době bakalářského studa fyzky a matematcko-fyzkálí fakultě (MFF) UK v Praze. Předmět je teoretckým úvodem, který má posluchačům přést v prvé řadě základí formac a podat kokrétí ávody pro zpracováí výsledků měřeí. Součástí této část výuky je podrobější rozbor systému fyzkálích jedotek. V současé době jsou výstupem rozhodující část měřcích metod ve všech oblastech epermetálí fyzky elektrcké velčy, jejchž aalogové hodoty se ásledě převádějí do číslcového formátu s možostí dalšího zpracováí s využtím stále zdokoalovaé výpočetí techky. Neméě výzamou součástí úvodu k praktcké výuce epermetálích fyzků je proto formace o metodách měřeí základích, zejméa elektrckých velč, a způsobech jejch dgtalzace. Vzhledem k tomu, že v současé době je výuka Úvodu do praktcké fyzky dotováa pouze jedou hodou týdě, bylo uto se omezt pouze a oblast zpracováí výsledků měřeí. Pro tuto výuku je také kokrétě urče teto tet, přčemž jeho teoretcká úroveň musela být přzpůsobea úrov zalost matematky v prvím semestru studa. Skrptum bylo proto pojmeováo Úvod do praktcké fyzky I, s podttulem Zpracováí výsledků měřeí, aby byla zdůrazěa potřeba dalšího pokračováí, ve kterém by mohla být podroběj a a vyšší úrov zpracováa problematka statstckých metod zpracováí výsledků měřeí, a dále zmíěá problematka měřcích metod základích fyzkálích velč. V eposledí řadě by teto druhý díl měl obsahovat kokrétější formac o způsobu realzace základích jedotek systému SI, protože problematce metrologe, ač je pro epermetálí fyzku důležtá, eí ve výuce a MFF UK z růzých důvodů věováa odpovídající pozorost. Doufejme je, že se druhý díl dočká v brzké době své realzace. V prví kaptole předkládaého tetu se autor saží překoat dojem, který s ve své většě studet přášejí ze středí školy, totž že estující systém fyzkálích jedotek SI je jedou možou alteratvou a v systému obsažeé (u- v

8 verzálí) kostaty jsou eměou součástí příslušých fyzkálích zákoů. Podrobější studum této část tetu je zároveň cvčeím k metodě rozměrové aalýzy vyložeé v prví kaptole. Druhá kaptola je věováa základím představám a pravdlům prezetace výsledků fyzkálích měřeí. Ve smyslu moderích evropských orem je zde saha zavést pojem ejstoty výsledku v kotrastu s tradčě užívaým pojmem chyba. Důležtým aspektem této část je oddělt ejstotu statstckého charakteru od ejstoty způsobeé omezeou přesostí měřících přístrojů. Právě v této oblast je uté další prohloubeí, zejméa v otázkách zdrojů chyby u růzých typů měřeí elektrckých velč. Zde by tedy mělo být těžště problematky předpokládaé druhé část skrpta. Ve třetí kaptole jsou jedoduchým způsobem, bez ároků a úplost, zavedey základí pojmy matematcké statstky, uté pro výklad statstckých metod odhadu výsledků měřeí jedé velčy, kterým se zabývá kaptola čtvrtá, a výsledků terpolace měřeí fukčích závslostí v kaptole páté. Tet je v ěkterých odstavcích doplě jedoduchým příklady a v kaptole čtvrté potom podrobě zpracovaým měřeím dyamcké vskozty kapaly s využtím epermetálích výsledků z praktka mechaky a molekulové fyzky a MFF UK. Pro potřeby semárí výuky jsou v kaptole sedmé uvedey semárí úlohy, jejchž řešeí má čteář usadt pochopeí tetu. Jako semárí úlohy jsou též zařazey důkazy ěkterých tvrzeí, použtých v tetu. Pro řešeí všech úloh je v tetu příslušých kaptol dostatek formací a aalogckých postupů. Úlohy jsou ozačey číslem kaptol, ke kterým se vztahují. Autor chce touto cestou poděkovat řadě kolegů a studetů MFF UK, kteří se růzou formou zúčastl přípravy rukopsu. Výzamý podíl a vzku a kvaltě tetu má RNDr. H. Valetová, CSc. (v současost FgÚ AV ČR), která díky svým zkušeostem získaým během své dlouholeté čost v základí fyzkálím praktku a MFF UK mohla poskytout výzamé poděty a přpomíky, zejméa vzhledem ke kokrétím potřebám studetů př praktkálí výuce. Dále patří dík dalším kolegům a MFF UK, zejméa doc. RNDr. J. Nedbalov, CSc., RNDr. J. Čížkov, CSc., doc. RNDr. Z. Práškové, CSc. a prof. RNDr. B. Sedlákov, DrSc. za přečteí tetu a řadu stmulujících přpomíek a dskusí. V eposledí řadě děkuje autor recezetce doc. RNDr. I. Stulíkové, CSc., která svým zájmem a podporou výzamě přspěla ke koečé realzac tohoto tetu. Praha, lstopad 006 Jří Eglch v

9 . FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY. SYSTEMATIKA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN V řadě oblastí přírodích a techckých věd, v techcké a obchodí pra, ale v běžém žvotě se vyskytuje potřeba charakterzovat objektví vlastost a stav předmětů a okolího prostředí, popsat průběh růzých procesů apod. K tomu se zavádí systém velč, které uvedeé vlastost a stav charakterzují. Potřebé formace potom získáváme pozorováím, tedy specálím postupem, př ěmž staovíme kvattatví, popřípadě kvaltatví parametry příslušých velč, evetuálě jejch vztahy k velčám ostatím. Pozorovat můžeme a jedé straě jevy a procesy, které probíhají bez ašeho zásahu a bez možost jejch průběh ovlvňovat, a a druhé straě stav, děje a procesy, které cujeme, řídíme, volíme podmíky jejch průběhu apod. V prvím případě jsou typckým příkladem pozorováí astroomcká, ve druhém případě pak hovoříme o pokusu ebo epermetu. Podle charakteru výsledku můžeme pokus dále dělt a pokus kvaltatví a pokus kvattatví. Kvaltatvím pokusem může být apříklad staoveí charakteru ph roztoku zbarveím lakmusového papírku ebo zjštěí, že pozorovaá kapala dosáhla teploty varu. Jako kvattatví chápeme takové pokusy, kdy lze výsledek, tedy objektví stav studovaé velčy, vyjádřt v číselé formě srováím s obecě zavedeou jedotkou. V takovém případě hovoříme o měřeí. Defcí pojmu fyzkálí velčy se ldé zabýval od samých počátků svých obchodích, hospodářských, techckých a vědeckých aktvt. Jako příklad je možé uvést defc, kterou podal Leoard Euler ve svém díle Algebra z roku 766:. velčou rozumíme vše to, co se může zvětšovat ebo zmešovat, ebo to, k čemu můžeme ěco přdat ebo ubrat (hmotost, čas, délka, teplota, tlak, teplo, úhel,...),. estují velčy růzého druhu, jejchž studem se zabývají růzé oblast vědy (fyzky). Každá oblast vědy má své charakterstcké velčy. Fyzka je aukou o velčách, 3. měřeí je srováváí daé velčy s vybraou velčou téhož druhu (jedotkou).

10 Prví část Eulerovy defce se v současé době obvykle ahrazuje moderější defcí: Velčou popsujeme objektví vlastost (stav) předmětu ebo fyzkálího jevu, kterou lze kvaltatvě odlšt a kvattatvě popsat. Druhá část defce se ahrazuje klasfkací velč a a) etezví (možství, kvatty) - adtví (hmotost, áboj, teplo,...) b) tezví (kvalty) - velčy stavové (teplota, apětí, tlak,...) c) protezví (stále plyoucí) - (čas) Charakterstka pojmu měřeí se od dob Eulerových ezměla a výsledek měřeí velčy, tedy srováí její velkost s velkostí daé jedotky, zapsujeme ve tvaru, c [ ] = ( µ ± u ), (.) kde µ je ejpravděpodobější hodota měřeé velčy, číslo u c, je vyjádřeím ejstoty výsledku měřeí a hraatá závorka v (.) je obecým symbolem pro ozačeí použté jedotky měřeí, pokud je toto ozačeí platou ormou zavedeo (vz apř. []). Jedotky měřeí dělíme dále a jedotky základí a jedotky odvozeé. Jedotky základí, tedy jedotky velč, které byly v daém systému jedotek za základí vybráy, defují tzv. systém (soustavu) jedotek a jejch volba je ovlvěa spíše tradcí a požadavky techcké prae, ež ějakým rgorózím požadavky fyzkálím. V každém případě by však měl estovat pokud možo všeobecě akceptovaý systém poměrě sado realzovatelých, dobře reprodukovatelých a časově stablích základích jedotek, protože v opačém případě by se zkomplkovaly eje podmíky komukace uvtř vědeckých komut, což je problém prcpálě řeštelý, ale hlavě by se zemožly procesy stadardzace ve výrobě, techcké pra a v obchodě, což by praktcky eřeštelým způsobem zemožlo rozvoj všech rozhodujících oblastí techckých a hospodářských aktvt moderí společost. V současé době je až a drobé výjmky všeobecě akceptová a árodím ormam uzákoě mezárodí systém jedotek ( System Iteratoal (SI) - vz odst..4). Jedotkam odvozeým jsou pak jedotky velč, které jsou s velčam základím spojey pokud možo jedoduchým defčím vztahy (vz dále). V případě měřeí jedotek odvozeých, kdy eí ormou zavedeo ozačeí jedotky, má hraatá závorka v (.) výzam tzv. rozměru. Rozměr je vyjádřeím jedotky

11 měřeé jedotkam základím pomocí defčího vztahu. Například pro jedotku rychlost eí v systému SI zavedeo ozačeí a proto se podle defčího vztahu v = s/t ozačeí jedotky rychlost ahrazuje rozměrem [v] m s.. JEDNOTKY FYZIKÁLNÍCH VELIČIN Jedotky fyzkálích velč se, jak jž bylo řečeo, vytvářely hstorcky, hlavě vzhledem k potřebám obchodu a rozvoj techcké prae. Od začátku byla hlavím krtérem praktčost a sadá dostupost jedotky, pozděj se rozvíjely sahy o objektvtu. Příkladem může být saha o objektvzac jedotky délky. Stadardě používaé jedotky palec ebo loket byly samozřejmě závslé a tělesé kostrukc kokrétích osob. Proto jž v 6. století avrhl Jakob Köble ve svém díle Geometre, které bylo vydáo ve Frakfurtu (a.m), jako jedotku délky středí stopu, která měla být středí hodotou délky choddla šestáct áhodě vybraých osob. Proces hledáí systému základích jedotek byl postupem času završe vytvořeím mezárodě uzávaých stadardů, od kterých byly dále odvozováy stadardy árodí. Vzhledem k tomu, že člověk žje v prostoru a čase, je pochoptelé, že mez základí jedotky v každém systému patřly vždy jedotky pro měřeí délky a času, k mž byla pro potřeby mechaky, která byla hstorcky prví z výzamě se rozvíjejících oblastí fyzky, přdáa jedotka hmotost. Vlastí způsob realzace jedotek délky a času se vzhledem ke vzrůstajícím árokům a přesost a objektvtu postupě poměrě rozmatě měl. Způsob realzace jedotky hmotost formou stadardu vytvořeého jž v roce 889 aprot tomu všechy reformy přečkal v ezměěé podobě až do doby moderí. Podrobost o způsobu současé realzace eje základích jedotek délky, času a hmotost, ale všech ostatích fyzkálích jedotek v současě užívaém systému SI je možo ajít apř. v ormě [] ebo publkac []. S rozvojem dalších oblastí fyzky se systém základích jedotek postupě rozšřoval. Způsob tohoto rozšřováí však eí jak rgorózě defová, ve volbě dalších základích jedotek je začá lbovůle, takže dosažeí všeobecě uzávaého kosezu je áročé. V současé době je hlavím krtérem pro evetuálí zásahy do systému jedotek ekoomcká áročost případé změy. 3

12 Blíže bude o pravdlech a ěkterých zákotostech výstavby systému základích jedotek pojedáo v odstavc.4..3 METROLOGICKÉ ROVNICE Jako metrologcké rovce se souhrě ozačují matematcké formulace vztahů mez fyzkálím velčam, jejch jedotkam a rozměry. V prvím případě mluvíme o rovcích velčových, dále pak o rovcích jedotkových a rozměrových. Velčové rovce popsují zkoumaé přírodí zákoy ebo zavádějí ové velčy. Například velčová rovce F = dp dt (.) je obecou formulací. Newtoova zákoa, která popsuje vztah mez působící slou F a časovou změou hybost p. Já velčová rovce F = q( E + (v B)) (.3) popsuje slové působeí elektrckého ( E ) a magetckého pole ( B ) a pohybující se elektrcký áboj q, zatímco rovce dm ρ =, (.4) dv kde M začí hmotost a V objem, zavádí hustotu látky (ρ ). Jedotkové rovce popsují vztahy mez jedotkam studovaých velč a formulují se v co ejjedodušší formě, bez dferecálích, tegrálích, popř. jých složtějších operátorů. Pro jž uvedeé příklady velčových rovc (..) (.4) jsou jedotkovým rovcem postupě 4

13 j p j F =, j F = j q.j E, j F = j q.j v.j B, j ρ = j t j j m V, (.5) kde symbolem j F je ozačea jedotka síly a obdobě v ostatích případech jedotky dalších použtých velč. Rozměrovým rovcem jsou jedotkové rovce rozepsaé pomocí jedotek základích, tedy bez užtí případých specálích ozačeí jedotek zavedeých v daém systému. Například v systému SI je rozměrovou rovcí velčové rovce (.) rovce [ F] = kg m s =[ p][ t ]= kg m s s. V případě rovce (.3) pro slové působeí a áboj pohybující se v magetckém pol máme rozměrovou rovc [ F ] = kg m s = [ q][v][ B] =As ms kgs A. Rovost pravé a levé stray rozměrových rovc je možé využít pro kotrolu správost formulace rovc velčových. Tomuto postupu říkáme rozměrová aalýza. Protože však rozměrové rovce eobsahují bezrozměré číselé kostaty, je případé splěí rovc rozměrových pro celkovou správost rovc pouze podmíkou utou, kolv postačující. Uveďme dále ěkolk příkladů pro užtí rozměrové aalýzy. Prví z možostí je kotrola odvozeých formulí. Předpokládejme, že jsme užtím defčího vztahu J r dv = V ρ (.6) vypočetl, že momet setrvačost homogeího válce o poloměru R a hmotost M je dá vztahem = J MR. (.7) Z defčího vztahu je zřejmé, že rozměr mometu setrvačost v soustavě SI je [J] = kg m. Potom ale pro výsledý vzorec (.7) v této soustavě skutečě platí kg m = J = [ M][ R ] = kg m [ ] 5

14 a odvozeý vzorec je rozměrovou aalýzou potvrze. Další možostí je tzv. kotrola stupě mocých závslostí. V řadě případů jsou výsledé fyzkálí formule dáy jedoduchým mocým závslostm, př čemž eí vždy a pror jasý stupeň příslušých moc. Předpokládejme apříklad, že se sažíme formulovat vztah pro dobu kyvu matematckého kyvadla (T ). Předpokládáme, že doba kyvu bude záležet a gravtačím zrychleí g, délce kyvadla l a jeho hmotost m, přčemž eí předem jasé, v jakých mocách se budou příslušé velčy ve výsledé formul vyskytovat. Napíšeme tedy α β γ T ~ g l m. (.8) Rozměr levé stray rovce (.8) v soustavě SI je [T ] = s. Rozměr pravé stray je - - g α l β M γ m α s α m β kg γ =m α + = β s α kg γ. Srováím rozměrů levé a pravé stray rovce (.8) α + β -α γ s=m s kg dostáváme podmíky pro epoety α, β, γ α + β = 0, α =, γ = 0. (.9) Z rovc (.9) je okamžtě vdět, že předpoklad o závslost doby kyvu a hmotost kyvadla byl mylý, protože γ = 0 a dále sado ajdeme α =, β =. Formule (.8), která eí v rozporu s rozměrovou aalýzou, má tedy tvar l T. g Jako další případ uveďme formul pro sílu, kterou a sebe působí pólové ástavce elektromagetu se vzduchovou mezerou a s uzavřeým jádrem. Předpokládejme, že vzduchová mezera je úzká a síla bude tedy úměrá ploše ástavců S, magetcké dukc v mezeře elektromagetu B a permeabltě µ. Hledáme tedy formul ve tvaru F µ α B β S γ. (.0) 6

15 Rozměr levé stray formule (.0) je v soustavě SI Rozměr pravé stray potom [ F ] kg ms =. [ α ][ B β ][ S γ ] kg α m α s α A α kg β s β µ = A β m γ = kg α + β m α + γ s α β A α = β. Srováí rozměru pravé a levé stray formule (.0) dostaeme pro α, β, γ podmíky: α+ β=, α+ γ =, α β= 0. (.) Řešeím soustavy rovc (.) jsou hodoty epoetů α =, β =, γ =. Formule (.0) eodporující rozměrové aalýze má tedy tvar F B S. µ Některé další možost aplkace rozměrové aalýzy jsou podroběj probráy apříklad v prác [3]. Popsaá ejjedodušší metoda užtí rozměrové aalýzy pro kotrolu fyzkálích rovc je prcpálě omezea počtem základích jedotek, kterým je urče počet možých ezávslých rovc pro koefcety mocých závslostí. Užtí rozměrové aalýzy má však mohem šrší oblast možostí využtí. Je zejméa důležtou součástí teore fyzkálí podobost a modelováí, kde se používá př řešeí základích rovc matematcké fyzky, apříklad v mechace stavebích kostrukcí, mechace tekut, termomechace, modelováí elektrckých polí apod. Blíže jsou základy této problematky vyložey apříklad v kze [4]. 7

16 .4 SOUSTAVY JEDNOTEK Výstavba všeobecě akceptovatelé soustavy fyzkálích jedotek probíhala postupě. Důležtým mezíkem bylo uzavřeí mezárodí metrcké kovece v roce 875 a ásledující aktvty jejího ejvyššího orgáu Geerálí koferece pro míry a váhy. Tato koferece přjala a svém zasedáí v roce 960 Mezárodí soustavu jedotek (SI). Předchůdc soustavy SI byly všeobecě užívaé soustavy CGS, CGSE, CGSM, soustava Gaussova, MKS a koečě MKSA. Hstorcké aspekty postupého zaváděí zmíěých soustav jedotek jsou blíže rozebráy apř. v publkac [] ebo v kze [5]. V ozačeí soustav vystupují zkratky ozačeí základích jedotek. Tak v případě CGS je to cetmetr, gram, sekuda a podobě metr, klogram, sekuda a ampér u soustavy MKSA. Soustava CGS byla vytvořea pro použtí v mechace a její další použtí v ostatích oblastech fyzky vyžadovalo buď doplěí o další základí jedotky ebo, př poecháí tří základích jedotek, zavedeí jedotek všech dalších užívaých velč jako jedotek odvozeých. Například v oblast elektřy a magetzmu se jako prví odvozeá jedotka používala jedotka pro elektrcký áboj, odvozeá z Coulombova zákoa. Všechy ostatí jedotky elektrcké magetcké byly jedotkam odvozeým. Vzkla soustava jedotek ozačovaá jako CGSE (absolutí soustava elektrostatcká). Př opačém postupu, kdy prví odvozeou jedotkou byla jedotka pro hypotetcké magetcké možství odvozeá z formálě platého Coulombova zákoa pro slové působeí magetckých možství, byla vytvořea soustava jedotek CGSM (absolutí soustava elektromagetcká). Výhodou těchto soustav bylo to, že apř. př použtí soustavy CGSE eobsahovaly rovce vyjadřující vztahy mez velčam elektrckým žádé číselé faktory. Podobě v soustavě CGSM byly rovce popsující vztahy mez magetckým velčam bez číselých faktorů. V rovcích, ve kterých vystupovaly společě velčy jak elektrcké, tak magetcké, se však v obou soustavách kostaty úměrost vyskytovat musely. Př epermetálím zkoumáí těchto faktorů bylo objeveo, že vesměs jde o kostaty s číselou hodotou a rozměrem moc rychlost světla ve vakuu. Tato skutečost vedla pozděj k úvahám o elektromagetcké povaze světla (vz apř. [5]). 8

17 Spojeím soustav CGSE a CGSM vzkla soustava Gaussova, v íž byly jedotky elektrckých velč převzaty z CGSE a jedotky magetckých velč z CGSM. Základí zákoy tím získaly symetrckou podobu, cméě ve smíšeých vztazích se kostaty velkost a rozměru moc rychlost světla stále vyskytují. Nevýhodou uvedeých soustav elektrckých a magetckých jedotek (odvozeých od soustavy CGS), je epraktčost velkost jedotek běžě užívaých velč. Například pro jedotku proudu v soustavě CGSE (sa statampér) platí sa A, pro jedotku odporu (sω statohm) dostaeme sω 9.0 Ω. Podobě je v absolutí soustavě elektromagetcké apříklad pro jedotku apětí (av abvolt) av = 0 8 V a v soustavě Gaussově aprot tomu pro (sv statvolt) sv 3.0 V. Proto byla dále avržea soustava MKSA, která pro oblast elektřy a magetzmu opustla prcp výstavby užtím pouze tří základích jedotek a zavedla ovou základí jedotku pro elektrcký proud (A ampér). Tato soustava se pozděj stala základem pro současě používaou soustavu SI. Podroběj je o jedotkách používaých v elektřě a magetzmu pojedáo apř. v učebc [5]. Prcp výstavby soustavy jedotek s využtím pouze tří základích jedotek ostatě ebyl dodrže a u soustavy CGS a ostatích (CGSE, CGSM a Gaussova), protože pro další oblast fyzky byly zavedey další základí jedotky. Například pro termodyamku a auku o teple byla jako základí jedotka zavedea jedotka pro teplotí stupeň, v optce jedotka pro svítvost, v molekulové fyzce jedotka molekulového možství. Způsob realzace jedotek jedotlvých fyzkálích velč, zejméa jedotek základích, je předmětem metrologe a eí cílem tohoto tetu zabíhat do detalů, v kokrétích otázkách je možo odkázat a jž zmíěou khu [] ebo publkac []. Dále přesto uveďme dvě základí vlastost, které by všeobecě užívaá soustava jedotek měla mít. Soustava jedotek by předě měla být koheretí, což zameá, že velčové (a jedotkové) rovce používaé jako defčí pro velčy odvozeé, by eměly obsahovat číselé koefcety. Například velčovou rovc zavádějící rychlost hmotého bodu je možo formulovat jako dr = v k dt, v tedy rychlost je úměrá časové změě polohového vektoru. Zjedodušeí této rovce pro rovoměrý přímočarý pohyb 9

18 = v s v k t je defčím vztahem pro rychlost a v koheretím systému jedotek musí být kostata úměrost k v = a bezrozměrá. V tomto případě by ovšem mělo být v přesém slovím vyjádřeí defčího vztahu uvedeo: rychlost rovoměrého přímočarého pohybu je číselě rova poměru dráhy a času. V defčích vztazích, které vyhovují kulové ebo válcové symetr se v ěkterých případech zavádějí faktory 4π(π) s cílem odstrat ásobky π z praktcky užívaých formulí. Takové soustavy jedotek se azývají racoalzovaé. Příkladem může být soustava SI. Coulombův záko pro slové působeí mez dvěma bodovým áboj o velkost q ve vzdáleost r má zde zámý tvar q F = kc. r Použjeme-l dále stadardí postup a ajdeme vztah pro kapactu deskového kodezátoru s plochou desek S ve vzdáleost d (ve vakuu), dostaeme S C =. π kd 4 c Má-l kostata k c racoalzovaý tvar k c =, 4π ε 0 dostaeme běžě používaý vztah ε0 S C =, d ve kterém jž faktor 4π evystupuje. Praktcky užívaá formule tak obsahuje pouze jedu kostatu. Racoalzace se používá v případech, které mají podobě jako teto příklad určtý praktcký výzam. V jých případech formulí s kulovou symetrí, kde eí potřeba odstrat faktory úměré π přílš výrazá, se racoalzace epoužívá. Příkladem může být gravtačí záko Newtoův, jehož kostata úměrost (gravtačí kostata) se v SI faktorem 4π eormuje. Soustava SI, jakož větša dřívějších soustav jedotek, eí tedy důsledě racoalzovaá. Pro volbu základích jedotek daé soustavy fyzkálích jedotek, tzv. báze, eestují žádá pevá pravdla. Hlavím požadavkem a jejch výběr je mož- 0

19 ost sadé realzace příslušých stadardů, jejch dostupost pro srovávací a kalbračí měřeí a samozřejmě časová stablta. Základích jedotek by emělo být přílš moho, aby se ekomplkovalo vyjádřeí odvozeých jedotek formou rozměru. Hstorcky byly proto jako prví dvě základí jedotky realzováy jedotky pro délku (L) a čas (T). Stejě potřebá (a eje pro fyzku) byla jedotka pro hmotost (M). Pomocí těchto tří základích jedotek pak bylo možo vytvořt celý koheretí systém jedotek pro mechaku. Jedotka síly je v této tříjedotkové báz (L,T,M) jedotkou odvozeou. Dále záleží a tom, který fyzkálí záko použjeme pro odvozeí jedotky síly (F). V systému SI se využívá II. Newtoův záko ve zjedodušeém tvaru F = M a, kde jedotka pro zrychleí a je staovea jako jedotka odvozeá z jedotek rychlost a času. Postup je zázorě v tab... Př formulac dalších zákoů, které obsahují velčy, jejchž jedotky jž byly zavedey, musíme příslušé kostaty úměrost staovt epermetálě. Například v Newtoově gravtačím zákoě př vyjádřeí velkost slového působeí mez dvěma hmotým body M, M ve vzdáleost r MM F = κ (.) r musíme epermetálě staovt číselou hodotu kostaty úměrost κ (gravtačí kostaty). Tato číselá hodota závsí ovšem a velkost jedotek síly, hmotost a délky. Například př vyjádřeí jedotkam soustavy SI je (epermetálě staoveá) gravtačí kostata 3 κ 6, kg m s. (.3) Př přechodu k soustavě s jou tříjedotkovou bází, apř. CGS se velkost gravtačí kostaty změí κ CGS = 6, g cm 3 s. Pokud by se př přechodu k ové soustavě eměly jedotky pouze řádově, změl by se samozřejmě v hodotě gravtačí kostaty eje řád. Podobě je uto Plackovu hypotézu o vztahu mez eergí a kmtočtem elektromagetcké vly formulovat obecě ve tvaru E = hν

20 Tab.. Tříjedotková báze Velča Ozačeí Defčí vztah Rozměr Velkost jedotky (v jedotkách SI) základí délka s L m čas t T s hmotost M M kg odvozeé rychlost v = s/ t LT m.s zrychleí a = v/ t LT m.s síla F = Ma MLT kg.m.s (N) práce A = Fs ML T kg.m.s (J) kmtočet ν = /T T s (Hz)... a kostatu úměrost h (Plackovu kostatu) s rozměrem [h] = ML T staovt epermetálě. V soustavě SI aměříme h 6, kg m s. Velkost kostaty opět závsí a volbě velkost jedotek báze. Jako posledí příklad uveďme zámý Esteův vztah pro ekvvalec eerge a hmotost E = kem. Z rozměru kostaty úměrost [k] = L T plye, že kostata má rozměr čtverce rychlost. Číselá hodota kostaty je obdobě jako v předchozích případech závslá a volbě jedotek daé soustavy, cméě podle výsledku specálí teore relatvty platí, že je rova čtverc rychlost světla ve vakuu c, takže v soustavě mechackých jedotek s bází (L,T,M), kostruovaé postupem podle tab.. platí E = c M, bez ohledu a formu realzace jedotlvých jedotek báze. Dále ukážeme, že teto populárí tvar Esteovy formule se změí eje př změě báze systému jedotek, ale př změě zákoů vybraých pro defc jedotek odvozeých, apříklad jedotky síly. Kostaty úměrost, které je potřeba vložt do vztahů, které ejsou vztahy defčím, jsou často azýváy uverzálím kostatam. Role uverzáích kostat bývá ěkdy poěkud přeceňováa a objevují se sahy hledat

21 v jejch estec a velkost ějaký hlubší výzam. Ukažme dále, jak by se změl hypotetcký systém jedotek mechaky s tříjedotkovou bází (LTM) v případě, že by se pro defc jedotky síly epoužl II. Newtoův záko (tab..), ale záko jý, apříklad Newtoův záko gravtačí. Tab.. Alteratví tříjedotková báze Velča Ozačeí Defčí vztah Rozměr základí délka s (r) L m čas t T s hmotost M M kg odvozeé rychlost v = s/ t LT m.s zrychleí a = v/ t LT m.s Velkost jedotky (v jedotkách SI) síla F M r = / M L κ N N práce A = Fs M L κ J J kmtočet ν = /T T s (Hz)... Stuace je dokumetováa v tabulce.. Velkost síly v alteratví soustavě s tříjedotkovou bází se změí. Jedotkou síly bude yí síla, kterou a sebe působí jedotkové hmotost v jedotkové vzdáleost. Poecháme-l pro porováí jedotky báze ze soustavy SI (L,T,M) = (m,s,kg), je jedotkovou slou síla o velkost jf κ N 6,673.0 N =. (.4) Newtoův gravtačí záko bude v alteratvím systému jedotek zapsá bez kostaty úměrost (gravtačí kostaty) ve tvaru MM F =, r 3

22 zatímco ve II. Newtoově zákoě musíme yí zavést ovou kostatu úměrost (uverzálí kostatu k N, kterou azveme apříklad Newtoovou kostatou ) F= k Ma. (.5) N Rozměrovou aalýzou s využtím tab.. sado ukážeme, že rozměr Newtoovy kostaty je [k N ] = ML 3 T což odpovídá převráceé hodotě rozměru gravtačí kostaty κ. Pokud by byl ový (alteratví) systém systémem původím, bylo by uté Newtoovu kostatu staovt epermetálě. Ncméě s ohledem a vztah mez rozměry a ovou velkost jedotky síly je zřejmé, že pro velkost kostaty k platí N k N =, (.6) κ a pokud je velkost gravtačí kostaty z původího systému jedotek záma, stačí Newtoovu kostatu, potřebou v ovém systému, pouze přepočítat. Newtoova kostata bude v alteratvím tříjedotkovém systému vystupovat apříklad v defcích ketcké a potecálí eerge: kn E k = Mv a Ep = kn M gh, zatímco třetí Keplerův záko o vztahu mez dobam oběhu (T) a velkostí hlaví poloosy (a) oběžé dráhy plaet pohybujících se okolo cetrálího tělesa o hmotost (M) bude v alteratví soustavě bez gravtačí kostaty T 4π =. 3 a M V dalším zákoě, uváděém jako příklad v této dskus, v zákoě Plackově, se samozřejmě změí jak velkost, tak rozměr kostaty úměrost (k (3) p ) a záko bude mít tvar (3) E = k ν. Zde zavádíme v kostatě úměrost horí de jako ozačeí dmeze báze základích jedotek mechaky. Srováím s tab.. sado ajdeme, že [k p (3) ] = M L T, což odpovídá poměru rozměrů Plackovy a gravtačí kostaty v báz původí. Přestože rozměrová aalýza eí schopa určt velkost ko- p 4

23 staty k (3) p, lze rozborem velkost jedotky eerge, podobě jako v případě dskuse velkost Newtoovy kostaty (.6), sado ukázat, že platí (3) h k p =, κ kde h a κ jsou Plackova a gravtačí kostata v báz původí. Koečě pro Esteův vztah mez hmotostí a eergí dostaeme (3) E = ke M s kostatou úměrost s rozměrem [k E (3) ] = ML. Chceme-l ovou kostatu úměrost vyjádřt pomocí kostat úměrost v původí tříjedotkové báz se základím jedotkam SI (L,T,M) = (m,s,kg), je srováím rozměrů zřejmé, že v tomto případě platí (3) c ke = κ a kostatou úměrost mez eergí a hmotostí v tomto případě eí čtverec rychlost světla ve vakuu. Způsob defce jedotky síly tedy změl systém uverzálích kostat. Místo gravtačí kostaty se v systému achází ová kostata Newtoova a u ostatích uverzálích kostat se měí jak jejch rozměr, tak velkost. Neměí se však jejch celkový počet. Celkový počet uverzálích kostat se měí až s počtem základích jedotek, s velkostí báze. Př zvětšeí počtu základích jedotek dochází obecě ke zvětšeí počtu uverzálích kostat. V ašem hypotetckém systému základích jedotek mechaky můžeme jako další základí jedotku zavést apříklad jedotku síly. Realzujeme j ějakým stadardem, apříklad deálí pružou. Postup odvozováí dalších mechackých jedotek je podobý jako v soustavě s tříjedotkovou bází a je zázorě v tab..3. Př formulac Newtoova pohybového zákoa je zde třeba uvážt, že všechy velčy v zákoě vystupující už mají v tomto případě jedotky zavedey, záko tedy eí defčím vztahem a musí obsahovat uverzálí kostatu F = k M a. (.7) (4) N Velkost uverzálí kostaty (Newtoovy) k (4) N, je závslá a velkost základích jedotek a musí být staovea epermetálě. Její rozměr je (4) - - [ k ] = FM L T. N 5

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika

Nepředvídané události v rámci kvantifikace rizika Nepředvídaé událost v rác kvatfkace rzka Jří Marek, ČVUT, Stavebí fakulta {r.arek}@rsk-aageet.cz Abstrakt Z hledska úspěchu vestce ohou být krtcké právě ty zdroe ebezpečí, které esou detfkováy. Vzhlede

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC

ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC ANALÝZA NÁKLADOVÝCH A CENOVÝCH VZTAHŮ V ODPADOVÉM HOSPODÁŘSTVÍ ČR ANALYSIS OF COST AND PRICE RELATIONSHIPS IN WASTE MANAGEMENT OF THE CZECH REPUBLIC Jří HŘEBÍČEK, Mchal HEJČ, Jaa SOUKOPOVÁ ECO-Maagemet,

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Využití účetních dat pro finanční řízení

Využití účetních dat pro finanční řízení Využtí účetích dat pro fačí řízeí KAPITOLA 4 V rác této kaptoly se zaěříe a časovou hodotu peěz (a to včetě oceňováí ceých papírů), která se prolíá celý vestčí rozhodováí, dále a fačí aalýzu (vycházející

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Fraktálová komprese. Historie

Fraktálová komprese. Historie Fraktálová komprese Hstore Prví zmíky o tzv. fraktálové kompres jsem ašel kdys v bezvadé a dodes aktuálí kížce!! Grafcké formáty (Braslav Sobota, Já Mlá, akl. Kopp), kde však šlo spíše o adšeý úvod a pak

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ.

CHYBY MĚŘENÍ. uvádíme ve tvaru x = x ± δ. CHYBY MĚŘENÍ Úvod Představte s, že máte změřt délku válečku. Použjete posuvné měřítko a získáte určtou hodnotu. Pamětlv přísloví provedete ještě jedno měření. Ale ouha! Výsledek je jný. Co dělat? Měřt

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d

Korelační energie. Celkovou elektronovou energii molekuly lze experimentálně určit ze vztahu. E vib. = E at. = 39,856, E d Korelační energe Referenční stavy Energ molekul a atomů lze vyjádřt vzhledem k různým referenčním stavům. V kvantové mechance za referenční stav s nulovou energí bereme stav odpovídající nenteragujícím

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

VÝVOJ NÁSTROJE PRO POSUZOVÁNÍ RECYKLAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ASFALTOVÝCH VOZOVEK S DŮRAZEM NA UHLÍKOVOU STOPU

VÝVOJ NÁSTROJE PRO POSUZOVÁNÍ RECYKLAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ASFALTOVÝCH VOZOVEK S DŮRAZEM NA UHLÍKOVOU STOPU 6. KONFERENCE PROJEKTOVÁNÍ POZEMNÍCH KOMUNIKACÍ Praha, 19.5.2015 VÝVOJ NÁSTROJE PRO POSUZOVÁNÍ RECYKLAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ASFALTOVÝCH VOZOVEK S DŮRAZEM NA UHLÍKOVOU STOPU Václav Sížk Fakulta stavbí ČVUT

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko

dálniced3 a rychlostní silnice Praha x Tábor x České Budějovice x Rakousko dáliced3 a rychlostí silice R3 Praha Tábor České Budějovice Rakousko w w obsah základí iformace 3 dálice D3 a rychlostí silice R3 PrahaTáborČeské BudějoviceRakousko 3 > základí iformace 4 > čleěí dálice

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K

LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K LOGICKÉ OBVODY J I Ř Í K A L O U S E K Ostrava 2006 Obsah předmětu 1. ČÍSELNÉ SOUSTAVY... 2 1.1. Číselné soustavy - úvod... 2 1.2. Rozdělení číselných soustav... 2 1.3. Polyadcké číselné soustavy... 2

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti DLUHOISY - dlouhodobý obchodovatelý ceý papír - má staoveou dobu splatost - vyadřue závaze emteta oblgace (dlužía) vůč matel oblgace (věřtel) Tříděí z hledsa doby splatost - rátodobé : splatost do 1 rou

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Vyšší odborná škola informačních služeb v Praze. Lukáš Kleňha

Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Vyšší odborná škola informačních služeb v Praze. Lukáš Kleňha Vysoká škola ekoomcká v Praze Fakulta formatky a statstky Vyšší odborá škola formačích služeb v Praze Lukáš Kleňha egresí aalýza acetovy rogrese o rví hostalzac s CHOPN 0 Prohlášeí Prohlašuj, že jsem

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu

6. Demonstrační simulační projekt generátory vstupních proudů simulačního modelu 6. Demonstrační smulační projekt generátory vstupních proudů smulačního modelu Studjní cíl Na příkladu smulačního projektu představeného v mnulém bloku je dále lustrována metodka pro stanovování typů a

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Pro likvidaci uniklých látek. Příručka Pro Prevenci a HavariJní situace Při PrÁci s nebezpečnými látkami

Pro likvidaci uniklých látek. Příručka Pro Prevenci a HavariJní situace Při PrÁci s nebezpečnými látkami sorpčí ProstřeDkY a ProDuktY Pro likvidaci uiklých látek Příručka Pro Preveci a HavariJí situace Při PrÁci s ebezpečými látkami záchyté ProstřeDkY / sorbety / likvidace uiklých látek všude tam, kde jsou

Více

ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ

ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročík LVII 28 Číslo 5, 2009 ANALÝZA PROVOZU MĚSTSKÝCH AUTOBUSŮ L. Papírík

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

Poznámky k tématu Korelace a jednoduchá lineární regrese (Téma není ve skriptech)

Poznámky k tématu Korelace a jednoduchá lineární regrese (Téma není ve skriptech) Pozámk k tématu Koelace a jedoduchá leáí egee (Téma eí ve kptech) Mějme data, ),...,(, ), kteá jou áhodým výběem z ějaké populace. Data ted pokládáme za ezávlé ealzace dvojce áhodých velč ( X, Y ). Půmě

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Expertní Systémy. Tvorba aplikace

Expertní Systémy. Tvorba aplikace Tvorba aplikace Typ systému malý velký velmi velký Počet pravidel 50-350 500-3000 10000 Počet člověkoroků 0.3-0.5 1-2 3-5 Cea projektu (v tis.$) 40-60 500-1000 2000-5000 Harmo, Kig (1985) Vytvořeí expertího

Více

Beta faktor a ekvitní prémie z cizího trhu: přenositelnost a statistická spolehlivost

Beta faktor a ekvitní prémie z cizího trhu: přenositelnost a statistická spolehlivost Beta fakto a ekvtí péme z czího thu: přeostelost a statstcká spolehlvost Veze 15. 4. 014 chal Dvořák Abstakt Cílem textu je lustovat že český buzoví th eobsahuje dostatečý počet ttulů ke koektímu staoveí

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman ASYNCHRONNÍ STROJE Obsah. Pricip čiosti asychroího motoru. Náhradí schéma asychroího motoru. Výko a momet asychroího motoru 4. Spouštěí trojfázových asychroích motorů 5. Řízeí otáček asychroích motorů

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Téma 5: Analýza závislostí

Téma 5: Analýza závislostí Aalýza závlotí Téma 5: Aalýza závlotí Předáša 5 Závlot mez ev Záladí pom Předmětem této aptol ude zoumáí závlotí ouvlotí mez dvěma a více ev. Jedá e o proutí do vztahů mez ledovaým ev a tím přlížeí tzv.

Více