ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I"

Transkript

1 JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

2 Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost odporu vzorku rtut. V okolí teploty 4, K aměřl skokový pokles odporu o čtyř řády (vz obrázek, který je hstorckým orgálím zázamem epermetu, a ose je vyesea teplota v Kelvech (K)). Jev, který byl pozděj potvrze a aleze př žších teplotách a jých kovech, apř. cíu a olovu, byl terpretová jako fázový přechod látky do kvaltatvě ového stavu, který byl azvá stavem supravodvým. Podrobost a hstorcké souvslost epermetu jsou uvedey apř. v čláku C. J. Gortera (Rev. Mod. Phys. (964)). Za teto výsledek a další prác v oblast fyzky a techky ízkých teplot byl prof. H. Kamerlgh Oes oceě v roce 93 Nobelovou ceou za fyzku.

3 JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ matfyzpress PRAHA 006

4 Balstcký galvaoměr a obálce byl součástí polarografu, který byl zkostruová podle ávrhu prof. J. Heyrovského. Prof. Heyrovský, jako dosud jedý vědec české árodost, získal v roce (959) Nobelovu ceu právě za objev a rozvoj metody polarografcké aalýzy. Automatzovaé verze polarografů, které obsahovaly teto galvaoměr, byly vyráběy frmou Dr. V. & J. Nejedlý v letech Všecha práva vyhrazea. Tato publkace a žádá její část esmí být re pro du ko vá a ebo šířea v žádé formě, elektrocké ebo mechacké, včetě fotokopí, bez písemého souhla su vydavatele. Jří Eglch, 006 MATFYZPRESS, vydavatelství Matematcko-fyzkálí fakulty Uverzty Karlovy v Praze, 006 ISBN

5 OBSAH. Fyzkálí velčy a jejch jedotky. Systematka fyzkálích velč. Jedotky fyzkálích velč 3.3 Metrologcké rovce 4.4 Soustavy jedotek 8. Nejstota měřeí 4. Základí pojmy 5. Odhad mamálí ejstoty epřímých měřeí 8.3 Nejstota metody, ejstoty měřdel 30.4 Zaokrouhlováí kostat Vybraé základí pojmy matematcké statstky Statstcký epermet, áhodý jev, pravděpodobost Rozděleí pravděpodobost, dstrbučí fukce Středí hodota, momety áhodé velčy, medá Rozděleí pravděpodobost více áhodých velč Cetrálí lmtí věta 7 4. Prcp mamálí věrohodost Odhad parametrů rozděleí z jedého epermetu Opakovaé ezávslé epermety Zpracováí výsledků měřeí jedé velčy Přeos ejstoty Zpracováí výsledků epřímých měřeí Příspěvek ejstoty typu B Příklad - měřeí vskozty Iterpolace fukčích závslostí 0 5. Přímka procházející počátkem Příklad - měřeí tuhost pružy Polyom k-tého stupě Obecá přímka Možost využtí trasformace souřadc Alteratví řešeí 3 v

6 6. Přílohy 9 6. Defce základích jedotek SI 9 6. Měřeí odporu metodou přímou Prcp oa Rozděleí pravděpodobost součtu áhodých velč Semárí úlohy Lteratura 45 v

7 PŘEDMLUVA Teto tet vzkal postupě jako základí lteratura pro semárí výuku předmětu Úvod do praktcké fyzky, kterou autor řadu let vede v prvím semestru magsterského a v současé době bakalářského studa fyzky a matematcko-fyzkálí fakultě (MFF) UK v Praze. Předmět je teoretckým úvodem, který má posluchačům přést v prvé řadě základí formac a podat kokrétí ávody pro zpracováí výsledků měřeí. Součástí této část výuky je podrobější rozbor systému fyzkálích jedotek. V současé době jsou výstupem rozhodující část měřcích metod ve všech oblastech epermetálí fyzky elektrcké velčy, jejchž aalogové hodoty se ásledě převádějí do číslcového formátu s možostí dalšího zpracováí s využtím stále zdokoalovaé výpočetí techky. Neméě výzamou součástí úvodu k praktcké výuce epermetálích fyzků je proto formace o metodách měřeí základích, zejméa elektrckých velč, a způsobech jejch dgtalzace. Vzhledem k tomu, že v současé době je výuka Úvodu do praktcké fyzky dotováa pouze jedou hodou týdě, bylo uto se omezt pouze a oblast zpracováí výsledků měřeí. Pro tuto výuku je také kokrétě urče teto tet, přčemž jeho teoretcká úroveň musela být přzpůsobea úrov zalost matematky v prvím semestru studa. Skrptum bylo proto pojmeováo Úvod do praktcké fyzky I, s podttulem Zpracováí výsledků měřeí, aby byla zdůrazěa potřeba dalšího pokračováí, ve kterém by mohla být podroběj a a vyšší úrov zpracováa problematka statstckých metod zpracováí výsledků měřeí, a dále zmíěá problematka měřcích metod základích fyzkálích velč. V eposledí řadě by teto druhý díl měl obsahovat kokrétější formac o způsobu realzace základích jedotek systému SI, protože problematce metrologe, ač je pro epermetálí fyzku důležtá, eí ve výuce a MFF UK z růzých důvodů věováa odpovídající pozorost. Doufejme je, že se druhý díl dočká v brzké době své realzace. V prví kaptole předkládaého tetu se autor saží překoat dojem, který s ve své většě studet přášejí ze středí školy, totž že estující systém fyzkálích jedotek SI je jedou možou alteratvou a v systému obsažeé (u- v

8 verzálí) kostaty jsou eměou součástí příslušých fyzkálích zákoů. Podrobější studum této část tetu je zároveň cvčeím k metodě rozměrové aalýzy vyložeé v prví kaptole. Druhá kaptola je věováa základím představám a pravdlům prezetace výsledků fyzkálích měřeí. Ve smyslu moderích evropských orem je zde saha zavést pojem ejstoty výsledku v kotrastu s tradčě užívaým pojmem chyba. Důležtým aspektem této část je oddělt ejstotu statstckého charakteru od ejstoty způsobeé omezeou přesostí měřících přístrojů. Právě v této oblast je uté další prohloubeí, zejméa v otázkách zdrojů chyby u růzých typů měřeí elektrckých velč. Zde by tedy mělo být těžště problematky předpokládaé druhé část skrpta. Ve třetí kaptole jsou jedoduchým způsobem, bez ároků a úplost, zavedey základí pojmy matematcké statstky, uté pro výklad statstckých metod odhadu výsledků měřeí jedé velčy, kterým se zabývá kaptola čtvrtá, a výsledků terpolace měřeí fukčích závslostí v kaptole páté. Tet je v ěkterých odstavcích doplě jedoduchým příklady a v kaptole čtvrté potom podrobě zpracovaým měřeím dyamcké vskozty kapaly s využtím epermetálích výsledků z praktka mechaky a molekulové fyzky a MFF UK. Pro potřeby semárí výuky jsou v kaptole sedmé uvedey semárí úlohy, jejchž řešeí má čteář usadt pochopeí tetu. Jako semárí úlohy jsou též zařazey důkazy ěkterých tvrzeí, použtých v tetu. Pro řešeí všech úloh je v tetu příslušých kaptol dostatek formací a aalogckých postupů. Úlohy jsou ozačey číslem kaptol, ke kterým se vztahují. Autor chce touto cestou poděkovat řadě kolegů a studetů MFF UK, kteří se růzou formou zúčastl přípravy rukopsu. Výzamý podíl a vzku a kvaltě tetu má RNDr. H. Valetová, CSc. (v současost FgÚ AV ČR), která díky svým zkušeostem získaým během své dlouholeté čost v základí fyzkálím praktku a MFF UK mohla poskytout výzamé poděty a přpomíky, zejméa vzhledem ke kokrétím potřebám studetů př praktkálí výuce. Dále patří dík dalším kolegům a MFF UK, zejméa doc. RNDr. J. Nedbalov, CSc., RNDr. J. Čížkov, CSc., doc. RNDr. Z. Práškové, CSc. a prof. RNDr. B. Sedlákov, DrSc. za přečteí tetu a řadu stmulujících přpomíek a dskusí. V eposledí řadě děkuje autor recezetce doc. RNDr. I. Stulíkové, CSc., která svým zájmem a podporou výzamě přspěla ke koečé realzac tohoto tetu. Praha, lstopad 006 Jří Eglch v

9 . FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEJICH JEDNOTKY. SYSTEMATIKA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN V řadě oblastí přírodích a techckých věd, v techcké a obchodí pra, ale v běžém žvotě se vyskytuje potřeba charakterzovat objektví vlastost a stav předmětů a okolího prostředí, popsat průběh růzých procesů apod. K tomu se zavádí systém velč, které uvedeé vlastost a stav charakterzují. Potřebé formace potom získáváme pozorováím, tedy specálím postupem, př ěmž staovíme kvattatví, popřípadě kvaltatví parametry příslušých velč, evetuálě jejch vztahy k velčám ostatím. Pozorovat můžeme a jedé straě jevy a procesy, které probíhají bez ašeho zásahu a bez možost jejch průběh ovlvňovat, a a druhé straě stav, děje a procesy, které cujeme, řídíme, volíme podmíky jejch průběhu apod. V prvím případě jsou typckým příkladem pozorováí astroomcká, ve druhém případě pak hovoříme o pokusu ebo epermetu. Podle charakteru výsledku můžeme pokus dále dělt a pokus kvaltatví a pokus kvattatví. Kvaltatvím pokusem může být apříklad staoveí charakteru ph roztoku zbarveím lakmusového papírku ebo zjštěí, že pozorovaá kapala dosáhla teploty varu. Jako kvattatví chápeme takové pokusy, kdy lze výsledek, tedy objektví stav studovaé velčy, vyjádřt v číselé formě srováím s obecě zavedeou jedotkou. V takovém případě hovoříme o měřeí. Defcí pojmu fyzkálí velčy se ldé zabýval od samých počátků svých obchodích, hospodářských, techckých a vědeckých aktvt. Jako příklad je možé uvést defc, kterou podal Leoard Euler ve svém díle Algebra z roku 766:. velčou rozumíme vše to, co se může zvětšovat ebo zmešovat, ebo to, k čemu můžeme ěco přdat ebo ubrat (hmotost, čas, délka, teplota, tlak, teplo, úhel,...),. estují velčy růzého druhu, jejchž studem se zabývají růzé oblast vědy (fyzky). Každá oblast vědy má své charakterstcké velčy. Fyzka je aukou o velčách, 3. měřeí je srováváí daé velčy s vybraou velčou téhož druhu (jedotkou).

10 Prví část Eulerovy defce se v současé době obvykle ahrazuje moderější defcí: Velčou popsujeme objektví vlastost (stav) předmětu ebo fyzkálího jevu, kterou lze kvaltatvě odlšt a kvattatvě popsat. Druhá část defce se ahrazuje klasfkací velč a a) etezví (možství, kvatty) - adtví (hmotost, áboj, teplo,...) b) tezví (kvalty) - velčy stavové (teplota, apětí, tlak,...) c) protezví (stále plyoucí) - (čas) Charakterstka pojmu měřeí se od dob Eulerových ezměla a výsledek měřeí velčy, tedy srováí její velkost s velkostí daé jedotky, zapsujeme ve tvaru, c [ ] = ( µ ± u ), (.) kde µ je ejpravděpodobější hodota měřeé velčy, číslo u c, je vyjádřeím ejstoty výsledku měřeí a hraatá závorka v (.) je obecým symbolem pro ozačeí použté jedotky měřeí, pokud je toto ozačeí platou ormou zavedeo (vz apř. []). Jedotky měřeí dělíme dále a jedotky základí a jedotky odvozeé. Jedotky základí, tedy jedotky velč, které byly v daém systému jedotek za základí vybráy, defují tzv. systém (soustavu) jedotek a jejch volba je ovlvěa spíše tradcí a požadavky techcké prae, ež ějakým rgorózím požadavky fyzkálím. V každém případě by však měl estovat pokud možo všeobecě akceptovaý systém poměrě sado realzovatelých, dobře reprodukovatelých a časově stablích základích jedotek, protože v opačém případě by se zkomplkovaly eje podmíky komukace uvtř vědeckých komut, což je problém prcpálě řeštelý, ale hlavě by se zemožly procesy stadardzace ve výrobě, techcké pra a v obchodě, což by praktcky eřeštelým způsobem zemožlo rozvoj všech rozhodujících oblastí techckých a hospodářských aktvt moderí společost. V současé době je až a drobé výjmky všeobecě akceptová a árodím ormam uzákoě mezárodí systém jedotek ( System Iteratoal (SI) - vz odst..4). Jedotkam odvozeým jsou pak jedotky velč, které jsou s velčam základím spojey pokud možo jedoduchým defčím vztahy (vz dále). V případě měřeí jedotek odvozeých, kdy eí ormou zavedeo ozačeí jedotky, má hraatá závorka v (.) výzam tzv. rozměru. Rozměr je vyjádřeím jedotky

11 měřeé jedotkam základím pomocí defčího vztahu. Například pro jedotku rychlost eí v systému SI zavedeo ozačeí a proto se podle defčího vztahu v = s/t ozačeí jedotky rychlost ahrazuje rozměrem [v] m s.. JEDNOTKY FYZIKÁLNÍCH VELIČIN Jedotky fyzkálích velč se, jak jž bylo řečeo, vytvářely hstorcky, hlavě vzhledem k potřebám obchodu a rozvoj techcké prae. Od začátku byla hlavím krtérem praktčost a sadá dostupost jedotky, pozděj se rozvíjely sahy o objektvtu. Příkladem může být saha o objektvzac jedotky délky. Stadardě používaé jedotky palec ebo loket byly samozřejmě závslé a tělesé kostrukc kokrétích osob. Proto jž v 6. století avrhl Jakob Köble ve svém díle Geometre, které bylo vydáo ve Frakfurtu (a.m), jako jedotku délky středí stopu, která měla být středí hodotou délky choddla šestáct áhodě vybraých osob. Proces hledáí systému základích jedotek byl postupem času završe vytvořeím mezárodě uzávaých stadardů, od kterých byly dále odvozováy stadardy árodí. Vzhledem k tomu, že člověk žje v prostoru a čase, je pochoptelé, že mez základí jedotky v každém systému patřly vždy jedotky pro měřeí délky a času, k mž byla pro potřeby mechaky, která byla hstorcky prví z výzamě se rozvíjejících oblastí fyzky, přdáa jedotka hmotost. Vlastí způsob realzace jedotek délky a času se vzhledem ke vzrůstajícím árokům a přesost a objektvtu postupě poměrě rozmatě měl. Způsob realzace jedotky hmotost formou stadardu vytvořeého jž v roce 889 aprot tomu všechy reformy přečkal v ezměěé podobě až do doby moderí. Podrobost o způsobu současé realzace eje základích jedotek délky, času a hmotost, ale všech ostatích fyzkálích jedotek v současě užívaém systému SI je možo ajít apř. v ormě [] ebo publkac []. S rozvojem dalších oblastí fyzky se systém základích jedotek postupě rozšřoval. Způsob tohoto rozšřováí však eí jak rgorózě defová, ve volbě dalších základích jedotek je začá lbovůle, takže dosažeí všeobecě uzávaého kosezu je áročé. V současé době je hlavím krtérem pro evetuálí zásahy do systému jedotek ekoomcká áročost případé změy. 3

12 Blíže bude o pravdlech a ěkterých zákotostech výstavby systému základích jedotek pojedáo v odstavc.4..3 METROLOGICKÉ ROVNICE Jako metrologcké rovce se souhrě ozačují matematcké formulace vztahů mez fyzkálím velčam, jejch jedotkam a rozměry. V prvím případě mluvíme o rovcích velčových, dále pak o rovcích jedotkových a rozměrových. Velčové rovce popsují zkoumaé přírodí zákoy ebo zavádějí ové velčy. Například velčová rovce F = dp dt (.) je obecou formulací. Newtoova zákoa, která popsuje vztah mez působící slou F a časovou změou hybost p. Já velčová rovce F = q( E + (v B)) (.3) popsuje slové působeí elektrckého ( E ) a magetckého pole ( B ) a pohybující se elektrcký áboj q, zatímco rovce dm ρ =, (.4) dv kde M začí hmotost a V objem, zavádí hustotu látky (ρ ). Jedotkové rovce popsují vztahy mez jedotkam studovaých velč a formulují se v co ejjedodušší formě, bez dferecálích, tegrálích, popř. jých složtějších operátorů. Pro jž uvedeé příklady velčových rovc (..) (.4) jsou jedotkovým rovcem postupě 4

13 j p j F =, j F = j q.j E, j F = j q.j v.j B, j ρ = j t j j m V, (.5) kde symbolem j F je ozačea jedotka síly a obdobě v ostatích případech jedotky dalších použtých velč. Rozměrovým rovcem jsou jedotkové rovce rozepsaé pomocí jedotek základích, tedy bez užtí případých specálích ozačeí jedotek zavedeých v daém systému. Například v systému SI je rozměrovou rovcí velčové rovce (.) rovce [ F] = kg m s =[ p][ t ]= kg m s s. V případě rovce (.3) pro slové působeí a áboj pohybující se v magetckém pol máme rozměrovou rovc [ F ] = kg m s = [ q][v][ B] =As ms kgs A. Rovost pravé a levé stray rozměrových rovc je možé využít pro kotrolu správost formulace rovc velčových. Tomuto postupu říkáme rozměrová aalýza. Protože však rozměrové rovce eobsahují bezrozměré číselé kostaty, je případé splěí rovc rozměrových pro celkovou správost rovc pouze podmíkou utou, kolv postačující. Uveďme dále ěkolk příkladů pro užtí rozměrové aalýzy. Prví z možostí je kotrola odvozeých formulí. Předpokládejme, že jsme užtím defčího vztahu J r dv = V ρ (.6) vypočetl, že momet setrvačost homogeího válce o poloměru R a hmotost M je dá vztahem = J MR. (.7) Z defčího vztahu je zřejmé, že rozměr mometu setrvačost v soustavě SI je [J] = kg m. Potom ale pro výsledý vzorec (.7) v této soustavě skutečě platí kg m = J = [ M][ R ] = kg m [ ] 5

14 a odvozeý vzorec je rozměrovou aalýzou potvrze. Další možostí je tzv. kotrola stupě mocých závslostí. V řadě případů jsou výsledé fyzkálí formule dáy jedoduchým mocým závslostm, př čemž eí vždy a pror jasý stupeň příslušých moc. Předpokládejme apříklad, že se sažíme formulovat vztah pro dobu kyvu matematckého kyvadla (T ). Předpokládáme, že doba kyvu bude záležet a gravtačím zrychleí g, délce kyvadla l a jeho hmotost m, přčemž eí předem jasé, v jakých mocách se budou příslušé velčy ve výsledé formul vyskytovat. Napíšeme tedy α β γ T ~ g l m. (.8) Rozměr levé stray rovce (.8) v soustavě SI je [T ] = s. Rozměr pravé stray je - - g α l β M γ m α s α m β kg γ =m α + = β s α kg γ. Srováím rozměrů levé a pravé stray rovce (.8) α + β -α γ s=m s kg dostáváme podmíky pro epoety α, β, γ α + β = 0, α =, γ = 0. (.9) Z rovc (.9) je okamžtě vdět, že předpoklad o závslost doby kyvu a hmotost kyvadla byl mylý, protože γ = 0 a dále sado ajdeme α =, β =. Formule (.8), která eí v rozporu s rozměrovou aalýzou, má tedy tvar l T. g Jako další případ uveďme formul pro sílu, kterou a sebe působí pólové ástavce elektromagetu se vzduchovou mezerou a s uzavřeým jádrem. Předpokládejme, že vzduchová mezera je úzká a síla bude tedy úměrá ploše ástavců S, magetcké dukc v mezeře elektromagetu B a permeabltě µ. Hledáme tedy formul ve tvaru F µ α B β S γ. (.0) 6

15 Rozměr levé stray formule (.0) je v soustavě SI Rozměr pravé stray potom [ F ] kg ms =. [ α ][ B β ][ S γ ] kg α m α s α A α kg β s β µ = A β m γ = kg α + β m α + γ s α β A α = β. Srováí rozměru pravé a levé stray formule (.0) dostaeme pro α, β, γ podmíky: α+ β=, α+ γ =, α β= 0. (.) Řešeím soustavy rovc (.) jsou hodoty epoetů α =, β =, γ =. Formule (.0) eodporující rozměrové aalýze má tedy tvar F B S. µ Některé další možost aplkace rozměrové aalýzy jsou podroběj probráy apříklad v prác [3]. Popsaá ejjedodušší metoda užtí rozměrové aalýzy pro kotrolu fyzkálích rovc je prcpálě omezea počtem základích jedotek, kterým je urče počet možých ezávslých rovc pro koefcety mocých závslostí. Užtí rozměrové aalýzy má však mohem šrší oblast možostí využtí. Je zejméa důležtou součástí teore fyzkálí podobost a modelováí, kde se používá př řešeí základích rovc matematcké fyzky, apříklad v mechace stavebích kostrukcí, mechace tekut, termomechace, modelováí elektrckých polí apod. Blíže jsou základy této problematky vyložey apříklad v kze [4]. 7

16 .4 SOUSTAVY JEDNOTEK Výstavba všeobecě akceptovatelé soustavy fyzkálích jedotek probíhala postupě. Důležtým mezíkem bylo uzavřeí mezárodí metrcké kovece v roce 875 a ásledující aktvty jejího ejvyššího orgáu Geerálí koferece pro míry a váhy. Tato koferece přjala a svém zasedáí v roce 960 Mezárodí soustavu jedotek (SI). Předchůdc soustavy SI byly všeobecě užívaé soustavy CGS, CGSE, CGSM, soustava Gaussova, MKS a koečě MKSA. Hstorcké aspekty postupého zaváděí zmíěých soustav jedotek jsou blíže rozebráy apř. v publkac [] ebo v kze [5]. V ozačeí soustav vystupují zkratky ozačeí základích jedotek. Tak v případě CGS je to cetmetr, gram, sekuda a podobě metr, klogram, sekuda a ampér u soustavy MKSA. Soustava CGS byla vytvořea pro použtí v mechace a její další použtí v ostatích oblastech fyzky vyžadovalo buď doplěí o další základí jedotky ebo, př poecháí tří základích jedotek, zavedeí jedotek všech dalších užívaých velč jako jedotek odvozeých. Například v oblast elektřy a magetzmu se jako prví odvozeá jedotka používala jedotka pro elektrcký áboj, odvozeá z Coulombova zákoa. Všechy ostatí jedotky elektrcké magetcké byly jedotkam odvozeým. Vzkla soustava jedotek ozačovaá jako CGSE (absolutí soustava elektrostatcká). Př opačém postupu, kdy prví odvozeou jedotkou byla jedotka pro hypotetcké magetcké možství odvozeá z formálě platého Coulombova zákoa pro slové působeí magetckých možství, byla vytvořea soustava jedotek CGSM (absolutí soustava elektromagetcká). Výhodou těchto soustav bylo to, že apř. př použtí soustavy CGSE eobsahovaly rovce vyjadřující vztahy mez velčam elektrckým žádé číselé faktory. Podobě v soustavě CGSM byly rovce popsující vztahy mez magetckým velčam bez číselých faktorů. V rovcích, ve kterých vystupovaly společě velčy jak elektrcké, tak magetcké, se však v obou soustavách kostaty úměrost vyskytovat musely. Př epermetálím zkoumáí těchto faktorů bylo objeveo, že vesměs jde o kostaty s číselou hodotou a rozměrem moc rychlost světla ve vakuu. Tato skutečost vedla pozděj k úvahám o elektromagetcké povaze světla (vz apř. [5]). 8

17 Spojeím soustav CGSE a CGSM vzkla soustava Gaussova, v íž byly jedotky elektrckých velč převzaty z CGSE a jedotky magetckých velč z CGSM. Základí zákoy tím získaly symetrckou podobu, cméě ve smíšeých vztazích se kostaty velkost a rozměru moc rychlost světla stále vyskytují. Nevýhodou uvedeých soustav elektrckých a magetckých jedotek (odvozeých od soustavy CGS), je epraktčost velkost jedotek běžě užívaých velč. Například pro jedotku proudu v soustavě CGSE (sa statampér) platí sa A, pro jedotku odporu (sω statohm) dostaeme sω 9.0 Ω. Podobě je v absolutí soustavě elektromagetcké apříklad pro jedotku apětí (av abvolt) av = 0 8 V a v soustavě Gaussově aprot tomu pro (sv statvolt) sv 3.0 V. Proto byla dále avržea soustava MKSA, která pro oblast elektřy a magetzmu opustla prcp výstavby užtím pouze tří základích jedotek a zavedla ovou základí jedotku pro elektrcký proud (A ampér). Tato soustava se pozděj stala základem pro současě používaou soustavu SI. Podroběj je o jedotkách používaých v elektřě a magetzmu pojedáo apř. v učebc [5]. Prcp výstavby soustavy jedotek s využtím pouze tří základích jedotek ostatě ebyl dodrže a u soustavy CGS a ostatích (CGSE, CGSM a Gaussova), protože pro další oblast fyzky byly zavedey další základí jedotky. Například pro termodyamku a auku o teple byla jako základí jedotka zavedea jedotka pro teplotí stupeň, v optce jedotka pro svítvost, v molekulové fyzce jedotka molekulového možství. Způsob realzace jedotek jedotlvých fyzkálích velč, zejméa jedotek základích, je předmětem metrologe a eí cílem tohoto tetu zabíhat do detalů, v kokrétích otázkách je možo odkázat a jž zmíěou khu [] ebo publkac []. Dále přesto uveďme dvě základí vlastost, které by všeobecě užívaá soustava jedotek měla mít. Soustava jedotek by předě měla být koheretí, což zameá, že velčové (a jedotkové) rovce používaé jako defčí pro velčy odvozeé, by eměly obsahovat číselé koefcety. Například velčovou rovc zavádějící rychlost hmotého bodu je možo formulovat jako dr = v k dt, v tedy rychlost je úměrá časové změě polohového vektoru. Zjedodušeí této rovce pro rovoměrý přímočarý pohyb 9

18 = v s v k t je defčím vztahem pro rychlost a v koheretím systému jedotek musí být kostata úměrost k v = a bezrozměrá. V tomto případě by ovšem mělo být v přesém slovím vyjádřeí defčího vztahu uvedeo: rychlost rovoměrého přímočarého pohybu je číselě rova poměru dráhy a času. V defčích vztazích, které vyhovují kulové ebo válcové symetr se v ěkterých případech zavádějí faktory 4π(π) s cílem odstrat ásobky π z praktcky užívaých formulí. Takové soustavy jedotek se azývají racoalzovaé. Příkladem může být soustava SI. Coulombův záko pro slové působeí mez dvěma bodovým áboj o velkost q ve vzdáleost r má zde zámý tvar q F = kc. r Použjeme-l dále stadardí postup a ajdeme vztah pro kapactu deskového kodezátoru s plochou desek S ve vzdáleost d (ve vakuu), dostaeme S C =. π kd 4 c Má-l kostata k c racoalzovaý tvar k c =, 4π ε 0 dostaeme běžě používaý vztah ε0 S C =, d ve kterém jž faktor 4π evystupuje. Praktcky užívaá formule tak obsahuje pouze jedu kostatu. Racoalzace se používá v případech, které mají podobě jako teto příklad určtý praktcký výzam. V jých případech formulí s kulovou symetrí, kde eí potřeba odstrat faktory úměré π přílš výrazá, se racoalzace epoužívá. Příkladem může být gravtačí záko Newtoův, jehož kostata úměrost (gravtačí kostata) se v SI faktorem 4π eormuje. Soustava SI, jakož větša dřívějších soustav jedotek, eí tedy důsledě racoalzovaá. Pro volbu základích jedotek daé soustavy fyzkálích jedotek, tzv. báze, eestují žádá pevá pravdla. Hlavím požadavkem a jejch výběr je mož- 0

19 ost sadé realzace příslušých stadardů, jejch dostupost pro srovávací a kalbračí měřeí a samozřejmě časová stablta. Základích jedotek by emělo být přílš moho, aby se ekomplkovalo vyjádřeí odvozeých jedotek formou rozměru. Hstorcky byly proto jako prví dvě základí jedotky realzováy jedotky pro délku (L) a čas (T). Stejě potřebá (a eje pro fyzku) byla jedotka pro hmotost (M). Pomocí těchto tří základích jedotek pak bylo možo vytvořt celý koheretí systém jedotek pro mechaku. Jedotka síly je v této tříjedotkové báz (L,T,M) jedotkou odvozeou. Dále záleží a tom, který fyzkálí záko použjeme pro odvozeí jedotky síly (F). V systému SI se využívá II. Newtoův záko ve zjedodušeém tvaru F = M a, kde jedotka pro zrychleí a je staovea jako jedotka odvozeá z jedotek rychlost a času. Postup je zázorě v tab... Př formulac dalších zákoů, které obsahují velčy, jejchž jedotky jž byly zavedey, musíme příslušé kostaty úměrost staovt epermetálě. Například v Newtoově gravtačím zákoě př vyjádřeí velkost slového působeí mez dvěma hmotým body M, M ve vzdáleost r MM F = κ (.) r musíme epermetálě staovt číselou hodotu kostaty úměrost κ (gravtačí kostaty). Tato číselá hodota závsí ovšem a velkost jedotek síly, hmotost a délky. Například př vyjádřeí jedotkam soustavy SI je (epermetálě staoveá) gravtačí kostata 3 κ 6, kg m s. (.3) Př přechodu k soustavě s jou tříjedotkovou bází, apř. CGS se velkost gravtačí kostaty změí κ CGS = 6, g cm 3 s. Pokud by se př přechodu k ové soustavě eměly jedotky pouze řádově, změl by se samozřejmě v hodotě gravtačí kostaty eje řád. Podobě je uto Plackovu hypotézu o vztahu mez eergí a kmtočtem elektromagetcké vly formulovat obecě ve tvaru E = hν

20 Tab.. Tříjedotková báze Velča Ozačeí Defčí vztah Rozměr Velkost jedotky (v jedotkách SI) základí délka s L m čas t T s hmotost M M kg odvozeé rychlost v = s/ t LT m.s zrychleí a = v/ t LT m.s síla F = Ma MLT kg.m.s (N) práce A = Fs ML T kg.m.s (J) kmtočet ν = /T T s (Hz)... a kostatu úměrost h (Plackovu kostatu) s rozměrem [h] = ML T staovt epermetálě. V soustavě SI aměříme h 6, kg m s. Velkost kostaty opět závsí a volbě velkost jedotek báze. Jako posledí příklad uveďme zámý Esteův vztah pro ekvvalec eerge a hmotost E = kem. Z rozměru kostaty úměrost [k] = L T plye, že kostata má rozměr čtverce rychlost. Číselá hodota kostaty je obdobě jako v předchozích případech závslá a volbě jedotek daé soustavy, cméě podle výsledku specálí teore relatvty platí, že je rova čtverc rychlost světla ve vakuu c, takže v soustavě mechackých jedotek s bází (L,T,M), kostruovaé postupem podle tab.. platí E = c M, bez ohledu a formu realzace jedotlvých jedotek báze. Dále ukážeme, že teto populárí tvar Esteovy formule se změí eje př změě báze systému jedotek, ale př změě zákoů vybraých pro defc jedotek odvozeých, apříklad jedotky síly. Kostaty úměrost, které je potřeba vložt do vztahů, které ejsou vztahy defčím, jsou často azýváy uverzálím kostatam. Role uverzáích kostat bývá ěkdy poěkud přeceňováa a objevují se sahy hledat

21 v jejch estec a velkost ějaký hlubší výzam. Ukažme dále, jak by se změl hypotetcký systém jedotek mechaky s tříjedotkovou bází (LTM) v případě, že by se pro defc jedotky síly epoužl II. Newtoův záko (tab..), ale záko jý, apříklad Newtoův záko gravtačí. Tab.. Alteratví tříjedotková báze Velča Ozačeí Defčí vztah Rozměr základí délka s (r) L m čas t T s hmotost M M kg odvozeé rychlost v = s/ t LT m.s zrychleí a = v/ t LT m.s Velkost jedotky (v jedotkách SI) síla F M r = / M L κ N N práce A = Fs M L κ J J kmtočet ν = /T T s (Hz)... Stuace je dokumetováa v tabulce.. Velkost síly v alteratví soustavě s tříjedotkovou bází se změí. Jedotkou síly bude yí síla, kterou a sebe působí jedotkové hmotost v jedotkové vzdáleost. Poecháme-l pro porováí jedotky báze ze soustavy SI (L,T,M) = (m,s,kg), je jedotkovou slou síla o velkost jf κ N 6,673.0 N =. (.4) Newtoův gravtačí záko bude v alteratvím systému jedotek zapsá bez kostaty úměrost (gravtačí kostaty) ve tvaru MM F =, r 3

22 zatímco ve II. Newtoově zákoě musíme yí zavést ovou kostatu úměrost (uverzálí kostatu k N, kterou azveme apříklad Newtoovou kostatou ) F= k Ma. (.5) N Rozměrovou aalýzou s využtím tab.. sado ukážeme, že rozměr Newtoovy kostaty je [k N ] = ML 3 T což odpovídá převráceé hodotě rozměru gravtačí kostaty κ. Pokud by byl ový (alteratví) systém systémem původím, bylo by uté Newtoovu kostatu staovt epermetálě. Ncméě s ohledem a vztah mez rozměry a ovou velkost jedotky síly je zřejmé, že pro velkost kostaty k platí N k N =, (.6) κ a pokud je velkost gravtačí kostaty z původího systému jedotek záma, stačí Newtoovu kostatu, potřebou v ovém systému, pouze přepočítat. Newtoova kostata bude v alteratvím tříjedotkovém systému vystupovat apříklad v defcích ketcké a potecálí eerge: kn E k = Mv a Ep = kn M gh, zatímco třetí Keplerův záko o vztahu mez dobam oběhu (T) a velkostí hlaví poloosy (a) oběžé dráhy plaet pohybujících se okolo cetrálího tělesa o hmotost (M) bude v alteratví soustavě bez gravtačí kostaty T 4π =. 3 a M V dalším zákoě, uváděém jako příklad v této dskus, v zákoě Plackově, se samozřejmě změí jak velkost, tak rozměr kostaty úměrost (k (3) p ) a záko bude mít tvar (3) E = k ν. Zde zavádíme v kostatě úměrost horí de jako ozačeí dmeze báze základích jedotek mechaky. Srováím s tab.. sado ajdeme, že [k p (3) ] = M L T, což odpovídá poměru rozměrů Plackovy a gravtačí kostaty v báz původí. Přestože rozměrová aalýza eí schopa určt velkost ko- p 4

23 staty k (3) p, lze rozborem velkost jedotky eerge, podobě jako v případě dskuse velkost Newtoovy kostaty (.6), sado ukázat, že platí (3) h k p =, κ kde h a κ jsou Plackova a gravtačí kostata v báz původí. Koečě pro Esteův vztah mez hmotostí a eergí dostaeme (3) E = ke M s kostatou úměrost s rozměrem [k E (3) ] = ML. Chceme-l ovou kostatu úměrost vyjádřt pomocí kostat úměrost v původí tříjedotkové báz se základím jedotkam SI (L,T,M) = (m,s,kg), je srováím rozměrů zřejmé, že v tomto případě platí (3) c ke = κ a kostatou úměrost mez eergí a hmotostí v tomto případě eí čtverec rychlost světla ve vakuu. Způsob defce jedotky síly tedy změl systém uverzálích kostat. Místo gravtačí kostaty se v systému achází ová kostata Newtoova a u ostatích uverzálích kostat se měí jak jejch rozměr, tak velkost. Neměí se však jejch celkový počet. Celkový počet uverzálích kostat se měí až s počtem základích jedotek, s velkostí báze. Př zvětšeí počtu základích jedotek dochází obecě ke zvětšeí počtu uverzálích kostat. V ašem hypotetckém systému základích jedotek mechaky můžeme jako další základí jedotku zavést apříklad jedotku síly. Realzujeme j ějakým stadardem, apříklad deálí pružou. Postup odvozováí dalších mechackých jedotek je podobý jako v soustavě s tříjedotkovou bází a je zázorě v tab..3. Př formulac Newtoova pohybového zákoa je zde třeba uvážt, že všechy velčy v zákoě vystupující už mají v tomto případě jedotky zavedey, záko tedy eí defčím vztahem a musí obsahovat uverzálí kostatu F = k M a. (.7) (4) N Velkost uverzálí kostaty (Newtoovy) k (4) N, je závslá a velkost základích jedotek a musí být staovea epermetálě. Její rozměr je (4) - - [ k ] = FM L T. N 5

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

VY_52_INOVACE_J 05 01

VY_52_INOVACE_J 05 01 Název a adresa školy: Středí škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková orgazace, Praskova 399/8, Opava, 74601 Název operačího programu: OP Vzděláváí pro kokureceschopost, oblast podpory 1.5 Regstračí

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.

3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě. 3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí

Generování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta

Více

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.

a další charakteristikou je četnost výběrového souboru n. Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák

S1P Popisná statistika. Popisná statistika. Libor Žák SP Popsá statstka Popsá statstka Lbor Žák SP Popsá statstka Lbor Žák Základí zdroje : skrpta Mateatka IV - doc. RNDr. Z. Karpíšek, CSc. ateatka o le - http://athole.fe.vutbr.cz/ Základ ateatcké statstk

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE

1.3. ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE ORTOGONÁLNÍ A ORTONORMÁLNÍ BÁZE V této kaptole se dozvíte: jak je oecě defováa kolmost (ortogoalta) vektorů; co rozumíme ortogoálí a ortoormálí ází; co jsou to tzv relace ortoormalty a Croeckerovo delta;

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x

jsou varianty znaku) b) při intervalovém třídění (hodnoty x Výběr z eřeštelých příkladů ze zkouškových testů Jde o výběr z tpů příkladů, jejchž úspěšost řešeí u zkoušek se blíží ule. Itervalové versus bodové tříděí V tabulce je uvedeo rozděleí četostí a) př bodovém

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI

1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI 1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění

Přednáška č. 10 Analýza rozptylu při jednoduchém třídění Předáška č. 0 Aalýza roztylu ř jedoduchém tříděí Aalýza roztylu je statstcká metoda, kterou se osuzuje romělvost oakovaých realzací áhodého okusu tj. romělvost áhodé velčy. Náhodá velča vzká za relatvě

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky).

Statistika. Jednotlivé prvky této množiny se nazývají prvky statistického souboru (statistické jednotky). Statstka. Základí pojmy Statstcký soubo - daá koečá, epázdá moža M předmětů pozoováí, majících jsté společé vlastost (událost, věc,.) Jedotlvé pvky této možy se azývají pvky statstckého soubou (statstcké

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ PRÁCE Praha 8 Pavel Třasák ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE DIPLOMOVÁ

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

TĚŽIŠTĚ A STABILITA. Těžiště tělesa = bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech jeho hmotných bodů, ať těleso natáčíme jakkoli

TĚŽIŠTĚ A STABILITA. Těžiště tělesa = bod, kterým stále prochází výslednice tíhových sil všech jeho hmotných bodů, ať těleso natáčíme jakkoli SAIKA - těžště ĚŽIŠĚ A SABILIA ěžště tělesa bod, kterým stále prochází výsledce tíhových sl všech jeho hmotých bodů, ať těleso atáčíme jakkol bod, ke kterému astává rovováha mometů způsobeých tíhou jedotlvých

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

C V I Č E N Í 4 1. Představení firmy Splintex Czech 2. Vlastnosti skla a skloviny 3. Aditivita 4. Příklady výpočtů

C V I Č E N Í 4 1. Představení firmy Splintex Czech 2. Vlastnosti skla a skloviny 3. Aditivita 4. Příklady výpočtů Techologe skla 00/03 C V I Č E N Í 4. Představeí rmy pltex Czech. Vlastost skla a sklovy 3. Adtvta 4. Příklady výpočtů Hospodářská akulta. Představeí rmy pltex Czech a.s. [,] Frma pltex Czech je součástí

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

Přednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs.

Přednáška V. Úvod do teorie odhadu. Pojmy a principy teorie odhadu Nestranné odhady Metoda maximální věrohodnosti Průměr vs. Předáška V. Úvod do teore odhadu Pojmy a prcpy teore odhadu Nestraé odhady Metoda mamálí věrohodost Průměr vs. medá Opakováí výběrová dstrbučí fukce Sestrojíme výběrovou dstrbučí fukc pro výšku a váhu

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n

U. Jestliže lineární zobrazení Df x n n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášky M. Krupky Zmí semestr 999/ 3. Iverzí a mplctí zobrazeí V této kaptole uvádíme dvě důležté věty, které acházeí aplkace v moha oblastech matematky: Větu o verzím a větu o

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl:

9 NÁHODNÉ VÝBĚRY A JEJICH ZPRACOVÁNÍ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: 9 ÁHODÉ VÝBĚR A JEJICH ZPRACOVÁÍ Čas ke studu katol: 30 mut Cíl: Po rostudováí tohoto odstavce budete rozumět ojmům Základí soubor, oulace, výběr, výběrové šetřeí, výběrová statstka a budete zát základí

Více

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH

USTÁLENÉ PROUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KORYTECH USTÁLENÉ POUDĚNÍ V OTEVŘENÝCH KOYTECH ovoměré prouděí Charakterstka:. Hloubka vod v kortě, průtočá plocha a průřezová rchlost jsou v každém příčém řezu kostatí.. Čára eerge, vodí hlada a do korta jsou

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY

ZÁKLADY STAVEBNÍ MECHANIKY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BNĚ AKULTA STAVEBNÍ ING. JIŘÍ KYTÝ, CSc. ING. ZBYNĚK KEŠNE, CSc. ING. OSTISLAV ZÍDEK ING. ZBYNĚK VLK ZÁKLADY STAVEBNÍ ECHANIKY ODUL BD0-O SILOVÉ SOUSTAVY STUDIJNÍ OPOY PO STUDIJNÍ

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou

Více

7 LIMITNÍ VĚTY. Čas ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl:

7 LIMITNÍ VĚTY. Čas ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl: 7 LIMITNÍ VĚTY Čas ke studu kaptoly: 70 mut Cíl: o prostudováí tohoto odstavce budete umět formulovat a používat lmtí věty aproxmovat já rozděleí rozděleím ormálím - 96 - Výklad: V této kaptole adefujeme

Více

Téma 2 Přímková a rovinná soustava sil

Téma 2 Přímková a rovinná soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma 2 Přímková a rová soustava sl Přímková soustava sl ový svazek sl Statcký momet síly k bodu a dvojce sl v rově Obecá rová soustava sl ová soustava rovoběžých

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více