Úvod do fyziky plazmatu

Transkript

1 Úvod do fyziky plazmatu Definice plazmatu(typická) Plazma je kvazineutrální systém nabitých(a případně i neutrálních) částic, který vykazuje kolektivní chování. Pozn. Kolektivní chování je tedy podstatné, nicméně nemusí dominovat. Kdy je počet nabitých částic v plynu nezanedbatelný? Ionizační rovnováha- Sahova rovnice[jednotky SI] n i n e n n ( = T 3/2 exp U ) i k B T Napříkladzaatmosférickéhotlakuapřipokojovéteplotě n n = N A = m 3 Boltzmannovakonstanta k B k B = R N A = J/K = ev/k k B T = 1 ev T = K Produsík ionizačnípotenciál U i = 14.5 ev Přiteplotě11600Kapřiatmosférickéhustotěje n i n n = Teplota plazmatu bývá vysoká a často se porovnává s potenciály ionizace, proto se obvykle udává v energetických jednotkách(ev, kev). Kvazineutralita Celkový elektrický náboj je mnohem menší než celkové množství kladného náboje(a absolutní hodnota celkového záporného náboje).

2 Náboje různých druhů se přitahují. K tomu, aby se oddělily od sebe(vznikly makroskopické oblasti s nekompenzovaným nábojem) je zapotřebí určité energie. Náboje se mohou samovolně oddělit jen na vzdálenost, kterou jim dovolí jejich tepelná energie- vzdálenost, kdy se veškerá tepelná energie změní na potenciální energii. Jednoduchý fyzikální model jak silná(tloušťka ) nekonečná rovinná vrstva elektronů se může posunout proti iontům o celou svou tloušťku? Obrázek 1: Schéma posunutí vrstvy elektronů o tloušťce proti iontům o vzdálenost Vzniká kondenzátor s plošnou hustotou náboje σ a uvnitř je elektrické pole E σ = e n e E = σ ε 0 Potenciální energie, kterou je nutno dodat jednomu elektronu pro posun o je pro maximální tloušťku vrstvy právě rovna jeho tepelné energii U pot = e E = e2 n e 2 Toto senazýváelektronovádebyovadélka λ De ε 0 = k B T e ( ε0 k B T e λ De = = n e e 2 )1/2 (1)

3 Plazma je tedy kvazineutrální na vzdálenostech, které jsou podstatně větší než Debyova délka, podmínkou kvazineutrality je charakteristický rozměr Lplazmatu L λ De. Časová podmínka kvazineutrality- kvazinetralitu nemá cenu uvažovat u velmi rychlých jevů k oddálení nábojů dochází jen na určitou krátkou dobu. Rychlost uspořádaného pohybu elektronů Pohybová rovnice pro elektrony v = d d t m e d v d t = e2 n e ε 0 d2 d t 2 = e2 n e ε 0 m e To je rovnice harmonického oscilátoru s frekvencí ω rovnou elektronové plazmovéfrekvenci ω pe ω pe = e2 1/2 n e ε 0 m e Tedy kvazineutralita platí, pokud charakteristický čas děje τ je velký τ ω 1 pe. Debyovo stínění Probereme nyní podrobněji stínění statického náboje v plazmě. Poprvé ho Debye odvodil v teorii elektrolytů. Budeme používat makroskopického popisu s veličinami jako hustota(koncentrace)elektronů n e aiontů n i. Budemepředpokládat,žeteplotaelektronů T e nemusíbýtobecněrovna teplotěiontů T i.tosevplazmatustáváčasto,protože(jakpozdějiukážeme) je přenos energie mezi elektrony a ionty velmi pomalý. Na rozdíl od učebnice [Chen] připustíme, že plazma může být vícenásobně ionizovaná, označíme Z střední náboj iontů. Tedy náboj elektronu je q e = eanábojiontuje q i = Z e. (2)

4 Elektrostaticképolekolemnáboje q T umístěnéhovpočátkujedánopoissonovou rovnicí ϕ = ρ ε 0 = e ε 0 (n e Z n i ) q T ε 0 δ( r) Předpokládáme,žev (tamkde ϕ = 0)jehustotanáboje ρ = 0.Tedy n e = n 0 = Z n i. Předpokládáme rovnovážný stav a tepelnou energii elektronů i iontů podstatně větší než je Fermiho energie E F = π2 h 2 2m e ( 3ne π ) 2/3. Např. Fermiho energie pro pevné kovové látky bývají řádově několik ev. Pravděpodobnost obsazení hladin je pak dána Boltzmannovou statistikou atedy p exp( U/k B T).Tedy ( ) eϕ n e = n 0 exp k B T e n i = n ( 0 Z exp Z eϕ k B T i Hustoty elektronů a iontů lze teď dosadit do Poissonovy rovnice a tuto řešit. Řešení si zjednodušíme linearizací, budeme předpokládat, že potenciální energie je malá proti kinetické. Pro ) x 1 exp(x) 1 + x Pak 2 ϕ = e2 ( 1 n e + Z ) ε 0 T e T i Pro sférickou symetrii je 2 ϕ = 1 r 2 d dr ( ϕ r 2 dϕ dr pro r 0 Posubstituci ϕ = ϕ/rmápoissonovarovnicepro r > 0tvar kdedebyovadélka λ 2 Dje λ 2 D = λ 2 De + λ 2 Di λ De = d 2 ϕ dr 2 = ϕ λ 2 D ) k B T e ε 0 n e e 2 λ Di = k B T i ε 0 Z n e e 2 (3)

5 Při T e > T i /Zdominujeiontovéstíněnístatickéhonáboje.Kolemkaždé nabité částice je určité stínění. Aby vzniklo stacionární iontové stínění, musí být rychlost nabité částice mnohem menší než je tepelná rychlost iontů. Pokud je částice rychlejší než tepelné ionty, ale mnohem pomalejší než je tepelná rychlost elektronů, vytváří se stacionární stínění elektrony, ale stínění ionty je menší než u statického náboje. Potenciálstatickéhonáboje q T vplazmatuje ϕ = q ( T 4π ε 0 r exp r ) (4) λ D Plazmatedyodstínístatickýnábojnavzdálenost λ D. Odvození v sobě obsahovalo 2 předpoklady Při odvození jsme používali hustoty nabitých částic, což s rozumnou přesností lze jen, pokud se jedná o vzdálenosti velké ve srovnání se střednívzdálenostimezičásticemi,tedy λ D musíbýtvelkéatudíž počet částic v Debyově sféře N D = 4π 3 λ3 De n e = 4π 3 ε 3/2 0 k 3/2 B Te 3/2 e 3 ne 1/2 1 (5) Veličině N D nebojejímunásobkuseříkáplazmatickýparametr.brzy uvidíme,žejenpři N D 1převažujekolektivnípůsobenínadbinárním působením částic v plazmatu. Pokud je splněna podmínka N D 1,mluvímeoideálnímplazmatu. Pozn. V ideální plazmatu tedy kolektivní působení dominuje nad binární interakcí částic. Při linearizaci Poissonovy rovnice jsme předpokládali, že potenciální energie nabitých částic eϕ je mnohem menší než jejich tepelná energie k B T e.tojistěneplatívbezprostředníblízkostipočátku,aletam neplatíanipředchozípředpoklad.stačítedypředpokládat,že q T je takmalé,ženastřednívzdálenostimezielektrony R e = [3/(4πn e )] 1/3 nerovnost platí. Plazmováfrekvence ω pe,elektronovádebyovadélka λ De atepelnárychlost elektronů v Te splňujíjednoduchývztah v Te = k B T e /m e = λ De ω pe (6)

6 Kolektivní chování Pojmem kolektivní chování označujeme vzájemné působení částic pomocí makroskopických elektromagnetických polí na rozdíl od mikroskopických polí, kterými na sebe působí částice při binární srážce. Pro převahu kolektivního chování musí být kolektivní působení, charakterizované elektronovouplazmovoufrekvenci ω pe,silnějšínežjebinárnípůsobenícharakterizovanésrážkovoufrekvencí ν c.musítedyplatit ω pe > ν c. Srážky mezi nabitými částicemi Chceme odvodit srážkovou frekvenci, pro jednoduchost budeme předpokládat,žeseneměnísložkarychlosti v 0 nalétávajícíčásticevesměrupohybu předsrážkou(platíprovelká b,kdydocházíjenkmalézměněsměrupohybu částice) Obrázek2:Schémasrážky2nabitýchčástic(ˆrjejednotkovývektorvesměru r, bje srážkový parametr) Kolmou složku hybnosti částice získáme časovou integrací impulsu síly m v = F (t) dt Kolmá složka síly je dána vztahem F = q q 0 4π ε 0 r 2 sinθ = q q 0 4π ε 0 b 2 sin3 θ,

7 kdejsmevyužilivztahu r = b/ sinθ. Závislost F načasejedánazávislostíúhlu θ.pohybvesměru ˆxpokládáme zarovnoměrný,aproto t = x/v 0 = r cosθ/v 0 = b cos θ/(v 0 sinθ)a tedy dt = b dθ v 0 sin 2 θ Po dosazení q q 0 q q 0 π v = 4π ε 0 m b 2 sin3 θ(t)dt = 4π ε 0 m b v sinθdθ = v 0 b b kde b 0 jelandauovadélka b 0 = 1 2q q 0 4π ε 0 m v0 2 (7) Srážkovýparametr b 0 odpovídározptyluna90,tedysituaci,kdyčástice ztratilapůvodnísměrrychlosti.účinnýprůřezprorozptylnaúhel 90 je σ = π b 2 0. Srážková frekvence(pro rozptyl na velké úhly) ν L = πn 0 v 0 b 2 0 = 4πn 0 (4πε 0 ) 2 q 2 q 2 0 m 2 v 3 0 Rozptyl na malé úhly Elektrostatické pole- síla dalekého dosahu- nad rozptylem na velké úhly často převažuje suma mnoha rozptylů na malé úhly. Ke ztrátě původní orientace rychlosti tedy pravděpodobně dojde mnoha malými změnami vektoru rychlosti dříve než dojde k jedné srážce s velkým úhlem rozptylu. Srážková frekvence je pak definována jako 1 lomeno průměrnou dobou, za kterou částice ztratí původní orientaci rychlosti. Historii pohybu částice lze považovat za náhodnou procházku v prostoru rychlostí. Dojde-li v určitém časovém intervalu k N srážkám, je změna např. y složky rychlosti v y = v y1 + v y v yn, přitomstředníhodnota v y = v yi = 0.Poněvadžlzepovažovatjednotlivésrážkyzanekorelované,jedisperze v y D vy = ( v y ) 2 = ( N v yi ) 2 = N ( vyi ) 2 = N ( v y1 ) 2 i=1 i=1

8 Pro jednu srážku se srážkovým parametrem b je v 2 = ( vy ) 2 + ( v z ) 2 = v2 0 b 2 0 b 2 Protože disperze je pro obě kolmé složky rychlosti stejná, je ( vy ) 2 tot = N 2 v 2 0 b 2 0 b 2 Počet srážek se srážkovým parametrem v intervalu db je dn = n 0 v 0 2πb db a tedy celková disperze kolmé složky rychlosti je dána vztahem d ( vy ) 2 tot = π n0 v0 3 b 2 0 dt db b = π n 0 v 3 0 b 2 0 ln b max b min Divergující integrál jsme museli omezit. Spodní hranice je dána předpoklademrozptylůnamaléúhly,atenprosrážkovéparametrymenšínež b 0 zjevně neplatí. Pro velké srážkové parametry neplatí předpoklad o Coulombovském působení mezi částicemi, neboť se zde uplatní Debyovské stínění, protovolíme b max = λ De. Označmeprosrážkumezielektronystepelnourychlostí v Te Λ = λ De b 0 = 2πε 0 λ De m e v 2 Te e 2 = 2π n e λ 3 De = 3 2 N D (8) Veličina Λjevelkávideálnímplazmatu,kdeplazmovýparametr N D 1. Veličina lnλ se nazývá Coulombův(Coulombovský) logaritmus, je to poměr srážkové frekvence všech srážek k frekvenci rozptylu na úhly větší než 90.Jejítypickáhodnotavideálnímplazmatubývá5 20. Srážkováfrekvenceprosrážkyelektronůsrychlostí v 0 selektronyje ν = 8π n 0 e 4 (4πε 0 ) 2 m 2 e v 3 0 lnλ SrážkováfrekvenceCoulombovskýchsrážekje v 3 astřednívolnádráha je v 4,protorelativněrychléelektronyzkoncerozdělenírychlostímají málo srážek a mohou bez větší změny směru projít poměrně velkou vzdálenost.

9 Srážkovoufrekvencielektronůstepelnourychlostí v 0 = v Te = (k B T e /m e ) 1/2 nazýváme efektivní srážkovou frekvencí ν c = Poměr srážkové frekvence k plazmové frekvenci je ν c = 1 ω pe 2π lnλ n 0 λ 3 De 8π n e e 4 lnλ (4πε 0 ) 2 m 1/2 e (k B T e ) 3/2 (9) = ln(3n D/2) 3N D /2 ( 1 pro N D 1 ) a proto v ideálním plazmatu je efektivní srážková frekvence mnohem menší než elektronová plazmová frekvence a vliv kolektivní interakce pomocí makroskopických elektromagnetických polí dominuje nad vlivem srážek. Pro popis některých jevů lze tedy použít přiblížení bezesrážkového plazmatu. Poměr potenciální a kinetické energie Porovnejme energii elektronu v poli nejbližšího elektronu, vzdáleného o střednívzdálenost R e = (3/4π n e ) 1/3 sjehokinetickouenergií W p e2 4πε 0 R e = W p W k 2 9 e 2 n 1/3 e 3 1/3 (4π) 2/3 ε 0 W k 3 2 k B T e 3 4π e 3 n 1/2 e ε 3/2 0 k 3/2 B Te 3/2 2/3 = 2 9N 2/3 D V ideálním plazmatu je tedy kinetická energie částic mnohem větší než jejich vazebná(potenciální) energie. Jde tedy o slabě vázané plazma. Tím se ideální plazma přibližuje plynu, a proto často mluvíme o ionizovaném plynu. Stavová rovnice ideálního plynu je pak dobrou aproximací stavové rovnice elektronů v plazmatu. Parametr vázanosti plazmatu Γ Uspořádání iontů je dáno poměrem potenciální energie 2 sousedních iontů sestřednímnábojemzvestřednívzdálenosti R i kekinetickéenergiiiontu Γ = Z 2 e 2 ( 4π = 4πε 0 R i k b T i 3 ) 1/3 Z 2 e 2 n 1/3 i 4πε 0 k B T i (10) Pokud Γ 1jednáseoslaběvázané(weaklycoupled)plazma,kdejsou ionty neuspořádané jako v plynu. Stavová rovnice ideálního plynu je pak

10 dobrou aproximací iontové stavové rovnice v plazmatu, navíc lze pak obvykle zanedbat i interakční energii mezi elektrony a ionty. Ideální plazma je plazma slabě vázané. V dynamice ideálního plazmatu obvykle vystačíme s klasickým(nekvantovým) popisem. Naopakpři Γ 1sejednáosilněvázanéplazma,kdejsouiontyksobě vázány obdobně jako v kapalině či pevné látce. Kvantové efekty hrají podstatnou roli v chování silně vázaného plazmatu. Degenerované plazma Degenerovaný je elektronový plyn a tudíž degenerované plazma má menší elektronovouteplotu T e nežjefermihoenergie E F Různé typy plazmatu k B T e < E F = π2 h 2 2m e ( 3ne π ) 2/3. Plazma v přírodě Ideální- výboje; ionosféra; sluneční vítr; vnější vrstvy hvězd; mezihvězdný plyn Ideální i neideální- vnitřky hvězd Neideální- elektronový plyn v kovech(degenerované plazma), elektrolyty Plazma v laboratoři Ideální- výboje různých typů(elektronky, výboje pro čerpání plynových laserů, pinče, kapilární výboj); MHD generátory; iontové motory Ideální i neideální- laserové plazma Plazma, které nesplňuje definice Častomluvímeoplazmatutam,kdenászajímajíobdobnéjevyjakov plazmatu(např. kolektivní chování systému), ačkoliv definice splněna není neneutrální plazma- intenzivní částicové svazky

11 Počet částic (elektronů + iontů) v Debyově sféře Převzato z R.P. Drake, High-Energy-Density Physics, Springer 2006 (a) Plazma z materiálů s vysokým atomovým číslem, kde se předpokládá střední ionizace Z = 0.63 Te, kde T je v ev. (b) Plazma z materiálů s nízkým atomovým číslem, kde se předpokládá střední ionizace Z=4

12 Obrázek 3: Typické parametry různých forem plazmatu

13 Obrázek 4: Typické teploty a hustoty různých forem plazmatu