Úvod do fyziky plazmatu

Transkript

1 Dfinic plazmatu (typická) Úvod do fyziky plazmatu Plazma j kvazinutrální systém nabitých (a případně i nutrálních) částic, ktrý vykazuj kolktivní chování. Pozn. Kolktivní chování j tdy podstatné, nicméně nmusí dominovat. 1 Kdy j počt nabitých částic v plynu nzandbatlný? Ionizační rovnováha - Sahova rovnic [jdnotky SI] n n n i 1 3/ i.41 T xp n U kbt Boltzmannova konstanta j k B = R/N A = J/K = V/K a tdy k B T = 1 V při tplotě T = 116 K, ionizační potnciál j například pro atom dusíku U i = 14.5 V (15.58 pro molkulu N ), pro Ar j U i = V Za atmosférického tlaku j při tplotě C hustota atomů v čistém argonu (Loschmidtovo číslo) n = m -3 = n n + n i n n a dl (1) rovnovážná ionizac j n i /n n = I pro tplotu 1 V j pro argon n i /n n.4. (1)

2 Pozn. Tplota plazmatu j většinou vysoká, proto s obvykl udává v V nbo v kv. Pozn. V důsldku působní kosmického zářní j koncntrac iontů v vzduchu v nulové nadmořské výšc řádově 1 9 m -3. Kvazinutralita Systém j kvazinutrální, pokud v objmch srovnatlných s třtí mocninou jho charaktristické rozměru L j jho clkový náboj mnohm mnší nž clkové množství kladného náboj (a absolutní hodnota clkového záporného náboj). Pozn. Charaktristická délka L musí být mnohm větší nž vzdálnost, na jakou s mohou vzdálit záporné náboj od kladných (obvykl lktrony od iontů). K oddělní nábojů opačného znaménka od sb j zapotřbí určitá nrgi. Makroskopické oblaky nábojů s mohou oddělit jn na vzdálnost, kdy s jjich vškrá tplná nrgi změní na potnciální.

3 3 Jdnoduchý fyzikální modl jaká j maximální tloušťka nkončné rovinné vrstvy lktronů, ktrá s můž posunout vůči npohyblivým iontům o clou svou tloušťku? Obr. 1 Posun vrstvy Vzniká rovinný s plošnou hustotou náboj σ a uvnitř j lktrické pol E n E / Potnciální nrgi lktronu j rovna tplné nrgii Toto s nazývá lktronová Dbyova délka D D n U E k T pot B kt B n Elktronová Dbyova délka rost s odmocninou lktronové tploty T a klsá s odmocninou lktronové hustoty (koncntrac) n. Plazma j tdy kvazinutrální na vzdálnostch, ktré jsou podstatně větší nž Dbyova délka, podmínkou kvazinutrality j charaktristický rozměr L plazmatu L λ D. 1/ ()

4 Dbyovo stínění Statický náboj j v plazmatu stíněn, protož přitahuj opačné náboj a odpuzuj náboj stjného znaménka. Pozn. Dby odvodil stínění v torii lktrolytů. Budm přdpokládat, ž tplota lktronů T nmusí být obcně rovna tplotě iontů T i. To s v plazmatu stává často, protož (jak později ukážm) j přnos nrgi mzi lktrony a ionty vlmi pomalý. Na rozdíl od učbnic [Chn] připustím, ž plazma můž být vícnásobně ionizovaná, označím Z střdní náboj iontů. Tdy náboj lktronu j q = a náboj iontu j q i = Z. Elktrostatické pol kolm náboj q T umístěného v počátku j dáno Poissonovou rovnicí qt n Zn δ r (3) i Nchť v (tam, kd = ) j hustota náboj =. Tdy n = n = Z n i. Abychom mohli použít Boltzmannovu statistiku, musí být tplná nrgi větší nž Frmiho nrgi, a tdy 4

5 k T 3n E m B F Pozn. Při hustotě n = 1 9 m -3 typické pro pvnou fázi j E F = 7.9 V, pro hustotu plynu n = m -3 j E F =.38 V. V Boltzmannově statistic j pravděpodobnost obsazní stavu ~xp(-u/k B T) n Z n n xp ni xp kbt Z kbti Hustoty lktronů a iontů lz tď dosadit do Poissonovy rovnic a tuto řšit. Řšní si zjdnoduším linarizací, budm přdpokládat, ž potnciální nrgi kintická. Pro x 1 j xp(x) 1 + x a rovnici (3) přpíšm Po substituci 1 d d n 1 Z r pro r r dr dr T Ti / r má Poissonova rovnic tvar /3 d d r D 5 (4) (5)

6 Potnciál statického náboj q T v plazmatu j tdy qt 4 r r xp D Na vzdálnosti D j potnciál odstíněn na 1/ vakuové hodnoty. Stínění j součtm lktronového stínění s D a iontového s Di. Dbyova délka D j k T k T k T (7) B B i B i D D Di D Di n ni Z n Z Při T > T i /Z dominuj iontové stínění statického náboj. Kolm každé nabité částic v plazmatu j určité stínění, tzv. dynamické stínění. Aby vzniklo stacionární iontové stínění, musí být rychlost nabité částic tplná rychlost iontů. Pokud j částic rychljší nž tplné ionty, al mnohm pomaljší nž j tplná rychlost lktronů, vytváří s stacionární stínění lktrony, al stínění ionty j nž u statického náboj. 6 (6)

7 Přdpoklady obsažné v odvozní Při odvozní jsm používali hustoty nabitých částic, což s rozumnou přsností lz jn, pokud s jdná o vzdálnosti (v tomto případě λ D ) vlké v srovnání s střdní vzdálnosti mzi částicmi. Obvykl s požaduj, aby počt lktronů N D v lktronové Dbyově sféř N 4 4 3/ 3/ 3/ 3 B D D n 3 1/ 3 3 n Vličině N D nbo jjímu násobku s říká plazmatický paramtr. Pozn. Při N D <1 stínění xistuj také, al jho fluktuac > střdní hodnota stínění. Při linarizaci Poissonovy rovnic jsm přdpokládali, ž potnciální nrgi nabitých částic jjich tplná nrgi k B T. To jistě nplatí v bzprostřdní blízkosti počátku, al tam nplatí ani přdchozí přdpoklad. Stačí tdy přdpokládat, ž q T j tak malé, ž na střdní vzdálnosti mzi lktrony R 3/ 4 n 1/3 nrovnost platí. k T 1 7 (8)

8 Kolktivní chování Pojmm kolktivní chování označujm vzájmné působní částic pomocí makroskopických lktromagntických polí na rozdíl od mikroskopických polí, ktrými na sb působí částic při binární srážc. Rychlost změny systému v důsldku binárních srážk j dána srážkovou frkvncí c. S rostoucí srážkovou frkvncí c rost význam binárního působní. V plazmatu xistuj řada kolktivních pohybů, al njrychljší j pohyb oblaku lktronů vůči iontům v důsldku jjich vzájmného přitahování. Použijm opět modl rovinných vrstv (obr. 1). Rychlost uspořádaného pohybu lktronů j v d / dt a pohybová rovnic pro lktrony j m d v n d n E dt t m d Dochází tdy k plazmovým oscilacím s lktronovou plazmovou frkvncí p n m 8 (9) (1)

9 9 Elktronová plazmová frkvnc p charaktrizuj sílu kolktivního působní a při p > c kolktivní chování plazmatu přvažuj. Elktronová plazmová frkvnc ω p, lktronová Dbyova délka λ D a tplná rychlost lktronů v T splňují jdnoduchý vztah v k T / m T B p D Pozn. Pokud započtm i pohyb iontů, pak frkvnc plazmových oscilací j p p pi, kd pi Z ni / Mi Zp m / Mi. Obr. Schéma srážky ( ˆr jdnotkový vktor v směru r, b srážkový paramtr) Srážková frkvnc nabitých částic Pro jdnoduchost budm přdpokládat, ž s nmění složka rychlosti v nalétávající částic v směru pohybu přd srážkou (platí pro vlká b, kdy dochází jn k malé změně směru pohybu částic). Kolmou složku hybnosti částic získám časovou intgrací impulsu síly m v F t dt

10 Kolmá složka síly j dána vztahm q q q q F 4 4 kd jsm využili vztahu r = b/sinθ. 3 sin sin, r b Závislost F na čas j dána závislostí úhlu θ. Pohyb v směru x pokládám za rovnoměrný, a proto t = x/v = r cosθ/v = b cosθ/(v sinθ) a tdy dt bd / v sin a tdy v v q q sin ( )d q q sin d b 4 4 v kd b j Landauova délka 3 t t mb mb b, b q q / ( mv ) Srážkový paramtr b odpovídá rozptylu na 9, tdy ztrátě původního směru rychlosti. Účinný průřz pro rozptyl na úhl 9 j b. Srážková frkvnc (pro rozptyl na vlké úhly) j pak L n n q q v b 3 4 m v 1

11 Rozptyl na malé úhly Elktrostatické pol - síla dalkého dosahu - nad rozptylm na vlké úhly často přvažuj suma mnoha rozptylů na malé úhly. K ztrátě původní orintac rychlosti tdy pravděpodobně dojd mnoha malými změnami vktoru rychlosti dřív, nž nastan jdna srážka s vlkým úhlm rozptylu. Srážková frkvnc j pak dfinována jako 1 lomno průměrnou dobou, za ktrou částic ztratí původní orintaci rychlosti. Historii pohybu částic lz považovat za náhodnou procházku v prostoru rychlostí. Dojd-li v určitém časovém intrvalu k N srážkám, j změna např. y složky rychlosti v v v v, y y1 y yn Přitom střdní hodnota v y v yi. Poněvadž lz považovat jdnotlivé srážky za nkorlované, j disprz v y D N N v v v v y yi yi N y vy 1 i1 i1 11

12 Pro jdnu srážku s srážkovým paramtrm b j v v v b y v z v y1 b v b b Počt srážk s srážkovým paramtrm v intrvalu db j d N nv b db a tdy clková disprz kolmé složky rychlosti j dána vztahm d 3 db 3 bmax v y n v b n v b ln dt tot b bmin Divrgující intgrál jsm musli omzit. Spodní hranic j dána přdpokladm rozptylů na malé úhly, a tn pro srážkové paramtry mnší nž b nplatí. Pro vlké srážkové paramtry nplatí přdpoklad o coulombickém působní mzi částicmi, nboť s zd uplatní Dbyovo stínění, proto volím b max = λ D. Označm pro srážku mzi lktrony s tplnou rychlostí v T D D m vt 3 3 n D ND b (11) Pokud j plazmatický paramtr N D vlký, pak i vlké. Vličina ln s nazývá Coulombův (coulombovský) logaritmus. J to poměr srážkové frkvnc všch srážk k frkvnci rozptylu na úhly větší nž 9. 1

13 Srážková frkvnc pro srážky lktronů s rychlostí v s lktrony j 4 8 n ln 3 4 m v. Srážková frkvnc coulombických srážk j v 3 a střdní volná dráha j v 4, proto rlativně rychlé lktrony z konc rozdělní rychlostí mají málo srážk a mohou bz větší změny směru projít poměrně vlkou vzdálnost. Srážkovou frkvnci lktronů s tplnou rychlostí v = v T = (k B T /m ) 1/ nazývám fktivní srážkovou frkvncí 4 8 n c ln 1/ 3/ 4 m k T (1) B Poměr srážkové frkvnc k plazmové frkvnci j ln 3 / c 1 ln ND 3 1 pro ND 1 n 3 N / p D D Pro vlké hodnoty N D dominuj kolktivní chování charaktrizované p nad vlivm binárních intrakcí charaktrizovaných c. Takové plazma s nazývá idální plazma. Něktré jvy lz pak popsat v přiblížní bzsrážkového plazmatu. 13

14 Poměr potnciální a kintické nrgi Porovnjm nrgii lktronu v poli njbližšího lktronu, vzdálného o střdní vzdálnost R = [3/(4π n )] 1/3 s jho kintickou nrgií (uvažujm ndgnrované plazma) 1/3 n 3 Wp W 1/3 /3 k kbt 4 R 3 4 W /3 3 1/ p 3 n 3/ 3/ 3/ /3 k 9 4 B 9 D 14 (13) W k T N V idálním plazmatu j N D 1 a kintická nrgi částic j tdy jjich vazbná (potnciální) nrgi. Jd tdy o slabě vázané plazma. Tím s idální plazma přibližuj plynu, často mluvím o ionizovaném plynu. Stavová rovnic idálního plynu j pak dobrou aproximací stavové rovnic lktronů v idálním plazmatu.

15 Paramtr vázanosti plazmatu Uspořádání iontů j dáno poměrm potnciální nrgi sousdních iontů s střdním nábojm Z v střdní vzdálnosti R i k kintické nrgii iontu 1/3 1/3 Z ni Z 4 4 Ri kbti 3 4 kbt (14) i Pokud 1 jdná s o slabě vázané (wakly coupld) plazma, kd jsou ionty nuspořádané jako v plynu. Stavová rovnic idálního plynu j pak dobrou aproximací iontové stavové rovnic v plazmatu, navíc lz pak obvykl zandbat i intrakční nrgii mzi lktrony a ionty. Idální plazma j plazma slabě vázané, kd obvykl vystačím s klasickým (nkvantovým) popism. Naopak při 1 s jdná o silně vázané plazma, kd jsou ionty k sobě vázány obdobně jako v kapalině či pvné látc. Kvantové fkty hrají podstatnou roli v chování silně vázaného plazmatu. Dgnrované plazma Dgnrovaný jsou lktrony, a to při lktronové tplotě < Frmiho nrgi k T 3n E m B F /3 15

16 Různé typy plazmatu Plazma v přírodě Idální - výboj; ionosféra; slunční vítr; vnější vrstvy hvězd; mzihvězdný plyn Idální i nidální - vnitřky hvězd (střd slunc j téměř idální plazma = 15 g/cm 3, T = 1.35 kv, =.14) Nidální - lktronový plyn v kovch (dgnrované plazma), lktrolyty, jádra vlkých plant Plazma v laboratoři Idální - výboj různých typů (lktronky, výboj pro črpání plynových lasrů, pinč, kapilární výboj); MHD gnrátory; iontové motory, lasrové plazma z plynných trčů Idální i nidální - lasrové plazma z pvných (či kapalných) trčů Plazma, ktré nsplňuj dfinic Často mluvím o plazmatu tam, kd nás zajímají obdobné jvy jako v plazmatu (např. kolktivní chování systému), ačkoliv dfinic splněna nní nnutrální plazma - intnzivní svazky nabitých částic 16

17 17 Počt částic (lktronů + iontů) v Dbyově sféř o poloměru D Přvzato z R.P. Drak, High-Enrgy-Dnsity Physics, Springr 6 (a) Plazma z matriálů s vysokým atomovým číslm, kd s přdpokládá střdní ionizac Z =.63 T, kd T j v V. (b) Plazma z matriálů s nízkým atomovým číslm, kd s přdpokládá střdní ionizac Z=4

18 Typické paramtry různých form plazmatu zd vždy n D 3 > 1 a p > i. 18

19 Typické tploty a hustoty různých form plazmatu 19