Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů."

Transkript

1 Masarykova Univerzita Přírodovědecká fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Karolína Mladá Jednoduché strukturální modely časových řad Vedoucí práce: RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. Studijní program: Aplikovaná matematika Studijní obor: Statistika a analýza dat 2010

2 Poděkování Děkuji paní RNDr. Marii Forbelské, Ph.D. za odborné vedení mé bakalářské práce, čas strávený na konzultacích a za nadhled nad danou problematikou, který mi celou dobu pomáhala udržet. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Brně dne Karolína Mladá

3 Název práce: Jednoduché strukturální modely časových řad Autor: Karolína Mladá Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty MU Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. Abstrakt: Tématem bakalářské práce jsou jednoduché strukturální modely časových řad. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. První kapitola představuje teoretický základ obsahující pojmy a vztahy používané v dalších částech práce. Druhá kapitola popisuje jednotlivé typy přístupů k analýze časových řad. Třetí kapitola se zaměřuje na vysvětlení dynamického přístupu při modelování časových řad a způsobu jejich zápisu pomocí stavově- prostorových modelů. Ve čtvrté kapitole jsou uvedeny jednoduché strukturální modely časových řad, a to konkrétně modely trendu a sezónní složky. Klíčová slova: časové řady, stavově- prostorové modely, strukturální dynamické modely, trend, sezónnost Title: Simple structural time series models Author: Karolína Mladá Department of Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: RNDr. Marie Forbelská, Ph.D. Abstract: The theme of the bachelor thesis are the simple structural models of time series. The paper is divided into four chapters. The first one represents the theoretical basis and contains terminology and equations used in the following sections of the thesis. The second chapter describes various ways of analysing time series. The third chapter explains the dynamic way ofmodelingtimeseriesandhowtowritethemusingthestate-spacemodels. In the fourth chapter are introduced the simple structural models of time series, concretely models with trend and seasonal components. Keywords: time series, state- space models, structural dynamic models, trend, seasonal components

4 Obsah Úvod 2 1 Základní pojmy z teorie náhodných procesů Definicenáhodnéhoprocesu Stochasticképrocesydruhéhořádu Procesynestacionárnívestředníhodnotě Analýza časových řad Časovéřady Základnípřístupykanalýzečasovýchřad Klasickádekompozicečasovýchřad Dynamické lineární modely Motivačnípříklad Stavově-prostorovémodely Jednoduché strukturální modely časových řad Trend Sezónnost Závěr 24 Seznam použité literatury 25 1

5 Úvod Analýza časových řad je velmi důležitou disciplínou matematické statistiky. Tématem bakalářské práce jsou jednoduché strukturální modely časových řad. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. První kapitola představuje teoretický základ obsahující pojmy a vztahy používané v dalších částech práce. Druhá kapitola popisuje jednotlivé typy přístupů k analýze časových řad. Třetí kapitola se zaměřuje na vysvětlení dynamického přístupu při modelování časových řad a způsobu jejich zápisu pomocí stavově- prostorových modelů. Ve čtvrté kapitole jsou uvedeny jednoduché strukturální modely časových řad, a to konkrétně modely trendu a sezónní složky. V prvních třech kapitolách jsem čerpala především ze skript Stochastické modelování jednorozměrných časových řad od RNDr.Forbelské Ph.D, jejích učebních materiálů k předmětu Lineární statistické modely a ze skript Základní statistické metody od RNDr.Budíkové, PhD. Ve čtrvté kapitole jsem vycházela především z druhé kapitoly anglické knihy od A.C.Harveyho Forecasting, structural series and the Kalman filter a knihy Dynamic Linear Models with R od G.Petris, S.Petrone a P.Campagnoli. 2

6 Kapitola 1 Základní pojmy z teorie náhodných procesů 1.1 Definice náhodného procesu Definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor(ω, A, P), indexová množina T Rareálnáfunkce Y:Ω T Rdefinovanápro ω Ωa t T. Jestližepro t Tje Y(ω, t)borelovskyměřitelnáfunkcevzhledemka (tj.pro B B a t Tplatí Y 1 (B)={ω Ω:Y(ω, t) B} A, kde B je σ-algebra borelovských podmnožin), pak tuto funkci nazýváme(n- rozměrným) náhodným procesem. Náhodnýproces Y(ω, t)připevném ω Ωsenazývárealizace(trajektorie) procesu. Pravěpodobnostnímíru P Y (B)=P(Y 1 (B))nazývámerozdělenípravděpodobností náhodného procesu Y(ω, t). Poznámka.Obdobnějakounáhodnýchveličin,kdemísto Y(ω), ω Ωpíšeme pouze Y,unáhodnýchprocesůbudememísto {Y(ω, t), ω Ω, t T }psát {Y t, t T }. Definice1.1.2.Pokudindexovámnožina T= Z=0, ±1, ±2,...nebo T Z, mluvíme o procesu s diskrétním časem či o náhodné posloupnosti. 3

7 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE NÁHODNÝCH PROCESŮ Poznámka.Pozdějibudemeunáhodnéhoprocesu {Y t, t T }indexovou množinu Tinterpretovatjakočasapokud T= Z,budemetentoprocesnazývat pouze časovou řadou. Definice1.1.3.Pokudindexovámnožina T= t 1, t 2,kde t 1 t 2, říkáme,že Y t, t Tjenáhodnýprocessespojitýmčasem. Dvojice(S,S),kde Sjemnožinahodnotnáhodnýchveličin Y t as je σ-algebra podmnožin S,senazývástavovýprostorprocesu {Y t, t T }. Pokudnáhodnéveličiny Y t nabývajípouzediskrétníchhodnot,říkáme,žejde o proces s diskrétními stavy. Nabývají-li hodnot z nějakého intervalu, mluvíme o procesu se spojitými stavy. Definice1.1.4.Nechť T n jemnožinavšechvektorů T n =t=(t 1,...,t n ) : t 1 t 2 t n ; t i T; i=1,..., n. Pak(konečně dimenzionální) distribuční funkcí náhodného procesu rozumíme funkci F t (y)=f t1,...,t n (y 1,...,y n )=P(Y t1 y 1,...,Y tn y n ) = P Yt ((, y 1 >,...,(, y n >) pro t=(t 1,...,t n ) T n a y=(y 1,...,y n ) R n. 4

8 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE NÁHODNÝCH PROCESŮ 1.2 Stochastické procesy druhého řádu Definice Jestliže pro t=(t 1,...,t n ) T n apro τ=(t 1 + h,...,t n + h) T n platí F t (y)=f t1,...,t n (y 1,...,y n )=F τ1,...,τ n (y 1,..., y n )=F τ (y), pakřekneme,ženáhodnýproces {Y t, t T }jestriktněstacionární. Rovnost lze interpretovat tak, že základní pravděpodobnostní charakteristiky procesuseneměnípřoposunutívčase. Definice Existuje-lipro t T středníhodnota E(Y t ),paknazýváme funkci µ=e(y t )středníhodnotounáhodnéhoprocesu. Definice Jestližepro t T platí E(Y 2 t) <,paknáhodnýproces {Y t, t T }nazývámeprocesemdruhéhořáduaříkáme,ženáhodnýproces má konečné druhé momenty. Definice1.2.4.Náhodnýproces {Y t, t T }nazývámestacionárnívestřední hodnotě,pokudpro t Tjestředníhodnotakonstantní,tj. E(Y t )=µ. Pokud E(Y t )=0,nazývámenáhodnýprocescentrovaným. Definice1.2.5.Uvažujemenáhodnýproces {Y t, t T },kterýmákonečnédruhé momenty. Pak funkci γ(s, t)=c(y s, Y t )=E(Y s E(Y s ))(Y t E(Y t )) nazveme autokovarianční funkcí. Poznámka. Tato reálná funkce dvou proměnných dává informaci o lineárním vztahumezijakoukolivdvojicínáhodnýchveličin Y s a Y t. Definice1.2.6.Náhodnýproces {Y t, t T }senazývákovariančně stacionární,pokudpro t, s Tplatí γ(s, t)=γ(0, s t ), cožbudemetaképsátveformě γ(s, t)=γ(s t),tj.autokovariančnífunkcezávisí na svých argumentech pouze prostřednictvím jejich rozdílů. 5

9 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE NÁHODNÝCH PROCESŮ Definice1.2.7.Náhodnýproces {Y t, t T }senazývá (slabě) stacionární, je-li kovariančně stacionární, tj. γ(s, t)=γ(s t) pro t, s T, a navíc stacionární ve střední hodnotě, tj. E(Y t )=µ pro t T. Poznámka. Přívlastek slabě se většinou vynechává. Lze snadno ukázat, že je-li proces striktně stacionární, je také stacionární. Opačná implikace však neplatí. Definice1.2.8.Nechťnáhodnýproces {Y t, t T }jestacionární.označme a zaveďme funkci γ(0)=σ 2 ϱ(t)= γ(t) σ 2 = γ(t) γ(0). Tuto funkci nazveme autokorelační funkcí stacionárního náhodného procesu. Nyní definujme náhodné procesy, které budou hrát důležitou roli v aplikacích. Definice Řekneme,ženáhodnýproces {ε t, t T }jebílým šumem (WhiteNoise),jestliže ε t jsounekorelovanénáhodnéveličinysnulovoustřední hodnotou, tj. značíme E(ε t )=0, D(ε t )=σ 2, C(ε t, ε s )=0 (s t), ε t WN(0, σ 2 ). Pokud jsou navíc nejen nekorelované, ale i nezávislé, značíme je symbolem IID (independent identical defined), píšeme ε t IID(0, σ 2 ). Poznámka. Bílý šum je nejjednodušší specifikace náhodné fluktuace. Je to posloupnost náhodných nekorelovaných proměnných s konstantní střední hodnotou (v tomto případě 0) a konstantním rozptylem. 6

10 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE NÁHODNÝCH PROCESŮ Věta1.1.Náhodnéprocesy ε t WN(0, σ 2 )aε t IID(0, σ 2 )jsoustacionárními náhodnými procesy Důkaz. Zřejmý. Definice Náhodnýproces {Y t, t T }senazývágaussovským(normálním),jestližeprokaždépřirozené nalibovolnáčísla t j T, j=1,...,n,je jeho n-rozměrnádistribučnífunkce F t1,...,t n (y 1,...,x n )distribučnífunkcí n-rozměrného normálního rozdělení. Věta 1.2.Gaussůvnáhodnýproces {Y t, t T }jestacionární,právěkdyžje striktně stacionární. Důkaz. Triviální, plyne z vlastností normálního rozdělení. Definice Řekneme, ženáhodnýproces {Y t, t T }splňujelineární regresní model, pokud pro jeho střední hodnotu platí t T: E(Y t )=µ t = m β j f j (t), j=0 kde f 0,...,f m jsouznáméfunkcedefinovanénat, β=(β 0,...,β n ) jeneznámývektorregresníchparametrů. Pro lepší představu o lineárním regresním modelu předpokládejme, že mezi nějakýminenáhodnýmiveličinami y, x 1,...,x k platílineárnívztah y= β 1 x β k x k, vekterémjsou β 1,...,β k neznámýmiparametry. Informace o těchto parametrech můžeme získávat pomocí experimentu, a to tak, že budeme opakovaně měřit hodnoty veličin y při vybraných hodnotách proměnných x 1,..., x k. Při měření však vznikají chyby, což lze modelovat takto Y= β 1 x β k x k + ε t, kde ε t jenáhodnáchybaměření. Opakovanéhodnotysledovanýchveličinsepro i=1,..., nznačí Y i, x i1,...,x ik. Celkově jsme tedy dostali model Y 1 = β 1 x β k x 1k + ε 1. Y n = β 1 x n β k x nk + ε n 7

11 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE NÁHODNÝCH PROCESŮ vyjádřený maticově jako Y 1. Y n Y x x 1k β 1 ε 1 = x n1... x nk β k ε n X(matice plánu) β ε Klasickým konkrétním příkladem lineárního modelu je jednoduchá lineární regrese,kdepředpokládáme,ženezávislénáhodnéveličiny Y i pro(i=1,...,n) mají normální rozdělení Y i N(µ i = β 0 + β 1 x i, σ 2 ), kde x i jsoudanékonstanty,kterénejsouvšechnystejné. Rozptyly Y i jsoustejné,zatímcostředníhodnotylzevyjádřitjakolineárnífunkci známýchkonstant x i pomocíneznámýchparametrů β 0 a β 1. V tomto případě zapíšeme vektor závisle proměnných ve tvaru Y =. 1 x 1 matici plánu X =.., vektor regresních koeficientů β = 1 x n ε 1 avektorchyb ε=., přičemž ε N n (0, σ 2 I n ). ε n Definice Nechť {Y t, t Z}jeposloupnostnáhodnýchveličin. Operátor zpětného posunutí(backshift operator) je definován pomocí výrazu BY t = Y t 1, přičemž jej lze aplikovat několikanásobně jako Y 1 Y n ( β0 β 1, ) B j Y t = Y t j 8

12 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE NÁHODNÝCH PROCESŮ Tzv. diferenční operátor zavádíme pomocí vztahu: Y t = Y t Y t 1 =(1 B)Y t 2 Y t = ( Y t )= (Y t Y t 1 ). =(Y t Y t 1 ) (Y t 1 Y t 2 ) = Y t 2Y t 1 + Y t 2 =(1 B) 2 Y t d Y t =(1 B) d Y t. Definice Definujme ARMA proces řádu p,q vztahem Y t ϕ 1 Y t 1... ϕ p Y t p = ε t + θ 1 ε t θ q ε t q, kde ε t WN(0, σ 2 ), přičemž pomocí operátoru zpětného chodu lze psát Y t ARMA(p, q):φ(b)y t =Θ(B)ε t, kde φ(b)=1 ϕ 1 B... ϕ p B p (ϕ 0 1) a Θ(B)=1+θ 1 B+...+θ q B q (θ 0 1). Řekneme,že {Y t, t Z}jeARMA(p,q)sestředníhodnotou µ,jestliže {Y t µ} je ARMA(p,q) proces. Speciální případy ARMA procesů nazýváme: Autoregresnímodel(ARproces): Y t AR(p) ARMA(p,0), tj. q=0 Procesklouzavýchsoučtů(MAproces): Y t MA(q) ARMA(0, q),tj. p=0 V reálných situacích se však se stacionárními procesy setkáváme pouze zřídka. Obecně rozlišujeme dva druhy nestacionarity: nestacionaritu ve střední hodnotě a nestacionaritu v rozptylu. Z důvodu dalších aplikací se nyní budeme věnovat pouze případu nestacionarity ve střední hodnotě. 9

13 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE NÁHODNÝCH PROCESŮ 1.3 Procesy nestacionární ve střední hodnotě Nyní je třeba vysvětlit a odlišit pojmy: Deterministický trend, tj. případ, kdy nestacionaritu ve střední hodnotě chápeme jako funkci času. K jeho modelování použijeme například polynomickýtrend E(Y t )=f(t)=β 0 + β 1 t+...+β d t d, případně periodickýtrend E(Y t )=f(t)=µ+ p (α j cosλ j t+β j sin λ j t) Stochastický trend: U ARMA procesů požadujeme, aby všechny kořeny polynomu j=1 φ(z)=1 ϕ 1 z... ϕ p z p ležely vně jednotkové kružnice, tj. aby proces byl kauzální. Pokud však nějaký kořen leží na jednotkové kružnici, mluvíme o procesu nestacionárním se stochastickým trendem. V případě, že kořen leží uvnitř jednotkové kružnice, mluvíme o procesu nestacionárním explozivního typu. Nestacionární proces se stochastickým trendem nazýváme integrovaným smíšeným modelem a značíme ARIMA(p,d,q) Formálně jej zapíšeme pomocí operátoru zpětného chodu takto: a položíme-li ARIMA(p, d, q):φ(b)(1 B) d Y t =Θ(B)ε t W t =(1 B) d Y t, pak W t jestacionárníarma(p,q). Poznámka. Velice důležitým ARIMA modelem je náhodná procházka kterou značíme také I(1). Y t = Y t 1 + ε t, 10

14 Kapitola 2 Analýza časových řad 2.1 Časové řady Pod pojmem časová řada rozumíme realizaci(konečné délky) náhodné posloupnosti.jdeon-ticihodnot y t1,...,y tn uspořádanoupodlepřirozené časovéposloupnosti t 1,...,t n. Od této chvíle budeme uvažovat pouze případy, kdy jsou časové intervaly mezi pozorováními (t 1, t 2 ),...,(t n 1, t n ) stejnědlouhé(tj.jsouekvidistantní)azápiszjednodušímena y 1,...,y n. Máme-li k dispozici hodnoty určitého ukazatele za více období ve formě časové řady, je nám umožněno rozpoznat určité zákonitosti ve vývoji tohoto ukazatele. Časové řady vznikají v přírodních vědách nebo technice(např.seismický záznam v geofyzice, údaje o průměrných ročních teplotách v klimatologii), v bilogických vědách(četnosti výskytu určitého škůdce v několika po sobě jdoucích letech, v ekonomii(vývoj směnného kurzu) atd. 2.2 Základní přístupy k analýze časových řad V analýze časových řad se nejčastěji setkáváme s těmito základními přístupy: Klasická dekompozice časových řad, která je založena na regresní analýze Neoklasická dekompozice časových řad(tzv. Box-Jenkinsonova metodologie), jejímž základem je korelační analýze Spektrální analýza časových řad založená na Fourierově analýze 11

15 KAPITOLA 2. ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD Dynamickélineárnímodely-vpraxisečastosetkávámestím,žehodnoty určité časové řady nejsou jen funkcí času, či předchozích pozorování, ale jsou vysvětlovány pomocí dalších časových řad, kterým říkáme faktorové časové řady a mluvíme o tzv. příčinných(kauzálních, faktorových) modelech, které jsou konstruovány na základě teoretických předpokladů. 2.3 Klasická dekompozice časových řad Klasická dekompozice časových řad vychází z předpokladu, že náhodný proces, který časovou řadu generuje, je závislý pouze na čase. Samotnou dekompozicí časové řady pak rozumíme rozklad časové řady na deterministickou a náhodnou složku. Deterministickásložkasedálerozkládánatrend(Tr t )asezónnísložku(sz t ). Náhodnousložkupředstavujínáhodnéfluktuace(ε t ),kterémodelujídrobné a v jednotlivostech nepostižitelné příčiny kolísání časových řad. Proces ε t jebílýšumsnulovoustředníhodnotou. Při klasické dekompozici časových řad se používají především tyto modely: Aditivní modely, které lze zapsat rovnicí a multiplikativní modely ve tvaru Y t = Tr t + Sz t + ε t, Y t = Tr t Sz t ε t, které se transformují logaritmováním na aditivní modely. Klíčovým nástrojem klasické dekompozice časových řad je regresní analýza, která využívá regresních modelů. Neznámé parametry v těchto modelech bývají odhadovány pomocí metody nejmenších čtverců. 12

16 Kapitola 3 Dynamické lineární modely Dynamické lineární modely jsou narozdíl od klasické dekompozice časových řad založeny na myšlence, že hodnoty určité časové řady nejsou jen funkcí času či předchozích pozorování, ale jsou ovlivňovány i dalšími faktory. 3.1 Motivační příklad K lepší představě o myšlence dynamických lineárních modelů nám může posloužit jednoduchý ilustrační příklad. Představmesi,žejsmeseocitlinaostrověasnažímeseodhadnoutnaší vzdálenost od pobřeží. Tuto vzdálenost budeme značit x a je pro nás tedy neznámým stavem. Nejprve předpokládejme, že během tohoto odhadování stojíme stále na stejném místě, což znamená, že x je konstatní. Hrubou představu o naší pozici máme, neboť čas od času máme možnost zahlédnout pobřeží skrze stromy. O naší vzdálenosti od pobřeží se však chceme dozvědět víc, proto provádíme průběžná měření. Tatoměřeníoznačíme Y t abudemejemodelovattakto: Y t = x+ε t, ε t N(0, σ 2 ), t=0,1,2,..., n kde ε t a xjsounezávisláaprojednoduchost σ 2 jeznámákonstanta. 13

17 KAPITOLA 3. DYNAMICKÉ LINEÁRNÍ MODELY Měření Y t jsounezávisláamajístejnénormálnírozdělenípravděpodobností, tedy Y i N(x, σ 2 ), kde t=0,1,..., n 1.Pomocíhvězdodhadnemevčase0našipozicijako Y 0 surčitou nepřesností C 0. Na základě dosavadních znalostí známe hustotu pozice x, kterou označíme p 1 0 (x)=p(x Y 0 ),sestředníhodnotou x 1 0 = Y 0 arozptylem σ = C 0, tedy x N(Y 0, C 0 ). 2. Mraky se rozestoupí a jasněji vidíme hvězdy. Proto upřesníme náš odhad jako Y 1 světšíjistotou C 1 < C 0. Na základě širších znalostí dostáváme novou hustotu pozice x jako p 1 1 (x)=p(x Y 0, Y 1 ) sestředníhodnotou x 1 1 arozptylem σ Tutostředníhodnotuvypočtemejakováženýprůměrpozorování Y 0 a Y 1, kdeváhajeotovětší,očjepozorovánípřesnější,tj.mámenšírozptyl (přitomsoučetvahjeroven1) x 1 1 = 1 C 0 1 C Y C 1 1 C 1 C 1 C Y 1 = C 1 C 0 + C } {{ 1} =(1 K) Y 0 + C 0 C 0 + C 1 =K Y 1 =(1 K)Y 0 +KY 1 Pozorování Y 0 a Y 1 jsounezávislá,protorozptylváženéhoprůměrujeroven ( ) 2 ( ) 2 σ = C1 C0 C 0 C 0 + C 1 = C 1 = KC 1 =(1 K)C 0 C 0 + C 1 C 0 + C 1 C 0 + C 1 tj. σ < C 1 Celkově tedy dostaneme tyto rekurentní vztahy: x 1 1 = x K(Y 1 x 1 0 ) a σ2 1 1 =(1 K) σ Tedy x 1 1 jsmezískalijakonejlepšíodhadvčase0, x 1 0,opravený předpovědníchybou(y 1 x 1 0 )aváženýfaktorem K= C 0 C 0 +C 1. Využili jsme tedy informace z prvního i druhého měření. 14

18 KAPITOLA 3. DYNAMICKÉ LINEÁRNÍ MODELY 3. Nyní náš příklad zdynamizujeme(rozpohybujeme). Představmesi,ževčase2sezačnemepohybovat, tzn.vzdálenost x už není konstantní, ale mění se v čase. Tutozměnumezidvěmaměřenímimůžememodelovatjako 1 : x t = x t 1 + ν+ w t, kde w t N(0, σ 2 w), (3.1) akde νjeznámárychlostnašehopohybuaw t náhodnáchyba sestředníhodnotou0aznámounepřesností σ 2 w. Před tím, než provedeme další měření(v čase 2), uděláme predikci x 2 1 = F 1 x 1 1 nazákladěinformací,kterézatímznáme, tzn.nazákladěpředchozíhostavu x 1 1 adynamickéhomodelu (nějakéfunkcepřechodu F 1 )surčitoudávkounepřesnosti σ Nyníprovedemedalšíměřenípolohy,tj. Y 2 snepřesností C Všechny předchozí informace shrneme do odhadu polohy x 2 2 = x 2 1 +K(Y 2 x 2 1 ) svahou K= σ σ C 2 (též tzv. Kalmanův zisk) σ =(1 K) σ Krovnici(3.1)můžemedojítzjednoduchéhodynamickéhomodelu dx dt = }{{} ν + }{{} w konstantnní posun náhodná složka resp.rovnice x ti = x ti 1 + ν(t i t i 1 )+w ti (t i t i 1 ), kdeberemejednotkovéčasovéintervaly,tzn.(t i t i 1 )=1 15

19 KAPITOLA 3. DYNAMICKÉ LINEÁRNÍ MODELY 3.2 Stavově- prostorové modely Stavově- prostorové modely jsou způsobem, jak pohodlně sestavit formální zápis lineárních dynamických modelů. Místojednorozměrnénáhodnéposloupnosti {Y t, t Z}uvažujmeposloupnost w-rozměrnýchnáhodnýchvektorů {Y t, t Z},Y t R w,kterésplňují tzv. datové a stavové rovnice: Datová rovnice popisuje vztah mezi(nepozorovatelnými) stavovými veličinamivektorux t anaměřenými(pozorovatelnými)veličinamivektoruy t ; je určena zápisem: Y t =G t X t +W t kde t=1,2,3,... Stavová rovnice popisuje vývoj stavu procesu popsaného v časovém okamžiku tvektoremstavovýchproměnnýchx t tak,žejedefinovánasouvislost mezistavovýmvektoremvokamžiku tavnásledujícímokamžiku t+1,tj. X t+1 =F t X t +V t+1 kde t=1,2,3,..., X t jetzv.stavový v-rozměrnýnáhodnývektor, W t ješumměření(w-rozměrnýnáhodnývektorchyb), V t+1 ješumprocesu(v-rozměrnýnáhodnývektorchyb), G t jeposloupnostmatictypu w v(popisujívztahpozorováníkestavu) af t jeposloupnostmatictypu v v(tzn.maticpřechodumodelujících dynamiku) Předpokládejme, že všechny náhodné vektory mají konečné druhé momenty aplatí E(V t )=0 E(W t )=0 D ( Wt V t E(W t W t)=r t ) ( ) Rt S = t, tj. E(V t V t )=Q t S t Q t E(W t V t )=S t a C(X t,(w t,v t ) )=0,(tj.stavovývektorachybovévektoryjsou nekorelované). 16

20 Kapitola 4 Jednoduché strukturální modely časových řad Strukturálními modely časových řad budeme rozumět takové modely, které jednoduchým rekurentním způsobem popisují stochastické chování časových řad. Dále se budeme věnovat elementárním modelům, které dovolují modelovat trend a sezónnost. 4.1 Trend Trend v časové řadě představuje dlouhodobou tendenci vývoje zkoumaného jevu. Je výsledkem dlouhodobého působení vnějších faktorů a podmínek. Nejjednodušší strukturální modely časových řad se skládají právě z trendu a náhodné fluktuace. Trendové modely zapisujeme ve tvaru: Y t = Tr t + ε t t=1,...,t kdesložky Tr t a ε t jsouoběstochastické, Tr t představujetrendaε t bílýšum. Přitom předpokládáme, že obě složky jsou stochasticky nezávislé. Všimněme si postupně jednotlivých typů trendu, resp. trendových funkcí. a) KONSTANTNÍ TREND Nejjednodušším modelem trendu je Tr t = α. 17

21 KAPITOLA 4. JEDNODUCHÉ STRUKTURÁLNÍ MODELY ČASOVÝCH ŘAD Vtomtopřípaděplatí Tr t+1 = α=tr t. Pokud chceme, aby se parametry měnily v čase, přidáme náhodnou chybu η t,kterájebílýmšumemsnulovouhodnotouarozptylem σ 2 η,tj. η t WN(0, σ 2 η ) a dostaneme tzv. model s lokálním konstantním trendem(anglicky local level model). Tr t+1 = Tr t + η t+1. Model můžeme přepsat do datových a stavových rovnic takto: Datová rovnice Y t = Tr }{{} t + ε t, tj. G }{{} t =1 X t W t Stavová rovnice Tr } {{ t+1 = Tr } t + η }{{} t+1 tj.také F }{{} t =1 X t+1 X t V t b) LINEÁRNÍ TREND Pokud nevystačíme s konstantním lokálním trendem a přidáme další složku, pak Tr t = α+βt. V tomto případě Tr t+1 = α+β(t+1)=α+βt+β= Tr t + β Tr t Vidíme tedy, že nepotřebujeme znát hodnotu parametru α. Pokudbudemeopětchtít,abyseiparametr βmohlměnitvčase,budeme uvažovatmodelsnáhodnýmifluktuacemi η t a ξ t,kteréjsoubílýmišumy snulovoustředníhodnotouarozptylem σ 2 η a σ2 ξ, tj. platí η t WN(0, σ 2 η ) ξ t WN(0, σ 2 ξ ), 18

22 KAPITOLA 4. JEDNODUCHÉ STRUKTURÁLNÍ MODELY ČASOVÝCH ŘAD a dostaneme modely Tr t+1 = Tr t + β t + η t+1 β t+1 = β t + ξ t+1 kde t=..., 1,0,1,.... Fluktuace η t dovolujehladinětrendupohybovatsenahoruadolů, zatímcofluktuace ξ t dovolujezměnuparametru β. Čím větší jsou rozptyly těchto fluktuací, tím větší jsou stochastické pohyby v trendu. Všimněmesi,že β t jenáhodnouprocházkou,tj.modelem I(1). Celkový model můžeme opět vyjádřit pomocí stavově- prostorových modelů, tzn. pomocí stavových a datových rovnic, a to takto Datová rovnice Y t = ( 1 0 ) ( ) ( ) Trt εt + G t=g β t X t 0 W t Stavová rovnice ( ) Trt+1 = β t+1 X t+1 ( ) ( ) 1 1 Trt 0 1 β t F t=f X t ( ) ηt+1 + ξ t+1 V t c) CYKLICKÝ TREND v časové řadě vyjadřuje dlouhodobé kolísání okolo trendu, ve kterém se střídají fáze růstu a poklesu. V posledních letech se věnuje pozornost zejména technologickým, inovačním či demografickým cyklům. Cyklický trend předpokládá, že Tr t = ψ t, kde ψ t jecyklickásložkasfrekvencí λ c,kteroulzevyjádřitdvojímzpůsobem. Zápisem pomocí funkce kosinus: ψ t = Acos(λ c t θ), kde t=1,...,t 19

23 KAPITOLA 4. JEDNODUCHÉ STRUKTURÁLNÍ MODELY ČASOVÝCH ŘAD nebo jako kombinaci funkcí sinus a kosinus: ψ t = αcosλ c t+βsin λ c t, kde t=1,...,t, přičemž A= α 2 + β 2 jeamplituda a θ=arctan β α je fáze. Abychom dostali rekurentní vztah jako u lineárního trendu, uvažujme nejprve ψ t = αcosλ c t+βsin λ c t. Pak ψ t+1 = αcosλ c (t+1)+βsin λ c (t+1)= = α[cosλ c tcosλ c sin λ c tsin λ c ]+β[sin λ c tcosλ c +cosλ c tsin λ c ]= =cosλ c [αcosλ c t+βsin λ c t] +sin λ c [ αsin λ c t+βcosλ c t] ψ t ψ Při značení počítejme dále ψ t= αsin λ c t+βcos λ c t ψ t+1 = αsin λ c(t+1)+βcosλ c (t+1)= = α[sin λ c tcosλ c +cosλ c tsin λ c ]+β[cosλ c tcosλ c sin λ c tsin λ c ]= =cosλ c [ αsin λ c t+βcosλ c t] sin λ c [αcosλ c t+βsin λ c t]. Takže můžeme psát ψ t+1 =cosλ c ψ t +sin λ c ψ t ψ t+1 = sin λ cψ t +cos λ cψ t, což lze vyjádřit maticově takto: ( ) ( ) ( ) ψt+1 cos λc sin λ = c ψt sin λ c cosλ c ψ t+1 ψ t 20

24 KAPITOLA 4. JEDNODUCHÉ STRUKTURÁLNÍ MODELY ČASOVÝCH ŘAD Nynípředchozívztahydoplnímeonáhodnéfluktuace κ t a κ t,kteréjsou nezávislé bílé šumy, tj. κ t WN(0, σ 2 κ) Dostaneme tedy datovou rovnici κ t WN(0, σ2 κ ). Y t = ( 1 0 ) G t=g ( ψt ψ t ) X t a stavovou rovnici ( ) ( ) ψt+1 cos λc sin λ ψt+1 = c sin λ c cosλ c X t+1 F t + ε t }{{} W t ( ψt ψ t X t ) + ( κt+1 κ t+1 ) V t kde funkce označené hvězdičkami jsou pouze pomocné, umožňující rekurzivní přepis. 21

25 KAPITOLA 4. JEDNODUCHÉ STRUKTURÁLNÍ MODELY ČASOVÝCH ŘAD 4.2 Sezónnost Sezónnísložka Sz t popisujevlineárníchmodelechkrátkodobéperiodickézměny, tj. pravidelné kolísání okolo trendu v rámci kalendářního roku, které je kratšího rázu, např. vliv střídání ročních období, svátků, dovolených apod. Nejprve uvažujme jednoduchý sezónní model se šumem. Předpokládejme, že délka sezóny je s. Sezónníkomponenty(výkyvy)označme γ 1, γ 2,..., γ s apředpokládejme,žepro ně platí vztahy γ t+s = γ t, tj.vlivvýkyvusepouplynutícelésezónyneliší,a γ γ s =0, tj. celkový vliv výkyvů za sezónu je nulový. Odtud dostaneme jednoduché vztahy γ t+1 = γ t+1 s γ t+1 + γ t +...+γ t+1 s+1 =0, tj. γ t+1 = γ t γ t 1... γ t+2 s Doplníme-lipředchozívztahonáhodnéfluktuace ω t,kteréjsoubílýmšumem,tj. dostaneme neboli obecně amaticově γ t+1 γ t γ t 1. γ t+2 s ω t WN(0, δ 2 ω ), γ t+1 = γ t γ t 1... γ t+2 s + ω t+1, s 1 γ t = γ t j + ω t j= = γ t γ t 1 γ t 2. γ t+1 s + ω t

26 KAPITOLA 4. JEDNODUCHÉ STRUKTURÁLNÍ MODELY ČASOVÝCH ŘAD Abychom sezónní složky mohli zakomponovat do modelu časové řady Y t = Sz t + ε t, zavedemepomocnéproměnné z jt definovanépro j=1,...,s 1následujícím způsobem: 1, t=j, j+ s, j+2s,... z jt = 0, t j, j+ s, j+2s,... 1, t=s,2s,3s,... Pak Sz t = j γ j z jt. Zápis sezónnosti pomocí stavově- prostorových modelů bude vypadat takto: Datová rovnice Stavová rovnice Y t = ( ) z tt z t 1,t z t 2,t... z t+1 s,t G t γ t+1 γ t γ t 1. γ t+2 s X t = F t γ t γ t 1 γ t 2. γ t+1 s X t γ t γ t 1 γ t 2. γ t+1 s X t + ε t }{{} W t + ω t V t+1 23

27 Závěr Jedním ze způsobů analýzy časových řad je klasická dekompozice založená na regresní analýze. Při tomto přístupu je konstruován model pro všechna data a jeho parametry se nemění. Regresní modely jsou výhodné především z hlediska interpretace, předpokládají však vzájemnou nekorelovanost(nezávislost) dat z minulosti. Tento předpoklad časové řady nesplňují, proto byla snaha najít lepší způsob, který by se vypořádal i s daty, která se navzájem ovlivňují. Tímto způsobem je Box-Jenkinsova metodologie, která celou časovou řadu považuje za řadu stochastického charakteru. Avšak z hlediska interpretace a vyhodnocování je Box-Jenkinsova metoda černou skřínkou, neboť současná hodnota je lineární kombinací předchozích hodnot a lineární kombinací náhodných fluktuací. Strukturální přístup k analýze časových řad navržený A.C.Harveyem(1990) je jistou kombinací dvou předešlých metod. Využívá předchozích dat a jejich vzájemné závislosti, pracuje však pouze s informací, kterou jsou získali o jeden krok dříve. Díky tomuto postupu jsou strukturální dynamické modely při výpočtech méně náročné na paměť, objevuje se v nich méně parametrů a parametry, které se v nich používají, jsou lépe interpretovatelné, než tomu je v Box-Jenkinsově metodě. Navíc se parametry mohou měnit v čase, čímž jsou modely více flexibilní. V bakalářské práci jsou popsány nejjednodušší strukturální dynamické modely časových řad a jsou zapsány pomocí stavově-prostorových modelů. Tyto jednoduché strukturální modely jsou základními kameny dynamického přístupu kanalýzečasovýchřadamohousedálrůzněkombinovatavytvářettakmodely složitější. 24

28 Seznam použité literatury [1] Budíková M., Lerch T., Mikoláš Š. Základní statistické metody, Brno 2006 [2] Forbelská, M. Stochastické modelování jednorozměrných časových řad, Brno 2009 [3] Forbelská M. učební materiály k předmětu Lineární statistické modely, M5120 [4] Harvey, A.C. Forecasting, structural series models and the Kalman filter, Cambridge 1990 [5] Petris, G., Petrone, S., Campagnoli, P. Dynamic Linear Models with R, Springer

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1 Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD

REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD Politická ekonomie 45: (2), str. 281-289, VŠE Praha, 1997. ISSN 0032-3233. (Rukopis) REGRESNÍ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH EKONOMICKÝCH ČASOVÝCH ŘAD Josef ARLT, Vysoká škola ekonomická, Praha 1. Úvod Pro modelování

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Podkladové údaje Korelační matice Odhad lineárního regresního modelu (LRM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná

Více

VYUŽITÍ WAVELETŮ PŘI ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD 2. PRAKTICKÁ ČÁST

VYUŽITÍ WAVELETŮ PŘI ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD 2. PRAKTICKÁ ČÁST EMI, Vol., Issue 3, ISSN: -99 (Print), 5-353X (Online) VYUŽITÍ WAVELETŮ PŘI ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD. PRAKTICKÁ ČÁST USING WAVELETS BY TIME SERIES ANALYSIS. PRACTICAL PART Vratislava Mošová Moravská vysoká

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chb v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tto slid berte pouze jako doplňkový materiál není v nich

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

4.1 Metoda horizontální a vertikální finanční analýzy

4.1 Metoda horizontální a vertikální finanční analýzy 4. Extenzívní ukazatelé finanční analýzy 4.1 Metoda horizontální a vertikální finanční analýzy 4.1.1 Horizontální analýza (analýza vývojových trendů -AVT) AVT = časové změny ukazatelů (nejen absolutních)

Více

Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích

Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích 5. studentské kolokvium a letní škola matematické fyziky Stará Lesná Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT, Praha 1. 9. 2011 Úvod náhodné procesy

Více

Fakulta elektrotechnická

Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická DIPLOMOVÁ PRÁCE Název diplomové práce Praha, 2002 Autor: Jirka Roubal Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou (bakalářskou) práci vypracoval

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady, vlastnosti Vzorkovací

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

TECHNIKA UMĚLÝCH PROMĚNNÝCH V PRŮŘEZOVÉ ANALÝZE A V MODELECH ČASOVÝCH ŘAD

TECHNIKA UMĚLÝCH PROMĚNNÝCH V PRŮŘEZOVÉ ANALÝZE A V MODELECH ČASOVÝCH ŘAD TECHNIKA UMĚLÝCH PROMĚNNÝCH V PRŮŘEZOVÉ ANALÝZE A V MODELECH ČASOVÝCH ŘAD Umělé (dummy) proměnné se používají, pokud chceme do modelu zahrnout proměnné, které mají kvalitativní či diskrétní charakter,

Více

Úvod Modely zásob Shrnutí. Teorie zásob. Kristýna Slabá. 9. ledna 2009

Úvod Modely zásob Shrnutí. Teorie zásob. Kristýna Slabá. 9. ledna 2009 Teorie zásob Kristýna Slabá 9. ledna 2009 Obsah 1 Úvod Teorie Klasifikace zásob 2 Modely zásob Teorie Klasifikace modelů zásob Model zásob s okamžitou dodávkou Příklad Model zásob s postupnou dodávkou

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Opatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU

Opatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU Opatření děkana č. 1/2012 Pokyny pro vypracování bakalářských, diplomových a rigorózních prací na Přírodovědecké fakultě MU Bakalářské, diplomové a rigorózní práce odevzdávané k obhajobě na Přírodovědecké

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Vzor textu na deskách bakalářské práce. Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Jméno Příjmení

Vzor textu na deskách bakalářské práce. Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Jméno Příjmení Vzor textu na deskách bakalářské práce Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Rok Jméno Příjmení Vzor titulní strany bakalářské práce Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin. Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I 5EN306 Aplikované kvantitativní metody I Přednáška 10 Zuzana Dlouhá Předmět a struktura kurzu 1. Úvod: struktura empirických výzkumů 2. Tvorba ekonomických modelů: teorie 3. Data: zdroje a typy dat, význam

Více

Spolehlivost soustav

Spolehlivost soustav 1 Spolehlivost soustav Spolehlivost soustav 1.1 Koherentní systémy a strukturní funkce Budeme se zabývat modelováním spolehlivosti zřízení s ohledem na spolehlivost jeho komponent. Jedním z hlavních cílů

Více

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš KVANTOVÁNÍ ZVUKOVÝCH SIGNÁLŮ NÍZKÉ ÚROVNĚ Abstrakt Quantization of acoustic low level signals David Bursík, Miroslav Lukeš Při testování kvality A/D převodníků se používají nejrůznější testovací signály.

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více