Matematika- opakování (2009)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Matematika- opakování (2009)"

Transkript

1 Mtemtik- opkování (009).ZÁKLADNÍ POZNATKY Z LOGIKY A TEORIE MNOŽIN, DŮKAZY VĚT ) Určete, které zápisy jsou výroky určete jejich prvdivostní hodnotu: ) Student gymnázi. Písek je hlvní město ČR. c) 0 Dnes je úterý. f) Zčněte prcovt! e) ) Znegujte výroky: ) Nejvýše tři dny bude mráz. Chybí právě čtyři židle. c) Kždé prvočíslo je kldné. Žádný člověk není nesmrtelný. e) R, 0 f) R, 0 g) Výstvu nvštíví Jn Pvel. h) Aspoň čtyři žáci přišli pozdě. i) Jestliže nepůjde Jn, pk půjde Pvel. ) Jsou dány množiny A =,;;;;;6;7;8;9;;}, B = { ;;;7;;7}, C = {;;6;8;0}. A B C A BC c) B A C Určete: ) ) Zpište pomocí intervlů znázorněte n číselné ose. A R,, B R,, C R, 6. Určete A B, A C B, A B C, A BC. ) ) Jsou dány množiny A = ;; B = N, 7. Určete jejich průnik, sjednocení rozdíl B - A. Zpište pomocí intervlů znázorněte n číselné ose sjednocení průnik množin A B. A = -;, B = R, -. 6) Dokžte, že pro kždé přirozené číslo pltí: ) jestliže dělí n +, pk nedělí n dělí n(n + ). 7) Dokžte větu: n N; / n / n. 8) Dokžte mtemtickou indukcí pro všechn n N ; ) 6 n nn c) nn 9 n 7 n n n n n n n. ROVNICE A JEJICH SOUSTAVY ) Řešte v R: ) c) 0 6 Výsledky: ),, c) 8 ) Řešte v R: ) c) 8 Výsledky: ) 0,, c), 0;

2 ) Řešte v R: ) 8 0 Výsledky: ) ;, ; ; ;, c) ; c) ) Řešte v R: ) c) 9 0 Výsledky: ) 0;,, c) ; ) Řešte soustvu v R : ) y z 0 y z c) y z y z y z y 7z y z 8 y z 68y 9z Výsledky: ) 0;;, ; ;, c) 0; ; 0 6) Turist má vykont cestu km. Kdyby urzil z hodinu o 0, km méně, došel by do cíle o hodinu později. Určete rychlost turistovy chůze. Výsledky: km.h - 7) Zemědělec měl do určité lhůty osít 00 h polí. Denně všk osel o h více, než bylo plánováno, proto ukončil setí dny před plánem. Z kolik dní tedy zemědělec pole osel? Výsledky: 8 dní 8) Odvěsny prvoúhlého trojúhelníku jsou v poměru :. Určete obvod tohoto trojúhelníku, je-li obsh cm. Výsledky: obvod je 6 cm 9) N diskotéce bylo třikrát tolik dívek než chlpců. Když osm chlpců osm dívek odešlo, zbylo pětkrát víc dívek než chlpců. Kolik dívek kolik chlpců bylo n diskotéce n zčátku? Výsledky: 8 dívek, 6 chlpců 0) Cen tkniny byl snížen o tolik procent, kolik korun stál jeden metr před snížením cen. O kolik procent byl tto cen snížen, jestliže se metr pk prodávl z 6 korun? Výsledky: 80 Kč, 80% nebo 0Kč, 0% ) Ve škole bylo přespolních žáků o 8 více než domácích. Domácích žáků je právě tolik % celého počtu žáků, kolik bylo všech žáků. Určete počet žáků. Výsledky: ) celkem 0 žáků, přespolních, domácích 6 celkem 0 žáků, přespolních 9, domácí ) Pumpou A se nplní nádrž z minut, pumpou B z minut. Z jk dlouho se nplní nádrž, prcuje-li minuty jen pump A potom obě pumpy součsně? Výsledky: 9 minut

3 . NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY ) Řešte v R: ) 6 0 c) 6 7 Výsledky: ) ; 0 ;, ; ;, c) ; ; ) Řešte početně i grficky v R: ) 0 6 c) 0 Výsledky: ) ;,, c) R ) Řešte v R: ) 9 6 c) Výsledky: ) ;, 8 ; ;, c) ;, ; ) V krtézské soustvě souřdnic znázorněte řešení dné soustvy: y 6 y ) y 0 y 0 c) y 0 y 0 6 y y y ) Řešte soustvu nerovnic pro R : Výsledky: ) ;, ) ROVNICE S PARAMETREM ) Řešte v R rovnici s prmetrem ) p R : p p p p Výsledky: p 6 p c) p p p 6 0 ) 0 p K R p p R ; K p nelze p p p R ; K p p nelze K c) p K 6 p R K p p 0K R p K p K p ; 0 0; K p K p p p p ; ; 9 ; 9

4 ) Určete, pro které m R má rovnice (s reálnou neznámou ): ) dv reálné kořeny; m m m 0 m m m 0 jeden kořen; Výsledky: ) m 8 0; ; 7, m 0; ) Řešte v R rovnici s prmetrem p R : p p p p K p K p K Výsledky: 0 ; 0, ; 0, ; ) Je dán soustv s reálným prmetrem k: k y ky Určete, pro která celá čísl k je řešením této soustvy ; y tková, že 0 y 0. Výsledky: k ; ; 0;;. ZÁKLADY PLANIMETRIE ) Je dán kružnice o poloměru r. Sestrojte trojúhelník ABC tk, by byl vepsán této kružnici. Jeho vrcholy dělí obvod kružnice v poměru ::7. Vypočtěte vnitřní úhly trojúhelníku ABC. Výsledky:,0, 0 ) Vypočtěte velikost vnitřních úhlů čtyřúhelníku ABCD, který dostnete tk, že spojíte n ciferníku hodinek body vyznčující čísl,, 7,. Výsledky:, 90,, 90 ) Nd strnmi čtverce vepsného do kružnice o poloměru r jsou opsány půlkružnice, které procházejí středem čtverce. Vypočtěte obsh obrzce ve tvru čtyřlístku. Výsledky: S r ) Vypočtěte obsh obvod útvru, je-li dáno: ) útvr vznikne sestrojením kružnic nd strnmi rovnostrnného trojúhelníku o strně délky útvr vznikne sestrojením shodných kružnic se středy ve vrcholech čtverce poloměrem, kde je hrn čtverce. Výsledky: ) 8 S, o S, o ) Je dán úsečk AB, AB cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které pltí AB cm, BC cm,. 6) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno:

5 ) v = cm, = 6 cm, v = cm, b = 6 cm, 0 c) = 6 cm, t =, cm, = cm,, t b = cm e) t = 9 cm, t b = 6 cm, f) AS, d(as) = 6 cm, AS je těžnice, dále je dáno 0, d(ab) = cm. 7) Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li dáno: ) 6 cm, b 8 cm, AC 0cm 6 cm, b 8 cm, v cm 6. FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI ) Určete definiční obor funkce: f : y 6 f : y f : y Výsledky: D f R, D f, D f 0;; ; ) Určete vlstnosti funkce ) y 6 pro ; y pro ;7 c) y pro ; ; ; ) Rozhodněte, zd je funkce sudá nebo lichá: ) y y c) y y Výsledky: ) lichá, ni lichá ni sudá, c) ni lichá ni sudá, sudá ) Dokžte, že funkce f : y pro ; je sudá. ) Dokžte, že funkce: ) f : y je klesjící f : y 9 je rostoucí 6) Je dán funkce f : y, ;. ) Dokžte, že k funkci eistuje funkce inverzní. Určete definiční obor inverzní funkce. c) Sestrojte grf inverzní funkce v soustvě Oy. Určete zápis inverzní funkce v soustvě Oy v soustvě Oy. 7) Je dán funkce f y, Z :. Určete, zd je funkce periodická, jká je nejmenší period ( pokud eistuje ) nčrtněte její grf. Výsledky: je, nejmenší period je 8) Rozhodněte, která z dných množin je funkce: A, y R R; y 8 ) B, yz Z; y c) C, yw R; y, W ;;; Výsledky: ) není, není, c) je

6 7. ABSOLUTNÍ HODNOTA REÁLNÉHO ČÍSLA ) Sestrojte grf funkce: ) y y c) y Řešte v R rovnici: ) 0 8 c) 6 e) 7 8 f) 0 Výsledky: ) K 7;, K ;, c) K ;, 9 K ; ) Řešte v R nerovnici: ) 8 c), e) K 0;6 f) K ; Výsledky: ) ; K, K ; ; ; 7 ) Sestrojte grf funkce: ) y y 9 e) ; ;, c) K y 6 c) y y ) Řešte v R rovnici: ) 9 9 c) Výsledky: ) K ; ;, ; ; K, c) K 0; 6) Řešte v R nerovnici: ) 6 9 c) 7 Výsledky: ) K ;, K ;, c) K ; 7) V krtézské soustvě souřdnic znázorněte, pro které y R R ; je splněno: ) z y c) y 8. RACIONÁLNÍ FUNKCE ) Njděte rovnici lineární funkce f, jejíž grf obshuje body A ;, ; 0 Výsledky: 8 y 7 7 B. ) Grf lineární funkce prochází body A6;, B ;, určete předpis funkce, obor hodnot této funkce, je-li její definiční obor. Určete funkční hodnoty pro ;0;. Určete,zd je funkce rostoucí nebo klesjící. ; f Výsledky: y, H ;, f, f 0, f

7 ) ) Určete lineární funkci f, jestliže její grf prochází body A;, B;. Vypočtěte průsečíky grfu funkce s osmi souřdnými. c) Určete, zd body M;, N ; jsou body dné funkce. Výsledky: ) y ;0, 0;, X Y, c) M f, N f ) Je dán lineární funkce, pro kterou pltí : f f 7,. Určete její rovnici, průsečíky s osmi souřdnými hodnoty, pro které pltí 0 Výsledky: y 0, X ;0, Y 0;, ; 7 f. ) Určete rovnici kvdrtické funkce, pro kterou pltí: A ;, B ;, C 0;6 ) prochází body f 8, f 0, f c) funkce f je sudá v R, hodnot minim je -8 jeden z průsečíků grfu funkce s osou má souřdnice *;0+ funkce f je v intervlu ; rostoucí, v intervlu ; je klesjící, grf prochází počátkem soustvy souřdnic, hodnot mim je 8. Výsledky: ) y 6 6, y, c) y 8, y 6) Sestrojte grf funkce ) 9 f : y y 6 7) Sestrojte grf funkce ) y y c) y y 8) Zkreslete grfy funkcí ) f : y g : y c) h : y y e) y f) y 9. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE ) Určete definiční obor funkce: ) f : y log 7 c) f : y log f : y log f : y log8 7 e) f : y log f) f : y log Výsledky: ) D f ;, D f ; 7;, c) D f ; ; ; ; D f ;, e) D f, f) D f ; 7

8 ) Nčrtněte grf funkce: ) g : y log f : y log c) h y ) Řešte v R eponenciální rovnici: ) c) e) 8 f ) : log g ) Výsledky: ) K, K, c) K, K ;, e) K, f) K, g) K ; ) Řešte v R rovnici: ) log log log c) log log log0 log log e) log 6 log f) log g) log log log log log log Výsledky: ) K 7, K, c) K 6, K 000;0,, e) K, f) K 0, g) K 7 6) Určete, jkému výrzu se rovná log n log log b log z log z log z log z 6 log log log log 9 ) z z z log log n logb c) Výsledky: ) bz n,, c) 0, n b ) Určete hodnotu výrzu: ) log 0, 0,006 log 8 0, log 7 loglog log 7 c) log 8 log 8 log 0, log 0, log0, log0 0 Výsledky: ),, c) 6,, 0, 0. GONIOMETRICKÉ FUNKCE ) Určete zákldní velikosti dných úhlů: 67, 00,9, 9,,,, 6 Výsledky: 7, 7,,,,,, 6 ) Určete hodnotu výrzu: ) 6sin cos cos 6 cos cos sin Výsledky: ), c) sin sin cos 6, c), 7 cos sin sin 6

9 sin ) Zkreslete grf funkce: ) f : y f : y sin c) f : y cos cos f : y sin e) f : y tg f) f : y cot g sin sin ) Vyjádřete funkcemi jednoduchého úhlu: ) cos cos cos cos sin Výsledky: ) tg, k, k, k Z, tg, k, k, k Z ) Řešte v R rovnici: ) sin cot g tg tg sin cos cos e) sin cos sin 0 f) tg sin 0 c) g) 6cos 7sin 0 h) cos cot g i) cos cos 0 Výsledky: ) k; k kz, k kz, c) ; k k kz 8, d ) k ; k ; k kz, e) k ; k kz, f) k ; k ; k kz, g) k ; k, h) k ; k ; k, i) k ; k ; k kz kz 6) Řešte v R nerovnici: ) cos cos c) tg e) cot g f) sin g) cos 6 kz sin h) tg Výsledky: ) 7 k ; k, kz 7 9 k ; k, c) k; k kz kz k ; k, e) 6 kz k ; k, f) kz k ; k kz, g) k ; k, h) k; k kz 6 6 kz 7) Určete hodnoty osttních goniometrických funkcí, je-li: ) sin ; tg ; c) cos ; Výsledky: ) c) 6 cos, tg, cot g, cos, sin, cot g, sin, tg, cot g

10 . VYUŽITÍ VLASTNOSTÍ PRAVOÚHLÉHO A OBECNÉHO TROJÚHELNÍKA ) Pty dvou sousedních sloupů mjí výškový rozdíl 0,m. Jk dlouhé vodiče spojují ob sloupy, je-li sklon svhu, n kterém sloupy stojí, 9 0? Výsledky: 6, m ) Lnovk má přímou trť o délce 0 m s úhlem stoupání. Jký je výškový rozdíl mezi dolní horní stnicí? Výsledky: 8,69 m ) Dlekohled měřicího přístroje je,7 m nd vodorovnou rovinou je vzdálen 8 m od pty komín. Vypočtěte výšku komín, je-li změřen výškový úhel 9. Výsledky: v 0,8 m ) Z věže ve výšce 0 m nd hldinou moře je změřen loď v hloubkovém úhlu 9. Jk dleko je loď od věže? Výsledky: d 0, m ) Vlk jede rychlostí m s dešťové kpky kreslí n oknech čáry, které svírjí s vodorovným směrem úhel 60. Jkou rychlostí kpky dopdjí? Výsledky: v, m s 6) Vypočtěte velikosti sil působících n kždé lno, je-li těleso o hmotnosti 0 kg zvěšeno podle obrázku Výsledky: F 0 N, F N 7) Vypočtěte velikosti sil působících n kždé lno, je-li těleso o hmotnosti 00 kg zvěšeno podle obrázku Výsledky: F 09, N, F,7 N 8) Síl F = 00 N se rozkládá n dvě složky, které s ní svírjí úhly o velikostech α = 7 0, β = 7 0. Vypočítejte velikosti obou složek. Výsledky: F 9, N, F 9,8 N 9) Síl F = 00 N se rozkládá n dvě složky F = 0 N F = 00N. Vypočítejte úhel, který svírjí síly F F. Výsledky: 76 0) Je dán obdélník ABCD s rozměry AB, BC b. Určete vzdálenost pty kolmice vedené bodem A k přímce BD od bodu A. Výsledky:

11 ) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně délky. Určete vzdálenost bodu A od tělesové úhlopříčky EC. Výsledky: ) Určete délky všech strn velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je-li dáno: = 6 cm, c = 7 cm, γ = 0 0. Výsledky: b 0, cm, 6, 06 ) Vypočítejte velikosti zbývjících strn úhlů v prvoúhlém trojúhelníku ABC, je-li dáno: = 9, cm, β = 6 0. Výsledky: c 0,7 cm, b 8, cm, 7 ) Obsh trojúhelníku ABC je 6,6 cm, = 9, cm, β = 7 0. Vypočtěte délky strn b, c, poloměr kružnice opsné trojúhelníku velikosti vnitřních úhlů. Výsledky: 7, 676, b,89 cm, c, cm, r 7,7 cm ) V trojúhelníku ABC je b = 8, cm, c = 6,9 cm, α = 6 0. Vypočtěte délku strny, poloměr kružnice opsné trojúhelníku, velikosti vnitřních úhlů obsh trojúhelníku. Výsledky: 7, cm, r, cm, 7, 7, S,0 cm 6) Určete obsh trojúhelníku ABC poloměr jeho kružnice opsné, je-li dáno: = 6 cm, b = cm, = 0 0. Výsledky: S 7,79 cm, r cm 7) Určete obsh trojúhelníku ABC poloměr jeho kružnice opsné, je-li dáno: = 6 cm, c = 7 cm, = 0 0. Výsledky: S 0,8 cm, r, cm 8) N vrcholu kopce stojí rozhledn m vysoká. Ptu i vrchol vidíme z určitého míst v údolí pod výškovými úhly o velikosti Jk vysoko je vrchol kopce nd vodorovnou rovinou pozorovcího míst? Výsledky: 69 m 9) Dvě přímé důlní chodby, které ústí do téhož míst A svírjí úhel 7 0 6, mjí být spojeny chodbou (prorážkou) BC, spojující bod B n jedné chodbě s bodem C n druhé chodbě. Jk dlouhá bude prorážk, je-li AB = 7,8 m AC = 0,m? Výsledky: BC 8,8 m 0) Silnice vedoucí po hrázi rybník, má být po zrušení rybník nhrzen přímou zkrtkou. Její krjní body A, B jsou změřeny z bodu C pod úhlem 60 0, Přičemž vzdálenost CA je m vzdálenost CB je m. Jk dlouhá bude zkrtk? Výsledky: 6, m ) Z kopce m nd horizontální rovinou je vidět vrchol továrního komín v hloubkovém úhlu 8 0 jeho ptu v hloubkovém úhlu 9 0. Jk vysoký je komín? Výsledky: 6 m ) Z okn domu stojícího těsně nd řekou vidíme kámen n protějším břehu v hloubkovém úhlu 0 0. Z okn, které leží 0 metrů nd prvním oknem, vidíme týž kámen v hloubkovém úhlu 0 0. Jk široká je řek? Výsledky: 99 m ) Při stvbě elektrického vedení lesem se má provést přímý průsek mezi body A, B, ležícími n krjích les. Mimo les bylo zvoleno stnoviště C, z něhož jsou ob konce průseku vidět pod úhlem Vzdálenost AC je 6 m vzdálenost BC je m. Jk dlouhý bude průsek? Výsledky: 8, m ) Sestrojte úsečku délky: ) 0 j 7 j c) j j e) j

12 . SHODNÁ A PODOBNÁ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ ) Je dán úsečk AS, AS 6 cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, které mjí těžnici AS, 0, AB cm. ) Je dán úsečk AA ( AA cm ). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA těžnicí t b = 6 cm, β = 0. ) Je dán úsečk BB ( BB cm ). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je BB těžnicí t b c = cm, γ = 0 0. ) Je dán úsečk AS, AS cm. Sestrojte všechny trojúhelníky ABC s těžnicí AS, je-li známo: ), 60 AC 6cm, tb 6cm c) t 6cm, t cm. c b 9 ) Je dán půlkruh s průměrem d = 8cm jeho vnitřní bod K. Sestrojte všechny úsečky UV, které mjí střed K krjní body n hrnici půlkruhu. 6) Je dán čtverec ABCD jeho vnitřní bod M. Sestrojte všechny rovnostrnné trojúhelníky KLM, které mjí vrcholy K, L n hrnici čtverce. 7) Je dán přímk p, bod A kružnice k se středem S. Sestrojte všechny rovnoběžníky SABC, které mjí vrchol B n přímce p vrchol C n kružnici k. 8) Dvě kružnice k, m se protínjí v bodech A, M. Sestrojte všechny rovnormenné trojúhelníky ABC, pro které pltí: B k, C m, velikost úhlu BAC je ) Jsou dány dvě kružnice k k přímk p. Sestrojte čtverec ABCD tk, by bod A ležel n kružnici k, bod C n kružnici k úhlopříčk BD n přímce p. 0) Jsou dány přímk p kružnice k (S, cm), vzdálenost středu S od přímky p je 7cm. Přímk kružnice nemjí společný bod. Je dán bod A, který je od bodu S vzdálen 6cm od přímky p je vzdálen cm. Sestrojte všechny čtverce ABCD, které mjí vrchol B n přímce p vrchol D n kružnici k. ) Jsou dány dvě různoběžné přímky p q kružnice k. Sestrojte čtverec ABCD tk, by pltilo: bod A leží n přímce q, bod C n kružnici k úhlopříčk BD n přímce p. ) Je dán kružnice k bod M v její vnitřní oblsti. Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které procházejí bodem M jsou jím děleny n dvě úsečky v poměru :. ) Je dán kružnice k bod M v její vnitřní oblsti. Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které procházejí bodem M jsou jím děleny n dvě úsečky v poměru :. ) Sestrojte dvojice kružnic k(o; cm), m(s; cm) jejich středy stejnolehlosti v přípdech, kdy: ) OS cm, OS 0,cm, c) OS cm, OS cm, e) 6, cm. ) Sestrojte spoň jeden trojúhelník ABC, který má tyto vlstnosti: ) AB : BC : AC : :, v cm 7, cm, BC : CA :. Nápověd:,,,, středová souměrnost 6, 8, 0 otočení 7 posunutí 9, osová souměrnost,,, stejnolehlost (homotetie) v c

13 . ZÁKLADY STEREOMETRIE ) Sestrojte řez kvádru ABCDEFGH rovinou KLM. Rozměry kvádru jsou: AB = 7 cm, BC = cm,ae= cm. Body K, L, M jsou vnitřní body hrn kvádru pltí: AK:KD = :,FM:FG = :, HL:GL = :. ) Sestrojte řez kvádru ABCDEFGH rovinou KLM. Rozměry kvádru jsou: AB = 7 cm,bc = cm, AE= cm. Body K, L, M jsou vnitřní body hrn kvádru pltí: AK:KB = :,CL:CG = :, HM:GH = :. ) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM. Body K, L, M jsou vnitřní body hrn krychle pltí: AK:KB= :,CL:LG = :, HM:GM = :. ) Sestrojte řez krychle ABCDEFGH rovinou KLM. Body K, L, M jsou po řdě středy hrn AE, CD FG. ) Je dán prvidelný čtyřboký jehln ABCDV s podstvnou hrnou cm výškou 6 cm. Sestrojte řez jehlnu rovinou MNP. Pro body M, N, P pltí: M je středem hrny DV, N leží n polopřímce DC z bodem C CN:DN= :, bod P je vnitřním bodem hrny AB AP:PB = :. 6) Je dán prvidelný čtyřboký jehln ABCDV s podstvnou hrnou 6 cm výškou 0 cm. Sestrojte řez jehlnu rovinou MNP. Pro body M, N, P pltí: M je středem hrny DV, N leží n polopřímce DC z bodem C CN:DN= :, bod P je vnitřním bodem hrny AB AP:PB = :. 7) Je dán prvidelný čtyřboký jehln ABCDV s podstvnou hrnou 6 cm výškou 0 cm. Sestrojte řez jehlnu rovinou MNP. Pro body M, N, P pltí: M je středem hrny AV, P leží n polopřímce AB z bodem B BP:AP= :, bod N je vnitřním bodem hrny CV CN:VN = :. 8) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně. Určete odchylku přímek BP HF, P je střed hrny GH. Výsledky: 9) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně. Vypočtěte odchylku přímek BH DM, M je střed hrny BC. Výsledky: 9 0) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně. Body M N jsou po řdě středy hrn EF AE. Určete odchylku rovin EFG MNH. Výsledky: 8 ) Je dán kvádr ABCDEFGH o rozměrech AB = cm, BC = 6 cm, AE = 8 cm, bod M je středem hrny AE. Určete odchylku přímek AG MH. Výsledky: 8 ) Je dán prvidelný trojboký hrnol ABCDEF, AB = cm, AD = 6 cm. Vypočtěte odchylku přímek AE, BC. Výsledky: 7 0 ) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně. Body K L jsou postupně středy hrn CD CG. Určete odchylku rovin ABC KBL. Výsledky: 8 ) Je dán krychle ABCDEFGH o hrně. Body L N jsou postupně středy hrn FB HD. Určete odchylku přímky AE roviny NGL. Výsledky: ) Je dán prvidelný trojboký hrnol ABCDEF, AB =, AD =. Vypočtěte odchylku přímek BF, DE. Výsledky: 77 6) Vypočítejte odchylku přímek BP EC v krychli ABCDEFGH o hrně = 6cm. Bod P je střed hrny GH. Výsledky:

14 7) Čtyřboký jehln ABCDV má rozměry AB= cm,bc= cm, v = 6cm. Vypočtěte vzdálenost bodu B od přímky DV. 60 Výsledky: cm,6cm 8) Je dán prvidelný čtyřboký hrnol ABCDEFGH s rozměry AB=BC=, AE= b. Vypočítejte vzdálenost bodu C od roviny BDG. b Výsledky: b 9) Prvidelný čtyřboký jehln ABCDV má rozměry AB=, SV= v (výšk). Určete vzdálenost bodu A od přímky BV. Výsledky: v v 0) Vypočítejte vzdálenost rovin ACH BGE v krychli ABCDEFGH, je-li délk tělesové úhlopříčky HB 6cm. Výsledky: cm ) Je dán kvádr ABCDEFGH který má rozměry AB AD cm, AE c 6cm. Určete vzdálenost bodu B od roviny ACF. c Výsledky:, cm,6cm c 88 ) Vypočítejte povrch prvidelného šestibokého jehlnu s délkou hrny podstvy = 6cm výškou v = cm. Výsledky: S 6, cm ) Vypočítejte objem čtyřbokého hrnolu jehož povrch je 7 cm délky hrn jsou v poměru :b:c = ::. Výsledky: V cm ) Vypočítejte objem čtyřbokého hrnolu jsou - li délky hrn v poměru : : povrch hrnolu je cm. Výsledky: V cm ) Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky 0 cm. Výšk válce je dvkrát větší než průměr podstvy. Vypočítejte objem povrch válce. Výsledky: V 60 cm, S 00cm 6) Obsh podstvy rotčního kužele se má k plášti jko :. Jeho tělesová výšk je cm. Vypočítejte povrch objem kužele. Výsledky: s cm, V cm 7) Povrch rotčního kužele má se k obshu podstvy jko 8 :. Určete objem povrch kužele, je-li jeho tělesová výšk cm. Výsledky: V 00 cm, S 90cm 8) Nádob tvru duté polokoule je nplněn vodou do výšky 0 cm. Určete objem vody v nádobě, je-li vnitřní průměr nádoby 8cm. Výsledky: V cm 9) Určete objem kulové vrstvy, která vznikne z polokoule o poloměru cm odříznutím úseče, jejíž výšk je, cm. Výsledky: V 0cm 0) Osovým řezem válce je čtverec o obshu cm. Vypočítejte povrch objem válce. Výsledky: S 7,cm 7,8 cm, V, cm 98,7 cm

15 ) Vyjádřete v litrech objem koše n ppír, který má tvr prvidelného čtyřbokého komolého jehlnu. Hrny podstv mjí délky 8 cm 0 cm, boční hrn má délku 6 cm. Výsledky: V 0,6 litru ) Rotční komolý kužel má podstvy o poloměrech 6 cm cm. Vypočítejte jeho objem, rovná-li se jeho plášť součtu obshů obou podstv. Výsledky: V 8 cm. KOMPLEXNÍ ČÍSLO i i i i ) Vypočítejte: ) ii i c) ii i i i 9 6 i i i i e) i i i i i f) 7 i i i i 9 i i Výsledky: ) i c) i e) i f) 0 ) Zobrzte v Gussově rovině: ) z i z i b ) i z c) z i z i z i i z i z ) Určete bsolutní hodnotu: ) i i i i i i i i Výsledky: ) i i y 9 6i ) Určete reálná čísl, y, která jsou řešením rovnice: ) i y 7 i c) i y i iy i y i 7 i i y i e) 7 i iy i i Výsledky: ), y 7, y c), y, y,, y,, y,, y e), y ) Řešte rovnici pro z C : ) i z i i z 8 zi i z c) z i i z y 0 i z i z 0 Výsledky: ) z i z i c) z 8 i z i 6) Je dáno komplení číslo u, určete mocninu tohoto čísl výsledek zpište v lgebrickém tvru: ) u cos i sin, u u cos i sin, u c) u cos i sin, u 6 Výsledky: ) u 6 u i c) u i

16 7) Řešte v množině C rovnice: ) c) i i 0 e) i 0 f) i 7i 0 Výsledky: ) 7 7 i; i e) i; i i; i f) i; i c) i; i i; i 8) Řešte v množině C rovnici výsledek zkreslete v Gussově rovině: ) c) e) i Výsledky: ) 0 i ; ; i 0 ; i; ; i c) 0 ; i; i i ; i ; i ; i 0 e) i i 0 ; i; 9) Určete, pro která m R Výsledky: ) m ; má rovnice: ) m m m m m m m; 0 dv imginární kořeny 0 dv komplení sdružené kořeny.. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA ) Kolik různých pěticiferných čísel lze zpst číslicemi 0,,,,, 7, 9, nemá-li se žádná číslice opkovt kolik jich je sudých? Výsledky: 60 pěticiferných, 660 sudých ) Určete počet všech přirozených čísel větších než 000, v jejichž zápisech se vyskytují cifry,,, 6, 8, to kždá nejvýše jednou. Výsledky: 6 ) Kolik způsoby lze 0 dětí rozdělit do tří skupin tk, by v první bylo 0 dětí, ve druhé bylo 6 dětí ve třetí zbytek? Výsledky: ) V soutěži je 8 závodníků. Z předpokldu, že kždou z medilí získá právě jeden závodník, vypočítejte, kolik je možností rozdělení medilí zlté, stříbrné bronzové mezi závodníky. Výsledky: 6 ) Kolik způsoby lze postvit do řdy vedle sebe n poličku různých knih? Výsledky:

17 6) N běžecké trti běží 8 závodníků. Do finále postupují první tři. Kolik je možností n postupující trojici? Výsledky: 6 7) Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet kombincí druhé třídy bez opkování vytvořených z těchto prvků o 0. Určete původní počet prvků. Výsledky: původní počet prvků je 6 8) Zmenší-li se počet prvků o 7, zmenší se počet vricí druhé třídy bez opkování vytvořených z těchto prvků desetkrát. Určete původní počet prvků. Výsledky: původní počet prvků je 0 9) Zmenší-li se počet prvků o, zmenší se počet permutcí vytvořených z těchto prvků dvcetkrát. Určete původní počet prvků. Výsledky: původní počet prvků je 0) V krbici je 0 výrobků, z toho jsou vdné. Kolik způsoby můžeme vybrt výrobky tk, by mezi nimi ) byl právě jeden vdný byl nejvýše jeden vdný c) byly lespoň tři vdné? Výsledky: ) 8 c) 0 ) Ve skupině osob jsou ženy. Kolik způsoby můžeme vybrt osob tk, by mezi nimi ) byly právě dvě ženy byl nejvýše jedn žen c) byly lespoň čtyři ženy? Výsledky: ) c) 0 ) Ve skupině je 0 dětí, kždé dvě děti mjí jiné jméno. Jsou mezi nimi i Alen Jn. Kolik způsoby lze vybrt 8 dětí tk, by mezi vybrnými: ) byl Alen byl lespoň jedn z dívek Alen, Jn nebyl Alen e) byl nejvýše jedn z dívek Alen, Jn c) byl Alen Jn f) nebyl ni Alen, ni Jn? Výsledky: ) c) e) f) 78 ) Řešte rovnici pro N : K, K, K 0, 0 ) K, 6 K, 0 c) 7,, V, V V K K, K 6,, e) f) Výsledky: ) g) 88 h)!! ; 0; c) 9 8 e) f) g) 6 h) ) Určete čtvrtý člen mnohočlenu, který vznikne po výpočtu 7 Výsledky: b b 6) Určete R tk, by pátý člen binomického rozvoje byl roven 06. Výsledky: 7) Určete R tk, by sedmý člen binomického rozvoje 6 9 Výsledky: ; b pomocí binomické věty. 0; b 0 9 byl roven 6.

18 y 8) V binomickém rozvoji y njděte člen, který ) obshuje Výsledky: ) 7 mý člen tý člen 0 y obshuje 9) V osudí je 6 koulí modrých koule bílé, náhodně vybereme koule. Určete prvděpodobnost že: ) budou všechny bílé lespoň koule budou bílé c) nejvýše jedn koule bude bílá žádná koule nebude bílá. Výsledky: ) p A 0 7 pb 0,07 c) pc 0,9 pd ,9 0) V bedně je 7 bílých koulí modré koule. Náhodně vybereme koule. Jká je prvděpodobnost, že mezi nimi budou: ) nejvýše modré koule smé modré koule? 0 Výsledky: ) p A 0,967 0 pb 0 ) Určete prvděpodobnost, že při hodu dvěm kostkmi ) pdne lespoň jedn šestk pdne součet 9 nebo součet nepdne ni součet 9, ni součet. Výsledky: ) p A pb c) pc ) N výrobku se objevují tři druhy závd ; ; Z Z Z, přičemž prvděpodobnost výskytu jednotlivých závd je 0,; 0,0; 0,0. Předpokládejte, že jednotlivé závdy jsou jevy nvzájem nezávislé. Určete prvděpodobnost, že výrobek bude bez vdy. Výsledky: p 0,88 ) Petr přijde n večerní trénink s prvděpodobností 0,9, ztímco Pvel přijde s prvděpodobností 0,7, to nezávisle n Petrovi. Určete prvděpodobnost, že: ) n trénink nepřijde ni jeden z nich n trénink přijde lespoň jeden z nich c) n trénink přijdou ob dv. Výsledky: ) p A 0,0 pb 0,97 c) pc 0,67 ) Při písemné práci dosáhli studenti těchto výsledků: výborný, 8 chvlitebný, dobrý, dosttečný nedosttečný. Sestvte tbulku rozdělení četností, určete reltivní četnosti, průměrnou známku, modus, medián znázorněte rozdělení četností grficky. 8 Výsledky:,8; Mod ; Med 0 ) Vypočtěte ritmetický, hrmonický geometrický průměr čísel,;,7;,8;,9;,8. Výsledky:,66;,6;,6 h G 6) Zprcujte následující tbulku 0 hodnot délek získných měřením. Sestvte tbulku rozdělení četností, určete reltivní četnosti. Určete ritmetický průměr, modus, medián, rozptyl, směrodtnou odchylku vriční koeficient. Rozdělení četností znázorněte grficky.,8,7,,,7,0,,7,0,,0,8,0,8,,,,0,9,,,9,,8,0,9,9,,8,9,,7,8,0,8,0,0,,0,0,9,,0,0,,,,9,,,998; Mod,0; Med,0; s 0,079; s,06; v,% Výsledky:

19 6. POSLOUPNOSTI A ŘADY ) Posloupnost n je dán rekurentně: n n ; n n. Vyjádřete tuto posloupnost vzorcem pro n-tý n člen uvedenou hypotézu ověřte mtemtickou indukcí. Výsledky: n n ) Zdejte posloupnost n n rekurentně. nn n n Výsledky: ; n n n n ) Vyjádřete posloupnost rekurentně: ) nn n n n Výsledky: ) ; n n n nebo ; n n n n ; n n n ) Je dán posloupnost. Určete její vlstnosti, limitu zkreslete grf. (Vyslovené hypotézy dokžte.) n n n Výsledky: posloupnost je rostoucí, omezená, konvergentní, lim n n ) Zjistěte, zd dná posloupnost je rostoucí nebo klesjící. (Hypotézu ověřte) n ) n n n n nn n Výsledky: ) klesjící rostoucí c) klesjící n c) n n n n n n 6) Vypočtěte: ) lim e) n Výsledky: ) 0 n n n n lim n n n c) n n lim n n 6 c) f) lim e) n n n n f) lim n n n n n lim n n n ) Řešte v množině R rovnice: ) 0 8 c) log log log log 8 6 Výsledky: ) 6 6; c) 0 8) Vypočtěte součet nekonečné geometrické řdy: ) Výsledky: ) , 0 c) c)

20 n 9) Určete podmínku konvergence dných řd potom vypočtěte jejich součet ) n n n Výsledky: ) ; ; ; s R; s m 0) Dná periodická čísl npište jko zlomky ve tvru, kde m Z n N : ) 0, 6, c)0, n 7 Výsledky: ) c) 6 7. ARITMETICKÁ A GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST n ) Zjistěte, zd dná posloupnost je ritmetická nebo geometrická: ) n n n n n c) n n e) n n n n Výsledky: ) je ritmetická není ritmetická ni geometrická c) je ritmetická není ritmetická ni geometrická e) je geometrická ) V tbulce pro ritmetickou posloupnost doplňte chybějící údje d n n s n , 0 Výsledky: ) d ; n d ; s n 7, c) n; n ) Určete, ve které ritmetické posloupnosti pltí ( určete, 8 ; ; c) e) 9 f) 9 8 Výsledky: ) 9; d ; d c) ; d ; d 7 7 ; d nebo ; d f) ; d e) ) V tbulce pro geometrickou posloupnost doplňte chybějící údje 6 6 q N n s n 0, Výsledky: ) 6; s n 0 q; s n 86 c) 7; n ) Určete, ve které geometrické posloupnosti pltí ( určete, q): ) 8 6

21 c) e) f) 0 Výsledky: ) ; q nebo 6; q 0, ; q nebo ; q c) ; q nebo ; q 6; q 0, nebo ; q e) ; q f) ; q 0 nebo ; q 6) Mezi čísl vložte tolik čísel, by s dnými čísly tvořil ritmetickou posloupnost o součtu 7. Určete vložená čísl jejich počet. Výsledky: počet : 7, čísl : ; 7;0;;6;9; 7) Součin tří po sobě jdoucích členů ritmetické posloupnosti se rovná jejich součtu. Určete tyto členy, víte-li, že diference posloupnosti je. Výsledky: ; 0; nebo ; ; 9 nebo 9; ; 8) Délky strn prvoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy ritmetické posloupnosti. Delší odvěsn má délku cm. Jk velké jsou jeho strny? Výsledky: 8 cm, cm, 0cm 9) Délky strn prvoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy ritmetické posloupnosti. Jk jsou dlouhé, je-li jeho obsh 6 dm? Výsledky: dm, dm, dm 0) Rozměry kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy ritmetické posloupnosti. Součet délek všech hrn kvádru je 96 cm, povrch kvádru je cm. Určete objem kvádru. Výsledky: V cm ) N střeše tvru lichoběžníku jsou srovnány tšky do řd tk, že při hřebenu je 8 tšek v kždé následující řdě je o jednu tšku více než v řdě předcházející. Kolik tškmi je pokryt střech, má-li řd při okpu 00 tšek? Výsledky: 80 tšek ) Délky hrn kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti, součet délek všech hrn kvádru je 8 cm. Vypočítejte povrch kvádru, víte-li, že jeho objem je 8 cm. Výsledky: cm, cm, cm nebo cm, cm,cm ) Povrch kvádru je 78 cm, součet jeho rozměrů je cm. Jk velký je jeho objem, tvoří-li rozměry tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti? Výsledky: V 7cm ) Součet čtyř po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je 80. Určete je, víte-li, že člen poslední je devětkrát větší než člen druhý. Výsledky: ; 6;8; nebo ;; 6;08 ) V určitém roce dosáhl hrubý objem výroby v jednom závodě 0 miliónů korun. Jký hrubý roční objem výroby můžeme očekávt z let při 0 % ročním přírůstku výroby? Výsledky: 6000 Kč 6) Určete přibližný počet obyvtel měst n zčátku roku 00, jestliže počet obyvtel n zčátku roku 99 byl předpokládný kždoroční přírůstek je %. Výsledky: 8 77 obyvtel

22 7) Původní nákldy n výrobu jednoho výrobku činily 00 Kč. Jká bude výše nákldů n jeden výrobek z roky, jestliže se tyto nákldy kždoročně snižují o %? O kolik procent se sníží nákldy n jeden výrobek z roky vzhledem k původním nákldům? Výsledky: nákldy :,80 Kč; snížení : o 8, % 8) Ve městě s obyvteli je průměrný roční přírůstek obyvtel n 000 lidí. Kolik obyvtel bude žít v tomto městě z 0 let? Výsledky: 800 obyvtel 9) Do bnky uložíme 000 Kč. Kolik budeme mít po letech, jestliže roční úroková mír je 7% úročení probíhá pololetně? (Dň z úroků je %, z účtu po celou dobu nevybíráme ni n účet neukládáme dlší peníze.) Výsledky: 7,80 Kč 0) Klient získl od bnky úvěr ve výši Kč, to n dobu let s roční úrokovou mírou % (úrokovcí období je rok ). Úvěr bude splácet v šesti stejných ročních splátkách, první po jednom roce od poskytnutí úvěru. Kolik korun bude činit jedn splátk kolik korun celkem klient bnce zpltí? Výsledky: splátk :8 78,80 Kč, celková částk : 77 7,0 Kč ) Vkldtel uložil n počátku roku n termínovný vkld n roky částku 000 Kč. Roční úroková mír je 9,%. Jk vysokou částku bude mít n konci druhého roku, jestliže si v průběhu celé doby nevybírl úroky je-li úrokovcí období ) rok, polovin roku, c) čtvrt roku, měsíc? (Dň z úroků je %) Výsledky: ) 7 76,70 Kč 7 89,0 Kč c) 7 8,0 Kč 7 88,0 Kč ) Cen nového stroje je 8 60 Kč. Při kždoroční inventuře se odepisuje % hodnoty stroje z předcházejícího roku (tzv. mortizce). Jká bude cen stroje po 0 letech? Výsledky: 06 Kč 8.VEKTOROVÁ ALGEBRA AB d, A m ; ;, B ; m ;, d 6 ) Určete číslo m tk, by pltilo: ) AB d A m B m d Výsledky: ) m, m m, m, ;;, ; ; 0, ) Určete čísl r, s tk, by pltilo: ) u AB, Ar ; 6, B r;, u ; s u AB, A;, Br ;, u ; s Výsledky: ) r, s 9 r, s ) Zjistěte, zd vektor w je lineární kombincí vektorů uv, w 0; 6;, u ; 0;, v ; ; Výsledky: ) není není c) je ) Určete lineární kombinci u bv cw vektorů: ) u ; ;, v 6; 0;, w ; ;,, b, c 0 u ; ;, v 6; 0;, w ; ;,, b, c : ) w ; ; 8, u ; ;, v ; 0; c) w ;;, u ; ;, v ; ; 0 Výsledky: ) ; ; ; ; 0 ) Určete čísl m, n tk, by pltilo: ) m; ; n 7; 6 ; m n; ; Výsledky: ) m, n m, n 6

23 6) Určete vektor u, který je kolmý k vektoru v ; Výsledky: u ; 9, u ; 9 má velikost jednotek. 7) Určete vektor u, který je kolmý k vektoru v ; Výsledky: u ;, u ; má velikost jednotky. 8) Jsou dány body A;, B;, C ;. ) Dokžte, že body tvoří trojúhelník. Určete délku strny AB. c) Určete souřdnice těžiště trojúhelníku. Určete velikost úhlu. e) Určete obsh trojúhelníku. Výsledky: AB j c) T ; 6 e) S j 9) Jsou dány body A; 0;, B ; ;, C ; ; 6, které tvoří trojúhelník. Určete: ) délky strn trojúhelníku souřdnice těžiště T trojúhelníku c) velikost nejmenšího úhlu trojúhelníku obsh trojúhelníku e) souřdnice bodu D tk, by body ABCD tvořily rovnoběžník. ; ; Výsledky: ) AB 6, AC 6, BC 6 T c) S 8 j e) D; ;0 0) Jsou dány body A; ;, B ; ;, C; ;, které tvoří trojúhelník. Určete: ) délky strn trojúhelníku souřdnice těžiště T trojúhelníku c) velikost největšího úhlu trojúhelníku obsh trojúhelníku e) souřdnice bodu D tk, by body ABCD tvořily rovnoběžník. 8 Výsledky: ) AB, AC, BC 8 T ; ; c) S j B 6; vzdálenost 0. ) Vypočtěte souřdnice bodu A, který leží n ose y má od bodu Výsledky: A0;, A 0; e) D; ; ) Vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH je-li dáno: ) A;; 0, B; ;, D; ;, E ;; 0 A; ;, B;;, D ; ;, E; 0; Výsledky: ) V j V j ) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlnu ABCDV je-li dáno: ) A; ;, B; ;, D0; ;, V ; ; A;;, B; ;, D; 6;0, V ; ; Výsledky: ) V j V 96 ) Jsou dány body A;;, B ;;, C; 6;0, D; ; j. Vypočítejte: ) objem čtyřstěnu ABCD povrch stěny BCD c) obvod stěny ABC velikost vnitřních úhlů stěny ABC. Výsledky: ) V j S 796 j c) O 7 j 8, 8, 70

24 9.ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ ) Jsou dány body A;, B ;, C ;. ) Dokžte, že body A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku. Npište obecnou rovnici přímky, n níž leží těžnice t trojúhelníku ABC. c) Npište obecnou rovnici přímky, n níž leží výšk v b trojúhelníku ABC. Npište obecnou rovnici osy úsečky AC. Výsledky: 6y 0 c) y 6 0 y 0 ) Jsou dány body A; 0, B0;, C ;, které tvoří trojúhelník. Určete: ) obecnou rovnici přímky, n které leží výšk v c velikost výšky v c c) těžnici t c přímku procházející bodem C rovnoběžnou s přímkou AB. Výsledky: ) y 0, vc, c) t; t, t 0;, y 6 0, t; t, t R ) Určete vzájemnou polohu přímky p úsečky AB. Pokud eistuje průsečík, určete jeho souřdnice. p 7 t; 8 t, t R, A ;, B ; ) p : y 7 0, A; 7, B ; 0 různoběžné nemjí průsečík různoběžné, P0;, Výsledky: ), ) Npište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem M ; je rovnoběžná s přímkou : ) y 0 t; t, t R Výsledky: ) y 0 y 7 0 ) Npište obecnou rovnici přímky q, která je kolmá n přímku p prochází bodem A, je-li dáno: ) p : y 0, A ; p : t; t, t R, A; Výsledky: ) y 0 y 0 6) Npište obecnou rovnici přímky m, která prochází průsečíkem přímek p : 7y 8 0, q : y 0 bodem A;. Určete směrnici přímky m odchylku přímky m od osy. Výsledky: ) m : y 0, k, 7) N přímce p : y 0 určete bod A, který má od přímky q : y 0 vzdálenost. 7 Výsledky: ) A ;, A ; 6 8 bod ;; 0 8) Jsou dány roviny : y z 0, : y z 0 Určete: ) vzájemnou polohu rovin jejich průsečnici (pokud eistuje) vzdálenost rovin c) přímku p, která prochází bodem A je kolmá k rovině průsečík přímky p roviny. Výsledky: ) různoběžné, t; t; t, t R P 0; ; A. v, 0 c) p r; r; r, r R

25 9) Určete vzájemnou polohu rovin. Jsou-li různoběžné, určete jejich průsečnici. Jsou-li roviny rovnoběžné, vypočítejte jejich vzdálenost. ) : y 8z 7 0, : y 8z 0 : y z 0, : y z 7 0 c) : y 6z 8 0, : 6y 9z 7 0 Výsledky: ) rovnoběžné různé, v, c) rovnoběžné totožné, v ; 0 0) Určete vzájemnou polohu roviny přímky p : různoběžné, t; t; t, t R ) r s; r s; 7 r s, r R, s R, ; 7 ; 6, r s; r s; r 7 s, r R, s R, p t; 6; t, t R c) r s; r 6 s; r s, r R, s R, ; ; 6, p t t t t R p t t t t R Výsledky: ) přímk p leží v rovině, přímk p je s rovinou rovnoběžná, přímk p je s rovinou různoběžná, P ;; c) ) Určete vzdálenost bodu A od přímky p, je-li dáno: ) A6; 6;, p ; 6 t; 6 t, t R Výsledky: ) v A, p 6 v A, p 6 ) Je dán přímk A ; ;, p t; t; t, t R p t; t; t, t R roviny : y 9 0 : y 7z 0. ) Určete odchylku přímky p od roviny. Určete odchylku přímky p od roviny. c) Určete odchylku rovin. Výsledky: ) 9 7 c) 6 8 ) Určete vzájemnou polohu přímek pq, v prostoru. V přípdě, že jsou různoběžné, určete jejich průsečík. ) 7 ; ;,, ; ; 8, p t; t; 6 t, t R, q s; s; s, s R c) ; ; 6,, 7 ; 0,, ; 9, p t; t; t, t R, q s; s; s, s R Výsledky: ), 0; 7; p t t t t R q s s s s R p t t t t R q s s s s R různoběžné P totožné c) rovnoběžné různé mimoběžné ) Jsou dány body A0;;, B0; 0;, C ; ;, M ;;, N ; 0; Určete: ) obecnou rovnici roviny ABC vzdálenost bodu M od roviny ABC c) odchylku přímky MN od roviny ABC vzdálenost bodu C od přímky MN. ; Výsledky: ) y z 6 0. v M ABC c) ; v C MN ) Je dán bod M ; ; 0 přímk přímek KM p byl 0. K ; ;, K 8; ; Výsledky: p t; t;, t R. N přímce p určete bod K tk, by odchylk

26 0.ANALYTICKÁ GEOMETRIE KVADRATICKÝCH ÚTVARŮ ) Určete rovnici kružnice, která je určen body: ) A7;, B; 9, C ; A0;, B0;, C; 6 Výsledky: ) y y y y 8 0 ) Určete rovnici kružnice, která prochází body AB, jejíž střed leží n přímce p. ) ;, ; c) A ;, B; A B, p : y 8 0, p : y 0 Výsledky: ) y ;, 6; 0 A B, p : y c) y 7 y y ) Určete vzájemnou polohu kružnice k : y 0 přímky p : y c 0 v závislosti n prmetru c. Výsledky: c0 ;0 sečn, c 0 ;0 tečn, c; 0 0 ; vnější přímk ) Určete vzájemnou polohu přímky kružnice souřdnice společných bodů, pokud eistují. ) p : y 0, k : y y 0 p : y 6 0, k : y y Výsledky: ) sečn, P ;, P ; 0 0 sečn, P ;, P ;, ) Npište rovnice tečny kružnice v dném bodě: ) k : y, T ; k : y, T ; y 0 c) k : y 0, T ; 0 Výsledky: ) y 0 y 0 c) y 0, y 0 6) Je dán kulová ploch se středem S; ;, která prochází počátkem soustvy souřdné úsečk AB, kde A;;, B; 0;. Určete rovnici kulové plochy společné body útvrů(pokud eistují). Výsledky: : y z, společný bod B; 0; 7) Npište rovnici elipsy, která má ohnisk v bodech ;, ; E F vedlejší poloosu. Určete souřdnice význčných bodů. y Výsledky:, S ;, A 0;, B 0;, C;, D; 0 9 8) Npište rovnici elipsy, která má ohnisk v bodech E;, F ; hlvní vrchol A 7;. Určete souřdnice význčných bodů. y, S ;,, B ;, C ; 8, D ; Výsledky: 9) Npište rovnici tečny elipsy v dném bodě: 9 00 y 9 00 y 09 0, T 9; y ) 0 9 6y 6 y 9 0, T 8; y. 0 Výsledky: ) 0y 9 0, 0y 0 8y 6 0, 8y 0 0) Určete společné body elipsy přímky: ) elips : 9 y 6, přímk : y 6 0 elips : 9y 6, přímk : y 6 0 P ; 0, R 0; Výsledky: ) ; 0, 0; P R

27 ) Je dán hyperbol 9 y 8 00y 6 0. Určete souřdnice středu, velikosti poloos ecentricitu. Určete společné body hyperboly úsečky AB, A ; 6, B ;. Výsledky: S ;,, b, e, společné body neeistují ) Je dán hyperbol y 8 6y 0. Určete souřdnice středu, velikosti poloos ecentricitu. Určete společné body hyperboly úsečky AB, A ;, B;. Výsledky: S ;,, b 0, e, společné body neeistují ) Určete rovnice všech přímek, které procházejí dným bodem hyperboly mjí s ní právě jeden společný bod. y T0 ; 6 Výsledky: t : y 6 0, t : y 6 0, p : y 0 0, p : y 0 0 p : y 0 0, p : y 0 0 ) Určete rovnice všech přímek, které procházejí dným bodem hyperboly mjí s ní právě jeden společný bod. y T ; y 0 Výsledky: t : y 0, t : 6 y 0, p : y 0, p : y 0 p : y 0, p : y 0 ) Určete rovnice tečen hyperboly y 6 0, které jsou kolmé k přímce y 0. Výsledky: tečn neeistuje 6) Určete rovnice tečen hyperboly y 6 0, které jsou rovnoběžné s přímkou y 0. Výsledky: t: y 0, t: y 0 7) Npište rovnici hyperboly, která má vrcholy A ; 0, B ; jedno ohnisko ; y Výsledky: 8) Npište rovnici hyperboly, která má vrchol A ; ohnisk ;, F; 6 y Výsledky: E. E. 9) Je dán prbol y 0, určete souřdnice vrcholu, ohnisk, rovnici řídící přímky průsečíky s polopřímkou AB, A ;, B ;. V 0;, p, F 0;, d : y 0, společné body neeistují Výsledky: 0) Je dán prbol y y 0, určete souřdnice vrcholu, ohnisk, rovnici řídící přímky průsečíky A ;, B ;. s úsečkou AB, Výsledky: V 0;, p, F ;, d :, společné body neeistují ) Určete rovnice všech prbol, které procházejí body ;, B ; 7, C ; Výsledky: y ) Určete rovnice všech prbol, které procházejí body ;, B0;, C ; 6 Výsledky: y 6 9 A mjí osu rovnoběžnou s osou y. A mjí osu rovnoběžnou s osou.

28 ) Určete rovnice všech přímek, které mjí s prbolou y y 7 právě jeden společný bod procházejí jejím M 0 ;. bodem Výsledky: M 9;, m : y, t : 8y 0 ) Určete rovnice všech přímek, které mjí s prbolou y právě jeden společný bod procházejí jejím M ; y. bodem 0 Výsledky: M ;, m :, t : y 7 0 ) Určete rovnice tečen k prbole 8 y, které procházejí bodem ; A. Výsledky: t : y 0 6) Rozhodněte o typu kuželosečky, která je dán rovnicí 6 9y 8y 9 0. Určete souřdnice význčných bodů nčrtněte polohu kuželosečky. Výsledky: elips, A;, B;, C;, D;, E ; 7, F ; 7, S ;. ÚPRAVY VÝRAZŮ ) Uprvte dné výrzy určete podmínky. ) b b b b b y y y y y c) : 8 b b : b b b b b b y y e) y : y y f) b b b b b g) : pq p q q p p p q p q p q b Výsledky: ), 0, b 0, b b b, b e) y, 0, y 0, y y, 0, y 0, y y b f), b, 0 b c), p g), p 0, q 0, p q p q ) Uprvte dné výrzy určete podmínky. ) c) : b b b b : b b b b b Výsledky: ), 0 b, 0 c), 0, 0, b 0

29 ) Uprvte dné výrzy určete podmínky. ) 6 y : y t z tz y y z t c) y z y z y 6 y y Výsledky: ), 0, 0, 0, 0, 0 c) yz, 0, y 0, z 0 z y, y 0 ) Uprvte dné výrzy určete podmínky. n! n n ) n! n n n! n!!! n n n! n! n! c) n n n!!! n n! n! n! n 9 6!!! e) n n n f) n n! n! Výsledky: ), n N n, n N n c), n N n f) n n n, n N n 0, nn 0 e) n ) Uprvte dné výrzy určete podmínky. cos sin cos sin ) sin cos cos c) sin cos sin cos sin sin cos cos e) sin sin cos cos sin sin f) sin cos sin Výsledky: ) tg, R k, k Z sin, R c) 0, R k, k Z tg, R k, k, k, k Z e), tg R k, k Z sin f), R k, k Z cos,! n N 7 6) Vypočtěte: ) sin tg cos cot g 6 cos 0 tg70 sin 67 cos00 cos80 c) cos sin 8tg sin sin cos0 tg00 cot g 0 Výsledky: ) 6 c) 6 7) Vypočtěte: ) Výsledky: ) c) 6 : 6 6 c) : 8

30 . LIMITA A DERIVACE ) Vypočtěte limity funkcí: ) lim lim c) lim lim e) lim 8 9 f ) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim 7 l) lim 9 m) lim n ) lim 8 Výsledky: ) 0,, c), 8, e), f) 6, g), h) 6, i), j) 7 9, k) 7, l), m), n) 6 ) Vypočtěte limity funkcí: sin cos sin sin sin cos ) lim lim c) lim tg lim e) lim sin sin cos sin f ) lim g) lim h) lim i) lim j) lim 7 sin cos cos cos tg sin cos k) lim l) lim m) lim n) lim o) lim cos cos cot g cos p) lim q) lim r) lim s) lim t) lim u) lim v) lim w) lim 0 y) lim Výsledky: ),, c), 0, e), f), g), h) 0, i), j), k) 7, l) 6, m), n), o), p) 7, q) 8, r), s), t) 7, u), v) 0, w), y) ) Vypočítejte derivce funkcí: ) y y 6 c) y y sin cos e) y 7 cot g f ) y sin g) y sin tg h) y i) y j) y k) y l) y ln m) log n) y e o) y e sin p) y cos q) y e cos sin

31 Výsledky: ) y 8, y, c) y, y cos sin, e) y, 6 6 sin cos sin cos, g) y, h) y, i) y cos f) cos sin j) y, k) y sin cos n) y e sin, o) y e sin cos ) Určete derivce implicitně zdné funkce: ) Výsledky: ), l) y, m) y sin, p) y, q) sin y e cos cos y y 7 6 ln0 c) 6 y 0 y 0 y y c) y y y y y y ) Určete rovnici tečny křivky v bodě T: ) y, T ; y y T y 0, ; 0 y 6, T 0; c) y y, T ; y, T 0; e) f) y, T ; y0 g) y 6y 0, T ; Výsledky: ) 6 y6 0 y 0 c) 7 y 0 y 0 e) y 0 f) y g) y 6) Určete rovnici normály křivky v bodě N: ) y 9, N ; y, N 6; Výsledky: ) y8 0 y 0 0,, 7) Vypočítejte druhou derivci funkce v bodě 0 : ) y, 0 Výsledky: ) y 6 y 7 y, 0. UŽITÍ DIFERENCIÁLNÍHO POČTU ) Určete intervly monotonie, konveity, konkávity etrémy funkce. ) y y c) y 6 y e) y Výsledky: rostoucí klesjící konvení konkávní m min ) 0; ;0 ; ; ; 0 ;0 ; ; 0; ; ; ; 0 c) 0; ;0 ; ; ; 0 ; ; ; ; 0; ;0 ; e) ; ; ; ; ; ;

32 ) Uzvřená válcová nádob má povrch Výsledky: r cm, v cm 7m bylo potřeb n její vyzdění nejmenší množství mte- ) Určete rozměry válcové silážní jámy tk, by při objemu riálu. 7 7 Výsledky: r m,0 m, v m,0m 6m. Určete její rozměry, je-li její objem mimální. ) Njděte tkové kldné číslo by součet čísl jeho převrácené hodnoty byl minimální. Výsledky: ) Do kružnice o poloměru r vepište rovnormenný trojúhelník o mimálním obshu. Výsledky: rovnostrnný, r 6) Nádrž n vodu má mít čtvercové dno, objem 6m tvr kvádru. Vypočítejte rozměry nádrže tk, by spotřeb mteriálu n vyzdění stěn dn byl nejmenší. Výsledky: 8 m, 8 m, m 7) Rozložte číslo 8 n součet dvou kldných sčítnců tk, by součet třetí mocniny prvního sčítnce druhé mocniny druhého sčítnce byl nejmenší. 6 8 Výsledky: 8) Njděte válec, který má při dném objemu minimální povrch. V Výsledky: r, v r 9) Přímočrý pohyb hmotného bodu je dán vzthem st kt lt m. Určete jeho zrychlení. Výsledky: k 0) Vyšetřete průběh funkce nčrtněte její grf: ) f : y f : y 8 c) f : y f : y 6 e) f : y Výsledky:

33 . PRIMITIVNÍ FUNKCE ) Vypočtěte: ) d d c) d d e) 6 d f) d g) cos d cos sin d sin cos i) h) tg d j) cos d k) d Výsledky: ) C c) C c ln C e) C f) C g) sin cos C h) cot g tg C i) tg C j) tg C k) 9 C ) Vypočtěte s použitím integrčních metod: ) cos d f) sin d e d c) d g) d h) d i) Výsledky: ) sin cos C e e e C d e) d j) sin d c) 6 C d ln C e) 6 C f) cos sin C g) 8 C ln C i) 0 h) 6 C j) cos C ) Vypočtěte s použitím úprv: sin ) d cos cos cos d c) d sin cos d cos sin sin sin e) cos d f) sin cos tg d g) sin cot g d h) cos d Výsledky: ) ln cos C tg C c) tg cot g C cot g tg C e) cos C f) C g) cot g C h) tg C

34 ) Vypočtěte: ) sin cos f) 0 d ln d c) d cos d g) 0 e d h) Výsledky: ) ln c) 9 d i) cos d e) ln d 0 d j) 0 0 d e) ln f) g) e h) 98 i) j) 0 ) Určete křivku, která prochází : ) bodem ; Výsledky: ) y bodem ; c) bodem ; A jejíž tečn v libovolném bodě ; A jejíž tečn v libovolném bodě ; A jejíž tečn v libovolném bodě ; c) y y y má směrnici y má směrnici y má směrnici. OBSAHY GEOMETRICKÝCH ÚTVARŮ A OBJEMY TĚLES V INTEGRÁLNÍM POČTU ) Určete obsh obrzce omezeného dnými křivkmi: ) y y 0,, ; y, y, y 0, c) y, y, y y, y 0 e) y 0, y 6,, f) y sin, 0, g) y, y,, h) y y, y i) y, y Výsledky: ) 9 ln c) 9 e) 6 f) g) h) 6 i) 9 ) Určete objem těles, které vznikne rotcí množiny ohrničené dnými křivkmi kolem osy. ) y, y y, y, y 0, c) y, y y 6, e) y, y f) y, y Výsledky: ) 6 6 c) 7 e) 6 f) ) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu rotčního kužele, který má poloměr podstvy r výšku v. ) Odvoďte vzorec pro výpočet objemu koule o poloměru r. Použitá litertur: Příprv k mturitě n vysoké školy ( J. Petáková); Repetitorium středoškolské lgebry v příkldech, (F. Jneček); Sd učebnic mtemtiky pro gymnázi; Sbírk úloh z mtemtiky pro příprvu k mturitní zkoušce k přijímcím zkouškám ( J. Kubát); Sbírk úloh z mtemtiky pro SVVŠ; Sbírk mturitních příkldů; Řešené příkldy z mtemtiky pro střední školy k mturitě k přijímcím zkouškám n vysokou školu

35

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1

a) 5.3 + 12 26 [výrok, 1] b) Kolik je hodin? [není výrok] c) 2x + 3 0 [výroková forma] d) [výrok, 0] e) Pro každé reálné číslo x platí sin x 1 . Výroková logik. Určete, které zápisy předstvují výroky, které hypotézy, které výrokové formy které nejsou výroky. U výroků určete prvdivostní hodnotu. ). 6 [výrok, ] Kolik je hodin? [není výrok] c) 0

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

Stereometrie metrické vlastnosti 01

Stereometrie metrické vlastnosti 01 Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13*

STEREOMETRIE 9*. 10*. 11*. 12*. 13* STEREOMETRIE Bod, přímka, rovina, polorovina, poloprostor, základní symboly označující přímku, bod, polorovinu, patří, nepatří, leží, neleží, vzájemná poloha dvou přímek v prostoru, vzájemná poloha dvou

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY

1. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY . ALGEBRAICKÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY Zjednodušte uveďte, kdy mjí dné výrzy smysl: ) + + + ) y + + + y : y y y ) n + n n + n + n n :. n n + ) b b : +. + b b b + 5) + +. + 6) +. 7) + b b + b b. + b 8) 8

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Maturitní témata z Matematiky

Maturitní témata z Matematiky Mturitní témt z Mtemtik. Výrz jejich úprv. Lineární rovnice nerovnice, lineární rovnice s prmetrem. vdrtická rovnice nerovnice, kvdrtická rovnice s prmetrem. Rovnice nerovnice v součinovém podílovém tvru.

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla projekt GML Brno Docens DUM č. v sdě M- Příprv k mturitě PZ geometrie, nltická geometrie, nlýz, komlení čísl 4. Autor: Mgd Krejčová Dtum: 3.8.3 Ročník: mturitní ročník Anotce DUMu: Anltická geometrie v

Více

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008

Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Cvičení z matematiky geometrie (CZMg) Systematizace a prohloubení učiva matematiky Planimetrie, Stereometrie, Analytická geometrie, Kombinatorika, Pravděpodobnost a statistika Třída: 4.

Více

Otázky. má objem V v. Orientace

Otázky. má objem V v. Orientace Gymnázium F X Šldy v Liberci: Mturitní otázky z mtemtiky Výroky operce s nimi vyučující:vítězslv Pěničk Účst Aleny, Báry, Cyril Dvid n koncertě skupiny PINK FLOYD je vázán těmito podmínkmi: Přijde spoň

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) 2 011 (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují . Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n +. = = n+ 3, 3n + n je totožná s posloupností: n n n = Dvid hrje kždý všední den fotbl v sobotu i v neděli chodí do posilovny. Dnes se sportovně

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

STRUČNÉ OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY V PŘÍKLADECH

STRUČNÉ OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY V PŘÍKLADECH STRUČNÉ OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ MATEMATIKY V PŘÍKLADECH RNDr. Milada Rezková RNDr. Vlasta Sudzinová Mgr. Eva Valentová 2016 Předmluva Tento učební text je určen studentům 4. ročníku čtyřletých gymnázií,

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.

0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy. strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky

Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky Maturitní zkouška z matematiky (v profilové části) Informace o zkoušce, hodnocení zkoušky, povolené pomůcky a požadavky A. Informace o zkoušce Písemná maturitní zkouška z matematiky v profilové části se

Více

Obsah Matematická logika, důkazy vět, množiny a operace s nimi Mocninná funkce, výrazy s mocninami a odmocninami Iracionální rovnice a rovnice s absol

Obsah Matematická logika, důkazy vět, množiny a operace s nimi Mocninná funkce, výrazy s mocninami a odmocninami Iracionální rovnice a rovnice s absol Přípravné úlohy k maturitě z matematiky RNDr Miroslav Hruška Přípravné úlohy k maturitě z matematiky Miroslav Hruška, 009 Obsah Matematická logika, důkazy vět, množiny a operace s nimi Mocninná funkce,

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Výsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1)

Výsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1) Výsledky úloh. Úpravy výrazů.. +, + R.., a 0, a b.., a ± b, a b a b a +.. + a +, 0, a.., a 0; ± ; n + a.. a + b 9, > 0.7., a ± b a b m n.8., m 0, n 0, m n.9. a, a > 0 m + n.0., ;0; ;;.., k.. tg, k sin.

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich

Více

Určíme průnik množin M 1 a M 2. (Můžeme využít grafické znázornění množin M 1 a M 2 na číselné ose.) Pro všechna x R { 0 } a pro všechna k Z platí:

Určíme průnik množin M 1 a M 2. (Můžeme využít grafické znázornění množin M 1 a M 2 na číselné ose.) Pro všechna x R { 0 } a pro všechna k Z platí: idktický test idktický test obshuje úloh; u kždé z nich je uvedeno, kolik bodů z ni lze získt. elkové mimální bodové hodnocení testu je 0 bodů, přičemž hrnice úspěšnosti je %. N vyřešení testu máte celkem

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,...

STEREOMETRIE. Tělesa. Značení: body A, B, C,... přímky p, q, r,... roviny ρ, σ, τ,... STEREOMETRIE Stereometrie je část geometrie, která se zabývá studiem prostorových útvarů. Základními prostorovými útvary, se kterými budeme pracovat, jsou bod, přímka a rovina. Značení: body A, B, C,...

Více

SBÍRKA n PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY kde n =

SBÍRKA n PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY kde n = SBÍRKA n PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY kde n = 017-1957 Mgr. Petr Říman Gymnázium Ostrava-Zábřeh, Volgogradská a červen 017 1. Vypočítejte: 1 0, 4 1 8 0,75. Vypočítejte:. Vypočítejte: ( 4 4) ( + ) ( i) [ + 4i]

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název modulu: Zákldy mtemtiky Zkrtk: ZM Počet kreditů: Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolnský Tutor: Petr Dolnský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH OPOR: ) Skriptum:

Více

Test Zkušební přijímací zkoušky

Test Zkušební přijímací zkoušky Test Zkušební přijímací zkoušky 1. Vypočtěte: ( 10 1.5) ( 4 ).( 15). ( 5 6). Doplňte číslo do rámečku, aby platila rovnost:.1. 4 11 10. 8 16 6.. 49 7 1.. + 1. Proveďte početní operace:.1. 6x 4x ( 4x x)

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Geometrie. Mgr. Jarmila Zelená. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Geometrie Mgr. Jrmil Zelená Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou Výpočty v prvoúhlém trojúhelníku VY_3_INOVACE_05_3_1_M Gymnázium, SOŠ VOŠ Ledeč nd Sázvou PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1 Pojmy oznčení:,.odvěsny

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II 5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Matematické metody v kartografii

Matematické metody v kartografii Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol STEREOMETRIE

Více

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)

Více

Slovní úlohy 1. 2,42cm; 7cm; 11,58cm; 2. původní cena; dní; 4. 2,3*10 15 kg; 5. 2,8*10 14 ; ; 27325; 7. 3, 9, 27; -3, 9, -27;

Slovní úlohy 1. 2,42cm; 7cm; 11,58cm; 2. původní cena; dní; 4. 2,3*10 15 kg; 5. 2,8*10 14 ; ; 27325; 7. 3, 9, 27; -3, 9, -27; 1. Posloupnosti 1.1. Úvod geometrické znázornění, monotonie posloupnosti, rekurentní vzorec a vzorec pro n-tý člen. 1.A) 15, 17, 19; B) 128, 256, 512; C) 45, 51, 57; D) 6, 2, 4; E) 32768, 131072, 524288;

Více

Pravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí

Pravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí Prvoúhlý trojúhelník goniometrické funkce V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce úhlu : sin, cos, tg, cotg tkto: sin c cos c tg cot g protilehlá odvěsn ku přeponě přilehlá odvěsn ku přeponě

Více

je číslo vyjádřené výrazem 7n 21n , C cos je iracionální číslo d) 0, 9 = 1

je číslo vyjádřené výrazem 7n 21n , C cos je iracionální číslo d) 0, 9 = 1 Číselné obory N, Z, Q, R, C (definice, základní operace v jednotlivých oborech, vlastnosti operací s čísly, různé zápisy čísel, znázornění čísel na číselné ose a v Gaussově rovině, řešení rovnic v jednotlivých

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více