Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download ""

Transkript

1 V. VYBRAN METODY MATEMATICK STATISTIKY Neoci ln u ebn text pro Matematiku V, FS,FM TUL, { st.. Volf, b ezen 1999 D se ci, e p edm tem teorie pravd podobnosti je tvorba a studium matematick ch model pro n hodn d je ( i pro popis neur itosti v bec), zat mco matematick statistika se zab v anal zou v sledk n hodn ch d j. K tomu si vybudovala a st le roz i uje matematick apar t i matematickou teorii k pou it tohoto apar tu, teorii induktivn ho uva ov n (inference). Neboli kolem metod matematick statistiky je umo nit z v ry (a zd vodnit je) o n jak m syst mu i v p pad, e na e informace o n m je zna n ne pln, je v sledkem n jak ho n hodn ho d je. roto e tuto informaci ( i jej st) v t inou obdr me ve form dat (t.j. pozorovan ch daj ), je matematick statistika pova ov na za v du o anal ze dat. M eme ji v ak pova ovat za v du o anal ze informace v bec. 1 Opakov n z kladn ch pojm teorie pravd podobnosti edstavme si d j, jeho v sledek nem eme p edem jednozna n ur it (veli inu, jej hodnotu nezn me a v me jen, z jak mno iny ona hodnota m e b t). V echny mo n v sledky i mo n hodnoty (ozna me je f!g) tvo prostor element rn ch jev. Zaj m me se bu o pravd podobnost jednotliv ch v sledk (jev )! (- je-li jich kone n i nanejv spo etn mnoho) i o pravd podobnost n kter ch jejich mno in. Za t m elem si zvol me -algebru A jako syst m podmno in A. Je-li 0 pravd podobnostn m ra na A, tak ( A 0 ) naz v me pravd podobnostn prostor. okud tuto konstrukci transformujeme m itelnou funkc X(!) na re lnou p mku, X = X(!) naz v me n hodn veli ina. N hodn veli ina tedy ur uje pravd podobnostn prostor na R, se syst mem podmno in B (borelovsk mno iny) a s pravd podobnostn m rou (B)= 0 (X ;1 (B)) pro B B. M ra se naz v z kon rozd len n hodn veli iny X. M e b t diskr tn ho typu, tj. m me pro ur it hodnoty x j j = 1 ::: pravd podobnosti (X = x j ). Distribu n funkce je pro jak koli rozd len denov na jako F (x) = (X < x). ro diskr tn rozd len je to tedy schodovit, po stech konstantn funkce, neklesaj c, spojit zleva. okud existuje funkce f(x) 0 takov, e F (x) = R x ;1 f(s) ds, f(x) se naz v hustota a rozd len je spojit ho typu. Samoz ejm, je mo n si p edstavit rozd len sm en ho typu. N kolik n hodn ch veli in tvo n hodn vektor X = (X 1 ::: X n ). Informaci pro statistickou anal zu obdr me ve form dat, kter pova ujeme za realizace zkouman ch n hodn chveli in. N hodn m v b rem rozum me vektor slo en znez visl ch a stejn rozd len ch n hodn ch veli in (pou v se anglick zkratky i. i. d. =independent, identically distributed). slo n je rozsah v b ru. N hodn v b r je model pro situace, kdy pozorujeme n nez visl ch, \stejn ch" objekt, nebo opakujeme nez visle n kr t tent pokus. N hodn veli ina X i je modelem pro onu veli inu, kterou na dan ch objektech zkoum me. Slovo "v b r" m sv j p vod a v znam v tom, e b n p i zkoum n velk ch soubor objekt (v robk, pacient, obyvatel, opakuj c ch se jev ) jsme za rozumnou dobu a s rozumn mi n klady schopni zjistit daje jen o n vybran ch objektech. A tedy na 1

2 z klad v b ru d l me z v ry o charakteristik ch cel ho souboru. klady jsou nasnad : nam tkov i v b rov kontrola v robk, v zkumy ve ejn ho m n n, testov n l ebn ch postup. D le itou praktickou ot zkou je tedy i zaji t n reprezentativn ho (skute n n hodn ho) v b ru zkouman ch objekt z cel ho souboru. Tak e je nutn zkoumat i ot zky p pravy z sk v n dat (t.zv. "design"), pokud jsme schopni situaci ovlivnit tak aby v sledek p inesl co nejv ce informace. asto se p edpokl d, e pozorovan n hodn veli iny maj z kon rozd len z ur it t dy rozd len s distribu n funkc F (x), kde R k je nezn m parametr. kolem je pak p edev m odhad tohoto parametru, p padn testov n hypot z o n m. S m odhad je funkc pozorovan ch n hodn ch veli in, je to n jak m iteln funkce T(X) zr n to R k (pro m itelnou funkci n hodn ch veli in se n kdy pou v v razu statistika). Odhad je tedy op t n hodn veli ina ( i vektor), konkr tn \odhad" aktu ln hodnoty parametru je hodnota T(x), kdy x je realizace X. Uspo dan n hodn v b r je v b r vznikl permutac po ad veli in n hodn ho v b ru tak, aby X (1) X () X (n). Nech F (x) je distribu n funkce rozd len X i, ozna me j (x)= n j F (x)j (1;F (x)) n;j, je to pravd podobnost (v souladu s binomick m z konem rozd len ), e pr v j z n n hodn ch veli in je men ch ne x. ak rozd len X (r) (r-t po dkov statistiky) m distribu n funkci F r (x)= n j=r j (x). Je ob as dobr zn t aspo rozd len minima a maxima z (X 1 ::: X n ). rvn z konitost, kter si lid v imli, kdy se zab vali anal zou n hodn ch d j (by t eba jen v souvislosti s hazardn mi hrami), byl z kon velk ch sel. Na n m jsou zalo eny nejjednodu odhady pravd podobnost jev. ZV v situaci n hodn ho v b ru k, e p i r stu rozsahu v b ru n! 1, s pravd podobnost 1 (tj. skoro jist, pro skoro v echny realizace) X n = 1 Xi ;! EX n 1, ale tak nap. 1 n X i ;! EX 1 (pokud EX 1, resp. EX 1 existuj ). Tedy v b rov pr m r je siln konzistentn m odhadem st edn hodnoty, i proto se jako odhad pro var X 1 u v (mimo jin ) n = 1 (Xi ; X n n ). Z rove, v a = X n se dos hne min a (Xi ; a), neboli X n lze pova ovat za odhad metodou nejmen ch tverc pro EX. To je dal idea pro odhadov n parametr, vyu van zejm na v anal ze regrese. Dal z konitost je vyj d ena v centr ln limitn v t - CLV. V situaci n hodn ho v b ru, pokud EX i = varx i = jsou kone n, plat, e rozd len veli iny p X n n; se bl N(0 1), tj. standardn mu norm ln mu, p i n!1. Obdobn vlastnosti se projevuj izaobecn j ch podm nek ne je situace n hodn ho v b ru. CLV n m ukazuje na ur it v sadn postaven norm ln ho rozd len jak v modelech, tak v aplikac ch, tj., jak uvid me, v statistick anal ze dat. Odhady z kladn ch charakteristik rozd len pravd podobnosti edstavme si n hodn v b r X = (X 1 :::X n ), tj. nez visl stejn rozd len veli iny (p padn jejich realizace { data). M eme si je tak p edstavit jako nez visl kopie n jak n hodn veli iny X. Chceme se z jejich hodnot dozv d t n co o p slu n m rozd len pravd podobnosti.

3 Odhad st edn hodnoty: pr m r X n = 1 ni=1 X n i. irozen m odhadem st edn hodnoty EX je aritmetick Odhad rozptylu (v b rov rozptyl): Rozptyl varx se odhaduje veli inou s = 1 ni=1 (X n;1 i ; Xn ) = 1 ( n n;1 i=1 Xi ; n X n ) p padn ^ = 1 ni=1 (X n i ; Xn ). Rozd l mezi ob ma odhady je nepatrn, ale jak uvid me, s je nestrann a proto se mu d v p ednost. Veli inu s pak naz v me (v b rov ) sm rodatn odchylka, neboli slou jako odhad sm rodatn odchylky. Dal v b rov charakteristiky, tj. charakteristiky spo ten z dat, kter mi se odhaduj p slu n charakteristiky rozd len n hodn veli iny X: v b rov medi n { uspo d me-li n hodn v b r podle velikosti, tj. X (1) X () ::: X (n), pak, v p pad lich ho n je v b rov medi n roven X ( n+1, tj."prost edn " po dkov statistice, v p pad sud ho ) n pak vezmeme pr m r mezi n-tou a n+1-tou po dkovou statistikou, med ^ = 1(X ( n + ) X ( n +1) ): v b rov -kvantil pro (0 1) { je denov n analogicky. Je to takov bod ^q, e X ([n]) < ^q <X ([n]+1), kde [a] ozna uje celou st z sla a. Krom medi nu, co je kvantil pro =0:5, se asto u vaj i kvartily, ^q 0:5 a ^q 0:75. Mezikvartilov rozp t ^q 0:75 ; ^q 0:5 je pak u v no jako pomocn charakteristika rozpt lenosti dat. mod ln hodnota (modus) { je denov n jako hodnota, kter se vyskytuje mezi daty ast ji ne ostatn hodnoty. roto e odhady charakteristik (parametr ) rozd len pravd podobnosti jsou denov ny jako funkce n hodn ch veli in, jsou samy tak n hodn mi veli inami. Teprve v moment, kdy m me k dispozici realizace { data, dostaneme i konkr tn hodnoty odhad..1 Teorie bodov ho odhadu parametr Uva ujme n hodn vektor X =(X 1 ::: X n ), jeho distribuce z vis na parametru. Jak jsme ekli, nej ast j p pad Y F X (x ) = n F (x i ) odpov d n hodn mu v b ru, kdy slo ky X i jsou nez visl mi kopiemi t e n hodn veli- iny X 1, F je jej distribu n funkce. Nech p itom R k i=1 3

4 Formulace probl mu: edstavme si, e zn me sice tvar funkce F, ale nezn me spr vnou hodnotu parametru. roto chceme na z klad pozorov n n hodn ch veli in X = (X 1 X ::: X n ) vytvo it odhad, tj. vybrat jejich funkci (statistiku) T n (X), kter by \co nejl pe" nezn m parametr odhadla. Ozna me E var st edn hodnotu, rozptyl v situaci, kdy je skute n hodnota parametru. Slovo "skute n " samoz ejm znamen jen n (pravd podobnostn ) model reality, nep mo realitu. N kter " douc " vlastnosti odhad : 1. Nestrannost (nevych lenost): Kdy pro ka d plat E ft n (X)g = : Nap klad pr m r z n hodn ho v b ru X n je nestrann odhad pro EX 1, zrovna tak, je-li s n = 1 ni=1 (X n;1 i ; X) tak Es n = var(x 1 ), neboli s n je nestrann odhad pro var(x 1 ).. Siln konzistence: Je-li skute n hodnota parametru,tak lim n!1 T n (X) = s pravd podobnost 1. -konzistence: T n (X) ;! v pravd podobnosti. 3. Ecience (vydatnost): Odhad (estim tor) T n (x)jeecientn, kdy pro ka d jin odhad T n(x) maj c kone n druh moment plat tj. pro nestrann odhady pro ka d. E f(t n (X) ; ) ge f(t n(x) ; ) g var (T n (X)) var (T n(x)) 4. Asymptotick normalita: D k CLV v me ji, e (za ur it ch podm nek) se rozd len veli iny p n X ; EX s bl standardn mu norm ln mu rozd len, p i n! 1. T to vlastnosti se k asymptotick normalita (normalita v limit ). Tak e pr m r X je asymptoticky norm ln m odhadem st edn hodnoty EX. odobn vlastnost plat i pro mnoho dal ch odhad, nap klad pro n kter odhady po tan metodou maxima v rohodnosti. robl m s asymptotick mi vlastnostmi (takovou vlastnost je i konzistence) je ten, e v praxi v dy pracujeme s kone n mi po ty veli in (dat) a t ko se odhaduje chyba, kter se dopou t me p i pou it aproximace norm ln m rozd len m. 4

5 . Odhady z t d n ch dat om rn asto (zvl je-li pozorov n mnoho) se m e st t, e m sto N pln ch pozorov n veli iny X m me k dispozici jen etnosti v skytu napozorovan ch hodnot v ur it ch intervalech. Jin mi slovy, obor mo n ch hodnot veli iny X ( ekn me, interval ha bi) je rozd len do M interval a = a 0 <a 1 <a <:::<a M;1 <a M = b a zn me pouze po ty N m,kolik pozorov n padlo do intervalu ha m;1 a m ) m =1 ::: M. Jak nyn odhadneme EX avarx? Nejjeddnodu eji tak, e pro ka d interval si zvol me "reprezentativn " hodnotu Z m,a p edstav me si, e pr v ona nastala N m -kr t. ak, pochopiteln, odhadneme EX avarx jako ~X = 1 MX MX N m (Z m ; X) ~ : N N m Z m ~ = 1 N m=1 m=1 Takov to odhady ji zpravidla nejsou nestrann. Konzistentn mohou b t, pokud p i zv t- ov n po tu dat N zv t ujeme i po et t d M (a t dy "zu ujeme"). Nejjednodu volba "z stupc " t d jsou prost st edy t d. ot e mohou nastat s krajn mi t dami, kter jsou n kdy zna n ir ne ostatn (pokr vaj irok oblasti nep li pravd podobn ch hodnot). Vol me pak pro n n jakou rozumnou zastupuj c hodnotu, t eba Z 1 = a 1 ; (Z ; a 1 ) Z M = a M;1 +(a M;1 ; Z M;1 ), apod..3 Metoda maxim ln v rohodnosti V rohodnostn funkce je, zhruba e eno, pravd podobnost pozorovan ch dat x = x 1 ::: x n, p i dan hodnot parametru. ro spojit p pad je v rohodnostn funkce denov na jako L (x) =f X (x ): Je to tedy hustota odpov daj c realizovan hodnot n hodn ho vektoru X p i hodnot parametru. Obdobn L (x) = fx 1 = x 1 X = x ::: X n = x n g = (X = x ) pro diskr tn p pad. V p pad n hodn ho v b ru je tedy L (x) = Q n i=1 f(x i ) pro spojit, resp. Q (X i = x i ) pro diskr tn rozlo en pravd podobnosti. Uva ujme n hodn v b r z rozd len pravd podobnosti, kter m distribu n funkci F (x ), je nezn m parametr. MAXIM LN V ROHODN ODHAD. Jde o jednu z neju van j ch metod odhadu parametru. Za maxim ln v rohodn odhad parametru v r mci rozd len s distribu n funkc ff X (x )g p i nam en ch hodnot ch x = x 1 x ::: x n prohl s m tu hodnotu 0, pro kterou je v rohodnostn funkce L (x) maxim ln, tj. L (x) L 0 (x) pro v echna, neboli ^ = T n (x) =argmax fl (x)g: roto e log L m maximum v t m e bod jako L, bod maxima se prakticky hled e en m v rohodnostn rovnice d log L (x) =d = 0. V p pad v cerozm rn ho parametru jde 5

6 tedy o soustavu log L (x) j = 0, asto je nutn je e it iterativn, nap. Newtonov m algoritmem. Jde tedy o lohu optimalizace, ve slo it j ch p padechm e b t v ce lok ln ch maxim (tj. v ce e en v rohodnostn ch rovnic), c lem je naj t maximum glob ln. Vlastnosti maxim ln v rohodn ch odhad 1. Existuje-li ecientn odhad parametru, pak je jedin m e en m v rohodnostn rovnice.. Jestli e mno ina fx : f(x ) > 0g nez vis na, pak maxim ln v rohodn odhad je klady a) siln konzistentn, b) invariantn, tj. g(t n (x)) je rovn maxim ln v rohodn odhad pro parametrickou funkci g(), je-li tato jednozna n. c) Asymptoticky norm ln { rozd len n hodn veli iny p n(t n (X);)konverguje p i n!1k rozd len N(0 ), kde = f=()g ;1 =() je tak zvan Fisherova informace, ) =() =E =f(x )) Jako odhad =() se u v ; 1 D, kde D = n log L (x) k je matice druh ch derivac logaritmu v rohodnostn funkce, do kter nav c dosazujeme odhad. 1. Norm ln rozlo en. V rohodnostn funkce n-rozm rn ho n hodn ho v b ru je ny 1 p exp (; (x ) i ; ) : i=1 otom log L (X) ;n log ; n (X i ;) i=1. Chceme spo st odhady a. Vid me, e e en maximalizace p es nez vis na a je toto n s e en m metodou \nejmen ch tverc ", tj. min (Xi ; ), ^ n = X n (v b rov pr m r). D log L = ; n + (Xi ;), neboli 3 n = 1 (Xi ; ), pokud zn me. okud n ne, dosad me ^ n a dostaneme ^ n = 1 (Xi ; X n n ) = n;1 n s n (tj. nen to odhad zcela toto n s nestrann m odhadem s n).. Binomick rozlo en je vlastn sou et n i.i.d. n hodn ch veli in X i s rozd len m Bernoulliho (neboli alternativn m) s (X i =1)=p (X i =0)=1; p. L p (y) = (Y = y)= n! p y (1 ; p) n;y y log L p (y) = log n! + y log p +(n ; y)log(1 ; p): y 6

7 e en v rohodnostn log = y p ; n;y 1;p = 0 je z ejm ^p n(y) = y n. Lehce ov me, e jde o nestrann odhad p, nebo v me, e n hodn veli ina Y m EY = np atedye ^p n (Y )=np=n = p: p okud jde o asymptotickou normalitu, zn me ji u z aplikace CLV: plat, e rozd len n p^p n;p p(1;p) konverguje k N(0 1) rozd len p i n!1..4 Odhad distribu n funkce a hustoty Distribu n funkce n. v. X je denov na jako pravd podobnost jevu X < x, F (x) = (X < x). M jme n hodn v b r X 1 ::: X n z rozd len, kter m distribu n funkci F. ro ka d pevn x je F (x) vlastn parametrem binomick ho rozd len v skytu jevu X < x v n pokusech. Maxim ln v rohodn m odhadem F (x) je proto relativn etnost v skytu jevu fx i < xg, F n (x) = 1 n ni=1 1[X i < x], kde 1[] je indik torov funkce (tj. =1 pokud X i < x, =0 jinak). Tomuto odhadu se k empirick distribu n funkce { je to vlastn distribu n funkce pro "empirick " (napozorovan ) rozd len, kter by ka d realizovan hodnot (z n realizovan ch dat) p i adilo "pravd podobnost" 1=n. Jak je vid t, tato funkce je schodovit, po stech konstatn, spojit zleva, neklesaj c. Samoz ejm, proto e je sestrojena z n hodn ch veli in, je (pro ka d pevn x) F n (x) n hodn veli ina, a proto e vyjad uje relativn etnost, je to veli ina binomick, F n (x) Bi(n p = F (x)). Nejen e m (pro ka d pevn x) tyt dobr vlastnosti jako odhad parametru p v binomick m rozd len, ale nav c (pro spojit rozd len ) plat : D n = sup jf n (x) ; F (x)j ;! 0 s pravd podobnost 1: x T to vlastnosti lze vyu t k testu hypot zy o tom, e v b r poch z z rozd len s danou distribu n funkc. Tento postup je zn m jako test Kolmogorova{Smirnova (viz d le), kritick hodnoty jsou tabelov ny, test je b n sou st statistick ch program. D se n jak \empiricky" odhadnout i hustota spojit ho rozd len pravd podobnosti? M jme R a<bre ln, hustota (f) rozd len n. v. X ud v pravd podobnost (X (a b)) = b a f(x) dx. Kdy X 1 ::: X n je n hodn v b r, tj. nez visl kopie veli iny X,tutopravd podobnost samoz ejm nejl pe odhadneme op t relativn etnost v skytu fx i g v (a b). Odhadn me si \reprezentativn " hodnotu hustoty v(a b), tj. spokojme se s t m, e odhad bude konstanta v (a b). ak to tedy bude ^fa b (x) = 1 1[Xi (a b)]. okud rozd l me cel n b;a obor hodnot n. v. X na disjunktn intervaly a v ka d m z nich odhadneme pravd podobnost t mto zp sobem, dostaneme tzv. histogram, funkci po stech konstantn, se skoky na kraj ch zvolen ch interval. o normov n (aby plocha pod touto funkc byla dohromady 1) histogram pova ujeme za odhad hustoty rozd len pravd podobnosti. okud takto z skan "sloupe ky" budeme kumulovat (tj. s tat) zleva doprava, z sk me kumulativn histogram, kter (je-li normov n a tedy roste od 0 do 1) je odhadem distribu n funkce. B n ji se u v pro odhad hustoty tzv. j drov ho odhadu, kter d v u spojit odhad. Nech j dro W (x) je symetrick, nez porn funkce s R 1 ;1 W (x) dx = 1. Nech je W (x) > 0 jen na omezen m intervalu, i alespo je \mal " pro vysok hodnoty x, lim x!1 xw(x) ;! 0. J drov odhad hustoty f v bod x je f n (x) = 1 ni=1 X W i ;x bn b. arametrem b vol me \ ku okna" kolem bodu x.u vaj se nap klad j dra W (x) = 1 na 7

8 (;1 1) =0jinde, nebo W (x) =j1 ; xj na (;1 1) =0jinde, i standardn gaussovsk hustota W (x)= p 1 exp(; x ). i n!1 b = b n! 0tak,aby b n n!1,jetento odhad konzistentn m odhadem f(x) vbod x. Nap klad se vol b n = c=sqrt(n). ro dostate n hladkou f(x) a j drovou funkci s omezen m nosi em dostaneme zpravidla i glob ln konzistenci, R 1 ;1 E(f n (x) ; f(x)) dx ;! 0. V praxi n kdy b m n me pro r zn body x, abychom v \okn " [x ; b x + b] m li v dy zhruba stejn po et ( ekn me M) pozorov n. Tomu se pak k p stup s M-nejbli mi sousedy. Bayesovsk metoda odhadu Tato metoda je zalo ena na trochu jin m p stupu k informaci, kterou m me k dispozici. Z klad informace st le tvo data x-realizace n. v. X, a p edpokl dan znalost typu distribuce F (x), a na hodnotu. Ale m eme se na z klad zku enosti, n jak informace \odjinud", pokusit ohodnotit v rohodnost r zn ch hodnot. okud t to p edstav o v rohodnosti d me formu rozd len pravd podobnosti, m me apriorn rozd len pravd podobnosti pro v. Tak e, a parametr svou podstatou nen n hodn veli ina, my jej tak interpretujeme. Samoz ejm bychom si dok zali p edstavit situaci, kdy parametr n jak ho syst mu z vis na v stupu z jin ho syst mu, tj. kdy je hodnota parametru i objektivn v sledkem n jak ho n hodn ho d je. Jsme tedy v situaci, kdy n kter n. v. jsou pozorovateln (X), jin nepozorovateln (), a je mezi nimi ur it vztah. V t inou zn me tvar podm n n ho rozd len X p i dan m, dan distribu n funkc F (x). Uva ujme spojit p pad, hustotu k F (x) budeme zna- it f(xj), zvolenou hustotu apriorn ho rozd len ozna me g 0 (). ak sdru en rozd len (X ) m hustotu h(x ) =f(xj) g 0 (). Informace z skan daty x vede k aposteriorn mu rozd len pro, kter m hustotu g(jx) = f(xj)g 0() f (x) = h(x ) f (x) : Zde f (x) = R 1 ;1 h(x ) d je margin ln rozd len X, vzorec pro aposteriorn hustotu nen nic jin ho ne Bayes v vztah zn m z teorie pravd podobnosti. Je jasn vid t i dynamick prvek t to procedury: Dal \p sun" dat op t pooprav aposteriorn rozd len, kdy star aposteriorn se objev ve vzorci na m st apriorn ho. itom zpravidla s p ib v n m dat vliv dat na aposteriorn rozd len roste, vliv volby apriorn ho rozd len kles. okud chceme bodov odhad parametru, m eme vz t t eba E(jX = x), nebo modus (maximum hustoty) rozd len p i x. Bayesovsk intervalov odhad je takov, e pro zvolen (0 1) jeho doln a horn meze a b spl uj R b a g(jx) d =1;. Meze m eme tedy vz t jako doln a horn - kvantil aposteriorn ho rozd len. Zd lo by se, e p epo t v n hustot z apriorn na aposteriorn je numericky nesnadn kol. Ale p i n kter volb typu rozd len sta p epo tat jen hodnoty ur it ch parametr. Uva ujme n jak syst m G = fg () Ag hustot pro, jako apriorn zvolme g 0 () { pro n kterou hodnotu 0 A. Jestli e je aposteriorn hustota op t z G (s n jak m = (x) A), pak ekneme, e syst m G je konjugovan se syst mem F = ff(xj) g. Takto se zachov v typ, je-li nap klad G syst m gaussovsk ch hustot a F je tak syst m gaussovsk ch distribuc N ( )s zn m m. 8

9 V posledn dob se v r mci Bayesova p stupu pou v metodika, kter aposteriorn rozd len nepo t, ale m sto toho na z klad Bayesova vztahu po ta ov simuluje realizace veli iny, kter m (aspo p ibli n ) dan rozd len. Tyto metody byly p vodn vyvinuty v statistick fyzice a v oblasti rekonstrukce "za um n ch" obrazov ch i jin ch sign l. Dnes se jim dohromady k metody MCMC (od "Markov chain Monte Carlo", tj. simulovan Markovovy et zce), zkonkr tn ch algoritm jmenujme Gibbs v a Metropolis v{hastings v. 3 Intervalov odhady, z klad pro testy hypot z N hodn veli ina X nech m rozlo en prad podobnosti s distribu n funkc F (x ). Op t p edpokl dejme, e typ distribu n funkce je zn m, ale nezn m je hodnota parametru R 1. Denice: Intervalov odhad pro s koecientem spolehlivosti 1 ; ( (0 1)) je interval I(X)=hu D (X) u H (X)i takov, e pro ka d je fu D (X) u H (X)g 1 ; : Jin mi slovy, I(X)jeinterval n hodn, kter s pravd podobnost aspo 1; pokryje konstantn, danou, ale n m nezn mou hodnotu parametru. Ozna me-li x realizaci n hodn veli iny X, jei(x) interval { realizace n hodn ho intervalu I(X). Interval spolehlivosti (konden n interval) je intervalov odhad konstruovan pro testov n hypot z o hodnot parametru. Je op t sestrojen pomoc n jak statistiky T (X), tj. transformace n hodn veli iny X, nap klad T (X) m e b t bodov odhad. N kdy mno ina s t mito vlastnostmi nen intervalem, zejm na je-li parametr v cerozm rn, pak mluv me o oboru spolehlivosti. klad: Sestrojme konden n interval s koecientem spolehlivosti 1 ; pro parametr na z klad n-tice nez visl ch n hodn ch veli in X =(X 1 X ::: X n ) se stejn m norm ln m rozlo en m N( ). Jako bodov odhad pro pou ijeme v b rov pr m r X n = 1 nx X i : n V me, e n hodn veli ina Z = p X n n; m standardn norm ln rozlo en N(0 1). Nech u(=) je horn =-kvantil tohoto rozlo en, to znamen, e fz < ;u(=)g = i=1 fz >u(=)g = =. o dosazen za Z zjist me, e ( > Xn + u(=) ) p = (< n Xn ; p ) u(=) n = : Tak e I(X) = Xn ; p n u(=) Xn + p n u(=) je hledan konden n interval pro. Takov interval samoz ejm nen jedin, ale je zvykem u vat takov to \symetrick ". 9

10 V p kladu jsme vid li, e konden n interval vznikl pr nikem dvou interval, levostrann ho a pravostrann ho. Levostrann m 1 { intervalem spolehlivosti pro nazveme n hodn interval (s koecientem spolehlivosti 1 ; 1, I L (X)=(u D (X) 1) takov, e f I L (X)g 1 ; 1. ravostrann m {intervalem spolehlivosti pro nazveme n hodn interval I (X) = (;1 u H (X)) takov, e f I (X)g 1 ;. Oboustrann m 1 { intervalem spolehlivosti nazvu n hodn interval I(X)=I (X) \ I L (X): Koecient spolehlivosti je nyn 1 ; 1 ;. Jak jsme vid li i v p klad, v t inou se ale oboustrann IS sestrojuje "symetricky", tj. chceme-li dos hnout koef. spolehlivosti 1 ;, kombinujeme jednostrann IS, ka d s koef. spolehlivosti 1 ; =. V r mci p edchoz ho p kladu si te p edve me postup testov n hypot zy o st edn hodnot s pomoc p slu n ho intervalu spolehlivosti. edstavme si, e zn me, a o se domn v me, e by mohlo m t hodnotu 0. Test t to na hypot zy H 0 : = 0, proti alternativn hypot ze (alternativ ) H 1 : 6= 0 je zalo en pr v na intervalu spolehlivosti I(X). Ten je sestrojen tak, aby pravd podobnost, e 0 I(X), pokud 0 je "spr vn ", byla rovna 1;.Zvol me velmi mal (0.05., 0.01 apod.). Nech x = x 1 ::: x n jsou data, realizace n. veli in X 1 ::: X n, I(x) je pak "realizace" n hodn ho intervalu I(X). edstavme si, e 0 le mimo tento interval I(x). Neboli, kdyby platila hypot za H 0, nastal jev, jeho pravd podobnost (p i 0 skute n m) je nanejv, tj. jev, kter je velice m lo pravd podobn. Jin mi slovy, data neodpov daj hypot ze H 0. To je d vod k zam tnut H 0.Vopa n m p pad hypot zu nezam t me (nikoliv \p ij m me"). ro testov n t e hypot zy H 0 proti jednostrann alternativ (nap. proti > 0 )je test zalo en na jednostrann m intervalu spolehlivosti (zde na I L (X)). slo je hladina v znamnosti testu. rakticky test prov d me tak, e nezkoum me, zda 0 je mimo interval spolehlivosti, ale zda testov statistika (testov veli ina) Z = p n Xn; 0 padla do kritick ho oboru, v na em p pad tedy zda jzj >u(=){pakh 0 zam tneme. odobn, pro test H 0 proti > 0 je kritick m oborem pro Z interval (u() 1), H 0 zam tneme na hladin v znamnosti ve prosp ch alternativy > 0, padne-li Z do tohoto kritick ho oboru, tj. je-li Z >u(). Jak jsme vid li v kapitole o bodov ch odhadech, i mnoh dal odhady (nap klad maxim ln v rohodn ) b vaj po ur it transformaci alespo asymptoticky (p i n!1) rozd len jako standardn gaussovsk veli ina. Toho se d s v hodou vyu t pr v pro konstrukci (asymptotick ch, tj. p ibli n ch) interval spolehlivosti pro nezn m parametry a tedy i k test m hypot z o nich. Krom norm ln ho rozd len se v t to oblasti statistick anal zy uplat uj i dal typy distribuc, vznikl ch transformac norm ln distribuce. V pozad je skryta samoz ejm centr ln limitn v ta. A d vodem ke konstrukci oblast spolehlivosti je p edev m mo nost jejich vyu it k testov n hypot z. Standardn m metod m testov n hypot z bude v nov na cel dal kapitola. Zde jsme cht li na p klad uk zat podstatu postupu. ro test se sna me naj t vhodnou statistiku 10

11 T (x) (zde to byl odhad parametru ), a pak naj t takov kritick obor K,aby p i platnosti testovan hypot zy H 0 : bylo (T (X) Kj 0 ). T m omezujeme pravd podobnost chyby 1. druhu, chyby, e zam tneme spr vnou hypot zu. itom se sna me ud lat co nejmen i pravd podobnost chyby. druhu, tj. toho, e nezam tneme H 0, kdy spr vn nen. Silou testu nazveme funkci B() = (T (X) Kj), ili pravd podobnost zam tnut hypot zy ( 0 ), je-li skute n hodnota parametru. Z ejm tedy B( 0 ), elem je, aby B() rychle rostlo k 1sevzd lenost od hypotetick ho 0. 4 Neju van j statistick testy hypot z Nech X 1 X n je n hodn v b r (tj. vz jemn nez visl a stejn rozd len n hodn veli iny), p edpokl dejme, e jednotliv X i maj N( ) rozd len. Budeme pou vat z pisu X i N( ). 1. Test o st edn hodnot, p i zn m m { tento p pad jsme ji popsali v p edchoz kapitole. Testovac veli ina (testovac statistika, tj. funkce X 1 ::: X n pomoc kter se testuje) je U(X )= p n Xn;, kde X n = 1 n ni=1 X i. a) Testujme hypot zu H 0 : = 0 proti alternativn hypot ze (alternativ ) H 1 : 6= 0, na hladin - vol me mal, nej ast ji 0:05, tj. 5%. i H 0 je U(X 0 ) N(0 1), proto nezam t m H 0, je-li ;u( ) U(X 0) u( ) (zam t m v opa n m p pad ), kde u() tedy ozna uje horn -kvantil standardn ho norm ln ho rozd len N(0 1): b) Testujeme-li hypot zu H 0 : 0 proti H 1 : > 0, zam t m H 0 (na hladin ), je-li U(X 0 ) >u(). Je to tak proto, e skute n hodnota se projev v hodnot Xn, tak e > 0 vede k velk hodnot U. c) Obdobn, p i testu H 0 : 0 proti H 1 : < 0 hypot zu H 0 zam t m (na hladin ), je-li U(X 0 ) < ;u(). Hodnoty kvantil u (kter zde tedy p edstavuj kritick hodnoty pro testy) je t eba vyhledat v statistick ch tabulk ch (nebo spo tat).. t-testy, Studentovo rozd len pro test o, kdy nezn me. Op t p edpokl d me X i N( ). Nyn pou ijeme T = p n Xn; 0 s n, kde s n = (X i;x n) n;1 je odhad (nestrann ) nezn m ho. i H 0 : ( = 0 ) je pak veli ina T rozd lena podle rozd len t (n;1) { tak zna me Studentovo rozd len s n ; 1 stupni volnosti. a) H 0 zam t m na hladin v znamnosti, je-li T > t n;1 ( ) nebo < ;t n;1( ). Zde t n;1 () zna horn -kvantil Studentova rozd len s n ; 1stupnivolnosti. Tyto kvantily je tak pot eba naj t v statistick ch tabulk ch nebo je spo tat. OZOR: n kdy je t m () ozna eno a tabelov no tak, e (jt j > t m ()) =, (tak e vlastn ve skute nosti jde o t m ( ). V tabulk ch ( i ve v stupech z po ta ov ch procedur) je v dy naps no, jak hladiny se p slu n testt k. 11

12 b) H 0 :( 0 ) zam t m proti H 1 :(> 0 ), je-li T >t n;1 (). ro test 0 proti < 0 obdobn. ozn. okud je n velk (alespo n kolik des tek), pak ji je tento test bl zk testu 1., d k konzistenci odhadu s n pro. Lze jej pak tak pou t(d kc.l.v.) p ibli n i bez p edpokladu normality n.v.x i, nap klad v n sleduj c situaci: 3. Test o parametru p binomick ho rozd len Nech n.v. X je rozd lena podle Bi(n,p) rozd len, tj. popisuje nap. po et usp n ch pokus z n nez visle opakovan ch pokus, kdy pravd podobnost sp chu pro 1 pokus je p. Test H 0 : p = p 0 proti H 1 : p 6= p 0 : lat -li H 0, tak d k C.L.V. m veli ina U = p ibli n (asymptoticky, t.zn. v limit p i n! 1) N(0 1) rozd len. p X;np 0 np 0 (1;p 0 ) ro "p ibli nost" budeme pou vat z pisu U N(0 1). Znamen to, e test mohu pou t v p pad, e n je dostate n velk (aspo n kolik des tek). Z dat tedy spo tu hodnotu veli iny U a pak hypot zu H 0 zam t m na hladin (p ibli n ), jakmile je juj >u( ). i jednostrann m testu H 0 : p p 0 proti H 1 : p < p 0 zam t m H 0 na hladin, kdy U < ;u(). Obdobn, p i testu H 0 : p p 0 proti H 1 : p>p 0 zam t m H 0 na hladin, kdy U >u(). 4.1 orovn n dvou v b r M jme n hodn v b ry, chceme porovnat p slu n st edn hodnoty. 4. rov test. M jme v b ry stejn ho rozsahu, X 1 ::: X n z rozd len N( X X), Y 1 ::: Y n z rozd len N( Y Y ), nen nutn nez vislost X i na Y i. Naopak, asto se takto testuje v znamnost zm ny st edn hodnoty n jak veli iny u t ch e objekt, p ed a po n jak m z sahu. Chceme otestovat, zda je X = Y, p padn zda X = Y +. K tomu vytvo me veli iny Z i = X i ; Y i, kter odpov daj rozd len N ( Z = X ; Y Z)( Z zpravidla nezn me). A vlastn je na m kolem testovat hypot zu H 0 : Z = 0, nej ast ji pro 0 = 0. ostupujeme d le zcela podle p padu., tj. pou ijeme t-test a testovac veli inu T = q Z; (n) 0, kde s = 1 (Zi ; Z). s n;1 5. Dvouv b rov test Nech jenyn X 1 ::: X n N( X ) Y 1 ::: Y m N( Y ), ozna me = X ; Y. D le it m p edpokladem je vz jemn nez vislost i X i na Y i. Dal m p edpokladem je alespo p ibli n stejnost rozptyl v obou skupin ch. latnost tohoto p edpokladu lze otestovat F-testem (viz d le). h Xn;Y m; Testovac statistikajenyn T = nm i 1 s n m t n+m n+m; (tedy je rozd lena podle Studentova rozd len s n + m ; stupni volnosti), kde s n m = (X i ; X n ) +(Y i ; Y m ) : n + m ; 1

13 Zase testujeme bu = 0 proti 6= 0 nebo 0 proti > 0 apod., nej ast ji pro 0 =0. Kritick mi hodnotami pro test jsou tedy op t p slu n kvantily Studentova rozd len, tentokr t s n + m ; stupni volnosti. Nen -li spln n p edpoklad o stejn m rozptylu, je nutno k testov n stejn 'polohy' obou rozd len pou t jin testy, nap. test Wilcoxona, anebo pou t n kter z p ibli n ch procedur, nap klad n sleduj c : 6. ibli n dvouv b rov t-test. Spo t me nejd ve veli inu s = (s X=n + s Y =m) 1 kde s X = 1 (Xi ; Xn ), (n;1) s Y = 1 (Yj ; Ym ). K testu pou ijeme veli inu T = j X n; Y mj, kterou porovn me (m;1) s s t = (n;1)t n;1( )+(m;1)t m;1 ( ). m+n; Hypot zu H 0 : X = Y nyn zam tneme na hladin (p ibli n ), kdy budet >t. 7. Chi{kvadr t ( ) testy pro testov n hypot z o velikosti rozptylu. roto e velikost rozptylu je vlastn m rou pro p esnost a spolehlivost z v r o zji ovan veli in, je d le it m t k dispozici procedury pro takov to testov n. Je-li X i N( ), pak veli ina ni=1 (X C n (X )= i ; Xn ) = s n (n ; 1) m n;1 (chi-kvadr t s n ; 1 stupni volnosti) rozd len. To je op t tabelovan. Tak e nap klad v testu H 0 : 0 proti H 1 : > 0 hypot zu H 0 zam t m na hladin, je-li C n (X 0 ) > n;1 () { horn kvantil n;1 rozd len (proto e plat -li H 1, m s n-odhadnut z dat { tendenci b t v t ne hypotetick ). Obdobn, v testu H 0 : = 0 proti H 1 : 6= 0 H 0 zam t m na hladin, je-li C n (X 0 ) < n;1(=) (kde je doln kvantil) nebo je-li C n (X 0 ) > n;1 (=:) { horn = kvantil n;1 rozd len. 8. F -testy, Fisherovo rozd len. M jme, jako v situaci 5., nez visl n hodn v b ry X 1 ::: X n N( X X) Y 1 ::: Y m N( Y Y ). n Ozna me s i=1 X = (X m i;x n) s i=1 n;1 Y = (Y i;y m). m;1 ak, pokud X = Y, je n hodn veli ina F (X Y) = s X s Y tj. F - rozd len s n ; 1am ; 1 stupni volnosti. roto (mimo jin ) se F -testy pou vaj na test orovnosti rozptyl : rozd lena jako F n;1 m;1 Testujme tedy hypot zu H 0 ( X = Y ) proti H 1 ( X 6= Y ). H 0 na hladin nezam t me, je-li Fn;1 m;1(=) s X =s Y F n;1 m;1 (=), kde F(n;1 m;1)() je doln kvantil F n;1 m;1 rozd len, F () jehorn kvantil. V opa n m p pad H 0 zam tneme. lat F r s ()=1=F s r (1 ; ), proto tabulky b vaj jen pro 0:5 a doln kvantily si z nich m eme lehce odvodit. 13

Skupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka.

Skupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka. Testování Menu: QCExpert Testování Skupina Testování obsahuje následující moduly: Síla a rozsah výběru, Testy a Kontingenční tabulka. Síla a rozsah výběru Menu: QCExpert Testování Síla a rozsah výběru

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

1 3Statistika I (KMI/PSTAT)

1 3Statistika I (KMI/PSTAT) 1 3Statistika I (KMI/PSTAT) Cvi 0 0en prvn aneb Suma 0 0n symbolika, vod do popisn statistiky Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 17 1 3Obsah hodiny Po dne 0 8n hodin byste m li b 0 5t schopni: spr vn pou 0 6

Více

6. Matice. Algebraické vlastnosti

6. Matice. Algebraické vlastnosti Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,

Více

Osvětlovací modely v počítačové grafice

Osvětlovací modely v počítačové grafice Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Semestrální práce z předmětu Matematické modelování Osvětlovací modely v počítačové grafice 27. ledna 2008 Martin Dohnal A07060 mdohnal@students.zcu.cz

Více

10 je 0,1; nebo taky, že 256

10 je 0,1; nebo taky, že 256 LIMITY POSLOUPNOSTÍ N Á V O D Á V O D : - - Co to je Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání

Více

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.

c sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly. 9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte

Více

Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 -

Číslicová technika 3 učební texty (SPŠ Zlín) str.: - 1 - Číslicová technika učební texty (SPŠ Zlín) str.: - -.. ČÍTAČE Mnohá logická rozhodnutí jsou založena na vyhodnocení počtu opakujících se jevů. Takovými jevy jsou např. rychlost otáčení nebo cykly stroje,

Více

A. PODÍL JEDNOTLIVÝCH DRUHŮ DOPRAVY NA DĚLBĚ PŘEPRAVNÍ PRÁCE A VLIV DÉLKY VYKONANÉ CESTY NA POUŽITÍ DOPRAVNÍHO PROSTŘEDKU

A. PODÍL JEDNOTLIVÝCH DRUHŮ DOPRAVY NA DĚLBĚ PŘEPRAVNÍ PRÁCE A VLIV DÉLKY VYKONANÉ CESTY NA POUŽITÍ DOPRAVNÍHO PROSTŘEDKU A. PODÍL JEDNOTLIVÝCH DRUHŮ DOPRAVY NA DĚLBĚ PŘEPRAVNÍ PRÁCE A VLIV DÉLKY VYKONANÉ CESTY NA POUŽITÍ DOPRAVNÍHO PROSTŘEDKU Ing. Jiří Čarský, Ph.D. (Duben 2007) Komplexní přehled o podílu jednotlivých druhů

Více

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY

MATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem

Více

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)

4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2

Více

STP097 STATISTIKA CVIČENÍ 12.12.2007 EMPIRICKÁ DISTRIBUČNÍ FUNKCE, JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY

STP097 STATISTIKA CVIČENÍ 12.12.2007 EMPIRICKÁ DISTRIBUČNÍ FUNKCE, JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY STP097 STATISTIKA CVIČENÍ 12.12.2007 EMPIRICKÁ DISTRIBUČNÍ FUNKCE, JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Postupujte podle zadání. Vše potřebné k dnešnímu cvičení natáhnete z webu do R příkazy: adr="http://artax.karlin.mff.cuni.cz/~kraud8am/stp097/stp097_cvic_2007-12-12.rdata"

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE Fakulta provozně ekonomická Obor: Provoz a ekonomika Statistické aspekty terénních průzkumů Vedoucí diplomové práce: Ing. Pavla Hošková Vypracoval: Martin Šimek 2003

Více

1.7. Mechanické kmitání

1.7. Mechanické kmitání 1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického

Více

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ

ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)

Více

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502

( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502 .5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady

Více

Matematický model kamery v afinním prostoru

Matematický model kamery v afinním prostoru CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002

Více

SEMESTRÁ LNÍ PRÁ CE. Licenč ní studium STATISTICKÉZPRACOVÁ NÍ DAT PŘ I KONTROLE A Ř ÍZENÍ JAKOSTI

SEMESTRÁ LNÍ PRÁ CE. Licenč ní studium STATISTICKÉZPRACOVÁ NÍ DAT PŘ I KONTROLE A Ř ÍZENÍ JAKOSTI SEMESTRÁ LNÍ PRÁ CE Licenč ní studium STATISTICKÉZPRACOVÁ NÍ DAT PŘ I KONTROLE A Ř ÍZENÍ JAKOSTI Předmě t STATISTICKÁ ANALÝ ZA JEDNOROZMĚ RNÝ CH DAT (ADSTAT) Ú stav experimentá lní biofarmacie, Hradec

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

EXPERTNÍ POSUDEK Doc. RNDr. Martin Ouředníček, Ph.D. Stručný výtah z posudku.

EXPERTNÍ POSUDEK Doc. RNDr. Martin Ouředníček, Ph.D. Stručný výtah z posudku. EXPERTNÍ POSUDEK Doc. RNDr. Martin Ouředníček, Ph.D. Stručný výtah z posudku. EXPERTNÍ POSUDEK SE BUDE ZABÝVAT NÁSLEDUJÍCÍMI OTÁZKAMI TÝKAJÍCÍMI SE METOD ZPRACOVÁNÍ RURÚ: a. zjistit shodné metodické přístupy

Více

Z klady fuzzy modelov n Vil m Nov k Kniha seznamuje ten e se z klady fuzzy logiky a fuzzy regulace. Srozumitelnou formou s minim ln mi n roky na p edchoz matematick znalosti jsou vysv tleny z klady teorie

Více

Úlohy domácího kola kategorie C

Úlohy domácího kola kategorie C 50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat

Více

Statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 -

Statistika ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ. Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková. Semestrální práce - 0 - ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA DOPRAVNÍ Jiří Volf, Adam Kratochvíl, Kateřina Žáková 2 34 Statistika Semestrální práce - 0 - 1. Úvod Popis úlohy: V této práci se jedná se o porovnání statistických

Více

Právní úprava spolků dle nového občanského zákoníku

Právní úprava spolků dle nového občanského zákoníku Právní úprava spolků dle nového občanského zákoníku Konkrétní doporučení pro sportovní organizace občanská sdružení Legislativní rada Českého olympijského výboru 2013 Právní úprava spolků dle nového občanského

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality. 15.3.2012 Tůmová

Národní informační středisko pro podporu kvality. 15.3.2012 Tůmová Národní informační středisko pro podporu kvality 1 SeminářČSJ Odborná skupina statistické metody 15.3.2012 Praha 2 Nejistoty měření v teorii a praxi Doc. Ing. Olga Tůmová, CSc. 3 O měření 1 Ve 20. století

Více

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I

2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou

Více

Lineární Regrese Hašovací Funkce

Lineární Regrese Hašovací Funkce Hašovací Funkce Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice

11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice 11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty

Více

Zpracov n v decko v zkumn ch dat trubka Znojil zpracoval Ale K enek nor duben 1995 Obsah 1 Z kladn pojmy 1 2 Momenty a rozd len 1 3 Testovac krit ria 2 4 Optimalizace 2 5 Anal za variance 3 6 Zp tn anal

Více

Rychnov nad Kněžnou. Trutnov VÝVOJ BYTOVÉ VÝSTAVBY V KRÁLOVÉHRADECKÉM KRAJI V LETECH 1998 AŽ 2007 29

Rychnov nad Kněžnou. Trutnov VÝVOJ BYTOVÉ VÝSTAVBY V KRÁLOVÉHRADECKÉM KRAJI V LETECH 1998 AŽ 2007 29 3. Bytová výstavba v okresech Královéhradeckého kraje podle fází (bez promítnutí územních změn) Ekonomická transformace zasáhla bytovou výstavbu velmi negativně, v 1. polovině 90. let nastal rapidní pokles

Více

MATEMATIKA A BYZNYS. Finanční řízení firmy. Příjmení: Rajská Jméno: Ivana

MATEMATIKA A BYZNYS. Finanční řízení firmy. Příjmení: Rajská Jméno: Ivana MATEMATIKA A BYZNYS Finanční řízení firmy Příjmení: Rajská Jméno: Ivana Os. číslo: A06483 Datum: 5.2.2009 FINANČNÍ ŘÍZENÍ FIRMY Finanční analýza, plánování a controlling Důležité pro rozhodování o řízení

Více

DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT

DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT DYNAMICKÉ VÝPOČTY PROGRAMEM ESA PT Doc. Ing. Daniel Makovička, DrSc.*, Ing. Daniel Makovička** *ČVUT v Praze, Kloknerův ústav, Praha 6, **Statika a dynamika konstrukcí, Kutná Hora 1 ÚVOD Obecně se dynamickým

Více

POZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU

POZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU Do vlastních rukou akcionářů DEK a.s. POZVÁNKA NA MIMOŘÁDNOU VALNOU HROMADU Představenstvo společnosti DEK a.s., se sídlem Tiskařská 10/257, PSČ 108 00, IČ: 276 36 801, zapsané v obchodním rejstříku, vedeném

Více

Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek

Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek Kamila Fa 0 0evicov, Karel Hron Katedra matematick anal 0 5zy a aplikac ͺ matematiky, Univerzita Palack ho v Olomouci Od kontingen 0 0n ͺch ke kompozi 0 0n

Více

Základy zpracování obrazů

Základy zpracování obrazů Základy zpracování obrazů Martin Bruchanov BruXy bruxy@regnet.cz http://bruxy.regnet.cz 23. března 29 1 Jasové korekce........................................................... 1 1.1 Histogram........................................................

Více

Analýza oběžného kola

Analýza oběžného kola Vysoká škola báňská Technická univerzita 2011/2012 Analýza oběžného kola Radomír Bělík, Pavel Maršálek, Gȕnther Theisz Obsah 1. Zadání... 3 2. Experimentální měření... 4 2.1. Popis měřené struktury...

Více

5. Legislativní opatření a jejich vliv na vývoj pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz

5. Legislativní opatření a jejich vliv na vývoj pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz 5. Legislativní opatření a jejich vliv na vývoj pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz Úroveň pracovní neschopnosti pro nemoc a úraz je v zásadě dána dvěma rozdílnými faktory. Prvým z nich je objektivní

Více

Preference v u ívání prost edk elektronické komunikace áky a studenty

Preference v u ívání prost edk elektronické komunikace áky a studenty Preference v u ívání prost edk elektronické komunikace áky a studenty (dotazníkový pr zkum) Zuzana Pustinová Dne ní doba nabízí mnohé mo nosti, jak komunikovat, ani by se ú astníci hovoru nacházeli na

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice

Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice Multikriteri ln optimalizace proces 0 1 v elektrotechnice Franti 0 8ek Mach 1,2, Pavel K 0 1s 2, Pavel Karban 1, Ivo Dole 0 6el 1,2 1 Katedra teoretick і elektrotechniky Fakulta elektrotechnick, Z pado

Více

4. Připoutejte se, začínáme!

4. Připoutejte se, začínáme! 4. Připoutejte se, začínáme! Pojďme si nyní zrekapitulovat základní principy spreadů, které jsme si vysvětlili v předcházejících kapitolách. Řekli jsme si, že klasický spreadový obchod se skládá ze dvou

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie. Reg. č.: CZ.1.07/2.2.00/15.0247

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie. Reg. č.: CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie Reg. č.: CZ.1.07/2.2.00/15.0247 APLIKACE POČÍTAČŮ V MĚŘÍCÍCH SYSTÉMECH PRO CHEMIKY s využitím LabView 3. Převod neelektrických veličin na elektrické,

Více

1 Pravděpodobnostní prostor

1 Pravděpodobnostní prostor Úvod do pravděpodobnosti prizmatem teorie informace 204 Tomáš Kroupa Pravděpodobnostní prostor Základním objektem teorie pravděpodobnosti je pravděpodobnostní prostor. Modeluje všechny možné elementární

Více

2013 ISBN$978-80-7464-445-0

2013 ISBN$978-80-7464-445-0 Průvodka dokumentem Kvantitativní metody v pedagogickém výzkumu: nadpisy tří úrovní (pomocí stylů Nadpis 1 3), před nimi je znak # na začátku dokumentu je automatický obsah (#Obsah) obrázky vynechány,

Více

3. Dynamika. Obecné odvození: a ~ F a ~ m. Zrychlení je přímo úměrné F a nepřímo úměrné m. 3. 2. 1 Výpočet síly a stanovení jednotky newton. F = m.

3. Dynamika. Obecné odvození: a ~ F a ~ m. Zrychlení je přímo úměrné F a nepřímo úměrné m. 3. 2. 1 Výpočet síly a stanovení jednotky newton. F = m. 3. Dynamika Zabývá se říčinou ohybu (jak vzniká a jak se udržuje). Vše se odehrávalo na základě řesných okusů, vše shrnul Isac Newton v díle Matematické základy fyziky. Z díla vylývají 3 ohybové zákony.

Více

Neuronová síť. x 2 x 3. σ j. x 4. x 5. Menu: QCExpert Prediktivní metody

Neuronová síť. x 2 x 3. σ j. x 4. x 5. Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronová síť Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronová síť Neuronová síť (Artificial Neural Network, ANN, resp. NN) je velmi populární a výkonná metoda, která se používá k modelování vztahu mezi vícerozměrnou

Více

4.5.1 Magnety, magnetické pole

4.5.1 Magnety, magnetické pole 4.5.1 Magnety, magnetické pole Předpoklady: 4101 Pomůcky: magnety, kancelářské sponky, papír, dřevěná dýha, hliníková kulička, měděná kulička (drát), železné piliny, papír, jehla (špendlík), korek (kus

Více

4 Stromy a les. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 1 FI: MA010: Stromy a les

4 Stromy a les. Petr Hlin їn 0 5, FI MU Brno 1 FI: MA010: Stromy a les 4 Stromy a les Jedn m ze z kladn ch, a patrn ї nejjednodu 0 8 0 8 m, typem graf 0 1 jsou takzvan і stromy. Jedn se o souvisl і grafy bez kru 0 6nic. P 0 0es svou (zd nlivou) jednoduchost maj stromy bohatou

Více

PRÁVNICKÉ OSOBY POJEM A KATEGORIZACE

PRÁVNICKÉ OSOBY POJEM A KATEGORIZACE JUDr. Kateřina Ronovská, Ph.D. PRÁVNICKÉ OSOBY POJEM A KATEGORIZACE I. K POJMU PRÁVNICKÁ OSOBA O pojmovém vymezení právnických osob jako subjektů právních vztahů se odedávna vedou diskuse, avšak žádná

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základy paprskové a vlnové optiky, optická vlákna, Učební text Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl

Více

Miroslav Čepek 16.12.2014

Miroslav Čepek 16.12.2014 Vytěžování Dat Přednáška 12 Kombinování modelů Miroslav Čepek Pavel Kordík a Jan Černý (FIT) Fakulta Elektrotechnická, ČVUT Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 16.12.2014

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

Data v počítači EIS MIS TPS. Informační systémy 2. Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50

Data v počítači EIS MIS TPS. Informační systémy 2. Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50 Informační systémy 2 Data v počítači EIS MIS TPS strategické řízení taktické řízení operativní řízení a provozu Spojení: e-mail: jan.skrbek@tul.cz tel.: 48 535 2442 Konzultace: úterý 14 20-15 50 18.3.2014

Více

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů

2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).

Více

NÁHRADA ŠKODY Rozdíly mezi odpov dnostmi TYPY ODPOV DNOSTI zam stnavatele 1) Obecná 2) OZŠ vzniklou p i odvracení škody 3) OZŠ na odložených v cech

NÁHRADA ŠKODY Rozdíly mezi odpov dnostmi TYPY ODPOV DNOSTI zam stnavatele 1) Obecná 2) OZŠ vzniklou p i odvracení škody 3) OZŠ na odložených v cech NÁHRADA ŠKODY - zaměstnanec i zaměstnavatel mají obecnou odpovědnost za škodu, přičemž každý potom má svou určitou specifickou odpovědnost - pracovněprávní odpovědnost rozlišuje mezi zaměstnancem a zaměstnavatelem

Více

21 SROVNÁVACÍ LCA ANALÝZA KLASICKÝCH ŽÁROVEK A KOMPAKTNÍCH ZÁŘIVEK

21 SROVNÁVACÍ LCA ANALÝZA KLASICKÝCH ŽÁROVEK A KOMPAKTNÍCH ZÁŘIVEK 21 SROVNÁVACÍ LCA ANALÝZA KLASICKÝCH ŽÁROVEK A KOMPAKTNÍCH ZÁŘIVEK Pavel Rokos ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Katedra elektrotechnologie Úvod Světelné zdroje jsou jedním

Více

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2661/108/15

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2661/108/15 ODBORNÝ POSUDEK č. 2661/108/15 o obvyklé ceně ideální 1/2 nemovité věci bytové jednotky č. 1238/13 včetně podílu 784/15632 na pozemku a společných částech domu v katastrálním území a obci Strakonice, okres

Více

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2381/21/14

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2381/21/14 ODBORNÝ POSUDEK č. 2381/21/14 o obvyklé ceně nemovité věci bytu č. 1765/6 a podílu 622/73998 na společných částech domu a pozemcích, v katastrálním území Svitavy předměstí a obci Svitavy, vše okres Svitavy

Více

Shoda dosaženého vzdělání a vykonávaného zaměstnání - 2005

Shoda dosaženého vzdělání a vykonávaného zaměstnání - 2005 Shoda dosaženého vzdělání a vykonávaného zaměstnání - 2005 Mgr. Gabriela Doležalová Ing. Jiří Vojtěch Praha 2006 OBSAH 1. Úvod... 2 2. Východiska analýzy, metodika a cíle... 3 3. Profesní struktura absolventů

Více

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio

Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Aplikační list Vyvažování tuhého rotoru v jedné rovině přístrojem Adash 4900 - Vibrio Ref: 15032007 KM Obsah Vyvažování v jedné rovině bez měření fáze signálu...3 Nevýhody vyvažování jednoduchými přístroji...3

Více

Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25

Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25 Novinky verzí SKLADNÍK 4.24 a 4.25 Zakázky standardní přehled 1. Možnosti výběru 2. Zobrazení, funkce Zakázky přehled prací 1. Možnosti výběru 2. Mistři podle skupin 3. Tisk sumářů a skupin Zakázky ostatní

Více

Odůvodnění veřejné zakázky. Přemístění odbavení cestujících do nového terminálu Jana Kašpara výběr generálního dodavatele stavby

Odůvodnění veřejné zakázky. Přemístění odbavení cestujících do nového terminálu Jana Kašpara výběr generálního dodavatele stavby Odůvodnění veřejné zakázky Veřejná zakázka Přemístění odbavení cestujících do nového terminálu Jana Kašpara výběr generálního dodavatele stavby Zadavatel: Právní forma: Sídlem: IČ / DIČ: zastoupen: EAST

Více

METODIKA DODRŽOVÁNÍ PRINCIPŮ ÚČELNOSTI, HOSPODÁRNOSTI A EFEKTIVNOSTI PŘI HOSPODAŘENÍ S VEŘEJNÝMI PROSTŘEDKY NÁVRH

METODIKA DODRŽOVÁNÍ PRINCIPŮ ÚČELNOSTI, HOSPODÁRNOSTI A EFEKTIVNOSTI PŘI HOSPODAŘENÍ S VEŘEJNÝMI PROSTŘEDKY NÁVRH METODIKA DODRŽOVÁNÍ PRINCIPŮ ÚČELNOSTI, HOSPODÁRNOSTI A EFEKTIVNOSTI PŘI HOSPODAŘENÍ S VEŘEJNÝMI PROSTŘEDKY NÁVRH 1 ÚVOD Cílem metodiky dodržování principů účelnosti, hospodárnosti a efektivnosti je formulovat

Více

Společné stanovisko GFŘ a MZ ke změně sazeb DPH na zdravotnické prostředky od 1. 1. 2013

Společné stanovisko GFŘ a MZ ke změně sazeb DPH na zdravotnické prostředky od 1. 1. 2013 Společné stanovisko GFŘ a MZ ke změně sazeb DPH na zdravotnické prostředky od 1. 1. 2013 Od 1. 1. 2013 došlo k novelizaci zákona č. 235/2004 Sb., o dani z přidané hodnoty (dále jen zákon o DPH ), mj. i

Více

Provoz a poruchy topných kabelů

Provoz a poruchy topných kabelů Stránka 1 Provoz a poruchy topných kabelů Datum: 31.3.2008 Autor: Jiří Koreš Zdroj: Elektroinstalatér 1/2008 Článek nemá za úkol unavovat teoretickými úvahami a předpisy, ale nabízí pohled na topné kabely

Více

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204

1.2.5 Reálná čísla I. Předpoklady: 010204 .2.5 Reálná čísla I Předpoklady: 00204 Značíme R. Reálná čísla jsou čísla, kterými se vyjadřují délky úseček, čísla jim opačná a 0. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý

Více

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb

I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní

Více

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2588/35/15

ODBORNÝ POSUDEK. č. 2588/35/15 ODBORNÝ POSUDEK č. 2588/35/15 o obvyklé ceně nemovitých věcí pozemku p.č.st. 235 jehož součástí je stavba rodinného domu č.p. 149 a pozemku p.č. 1317/5 vše v katastrálním území Řetová a obci Řetová, okres

Více

Daňová partie. Aktuality z oblasti řešení daňových sporů. 5. května 2011. 1. Finanční úřady nově jen v krajských městech

Daňová partie. Aktuality z oblasti řešení daňových sporů. 5. května 2011. 1. Finanční úřady nově jen v krajských městech www.pwc.cz/danovespory Aktuality z oblasti řešení daňových sporů 5. května 2011 Témata tohoto vydání: 1. Finanční úřady nově jen v krajských městech 2. Příjmy z absolutně neplatných smluv v daňovém přiznání

Více

Názory obyvatel na přijatelnost půjček leden 2016

Názory obyvatel na přijatelnost půjček leden 2016 TISKOVÁ ZPRÁVA Centrum pro výzkum veřejného mínění Sociologický ústav AV ČR, v.v.i. Jilská 1, Praha 1 Tel.: 286 840 129 E-mail: milan.tucek@soc.cas.cz Názory obyvatel na přijatelnost půjček leden 2016

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Anemometrické metody Učební text Ing. Bc. Michal Malík Ing. Bc. Jiří Primas Liberec 2011 Materiál vznikl v rámci

Více

DODATEČNÉ INFORMACE Č. 4 K ZADÁVACÍM PODMÍNKÁM VEŘEJNÉ ZAKÁZKY

DODATEČNÉ INFORMACE Č. 4 K ZADÁVACÍM PODMÍNKÁM VEŘEJNÉ ZAKÁZKY DODATEČNÉ INFORMACE Č. 4 K ZADÁVACÍM PODMÍNKÁM VEŘEJNÉ ZAKÁZKY Komplexní servis prádla a oděvů pro Nemocnici Jihlava Nadlimitní zakázka na služby zadávaná v otevřeném řízení dle zákona 137/2006 Sb., o

Více

Dne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace:

Dne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace: Dne 12. 7. 2010 obdržel zadavatel tyto dotazy týkající se zadávací dokumentace: 1. na str. 3 požadujete: Volání a SMS mezi zaměstnanci zadavatele zdarma bez paušálního poplatku za tuto službu. Tento požadavek

Více

PRAVIDLA PRO PŘIDĚLOVÁNÍ BYTŮ V MAJETKU MĚSTA ODOLENA VODA

PRAVIDLA PRO PŘIDĚLOVÁNÍ BYTŮ V MAJETKU MĚSTA ODOLENA VODA PRAVIDLA PRO PŘIDĚLOVÁNÍ BYTŮ V MAJETKU MĚSTA ODOLENA VODA Čl. A Obecná ustanovení 1. Těmito pravidly se stanoví pravidla pro hospodaření s bytovým fondem v majetku města Odolena Voda. Nájemní vztahy se

Více

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB

Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné

Více

7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část

7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část Základy sálavého vytápění (2162063) 7. Stropní chlazení, Sálavé panely a pasy - 1. část 30. 3. 2016 Ing. Jindřich Boháč Obsah přednášek ZSV 1. Obecný úvod o sdílení tepla 2. Tepelná pohoda 3. Velkoplošné

Více

DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 5. cvičení

DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 5. cvičení DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 5. cvičení Rozdělení pravděpodobnosti NV Rozdělení náhodné veličiny X je předpis, kterým definujeme pravděpodobnost jevu, jež lze touto náhodnou veličinou popsat. U

Více

řádově různě rostoucí rostou řádově stejně rychle dvě funkce faktor izomorfismus neorientovaných grafů souvislý graf souvislost komponenta

řádově různě rostoucí rostou řádově stejně rychle dvě funkce faktor izomorfismus neorientovaných grafů souvislý graf souvislost komponenta 1) Uveďte alespoň dvě řádově různě rostoucí funkce f(n) takové, že n 2 = O(f(n)) a f(n) = O(n 3 ). 2) Platí-li f(n)=o(g 1 (n)) a f(n)=o(g 2 (n)), znamená to, že g 1 (n) a g 2 (n) rostou řádově stejně rychle

Více

METODICKÉ DOPORUČENÍ Ministerstva vnitra. ze dne 17. prosince 2015

METODICKÉ DOPORUČENÍ Ministerstva vnitra. ze dne 17. prosince 2015 METODICKÉ DOPORUČENÍ Ministerstva vnitra ze dne 17. prosince 2015 1. Jaký zákon upravuje číslování stavebních objektů? Označování/číslování budov upravuje 31 zákona č. 128/2000 Sb., o obcích (obecní zřízení),

Více

Městská část Praha 10. vyhlašuje. v souladu s usnesením Rady m. č. Praha 10 č. 183 ze dne 10. 3. 2015

Městská část Praha 10. vyhlašuje. v souladu s usnesením Rady m. č. Praha 10 č. 183 ze dne 10. 3. 2015 Městská část Praha 10 vyhlašuje v souladu s usnesením Rady m. č. Praha 10 č. 183 ze dne 10. 3. 2015 Výběrové řízení na prodej volných bytových jednotek formou elektronické aukce -3. Podmínky výběrového

Více

účetních informací státu při přenosu účetního záznamu,

účetních informací státu při přenosu účetního záznamu, Strana 6230 Sbírka zákonů č. 383 / 2009 Částka 124 383 VYHLÁŠKA ze dne 27. října 2009 o účetních záznamech v technické formě vybraných účetních jednotek a jejich předávání do centrálního systému účetních

Více

1.2.7 Druhá odmocnina

1.2.7 Druhá odmocnina ..7 Druhá odmocnina Předpoklady: umocňování čísel na druhou Pedagogická poznámka: Probrat obsah této hodiny není možné ve 4 minutách. Já osobně druhou část (usměrňování) probírám v další hodině, jejíž

Více

5.2.1 Matematika povinný předmět

5.2.1 Matematika povinný předmět 5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v

Více

PALETOVÉ REGÁLY SUPERBUILD NÁVOD NA MONTÁŽ

PALETOVÉ REGÁLY SUPERBUILD NÁVOD NA MONTÁŽ PALETOVÉ REGÁLY SUPERBUILD NÁVOD NA MONTÁŽ Charakteristika a použití Příhradový regál SUPERBUILD je určen pro zakládání všech druhů palet, přepravek a beden všech rozměrů a pro ukládání kusového, volně

Více

(mimo pozůstalostní řízení a vypořádání SJM) ÚVOD POPIS ŘEŠENÍ Typ nemovitosti : Výše spoluvlastnického podílu : ZÁVĚR

(mimo pozůstalostní řízení a vypořádání SJM) ÚVOD POPIS ŘEŠENÍ Typ nemovitosti : Výše spoluvlastnického podílu : ZÁVĚR 1/1 Znalecký standard AZO č.1 Obvyklá cena spoluvlastnického podílu - obecně (mimo pozůstalostní řízení a vypořádání SJM) Stanovení obvyklé ceny (dále OC) spoluvlastnického podílu je nutné pro soudní spory,

Více

(1) (3) Dále platí [1]:

(1) (3) Dále platí [1]: Pracovní úkol 1. Z přiložených ů vyberte dva, použijte je jako lupy a změřte jejich zvětšení a zorná pole přímou metodou. 2. Změřte zvětšení a zorná pole mikroskopu pro všechny možné kombinace ů a ů. Naměřené

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

1 Matematické základy teorie obvodů

1 Matematické základy teorie obvodů Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení

Více

Dopady NOZ na občanská sdružení. Mgr. Marcela Tomaščáková březen 2015

Dopady NOZ na občanská sdružení. Mgr. Marcela Tomaščáková březen 2015 Dopady NOZ na občanská sdružení Mgr. Marcela Tomaščáková březen 2015 Co se stalo dne 1. 1. 2014 vstoupil v účinnost nový občanský zákoník (zák. č. 89/2012 Sb.) + doprovodná legislativa (např. zákon o veřejných

Více

ODPOVĚDI KOMISE NA VÝROČNÍ ZPRÁVU ÚČETNÍHO DVORA ZA ROK 2011 KAPITOLA 6 ZAMĚSTNANOST A SOCIÁLNÍ VĚCI

ODPOVĚDI KOMISE NA VÝROČNÍ ZPRÁVU ÚČETNÍHO DVORA ZA ROK 2011 KAPITOLA 6 ZAMĚSTNANOST A SOCIÁLNÍ VĚCI EVROPSKÁ KOMISE V Bruselu dne 30.8.2012 COM(2012) 479 final ODPOVĚDI KOMISE NA VÝROČNÍ ZPRÁVU ÚČETNÍHO DVORA ZA ROK 2011 KAPITOLA 6 ZAMĚSTNANOST A SOCIÁLNÍ VĚCI CS CS ÚVOD ODPOVĚDI KOMISE NA VÝROČNÍ ZPRÁVU

Více

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.

Řešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat. KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).

Více

O kritériu II (metodické okénko)

O kritériu II (metodické okénko) O kritériu II (metodické okénko) Kritérium II. Autor: Blanka Munclingerová (Netopilová) Úvod Když se poprvé v naší krátké debatní historii objevil koncept "kritérium", byl význam, smysl a účel tohoto konceptu

Více

5.6.6.3. Metody hodnocení rizik

5.6.6.3. Metody hodnocení rizik 5.6.6.3. Metody hodnocení rizik http://www.guard7.cz/lexikon/lexikon-bozp/identifikace-nebezpeci-ahodnoceni-rizik/metody-hodnoceni-rizik Pro hodnocení a analýzu rizik se používají různé metody. Výběr metody

Více

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady

Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha

Více