Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download ""

Transkript

1 V. VYBRAN METODY MATEMATICK STATISTIKY Neoci ln u ebn text pro Matematiku V, FS,FM TUL, { st.. Volf, b ezen 1999 D se ci, e p edm tem teorie pravd podobnosti je tvorba a studium matematick ch model pro n hodn d je ( i pro popis neur itosti v bec), zat mco matematick statistika se zab v anal zou v sledk n hodn ch d j. K tomu si vybudovala a st le roz i uje matematick apar t i matematickou teorii k pou it tohoto apar tu, teorii induktivn ho uva ov n (inference). Neboli kolem metod matematick statistiky je umo nit z v ry (a zd vodnit je) o n jak m syst mu i v p pad, e na e informace o n m je zna n ne pln, je v sledkem n jak ho n hodn ho d je. roto e tuto informaci ( i jej st) v t inou obdr me ve form dat (t.j. pozorovan ch daj ), je matematick statistika pova ov na za v du o anal ze dat. M eme ji v ak pova ovat za v du o anal ze informace v bec. 1 Opakov n z kladn ch pojm teorie pravd podobnosti edstavme si d j, jeho v sledek nem eme p edem jednozna n ur it (veli inu, jej hodnotu nezn me a v me jen, z jak mno iny ona hodnota m e b t). V echny mo n v sledky i mo n hodnoty (ozna me je f!g) tvo prostor element rn ch jev. Zaj m me se bu o pravd podobnost jednotliv ch v sledk (jev )! (- je-li jich kone n i nanejv spo etn mnoho) i o pravd podobnost n kter ch jejich mno in. Za t m elem si zvol me -algebru A jako syst m podmno in A. Je-li 0 pravd podobnostn m ra na A, tak ( A 0 ) naz v me pravd podobnostn prostor. okud tuto konstrukci transformujeme m itelnou funkc X(!) na re lnou p mku, X = X(!) naz v me n hodn veli ina. N hodn veli ina tedy ur uje pravd podobnostn prostor na R, se syst mem podmno in B (borelovsk mno iny) a s pravd podobnostn m rou (B)= 0 (X ;1 (B)) pro B B. M ra se naz v z kon rozd len n hodn veli iny X. M e b t diskr tn ho typu, tj. m me pro ur it hodnoty x j j = 1 ::: pravd podobnosti (X = x j ). Distribu n funkce je pro jak koli rozd len denov na jako F (x) = (X < x). ro diskr tn rozd len je to tedy schodovit, po stech konstantn funkce, neklesaj c, spojit zleva. okud existuje funkce f(x) 0 takov, e F (x) = R x ;1 f(s) ds, f(x) se naz v hustota a rozd len je spojit ho typu. Samoz ejm, je mo n si p edstavit rozd len sm en ho typu. N kolik n hodn ch veli in tvo n hodn vektor X = (X 1 ::: X n ). Informaci pro statistickou anal zu obdr me ve form dat, kter pova ujeme za realizace zkouman ch n hodn chveli in. N hodn m v b rem rozum me vektor slo en znez visl ch a stejn rozd len ch n hodn ch veli in (pou v se anglick zkratky i. i. d. =independent, identically distributed). slo n je rozsah v b ru. N hodn v b r je model pro situace, kdy pozorujeme n nez visl ch, \stejn ch" objekt, nebo opakujeme nez visle n kr t tent pokus. N hodn veli ina X i je modelem pro onu veli inu, kterou na dan ch objektech zkoum me. Slovo "v b r" m sv j p vod a v znam v tom, e b n p i zkoum n velk ch soubor objekt (v robk, pacient, obyvatel, opakuj c ch se jev ) jsme za rozumnou dobu a s rozumn mi n klady schopni zjistit daje jen o n vybran ch objektech. A tedy na 1

2 z klad v b ru d l me z v ry o charakteristik ch cel ho souboru. klady jsou nasnad : nam tkov i v b rov kontrola v robk, v zkumy ve ejn ho m n n, testov n l ebn ch postup. D le itou praktickou ot zkou je tedy i zaji t n reprezentativn ho (skute n n hodn ho) v b ru zkouman ch objekt z cel ho souboru. Tak e je nutn zkoumat i ot zky p pravy z sk v n dat (t.zv. "design"), pokud jsme schopni situaci ovlivnit tak aby v sledek p inesl co nejv ce informace. asto se p edpokl d, e pozorovan n hodn veli iny maj z kon rozd len z ur it t dy rozd len s distribu n funkc F (x), kde R k je nezn m parametr. kolem je pak p edev m odhad tohoto parametru, p padn testov n hypot z o n m. S m odhad je funkc pozorovan ch n hodn ch veli in, je to n jak m iteln funkce T(X) zr n to R k (pro m itelnou funkci n hodn ch veli in se n kdy pou v v razu statistika). Odhad je tedy op t n hodn veli ina ( i vektor), konkr tn \odhad" aktu ln hodnoty parametru je hodnota T(x), kdy x je realizace X. Uspo dan n hodn v b r je v b r vznikl permutac po ad veli in n hodn ho v b ru tak, aby X (1) X () X (n). Nech F (x) je distribu n funkce rozd len X i, ozna me j (x)= n j F (x)j (1;F (x)) n;j, je to pravd podobnost (v souladu s binomick m z konem rozd len ), e pr v j z n n hodn ch veli in je men ch ne x. ak rozd len X (r) (r-t po dkov statistiky) m distribu n funkci F r (x)= n j=r j (x). Je ob as dobr zn t aspo rozd len minima a maxima z (X 1 ::: X n ). rvn z konitost, kter si lid v imli, kdy se zab vali anal zou n hodn ch d j (by t eba jen v souvislosti s hazardn mi hrami), byl z kon velk ch sel. Na n m jsou zalo eny nejjednodu odhady pravd podobnost jev. ZV v situaci n hodn ho v b ru k, e p i r stu rozsahu v b ru n! 1, s pravd podobnost 1 (tj. skoro jist, pro skoro v echny realizace) X n = 1 Xi ;! EX n 1, ale tak nap. 1 n X i ;! EX 1 (pokud EX 1, resp. EX 1 existuj ). Tedy v b rov pr m r je siln konzistentn m odhadem st edn hodnoty, i proto se jako odhad pro var X 1 u v (mimo jin ) n = 1 (Xi ; X n n ). Z rove, v a = X n se dos hne min a (Xi ; a), neboli X n lze pova ovat za odhad metodou nejmen ch tverc pro EX. To je dal idea pro odhadov n parametr, vyu van zejm na v anal ze regrese. Dal z konitost je vyj d ena v centr ln limitn v t - CLV. V situaci n hodn ho v b ru, pokud EX i = varx i = jsou kone n, plat, e rozd len veli iny p X n n; se bl N(0 1), tj. standardn mu norm ln mu, p i n!1. Obdobn vlastnosti se projevuj izaobecn j ch podm nek ne je situace n hodn ho v b ru. CLV n m ukazuje na ur it v sadn postaven norm ln ho rozd len jak v modelech, tak v aplikac ch, tj., jak uvid me, v statistick anal ze dat. Odhady z kladn ch charakteristik rozd len pravd podobnosti edstavme si n hodn v b r X = (X 1 :::X n ), tj. nez visl stejn rozd len veli iny (p padn jejich realizace { data). M eme si je tak p edstavit jako nez visl kopie n jak n hodn veli iny X. Chceme se z jejich hodnot dozv d t n co o p slu n m rozd len pravd podobnosti.

3 Odhad st edn hodnoty: pr m r X n = 1 ni=1 X n i. irozen m odhadem st edn hodnoty EX je aritmetick Odhad rozptylu (v b rov rozptyl): Rozptyl varx se odhaduje veli inou s = 1 ni=1 (X n;1 i ; Xn ) = 1 ( n n;1 i=1 Xi ; n X n ) p padn ^ = 1 ni=1 (X n i ; Xn ). Rozd l mezi ob ma odhady je nepatrn, ale jak uvid me, s je nestrann a proto se mu d v p ednost. Veli inu s pak naz v me (v b rov ) sm rodatn odchylka, neboli slou jako odhad sm rodatn odchylky. Dal v b rov charakteristiky, tj. charakteristiky spo ten z dat, kter mi se odhaduj p slu n charakteristiky rozd len n hodn veli iny X: v b rov medi n { uspo d me-li n hodn v b r podle velikosti, tj. X (1) X () ::: X (n), pak, v p pad lich ho n je v b rov medi n roven X ( n+1, tj."prost edn " po dkov statistice, v p pad sud ho ) n pak vezmeme pr m r mezi n-tou a n+1-tou po dkovou statistikou, med ^ = 1(X ( n + ) X ( n +1) ): v b rov -kvantil pro (0 1) { je denov n analogicky. Je to takov bod ^q, e X ([n]) < ^q <X ([n]+1), kde [a] ozna uje celou st z sla a. Krom medi nu, co je kvantil pro =0:5, se asto u vaj i kvartily, ^q 0:5 a ^q 0:75. Mezikvartilov rozp t ^q 0:75 ; ^q 0:5 je pak u v no jako pomocn charakteristika rozpt lenosti dat. mod ln hodnota (modus) { je denov n jako hodnota, kter se vyskytuje mezi daty ast ji ne ostatn hodnoty. roto e odhady charakteristik (parametr ) rozd len pravd podobnosti jsou denov ny jako funkce n hodn ch veli in, jsou samy tak n hodn mi veli inami. Teprve v moment, kdy m me k dispozici realizace { data, dostaneme i konkr tn hodnoty odhad..1 Teorie bodov ho odhadu parametr Uva ujme n hodn vektor X =(X 1 ::: X n ), jeho distribuce z vis na parametru. Jak jsme ekli, nej ast j p pad Y F X (x ) = n F (x i ) odpov d n hodn mu v b ru, kdy slo ky X i jsou nez visl mi kopiemi t e n hodn veli- iny X 1, F je jej distribu n funkce. Nech p itom R k i=1 3

4 Formulace probl mu: edstavme si, e zn me sice tvar funkce F, ale nezn me spr vnou hodnotu parametru. roto chceme na z klad pozorov n n hodn ch veli in X = (X 1 X ::: X n ) vytvo it odhad, tj. vybrat jejich funkci (statistiku) T n (X), kter by \co nejl pe" nezn m parametr odhadla. Ozna me E var st edn hodnotu, rozptyl v situaci, kdy je skute n hodnota parametru. Slovo "skute n " samoz ejm znamen jen n (pravd podobnostn ) model reality, nep mo realitu. N kter " douc " vlastnosti odhad : 1. Nestrannost (nevych lenost): Kdy pro ka d plat E ft n (X)g = : Nap klad pr m r z n hodn ho v b ru X n je nestrann odhad pro EX 1, zrovna tak, je-li s n = 1 ni=1 (X n;1 i ; X) tak Es n = var(x 1 ), neboli s n je nestrann odhad pro var(x 1 ).. Siln konzistence: Je-li skute n hodnota parametru,tak lim n!1 T n (X) = s pravd podobnost 1. -konzistence: T n (X) ;! v pravd podobnosti. 3. Ecience (vydatnost): Odhad (estim tor) T n (x)jeecientn, kdy pro ka d jin odhad T n(x) maj c kone n druh moment plat tj. pro nestrann odhady pro ka d. E f(t n (X) ; ) ge f(t n(x) ; ) g var (T n (X)) var (T n(x)) 4. Asymptotick normalita: D k CLV v me ji, e (za ur it ch podm nek) se rozd len veli iny p n X ; EX s bl standardn mu norm ln mu rozd len, p i n! 1. T to vlastnosti se k asymptotick normalita (normalita v limit ). Tak e pr m r X je asymptoticky norm ln m odhadem st edn hodnoty EX. odobn vlastnost plat i pro mnoho dal ch odhad, nap klad pro n kter odhady po tan metodou maxima v rohodnosti. robl m s asymptotick mi vlastnostmi (takovou vlastnost je i konzistence) je ten, e v praxi v dy pracujeme s kone n mi po ty veli in (dat) a t ko se odhaduje chyba, kter se dopou t me p i pou it aproximace norm ln m rozd len m. 4

5 . Odhady z t d n ch dat om rn asto (zvl je-li pozorov n mnoho) se m e st t, e m sto N pln ch pozorov n veli iny X m me k dispozici jen etnosti v skytu napozorovan ch hodnot v ur it ch intervalech. Jin mi slovy, obor mo n ch hodnot veli iny X ( ekn me, interval ha bi) je rozd len do M interval a = a 0 <a 1 <a <:::<a M;1 <a M = b a zn me pouze po ty N m,kolik pozorov n padlo do intervalu ha m;1 a m ) m =1 ::: M. Jak nyn odhadneme EX avarx? Nejjeddnodu eji tak, e pro ka d interval si zvol me "reprezentativn " hodnotu Z m,a p edstav me si, e pr v ona nastala N m -kr t. ak, pochopiteln, odhadneme EX avarx jako ~X = 1 MX MX N m (Z m ; X) ~ : N N m Z m ~ = 1 N m=1 m=1 Takov to odhady ji zpravidla nejsou nestrann. Konzistentn mohou b t, pokud p i zv t- ov n po tu dat N zv t ujeme i po et t d M (a t dy "zu ujeme"). Nejjednodu volba "z stupc " t d jsou prost st edy t d. ot e mohou nastat s krajn mi t dami, kter jsou n kdy zna n ir ne ostatn (pokr vaj irok oblasti nep li pravd podobn ch hodnot). Vol me pak pro n n jakou rozumnou zastupuj c hodnotu, t eba Z 1 = a 1 ; (Z ; a 1 ) Z M = a M;1 +(a M;1 ; Z M;1 ), apod..3 Metoda maxim ln v rohodnosti V rohodnostn funkce je, zhruba e eno, pravd podobnost pozorovan ch dat x = x 1 ::: x n, p i dan hodnot parametru. ro spojit p pad je v rohodnostn funkce denov na jako L (x) =f X (x ): Je to tedy hustota odpov daj c realizovan hodnot n hodn ho vektoru X p i hodnot parametru. Obdobn L (x) = fx 1 = x 1 X = x ::: X n = x n g = (X = x ) pro diskr tn p pad. V p pad n hodn ho v b ru je tedy L (x) = Q n i=1 f(x i ) pro spojit, resp. Q (X i = x i ) pro diskr tn rozlo en pravd podobnosti. Uva ujme n hodn v b r z rozd len pravd podobnosti, kter m distribu n funkci F (x ), je nezn m parametr. MAXIM LN V ROHODN ODHAD. Jde o jednu z neju van j ch metod odhadu parametru. Za maxim ln v rohodn odhad parametru v r mci rozd len s distribu n funkc ff X (x )g p i nam en ch hodnot ch x = x 1 x ::: x n prohl s m tu hodnotu 0, pro kterou je v rohodnostn funkce L (x) maxim ln, tj. L (x) L 0 (x) pro v echna, neboli ^ = T n (x) =argmax fl (x)g: roto e log L m maximum v t m e bod jako L, bod maxima se prakticky hled e en m v rohodnostn rovnice d log L (x) =d = 0. V p pad v cerozm rn ho parametru jde 5

6 tedy o soustavu log L (x) j = 0, asto je nutn je e it iterativn, nap. Newtonov m algoritmem. Jde tedy o lohu optimalizace, ve slo it j ch p padechm e b t v ce lok ln ch maxim (tj. v ce e en v rohodnostn ch rovnic), c lem je naj t maximum glob ln. Vlastnosti maxim ln v rohodn ch odhad 1. Existuje-li ecientn odhad parametru, pak je jedin m e en m v rohodnostn rovnice.. Jestli e mno ina fx : f(x ) > 0g nez vis na, pak maxim ln v rohodn odhad je klady a) siln konzistentn, b) invariantn, tj. g(t n (x)) je rovn maxim ln v rohodn odhad pro parametrickou funkci g(), je-li tato jednozna n. c) Asymptoticky norm ln { rozd len n hodn veli iny p n(t n (X);)konverguje p i n!1k rozd len N(0 ), kde = f=()g ;1 =() je tak zvan Fisherova informace, ) =() =E =f(x )) Jako odhad =() se u v ; 1 D, kde D = n log L (x) k je matice druh ch derivac logaritmu v rohodnostn funkce, do kter nav c dosazujeme odhad. 1. Norm ln rozlo en. V rohodnostn funkce n-rozm rn ho n hodn ho v b ru je ny 1 p exp (; (x ) i ; ) : i=1 otom log L (X) ;n log ; n (X i ;) i=1. Chceme spo st odhady a. Vid me, e e en maximalizace p es nez vis na a je toto n s e en m metodou \nejmen ch tverc ", tj. min (Xi ; ), ^ n = X n (v b rov pr m r). D log L = ; n + (Xi ;), neboli 3 n = 1 (Xi ; ), pokud zn me. okud n ne, dosad me ^ n a dostaneme ^ n = 1 (Xi ; X n n ) = n;1 n s n (tj. nen to odhad zcela toto n s nestrann m odhadem s n).. Binomick rozlo en je vlastn sou et n i.i.d. n hodn ch veli in X i s rozd len m Bernoulliho (neboli alternativn m) s (X i =1)=p (X i =0)=1; p. L p (y) = (Y = y)= n! p y (1 ; p) n;y y log L p (y) = log n! + y log p +(n ; y)log(1 ; p): y 6

7 e en v rohodnostn log = y p ; n;y 1;p = 0 je z ejm ^p n(y) = y n. Lehce ov me, e jde o nestrann odhad p, nebo v me, e n hodn veli ina Y m EY = np atedye ^p n (Y )=np=n = p: p okud jde o asymptotickou normalitu, zn me ji u z aplikace CLV: plat, e rozd len n p^p n;p p(1;p) konverguje k N(0 1) rozd len p i n!1..4 Odhad distribu n funkce a hustoty Distribu n funkce n. v. X je denov na jako pravd podobnost jevu X < x, F (x) = (X < x). M jme n hodn v b r X 1 ::: X n z rozd len, kter m distribu n funkci F. ro ka d pevn x je F (x) vlastn parametrem binomick ho rozd len v skytu jevu X < x v n pokusech. Maxim ln v rohodn m odhadem F (x) je proto relativn etnost v skytu jevu fx i < xg, F n (x) = 1 n ni=1 1[X i < x], kde 1[] je indik torov funkce (tj. =1 pokud X i < x, =0 jinak). Tomuto odhadu se k empirick distribu n funkce { je to vlastn distribu n funkce pro "empirick " (napozorovan ) rozd len, kter by ka d realizovan hodnot (z n realizovan ch dat) p i adilo "pravd podobnost" 1=n. Jak je vid t, tato funkce je schodovit, po stech konstatn, spojit zleva, neklesaj c. Samoz ejm, proto e je sestrojena z n hodn ch veli in, je (pro ka d pevn x) F n (x) n hodn veli ina, a proto e vyjad uje relativn etnost, je to veli ina binomick, F n (x) Bi(n p = F (x)). Nejen e m (pro ka d pevn x) tyt dobr vlastnosti jako odhad parametru p v binomick m rozd len, ale nav c (pro spojit rozd len ) plat : D n = sup jf n (x) ; F (x)j ;! 0 s pravd podobnost 1: x T to vlastnosti lze vyu t k testu hypot zy o tom, e v b r poch z z rozd len s danou distribu n funkc. Tento postup je zn m jako test Kolmogorova{Smirnova (viz d le), kritick hodnoty jsou tabelov ny, test je b n sou st statistick ch program. D se n jak \empiricky" odhadnout i hustota spojit ho rozd len pravd podobnosti? M jme R a<bre ln, hustota (f) rozd len n. v. X ud v pravd podobnost (X (a b)) = b a f(x) dx. Kdy X 1 ::: X n je n hodn v b r, tj. nez visl kopie veli iny X,tutopravd podobnost samoz ejm nejl pe odhadneme op t relativn etnost v skytu fx i g v (a b). Odhadn me si \reprezentativn " hodnotu hustoty v(a b), tj. spokojme se s t m, e odhad bude konstanta v (a b). ak to tedy bude ^fa b (x) = 1 1[Xi (a b)]. okud rozd l me cel n b;a obor hodnot n. v. X na disjunktn intervaly a v ka d m z nich odhadneme pravd podobnost t mto zp sobem, dostaneme tzv. histogram, funkci po stech konstantn, se skoky na kraj ch zvolen ch interval. o normov n (aby plocha pod touto funkc byla dohromady 1) histogram pova ujeme za odhad hustoty rozd len pravd podobnosti. okud takto z skan "sloupe ky" budeme kumulovat (tj. s tat) zleva doprava, z sk me kumulativn histogram, kter (je-li normov n a tedy roste od 0 do 1) je odhadem distribu n funkce. B n ji se u v pro odhad hustoty tzv. j drov ho odhadu, kter d v u spojit odhad. Nech j dro W (x) je symetrick, nez porn funkce s R 1 ;1 W (x) dx = 1. Nech je W (x) > 0 jen na omezen m intervalu, i alespo je \mal " pro vysok hodnoty x, lim x!1 xw(x) ;! 0. J drov odhad hustoty f v bod x je f n (x) = 1 ni=1 X W i ;x bn b. arametrem b vol me \ ku okna" kolem bodu x.u vaj se nap klad j dra W (x) = 1 na 7

8 (;1 1) =0jinde, nebo W (x) =j1 ; xj na (;1 1) =0jinde, i standardn gaussovsk hustota W (x)= p 1 exp(; x ). i n!1 b = b n! 0tak,aby b n n!1,jetento odhad konzistentn m odhadem f(x) vbod x. Nap klad se vol b n = c=sqrt(n). ro dostate n hladkou f(x) a j drovou funkci s omezen m nosi em dostaneme zpravidla i glob ln konzistenci, R 1 ;1 E(f n (x) ; f(x)) dx ;! 0. V praxi n kdy b m n me pro r zn body x, abychom v \okn " [x ; b x + b] m li v dy zhruba stejn po et ( ekn me M) pozorov n. Tomu se pak k p stup s M-nejbli mi sousedy. Bayesovsk metoda odhadu Tato metoda je zalo ena na trochu jin m p stupu k informaci, kterou m me k dispozici. Z klad informace st le tvo data x-realizace n. v. X, a p edpokl dan znalost typu distribuce F (x), a na hodnotu. Ale m eme se na z klad zku enosti, n jak informace \odjinud", pokusit ohodnotit v rohodnost r zn ch hodnot. okud t to p edstav o v rohodnosti d me formu rozd len pravd podobnosti, m me apriorn rozd len pravd podobnosti pro v. Tak e, a parametr svou podstatou nen n hodn veli ina, my jej tak interpretujeme. Samoz ejm bychom si dok zali p edstavit situaci, kdy parametr n jak ho syst mu z vis na v stupu z jin ho syst mu, tj. kdy je hodnota parametru i objektivn v sledkem n jak ho n hodn ho d je. Jsme tedy v situaci, kdy n kter n. v. jsou pozorovateln (X), jin nepozorovateln (), a je mezi nimi ur it vztah. V t inou zn me tvar podm n n ho rozd len X p i dan m, dan distribu n funkc F (x). Uva ujme spojit p pad, hustotu k F (x) budeme zna- it f(xj), zvolenou hustotu apriorn ho rozd len ozna me g 0 (). ak sdru en rozd len (X ) m hustotu h(x ) =f(xj) g 0 (). Informace z skan daty x vede k aposteriorn mu rozd len pro, kter m hustotu g(jx) = f(xj)g 0() f (x) = h(x ) f (x) : Zde f (x) = R 1 ;1 h(x ) d je margin ln rozd len X, vzorec pro aposteriorn hustotu nen nic jin ho ne Bayes v vztah zn m z teorie pravd podobnosti. Je jasn vid t i dynamick prvek t to procedury: Dal \p sun" dat op t pooprav aposteriorn rozd len, kdy star aposteriorn se objev ve vzorci na m st apriorn ho. itom zpravidla s p ib v n m dat vliv dat na aposteriorn rozd len roste, vliv volby apriorn ho rozd len kles. okud chceme bodov odhad parametru, m eme vz t t eba E(jX = x), nebo modus (maximum hustoty) rozd len p i x. Bayesovsk intervalov odhad je takov, e pro zvolen (0 1) jeho doln a horn meze a b spl uj R b a g(jx) d =1;. Meze m eme tedy vz t jako doln a horn - kvantil aposteriorn ho rozd len. Zd lo by se, e p epo t v n hustot z apriorn na aposteriorn je numericky nesnadn kol. Ale p i n kter volb typu rozd len sta p epo tat jen hodnoty ur it ch parametr. Uva ujme n jak syst m G = fg () Ag hustot pro, jako apriorn zvolme g 0 () { pro n kterou hodnotu 0 A. Jestli e je aposteriorn hustota op t z G (s n jak m = (x) A), pak ekneme, e syst m G je konjugovan se syst mem F = ff(xj) g. Takto se zachov v typ, je-li nap klad G syst m gaussovsk ch hustot a F je tak syst m gaussovsk ch distribuc N ( )s zn m m. 8

9 V posledn dob se v r mci Bayesova p stupu pou v metodika, kter aposteriorn rozd len nepo t, ale m sto toho na z klad Bayesova vztahu po ta ov simuluje realizace veli iny, kter m (aspo p ibli n ) dan rozd len. Tyto metody byly p vodn vyvinuty v statistick fyzice a v oblasti rekonstrukce "za um n ch" obrazov ch i jin ch sign l. Dnes se jim dohromady k metody MCMC (od "Markov chain Monte Carlo", tj. simulovan Markovovy et zce), zkonkr tn ch algoritm jmenujme Gibbs v a Metropolis v{hastings v. 3 Intervalov odhady, z klad pro testy hypot z N hodn veli ina X nech m rozlo en prad podobnosti s distribu n funkc F (x ). Op t p edpokl dejme, e typ distribu n funkce je zn m, ale nezn m je hodnota parametru R 1. Denice: Intervalov odhad pro s koecientem spolehlivosti 1 ; ( (0 1)) je interval I(X)=hu D (X) u H (X)i takov, e pro ka d je fu D (X) u H (X)g 1 ; : Jin mi slovy, I(X)jeinterval n hodn, kter s pravd podobnost aspo 1; pokryje konstantn, danou, ale n m nezn mou hodnotu parametru. Ozna me-li x realizaci n hodn veli iny X, jei(x) interval { realizace n hodn ho intervalu I(X). Interval spolehlivosti (konden n interval) je intervalov odhad konstruovan pro testov n hypot z o hodnot parametru. Je op t sestrojen pomoc n jak statistiky T (X), tj. transformace n hodn veli iny X, nap klad T (X) m e b t bodov odhad. N kdy mno ina s t mito vlastnostmi nen intervalem, zejm na je-li parametr v cerozm rn, pak mluv me o oboru spolehlivosti. klad: Sestrojme konden n interval s koecientem spolehlivosti 1 ; pro parametr na z klad n-tice nez visl ch n hodn ch veli in X =(X 1 X ::: X n ) se stejn m norm ln m rozlo en m N( ). Jako bodov odhad pro pou ijeme v b rov pr m r X n = 1 nx X i : n V me, e n hodn veli ina Z = p X n n; m standardn norm ln rozlo en N(0 1). Nech u(=) je horn =-kvantil tohoto rozlo en, to znamen, e fz < ;u(=)g = i=1 fz >u(=)g = =. o dosazen za Z zjist me, e ( > Xn + u(=) ) p = (< n Xn ; p ) u(=) n = : Tak e I(X) = Xn ; p n u(=) Xn + p n u(=) je hledan konden n interval pro. Takov interval samoz ejm nen jedin, ale je zvykem u vat takov to \symetrick ". 9

10 V p kladu jsme vid li, e konden n interval vznikl pr nikem dvou interval, levostrann ho a pravostrann ho. Levostrann m 1 { intervalem spolehlivosti pro nazveme n hodn interval (s koecientem spolehlivosti 1 ; 1, I L (X)=(u D (X) 1) takov, e f I L (X)g 1 ; 1. ravostrann m {intervalem spolehlivosti pro nazveme n hodn interval I (X) = (;1 u H (X)) takov, e f I (X)g 1 ;. Oboustrann m 1 { intervalem spolehlivosti nazvu n hodn interval I(X)=I (X) \ I L (X): Koecient spolehlivosti je nyn 1 ; 1 ;. Jak jsme vid li i v p klad, v t inou se ale oboustrann IS sestrojuje "symetricky", tj. chceme-li dos hnout koef. spolehlivosti 1 ;, kombinujeme jednostrann IS, ka d s koef. spolehlivosti 1 ; =. V r mci p edchoz ho p kladu si te p edve me postup testov n hypot zy o st edn hodnot s pomoc p slu n ho intervalu spolehlivosti. edstavme si, e zn me, a o se domn v me, e by mohlo m t hodnotu 0. Test t to na hypot zy H 0 : = 0, proti alternativn hypot ze (alternativ ) H 1 : 6= 0 je zalo en pr v na intervalu spolehlivosti I(X). Ten je sestrojen tak, aby pravd podobnost, e 0 I(X), pokud 0 je "spr vn ", byla rovna 1;.Zvol me velmi mal (0.05., 0.01 apod.). Nech x = x 1 ::: x n jsou data, realizace n. veli in X 1 ::: X n, I(x) je pak "realizace" n hodn ho intervalu I(X). edstavme si, e 0 le mimo tento interval I(x). Neboli, kdyby platila hypot za H 0, nastal jev, jeho pravd podobnost (p i 0 skute n m) je nanejv, tj. jev, kter je velice m lo pravd podobn. Jin mi slovy, data neodpov daj hypot ze H 0. To je d vod k zam tnut H 0.Vopa n m p pad hypot zu nezam t me (nikoliv \p ij m me"). ro testov n t e hypot zy H 0 proti jednostrann alternativ (nap. proti > 0 )je test zalo en na jednostrann m intervalu spolehlivosti (zde na I L (X)). slo je hladina v znamnosti testu. rakticky test prov d me tak, e nezkoum me, zda 0 je mimo interval spolehlivosti, ale zda testov statistika (testov veli ina) Z = p n Xn; 0 padla do kritick ho oboru, v na em p pad tedy zda jzj >u(=){pakh 0 zam tneme. odobn, pro test H 0 proti > 0 je kritick m oborem pro Z interval (u() 1), H 0 zam tneme na hladin v znamnosti ve prosp ch alternativy > 0, padne-li Z do tohoto kritick ho oboru, tj. je-li Z >u(). Jak jsme vid li v kapitole o bodov ch odhadech, i mnoh dal odhady (nap klad maxim ln v rohodn ) b vaj po ur it transformaci alespo asymptoticky (p i n!1) rozd len jako standardn gaussovsk veli ina. Toho se d s v hodou vyu t pr v pro konstrukci (asymptotick ch, tj. p ibli n ch) interval spolehlivosti pro nezn m parametry a tedy i k test m hypot z o nich. Krom norm ln ho rozd len se v t to oblasti statistick anal zy uplat uj i dal typy distribuc, vznikl ch transformac norm ln distribuce. V pozad je skryta samoz ejm centr ln limitn v ta. A d vodem ke konstrukci oblast spolehlivosti je p edev m mo nost jejich vyu it k testov n hypot z. Standardn m metod m testov n hypot z bude v nov na cel dal kapitola. Zde jsme cht li na p klad uk zat podstatu postupu. ro test se sna me naj t vhodnou statistiku 10

11 T (x) (zde to byl odhad parametru ), a pak naj t takov kritick obor K,aby p i platnosti testovan hypot zy H 0 : bylo (T (X) Kj 0 ). T m omezujeme pravd podobnost chyby 1. druhu, chyby, e zam tneme spr vnou hypot zu. itom se sna me ud lat co nejmen i pravd podobnost chyby. druhu, tj. toho, e nezam tneme H 0, kdy spr vn nen. Silou testu nazveme funkci B() = (T (X) Kj), ili pravd podobnost zam tnut hypot zy ( 0 ), je-li skute n hodnota parametru. Z ejm tedy B( 0 ), elem je, aby B() rychle rostlo k 1sevzd lenost od hypotetick ho 0. 4 Neju van j statistick testy hypot z Nech X 1 X n je n hodn v b r (tj. vz jemn nez visl a stejn rozd len n hodn veli iny), p edpokl dejme, e jednotliv X i maj N( ) rozd len. Budeme pou vat z pisu X i N( ). 1. Test o st edn hodnot, p i zn m m { tento p pad jsme ji popsali v p edchoz kapitole. Testovac veli ina (testovac statistika, tj. funkce X 1 ::: X n pomoc kter se testuje) je U(X )= p n Xn;, kde X n = 1 n ni=1 X i. a) Testujme hypot zu H 0 : = 0 proti alternativn hypot ze (alternativ ) H 1 : 6= 0, na hladin - vol me mal, nej ast ji 0:05, tj. 5%. i H 0 je U(X 0 ) N(0 1), proto nezam t m H 0, je-li ;u( ) U(X 0) u( ) (zam t m v opa n m p pad ), kde u() tedy ozna uje horn -kvantil standardn ho norm ln ho rozd len N(0 1): b) Testujeme-li hypot zu H 0 : 0 proti H 1 : > 0, zam t m H 0 (na hladin ), je-li U(X 0 ) >u(). Je to tak proto, e skute n hodnota se projev v hodnot Xn, tak e > 0 vede k velk hodnot U. c) Obdobn, p i testu H 0 : 0 proti H 1 : < 0 hypot zu H 0 zam t m (na hladin ), je-li U(X 0 ) < ;u(). Hodnoty kvantil u (kter zde tedy p edstavuj kritick hodnoty pro testy) je t eba vyhledat v statistick ch tabulk ch (nebo spo tat).. t-testy, Studentovo rozd len pro test o, kdy nezn me. Op t p edpokl d me X i N( ). Nyn pou ijeme T = p n Xn; 0 s n, kde s n = (X i;x n) n;1 je odhad (nestrann ) nezn m ho. i H 0 : ( = 0 ) je pak veli ina T rozd lena podle rozd len t (n;1) { tak zna me Studentovo rozd len s n ; 1 stupni volnosti. a) H 0 zam t m na hladin v znamnosti, je-li T > t n;1 ( ) nebo < ;t n;1( ). Zde t n;1 () zna horn -kvantil Studentova rozd len s n ; 1stupnivolnosti. Tyto kvantily je tak pot eba naj t v statistick ch tabulk ch nebo je spo tat. OZOR: n kdy je t m () ozna eno a tabelov no tak, e (jt j > t m ()) =, (tak e vlastn ve skute nosti jde o t m ( ). V tabulk ch ( i ve v stupech z po ta ov ch procedur) je v dy naps no, jak hladiny se p slu n testt k. 11

12 b) H 0 :( 0 ) zam t m proti H 1 :(> 0 ), je-li T >t n;1 (). ro test 0 proti < 0 obdobn. ozn. okud je n velk (alespo n kolik des tek), pak ji je tento test bl zk testu 1., d k konzistenci odhadu s n pro. Lze jej pak tak pou t(d kc.l.v.) p ibli n i bez p edpokladu normality n.v.x i, nap klad v n sleduj c situaci: 3. Test o parametru p binomick ho rozd len Nech n.v. X je rozd lena podle Bi(n,p) rozd len, tj. popisuje nap. po et usp n ch pokus z n nez visle opakovan ch pokus, kdy pravd podobnost sp chu pro 1 pokus je p. Test H 0 : p = p 0 proti H 1 : p 6= p 0 : lat -li H 0, tak d k C.L.V. m veli ina U = p ibli n (asymptoticky, t.zn. v limit p i n! 1) N(0 1) rozd len. p X;np 0 np 0 (1;p 0 ) ro "p ibli nost" budeme pou vat z pisu U N(0 1). Znamen to, e test mohu pou t v p pad, e n je dostate n velk (aspo n kolik des tek). Z dat tedy spo tu hodnotu veli iny U a pak hypot zu H 0 zam t m na hladin (p ibli n ), jakmile je juj >u( ). i jednostrann m testu H 0 : p p 0 proti H 1 : p < p 0 zam t m H 0 na hladin, kdy U < ;u(). Obdobn, p i testu H 0 : p p 0 proti H 1 : p>p 0 zam t m H 0 na hladin, kdy U >u(). 4.1 orovn n dvou v b r M jme n hodn v b ry, chceme porovnat p slu n st edn hodnoty. 4. rov test. M jme v b ry stejn ho rozsahu, X 1 ::: X n z rozd len N( X X), Y 1 ::: Y n z rozd len N( Y Y ), nen nutn nez vislost X i na Y i. Naopak, asto se takto testuje v znamnost zm ny st edn hodnoty n jak veli iny u t ch e objekt, p ed a po n jak m z sahu. Chceme otestovat, zda je X = Y, p padn zda X = Y +. K tomu vytvo me veli iny Z i = X i ; Y i, kter odpov daj rozd len N ( Z = X ; Y Z)( Z zpravidla nezn me). A vlastn je na m kolem testovat hypot zu H 0 : Z = 0, nej ast ji pro 0 = 0. ostupujeme d le zcela podle p padu., tj. pou ijeme t-test a testovac veli inu T = q Z; (n) 0, kde s = 1 (Zi ; Z). s n;1 5. Dvouv b rov test Nech jenyn X 1 ::: X n N( X ) Y 1 ::: Y m N( Y ), ozna me = X ; Y. D le it m p edpokladem je vz jemn nez vislost i X i na Y i. Dal m p edpokladem je alespo p ibli n stejnost rozptyl v obou skupin ch. latnost tohoto p edpokladu lze otestovat F-testem (viz d le). h Xn;Y m; Testovac statistikajenyn T = nm i 1 s n m t n+m n+m; (tedy je rozd lena podle Studentova rozd len s n + m ; stupni volnosti), kde s n m = (X i ; X n ) +(Y i ; Y m ) : n + m ; 1

13 Zase testujeme bu = 0 proti 6= 0 nebo 0 proti > 0 apod., nej ast ji pro 0 =0. Kritick mi hodnotami pro test jsou tedy op t p slu n kvantily Studentova rozd len, tentokr t s n + m ; stupni volnosti. Nen -li spln n p edpoklad o stejn m rozptylu, je nutno k testov n stejn 'polohy' obou rozd len pou t jin testy, nap. test Wilcoxona, anebo pou t n kter z p ibli n ch procedur, nap klad n sleduj c : 6. ibli n dvouv b rov t-test. Spo t me nejd ve veli inu s = (s X=n + s Y =m) 1 kde s X = 1 (Xi ; Xn ), (n;1) s Y = 1 (Yj ; Ym ). K testu pou ijeme veli inu T = j X n; Y mj, kterou porovn me (m;1) s s t = (n;1)t n;1( )+(m;1)t m;1 ( ). m+n; Hypot zu H 0 : X = Y nyn zam tneme na hladin (p ibli n ), kdy budet >t. 7. Chi{kvadr t ( ) testy pro testov n hypot z o velikosti rozptylu. roto e velikost rozptylu je vlastn m rou pro p esnost a spolehlivost z v r o zji ovan veli in, je d le it m t k dispozici procedury pro takov to testov n. Je-li X i N( ), pak veli ina ni=1 (X C n (X )= i ; Xn ) = s n (n ; 1) m n;1 (chi-kvadr t s n ; 1 stupni volnosti) rozd len. To je op t tabelovan. Tak e nap klad v testu H 0 : 0 proti H 1 : > 0 hypot zu H 0 zam t m na hladin, je-li C n (X 0 ) > n;1 () { horn kvantil n;1 rozd len (proto e plat -li H 1, m s n-odhadnut z dat { tendenci b t v t ne hypotetick ). Obdobn, v testu H 0 : = 0 proti H 1 : 6= 0 H 0 zam t m na hladin, je-li C n (X 0 ) < n;1(=) (kde je doln kvantil) nebo je-li C n (X 0 ) > n;1 (=:) { horn = kvantil n;1 rozd len. 8. F -testy, Fisherovo rozd len. M jme, jako v situaci 5., nez visl n hodn v b ry X 1 ::: X n N( X X) Y 1 ::: Y m N( Y Y ). n Ozna me s i=1 X = (X m i;x n) s i=1 n;1 Y = (Y i;y m). m;1 ak, pokud X = Y, je n hodn veli ina F (X Y) = s X s Y tj. F - rozd len s n ; 1am ; 1 stupni volnosti. roto (mimo jin ) se F -testy pou vaj na test orovnosti rozptyl : rozd lena jako F n;1 m;1 Testujme tedy hypot zu H 0 ( X = Y ) proti H 1 ( X 6= Y ). H 0 na hladin nezam t me, je-li Fn;1 m;1(=) s X =s Y F n;1 m;1 (=), kde F(n;1 m;1)() je doln kvantil F n;1 m;1 rozd len, F () jehorn kvantil. V opa n m p pad H 0 zam tneme. lat F r s ()=1=F s r (1 ; ), proto tabulky b vaj jen pro 0:5 a doln kvantily si z nich m eme lehce odvodit. 13

Zpracov n v decko v zkumn ch dat trubka Znojil zpracoval Ale K enek nor duben 1995 Obsah 1 Z kladn pojmy 1 2 Momenty a rozd len 1 3 Testovac krit ria 2 4 Optimalizace 2 5 Anal za variance 3 6 Zp tn anal

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

MATEMATIKA Jak matematika se ukr v v pra sk m orloji? MICHAL K EK { LAWRENCE SOMER { ALENA OLCOV Matematick stav AV R, Praha { Stavebn fakulta VUT, Praha 1. vod Pra sk orloj vznikl v dob mistra Jana Husa

Více

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY

Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického

Více

Line rn algebra II podle p edn ek prof. Franti ka ika Sazbu v L A TEXu p ipravil Du an Dobe Obsah Diagonalizovatelnost matic 2 Symetrick transformace 4 3 Hermitovsk matice a kongruentnost 5 4 Pozitivn

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Modernizace výuky v rámci odborných a všeobecných p edm t st ední školy. íslo projektu: CZ.1.07/1.1.10/01.0021 P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Tyto p ípravy na hodinu jsou spolufinancovány Evropským sociálním

Více

Obsah. Pouºité zna ení 1

Obsah. Pouºité zna ení 1 Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního

Více

MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM PROGRAMEM SLUNÍČKO

MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM PROGRAMEM SLUNÍČKO UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra speciální pedagogiky RADKA BENEŠOVÁ III. roč ník prezenč ní studium obor: speciální pedagogika př edškolního vě ku MANUÁL PRO PRÁCI S POČÍTAČOVÝM

Více

Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy

Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy Aplika ní doložka KA R Ov ování výro ní zprávy ke standardu ISA 720 ODPOV DNOST AUDITORA VE VZTAHU K OSTATNÍM INFORMACÍM V DOKUMENTECH OBSAHUJÍCÍCH AUDITOVANOU Ú ETNÍ ZÁV RKU Aplika ní doložku mezinárodního

Více

GEODÉZIE ENGINEERING s.r.o. Mezinár.výzkumné laserové centrum ELI Hrdlo ezská 21/31, 19000 Praha 9, tel: +420 284 810 346

GEODÉZIE ENGINEERING s.r.o. Mezinár.výzkumné laserové centrum ELI Hrdlo ezská 21/31, 19000 Praha 9, tel: +420 284 810 346 GEODÉZIE ENGINEERING s.r.o. Mezinár.výzkumné laserové centrum ELI Hrdlo ezská 21/31, 19000 Praha 9, tel: +420 284 810 346 Dolní B ežany email: geopraha@geopraha.cz, web: www.geopraha.cz Projekt m ení posun

Více

O jednom mučedníkovi nebo mučednici

O jednom mučedníkovi nebo mučednici 1. nešpory spočné texty O dnom mučedníkov nebo mučednc Jkub Pvlík 1. nt. - VI.F (Žlm 118-I.II) já Ke kž dé mu, př znám před svým kdo cem v neb. ke mně j. př zná před ld m, 2. nt. - VI.F (Žlm 118-III) ž

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ.

POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ. POPIS FUNKČNOSTI SYSTÉMU MALOOBCHODNÍ I VELKOOBCHODNÍ SÍTĚ PRODEJEN POTRAVIN, LAHŮDEK, RYB, OBUVÍ, TEXTILU, NÁBYTKU A DALŠÍCH PROVOZŮ. POPIS SYSTÉMU: NA ÚSTŘEDÍ FIRMY NEBO NA PRONAJATÉM SERVERU JE NAINSTALOVANÝ

Více

15. Nic nejde vzít zpět Sextet: Katarina, Carmen, Aunt Inez, Garcia, Mayor, Jose

15. Nic nejde vzít zpět Sextet: Katarina, Carmen, Aunt Inez, Garcia, Mayor, Jose h=72 Em(add2) 15. Nic nejde vzít zpět Sextet: Katarina, Carmen, Aunt Inez, Garcia, Mayor, Jose 5 Em(add2) JOSE 9 D7 1 Am(add2) CARMEN Tennáh- lý zvrat tennáh - lý pád když lás Už nik - ka své o - tě -

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA. Obce Plavsko. O fondu rozvoje bydlení

OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA. Obce Plavsko. O fondu rozvoje bydlení OBECN ZÁVAZNÁ VYHLÁ KA Obce Plavsko O fondu rozvoje bydlení. 7/2000 V Y H L Á K A.7/2000 Obce Plavsko O fondu rozvoje bydlení Obecní zastupitelstvo v Plavsku schválilo dne 21.7.2000 tuto obecn závaznou

Více

Finan ní ízení projekt

Finan ní ízení projekt Finan ní ízení projekt Jaká témata budou probrána v rámci prezentace: Jak pracovat s rozpo tem projektu Jak sledovat harmonogram projektu Jak na finan ní plán projektu Zdroje informací P íru ka pro adatele

Více

Výstupy ze sch zky rodi a u itel dne 30.8.2011

Výstupy ze sch zky rodi a u itel dne 30.8.2011 Výstupy ze sch zky rodi a u itel dne 30.8.2011 Sch zky se zú astnilo 7 zástupc rodi, len KRPŠ, paní editelka, celý pedagogický sbor mimo jedné u itelky a paní vychovatelka družiny. P vodní plán byl, aby

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

- 1 - Statut pro ud lení ocen ní "TOP VÍNO SLOVÁCKA"

- 1 - Statut pro ud lení ocen ní TOP VÍNO SLOVÁCKA - 1 - Statut pro ud lení ocen ní "TOP VÍNO SLOVÁCKA" VIII. ro ník 2015 - Slovácko, Zlínský kraj Ocen ní výrobku z odv tví zem d lství a potraviná ství Okresní agrární komora pro okres Uh. Hradi t a Zem

Více

Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání

Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání Základní kola pro t lesn posti ené, Opava, Dostojevského 12 Pravidla pro hodnocení výsledk vzd lávání (sou ást VP kola pro ivot, dodatek k 1. 9. 2012) A/ Pravidla pro hodnocení a klasifikaci ák Z Hodnocení

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

l. 1 Úvodní ustanovení

l. 1 Úvodní ustanovení OBEC V EMYSLICE Obecn závazná vyhlá ka. 1 / 2015 o stanovení systému shroma ování, sb ru, p epravy, t íd ní, vyu ívání a odstra ování komunálních odpad a nakládání se stavebním odpadem na území obce V

Více

kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola )

kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola ) kolní ád Mate ské koly, sou ásti Základní koly Bílá 1, Praha 6 (dále jen mate ská kola ) kolní ád d sledn vychází ze zákona. 561/2004 Sb., o p ed kolním, základním, st edním, vy ím odborné a jiném vzd

Více

Prohlá š ení o shode a informace o vý robku

Prohlá š ení o shode a informace o vý robku Prohlá ení o shode a informace o vý robku CSN EN 14471 Systé mové komí ny s p lastový mi vlo kami Po adavky a zku ební metody Edited by Foxit PDF Editor For Evaluation nly. Informace o vý robci: znacení

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Projektový tým, indikátory, aktivity projektu, harmonogram. Seminá PAAK ízení projekt

Projektový tým, indikátory, aktivity projektu, harmonogram. Seminá PAAK ízení projekt Projektový tým, indikátory, aktivity projektu, harmonogram Seminá PAAK ízení projekt Projektový tým Kvalitní projektový tým - základem pro úsp ch ka dého projektu Návrh týmu v p ípravné fázi s ohledem

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

j^ SPP 0 j = j^ SP 0 T j. Odtud plyne, e 3 j^spp 0 j = j^sp 0 Qj. Ze soum rnosti sdru en ch hl kone n plyne ' = j^ SPQ 0 j = j^ SP 0 Qj, tedy = 1 3 '. Jak jsme d ve zd vodnili, tato konstrukce nem e b

Více

EHLED OSV za rok 2013 vykonávajících pouze hlavní SV

EHLED OSV za rok 2013 vykonávajících pouze hlavní SV Zadání pro programátory ehled o p íjmech a výdajích OSV za rok 2013, i nasazení verze zpracující p ehled o p íjmech a výdajích za rok 2013 upozornit na projetí dávkového programu v N_UDRZBA pro vy len

Více

Návod pro vzdálené p ipojení do sít UP pomocí VPN pro MS Windows 7

Návod pro vzdálené p ipojení do sít UP pomocí VPN pro MS Windows 7 Návod pro vzdálené p ipojení do sít UP pomocí VPN pro MS Windows 7 1. Úvod nezbytné kroky ne se p ipojíte 2. Jak si vytvo it heslo 3. Nastavení VPN p ipojení pro Windows 7 1. Úvod Slu ba VPN umo uje vstoupit

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

U ivatelská p íru ka

U ivatelská p íru ka U ivatelská p íru ka k eearth aplikaci pro prohlí ení vrt a dal ích geologicky dokumentovanýc h objekt z databáze GDO v informa ním systému GS-Geofondu ( íjen 2008) eearth systém umo uje u ivatel m prohlí

Více

INFORMATIKA Soustavy line rn ch rovnic a po ta e ANTON N JAN A K Pedagogick fakulta UK, Praha vod e en soustav line rn ch rovnic pat mezi lohy, s nimi se seznamuj ci ji na z kladn ch kol ch. N sledn na

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

... 4. 1 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í ..4 V O Š...

... 4. 1 P Ř I J Í M A C Í Ř Í Z E N Í ..4 V O Š... 2 0 1 2 / 2 01 V ý r o č n í z p r á v a o č i n n o s t i š š k o l n í k r2o0 1 2 / 2 01 Z p r a c o v a l : I n g. P e t r a M a n s f e l d o v á D o k u m e n t : I I V O S / I / S M 9 8 8 S c h v

Více

PO ÁRNÍ ÁD OBCE BLUDOV

PO ÁRNÍ ÁD OBCE BLUDOV Obecn závazná vyhlá ka obce Bludov íslo 3 /2003 Obec Bludov na základ usnesení zastupitelstva obce ze dne 29.9.2003, podle 29 odst. 1 písm. O) bod 1. zákona. 133/1985 Sb. o po ární ochran, ve zn ní pozd

Více

stránka 1 celkem 40 - ob anská sdružení po 1. 1. 2014

stránka 1 celkem 40 - ob anská sdružení po 1. 1. 2014 stránka 1 celkem 40 - ob anská sdružení po 1. 1. 2014 stránka 2 celkem 40 zákon. 83/1990 Sb. o sdružování ob an ve zn ní pozd jších p edpis - zvláštní zákon (má p ednost p ed OZ) zákon. 40/1964 Sb. ob

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

MANDÁTNÍ SMLOUVU dle 566 a násl. obchodního zákoníku (dále jen smlouva )

MANDÁTNÍ SMLOUVU dle 566 a násl. obchodního zákoníku (dále jen smlouva ) Ní e uvedeného dne, m síce a roku uzav ely svazek obcí Povodí Berounky se sídlem Nám. Republiky 1, Plze, 306 32 I : 75042860 zaps. v registru svazku obcí vedeném Krajským ú adem Plze ského kraje zast.

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI

PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI PRŮZKUM MEZI OBCHODNÍMI A MARKETINGOVÝMI ŘEDITELI Tyto výsledky jsou určeny pouze pro respondenty průzkumu a je zakázáno jejich šíření jakoukoliv formou bez souhlasu společnosti Innovative Business s.r.o.

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Zp soby sledování pohybu zraku

Zp soby sledování pohybu zraku Mechanické metody Zp soby sledování pohybu zraku Mgr. Jeroným Klimeš DIMAR s.r.o. 200 P esné monitorování zraku se objevilo po válce, kdy se pokusné osob na rohovku oka nalepilo malé zrcátko, na které

Více

1) CHCEME, ABY RADNICE - M

1) CHCEME, ABY RADNICE - M petice-za-zmenu-pravidel_050509.doc PETICE A POŽADAVKY ob an M stské ásti Praha 3 za zm nu pravidel prodeje byt ve IV. etap privatizace byt a na podporu prohlášení Ob anského sdružení ŽIŽKOV (NEJEN) SOB

Více

Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009

Prezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 Prezentace Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 1 OBSAH OBSAH Obsah 1 Úvodní slovo 3 2 P íprava prezentace 4 2.1 Jak prezentace ned lat........................ 4 2.1.1 Kontrast písma a pozadí...................

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Nové zdravotnické registry jako součást konceptu ehealth

Nové zdravotnické registry jako součást konceptu ehealth Nové zdravotnické registry jako součást konceptu ehealth Michal Opatřil ICZ a. s. Michal Opatřil ICZ a.s. 2012 www.i.cz 1 Zdravotní registry v C R bud me na ne hrdí FAKTA Souc a st NZIS (Na rodního zdravotnicke

Více

STANOVY SPOLE ENSTV VLASTN K BYTOV CH JEDNOTEK PRO DOMY JEREVANSK. P. 1064, 1065, 1066 A 1067, PRAHA 10 - VR OVICE

STANOVY SPOLE ENSTV VLASTN K BYTOV CH JEDNOTEK PRO DOMY JEREVANSK. P. 1064, 1065, 1066 A 1067, PRAHA 10 - VR OVICE STANOVY SPOLE ENSTV VLASTN K BYTOV CH JEDNOTEK PRO DOMY JEREVANSK. P. 1064, 1065, 1066 A 1067, PRAHA 10 - VR OVICE ST PRVN V EOBECN USTANOVEN l. I. Z kladn ustanoven (1) Spole enstv vlastn k bytov ch jednotek

Více

OBSAH 1 } w!"#$%&'()+,-./012345

Více

Odpov di na dotazy uchaze k ve ejné zakázce. 59/2012-17-27. Digitalizace dokumentace Léka ské posudkové služby SSZ, vyt žování a konsolidace dat

Odpov di na dotazy uchaze k ve ejné zakázce. 59/2012-17-27. Digitalizace dokumentace Léka ské posudkové služby SSZ, vyt žování a konsolidace dat Kde nalezneme barevn rozlišené druhy dokument ke zpracování, ovšem k dispozici máme pouze b dokumenty p ílohy.1. Myslíte si, že bych Vás mohl poprosit o barevnou p ílohu.1.? edm tem pln ní je pouze ernobílé

Více

Ergodické Markovské et zce

Ergodické Markovské et zce 1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme

Více

ZNALECKÝ POSUDEK . 3254/08. O cen nemovitostí zapsaných na LV. 552 pro katastrální území Podskalí II, obec Klu enice, okres P íbram.

ZNALECKÝ POSUDEK . 3254/08. O cen nemovitostí zapsaných na LV. 552 pro katastrální území Podskalí II, obec Klu enice, okres P íbram. ZNALECKÝ POSUDEK. 3254/08 O cen nemovitostí zapsaných na LV. 552 pro katastrální území Podskalí II, obec Klu enice, okres P íbram. Objednatel posudku: Ú el posudku: Mgr. Martin Slavata soudní exekutor

Více

Vzd lávací oblast: Volitelné p edm ty - Um ní a kultura Vyu ovací p edm t: Výtvarná tvorba

Vzd lávací oblast: Volitelné p edm ty - Um ní a kultura Vyu ovací p edm t: Výtvarná tvorba Vzd lávací oblast: Volitelné p edm ty - Um ní a kultura Vyu ovací p edm t: Výtvarná tvorba Charakteristika p edm tu Vzd lávací obsah: Základem vzd lávacího obsahu p edm tu Výtvarná tvorba je vzd lávací

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

FINANČNÍ MODELY. Koncepty, metody, aplikace. Zdeněk Zmeškal, Dana Dluhošová, Tomáš Tichý

FINANČNÍ MODELY. Koncepty, metody, aplikace. Zdeněk Zmeškal, Dana Dluhošová, Tomáš Tichý FINANČNÍ MODELY Koncepty, metody, aplikace Zdeněk Zmeškal, Dana Dluhošová, Tomáš Tichý Recenzenti: Jan Frait, ČNB Jaroslav Ramík, SU v Opavě Autorský kolektiv: Zdeněk Zmeškal vedoucí autorského kolektivu,

Více

Pomáháme uskute ovat Vaše obchodní sny.

Pomáháme uskute ovat Vaše obchodní sny. Pojišt ní D&O Allianz Protect Pomáháme uskute ovat Vaše obchodní sny. Pojišt ní D&O poskytuje pojistnou ochranu p ipravenou na míru len m výkonného vedení spole nosti. Kdekoliv na sv t. Allianz - stojíme

Více

GRAPE SC IPTV. více než televize

GRAPE SC IPTV. více než televize GRAPE SC IPTV více než televize Uz ivatelska pr i rucka TELEVIZE IPTV je digita lni televize, ktera je vzdy o krok napred. Tato televize Va m prina s i nadstandartni funkce a ten nejve ts i komfort pri

Více

Co postrádají absolventi eských vysokých škol v praxi aneb co nám škola nedala

Co postrádají absolventi eských vysokých škol v praxi aneb co nám škola nedala Co postrádají absolventi eských vysokých škol v praxi aneb co nám škola nedala Pr zkumy a ankety provedené v posledních letech jak mezi zam stnavateli, tak mezi absolventy vysokých škol shodn ukazují,

Více

JukeboxPlus v6 SETUP

JukeboxPlus v6 SETUP 1 Setup 2 P ehrávání skladeb 3 Nastavení kredit 4 Vizualizace, Ovládání 5 R zné 6 Vzhled 7 Staristika reklam JukeboxPlus v6 SETUP 1 Setup POZOR: Po provedení ve kerých zm n v nastavení je doporu eno program

Více

Sm rnice o pracovní dob

Sm rnice o pracovní dob Sm rnice o pracovní dob Pracovní doba je op t na po adu jednání a Evropská komise pravd podobn zve ejní nové návrhy na související sm rnici za átkem roku 2015. Dopady na EPSU a její lenské organizace budou

Více

VNIT NÍ SM RNICE 1)PRO ZADÁVÁNÍ NABÍDKOVÝCH ÍZENÍ 2)PRO EVIDENCI A ZADÁVÁNÍ VE EJNÝCH ZAKÁZEK MALÉHO ROZSAHU

VNIT NÍ SM RNICE 1)PRO ZADÁVÁNÍ NABÍDKOVÝCH ÍZENÍ 2)PRO EVIDENCI A ZADÁVÁNÍ VE EJNÝCH ZAKÁZEK MALÉHO ROZSAHU VNIT NÍ SM RNICE 1)PRO ZADÁVÁNÍ NABÍDKOVÝCH ÍZENÍ 2)PRO EVIDENCI A ZADÁVÁNÍ VE EJNÝCH ZAKÁZEK MALÉHO ROZSAHU OBEC TY KOLY ÁST I Úvodní ustanovení LÁNEK 1 edm t úpravy Tato sm rnice upravuje zp sob a postup

Více

Všeobecné obchodní podmínky pro předplatné Literárních novin vydavatelství Litmedia, a.s.

Všeobecné obchodní podmínky pro předplatné Literárních novin vydavatelství Litmedia, a.s. Všeobecné obchodní podmínky pro předplatné Literárních novin vydavatelství Litmedia, a.s. 1. Obecná ujednání 1.1. Tyto V eobecné obchodní podmínky pro dodávku ti t ných periodik formou p edplatného upravují

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

LIDSKÉ ZDROJE V ČESKÉ REPUBLICE

LIDSKÉ ZDROJE V ČESKÉ REPUBLICE LIDSKÉ ZDROJE V ČESKÉ REPUBLICE Zpracováno s podporou programu Evropské unie Phare Ústav pro informace ve vzdělávání Národní vzdělávací fond 1999 Autorský tým: Pavla Burdová, Sociologick stav Akademie

Více

Statistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omyl a lží

Statistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omyl a lží Statistické metody - nástroj poznání a rozhodování anebo zdroj omyl a lží Doc. RNDr. Zden k Karpíšek, CSc. Motto: Jsou t i druhy lží: lži, odsouzeníhodné lži a statistiky. Od v dy o státu a hazardních

Více

historická okna a dve e poctivá ká okna a dve e s adicí o oku 1926

historická okna a dve e poctivá ká okna a dve e s adicí o oku 1926 historická okna a dve e poctivá ká okna a dve e s adicí o oku 1926 Pono te se do velkoleposti minulosti, která o ívá ve paletových oknech a historických dve ích. Tato díla starých truhlá ských mistr zdobí

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Jazykový rozbor 2 - ešení

Jazykový rozbor 2 - ešení Jazykový rozbor 2 - ešení Varianta A hem okupace se mnozí ob ané podíleli na protifašistickém odboji, který vyjad oval jejich bytostný odpor v i fašismu. (všechny následující úkoly se týkají tohoto souv

Více

Partnerský program spole nosti ABBYY pro eskou republiku a Slovensko 1

Partnerský program spole nosti ABBYY pro eskou republiku a Slovensko 1 Partnerský program spole nosti ABBYY pro eskou republiku a Slovensko Úrovn partnerství ABBYY je partnersky orientovanou spole ností a používá dvoustup ový model partnerství. Partner m že být bu prodejcem,

Více

ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA

ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA VE EJNÁ NABÍDKA POZEMK UR ENÝCH K PRODEJI PODLE 7 ZÁKONA. 95/1999 Sb., O PODMÍNKÁCH P EVODU ZEM D LSKÝCH A LESNÍCH POZEMK Z VLASTNICTVÍ STÁTU NA JINÉ OSOBY, VE ZN NÍ POZD JŠÍCH P EDPIS (DÁLE JEN ZÁKON

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat

Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Stručný úvod do vybraných zredukovaných základů statistické analýzy dat Statistika nuda je, má však cenné údaje. Neklesejme na mysli, ona nám to vyčíslí. Z pohádky Princové jsou na draka Populace (základní

Více

Sm rnice rady m sta. 2 /2014 Metodika zadávání ve ejných zakázek malého rozsahu

Sm rnice rady m sta. 2 /2014 Metodika zadávání ve ejných zakázek malého rozsahu Sm rnice rady m sta. 2 /2014 Metodika zadávání ve ejných zakázek malého rozsahu Zpracoval Vydal Ji í Rangl Rada m sta Planá nad Lu nicí Po et stran 12 Po et p íloh 8 Schválil Originál ulo en Elektronická

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Projekt je obvykle iniciován z d vodu dodržení sou asné i budoucí úrovn výroby,

Projekt je obvykle iniciován z d vodu dodržení sou asné i budoucí úrovn výroby, 164 Pr b h a a ízení investi ního procesu v eské rafinérské, a.s. a.s. Ing. Ing. Josef Josef Sváta, eská rafinérská a.s., O. Wichterleho 809, 278 52 52 Kralupy nad nad Vltavou, tel.:+420 315 718 605, e-mail:

Více

NÁVRH KONCEPCE DAL ÍHO ROZVOJE ARCHIVU BEZPE NOSTNÍCH SLO EK S VÝHLEDEM NA P TILETÉ OBDOBÍ ANTONÍN KOSTLÁN

NÁVRH KONCEPCE DAL ÍHO ROZVOJE ARCHIVU BEZPE NOSTNÍCH SLO EK S VÝHLEDEM NA P TILETÉ OBDOBÍ ANTONÍN KOSTLÁN NÁVRH KONCEPCE DAL ÍHO ROZVOJE ARCHIVU BEZPE NOSTNÍCH SLO EK S VÝHLEDEM NA P TILETÉ OBDOBÍ ANTONÍN KOSTLÁN P edkládaný návrh koncepce dal ího rozvoje Archivu bezpe nostních slo ek (ABS) s výhledem na dobu

Více

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing

Direct emailing na míru Emailing podle kategorií Traffic pro váš web Databáze firem SMS kampaně Propagace přes slevový portál Facebook marketing I N T E R N E T O V Ý M A R K E T I N G e f e k t i v n í a c í l e n ý m a r k e t i n g p r o f e s i o n á l n í e m a i l i n g š p i č k o v é t e c h n i c k é z á z e m í p r o p r a c o v a n é

Více

PROV ENÍ PRODEJE SPOLE NOSTI I&C ENERGO

PROV ENÍ PRODEJE SPOLE NOSTI I&C ENERGO MANA ERSKÉ SHRNUTÍ ZÁV EXTERNÍHO PROV ENÍ 14.10.2013 Michaela Chaloupková Externí prov ení divestice spole nosti I&C Energo, a.s. (dále jen ICE ) uskute nila spole nost KPMG eská republika, s.r.o. (dále

Více

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE. Zpracování generel a pasportizace areál ve správ KSS LK

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE. Zpracování generel a pasportizace areál ve správ KSS LK ZADÁVACÍ DOKUMENTACE podle zákona. 137/2006 Sb., o ve ejných zakázkách, v platném zn ní (dále jen zákon) v rámci zjednodu eného podlimitního ízení pro ve ejnou zakázku na slu by: Zpracování generel a pasportizace

Více

Znalecký posudek. Záv re né zprávy firmy SaNo CB s.r.o.

Znalecký posudek. Záv re né zprávy firmy SaNo CB s.r.o. Znalecký posudek Záv re né zprávy firmy SaNo CB s.r.o. Monitoring obsahu As, Cr, Ni v zeminách a podzemní vod v prostoru pískovny H rka u Plané nad Lu nicí Brno, duben 2011 ZNALECKÝ POSUDEK. 044 02/2011

Více

Otavský Plamínek projekt (spolu)práce s d tmi

Otavský Plamínek projekt (spolu)práce s d tmi Otavský Plamínek projekt (spolu)práce s d tmi Otavský Plamínek - tak se nazývá projekt, který v roce 2008 zahájil Hasi ský záchranný sbor Jiho eského kraje, územní odbor Strakonice (dále jen HZS Strakonice).

Více

SPOLUJÍZDA VE VAŠÍ SPOLE NOSTI

SPOLUJÍZDA VE VAŠÍ SPOLE NOSTI SPOLUJÍZDA VE VAŠÍ SPOLE NOSTI Proto e Vy víte, e jsou velice nákladné na provo Šet et votní prost edí Sní ení stresu a zlepšení vzt Redukce pr kováním Menší pot kovacích míst, znamená v dy úsporu jak

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Stroj na peníze. Námitky. I. díl. a jak na n IVO TOMAN. Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz

Stroj na peníze. Námitky. I. díl. a jak na n IVO TOMAN. Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Stroj na peníze I. díl Námitky a jak na n IVO TOMAN Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1 Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 3 jx 1 4 j+2 = 5 + 4 sin 2x: Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj.

Více

Metodika zp sobilých výdaj Monitorovací zprávy. Finan ní ízení

Metodika zp sobilých výdaj Monitorovací zprávy. Finan ní ízení Metodika zp sobilých výdaj Monitorovací zprávy Finan ní ízení OBSAH 1. Metodika zp sobilých výdaj Zdroj informací: P íloha. 8 PP P Metodika zp sobilých výdaj pro ROP SV 2. Monitorovací zprávy Zdroj informací:

Více