Fázová charakteristika femtosekundových impulzov a jej vplyv na dvojfotónovú fluorescenciu

Transkript

1

2

3

4

5 Attila GAÁL Fakulta matematiky fyziky a iformatiky UK Bratislava Igác BUGÁR Duša VELIČ Medziárodé laserové cetrum Bratislava Fratišek UHEREK Medziárodé laserové cetrum a Katedra mikroelektroiky FEI STU Bratislava Fázová charakteristika femtosekudových impulzov a jej vplyv a dvojfotóovú fluoresceciu Táto práca sa zaoberá diagostikou fázovej charakteristiky femtosekudových laserových impulzov a jej ovplyvňovaím pre zväčšeie elieáreho optického sigálu Predstavujeme jedoimpulzú techiku komplexej diagostiky SPIDER pracujúcu a báze iterferecie v spektrálej oblasti Fázová charakteristika vyšetrovaých impulzov bola ovplyvňovaá pomocou mimorezoátorovej dvojhraolovej sústavy Bolo ukázaé že zmea fázovej charakteristiky femtosekudových excitačých impulzov vedie k zmee itezity dvojfotóovej fluorescecie kumaríu C5 v etaole ÚVOD Laserové impulzy ktorých dĺžka je v oblasti piko- alebo femtosekúd (fs) azývame ultrakrátkymi impulzmi Majú široké využitie v elieárej optike apríklad pri frekvečej koverzii pri stimulovaých a viacfotóových procesoch alebo pri elieárej optickej spektroskopii Vďaka fs laserovým impulzom sa otvorili ové horizoty aj pre časovo rozlíšeú spektroskopiu Molekuláre vibrácie sa odohrávajú a tejto časovej škále a práve preto fs laserové impulzy poskytujú možosť iicializovať sledovať a koherete riadiť veľmi rýchle molekuláre procesy [] Kohereté riadeie (Coheret Cotrol) zameá iterakciu svetla s materiálom tak krátko po jeho excitácii že vlová fukcia excitovaej molekuly iterferuje s riadiacim impulzom Historicky prvé pokusy koheretého riadeia boli zameraé a zvýšeie fluorescečej itezity [] Skúmala sa fluorescecia molekuly jódu po trojfotóovej absorpcii fs excitačých impulzov Bolo ukázaé že pri koheretej iterakcie svetla s materiálom hrá dôležitú úlohu iele dĺžka ale aj fázová charakteristika použitých excitačých impluzov Na základe teoretických výpočtov bolo zisteé že časová závislosť frekvecie ideálych impulzov by mala mať klesajúcu tedeciu Laserom idukovaá fluorescecia molekuly jódu potvrdila teóriu kedže sa získala itezívejšia fluorescecia pri použití excitačého impulzu s klesajúcou frekveciou v čase [] Na zvýšeie účiosti chemických reakcií sa des používajú amplitúdovo a fázovo tvarovaé impulzy [4] Progresívy smer koheretého riadeia reprezetujú práce [5 6] kde ajmä zavedeie kladej spätej väzby do procesu tvarovaia impulzov sľubuje ádejú cestu vývoja v sytéze ových materiálov Kladá spätá väzba zameá že sa apr sledujú produkty reakcie hmotostým spektrometrom a výsledky sú použité a tvarovaie alebo modulovaie impulzov ktoré iteragujú s východiskovými látkami S týmto spôsobom sa dá veľmi účie zvýšiť výťažok študovaých reakcií Metóda bola úspeše aplikovaá aj pre zvýšeie elieáreho optického sigálu apríklad pri geerácie vysokých harmoických frekvecií v plyoch [7] alebo pri dvojfotóovej fluorescecii roztoku farbív [8] Komplexá časová závislosť elektromagetického poľa ultrakrátkeho impulzu sa dá opísať pomocou vzťahu () t A() t kde A(t) je amplitúda w je kruhová frekvecia t je čas k je vlový a r je priestorový vektor a j je fáza Prvé diagostické techiky boli zameraé výluče a meraie amplitúdovej obálky A(t) impulzov Vo všeobecosti však časová závislosť fázy resp frekvecie impulzov emusí byť koštatá V prípade mootóej frekvečej zmey hovoríme o chirp impulze ktorý vzike apríklad pri kvadratickej závislosti fázy od času j (t) = ±Rt () V prípade keď R > frekvecia impulzu sa zväčšuje v čase hovorí sa o kladom chirp a v prípade R < o záporom chirp impulze Určiť fázovú charakteristiku impulzov ie je triviále lebo perióda oscilácie elektromagetického poľa pri 8 m je iba 6 fs Keďže elektroickými prístrojmi sa už edajú sledovať fs itervaly boli vyviuté optické techiky a realizáciu meraí fázovej charakteristiky fs impulzov Patrí sem apríklad techika SPIDER (Spectral phase iterferometry for direct electric-field recostructio) ktorá pracuje v spektrálej oblasti a časové charakteristiky sú získaé pomocou Fourierovej trasformácie [9] V tejto práci predstavujeme komplexú (amplitúdovo-fázovú) diagostiku fs laserových impulzov pomocou techiky SPIDER Ukážeme ako bola fázová charakteristika fs impulzov ovplyvňovaá pomocou dvojhraolovej sústavy Experimetále výsledky poukazujú a závislosť medzi fázovou charakteristikou excitačých impulzov a itezitou elieáreho optického sigálu dvojfotóovej fluorescecie AMPLITÚDOVÁ A FÁZOVÁ DIAGNOSTIKA Problém diagostiky ultrakrátkych impulzov spočíva v tom že ich itezitá obálka I(t) = A (t) sa edá zaregistrovať štadardými elektroickými prístrojmi Preto sa rozšírili korelačé techiky elieárej optiky pri ktorých sa dĺžka impulzov získa z korelačej fukcie Pre ich jedoduchosť a vysoké časové rozlíšeie sa tieto techiky dodes používajú pri meraí charakteristík veľmi krátkych impulzov Pre teto účel sa dá využiť ľubovoľý optický jav s registrovateľou elieárou odozvou V prípade elieárych javov súčet odoziev systému a jedotlivé impulzy je iý ako odozva súčtu v tom istom čase dopadajúcich impulzov Vzájomým oeskorovaím impulzov sa dá dosiahuť spojitý prechod medzi dvoma krajými odozvami systému Historicky prvé meraia boli uskutočeé korelačou techikou s využitím geerácie druhej harmoickej frekvecie SHG (Secod Harmoic Geeratio) Meraím elieárej odozvy pri vzájomom oeskorovaí dvoch kópií impulzov dostaeme autokorelačú fukciu druhého rádu G ( ) ( ) I ()( tit ) dt kr () ( t ) e i kde t je oeskoreie medzi dvoma kópiami Dĺžka impulzov t p sa dá vypočítať zo šírky autokorelačej fukcie keď je zámy tvar itezitej obálky impulzu [] Autokorelačá fukcia sa dá získať aj bez použitia elieáreho procesu meraím iterferečého kotrastu dvoch oeskoreých kópií impulzu pomocou ľubovoľého iterferometra [] Nevýhoda tejto techiky oproti elieárym techikám je v tom že kotrast závisí aj od fázy a iele od amplitúdy Preto sa dá táto techika použiť iba v prípade keď časová závislosť frekvecie impulzov je koštatá ()

6 Zmea fázy a frekvecie optického poľa v čase je však obvyklým javom v prípade fs impulzov Diagostika týchto zmie sa začala po rozšíreí fs laserov a vzikli dva smery Techiky prvého smeru fugujú a pricípe spektrálej aalýzy autokorelačého sigálu V prípade druhého smeru je využívaá korelácia po spektrálom rozložeí impulzu Najčastejšie používaá techika FROG (Frequecy resolved optical gatig) reprezetuje prvý smer Pri jej použití sa dá aj jedoimpulzým experimetálym usporiadaím získať komplexá amplitúdovo-fázová charakteristika impulzu Zazameáva sa dvojdimezioály obraz autokorelačého sigálu s časovou a frekvečou osou Amplitúdovo- fázová charakteristika impulzu je výsledkom zložitého iteračého výpočtu Do druhého smeru patrí techika SPIDER použiteľá aj v oblasti sub- fs impulzov Pri používaí SPIDER techiky treba uskutočiť dve paralelé meraia spektrálej amplitúdy a fázy Výsledá fázová charakteristika sa získa jedoduchým algebraickým výpočtom SPIDER Podstata techiky SPIDER spočíva v spektrálej iterferecii dvoch frekveče posuutých impulzov Frekvečý posu je realizovaý pomocou elieáreho kryštálu v ktorom dve časovo oeskoreé kópie vyšetrovaého impulzu sú zmiešaé jedým časovo roztiahutým impulzom s chirp-om Roztiahutý impulz vziká v dvojmriežkovej sústave a prekrižuje vzájome oeskoreé kópie pod malým uhlom a v elieárom kryštáli Časové oeskoreie impulzov t v elieárom kryštáli je prevedeé a spektrály posu pomocou geerácie súčtovej frekvecie SFG (Sum Freqeucy Geeratio) Získajú sa tak kovertovaé impulzy ktorých stredá frekvecia bude blízka w kde w je stredá frekvecia skúmaých impulzov Ich frekvečý posu W prislúcha zmee frekvecie roztiahutého impulzu za čas t Po vstupe SPIDER sigálu do spektrometra sa vytvorí spektrály iterferogram (obr ) ktorý je opísaý vzťahom S( ) E( ) E( ) E( )* E( )cos ( ) ( ) kde E(w) je komplexá reprezetácia elektrického poľa skúmaého impulzu F(w) je spektrála fáza prvej kópie impulzu a F(w+W) je spektrála fáza druhej kópie impulzu Prvé dva čley a pravej strae vzťahu udávajú idividuále spektrum dvoch frekveče kovertovaých impulzov Tretí iterferečý čle má oscilujúci charakter v závislosti od frekvecie w Presá poloha extrémov pri tom závisí aj od fázového rozdielu medzi spektrálymi kompoetmi iterferujúcich impulzov rozdielom W Komplexá diagostika si vyžaduje zázam troch spektier: hlavého referečého a sigálového Hlavé spektrum je samoté spektrum vyšetrovaého impulzu (4) a určuje sa z eho spektrála amplitúda Pre získaie referečého spektra treba pootočiť elieáry kryštál tak aby bola geerovaá druhá harmoická frekvecia dvoch vzájome oeskoreých impulzov Týmto spôsobom vzike spektrály iterferogram bez frekvečého posuu medzi jedotlivými kópiami Spektrála fáza sa určuje z porovaia polohy extrémov referečého a sigálového spektra Časová závislosť amplitúdy A(t) a fázy j(t) sa získava z A(w) a j(w) pomocou Fourierovej trasformácie Obr Schéma prístroja SP - 8 ET etalo M - zrkadlo FM fokusačé zrkadlo D - cloa DL oeskorovacia líia DD dvojitá cloa G mriežka PR periskop SL štrbia F filter L šošovka NC elieáry kryštál Na získaie komplexej charakteristiky fs impulzov bol použitý komerčý prístroj CDP SP-8- zázoreý a obr Rekoštrukcia a vyhodoteie spektier bola uskutočeá pomocou programu EFRAT Všetky tri spektrá sa registrovali jedotlivo a pre rekoštrukciu sa zovu ačítali do počítača Software umožňuje sledovať fázové zmey aj v reálom čase tak že sa vopred zazameá referečé spektrum a sigálové a hlavé spektrum sa registrujú priebeže Na obr je zázoreý výsledok rekoštrukcie v prípade typického fs impulzu Spojitou krivkou je zázoreá itezitá obálka a s prerušovaou čiarou fázová charakteristika Fázová charakteristika v tvare kovexej paraboly je dôsledkom kladého chirp-u v impulze Obr Spektrum SPIDER sigálu Obr Komplexý opis fs impulzu pomocou metódy SPIDER Spojitá čiara - časová závislosť itezity prerušovaá čiara - časová závislosť fázy

7 4 OVPLYVNENIE FÁZOVEJ CHARAKTERISTIKY fs IMPULZOV Zdrojom fs impulzov bol Ti:zafírový oscilátor CDP TiF5 shematicky zázoreý a obr 4 Oscilátor bol čerpaý s DPSS laserom Coheret VERDI 5 W ktorý emituje a vlovej dĺžke 5 m Impulzy vystupujúce z rezoátora mali stredú vlovú dĺžku 8 m opakovaciu frekveciu 8 MHz a výko 4 mw kde L je optická dráha medzi hraolmi a l je optická dráha v hraoloch Záporý čle a pravej strae vzťahu udáva mieru egatívej disperzie ktorá sa vytvára pri šíreí impulzu medzi hraolmi Druhý čle opisuje pozitívu disperziu ktorú spôsobuje sklo hraolov pri prechode impulzov cez ich Zmeou vzdialeosti medzi hraolmi ako aj pohybom v smere kolmom a šíreie zväzku sa dá ovplyvňovať vzájomé oeskoreie frekvečých zložiek impulzu Obr 4 Femtosekudový Ti:zafírový oscilátor čerpaý DPSS laserom Dĺžky impulzov je možé meiť posúvaím hraolov v oscilátore kolmo a zväzok v rozsahu 5 fs Sychroizácia módov lasera fuguje a báze Kerrovej samomodulácie impulzov v Ti: zafírovom kryštáli ktorý je súčase aj aktívym prostredím lasera Spektrála šírka impulzov je v rozsahu m Pri tejto šírke impulzov treba rátať s rôzou rýchlosťou šíreia jedotlivých vlových dĺžok l v aktívom prostredí disperziou skupiovej rýchlosti GVD (Group Velocity Dispersio) ktorá je opísaá rovicou d v( ) c d kde c je rýchlosť svetla a idex lomu Aby dĺžky impulzov zostali krátke aj po mohoásobom prechode cez rezoátor treba kompezovať GVD ktorá má vplyv aj a fázovú charakteristiku impulzov Za týmto účelom je použitý v rezoátore sústava dvoch hraolov ktorých vzájomou polohou sa dá meiť miera egatívej disperzie systému Pricíp kompezácie GVD je ukázaý a príklade štvorhraolovej sústavy zázoreej a obr 5a Prechod impulzov cez sklo hraolov zavedie ormále disperzé rozladeie ale geometria usporiadaia spôsobí že kratšie vlové dĺžky sa budú šíriť rýchlejšie ako dlhšie Na obr 5b je zázoreá schéma modifikovaého usporiadaia s rovakým účikom keď sa medzi dva prostredé hraoly umiesti zrkadlo a vzike dvojhraolová sústava Kolmý pohyb druhého hraola vo zväzku spôsobí zmeu dĺžky dráhy impulzov v skle a tým sa dá vyrovávať miera egatívej a pozitívej disperzie v sústave Pri pohybe hraolov sa súčase meí aj fázová charakteristika aj dĺžka geerovaých impulzov Ovplyvňovaie fázovej charakteristiky impulzov v rezoátore je však obmedzeé procesom geerácie lebo disperzé rozladeie impulzov spôsobí oslabeie Kerrovho javu v aktívom prostredí Z tohto dôvodu bola sústava dvoch hraolov (obr 5b) umiesteá do zväzku fs impulzov mimo oscilátora a účiejšie ovplyveie zmie fázovej charakteristiky Zrkadlo za druhým hraolom bolo astaveé tak aby vstupujúce a vystupujúce zväzky boli priestorovo oddeleé Na ohodoteie disperzie dvojhraolovej sústavy je vhodé používať disperziu skupiového oeskoreia d(w) ktorú sa dá vypočítať z GVD a základe vzťahu d(w) = v(w) / L (6) kde L je optická dráha V prípade dvojhraolovej sústavy d(w) sa dá zapísať v tvare d ( ) d 4L d d l c d c d d (5) (7) Obr 5a Štvorhraolová sústava a kompezáciu GVD Impulz s kladým chirp-om po prechode cez sústavu sa skráti Obr 5b Dvojhraolová sústava so zrkadlom má rovaký účiok ako štvorhraolová 5 FÁZOVÁ CHARAKTERISTIKA A DVOJFOTÓNOVÁ FLUORESCENCIA Fázovo ovplyveé laserové impulzy pomocou sústavy hraolov boli použité a zväčšeie dvojfotóovej fluorescecie TPF (Two Photo Fluorescece) V prípade dvojfotóovej fluorescecie sa a excitácii podieľajú dva rovaké fotóy ktorých súčtová eergia prislúcha eergetickému rozdielu medzi základou a excitovaou hladiou fluorescečého farbiva Pri použití excitačých impulzov so stredou vlovou dĺžkou 8 m sa dal výhode využiť roztok kumaríu C5 v etaole ako TPF farbivo s absorpčým pásom okolo 4 m Emisé spektrá boli zazameávaé po prechode excitačých pulzov cez mimorezoátorovú dvojhraolovú sústavu pri rôzych vzájomých polohách hraolov Pre tie isté polohy hraolov sa registrovali aj fázové charakteristiky impulzov techikou SPIDER Skúmali sa tým súvislosti medzi zmeou fázovej charakteristiky excitačých impulzov a itezity fluorescecie Fázová a itezitá charakteristika impulzov sa ovplyvňovala zmeou vzájomej vzdialeosti hraolov od 6 cm do 4 cm a zmeou polohy druhého hraola v smere kolmom a šíreie zväzku v rozsahu mm až 5 mm Vyhotovilo sa 44 zázamov závislosti fázovej a itezitej charakteristiky impulzov od usporiadaia geometrie dvojhraolovej sústavy Podobe sa získal aj súbor zázamov fluorescečých spektier Závislosť fluorescečej itezity kumaríu C5 od vzájomého usporiadaia dvoch hraolov je ukázaá a obr 6 Každý stĺpec a grafe prislúcha jedému zázamu fluorescečého spektra a x-ová os zodpovedá vzájomej vzdialeosti dvoch hraolov L Zmea polohy druhého hraola kolmo a smer šíreia zväzku je ilustrovaá rôzymi vzormi Poloha mm zameá prípad keď zväzok prechádzal cez hrot hraola a so zväčšujúcou hodotou polohy v smere kolmom a zväzok sa zväčšovala hrúbka skla vo zväzku

8 Obr 6 Závislosť fluorescečej itezity kumaríu C5 od vzájomej polohy dvoch hraolov Kvôli geometrii usporiadaia sa epodarilo amerať závislosť pre a milimetrovú polohu druhého hraola pri meších vzájomých vzdialeostiach Ukázalo sa že fluorescečú itezitu ovplyvňuje aj zmea vzdialeosti medzi hraolmi a aj zmea polohy hraola vo zväzku Najvýrazejší tred výsledkov je árast fluorescečej itezity so zväčšovaím L Pri zhodoteí kompletej závislosti boli pozorovaé až trojásobé zmey fluorescečej itezity Ďalší tred ktorý charakterizuje súbor stĺpcov pri rovakých vzájomých vzdialeostiach hraolov je klesajúca fluorescečá itezita so zväčšovaím hrúbky skla vo zväzku Výimku tvorí jede súbor z ôsmich pri L = cm vzdialeosti hraolov kde sa pozoroval opačý tred Pri porovaí dvoch tredov zmea polohy hraola kolmo a šíreie zväzku spôsobila %-ý a zmea vzdialeosti až 7%-ý árast fluorescečej itezity Všeobece platí že fluorescečá itezita bola väčšia pri väčších vzdialeostiach hraolov a pri mešej hrúbky skla vo zväzku Na obrázku 7a je zázoreá závislosť fázovej charakteristiky fs impulzov od polohy druhého hraola pri L = 5 cm Pri tejto vzdialeosti sa pozorovala ajväčšia zmea fluorescečej itezity pri zmee polohy druhého hraola vo zväzku Môžeme si všimúť že pri polohách s ajväčšou hrúbkou skla a s maximálou fluorescečou itezitou časová závislosť frekvecie má kokávy tvar Zodpovedá to záporému chirp-u v impulze Postupe ako fázová charakteristika adobúdala lieáry až miere kovexý tvar fluorescečá itezita Obr 7a Fázová charakteristika excitačých impulzov pri 5 cm vzdialeosti hraolov klesala Zameá to že v impulze prevládol miere kladý chirp Je to v súlade so vzťahom (7) a základe ktorého väčšia optická dráha l v hraole spôsobí zväčšeie pozitívej disperzie sústavy Na obr 7b sú zázoreé itezité obálky excitačých impulzov s ich dĺžkami pri zodpovedajúcich polohách hraola vo zväzku Pri sledovaí dĺžok impulzov ebola pozorovaá mootóa závislosť čiže môžeme predpokladať že zmey fázovej charakteristiky excitačých impulzov ovplyvili fluorescečú itezitu kumaríu C5 Podobe ebola pozorovaá súvislosť medzi dĺžkami impulzov a vzájomou vzdialeosťou hraolov V prípade fluorescečej itezity sa pozorovalo jej zväčšeie rastúcou vzdialeosťou medzi hraolmi Zo vzťahu (7) vyplýva že väčšia vzájomá vzdialeosť hraolov L spôsobí árast egatívej disperzie Zhrutím vplyvu obidvoch pohybov hraolov sa dá skoštatovať že zväčšeie egatívej disperzie sústavy spôsobí árast fluorescečej itezity Ukázalo sa že impulzy so záporým chirp-om ovplyvia vývoj excitačého stavu C5 v smere zväčšovaia účiosti dvojfotóovej fluorescecie Tieto výsledky sú v súlade s experimetami autorov [] ktorí pozorovali árast fluorescečej itezity pri rastúcej miere záporého chirp-u v excitačých impulzoch Naše výsledky dokázali že ovplyvňovaím fázovej charakteristiky impulzov sa dá zväčšiť dvojfotóovú fluoresceciu v prípade roztoku farbív Obr 7b Itezité obálky pri tých istých podmiekach ako a obr 7a s príslušými dĺžkami pulzov 6 ZÁVER Táto práca sa zaoberala diagostikou fázovej charakteristiky fs laserových impulzov Zdrojom fs impulzov bol Ti:zafírový oscilátor CDP TiF5 s vlovou dĺžkou 8 m Použitím mimorezoátorovej dvojhraolovej sústavy bola ovplyvňovaá fázová charakteristika vyšetrovaých impulzov ktoré sa registrovali techikou SPIDER Fázovo tvarovaé impulzy sa použili a excitáciu kumaríu C5 v etaole Ukázalo sa že zväčšeie miery záporého chirp-u excitačých impulzov viedlo k zväčšeiu itezity dvojfotóovej fluorescecie a to aj v prípade zväčšovaia vzdialeosti medzi hraolmi aj pri vysúvaí jedého hraola zo skúmaého zväzku Touto pomere jedoduchou techikou sa podarilo docieliť až trojásobé zmey itezity elieáreho sigálu TPF Ešte účiejšie zvýšeie fluorescečej itezity je možé zavedeím kladej spätej väzby do procesu tvarovaia impulzov Touto metódou je možé získať ideále excitačé impulzy tak že sa cielee tvarujú a získaie ajväčšej itezity elieáreho sigálu Použitie spätej väzby a riadeého ľubovoľého tvarovaia ultrakrátkych impulzov sľubuje ďalšie možosti hľadaia súvislostí medzi fázovou charakteristikou fs impulzov a ich elieárym vzájomým pôsobeím s materiálmi

9 Literatúra [] ZEWAIL A: Femtochemistry-Ultrafast dyamics of the chemical bod World scietific publishig Co Pte Ltd 994 [] CLEAR R D WILSON K R Joural of Molecular Spectroscopy Volume 47 Issue July 97 p 9-44 [] KOHLER B ACC Chem Res Vol 8 No 995 p -4 [4] RABITZ H Sciece Vol 99 p [5] DANIEL C Chemical Physics 67 p 47-6 [6] BERSOHN R Joural of Molecular Structure p -5 [7] GIBSON E A Ivited paper JSTQE (6) 4 p9-5 [8] COMSTOCK M LOZOVOY V V PASTIRK I DAN- TUS M Optics Express 4 p 6 [9] ZUBOV V A Laser Phys 99 p 7 [] WONG V Opt Lett p 87 [] DIELS J-C RUDOLPH W Ultrashort Laser Pulse Pheomeoa Academic Press ISBN Bosto 996 [] BUGÁR I: Dizertačá práca FMFI UK Bratislava Mgr Attila Gaál Fakulta matematiky fyziky a iformatiky UK Bratislava Mgr Igác Bugár PhD; Doc Ig Duša Velič PhD Medziárodé laserové cetrum Bratislava Prof Ig Fratišek Uherek PhD Medziárodé laserové cetrum a Katedra mikroelektroiky FEI STU Bratislava Jiří PÁLKA Fratišek HRUŠKA Uiverzita Tomáše Bati ve Zlíě Istitut řízeí procesů a aplikovaé iformatiky Zlí Techické prostředky pro měřeí a řízeí parametrů tepelé pohody Měřeí a řízeí parametrů tepelé pohody vyžaduje mít k dispozici vhodé techické prostředky Jsou to jedak prostředky měřeí fyzikálích parametrů prostředí dále vyhodocovací jedotka a jedotka pro řízeí parametrů podle idexů tepelé pohody Pro měřeí středí radiačí teploty byl provádě výzkum a vývoj zařízeí pro její měřeí protože se jedá o specifické měřeí Dále je vyvíjea jedotka embeded systém určeý pro vyhodocováí idexů tepelé pohody a jedotka pro optimálí řízeí tepelého komfortu ÚVOD Člověk je homoiotherm [] tj dokáže udržet relativě kostatí tělesou teplotu i při začě promělivém stavu okolího prostředí Velmi přesé udržováí teploty je zajištěo v tělesém jádře člověka které tvoří orgáy hlavy a dutiy hrudí a břiší Vější části těla jsou méě homoiotermí Jejich teplota se měí v závislosti a tepelých podmíkách prostředí ve větším rozsahu Teto rozsah je ale omezeý Odvod tepla z těla je dá tepelým odporem oblečeí a dále fyzikálími parametry prostředí tj teplotou vzduchu povrchovou teplotou stě a těles okolího prostředí rychlostí prouděí vzduchu a vlhkostí vzduchu Výzamá část odvodu tepla se uskutečňuje prouděím okolího vzduchu a sáláím Poceím se odvádí teplo jako skupeské teplo vody Dále se teplo odvádí dýcháím Tepelá pohoda člověka je velmi důležitý faktor [] Pracoví aktivita člověka v uzavřeém prostředí vykoávaá mimo pásmo tepelé pohody zvyšuje celkové zatížeí orgaismu Pro sledováí a vyhodocováí tepelé pohody je vypracováa řada metod které predikují ebo defiují epřímo odezvy orgaismu a daé prostředí Pro řešeí systému sledováí a řízeí parametrů tepelé pohody jsme použili model tepelé pohody staovující idex PMV (Predicted Mea Vote) - středí tepelý pocit PMV je idex předpovídající středí hodotu kterou odhlasuje velká skupia lidí podle svých pocitů v daém prostředí a 7-stupňové stupici pocitu PMV od - do + (viz tab ) Idex je staove a základě matematického modelu podle [4] Dalšími ukazately při staoveí tepelé pohody jsou: ukazatel PPD (Predicted Percetage of Dissatisfied) - předpovídá proceto lidí kteří budou považovat daé prostředí za epříjemě teplé ebo aopak za epříjemě chladé tj proceto lidí kteří zvolí a stupici PMV hodotu ebo + ukazatel DR (Draught Ratig) teto parametr souvisí s ežádoucím ochlazováím těla vlivem průvau Ukazuje proceto lidí kteří jsou espokojei vlivem průvau Teto vliv je méě epříjemý když se směr pohybu vzduchu měí Tab 7-stupňová stupice pocitu PMV Hodota Pocit + Horko + Teplo + Míré teplo Neutrálost - Mírý chlad - Chlad - Zima Optimálí tepelá pohoda člověka je stav kdy se odvádí z těla takové možství tepla které eměí vitří teplotu jádra tj rová se vytvářeému možství metabolického tepla Odvod tepla je zajiště jedak správými tepelě izolačími vlastostostmi oděvu a podmíkami prostředí především teplotou vzduchu teplotou povrchu okolích stě rychlostí prouděí vzduchu a vlhkostí vzduchu [5] Celkový proces tepelé výměy a ásledě pocitů tepelé pohody ovlivňuje výzamě celkem šest veliči uvedeých v tab

10 Tab Veličiy pro výpočet PMV Velikost pracoví aktivity Součiitel tepelého odporu oděvu Teplota vzduchu 4 Středí radiačí teplota 5 Rychlost prouděí vzduchu 6 Relativí vlhkost vzduchu Veličiy o člověku Veličiy pro iteriér Údaj pracoví aktivity člověka a údaj o tepelém odporu jeho oděvu se staovují podle tabulek Měřeí fyzikálích parametrů iteriéru tj teploty vzduchu okolí vlhkosti vzduchu a jeho prouděí je realizovatelé stadardími techickými prostředky Specifickým a ejobtížěji měřitelým parametrem je středí radiačí teplota Byl provádě výzkum vývoj metody a zařízeí pro měřeí a část získaých výsledků je uvedea v ásledujícím čláku VÝBĚR VHODNÉHO SENZORU Při výběru vhodého sezoru pro símač středí radiačí teploty jsme se zaměřili a ásledující typy sezorů: pyroelektrické sezory bolometry termočlákovou baterii Jako ejvhodější sezor pro símáí středí radiačí teploty jsme zvolili termočlákovou baterii (thermopile) a to z ěkolika ásledujících důvodů: ) je vhodým sezorem pro další elektroické zpracováí ) je schope měřit při optimálích ejistotách s citlivostí C ) možost símat tepelý tok elektromagetického zářeí povrchu těles v oblasti vlové délky elektromagetického zářeí od 5 do µm Pro bezdotykové měřeí elektromagetického zářeí byl vybrá sezor TPS od firmy PerkiElmer sestávající se z termočlákové baterie určeé pro símáí oblasti elektromagetického zářeí a z termistoru pro referečí měřeí teploty okolí Teto sezor má úhel símáí +/- 45 při 5 % hodoty ormalizovaého sigálu (viz obr ) [8] Teto sezor umožil kostruovat símač ve tvaru půlkoule s 5 sezory jak je uvedeo v kap 5 Takto je zajištěo stejoměré símáí elektromagetického zářeí v půlprostoru iteriéru UTP G o To s Ts KS s o To s Ts kde G je kostata sezoru [Vm W - ] K je citlivost sezoru [VW - ] S s je detekčí plocha sezoru [m ] T s je teplota sezoru kterou považujeme za stejou jako je teplota okolí [K] j je úhlový součiitel měřeé oblasti a sezoru [-] Na sezor září eje zkoumaá oblast ale také okolí Potom lze apsat že termočláková baterie símá celou oblast s j = o středí radiačí teplotě T o Dále z () vyplývá že zesíleé apětí vziklé a termočlákové baterii je závislé jak a teplotě zkoumaé oblasti tak a teplotě okolí Tuto závislost je uté kompezovat Tohoto požadavku lze dosáhout tak že přičteme k UTP ( T o Ts ) apětí o hodotě tj U T A G T 4 s s TP s s 4 TP o s s s o o TP o o U T T U ( T ) U ( T ) A G T Elektroický vyhodocovací obvod určeý pro zesíleí výstupího apětí z jedé termočlákové baterie a pro jeho ásledou teplotí kompezaci byl vytvoře podle elektroického obvodu a obr a teplota měřeého objektu se potom vypočítá jako T o 4 Uo( To) A G TP kde: U o je apětí a výstupu z elektroického obvodu kompezace [V] T o je teplota měřeého objektu [K] A TP je zesíleí operačího zesilovače [-] G je kostata sezoru [Vm W - ] s je Stefa-Boltzmaova kostata [567-8 Wm - K -4 ] e o je emisivita měřeého objektu [-] Celkový obvod pro vyhodocováí sigálů ze všech termočlakových baterií je slože z pěti těchto vyhodocovacích obvodů o () Obr Elektroický obvod s termočlákovou baterií Obr Úhel símáí sezoru TEPLOTNÍ KOMPENZACE PŘI VYHODNOCOVÁNÍ STŘEDNÍ RADIAČNÍ TEPLOTY Na termočlákové baterii se zářeím z měřeé oblasti vytváří apětí o hodotě [9] 4 MĚŘENÍ STŘEDNÍ RADIAČNÍ TEPLOTY V PROSTORU Vzhledem k tomu že zpravidla každá stěa v sledovaém prostoru má růzou teplotu povrchu tz že vyzařuje a odráží elektromagetické zářeí s růzou itezitou je uté středí radiačí teplotu staovit jako celek sledovaého prostoru Aby se mohla staovit středí radiačí teplota celého poloprostoru musí se ajít prostorové řešeí podle obr Staovily se ejdříve hodoty elektromagetického zářeí z jedotlivých poloprostorů ve všech směrech tj podle obr :

11 podlaha (dílčí části P P) západ (dílčí části Z Z) strop (dílčí části U U) východ (dílčí části V V) sever (dílčí části S S S S4) Pro řešeí má poloprostor rozměry (XYZ) a símač ozačeý jako plocha s byl umístě v prostoru o souřadicích (xyz) [7] Pro měřeí elektromagetického zářeí v prostoru je uté zát úhlový součiitel prostorového zářeí který je dá geometrickými poměry mezi měřeým objektem a símačem Jako měřeé objekty jsou jedotlivé dílčí plochy poloprostoru azačeé a obr Při testováí bylo a severí stěu přiložeo avíc laboratorí čeré těleso použité jako další a proměý zářící objekt s plochou St Pro teoretický výpočet středí radiačí teploty poloprostoru pomocí pěti výše uvedeých sezorů jsme v programu Excel a MATLAB- -Simulik vytvořili matematický model popisující situaci v testovacím prostoru který vychází ze sálavých tepelých toků Q mezi reálými povrchy S S O (v ašem případě mezi povrchem S O S části stěy tvořící poloprostor povrchem laboratorího čerého tělesa a plochou sezoru) Platí vztah []: 4 Q H S T S OS O O O OS O O O OS kde: Q OS je zářivý tok z reálého povrchu S O směřující k reálému povrchu S S (W) H O je itezita zářeí reálého objektu O [Wm - ] e O je spektrálí emisivita povrchu S O [-] S O je plocha reálého objektu O [m ] j OS je úhlový součiitel mezi povrchem S O a S S [-] T O je absolutí teplota povrchu reálého tělesa O [K] d je Stefa Boltzmaova kostata [= Wm - K -4 ] O dílčí část stěy ebo plotýky S jedotlivé sezory uvedeý požadavek protože jeho úhel símáí je 9 Pro umístěí pěti termočlákových baterií je zvolea hlavice tvaru půlkoule tak jak je zobrazeo a obr 4 Hlavice byla vyrobea z hliíku s malou emisivitou a dobrou tepelou vodivostí aby její teplota a teplota krytů sezorů byla shodá s teplotou okolí a ebyla ovlivěa dopadajícím zářeím Obr 4 Hlavice símače středí radiačí teploty 6 OVĚŘOVÁNÍ PROSTOROVÉHO SNÍMAČE Pro ověřováí parametrů prostorového símače středí radiačí teploty byla sestrojea testovací komora Ověřováí bylo prováděo při změách teploty vkládaého laboratorího čerého tělesa a polohy sezoru Na obr 5 a 6 jsou zobrazey grafické závislosti teplot t r aměřeých prototypem a teplot t r vypočítaých teoreticky podle Obr 5 Naměřeé hodoty (vzdáleost I) Obr Umístěí símače a zářícího tělesa v testovacím poloprostoru 5 KONSTRUKCE SNÍMAČE STŘEDNÍ RADIAČNÍ TEPLOTY V POLOPROSTORU Kompletí símač musí splňovat požadavek símáí teploty povrchů stě celého půlprostoru pro vyhodoceí středí radiačí radiačí teploty Aby výsledý símač pokryl celou oblast poloprostoru avrhli jsme kostrukci zařízeí s pěti termočlakovými bateriemi umístěých v půlkouli Každý sezor símá tok elektromagetického zářeí z každé jedé stěy místosti tvořící půlprostor Símač díky použitému sezoru je vhodý a plí výše Obr 6 Naměřeé hodoty (vzdáleost II)

12 teploty vyhřívaého tělesa t w při dvou růzých vzdáleostech símače od zářícího tělesa Z grafu a obr 5 je vidět že aměřeé hodoty středích radiačích teplot se liší od vypočteých maximálě o cca 5 C a tuto odchylku mají po celou dobu měřeí kdežto a grafu a obr 6 pro vzdáleost II se odchylka eustále měí ejprve má sestupý charakter který se od t w = 5 C měí a vzestupý čímž ke koci měřeí tj pro teploty tělesa 75 C až 5 C dosahuje hodot kolem C ale i přesto aměřeé hodoty v obou případech splňují požadavek a přesost která byla pro měřeí středí radiačí teploty staovea s tolerací +/- C 7 VYHODNOCOVACÍ JEDNOTKA INDEXŮ PMV PPD DR Vyhodocovací jedotka idexů tepelé pohody zajistí pro měřeé parametry iteriéru a daé parametry o člověku jejich výpočet podle zvoleého modelu Pro zajištěí složitých výpočtů lze uvažovat pouze o zařízeí s výpočetím prvkem Při zvažováí kostrukce bylo rozhoduto použít jako cetrálí výpočetí prvek itegrovaý obvod obsahující jedak cetrálí výpočetí jedotku a bázi mikrokotroleru s aalogovou vstupí strau Dále pro pro splěí fukcí spojeých s optimálím řízeím musí být itegrovaá i výstupí aalogová straa a obvody komuikace s okolím Tyto itegrovaé obvody zajišťující fukce přepíáí více vstupích aalogových sigálů programovatelého zesíleí sigálů PGA (Programmable Gai Amplifier) převod aalogových sigálů a číslicový údaj ADC (Aalog to Digital Coverter) moolitický mikropočítač s odpovídajícím vybaveím pro zpětou koverzi číslicových sigálů a aalogové DAC (Digital to Aalog Coverter) a obvody pro sériovou komuikaci V rámci dalšího vývoje a výzkumu bude teto úkol řeše tímto směrem 8 ZÁVĚR V čláku popisujeme problematiku techických prostředků pro měřeí a vyhodocováí ukazatelů PMV (Predicted Mea Vote) - středí tepelý pocit PPD (Predicted Percetage of Dissatisfied) předpovězeé proceto espokojeých DR (Draught Ratig) proceto ovlivěé průvaem které jsou důležité pro staoveí tepelé pohody Bylo dosažeo hlavího cíle tj vytvořit zařízeí které je schopo měřit specifickou středí radiačí teploty v prostoru Dalším výzamým výsledkem je rozhodutí o kocepci moderí iteligetí vyhodocovací jedotky zajišťující jak vyhodoceí měřeí tak i vyhodocováí podle algoritmů pro optimálí řízeí parametrů prostředí pro komfortí tepelou pohodu Literatura [] JOKL M: Optimálí mikroklimatické podmíky pracovišť VVI roč 997 č s 69-7 [] JIRÁK Z: Hodoceí mikroklimatických podmíek a pracovišti Pracov Lék sv 978 č 6 s 9- [] MATHAUSEROVÁ Z: Působeí tepelě vlhkostích podmíek a člověka VVI 4/97 s -5 [4] ČSN EN ISO 77 Míré tepelé prostředí- Staoveí ukazatelů PMV a PPD Tř zak 8 56 Praha: český ormalizačí istitut 996 [5] HRUŠKA F: Sledováí a řízeí parametrů tepelé pohody AUTOMA č4 s 6-6 ISSN -959 MSM 8: GAČR //45 [6] PÁLKA J: Bezdotykové měřeí teploty pomocí termočlákové baterie JMO /4 [7] SKOČÍK P Prostorové měřeí středí radiačí teploty Diplomová práce UTB ve Zlíě FT 4 [8] [9] FRADEN J : Hadbook of Moder Sesors Physics desigs ad Aplicatios Spriger Verlag New York 996 s 556 ISBN: [] WEBSTER J G: The measuremet istrumetatio ad sesors hadbook CRC Press LLC; Spriger Verlag 999 s 9 ISBN Ig Jiří Pálka doc Ig Fratišek Hruška PhD Uiverzita Tomáše Bati ve Zlíě Istitut řízeí procesů a aplikovaé iformatiky Mostí Zlí tel: Příspěvky se přijímají v elektroické formě Požadavky a textovou část: Text musí být poříze v editoru MS WORD doporučuje se fot Times New Roma velikost písma dvojité řádkováí formát stráky A4 Ve všech částech příspěvku používejte stejý fot Text pište do jedoho sloupce se zarováím k levému okraji klávesu ENTER používejte pouze a koci odstavce Rovice a vzorce uváděé a samostatých řádcích musí být vytvořey modulem pro matematiku editoru MS WORD rovice a vzorce které jsou součástí textu a řádku zapisujte pomocí vložeých symbolů ikoliv zmíěým modulem Při psaí matematických a chemických výrazů dodržujte základí pravidla: Veličiy pište kurzívou matice tučě stojatě (atikva) vektory a skaláry tučou kurzívou Úplý (totálí) difereciál d vždy stojatě Ludolfovo číslo stojatě Idexy pokud vyjadřují veličiu pište kurzívou v opačém případě stojatě (apř max mi apod) Imagiárí jedotku i stejě jako j v elektrotechice pište stojatě Dodržujte pravidla českého pravopisu; za iterpukčími zaméky je vždy mezera Rověž tak před a za zaméky + - = apod je vždy mezera Požadavky a obrázky a grafy: Grafickou část příspěvku evčleňujte do textu ale dodávejte ji jako samostaté grafické soubory typu *CDR *EPS *TIF *JPG a *AI (vektorovou grafiku jako *EPS ebo *AI soubory bitmapovou grafiku jako *TIF ebo *JPG soubory) V žádém případě edodávejte obrázek v souboru typu *doc Bitmapové soubory pro čerobílé kresby musí mít rozlišeí alespoň 6 dpi pro čerobílé fotografie ejméě dpi a pro barevé ejméě dpi Při geerováí obrázků v COREL DRAW do souboru typu *EPS převeďte text do křivek U souborů typu *JPG používejte takový stupeň komprese aby byla zachováa co ejlepší kvalita obrázku Velikost písma v obrázcích by eměla klesout pod 5 mm (při předpokládaé velikosti obrázku po zalomeí do tiskové stray) Pokyy k předáváí příspěvku Ke každému textu ebo grafice musí být přilože kotrolí výtisk ebo fotografie Dále je třeba aby k čláku autor dodal překlad résumé a ázvu čláku do aglického (českého sloveského) jazyka klíčová slova jméa všech autorů včetě titulů jejich plých adres telefoického spojeí a případě ové adresy Soubory je možo dodat a disketě CD ebo a médiu ZIP MB Ke každému příspěvku připojte sezam všech předávaých souborů a u každého souboru uveďte pomocí jakého software byl vytvoře

13 Atoí MIKŠ Jiří NOVÁK katedra fyziky Fakulta stavebí ČVUT Praha Aplikace ortogoálích polyomů v teorii optického zobrazeí Při ávrhu optických soustav je žádoucí aby zbytkové aberace těchto soustav byly co ejmeší Aalýzou těchto aberací v závislosti a umerické optické soustavy lze ajít takové hodoty umerické apertury pro které je zbytková aberace ulová Tyto hodoty umerické apertury azýváme korekčí pásma V práci je provedea teoretická aalýza této problematiky a jsou odvozey vztahy pro vyjádřeí koeficietů vlové aberace pomocí korekčích pásem a to pro sférickou aberaci třetího a pátého řádu Je ukázá způsob sestrojeí ortogoálích polyomů vhodých pro účely optického zobrazeí Užitím odvozeých vztahů byl provede výpočet optimálích korekčích pásem a poloh středů referečí sféry pro případy kdy požadujeme miimálí odchylku vlové aberace od uly ebo požadujeme miimalizaci středí kvadratické odchylky vlové aberace ÚVOD Při ávrhu optických soustav je žádoucí aby zbytkové aberace těchto soustav byly co ejmeší Aalýzou průběhu těchto aberací v závislosti a umerické apertuře a zorém poli optické soustavy lze ajít takové hodoty umerické apertury a zorého pole pro které je sledovaá aberace ulová Tyto hodoty umerické apertury a zorého pole azýváme korekčí pásma [] Při podrobé aalýze základích aberací (sférická aberace a koma) optických soustav se ukazuje že kvalita zobrazeí těchto soustav závisí a hodotách korekčích pásem [] Hodoty korekčích pásem jsou závislé a kritériu které použijeme pro hodoceí kvality zobrazeí optických soustav Cílem této práce je ukázat obecý postup při teoretické aalýze této problematiky a odvozeí vztahů pro vyjádřeí koeficietů vlové aberace pomocí korekčích pásem a aplikovat jej a případ sférické aberace třetího a pátého řádu Dále pak ukázat jedoduchý způsob sestrojeí ortogoálích polyomů vhodých pro účely optického zobrazeí Užitím odvozeých vztahů pak provést výpočet optimálích korekčích pásem poloh středů referečí sféry a změ poloměrů referečí sféry pro případ že požadujeme miimálí odchylku vlové aberace od uly ebo požadujeme miimalizaci středí kvadratické odchylky vlové aberace ZOBRAZOVACÍ FUNKCE Jak je zámo z geometrické optiky splňuje bodová zobrazovací fukce E(xyz) ásledující rovici [-] E E E X Y Z kde je idex lomu prostředí a xyz souřadice bodu v prostoru Tato rovice je základí rovicí geometrické optiky Fukce E ám udává optickou dráhu (souči geometrické dráhy a idexu lomu prostředí) mezi dvěma body v prostoru Lze ukázat že pro rotačě symetrickou optickou soustavu lze optickou dráhu mezi body předmětové roviy a mezi body vloplochy vyjádřit fukcí [-] E = E(e e e ) kde proměé e e a e mají tvar e x y e xx yy e x y R R R R přičemž x a y začí souřadice v předmětové roviě a x R y R jsou souřadice bodu a referečí sféře v obrazovém prostoru optické soustavy VLNOVÁ ABERACE Vlovou aberací W budeme azývat rozdíl optických drah libovolého paprsku a hlavího (referečímu) paprsku přičemž oba paprsky áleží témuž paprskovému svazku Platí tedy obecě E = E(e e e ) - E(e ) () Podle obr dále platí W = [BR] - [BP ] kde hraatými závorkami začíme optickou dráhu Obr Aberace optické soustavy Mezi vlovou aberací W a paprskovými aberacemi Dx a Dy platí vztahy [-] R W x X x x R () R y Y y W y R kde R = (RB ) je poloměr referečí sféry S mající střed v bodě B (x y ) který je paraxiálím (ideálím) obrazem předmětového bodu B x R y R jsou souřadice bodu R(x R y R ) a referečí sféře S X a Y jsou souřadice průsečíku B (X Y ) paprsku s obrazovou roviou h optické soustavy a je idex lomu obrazového prostředí Pro cloové číslo c v obrazovém prostoru optické soustavy platí c si k kde s k je maximálí aperturí úhel v obrazovém prostoru při zobrazeí osového bodu A předmětu Nechť w a v jsou ormovaé souřadice [] a referečí sféře (v + w ) potom pro výsledý vztah mezi vlovými a paprskovými aberacemi platí ()

14 Ozačme yí x c W y c W w v e e y e yv e w v jako ové proměé Aberace optické soustavy si můžeme rozdělit a aberace řádu aberace řádu aberace 5 řádu atd Rozvojem vlové aberace W( ee e ) v Taylorovu řadu dostáváme a) Aberace řádu W=Ee Ee (6) b) Aberace řádu W Eee Ee ( ) (7) c) Aberace 5 řádu W 5 ( Eee Ee 6 ) atd (8) (4) (5) Aberace řádu Zabývejme se yí aperturími paprsky tj zobrazeím bodů ležících a optické ose soustavy Pro aperturí paprsky platí e e a tedy W Ee E( v w ) (9) Protože jde o rotačí souměrost stačí zkoumat je poledík vloplochy Užitím vztahů (4) dostáváme y c W cev v Ozačíme-li jako ds vzdáleost ového středu referečí sféry od původího středu referečí sféry (měřeou podél osy paprskového svazku) potom pro v = v k = máme s y k ce c Dosazeím do (9) obdržíme s W ( v w ) () 8c Zavedeme yí ásledující ozačeí qv w v q cos w q si kde j je polárí souřadice (úhel) v roviě výstupí pupily Při tomto ozačeí dostáváme s W () c q W q 8 Tuto aberaci vzikající posuvem ds středu referečí sféry podél osy svazku azýváme podélá defokusace dále platí pro v = v k = 5 y c( 4W v 6W v ) sk 4W 6W 4c kde Ds k = c Dy k je podélá aberace (podélá sférická aberace) Předpokládejme dále že pro v = v je Dy = Ozačíme-li q jako korekčí pásmo potom platí = W + W q což ve spojeí s předcházející rovicí dává () Koeficiet W si můžeme také vyjádřit pomocí extrémí hodoty Ds ext podélé sférické aberace Užitím předcházejících vztahů dostáváme s W ext () 6cq Podélá sférická aberace bude mít extrémí hodotu pro pásmo q ext = q / Dosazeím za W a W do rovice pro W obdržíme (4) Tato aberace se azývá otvorová vada pátého řádu Výsledá vlová aberace je dáa součtem vztahů () a (4) platí tedy W = W q + W q + W q + W (5) kde W je kostata jejíž výzam je uvede íže Dále pak začí W (6) Vztahy (5) a (6) jsou tedy obecým vyjádřeím vlové aberace optické soustavy pro případ současého působeí sférické aberace třetího a pátého řádu spolu s defokusací Koeficiety W a W ám charakterizují vlovou aberaci vzhledem k referečí sféře S se středem v paraxiálím obrazovém bodě A a procházející středem P výstupí pupily optické soustavy (obr ) [] R = (P A ) je poloměr této referečí sféry Koeficiet W ám udává změu vlové aberace v důsledku posuu středu referečí sféry o hodotu ds od paraxiálího obrazového bodu A [] sk W Wq W 4(-q ) c sk ( q-q) q sext ( q q) q W 48 c (-q ) cq sk s ext W qw 4c ( q ) 6cq W s W R 8c Aberace 5 řádu S aberacemi pátého řádu spolupůsobí obvykle aberace třetího Máme tedy pro celkovou aberaci pátého řádu W W ( v w ) W ( v w ) kde jedotlivé koeficiety začí: W - otvorová vada řádu W - otvorová vada 5 řádu Parciálí derivace podle proměých vw jsou dáy vztahy W v Vzhledem k rotačí souměrosti stačí omezíme-li se je a poledíkový řez (w = ) platí 4W ( v w ) v6w ( v w ) v W 4W( v w ) w6w( v w ) w w Obr Referečí sféry

15 Tato ová referečí sféra S opět prochází středem P výstupí pupily optické soustavy a její poloměr má hodotu R = R + ds Čle W = dr ám umožňuje vypočítat optimálí referečí sféru S která již eprochází středem P výstupí pupily optické soustavy ale bodem P který leží ve vzdáleosti dr od bodu P její poloměr má hodotu R = R + ds + dr a její střed leží ve vzdáleosti ds od paraxiálího obrazového bodu A 4 VÝPOČET OPTIMÁLNÍ HODNOTY KOREKČNÍHO PÁSMA Jak je ze vztahů (5) a (6) patro bude průběh vlové aberace závislý a hodotě korekčího pásma q Zabývejme se yí problémem určeí optimálí hodoty korekčího pásma Optimálí hodota korekčího pásma bude záviset a kritériu které si zvolíme pro posouzeí vlivu vlové aberace a vyšetřovaý proces Jako kriterium pro posouzeí vlivu vlové aberace a vyšetřovaý proces si zvolíme ásledující kriteria: a) maximálí odchylku vlové aberace od uly b) miimálí hodotu středí kvadratické odchylky vlové aberace 4 Výpočet korekčího pásma miimalizujícího maximálí odchylku vlové aberace Předpokládejme yí že kritériem pro výpočet optimálí hodoty korekčího pásma bude maximálí odchylka vlové aberace od uly Toto kriterium má výzam apř v oblasti měřeí tvaru optických ploch kdy se ám jedá o určeí odchylek jedotlivých bodů měřeé plochy od omiálího tvaru této plochy Jak je zámo z matematiky polyomy které miimalizují maximálí odchylku od uly jsou Čebyševovy polyomy [4] Má-li se vlová aberace W daá vztahem (5) miimálě odchylovat od uly musí se pravá část rovice (5) rovat příslušému Čebyševovu polyomu Musí tedy platit W T kde T je posuutý Čebyševův polyom [4] Tedy W W W q W q W q W Porováím koeficietů ve vztahu (7) dostáváme sext 6cq Řešeím těchto vztahů dostáváme q 48q 8q (7) q s s s R (8) ext / 4 75 ext 9c Ze vztahů (8) je patro že optimálí hodota korekčího pásma v případě sférické aberace je q = a tedy sférická aberace je korigováa pro paprsky procházející krajem výstupí pupily optické soustavy Poloha středu referečí sféry se pak achází ve vzdáleosti ds = Ds ext od paraxiálí obrazové roviy kde Ds ext je podélá sférická aberace pro pásmo q = q ext = 5 q 4 Výpočet korekčího pásma miimalizujícího středí kvadratickou odchylku vlové aberace Jako kritérium kvality obrazu vezmeme ormovaou itezitu ve středu difrakčího obrazce (Strehlova defiice) tj poměr itezity ve středu difrakčího obrazce optické soustavy zatížeé aberacemi a fyzikálě dokoalé optické soustavy Optickou soustavu považujeme za rovoceou fyzikálě dokoalé optické soustavě je-li Strehlova defiice větší ež 8 (Strehlovo kritérium) Pro Strehlovu defiici v případě optické soustavy s kruhovou pupilou platí [58] sext s W W 8 6cq 8c W SD R W W s ext (9) kde W W( r ) rdd r W W ( r ) rr dd kde W(rj) je vlová aberace r a j jsou polárí souřadice v pupile a l je vlová délka světla Ze vztahu (9) je patro že Strehlova defiice přímo souvisí se středí kvadratickou odchylkou vlové aberace Předpokládejme yí že kritériem pro výpočet optimálí hodoty korekčího pásma bude miimálí hodota středí kvadratické odchylky vlové aberace Jak je ze vztahu (5) patro v případě sférické vady ezávisí vlová aberace a polárí souřadici j ale je a souřadici r tedy Potom platí W (rj) = W (r) () Hledejme yí vyjádřeí vlové aberace W(r) pomocí polyomů které jsou ortogoálí a itervalu Připomeňme si yí základí vlastosti ortogoálích polyomů [4] které získáme ortogoalizací poslouposti ezávislých fukcí {Y (t) = t } ( = ) a itervalu t Î ab: ) Libovolý polyom stupě si můžeme vyjádřit pomocí lieárí kombiace ortogoálích polyomů P m (t) (m = ) ) Ortogoálí polyomy P m (t) jsou jedozačě určey vahou r(t) (až a kostatí součiitel) ) Pro skalárí souči dvou růzých ortogoálích polyomů platí 4) Explicití tvar polyomů P (t) je P () t K W W rrr W ( ) d W ( r) rr d b a P () t P () t () t dt m m C C C C C C C C C C C C t t t () C t ( t) dt () kde K je ormovací kostata 5) Libovolé tři po sobě ásledující polyomy ortogoálí soustavy {P (t)} jsou mezi sebou vázáy rekuretími vztahy tp() t P () t P () t P () t () kde a b a g jsou kostaty Hodoty kostat b a g získáme ásledujícím způsobem Vyásobme vztah () ejprve r(t)p (t) a itegrujme v itervalu ab potom r(t)p - (t) a opět itegrujme v itervalu ab Užitím vztahu () dostáváme b a b () t P () ttdt a () t P () t dt (4) Hodotu kostaty a získáme tím způsobem že budeme požadovat aby se hodota polyomů P (t) pro ějakou hodotu t = t a Îab rovala kostatě Dosazeím do () dostáváme a = t a - b - g (5) Hodotu kostaty K určíme z ějaké doplňující podmíky kladeé a polyomy P (t) Požadujme apř aby se hodota polyomů P (t) pro ějakou hodotu t = t a Îab rovala kostatě tj P (t a ) = K a ze vztahu () pro kostatu K dostáváme b a b () t P () t P () ttdt b a a () t P () t dt

16 K K C C C C C C C C C C C C t t t (6) Aplikujme yí výše uvedeé vztahy a áš případ sférické aberace pátého řádu Jak je ze vztahu (5) patro je vlová aberace závislá je a sudých mociách radiálí polárí souřadice r bodu a referečí sféře a tedy položíme t = r Uvážíme-li vztahy () vidíme že váhová fukce je rova jedé (r(t) = ) a t Îáñ Dále požadujme aby pro t = měly polyomy hodotu P () = Zaveďme yí ozačeí R (r) = P (r ) Nyí můžeme přistoupit k výpočtu ašich polyomů R (r) Ze vztahů () a (6) dostáváme C r r d r R r Dále pak R () / K r K ( r r r ) / / K R () 4 r K 4 r r / / / ( ) 6r 6r 4 r r Záme-li prví dva polyomy R (r) = a R (r) = r můžeme pro výpočet dalších polyomů též užít rekuretí vztahy () a (4) které v ašem případě mají tvar r R () r R () r R () r R () r R () r r dr R () r rdr R () r R ( r) r dr (7) (8) Vztah (7) můžeme přepsat do přehledějšího tvaru a sice ( r ) R() r R() r R () r (9) Položíme-li yí = dostáváme ze vztahů (8) b = / g = /6 a = / Dosazeím do (9) máme ( r / )( r ) / 6 4 R () r 6r 6r / což je vztah shodý se vztahem získaým předcházejícím způsobem Aalogicky pak dostáváme pro = 6 4 R() r r r r atd Shreme-li získaé výsledky máme v přehledu R () r rdr 4 R () r R ( r) r R () r 6r 6r 6 4 R () r r r r () Vyjádříme-li si yí vlovou aberaci pomocí polyomů R (r) a to ve tvaru W (r) = A R (r) kde A je kostata Potom dosazeím do vztahu () dostáváme ( = ) Pro = dostáváme () () Vidíme tedy že polyomy R (r) ám vyjadřují vlovou aberaci tak že její středí hodota je rova koeficietu A Vyjádřeme si yí vlovou aberaci ve tvaru kde W W ( rrr ) d A R ( r) rr d A W A R ( rrr ) d Pro středí hodotu vlové aberace pak dostáváme Dále pak pro středí hodotu kvadrátu vlové aberace platí () Vzhledem ke vztahu () tj ortogoalitě polyomů R (r) je druhý itegrál a pravé straě rove ule a tedy Pro Strehlovu defiici potom dostáváme (4) Ze vztahu (4) je patrá výhoda použití ortogoálích polyomů R (r) pro vyjádřeí vlové aberace Polyomy R (r) které jsme získali výše uvedeým postupem jsou v úzkém vztahu s Zerikeovými polyomy R () r [58] Legedreovými polyomy P (x) a Jakobiovými polyomy G (pqx) [4] platí ( = ) kde pro prví čtyři Jakobiovy polyomy platí W A R ( r) rr d A W A R ( rrr ) d A N W() r AR() r i R () r a r i i N N ai W AR() r rdr A A i i N N N W AR() r rdr N N AR () r rd r 4 AR j j( r) AkRk( r) j kj N W AR() r rdr rdr N AR () r rdr A R() rrdr A N A SD W W W N A R () r R () r P ( r ) G r

17 G ( p qx ) G ( p qx ) p G p qx q x ( ) p ( p )( p x q ) x qq ( ) p G p qx q x ( p )( p 4 ( ) ) x qq ( ) ( p )( p )( p ) 4 5 x qq ( )( q ) Má-li vlová aberace W daá vztahem (5) miimalizovat středí kvadratickou odchylku vlové aberace musí se pravá část rovice (5) rovat polyomu R (r) Musí tedy platit W(r) = R (r) Tedy při ozačeí q = r W W q W q W q W q q q Porováím koeficietů ve vztahu (5) dostáváme W Řešeím těchto vztahů dostáváme s ext W q W 6cq W s W R 8c s ext q s 4sext / 5 8 sext R c (5) (6) Ze vztahů (6) je patro že optimálí hodota korekčího pásma v případě sférické aberace je q = a tedy sférická aberace je korigováa pro paprsky procházející krajem výstupí pupily optické soustavy Poloha středu referečí sféry se pak achází ve vzdáleosti ds = 8 Ds ext od paraxiálí obrazové roviy kde Ds ex je podélá sférická aberace pro pásmo q = q ext = 5 q Výše uvedeé výsledky lze také získat ásledujícím poěkud zdlouhavějším způsobem pomocí Strehlovy defiice Podle předcházejícího platí (q = r ) W( q) W q W q W q W W( q) AR( q) R ( q) R ( q) q R ( q) 6q 6q R ( q) q (7) (8) (9) Vyjádříme-li si yí ze vztahů (9) veličiy q q a q dostáváme Dosadíme-li yí tyto vztahy do vztahu (7) potom užitím vztahu (8) obdržíme q q q R( q) R( q) q 6 R ( q) R ( q) R ( q) q R ( q) 5R ( q) 9R ( q) 5R ( q) 9 A 4 W W W W A W W A W W A W 4 6 W (4) Má-li být Strehlova defiice maximálí musí být ve vztahu (4) co ejvíce koeficietů A rovo ule Položíme-li tedy A = A = A = dostáváme z předcházejících vztahů W W W 5 W W W Podle vztahů (6) platí s W s W q W W ext 6cq 8c Porováím s předcházejícími vztahy dostáváme s q s 4sext / 5 8 sext W R ext c což jsou idetické výsledky s (6) Maximálí hodota Strehlovy defiice je pak rova SD A W max 7 8 Z tohoto vztahu můžeme určit toleraci a sférickou aberaci Má-li být Strehlova defiice větší ež 8 potom z předcházejícího vztahu dostáváme W 77 atedy s c Shreme-li výše dosažeé výsledky vidíme že v případě sférické aberace kdy požadujeme aby se vlová aberace optické soustavy miimálě lišila od uly tj měla miimálí absolutí hodotu v daém itervalu musí optická soustava splňovat ásledující podmíky s q s sext / 4 75 s R ext ext 9c (4) V případě že požadujeme maximálí hodotu Strehlovy defiice musí optická soustava splňovat ásledující podmíky s q s 4sext / 5 8 sext R ext c (4) Jak je patro ze vztahů (4) a (4) v obou případech je optimálí korekce sférické aberace optické soustavy ta kdy je hodota korekčího pásma q = tj podélá sférická aberace je rova ule pro paprsek procházející krajem výstupí pupily optické soustavy To je zcela ový výsledek který má velký praktický výzam Říká že optické soustavy používaé pro měřeí (apř objektivy iterferometrů) tak i optické zobrazovací soustavy (apř fotografické objektivy apod) budou mít optimálí korekci bude-li sférická aberace korigováa pro krají pásmo apertury (pro paprsek procházející krajem výstupí pupily optické soustavy) Dále byly v obou případech odvozey ové vztahy pro výpočet změy dr poloměru referečí sféry 5 ZÁVĚR V práci byla provedea podrobá teoretická aalýza výpočtu koeficietů vlové aberace až do pátého řádu a to pomocí korekčích pásem tj pásem v kterých je hodota podélé sférické aberace ulová Říkáme že pro tato pásma je sférická aberace korigováa Při výpočtech optických systémů je toto vyjádřeí výhodé a ázoré eboť aberace jsou ve většiě případů korigováy pro určité pásmo v oblasti umerické apertury Odvozeé vztahy představují jedo z možých vyjádřeí koeficietů vlové aberace které je však velmi ázoré z praktického hlediska Dále byl ukázá způsob výpočtu polyomů ortogoálích v oblasti jedotkového kruhu Užitím odvozeých vztahů a ortogoálích polyomů byl provede výpočet optimálích korekčích pásem poloh středů referečí sféry a změ poloměrů referečí sféry pro případ kdy požadujeme miimálí odchylku vlové aberace od uly a pro případ kdy požadujeme miimalizaci středí kvadratické odchylky vlové aberace (maximalizace Strehlovy defiice) ext

18 Práce byla vypracováa v rámci projektu MSM68477 Miisterstva školství ČR a gratu GA ČR //P Literatura [] MIKŠ A: Aplikovaá optika Vydavatelství ČVUT Praha [] MARÉCHAL A: Imagerie Géométrique Aberratios Revue d Optique Paris 95 [] HERZBERGER M: Moder Geometrical Optics Itersciece New York 958 [4] MOUROULIS P - MACDONALD J: Geometrical Optics ad Optical Desig Oxford Uiversity Press New York 997 [5] BORN M - WOLF E: Priciples of Optics Oxford Uiversity Press New York 964 [6] HOPKINS H H: Wave theory of Aberratios Oxford Uiversity Press New York 95 [7] COX A: A System of Optical Desig Focal Press Lodo 964 [8] HAFERKORN H: Bewertug optisher systeme VEB Deutscher Verlag der Wisseschafte Berli986 [9] WELFORD W T: Aberratios of the Symmetrical Optical Systems Academic Press Lodo 974 [] BUCHDAHL H A: A Itroductio to Hamiltoia Optics Cambridge Uiversity Press Cambridge 97 [] HOPKINS H H: Caoical Pupil Coordiates i Geometrical Optics ad Diffractio Image Theory Jap J Appl Physics Vol4 Sup I 965 pp-5 [] MIKŠ A: Depedece of the Wave-Frot Aberratio o the Radius of the Referece Sphere Joural of the Optical Society of America A vol 9 o 6 p 87-9 [] KORN G A - KORN TM: Mathematical Hadbook McGraw-Hill New York 968 [4] NIKIFOROV A F- UVAROVV B: Osovy teorii specialych fukcij Nauka Moskva 974 Prof RNDr Atoí Mikš CSc katedra fyziky Stavebí fakulta ČVUT Thákurova Praha 6 - Dejvice tel: fax: 6 miks@fsvcvutcz Ig Jiří Novák PhD katedra fyziky Stavebí fakulta ČVUT Thákurova Praha 6 - Dejvice tel: fax: 6 ovakji@fsvcvutcz Jaroslav POSPÍŠIL Ja HRDÝ Ja HRDÝ jr Departmet of Experimetal Physics of Palacký Uiversity ad Joit Laboratory of Optics of Palacký Uiversity ad Istitute of Physics of Academy of Scieces Olomouc Czech Republic Light reflectio absorptio scatterig ad redess effects of soils i relatioship to their haematite cotet The article presets coheret theoretical cosideratios about the specific light reflectio absorptio scatterig ad redess properties of soils cotaiig usually the haematite goethite ad remaiig iro oxide-free compoets For such a purpose the relevat mathematical expressios are itroduced ad explaied accordig to the cosidered three basic color classificatio systems chose redess rates defiitios ad soil compoets cotets Fially examples of soil color effects are preseted ad iterpreted They ratify the usefuless of the exploited quatities ad described evalutioal proceduces for the routie soil colorimetry Keywords: Soil haematite ad goethite basic color systems redess rates soil haematite cotet INTRODUCTION Soils described elsewhere [] are mixtures cotaiig commoly the iro (Fe) oxide mieral ad orgaic compouds which iteract with the icidet light of the wavelegth rage Dλ» 4 8 m ad are usually either completely trasparet or completely opaque I such pigmet mixtures their particles partly reflect absorb ad scatter the icidet light These characteristic optical properties ca be ivestigated effectively by the Kubelka-Muk (K-M) theory (approach) especially i the cases of well draied soil samples (specimes) with small amouts of orgace matter I such soils the iro oxides (especially the haematite a Fe O ad goethite a FeOOH) are geerally the domiat pigmets [-4] The correspodig spectral cosideratios ca be completed by the so-called secod-derivative spectrometry for improvemet of resolutio of fie structures of the optical spectra curves [5] The quatified assessmet of characteristic color properties of soils affected by their optical properties metioed above eables a relevat color (colorimetric) classificatio system (space model) I this article the profitable three color systems are exploited ie the CIE (Commissio Iteratioale de l Eclairage) tristimulus color system (XYZ) the CIE color system (L * a * b * ) kow as the CIELAB system ad the Musell color system (HVC) [6-4] These systems are purposefully applied to charateristic redess (reddig) effects of haematite (hematite) ad goethite o the soil colors Haematite makes the soil color reddish because the primary haematite bright red hue is very effective i maskig the primary yellow or yellow-brow hue of goethite Thus ivestigatio of characteristic soil redess ad its relatioship to haematite cotet (cocetratio) i soils cotaiig haematite ad goethite ad

19 havig a wide rage of morphological ad mieralogical features is iterestig ad useful i practice That is why this problem is cosidered above all i the preset article The cosideratios are based o the chose redess rates which are defied iterpreted aalyzed ad applied to some differet soils i the followig text THEORETICAL BACKGROUND OF THE LIGHT REFLECTION ABSORPTION AND SCATTERING IN A SOIL SAMPLE Let us cosider a extesive semi-trasparet color soil sample (layer) of a pigmet mixture of thickes D The sample is irradiated alog D with a diffuse quasi-moochromatic light flux of domiat waveleght λ This flux is formed i fact by a mixture of its dowward compoet iflueced by the sample absorbace (absorptio factor) A(λ) ad the scatterig (scatterig factor) S(λ) ad of its upwards compoet iflueced by the sample reflectace (reflectio factor) R(λ) over the sample backgroud of reflectace R b (λ) I accordace with [-4] the most geeral hyperbolic expressio of R(λ) is where R λ λ λ λ S λ R( λ)= ( ) a( ) b( ) coth b ( ) ( ) D b a( λ) R ( λ)+ b( λ) coth b( λ) S( λ ) D b I the limitig case of sufficiet sample thickess D so that further icrease of D does ot chage the sample reflectace R(λ) it ca be assumed the egligible ifluece of R b (λ) o R(λ) i Eq () This situatio occurs for samples of D equal to few teths of milimeter Uder such a case Eq () chages to the form If the quatities A(λ) ad S(λ) ca be treated as a simple additive fuctios of compoets A (λ) ad S (λ) of total umbers N weighted by their relative cotets (proportios cocetratios) κ ie if the Eq(4) for such mixture M is Whe a pigmet mixture M acts as the so-called white scatter of sigle weighted total scatterig κ sc S sc (λ) Eq(6) chages to the form This is a case of soils with low orgaic matter where the costituet compoets (iclusive of feldspars clay mierals or quartz) { } A λ / a λ b( λ)= a ( λ) S λ ( ( ) )= + ( ) ( ) S λ R( λ)= A( λ)+ S( λ) A( λ) A( λ)+ S( λ ) { } which simpler form is A λ λ Θ( ( ) λ)= ( λ) = R ( ) S R λ ( ) / A λ A λ κ A λ S λ S λ κ S λ Θ M M A ( λ)= S N M ( λ) λ M λ λ M ( ) = R ( ) RM ( ) = M N = N = N κ A ( λ) = Θ M ( λ)= κ S λ sc sc ( ) N κ A λ ( ) κ S λ ( ) () () () (4) (5) (6) (7) ca be cosidered together with iro oxide compoets as oe (white-gray) scatter like the dithioite ad dissolve iro oxide pigmets From Eq (7) follows the liear relatioship betwe Q M (λ) ad the cotets κ sc of soil pigmets It ca be also show from Eqs (4) ad (7) that additios of small amouts of a pigmet to a white scatter causes a decrease of R M (λ) values Such a effect is see for example i a additio of haematite to a haematite-free soil [5] For a color predictio uder the cosidered K-M theory it is ecessary to determie the values A M (λ) ad S M (λ) of the cosidered soil mixture by usig the sums of Eqs(6) I the simplest couple case whe a pigmet of weighted values κ P A P (λ) ad κ P S P (λ) is mixed with a stadard pigmet of values κ S A S (λ) ad κ S S S (λ) Eq(6) becomes κ A p p( λ)+ κ A λ s s( ) Θ M ( λ)= κ S ( λ)+ κ S ( λ) (8) p p s s Moreover if the stadard pigmet is a white reflectace surface of R S (λ) ad A S (λ) = Eq(8) chages to the liear relatio κ S λ S λ R λ s s p M Θ M λ κ A λ A λ p p p -RM ( λ) (9) Here R M (λ) is the reflectace of the whole pigmet mixture If we plot / Q M (λ) agaist give κ S /κ P the slope of the correspodig straight lie is S S (λ) / A P (λ) ad its itercept is S P (λ) / A P (λ) (see Fig ) Also the value S S (λ) = ca by adopted Thus the correspodig graphical form of Eq(9) gives directly the values A P (λ) ad S P (λ) for the cosidered wavelegth λ ad the utilized stadard pigmet ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( ) = Fig Illustratio of a liear graphical depedece of / Q M (λ) accordig to κ S /κ P for λ = costat Such a depedece agree to first Eq (9) Let us cosider ow the real case of a soil mixture cotaig the soil haematite of cotet κ h the soil goethite of cotet κ g ad the remaiig (deferrated iro oxide-free) compoet (icludig the orgaic matter) of the cotet κ = κ κ r h g () These cotets ca be determied separately by the covetioal or differetial X-ray difractio method o the utreated soil fractio [6-8] while the correspodig absorbace ad scatterig values A h (λ) A g (λ) A r (λ) ad S h (λ) S g (λ) S r (λ) realizig the accepted weighted sums ( )= ( )+ ( )+ ( ) A λ κ A λ κ A λ κ A λ M h h g g r r ()

20 ( )= ( )+ ( )+ ( ) S λ κ S λ κ S λ κ S λ M h h g g r r () caot by measured directly for ay light wavelegth λ This statemet follows from the fact that the precise quatitative separatio of soil haematite ad soil goethite compoets uder cosideratio from the associated iro oxide-free soil compoet is ot available usually Because the total values A M (λ) ad S M (λ) of Eqs () ad () ca be kow for a chose umber of complete soils (they are obtaiable by separate spectrophotometrical measuremets) we ca estimate the correspodig sufficiet average (most probable best optimal) soil compoets represetative values A h ( λ) A g ( λ) A r ( λ) S h ( λ) S g ( λ) ad S r ( λ) by the way suggested i [4] Such a way is based o exploitatio of a total umber m of soil samples higher tha the total umber of ukows (m > ) i every separated Eqs () ad () The relevat average values metioed above are the results of applicatio of the miimizatio least-squares procedures of symbolic forms m mi A λ A λ M ( ) i M ( ) i= m mi S λ S λ M ( ) i M ( ) i= () (4) where A Mi ( λ)ad S Mi ( λ) are the obtaied values of A M (λ) ad S M (λ) To fid the miima of Eqs () ad (4) their partial derivatives accordig to A hi ( λ) A gi ( λ) A ri ( λ) ad S hi ( λ) S gi ( λ) S ri ( λ) equated to zero are suitable They give amely the searched average values A h ( λ) A g ( λ) A r ( λ) ad S h ( λ) S g λ ( ) S r ( λ) for the cosidered wavelegth λ PRESENTATION AND INTERPRETATION OF THE CHOSEN SOIL REDNESS RATES UNDER EXPLOITED COLOR SYSTEMS To quatify the redess effect by haematite occurig obviously i soils various suitable redess rates (ratigs idices degrees) were defied which allow the umerical assessmet of the haematite cotet i soils For istace two useful empirical redess rates were suggested ad applied i [5] Their defiitios are of forms: ρ ( ) ( ) x 5 ( Yxy )= y 5 Y ( ) H C ρ ( HVC )= V (5) (6) The quatities of Eqs (5) ad (6) were modified ad exteded afterwards to the followig triad of redess rates by [4]: ρ ρ ( Yxy )= 4 x 4 (7) (8) (9) The defiitios of Eqs (7) - (9) relate to three classical color classificatio systems (XYZ) (L * a * b * ) ad (HVC) which are itroduced i the followig text while Eqs (5) ad (6) are ( ) ( y 4 ) Y ( ) * * * a a + b * * * ( L a b )= 6 * * bl ρ / ( ) H C ( HVC )= 6 V associated oly to two color classificatio systems (XYZ) ad (HVC) All the itroduced redess rates are most optimal for the artificial biary mixtures of haematite ad remaiig iro oxide-free soil compoet Ufortuately they are restricted by saturatio i redess for haematite cotet higher tha about 5 Accordig to [4] the quatities of Eqs (7) (9) followig from tests util the maximum correlatio was obtaied betwee the redess rate ad haematite cotet κ h seems to be more realistic ad hece more useful i practice rather tha the quatities of Eqs (5) ad (6) Hece oly the quatities of Eqs (7) (9) are cosidered i the followig text The tests metioed above also show usefuless of Eqs (7) (9) to determie the redess effects of haematite i a biary mixture with goethite I such cases the color chages occur up to about κ h = for haematite ad up to about κ g = for goethite I the case of pure haematite a decrease i the redess rate was observed for κ h > 5 while i goethite the primary yellowess decreases for κ g > 5 Because of obvious much lower pigmetig effectivity of goethite i three-part haematite goethite ad iro oxide-free soils their color redess effects are essetially isesitive to the goethite cotet κ g Hece the maximum value κ h = 5 (alredy metioed above for osaturated redess) ca be accepted also for such soils The commo (average) pigmet mixtures foud i atural soils of haematite goethite ad iro oxide-free compoets usually cotai κ h < 5 ad κ g < 5 Therefore the exploitatio of the redess rates of Eqs (7) (9) is allowable I accordace with [6-4] the quatities (color coordiates) i Eqs (5) (9) realize the classical defiitios: X Y x y X Y Z X Y Z z Z = = = X + Y + Z X k P λ E λ x λ d λ = ( ) ( ) ( ) λ Y k P λ E λ y λ d λ = ( ) ( ) ( ) λ Z k P λ E λ z λ d λ = ( ) ( ) ( ) λ k = / λ E( λ) y( λ) dλ Y * Y L = 6 6 for > 8856 Y Y / Y * Y L = 9 for 8856 Y Y a b * * X = 5 X Y = 5 Y () (a) (b) (c) () (a) (b) (c) (d) (4) where X Y ad Z are the CIE tristimulus color coordiates for the illumiat referece white The sample light spectral compositio fuctio P(λ) i Eqs () represets either the reflectace spectrum R(λ) (if the sample is cosidered as opaque) or the absorbace spectrum A(λ) (if the sample is cosidered as trasparet) E(λ) deotes the power / / Y Y Z Z / / * b H * H a V L * C C * a * b * / arcta *