CVIČNÝ TEST 23. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 23 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

2 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete nulové body následujících výrazů. 1.1 V(a) = 9 a 27 3 a ; a R 1.2 V(b) = log log 2 (1 b); b ( ; 1) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Ve hře Sportka sázející tipuje 6 čísel ze 49, přičemž se každou středu a neděli losuje 6 čísel ze 49. Ve hře Šťastných 10 sázející tipuje 1 až 10 čísel z 80, přičemž se každý den losuje 10 čísel z 80. Jan a Petr spolu vyplnili sázenky na nedělní tah. Jan si vsadil ve hře Sportka a zakřížkoval 6 čísel v jednom sloupečku sázenky. Petr si zase vsadil ve hře Šťastných 10 a zakřížkoval 10 čísel v jednom sloupečku sázenky. 1 bod 2 Kdo z dvojice Jan, Petr má větší pravděpodobnost, že uhodne ve své loterii právě polovinu z tažených čísel? VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Na číselné ose je obraz racionálního čísla A = Křížkem vyznačte na číselné ose obraz racionálního čísla B = bod 4 Určete maximální definiční obor iracionálního výrazu V(x) = 2 x 1. 1 bod 2 Maturita z matematiky 03

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 K jednomu rohu ohrady čtvercového výběhu je provazem přivázaná koza. K protějšímu rohu výběhu pak je provazem přivázán kozel. Délka jejich provazů je stejná, přičemž se oba dostanou nejdále přesně do středu výběhu. 5 Jakou část výběhu koza a kozel spasou dohromady? (Zanedbejte dobu pasení i růst trávy. Výsledek uveďte v celých procentech.) V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Poločasem přeměny rozumíme dobu, za kterou se přemění polovina z původního počtu jader ve vzorku. Pro konkrétní izotop je konstantní. Např. poločas přeměny francia 223 Fr je přibližně 20 minut, což znamená, že za prvních 20 minut zbude ve vzorku polovina původního počtu jader, za dalších 20 minut zbude ve vzorku polovina z poloviny původního počtu jader, za dalších 20 minut zbude ve vzorku polovina z poloviny z poloviny původního počtu jader atd. 6.1 Za jak dlouho se přemění 3 4 původního počtu jader ve vzorku? 6.2 Jakou hmotnost bude mít francium 223 Fr po 2 hodinách, jestliže hmotnost původního vzorku byla 150 g? (Výsledek zaokrouhlete na desetiny g.) Maturita z matematiky 03 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán graf kvadratické funkce (viz obrázek). 7 Které z následujících kvadratických funkcí patří tento graf? A) y = (x 1) B) y = 4 (x 1) 2 C) y = (x + 1)(x 3) D) y = (1 x)(3 + x) E) y = 3 2x x 2 2 body 8 Je dán vektor u = (1; 3). Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 8.1 Vektor v = (9; 3) je vektor kolmý k vektoru u. 8.2 Násobkem vektoru u je vektor w = ( 1 3 ;1). 8.3 Vektor u je směrovým vektorem přímky p: x 3y + 2 = Pro vektor u platí: u = AB, kde A[ 1; 4], B[ 2; 1]. ANO NE 4 Maturita z matematiky 03

5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Pro y R { 2; 0; 2} je dán lomený výraz: V(y) = ( y 1 y 2 y + 1 y + 2 ) : y 8 + 2y 2. 9 Která z možností představuje hodnotu výrazu pro y = 1 2? A) B) 14 C) 4 D) 4 E) 14 2 body VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Do krychle o délce hrany a = 12 cm je vepsán válec o maximálním objemu (viz obrázek). max. 4 body 10 Přiřaďte každé z ploch ( ) jeden z obsahů zaokrouhlených na celé cm 2 (A F) podstava krychle 10.2 plášť krychle 10.3 podstava válce 10.4 plášť válce A) 113 cm 2 B) 144 cm 2 C) 226 cm 2 D) 452 cm 2 E) 576 cm 2 F) 864 cm 2 KONEC TESTU Maturita z matematiky 03 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Určete nulové body následujících výrazů. 1.1 V(a) = 9 a 27 3 a ; a R Nulový bod výrazu je taková hodnota proměnné, ve které má výraz obsahující tuto proměnou nulovou hodnotu. Nulový bod hledáme tak, že výraz položíme roven nule a řešíme rovnici, která tak vznikne. 9 a 27 3 a = 0 (3 2 ) a = a 3 2a = a a = Řešení: a = V(b) = log log 2 (1 b); b ( ; 1) log log 2 (1 b) = 0 2 log 2 (1 b) = log log 2 (1 b) = 4 log 2 (1 b) = 2 1 b = 2 2 b = 3 4 Řešení: b = 3 4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Ve hře Sportka sázející tipuje 6 čísel ze 49, přičemž se každou středu a neděli losuje 6 čísel ze 49. Ve hře Šťastných 10 sázející tipuje 1 až 10 čísel z 80, přičemž se každý den losuje 10 čísel z 80. Jan a Petr spolu vyplnili sázenky na nedělní tah. Jan si vsadil ve hře Sportka a zakřížkoval 6 čísel v jednom sloupečku sázenky. Petr si zase vsadil ve hře Šťastných 10 a zakřížkoval 10 čísel v jednom sloupečku sázenky. 1 bod 2 Kdo z dvojice Jan, Petr má větší pravděpodobnost, že uhodne ve své loterii právě polovinu z tažených čísel? Pravděpodobností jevu A rozumíme číslo P(A) = m n, kde n je počet všech výsledků náhodného pokusu a m je počet výsledků příznivých jevu A. Ve hře Sportka je tažených 6 čísel ze 49, jedná se o kombinace bez opakování, protože na pořadí tažených čísel nezáleží a nevrací se zpět do osudí, tj. n = C 6 (49) = ( 49 6 ). Situace, ve které Jan uhodne polovinu tažených čísel, tedy 3 čísla z 6 výherních, znamená, že zbylá 3 nevýherní čísla jsou ze 43, protože 43 = Opět se jedná o kombinace bez opakování, protože na pořadí při tipování čísel nezáleží a jedno číslo lze tipnout pouze jednou, navíc využijeme kombinatorické pravidlo o součinu, tj. m = C 3 (6) C 3 (43) = ( 6 3 ) ( 43 3 ). 6 Maturita z matematiky 03

7 ( 6 P(A) = m 3 ) ( 43 3 ) = = 0,0177 n ( 49 6 ) Ve hře Šťastných 10 je tažených 10 čísel z 80, tj. n = C 10 (80) = ( ). Situace, ve které Petr uhodne polovinu tažených čísel, tedy 5 čísel z 10 výherních, znamená, že zbylých 5 nevýherních čísel je z 70, protože 70 = 80 10, tj. m = C 5 (10) C 5 (70) = ( 10 5 ) ( 70 5 ). ( 10 5 ) ( 70 5 ) P(B) = m = = 0,0019 n ( ) 0,0177 > 0,0019 Větší pravděpodobnost, že ve své loterii uhodne právě polovinu z tažených čísel, má Jan. Řešení: Jan VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Na číselné ose je obraz racionálního čísla A = Křížkem vyznačte na číselné ose obraz racionálního čísla B = bod Obraz čísla A = 3 2 odpovídá na číselné ose 18 dílům. A = 3 2 = 18 12, což znamená, že na 1 díl připadá Obraz čísla B = 2 3 = 8 12 tedy na číselné ose odpovídá 8 dílům. Řešení: 4 Určete maximální definiční obor iracionálního výrazu V(x) = 2 x 1. 1 bod Maturita z matematiky 03 7

8 Určíme podmínky, za nichž má výraz V(x) smysl, neboť maximální definiční obor výrazu V(x) jsou všechny přípustné hodnoty proměnné x. x 0 2 x x x 0 x ( ; 0) x (0; 2 x 2, + ) 2 x + + x x + x Maximálním definičním oborem jsou x (0; 2. Řešení: x (0; 2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 K jednomu rohu ohrady čtvercového výběhu je provazem přivázaná koza. K protějšímu rohu výběhu pak je provazem přivázán kozel. Délka jejich provazů je stejná, přičemž se oba dostanou nejdále přesně do středu výběhu. 5 Jakou část výběhu koza a kozel spasou dohromady? (Zanedbejte dobu pasení i růst trávy. Výsledek uveďte v celých procentech.) V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Koza i kozel spásají plochu tvaru čtvrtkruhu o poloměru r = u 2, kde u je úhlopříčka ve čtverci, tj. u = a 2. Celková spásaná plocha má tedy tvar půlkruhu o obsahu S = 1 2 πr 2 = 1 2 π( u 2 ) 2 = 1 2 π( a 2 2 ) 2 = = 1 π a2 2 = 1 πa Má-li celý výběh plochu a 2, pak spásaná část 1 1 πa 2 πa 2 tvoří 4 = π = 0,79, tj. 79 %. 4 4 Koza s kozlem spasou cca 79 % výběhu. a 2 Řešení: 79 % 8 Maturita z matematiky 03

9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Poločasem přeměny rozumíme dobu, za kterou se přemění polovina z původního počtu jader ve vzorku. Pro konkrétní izotop je konstantní. Např. poločas přeměny francia 223 Fr je přibližně 20 minut, což znamená, že za prvních 20 minut zbude ve vzorku polovina původního počtu jader, za dalších 20 minut zbude ve vzorku polovina z poloviny původního počtu jader, za dalších 20 minut zbude ve vzorku polovina z poloviny z poloviny původního počtu jader atd. 6.1 Za jak dlouho se přemění 3 4 původního počtu jader ve vzorku? Za prvních 20 minut zbude ve vzorku polovina původního počtu jader, za dalších 20 minut zbude ve vzorku polovina z poloviny původního počtu jader, což je čtvrtina původního počtu jader, a tedy 3 4 původního počtu jader ve vzorku se za tu dobu rozpadnou. 3 4 původního počtu jader ve vzorku se přemění za 40 minut. Řešení: 40 minut 6.2 Jakou hmotnost bude mít francium 223 Fr po 2 hodinách, jestliže hmotnost původního vzorku byla 150 g? (Výsledek zaokrouhlete na desetiny g.) Radioaktivní přeměna představuje geometrickou posloupnost, kde a 1 = 150 g a q = 1. 2 Jestliže první člen této posloupnosti a 1 = 150 g je hmotnost původní vzorku (t = 0 min), pak hmotnost vzorku v čase t = 2 h = 120 min je sedmý člen (dojde k šesti přeměnám ). a 7 = a 1 q 6 = 150 ( 1 2 ) 6 = 2,3 Po dvou hodinách bude mít francium 223 Fr hmotnost cca 2,3 g. Řešení: 2,3 g VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán graf kvadratické funkce (viz obrázek). Maturita z matematiky 03 9

10 7 Které z následujících kvadratických funkcí patří tento graf? A) y = (x 1) B) y = 4 (x 1) 2 C) y = (x + 1)(x 3) D) y = (1 x)(3 + x) E) y = 3 2x x 2 2 body Jestliže grafem kvadratické funkce je konkávní parabola s vrcholem v bodě V[1; 4], jejíž průsečíky se souřadnicovými osami jsou body P y [0; 3], P x1 [ 1; 0], P x2 [3; 0], může její předpis vypadat takto: y = a(x 1) 2 + 4, takto: y = a(x + 1)(x 3) nebo takto: y = ax 2 + bx + 3, přičemž a < 0. Jestliže funkce s předpisem y = a(x 1) prochází bodem P y [0; 3], lze vypočítat hodnotu parametru a: 3 = a(0 1) = a + 4 a = 1. Předpisy y = (1 x)(3 + x) a y = 3 2x x 2 = (x 2 + 2x 3) = (x + 3)(x 1) odpovídají grafu, jehož průsečíky se souřadnicovou osou x jsou v bodech P x1 [ 3; 0], P x2 [1; 0]. V předpisech y = (x 1) a y = (x + 1)(x 3) je a = 1 > 0. Správná možnost je B. Řešení: B 8 Je dán vektor u = (1; 3). Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 8.1 Vektor v = (9; 3) je vektor kolmý k vektoru u. 8.2 Násobkem vektoru u je vektor w = ( 1 3 ;1). 8.3 Vektor u je směrovým vektorem přímky p: x 3y + 2 = Pro vektor u platí: u = AB, kde A[ 1; 4], B[ 2; 1]. ANO NE 8.1 Vektory u, v jsou na sebe kolmé, jestliže jejich skalární součin je roven nule, tj. u v = 0. u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 = ( 3) 3 = 9 9 = 0 Tvrzení je pravdivé. 8.2 Vektor w je násobkem vektoru u, jestliže platí: w = k u. w = ( 1 ; 3 1) = 1 (1; 3) = 1 u 3 3 Tvrzení je pravdivé. 8.3 Z obecné rovnice přímky p: x 3y + 2 = 0 vyplývá, že vektor u = (1; 3) je jejím normálovým vektorem, nikoliv vektorem směrovým. Tvrzení je nepravdivé. 8.4 Jsou-li dány body A[ 1; 4], B[ 2; 1], pak pro vektor AB platí: AB = B A = ( 1; 3) u. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, ANO, NE, NE 10 Maturita z matematiky 03

11 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Pro y R { 2; 0; 2} je dán lomený výraz: V(y) = ( y 1 y 2 y + 1 y + 2 ) : y 8 + 2y 2. 9 Která z možností představuje hodnotu výrazu pro y = 1 2? A) B) 14 C) 4 D) 4 E) 14 2 body Vypočítat hodnotu výrazu je možné dvěma způsoby, buď dosadit za proměnnou příslušnou hodnotu a vypočítat číselný výraz, nebo algebraický výraz upravit a zjednodušit, a teprve poté dosadit za proměnnou příslušnou hodnotu. y = (y 1)(y + 2) (y + 1)(y 2) 8 2y2 = 8 2y 2 (y 2)(y + 2) y = y2 + y 2 y 2 + y + 2 2(2 y)(2 + y) = 2y 2(y 2)(y + 2) = 4 (y 2)(y + 2) y (y 2)(y + 2) y Zjednodušením jsme zjistili, že pro všechna y R { 2; 0; 2} platí: V(y) = 4. Správná možnost je tedy C. V(y) = ( y 1 y 2 y + 1 y + 2 ) : Řešení: C VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Do krychle o délce hrany a = 12 cm je vepsán válec o maximálním objemu (viz obrázek). Maturita z matematiky 03 11

12 max. 4 body 10 Přiřaďte každé z ploch ( ) jeden z obsahů zaokrouhlených na celé cm 2 (A F) podstava krychle 10.2 plášť krychle 10.3 podstava válce 10.4 plášť válce A) 113 cm 2 B) 144 cm 2 C) 226 cm 2 D) 452 cm 2 E) 576 cm 2 F) 864 cm Podstavou krychle je čtverec o straně a = 12 cm, jehož obsah je S = a 2 = (12 cm) 2 = 144 cm 2. Správná možnost je B Pláštěm krychle je obdélník o rozměrech a = o p = 4a = 48 cm a b = v = a = 12 cm, jehož obsah je S = ab = (48 cm) (12 cm) = 576 cm 2. Správná možnost je E Podstavou válce je kruh o poloměru r = a = 6 cm, jehož obsah je S = πr 2 = π(6 cm) 2 = 36π cm 2 = 2 = 113 cm 2. Správná možnost je A Pláštěm válce je obdélník o rozměrech a = o p = 2πr = 12π cm a b = v = a = 12 cm, jehož obsah je S = ab = (12π cm) (12 cm) = 144π cm 2 = 452 cm 2. Správná možnost je D. Řešení: B, E, A, D KONEC TESTU 12 Maturita z matematiky 03

13 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů a = 3 1 bod 1.2 b = bod 2 Jan 1 bod 3 1 bod 4 x (0; 2 1 bod 5 Koza i kozel spásají plochu tvaru čtvrtkruhu o poloměru r = u, kde u je úhlopříčka ve čtverci, 2 tj. u = a 2. Celková spásaná plocha má tedy tvar půlkruhu o obsahu S = 1 2 πr 2 = 1 2 π( u 2 ) 2 = 1 2 π( a 2 2 ) 2 = 1 2 π a2 2 4 = 1 4 πa 2. Má-li celý výběh plochu a 2, pak spásaná část 1 4 πa 2 tvoří 1 4 πa 2 = π 4 = 0,79, tj. 79 %. a 2 Koza s kozlem spasou cca 79 % výběhu. Řešení: 79 % minut 1 bod 6.2 2,3 g 1 bod 7 B 2 body ANO 8.2 ANO 8.3 NE 8.4 NE 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky 03 13

14 9 C 2 body B 10.2 E 10.3 A 10.4 D max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 14 Maturita z matematiky 03

15 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 5 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod 2 1 bod 3 1 bod 4 1 bod bod bod 7 2 body podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky 03 15

16 9 2 body max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 16 Maturita z matematiky 03