Chyby a nejistoty měření

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Chyby a nejistoty měření"

Transkript

1 Moderní technologie ve stdi aplikované fyziky CZ..07/..00/ Chyby a nejistoty měření (doplňjící tet k laboratorním cvičení) Připravili: Petr Schovánek, Vítězslav Havránek

2 Obsah Obsah... Seznam ilstrací... Seznam tablek Úvod Měření ve fyzice Chyby měření Hrbé chyby Systematické chyby Náhodné chyby Veličiny a výrazy spojené s chybami Zaokrohlování Příklad zpracování měření Měřicí přístroje Analogové Čtení stpnice Příklad chyby analogového měřidla Digitální Příklad s chybo rozsah Příklad s chybo digit Nejistota měření Veličiny, výrazy a vztahy Nejistota typ A Příklad výpočt standardní nejistoty typ A Rozšířená nejistota Nejistota typ B Příklad sočt nejistot Nejistota vypočtené hodnoty Příklad výpočt nejistoty z fnkce... 7 Poděkování... 8 Požité zdroje... 8 Seznam ilstrací Obr.. Gassovo rozdělení... 7 Obr.. Intervaly pravděpodobnosti... 7 Obr. 3. Vliv počt měření n na hodnot... 7 Obr. 4. Tlošťka koncové měrky v řez... 6

3 Seznam tablek Tab.. Přehled vzorců... 6 Tab.. Zaokrohlování... 8 Tab. 3. Naměřené hodnoty... 8 Tab. 4. Analogová měřidla... 0 Tab. 5. Nejistota... 4 Tab. 6. Rozšiřjící koeficienty... 4 Tab. 7. Naměřená data

4 . Úvod Každé měření ve fyzice, ať již etenzivních (např. délka) nebo intenzivních (např. teplota) veličin, je zatíženo rčito nepřesností způsobeno nejrůznějšími negativními vlivy, které se v měřicím proces vyskytjí. To se projeví odchylko mezi naměřeno a sktečno hodnoto sledované veličiny. Výsledek měření se tak vždy pohybje v rčitém pravděpodobném rozsah (tzv. chybovém interval), o který se může sktečná hodnota veličiny odlišovat od naměřené. Účelem tohoto tet je přehledně vést základní teorii a postpy zpracování výsledků měření vzhledem k těmto nepřesnostem. Důraz je kladen na přehlednost a srozmitelnost. Uvedené příklady jso aplikovatelné hlavně v laboratorních cvičeních. Pro ostatní obory jso postpy a příklady požitelné bď přímo na základě fyzikální analogie, případně pomocí vhodného přizpůsobení. Relativně samostatno částí článk je přehled tříd přesnosti samotných měřicích přístrojů. S tím sovisí způsob odečt hodnot ze stpnic přístrojů, zvl. v analogovém provedení. Uvedeny jso také vztahy pro výpočet nejistoty nepřímo měřených veličin, které jso z naměřených hodnot vypočítávány. V vedených vzorových příkladech je kladen důraz i na formálně a věcně správný zápis výsledné hodnoty s rčeno nejistoto (příp. chybo).. Měření ve fyzice K vyhodnocení výsledků ve fyzikálních a technických měřeních můžeme volit různé přístpy. Při rčení nepřesnosti měření eistjí dva základní postpy: starší a jednodšší chybový, novější a komplenější vyhodnocení prostřednictvím nejistot měření. Preferována je drhá metoda. Přírčka vádí oba přístpy odděleně, neboť nejistoty měření vycházejí i z původní chybové koncepce a obsahjí ji, přičemž ve specifických případech je vyjádření samotné chyby postačjící. Chyby se vyjadřjí v absoltních nebo relativních hodnotách. Podle jejich působení lze chyby rozdělit na systematické, náhodné a hrbé. Podle svého zdroje se rozděljí na chyby přístroje, metody, pozorování a vyhodnocení. Nejistota měření charakterizje rozsah naměřených hodnot okolo výsledk měření, který lze zdůvodněně přiřadit k hodnotě měřené veličiny. Nejistota se týká 4

5 nejen samotného měření, ale zahrnje také nepřesnost měřicích přístrojů, hodnoty požitých konstant, korekcí apod., na kterých celková nejistota výsledk závisí. 3. Chyby měření Tato klasická koncepce stanovení chybového interval byla dříve jedino možností jeho rčení, nyní bývá jedno ze sočástí zpracování nejistoty měření. Vzhledem k její důležitosti je zde vedena samostatně. Podle povahy a účink se dělí na tři kategorie. 3.. Hrbé chyby Hrbé chyby (jiné označení je vybočjící nebo odlehlé hodnoty) jso způsobeny výjimečno příčino, nesprávným zapsáním výsledk, náhlým selháním měřicí aparatry, nesprávným nastavením podmínek měření apod. Naměřená hodnota se značně liší od ostatních hodnot získaných při opakovaném měření. Takové měření je třeba ze zpracování vyločit, aby nezkreslovalo výsledek. 3.. Systematické chyby Systematická chyba se přičítá (násobí apod.) k měřené hodnotě; ovlivňje náměr konstantně jedním směrem, i když se velikost ovlivnění může časem měnit např. v důsledk stárntí měřicího přístroje. Chyb můžeme tedy matematicky z náměr korigovat, pokd ji známe. Problémem je tedy její identifikace a kvantifikace. Po následné korekci naměřených dat ale dostáváme správné výsledky měření. Odhalit přítomnost systematické chyby může být někdy náročné. Nejprve bychom si měli vědomit, zda systematická chyba nevyplývá přímo z metody měření. Zpravidla pak již není problém ji matematicky korigovat. Např. při nepřímém měření odpor voltmetrem a ampérmetrem se kompenzje dle zapojení bď spotřeba ampérmetr nebo voltmetr. Je-li však tato korekce menší než chyby způsobené nepřesností přístrojů, nemsíme kompenzaci započítávat. Další možností identifikace systematické chyby je srovnávací měření jino metodo. V některých případech nás může na systematicko chyb pozornit i nesohlas naměřených hodnot s matematickým modelem příslšného děje, tj. výsledky neodpovídají teoretickém průběh, např. nesohlasí význačné hodnoty jako je nlová apod. 5

6 3.3. Náhodné chyby Nejčastěji važjeme o sočt velkého množství malých ršivých účinků, které ovlivňjí výsledno hodnot. Statistická rozdělení elementárních zdrojů chyb moho být obecná, ve výsledném sočt se zpravidla přibližjí Gassov průběh rozdělení. Náhodno chyb z jednoho měření nemůžeme stanovit. Náměr msí být vícenásobný a zpracjeme jej statistickými metodami za předpoklad rčitého rozložení náhodných chyb. Minimální počet měření možňjící statistické zpracování je 5-0. Maimální počet měření bývá omezen časem, náklady apod. Více než 00-násobné opakování zpravidla již výrazněji nezpřesňje výsledek, jak vyplývá z obr Veličiny a výrazy spojené s chybami Následjící přehled vádí vzorce pro výpočet veličin požívaných v sovislosti se stanovením chyb: Správná hodnota měřené veličiny X i-tá hodnota veličiny i Absoltní chyba měření i X i i Relativní chyba měření i δi X Pravděpodobná hodnota veličiny při n měřeních i n Rozptyl (variance) ρ ( i) n Střední kvadratická chyba ρ ( i) n Směrodatná chyba ρn ( i) n Chyba aritmetického průměr n měření ρ ( i) n(n ) Pravděpodobná chyba aritmetického průměr θ ( i) 3 n(n ) Krajní chyba měření Tab.. Přehled vzorců κ 3 ( i) n(n ) 6

7 K rčení chyb se nejčastěji pracje s následjícími veličinami. Směrodatná chyba nám dává interval, v jakém se pro Gassovo rozložení naměřených hodnot každé jednotlivé měření vyskytne s pravděpodobností 68 %, což můžeme zapsat ρn,+ ρ n ; viz obr.. Výsledek měření pak vádíme pomocí chyby měření výrazem ± ρ. Pravděpodobná chyba aritmetického průměr θ definje takový ± θ interval kolem pravděpodobné hodnoty, že správná hodnota X leží s 50% pravděpodobností v tomto interval. Protože poloviční jistota někdy nestačí, zavádíme také krajní chyb měření κ, což je interval, v jehož rozmezí se nachází správná hodnota s pravděpodobností %. 7

8 3.5. Zaokrohlování Údaj z měřícího přístroje nebo výsledek výpočt zpravidla obsahje jiný počet desetinných míst než odpovídá přesnosti měření. Výsledek tedy msíme zaokrohlit a zaokrohljeme také velikost chybového interval. Hodnota výsledk se standardně zaokrohlje podle cifry v nižším řád než je chybový interval, tj. od 0 do 4 poslední platná cifra zůstane a od 5 výše přičteme jedničk. Hodnot chybového interval zaokrohljeme nahor na jedn platno cifr, ale v případě, že interval začíná číslicí nebo, tak na dvě cifry a to rovněž nahor. V desetinné části hodnoty, která nemá dostatečný počte platných cifer, msíme v zápis výsledk doplnit nly podle řád chyby, viz následjící tablka s přehledem zaokrohlování: 0,3456± ,3456± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± 0.9 3± 3.5± ± 0.9 Tab.. Zaokrohlování 3.6. Příklad zpracování měření Opakovaným měřením jsme získali deset hodnot s přesností na dvě platné cifry, viz následjící tablka. Určete chyb měření. č. m. i hodnot i Tab. 3. Naměřené hodnoty 8

9 Rozdíly mezi hodnoto [ 9] 5.3 a ostatními jso výrazně vyšší než vzájemné rozdíly mezi ostatními hodnotami, toto měření proto vyločíme jako zatížené hrbo chybo. Zůstane tedy n 9 hodnot. n i ( ).96 () n 9 i ρ ( i) n(n ) (.9.96) 9( 9 ) +(.4.96) + +(.3.96) ± ρ.97± 0.6 Hodnoty, 6, 7, 8 a 0 jso menší než pravděpodobná hodnota,, 3, 4 a 5 větší, což vytváří přibližně poloviny; pravděpodobná hodnota je tedy mediánem sobor. Směrodatná chyba vytváří interval: ρ n ( i) () n (.9.96) 9 +(.4.96) + +(.3.96) ρn,+ρn , ,.43 V tomto interval neleží hodnoty 5, 7 a 6. je na hranici, tedy 67 % hodnot v něm leží. Můžeme proto předpokládat, že naměřený sobor přibližně vyhovje Gassov rozložení četnosti hodnot a výsledek je platný. Uvedené algoritmy bývají standardní sočástí programového vybavení vědeckých kalklaček a tablkových procesorů. V části statistika nalezneme fnkce 9

10 AVERAGE pro pravděpodobno hodnot, STDEV pro chyb aritmetického průměr apod. 4. Měřicí přístroje Měřicí přístroje dělíme z hlediska zobrazení údajů na analogové a digitální. Do první skpiny patří přístroje s mechanickým pohybem rčky kazatele (příp. stpnice vůči rysce). Digitální přístroje kazjí přímo číselno hodnot. Do této skpiny zahrnjeme i elektronická měřidla, která rčk nebo slopec jen zobrazjí na displeji. 4.. Analogové Důležité veličiny analogových měřidel jso shrnty v tab. 4. Měřicí rozsah (ma. hodnota, ktero můžeme měřit) M Ma. absoltní chyba Třída přesnosti měřidla T 00 M Normované hodnoty třídy přesnosti Tab. 4. Analogová měřidla Laboratorně naměřeno tříd přesnosti přístroje výrobci zaokrohljí na normované hodnoty v příslšném dekadickém řád. Ve výpočtech se pak važje kladná i záporná chyba. Fyzikální rozměr % se zpravidla třídy přesnosti nepíše. 4.. Čtení stpnice Při odečt se snažíme získat co nejpřesnější výsledek. Dbáme, aby byl přístroj v předepsané poloze (vodorovně, svisle nebo s předepsaným sklonem, což je zpravidla vyznačeno značko na stpnici). Ukazatel měřené veličiny se na stpnici často nekryje s žádným dílkem, ale leží např. mezi k-to a (k+ ) -ní dělicí čárko. Čtená hodnota tedy leží mezi nimi a 0

11 její velikost odhadjeme v desetinách dílk. Řídíme se přitom následjícími empirickými zásadami:. Je-li dělení stpnice hsté a má-li dělicí čárky (rysky) tlsté (široké), odhadjeme poloviny dílků a chyba odhad je ± 0.5 velikosti dílk.. Jso-li dělicí čárky dostatečně tenké proti jejich vzdálenostem, můžeme odhadovat desetiny nejmenších dílků stpnice a chyba je ± dílk. 3. Je-li stpnice opatřena noniem, tj. pomocno stpnicí s n-tinovým dělením, čteme přesně n -tiny dílk hlavní stpnice a odhadjeme poloviny n-tin, což je i velikost chyby odhad. Další chyba může vzniknot při odečt hodnoty vlivem paralay. Pokd rčka neleží v rovině stpnice a nepozorjeme ji kolmo, promítá se do nesprávné polohy. Přesnější přístroje mají pod rčko zrcátko; při správném úhl pohled msí rčka zastiňovat svůj obraz Příklad chyby analogového měřidla T.5. Měřidlo naměřilo na rozsah M 30 hodnot 4.5 a má tříd přesnosti MT (3) δ Hodnota 4.5± 0.8, relativní chyba měření je 5 %.

12 4.4. Digitální Měřidla s digitálním výstpem kazjí přímo číselno hodnot, tdíž odpadají chyby pozorovatele spojené s odečítáním ze stpnice (způsobené např. paralao), přepočítáváním údajů dle rozsah atd. Chyb přístroje dávají výrobci jako sočet dvo členů a to dvěma způsoby: ± ( % chyby čtení + % chyby rozsah), nebo ± ( % chyby čtení + počet digitů s nejmenší váho (LSB)). Zjednodšeně je možno vádět jejich tříd přesnosti jako analogových přístrojů. Displeje jso charakterizovány svojí délko - počtem zobrazených cifer. Je-li za tímto číslem zlomek /, pak je před vedeným počtem normálních číslicovek ještě další s omezeným rozsahem, která může zobrazovat jen hodnoty 0 nebo. Jeli dodatkem zlomek 3/4, pak první číslicovka může zobrazovat čísla od 0 až do případně 8 dle rozsahů měřidla Příklad s chybo rozsah Digitální mltimetr s 4/ místným displejem a přesností ± 0. % ± 0.05 % dává na rozsah M 00 V napětí V. Na tomto rozsah tedy může zobrazit nejvyšší hodnot V. čtení + rozsah (4) [V] 75.00± 0.3 [V]

13 4.6. Příklad s chybo digit Digitální mltimetr s 33/4 místným displejem a přesností ± 0.08 % ± 3 naměřil na rozsah M 60 ma hodnot i ma. Nejvyšší zobrazitelná hodnota prod je ma. Nejnižší digit (LSB) má velikost 0.0 ma. i i čtení +M LSB (5) [ma] i 5.09± 0.04 [ma] 5. Nejistota měření V sočasnosti se při měření vyjadřje převážně jeho nejistota. Na rozdíl od výše vedené chybové koncepce jde o komplenější posození měření, važjeme o nejistotách celého měřicího řetězce. Tento můžeme rozdělit na články: fyzikální jev - etalon - kalibrační postp - měřidlo - ršivé vlivy při měření. článk. Mnohdy se však v řetězci výrazně platňje nepřesnost poze jednoho jeho Nejistoty jso typ A nebo B dle svého charakter, viz dále. Více nejistot v měřicím řetězci se zpravidla sčítá geometricky, někdy provádíme výpočet krajních hodnot interval nejistoty. 3

14 5.. Veličiny, výrazy a vztahy Výpočt nejistot se týkají následjící parametry, viz tab. 5. Nejistota typ A / B A / B Koeficient nejistoty typ A k A Rozšířená nejistota typ A a koeficient rozšíření SkS A Tab. 5. Nejistota 5.. Nejistota typ A Tato nejistota je, stejně jako výše vedené chyby, způsobena mnoha malými náhodnými vlivy. Je-li počet měření n alespoň 0, rčení nejistoty je stejné jako v případě jednodchého stanovení chyby, viz výše. Při menším počt násobíme chyb koeficientem k A z tablky 6, se zmenšjícím se n totiž klesá věrohodnost nejistoty, což koeficient kompenzje. poč. m. n koef. k A Tab. 6. Rozšiřjící koeficient 5.3. Příklad výpočt standardní nejistoty typ A Naměřená data jso v tab. 7 a rčjeme interval standardní nejistoty. č. m. i hodnota i Tab. 7. Naměřená data n i ( ).97 (6) n 0 i 4

15 A ks ρ ( i) n(n ) 0( 0 ) [(.9.97) +(.4.97) + +(.3.97) ] ± A.0± Rozšířená nejistota O rozšířených nejistotách S mlvíme, pokd interval nejistoty vynásobíme konstanto rozšíření k S. Pro k S do něj spadá 95 % hodnot z n měření a pro k 3 celých 99.7 % (pro k je to 68 %). S S A 5.5. Nejistota typ B Nejistota B typ nemá náhodný charakter. Při opakovaných měřeních na sebe pozorní trvalým výskytem. Tto nejistot stanovíme z charakter měření, bez statistického výpočt, tj. jde o nedokonalosti způsobené měřicími přístroji, techniko, metodami, konstantami, podmínkami, za kterých měření probíhá, popř. vlivem operátora. Při jejím rčení tedy odhadjeme maimální rozsah odchylek od naměřené hodnoty tak, aby v něm sktečná hodnota s velko pravděpodobností ležela. V případě, že máme stanoveno více nejistot v měřicím řetězci, výsledno nejistot dostaneme jejich geometrickým sočtem. Korelace mezi jednotlivými zdroji nejistot typ B se nebere v úvah Příklad sočt nejistot Měříme komparačně středovo tlošťk čočky, tj. porovnáváme její tlošťk s koncovými (Johansonovými) měrkami pomocí číslicového úchylkoměr (hodinek). 5

16 Jde o přesné (přesnější než posvným měřítkem nebo mikrometrem) komparační měření mechanických sočástí mezi dvěma hroty, z nichž jeden je pevný a drhý, posvný, náleží k úchylkoměr. měrky jso položeny na sebe a mají nepřesnost B ±0.5 µm,, úchylkoměr má B ± µm, a deformaci hrotů během měření odhadneme na B3 ±0.3 µm. B B B B (7) Výsledná nejistota měření B ±.3 µm. Výpočet požijeme pro orientaci před vlastním měřením, případně pokd máme měření jen jedno. Pokd je statistická chyba vícenásobného měření výrazně nižší než výše vypočtená, msíme zvážit, zda nejso hodnoty zatíženy systematicko chybo a dle toho stanovit nejistot výsledk. Tlošťk čočky můžeme měřit také posvným měřítkem nebo mikrometrem. Nejistot stanovíme mechanických měřidel z dělení stpnice, viz výše, případně z údajů o kalibraci. Pro měřidla s digitálním výstpem požijeme standardní zde vedený postp Nejistota vypočtené hodnoty Při nepřímém měření, kdy je výsledek dán výpočtem, nejistot stanovíme dle příslšných matematických operací. 6

17 za z a zy z y ( ) +( y y ) z± y z + y z y z y ( ) y +( y ) (8) z a z a z U složitějších fnkcí je jednodšší dosadit do vzorce krajní hodnoty a z nich rčit výsledný interval. Konstanty ( π apod.) dosazjeme o řád přesnější, než je předpokládaná nejistota výsledk Příklad výpočt nejistoty z fnkce Změřili jsme úhel α 0'0."+ - 0." a přepon c.00000± Jako má délk protilehlá odvěsna a?. + ac sinα sin( + 60 ) a sin( ) (9) a sin( + 60 ) a ±

18 Ale naopak pro odvěsn délky a ± a přepon c ± 0 dostáváme možno nejistot úhl α 88 59'5"; 89 00' 04" α 88 59'58"+ - 6", což je šedesátinásobek předchozí nejistoty. Poděkování Tento podpůrný stdijní tet vznikl za finanční podpory Evropského sociálního fond v ČR v rámci projekt CZ..07/..00/ Moderní technologie ve stdi Aplikované fyziky. Požité zdroje []MELOUN M., MILITKÝ J.: Statistické zpracování eperimentálních dat. East Pblishing, Praha, 998. []VÍTOVEC J.: Stanovení nejistot měření. ČMÚ, Praha, 993. [3]HAASZ V.: Elektrická měření. ČVUT, Praha, 003. [4]ANDĚL J.: Statistické metody. MatFyzPress, Praha,

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úloha č. 1a Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úkoly měření: 1. Seznámení se s měřicími přístroji posuvné měřítko, mikrometr, laboratorní váhy. 2. Opakovaně (10x) změřte rozměry dvou zadaných

Více

Bezpečnost práce, měření fyzikálních veličin, chyby měření

Bezpečnost práce, měření fyzikálních veličin, chyby měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 1 Bezpečnost práce, měření fyzikálních

Více

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu.

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu. Pracovní úkoly. Změřte účiník: a) rezistoru, b) kondenzátoru C = 0 µf) c) cívky. Určete chybu měření. Diskutujte shodu výsledků s teoretickými hodnotami pro ideální prvky. Pro cívku vypočtěte indukčnost

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Úloha č.: XI Název: Charakteristiky diody Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12 dne 9.1.2009 Odevzdal

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík

Nejistota měř. ěření, návaznost a kontrola kvality. Miroslav Janošík Nejistota měř ěření, návaznost a kontrola kvality Miroslav Janošík Obsah Referenční materiály Návaznost referenčních materiálů Nejistota Kontrola kvality Westgardova pravidla Unity Referenční materiál

Více

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřeným předmětem je v tomto případě zenerova dioda její hodnoty jsou uvedeny v tabulce:

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřeným předmětem je v tomto případě zenerova dioda její hodnoty jsou uvedeny v tabulce: REDL 3.EB 9 1/11 1.ZADÁNÍ a) Změřte voltampérovou charakteristiku zenerovy diody v propustném i závěrném směru. Charakteristiky znázorněte graficky. b) Vypočtěte a graficky znázorněte statický odpor diody

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou.

1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou. 1 Pracovní úkoly 1. Určete závislost povrchového napětí σ na objemové koncentraci c roztoku etylalkoholu ve vodě odtrhávací metodou. 2. Sestrojte graf této závislosti. 2 Teoretický úvod 2.1 Povrchové napětí

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Číslicové řízení procesů

Číslicové řízení procesů Číslicové řízení procesů čební text VOŠ a SPŠ Ktná Hora Ing. Lděk Kohot Základní pojmy číslicového řízení Rozdělení řízení podle průběh signálů logické řízení binární signály (RUE, FALSE) analogové řízení

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřený předmětem jsou v tomto případě polovodičové diody, jejich údaje jsou uvedeny v tabulce:

2.POPIS MĚŘENÉHO PŘEDMĚTU Měřený předmětem jsou v tomto případě polovodičové diody, jejich údaje jsou uvedeny v tabulce: REDL 3.EB 8 1/14 1.ZADÁNÍ a) Změřte voltampérovou charakteristiku polovodičových diod pomocí voltmetru a ampérmetru v propustném i závěrném směru. b) Sestrojte grafy =f(). c) Graficko početní metodou určete

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Laboratorní práce č. 4: Určení elektrického odporu

Laboratorní práce č. 4: Určení elektrického odporu Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA. ročník šestiletého studia Laboratorní práce č. 4: Určení elektrického odporu G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA. ročník šestiletého

Více

Protokol o měření. Jak ho správně zpracovat

Protokol o měření. Jak ho správně zpracovat Protokol o měření Jak ho správně zpracovat OBSAH Co je to protokol? Forma a struktura Jednotlivé části protokolu Příklady Další tipy pro zpracování Co je to protokol o měření? Jedná se o záznam praktického

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 TS Matematika pro 2. stupeň ZŠ Terasoft Celá čísla Celý program pohádkový příběh Království Matematikán se závěrečným vyhodnocením Zobrazení čísel na ose Zápis čísel zobrazených na ose Opačná čísla na

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Experimentáln. lní toků ve VK EMO. XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký. www.vf.

Experimentáln. lní toků ve VK EMO. XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký. www.vf. Experimentáln lní měření průtok toků ve VK EMO XXX. Dny radiační ochrany Liptovský Ján 10.11.-14.11.2008 Petr Okruhlica, Miroslav Mrtvý, Zdenek Kopecký Systém měření průtoku EMO Měření ve ventilačním komíně

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu

Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu Část 4 Stanovení a zabezpečení garantované hladiny akustického výkonu Obsah 1. Úvod 2. Oblast působnosti 3. Definice 3.1 Definice uvedené ve směrnici 3.2 Obecné definice 3.2.1 Nejistoty způsobené postupem

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY

SAMOSTATNÁ STUDENTSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY SAMOSTATÁ STUDETSKÁ PRÁCE ZE STATISTIKY Váha studentů Kučerová Eliška, Pazdeříková Jana septima červen 005 Zadání: My dvě studentky jsme si vylosovaly zjistit statistickým šetřením v celém ročníku septim

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Název: Měření paralelního rezonančního LC obvodu

Název: Měření paralelního rezonančního LC obvodu Název: Měření paralelního rezonančního LC obvodu Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika) Tematický celek:

Více

Čísla a číselné soustavy.

Čísla a číselné soustavy. Čísla a číselné soustavy. Polyadické soustavy. Převody mezi soustavami. Reprezentace čísel. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK.

Více

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok

IES FSV UK. Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I. Cyklistův rok IES FSV UK Domácí úkol Pravděpodobnost a statistika I Cyklistův rok Radovan Fišer rfiser@gmail.com XII.26 Úvod Jako statistický soubor jsem si vybral počet ujetých kilometrů za posledních 1 dnů v mé vlastní

Více

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář

Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi. Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Aplikovaná statistika pro učitele a žáky v hodinách zeměpisu aneb jak využít MS Excel v praxi Geografický seminář 30. března 2011 Pavel Bednář Výchozí stav Sebehodnocení práce s MS Excel studujícími oboru

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB Pomůcky: LabQuest, sonda čidlo polohy (sonar), nakloněná rovina, vozík, který se může po nakloněné rovině pohybovat Postup: Nakloněnou rovinu umístíme tak, aby svírala s vodorovnou

Více

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly

ZLOMKY. Standardy: M-9-1-01 CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Záporná celá čísla Racionální čísla Absolutní hodnota Početní operace s racionálními čísly a algoritmů matematického aparátu Vyjádří a zapíše část celku. Znázorňuje zlomky na číselné ose, převádí zlomky na des. čísla a naopak. Zapisuje nepravé zlomky ve tvaru smíšeného čísla. ZLOMKY Pojem zlomku,

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT0000404 1. Solver Program Solver slouží pro vyhodnocení experimentálně naměřených dat. Základem

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

Jednoduchý elektrický obvod

Jednoduchý elektrický obvod 21 25. 05. 22 01. 06. 23 22. 06. 24 04. 06. 25 28. 02. 26 02. 03. 27 13. 03. 28 16. 03. VI. A Jednoduchý elektrický obvod Jednoduchý elektrický obvod Prezentace zaměřená na jednoduchý elektrický obvod

Více

1. Stanovte a graficky znázorněte charakteristiky vakuové diody (EZ 81) a Zenerovy diody (KZ 703).

1. Stanovte a graficky znázorněte charakteristiky vakuové diody (EZ 81) a Zenerovy diody (KZ 703). 1 Pracovní úkoly 1. Stanovte a graficky znázorněte charakteristiky vakuové diody (EZ 81) a Zenerovy diody (KZ 703). 2. Určete dynamický vnitřní odpor Zenerovy diody v propustném směru při proudu 200 ma

Více

Mˇeˇren ı vlastn ı indukˇcnosti Ondˇrej ˇ Sika

Mˇeˇren ı vlastn ı indukˇcnosti Ondˇrej ˇ Sika Obsah 1 Zadání 3 2 Teoretický úvod 3 2.1 Indukčnost.................................. 3 2.2 Indukčnost cívky.............................. 3 2.3 Vlastní indukčnost............................. 3 2.4 Statická

Více

Černé označení. Žluté označení H R B % C 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Černé označení. Žluté označení H R B % C 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Řešení 1. Definujte tvrdost, rozdělte zkoušky tvrdosti Tvrdost materiálu je jeho vlastnost. Dá se charakterizovat, jako jeho schopnost odolávat vniku cizího tělesa. Zkoušky tvrdosti dělíme dle jejich charakteru

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách ROZKLAD ROZPTYLU ROZKLAD ROZPTYLU Rozptyl se dá rozložit na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Celkový rozptyl je potom součet meziskupinového a vnitroskupinového Užívá se k výpočtu rozptylu, jestliže

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

MĚŘ, POČÍTEJ A MĚŘ ZNOVU

MĚŘ, POČÍTEJ A MĚŘ ZNOVU MĚŘ, POČÍTEJ A MĚŘ ZNOVU Václav Piskač Gymnázium tř.kpt.jaroše, Brno Abstrakt: Příspěvek ukazuje možnost, jak ve vyučovací hodině propojit fyzikální experiment a početní úlohu způsobem, který výrazně zvyšuje

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Projekt Využití ICT ve výuce na gymnáziích, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.1.07/02.0030. MS Excel

Projekt Využití ICT ve výuce na gymnáziích, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.1.07/02.0030. MS Excel Masarykovo gymnázium Příbor, příspěvková organizace Jičínská 528, Příbor Projekt Využití ICT ve výuce na gymnáziích, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.1.07/02.0030 MS Excel Metodický materiál pro základní

Více

Michal Musílek, 2009. michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/

Michal Musílek, 2009. michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/ Michal Musílek, 2009 michal.musilek@uhk.cz http://www.musilek.eu/michal/ Grafické násobení pomocí průsečíků přímek Algoritmus gelosia a Napierovy kostky Objev logaritmů, přirozený a dekadicky log Logaritmické

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole)

Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Téma 2.4 Dotazy tvorba nových polí (vypočítané pole) Pomocí dotazu lze také vytvářet nová pole, která mají vazbu na již existující pole v databázi. Vznikne tedy nový sloupec, který se počítá podle vzorce.

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

X. Hallův jev. Michal Krištof. 2. Zjistěte závislost Hallova napětí na magnetické indukci při dvou hodnotách konstantního proudu vzorkem.

X. Hallův jev. Michal Krištof. 2. Zjistěte závislost Hallova napětí na magnetické indukci při dvou hodnotách konstantního proudu vzorkem. X. Hallův jev Michal Krištof Pracovní úkol 1. Zjistěte závislost proudu vzorkem na přiloženém napětí při nulové magnetické indukci. 2. Zjistěte závislost Hallova napětí na magnetické indukci při dvou hodnotách

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F

Semestrální práce z předmětu Matematika 6F vypracoval: Jaroslav Nušl dne: 17.6.24 email: nusl@cvut.org Semestrální práce z předmětu Matematika 6F Zádání: Cílem semestrální práce z matematiky 6F bylo zkoumání hudebního signálu. Pluginem ve Winampu

Více

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry

18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry 18A - PRINCIPY ČÍSLICOVÝCH MĚŘICÍCH PŘÍSTROJŮ Voltmetry, A/D převodníky - principy, vlastnosti, Kmitoměry, čítače, fázoměry, Q- metry Digitální voltmetry Základním obvodem digitálních voltmetrů je A/D

Více

POKUSY S PRAKEM Václav Piskač, Brno 2014

POKUSY S PRAKEM Václav Piskač, Brno 2014 POKUSY S PRAKEM Václav Piskač, Brno 2014 V předchozím článku jsem popsal stavbu praku střílejícího tenisové míčky. Nyní se chci zabývat jeho využitím ve výuce. Prak umožňuje střílet míčky prakticky stálým

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008)

Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Normy ČSN a ČSN ISO z oblasti aplikované statistiky (stav aktualizovaný k 1.1.2008) Ing. Vratislav Horálek, DrSc., předseda TNK 4 při ČNI 1 Terminologické normy [1] ČSN ISO 3534-1:1994 Statistika Slovník

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

pv = nrt. Lord Celsius udržoval konstantní tlak plynu v uzavřené soustavě. Potom můžeme napsat T, tedy V = C(t t0) = Ct Ct0, (1)

pv = nrt. Lord Celsius udržoval konstantní tlak plynu v uzavřené soustavě. Potom můžeme napsat T, tedy V = C(t t0) = Ct Ct0, (1) 17. ročník, úloha I. E... absolutní nula (8 bodů; průměr 4,03; řešilo 40 studentů) S experimentálním vybavením dostupným v době Lorda Celsia změřte teplotu absolutní nuly (v Celsiově stupnici). Poradíme

Více

Elektrický proud 2. Zápisy do sešitu

Elektrický proud 2. Zápisy do sešitu Elektrický proud 2 Zápisy do sešitu Směr elektrického proudu v obvodu 1/2 V různých materiálech vedou elektrický proud různé částice: kovy volné elektrony kapaliny (roztoky) ionty plyny kladné ionty a

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více