Zpracování a prezentace výsledků měření (KFY/ZPM)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zpracování a prezentace výsledků měření (KFY/ZPM)"

Transkript

1 Jihočká uivrzita Pdagogická fakulta katdra fyziky Zpracováí a prztac výldků měří (KFY/ZPM) tručý učbí tt Pavl Kříž Čké Budějovic

2 005 Úvod Přdmět Zpracováí a prztac výldků měří (ZPM) volě avazuj a přdmět Fyzikálí praktikum I Úvod do fyzikálího praktika (FPR), určý pro tudty magitrkých oborů aprobací fyzika pro základí bo třdí školu. Dál také avazuj a přdměty Základí fyzikálí měří I Úvod do fyzikálího měří (ZFMB) a tatitické vyhodocováí primtálích dat I a II (VEB a VEB) určé pro tudty bakalářkého oboru Měřicí a výpočtí tchika akrditovaého a katdř fyziky Pdagogické fakulty Jihočké uivrzity v Čkých Budějovicích. Oproti výš zmíěým přdmětům j zd víc čau věováo kokrétím příkladům zpracováí fyzikálího měří a další prztaci výldků v růzých formách. Při zpracováváí kokrétích hypottických měří tudti učí využívat přdvším oobí počítač a jho růzé oftwarové vybaví. Jdá přdvším o aplikac produktů firmy Microoft, kokrétě o tabulkový kalkulátor Microoft Ecl a o program pro tvorbu prztací Microoft PowrPoit. Zbytk čaové dotac v přílušém mtru j věová záadám tvorby kofrčí vývěky, tzv. potru, v protřdí aplikac CorlDRAW. Vlatí zpracováí hypottických měří j zaměřo přdvším a zautomatizováí potupů při zpracováí a vytváří aplikačích tabulk a grafů. Do těchto tabulk by jjich budoucí uživatl pouz vyplil hodoty zíkaé vlatím měřím a oftwar by automaticky vypočítal přílušé hodoty tudovaých vliči a jjich odchylk a trojil přílušé grafy včtě jjich popik. Aplikačí tabulky a grafy jou pak vytvářy v takové formě, aby j bylo možé jdoduchým způobm vkládat do jiých oftwarových aplikací pro prztaci dat, apř. pomocí chráky Widow. Hodocí přoti vliči V této čáti bud tručě hruta tori zíkáváí měřé bo vypočítávaé vličiy a zíkáváí chyb těchto vliči z ouboru primtálě zjištěých hodot. Podrobější tortický rozbor j uvd v litratuř, ktrá byla doporuča u jdotlivých přdmětů zmíěých v úvodu, apř. [,, 3]. Hodota libovolé fyzikálí vličiy zjištěá měřím vždy o ěco liší od jjí kutčé hodoty. Jjich rozdíl azývá kutčá, bo také abolutí chyba měří. Pokud bychom tuto chybu zali, mohli bychom určit kutčou hodotu měřé vličiy. To ovšm í z pricipu možé. Proto ažím určit alpoň jpravděpodobější hodotu měřé vličiy a jjí pravděpodobou chybu.

3 Podl příči vziku dělím chyby a ytmatické a áhodé []. ytmatická chyba ovlivňuj výldk měří zcla určitým způobm, jitou pravidlotí. Měřá hodota vličiy j v takovém případě buď utál vyšší bo ižší ž hodota kutčá. ytmatické chyby mají původ v použité mtodě (apř. využití zjdodušujících přdpokladů), v měřicích přítrojích (lz ji korigovat cjchováím bo korkčími křivkami) a amozřjmě v pozorovatli (apř. dokoalot oka, rakčí doba atd.). ytmatická chyba avíc rotoucím počtm měří zmšuj, proto j vhodé provét důldou aalýzu tohoto druhu chyb a pokuit j co jvíc limiovat jště přd vlatím měřím. Náhodé chyby jou výldkm půobí přě dfiovaých vlivů při měří přibližě za tjých podmík. Proto měří fyzikálích vliči přdtavuj tatitický proc áhodou proměou. Výhodou j, ž vliv áhodých chyb a výldk měří klá rotoucím počtm opakovaých měří. Vlatí tori chyb vychází z tori pravděpodoboti a matmatické tatitiky a j přdmětm kurzů VEB a VEB, proto jí zd budm podroběji zabývat, pouz provdm tručé hrutí. Rozdělí chyb měří řídí Gauovým ormálím rozdělím, viz [, 4], třdí hodotou rovou ul a ulovou hodotou měrodaté odchylky σ (v valé většiě případů). Důlžitou hodotou j i hodota tzv. mzí chyby κ, ktrá j rova trojáobku měrodaté odchylky. Jjí výzam počívá v 99,7% pravděpodoboti, ž aměřá hodota od aritmtického průměru liší o víc ž j tato chyba κ. Prakticky to zamá, ž z ouboru aměřých dat vyputím ta měří, ktrá odlišují od aritmtického průměru o víc ž ±κ. Poté j ovšm uté zovu tatiticky zpracovat ový, takto korigovaý oubor dat. V ěktré litratuř, apř. [5], j kromě měrodaté odchylky boli třdí kvadratické chyby σ uváděa i tzv. pravděpodobá chyba ϑ. J dfiováa tak, ž pravděpodobot aměří hodoty, ktrá od aritmtického průměru liší o méě ž ±ϑ, j 50%. Mzi oběma chybami platí vztah: ϑ = 0,674 σ /3 σ. Tato chyba j tdy opticky přízivější. Zíkám-li měřím oubor aměřých hodot k, kd k =, pak po případé korkci pro á tto oubor přdtavuj áhodý výběr z ouboru všch možých hodot aměřé vličiy. Z tori tatitického zpracováí áhodého výběru [, 4, 6] vyplývají áldující jdůlžitější vztahy: aritmtický průměr = k k =, ()

4 výběrová měrodatá odchylka jdoho měří = ( k ) k = () výběrová měrodatá odchylka aritmtického průměru = = k = ( ) k ( ) (3) pravděpodobá chyba aritmtického průměru ϑ ϑ k = = 3 = 3 ( ) k ( ) (4) Aritmtický průměr zd přdtavuj jpravděpodobější hodotu měřé vličiy. t(p, ) P = 68,3% P = 95% P = 99% P = 99,73% 3,3 4,30 9,9 9, 4,0 3,8 5,84 9, 5,5,78 4,60 6,6 6,,57 4,03 5,5 7,09,45 3,7 4,90 8,09,37 3,50 4,53 9,07,3 3,36 4,7 0,06,6 3,5 4,09,06,3 3,7 3,96,05,0 3, 3,85 5,04,5,98 3,63 0,03,08,86 3,45 30,0,05,76 3,8 50,0,0,68 3,6 00,00,98,63 3,08,00,96,58 3,00 Tab. tudtův oučiitl t = t(p, ) Čato u zíkaých výldků udává tzv. itrval polhlivoti, což j itrval t ; + t, (5)

5 v ěmž bud při daém počtu měří lžt zvolou pravděpodobotí P hodota měřé vličiy. oučiitl t = t(p, ) j tzv. tudtův oučiitl [6, 7], ktrý j závilý právě a počtu měří a zvolé pravděpodoboti P. Hodoty tohoto oučiitl pro růzá a P jou uvdy v tab.. V vlké většiě případů potačuj provádět 0 až 0 měří, přičmž pravděpodobot P potačuj 68,3%. Potom tudtův oučiitl t j pouz o 6% až 3% odlišý od jdé a proto při uváděí itrvalu polhlivoti muí uvažovat. Nměřím-li přímo hldaou vličiu, al počítám ji z ěkolika aměřých vliči (apř. určováí hutoty matriálu těla tvaru válc z hmototi těla, výšky těla a průměru těla), j počítáí jpravděpodobější hodoty a měrodaté odchylky aritmtického průměru počítaé vličiy poěkud ložitější. Nchť j hldaá vličia u vázaá měřými vličiami, y, z, ymbolickým vztahm u = u(, y, z, ). (6) Njdřív j uté určit aritmtické průměry a měrodaté odchylky kutčě měřých vliči, y, z,.potom jpravděpodobější hodota hldaé vličiy j (, y, z,... ) u = u. (7) Horí mz měrodaté odchylky vypočté vličiy j dáa tzv. liárím zákom hromaděí chyb [4] u u u u = + ma y z. (8) y z ( ) Výldkm tori pravděpodoboti j pro výběrovou měrodatou odchylku odlišý vztah u u u u = + y + z +..., (9) y ktrý j ozačová jako kvadratický (Gauův) záko hromaděí chyb [4] a j pro výběrovou měrodatou odchylku přízivější ž záko liárí. Využití vztahu (9) pro výpočt měrodatých odchylk vliči v zvláštích případch j uvdo v litratuř, apř. [3, 4]. Grafická aalýza dat měří Při měří fukčích závilotí fyzikálích vliči můžm provét buď rgrí aalýzu této záviloti bo přhldější, ovšm méě přou, aalýzu grafickou. Nchť uvažovaé vličiy, y mají závilot y = f(), ktrou přě zám. Při měří zíkám upořádaých dvojic [ i, y i ], ktré jou zatížé chybami. Njčatějším případm grafického zázorěí j zobrazí těchto dvojic v pravoúhlém (kartézkém) ouřadicovém ytému, i když itují i jié

6 ytémy, apř. polárí. V pravoúhlém ytému j obrazm každého jdotlivého měří bod. Tím zíkám bodů, ktré přdtavují tzv. bodový graf, z ktrého budm vycházt při kotrukci pojitého grafu hldaé fukčí záviloti, protož valá většia fyzikálích vliči má pojitý průběh bz dikrétích pojitotí. Na druhou trau mohou jité děj probíhat pojitě, apř. ty, ktré ouvijí počtm čátic apod.). J-li jda vličia fukcí dvou vliči, potřbovali bychom trojrozměrý graf, ktrý umožňuj přější grafickou aalýzu. V takovém případě j vhodější využít dvourozměrého zobrazí, kd vykrlím graf záviloti vličiy a jdé závil proměé pro kotatí hodoty druhé závil proměé, přičmž využijm jjích kotatích hodot v zvolé řadě. Tím zíkám v podtatě érii řzů trojrozměrého grafu roviami, a ktrých druhá závil proměá vličia abývá daých kotatích hodot. Tvar grafu hldaé fukčí záviloti výrazě ovlivňuj volba tupic a ouřadicových oách. V prai jvíc využívá 4 fukcí, ktré přiřazují hodotě fyzikálí vličiy hodotu a tupici přílušé ouřadicové oy. Jdá přdvším o fukc. liárí a + b (rovoměrá tupic),. logaritmickou a + b log bo a + b l (logaritmická tupic), 3. kvadratickou a + b (kvadratická tupic), 4. liárě lomou a + b / (liárě lomá tupic), přičmž b 0 a a 0 určuj hodotu zobrazovaé vličiy v uvažovaém počátku tupic. Njčatěji používají prví typ a obou oách (apř. milimtrový papír), bo druhý typ a obou oách (apř. logaritmický papír), bo kombiac prvího a druhého typu (apř. milogaritmický papír). Při vlatí tvorbě grafu j potřba dodržovat áldující záady:. pooudím průběh aměřé záviloti a rozhodm pro typ tupic,. zhodotím rozah hodot měřých vliči a vhodě zvolím počátk a míru o tak, aby graf pokrýval výzamou čát plochy vymzou oběma oami, 3. vytvořím tupic v zvolých jdotkách a popíšm oy (většiou začkou fyzikálí vličiy lomou jjí jdotkou apř. R / kω), 4. pčlivě vym hodoty aměřých vliči, při růzých závilotch vyášých do jdoho grafu použijm růzé začky, popř. růzé barvy. Tím zíkám bodový graf aměřých hodot. Při hrubých odchylkách ěktrých bodů j třba zjitit příčiu odchylky, abychom odtraili body, ktré popiují ějaký výzamý fyzikálí jv, apř. hrubě měřou rzoaci. Někdy j vhodé k jdotlivým bodům vyášt i výběrovou

7 měrodatou odchylku v formě vilých chybových účk. Zám-li kutčou závilot, j vhodé do bodového grafu vykrlit i graf aalytické fukc, čímž můžm áz pooudit hodu a případé odchylky. Rgrí aalýza dat měří V dší době počítačů od grafické aalýzy dat měří upouští. Nzámou fyzikálí závilot vliči y = f() totiž můžm hldat také aalyticky pomocí tatitického odhadu (prdikc) zvaého rgr bo rgrí aalýza. Při zpracováváí vycházím z upořádaých dvojic [ i, y i ], přičmž platí y i = f( i ) + ε i, kd ε i j áhodá chyba i tého měří. Hldaá fukc obahuj určitý počt zámých paramtrů y = f(, b 0, b,, b k ). Tyto paramtry azývají rgrí koficity [, 4]. Využijm mtodu jmších čtvrců, ktrá zíkává hodoty těchto koficitů a základě miima tzv. rziduálího (zbytkového) oučtu čtvrců, tj. kd = b, b,..., b k [ yi f ( i b0, b,..., bk )] i=,, (0) 0 jou tatitické odhady rgrích koficitů. Aby fukc abývala miima, muí být parciálí drivac fukc podl jdotlivých odhadů rgrích koficitů rovy ul, tz. b j = 0 pro všcha j = 0,,, k. () Tak zíkám outavu ormálích rovic, jjímž řším jou hldaé odhady rgrích koficitů. Njjdodušším případm fukčí záviloti j liárí fukc tvaru y = a + b, () pro íž j řší uvdo v řadě publikací, apř. [, 4, 6]. Protož jdá o jdoduchou ado řšitlou fukci, j vhodé i jié typy závilotí přvét (pokud to lz) pomocí pciálích ubtitucí a liárí typ. Příklady takových fukcí a přílušých ubtitucí jou uvdy v tab.. Při hodocí kvality rgr kromě rziduálího oučtu čtvrců (0) používá jště totálí (clkový) oučt čtvrců t = ( yi y ) i=. (3) Pro vlatí hodocí užívají áldující vličiy:. Koficit dtrmiac r, dfiovaý vztahm

8 r = t, (4) Tto koficit j záporý, mší bo rov jdé. Hodoty blízké jdé považují za vhodé kritérium přijtí zvolého modlu. Tto koficit í vhodé použít u liárí rgrí fukc.. Koficit korlac r j odmociou z koficitu dtrmiac a používá u liárí rgrí fukc. 3. Rziduálí rozptyl, dfiovaý vztahm = ( k + ), (5) kd k + j počt odhadovaých rgrích koficitů a f = (k + ) > 0, tj. počt měří zmšý o počt rgrích koficitů, azývá počt tupňů voloti rziduálího oučtu čtvrců. 4. měrodatá odchylka j odmociou rozptylu a má výzam odhadu měrodaté odchylky ktréhokoliv měří y i. Pro hodocí rgr má větší výzam ž koficit dtrmiac (4). Nliárí rgrí fukc ubtituc Liarizovaá rgrí fukc Tab. b y = a + = ξ y = a + bξ y = ab l y = η, l a = A, lb = B η = A + B y = a + bl l = ξ y = a + bξ b y = a y l y = η, l a = A, l = ξ b = a y =, l a = A y = a b η = A + bξ l η η = A + b l y = η, l a = A, = ξ Příklady fukcí, ktré lz vhodými ubtitucmi přvét a liárí η = A + bξ Liárí rgrí fukc jdé závil proměé pomocí aplikac Microoft Ecl V protřdí programu Microoft Ecl lz vlmi jdoduš zjišťovat paramtry liárí rgrí fukc (). Prví možotí j proloží bodového grafu tzv. pojicí trdu. Po ozačí aměřých hodot v bodovém grafu vybrm z mítí abídky možot Přidat pojici trdu, a kartě Typ vybrm Liárí a a kartě Možoti zaškrtm Zobrazit rovici rgr a Zobrazit koficit polhlivoti R. Na obrazovc objví rgrí přímka, zápi

9 rgrí fukc, z ktrého můžm vyčít hodoty rgrích paramtrů, a koficit dtrmiac r. Počt zobrazých dtiých mít můžm upravit formátováím. Chcm-li rgrími koficity dál počítat, tz. vypočítávat z ich hodoty dalších fyzikálích vliči, j vhodější využít maticový vzorc fukcí litu LINREGREE, viz apř [8]. Njdřív vybrm oblat 5 buňky (viz Tab. 3) a v řádku vzorců zvolím tatitickou fukci LINREGREE. Objví dialogové oko, v ktrém vyplím pol hodot y, pol hodot a dva logické paramtry B a tat. V případě, ž zvolím B = 0 (NEPRAVDA), bud rgrí přímka procházt počátkm ouřadicové outavy. V opačém případě, tz. B = (PRAVDA), bo bud-li paramtr B vychá, muí rgrí přímka utě tímto počátkm procházt. J-li paramtr tat = (PRAVDA), budou vypáy i hodoty dalších rgrích tatitik. V opačém případě, tz. tat = 0 (NEPRAVDA), bo bud-li paramtr tat vychá, budou další tatitiky vypáy a zjitím pouz hodoty rgrích koficitů. Po zmáčkutí kombiac kláv CTRL + HIFT + ENTER provd výpočt a v vybraé oblati vypíší hodoty hldaých paramtrů a jiých rgrích tatitik. Výzam jdotlivých hodot j zřjmý z Tab. 3, popř. z ápovědy aplikac Microoft Ecl. rgrí koficit b, viz () rgrí koficit a, viz () měrodatá chyba koficitu b měrodatá chyba koficitu a b = b a = b f i t koficit dtrmiac r, viz (4) měrodatá chyba odhadu y f t F tatitika F = počt tupňů voloti f, viz (5) totálí oučt čtvrců t, viz (3) zbytkový oučt čtvrců, viz (0) Tab. 3 Výzam hodot vrácých maticovou fukcí LINREGREE v oblati 5 buňky i= y = f V prvím přiblíží j důlžité věovat pozorot přdvším hodotám rgrích koficitů a a b, jjich měrodatým chybám a a b, koficitu dtrmiac r a zbytkovému oučtu čtvrců.

10 Litratura [] Brož, J. a kol.: Základy fyzikálích měří, I. díl. PN, Praha 983. [] Pavlka, L., Dolžalová, J.: Pravděpodobot a tatitika. Vyoká škola báňká, Tchická Uivrzita, Otrava 995. [3] Procházková, E.: Úvod do fyzikálího praktika. Pdagogická fakulta, Jihočká uivrzita, Čké Budějovic 99. [4] Vybíral, B.: Zpracováí dat fyzikálích měří. tudijí tt pro outěžící FO, tudující fyziku a UHK a otatí zájmc o fyziku. MAFY, Hradc Králové 00. [5] Horák, Z.: Praktická fyzika. NTL, Praha 958. [6] Rktory, K.: Přhld užité matmatiky. NTL, Praha 963; 6. vydáí: Prométhu, Praha 995. [7] Čmlík, M., Machoký, L., Buriaová, L.: Úvod do fyzikálích měří. Tchická uivrzita, Librc 00. [8] Šdivý, P.: Tplotí záviloti fyzikálích vliči. tudijí tt pro outěžící FO a otatí zájmc o fyziku. MAFY, Hradc Králové 00.

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -

Více

je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme

je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme DERIVACE FUNKCE Má zásadí výzam při vyštřováí fukčích závislostí j v matmatic, al také v aplikacích, apř v chmii, fyzic, koomii a jiých vědích oborch Pricip drivováí formulovali v 7 stoltí závisl a sobě

Více

Variabilita měření a statistická regulace procesu

Variabilita měření a statistická regulace procesu Variabilita měří a statistická rgulac procsu Ig. Darja Noskivičová, CSc. Katdra kotroly a řízí jakosti, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: Efktivost využití statistických mtod pro aalýzu a řízí procsů j odvislá

Více

Exponenciální funkce a jejich "využití" - A (Tato doplňková pomůcka nemůže v žádném případě nahradit systematickou matematickou přípravu.

Exponenciální funkce a jejich využití - A (Tato doplňková pomůcka nemůže v žádném případě nahradit systematickou matematickou přípravu. Josf PUNČOCHÁŘ: Epociálí fukc a ich "využití" ld Epociálí fukc a ich "využití" - A (Tato doplňková pomůcka můž v žádém případě ahradit systmatickou matmatickou přípravu. Epociálí fukc dfiováa obcě vztahm

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA P NOV PRVDĚPODOBNOT TTTK Lbor Žák P NOV Lbor Žák Vícvýběrové tty - NOV NOV tty provádí pomocí aalýzy rozptylů NOV ouhré tty pro víc ěž dva výběry. NOV paramtrcká ttováí charaktrtk z zámých rozdělí pokud

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Prostředky automatického řízení

Prostředky automatického řízení VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ Protředky automatického řízeí Měřící a řídící řetězec Vypracoval: Petr Oadík Akademický rok: 006/007 Semetr: letí Zadáí Navrhěte měřicí

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Fotometrie a radiometrie Důležitou částí kvantitativního popisu optického záření je určování jeho mohutnosti

Fotometrie a radiometrie Důležitou částí kvantitativního popisu optického záření je určování jeho mohutnosti Učbí txt k přášc UFY1 Fotomtri a raiomtri Fotomtri a raiomtri Důlžitou částí kvatitativího popisu optického září j určováí jho mohutosti B, jsou přímo měřitlé, a proto rgtických charaktristik. Samoté vktory

Více

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3 Př 7: S 95% polehlivotí odhaděte variabilitu (protředictvím odhadu měrodaté odchylky) a tředí hodotu obahu vitamíu C u rajčat. Záte-li výledky rozboru 0-ti vzorků rajčat: 3 4 5 6 7 8 9 0 9,6 3,4 30 3,6

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Kapitola 2. Bohrova teorie atomu vodíku

Kapitola 2. Bohrova teorie atomu vodíku Kapitola - - Kapitola Bohrova tori atomu vodíku Obsah:. Klasické modly atomu. Spktrum atomu vodíku.3 Bohrův modl atomu vodíku. Frack-Hrtzův pokus Litratura: [] BEISER A. Úvod do modrí fyziky [] HORÁK Z.,

Více

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA P NOV PRVDĚPODOBNOT TTTK Lbor Žák P NOV Lbor Žák Vícvýběrové tsty - NOV NOV tsty s rovádí s omocí aalýzy roztylů NOV souhré tsty ro víc ěž dva výběry. NOV aramtrcká tstováí charaktrstk z zámých rozdělí

Více

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách

Odhady a testy hypotéz o regresních přímkách Lekce 3 Odhad a tet hpotéz o regreích přímkách Ve druhé lekc jme kotruoval kofdečí terval a formuloval tet hpotéz o korelačím koefcetu Korelačí koefcet je metrckou charaktertkou tezt závlot, u které ezáleží

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDLENÍ PRAVDPODOBNOSTI a ke tudiu kapitoly: 30 iut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete ut: charakterizovat další typy pojitých rozdleí:, Studetovo, Ficher- Sedocorovo - - Výklad:

Více

Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání

Vztahy mezi základním souborem a výběry. Základní pojmy a symboly. K čemu to je dobré? Výběrové metody zkoumání K čemu to je dobé? Obvyklým případem při zpacováí homadých jevů je, že máme poměě malý počet pozoováí ějaké veličiy a chceme učiit závěy o tom, co bychom obdželi, kdybychom měli pozoováí mohokát více.

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Zá k l a d y k v a n t i t a t i v n í g e n e t i k y

Zá k l a d y k v a n t i t a t i v n í g e n e t i k y Virtuálí vět geetiky 1 Základy kvatitativí geetiky Zá k l a d y k v a t i t a t i v í g e e t i k y Doud byly základí geetické procey (přeo geetické iformace) ledováy a zacích a vlatotech dikrétími hodotami

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU

ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU A.Mikš, J.Novák, P. Novák katedra fyziky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze Abstrakt Práce se zabývá aalýzou vlivu velikosti umerické

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Statistické charakteristiky (míry)

Statistické charakteristiky (míry) Stattcé charaterty (míry) - hrují formac, obažeou v datech (vyjadřují j v ocetrovaé formě); - charaterzují záladí ryy zoumaého ouboru dat; - umožňují porováváí více ouborů. upy tattcých charatert :. charaterty

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně

Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně Univrzita omáš Bati v Zlíně LABORAORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY II Názv úlohy: Voltampérová charaktristika polovodičové diody a žárovky Jméno: Ptr Luzar Skupina: I II/1 Datum měřní: 14.listopadu 7 Obor: Informační

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

3. cvičení 4ST201 - řešení

3. cvičení 4ST201 - řešení cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 - řešeí Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY

7 VYUŽITÍ METOD OPERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DOPRAVY 7 VYUŽITÍ METOD OERAČNÍ ANALÝZY V TECHNOLOGII DORAVY Operačí aalýza jao jeda z oblatí apliovaé matematiy achází vé široé uplatěí v průmylových a eoomicých apliacích. Jedím z oborů, ve teré hraje ezatupitelou

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodc studim V kapitol Difrnciální počt funkcí jdné proměnné jst s sznámili s drivováním funkcí Jstliž znát drivac lmntárních

Více

} kvantitativní znaky

} kvantitativní znaky Měřeí tattcké závlot, korelace, regree Obecé prcpy závlot vzájemá ouvlot měřeých zaků Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. fukčí závlot x tattcká závlot átroje pro měřeí závlot leár rí regree korelace }

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit:

U klasifikace podle minimální vzdálenosti je nutno zvolit: .3. Klasifikace podle miimálí vzdáleosti Tato podkapitola je věováa popisu podstaty klasifikace podle miimálí vzdáleosti, jež úzce souvisí s klasifikací pomocí etaloů klasifikačích tříd. Představíme si

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZIT PLCKÉHO V OLOMOUCI PŘÍROOVĚECKÁ FKULT KTER LGEBRY GEOMETRIE OSVĚTLENÍ VE STŘEOVÉM PROMÍTÁNÍ LINEÁRNÍ PERSPEKTIVĚ Bakalářká práce Vedoucí práce: RNr. Leka Juklová, Ph.. Rok odevdáí 202 Vypracovala:

Více

optipoint 150 S Zkrácený návod k použití

optipoint 150 S Zkrácený návod k použití optipoit 150 S Zkráceý ávod k použití optipoit 150 S Ovládací prvky 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Motáž a připojeí 15 16 17 18 19 20 Pohled zleva 2 Pohled zdola Možoti ovládáí a připojeí Vašeho telefou?

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu

sin n sin n 1 n 2 Obr. 1: K zákonu lomu MĚŘENÍ INDEXU LOMU REFRAKTOMETREM Jedou z charakteristických optických veliči daé látky je absolutím idexu lomu. Je to podíl rychlosti světla ve vakuu c a v daém prostředí v: c (1) v Průchod světla rozhraím

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí:

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

3 - Póly, nuly a odezvy

3 - Póly, nuly a odezvy 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 8 9-6-8 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeou a póly ytému Póly přeou jou kořey jmeovatele pro g () = b () a () jou to komplexí číla

Více

Úloha č. 11. H0 e. (4) tzv. Stefanův - Bo1tzmannův zákon a 2. H λ dλ (5)

Úloha č. 11. H0 e. (4) tzv. Stefanův - Bo1tzmannův zákon a 2. H λ dλ (5) pyromtrm - vrz 01 Úloha č. 11 Měřní tplotní vyzařovací charaktristiky wolframového vlákna žárovky optickým pyromtrm 1) Pomůcky: Měřicí zařízní obsahující zdroj lktrické nrgi, optický pyromtr a žárovku

Více

Modelování jednostupňové extrakce. Grygar Vojtěch

Modelování jednostupňové extrakce. Grygar Vojtěch Modelováí jedostupňové extrakce Grygar Vojtěch Soutěží práce 009 UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 009 OBSAH ÚVOD...3 1 MODELOVÁNÍ PRACÍCH PROCESŮ...4 1.1 TERMODYNAMIKA PRACÍHO PROCESU...4 1.

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec

Směrnice 1/2011 Statistické vyhodnocování dat, verze 3 Verze 3 je shodná s původní Směrnicí 1/2011 verze 2, za čl. 2.3 je vložen nový odstavec Směrice /0 Statitické vyhodocováí dat, verze 3 Verze 3 e hodá ůvodí Směricí /0 verze, za čl..3 e vlože ový odtavec. Statitické metody ro zkoušeí zůobiloti Statitická aalýza oužívaá ro aalýzu výledků zkoušky

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Lab. skup. Spolupracoval Měřeno dne Odevzdáno dne. Příprava Opravy Učitel Hodnocení

Lab. skup. Spolupracoval Měřeno dne Odevzdáno dne. Příprava Opravy Učitel Hodnocení Jméno a příjmení ID FYZIKÁLNÍ PRAKTIK Ročník 1 Předmět Obor Stud. kupina Kroužek Lab. kup. FEKT VT BRNO Spolupracoval ěřeno dne Odevzdáno dne Příprava Opravy čitel Hodnocení Název úlohy Čílo úlohy 1. Úkol

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

23. Mechanické vlnění

23. Mechanické vlnění 3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze

Více

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy

elektrické filtry Jiří Petržela základní pojmy Jiří Petržela základí ojmy základí ojmy z oblati elektrických filtrů základí ojmy elektrický filtr je lieárí dvojbra, který bez útlumu roouští je určité kmitočtové ložky, které obahuje vtuí igál rouštěé

Více

PROGRAMOVÁ PODPORA SYNTÉZY REGULAČNÍCH OBVODU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB - SIMULINK. ing. Roman MIZERA. Katedra ATŘ-352, VŠB-TU Ostrava

PROGRAMOVÁ PODPORA SYNTÉZY REGULAČNÍCH OBVODU POMOCÍ PROGRAMU MATLAB - SIMULINK. ing. Roman MIZERA. Katedra ATŘ-352, VŠB-TU Ostrava PRORAMOVÁ PODPORA YNTÉZY REULAČNÍCH OBVODU POMOCÍ PRORAMU MATLAB - IMULINK ing. Roman MIZERA Katdra ATŘ-35, VŠB-TU Otrava Abtrat: Tnto přípěv zabývá programovou podporou yntézy rgulačních obvodů pomocí

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

7. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic.

7. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic. 7 837 4:3 Josf Hkrdla sousavy liárích difrciálích rovic 7 Sousavy liárích difrciálích rovic Příklad 7 3 + 5 + ( ) ξ 3 + ( ) ξ Maicový zápis 3 5 + 3 ( ) ξ ( ) ξ Dfiic 7 (sousava liárích difrciálích rovic

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Příklady k přednášce 3 - Póly, nuly a odezvy

Příklady k přednášce 3 - Póly, nuly a odezvy Příklady k předášce 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 06 9--6 Schurův doplěk - odvozeí Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Obecě ( + l) ( + l) ( + l) ( + m) ( + m) ( + m) I 0

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

3. cvičení 4ST201. Míry variability

3. cvičení 4ST201. Míry variability cvčící Ig. Jaa Feclová 3. cvčeí 4ST0 Obah: Míry varablty Rozptyl Směrodatá odchyla Varačí oefcet Rozlad rozptylu a mezupovou a vtroupovou varabltu Změa rozptylu Vyoá šola eoomcá VŠE urz 4ST0 Míry varablty

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

10 - Přímá vazba, Feedforward

10 - Přímá vazba, Feedforward 0 - Přímá vazba, Feedforward Michael Šebek Automatické řízeí 03 4--3 Motivace (FF podle Atroma) Automatické řízeí - Kberetika a robotika Už máme avržeu zpětovazebí čát Chceme zajitit přeo referece rový

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více