Zákony hromadění chyb.

Transkript

1 Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 1 / 27

2 Obsah přednášky 1 Chyby a jejich dělení 2 Zákon hromadění náhodných chyb 3 Zákon hromadění skutečných chyb 4 Zákon hromadění středních chyb Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 2 / 27

3 1. Úvod V přírodních vědách nás zajímají jak kvalitativní tak kvantitativní charakteristiky. Kvantitativní charakteristiky zpravidla určovány měřením: délka, úhel, čas, odrazivost... Při opakovaném měření získáme různý výsledek rušivé vlivy. Zvýšení přesnosti: lepší metodika, přesnější přístroj, snížení vlivu okolních chyb. Výsledek měření náhodnou veličinou. Cílem vyrovnání nalezení nejspolehlivější hodnoty (střední hodnota) a stanovení meze spolehlivosti (chyba). Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 3 / 27

4 Chyby a jejich dělení 2. Veličina a její chyba Přibližná x (měřená) a skutečná X (neznámá) Skutečná chyba ε ε = X x ε > X > x ε < X < x. Určení skutečné hodnoty X = x + ε. Odhad skutečné chyby ε x ε = X x ε x. Platí x ε X X x+ε x X = x ± ε x. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 4 / 27

5 Chyby a jejich dělení 3. Veličina a její chyba Jedno měření = žádné měření Skutečná chyba Skutečná hodnota x 1 = X ε 1, x 2 = X ε 2,..., x n = X ε n ε i = X x i. (1) X = x i + ε i. X nebývá známa, místo ní zavádíme vyrovnanou hodnotu x. Oprava Relativní chyba v i = x x i. (2) ε r = ε X. (3). Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 5 / 27

6 Chyby a jejich dělení 4. Typy chyb Existují čtyři základní skupiny chyb: 1 Omyly Špatná metodika, nesprávný postup, omyl. 2 Hrubé chyby Měření za nepříznivých okolností. Odstranění opakovaným měřením, možno detekovat v datech. Každá metoda a postup má stanovenu přesnost: chyby v mezích jsou nevyhnutelné, nad tyto meze hrubé. 3 Náhodné chyby Náhodné hodnoty, vzájemně nezávislé. 4 Systematické chyby c Podobné hodnoty, vzájemně závislé. Náhodné a systematické chyby patří mezi nevyhnutelné chyby, nelze je eliminovat žádnou měřickou technikou. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 6 / 27

7 Chyby a jejich dělení 5. Náhodné a systematické chyby Náhodné chyby Náhodný charakter, proměnlivé za stejných podmínek, stejné metodice. Vzájemně nezávislé, nelze jejich hodnoty předvídat. E( ) =. Systematické chyby c Nabývají podobných hodnot, ovlivněny nějakým faktorem v podobné míře. Mají stejnou systematickou složku, vzájemně závislé (korelované). Konstantní: stejná velikost a znaménko, nelze vyloučit měřením/výpočtem: x 1 = X c, x 2 = X c,..., x n = X c Proměnlivé: Hodnoty rámcově proměnlivé, avšak nikoliv zcela náhodné, E(c) = c. Skutečná chyba ε i = i + c i. (4) Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 7 / 27

8 Zákon hromadění náhodných chyb 6. Zákon hromadění náhodných chyb Náhodné chyby jednotlivě nepodléhají zákonitostem, jako celek pro ně platí pravidla jako u náhodných jevů. Tři Gaussovy zákonitosti: Z1: Malé chyby se vyskytují častěji než velké chyby. Z2: Chyby nad určitou mez se nevyskytují. Z3: Pravděpodobnost vzniku kladné/záporné chyby je stejná. Elementární chyba δ Náhodná chyb vzniká lineární kombinací většího počtu elementárních chyb δ různé velikosti, jejichž znaménko je náhodné (sečtou se či odečtou). Velká chyba: střet elementárních chyb s kladnými znaménky. Malá chyba: střet elementárních chyb s různými znaménky. m ε = δ j. (5) Veličina x i = X ε i, ε i = j=1 m m δ j,i x i = X j=1 Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 8 / 27 j=1 δ j,i

9 Zákon hromadění náhodných chyb 7. Ukázka rozložení chyb Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 9 / 27

10 Zákon hromadění náhodných chyb 8. Základní soubor a rozložení chyb Veličinu X určujeme z konečného počtu měření tvořící aproximaci základního souboru. Rozložení hodnot přibližně odpovídá Gaussovu rozdělení. Střední hodnoty chyb a veličin Předpoklad působení náhodných chyb E(δ) =, E(ε) =, E(x) = X. (6) n i=1 lim ε i n n i=1 =, lim x i n = X. Předpoklad působení systematických chyb n i=1 lim ε i n n i=1 = c, lim x i n = X c. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a1 kartogra / 27

11 Zákon hromadění náhodných chyb 9. Ukázka polohy c: systematické chyby Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a11 kartogra / 27

12 Zákon hromadění náhodných chyb 1. Přesnost veličiny X Hodnotu veličiny X lze odhadnout (měřit) různými metodami s různými hodnotami elementární chyby. Každou z metod lze charakterizovat různým souborem hodnot ε i. Za přesnější označujeme takovou metodu, která má vůči jiné metodě menší rozptyl x i kolem střední hodnoty. Hodnotu rozptylu lze měřit střední chybou σ, σ 2 = V (x). průměrnou chybou, pravděpodobnou chybou. Variance V (x) Druhý centrální moment V (x) = E(x E(x)) 2 = E( 2 ) = σ 2. U skutečných chyb definujeme základní střední (kvadratickou) chybu m m 2 = E(x X) 2 = E(ε 2 ) m = E(ε 2 ). Mocnina základní střední chyby je střední hodnota ze čtverce skutečné chyby. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a12 kartogra / 27

13 Zákon hromadění náhodných chyb 11. Vlastnosti základní střední chyby Charakterizuje soubor hodnot jako celek, hodnotí jeho přesnost. Čím větší hodnota m, tím menší přesnost. Platí i při výskytu systematických chyb, bývá nazývána úplnou variancí. Pozor: E( 2 ) E(ε 2 ) E(ε 2 ) = E(( + c) 2 ) = E( c + c 2 ) Pak Platí E(ε 2 ) = E( 2 ) + 2E( )E(c) + E(c 2 ) m 2 = σ 2 + c 2. (7) Základní střední chyba obsahuje vliv náhodné i systematické složky. Čtverec základní střední chyby je součtem čtverců variance a střední hodnoty systematické složky (poloha centra). Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a13 kartogra / 27

14 Zákon hromadění náhodných chyb 12. Další charakteristiky přesnosti Empirická střední chyba m Náhodná veličina, spočtená z konečného souboru n měření. Odmocnina z průměrné hodnoty čtverce chyb n i=1 m = ε2 i. (8) n Mezní chyba ε α Největší přípustná chyba. Volena jako 2-3 násobek základní střední chyby (do intervalu padne 95% měření). ε α 2m, 3m. (9) Průměrná chyba v První moment, průměrná hodnota absolutní chyby. v = E( ε ). (1) Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a14 kartogra / 27

15 Zákon hromadění skutečných chyb 13. Zákon hromadění skutečných chyb Ukazuje vliv chyb vstupních veličin na jejich funkce. Jeho znalost umožňuje volit metody a přístroje poskytující výsledek s požadovanou přesností. Předpoklad: chyby vstupních veličin vzájemně nezávislé. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n ). Vstupní chyby argumentů ε 1, ε 2,..., ε n. Hledáme: Chybu funkce ε f. Odvození diferenciálem nebo Taylorovým rozvojem. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a15 kartogra / 27

16 Zákon hromadění skutečných chyb 14. Odvození zákonu hromadění skutečných chyb Platí f + ε f = f (x 1 + ε 1, x 2 + ε 2,..., x n + ε n ) Taylorův rozvoj, neuvažujeme chyby vyšších řádů, existence derivací f + ε f = f (x 1, x 2,..., x n )/ + / ε 1 + / ε / ε n + R 2 x 1 x 2 x n Pak ε f = / x 1 Zákon hromadění skutečných chyb: n / ε f = x i ε 1 + / ε / ε n + R 2 x 2 x n i=1 ε i. (11) Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a16 kartogra / 27

17 Zákon hromadění skutečných chyb 15. Varianta: levá strana také funkcí Složitější případ, levá strana vztahu též funkcí Pak f + g / g(f ) = f (x 1, x 2,..., x n). ε f = f (x 1, x 2,..., x n)/ + / ε 1 + / ε / ε n + R 2. x 1 x 2 x n Modifikovaná varianta zákona hromadění skutečných chyb Použití: kosínová věta ε f = 1 / g c = a 2 + b 2... ε c = 1 2 (...) 1/2 ε a +... n i=1 c 2 = a 2 + b 2... ε c = 1 [(2a +...)εa c / ε i. (12) x i Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a17 kartogra / 27

18 Zákon hromadění skutečných chyb 16. Obrácená úloha Určení skutečných chyb argumentů tak, aby chyba funkce nepřekročila za danou hodnotu. Chyby vstupních hodnot opět nezávislé. Rovnice o více proměnných, lze řešit pouze při stanovení vhodných počátečních podmínek. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n). Chyba funkce ε f. Hledáme: Chyby argumentů ε 1, ε 2,..., ε n. Dvě základní varianty: Princip stejného vlivu, Rovnost odhadu absolutních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a18 kartogra / 27

19 Zákon hromadění skutečných chyb 17. Princip stejného vlivu Platí ε f = / x 1 ε 1 + / ε / ε n x 2 x n Podmínka: jednotlivé členy rozvoje se uplatní stejnou hodnotou / ε 1 = / ε 2 =... = / ε n. x 1 x 2 x n Pak Výsledný vztah ε f = n / ε i. x i ε i = ε f n x i /. (13) V některých případech nelze použít, příliš vysoké požadavky přesnosti na argumenty. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a19 kartogra / 27

20 Zákon hromadění skutečných chyb 18. Rovnost odhadu absolutních chyb Předpokládáme, že všechny argumenty mají být určeny se stejnou hodnotou skutečné chyby. Vliv jednotlivých členů bude různý. Podmínka ε 1 = ε 2 =... = ε n = ε. Pak Výsledný vztah ε f = ε( / + / x 1 x 2 n / ε f = ε x i i=1 ε =. n i=1 ε f x i / / ). x n. (14) Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a2 kartogra / 27

21 Zákon hromadění středních chyb 19. Zákon hromadění středních chyb Skutečné chyby v praxi nebývají, na rozdíl od středních chyb, známy. Předpoklady: Sudé rozdělení pravděpodobnosti, E(ε i ) = Chyby jsou vzájemně nezávislé. Funkce jsou spojité a diferencovatelné. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n). Vstupní chyby argumentů m 1, m 2,..., m n. Hledáme: Chybu funkce m f. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a21 kartogra / 27

22 Zákon hromadění středních chyb 2. Odvození zákona hromadění středních chyb (1/2) Vyjdeme ze vztahu ε f = Umocníme na druhou a přeuspořádáme / ε 1 + / ε / ε n. x 1 x 2 x n ε f ε f = ( / ) 2 ( / ) 2 ( / ) ε 1 + ε ε n + 2 x 1 x 2 x n +2 / / / ε 1 ε 2... ε n +... x 1 x 2 x n Aplikujeme E E(ε f ε f ) = E [ ( / x 1 / 2E( x 1 ) ] 2 ε 1 + E / ε 1 )E( x 2 [ ( / ) ] [ 2 ( / ε E x 2 x n ε 2 )...E( / ε n) +... x n ) ] 2 ε n Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a22 kartogra / 27

23 Zákon hromadění středních chyb 21. Odvození zákona hromadění středních chyb (2/2) Platí Všechny smíšené členy vypadnou. Pak ( / m 2 f = x 1 m 2 i = E(ε 2 i ) E(ε i ) =. ) 2 ( / ) 2 ( / ) 2 m 1 + m m n +. x 2 x n Zákon hromadění středních chyb m 2 f = n ( / i=1 x i m i ) 2 (15) Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a23 kartogra / 27

24 Zákon hromadění středních chyb 22. Varianta: levá strana také funkcí (1/2) Složitější případ, levá strana vztahu též funkcí Pak g(f ) = f (x 1, x 2,..., x n). ( / ) g 2 ε f = ( / ) 2 ( / ) 2 ( / ) ε 1 + ε ε n + x 1 x 2 x n +2 / / / ε 1 ε 2... ε n +... x 1 x 2 x n Aplikace střední hodnoty E [ ( / ) ] g 2 ε f = E [ ( / x 1 / +2E( x 1 ) ] 2 ε 1 + E ε 1 )E( x 2 [ ( / ) ] [ 2 ( / ε E x 2 x n / ε 2 )...E( / ε n) +... x n ) ε n Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a24 kartogra / 27

25 Zákon hromadění středních chyb 23. Varianta: levá strana také funkcí (2/2) Pak m 2 f ( / ) g 2 ε f = ( / ) 2 ( / m 1 + x 1 x 2 ( / ) m n. x n m 2 ) Modifikovaná varianta zákona hromadění středních chyb m 2 f = ( g 1 n ( / / ) 2 ε x i f i=1 m i ) 2 (16) Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a25 kartogra / 27

26 Zákon hromadění středních chyb 24. Obrácená úloha Určení skutečných chyb argumentů tak, aby chyba funkce nepřekročila za danou hodnotu. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n). Chyba funkce m f. Hledáme: Chyby argumentů m 1, m 2,..., m n. Dvě základní varianty: Princip stejného vlivu, Rovnost odhadu absolutních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a26 kartogra / 27

27 Zákon hromadění středních chyb 25. Princip stejného vlivu Jednotlivé členy mají stejný vliv ( / x 1 ) 2 ( / m 1 = x 2 ) 2 ( / m 2 = x n m n ) 2 Pak Výsledný vztah ( / ) 2 m 2 f = n m i x i m i = m f. (17) n x i / Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a27 kartogra / 27