Zákony hromadění chyb.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zákony hromadění chyb."

Transkript

1 Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 1 / 27

2 Obsah přednášky 1 Chyby a jejich dělení 2 Zákon hromadění náhodných chyb 3 Zákon hromadění skutečných chyb 4 Zákon hromadění středních chyb Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 2 / 27

3 1. Úvod V přírodních vědách nás zajímají jak kvalitativní tak kvantitativní charakteristiky. Kvantitativní charakteristiky zpravidla určovány měřením: délka, úhel, čas, odrazivost... Při opakovaném měření získáme různý výsledek rušivé vlivy. Zvýšení přesnosti: lepší metodika, přesnější přístroj, snížení vlivu okolních chyb. Výsledek měření náhodnou veličinou. Cílem vyrovnání nalezení nejspolehlivější hodnoty (střední hodnota) a stanovení meze spolehlivosti (chyba). Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 3 / 27

4 Chyby a jejich dělení 2. Veličina a její chyba Přibližná x (měřená) a skutečná X (neznámá) Skutečná chyba ε ε = X x ε > X > x ε < X < x. Určení skutečné hodnoty X = x + ε. Odhad skutečné chyby ε x ε = X x ε x. Platí x ε X X x+ε x X = x ± ε x. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 4 / 27

5 Chyby a jejich dělení 3. Veličina a její chyba Jedno měření = žádné měření Skutečná chyba Skutečná hodnota x 1 = X ε 1, x 2 = X ε 2,..., x n = X ε n ε i = X x i. (1) X = x i + ε i. X nebývá známa, místo ní zavádíme vyrovnanou hodnotu x. Oprava Relativní chyba v i = x x i. (2) ε r = ε X. (3). Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 5 / 27

6 Chyby a jejich dělení 4. Typy chyb Existují čtyři základní skupiny chyb: 1 Omyly Špatná metodika, nesprávný postup, omyl. 2 Hrubé chyby Měření za nepříznivých okolností. Odstranění opakovaným měřením, možno detekovat v datech. Každá metoda a postup má stanovenu přesnost: chyby v mezích jsou nevyhnutelné, nad tyto meze hrubé. 3 Náhodné chyby Náhodné hodnoty, vzájemně nezávislé. 4 Systematické chyby c Podobné hodnoty, vzájemně závislé. Náhodné a systematické chyby patří mezi nevyhnutelné chyby, nelze je eliminovat žádnou měřickou technikou. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 6 / 27

7 Chyby a jejich dělení 5. Náhodné a systematické chyby Náhodné chyby Náhodný charakter, proměnlivé za stejných podmínek, stejné metodice. Vzájemně nezávislé, nelze jejich hodnoty předvídat. E( ) =. Systematické chyby c Nabývají podobných hodnot, ovlivněny nějakým faktorem v podobné míře. Mají stejnou systematickou složku, vzájemně závislé (korelované). Konstantní: stejná velikost a znaménko, nelze vyloučit měřením/výpočtem: x 1 = X c, x 2 = X c,..., x n = X c Proměnlivé: Hodnoty rámcově proměnlivé, avšak nikoliv zcela náhodné, E(c) = c. Skutečná chyba ε i = i + c i. (4) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 7 / 27

8 Zákon hromadění náhodných chyb 6. Zákon hromadění náhodných chyb Náhodné chyby jednotlivě nepodléhají zákonitostem, jako celek pro ně platí pravidla jako u náhodných jevů. Tři Gaussovy zákonitosti: Z1: Malé chyby se vyskytují častěji než velké chyby. Z2: Chyby nad určitou mez se nevyskytují. Z3: Pravděpodobnost vzniku kladné/záporné chyby je stejná. Elementární chyba δ Náhodná chyb vzniká lineární kombinací většího počtu elementárních chyb δ různé velikosti, jejichž znaménko je náhodné (sečtou se či odečtou). Velká chyba: střet elementárních chyb s kladnými znaménky. Malá chyba: střet elementárních chyb s různými znaménky. m ε = δ j. (5) Veličina x i = X ε i, ε i = j=1 m m δ j,i x i = X j=1 Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 8 / 27 j=1 δ j,i

9 Zákon hromadění náhodných chyb 7. Ukázka rozložení chyb Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 9 / 27

10 Zákon hromadění náhodných chyb 8. Základní soubor a rozložení chyb Veličinu X určujeme z konečného počtu měření tvořící aproximaci základního souboru. Rozložení hodnot přibližně odpovídá Gaussovu rozdělení. Střední hodnoty chyb a veličin Předpoklad působení náhodných chyb E(δ) =, E(ε) =, E(x) = X. (6) n i=1 lim ε i n n i=1 =, lim x i n = X. Předpoklad působení systematických chyb n i=1 lim ε i n n i=1 = c, lim x i n = X c. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a1 kartogra / 27

11 Zákon hromadění náhodných chyb 9. Ukázka polohy c: systematické chyby Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a11 kartogra / 27

12 Zákon hromadění náhodných chyb 1. Přesnost veličiny X Hodnotu veličiny X lze odhadnout (měřit) různými metodami s různými hodnotami elementární chyby. Každou z metod lze charakterizovat různým souborem hodnot ε i. Za přesnější označujeme takovou metodu, která má vůči jiné metodě menší rozptyl x i kolem střední hodnoty. Hodnotu rozptylu lze měřit střední chybou σ, σ 2 = V (x). průměrnou chybou, pravděpodobnou chybou. Variance V (x) Druhý centrální moment V (x) = E(x E(x)) 2 = E( 2 ) = σ 2. U skutečných chyb definujeme základní střední (kvadratickou) chybu m m 2 = E(x X) 2 = E(ε 2 ) m = E(ε 2 ). Mocnina základní střední chyby je střední hodnota ze čtverce skutečné chyby. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a12 kartogra / 27

13 Zákon hromadění náhodných chyb 11. Vlastnosti základní střední chyby Charakterizuje soubor hodnot jako celek, hodnotí jeho přesnost. Čím větší hodnota m, tím menší přesnost. Platí i při výskytu systematických chyb, bývá nazývána úplnou variancí. Pozor: E( 2 ) E(ε 2 ) E(ε 2 ) = E(( + c) 2 ) = E( c + c 2 ) Pak Platí E(ε 2 ) = E( 2 ) + 2E( )E(c) + E(c 2 ) m 2 = σ 2 + c 2. (7) Základní střední chyba obsahuje vliv náhodné i systematické složky. Čtverec základní střední chyby je součtem čtverců variance a střední hodnoty systematické složky (poloha centra). Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a13 kartogra / 27

14 Zákon hromadění náhodných chyb 12. Další charakteristiky přesnosti Empirická střední chyba m Náhodná veličina, spočtená z konečného souboru n měření. Odmocnina z průměrné hodnoty čtverce chyb n i=1 m = ε2 i. (8) n Mezní chyba ε α Největší přípustná chyba. Volena jako 2-3 násobek základní střední chyby (do intervalu padne 95% měření). ε α 2m, 3m. (9) Průměrná chyba v První moment, průměrná hodnota absolutní chyby. v = E( ε ). (1) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a14 kartogra / 27

15 Zákon hromadění skutečných chyb 13. Zákon hromadění skutečných chyb Ukazuje vliv chyb vstupních veličin na jejich funkce. Jeho znalost umožňuje volit metody a přístroje poskytující výsledek s požadovanou přesností. Předpoklad: chyby vstupních veličin vzájemně nezávislé. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n ). Vstupní chyby argumentů ε 1, ε 2,..., ε n. Hledáme: Chybu funkce ε f. Odvození diferenciálem nebo Taylorovým rozvojem. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a15 kartogra / 27

16 Zákon hromadění skutečných chyb 14. Odvození zákonu hromadění skutečných chyb Platí f + ε f = f (x 1 + ε 1, x 2 + ε 2,..., x n + ε n ) Taylorův rozvoj, neuvažujeme chyby vyšších řádů, existence derivací f + ε f = f (x 1, x 2,..., x n )/ + / ε 1 + / ε / ε n + R 2 x 1 x 2 x n Pak ε f = / x 1 Zákon hromadění skutečných chyb: n / ε f = x i ε 1 + / ε / ε n + R 2 x 2 x n i=1 ε i. (11) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a16 kartogra / 27

17 Zákon hromadění skutečných chyb 15. Varianta: levá strana také funkcí Složitější případ, levá strana vztahu též funkcí Pak f + g / g(f ) = f (x 1, x 2,..., x n). ε f = f (x 1, x 2,..., x n)/ + / ε 1 + / ε / ε n + R 2. x 1 x 2 x n Modifikovaná varianta zákona hromadění skutečných chyb Použití: kosínová věta ε f = 1 / g c = a 2 + b 2... ε c = 1 2 (...) 1/2 ε a +... n i=1 c 2 = a 2 + b 2... ε c = 1 [(2a +...)εa c / ε i. (12) x i Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a17 kartogra / 27

18 Zákon hromadění skutečných chyb 16. Obrácená úloha Určení skutečných chyb argumentů tak, aby chyba funkce nepřekročila za danou hodnotu. Chyby vstupních hodnot opět nezávislé. Rovnice o více proměnných, lze řešit pouze při stanovení vhodných počátečních podmínek. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n). Chyba funkce ε f. Hledáme: Chyby argumentů ε 1, ε 2,..., ε n. Dvě základní varianty: Princip stejného vlivu, Rovnost odhadu absolutních chyb. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a18 kartogra / 27

19 Zákon hromadění skutečných chyb 17. Princip stejného vlivu Platí ε f = / x 1 ε 1 + / ε / ε n x 2 x n Podmínka: jednotlivé členy rozvoje se uplatní stejnou hodnotou / ε 1 = / ε 2 =... = / ε n. x 1 x 2 x n Pak Výsledný vztah ε f = n / ε i. x i ε i = ε f n x i /. (13) V některých případech nelze použít, příliš vysoké požadavky přesnosti na argumenty. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a19 kartogra / 27

20 Zákon hromadění skutečných chyb 18. Rovnost odhadu absolutních chyb Předpokládáme, že všechny argumenty mají být určeny se stejnou hodnotou skutečné chyby. Vliv jednotlivých členů bude různý. Podmínka ε 1 = ε 2 =... = ε n = ε. Pak Výsledný vztah ε f = ε( / + / x 1 x 2 n / ε f = ε x i i=1 ε =. n i=1 ε f x i / / ). x n. (14) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a2 kartogra / 27

21 Zákon hromadění středních chyb 19. Zákon hromadění středních chyb Skutečné chyby v praxi nebývají, na rozdíl od středních chyb, známy. Předpoklady: Sudé rozdělení pravděpodobnosti, E(ε i ) = Chyby jsou vzájemně nezávislé. Funkce jsou spojité a diferencovatelné. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n). Vstupní chyby argumentů m 1, m 2,..., m n. Hledáme: Chybu funkce m f. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a21 kartogra / 27

22 Zákon hromadění středních chyb 2. Odvození zákona hromadění středních chyb (1/2) Vyjdeme ze vztahu ε f = Umocníme na druhou a přeuspořádáme / ε 1 + / ε / ε n. x 1 x 2 x n ε f ε f = ( / ) 2 ( / ) 2 ( / ) ε 1 + ε ε n + 2 x 1 x 2 x n +2 / / / ε 1 ε 2... ε n +... x 1 x 2 x n Aplikujeme E E(ε f ε f ) = E [ ( / x 1 / 2E( x 1 ) ] 2 ε 1 + E / ε 1 )E( x 2 [ ( / ) ] [ 2 ( / ε E x 2 x n ε 2 )...E( / ε n) +... x n ) ] 2 ε n Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a22 kartogra / 27

23 Zákon hromadění středních chyb 21. Odvození zákona hromadění středních chyb (2/2) Platí Všechny smíšené členy vypadnou. Pak ( / m 2 f = x 1 m 2 i = E(ε 2 i ) E(ε i ) =. ) 2 ( / ) 2 ( / ) 2 m 1 + m m n +. x 2 x n Zákon hromadění středních chyb m 2 f = n ( / i=1 x i m i ) 2 (15) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a23 kartogra / 27

24 Zákon hromadění středních chyb 22. Varianta: levá strana také funkcí (1/2) Složitější případ, levá strana vztahu též funkcí Pak g(f ) = f (x 1, x 2,..., x n). ( / ) g 2 ε f = ( / ) 2 ( / ) 2 ( / ) ε 1 + ε ε n + x 1 x 2 x n +2 / / / ε 1 ε 2... ε n +... x 1 x 2 x n Aplikace střední hodnoty E [ ( / ) ] g 2 ε f = E [ ( / x 1 / +2E( x 1 ) ] 2 ε 1 + E ε 1 )E( x 2 [ ( / ) ] [ 2 ( / ε E x 2 x n / ε 2 )...E( / ε n) +... x n ) ε n Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a24 kartogra / 27

25 Zákon hromadění středních chyb 23. Varianta: levá strana také funkcí (2/2) Pak m 2 f ( / ) g 2 ε f = ( / ) 2 ( / m 1 + x 1 x 2 ( / ) m n. x n m 2 ) Modifikovaná varianta zákona hromadění středních chyb m 2 f = ( g 1 n ( / / ) 2 ε x i f i=1 m i ) 2 (16) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a25 kartogra / 27

26 Zákon hromadění středních chyb 24. Obrácená úloha Určení skutečných chyb argumentů tak, aby chyba funkce nepřekročila za danou hodnotu. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n). Chyba funkce m f. Hledáme: Chyby argumentů m 1, m 2,..., m n. Dvě základní varianty: Princip stejného vlivu, Rovnost odhadu absolutních chyb. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a26 kartogra / 27

27 Zákon hromadění středních chyb 25. Princip stejného vlivu Jednotlivé členy mají stejný vliv ( / x 1 ) 2 ( / m 1 = x 2 ) 2 ( / m 2 = x n m n ) 2 Pak Výsledný vztah ( / ) 2 m 2 f = n m i x i m i = m f. (17) n x i / Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a27 kartogra / 27

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

Kalibrace a limity její přesnosti

Kalibrace a limity její přesnosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat Kalibrace a limity její přesnosti Zdravotní ústav se sídlem v Ostravě

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Čísla a číselné soustavy.

Čísla a číselné soustavy. Čísla a číselné soustavy. Polyadické soustavy. Převody mezi soustavami. Reprezentace čísel. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK.

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA SPECIÁLNÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Inženýrská geodézie II 1/5 Určení nepřístupné vzdálenosti

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni BAYESOVSKÉ ODHADY V NĚKTERÝCH MODELECH Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Slunce Řidiči IQ Regrese Přežití Obvyklý model Pozorování X = (X 1,..., X

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost

Induktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chb v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tto slid berte pouze jako doplňkový materiál není v nich

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Měření vzdáleností. KGI/KAMET Alžběta Brychtová

Měření vzdáleností. KGI/KAMET Alžběta Brychtová Měření vzdáleností KGI/KAMET Alžběta Brychtová Minule... 5 základních úloh kartometrie měření vzdáleností, ploch, směrů, odečítání souřadnic, interpretace kartografického vyjádřené kvantity a kvality jevů

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Měřicí přístroje a měřicí metody

Měřicí přístroje a měřicí metody Měřicí přístroje a měřicí metody Základní elektrické veličiny určují kvalitativně i kvantitativně stav elektrických obvodů a objektů. Neelektrické fyzikální veličiny lze převést na elektrické veličiny

Více

Přednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová

Přednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová Přednáška č.7 Ing. Sylvie Riederová 1. Aplikace klasifikace nákladů na změnu objemu výroby 2. Modelování nákladů Podstata modelování nákladů Nákladové funkce Stanovení parametrů nákladových funkcí Klasifikační

Více

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68

marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Statistika B (151-0303) Marek Pomp ZS 2014 marek.pomp@vsb.cz http://homel.vsb.cz/~pom68 Cvičení: Pavlína Kuráňová & Marek Pomp Podmínky pro úspěšné ukončení zápočet 45 bodů, min. 23 bodů, dvě zápočtové

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

5.1 Definice, zákonné měřící jednotky.

5.1 Definice, zákonné měřící jednotky. 5. Měření délek. 5.1 Definice, zákonné měřící jednotky. 5.2 Měření délek pásmem. 5.3 Optické měření délek. 5.3.1 Paralaktické měření délek. 5.3.2 Ryskový dálkoměr. 5.4 Elektrooptické měření délek. 5.4.1

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ

MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

TESTOVÁNÍ 8. A 9. ROČNÍKŮ 2012/2013 PRŮŘEZOVÁ TÉMATA SOUHRNNÁ ZPRÁVA

TESTOVÁNÍ 8. A 9. ROČNÍKŮ 2012/2013 PRŮŘEZOVÁ TÉMATA SOUHRNNÁ ZPRÁVA TESTOVÁNÍ 8. A 9. ROČNÍKŮ 2012/2013 PRŮŘEZOVÁ TÉMATA SOUHRNNÁ ZPRÁVA Ve zprávě komentujeme výsledky testování 8. a 9. ročníků základních škol a odpovídajících ročníků víceletých gymnázií. Toto testování

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz

Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie http://aplchem.upol.cz http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Sedm základních nástrojů řízení kvality Doc. RNDr. Jiří Šimek,

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT

3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT PROKAZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ část 3, díl 8, kapitola 4, str. 1 3/8.4 PRAKTICKÉ APLIKACE PŘI POUŽÍVÁNÍ NEJISTOT Vyjadřování standardní kombinované nejistoty výsledku zkoušky Výsledek zkoušky se vyjadřuje v

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Informační technologie a statistika 1

Informační technologie a statistika 1 Informační technologie a statistika 1 přednášející: konzul. hodiny: e-mail: Martin Schindler KAP, tel. 48 535 2836, budova G po dohodě martin.schindler@tul.cz naposledy upraveno: 21. září 2015, 1/33 Požadavek

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu SM v SW Gretl Odhad simultánního modelu (SM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná studijní pomůcka MM2011 Úvodní obrazovka Gretlu

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Predikce roční spotřeby zemního plynu po ceníkových pásmech

Predikce roční spotřeby zemního plynu po ceníkových pásmech Predikce roční spotřeby zemního plynu po ceníkových pásmech Ondřej Konár, Marek Brabec, Ivan Kasanický, Marek Malý, Emil Pelikán Ústav informatiky AV ČR, v.v.i. ROBUST 2014 Jetřichovice 20. ledna 2014

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I

5EN306 Aplikované kvantitativní metody I 5EN306 Aplikované kvantitativní metody I Přednáška 10 Zuzana Dlouhá Předmět a struktura kurzu 1. Úvod: struktura empirických výzkumů 2. Tvorba ekonomických modelů: teorie 3. Data: zdroje a typy dat, význam

Více

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008

Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství. Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ. VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 Přípravný kurz k vykonání maturitní zkoušky v oboru Dopravní stavitelství Ing. Pavel Voříšek MĚŘENÍ VZDÁLENOSTÍ VOŠ a SŠS Vysoké Mýto leden 2008 METODY MĚŘENÍ DÉLEK PŘÍMÉ (měřidlo klademe přímo do měřené

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292

Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Modernizace výuky na Fakultě stavební VUT v Brně v rámci bakalářských a magisterských studijních programů CZ.04.1.03/3.2.15.2/0292 Název předmětu: Vyrovnávací kurz z matematiky Zabezpečující ústav: Ústav

Více

Nejistota měření. Thomas Hesse HBM Darmstadt

Nejistota měření. Thomas Hesse HBM Darmstadt Nejistota měření Thomas Hesse HBM Darmstadt Prof. Werner Richter: Výsledek měření bez určení nejistoty měření je nejistý, takový výsledek je lépe ignorovat" V podstatě je výsledek měření aproximací nebo

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut.

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut. 1/24 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD 2/24 Cíl:

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

6 Měření transformátoru naprázdno

6 Měření transformátoru naprázdno 6 6.1 Zadání úlohy a) změřte charakteristiku naprázdno pro napětí uvedená v tabulce b) změřte převod transformátoru c) vypočtěte poměrný proud naprázdno pro jmenovité napětí transformátoru d) vypočtěte

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015

Nekonečné číselné řady. January 21, 2015 Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Resolution, Accuracy, Precision, Trueness

Resolution, Accuracy, Precision, Trueness Věra Fišerová 26.11.2013 Resolution, Accuracy, Precision, Trueness Při skenování se používá mnoho pojmů.. Shodnost měření, rozlišení, pravdivost měření, přesnost, opakovatelnost, nejistota měření, chyba

Více