Zákony hromadění chyb.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zákony hromadění chyb."

Transkript

1 Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 1 / 27

2 Obsah přednášky 1 Chyby a jejich dělení 2 Zákon hromadění náhodných chyb 3 Zákon hromadění skutečných chyb 4 Zákon hromadění středních chyb Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 2 / 27

3 1. Úvod V přírodních vědách nás zajímají jak kvalitativní tak kvantitativní charakteristiky. Kvantitativní charakteristiky zpravidla určovány měřením: délka, úhel, čas, odrazivost... Při opakovaném měření získáme různý výsledek rušivé vlivy. Zvýšení přesnosti: lepší metodika, přesnější přístroj, snížení vlivu okolních chyb. Výsledek měření náhodnou veličinou. Cílem vyrovnání nalezení nejspolehlivější hodnoty (střední hodnota) a stanovení meze spolehlivosti (chyba). Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 3 / 27

4 Chyby a jejich dělení 2. Veličina a její chyba Přibližná x (měřená) a skutečná X (neznámá) Skutečná chyba ε ε = X x ε > X > x ε < X < x. Určení skutečné hodnoty X = x + ε. Odhad skutečné chyby ε x ε = X x ε x. Platí x ε X X x+ε x X = x ± ε x. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 4 / 27

5 Chyby a jejich dělení 3. Veličina a její chyba Jedno měření = žádné měření Skutečná chyba Skutečná hodnota x 1 = X ε 1, x 2 = X ε 2,..., x n = X ε n ε i = X x i. (1) X = x i + ε i. X nebývá známa, místo ní zavádíme vyrovnanou hodnotu x. Oprava Relativní chyba v i = x x i. (2) ε r = ε X. (3). Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 5 / 27

6 Chyby a jejich dělení 4. Typy chyb Existují čtyři základní skupiny chyb: 1 Omyly Špatná metodika, nesprávný postup, omyl. 2 Hrubé chyby Měření za nepříznivých okolností. Odstranění opakovaným měřením, možno detekovat v datech. Každá metoda a postup má stanovenu přesnost: chyby v mezích jsou nevyhnutelné, nad tyto meze hrubé. 3 Náhodné chyby Náhodné hodnoty, vzájemně nezávislé. 4 Systematické chyby c Podobné hodnoty, vzájemně závislé. Náhodné a systematické chyby patří mezi nevyhnutelné chyby, nelze je eliminovat žádnou měřickou technikou. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 6 / 27

7 Chyby a jejich dělení 5. Náhodné a systematické chyby Náhodné chyby Náhodný charakter, proměnlivé za stejných podmínek, stejné metodice. Vzájemně nezávislé, nelze jejich hodnoty předvídat. E( ) =. Systematické chyby c Nabývají podobných hodnot, ovlivněny nějakým faktorem v podobné míře. Mají stejnou systematickou složku, vzájemně závislé (korelované). Konstantní: stejná velikost a znaménko, nelze vyloučit měřením/výpočtem: x 1 = X c, x 2 = X c,..., x n = X c Proměnlivé: Hodnoty rámcově proměnlivé, avšak nikoliv zcela náhodné, E(c) = c. Skutečná chyba ε i = i + c i. (4) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 7 / 27

8 Zákon hromadění náhodných chyb 6. Zákon hromadění náhodných chyb Náhodné chyby jednotlivě nepodléhají zákonitostem, jako celek pro ně platí pravidla jako u náhodných jevů. Tři Gaussovy zákonitosti: Z1: Malé chyby se vyskytují častěji než velké chyby. Z2: Chyby nad určitou mez se nevyskytují. Z3: Pravděpodobnost vzniku kladné/záporné chyby je stejná. Elementární chyba δ Náhodná chyb vzniká lineární kombinací většího počtu elementárních chyb δ různé velikosti, jejichž znaménko je náhodné (sečtou se či odečtou). Velká chyba: střet elementárních chyb s kladnými znaménky. Malá chyba: střet elementárních chyb s různými znaménky. m ε = δ j. (5) Veličina x i = X ε i, ε i = j=1 m m δ j,i x i = X j=1 Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 8 / 27 j=1 δ j,i

9 Zákon hromadění náhodných chyb 7. Ukázka rozložení chyb Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a kartogra 9 / 27

10 Zákon hromadění náhodných chyb 8. Základní soubor a rozložení chyb Veličinu X určujeme z konečného počtu měření tvořící aproximaci základního souboru. Rozložení hodnot přibližně odpovídá Gaussovu rozdělení. Střední hodnoty chyb a veličin Předpoklad působení náhodných chyb E(δ) =, E(ε) =, E(x) = X. (6) n i=1 lim ε i n n i=1 =, lim x i n = X. Předpoklad působení systematických chyb n i=1 lim ε i n n i=1 = c, lim x i n = X c. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a1 kartogra / 27

11 Zákon hromadění náhodných chyb 9. Ukázka polohy c: systematické chyby Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a11 kartogra / 27

12 Zákon hromadění náhodných chyb 1. Přesnost veličiny X Hodnotu veličiny X lze odhadnout (měřit) různými metodami s různými hodnotami elementární chyby. Každou z metod lze charakterizovat různým souborem hodnot ε i. Za přesnější označujeme takovou metodu, která má vůči jiné metodě menší rozptyl x i kolem střední hodnoty. Hodnotu rozptylu lze měřit střední chybou σ, σ 2 = V (x). průměrnou chybou, pravděpodobnou chybou. Variance V (x) Druhý centrální moment V (x) = E(x E(x)) 2 = E( 2 ) = σ 2. U skutečných chyb definujeme základní střední (kvadratickou) chybu m m 2 = E(x X) 2 = E(ε 2 ) m = E(ε 2 ). Mocnina základní střední chyby je střední hodnota ze čtverce skutečné chyby. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a12 kartogra / 27

13 Zákon hromadění náhodných chyb 11. Vlastnosti základní střední chyby Charakterizuje soubor hodnot jako celek, hodnotí jeho přesnost. Čím větší hodnota m, tím menší přesnost. Platí i při výskytu systematických chyb, bývá nazývána úplnou variancí. Pozor: E( 2 ) E(ε 2 ) E(ε 2 ) = E(( + c) 2 ) = E( c + c 2 ) Pak Platí E(ε 2 ) = E( 2 ) + 2E( )E(c) + E(c 2 ) m 2 = σ 2 + c 2. (7) Základní střední chyba obsahuje vliv náhodné i systematické složky. Čtverec základní střední chyby je součtem čtverců variance a střední hodnoty systematické složky (poloha centra). Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a13 kartogra / 27

14 Zákon hromadění náhodných chyb 12. Další charakteristiky přesnosti Empirická střední chyba m Náhodná veličina, spočtená z konečného souboru n měření. Odmocnina z průměrné hodnoty čtverce chyb n i=1 m = ε2 i. (8) n Mezní chyba ε α Největší přípustná chyba. Volena jako 2-3 násobek základní střední chyby (do intervalu padne 95% měření). ε α 2m, 3m. (9) Průměrná chyba v První moment, průměrná hodnota absolutní chyby. v = E( ε ). (1) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a14 kartogra / 27

15 Zákon hromadění skutečných chyb 13. Zákon hromadění skutečných chyb Ukazuje vliv chyb vstupních veličin na jejich funkce. Jeho znalost umožňuje volit metody a přístroje poskytující výsledek s požadovanou přesností. Předpoklad: chyby vstupních veličin vzájemně nezávislé. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n ). Vstupní chyby argumentů ε 1, ε 2,..., ε n. Hledáme: Chybu funkce ε f. Odvození diferenciálem nebo Taylorovým rozvojem. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a15 kartogra / 27

16 Zákon hromadění skutečných chyb 14. Odvození zákonu hromadění skutečných chyb Platí f + ε f = f (x 1 + ε 1, x 2 + ε 2,..., x n + ε n ) Taylorův rozvoj, neuvažujeme chyby vyšších řádů, existence derivací f + ε f = f (x 1, x 2,..., x n )/ + / ε 1 + / ε / ε n + R 2 x 1 x 2 x n Pak ε f = / x 1 Zákon hromadění skutečných chyb: n / ε f = x i ε 1 + / ε / ε n + R 2 x 2 x n i=1 ε i. (11) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a16 kartogra / 27

17 Zákon hromadění skutečných chyb 15. Varianta: levá strana také funkcí Složitější případ, levá strana vztahu též funkcí Pak f + g / g(f ) = f (x 1, x 2,..., x n). ε f = f (x 1, x 2,..., x n)/ + / ε 1 + / ε / ε n + R 2. x 1 x 2 x n Modifikovaná varianta zákona hromadění skutečných chyb Použití: kosínová věta ε f = 1 / g c = a 2 + b 2... ε c = 1 2 (...) 1/2 ε a +... n i=1 c 2 = a 2 + b 2... ε c = 1 [(2a +...)εa c / ε i. (12) x i Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a17 kartogra / 27

18 Zákon hromadění skutečných chyb 16. Obrácená úloha Určení skutečných chyb argumentů tak, aby chyba funkce nepřekročila za danou hodnotu. Chyby vstupních hodnot opět nezávislé. Rovnice o více proměnných, lze řešit pouze při stanovení vhodných počátečních podmínek. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n). Chyba funkce ε f. Hledáme: Chyby argumentů ε 1, ε 2,..., ε n. Dvě základní varianty: Princip stejného vlivu, Rovnost odhadu absolutních chyb. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a18 kartogra / 27

19 Zákon hromadění skutečných chyb 17. Princip stejného vlivu Platí ε f = / x 1 ε 1 + / ε / ε n x 2 x n Podmínka: jednotlivé členy rozvoje se uplatní stejnou hodnotou / ε 1 = / ε 2 =... = / ε n. x 1 x 2 x n Pak Výsledný vztah ε f = n / ε i. x i ε i = ε f n x i /. (13) V některých případech nelze použít, příliš vysoké požadavky přesnosti na argumenty. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a19 kartogra / 27

20 Zákon hromadění skutečných chyb 18. Rovnost odhadu absolutních chyb Předpokládáme, že všechny argumenty mají být určeny se stejnou hodnotou skutečné chyby. Vliv jednotlivých členů bude různý. Podmínka ε 1 = ε 2 =... = ε n = ε. Pak Výsledný vztah ε f = ε( / + / x 1 x 2 n / ε f = ε x i i=1 ε =. n i=1 ε f x i / / ). x n. (14) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a2 kartogra / 27

21 Zákon hromadění středních chyb 19. Zákon hromadění středních chyb Skutečné chyby v praxi nebývají, na rozdíl od středních chyb, známy. Předpoklady: Sudé rozdělení pravděpodobnosti, E(ε i ) = Chyby jsou vzájemně nezávislé. Funkce jsou spojité a diferencovatelné. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n). Vstupní chyby argumentů m 1, m 2,..., m n. Hledáme: Chybu funkce m f. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a21 kartogra / 27

22 Zákon hromadění středních chyb 2. Odvození zákona hromadění středních chyb (1/2) Vyjdeme ze vztahu ε f = Umocníme na druhou a přeuspořádáme / ε 1 + / ε / ε n. x 1 x 2 x n ε f ε f = ( / ) 2 ( / ) 2 ( / ) ε 1 + ε ε n + 2 x 1 x 2 x n +2 / / / ε 1 ε 2... ε n +... x 1 x 2 x n Aplikujeme E E(ε f ε f ) = E [ ( / x 1 / 2E( x 1 ) ] 2 ε 1 + E / ε 1 )E( x 2 [ ( / ) ] [ 2 ( / ε E x 2 x n ε 2 )...E( / ε n) +... x n ) ] 2 ε n Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a22 kartogra / 27

23 Zákon hromadění středních chyb 21. Odvození zákona hromadění středních chyb (2/2) Platí Všechny smíšené členy vypadnou. Pak ( / m 2 f = x 1 m 2 i = E(ε 2 i ) E(ε i ) =. ) 2 ( / ) 2 ( / ) 2 m 1 + m m n +. x 2 x n Zákon hromadění středních chyb m 2 f = n ( / i=1 x i m i ) 2 (15) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a23 kartogra / 27

24 Zákon hromadění středních chyb 22. Varianta: levá strana také funkcí (1/2) Složitější případ, levá strana vztahu též funkcí Pak g(f ) = f (x 1, x 2,..., x n). ( / ) g 2 ε f = ( / ) 2 ( / ) 2 ( / ) ε 1 + ε ε n + x 1 x 2 x n +2 / / / ε 1 ε 2... ε n +... x 1 x 2 x n Aplikace střední hodnoty E [ ( / ) ] g 2 ε f = E [ ( / x 1 / +2E( x 1 ) ] 2 ε 1 + E ε 1 )E( x 2 [ ( / ) ] [ 2 ( / ε E x 2 x n / ε 2 )...E( / ε n) +... x n ) ε n Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a24 kartogra / 27

25 Zákon hromadění středních chyb 23. Varianta: levá strana také funkcí (2/2) Pak m 2 f ( / ) g 2 ε f = ( / ) 2 ( / m 1 + x 1 x 2 ( / ) m n. x n m 2 ) Modifikovaná varianta zákona hromadění středních chyb m 2 f = ( g 1 n ( / / ) 2 ε x i f i=1 m i ) 2 (16) Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a25 kartogra / 27

26 Zákon hromadění středních chyb 24. Obrácená úloha Určení skutečných chyb argumentů tak, aby chyba funkce nepřekročila za danou hodnotu. Dána: Funkce f n proměnných x 1, x 2,..., x n, diferencovatelná, spojitá y = f (x 1, x 2,..., x n). Chyba funkce m f. Hledáme: Chyby argumentů m 1, m 2,..., m n. Dvě základní varianty: Princip stejného vlivu, Rovnost odhadu absolutních chyb. Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a26 kartogra / 27

27 Zákon hromadění středních chyb 25. Princip stejného vlivu Jednotlivé členy mají stejný vliv ( / x 1 ) 2 ( / m 1 = x 2 ) 2 ( / m 2 = x n m n ) 2 Pak Výsledný vztah ( / ) 2 m 2 f = n m i x i m i = m f. (17) n x i / Tomáš Bayer (PřírodovědeckáZákony fakultahromadění Univerzity Karlovy chyb. v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky a27 kartogra / 27

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Čísla a číselné soustavy.

Čísla a číselné soustavy. Čísla a číselné soustavy. Polyadické soustavy. Převody mezi soustavami. Reprezentace čísel. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK.

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.6 Matematika 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět se jmenuje Matematika. Patří do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace z RVP ZV. Vzdělávací

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Seminarni prace. 2 3 stranky staci, dat nema byt 3 a nema jich byt pul milionu. k te seminarce

Seminarni prace. 2 3 stranky staci, dat nema byt 3 a nema jich byt pul milionu. k te seminarce Seminarni prace Popisná statistika, data nesmí být časovou řadou Zkoumat můžeme třeba mzdy, obraty atd. (takže možná QA?) Formát pdf, poslat nejpozději den před zkouškou. Podrobnější informace jsou na

Více

Přehled vhodných metod georeferencování starých map

Přehled vhodných metod georeferencování starých map Přehled vhodných metod georeferencování starých map ČVUT v Praze, katedra geomatiky 12. 3. 2015 Praha Georeferencování historická mapa vs. stará mapa georeferencování umístění obrazu mapy do referenčního

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty

Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úloha č. 1a Měření délky, určení objemu tělesa a jeho hustoty Úkoly měření: 1. Seznámení se s měřicími přístroji posuvné měřítko, mikrometr, laboratorní váhy. 2. Opakovaně (10x) změřte rozměry dvou zadaných

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I

TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JOSEF WEIGEL TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET I GE04_M01 MĚŘICKÉ CHYBY TCHVP Měřické chyby Tento text neprošel jazykovou ani redakční úpravou. Za jazykovou

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

č é ž Ý č é ž é é ž é é č Ú ž č é ž é Ž é é ť č ť ž ť ž é č é é ž é é é č é ž ť č ž é ž ž ž é č č č č ž é é č é é ž č é ž é ž é ž é č é č č č é é é ž ž é č č č č ž ž é ž é é é é é č č é ž Ž č Ž ž č ž ž

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně

StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně StatSoft Jak poznat vliv faktorů vizuálně V tomto článku bychom se rádi věnovali otázce, jak poznat již z grafického náhledu vztahy a závislosti v analýze rozptylu. Pomocí následujících grafických zobrazení

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 6. ročník J.Coufalová : Matematika pro 6.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko,J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 6.ročník ZŠ (Prometheus)

Více

6.16. Geodetické výpočty - GEV

6.16. Geodetické výpočty - GEV 6.16. Geodetické výpočty - GEV Obor: 36-46-M/01 Geodézie a katastr nemovitostí Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 8 Platnost učební osnovy: od 1.9.2010 1) Pojetí vyučovacího

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

MS EXCEL_vybrané matematické funkce

MS EXCEL_vybrané matematické funkce MS EXCEL_vybrané matematické funkce Vybrané základní matematické funkce ABS absolutní hodnota čísla CELÁ.ČÁST - zaokrouhlení čísla na nejbližší menší celé číslo EXP - vrátí e umocněné na hodnotu argumentu

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix. Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz

Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix. Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz Automatická segmentace slov s pomocí nástroje Affisix Michal Hrušecký, Jaroslava Hlaváčová Michal@Hrusecky.net, Hlavacova@ufal.mff.cuni.cz Motivace Při zpracování přirozeného jazyka nikdy nemůžeme mít

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Cvičení 11. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Cvičení 11. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. 11 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické

Více

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: Návrh FIR filtrů Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř.

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

Rozhodovací procesy 6

Rozhodovací procesy 6 Rozhodovací procesy 6 a tvorba variant Příprava předmětu byla podpořena projektem OPPA č. CZ.2.17/3.1.00/33253 VI rozhodování 1 Rozhodovací procesy Cíl přednášky 6: Povaha kritérií řešení Elementární vědecké

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více