Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úlohy domácí části I. kola kategorie C"

Transkript

1 58. očník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategoie C 1. Honza, Jika, Matin a Pet oganizovali na náměstí sbíku na dobočinné účely. Za chvíli se u nich postupně zastavilo pět kolemjdoucích. Pvní dal Honzovi do jehokasičky3kč,jikovikč,matinovi1kčapetovinic.duhýdaljednomu zchlapců8kčazbylýmtřemnedalnic.třetídaldvěmachlapcůmpokčadvěma nic.čtvtýdaldvěmachlapcůmpo4kčadvěmanic.pátýdaldvěmachlapcům po8kčadvěmanic.potéchlapcizjistili,žekaždýznichvybaljinoučástku,přičemž tyto tvoří čtyři po sobě jdoucí přiozená čísla. Kteý z chlapců vybal nejméně a kteý nejvíce peněz? Řešení.Dohomadychlapcidostali =4Kč. Toto číslo lze jednoznačně vyjádřit jako součet čtyř po sobě jdoucích přiozených čísel: 4= Čtyřichlapcitedy(vnějakémpořadí)vybalisumy9,10,11 a1kč. Žádný chlapec nemohl dostat 8 Kč záoveň od duhého i od pátého kolemjdoucího (jinakbymělalespoň16kč,nejvícevšakmohlkaždýzchlapcůdostat1kč).takže odduhéhoapátéhomajítřichlapcipo8kčajedenodnichnedostalnic.nejvýše jedenztěchtotříchlapcůmohldostat4kčodčtvtéhokolemjdoucího,jinakbyměli užalespoňdvachlapcialespoň1kč.čtvtýkolemjdoucímuseltedydát4kčpávě jednomu z nich a 4 Kč zbývajícímu chlapci. Bez peněz pvního a třetího kolemjdoucího tedymajíchlapcivybáno1,8,8a4kč.chlapec,kteýdostalvsoučtuodduhého, čtvtého a pátého kolemjdoucího dvanáct koun, už nemohl dostat od pvního a třetího kolemjdoucího nic, neboť by měl více než dvanáct koun. Ten, kteý dostal v součtu od duhého, čtvtého a pátého kolemjdoucího 4 Kč, musel dostat od pvního a třetího vsoučtumaximálnímožnoučástku,tj.3+=5kč,jinakbymělcelkověméněnež 9Kč(dostaltedypávě9Kčamánejméně).TakženejméněvybalHonza,neboťon dostal od pvního kolemjdoucího 3 Kč, a nejvíc Pet, kteý od pvního kolemjdoucího nedostal nic. Úvahy snadno dokončíme a ukážeme, že popsané ozdělení je vskutku možné. Jak užvíme,honzavybal9kčapet1kč,jika,kteýdostalkčodpvního,nemohl dostatodtřetíhonic,takžedostalcelkem10kč,amatin11kč.všechnyúvahymůžeme přehledně uspořádat do tabulky, kteou postupně doplňujeme: Σ P H Ukažte, že přiozené číslo n lze vyjádřit jako součet čtyř po sobě jdoucích čísel, pávě když n 10andávázbytekdvěpoděleníčtyřmi.[(k+1)+(k+)+(k+3)+(k+ +4)=4k+10] 1

2 . Dokažte,želibovolnépřiozenéčíslo n 3,kteénenímocninoučísla,lzevyjádřit jakosoučetněkolikaposobějdoucíchpřiozenýchčísel.[n= n 1 + n+1 po nliché, n=( n p p 1 )+( n p p 1 +1)+...+( n p + p 1 )po n=p q,kde p >1jelichý dělitel] 3. Vkloboukujepětkoulíanakaždéznichjenapsánojednopřiozenéčíslo.Součetčísel nakoulíchvkloboukuje7ačíslanalibovolnýchdvoukoulíchselišíalespoňodvě. Dokažte,ževkloboukuneníkoulesčíslem6.[Vkloboukumohoubýtbuďkoulesčísly 1,3,5,7,11,nebo1,3,5,8,10.]. Pavoúhlému tojúhelníku ABC s přeponou AB je opsána kužnice. Paty kolmic zbodů A, Bnatečnuktétokužnicivbodě C označme D, E.Vyjádřetedélku úsečky DE pomocí délek odvěsen tojúhelníku ABC. Řešení. Označme odvěsny tojúhelníku ABC obvyklým způsobem a, b a potilehlé úhly α, β.středpřepony AB(středopsanékužnice)označíme O(ob.1). Výška v = CP ozděluje tojúhelník ABC na tojúhelníky ACP a CBP podobné tojúhelníku ABCpodlevěty uu(α+β =90 ),úsečka OCjekolmána DE anavíc OC = OA = (polomě opsané kužnice). Odtud OCA = OAC = α a DCA =90 OCA =β. Pavoúhlé tojúhelníky ACP a ACD se společnou přeponou AC se tudíž shodují i v úhlech při vcholu C. Jsou poto shodné, dokonce souměně sdužené podle přímky AC. Analogicky jsou tojúhelníky CBP a CBE souměně sdužené podle BC. Jetedy CD = CE =v,tudíž DE =v=ab/ a + b,neboťzdvojíhovyjádření dvojnásobkuobsahutojúhelníku ABCplyne v= ab/ AB,přičemž AB = a + b. Poznámka. Místo dvojího vyjádření obsahu můžeme k výpočtu výšky CP využít podobnosttojúhelníků CBPa ABC:sin α= CP / AC = BC / AB. F D C β α α v E D b v c a C v c a E A α O Ob.1 P β B A O Ob. B Jiné řešení. Úsečka OC je střední příčkou lichoběžníku DABE, neboť je ovnoběžnásezákladnamiapocházístředem Oamene AB.Jepoto Dobazembodu E vsouměnostipodlestředu C.Obaz Fbodu Bvtéžesouměnostiležínapolopřímce ADzabodem D(ob.).Je CF = BC =a,úhel ACFjepavý,tojúhelníky AFC a ABCjsoutedyshodné.Vidíme,že CDjevýškavtojúhelníku AFCshodnásvýškou v c tojúhelníku ABC,aDEjejejímdvojnásobkem.Velikostvýšky v c dopočítáme stejně jako v předchozím řešení. Odpověď. DE =ab/ a + b.

3 1. Vyjádřetevýšku v c pavoúhléhotojúhelníku ABC spavýmúhlempři vcholu C pomocí stan a, b, c tohoto tojúhelníku.. Nechť k je kužnice opsaná pavoúhlému tojúhelníku ABC s přeponou AB délky c. Označme Sstředstany ABa Da Epůsečíkyosstan BCa ACstýmžobloukem AB kužnice k.vyjádřeteobsahtojúhelníku DSEpomocídélkypřepony c.[c /8] 3. Vyjádřete obsah ovnoamenného lichoběžníku ABCD se základnami AB a CD pomocí délek a, cjehozákladenadélky bjehoamen.[ 1 4 (a+c) 4b (a c) ] 4. Vobdélníku ABCDplatí AB > BC.Oblouk ACkužnice,jejížstředležínastaně AB,potínástanu CDvbodě M.Dokažte,žepřímky AMa BDjsounavzájemkolmé. [48 C I ] 3. Najděte všechna čtyřmístná čísla n, kteá mají následující tři vlastnosti: V zápise čísla n jsou dvě ůzné číslice, každá dvakát. Číslo n je dělitelné sedmi. Číslo, kteé vznikne obácením pořadí číslic čísla n, je ovněž čtyřmístné a dělitelné sedmi. Řešení. V řešení budeme značit číslo, kteé vznikne obácením pořadí číslic čísla n, jako n. Rozlišíme tři případy. (i)číslo nmá tva aabb,kde a, bjsou ůzné cify.jetedy n = 1100a+11b a n=1100b+11a.číslo7mádělitjak n,tak n,tedyijejichozdíl n n=1089(a b) asoučet n+n=1111(a+b).potožeaničíslo1089,aničíslo1111nejsounásobkem sedmiasedmjepvočíslo,tak7 a bi7 a+b.použijeme-listejnouúvahuještě jednou,vidíme,že7 (a b)+(a+b)=aa7 (a+b) (a b)=b,tedy7 a a7 b,neboli a, b {0,7}.Číslice a, bjsounavzájemůzné,potojednaznichmusí být 0. Ale potom jedno z čísel aabb, bbaa není čtyřmístné. Hledané číslo n tedy nemůže být uvedeného tvau. (ii)číslo nmátva abab.potom7 n=1010a+101baovněž7 n=1010b+101a. Podobnějakovpředchozímpřípaděodvodíme,že7 n n=909(a b)a7 n+n= =1111(a+b),azestejnýchdůvodůjakovpředchozímpřípadězjišťujeme,že7 a, 7 b.někteázčíslicbytedymuselabýt0.číslo ntaknemůžebýtanitvau abab. (iii) Číslo n má tva abba. Potom obácením pořadí číslic vznikne totéž číslo, takže mámejedinoupodmínku7 1001a+110b.Potože7 1001a7 ¹110,jetatopodmínka ekvivalentníspodmínkou7 b.poto b {0,7}, a {1,,...,9}, a b.vyhovujetak všech17čísel,kteápávěuvedenépodmínkysplňují:1001,00,3003,4004,5005, 6006,7007,8008,9009,1771,77,3773,4774,5775,6776,8778, Učete počet všech čtyřmístných přiozených čísel, kteá jsou dělitelná šesti a v jejichž zápisu se vyskytují pávě dvě jedničky.[56 C S 1]. Učete počet všech tojic dvojmístných přiozených čísel a, b, c, jejichž součin abc má zápis, ve kteém jsou všechny číslice stejné. Tojice lišící se pouze pořadím čísel považujeme za stejné, tj. započítáváme je pouze jednou.[54 C I 5] 3. K přiozenému číslu m zapsanému stejnými číslicemi jsme přičetli čtyřmístné přiozené číslo n. Získali jsme čtyřmístné číslo s opačným pořadím číslic, než má číslo n. Učete všechny takové dvojice čísel m a n.[5 C I 5] 4. Je dán konvexní pětiúhelník ABCDE. Na polopřímce BC sestojte takový bod G, aby obsah tojúhelníku ABG byl shodný s obsahem daného pětiúhelníku. Řešení.Rozbo:Nejpveuvažmebod F,kteýjepůsečíkempřímky BCaovnoběžkysECjdoucíbodem D(potože E / BC,jsou ECa BCůznoběžky,ob.3). Obsahy tojúhelníků ECD a ECF jsou shodné(mají společnou stanu EC a shodnou 3

4 výšku na tuto stanu), obsah pětiúhelníku ABCDE je tedy shodný s obsahem čtyřúhelníku ABFE. E D A B C F Ob.3 G Dáleuvažmebod G,kteýjepůsečíkempřímky BCaovnoběžkysAF jdoucí bodem E.Potomjsouopětobsahytojúhelníků AFE a AFGshodné,ajsoupoto shodné i obsahy čtyřúhelníku ABF E a tojúhelníku ABG. Bod G tak má požadovanou vlastnost. Hledanýbodjenapolopřímce BCjediný,neboťpoůznébody X, Ynapolopřímce BCmajítojúhelníky ABXa ABY ůznévýškynaspolečnoustanu AB,majítedy ůzné obsahy. Popis konstukce: 1. p; p EC, D p;. F; F p BC; 3. q; q AF, E q; 4. G; G q BC; Úloha má jediné řešení. 1. Označme P půsečík úhlopříček daného konvexního čtyřúhelníku ABCD. Dokažte, že přímky ABa CDjsouovnoběžné,pávěkdyžtojúhelníky ADP a BCPmajístejný obsah.[rovnost obsahů tojúhelníků ADP a BCP je ekvivalentní s ovností obsahů tojúhelníků ABC a ABD se společnou stanou AB.]. Vkužniciopoloměujedánatětiva ABdélky3.Učete,jakýnejvětšíobsahmůže mítčtyřúhelník AXBY,leží-lijehovcholy X, Y nakužnici k.[největšíobsah6má deltoid, jehož úhlopříčka XY je půměem kužnice k.] 3. Jedánobdélník ABCD.Nechťpřímky paq,kteépocházejívcholem A,potínají polokužnicevněpřipsanéstanám BCa CDdanéhoobdélníkupořaděvbodech K a L(B K C L D)aovněžstany BCa CDpořaděvbodech Pa Qtak,že tojúhelník ABP má stejný obsah jako tojúhelník KCP a záoveň tojúhelník AQD mástejnýobsahjakotojúhelník CLQ.Dokažte,žebody K, L, Cležínatéžepřímce. [53 C I ] 5. Zmnožiny {1,,3,...,99}vybeteconejvětšípočetčíseltak,abysoučetžádných dvou vybaných čísel nebyl násobkem jedenácti.(vysvětlete, poč zvolený výbě má požadovanou vlastnost a poč žádný výbě většího počtu čísel nevyhovuje.) Řešení.Číslaod1do99ozdělímepodlejejichzbytkupřiděleníčíslem11do 4

5 jedenáctidevítipvkovýchskupin T 0, T 1,..., T 10 : T 0 = {11,,33,...,99}, T 1 = { 1,1,3,...,89}, T = {,13,4,...,90},. T 10 = {10,1,3,...,98}. Vybeeme-lijednočíslozT 0 (vícjichanivybatnesmíme)avšechnačíslazt 1, T, T 3, T 4 a T 5,dostanemevyhovujícívýbě1+5 9=46čísel,neboťsoučetdvoučíselz0, 1,,3,4,5jedělitelný11jediněvpřípadě0+0,zmnožiny T 0 jsmevšakvybalipouze jedno číslo. Na duhou stanu v libovolném vyhovujícím výběu je nejvýše jedno číslo ze skupiny T 0 anejvýše9číselzkaždézeskupin T 1 T 10, T T 9, T 3 T 8, T 4 T 7, T 5 T 6, neboťpřivýběu10číselzněkteéskupiny T i T 11 i bymezivybanýmibyloněkteé číslozeskupiny T i iněkteéčíslozeskupiny T 11 i ;jejichsoučetbypakbyldělitelný11. Celkemjetedyvevýběunejvýše1+5 9=46čísel. Poznámka. Možná to učesané řešení vypadá příliš tikově. Avšak počáteční úvahy každého řešitele k němu ychle vedou: jistě záleží jen na zbytcích vybaných čísel, takže ozdělenínatřídy T i avybíáníznichjepřiozené.jejasné,žezt 0 můžebýtvybánojen jedno číslo a vše další, o co se musíme staat, je požadavek, abychom nevybali záoveň počísluzeskupiny T i izeskupiny T 11 i.je-liužvybánoněkteéčísloztřídy T i,kde i 0,můžemeklidněvybatvšechnačíslazT i,toužzkoumanouvlastnostnepokazí. Je poto dokonce jasné, jak všechny výběy největšího počtu čísel vypadají. 1. Ukažte,žezlibovolných npřiozenýchčísellzevybatněkolik(třebaijedno)tak,že jejichsoučetjedělitelný n.[uvažtečísla a 1, a 1 + a,..., a a n ajejichzbytky po dělení n.]. Zjistěte,pokteápřiozenáčísla n(n )jemožnozmnožiny {1,,..., n 1}vybat aspoň dvě navzájem ůzná sudá čísla tak, aby jejich součet byl dělitelný číslem n. [54 C I ] 3. Učete počet všech tojic navzájem ůzných tojmístných přiozených čísel, jejichž součet je dělitelný každým ze tří sčítaných čísel.[55 C I 3] 6. Dokažte,žepolibovolnáůznákladnáčísla a, bplatí a+b < (a + ab+b ) 3(a+b) a + b <. Řešení. Levou neovnost dokážeme ekvivalentními úpavami: a+b < (a + ab+b ), 3(a+b) 3(a+b) <4(a + ab+b ), 0 <(a b). 5 6(a+b)

6 Poslední neovnost vzhledem k předpokladu a b platí. Také pavou neovnost ze zadání budeme ekvivalentně upavovat, začneme umocněním každé stany na duhou: 4(a + ab+b ) 9(a+b) < a + b, 18(a+b) 8(a + ab+b ) <9(a + b )(a+b), 8(a 4 + b 4 +a 3 b+ab 3 +3a b ) <9(a 4 + b 4 +a 3 b+ab 3 +a b ), 6a b < a 4 + b 4 +a 3 b+ab 3. Posledníneovnostjesoučtemneovnostía b < a 4 + b 4 a4a b <a 3 b+ab 3,kteé oběplatí,neboťpopřevodučlenůzlevýchstannapavédostanemepoozkladuuž zřejméneovnosti0 <(a b ),esp.0 <ab(a b). 1. Po a, b Êdokažte a 4 + b 4 a 3 b+b 3 a. [Převeďtenatva(a 3 b 3 )(a b) 0.]. Dokažte,žepokaždátřieálnáčísla x, y, z,kteásplňujíneovnosti0<x<y < z <1, platí také neovnost x + y + z < xy+ yz+ zx+z x. [48 C II 4] 3. Dokažte,žepolibovolnákladnáčísla a, bacplatíneovnost ( a+ 1 )( b+ 1 )( c+ 1 ) 8. b c a [55 B S 1] 4. Splňují-lieálnáčísla a, b, c, dovnosti platí neovnost a + b = b + c = c + d =1, ab+ac+ad+bc+bd+cd 3. Dokažte a zjistěte, kdy nastane ovnost.[55 C II ] 6

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 61. očník matematické olmpiád Úloh kajského kola kategoie B 1. Je dáno 01 kladných čísel menších než 1, jejichž součet je 7. Dokažte, že lze tato čísla ozdělit do čtř skupin tak, ab součet čísel v každé

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie B

Návody k domácí části I. kola kategorie B Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel

Více

I. kolo kategorie Z9

I. kolo kategorie Z9 68. očník Matematické olympiády I. kolo kategoie Z9 Z9 I 1 Najděte všechna kladná celá čísla x a y, po kteá platí 1 x + 1 y = 1 4. Nápověda. Mohou být obě neznámé současně větší než např. 14? (A. Bohiniková)

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé

Více

B A B A B A B A A B A B B

B A B A B A B A A B A B B AB ABA BA BABA B AB A B B A A B A B AB A A B B B B ABA B A B A A A A A B A A B A A B A A B A BA B A BA B D A BC A B C A B A B C C ABA B D D ABC D A A B A B C D C B B A A B A B A B A A AB B A AB A B A A

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 68. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými. (Michal Rolínek) Řešení. Pokud by

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami

Více

Úlohy domácího kola kategorie B

Úlohy domácího kola kategorie B 49. očník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategoie B 1. Po kteá eálná čísla t má funkce f(x) = 5x + 44 + t x 3 x t maximum ovné 0? Daná funkce je lineání lomená, potože obsahuje dva výazy s absolutní

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

56. ročník Matematické olympiády

56. ročník Matematické olympiády 56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +

Více

Návody k úlohám domácí části I. kola 59. ročníku MO kategorie B

Návody k úlohám domácí části I. kola 59. ročníku MO kategorie B Návody k úlohám domácí části I kola 59 ročníku MO kategorie B Soutěžní úloha 1 Na stole leží tři hromádky zápalek: v jedné 009, ve druhé 010 a v poslední 011 Hráč, který je na tahu, zvolí dvě hromádky

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 66. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66úhelníku přiřadíme jedno z čísel 1 nebo 1. Ke každé úsečce spojující dva jeho vrcholy (straně nebo

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 67. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C 1. Najděte nejmenší přirozené číslo končící čtyřčíslím 2018, které je násobkem čísla 2017. 2. Pro celá čísla x, y, z platí x 2 + y z =

Více

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

pravidelné konvexní mnohostěny

pravidelné konvexní mnohostěny PLATÓNOVA TĚLESA pavidelné konvexní mnohostěny Platónova tělesa Stěny Počet stěn S vcholů V han H Čtyřstěn tetaed ovnostanný tojúhelník 4 4 6 Šestistěn(Kychle) hexaed čtveec 6 8 12 Osmistěn oktaed ovnostanný

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,

Více

Syntetická geometrie II

Syntetická geometrie II Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD

Více

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000 49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.

Více

Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek

Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Cílem této přednášky je obohatit vaše znalosti z planimetrie o nové metody, založené na algebraickém přístupu. Nebudeme ovšem sáhodlouze upravovat obrovskévýrazy,jakbysemohlozdát.naopaksiukážemepříklady,vnichžnástrocha

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

II. kolo kategorie Z6

II. kolo kategorie Z6 Z6 II 1 Pat napsal na tabuli příklad: 62. ročník Matematické olympiády II. kolo kategorie Z6 589+544+80=2013. Mat chtěl příklad opravit, aby se obě strany skutečně rovnaly, a pátral po neznámém čísle,

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek a při dělení dvojčlenem x + zbytek

Více

I. kolo kategorie Z7

I. kolo kategorie Z7 67. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Petr řekl Pavlovi: Napiš dvojmístné přirozené číslo, které má tu vlastnost, že když od něj odečteš totéž dvojmístné přirozené číslo akorát napsané

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 64. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x 5 + y 9 = 6, x 2 9 + y 2 5 = 52. Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne y 9

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 65. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Pro přirozená čísla k, l, m platí k + m + klm = 05 404. Určete všechny možné hodnoty součinu klm. Řešení. I když rovnice v zadání

Více

Internetová matematická olympiáda listopadu 2008

Internetová matematická olympiáda listopadu 2008 Internetová matematická olympiáda - 5. listopadu 008 ŘEŠENÍ ÚLOH 1. Obrazec na Obrázku 1 je složen z 44 čtverců o straně 6 mm. Bodem A veďte jedinou přímku, která daný obrazec rozdělí na dva obrazce o

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie A

Úlohy domácí části I. kola kategorie A . ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Je dáno přirozené číslo n. Čtverec o straně délky n je rozdělen na n jednotkových čtverečků. Za vzdálenost dvou čtverečků považujeme

Více

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Určete všechny trojice celých kladných čísel k, l a m, pro které platí 3l + 1 3kl + k + 3 = lm + 1 5lm + m + 5. 2. Je dána úsečka AB,

Více

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.

2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině. ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

Úlohy domácího kola kategorie B

Úlohy domácího kola kategorie B 47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Zobrazení kružnice v pravoúhlé axonometrii. osy, která je normálou roviny dané kružnice; délka hlavní poloosy je rovna poloměru

Zobrazení kružnice v pravoúhlé axonometrii. osy, která je normálou roviny dané kružnice; délka hlavní poloosy je rovna poloměru Geometie Zoazovací metody Zoazení kužnice v pavoúhlé axonometii Zoazení kužnice ležící v souřadnicové ovině Výklad v pavoúhlé axonometii lze poměně snadno sestojit půmět kužnice dané středem a poloměem,

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 63 ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1 Dokažte, že pro každé celé číslo n 3 je n-místné číslo s dekadickým zápisem druhou mocninou některého celého čísla 1 1 8

Více

Úlohy II. kola kategorie A

Úlohy II. kola kategorie A 5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Více

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu.

Než si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu. 1 1 Kategorie C V této kapitole se budeme věnovat problémovým úlohám a úlohám k procvičení, které jsou vhodným výchozím studijním materiálem pro úspěšné zvládnutí domácí části matematické olympiády kategorie

Více

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 66. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a + a a + a +. Řešení. Zadaná nerovnost patří

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

3.2.2 Shodnost trojúhelníků II

3.2.2 Shodnost trojúhelníků II 3.. hodnost tojúhelníků II Předpoklady: 30 Pokud mají tojúhelníky speiální vlastnosti, mohou se věty o shodnosti zjednodušit Př. : Zfomuluj věty o shodnosti: a) ovnoamennýh tojúhelníků b) ovnostannýh tojúhelníků

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

64. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Praha, března 2015

64. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Praha, března 2015 64. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Praha, 22. 25. března 2015 O 1. Najděte všechna čtyřmístná čísla n taková, že zároveň platí: i) číslo n je součinem tří různých prvočísel; ii) součet

Více

I. kolo kategorie Z9

I. kolo kategorie Z9 67. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z9 Z9 I Věkový průměr všech lidí, kteří se sešli na rodinné oslavě, byl roven počtu přítomných. TetaBěta,kterébylo29let,sezáhyomluvilaaodešla.IpoodchodutetyBětybylvěkový

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost. Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).

Více

Geometrická zobrazení

Geometrická zobrazení Geometrická zobrazení Franta Konopecký Geometrická zobrazení jsou nádherná kapitola matematiky, do které když proniknete, tak už neuniknete. Pro lepší představu v tomto příspěvku najdete stručný přehled,

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

I. kolo kategorie Z8

I. kolo kategorie Z8 68. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z8 Z8 I 1 Ferda a David se denně potkávají ve výtahu. Jednou ráno zjistili, že když vynásobí své současné věky, dostanou 38. Kdyby totéž provedli za čtyři

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Zajímavé matematické úlohy

Zajímavé matematické úlohy Poděkování. Tento článek vznikl v rámci projektu SVV 2014-260105. Výzkum byl podpořen Grantovou agenturou Univerzity Karlovy v Praze (projekt č. 1250213). L i t e r a t u r a [1] Hejný, M. a kol.: Teória

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

Sada 7 odchylky přímek a rovin I

Sada 7 odchylky přímek a rovin I Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána

Více

67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018

67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018 67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Přerov, 8.. března 08 MO . Ve společnosti lidí jsou některé dvojice spřátelené. Pro kladné celé číslo k 3 řekneme, že společnost je k-dobrá, pokud

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012 61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

Úlohy krajského kola kategorie B

Úlohy krajského kola kategorie B 68. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Pro nezáporná reálná čísla a, b platí a + b = 2. Určete nejmenší a největší možnou hodnotu výrazu V = a2 + b 2 ab + 1. 2. Najděte všechna

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006

Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006 Délky v trojúhelníku Martina Vaváčková Motto: I can calculate everything. Ivan Borsenco, zlatý medailista z IMO 2006 Na přednášce si ukážeme prostou, ale účinnou zbraň při řešení mnohých geometrických

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie A

Úlohy domácí části I. kola kategorie A 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie. Označme n součet všech desetimístných čísel, která mají ve svém dekadickém zápise každou z číslic 0,,..., 9. Zjistěte zbytek po dělení

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie A

Úlohy domácí části I. kola kategorie A 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a2 + a +. Řešení. Budeme se nejprve

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 59. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A. Dokažte,žerovnice x +p x =qx sreálnýmiparametry p, qmávoborureálných číselčtyřiřešení,právěkdyžplatí p+ q +

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více