Úlohy domácí části I. kola kategorie C
|
|
- Pavel Říha
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 58. očník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategoie C 1. Honza, Jika, Matin a Pet oganizovali na náměstí sbíku na dobočinné účely. Za chvíli se u nich postupně zastavilo pět kolemjdoucích. Pvní dal Honzovi do jehokasičky3kč,jikovikč,matinovi1kčapetovinic.duhýdaljednomu zchlapců8kčazbylýmtřemnedalnic.třetídaldvěmachlapcůmpokčadvěma nic.čtvtýdaldvěmachlapcůmpo4kčadvěmanic.pátýdaldvěmachlapcům po8kčadvěmanic.potéchlapcizjistili,žekaždýznichvybaljinoučástku,přičemž tyto tvoří čtyři po sobě jdoucí přiozená čísla. Kteý z chlapců vybal nejméně a kteý nejvíce peněz? Řešení.Dohomadychlapcidostali =4Kč. Toto číslo lze jednoznačně vyjádřit jako součet čtyř po sobě jdoucích přiozených čísel: 4= Čtyřichlapcitedy(vnějakémpořadí)vybalisumy9,10,11 a1kč. Žádný chlapec nemohl dostat 8 Kč záoveň od duhého i od pátého kolemjdoucího (jinakbymělalespoň16kč,nejvícevšakmohlkaždýzchlapcůdostat1kč).takže odduhéhoapátéhomajítřichlapcipo8kčajedenodnichnedostalnic.nejvýše jedenztěchtotříchlapcůmohldostat4kčodčtvtéhokolemjdoucího,jinakbyměli užalespoňdvachlapcialespoň1kč.čtvtýkolemjdoucímuseltedydát4kčpávě jednomu z nich a 4 Kč zbývajícímu chlapci. Bez peněz pvního a třetího kolemjdoucího tedymajíchlapcivybáno1,8,8a4kč.chlapec,kteýdostalvsoučtuodduhého, čtvtého a pátého kolemjdoucího dvanáct koun, už nemohl dostat od pvního a třetího kolemjdoucího nic, neboť by měl více než dvanáct koun. Ten, kteý dostal v součtu od duhého, čtvtého a pátého kolemjdoucího 4 Kč, musel dostat od pvního a třetího vsoučtumaximálnímožnoučástku,tj.3+=5kč,jinakbymělcelkověméněnež 9Kč(dostaltedypávě9Kčamánejméně).TakženejméněvybalHonza,neboťon dostal od pvního kolemjdoucího 3 Kč, a nejvíc Pet, kteý od pvního kolemjdoucího nedostal nic. Úvahy snadno dokončíme a ukážeme, že popsané ozdělení je vskutku možné. Jak užvíme,honzavybal9kčapet1kč,jika,kteýdostalkčodpvního,nemohl dostatodtřetíhonic,takžedostalcelkem10kč,amatin11kč.všechnyúvahymůžeme přehledně uspořádat do tabulky, kteou postupně doplňujeme: Σ P H Ukažte, že přiozené číslo n lze vyjádřit jako součet čtyř po sobě jdoucích čísel, pávě když n 10andávázbytekdvěpoděleníčtyřmi.[(k+1)+(k+)+(k+3)+(k+ +4)=4k+10] 1
2 . Dokažte,želibovolnépřiozenéčíslo n 3,kteénenímocninoučísla,lzevyjádřit jakosoučetněkolikaposobějdoucíchpřiozenýchčísel.[n= n 1 + n+1 po nliché, n=( n p p 1 )+( n p p 1 +1)+...+( n p + p 1 )po n=p q,kde p >1jelichý dělitel] 3. Vkloboukujepětkoulíanakaždéznichjenapsánojednopřiozenéčíslo.Součetčísel nakoulíchvkloboukuje7ačíslanalibovolnýchdvoukoulíchselišíalespoňodvě. Dokažte,ževkloboukuneníkoulesčíslem6.[Vkloboukumohoubýtbuďkoulesčísly 1,3,5,7,11,nebo1,3,5,8,10.]. Pavoúhlému tojúhelníku ABC s přeponou AB je opsána kužnice. Paty kolmic zbodů A, Bnatečnuktétokužnicivbodě C označme D, E.Vyjádřetedélku úsečky DE pomocí délek odvěsen tojúhelníku ABC. Řešení. Označme odvěsny tojúhelníku ABC obvyklým způsobem a, b a potilehlé úhly α, β.středpřepony AB(středopsanékužnice)označíme O(ob.1). Výška v = CP ozděluje tojúhelník ABC na tojúhelníky ACP a CBP podobné tojúhelníku ABCpodlevěty uu(α+β =90 ),úsečka OCjekolmána DE anavíc OC = OA = (polomě opsané kužnice). Odtud OCA = OAC = α a DCA =90 OCA =β. Pavoúhlé tojúhelníky ACP a ACD se společnou přeponou AC se tudíž shodují i v úhlech při vcholu C. Jsou poto shodné, dokonce souměně sdužené podle přímky AC. Analogicky jsou tojúhelníky CBP a CBE souměně sdužené podle BC. Jetedy CD = CE =v,tudíž DE =v=ab/ a + b,neboťzdvojíhovyjádření dvojnásobkuobsahutojúhelníku ABCplyne v= ab/ AB,přičemž AB = a + b. Poznámka. Místo dvojího vyjádření obsahu můžeme k výpočtu výšky CP využít podobnosttojúhelníků CBPa ABC:sin α= CP / AC = BC / AB. F D C β α α v E D b v c a C v c a E A α O Ob.1 P β B A O Ob. B Jiné řešení. Úsečka OC je střední příčkou lichoběžníku DABE, neboť je ovnoběžnásezákladnamiapocházístředem Oamene AB.Jepoto Dobazembodu E vsouměnostipodlestředu C.Obaz Fbodu Bvtéžesouměnostiležínapolopřímce ADzabodem D(ob.).Je CF = BC =a,úhel ACFjepavý,tojúhelníky AFC a ABCjsoutedyshodné.Vidíme,že CDjevýškavtojúhelníku AFCshodnásvýškou v c tojúhelníku ABC,aDEjejejímdvojnásobkem.Velikostvýšky v c dopočítáme stejně jako v předchozím řešení. Odpověď. DE =ab/ a + b.
3 1. Vyjádřetevýšku v c pavoúhléhotojúhelníku ABC spavýmúhlempři vcholu C pomocí stan a, b, c tohoto tojúhelníku.. Nechť k je kužnice opsaná pavoúhlému tojúhelníku ABC s přeponou AB délky c. Označme Sstředstany ABa Da Epůsečíkyosstan BCa ACstýmžobloukem AB kužnice k.vyjádřeteobsahtojúhelníku DSEpomocídélkypřepony c.[c /8] 3. Vyjádřete obsah ovnoamenného lichoběžníku ABCD se základnami AB a CD pomocí délek a, cjehozákladenadélky bjehoamen.[ 1 4 (a+c) 4b (a c) ] 4. Vobdélníku ABCDplatí AB > BC.Oblouk ACkužnice,jejížstředležínastaně AB,potínástanu CDvbodě M.Dokažte,žepřímky AMa BDjsounavzájemkolmé. [48 C I ] 3. Najděte všechna čtyřmístná čísla n, kteá mají následující tři vlastnosti: V zápise čísla n jsou dvě ůzné číslice, každá dvakát. Číslo n je dělitelné sedmi. Číslo, kteé vznikne obácením pořadí číslic čísla n, je ovněž čtyřmístné a dělitelné sedmi. Řešení. V řešení budeme značit číslo, kteé vznikne obácením pořadí číslic čísla n, jako n. Rozlišíme tři případy. (i)číslo nmá tva aabb,kde a, bjsou ůzné cify.jetedy n = 1100a+11b a n=1100b+11a.číslo7mádělitjak n,tak n,tedyijejichozdíl n n=1089(a b) asoučet n+n=1111(a+b).potožeaničíslo1089,aničíslo1111nejsounásobkem sedmiasedmjepvočíslo,tak7 a bi7 a+b.použijeme-listejnouúvahuještě jednou,vidíme,že7 (a b)+(a+b)=aa7 (a+b) (a b)=b,tedy7 a a7 b,neboli a, b {0,7}.Číslice a, bjsounavzájemůzné,potojednaznichmusí být 0. Ale potom jedno z čísel aabb, bbaa není čtyřmístné. Hledané číslo n tedy nemůže být uvedeného tvau. (ii)číslo nmátva abab.potom7 n=1010a+101baovněž7 n=1010b+101a. Podobnějakovpředchozímpřípaděodvodíme,že7 n n=909(a b)a7 n+n= =1111(a+b),azestejnýchdůvodůjakovpředchozímpřípadězjišťujeme,že7 a, 7 b.někteázčíslicbytedymuselabýt0.číslo ntaknemůžebýtanitvau abab. (iii) Číslo n má tva abba. Potom obácením pořadí číslic vznikne totéž číslo, takže mámejedinoupodmínku7 1001a+110b.Potože7 1001a7 ¹110,jetatopodmínka ekvivalentníspodmínkou7 b.poto b {0,7}, a {1,,...,9}, a b.vyhovujetak všech17čísel,kteápávěuvedenépodmínkysplňují:1001,00,3003,4004,5005, 6006,7007,8008,9009,1771,77,3773,4774,5775,6776,8778, Učete počet všech čtyřmístných přiozených čísel, kteá jsou dělitelná šesti a v jejichž zápisu se vyskytují pávě dvě jedničky.[56 C S 1]. Učete počet všech tojic dvojmístných přiozených čísel a, b, c, jejichž součin abc má zápis, ve kteém jsou všechny číslice stejné. Tojice lišící se pouze pořadím čísel považujeme za stejné, tj. započítáváme je pouze jednou.[54 C I 5] 3. K přiozenému číslu m zapsanému stejnými číslicemi jsme přičetli čtyřmístné přiozené číslo n. Získali jsme čtyřmístné číslo s opačným pořadím číslic, než má číslo n. Učete všechny takové dvojice čísel m a n.[5 C I 5] 4. Je dán konvexní pětiúhelník ABCDE. Na polopřímce BC sestojte takový bod G, aby obsah tojúhelníku ABG byl shodný s obsahem daného pětiúhelníku. Řešení.Rozbo:Nejpveuvažmebod F,kteýjepůsečíkempřímky BCaovnoběžkysECjdoucíbodem D(potože E / BC,jsou ECa BCůznoběžky,ob.3). Obsahy tojúhelníků ECD a ECF jsou shodné(mají společnou stanu EC a shodnou 3
4 výšku na tuto stanu), obsah pětiúhelníku ABCDE je tedy shodný s obsahem čtyřúhelníku ABFE. E D A B C F Ob.3 G Dáleuvažmebod G,kteýjepůsečíkempřímky BCaovnoběžkysAF jdoucí bodem E.Potomjsouopětobsahytojúhelníků AFE a AFGshodné,ajsoupoto shodné i obsahy čtyřúhelníku ABF E a tojúhelníku ABG. Bod G tak má požadovanou vlastnost. Hledanýbodjenapolopřímce BCjediný,neboťpoůznébody X, Ynapolopřímce BCmajítojúhelníky ABXa ABY ůznévýškynaspolečnoustanu AB,majítedy ůzné obsahy. Popis konstukce: 1. p; p EC, D p;. F; F p BC; 3. q; q AF, E q; 4. G; G q BC; Úloha má jediné řešení. 1. Označme P půsečík úhlopříček daného konvexního čtyřúhelníku ABCD. Dokažte, že přímky ABa CDjsouovnoběžné,pávěkdyžtojúhelníky ADP a BCPmajístejný obsah.[rovnost obsahů tojúhelníků ADP a BCP je ekvivalentní s ovností obsahů tojúhelníků ABC a ABD se společnou stanou AB.]. Vkužniciopoloměujedánatětiva ABdélky3.Učete,jakýnejvětšíobsahmůže mítčtyřúhelník AXBY,leží-lijehovcholy X, Y nakužnici k.[největšíobsah6má deltoid, jehož úhlopříčka XY je půměem kužnice k.] 3. Jedánobdélník ABCD.Nechťpřímky paq,kteépocházejívcholem A,potínají polokužnicevněpřipsanéstanám BCa CDdanéhoobdélníkupořaděvbodech K a L(B K C L D)aovněžstany BCa CDpořaděvbodech Pa Qtak,že tojúhelník ABP má stejný obsah jako tojúhelník KCP a záoveň tojúhelník AQD mástejnýobsahjakotojúhelník CLQ.Dokažte,žebody K, L, Cležínatéžepřímce. [53 C I ] 5. Zmnožiny {1,,3,...,99}vybeteconejvětšípočetčíseltak,abysoučetžádných dvou vybaných čísel nebyl násobkem jedenácti.(vysvětlete, poč zvolený výbě má požadovanou vlastnost a poč žádný výbě většího počtu čísel nevyhovuje.) Řešení.Číslaod1do99ozdělímepodlejejichzbytkupřiděleníčíslem11do 4
5 jedenáctidevítipvkovýchskupin T 0, T 1,..., T 10 : T 0 = {11,,33,...,99}, T 1 = { 1,1,3,...,89}, T = {,13,4,...,90},. T 10 = {10,1,3,...,98}. Vybeeme-lijednočíslozT 0 (vícjichanivybatnesmíme)avšechnačíslazt 1, T, T 3, T 4 a T 5,dostanemevyhovujícívýbě1+5 9=46čísel,neboťsoučetdvoučíselz0, 1,,3,4,5jedělitelný11jediněvpřípadě0+0,zmnožiny T 0 jsmevšakvybalipouze jedno číslo. Na duhou stanu v libovolném vyhovujícím výběu je nejvýše jedno číslo ze skupiny T 0 anejvýše9číselzkaždézeskupin T 1 T 10, T T 9, T 3 T 8, T 4 T 7, T 5 T 6, neboťpřivýběu10číselzněkteéskupiny T i T 11 i bymezivybanýmibyloněkteé číslozeskupiny T i iněkteéčíslozeskupiny T 11 i ;jejichsoučetbypakbyldělitelný11. Celkemjetedyvevýběunejvýše1+5 9=46čísel. Poznámka. Možná to učesané řešení vypadá příliš tikově. Avšak počáteční úvahy každého řešitele k němu ychle vedou: jistě záleží jen na zbytcích vybaných čísel, takže ozdělenínatřídy T i avybíáníznichjepřiozené.jejasné,žezt 0 můžebýtvybánojen jedno číslo a vše další, o co se musíme staat, je požadavek, abychom nevybali záoveň počísluzeskupiny T i izeskupiny T 11 i.je-liužvybánoněkteéčísloztřídy T i,kde i 0,můžemeklidněvybatvšechnačíslazT i,toužzkoumanouvlastnostnepokazí. Je poto dokonce jasné, jak všechny výběy největšího počtu čísel vypadají. 1. Ukažte,žezlibovolných npřiozenýchčísellzevybatněkolik(třebaijedno)tak,že jejichsoučetjedělitelný n.[uvažtečísla a 1, a 1 + a,..., a a n ajejichzbytky po dělení n.]. Zjistěte,pokteápřiozenáčísla n(n )jemožnozmnožiny {1,,..., n 1}vybat aspoň dvě navzájem ůzná sudá čísla tak, aby jejich součet byl dělitelný číslem n. [54 C I ] 3. Učete počet všech tojic navzájem ůzných tojmístných přiozených čísel, jejichž součet je dělitelný každým ze tří sčítaných čísel.[55 C I 3] 6. Dokažte,žepolibovolnáůznákladnáčísla a, bplatí a+b < (a + ab+b ) 3(a+b) a + b <. Řešení. Levou neovnost dokážeme ekvivalentními úpavami: a+b < (a + ab+b ), 3(a+b) 3(a+b) <4(a + ab+b ), 0 <(a b). 5 6(a+b)
6 Poslední neovnost vzhledem k předpokladu a b platí. Také pavou neovnost ze zadání budeme ekvivalentně upavovat, začneme umocněním každé stany na duhou: 4(a + ab+b ) 9(a+b) < a + b, 18(a+b) 8(a + ab+b ) <9(a + b )(a+b), 8(a 4 + b 4 +a 3 b+ab 3 +3a b ) <9(a 4 + b 4 +a 3 b+ab 3 +a b ), 6a b < a 4 + b 4 +a 3 b+ab 3. Posledníneovnostjesoučtemneovnostía b < a 4 + b 4 a4a b <a 3 b+ab 3,kteé oběplatí,neboťpopřevodučlenůzlevýchstannapavédostanemepoozkladuuž zřejméneovnosti0 <(a b ),esp.0 <ab(a b). 1. Po a, b Êdokažte a 4 + b 4 a 3 b+b 3 a. [Převeďtenatva(a 3 b 3 )(a b) 0.]. Dokažte,žepokaždátřieálnáčísla x, y, z,kteásplňujíneovnosti0<x<y < z <1, platí také neovnost x + y + z < xy+ yz+ zx+z x. [48 C II 4] 3. Dokažte,žepolibovolnákladnáčísla a, bacplatíneovnost ( a+ 1 )( b+ 1 )( c+ 1 ) 8. b c a [55 B S 1] 4. Splňují-lieálnáčísla a, b, c, dovnosti platí neovnost a + b = b + c = c + d =1, ab+ac+ad+bc+bd+cd 3. Dokažte a zjistěte, kdy nastane ovnost.[55 C II ] 6
Úlohy krajského kola kategorie B
61. očník matematické olmpiád Úloh kajského kola kategoie B 1. Je dáno 01 kladných čísel menších než 1, jejichž součet je 7. Dokažte, že lze tato čísla ozdělit do čtř skupin tak, ab součet čísel v každé
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie B
Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie A
67. očník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategoie A 1. Pavel střídavě vpisuje křížky a kolečka do políček tabulky (začíná křížkem). Když je tabulka celá vyplněná, výsledné skóe spočítá
VíceI. kolo kategorie Z9
68. očník Matematické olympiády I. kolo kategoie Z9 Z9 I 1 Najděte všechna kladná celá čísla x a y, po kteá platí 1 x + 1 y = 1 4. Nápověda. Mohou být obě neznámé současně větší než např. 14? (A. Bohiniková)
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé
VíceB A B A B A B A A B A B B
AB ABA BA BABA B AB A B B A A B A B AB A A B B B B ABA B A B A A A A A B A A B A A B A A B A BA B A BA B D A BC A B C A B A B C C ABA B D D ABC D A A B A B C D C B B A A B A B A B A A AB B A AB A B A A
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
68. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými. (Michal Rolínek) Řešení. Pokud by
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x
VícePlanimetrie. Přímka a její části
Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
67. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechny mnohočleny tvaru ax 3 + bx + cx + d, které při dělení dvojčlenem x + 1 dávají zbytek x + a při dělení dvojčlenem
VíceÚlohy domácího kola kategorie B
49. očník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategoie B 1. Po kteá eálná čísla t má funkce f(x) = 5x + 44 + t x 3 x t maximum ovné 0? Daná funkce je lineání lomená, potože obsahuje dva výazy s absolutní
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
Více56. ročník Matematické olympiády
56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici
VíceNávody k úlohám domácí části I. kola 59. ročníku MO kategorie B
Návody k úlohám domácí části I kola 59 ročníku MO kategorie B Soutěžní úloha 1 Na stole leží tři hromádky zápalek: v jedné 009, ve druhé 010 a v poslední 011 Hráč, který je na tahu, zvolí dvě hromádky
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
66. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66úhelníku přiřadíme jedno z čísel 1 nebo 1. Ke každé úsečce spojující dva jeho vrcholy (straně nebo
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
67. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C 1. Najděte nejmenší přirozené číslo končící čtyřčíslím 2018, které je násobkem čísla 2017. 2. Pro celá čísla x, y, z platí x 2 + y z =
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky
Více66. ročníku MO (kategorie A, B, C)
Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
68. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Každé pole tabulky 68 68 máme obarvit jednou ze tří barev (červená, modrá, bílá). Kolika způsoby to lze učinit tak, aby každá trojice
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
Vícepravidelné konvexní mnohostěny
PLATÓNOVA TĚLESA pavidelné konvexní mnohostěny Platónova tělesa Stěny Počet stěn S vcholů V han H Čtyřstěn tetaed ovnostanný tojúhelník 4 4 6 Šestistěn(Kychle) hexaed čtveec 6 8 12 Osmistěn oktaed ovnostanný
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
VíceTrojpoměr v geometrii
Trojpoměr v geometrii Anša Lauschmannová Co to ten trojpoměr vlastně je? Definice. Trojpoměrem 6 bodu Cpřímky ABvzhledemkbodům A, Bnazýváme číslo(abc) definované takto: (i) leží-li Cnaúsečce AB,je(ABC)=
VíceSyntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
Více49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000
49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.
VícePočítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek
Počítání v planimetrii Michal Kenny Rolínek Cílem této přednášky je obohatit vaše znalosti z planimetrie o nové metody, založené na algebraickém přístupu. Nebudeme ovšem sáhodlouze upravovat obrovskévýrazy,jakbysemohlozdát.naopaksiukážemepříklady,vnichžnástrocha
VíceOmezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
VíceII. kolo kategorie Z6
Z6 II 1 Pat napsal na tabuli příklad: 62. ročník Matematické olympiády II. kolo kategorie Z6 589+544+80=2013. Mat chtěl příklad opravit, aby se obě strany skutečně rovnaly, a pátral po neznámém čísle,
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceÚlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem
Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
61. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek a při dělení dvojčlenem x + zbytek
VíceI. kolo kategorie Z7
67. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I 1 Petr řekl Pavlovi: Napiš dvojmístné přirozené číslo, které má tu vlastnost, že když od něj odečteš totéž dvojmístné přirozené číslo akorát napsané
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
64. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x 5 + y 9 = 6, x 2 9 + y 2 5 = 52. Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne y 9
Více63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
65. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Pro přirozená čísla k, l, m platí k + m + klm = 05 404. Určete všechny možné hodnoty součinu klm. Řešení. I když rovnice v zadání
VíceInternetová matematická olympiáda listopadu 2008
Internetová matematická olympiáda - 5. listopadu 008 ŘEŠENÍ ÚLOH 1. Obrazec na Obrázku 1 je složen z 44 čtverců o straně 6 mm. Bodem A veďte jedinou přímku, která daný obrazec rozdělí na dva obrazce o
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
Více53. ročník matematické olympiády. q = 65
53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie A
. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Je dáno přirozené číslo n. Čtverec o straně délky n je rozdělen na n jednotkových čtverečků. Za vzdálenost dvou čtverečků považujeme
VíceÚlohy krajského kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Určete všechny trojice celých kladných čísel k, l a m, pro které platí 3l + 1 3kl + k + 3 = lm + 1 5lm + m + 5. 2. Je dána úsečka AB,
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
VíceKlauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
VíceÚlohy domácího kola kategorie B
47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách
VícePLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh
PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní
Vícev z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.
Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =
VíceZobrazení kružnice v pravoúhlé axonometrii. osy, která je normálou roviny dané kružnice; délka hlavní poloosy je rovna poloměru
Geometie Zoazovací metody Zoazení kužnice v pavoúhlé axonometii Zoazení kužnice ležící v souřadnicové ovině Výklad v pavoúhlé axonometii lze poměně snadno sestojit půmět kužnice dané středem a poloměem,
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
63 ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1 Dokažte, že pro každé celé číslo n 3 je n-místné číslo s dekadickým zápisem druhou mocninou některého celého čísla 1 1 8
VíceÚlohy II. kola kategorie A
5. ročník matematické olympiády Úlohy II. kola kategorie A 1. Najděte základy z všech číselných soustav, ve kterých je čtyřmístné číslo (1001) z dělitelné dvojmístným číslem (41) z.. Uvnitř strany AB daného
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceÚsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.
Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceKlíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
Přípravný kurz - Matematika Téma: Výpočtová geometrie v rovině Klíčová slova: Phytagorova věta, obsahy a obvody rovinných útvarů, úhlopříčky a jejich vlastnosti, úhly v rovinných útvarech, převody jednotek
VíceNež si uvedem pravidla hry slovní logik a motivační úlohy k tomto příkladu, vyřešme následující úlohu.
1 1 Kategorie C V této kapitole se budeme věnovat problémovým úlohám a úlohám k procvičení, které jsou vhodným výchozím studijním materiálem pro úspěšné zvládnutí domácí části matematické olympiády kategorie
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
66. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a + a a + a +. Řešení. Zadaná nerovnost patří
VíceGEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková
GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak
Více9. Planimetrie 1 bod
9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
Více3.2.2 Shodnost trojúhelníků II
3.. hodnost tojúhelníků II Předpoklady: 30 Pokud mají tojúhelníky speiální vlastnosti, mohou se věty o shodnosti zjednodušit Př. : Zfomuluj věty o shodnosti: a) ovnoamennýh tojúhelníků b) ovnostannýh tojúhelníků
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ
VíceUžití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách
Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
Více64. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Praha, března 2015
64. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Praha, 22. 25. března 2015 O 1. Najděte všechna čtyřmístná čísla n taková, že zároveň platí: i) číslo n je součinem tří různých prvočísel; ii) součet
VíceI. kolo kategorie Z9
67. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z9 Z9 I Věkový průměr všech lidí, kteří se sešli na rodinné oslavě, byl roven počtu přítomných. TetaBěta,kterébylo29let,sezáhyomluvilaaodešla.IpoodchodutetyBětybylvěkový
VíceDIDAKTIKA MATEMATIKY
DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceGeometrická zobrazení
Geometrická zobrazení Franta Konopecký Geometrická zobrazení jsou nádherná kapitola matematiky, do které když proniknete, tak už neuniknete. Pro lepší představu v tomto příspěvku najdete stručný přehled,
VícePLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
VíceI. kolo kategorie Z8
68. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z8 Z8 I 1 Ferda a David se denně potkávají ve výtahu. Jednou ráno zjistili, že když vynásobí své současné věky, dostanou 38. Kdyby totéž provedli za čtyři
VíceZajímavé matematické úlohy
Poděkování. Tento článek vznikl v rámci projektu SVV 2014-260105. Výzkum byl podpořen Grantovou agenturou Univerzity Karlovy v Praze (projekt č. 1250213). L i t e r a t u r a [1] Hejný, M. a kol.: Teória
VíceÚloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.
Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).
VíceSada 7 odchylky přímek a rovin I
Sada 7 odchylky přímek a rovin I Odchylky přímek 1) Je dána krychle ABCDEFGH. Určete odchylku daných přímek a) AB, AE b) AB, AD c) AE, AF d) AB, BD e) CD, GH f) AD, FG g) AB, SAEF h) ED, FC 2) Je dána
Více67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018
67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Přerov, 8.. března 08 MO . Ve společnosti lidí jsou některé dvojice spřátelené. Pro kladné celé číslo k 3 řekneme, že společnost je k-dobrá, pokud
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Více61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012
61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou
VíceOpakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce
Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
Více} Vyzkoušej všechny povolené možnosti.
VZOROVÉ ŘEŠENÍ 1 2 2, 5 = 0, 5 2, 5 = 1, 25 1 2 = 0, 5 } 1, 25 0, 5 = 0, 75 256: 2 100 0, 029 = 128 2, 9 = 125, 1 1,44 (0,1)2 0,01 10 = 120 1 1,2 3600 = 0,01 3600 = 0,01 10 0, 001 3600 = 120 3, 6 = 116,
VíceÚlohy krajského kola kategorie B
68. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Pro nezáporná reálná čísla a, b platí a + b = 2. Určete nejmenší a největší možnou hodnotu výrazu V = a2 + b 2 ab + 1. 2. Najděte všechna
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
Více