Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Transkript

1 Pravděpodobnost

2 Intuitivní pojem pravděpodobnosti

3 Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost 1/3 (neboli 33,33 %), znamená to, že lze očekávat, že při velkém počtu opakování daného pokusu tento jev nastane zhruba ve třetině případů. Nic nemůže mít pravděpodobnost větší než 1 (100 %)!!!

4 Klasická pravděpodobnost

5 Klasická pravděpodobnost Základní prostor Provádíme pokus, který má n možných výsledků, přičemž všechny tyto výsledky jsou stejně pravděpodobné. Označíme Ω množinu všech možných výsledků tohoto pokusu. Pak Ω = n (symbolem značíme počet prvků množiny). Jednotlivé prvky množiny Ω budeme značit ω 1, ω 2,..., ω n.

6 Klasická pravděpodobnost Náhodný jev a jeho pravděpodobnost Náhodným jevem nazveme jakoukoli podmnožinu množiny Ω. Náhodné jevy budeme zpravidla značit velkými písmeny (A, B,... ). Ω A Pravděpodobnost jevu A označíme P(A) a definujeme ji jako P(A) = počet možností příznivých jevu A počet všech možností = A Ω.

7 Klasická pravděpodobnost Operace s jevy jev opačný Jev opačný k jevu A označíme A. A nastane právě tehdy, když nenastane jev A. Ω A A P(A) = 1 P(A)

8 Klasická pravděpodobnost Operace s jevy průnik Průnik jevů A, B označíme A B. A B nastane právě tehdy, když nastanou oba jevy A, B. Ω A B A B

9 Klasická pravděpodobnost Závislost a nezávislost náhodných jevů Intuitivní pojem nezávislosti Jevy A, B jsou navzájem nezávislé, jestliže to, že nastal jev A, nijak neovlivní pravděpodobnost toho, že nastane jev B. Příklad Nezávislé jevy jsou například: Hodíme dvěma kostkami: A... na první kostce padla šestka, B... na druhé kostce padla jednička Ve Sportce: A... vyhrajeme v 1. tahu, B... vyhrajeme ve 2. tahu (ne tak zřejmé) Z balíčku 52 karet (dvojka až eso, vše ve čtyřech barvách) vytáhneme jednu kartu: A... vytáhli jsme eso, B... vytáhli jsme pikovou kartu

10 Klasická pravděpodobnost Příklad (pokračování) Závislé jevy: Hodíme dvěma kostkami: A... na první kostce padla šestka, B... padl součet 12 Z balíčku 52 karet (dvojka až eso, vše ve čtyřech barvách) vytáhneme dvě karty: A... první karta je eso, B... druhá karta je eso

11 Klasická pravděpodobnost Pravděpodobnost průniku dvou nezávislých jevů Pro jevy A, B, které jsou navzájem nezávislé, platí P(A B) = P(A) P(B). Pro závislé jevy tento vztah neplatí!!

12 Klasická pravděpodobnost Operace s jevy sjednocení Sjednocení jevů A, B označíme A B. A B nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů A, B. Ω A B A B

13 Klasická pravděpodobnost Pravděpodobnost sjednocení jevů P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Jevy neslučitelné Jevy A, B, které nemohou nastat současně (tj. A B = ), se nazývají neslučitelné. Pro neslučitelné jevy platí P(A B) = P(A) + P(B).

14 Klasická pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost Víme, že jev A nastal. Zajímá nás pravděpodobnost, že za této podmínky nastal jev B. Tuto pravděpodobnost označíme P(B A)... pravděpodobnost jevu B za podmínky, že nastal jev A P(B A) = P(A B) P(A) Odtud plyne P(A B) = P(A) P(B A)

15 Obecná definice pravděpodobnosti

16 Obecná definice pravděpodobnosti Jevové pole Ω... neprázdná množina všech možných výsledků prováděného pokusu (základní prostor) Systém S podmnožin základního prostoru Ω, který má tyto vlastnosti 1. Ω S, 2. jestliže A S, pak také A = Ω \ A S, 3. jestliže A k S, k = 1, 2,..., pak také k=1 A k S, nazveme množinovou σ-algebrou a dvojici (Ω, S) nazveme jevovým polem. Množinu A Ω nazveme náhodným jevem, jestliže A A. Pro naše potřeby však dál postačí zjednodušená (ač nepřesná) představa, že náhodný jev je libovolná podmnožina základního prostoru Ω.

17 Obecná definice pravděpodobnosti Další vlastnosti σ-algebry S: S, jestliže A, B S, pak také A B S (axiom je pro sjednocení nekonečné posloupnosti) jestliže A, B S, pak také A B S

18 Obecná definice pravděpodobnosti Axiomatická definice pravděpodobnosti Nechť (Ω, S) je jevové pole. Pak zobrazení P : S R nazveme pravděpodobností, jestliže splňuje následující tři axiomy: 1. P(Ω) = 1, 2. P(A) 0 pro každé A S, 3. jestliže A k S, k = 1, 2,..., jsou navzájem disjunktní jevy, A i A j = pro i j, pak P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +. Pro libovolný náhodný jev A číslo P(A) nazveme pravděpodobností jevu A. Trojice (Ω, S, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor.

19 Obecná definice pravděpodobnosti Další vlastnosti pravděpodobnosti 4. P( ) = 0 5. P(A) 1 6. Jestliže A B, pak P(A) P(B) 7. Jestliže A B =, pak P(A B) = P(A) + P(B) 8. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 9. P(A) = 1 P(A)

20 Obecná definice pravděpodobnosti Nezávislost matematická definice Řekneme, že náhodné jevy A, B jsou nezávislé, jestliže P(A B) = P(A) P(B)

21 Speciální případy pravděpodobnosti

22 Speciální případy pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost

23 Speciální případy pravděpodobnosti Diskrétní pravděpodobnost Množina Ω = {ω 1, ω 2,... } je konečná nebo spočetná (její prvky lze uspořádat do posloupnosti), Ω = n, n může být i. Jednotlivé elementární jevy {ω i } nemusejí nutně nastávat se stejnou pravděpodobností, ale platí n P({ω i }) = 1. i=1 Pravděpodobnost jevu A počítáme jako P(A) = ω A P({ω}).

24 Speciální případy pravděpodobnosti Příklad Lojza jde na zkoušku. Svoje šance vidí takto: Pravděpodobnost, že dostane jedničku, je 0,01. Pravděpodobnost, že dostane dvojku, je třikrát menší než pravděpodobnost, že dostane trojku. Pravděpodobnost, že dostane trojku, je dvakrát menší než pravděpodobnost, že ho vyhodí. Jsou-li Lojzovy úvahy správné, jaká je pravděpodobnost, že zkoušku udělá? Jaká je pravděpodobnost, že dostane lepší známku než trojku? Další příklad viz skripta, str. 134.

25 Speciální případy pravděpodobnosti Geometrická pravděpodobnost Množinu Ω tvoří oblast v n-rozměrném prostoru, 0 < µ(ω) < (µ( ) je míra množiny něco jako obsah). Všechny možné výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné. Pravděpodobnost jevu A počítáme jako P(A) = µ(a) µ(ω).

26 Speciální případy pravděpodobnosti Příklad (Buffonova úloha o jehle) Máme linkovaný papír, rozestup linek je d. Na papír hodíme jehlu délky l, l < d. Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne některou z linek? Další příklad viz skripta, str. 131.

27 Podmíněná pravděpodobnost

28 Podmíněná pravděpodobnost Definice podmíněné pravděpodobnosti U klasické pravděpodobnosti viz 14. Je-li A náhodný jev s nenulovou pravděpodobností, pak pro každý náhodný jev B definujeme podmíněnou pravděpodobnost vzorcem P(B A) = P(A B) P(A). Odtud plyne P(A B) = P(A) P(B A).

29 Podmíněná pravděpodobnost Příklad V Kocourkově je 60 % obyvatel obézních a 50 % má vysoký tlak. Náhodně vybereme jednoho kocourkovského občana. a) Jaká je pravděpodobnost, že je obézní? b) Jaká je pravděpodobnost, že má vysoký tlak? c) Jaká je pravděpodobnost, že je obézní a má vysoký tlak? Na otázku c) zatím nejsme schopni odpovědět. K zadání přidáme: Z těch, kdo jsou obézní, mají tři čtvrtiny vysoký tlak.

30 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec

31 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Příklad Adam, Boris a Cyril šli na houby. Adam našel 20 hub, z toho 1/5 byly jedovaté houby. Boris našel 50 hub, z toho 1/10 byly jedovaté houby. Cyril našel 30 hub, z toho 1/6 byly jedovaté houby. Když se vrátili, všechny houby dali na jednu hromadu. Náhodně vybereme jednu houbu. a) Jaká je pravděpodobnost, že je jedovatá? b) Vybraná houba je jedovatá. Jaká je pravděpodobnost, že ji našel Adam?

32 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Příklad (mírná změna zadání) Adam, Boris a Cyril šli na houby. Adam našel 20 % hub, z toho 1/5 byly jedovaté houby. Boris našel 50 % hub, z toho 1/10 byly jedovaté houby. Cyril našel 30 % hub, z toho 1/6 byly jedovaté houby. Když se vrátili, všechny houby dali na jednu hromadu. Náhodně vybereme jednu houbu. a) Jaká je pravděpodobnost, že je jedovatá? b) Vybraná houba je jedovatá. Jaká je pravděpodobnost, že ji našel Adam?

33 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Věta o úplné pravděpodobnosti začátek Nechť H 1, H 2,..., H n jsou navzájem disjunktní náhodné jevy takové, že P(H i ) > 0 pro i = 1,..., n a že H 1 H 2 H n = Ω. (Jevy H 1,..., H n nazýváme hypotézy.) Ω H 1 H 2... H n

34 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Věta o úplné pravděpodobnosti dokončení Pak pro každý náhodný jev A platí P(A)=P(H 1 ) P(A H 1 ) + P(H 2 ) P(A H 2 ) + + P(H n ) P(A H n ) n = P(H i ) P(A H i ) i=1 Ω H 1 H 2... H n A

35 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Bayesův vzorec Jestliže P(A) > 0, pak pro každé j = 1,..., n platí P(H j A)= P(H j A) P(A) = P(H j) P(A H j ) P(A) = = P(H j) P(A H j ). n P(H i ) P(A H i ) i=1