3. Implicitní funkce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3. Implicitní funkce"

Transkript

1 3. Implicitní funkce.jedánvztah e xy +siny+ y 2 =abod[2,0]. () Dokažte,žetímtovztahemjedefinovánahladkáfunkce y=ϕ(x)vjistém okolíbodu2,prokterouplatí ϕ(2)=0; (2) napišterovnicitečnykegrafufunkce ϕvbodě2. 2.Jedánvztah x 2 +2y 2 +3z 2 + xy z 9=0abod[, 2,]. () Dokažte,žetímtovztahemjedefinovánahladkáfunkce z= z(x,y)vjistém okolí Ubodu[, 2],prokterouplatí z(, 2)=; (2) určete z, z vokolí U; (3) napišterovnicitečnérovinykegrafufunkce z= z(x,y)vbodě[, 2]. 3.Jedánavztah x 2 +2xy 2 + y 4 y 5 =0abod[0,].Dokažte,že () tímtovztahemjedefinovánahladkáfunkce y= ϕ(x)vjistémokolíbodu0, prokterouplatí ϕ(0)=; (2) spočtěte ϕ (0)aϕ (0); (3) funkce ϕrostevjistémokolíbodu0. 4.Dokažte,žemnožinabodů[x,y,z] R,kterésplňujívztah x 2 + y 2 + z 2 3xyz=0 jevokolíbodu[,,]popsatelnájakograffunkce f(x,y)definovanénajistém okolíbodu(,),prokterouje f(,)=. Určetetotálnídiferenciálvbodě[,] anapišterovnicitečnérovinykegrafufunkce fvtomtobodě. 5. Spočtěte parciální derivace funkce z v bodě[0, ], která je implicitně zadaná rovnicí x z =log z y asplňuje z(0,)=. 6. V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí danéhobodu[x 0,y 0 ]implicitnězadanoufunkci(proměnné x). Spočtěteprvnía druhouderivacitétofunkcevbodě x 0. sin(siny)+cos(sin x)=sin(cos x)+cos(cos y),[π/2,0] arcsin(x+y)+arccos(x 2 + y 2 )=π/2,[0,0] x 3 + y 3 =log x2 +y 2 2,[, ] e 2x+7y log(+x 2 + y 2 )=+y,[0,0] arctg(x+y 2 +cos(x+y)) sin(x+y)= π 4,[0,0] x 3 + y 7 = e xy2 siny,[,0] sin 2 (e x+y )+cos ( 2 e 2y x) =,[0,0] log x 2 + y 2 =arctg y x,[,0] y 2siny= x,[0,0] y=2xarctg y x,[,0] V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu[x 0,y 0 ]implicitnězadanoufunkci(proměnné x). Spočtěteprvníadruhou derivacitétofunkcevbodě x 0.

2 2 7.sin(xy)+cos(xy)=, [π,0] 8.2x 4 y+ x 3 + y 3 + xy=,[,0] 9.log(x 2 + y 2 +cos(xy))+y=0,[0,0] 0.log(x+arctg y+)+xy=0,[0,0]. x y + y x =2y, [,] 2. y 3 x 2 + y 2 x 2 +sin y=0,[0,0] 3. e sin x2 + e sin xy =2y+2,[0,0] 4. π/2+arcsin(x+y 2 )=arccos(y+ x 2 ),[0,0] 5.arctg(y 2 + xy)=e xy cos x+y,[0,0] V následujících úlohách ukažte, že uvedená soustava rovnic určuje v jistém okolídanéhobodu[x 0,y 0,u 0,v 0 ]implicitnězadanéfunkce u,v(proměnných x,y). Spočtěteoběprvníparciálníderivacetěchtofunkcívbodě[x 0,y 0 ] x=ucos v u y= usin v u, [,0,,0] x=e u + usin v y= e u ucos v, [e+,e,,π/2] xe u+v +2uv= ye u v u =2x, [,2,0,0] +v

3 3.Rovnicetečny: y=0. Výsledky 2.Rovnicetečnéroviny: L(x,y)= 7 5 (y+2)+. 3. ϕ (0)=2, ϕ (0)= 6. 4.Rovnicetečnéroviny: L(x,y)= (x ) (y )+. 5. z (0,)=, z (0,)= 6.., , /2, / /3, 9/ /2, 3/ , , , , , 0 7. Položme F(x,y)=sin(xy)+cos(xy). Funkce FjedefinovánanaR 2 aprojejíparciálníderivaceplatí: (x,y)=cos(xy) y sin(xy) y, (x,y)=cos(xy) x sin(xy) x. OběparciálníderivacejsounaR 2 spojité,stejnějakojejichparciálníderivace, tj. F C 2 (R 2 ).Dáleplatí F(π,0)=0a (π,0)=π 0. Tímjsmeověřili,že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu[π, 0] implicitně zadanou funkci proměnné sin(xϕ(x))+cos(xϕ(x))=, cos(xϕ(x)) (ϕ(x)+xϕ (x)) sin(xϕ(x)) (ϕ(x)+xϕ (x))=0, sin(xϕ(x)) (ϕ(x)+xϕ (x)) 2 +cos(xϕ(x)) (2ϕ (x)+xϕ (x)) cos(xϕ(x)) (ϕ(x)+xϕ (x)) 2 sin(xϕ(x)) (2ϕ (x)+xϕ (x))=0. Dosadíme-li x=πapoužijeme-li ϕ(π)=0,dostaneme ϕ (π)=0aϕ (π)=0. 8. Položme F(x,y)=2x 4 y+ x 3 + y 3 + xy. Funkce FjedefinovánanaR 2 aprojejíparciálníderivaceplatí: (x,y)=8x3 y+3x 2 + y, (x,y)=2x4 +3y 2 + x. OběparciálníderivacejsounaR 2 spojité,stejnějakojejichparciálníderivace, tj. F C 2 (R 2 ).Dáleplatí F(,0)=0a (,0)=3 0. Tímjsmeověřili,že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu[, 0] implicitně zadanou funkci proměnné

4 4 2x 4 ϕ(x)+x 3 + ϕ(x) 3 + xϕ(x) =0, 8x 3 ϕ(x)+2x 4 ϕ (x)+3x 2 +3ϕ(x) 2 ϕ (x)+ϕ(x)+xϕ (x)=0, 24x 2 ϕ(x)+8x 3 ϕ (x)+8x 3 ϕ (x)+2x 4 ϕ (x)+6x+6ϕ(x)(ϕ (x)) 2 +3ϕ(x) 2 ϕ (x) +ϕ (x)+ϕ (x)+xϕ (x)=0. Dosadíme-li x=apoužijeme-li ϕ()=0,dostaneme ϕ ()= aϕ ()=4. 9. Položme F(x,y)=log(x 2 + y 2 +cos(xy))+y. Funkce F jedefinovánanajistéotevřenémnožině G(lzeukázat,žedokonce G= R 2 )obsahujícíbod[0,0]aprojejíparciálníderivaceplatí: (x,y)= x 2 + y 2 (2x sin(xy) y), +cos(xy) (x,y)= x 2 + y 2 (2y sin(xy) x)+. +cos(xy) Obě parciální derivace jsou na G spojité, stejně jako jejich parciální derivace, tj. F C 2 (G).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 0. Tímjsmeověřili,že log(x 2 + ϕ(x) 2 +cos(xϕ(x)))+ϕ(x)=0, x 2 + ϕ(x) 2 +cos(xϕ(x)) (2x+2ϕ(x)ϕ (x) sin(xϕ(x))(ϕ(x)+xϕ (x))) + ϕ (x)=0, (x 2 + ϕ(x) 2 +cos(xϕ(x))) 2 (2x+2ϕ(x)ϕ (x) sin(xϕ(x))(ϕ(x)+xϕ (x))) 2 + x 2 + ϕ(x) 2 +cos(xϕ(x)) (2+2(ϕ (x)) 2 +2ϕ(x)ϕ (x) cos(xϕ(x))(ϕ(x)+xϕ (x)) 2 sin(xϕ(x))(2ϕ (x)+xϕ (x)))+ϕ (x)=0. Dosadíme-li x=0apoužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)=0aϕ (0)= Položme F(x,y)=log(x+arctg y+)+xy. Funkce Fjedefinovánanajistéotevřenémnožině Gobsahujícíbod[0,0]aprojejí parciální derivace platí: (x,y)= x+arctg y+ + y, (x,y)= x+arctg y+ +y2+ x.

5 Obě parciální derivace jsou na G spojité, stejně jako jejich parciální derivace, tj. F C 2 (G).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 0. Tímjsmeověřili,že log(x+arctg ϕ(x)+)+xϕ(x)=0, ( ) x+arctg ϕ(x)+ + ϕ (x) +ϕ(x) 2 + ϕ(x)+xϕ (x)=0, ( ) 2 (x+arctg ϕ(x)+) 2 + ϕ (x) +ϕ(x) 2 + x+arctg ϕ(x)+ ϕ (x)(+ϕ(x) 2 ) 2ϕ (x)ϕ (x)ϕ(x) (+ϕ(x) 2 ) 2 +ϕ (x)+ϕ (x)+xϕ (x)=0, Dosadíme-li x=0apoužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)= aϕ (0)=2.. Položme F(x,y)=x y + y x 2y. Funkce Fjedefinovánanaotevřenémnožině G=(0,+ ) (0,+ ),kteráobsahuje bod[, ]. Pro parciální derivace F platí: (x,y)=yxy + y x log y, (x,y)=xy log x+xy x 2. Obě parciální derivace jsou na G spojité, stejně jako jejich parciální derivace, tj. F C 2 (G).Dáleplatí F(,)=0a (,)= 0. Tímjsmeověřili,že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu[, ] implicitně zadanou funkci proměnné x ϕ(x) + ϕ(x) x 2ϕ(x)=0. Tento vztah si přepišme na tvar Nyní postupně obdržíme e ϕ(x)log x e ϕ(x)log x +e xlog ϕ(x) ( ϕ (x)log x+ ϕ(x) x ( ϕ (x)log x+ ϕ(x) x e ϕ(x)log x + e xlog ϕ(x) 2ϕ(x)=0. +e xlog ϕ(x) ) + e xlog ϕ(x) ( log ϕ(x)+ xϕ (x) ϕ(x) ) 2 ( + e ϕ(x)log x ϕ (x)log x+2 ϕ (x) x ( ) 2 log ϕ(x)+ xϕ (x) ϕ(x) ( ϕ (x) (x)+xϕ (x))ϕ(x) xϕ (x)ϕ (x) ϕ(x) +(ϕ ϕ(x) 2 ) 2ϕ (x)=0, ϕ(x) ) x 2 ) 2ϕ (x)=0. 5

6 6 Dosadíme-li x=apoužijeme-li ϕ()=,dostaneme ϕ ()=aϕ ()=4. 2. Položme F(x,y)=y 3 x 2 + y 2 x 2 +sin y. Funkce FjedefinovánanaR 2.Proparciálníderivace Fplatí: (x,y)=2y3 x+2y 2 x, (x,y)=3y2 x 2 +2yx 2 +cos y. OběparciálníderivacejsounaR 2 spojité,stejnějakojejichparciálníderivace, tj. F C 2 (R 2 ).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 0. Tímjsmeověřili,že Postupně obdržíme ϕ(x) 3 x 2 + ϕ(x) 2 x 2 +sin ϕ(x)=0. 3ϕ(x) 2 ϕ (x)x 2 +2ϕ(x) 3 x+2ϕ(x)ϕ (x)x 2 +2ϕ(x) 2 x+cos ϕ(x) ϕ (x)=0, 6ϕ(x)ϕ (x)ϕ (x)x 2 +3ϕ(x) 2 ϕ (x)x 2 +6ϕ(x) 2 ϕ (x)x+6ϕ(x) 2 ϕ (x)x +2ϕ(x) 3 +2ϕ (x)ϕ (x)x 2 +2ϕ(x)ϕ (x)x 2 +4ϕ(x)ϕ (x)x +4ϕ(x)ϕ (x)x+2ϕ(x) 2 sinϕ(x) ϕ (x)ϕ (x)+cos ϕ(x) ϕ (x)=0. Dosadíme-li x=0apoužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)=0aϕ (0)=0. 3. Položme F(x,y)=e sin x2 + e sin xy 2y 2. Funkce FjedefinovánanaR 2.Proparciálníderivace Fplatí: (x,y)=esin x 2 cos x 2 2x+e sin xy cos xy y, (x,y)=esin xy cos xy x 2. OběparciálníderivacejsounaR 2 spojité,stejnějakojejichparciálníderivace, tj. F C 2 (R 2 ).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 2 0. Tímjsmeověřili,že Postupně obdržíme e sin x2 + e sin xϕ(x) 2ϕ(x) 2=0. e sin x2 cos x 2 2x+e sin xϕ(x) cos xϕ(x) (ϕ(x)+xϕ (x)) 2ϕ (x)=0, e sin x2 (cos x 2 2x) 2 e sin x2 sin x 2 4x 2 +e sin x2 cos x 2 2+e sin xϕ(x) (cos xϕ(x) (ϕ(x)+xϕ (x))) 2 e sin xϕ(x) sin xϕ(x) (ϕ(x)+xϕ (x)) 2 + e sin xϕ(x) cos xϕ(x) (2ϕ (x)+xϕ (x)) 2ϕ (x)=0.

7 7 Dosadíme-li x=0apoužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)=0aϕ (0)=. 4. Položme F(x,y)=π/2+arcsin(x+y 2 ) arccos(y+ x 2 ). Bod[0,0]jevevnitřkudefiničníhooborufunkce F-můžemetedyspočítatparciální derivacefunkce Fnajistémokolí Gbodu[0,0]: (x,y)= (x+y2 ) 2+ (x,y)= 2x (y+ x2 ) 2 2y (x+y2 ) 2+ (y+ x2 ) 2. Oběparciálníderivacejsounajistémokolíbodu[0,0]spojitéanavíctamjsoujejich parciálníderivacespojité,tj. f C 2 (G).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 0. Tím jsme ověřili, že naše rovnice určuje v jistém okolí bodu[0, 0] implicitně zadanou funkciproměnné x,kterájetřídy C 2.Funkcioznačme ϕajejíderivacevypočítejme postupným arcsin(x+(ϕ(x)) 2 )+π/2 arccos(ϕ(x)+x 2 )=0, +2ϕ(x)ϕ (x) ϕ (x)+2x (x+(ϕ(x))2 ) 2+ (ϕ(x)+x2 ) 2=0, 2 ( (x+(ϕ(x))2 ) 2 ) 3 2 ( 2(x+(ϕ(x)) 2 )) (+2ϕ(x)ϕ (x)) 2 +( (x+(ϕ(x)) 2 ) 2 ) 2 (2(ϕ (x)) 2 +2ϕ(x)ϕ (x)) 2 ( (ϕ(x)+x2 ) 2 ) 3 2 ( 2(ϕ(x)+x 2 )) (ϕ (x)+2x) 2 +( (ϕ(x)+x 2 ) 2 ) 2 (ϕ (x)+2)=0. Dosadíme-li x=0avyužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)= aϕ (0)= Položme F(x,y)=arctg(y 2 + xy) e xy +cos x y. Funkce FjedefinovánanaR 2 aprojejíparciálníderivaceplatí: (x,y)= y +(y 2 + xy) 2 exy y sin x, (x,y)= 2y+ x +(y 2 + xy) 2 exy x. OběparciálníderivacejsounaR 2 spojité,stejnějakojejichparciálníderivace,tj. f C 2 (R 2 ).Dáleplatí F(0,0)=0a (0,0)= 0. Tímjsmeověřili,že

8 8 arctg((ϕ(x)) 2 + xϕ(x)) e xϕ(x) +cos x ϕ(x)=0. 2ϕ(x)ϕ (x)+ϕ(x)+xϕ (x) +((ϕ(x)) 2 + xϕ(x)) 2 (ϕ(x)+xϕ (x))e xϕ(x) sinx ϕ (x)=0, 2((ϕ(x)) 2 + xϕ(x)) (+((ϕ(x)) 2 + xϕ(x)) 2 ) 2 (2ϕ(x)ϕ (x)+ϕ(x)+xϕ (x)) 2 + 2(ϕ (x)) 2 +2ϕ(x)ϕ (x)+ϕ (x)+ϕ (x)+xϕ (x) +((ϕ(x)) 2 + xϕ(x)) 2 (ϕ (x)+ϕ (x)+xϕ (x))e xϕ(x) (ϕ(x)+xϕ (x)) 2 e xϕ(x) cos x ϕ (x)=0. Dosadíme-li x=0apoužijeme-li ϕ(0)=0,dostaneme ϕ (0)=0aϕ (0)=. 6. u (,0)=, u (,0)=0, (,0)=0, (,0)= u 7. (e+,e) = /(+e), (e+,e) = e/(e+), u (e+,e) = 0, (e+,e)= 8. u (,2)=0, u (,2)=, (,2)= /3, (,2)=/3

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod? Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

Písemná zkouška z matematiky pro FSV(A) LS ,

Písemná zkouška z matematiky pro FSV(A) LS , Písemná zkouška z matematiky pro FSV(A) LS 2002-2003, 28.5. 2003 PříkladA1: SpočtěteinverznímaticikA.Spočtětedet A,det(2A),det(A 2 ),kde 1 1 1 0 0 1 1 1 A=. (10bodů) 0 1 0 1 1 1 0 0 PříkladA2: Rozhodněteokonvergencinásledujícířadypro

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Derivace funkce a parciální derivace

Derivace funkce a parciální derivace Derivace funkce a parciální derivace Derivace funkce jedné proměnné Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Parciální derivace. p.1/18 Derivace funkce jedné proměnné Příklad 3.1.1 Vypočtěte z definice

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y VKM/IM 017/018 Určete da funkce fx y) ln1 x +y ) v bodě A 1 1 ve směru vektorů u 1 1 0 u 0 1 u 3 1 1 a u 4 1 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce fx y) je definovány pro všechny body R

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Q(y) dy = P(x) dx + C.

Q(y) dy = P(x) dx + C. Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Rovnice se separovanými proměnnými

Rovnice se separovanými proměnnými Rovnice se separovanými proměnnými V této kapitole se budeme zabývat následující diferenciální rovnicí: y = g(y)f(x), () kde f a g jsou reálné funkce reálné proměnné. Tato rovnice se nazývá rovnice se

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

MATEMATIKA I REÁLNÁ FUNKCE DVOU A VÍCE PROMĚNNÝCH I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M09, GA04 M03

MATEMATIKA I REÁLNÁ FUNKCE DVOU A VÍCE PROMĚNNÝCH I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M09, GA04 M03 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA01 M09, GA04 M03 REÁLNÁ FUNKCE DVOU A VÍCE PROMĚNNÝCH I STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 1 0 Typeset

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích

Více

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh RNDr. Edita Kolářová, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika.

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice. 3 d) je roven číslu: c) -1 d) 0 e) 3 c) je roven číslu: b) -1 c) 0 d) 1 e)

Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice. 3 d) je roven číslu: c) -1 d) 0 e) 3 c) je roven číslu: b) -1 c) 0 d) 1 e) Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice ) Výraz log log +log není správná 0 - žádná z předchozích odpovědí ) Číslo log 8 6 je rovno číslu: ) Výraz log log +log - 0 ) Číslo log 6 6 je

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných

Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Ostrava 8 Obsah Funkce dvou proměnných.

Více

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y VKM/IM - 204/205 Určete, da funkce f(x, y) ln( x 2 +y 2 ) v bodě A, ve směru vektorů u, 0, u 2 0,, u 3, a u 4, 2 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce f(x, y) je definovány pro všechny

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

(5) Primitivní funkce

(5) Primitivní funkce (5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

Matematická analýza I pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz

Matematická analýza I pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D.   pf.jcu.cz Učební texty ke konzultacím předmětu Matematická analýza I pro kombinované studium Konzultace první a druhá RNDr. Libuše Samková, Ph.D. e-mail: lsamkova@ pf.jcu.cz webová stránka: home.pf.jcu.cz/ lsamkova/

Více

1. Písemka skupina A...

1. Písemka skupina A... . Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe. Kapitola Neurčitý integrál Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.. Primitivní funkce... Primitivní funkce Funkce F se nazývá primitivní k funkci f

Více

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012 Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vsoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A2 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2004 Obsah 1. Cvičení č.1 2 2. Cvičení č.2

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B2

Kristýna Kuncová. Matematika B2 (8) Funkce více proměnných Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 1 / 19 Parciální derivace Definice Derivaci funkce f : R R v bodě a definujeme jako limitu f f (a +

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

Potenciál vektorového pole

Potenciál vektorového pole Kapitola 12 Potenciál vektorového pole 1 Definice a výpočet Důležitým typem vektorového pole je pole F, pro které existuje spojitě diferencovatelná funkce f tak, že F je pole gradientů funkce f, tedy F

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Repetitorium matematiky (soubor testů) KMA/P113

Repetitorium matematiky (soubor testů) KMA/P113 Univerzita J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Přírodovědecká fakulta Repetitorium matematiky (soubor testů) KMA/P Lenka Součková Ústí nad Labem 0 Obor: Klíčová slova: Anotace: Fyzika (dvouoborové studium),

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 2. Sbírka úloh. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním textu Matematika. Navazuje na

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz www.mendelu.cz/user/marik c Robert Mařík, 2009 Obsah 1 Diferenciální rovnice úvod

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více