Postgraduální kurs zpracování geofyzikálních dat a číslicové seismiky MECHANIKA KONTINUA

Transkript

1 Postgradální rs zpracování geofyzálních dat a číslcové sesmy OLDŘICH NOVOTNÝ MECHANIKA KONTINUA Matematco-fyzální falta Unversty Karlovy v Praze 976

2 Níže vedený tet e téměř věrným přepsem srpt z ro 976, psaných eště na psacím stro. V tet byly provedeny en velm drobné úpravy, ao so opravy něterých přelepů nebo číslování něterých vzorců. Techncý vzhled tet se ve srovnání s orgnálem samozřemě změnl, např. důležté vzorce sme dal do rámečů a změnlo se místění něterých obrázů. V původních srptech sme vetory označoval špo nad příslšným písmenem, nyní špy většno vynecháváme, ale vetory označeme tčným písmem. Šp ponecháváme en vetor normály r ν. Za přeps tohoto tet dě své manželce paní Šárce Novotné. V Praze v větn 0 Oldřch Novotný

3 MECHANIKA KONTINUA Obsah...Str.. Úvod Tensor deformace Vetor posntí Tensor onečných deformací Fyzální význam slože tensor onečných deformací Hlavní osy deformace Tensor malých deformací Obemové změny př deformac Tensor napětí Plošné a obemové síly Vetor napětí Podmíny rovnováhy v ntegrálním tvar Pohybové rovnce v ntegrálním tvar Složy tensor napětí Podmíny rovnováhy v dferencálním tvar Pohybové rovnce v dferencálním tvar Vztah mez deformací a napětím Reologcá lasface láte Zobecněný Hooův záon Pohybové rovnce pro homogenní ansotropní prostředí Pohybové rovnce pro homogenní sotropní prostředí Přehled nedůležtěších vzorců... 0 Lteratra...

4 . ÚVOD Př matematcém řešení fyzálních úloh se zaváděí četná zednodšení a matematcé dealzace, možňící onstrovat modely reálných fyzálních evů. Zaváděí se modely prostředí, modely mechansm různých fyzálních děů, různé prncpy apod. Všechny tyto abstrace se zaváděí pro zednodšení matematcého a fyzálního pops stdovaných evů.mez neznáměší dealzace požívané v mechance patří zeména pomy hmotný bod, sostava hmotných bodů a thé těleso. S těmto pomy vša nevystačíme, máme-l popsat pohyby apaln a plynů nebo pohyby pevných láte v případech, dy deformace pevné láty ž nelze z aýcholv důvodů zanedbat. Neednodšší dealzací požívano př std mechancých děů v plynných, apalných a pevných látách (př vážení deformace láte) e ontnm prostředí se spotým rozložením hmoty Příslšná rozsáhlá část mechany, zabývaící se stdem mechancých evů v pevných, apalných a plynných látách, ež se účnem sl deformí, se nazývá mechana ontna. Mechana ontna se obvyle dále dělí na teor pržnost, hydromechan (mechana tetn, t. mechana apalných a plynných láte), teor plastcty a. Z matematcého hledsa e poem ontna výhodný proto, že možňe požívat aparát spotých fncí a dferencálního a ntegrálního počt. Představa spotého rozložení hmoty ovšem odpore našm znalostem o molelární a atomové strtře láte. To vša neznamená, že by poem ontna nebyl požtelný př std mnohých marosopcých evů. Př bdování fyzálních teorí není totž často tol důležté, aby teore co nelépe vysthovaly mrosopco strtr láte, ale e důležté, aby byly pro stdm příslšného ev vhodné a pod možno ednodché. O vhodnost model rozhodí zeména taové fatory, ao e charater úlohy, požadovaná přesnost, naše fyzální znalost, výpočetní možnost apod. Jao přílad veďme pohyby Země. Bdeme-l stdovat pohyby Země v Gala, bdeme Zem patrně považovat za hmotný bod. Př std rotace, precese nebo pohyb pól se Země obvyle považe za thé těleso; př přesněším std těchto evů často ao ontnm, např. ao těleso složené z pevného elastcého pláště a apalného ádra. Př std deformací zemsého tělesa, působených přtažlvým účnem Měsíce a Slnce, nebo př std sesmcých vln považeme Zem obvyle za ontnm; Země ao hmotný bod nebo thé těleso pro tyto účely vůbec nevyhove. Zde bdovaná mechana ontna bde tedy spadat mez tzv. fenomenologcé teore fyzy, teré se snaží vysvětlt marosopcé chování láte na záladě sté schematzace fyzální podstaty evů v nch probíhaících. Nepřhlížíme mrosopcé strtře láte, pro výlad ednotlvý evů a záontostí s v těchto teorích vytváříme sté modely (představy, pracovní hypotézy) a z nch se pa snažíme odvodt důsledy, teré vša mseí být ve shodě s naší zšeností []. Př bdování mechany ontna e možný eště drhý přístp. Mohl bychom důsledně vycházet ze strtry stečných láte a marosopcé pomy mechany ontna (ao e hstota, rychlost, vntřní energe, teplota atd.) zavést pomocí statstcé mechany [0]. Zde toto cesto nepůdeme, bdeme postpovat čstě fenomenologcy. V těchto srptech se zaměřeme na ty parte mechany ontna, teré so nedůležtěší pro stdm mechancých děů v zemsém ntr. Proto po úvodních obecných aptolách o tensor deformace a tensor napětí se věneme převážně teor pržnost, a to zeména se zaměřením na elastcé vlny. Nesnažl sme se o přílšno orgnalt tet, de to bylo možné, převzal sme z lteratry něteré část doslovně. Výlad nde nezabíhá přílš daleo, so odvozeny poze nedůležtěší vzorce a rovnce. Důraz byl spíše laden, pod to rozsah srpt dovoll, na obasnění záladních přístpů, předpoladů a něterých sovslostí. 4

5 . TENSOR DEFORMACE Z epermentálních zšeností e známo, že vlvem působících sl se stečná tělesa více č méně deformí, t. mění svů tvar a obem. Určení deformací tělesa se proto zaládá na srovnání oamžtého stav (obem a tvar) tělesa s něaým eho mnlým stavem, považovaným za počáteční. Cílem této aptoly e nalézt a stdovat velčny, teré by byly vhodné pops deformací. Aby nedošlo nedorozmění, pozorněme předem, že v dalším bdeme mlvt o dvo typech bodů; o bodech nebo částcích ontna a o bodech eledovsého prostor. Určtý bod ontna se v různých časových oamžcích nachází obecně v různých bodech prostor... Vetor posntí Uvažme ontnm ve dvo stavech, t. ve dvo různých časových oamžcích. Jao první zvolme stav, dy těleso není deformováno, ve drhém stav považeme těleso obecně ž za deformované. První stav bdeme též označovat ao stav před deformací, nedeformovaný stav nebo původní stav. Obdobně drhý stav bdeme taé nazývat stavem př deformac, deformovaným stavem nebo novým stavem. Q ( Q ) ( P) P P y Q y Obr.. Zaveďme artézso sostav sořadnc, eíž počáte označíme O. Uvažme lbovolný bod (lbovolno částc) ontna. Označme eí poloh v prvním, nedeformovaném stav,, bodem P, ve drhém stav P (obr. ). Poloh bod P dává polohový vetor (, ) poloh bod P dává vetor y ( y, y y ),. Nová poloha bod ontna závsí na eho původní poloze, působících slách, fyzálních vlastnostech ontna a na čase, terého bylo třeba přechod ontna z původního do nového stav. V této aptole se bdeme zabývat poze první vedeno závslostí, t. bdeme vyšetřovat, aé obecné vztahy, za stých předpoladů a vlastnostech ontna, mseí platt mez sořadncem bodů ontna v novém a původním stav. Bdeme tedy vyšetřovat závslost ( ) y y. (.) Tímto vetorovým zápsem rozmíme zrácené vyádření tří salárních závslostí O 5

6 y y y y y y (,, ) (,, ) (,, ). (.) V běžných případech este e aždé nové poloze ednoznačně rčená poloha původní. Bdeme proto předpoládat, že (.) este nversní zobrazení ( y). (.) Přemístění bod ontna z bod P do bod P bdeme obvyle popsovat pomocí tzv.,,. Z obr. plyne vetor posntí ( ) y. (.4) Vetor posntí závsí na poloze važovaného bod, tedy platí ( ) (.); y y( ). Plyne to též z (.4) a, poslední výraz e fnce. Vetor posntí chápeme tedy ao fnc sořadnc v nedeformovaném stav. Steně dobře bychom vša mohl vetor posntí považovat za fnc sořadnc v deformovaném stav (ao fnc vetor y), neboť předpoládáme vzáemné ednoznačné přřazení mez body v nedeformovaném a deformovaném stav, vz vzorce (.) a (.4). Bdeme-l př pops ontna považovat za nezávslé proměnné sořadnce v nedeformovaném stav (,, ), bdeme mlvt o Lagrangeově pops, sořadnce nazveme Lagrangeovým. Jestlže za nezávslé sořadnce považeme sořadnce v deformovaném stav y, mlvíme o Elerově pops a Elerových sořadncích [9, 0]. Poznameneme, že Lagrangeův a Elerův pops se důsledně rozlše v hydromechance, pops v Elerových sořadncích e tam obvyle vhodněší [, 9]. V teor pržnost se častě požívaí Lagrangeovy sořadnce. V případě tzv. malých deformací, vz dále, oba popsy splývaí a nemsíme mez nm rozlšovat. Přdržme se nyní Lagramgeova pops, tedy ( ). Místo vetor posntí bdeme nědy strčně říat en posntí. Abychom zednodšl matematcé úvahy, předpoládeme, že vetor posntí a eho první dervace so spotým fncem sořadnc. Něteré případy, dy tyto předpolady neso splněny, so vedeny na onc tohoto paragraf. Ve drhé aptole eště přpoíme předpolad o spotost drhých dervací vetor posntí. V blízost bod P važeme bod Q, terý se př deformac přemístí do bod Q (obr. ). Poloh bod Q dává polohový vetor, složy vetor označíme ao,,. Pomocí Taylorova vzorce můžeme -to slož vetor posntí v bodě Q psát ve tvar ( Q) ( ) ( ) K ( P) K, (.5) P dervace bereme v bodě P. Pro zednodšení dalších zápsů zavedeme Enstenovo smační pravdlo: nebdeme smac vyznačovat znaem a prostě s myslíme provedeno podle aždého nde, terý se vysyte v ednom člen dvarát. Výraz 6

7 bde tedy znamenat. Zanedbáme-l ve (.5) členy vyššího řád, můžeme s požtím smačního pravdla přblžně psát ( Q) ( P). (.6) P Upozorňeme, že označení nde, podle terého sčítáme (říeme m sčítací nde), sme mohl volt lbovolně, tedy místo nde sme mohl zvolt např. nde m apod. Předpolad o spotost posntí zašťe, že těleso spoté před deformací zůstane spotým po deformac. Pro zanedbání členů vyšších řádů ve (.5) e podstatný předpolad o spotost prvních dervací vetor posntí, t. výrazů. Jso-l první dervace posntí spoté, má vetor posntí totální dferencál [] a vzorce (.5) a (.6) lze pa čnt lbovolně přesným, pod zvolíme bod Q dostatečně blízo bod P. Ze vzorců (.5) a (.6) plyne, že přblžném rčení změn v poloze malého oolí bod P (neonečného počt bodů tohoto oolí) postačí znalost onečného počt velčn (tří slože vetor posntí bod P a devít slože dervací). Odtd plyne, že posntí celého tělesa (má-l onečný obem), lze přblžně popsat onečným počtem velčn, estlže toto těleso rozdělíme na onečný počet malých částí. Toho se vyžívá př řešení úloh něterým nmercým metodam, např. metodo sítí. Uveďme naonec něteré důležté přílady, dy neso splněny výše vedené předpolady o spotost vetor posntí a eho prvních dervací. K nespotostem může docházet v rčtých bodech, na čarách nebo plochách. Posntí není spoté v místech, de vznaí dtny, trhlny apod. K nespotostem posntí dochází rovněž v místech nedoonalého ontat láte. Napřílad na rozhraní pevné láty a tetny, zanedbáme-l eí vsozt, so nespoté složy posntí tečné rozhraní, tetna může na rozhraní prolozávat. V místech, de e ontat láte doonalý, ale nespotě se mění něteré materálové parametry, např. hstota, e vetor posntí spotý, ale eho první dervace so ž nespoté. S toto stací se setáváme př vyšetřování odraz a lom elastcých vln na rozhraní dvo prostředí. Je nemysltelné, abychom úlohy tohoto drh msel vyločt z našch úvah en proto, že na rčté snglární ploše neso splněny předpolady naší teore. Postpe se obvyle následícím způsobem. Ty část prostředí, de předpolady so splněny, se važí samostatně a vztah mez velčnam na obo stranách rozhraní se vyádří pomocí tzv. hrančních podmíne (spotost posntí, napětí apod.), teré so odpozorovány z epermentů. Podrobnost v těchto srptech vyšetřovat nebdeme, v dalším výlad bdeme předpoládat, že vetor posntí a eho první dervace so spoté... Tensor onečných deformací V předcházeícím paragraf sme vyšetřoval, a lze popsat zcela obecné posntí ontna. V tomto celovém posntí ontna so zahrnty a tvarové a obemové změny tělesa, t. vlastní (čstá) deformace, ta taová posntí, př terých se ontnm přemsťe ao thý cele (translace a rotace thého tělesa). V těchto srptech se bdeme dále zabývat en vlastním deformacem, slovo vlastní dále vynecháme. Protože deformace moho být v různých místech ontna různé, važme opět ontnm en v malém oolí bod P (obr. ). První úloha, tero msíme řešt, zní: Nalezněte velčny, terým e možno 7

8 charaterzovat deformace malého oolí bod P. V lteratře so popsány dva různé postpy řešení této úlohy. První metoda řešení e nasnadě; z celového posntí odečíst t eho část, terá odpovídá přemístění važovaného oolí ao thého tělesa. V obecném případě e vša tento postp značně omplovaný, ednodchý e poze v případě, že první dervace posntí so malé, t. dyž deformace a otočení so malé [7, ]. Zde toto cesto nepůdeme. Drhý, nečastě požívaný postp, e založen na této úvaze [4, 5]: Je zřemé, že změna velost a tvar všech částí tělesa bde rčena, estlže bdo známy změny vzdáleností lbovolných dvo bodů tělesa. Aplme tto myšlen opět na oolí bod P. Čtverec vzdálenost lbovolného bod Q tohoto oolí od bod P e dán vzorcem PQ. (.7) Poznameneme, že tečo mez vetory označeme ech salární sočn, např. pro a ( a, a, a) a b ( b, b, b ) e a b a b, tedy. Vzáemno poloh příslšných bodů př deformac, t. bodů P a Q dává vetor y. Z obr. a vztah (.6) plyne ( P) y ( Q) ( P). (.8) P Odtd plyne y, (.9) P nde P dervací ž dále nebdeme vádět. Zaveďme známý Kronecerův symbol δ, de δ δ δ, δ 0 pro. Vzorec (.9) má ve složách tvar Pro čtverec vzdálenost bodů P a Q platí y δ. (.0) P Q y y y y δ δ. (.) V tomto výraz vystpí dva sčítací ndey. Snadno se lze přesvědčt, že v těchto stacích e třeba žívat odlšného značení ndeů, v našem případě a. Výše ž bylo řečeno, že rozdíly déle odpovídaících s úseče popsí deformace ontna. Deformac bdo popsovat rozdíly čtverců vzdáleností, neboť známe-l PQ a P Q PQ, můžeme rčt P Q. Vyšetřovat rozdíly čtverců vzdáleností bde z výpočetního hledsa výhodné, vz vzorce (.7) a (.). 8

9 9 Zavedeme devět velčn ε, terým bdeme říat složy tenzor onečných deformací, vztahem. PQ Q P ε (.) Sohrn devít slože ε bdeme říat tensor onečných deformací, obdobně ao sohrn slože vetor říáme vetor. Poněvadž platí δ, plyne z (.) požtím (.) a (.7) vzorec δ δ δ ε. (.) Uvážíme-l, že platí δ δ δ a δ, dospíváme nedůležtěším vzorc tohoto paragraf ε. (.4) Napřílad první dvě složy maí tvar ε, (.5) ε. Ze vzorce (.4) hned plyne, že tensor onečných deformací e symetrcý, t. platí ε ε. (.6) Tensor onečných deformací může tedy mít nevýše šest různých slože. Tensor onečných deformací byl defnován vztahem (.), vzorec (.4) dává eho vyádření pomocí vetor posntí. Protože dervace vetor posntí so dervace v bodě P, bdeme ε chápat ao velčny defnované v bodě P a tedy taé mlvt o tensor onečných deformací v bodě P. Velčny ε sme ž sce nazval tensorem deformace, ale dosd sme nedoázal, že popse všechny deformace oolí bod P, t. změny vzdáleností mez lbovolným dvěma body tohoto oolí. Tensor ε neobsahe velčny, teré charaterzovaly onrétní bod Q, přčemž tento bod byl zcela lbovolný. Odtd e zřemé, že tensor ε popse změny vzdálenost mez dvěma body, z nchž edním e bod P a drhý e lbovolný. Zbývá eště doázat, že tensor ε rovněž popse změny vzdáleností mez dvěma lbovolným body važovaného oolí, dy oba so odlšné od bod P. Zvolme v oolí bod P lbovolně bod R,

10 terý př deformac přechází do bod R (obr. ). Poloh bod R vzhledem bod P dává vetor p, poloh bod R vzhledem bod P vetor q. Podle (.9) platí q p p (.7) Q r R Q s R p y q P P Obr. Podle obr. e r p, s q y. (.8) Odtd podle (.9) a (.7) plyne s r r. (.9) Dostal sme vzorec pro s zcela analogcý vzorc (.9) pro y. Další postp by byl obdobný ao výše, dy od vzorce (.9) sme dospěl vzorc (.). Proto msí platt Q R QR ε r r. (.0) Tím máme doázáno, že tensor onečných deformací, daný v něaém bodě, plně popse deformace malého oolí tohoto bod. Vyřešl sme tedy úloh, tero sme formloval na začát tohoto paragraf. Všmněme s eště, že dyž všechny složy ε so nlové, pa se vzdálenost bodů ontna nemění, ontnm se tedy nedeforme. Obrácené tvrzení doážeme v příštím paragraf. Poznameneme, že nelze vybdovat teor deformace, terá by vycházela poze z rozdílů vzdáleností. V tomto případě by nešlo z rozdíl odmocnn vytnot a tím oddělt velčny společné pro celé oolí (dervace posntí v bodě P) od velčn, charaterzících geometrco poloh onrétního bod. Všmněme s eště pops deformací v Elerových sořadncích, dy za nezávsle proměnné považeme sořadnce deformovaného stav y. Uveďme poněd strčněší způsob odvození, než a byl požíván výše. Ze vztah (.), t ( y ), plyne y, (.) y 0

11 de sme opět vynechal členy obsahící drhé a vyšší parcální dervace. Dosaďme do (.) vyádření y. Dostáváme δ y. (.) y Vyšetřovaný rozdíl čtverců vzdáleností e P Q PQ y y y y y δ δ y δ y y. (.) Zaveďme tensor onečných deformací η podle analoge s (.) vztahem P Q PQ η y y. (.4) Z (.) plyne η. (.5) y y y y Tensor η se až na znaméno posledního velm podobá tensor ε. Tensor ε se obvyle nazývá Greenův tensor deformace, η Almansův tensor deformace [5]. Tensorem η se dále zabývat nebdeme... Fyzální význam slože tensor onečných deformací Relatvním prodložením úsečy PQ nazveme výraz (vz obr. ) y E PQ. (.6) Nechť před deformací sohlasí úseča PQ se směrem první artézsé sořadnce, t. (, 0, 0). Poněvadž e 0, plyne z (.) ( ) y ε. (.7) Odtd plyne y ε. (.8) Příslšné relatvní prodložení E ve směr první sořadncové osy e E E PQ ε. (.9)

12 Složa ε tedy charaterze relatvní prodložení přímového element, terý byl před deformací rovnoběžný s první sořadncovo oso. Obdobně složy ε a ε charaterzí relatvní prodložení elementů do deformace rovnoběžných s drho a se třetí oso. Uvažeme před deformací dva na sebe olmé vetory ( ) (, 0, 0) a ( ) ( 0,, 0). Pro příslšné vetory po deformac ( y ) ( ) a y platí podle (.0) () y () y δ δ, ale en 0 ;, ale en 0. (.0) Vypíšeme-l poze nenlové členy, plyne pro salární sočn vetorů (.0) ( ) ( ) () () y y y y ε. (.) Označme ϕ úhel, terý svíraí vetory y a y. Úhel α 90 ϕ představe změn pravého úhl (zmenšení pravého úhl), způsobeno deformací. Pro salární sočn važovaných vetorů platí známý vztah () () ( ) ( ) () () y y y y cosϕ. (.) o Odtd s požtím (.8) a (.) plyne snα ε cosϕ. (.) ε ε Složa tenzor deformace ε tedy charaterze změn pravého úhl dvo přímových elementů, z nchž do deformace byl eden z nch rovnoběžný s oso a drhý s oso. Fyzální význam zbývaících smíšených slože tensor onečných deformací ε a ε e odtd ž zřemý. Smíšené složy ε ovšem nepopsí otočení važovaného obor ao thého tělesa. Poznameneme, že pro úhly ( ) ε název relatvní smyy. α se nědy zavádí název úhly smy a pro Ze vzorců (.9) a (.) plyne, že dyž se těleso nedeforme, t. relatvní prodložení so nlová a úhly v tělese se nemění, so všechny složy tensor onečných deformací nlové. Upozorněme znov, že tensor onečných deformací a tedy relatvní prodložení a relatvní smyy popsí deformac přesně en v neonečně malém oolí važovaného bod (bod P).

13 .4. Hlavní osy deformace Víme ž, že deformace ontna so popsány tensorem onečných deformací, ale zatím nemáme názorno představ, aým geometrcým změnám dochází v neonečně malém oolí važovaného bod v důsled deformací. Hledeme, aý tvar zaímala část ontna před deformací, terá se přeměnla po deformac v ol, t. předpoládeme y C, de C e onstanta. Z (.) plyne tedy y ε ε ( δ ε ). (.4) ( ) C δ ε A, (.5) de sme označl A δ ε. Rovnce (.5) e rovncí vadratcé plochy, body o sořadncích, a leží tedy na vadratcé ploše. Z fyzální povahy e zřemé, že se obecně edná o troosý elpsod. V važovaném neonečně malém oolí tedy vznne ole deformací stého troosého elpsod. I obráceně lze ázat, že oolí, teré mělo před deformací tvar ole, se deformací změní obecně na troosý elpsod. Důaz e snadný, požeme-l vzorce (.4). Otočením sostavy sořadné můžeme vadr (.5) převést na normální tvar, dy sořadné osy sohlasí s osam vadry. Tyto osy bdeme nazývat hlavním osam deformace. Odtd plyne tento závěr: V aždém bodě ontna estí taová tř (a obecně en tř) vlána, terá a před deformací, ta př ní so navzáem olmá. Jech směry před deformací a př deformac ovšem obecně nesplývaí.. Úhly, teré svíraí obě troce vláen, charaterzí otočení važovaného neonečně malého obor ao cel. Popsané vlastnost so důsledem lneárního vztah (.9) mez y a, terý představ tzv. afnní transformac neonečně malého oolí bod P []. Př afnní transformac přecházeí přímy opět v přímy a plochy drhého stpně zůstávaí plocham drhého stpně, tedy např. (neonečně malá) ole toto transformací přechází obecně v troosý elpsod..5. Tensor malých deformací Pro matematcé řešení úloh ontna má tensor onečných deformací ε t nepříemno vlastnost, že vztah mez ním (vz vzorec (.4)) a dervacem vetor posntí e nelneární, vedle členů lneárních v něm vystpí členy vadratcé. Např. známe-l tensor onečných deformací a chceme-l rčt vetor posntí, představe vztah (.4) sostav dferencálních rovnc, teré so vša nelneární. Důsledem nelnearty vztah (.4) e neplatnost prncp sperposce [7]: Sládaí-l se dvě nebo více deformací, potom se výsledný tensor onečných deformací obecně nerovná sočt tensorů pro ednotlvé deformace (doažte!). V naprosté většně případů deformace láte lze vedený vztah lnearzovat. Lze ta čnt v případě deformací zemsého tělesa, e terým dochází př průchod elastcých vln (s výmo rčtého oolí zdroe). Předpoládeme proto dále, že dervace posntí so malé, t. <<, (.6)

14 taže ech vzáemné sočny so velčny drhého řád, teré lze vzhledem samotným v tensor onečných dervacím zanedbat. Platí-l (.6), e výraz ( )( ) deformací velčna malá drhého řád, tero lze zanedbat. Tensor onečných deformací ε ta za předpolad (.6) přechází v tensor e, (.7) terý nazveme tensorem malých deformací. Původ tohoto názv e zřemý, za předpolad (.6) so všechny složy tensor ε (rovněž tensor e ) malé a tedy deformace ontna so malé. Předpolad (.6) tedy znamená, že sme se omezl na případy malých deformací ontna. Přpomeňme vša, že v pra se případy malých deformací vysytí nečastě. Složy tensor e maí přímý geometrcý význam. Je-l ε malé a zanedbáme-l členy vyšších řádů, plyne z (.9) vztah E ε & ε ε & e. (.8) V případě malých deformací so tedy e, e a e přímo rovny relatvním prodložením přímových elementů, teré před deformací měly směr sořadncových os. Dále platí, vz (.), sn Odtd plyne, že snα e malé. Proto α & ε & e. (.9) α & snα & e. (.40) Smíšená složa tensor malé deformace e tedy rovna polovně změny pravého úhl (polovně úhl smy). Předpolad (.6) má eště eden příznvý důslede, totž ztotožnění tenzorů ε a η. Lze ázat, že ze vztah (.6), zanedbáme-l členy drhého řád, plyne y. (.4) Dosazením (..4) do vzorců pro tensory onečných deformací a zanedbáním členů drhého řád dostáváme η ε e. (.4) Lze se snadno přesvědčt, (doažte!), že vztah (.6) e ntno a postačící podmíno pro to, aby až na velčny drhého řády platlo ε e, (.4) 4

15 t., aby tensor ε bylo možno nahradt ednodšším tensorem e. Posme se podobné podmíny formlovat pomocí samotných slože tensor ε, teré so fyzálně názorněší než parcální dervace. Platí-l (.6), so všechny složy ε malé. Znamená to, že ntno podmíno pro platnost (.6) e, aby všechny složy ε byly malé. Že vša tato podmína není dostačící, hned vyplyne z následícího ednodchého přílad [9, 8]. Nechť (,, ) e polohový vetor něaého bod thého těles. Otočme toto thé těleso olem osy o 90, t. o 90 od osy ose. Pro polohový vetor važovaného bod po otočení bde zřemě platt y (,, ). Toto otočení lze tedy popsat vetorem posntí y (,, 0). Těleso se tedy nedeforme, tensor onečných deformací msí mít všechny složy nlové, o čemž se lze přesvědčt dosazením do (.4). To ž neplatí o složách tensor malých deformací. Dosazením výše vedeného vetor posntí do vzorce pro tensor malých deformací (.7) dostáváme e e, třebaže se těleso vůbec nedeforme. Rozdíl tensorů ε a e v tomto případě e způsoben tím, že se těleso otočlo o úhel, terý není malý. Parcální dervace totž popsí neen deformace, ale otočení važovaného element ao thého tělesa (zde sme nedoazoval, vz [, 9]). Má-l platt (.6), mseí být malé neen deformace, ale otočení. Malé deformace lze tedy popsovat tensorem e poze tehdy, so-l sočastně malá taé otočení. Doonce e třeba, aby otočení byla menší nebo nevýše řádově stená ao deformace ε [9]. Nesohlas mez ε a e v vedeném přílad byl způsoben tím, že těleso vyonávalo pohyb ao těleso thé. Jestlže předpoládáme, že těleso ao cele nevyonává pohyby thého tělesa, pa pratcy všech třírozměrných těles (dy všechny tř rozměry so zhrba steného řád) lze malé deformace popsat tensorem malých deformací e [6]. Nemsí tom ta být těles ednorozměrných nebo dvorozměrných, ao so např. dlohé tené tyče nebo tené desy. Nechť např. dlohá tená tyč, pevně vetntá v počát a před deformací ležící na ose, e na volném onc ohýbána slo rovnoběžno s oso. Nechť deformace tyče so malé, t. všechny složy ε so malé. Element tyče volného once se málo deforme, ale vyonává velo translac a, co e důležté, velo rotac ao thé těleso. Odtd plyne, že deformace tyče nelze popsat tensorem malých deformací e, třebaže so tyto deformace malé. K podobné stac dochází př ohyb tené desy do válcové plochy. Těmto úloham se dále zabývat nebdeme. Dále bdeme vždy předpoládat, že otočení so malá a deformace so malé, taže ech pops lze žít tensor malých deformací e..6. Obemové změny př deformac V nedeformovaném stav měme malý vádr o hranách dély d, d a d, teré sohlasí s hlavním směry deformace. Obem vádr e V d d d. Po deformac bdo příslšné hrany opět na sebe olmé a ech dély bdo d ed, d ed, d ed. 5

16 Zde e, e a e so relatvní prodložení ve směr hlavních os. Pro nový obem vádr V bde platt V ddd( e )( e )( e) V ( e e e), (.44) de v posledním výraz sme zanedbal výrazy e e atd., neboť važeme poze malé deformace. Pro relatvní změn obem platí ( e e e ) V V V V ϑ e e e. (.45) V V Velčn ϑ bdeme nazývat bco dlatací nebo rátce en dlatací. Lze doázat, že sočet relatvních prodložení ve směrech sořadncových os e nvarant, t. velčna nezávslá na volbě sostavy sořadnc. Matematcý důaz tohoto tvrzení zde provádět nebdeme, poměrně snadno e lze provést žtím transformačních vztahů, teré platí mez tensory v různých artézsých sostavách sořadnc []. Odtd plyne, že velčna ϑ představe relatvní změn lbovolného elementárního obem, nacházeícího se v oolí bod, de tto velčn važeme. Přpomeňme, že vyšetřovaný vádr sme orentoval do směr hlavních os en proto, aby př deformac přešel opět na vádr (zachování pravých úhlů) a eho obem bylo možno ednodše vyádřt vzorcem (.44). Pomocí dlatace ϑ můžeme rozdělt deformac na část obemovo a část tvarovo. Platí zřemá dentta e ϑδ e ϑδ. (.46) Označme ednotlvé členy v (.46) ao f a g, t. f ϑδ, g e ϑδ. Dosazením (.46) do (.45) dostáváme f f f f ϑδ ϑ. Vdíme, že změny obem popse tensor f, zatímco tensor g popse taové změny, př nch se obem nemění, tzn. změny tvarové. Tensor g se nazývá devátorem deformace. 6

17 . TENSOR NAPĚTÍ.. Plošné a obemové síly Fyzální povaha sl, působících v tělesech př ech deformac, e podrobně popsána v [6], odd vyímáme: Rozložení molel v nedeformovaném tělese odpovídá stav eho tepelné rovnováhy. Př tom se eho všechny část nacházeí navzáem v mechancé rovnováze. To znamená, že vydělíme-l vntř tělesa lbovolný obem, potom výslednce všech sl, působících na tento obem ze strany ných částí, e rovna nle. Př deformac se vša rozložení molel mění a těleso e vyvedeno ze stav rovnováhy, ve terém se původně nacházelo. V důsled toho v něm vznaí síly, snažící se vrátt těleso do stav rovnováhy. Tyto vntřní síly, vznaící př deformování, se nazývaí vntřním napětím. Jestlže těleso není deformováno, vntřní napětí v něm neestí. Vntřní napětí so podmňována molelárním slam, t. slam vzáemného působení mez molelam. Pro teor pržnost e velm podstatná ta oolnost, že molelární síly maí velm nepatrný ační ráds. Jech vlv zasahe řádově do mezmolelární vzdálenost od částce, terá e vyvolává. Avša v teor pržnost, ao v teor marosopcé, se važí poze vzdálenost, teré so velé ve srovnání se vzdálenostm mez molelam. V teor pržnost proto msíme považovat ační ráds molelárních sl za nlový. Můžeme říc, že síly způsobící vntřní napětí so v teor pržnost slam působícím na blízo, teré se předávaí od aždého bod poze bod em neblžším. Odtd plyne, že síly, působící na lbovolno část tělesa ze strany oolních částí, působí poze bezprostředně přes povrch této část. Je třeba zde vést následící přpomín: vedené tvrzení neplatí v těch případech, dy př deformac v tělese vznaí marosopcá eletrcá pole (pyroeletrcé a pezoeletrcé láty). Dále vša vlastnost taových láte važovat nebdeme. Výše vedený výlad o molelárních slách můžeme ným slovy shrnot tato []: O těchto slách předpoládáme, že působí en do vzdáleností řádově stených, ao so vzdálenost sosedních hmotných bodů (z hledsa atomové teore). To znamená, že tyto síly so omezeny na ty sosední hmotné body, teré so právě na opačných stranách myšlené plochy omezící važovaný obemový element. Proto m říáme síly plošné. Příladem plošných sl e hydrostatcý tla, aerodynamcý tla nebo síly působené mechancým ontatem dvo těles. Na važovano část těles ovšem nemsí působt en síly, teré působí poze na blízo a echž účne bychom mohl popsovat ao vlv plošných sl. Ve fyzce so známy dva typy sl, teré působí na dál, t. do vzdáleností větších než e vzdálenost mez molelam. Jso to síly gravtační a eletromagnetcé. Protože so tto síly obecně úměrné obem važované část tělesa, nazýváme e slam obemovým. Uvažeme-l dynamcé problémy (d Alembertův prncp), bde další obemovo slo eště síla setrvačná. Pod popseme pohyb tělesa v nenercální sostavě, obemovým slám dále přstpí tzv. zdánlvé síly (na Zem odstředvá a Corolsova síla). Nědy se taé zaváděí mělé obemové síly, aby bylo možno rčté děe v ontn snadně popsat; např. zdro elastcých vln se často nahraze působením obemové síly nebo pevno přeážo v prodící tetně lze nahradt tetno, na níž působí vhodně rčená obemová síla []. Příladem obemové síly e tedy např. tíže (výslednce gravtační a odstředvé síly) nebo eletromagnetcá síla působící na nabté (prostorový marosopcý nábo) nebo zmagnetované těleso. 7

18 Nědy se plošné a obemové síly dále dělí na vněší a vntřní. Jedná se o pomy relatvní, msí být vždy řečeno, aé těleso važeme []. Plošné síly působící na vntřních plochách važovaného tělesa nazýváme vntřním; plošné síly, působící zvněš na hranc tělesa (např. v důsled doty s ným tělesem), nazýváme vněším. Obdobně lze zavést vntřní a vněší obemové síly... Vetor napětí Přstpme podrobněším vyšetření plošných sl. Zomané těleso važme tentorát v deformovaném stav (pops pomocí Elerových sořadnc). Z tělesa vydělme rčtý onečný obem a ploch, terá tento obem ohranče, označme S (obr. ). Na ploše S zvolme lbovolný bod P a ploch S, terá e částí S a obsahe P. Označme r ν ednotový vetor olmý ploše S (a tedy S) v bodě P a orentovaný ta, že směře ven z važovaného obem. Řeněme, že vetor r ν dává směr vněší normály plochy S v bodě P. Vetor r ν možňe defnovat ladno (ze strany ladné normály) a záporno stran plochy S. Poedneme o plošných slách působících na ploše S. Bdeme tím rozmět síly, terým část tělesa přlehlá e ladné straně plochy S působí přes tto ploch na část tělesa přlehlo e straně záporné. Síly, terým působí záporná část na část ladno, so podle prncp ace a reace steně velé, ale opačného směr. r ν T ( ν) P S Obr. V případě ontna, na rozdíl od thého tělesa, e velm podstatné rozložení sl. Třebaže thé těleso zde nepovažeme za vyhovící apromac deformovatelného tělesa ao cel, zdá se, že rčté představy z mechany thého tělesa by bylo možné do sté míry přenést na malé část ontna a to tím lépe, čím bdo tyto část menší. Na záladě zmíněných stých analogí s thým tělesem čníme něol předpoladů o vlastnostech plošných sl. Bdeme předpoládat, že e-l plocha S dostatečně malá, so plošné síly působící na tto ploch statcy evvalentní síle H a dvoc sl G, působících v bodě P. Jným slovy: Je-l ontnm v deformovaném stav v ld, pa účne všech plošných sl působících na malý plošný element S lze nahradt edno slo H, působící v bodě P, a edním momentem sl G, působícím olem něaé osy docí bodem P. Vetory H a G so obecně fncem velost plochy S, eí orentace a geometrcých vlastností. Představme s nyní, že lbovolným způsobem zmenšeme velost plochy S nle, přčemž vša bod P stále zůstává vntř této plochy. Na záladě fyzálních představ e rozmné dále eště předpoládat, že vetor H S onverge obecně nenlové lmtě T ( ν) a že vetor G S onverte nlovém vetor. Vetor 8

19 ( ν ) H d H T lm (.) ΑS 0 S d S se nazývá vetorem napětí. Abychom vyádřl, že se vztahe plošném element s vněší normálo r ν, přpoeme zna normály nad označení vetor. Vetor napětí (často strčně bdeme říat en napětí) představe síl působící na ednot plochy v deformovaném tělese. Napětí tedy nezávsí en na poloze plošného element, ale na eho orentac. Je třeba pozornt, že obecně T ( ν) neleží ve směr r ν. Průmět vetor T ( ν) do směr normály r ν, t. normálovo slož vetor T ( ν ), nazýváme normálovým napětím. Podobně průmět vetor T ( ν) do tečné rovny, čl tečno slož T ( ν ), nazýváme napětím tečným nebo smyovým: nědy se říá též napětí střžné []. Je-l normálové napětí ladné (eho směr sohlasí se směrem r ν ), e to tah; e-l záporné, e to tla [4]. Zdůrazněme, že T ( ν) e síla, působící na ladno stran ednotové plochy. Podle prncp (ν ) ace a reace na záporno stran této plochy působí síla T. Obdobné úvahy, ao v případě plošných sl, čníme o slách obemových.vydělme z tělesa v deformovaném stav něaý malý obem V. Označme P tentorát něaý vntřní bod obem V. Bdeme předpoládat, že e-l obem V dostatečně malý, so obemové síly na ně působící statcy evvalentní síle K a dvoc sl L, působících v bodě P. Zmenšme nyní obem V ta, aby bod P stále zůstával eho vntřním bodem. Bdeme předpoládat, že vetor K V onverge obecně nenlové lmtě F, dežto vetor L V nlovém vetor. Vetor F e obemová síla v bodě P vztažená na ednot obem. Závěrem poznameneme, že v něterých úlohách nelze dobře přmot předpolad o vymzení moment plošných nebo obemových sl př zmenšování příslšného element plochy nebo obem [5, 8, ]. Z geofyzálně významných případů sem patří např. mechancé evy v oblast sesmcého ohnsa (velé gradenty napětí, nelze zanedbat momenty plošných sl [8]) nebo šíření elastcých vln za přítomnost magnetcého pole (nevymzí momenty obemových sl, neboť s magnet př zmenšování obem stále zachovává svů dpólový charater [5]). Dále se těmto případy zabývat nebdeme, bdeme předpoládat, že momenty plošných obemových sl vymzí... Podmíny rovnováhy v ntegrálním tvar Bdeme předpoládat, že na važované těleso v počátečním, t. nedeformovaném stav, nepůsobly žádné síly a že tedy počáteční stav e bez elastcých posntí. Taový stav tělesa bdeme nazývat přrozeným []. Nechť těleso působením vněších sl přechází z přrozeného stav do stav deformovaného. Po dob tohoto přechod není těleso v rovnováze. Uvažme až stav, dy se těleso ž dále nedeforme, ale dyž ž e v deformovaném stav v ld. Tehdy se stavla rovnováha mez působícím slam a vntřním napětím. Tento stav deformovaného tělesa a lbovolných eho částí se velm podobá rovnovážném stav thého tělesa. Proto podmíny rovnováhy deformovaného tělesa vyvodíme z podmíne rovnováhy thého tělesa. Aby bylo thé těleso v rovnováze, msí vymzet výslednce působících vněších sl a ech výsledný moment. Vydělme v deformovaném tělese lbovolno část, eíž obem označme V a povrch S. Předpoládáme, že působení část prostředí, teré se nachází vně S, na část prostředí vntř S, 9

20 lze v aždém bodě obem popsat vetorem napětí T ( ν ). Dále předpoládáme, že v aždém bodě obem e zadána obemová síla F. Aby se vydělený obem prostředí nacházel v rovnováze, e ntné a stačí, aby byly splněny následící podmíny ( ) T ν d S F dv 0, (.) S V S ( ν ) ( y T ) d S ( y F) dv 0 V, (.) de y e polohový vetor važovaného bod. První z těchto podmíne požade, aby výsledná síla byla rovna nle, drhá požade, aby byl nlový výsledný moment.. 4. Pohybové rovnce v ntegrálním tvar Předpoládeme nyní, že ontnm ž není v ld, ale že se pohybe. Podle d Alembertova prncp dostaneme pohybové rovnce tím, že podmínám rovnováhy přpoíme tzv. setrvačné síly. Přpomeňme, že pro hmotný bod e setrvačná síla rovna záporně vzatém sočn eho hmoty a zrychlení. Podle tohoto prncp dostaneme pohybové rovnce ze (.) a (.) ve tvar (vz první a drhá věta mplsová v mechance sostavy hmotných bodů, []) ( ν T ) d d S F dv ρv dv d t, (.4) S V V ( y ( ν) T ) ( y F) d d S dv ( y ρv) d t S V V dv. (.5) Podrobná dsse těchto rovnc e podána v []. Chtěl bychom zdůraznt, že rovnce (.) až (.5) ntera nevyplývaí z obdobných rovnc pro sostav hmotných bodů a thé těleso, ale so samostatným rovncem, samostatným fyzálním záony. Hledal sme e poze ao zobecnění rovnc, platících pro sostav hmotných bodů a thé těleso. Všechno, co předcházelo formlování rovnc (.) až (.5), e proto třeba chápat ao pomocné úvahy, ao aés navození []. Meze platnost rovnc (.) až (.5) e třeba stanovt srovnáním výsledů teore, založené na těchto rovncích, s epermenty. Přtom rovnce (.) a (.) so specální případy rovnc (.4) a (.5). Rovnce (.4) a (.5) bdeme považovat za záladní vetorové rovnce mechany ontna, platící pro nespoté pohyby prostředí. Z těchto rovnc odvodíme dále, za stých předpoladů o spotost, rovnce v dferencálním tvar. Závěrem pozorněme, že rovnce (.4) a (.5) so rovncem pro lascé případy, dy momenty plošných a obemových sl so nlové. Jestlže tyto momenty vezmeme v úvah, rovnce (.4) se sce nezmění, ale v rovnc (.5) přbdo další členy []..5. Složy tensor napětí Vraťme se úvahám o vetor napětí v paragraf.. Předpoládal sme, že účny plošných sl můžeme popsat pomocí vetor napětí. Stav napětí v něaém bodě P bde tedy 0

21 popsán, bdo-l známa napětí působící na lbovolné plošce, procházeící bodem P. Předpoládeme, že postačí, omezíme-l se poze na plošy rovnné. Stav napětí v bodě P bde tedy popsán, bdo-l známa napětí na všech rovnných plošách, procházeících tímto bodem. Taovýchto ploše ovšem můžeme bodem P proložt neonečně mnoho. Níže ážeme, že pops stav napětí bde stačt, bdeme-l znát napětí na třech plošách olmých na sořadncové osy. Nechť rovnná ploša S e olmá -té sořadncové ose. Kladný směr normály zvolme v ladném směr této osy. Složy vetor napětí působícího na važovano ploš ze strany ladné normály so T,T,T. Zavedeme nové označení τ T ( ), (.6) de,,,. Sobor devít velčn τ bdeme říat tensor napětí, ednotlvým velčnám τ složy tensor napětí. Všmněte s, že v τ první nde označe sořadncovo os, e teré e važovaná ploša olmá, drhý nde stanoví, o tero slož vetor napětí de. Tedy např. τ, τ a τ označe složy napětí, teré působí na ploš olmo první sořadncové ose, směr normály této plošce sohlasí se směrem první osy. Na záporno stran této plošy, t. ze strany opačné normály, působí na ploš napětí o složách τ, τ, τ. Obráze 4 aze ladné směry slože vetor napětí, působícího na stěnách vádr. Osy so označeny y, y, y, protože praceme s Elerovým sořadncem. Uážeme, že pomocí devít velčn τ v bodě P můžeme rčt vetor napětí ν T pro lbovolno orentac plošného element procházeícího bodem P []. Abychom nalezl vztah ν mez složam vetor T a složam tensor napětí τ, bdeme važovat podmíny rovnováhy nfntesmálního čtyřstěn, ehož tř stěny olmé na směr sořadncových os procházeí bodem P, a čtvrtá stěna, vedená ve vzdálenost h od bod P, e olmá na zvolený

22 směr r ν (obr. 5). Př zmenšování h, vz dále, přede tato stěna v plošný element procházeící rovněž bodem P. Obsah troúhelní ABC označme σ. Obsahy troúhelníů PBC, PAC a PAB označme postpně σ, σ a σ ; tyto troúhelníy vznno promítntím troúhelnía ABC do rovn olmých na sořadncové osy. To znamená, že např. σ můžeme vyádřt ao sočn obsah σ a osn úhl, terý svírá rovna ABC s rovno PBC. Tento osns e právě roven v, t. r první složce vetor ν, neboť složy v (,, ) so směrovým osny normály r ν. Obdobné platí pro průměty do dalších dvo sořadných rovn, tedy σ σ v,,,. (.7) Dále bdeme eště potřebovat obem čtyřstěn, terý se rovná V h σ. Složy obemové síly, vetor a tensor napětí v bodě P označíme F, ν T a τ. Předpoládeme, že obemové síly a napětí so spoté fnce sořadnc. Apleme na važovaný čtyřstěn podmín rovnováhy (.), ež představe tř salární rovnce. Uvažme rovnc pro -to slož. Vzhledem předpoládané spotost můžeme pro obemový ntegrál ν psát ( F ε ) σh a pro plošné ntegrály přes ednotlvé stěny čtyřstěn ( T ε )σ, ( τ ε ) σ, ( τ ε ) σ, ( τ ε ) σ. Zde ε, ε a lmε 0, lmε 0, lmε 0. h 0 h 0 h 0 ε so velčny, pro teré platí U velčn τ vystpe znamení mns proto, že vněší normály, t. normály mířící ven ze čtyřstěn, maí na příslšných stěnách směr opačný než e směr sořadncových os. Rovnc rovnováhy můžeme nyní s požtím (.7) přepsat ve tvar

23 ν ( T ε ) σ ( τ ε ) σν ( F ε ) σh 0. (.8) Dělme tto rovnc σ a proveďme pa lmtní přechod pro h 0 ta, aby stěna ABC stále zůstala olmá na vetor ν.dostáváme T ν τ v, (.9) ν což e ž hledaný vztah mez T a τ. Všmněme s, že př lmtním přechod vypadly z rovnce (.8) obemové síly []. Je to pochoptelné z toho, že př zmenšování tělesa lesaí obemové síly se třetí mocnno lneárního rozměr, dežto plošné síly en se drho mocnno. Protože setrvačná síla e slo obemovo, vyplývá odtd, že vztah (.9) zůstane v platnost pro úlohy dynamcé..6. Podmíny rovnováhy v dferencálním tvar Hledeme podmíny rovnováhy ontna v něaém bodě P. Uvažme malý vádr, ehož stěny so rovnoběžné se sořadncovým rovnam a ehož eden roh leží v bodě P (obr. 4). Dély hran vádr označme dy, dy a dy. Předpoládeme, že složy napětí τ působící na záporných stěnách vádr so složam napětí v bodech o sořadncích y, y, y, t. napětí τ ( y, y, y ). Na ladné stěně olmé ose y bdo napětí dána fncem τ ( y dy, y, y ) a obdobně na ladných stěnách olmých osám y a y. Ve směr y působí tedy síly: τ ( y dy, y, y ) dy dy a τ ( y, y, y ) dy dy na stěnách olmých ose y, τ ( y, y dy, y ) dy dy a τ ( y, y, y ) dy dy na stěnách olmých ose y, τ ( y, y, y dy ) dy dy a τ ( y, y, y ) dy dy na stěnách olmých ose y. Obemová síla má slož do osy y rovno F dy dy dy. Sočet všech těchto sl se má rovnat nle. Jestlže v tomto sočt rozvneme výrazy obsahící dferencály do Taylorovy řady a zanedbáme členy drhého a vyšších řádů, dostaneme po vydělení obem vádr dy dy dy rovnc τ τ τ F 0. y y y To e ž hledaná podmína rovnováhy pro složy sl ve směr osy y. Obdobně odvodíme rovnce pro další dvě složy. Dostáváme ta rovnce rovnováhy ve tvar F τ y 0. (.0) Abychom mohl ve výše zmíněném Taylorově rozvo zanedbat drhé a vyšší dervace, msíme čnt předpolad, že první dervace tensor napětí τ y so spoté; vz obdobno úvah př odvozování vzorce (.6). Z podmíny rovnováhy v ntegrální tvar (.)

24 tedy plyne podmína rovnováhy v dferencálním tvar (.0) tehdy, so-l F, τ a τ y spotým fncem sořadnc. Analogcy bychom postpoval př úpravách rovnce (.) pro momenty sl. Podrobné odvození lze nalézt např. v []. Bez odvození veďme, že podmína rovnováhy pro momenty vede podmínce τ τ. (.) Tato podmína říá, že tensor napětí e symetrcý, t. může mít nevýše šest různých slože. Poznameneme, že v případech, dy nelze zanedbat momenty plošných nebo obemových sl dstované v paragraf., zůstává sce v platnost rovnce (.0), ale v rovnc (.) přbývaí další členy, taže tensor napětí ž není symetrcým [5, ]. My vša bdeme dále važovat poze případy, dy tensor napětí e symetrcý. Matematcy elegantněší odvození rovnc (.0) a (.) lze provést žtím Gassovy věty. Pomocí ní se plošné ntegrály v (.) a (.) převedo na ntegrály obemové a z nch bezprostředně plyno podmíny rovnováhy v dferencálním tvar [, 6]..7. Pohybové rovnce v dferencálním tvar Pohybovo rovnc dostaneme podle d Alembertova prncp tím, že slám v podmínce rovnováhy přpoíme setrvačno síl na ednot obem, t. dv ρ, (.) dt de ρ e hstota a v e rychlost pohyb částce ontna. Pohybová rovnce má tedy ve složách tvar τ dv F ρ. (.) y dt Protože fyzální záony se formlí pro hmotné částce, msíme dervac podle čas v (.), resp. (.), rovněž chápat ao dervac pro pevně zvoleno hmotno částc []. Pro tto dervac dostaneme různé výrazy podle toho, bde-l rychlost vyádřena v Lagrangeových nebo Elerových sořadncích. Nechť e v vyádřena v Lagrangeových sořadncích,,, t (v dynamcých úlohách přstpe prostorovým sořadncím eště čas t), t. v v,t. Pa platí ( ) d v v, (.4) dt t neboť pro zvoleno částc so sořadnce onstantní; zopame, že sořadnce dávaí poloh částce v nedeformovaném stav. Vyádřeme eště rychlost pomocí posntí,t ( ) d v. (.5) dt t 4

25 Setrvačno síl můžeme tedy vyádřt v Lagrangeových sořadncích ao ρ t. Abychom celo pohybovo rovnc (.) vyádřl v Lagrangeových sořadncích, msíme eště na levé straně vyločt sořadnce y, podle terých se derve. Podmína (.4), požadící, aby dervace posntí byly malé, zašťovala, že pops deformací postačl tensor malých deformací, t. nebylo třeba rozlšovat mez Lagrangeovým a Elerovým sořadncem. Jestlže romě toho bdo malé dervace napětí ta, že sočn dervace napětí a dervace posntí e malá velčna drhého řád, bde možné poládat dervace τ y a τ mn za stené až na malé velčny drhého řád. Podrobnostm důaz tohoto tvrzení se zabývat nebdeme, veďme poze záladní sovslost dervací tensor napětí v Lagrangeových a Elerových sořadncích; ze vztah y plyne mn τ mn τmn y τ mn δ y y. Za zmíněných předpoladů dostáváme pohybovo rovnc ve tvar F τ ρ t. (.6) Tato rovnce patří nedůležtěším rovncím v mechance ontna. Je edno z výchozích rovnc v teor šíření sesmcých vln. Pro zaímavost veďme bez odvozování pohybovo rovnc v Elerových sořadncích: F τ v ρ t v y v y, (.7) de výraz na pravé straně sme vyádřl pomocí slože rychlost. Povšmněme s, že v případech, dy lze na pravé straně zanedbat poslední člen, nabývá tato rovnce podobného tvar ao rovnce (.6) 5

26 4. VZTAH MEZI DEFORMACÍ A NAPĚTÍM 4.. Reologcá lasface láte Dosd sme se nezabýval vztahy mez deformací a napětím, teré bdeme potřebovat pro řešení pohybové rovnce ontna. Vzáemný vztah mez deformací a napětím závsí na charater láty, různý e pro plyn, apaln a pevno lát, ale mez látam téhož spenství so velé rozdíly. Určováním vztah mez napětím a deformací se zabývá reologe. Přesné závslost mez deformací a napětím so obvyle značně složté, proto reologe zavádí modely, teré přblžně vysthí charater deformačního chování různých spn láte. Uveďme strčně záladní vlastnost láte elastcých, vsosních a plastcých, podrobnost vz []. Lát nazveme elastco (pržno), estlže se př volnění vněších sl plně vrací ze stav deformovaného do stav původního. Specálním případem e lneárně elastcá láta, dy mez deformací a napětím platí přímá úměrnost. Isotropní lneárně elastcá láta se nazývá láto hooovso (platí zde Hooův záon, []). Vsosní láta e charaterstcá tím, že př zadaném napětí roste deformace neomezeně s časem. Do vztah mez deformací a napětím vstpe tedy čas; příladem taových láte so apalny. Specálním případem so tzv. newtonovsé láty, pro něž platí lneární vztah mez napětím a rychlostí deformace. Plastcým nazýváme láty, nchž tečení (tečením zde rozmíme pohyb, př terém rychlost deformace e různá od nly) nastává až po přeročení sté mezní hodnoty napětí. Plastcé vlastnost vyazí např. ovy př větších napětích a mnohé maromolelární láty. Mnohé láty vyazí chování na rozhraní mez látam apalným a pevným. Příladem může složt asfalt, smůla, slo a. Neednodšším modelem, popsícím chování taovýchto láte, e model vsoelastcé láty, terá vznne ombnací vlastností newtonovsé vsosní apalny a hooovsé elastcé láty. O těchto podrobnostech se zmňeme proto, že mnohé vlastnost hornn lze popsat ao vlastnost vsoelastcé láty (např. útlm sesmcých vln v hornnách); v tomto směr se v poslední době rozvíí velm ntensvní výzm. My vša v dalším nebdeme važovat taové složté modely prostředí, ale omezíme se poze na ontnm lneárně elastcé. 4.. Zobecněný Hooův záon V lascém Hooově záoně, vyadřícím lneární vztah mez napětím a relatvním prodložením, pro ednodchost važeme deformace en v tom směr, ve terém působí napětí. V předcházeících aptolách sme ázal, že deformac a stav napatost můžeme popsat pomocí tensorů. Klascý Hooův záon zobecníme proto ta, že bdeme předpoládat obecný lneární vztah mez tensorem napětí a tensorem deformace, t. C e. (4.) τ l l Tomto vztah bdeme říat zobecněný Hooův záon, velčny C l bdeme nazývat elastcým oefcenty. Vztah (4.) vysthe chování velm šroé spny láte včetně mnohých láte ansotropních ao so např. rystaly. Celový počet oefcentů C l e 4 8. Protože vša so tensor napětí tensor deformace symetrcé, snže se tím počet nezávslých oefcentů na Dále lze 6

27 ázat, že z energetcých úvah plyne symetre elastcých oefcentů př záměně první a drhé dvoce ndeů [], t. C C. Tím se počet nezávslých elastcých oefcentů l l snže na. Tomto počt elastcých oefcentů odpovídá trolonná rystalová sostava. Pro rystaly s vyšší symetrí se počet nezávslých elastcých oefcentů dále snže []. Ta sostavy ednolonné e nezávslých elastcých oefcentů, pro osočtverečno 9, pro rychlovo nezávslé elastcé oefcenty. Isotropní láta, terá e charaterzovaná tím, že eí vlastnost so ve všech směrech stené, lze popsat dvěma elastcým oefcenty. V teoretcých pracích se za tyto dva oefcenty obvyle bero tzv. Laméovy oefcenty λ a µ,, zobecněný Hooův záon má pa tvar τ λϑδ µ e, (4.) de ϑ dv e e e e obemová dlatace. Odvození nezávslých elastcých oefcentů se obvyle provádí ta, že se vyšetří změny těchto oefcentů př otočení sostavy sořadnc []. Tato odvození so značně zdlohavá, zde e provádět nebdeme. Provedeme poze zednodšené odvození zobecněného Hooova záona pro sotropní prostředí (4.). Vydeme z představy, že deformace sotropního tělesa se sládá ze dvo nezávslých částí, z deformace obemové a deformace tvarové []. V paragraf.6 sme odvodl, že tensor malých deformací e můžeme rozdělt na část obemovo a část tvarovo následícím způsobem Obdobno dentt můžeme napsat pro tensor napětí e f g ϑδ e ϑδ. (4.) de p p q, (4.4) τ κδ, q τ κδ, κ τ τ τ. (4.5) Podle analogí lze očeávat, že napětí p vyvolávaí změny obem, napětí q změny tvar. Bdeme požadovat estenc dvo oefcentů a, de vyadře úměrnost mez obemovým částm tensor napětí a tensor deformace, vyadře přímo úměrnost mez částm tvarovým: p f, q g. (4.6) Je snad zřemé, že poslední úvahy so dělány hodně podle ct ; aby odvozování vzorce (4.) bylo úplné a přesné, msel bychom neprve řádně doázat, že pro sotropní prostředí lze stečně psát přímé úměrnost (4.6). Užtím (4.4), (4.6) a (4.) nyní dostáváme τ f g ( ) ϑδ e. (4.7) Zavedeme-l nové označení, nové elastcé oefcenty λ a µ vztahy 7

28 8 ( ) λ µ,, (4.8) dospíváme hned e vzorc (4.). 4.. Pohybové rovnce pro homogenní ansotropní prostředí Jso-l elastcé oefcenty v různých místech tělesa různé, mlvíme o tělese nehomogenním. Dále se omezíme poze na přílady homogenních těles, dy elastcé oefcenty so pro celé těleso onstanty. Uvažme anzotropní homogenní prostředí. Dosaďme do pohybové rovnce (.6) výraz pro zobecněný Hooův záon (4.) a tensor deformace vyádřeme pomocí posntí, vzorec (.5). Dostáváme t C F l l l ρ. (4.9) Upravme drhý výraz v hranaté závorce. V důsled symetre elastcých oefcentů a protože sčítání ndeů e lbovolné, můžeme psát l l l l l l C C C. (4.0) O správnost těchto výrazů se můžeme přesvědčt rozepsáním příslšných devít výrazů (sčítání podle a l). Užtím (4.0) a předpolad o homogentě lze rovnc (4.9) pravt na onečný tvar t C F l l ρ. (4.) 4.4. Pohybová rovnce pro homogenní sotropní prostředí Dosaďme do pohybové rovnce (.6) výraz pro zobecněný Hooův záon pro sotropní prostředí (4.): t F ρ µ ϑδ λ. (4.) Jso-l elastcé oefcenty onstantní, platí t F ρ µ ϑ λ. (4.) Přpomeňme význam něterých označení: