Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích"

Transkript

1 Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích 5. studentské kolokvium a letní škola matematické fyziky Stará Lesná Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT, Praha

2 Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie

3 Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie

4 Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie

5 Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie

6 Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie

7 Konkrétní příklad - finanční trhy lem [ / ] Last Volume (millions): 6,557, Volatility() : I III V VII IX XI XII

8 Konkrétní příklad vývoj akcií Lehman brothers - prudký pokles před začátkem finanční krize v modelu s náhodnou procházkou krajně nepravděpodobné mnohonásobně překonána směrodatná odchylka modelu potřeba jiných procesů - modelování extrémních situací

9 Brownův pohyb - Definice klasická náhodná procházka: p - pravděpodobnost kroku doprava q - pravděpodobnost kroku doleva n - počet kroků po n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m: p(m, n) = n! p n+m ( n+m n m 2 )!( 2 )! 2 (1 p) n m 2 limita pro n : podle Centrální limitní věty dostáváme Gaussovo rozdělení

10 Brownův pohyb - Definice klasická náhodná procházka: p - pravděpodobnost kroku doprava q - pravděpodobnost kroku doleva n - počet kroků po n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m: p(m, n) = n! p n+m ( n+m n m 2 )!( 2 )! 2 (1 p) n m 2 limita pro n : podle Centrální limitní věty dostáváme Gaussovo rozdělení

11 Brownův pohyb - Definice klasická náhodná procházka: p - pravděpodobnost kroku doprava q - pravděpodobnost kroku doleva n - počet kroků po n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m: p(m, n) = n! p n+m ( n+m n m 2 )!( 2 )! 2 (1 p) n m 2 limita pro n : podle Centrální limitní věty dostáváme Gaussovo rozdělení

12 Náhodná procházka pro n=1000

13 Wienerův proces - spojitá náhodná procházka Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veličin parametrizována parametrem t (často čas) stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když: 1 W (0) = 0 skoro jistě, 2 funkce t W (t) je skoro jistě spojitá, 3 pro všechna t, s: W (t) W (s) N(0, t s ) 4 W (t) má nezávislé přírůstky na t Wienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!

14 Wienerův proces - spojitá náhodná procházka Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veličin parametrizována parametrem t (často čas) stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když: 1 W (0) = 0 skoro jistě, 2 funkce t W (t) je skoro jistě spojitá, 3 pro všechna t, s: W (t) W (s) N(0, t s ) 4 W (t) má nezávislé přírůstky na t Wienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!

15 Wienerův proces - spojitá náhodná procházka Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veličin parametrizována parametrem t (často čas) stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když: 1 W (0) = 0 skoro jistě, 2 funkce t W (t) je skoro jistě spojitá, 3 pro všechna t, s: W (t) W (s) N(0, t s ) 4 W (t) má nezávislé přírůstky na t Wienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!

16 ukázka Wienerova procesu

17 Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení

18 Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení

19 Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení

20 Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení

21 Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení

22 Lévyho rozdělení

23 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

24 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

25 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

26 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

27 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

28 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

29 Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická

30 Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )

31 Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )

32 Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )

33 Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )

34 Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )

35 Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces

36 Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces

37 Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces

38 Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces

39 Wienerův proces - ukázka

40 Lévyho proces - ukázka

41 Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }

42 Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }

43 Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }

44 Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }

45 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

46 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

47 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

48 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

49 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

50 Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem

51 ukázka fbm fbm pro H = 0, 3; 0, 5; 0, 6 a 0, 7

52 Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...)

53 Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...)

54 Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...) Nutnost zavedení procesů s parametry závislými na čase

55 Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...) Nutnost zavedení procesů s parametry závislými na čase Příklad:vývoj indexu S&P 500 v letech

56 index S&P 500 denní výnosy α parametr Hurstův exponent

57 Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů

58 Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů

59 Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů

60 Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů

61 Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů

62 Wienerovský fraktální vzor Iniciátor

63 Wienerovský fraktální vzor Generátor t = x 2 x = { 2 3, 1 3, 2 3 }, t = { 4 9, 1 9, 4 9 }

64 Wienerovský fraktální vzor Rekurzivní iterování

65 Wienerovský fraktální vzor Fraktální struktura

66 Multifraktální vzor jiný generátor, náhodná volba mezi generátory při každé iteraci t = x H(t)

67 Multifraktální vzor Multifraktální vzor

68 Čas jako multifraktál Wienerův vzor generuje čas na trzích Multifraktální vzor generuje čas mimo trhy posunutí příslušných bodů v čase generuje jejich vzájemnou závislost

69 Čas jako multifraktál rozdíl časů závislost časů

70 Procesy generované multifraktálními vzory Wienerův proces multifraktální proces Můžeme generovat procesy z pohledu tržního času a pak je transformovat do běžného času 60

71 Procesy generované multifraktálními vzory Hurstův exponent

72 Procesy generované multifraktálními vzory Multifraktální spektrum

73 Závěr Brownovský pohyb je jednoduchý proces, ne vždy dobře popisuje složité systémy lepší popis - Lévyho proces, frakční Brownův pohyb... společné vlastnosti různých procesů - fraktální geometrie Multifraktální procesy - jednoduché modelování složitých procesů

74 Kenneth Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. Wiley, Inc., Benoit B. Mandelbrot. Self-affine fractals and fractal dimension. Physica Scripta, 32: , Benoit B. Mandelbrot. Fractal financial fluctuations; do the threaten sustainability? In Science for Survival and Sustainable Development. Pontificia Academia Scientiarum, Rosario N. Mantegna and H. Eugene Stanley. An Introduction to Econophysics. CUP, Cambridge, Wolfgang Paul and Jörg Baschangel. Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer, Berlin, Děkuji za pozornost.

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Diplomová práce Brno 2015 Ekaterina Pushkareva MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY R/S

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ

Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Matematika a byznys Téma: Investice do akcií společnosti ČEZ Alena Švédová A07146 Investice do akcií společnosti ČEZ ÚVOD Tímto tématem, které jsem si pro tuto práci zvolila, bych chtěla poukázat na to,

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

1. Základy teorie přenosu informací

1. Základy teorie přenosu informací 1. Základy teorie přenosu informací Úvodem citát o pojmu informace Informace je název pro obsah toho, co se vymění s vnějším světem, když se mu přizpůsobujeme a působíme na něj svým přizpůsobováním. N.

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI

VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI VYUŽITÍ MATLAB WEB SERVERU PRO INTERNETOVOU VÝUKU ANALÝZY DAT A ŘÍZENÍ JAKOSTI Aleš Linka 1, Petr Volf 2 1 Katedra textilních materiálů, FT TUL, 2 Katedra aplikované matematiky, FP TUL ABSTRAKT. Internetové

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

průměrný percentil za části testu odchylka skóre analytická verbální směrodatná

průměrný percentil za části testu odchylka skóre analytická verbální směrodatná ZŠ Souhrnné výsledky za školu OSP celkový průměrný výsledek za části testu za dovednosti v testu třída počet žáků skupinový čistá úspěšnost průměrné skóre směrodatná odchylka skóre verbální analytická

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

01MDS. http://www.krbalek.cz/for_students/mds/mds.html

01MDS. http://www.krbalek.cz/for_students/mds/mds.html 01MDS http://www.krbalek.cz/for_students/mds/mds.html 01MDS Modely dopravních systémů (úvodní přednáška) Milan Krbálek Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské, ČVUT v Praze http://www.krbalek.cz/for_students/mds/mds.html

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY

ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY ROZPOZNÁVÁNÍ S MARKOVSKÝMI MODELY Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac 1/31 PLÁN PŘEDNÁŠKY

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia

Více

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1

Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 Statistická analýza dat podzemních vod. Statistical analysis of ground water data. Vladimír Sosna 1 1 ČHMÚ, OPZV, Na Šabatce 17, 143 06 Praha 4 - Komořany sosna@chmi.cz, tel. 377 256 617 Abstrakt: Referát

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

staveb Ing. Luboš Krejčí, CSc. Palladium

staveb Ing. Luboš Krejčí, CSc. Palladium Časové plánov nování rozsáhlých a složitých staveb Ing. Luboš Krejčí, CSc. Palladium KONSTRUKČNÍ ŘEŠENÍ - STATIKA PROSTOROVÉ OMEZENÍ (MINIMÁLNÍ STAVENIŠTĚ V CENTRU MĚSTA) Rozsáhlá stavba just in time (

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný

Více

Úvod do mobilní robotiky AIL028

Úvod do mobilní robotiky AIL028 Pravděpodobnostní plánování zbynek.winkler at mff.cuni.cz, md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor05/cs 12. prosince 2005 1 Co už umíme a co ne? Jak řešit složitější případy? Definice konfiguračního

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut.

KOMPRESE OBRAZŮ. Václav Hlaváč. Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání. hlavac@fel.cvut. 1/24 KOMPRESE OBRAZŮ Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz http://cmp.felk.cvut.cz/ hlavac KOMPRESE OBRAZŮ, ÚVOD 2/24 Cíl:

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Matematické modely spontánní aktivity mozku

Matematické modely spontánní aktivity mozku Matematické modely spontánní aktivity mozku Jaroslav Hlinka Ústav informatiky, Akademie věd ČR Oddělení nelineární dynamiky a složitých systémů http://ndw.cs.cas.cz/ FJFI ČVUT, Seminář současné matematiky,

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12

Obsah. Vybraná témata z Excelu pro techniky 13. Obsah. Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11. Typografická konvence použitá v knize 12 Obsah Úvod 11 Komu je kniha určena 11 Uspořádání knihy 11 Typografická konvence použitá v knize 12 1 Vybraná témata z Excelu pro techniky 13 Vzorce a funkce pro techniky 14 Vytvoření jednoduchého vzorce

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

Jak fyzika pomáhá ekonomii

Jak fyzika pomáhá ekonomii Jak fyzika pomáhá ekonomii František Slanina Fyzikální ústav AVČR, e-mail: slanina@fzu.cz Přírodní vědy běžného člověka často děsí svým cynismem. Jdete k lékaři a tam vás prozařují, jako byste byli kus

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207

6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207 6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.

Více

III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné.

III) Podle závislosti na celkovém ekonomickém vývoji či na vývoji v jednotlivé firmě a) systematické tržní, b) nesystematické jedinečné. Měření rizika Podnikatelské riziko představuje možnost, že dosažené výsledky podnikání se budou kladně či záporně odchylovat od předpokládaných výsledků. Toto riziko vzniká např. při zavádění nových výrobků

Více

ADZ základní statistické funkce

ADZ základní statistické funkce ADZ základní statistické funkce Základní statistické funkce a znaky v softwaru Excel Znak Stručný popis + Sčítání buněk - Odčítání buněk * Násobení buněk / Dělení buněk Ctrl+c Vyjmutí buňky Ctrl+v Vložení

Více

Matematická témata matematický seminář A

Matematická témata matematický seminář A Vzdělávací oblast: ČLOVĚK A PŘÍRODA Vyučovací předmět: Matematický seminář A rozšiřující učivo Matematický seminář B procvičování základního učiva Ročník: 6. až 9. Cílová skupina: skupina žáků složená

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Cíle lokalizace. Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí

Cíle lokalizace. Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí Cíle lokalizace Zjištění: 1. polohy a postavení robota (robot pose) 2. vzhledem k mapě 3. v daném prostředí 2 Jiný pohled Je to problém transformace souřadnic Mapa je globální souřadnicový systém nezávislý

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1

MATEMATIKA A 3 Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Úvod do problematiky diskrétní matematiky Cíl: Cílem tohoto tématického celku je vymezení oblasti diskrétní matematiky a příprava na další výklad kurzu. Jedná

Více

Seminární práce ze Základů firemních financí

Seminární práce ze Základů firemních financí Seminární práce ze Základů firemních financí Téma: Analýza vývoje zisku Zpracovaly: Veronika Kmoníčková Jana Petrčková Dominika Sedláčková Datum prezentace: 24.3. 2004...... V Brně dne...... P o d p i

Více

Nenechme se vystrašit novinovými titulky. Propady akcií neznamenají hrozbu, ale příležitosti.

Nenechme se vystrašit novinovými titulky. Propady akcií neznamenají hrozbu, ale příležitosti. Nenechme se vystrašit novinovými titulky. Propady akcií neznamenají hrozbu, ale příležitosti. Autor: Ing. Tomáš Tyl 5.8 2011 Schválil: Ing. Vladimír Fichtner Propady na trzích vytváří emoce, my doporučujeme

Více

Model pro simulaci staví na výpočtu hrubého domácího produktu výdajovou metodou:

Model pro simulaci staví na výpočtu hrubého domácího produktu výdajovou metodou: Model vývoje HDP ČR Definice problému Očekávaný vývoj hrubého domácího produktu jakožto základní makroekonomické veličiny ovlivňuje chování tržních subjektů, které v důsledku očekávání modulují své chování

Více

Fakta a mýty o investování i riziku. Monika Laušmanová Radek Urban

Fakta a mýty o investování i riziku. Monika Laušmanová Radek Urban Fakta a mýty o investování i riziku Monika Laušmanová Radek Urban 1 Mýtus: Mezi investováním a utrácením není skoro žádný rozdíl Utrácení - koupě kabelky 35 000 30 000 Cena kabelky 25 000 20 000 15 000

Více

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií

Hodina 50 Strana 1/14. Gymnázium Budějovická. Hodnocení akcií Hodina 50 Strana /4 Gymnázium Budějovická Volitelný předmět Ekonomie - jednoletý BLOK ČÍSLO 8 Hodnocení akcií Předpokládaný počet : 9 hodin Použitá literatura : František Egermayer, Jan Kožíšek Statistická

Více

Historie matematiky a informatiky

Historie matematiky a informatiky Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika

Více

Přesvědčivost výsledků výpočtu potřeby tepla na vytápění pasivních domů

Přesvědčivost výsledků výpočtu potřeby tepla na vytápění pasivních domů Přesvědčivost výsledků výpočtu potřeby tepla na vytápění pasivních domů Pavel Kopecký, Kamil Staněk, Jan Antonín, ČVUT, Fakulta stavební Thákurova 7, 166 29 Praha 6 Tel.: +420 224 354 473, e-mail: pavel.kopecky@fsv.cvut.cz

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Úvod do předmětu obecné informace Základní pojmy ze statistiky / ekonometrie Úvod do programu EViews, Gretl Některé užitečné funkce v MS Excel Cvičení 1 Zuzana Dlouhá Úvod do

Více

4.4.2012. Obsah přednášky. Příkaz for neúplný. Příkaz for příklady. Cyklus for each (enhanced for loop) Příkaz for příklady

4.4.2012. Obsah přednášky. Příkaz for neúplný. Příkaz for příklady. Cyklus for each (enhanced for loop) Příkaz for příklady Základy programování (IZAPR, IZKPR) Přednáška 5 Ing. Michael Bažant, Ph.D. Katedra softwarových technologií Kancelář č. 03 022, Náměstí Čs. legií Michael.Bazant@upce.cz Obsah přednášky Příkazy cyklu -

Více

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13

Postův korespondenční problém. Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Meze rozhodnutelnosti 2 p.1/13 Postův korespondenční problém Definice 10.1 Postův systém nad abecedou Σ je dán neprázdným seznamem S dvojic neprázdných řetězců nadσ, S = (α

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách

VNITROSKUPINOVÝ ROZPTYL. Je mírou variability uvnitř skupin Jiný název: průměr rozptylů Vypočítává se jako průměr rozptylů v jednotlivých skupinách ROZKLAD ROZPTYLU ROZKLAD ROZPTYLU Rozptyl se dá rozložit na vnitroskupinový a meziskupinový rozptyl. Celkový rozptyl je potom součet meziskupinového a vnitroskupinového Užívá se k výpočtu rozptylu, jestliže

Více

Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2

Varianta Pravděpodobnost Výnos A 1 Výnos A 2 1 0,1 1% 0,1 3% 0,3 2 0,2 12% 2,4 28% 5,6 3 0,3 6% 1,8 14% 4,2 Dobrý den. Kladno, 22. 3. 2007 21:35 Chtěl bych se všem omluvit za ten závěr přednášky. Bohužel mě chyba v jednom z příkladů vykolejila natolik, že jsem se již velice těžko soustředil na svůj výkon. Chtěl

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou)

ina ina Diskrétn tní náhodná veličina může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot (počet aut v náhodně vybraná domácnost, výsledek hodu kostkou) Náhodná velčna na Výsledek náhodného pokusu, daný reálným číslem je hodnotou náhodné velčny. Náhodná velčna je lbovolná reálná funkce defnovaná na množně elementárních E pravděpodobnostního prostoru S.

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA

GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA GENEROVÁNÍ NÁHODNÝCH ČÍSEL PSEUDONÁHODNÁ ČÍSLA Oblasti využití generátorů náhodných čísel Statistika Loterie Kryptografie (kryptologie) Simulace Simulační modely DETERMINISTICKÉ STOCHASTICKÉ (činnost systému

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

Prediction Possibilities of Future Price Development of Liquid Investment Instruments and Quantification of a Percent Advantage

Prediction Possibilities of Future Price Development of Liquid Investment Instruments and Quantification of a Percent Advantage Prediction Possibilities of Future Price Development of Liquid Investment Instruments and Quantification of a Percent Advantage Možnosti predikce budoucího vývoje cen likvidních investičních instrumentů

Více

Energie elektrického pole

Energie elektrického pole Energe elektrckého pole Jž v úvodní kaptole jsme poznal, že nehybný (centrální elektrcký náboj vytváří v celém nekonečném prostoru slové elektrcké pole, které je konzervatvní, to znamená, že jakýkolv jný

Více

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen společnost) stanoví k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen osvědčení) následující

Více

Jak se bránit rizikům při investování? Alena Zelinková Jan D. Kabelka

Jak se bránit rizikům při investování? Alena Zelinková Jan D. Kabelka Jak se bránit rizikům při investování? Alena Zelinková Jan D. Kabelka Obsah Co je riziko? Rizika dluhových instrumentů Rizika akciových trhů Jak s nimi pracovat? Co je riziko? Riziku se nelze vyhnout!

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více