AUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace

Transkript

1 AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace

2 Kontextové uzávěrové vlastnosti (1) kontextové jazyky jsou uzavřené na konečná sjednocení kontextové gramatiky G 1 =(V N1, V T, S 1, P 1 ) a G 2 =(V N2, V T, S 2, P 2 ), kde V N 1 V N2 = položme G = (V N 1 V N2 {S }, V T, S, P1 P2 {S S 1 S 2 }) S je nový neterminál ošetřit přepis původních počátečních symbolů na λ platí L(G) = L(G 1 ) L(G 2 ) kontextové jazyky jsou uzavřené na konkatenaci položme G = (V 1 N V N2 {S }, V T, S, P 1 P 2 {S S 1.S 2 }) S je nový neterminál ošetřit přepis původních počátečních symbolů na λ platí L(G) = L(G 1 ).L(G 2 ) kontextové jazyky jsou uzavřené na iteraci položme G = (V N1 {S, S }, V T, S, P 1 {S λ S, S S S 1 S 1 }) S, S jsou nové neterminály je třeba dávat pozor na výskyt počátečního neterminálu vpravo (u bezkontextových netřeba) platí L(G) = L(G 1 )* kontextové jazyky jsou uzavřené na zrcadlový obraz položme G = (V N1, V T, S 1, {v R w R v w P 1 }) platí L(G) = L(G 1 ) R 2 Automaty a gramatiky 11

3 Kontextové uzávěrové vlastnosti (2) kontextové jazyky jsou uzavřené na kontextovou substituci substituce f: X 2 Y* je kontextová substituce, jestliže f(x) je kontextový jazyk pro každé x X máme G x = (V Nx, Y, S x, P x ), že f(x) = L(G x ) pro každé x X V Nx jsou po dvou disjunktní mějme G = (V N, X, S, P), zajímá nás kontextovost f(l(g)) položíme G = (V N x X V N x X, Y, S, P x X P x {x S x x X}) případně ošetříme přepis neterminálů jiných než S na λ platí L(G ) = f(l(g)) kontextové jazyky jsou uzavřené na doplňky a konečné průniky velmi hluboký výsledek (řešilo se asi 20 let) věta Immerman Szelepcsényi 3 Automaty a gramatiky 11

4 Turingův stroj (1) Turingův stroj automat, který může přepisovat pásku páska je potenciálně nekonečná v konečném čase stroj použije její konečnou část historická vsuvka 30. léta 20. století konečná výpočetní zařízení, formalizace algoritmu a problému Turingův stroj, λ-kalkulus, RAM (random access machine) osobnosti Turing, Kleene, Markov, Post, Church Churchova hypotéza (metavěta) všechna konečná výpočetní zařízení jsou ekvivalentní, tj. ekvivaletní Turingovu stroji nedokázáno ani nevyvráceno 4 Automaty a gramatiky 11

5 Turingův stroj (2) Turingův stroj formálně T = (Q, X, δ, q 0, b, F) Q - konečná neprázdná množina stavů X - konečná neprázdná množina symbolů (abeceda) F Q - množina přijímajících stavů δ: (Q-F) X Q X {-1, 0, +1} přechodová funkce pro stav a čtený symbol dává nový stav, symbol k zápisu a následující pozici na pásce v přijímajícím stavu výpočet končí q 0 Q - počáteční stav b X - symbol pro prázdnou buňku na pásce předpoklady páska je směrem doprava nekonečná vstupní slovo je napsané na levém konci pásky zprava doplněné symbolem b do nekonečna páska počáteční pozice je na prvním písmenu vstupního slova x X q Q 5 Automaty a gramatiky 11

6 Výpočet Turingova stroje konfigurace Turingova stroje trojice (u,q,v), kde u,v X* a q Q u.v je slovo na nejmenší souvislé části pásky obsahující symboly b a čtenou buňku u je část vlevo od aktuální čtené pozice (kromě) v je část vpravo od aktuální čtené pozice (včetně) změna konfigurace (u,q,v) na (w,p,z), jestliže (i) v = x.v pro x X, w = u, z = y.v a δ(q,x)=(p,y,0), nebo žádný posun (ii) v = x.v pro x X, w = u.y, z = v a δ(q,x)=(p,y,+1), nebo posun doprava (iii) u= u.x, v = x.v pro x,x X, w = u, z = x.y.v a δ(q,x)=(p,y,-1) posun doleva zapisujeme (u,q,v) T (w,p,z) nutno ošetřit případy, kdy u=λ změna konfigurace na konečně mnoho kroků (u,q,v) T * (w,p,z) (u,q,v) b b (ii) b b b b u X* u u v X* q Q w x q Q y v v z = v p Q b b b (u,q,v) b b b (w,p,z) b b b 6 Automaty a gramatiky 11

7 Varianty Turingova stroje nedeterministický přechodová funkce bude nedeterministická 1. páska x 1 X δ: (Q-F) X 2 Q X {-1, 0, +1} pojem změny konfigurace se upraví místo δ(q,x) =... budeme mít δ(q,x)... vícepáskový (k pásek) δ: (Q-F) X k Q X k {-1, 0, +1} k případně δ: (Q-F) X k 2 Q X k {-1, 0, +1}k u nedeterministické varianty vstupní slovo na první pásce změna konfigurace analogicky multi-dimenzionální páska má několik rozměrů (například 2D, 3D) pohyb je možný ve všech směrech 2. páska... k. páska 2D q Q x k X x 2 X q Q 7 Automaty a gramatiky 11

8 Jazyky a Turingovy stroje slovo w (X-{b})* je přijímáno Turingovým strojem T = (Q, X, δ, q 0, b, F), jestliže (λ, q 0,w) T * (u,f,v) pro u,v X* a f F někdy je vyžadováno smazání pásky, tj. (λ, q 0,w) T * (λ,f,b) jazyk L(T) přijímaný Turingovým strojem T L(T) = { w w (X-{b})* ( f F) (λ, q 0,w) T * (u,f,v) } jazyky přijímané Turingovými stroji jsou právě rekurzivně spočetné jazyky (typu 0) [recursively enumerable language] platí s libovolnou variantou Turingova stroje (více pásek, více dimenzí, s nedeterminismem) všechny varianty TS mají stejnou výpočetní sílu lze se omezit na jednopáskový deterministický 8 Automaty a gramatiky 11

9 Turingův stroj gramatika mějme deterministický jednopáskový TS T = (Q, X, δ, q 0, b, F) hledáme gramatiku G=(V N,X,S,P) (bez omezení), že L(G) = L(T) G vygeneruje pásku s prostorem pro výpočet a kopii vstupního slova, simuluje výpočet T nad vygenerovanou páskou (páska obsahuje zracadlový obraz vstupu) V N = { X x x X } { Q q q Q } {S, I, B, E} I pomocný neterminál pro generování w X* a w R, B pro generování prostoru na simulované pásce, E pro mazání simulační pásky pravidla P zahájení S I Q q 0 B I x I X x B pro x X generování slova w a jeho kopie w R B X b B X b generování volného prostoru simulace výpočtu nad w R X x Q q X y X z Q p X y když δ(q,x)=(p,z,0) X x Q q X y Q p X z X y když δ(q,x)=(p,z,+1) X x Q q X y X z X y Q p když δ(q,x)=(p,z,-1) mazání pásky nechť w = x 1 x 2...x n derivace: S G *... x 1 x 2...x n I X x n X xn-1...x x1 Q q0 B G x 1 x 2...x n B X x n X xn-1...x x1 Q q0 B G*... x 1 x 2...x n X b...x b X x n X xn-1...x x1 Q q0 X b...x b G *... x 1 x 2...x n u Q f v pro u,v {X x x X}* a f F G x 1 x 2...x n u E v G *... x 1 x 2...x n E v G * x 1 x 2...x n E G * x 1 x 2...x n Q f E pro f F X E E pro X V N E X E pro X V N E λ 9 Automaty a gramatiky 11

10 Gramatika Turingův stroj mějme gramatiku (bez omezení) G=(V N,V T,S,P) hledáme TS T = (Q, X, δ, q 0, b, F), že L(T) = L(G) pracné po technické stránce, ukážeme abstraktně konstrukce, z nichž na vyšší úrovni sestavíme T TS T 1, že L(T 1 ) = {#u#v# u,v X* u G v }, # V N V T na všech možných místech v u je vyzkoušena aplikace všech pravidel G TS T 2, že L(T 2 ) = { w ( n N 0 ) w = #u 1 #u 2 #...#u n # u 1,...,u n (V N V T )* u 1 G u 2 u 2 G u 3... u n-1 G u n } T 2 bude založen na T 1 TS T 3 generující systematicky všechna slova nad V N V T {#} začínající #S# T 3 vstupní slovo přepíše na následující slovo spojením T 2 a T 3 vznikne požadovaný TS T vstup: z V T * na volné místo na pásce zapiš w = #S# loop if w L(T 2 ) then if w končí #z# then přijmi z w výsledek práce T 3 nad w 10 Automaty a gramatiky 11

11 Kódování, slova a čísla kódování různých datových typů vysoké úrovně na nižší úrovni jen řetězce nebo přirozená čísla ASCII či Unicode řetězce jsou reprezentovány posloupností bitů, tj. slovy nad {0, 1} slova nad {0, 1} lze interpretovat jako přirozená čísla interpretace b n-1...b 1 b 0 = b i 2 i + 2 n, kde b i {0,1} pro i=0,1,...,n-1 máme pojem i-tého řetězce pro i N analogicky pro bitmapové obrázky obrázek kódování jako binární řetězec číslo máme pojem i-tého obrázku program je jen vhodně interpretovaný řetězec máme i-tý program (respektive i-tý Turingův stroj) program + bitmapové obrázky = počítačová hra máme i-tou hru důkaz je posloupnost výrazů i-tý důkaz Př.: binární řetězec binární řetězec binární řetězec 11 Automaty a gramatiky 11

12 Množiny konečné a nekonečné konečná množina K Př.: {a, b, c} je konečná množina kardinality 3 počet jejích prvků - kardinalita je číslo N 0 neexistuje vzájemně jednoznačné zobrazení mezi K a její 12 Automaty a gramatiky 11 vlastní podmnožinou nekonečná množina N existuje vzájemně jednoznačné zobrazení mezi N a její vlastní podmnožinou spočetná množina S existuje vzájemně jednoznačné zobrazení mezi S a N spočetné množiny jsou nekonečné Př.: N je nekonečná Př.: celá čísla Z 0 1 -i 2i i 2i+1...

13 Enumerace a jazyky (1) enumerace množiny M je vzájemně jednoznačné zobrazení mezi M a N máme tedy enumeraci řetězců, programů, obrázků,... lze enumerovat jazyky na danou abecedou X (={0,1})? nikoli pro spor předpokládejme, že jazyky nad {0, 1} enumerovat lze máme tedy pojem i-tého jazyka, označme jazyky L i pro i N položme L = { w w {0,1}* w je i-tý binární řetězec w L i } L je nad {0, 1}, mělo by se tedy jednat o j-tý jazyk pro jisté j N uvažme j-tý binární řetězec v a otázku, zda v L když v L, pak v L podle definice L když v L, pak v L podle definice L 13 Automaty a gramatiky 11

14 Enumerace a jazyky (2) byla použita diagonalizace překlopíme hodnoty na diagonále nová diagonála nemůže být řádkem s každým řádkem se v jedné buňce liší předpoklad, že jazyky nad {0,1} lze enumerovat, byl chybný jazyky řetězce máme více jazyků než programů (Turingových strojů) existují jazyky, pro které nemáme program (Turingův stroj), který je přijímá nikoli všechny jazyky jsou rekurzivně spočetné nekonstruktivní přístup jak takový jazyk vypadá? Automaty a gramatiky 11