HISTORIE ROVNIC. x x = 15. ( ) x = 10.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "HISTORIE ROVNIC. x + 1 4 x = 15. ( 2 3 + 1 10 ) x = 10."

Transkript

1 HISTORIE ROVNIC Historie matematiky nám poskytuje velké množství zajímavých úloh, které dnes řešíme pomocí rovnic. Tento text chápejme hlavně jako sbírku takovýchto úloh, které můžeme využít při výuce matematiky na základní nebo střední škole k motivaci žáků, k oživení výuky nebo prostě k procvičení učiva o rovnicích. V textu se omezíme na úlohy vedoucí na lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Nejsou zde zařazeny úlohy na diofantovské rovnice, ty jsou sice zajímavé, ale nejsou běžnou součástí výuky matematiky ani na středních školách. Musíme si uvědomit, že v minulosti byly úlohy o rovnicích řešeny často úplně jinými postupy než dnes, někde tyto postupy naznačíme. Dále si musíme uvědomit, že se v minulosti bud užívala zcela jiná matematická symbolika, obvykle těžkopádnější než dnes, nebo se kromě symbolů pro čísla neužívala žádná symbolika, takže se veškeré úvahy při řešení rovnic často zapisovaly slovně.. ROVNICE VE STAROEGYPTSKÉ MATEMATICE Nejdůležitějším zdrojem našich poznatků o matematice ve starém Egyptě jsou dva dochované čistě matematické papyry. Prvním z nich je Rhindův papyrus, někdy se také nazývá Londýnský nebo Ahmosův papyrus. Je to sbírka 87 úloh s návody a řešeními, dochovaný opis tohoto papyru pochází zřejmě z 6. století př. n. l. Druhým z nich je Moskevský papyrus, který obsahuje 25 úloh a pochází patrně ze 7. století př. n. l. V těchto dvou papyrech se objevují úlohy, které můžeme řešit lineárními rovnicemi. Jsou to většinou úlohy požadující určit neznámé množství, které splňuje nějaké dané podmínky. Řešení těchto úloh lze považovat za počátky algebry. V papyrech jsou obvykle řešeny metodou chybného předpokladu nebo přímým dělením. V Rhindově papyru nalézáme například úlohu: Hromada a její čtvrtina dávají dohromady 5. V naší symbolice můžeme tuto úlohu zapsat jednoduchou lineární rovnicí x + 4 x = 5. V papyru je úloha řešena metodou chybného předpokladu. Řešitel nejprve předpokládá, že hledané množství je rovno čtyřem, protože jednu čtvrtinu ze čtyř vypočítá snadno. Dosazením čísla 4 za x do levé strany rovnice dostane číslo 5, na pravé straně rovnice je ovšem číslo 5, to je číslo třikrát větší než 5. Tudíž musí chybný předpoklad 4 násobit třemi. Potom získá x = 2. Rhindův papyrus obsahuje další tři podobné úlohy, které můžeme zapsat lineárními rovnicemi: x + 7 x = 9, kde x = 6 2 8, x + 2 x = 6, kde x = 0 2 3, x + 5 x = 2, kde x = 7 2. Metodou přímého dělení je v Rhindově papyru řešena úloha, kterou můžeme zapsat rovnicí ( ) x = 0. Zde řešitel výsledek získá tak, že číslo 0 dělí číslem a dostane x = Stejnou metodou jsou řešeny také další úlohy Rhindova papyru, které bychom my zapsali rovnicemi:

2 x + ( ) x = 33, kde x = 4 4 x + ( ) x = 2, kde x = 6 x + ( ) x = 37, kde x = 6 x + ( ) x = 0, kde x = 5 2 3x + 3 x =, kde x = 5 0, 3x + ( ) x =, kde x = 4 3x + ( ) x =, kde x = 4 3x + 7 x =, kde x = , , , 7 4, , 32, V Rhindově papyru se vyskytuje také jedna obtížnější úloha, která vede na rovnici (x x) 3 (x + 2 x) = 0. 3 I když je papyrus na tomto místě poškozený, zdá se, že počtář upravil levou stranu rovnice a získal 0 9 x = 0, odkud x = 9. Další papyry obsahují ještě několik podobných úloh vedoucích na jednoduché lineární rovnice. V dochovaných papyrech se nikde neobjevují úlohy, které by vedly na úplnou kvadratickou rovnici. Pouze se v nich objevují dvě úlohy vedoucí na ryze kvadratickou rovnici. Jsou to úlohy, které bychom dnes zapsali takto: x 2 + y 2 = 00, y = ( ) x, kde x = 8, y = 6, 0x ( ) x = 20, kde x = ROVNICE VE STARÉ MEZOPOTÁMII Již v 8. století př. n. l. se v Mezopotámii řešily úlohy, které dnes řešíme pomocí lineárních rovnic a jejich soustav. V té době téměř úplně chyběla matematická symbolika a místo algebraické terminologie se většinou používala geometrická terminologie, protože původ většiny úloh je geometrický. Neznámé veličiny byly označovány jako délka, šířka, výška nebo hloubka, součin dvou neznámých jako plocha, obsah nebo čtverec délky nebo čtverec šířky, součin tří neznámých byl obvykle označován jako objem. I přes geometrický původ úloh není dodržován princip homogenity a v úlohách se často sčítají délky, šířky, obsahy, objemy a bezrozměrné konstanty. Algoritmus řešení nelze u řady úloh určit, protože tabulky obsahují jen zadání a někdy výsledek. Úlohy byly patrně řešeny postupnou eliminací neznámých, substitucí nebo metodou chybného předpokladu. V Mezopotámii se užívala k zápisu čísel šedesátková poziční soustava. Dnešní záznam mezopotámských čísel v této soustavě užívá konvence, kdy jsou jednotlivé řády od sebe odděleny čárkou a celá část čísla je od šedesátinných zlomků oddělena středníkem. Například zápis (, 2, 3; 4, 5) označuje číslo

3 Jedna z klínopisných tabulek obsahuje úlohu: Nalezl jsem kámen, ale neznám jeho hmotnost. Poté, co jsem přidal 7 a ještě mina. Jaká byla původní hmotnost kamene? (viz [2], str. 258) toho všeho, je to () Vezmeme-li v úvahu, že mina se rovnala 60 gin, pak můžeme úlohu v naší symbolice zapsat rovnicí Řešením je x = 48 8 = (48; 7, 30) gin. (x + 7 x) + (x + x) = Stejná tabulka obsahuje další úlohy, které můžeme vyjádřit v dnešní symbolice rovnicemi: (x 7 x) 3 (x 7 x) = 60, kde x = , (x 7 x) + (x 7 x) 3 [(x 7 x) + (x 37 7x)] = 60, kde x = 69 72, (6x + 2) (6x + 2) = 60, kde x = 4 3, (8x + 3) (8x + 3) = 60, kde x = 4 2. Na soustavu lineárních rovnic vede například úloha, kterou lze formulovat takto: Máme dvě pole. Z plošné jednotky bur prvního pole se sklidí 4 gur obilí, z plošné jednotky bur druhého pole se sklidí 3 gur obilí. Sklizeň z prvního pole převyšuje sklizeň z druhého pole o (8, 20) = 500 síla. Součet ploch obou polí je (30, 0) = 800 sar. Jaké jsou výměry obou polí? Platí bur = 800 sar a gur = 300 síla. Označíme-li výměry polí x, y, pak můžeme tuto úlohu vyjádřit soustavou lineárních rovnic 2 3 x 2 y = 500, x + y = 800. Výměry polí jsou 200 a 600 sar. V klínopisné tabulce je úloha řešena metodou chybného předpokladu, kdy se uvažuje stejná výměra obou polí, tj. 900 sar. Obdobná je úloha: Součet výměr dvou polí dává 30 čtverečných jednotek. Z nich sklidili (8, 20) měřic zrna. Určete výměru pole, když víte, že ze 30 čtverečných jednotek prvního pole sklízejí (20, 0) měřic zrna a ze 30 čtverečných jednotek druhého pole sklízejí (5, 0) měřic zrna. (viz [5], str. 28) Označíme-li výměry polí x, y, pak můžeme tuto úlohu vyjádřit soustavou lineárních rovnic 40x + 30y = 00, Výměry polí jsou 20 a 0 čtverečných jednotek. x + y = 30. V matematice staré Mezopotámie se objevují také úlohy vedoucí na úplné kvadratické rovnice nebo častěji na soustavu lineární a kvadratické rovnice. Mezopotámští matematici se nedopracovali k obecnému řešení kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0, a 0, které by odpovídalo dnes všeobecně užívanému vzorci. To bylo dáno tím, že kořenem rovnice mohla být jen kladná čísla. Z tohoto omezení vyplynulo, že rozpracovali řešení jen některých typů kvadratických rovnic, kde byla zaručena existence kladného kořene. Rovněž nedospěli k poznatku, že kvadratická rovnice může mít dva kořeny. 3

4 Řešili následující typy kvadratických rovnic: x 2 + q = px, x 2 = px + q, x 2 + px = q, ax 2 + bx = c, kde p, q, a, b, c > 0. Kromě toho řešili také úlohy, které vedou na některé speciální případy rovnic třetího a čtvrtého stupně. 3. ROVNICE V MATEMATICE STARÉHO ŘECKA Po objevu nesouměřitelnosti a vzhledem ke geometrickému charakteru řecké matematiky se rovnice řešily geometricky pomocí tzv. řecké geometrické algebry. Tímto způsobem Řekové řešili rovnice následujících typů: ax = b 2, ax = bc, x 2 = ab, ax x 2 = b 2, b < a 2, ax + x 2 = b 2, x 2 ax = b 2, kde vždy a, b, c > 0. Nebudeme řecké metody jejich řešení nyní rozebírat. Důležitým řeckým příspěvkem k řešení rovnic je spis Aritmetika, jehož autorem je významný řecký matematik Diofantos. Tento spis pochází ze 3. století n. l. Diofantos v tomto spise poprvé v historii zavádí algebraickou symboliku. Především zavádí poprvé v historii matematiky symbol pro neznámou, který měl přibližně podobu S. Dále zavedl speciální symboly pro mocniny neznámé až do šesté mocniny a symbol pro operaci odčítání. Také zde formuloval následující pravidla pro řešení rovnic: ) stejné odečíst od stejného tak, aby na každé straně rovnice zůstal jen jeden člen jistého stupně, 2) přičíst záporné členy k oběma stranám rovnice tak, aby na obou stranách rovnice zůstaly jen kladné členy. Z určitých rovnic se zabýval hlavně řešením lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav. Velkou část svého spisu věnoval řešení neurčitých rovnic, které se také po něm nazývají diofantovské rovnice. Metrodoros Metrodoros žil patrně ve 4. stol. n. l. (některé prameny kladou jeho život do 6. století). Je označován za autora sbírky epigramů Anthologia Palatina, která obsahovala 46 matematických úloh, které vedou na lineární rovnice nebo jejich soustavy. Uvedeme některé z těchto úloh. 4

5 Pythagore vznešený, helikónských múz potomku, na mou odpověz otázku, kolik věrných žáků máš ve svém domě, kde jako borci na závodišti usilují o prvenství? Rád povím Polykrate. Vidíš, že polovina žáků pěstuje matematiku, a zatím čtvrtina na věčnou přírodu své zkoumání obrací. Sedmina nedělá nic, jen mlčení zachovává, jen své duše očišt uje, víš, opakováním učiva. A přidej k nim tři ženy, které nevstávají tak brzy, mezi nimi nejvýznamnější je má milovaná Teano. Hle, a to jsou všichni, které vedu cestou moudrosti a snad i múz pierijských jim zjednám lásku boží. (viz [5], str. 75) Označíme x počet žáků. Úloha vede na rovnici ze které dostaneme, že žáků bylo x + 4 x + 7 x + 3 = x, Když Kyprida spatřila, že Erós pláče, zeptala se ho: Co tě tak roztesknilo, mohu to vědět? Šel jsem z Helikónu a nesl jsem mnoho jablek, říká Erós, ale potom mne náhle přepadly Múzy a zmocnily se sladké nůše. Dvanáctinu v mžiku popadla Euterpé, Kleió si oddělila pětinu, Thaleia osminu. Dvacátý díl pro sebe zabrala Malpomené a čtvrtinu Terpsichoré. Sedminu uchvátila a jak přelud zmizela Erató. Třicet plodů si vzala Polymnia. Sto dvacet se jich dostalo Uránii a tři sta Kalliopé. A tak se vracím domů s prázdnýma rukama, zbylo mi jen půl stovky jablek. (viz [5], str. 76) Označme x počet jablek. Úloha vede na rovnici 2 x + 5 x + 8 x + 20 x + 4 x + x = x 50, 7 z níž dostaneme, že Erós měl původně 3360 jablek. Ukovej mi korunu a smíchej dohromady zlato s mědí, vezmi k tomu také ještě cín a namáhavě připravené železo. At to váží šedesát min. Zlato a měd at váží dvě třetiny celku, zlata s cínem at jsou naopak tři čtvrtiny, ale zlato a železo dohromady at váží tři pětiny. Nuže nyní mi přesně řekni, kolik zlata musíš vzít a mědi, abys dosáhl oné směsi, jakou váhu cínu a jakou konečně železa, abys ukoval korunu přesně ze šedesáti min. (viz [6], str. 46) Označme a, b, c, d po řadě hmotnosti zlata, mědi, cínu a železa. Úloha vede k soustavě rovnic a + b + c + d = 60 a + b = 40 a + c = 45 a + d = 36 ze které dostaneme, že k ukování koruny se použilo 30,5 miny zlata, 9,5 miny mědi, 4,5 miny cínu a 5,5 miny železa. Vezmi si pětinu dědictví, můj synu, ale tobě, ó manželko, bude dvanáctina podílem. Pak synové zemřelého dítěte, čtyři do počtu, oba bratři, matka, každý at si z mých peněz odebere jedenáctinu. Dvanáct talentů mají milí bratranci obdržet a drahý přítel Eubolos at si vezme pět. Svobodu a náhradu at obdrží věrné služebnictvo, mzdu za vykonané služby; dávám jim toto: pět a dvacet min at dědí Onesimos, ty, můj Daosi, můžeš se potěšit z dvaceti, padesát at obdrží Syros, deset Synete, Tibios osm, Synetos, syn Syrosův, bude mít sedm jako podíl. 5

6 Třicet talentů pak vezměte na ozdobení hrobu a tím obětujte bohu podsvětí; dva at jsou na hranici, jídlo a plátno, a dva at jsou na ozdobení těla. ( talent = 60 min) (viz [6], str. 50) Označme x hodnotu celého dědictví v talentech. Úloha vede na rovnici 5 x + 2 x + 7 x ( ) = x, 60 ze které dostaneme, že celé dědictví obnášelo 660 talentů. Těžce naložena vínem šla oslice s mezkem. A oslice sténala velice silně pod tíží nákladu. Její společník to viděl a řekl vzdychajícímu zvířeti: Matko, pročpak naříkáš jako plačící holčička? Kdybys mi dala jednu libru, nesl bych dvakrát tolik, jako ty neseš; když mi jednu vezmeš, poneseme oba stejně. Vypočítej mi, ó matematiku, kolik každý nesl. (viz [6], str. 58) Označme x počet liber, které nesl mezek a y počet liber, které nesla oslice. Úloha vede k soustavě rovnic 2(y ) = x + x = y +, z níž dostaneme, že mezek nesl 7 liber a oslice 5 liber. Jsou čtyři fontány. První naplní nádrž za den, druhá za dva, třetí za tři a čtvrtá za čtyři dny. Jakpak dlouho to trvá, jsou-li všechny otevřené? (viz [6], str. 52) Odpověd je 2 25 dne. Pohled, jak stojí tu bronzový Kyklop Polyfémos. Jak dovedně mu kovář zhotovil oko a ústa a ruku, ukryv mu do nich trubky. Věru vypadá ten obr úplně jako by z něj lilo! Ještě ted mu proudí z úst pramen. Trubky jsou takto uspořádané: nádrž se naplní trubkou v ruce, když tři dny teče, jeden stačí oku, dvě pětiny stačí ústům. Kdo může říci čas, který potřebují ve třech? (viz [6], str. 52) Odpověd je 6 23 dne. 4. ROVNICE V ČÍNSKÉ MATEMATICE Nejstarším dochovaným čínským matematickým pojednáním je spis Matematika v devíti knihách, který vznikl patrně v prvních staletích našeho letopočtu. Obsahuje 246 úloh a jejich řešení, mezi nimi jsou i úlohy vedoucí na lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Uved me některé z nich. Příkladem úlohy, kterou dnes řešíme jednou lineární rovnicí je následující úloha: Vodní nádrž má pět přívodních struh. Jestliže otevřeme jen první z nich, nádrž se naplní za třetinu dne, když jen druhou, naplní se za den, když jen třetí - za dva a půl dne, když jen čtvrtou - za tři dny, když jen pátou - za pět dní. Za kolik dní se nádrž naplní, když otevřeme všechny přívodní strouhy? (viz [5], str ) Označíme-li x hledaný časový úsek, pak tato úloha vede k řešení rovnice ( ) x =, jejímž kořenem je x = Dále uved me tři úlohy, které dnes řešíme soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Ve spise Matematika v devíti knihách jsou řešeny metodou dvou falešných předpokladů. 6

7 Několik lidí společně kupuje berana. Když každý přispěje pěti penízi, bude chybět 45 penízů do ceny berana. Když každý přispěje sedmi penízi, budou chybět tři peníze. Kolik je lidí a jakou cenu má beran? (viz [5], str. 93) Označíme-li x počet lidí a y cenu berana, pak úloha vede k řešení soustavy 5x + 45 = y 7x + 3 = y, z níž dostaneme, že lidí bylo 2 a beran stál 50 penízů. Určete počet kupujících a cenu kupovaného předmětu. Jestliže každý kupující zaplatí 9 penízů, bude přebývat penízů, jestliže každý zaplatí 6 penízů, pak se nedostane 6 penízů. (viz [3], str. 34) Označíme-li x počet lidí a y cenu předmětu, pak úloha vede k řešení soustavy 9x = y 6x + 6 = y, z níž dostaneme, že lidí bylo 9 a předmět stál 70 penízů. Váha devíti zlatých prutů se rovná váze jedenácti stříbrných prutů. Při záměně zlatého a stříbrného prutu bude zlato lehčí o 3 lang. Určete váhu zlatého a stříbrného prutu. (viz [3], str ) Označme x váhu zlatého prutu a y váhu stříbrného prutu, pak úloha vede k řešení soustavy odkud x = , y = x = y 8x + y + 3 = 0y + x, Ve spise Matematika v devíti knihách se objevují také úlohy vedoucí k řešení soustav lineárních rovnic o třech až pěti neznámých. Velice zajímavá je skutečnost, že takové úlohy jsou v tomto spise řešeny pomocí matic. Uvedeme na ukázku tři z těchto úloh. Ze tří snopů dobré úrody, dvou snopů průměrné úrody a jednoho snopu špatné úrody získali 39 měr zrna. Ze dvou snopů dobré úrody, tří snopů průměrné úrody a jednoho snopu špatné úrody dostali 34 měr zrna. Z jednoho snopu dobré úrody, dvou snopů průměrné úrody a tří snopů špatné úrody získali 26 měr zrna. Kolik měr zrna dostali z každého snopu dobré, průměrné a špatné úrody? (viz [3], str. 4) Označme x, y, z po řadě hledané veličiny, pak dostaneme soustavu rovnic ze které dostaneme, x = 9 4, y = 4 4, z = x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 7

8 Dvěma snopům z dobré úrody, třem snopům z průměrné úrody a čtyřem snopům ze špatné úrody se do tou (měřice) nedostává v uvedeném pořadí snop z průměrné úrody, snop ze špatné úrody a snop z dobré úrody. Ptáme se kolik (zrní) získáme z každého snopu z dobré, průměrné a špatné úrody? (viz [3], str. 45) Úloha vede k soustavě ze které dostaneme, x = 9 25, y = 7 25, z = x = y 3y = z 4z = x Při prodeji 2 buvolů, 5 ovcí a koupi 3 vepřů zůstalo 000 čchien, při prodeji 3 buvolů a 3 vepřů stačily peníze přesně na koupi 9 ovcí a při prodeji 6 ovcí a 8 vepřů koupili 5 buvolů a nedostalo se 600 čchien. Určete cenu buvola, ovce a vepře. (viz [3], str. 46) Označme x cenu buvola, y cenu ovce, z cenu vepře, pak dostaneme soustavu rovnic ze které dostaneme, x = 200, y = 500, z = x + 5y 3z = 000 3x 9y + 3z = 0 5x + 6y + 8z = 600 Ve spise Matematika v devíti knihách se objevují také úlohy vedoucí na kvadratické rovnice. Většinou mají původ v geometrii, v některých se používá Pythagorova věta a jsou řešeny doplněním na čtverec. Vždy mají jediné kladné řešení, o existenci druhého kořene kvadratické rovnice se spis nezmiňuje. Uvedeme si dvě z těchto úloh: Určete strany obdélníka, je-li jejich rozdíl 6,8 a úhlopříčka je 0. (viz [3], str. 55) Úloha vede k soustavě Strany obdélníka jsou 2,8 a 9,6. x y = 6, 8 x 2 + y 2 = 0. Uprostřed každé strany města čtvercového půdorysu je brána. Ve vzdálenosti 20 pu na sever od severní brány stojí sloup. Jestliže se vzdálíme od jižní brány o 4 pu na jih a zabočíme o 775 pu na západ, dostaneme se na místo, z něhož sloup začíná být vidět. Jaká je délka strany čtverce? (viz [3], str. 57) Je-li x délka strany čtverce, pak z podobnosti trojúhelníků dostaneme rovnici z níž dostaneme kvadratickou rovnici Strana čtverce je 250 pu x 775 = 20 x, x x 7000 =

9 5. ROVNICE V INDICKÉ MATEMATICE Několik zajímavých úloh, které se řeší pomocí rovnic, se dochovalo v dílech indického matematika, který se jmenoval Bháskara II. (4-78). Uvedeme některé z nich. Ze svazku čistých lotosů byly jedna třetina, pětina, resp. šestina postupně obětovány bohům Šivovi, Višnovi či Šúrjovi a čtvrtina byla obětována Bhavanimu. Zbývajících šest bylo darováno vysoce váženému hodnostáři. Rychle mi řekni, kolik bylo lotosů? (viz [3], str. 25) Označíme počet lotosů x, pak danou úlohu můžeme řešit rovnicí x 3 + x 5 + x 6 + x = x, odkud dostaneme x = 20. Bháskara tuto úlohu řeší metodou falešného předpokladu, kdy za počet lotosů volí číslo 60, což je nejmenší společný násobek jmenovatelů 3, 4, 5, 6. Po dosazení tohoto čísla do zadání zbývají tři lotosy a ne 6, jak je požadováno v textu úlohy, proto je řešením číslo = 20. V další úloze se má určit majetek tří lidí, jestliže součet majetků prvního a druhého je 3, druhého a třetího 4, prvního a třetího 5. (viz [3], str. 25) Označme x, y, z po řadě majetky tří osob, pak úlohu můžeme řešit soustavou rovnic ze které dostaneme, x = 7, y = 6, z = 8. x + y = 3 y + z = 4 x + z = 5 Jinde se má určit majetek dvou osob, jestliže víme, že kdyby první osoba dostala od druhé 00, byla by dvakrát bohatší než druhá, a jestliže by druhá dostala od první 0, byla by šestkrát bohatší než první. (viz [3], str. 35) Úloha vede k soustavě x + 00 = 2(y 00) odkud x = 40, y = 70. y + 0 = 6(x 0), Stádo opic bavících se v háji se rozdělilo na dvě části. Čtverec osminy jejich počtu se bavil skákáním ve větvích. Dvanáct opic vítalo radostným křikem tichý rozbřesk dne. Kolik opic je celkem? (viz [3], str. 4) Označíme-li x počet opic, vede úloha k rovnici ( x 8 )2 + 2 = x, odkud dostaneme dvě hodnoty x, a to 48 a 6, obě vyhovují zadání. Jedna pětina stáda opic bez tří opic umocněná na druhou se schovává v jeskyni a je vidět jednu zbylou opici, která vylezla na strom. (viz [3], str. 4-42) Úloha vede k rovnici ( x 5 3)2 + = x. 9

10 která má dva kořeny, a to 50 a 5, ale Bháskara uvažuje jen kořen 50, protože pro x = 5 je číslo x 5 3 záporné, což podle něj nevyhovuje zadání. Další úlohy o rovnicích se objevují ve spisech indického matematika, jehož jméno bylo Mahávíra a který žil v 9. století n. l. Určete počet pávů, víme-li, že dvojmoc 6 hejna se nachází na mangovníkovém stromě, dvojmoc 9 zbytku sedí ještě se 4 pávy na tamalovém stromě. (viz [3], str. 40) Úloha vede k rovnici ( 6 x)2 + ( x)2 + 4 = x, která má dva kořeny. Zadání úlohy vyhovuje jen první z nich, to je x = 48. Druhý kořen není celočíselný. Během souboje kohoutů se jeden z diváků dohodl s jejich majiteli. Prvnímu řekl: Když zvítězí tvůj kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti dvě třetiny možné výhry. Druhému soupeři řekl: Když zvítězí tvůj kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti tři čtvrtiny možné výhry. V obou případech získá divák 2 penízů. Jakou výhru hohl získat každý majitel kohouta? (viz [5], str. 84) Označme x, y výhry obou majitelů kohoutů, pak dostaneme soustavu x 3 4 y = 2 odkud x = 42, y = 40. y 2 3 x = 2 Plody granátových jablek, manga a obyčejných jablek se prodávají po řadě: 3 kusy za 2 peníze, 5 kusů za 3 peníze, 7 kusů za 5 penízů. Jak lze za 76 penízů koupit takový počet plodů, že je v něm třikrát více plodů manga než obyčejných jablek a šestkrát více granátových jablek než obyčejných jablek? (viz [5], str. 84) Počty plodů granátových jablek, manga a obyčejných jablek označme po řadě x, y, z a sestavíme soustavu rovnic 2 3 x y + 5 z = 76, y = 3z, x = 6z. 7 Hledané počty jsou 70 granátových jablek, 35 kusů manga a 2 3 obyčejných jablek. Zde nás jistě zarazí necelý počet kusů obyčejných jablek. 6. ROVNICE VE STŘEDOVĚKÉ EVROPĚ V 7. století žil arménský matematik Anania Širakaci. V jeho spisech se objevují i následující úlohy, které se řeší rovnicemi. Jeden kupec projel třemi městy. V prvním městě utratil polovinu a třetinu majetku, ve druhém polovinu a třetinu toho, co mu zbylo, ve třetím polovinu a třetinu toho, co ještě měl. Když se vrátil domů, zbývalo mu grošů. Kolik grošů celkem měl na počátku? (viz [5], str. 95) 0

11 Označíme x počet grošů, které měl kupec na počátku, pak v prvním městě utratil celkem ( )x = 5 6 x a zbylo mu x 6. Ve druhém městě utratil ( ) 6 x = x = 5 36 x a zbylo mu x 5 6 x 5 36 x = 36x. Ve třetím městě utratil x = 5 26x. Dostaneme pak rovnici odkud x = x x + 5 x + = x, 26 V Aténách byl vodojem s třemi rourami. První mohla naplnit vodojem za hodinu, druhá za dvě hodiny, třetí za tři hodiny. Za jakou část hodiny mohly naplnit vodojem všechny tři roury společně? (viz [5], str. 96) Všechny tři roury naplní vodojem za 6 hodiny. Dále uvedeme několik úloh ze sbírky Úlohy k bystření mladíků. Tato sbírka pravděpodobně vznikla na dvoře Karla Velikého, který panoval v letech Za autora sbírky je považován anglosaský mnich Alkuin z Yorku (asi ). Tato sbírka obsahuje také všeobecně známou úlohu o převozníkovi, který má přes řeku přepravit vlka, kozu a zelí. My z této sbírky uvedeme úlohy, které vedou na lineární rovnici o jedné neznámé. Nějaký muž procházející se po cestě viděl jiné lidi jdoucí proti němu a řekl jim: Chtěl jsem, aby vás bylo bývalo ještě jednou tolik, kolik vás je, a polovina z poloviny (onoho dvojnásobku), a opět polovina poloviny (z poloviny onoho dvojnásobku), pak by vás bylo bývalo i se mnousto. At řekne, kdo chce, kolik jich bylo, které muž viděl. (viz [6], str. 28) Úloha vede na rovnici odkud x = 36. 2x x x + = 00, 2 Dva muži procházející po cestě viděli čápy a říkali si mezi sebou: Kolik jich je? Když se o jejich počtu poradili, řekli: Kdyby jich bylo ještě jednou tolik a ještě potřetí tolik a polovina třetiny (onoho trojnásobku), po přidání dvou by jich bylo sto. At řekne, kdo může, kolik jich bylo, které pocestní pozorovali. (viz [6], str. 28) Úloha vede na rovnici odkud x = 28. 3x + 2 3x + 2 = 00, 3 Nějaký muž potkal žáky a řekl jim: Kolik vás je ve škole? Jeden z nich mu odpověděl řka: Nechci ti to říci. Ty nás spočítej dvakrát, vynásob třemi, pak rozděl na čtyři části. Čtvrtina počtu, když přidáš mě samého, naplní číslo sto. At řekne, kdo může, kolik jich bylo, které muž potkal na procházce. (viz [6], str. 29) Úloha vede na rovnici odkud x = 66. 2x = 00,

12 Významným matematikem evropského středověku byl Leonardo Pisánský zvaný Fibonacci. Žil na přelomu 2. a 3. století. Mezi jeho díla patří také spis Liber abaci (Kniha o abaku), v něm se vyskytuje velké množství úloh vedoucích na lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Uvedeme z nich tři jednodušší úlohy. Lev sežere ovci za čtyři hodiny, leopard za pět hodin a medvěd za šest hodin. Za jak dlouho ji sežerou společně? (viz [], str. 283) Z rovnice ( ) x = dostaneme čas x = hodiny. Dá-li první druhému denár, budou mít stejně. Dá-li druhý prvnímu denár, bude mít první desetkrát tolik. (viz [], str. 283) Úloha vede na soustavu rovnic odkud x = 3 4 9, y = 4 9. x = y +, x + = 0(y ), Jestliže jeden člověk dostane od druhého 7 denárů, bude mít pětkrát více než druhý. Jestliže druhý člověk dostane od prvního 5 denárů, bude mít sedmkrát více než první. Kolik mají nyní? (viz [], str. 284) Úloha vede na soustavu rovnic odkud x = 7 2 7, y = x + 7 = 5(y 7), 7(x 5) = y + 5, Použitá a doporučená literatura: [] Bečvář, J. a kol.: Matematika ve středověké Evropě, edice Dějiny matematiky, 9. svazek, Prometheus, Praha 200. [2] Bečvář, J., Bečvářová, M., Vymazalová, H.: Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie, edice Dějiny matematiky, 23. svazek, Prometheus, Praha [3] Juškevič, A. P.: Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha 978. [4] Kolman, A.: Dějiny matematiky ve starověku, Academia, Praha 969. [5] Konforovič, A. G.: Významné matematické úlohy, SPN, Praha 989. [6] Mačák, K.: Tři středověké sbírky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, 5. svazek, Prometheus, Praha

strany jednoho pozemku rovnala třem čtvrtinám délky strany druhého pozemku.

strany jednoho pozemku rovnala třem čtvrtinám délky strany druhého pozemku. ÚLOHY ZE STAROEGYPTSKÉ MATEMATIKY 1) Jeden člověk vzal z pokladny jednu třináctinu. Druhý vzal jednu sedmnáctinu toho, co zbývalo. V pokladně ponechal 10. Kolik bylo v pokladně na počátku? 2) Celá hromada,

Více

STAROVĚKÁ ČÍNA. Nejstarší zprávy o matematice: 2. tisíciletí př. Kr. zkoumání kalendáře

STAROVĚKÁ ČÍNA. Nejstarší zprávy o matematice: 2. tisíciletí př. Kr. zkoumání kalendáře STAROVĚKÁ ČÍNA Nejstarší zprávy o matematice: 2. tisíciletí př. Kr. zkoumání kalendáře (většina obyvatel zemědělci správné určení doby setby a sklizně obilnin nezbytné) velké a malé měsíce po 30 a 29 dnech

Více

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost 1. Zjistěte vzorec posloupnosti 6; 3; 2; 3/2; 1,2; 1; 6/7; 3/4;... 2. V aritmetické posloupnosti z daných údajů vypočítejte naznačené hodnoty: a 4 = 11 a (a) 1 =? a 1 = 2 n =? a 5 = 14 d =? (d) d = 3 a

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108

ROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108 ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES

3.2 OBJEMY A POVRCHY TĚLES . OBJEMY A POVRCHY TĚLES Krychle, kvádr, hranol Dochované matematické texty ze starého Egypta obsahují několik úloh na výpočet objemu čtverhranných obilnic tvaru krychle; lze předpokládat, že stejným způsobem

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

g) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz?

g) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz? Téma : Výrazy, poměr (úprava výrazů, podmínky řešitelnosti, algebraické vzorce, hodnota výrazů, poměr, měřítko na mapě) Příklady Zápis výrazů ) Zapište jako výraz: a) součet trojnásobku libovolného čísla

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

56. ročník Matematické olympiády. tedy číslice 1, 2, a 3. Dále nám zbývají zlomky. Má-li být jejich součet co nejmenší,

56. ročník Matematické olympiády. tedy číslice 1, 2, a 3. Dále nám zbývají zlomky. Má-li být jejich součet co nejmenší, 6 ročník Matematické olympiády Komentáře k domácímu kolu kategorie Z8 1 Z číslic 1,2,,9 jsme vytvořili tři smíšená čísla a b c Potom jsme tato tři čísla správně sečetli Jaký nejmenší součet jsme mohli

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 VY_32_INOVACE_DUM.M.14 Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12 Autor: Mgr. Miroslav Páteček Vytvořeno: duben 2012 Klíčová slova: Matematika a její aplikace Početní operace s přirozenými

Více

Početní operace s přirozenými čísly

Početní operace s přirozenými čísly Početní operace s přirozenými čísly Autor: Jana Krchová Sčítání přirozených čísel Sčítej zpaměti: a) 35 + 15 + 60 12 + 18 + 20 + 14 b) 16 + 8 + 11 + 17 23 + 14 + 17 + 16 c) 45 + 12 + 5 + 18 107 + 23 +

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková

Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková. Adriana Vacíková VY_42_INOVACE_MA1_01-36 Název školy Základní škola Benešov, Jiráskova 888 Číslo projektu CZ.1.07/1.4.00/21.1278 Název projektu Pojďte s námi Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace a zkvalitnění

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Na obrázku jsou zakresleny dva

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA. Irena Sytařová DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA Irena Sytařová Vzdělávací oblast Rámcového vzdělávacího programu Matematika a její aplikace je rozdělena na čtyři tématické okruhy. V tématickém kruhu Číslo a proměnná si ţák

Více

1. Na stole jsou tři hromádky jablek. Na první je o třináct jablek méně než na druhé, na třetí hromádce je o osm

1. Na stole jsou tři hromádky jablek. Na první je o třináct jablek méně než na druhé, na třetí hromádce je o osm 1. Na stole jsou tři hromádky jablek. Na první je o třináct jablek méně než na druhé, na třetí hromádce je o osm jablek více než na první. Kolik jablek je dohromady na stole, víš-li, že na druhé hromádce

Více

Očekávaný výstup Zvládnutí řešení slovních úloh, vedoucích k sestavení dvou rovnic o dvou neznámých. Speciální vzdělávací potřeby.

Očekávaný výstup Zvládnutí řešení slovních úloh, vedoucích k sestavení dvou rovnic o dvou neznámých. Speciální vzdělávací potřeby. Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Ing. Renata Dupalová Datum 18.7.2014 Ročník 9. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace Vzdělávací obor Matematika

Více

2.3.17 Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I

2.3.17 Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I .3.7 Slovní úlohy vedoucí na soustavy rovnic I Předpoklady: 34 Pedagogická poznámka: Jak už bylo uvedeno dříve slovní úlohy tvoří specifickou část matematiky jednoduše proto, že nestačí sledovat dříve

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

STAROVĚKÝ EGYPT. Prameny

STAROVĚKÝ EGYPT. Prameny STAROVĚKÝ EGYPT Prameny nápisy na kamenech papyry Rhindův pyrus (XV. dynastie, kolem 1560 př. Kr., opis staršího spisu období 1853 až 1809 př. Kr.) Moskevký papyrus (XIII. dynastie, asi 1797 až 1634 př.

Více

4 Rovnice a nerovnice

4 Rovnice a nerovnice 36 Rovnice a nerovnice 4 Rovnice a nerovnice 4.1 Lineární rovnice a jejich soustavy Požadované dovednosti řešit lineární rovnice o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít lineární rovnice při řešení

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

Procenta. Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Procenta. Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Procenta Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Procenta U příkladů, kde se vyskytují procenta,

Více

Znění otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď C C B B C

Znění otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď C C B B C Matematické myšlení: Znění otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo 6 8 0. Které číslo doplníte místo 5 7 7 5 3. Které číslo doplníte místo 70 7 76

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R

a se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1

Více

1. otázka. 2. otázka = Ve které z následujících možností je výsledek uvedeného výpočtu? 3. otázka

1. otázka. 2. otázka = Ve které z následujících možností je výsledek uvedeného výpočtu? 3. otázka 1. otázka Paní Irena měla černé, bílé a černobílé kočky. elkově jich měla dvanáct. Z toho bylo šest černých a čtyři bílé. Jakou část z celkového počtu představují černobílé kočky? 2. otázka 24 + 12 3 5

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 15. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Přednáška trvala 80 minut a skončila

Více

MATEMATIKA 4. ročník 1. Část I. SLOVNÍ ÚLOHY

MATEMATIKA 4. ročník 1. Část I. SLOVNÍ ÚLOHY MATEMATIKA 4. ročník 1. Část I. SLOVNÍ ÚLOHY 1. Květ tulipánu stojí 8 korun. Ozdobná stuha je za 6 korun. Kolik korun stojí kytice s 5 tulipány se stuhou a beze stuhy? se stuhou: beze stuhy: Jakou kytici

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Železná trubka o délce 3 metry

Více

MATEMATIKA 9. TŘÍDA. 0,5 b. Umocnění výrazu (x 2) 2 : 3 hmotnosti nákupu a 2 kg. Kolik kilogramů. Nákup vážil 5

MATEMATIKA 9. TŘÍDA. 0,5 b. Umocnění výrazu (x 2) 2 : 3 hmotnosti nákupu a 2 kg. Kolik kilogramů. Nákup vážil 5 MATEMATIKA 9. TŘÍDA 1. Nechť M je součet druhých mocnin prvních tří přirozených čísel a N součet těchto tří přirozených čísel. Které z následujících tvrzení je pravdivé? (A) M + N = 17 (B) M = 4N (C) M

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září

Více

Matematika 5. ročník

Matematika 5. ročník Matematika 5. ročník Pátá třída (Testovací klíč: GSZGTH) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 26 Počítání s čísly / Slovní úlohy / Geometrie / 0/9 0/10 0/7 Obecná škola

Více

Rovnice s neznámou pod odmocninou a jejich užití

Rovnice s neznámou pod odmocninou a jejich užití Rovnice s neznámou pod odmocninou a jejich užití Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období

Více

součet druhé mocniny čísla zvětšeného o jedna a odmocniny z jeho trojnásobku

součet druhé mocniny čísla zvětšeného o jedna a odmocniny z jeho trojnásobku .7. Zápisy pomocí výrazů I Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje poměrně málo příkladů, protože se snažím, aby z ní všichni spočítali opravdové maximum. Postupujeme tedy pomalu a kontrolujeme

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Maminka má v peněžence 4 stokoruny,

Více

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7.

Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 7. Vzdělávací obsah Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo I. čtvrtletí 40 hodin Opakování učiva z 6. ročníku (14) Přesahy a vazby, průřezová témata v oboru

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Trojúhelník má jeden úhel tupý,

Více

MATEMATIKA. 3 hmotnosti nákupu a 2 kg. Kolik kilogramů. Nákup vážil 5. vážil celý nákup? (A) 4,25 kg (B) 4,5 kg (C) 5 kg (D) 5,25 kg 6.

MATEMATIKA. 3 hmotnosti nákupu a 2 kg. Kolik kilogramů. Nákup vážil 5. vážil celý nákup? (A) 4,25 kg (B) 4,5 kg (C) 5 kg (D) 5,25 kg 6. MATEMATIKA 9. třída. Nechť M je součet druhých mocnin prvních tří přirozených čísel a N součet těchto tří přirozených čísel. Které z následujících tvrzení je pravdivé? (A) M + N = 7 (B) M = 4N (C) M N

Více

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU

Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Nápovědy k numerickému myšlení TSP MU Numerické myšlení 2011/var. 01 26. Ciferné součty čísel v každém z kruhů mají tutéž hodnotu. Pozor, hledáme číslo, které se nehodí na místo otazníku. Jedná se o dvě

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_3_INOVACE_CH9_1_07 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

56. ročník Matematické olympiády

56. ročník Matematické olympiády 56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

Zlatý řez nejen v matematice

Zlatý řez nejen v matematice Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079

Více

Slovní úlohy v učivu matematiky 1. stupně základní školy

Slovní úlohy v učivu matematiky 1. stupně základní školy Slovní úlohy v učivu matematiky 1. stupně základní školy V každé matematické úloze jde o to, abychom dokázali platnost (pravdivost) nějakého výroku. Podle toho, o jaký výrok jde, máme různé druhy úloh.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

KoMáR - Řešení 5. série školní rok 2015/2016. Řešení Páté Série

KoMáR - Řešení 5. série školní rok 2015/2016. Řešení Páté Série Řešení Páté Série Úloha 1. Máte za úkol zaplnit následující útvar čísly od 1 do 13. Součet těchto čísel musí být v každé řadě trojúhelníků stejný. Je možné útvar takto zaplnit? Zdůvodněte své tvrzení.

Více

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová CHARAKTERISTIKA VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová Vyučovací volitelný předmět Cvičení z matematiky je zařazen samostatně na druhém

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Variace. Poměr, trojčlenka

Variace. Poměr, trojčlenka Variace 1 Poměr, trojčlenka Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Poměr Poměr je matematický zápis

Více

V jídelně jsou tři stoly se stejným počtem židlí. Celkem si k nim posedalo 18 dětí, žádná židle nezbyla prázdná. Kolik dětí sedělo u každého stolu?

V jídelně jsou tři stoly se stejným počtem židlí. Celkem si k nim posedalo 18 dětí, žádná židle nezbyla prázdná. Kolik dětí sedělo u každého stolu? Úloha 1 Ke každé z jednoduchých úloh přiřaď, jaký výpočet určuje správný výsledek úlohy. 18 : 3 = 18 + 3 = 18. 3 = 18-3 = V jídelně jsou tři stoly se stejným počtem židlí. Celkem si k nim posedalo 18 dětí,

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

MATEMATIKA MAMZD13C0T04

MATEMATIKA MAMZD13C0T04 MATEMATIKA MAMZD13C0T04 DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 12

Kód uchazeče ID:... Varianta: 12 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 12 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 10 % prosincové mzdy. Následně

Více

SEMINÁŘ K VÝUCE MATEMATIKA 1

SEMINÁŘ K VÝUCE MATEMATIKA 1 Charakteristika vyučovacího předmětu SEMINÁŘ K VÝUCE MATEMATIKA 1 Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Název vyučovacího předmětu: Časové vymezení předmětu: Matematika a její aplikace Matematika a její

Více

ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA. Růžena Blažková

ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA. Růžena Blažková ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA Růžena Blažková Úvod Se zlomky a s desetinnými čísly se setkává každý člověk, jak v běžném životě, tak v pracovních či zájmových činnostech. Z matematického hlediska není rozdíl

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

Aritmetická a geometrická posloupnost, definice, vlastnosti, vzorce, užití.

Aritmetická a geometrická posloupnost, definice, vlastnosti, vzorce, užití. Aritmetická a geometrická posloupnost, definice, vlastnosti, vzorce, užití. ARITMETICKÁ POSLOUPNOST 1. Posloupnost je dána n-týn členem. Určete druh posloupnosti, d, q: 2 5n a) a n = AP; d = -5/4 4 n 2

Více

Aritmetika s didaktikou I.

Aritmetika s didaktikou I. Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 12 Diofantovské rovnice O čem budeme hovořit: Lineární neurčité rovnice a jejich řešení Diofantovské rovnice a jejich řešení Začněme

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Petr Husar, www.e-matematika.cz nesnesitelně snadná matematika! Test z matematiky základní školy úroveň 2 řešení

Petr Husar, www.e-matematika.cz nesnesitelně snadná matematika! Test z matematiky základní školy úroveň 2 řešení Test z matematiky základní školy úroveň 2 řešení Každá otázka je za 1 bod, celkový počet bodů je 20. 1. Tři podnikatelé srovnávali své výdaje za měsíc listopad. Novákovy výdaje byly dvakrát větší než Šindelářovy

Více

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK

MATEMATIKA - 4. ROČNÍK VZDĚLÁVACÍ OBLAST: VZDĚLÁVACÍ OBOR: PŘEDMĚT: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA MATEMATIKA - 4. ROČNÍK Téma, učivo Rozvíjené kompetence, očekávané výstupy Mezipředmětové vztahy Poznámky Opakování ze

Více

Řešení 5. série kategorie Student

Řešení 5. série kategorie Student Řešení 5 série kategorie Student Řešení S-I-5-1 Aby byl daný trojúhelník (ozn trojúhelník A) pravoúhlý, musí podle rozšířené Pythagorovy věty (pravidelné 9-úhelníky jsou podobné obrazce) platit, že obsah

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více