HISTORIE ROVNIC. x x = 15. ( ) x = 10.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "HISTORIE ROVNIC. x + 1 4 x = 15. ( 2 3 + 1 10 ) x = 10."

Transkript

1 HISTORIE ROVNIC Historie matematiky nám poskytuje velké množství zajímavých úloh, které dnes řešíme pomocí rovnic. Tento text chápejme hlavně jako sbírku takovýchto úloh, které můžeme využít při výuce matematiky na základní nebo střední škole k motivaci žáků, k oživení výuky nebo prostě k procvičení učiva o rovnicích. V textu se omezíme na úlohy vedoucí na lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Nejsou zde zařazeny úlohy na diofantovské rovnice, ty jsou sice zajímavé, ale nejsou běžnou součástí výuky matematiky ani na středních školách. Musíme si uvědomit, že v minulosti byly úlohy o rovnicích řešeny často úplně jinými postupy než dnes, někde tyto postupy naznačíme. Dále si musíme uvědomit, že se v minulosti bud užívala zcela jiná matematická symbolika, obvykle těžkopádnější než dnes, nebo se kromě symbolů pro čísla neužívala žádná symbolika, takže se veškeré úvahy při řešení rovnic často zapisovaly slovně.. ROVNICE VE STAROEGYPTSKÉ MATEMATICE Nejdůležitějším zdrojem našich poznatků o matematice ve starém Egyptě jsou dva dochované čistě matematické papyry. Prvním z nich je Rhindův papyrus, někdy se také nazývá Londýnský nebo Ahmosův papyrus. Je to sbírka 87 úloh s návody a řešeními, dochovaný opis tohoto papyru pochází zřejmě z 6. století př. n. l. Druhým z nich je Moskevský papyrus, který obsahuje 25 úloh a pochází patrně ze 7. století př. n. l. V těchto dvou papyrech se objevují úlohy, které můžeme řešit lineárními rovnicemi. Jsou to většinou úlohy požadující určit neznámé množství, které splňuje nějaké dané podmínky. Řešení těchto úloh lze považovat za počátky algebry. V papyrech jsou obvykle řešeny metodou chybného předpokladu nebo přímým dělením. V Rhindově papyru nalézáme například úlohu: Hromada a její čtvrtina dávají dohromady 5. V naší symbolice můžeme tuto úlohu zapsat jednoduchou lineární rovnicí x + 4 x = 5. V papyru je úloha řešena metodou chybného předpokladu. Řešitel nejprve předpokládá, že hledané množství je rovno čtyřem, protože jednu čtvrtinu ze čtyř vypočítá snadno. Dosazením čísla 4 za x do levé strany rovnice dostane číslo 5, na pravé straně rovnice je ovšem číslo 5, to je číslo třikrát větší než 5. Tudíž musí chybný předpoklad 4 násobit třemi. Potom získá x = 2. Rhindův papyrus obsahuje další tři podobné úlohy, které můžeme zapsat lineárními rovnicemi: x + 7 x = 9, kde x = 6 2 8, x + 2 x = 6, kde x = 0 2 3, x + 5 x = 2, kde x = 7 2. Metodou přímého dělení je v Rhindově papyru řešena úloha, kterou můžeme zapsat rovnicí ( ) x = 0. Zde řešitel výsledek získá tak, že číslo 0 dělí číslem a dostane x = Stejnou metodou jsou řešeny také další úlohy Rhindova papyru, které bychom my zapsali rovnicemi:

2 x + ( ) x = 33, kde x = 4 4 x + ( ) x = 2, kde x = 6 x + ( ) x = 37, kde x = 6 x + ( ) x = 0, kde x = 5 2 3x + 3 x =, kde x = 5 0, 3x + ( ) x =, kde x = 4 3x + ( ) x =, kde x = 4 3x + 7 x =, kde x = , , , 7 4, , 32, V Rhindově papyru se vyskytuje také jedna obtížnější úloha, která vede na rovnici (x x) 3 (x + 2 x) = 0. 3 I když je papyrus na tomto místě poškozený, zdá se, že počtář upravil levou stranu rovnice a získal 0 9 x = 0, odkud x = 9. Další papyry obsahují ještě několik podobných úloh vedoucích na jednoduché lineární rovnice. V dochovaných papyrech se nikde neobjevují úlohy, které by vedly na úplnou kvadratickou rovnici. Pouze se v nich objevují dvě úlohy vedoucí na ryze kvadratickou rovnici. Jsou to úlohy, které bychom dnes zapsali takto: x 2 + y 2 = 00, y = ( ) x, kde x = 8, y = 6, 0x ( ) x = 20, kde x = ROVNICE VE STARÉ MEZOPOTÁMII Již v 8. století př. n. l. se v Mezopotámii řešily úlohy, které dnes řešíme pomocí lineárních rovnic a jejich soustav. V té době téměř úplně chyběla matematická symbolika a místo algebraické terminologie se většinou používala geometrická terminologie, protože původ většiny úloh je geometrický. Neznámé veličiny byly označovány jako délka, šířka, výška nebo hloubka, součin dvou neznámých jako plocha, obsah nebo čtverec délky nebo čtverec šířky, součin tří neznámých byl obvykle označován jako objem. I přes geometrický původ úloh není dodržován princip homogenity a v úlohách se často sčítají délky, šířky, obsahy, objemy a bezrozměrné konstanty. Algoritmus řešení nelze u řady úloh určit, protože tabulky obsahují jen zadání a někdy výsledek. Úlohy byly patrně řešeny postupnou eliminací neznámých, substitucí nebo metodou chybného předpokladu. V Mezopotámii se užívala k zápisu čísel šedesátková poziční soustava. Dnešní záznam mezopotámských čísel v této soustavě užívá konvence, kdy jsou jednotlivé řády od sebe odděleny čárkou a celá část čísla je od šedesátinných zlomků oddělena středníkem. Například zápis (, 2, 3; 4, 5) označuje číslo

3 Jedna z klínopisných tabulek obsahuje úlohu: Nalezl jsem kámen, ale neznám jeho hmotnost. Poté, co jsem přidal 7 a ještě mina. Jaká byla původní hmotnost kamene? (viz [2], str. 258) toho všeho, je to () Vezmeme-li v úvahu, že mina se rovnala 60 gin, pak můžeme úlohu v naší symbolice zapsat rovnicí Řešením je x = 48 8 = (48; 7, 30) gin. (x + 7 x) + (x + x) = Stejná tabulka obsahuje další úlohy, které můžeme vyjádřit v dnešní symbolice rovnicemi: (x 7 x) 3 (x 7 x) = 60, kde x = , (x 7 x) + (x 7 x) 3 [(x 7 x) + (x 37 7x)] = 60, kde x = 69 72, (6x + 2) (6x + 2) = 60, kde x = 4 3, (8x + 3) (8x + 3) = 60, kde x = 4 2. Na soustavu lineárních rovnic vede například úloha, kterou lze formulovat takto: Máme dvě pole. Z plošné jednotky bur prvního pole se sklidí 4 gur obilí, z plošné jednotky bur druhého pole se sklidí 3 gur obilí. Sklizeň z prvního pole převyšuje sklizeň z druhého pole o (8, 20) = 500 síla. Součet ploch obou polí je (30, 0) = 800 sar. Jaké jsou výměry obou polí? Platí bur = 800 sar a gur = 300 síla. Označíme-li výměry polí x, y, pak můžeme tuto úlohu vyjádřit soustavou lineárních rovnic 2 3 x 2 y = 500, x + y = 800. Výměry polí jsou 200 a 600 sar. V klínopisné tabulce je úloha řešena metodou chybného předpokladu, kdy se uvažuje stejná výměra obou polí, tj. 900 sar. Obdobná je úloha: Součet výměr dvou polí dává 30 čtverečných jednotek. Z nich sklidili (8, 20) měřic zrna. Určete výměru pole, když víte, že ze 30 čtverečných jednotek prvního pole sklízejí (20, 0) měřic zrna a ze 30 čtverečných jednotek druhého pole sklízejí (5, 0) měřic zrna. (viz [5], str. 28) Označíme-li výměry polí x, y, pak můžeme tuto úlohu vyjádřit soustavou lineárních rovnic 40x + 30y = 00, Výměry polí jsou 20 a 0 čtverečných jednotek. x + y = 30. V matematice staré Mezopotámie se objevují také úlohy vedoucí na úplné kvadratické rovnice nebo častěji na soustavu lineární a kvadratické rovnice. Mezopotámští matematici se nedopracovali k obecnému řešení kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0, a 0, které by odpovídalo dnes všeobecně užívanému vzorci. To bylo dáno tím, že kořenem rovnice mohla být jen kladná čísla. Z tohoto omezení vyplynulo, že rozpracovali řešení jen některých typů kvadratických rovnic, kde byla zaručena existence kladného kořene. Rovněž nedospěli k poznatku, že kvadratická rovnice může mít dva kořeny. 3

4 Řešili následující typy kvadratických rovnic: x 2 + q = px, x 2 = px + q, x 2 + px = q, ax 2 + bx = c, kde p, q, a, b, c > 0. Kromě toho řešili také úlohy, které vedou na některé speciální případy rovnic třetího a čtvrtého stupně. 3. ROVNICE V MATEMATICE STARÉHO ŘECKA Po objevu nesouměřitelnosti a vzhledem ke geometrickému charakteru řecké matematiky se rovnice řešily geometricky pomocí tzv. řecké geometrické algebry. Tímto způsobem Řekové řešili rovnice následujících typů: ax = b 2, ax = bc, x 2 = ab, ax x 2 = b 2, b < a 2, ax + x 2 = b 2, x 2 ax = b 2, kde vždy a, b, c > 0. Nebudeme řecké metody jejich řešení nyní rozebírat. Důležitým řeckým příspěvkem k řešení rovnic je spis Aritmetika, jehož autorem je významný řecký matematik Diofantos. Tento spis pochází ze 3. století n. l. Diofantos v tomto spise poprvé v historii zavádí algebraickou symboliku. Především zavádí poprvé v historii matematiky symbol pro neznámou, který měl přibližně podobu S. Dále zavedl speciální symboly pro mocniny neznámé až do šesté mocniny a symbol pro operaci odčítání. Také zde formuloval následující pravidla pro řešení rovnic: ) stejné odečíst od stejného tak, aby na každé straně rovnice zůstal jen jeden člen jistého stupně, 2) přičíst záporné členy k oběma stranám rovnice tak, aby na obou stranách rovnice zůstaly jen kladné členy. Z určitých rovnic se zabýval hlavně řešením lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav. Velkou část svého spisu věnoval řešení neurčitých rovnic, které se také po něm nazývají diofantovské rovnice. Metrodoros Metrodoros žil patrně ve 4. stol. n. l. (některé prameny kladou jeho život do 6. století). Je označován za autora sbírky epigramů Anthologia Palatina, která obsahovala 46 matematických úloh, které vedou na lineární rovnice nebo jejich soustavy. Uvedeme některé z těchto úloh. 4

5 Pythagore vznešený, helikónských múz potomku, na mou odpověz otázku, kolik věrných žáků máš ve svém domě, kde jako borci na závodišti usilují o prvenství? Rád povím Polykrate. Vidíš, že polovina žáků pěstuje matematiku, a zatím čtvrtina na věčnou přírodu své zkoumání obrací. Sedmina nedělá nic, jen mlčení zachovává, jen své duše očišt uje, víš, opakováním učiva. A přidej k nim tři ženy, které nevstávají tak brzy, mezi nimi nejvýznamnější je má milovaná Teano. Hle, a to jsou všichni, které vedu cestou moudrosti a snad i múz pierijských jim zjednám lásku boží. (viz [5], str. 75) Označíme x počet žáků. Úloha vede na rovnici ze které dostaneme, že žáků bylo x + 4 x + 7 x + 3 = x, Když Kyprida spatřila, že Erós pláče, zeptala se ho: Co tě tak roztesknilo, mohu to vědět? Šel jsem z Helikónu a nesl jsem mnoho jablek, říká Erós, ale potom mne náhle přepadly Múzy a zmocnily se sladké nůše. Dvanáctinu v mžiku popadla Euterpé, Kleió si oddělila pětinu, Thaleia osminu. Dvacátý díl pro sebe zabrala Malpomené a čtvrtinu Terpsichoré. Sedminu uchvátila a jak přelud zmizela Erató. Třicet plodů si vzala Polymnia. Sto dvacet se jich dostalo Uránii a tři sta Kalliopé. A tak se vracím domů s prázdnýma rukama, zbylo mi jen půl stovky jablek. (viz [5], str. 76) Označme x počet jablek. Úloha vede na rovnici 2 x + 5 x + 8 x + 20 x + 4 x + x = x 50, 7 z níž dostaneme, že Erós měl původně 3360 jablek. Ukovej mi korunu a smíchej dohromady zlato s mědí, vezmi k tomu také ještě cín a namáhavě připravené železo. At to váží šedesát min. Zlato a měd at váží dvě třetiny celku, zlata s cínem at jsou naopak tři čtvrtiny, ale zlato a železo dohromady at váží tři pětiny. Nuže nyní mi přesně řekni, kolik zlata musíš vzít a mědi, abys dosáhl oné směsi, jakou váhu cínu a jakou konečně železa, abys ukoval korunu přesně ze šedesáti min. (viz [6], str. 46) Označme a, b, c, d po řadě hmotnosti zlata, mědi, cínu a železa. Úloha vede k soustavě rovnic a + b + c + d = 60 a + b = 40 a + c = 45 a + d = 36 ze které dostaneme, že k ukování koruny se použilo 30,5 miny zlata, 9,5 miny mědi, 4,5 miny cínu a 5,5 miny železa. Vezmi si pětinu dědictví, můj synu, ale tobě, ó manželko, bude dvanáctina podílem. Pak synové zemřelého dítěte, čtyři do počtu, oba bratři, matka, každý at si z mých peněz odebere jedenáctinu. Dvanáct talentů mají milí bratranci obdržet a drahý přítel Eubolos at si vezme pět. Svobodu a náhradu at obdrží věrné služebnictvo, mzdu za vykonané služby; dávám jim toto: pět a dvacet min at dědí Onesimos, ty, můj Daosi, můžeš se potěšit z dvaceti, padesát at obdrží Syros, deset Synete, Tibios osm, Synetos, syn Syrosův, bude mít sedm jako podíl. 5

6 Třicet talentů pak vezměte na ozdobení hrobu a tím obětujte bohu podsvětí; dva at jsou na hranici, jídlo a plátno, a dva at jsou na ozdobení těla. ( talent = 60 min) (viz [6], str. 50) Označme x hodnotu celého dědictví v talentech. Úloha vede na rovnici 5 x + 2 x + 7 x ( ) = x, 60 ze které dostaneme, že celé dědictví obnášelo 660 talentů. Těžce naložena vínem šla oslice s mezkem. A oslice sténala velice silně pod tíží nákladu. Její společník to viděl a řekl vzdychajícímu zvířeti: Matko, pročpak naříkáš jako plačící holčička? Kdybys mi dala jednu libru, nesl bych dvakrát tolik, jako ty neseš; když mi jednu vezmeš, poneseme oba stejně. Vypočítej mi, ó matematiku, kolik každý nesl. (viz [6], str. 58) Označme x počet liber, které nesl mezek a y počet liber, které nesla oslice. Úloha vede k soustavě rovnic 2(y ) = x + x = y +, z níž dostaneme, že mezek nesl 7 liber a oslice 5 liber. Jsou čtyři fontány. První naplní nádrž za den, druhá za dva, třetí za tři a čtvrtá za čtyři dny. Jakpak dlouho to trvá, jsou-li všechny otevřené? (viz [6], str. 52) Odpověd je 2 25 dne. Pohled, jak stojí tu bronzový Kyklop Polyfémos. Jak dovedně mu kovář zhotovil oko a ústa a ruku, ukryv mu do nich trubky. Věru vypadá ten obr úplně jako by z něj lilo! Ještě ted mu proudí z úst pramen. Trubky jsou takto uspořádané: nádrž se naplní trubkou v ruce, když tři dny teče, jeden stačí oku, dvě pětiny stačí ústům. Kdo může říci čas, který potřebují ve třech? (viz [6], str. 52) Odpověd je 6 23 dne. 4. ROVNICE V ČÍNSKÉ MATEMATICE Nejstarším dochovaným čínským matematickým pojednáním je spis Matematika v devíti knihách, který vznikl patrně v prvních staletích našeho letopočtu. Obsahuje 246 úloh a jejich řešení, mezi nimi jsou i úlohy vedoucí na lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Uved me některé z nich. Příkladem úlohy, kterou dnes řešíme jednou lineární rovnicí je následující úloha: Vodní nádrž má pět přívodních struh. Jestliže otevřeme jen první z nich, nádrž se naplní za třetinu dne, když jen druhou, naplní se za den, když jen třetí - za dva a půl dne, když jen čtvrtou - za tři dny, když jen pátou - za pět dní. Za kolik dní se nádrž naplní, když otevřeme všechny přívodní strouhy? (viz [5], str ) Označíme-li x hledaný časový úsek, pak tato úloha vede k řešení rovnice ( ) x =, jejímž kořenem je x = Dále uved me tři úlohy, které dnes řešíme soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Ve spise Matematika v devíti knihách jsou řešeny metodou dvou falešných předpokladů. 6

7 Několik lidí společně kupuje berana. Když každý přispěje pěti penízi, bude chybět 45 penízů do ceny berana. Když každý přispěje sedmi penízi, budou chybět tři peníze. Kolik je lidí a jakou cenu má beran? (viz [5], str. 93) Označíme-li x počet lidí a y cenu berana, pak úloha vede k řešení soustavy 5x + 45 = y 7x + 3 = y, z níž dostaneme, že lidí bylo 2 a beran stál 50 penízů. Určete počet kupujících a cenu kupovaného předmětu. Jestliže každý kupující zaplatí 9 penízů, bude přebývat penízů, jestliže každý zaplatí 6 penízů, pak se nedostane 6 penízů. (viz [3], str. 34) Označíme-li x počet lidí a y cenu předmětu, pak úloha vede k řešení soustavy 9x = y 6x + 6 = y, z níž dostaneme, že lidí bylo 9 a předmět stál 70 penízů. Váha devíti zlatých prutů se rovná váze jedenácti stříbrných prutů. Při záměně zlatého a stříbrného prutu bude zlato lehčí o 3 lang. Určete váhu zlatého a stříbrného prutu. (viz [3], str ) Označme x váhu zlatého prutu a y váhu stříbrného prutu, pak úloha vede k řešení soustavy odkud x = , y = x = y 8x + y + 3 = 0y + x, Ve spise Matematika v devíti knihách se objevují také úlohy vedoucí k řešení soustav lineárních rovnic o třech až pěti neznámých. Velice zajímavá je skutečnost, že takové úlohy jsou v tomto spise řešeny pomocí matic. Uvedeme na ukázku tři z těchto úloh. Ze tří snopů dobré úrody, dvou snopů průměrné úrody a jednoho snopu špatné úrody získali 39 měr zrna. Ze dvou snopů dobré úrody, tří snopů průměrné úrody a jednoho snopu špatné úrody dostali 34 měr zrna. Z jednoho snopu dobré úrody, dvou snopů průměrné úrody a tří snopů špatné úrody získali 26 měr zrna. Kolik měr zrna dostali z každého snopu dobré, průměrné a špatné úrody? (viz [3], str. 4) Označme x, y, z po řadě hledané veličiny, pak dostaneme soustavu rovnic ze které dostaneme, x = 9 4, y = 4 4, z = x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 7

8 Dvěma snopům z dobré úrody, třem snopům z průměrné úrody a čtyřem snopům ze špatné úrody se do tou (měřice) nedostává v uvedeném pořadí snop z průměrné úrody, snop ze špatné úrody a snop z dobré úrody. Ptáme se kolik (zrní) získáme z každého snopu z dobré, průměrné a špatné úrody? (viz [3], str. 45) Úloha vede k soustavě ze které dostaneme, x = 9 25, y = 7 25, z = x = y 3y = z 4z = x Při prodeji 2 buvolů, 5 ovcí a koupi 3 vepřů zůstalo 000 čchien, při prodeji 3 buvolů a 3 vepřů stačily peníze přesně na koupi 9 ovcí a při prodeji 6 ovcí a 8 vepřů koupili 5 buvolů a nedostalo se 600 čchien. Určete cenu buvola, ovce a vepře. (viz [3], str. 46) Označme x cenu buvola, y cenu ovce, z cenu vepře, pak dostaneme soustavu rovnic ze které dostaneme, x = 200, y = 500, z = x + 5y 3z = 000 3x 9y + 3z = 0 5x + 6y + 8z = 600 Ve spise Matematika v devíti knihách se objevují také úlohy vedoucí na kvadratické rovnice. Většinou mají původ v geometrii, v některých se používá Pythagorova věta a jsou řešeny doplněním na čtverec. Vždy mají jediné kladné řešení, o existenci druhého kořene kvadratické rovnice se spis nezmiňuje. Uvedeme si dvě z těchto úloh: Určete strany obdélníka, je-li jejich rozdíl 6,8 a úhlopříčka je 0. (viz [3], str. 55) Úloha vede k soustavě Strany obdélníka jsou 2,8 a 9,6. x y = 6, 8 x 2 + y 2 = 0. Uprostřed každé strany města čtvercového půdorysu je brána. Ve vzdálenosti 20 pu na sever od severní brány stojí sloup. Jestliže se vzdálíme od jižní brány o 4 pu na jih a zabočíme o 775 pu na západ, dostaneme se na místo, z něhož sloup začíná být vidět. Jaká je délka strany čtverce? (viz [3], str. 57) Je-li x délka strany čtverce, pak z podobnosti trojúhelníků dostaneme rovnici z níž dostaneme kvadratickou rovnici Strana čtverce je 250 pu x 775 = 20 x, x x 7000 =

9 5. ROVNICE V INDICKÉ MATEMATICE Několik zajímavých úloh, které se řeší pomocí rovnic, se dochovalo v dílech indického matematika, který se jmenoval Bháskara II. (4-78). Uvedeme některé z nich. Ze svazku čistých lotosů byly jedna třetina, pětina, resp. šestina postupně obětovány bohům Šivovi, Višnovi či Šúrjovi a čtvrtina byla obětována Bhavanimu. Zbývajících šest bylo darováno vysoce váženému hodnostáři. Rychle mi řekni, kolik bylo lotosů? (viz [3], str. 25) Označíme počet lotosů x, pak danou úlohu můžeme řešit rovnicí x 3 + x 5 + x 6 + x = x, odkud dostaneme x = 20. Bháskara tuto úlohu řeší metodou falešného předpokladu, kdy za počet lotosů volí číslo 60, což je nejmenší společný násobek jmenovatelů 3, 4, 5, 6. Po dosazení tohoto čísla do zadání zbývají tři lotosy a ne 6, jak je požadováno v textu úlohy, proto je řešením číslo = 20. V další úloze se má určit majetek tří lidí, jestliže součet majetků prvního a druhého je 3, druhého a třetího 4, prvního a třetího 5. (viz [3], str. 25) Označme x, y, z po řadě majetky tří osob, pak úlohu můžeme řešit soustavou rovnic ze které dostaneme, x = 7, y = 6, z = 8. x + y = 3 y + z = 4 x + z = 5 Jinde se má určit majetek dvou osob, jestliže víme, že kdyby první osoba dostala od druhé 00, byla by dvakrát bohatší než druhá, a jestliže by druhá dostala od první 0, byla by šestkrát bohatší než první. (viz [3], str. 35) Úloha vede k soustavě x + 00 = 2(y 00) odkud x = 40, y = 70. y + 0 = 6(x 0), Stádo opic bavících se v háji se rozdělilo na dvě části. Čtverec osminy jejich počtu se bavil skákáním ve větvích. Dvanáct opic vítalo radostným křikem tichý rozbřesk dne. Kolik opic je celkem? (viz [3], str. 4) Označíme-li x počet opic, vede úloha k rovnici ( x 8 )2 + 2 = x, odkud dostaneme dvě hodnoty x, a to 48 a 6, obě vyhovují zadání. Jedna pětina stáda opic bez tří opic umocněná na druhou se schovává v jeskyni a je vidět jednu zbylou opici, která vylezla na strom. (viz [3], str. 4-42) Úloha vede k rovnici ( x 5 3)2 + = x. 9

10 která má dva kořeny, a to 50 a 5, ale Bháskara uvažuje jen kořen 50, protože pro x = 5 je číslo x 5 3 záporné, což podle něj nevyhovuje zadání. Další úlohy o rovnicích se objevují ve spisech indického matematika, jehož jméno bylo Mahávíra a který žil v 9. století n. l. Určete počet pávů, víme-li, že dvojmoc 6 hejna se nachází na mangovníkovém stromě, dvojmoc 9 zbytku sedí ještě se 4 pávy na tamalovém stromě. (viz [3], str. 40) Úloha vede k rovnici ( 6 x)2 + ( x)2 + 4 = x, která má dva kořeny. Zadání úlohy vyhovuje jen první z nich, to je x = 48. Druhý kořen není celočíselný. Během souboje kohoutů se jeden z diváků dohodl s jejich majiteli. Prvnímu řekl: Když zvítězí tvůj kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti dvě třetiny možné výhry. Druhému soupeři řekl: Když zvítězí tvůj kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti tři čtvrtiny možné výhry. V obou případech získá divák 2 penízů. Jakou výhru hohl získat každý majitel kohouta? (viz [5], str. 84) Označme x, y výhry obou majitelů kohoutů, pak dostaneme soustavu x 3 4 y = 2 odkud x = 42, y = 40. y 2 3 x = 2 Plody granátových jablek, manga a obyčejných jablek se prodávají po řadě: 3 kusy za 2 peníze, 5 kusů za 3 peníze, 7 kusů za 5 penízů. Jak lze za 76 penízů koupit takový počet plodů, že je v něm třikrát více plodů manga než obyčejných jablek a šestkrát více granátových jablek než obyčejných jablek? (viz [5], str. 84) Počty plodů granátových jablek, manga a obyčejných jablek označme po řadě x, y, z a sestavíme soustavu rovnic 2 3 x y + 5 z = 76, y = 3z, x = 6z. 7 Hledané počty jsou 70 granátových jablek, 35 kusů manga a 2 3 obyčejných jablek. Zde nás jistě zarazí necelý počet kusů obyčejných jablek. 6. ROVNICE VE STŘEDOVĚKÉ EVROPĚ V 7. století žil arménský matematik Anania Širakaci. V jeho spisech se objevují i následující úlohy, které se řeší rovnicemi. Jeden kupec projel třemi městy. V prvním městě utratil polovinu a třetinu majetku, ve druhém polovinu a třetinu toho, co mu zbylo, ve třetím polovinu a třetinu toho, co ještě měl. Když se vrátil domů, zbývalo mu grošů. Kolik grošů celkem měl na počátku? (viz [5], str. 95) 0

11 Označíme x počet grošů, které měl kupec na počátku, pak v prvním městě utratil celkem ( )x = 5 6 x a zbylo mu x 6. Ve druhém městě utratil ( ) 6 x = x = 5 36 x a zbylo mu x 5 6 x 5 36 x = 36x. Ve třetím městě utratil x = 5 26x. Dostaneme pak rovnici odkud x = x x + 5 x + = x, 26 V Aténách byl vodojem s třemi rourami. První mohla naplnit vodojem za hodinu, druhá za dvě hodiny, třetí za tři hodiny. Za jakou část hodiny mohly naplnit vodojem všechny tři roury společně? (viz [5], str. 96) Všechny tři roury naplní vodojem za 6 hodiny. Dále uvedeme několik úloh ze sbírky Úlohy k bystření mladíků. Tato sbírka pravděpodobně vznikla na dvoře Karla Velikého, který panoval v letech Za autora sbírky je považován anglosaský mnich Alkuin z Yorku (asi ). Tato sbírka obsahuje také všeobecně známou úlohu o převozníkovi, který má přes řeku přepravit vlka, kozu a zelí. My z této sbírky uvedeme úlohy, které vedou na lineární rovnici o jedné neznámé. Nějaký muž procházející se po cestě viděl jiné lidi jdoucí proti němu a řekl jim: Chtěl jsem, aby vás bylo bývalo ještě jednou tolik, kolik vás je, a polovina z poloviny (onoho dvojnásobku), a opět polovina poloviny (z poloviny onoho dvojnásobku), pak by vás bylo bývalo i se mnousto. At řekne, kdo chce, kolik jich bylo, které muž viděl. (viz [6], str. 28) Úloha vede na rovnici odkud x = 36. 2x x x + = 00, 2 Dva muži procházející po cestě viděli čápy a říkali si mezi sebou: Kolik jich je? Když se o jejich počtu poradili, řekli: Kdyby jich bylo ještě jednou tolik a ještě potřetí tolik a polovina třetiny (onoho trojnásobku), po přidání dvou by jich bylo sto. At řekne, kdo může, kolik jich bylo, které pocestní pozorovali. (viz [6], str. 28) Úloha vede na rovnici odkud x = 28. 3x + 2 3x + 2 = 00, 3 Nějaký muž potkal žáky a řekl jim: Kolik vás je ve škole? Jeden z nich mu odpověděl řka: Nechci ti to říci. Ty nás spočítej dvakrát, vynásob třemi, pak rozděl na čtyři části. Čtvrtina počtu, když přidáš mě samého, naplní číslo sto. At řekne, kdo může, kolik jich bylo, které muž potkal na procházce. (viz [6], str. 29) Úloha vede na rovnici odkud x = 66. 2x = 00,

12 Významným matematikem evropského středověku byl Leonardo Pisánský zvaný Fibonacci. Žil na přelomu 2. a 3. století. Mezi jeho díla patří také spis Liber abaci (Kniha o abaku), v něm se vyskytuje velké množství úloh vedoucích na lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Uvedeme z nich tři jednodušší úlohy. Lev sežere ovci za čtyři hodiny, leopard za pět hodin a medvěd za šest hodin. Za jak dlouho ji sežerou společně? (viz [], str. 283) Z rovnice ( ) x = dostaneme čas x = hodiny. Dá-li první druhému denár, budou mít stejně. Dá-li druhý prvnímu denár, bude mít první desetkrát tolik. (viz [], str. 283) Úloha vede na soustavu rovnic odkud x = 3 4 9, y = 4 9. x = y +, x + = 0(y ), Jestliže jeden člověk dostane od druhého 7 denárů, bude mít pětkrát více než druhý. Jestliže druhý člověk dostane od prvního 5 denárů, bude mít sedmkrát více než první. Kolik mají nyní? (viz [], str. 284) Úloha vede na soustavu rovnic odkud x = 7 2 7, y = x + 7 = 5(y 7), 7(x 5) = y + 5, Použitá a doporučená literatura: [] Bečvář, J. a kol.: Matematika ve středověké Evropě, edice Dějiny matematiky, 9. svazek, Prometheus, Praha 200. [2] Bečvář, J., Bečvářová, M., Vymazalová, H.: Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie, edice Dějiny matematiky, 23. svazek, Prometheus, Praha [3] Juškevič, A. P.: Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha 978. [4] Kolman, A.: Dějiny matematiky ve starověku, Academia, Praha 969. [5] Konforovič, A. G.: Významné matematické úlohy, SPN, Praha 989. [6] Mačák, K.: Tři středověké sbírky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, 5. svazek, Prometheus, Praha

strany jednoho pozemku rovnala třem čtvrtinám délky strany druhého pozemku.

strany jednoho pozemku rovnala třem čtvrtinám délky strany druhého pozemku. ÚLOHY ZE STAROEGYPTSKÉ MATEMATIKY 1) Jeden člověk vzal z pokladny jednu třináctinu. Druhý vzal jednu sedmnáctinu toho, co zbývalo. V pokladně ponechal 10. Kolik bylo v pokladně na počátku? 2) Celá hromada,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Fibonacciho čísla na střední škole

Fibonacciho čísla na střední škole Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods

Více

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

2.4 POZIČNÍ ČÍSELNÉ SOUSTAVY

2.4 POZIČNÍ ČÍSELNÉ SOUSTAVY 2.4 POZIČNÍ ČÍSELNÉ SOUSTAVY Podívejme se například na čínskou počítací desku. Učiníme-li poslední krůček a nahradíme v každém políčku skupinu tyčinek odpovídající číslicí, obdržíme vyjádření čísla v desítkové

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

Moravské gymnázium Brno s.r.o. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika Elementární teorie čísel Ročník 1. Datum tvorby

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty

Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty Výpočet objemu tělesa In: Hana Vymazalová (author): Staroegyptská matematika. Hieratické matematické texty. (Czech). Praha: Český egyptologický ústav

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Tento text si klade za cíl popsat, jaké číselné soustavy a číselné symboly se během historického vývoje 1. STARÝ EGYPT

Tento text si klade za cíl popsat, jaké číselné soustavy a číselné symboly se během historického vývoje 1. STARÝ EGYPT 1 VÝVOJ ČÍSELNÝCH SOUSTAV Tento text si klade za cíl popsat, jaké číselné soustavy a číselné symboly se během historického vývoje užívaly k vyjádření přirozených čísel a zlomků, v některých případech se

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

součet druhé mocniny čísla zvětšeného o jedna a odmocniny z jeho trojnásobku

součet druhé mocniny čísla zvětšeného o jedna a odmocniny z jeho trojnásobku .7. Zápisy pomocí výrazů I Předpoklady: 70 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje poměrně málo příkladů, protože se snažím, aby z ní všichni spočítali opravdové maximum. Postupujeme tedy pomalu a kontrolujeme

Více

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE

OPERACE S KOMBINAČNÍMI ČÍSLY A S FAKTORIÁLY, KOMBINACE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol OPERACE

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Procenta. Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

Procenta. Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. Variace 1 Procenta Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Procenta U příkladů, kde se vyskytují procenta,

Více

MATEMATIKA 9. TŘÍDA. 0,5 b. Umocnění výrazu (x 2) 2 : 3 hmotnosti nákupu a 2 kg. Kolik kilogramů. Nákup vážil 5

MATEMATIKA 9. TŘÍDA. 0,5 b. Umocnění výrazu (x 2) 2 : 3 hmotnosti nákupu a 2 kg. Kolik kilogramů. Nákup vážil 5 MATEMATIKA 9. TŘÍDA 1. Nechť M je součet druhých mocnin prvních tří přirozených čísel a N součet těchto tří přirozených čísel. Které z následujících tvrzení je pravdivé? (A) M + N = 17 (B) M = 4N (C) M

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Přehled vzdělávacích materiálů

Přehled vzdělávacích materiálů Přehled vzdělávacích materiálů Název školy Název a číslo OP Název šablony klíčové aktivity Název sady vzdělávacích materiálů Jméno tvůrce vzdělávací sady Číslo sady Anotace Základní škola Ţeliv Novými

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Přirozená čísla do milionu 1

Přirozená čísla do milionu 1 statisíce desetitisíce tisíce stovky desítky jednotky Klíčová aktivita: Přirozená čísla do milionu 1 č. 1 Matematika 1. Porovnej čísla: , =. 758 258 4 258 4 285 568 470 56 847 203 488 1 584 2 458 896

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

Klíčová slova: matematizace reálných úloh, přímá a nepřímá úměrnost, společná práce, zlomky, procenta, části celku Autor: Mgr.M.

Klíčová slova: matematizace reálných úloh, přímá a nepřímá úměrnost, společná práce, zlomky, procenta, části celku Autor: Mgr.M. Přípravný kurz - Matematika Téma: Slovní úlohy Klíčová slova: matematizace reálných úloh, přímá a nepřímá úměrnost, společná práce, zlomky, procenta, části celku Autor: Mgr.M.Hetmerová 12 19 9:02 Jak pracovat

Více

koncentraci jsme získali roztok o koncentraci 18 %. Urči koncentraci neznámého roztoku.

koncentraci jsme získali roztok o koncentraci 18 %. Urči koncentraci neznámého roztoku. 2.2.2 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice III Předpoklady: 22 Pedagogická poznámka: Příklady na míchání směsí jsou do dvou hodin rozděleny schválně. Snažím se tak zvýšit šanci, že si hlavní myšlenku

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 6. ročník J.Coufalová : Matematika pro 6.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko,J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 6.ročník ZŠ (Prometheus)

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Číslovky. MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život

Číslovky. MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život Číslovky MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život Číslo DUMu:VY_32_INOVACE_38_10 Tématický celek:gramatika, skladba, sloh

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 22 úloh. Časový limit pro

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Slovní úlohy na lineární rovnici

Slovní úlohy na lineární rovnici Slovní úlohy na lineární rovnici Slovní úlohy je výhodné rozdělit na několik typů a určit nejsnadnější postup jejich řešení. Je vhodné označit v dané úloze jednu veličinu jako neznámou ( většinou tu, na

Více

Test z celoplošné zkoušky I. MATEMATIKA. 9. ročník ZŠ (kvarta G8, sekunda G6)

Test z celoplošné zkoušky I. MATEMATIKA. 9. ročník ZŠ (kvarta G8, sekunda G6) Test žáka Zdroj testu: Domácí testování Školní rok 2014/2015 Test z celoplošné zkoušky I. MATEMATIKA 9. ročník ZŠ (kvarta G8, sekunda G6) Jméno: Třída: Škola: Termín testování: Datum tisku: 01. 02. 2015

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

64-41-L/51 Podnikání,

64-41-L/51 Podnikání, Informace nástavbového studia oboru vzdělání 64-41-L/51 Podnikání, dálková formy vzdělávání Vážení studenti, zasíláme Vám základní informace, které se týkají materiálního zabezpečení nástavbového studia

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Variace. Poměr, trojčlenka

Variace. Poměr, trojčlenka Variace 1 Poměr, trojčlenka Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Poměr Poměr je matematický zápis

Více

Autor: Bc. Daniela Prosmanová Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický celek: Celá čísla Ročník: 7.

Autor: Bc. Daniela Prosmanová Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický celek: Celá čísla Ročník: 7. Seznam šablon Autor: Bc. Daniela Prosmanová Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický celek: Celá čísla Ročník: 7. Číslo Označení Název Využití Očekávané výstupy Klíčové kompetence 1 CČ1

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět)

MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) MATEMATICKÝ SEMINÁŘ (volitelný a nepovinný předmět) Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematickém semináři je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení

Více

Přípravný kurz - Matematika

Přípravný kurz - Matematika Přípravný kurz - Matematika Téma: Základy statistiky, kombinační úsudek v úlohách Klíčová slova: tabulky, grafy, diagramy Autor: Mlynářová 1 Základy statistiky Statistika je vědní obor, který se zabývá

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 4. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 4. ročník Čas.plán Téma Učivo Ročníkové výstupy žák podle svých schopností: Poznámka Září Opakování učiva 3. ročníku Počítaní do 20 Sčítání a odčítání do 20 Násobení a dělení číslem 2 Počítání

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2 MANUÁL Výukových materiálů Matematický kroužek 8.ročník MK2 Vypracovala: Mgr. Jana Kotvová 2014 Číslo hodiny: 1 Téma: Celá čísla, přednost matematických operací Očekávané výstupy: žáci počítají jednoduché

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

Matematika 1.ročník str. učivo -témata číslo a početní operace geometrie Závislosti, vztahy a práce s daty

Matematika 1.ročník str. učivo -témata číslo a početní operace geometrie Závislosti, vztahy a práce s daty Matematika 1.ročník str. učivo -témata číslo a početní operace geometrie Závislosti, vztahy a práce s daty přirozená čísla 1 až 5 správně čte daná čísla vyhledává je na číselné ose řadí čísla lineárně

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

4. úprava 26.8.2010 ÚPRAVY VE VYUČOVACÍCH

4. úprava 26.8.2010 ÚPRAVY VE VYUČOVACÍCH 4. úprava 26.8.2010 ÚPRAVY VE VYUČOVACÍCH PŘEDMĚTECH 1 ÚPRAVY VE VYUČOVACÍCH PŘEDMĚTECH Projednáno pedagogickou radou dne: 26. 8. 2010 Schválila ředitelka školy: 26. 8. 2010 Platnost od: 1. 9. 2010 Podpis

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 3. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 1000, užívá a zapisuje vztah rovnosti a

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku Matematika Vyučovací předmět navazuje na učivo matematiky I. stupně. Časová dotace předmětu je v 6., 7.,8. ročníku 4 hodiny, v 9. ročníku 5 hodin. Třída se na matematiku nedělí. Vyučovací předmět poskytuje

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Kategorie: U 1 pro žáky 1. ročníků učebních oborů

Kategorie: U 1 pro žáky 1. ročníků učebních oborů Kategorie: U 1 pro žáky 1. ročníků učebních oborů 1) Řešte rovnici, určete podmínky řešení a proveďte zkoušku: 1 1 1 1 1 ) Ze dvou podobných trojúhelníků má jeden obvod 48 cm, strany druhého jsou po řadě

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata,

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata, 5.1.2.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata, Zná číslice 1 až 20, umí je napsat a

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

Vzdělávací materiál projektu Zlepšení podmínek výuky v ZŠ Sloup

Vzdělávací materiál projektu Zlepšení podmínek výuky v ZŠ Sloup Kód: Vzdělávací materiál projektu Zlepšení podmínek výuky v ZŠ Sloup Název vzdělávacího materiálu Porozumění historickému textu - Chammurapiho zákoník Anotace Pracovní listy k procvičení porozumění historickému

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň 1/Charakteristika vyučovacího předmětu a) obsahové vymezení Předmět je rozdělen na základě OVO v RVP ZV na čtyři

Více

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel

Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

Finále SOUBOR OTÁZEK. ročník

Finále SOUBOR OTÁZEK. ročník Finále SOUBOR OTÁZEK 6. ročník Co je Pangea a jaká je její filozofie? V dávných dobách prvohor a druhohor, tedy přibližně před 300 miliony let, nebyly jednotllivé kontinenty na naší planetě ještě rozdělené,

Více

Národní institut dětí a mládeže Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR PYTHAGORIÁDA 33. ROČNÍK 2009/2010 ŠKOLNÍ KOLO PRO 6.

Národní institut dětí a mládeže Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR PYTHAGORIÁDA 33. ROČNÍK 2009/2010 ŠKOLNÍ KOLO PRO 6. Národní institut dětí a mládeže Ministerstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR PYTHAGORIÁDA 33. ROČNÍK 2009/2010 ŠKOLNÍ KOLO PRO 6. ROČNÍK Zadání úloh Autorka úloh: Mgr. Lucie Filipenská Katedra didaktiky

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více