HISTORIE ROVNIC. x x = 15. ( ) x = 10.

Transkript

1 HISTORIE ROVNIC Historie matematiky nám poskytuje velké množství zajímavých úloh, které dnes řešíme pomocí rovnic. Tento text chápejme hlavně jako sbírku takovýchto úloh, které můžeme využít při výuce matematiky na základní nebo střední škole k motivaci žáků, k oživení výuky nebo prostě k procvičení učiva o rovnicích. V textu se omezíme na úlohy vedoucí na lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Nejsou zde zařazeny úlohy na diofantovské rovnice, ty jsou sice zajímavé, ale nejsou běžnou součástí výuky matematiky ani na středních školách. Musíme si uvědomit, že v minulosti byly úlohy o rovnicích řešeny často úplně jinými postupy než dnes, někde tyto postupy naznačíme. Dále si musíme uvědomit, že se v minulosti bud užívala zcela jiná matematická symbolika, obvykle těžkopádnější než dnes, nebo se kromě symbolů pro čísla neužívala žádná symbolika, takže se veškeré úvahy při řešení rovnic často zapisovaly slovně.. ROVNICE VE STAROEGYPTSKÉ MATEMATICE Nejdůležitějším zdrojem našich poznatků o matematice ve starém Egyptě jsou dva dochované čistě matematické papyry. Prvním z nich je Rhindův papyrus, někdy se také nazývá Londýnský nebo Ahmosův papyrus. Je to sbírka 87 úloh s návody a řešeními, dochovaný opis tohoto papyru pochází zřejmě z 6. století př. n. l. Druhým z nich je Moskevský papyrus, který obsahuje 25 úloh a pochází patrně ze 7. století př. n. l. V těchto dvou papyrech se objevují úlohy, které můžeme řešit lineárními rovnicemi. Jsou to většinou úlohy požadující určit neznámé množství, které splňuje nějaké dané podmínky. Řešení těchto úloh lze považovat za počátky algebry. V papyrech jsou obvykle řešeny metodou chybného předpokladu nebo přímým dělením. V Rhindově papyru nalézáme například úlohu: Hromada a její čtvrtina dávají dohromady 5. V naší symbolice můžeme tuto úlohu zapsat jednoduchou lineární rovnicí x + 4 x = 5. V papyru je úloha řešena metodou chybného předpokladu. Řešitel nejprve předpokládá, že hledané množství je rovno čtyřem, protože jednu čtvrtinu ze čtyř vypočítá snadno. Dosazením čísla 4 za x do levé strany rovnice dostane číslo 5, na pravé straně rovnice je ovšem číslo 5, to je číslo třikrát větší než 5. Tudíž musí chybný předpoklad 4 násobit třemi. Potom získá x = 2. Rhindův papyrus obsahuje další tři podobné úlohy, které můžeme zapsat lineárními rovnicemi: x + 7 x = 9, kde x = 6 2 8, x + 2 x = 6, kde x = 0 2 3, x + 5 x = 2, kde x = 7 2. Metodou přímého dělení je v Rhindově papyru řešena úloha, kterou můžeme zapsat rovnicí ( ) x = 0. Zde řešitel výsledek získá tak, že číslo 0 dělí číslem a dostane x = Stejnou metodou jsou řešeny také další úlohy Rhindova papyru, které bychom my zapsali rovnicemi:

2 x + ( ) x = 33, kde x = 4 4 x + ( ) x = 2, kde x = 6 x + ( ) x = 37, kde x = 6 x + ( ) x = 0, kde x = 5 2 3x + 3 x =, kde x = 5 0, 3x + ( ) x =, kde x = 4 3x + ( ) x =, kde x = 4 3x + 7 x =, kde x = , , , 7 4, , 32, V Rhindově papyru se vyskytuje také jedna obtížnější úloha, která vede na rovnici (x x) 3 (x + 2 x) = 0. 3 I když je papyrus na tomto místě poškozený, zdá se, že počtář upravil levou stranu rovnice a získal 0 9 x = 0, odkud x = 9. Další papyry obsahují ještě několik podobných úloh vedoucích na jednoduché lineární rovnice. V dochovaných papyrech se nikde neobjevují úlohy, které by vedly na úplnou kvadratickou rovnici. Pouze se v nich objevují dvě úlohy vedoucí na ryze kvadratickou rovnici. Jsou to úlohy, které bychom dnes zapsali takto: x 2 + y 2 = 00, y = ( ) x, kde x = 8, y = 6, 0x ( ) x = 20, kde x = ROVNICE VE STARÉ MEZOPOTÁMII Již v 8. století př. n. l. se v Mezopotámii řešily úlohy, které dnes řešíme pomocí lineárních rovnic a jejich soustav. V té době téměř úplně chyběla matematická symbolika a místo algebraické terminologie se většinou používala geometrická terminologie, protože původ většiny úloh je geometrický. Neznámé veličiny byly označovány jako délka, šířka, výška nebo hloubka, součin dvou neznámých jako plocha, obsah nebo čtverec délky nebo čtverec šířky, součin tří neznámých byl obvykle označován jako objem. I přes geometrický původ úloh není dodržován princip homogenity a v úlohách se často sčítají délky, šířky, obsahy, objemy a bezrozměrné konstanty. Algoritmus řešení nelze u řady úloh určit, protože tabulky obsahují jen zadání a někdy výsledek. Úlohy byly patrně řešeny postupnou eliminací neznámých, substitucí nebo metodou chybného předpokladu. V Mezopotámii se užívala k zápisu čísel šedesátková poziční soustava. Dnešní záznam mezopotámských čísel v této soustavě užívá konvence, kdy jsou jednotlivé řády od sebe odděleny čárkou a celá část čísla je od šedesátinných zlomků oddělena středníkem. Například zápis (, 2, 3; 4, 5) označuje číslo

3 Jedna z klínopisných tabulek obsahuje úlohu: Nalezl jsem kámen, ale neznám jeho hmotnost. Poté, co jsem přidal 7 a ještě mina. Jaká byla původní hmotnost kamene? (viz [2], str. 258) toho všeho, je to () Vezmeme-li v úvahu, že mina se rovnala 60 gin, pak můžeme úlohu v naší symbolice zapsat rovnicí Řešením je x = 48 8 = (48; 7, 30) gin. (x + 7 x) + (x + x) = Stejná tabulka obsahuje další úlohy, které můžeme vyjádřit v dnešní symbolice rovnicemi: (x 7 x) 3 (x 7 x) = 60, kde x = , (x 7 x) + (x 7 x) 3 [(x 7 x) + (x 37 7x)] = 60, kde x = 69 72, (6x + 2) (6x + 2) = 60, kde x = 4 3, (8x + 3) (8x + 3) = 60, kde x = 4 2. Na soustavu lineárních rovnic vede například úloha, kterou lze formulovat takto: Máme dvě pole. Z plošné jednotky bur prvního pole se sklidí 4 gur obilí, z plošné jednotky bur druhého pole se sklidí 3 gur obilí. Sklizeň z prvního pole převyšuje sklizeň z druhého pole o (8, 20) = 500 síla. Součet ploch obou polí je (30, 0) = 800 sar. Jaké jsou výměry obou polí? Platí bur = 800 sar a gur = 300 síla. Označíme-li výměry polí x, y, pak můžeme tuto úlohu vyjádřit soustavou lineárních rovnic 2 3 x 2 y = 500, x + y = 800. Výměry polí jsou 200 a 600 sar. V klínopisné tabulce je úloha řešena metodou chybného předpokladu, kdy se uvažuje stejná výměra obou polí, tj. 900 sar. Obdobná je úloha: Součet výměr dvou polí dává 30 čtverečných jednotek. Z nich sklidili (8, 20) měřic zrna. Určete výměru pole, když víte, že ze 30 čtverečných jednotek prvního pole sklízejí (20, 0) měřic zrna a ze 30 čtverečných jednotek druhého pole sklízejí (5, 0) měřic zrna. (viz [5], str. 28) Označíme-li výměry polí x, y, pak můžeme tuto úlohu vyjádřit soustavou lineárních rovnic 40x + 30y = 00, Výměry polí jsou 20 a 0 čtverečných jednotek. x + y = 30. V matematice staré Mezopotámie se objevují také úlohy vedoucí na úplné kvadratické rovnice nebo častěji na soustavu lineární a kvadratické rovnice. Mezopotámští matematici se nedopracovali k obecnému řešení kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0, a 0, které by odpovídalo dnes všeobecně užívanému vzorci. To bylo dáno tím, že kořenem rovnice mohla být jen kladná čísla. Z tohoto omezení vyplynulo, že rozpracovali řešení jen některých typů kvadratických rovnic, kde byla zaručena existence kladného kořene. Rovněž nedospěli k poznatku, že kvadratická rovnice může mít dva kořeny. 3

4 Řešili následující typy kvadratických rovnic: x 2 + q = px, x 2 = px + q, x 2 + px = q, ax 2 + bx = c, kde p, q, a, b, c > 0. Kromě toho řešili také úlohy, které vedou na některé speciální případy rovnic třetího a čtvrtého stupně. 3. ROVNICE V MATEMATICE STARÉHO ŘECKA Po objevu nesouměřitelnosti a vzhledem ke geometrickému charakteru řecké matematiky se rovnice řešily geometricky pomocí tzv. řecké geometrické algebry. Tímto způsobem Řekové řešili rovnice následujících typů: ax = b 2, ax = bc, x 2 = ab, ax x 2 = b 2, b < a 2, ax + x 2 = b 2, x 2 ax = b 2, kde vždy a, b, c > 0. Nebudeme řecké metody jejich řešení nyní rozebírat. Důležitým řeckým příspěvkem k řešení rovnic je spis Aritmetika, jehož autorem je významný řecký matematik Diofantos. Tento spis pochází ze 3. století n. l. Diofantos v tomto spise poprvé v historii zavádí algebraickou symboliku. Především zavádí poprvé v historii matematiky symbol pro neznámou, který měl přibližně podobu S. Dále zavedl speciální symboly pro mocniny neznámé až do šesté mocniny a symbol pro operaci odčítání. Také zde formuloval následující pravidla pro řešení rovnic: ) stejné odečíst od stejného tak, aby na každé straně rovnice zůstal jen jeden člen jistého stupně, 2) přičíst záporné členy k oběma stranám rovnice tak, aby na obou stranách rovnice zůstaly jen kladné členy. Z určitých rovnic se zabýval hlavně řešením lineárních a kvadratických rovnic a jejich soustav. Velkou část svého spisu věnoval řešení neurčitých rovnic, které se také po něm nazývají diofantovské rovnice. Metrodoros Metrodoros žil patrně ve 4. stol. n. l. (některé prameny kladou jeho život do 6. století). Je označován za autora sbírky epigramů Anthologia Palatina, která obsahovala 46 matematických úloh, které vedou na lineární rovnice nebo jejich soustavy. Uvedeme některé z těchto úloh. 4

5 Pythagore vznešený, helikónských múz potomku, na mou odpověz otázku, kolik věrných žáků máš ve svém domě, kde jako borci na závodišti usilují o prvenství? Rád povím Polykrate. Vidíš, že polovina žáků pěstuje matematiku, a zatím čtvrtina na věčnou přírodu své zkoumání obrací. Sedmina nedělá nic, jen mlčení zachovává, jen své duše očišt uje, víš, opakováním učiva. A přidej k nim tři ženy, které nevstávají tak brzy, mezi nimi nejvýznamnější je má milovaná Teano. Hle, a to jsou všichni, které vedu cestou moudrosti a snad i múz pierijských jim zjednám lásku boží. (viz [5], str. 75) Označíme x počet žáků. Úloha vede na rovnici ze které dostaneme, že žáků bylo x + 4 x + 7 x + 3 = x, Když Kyprida spatřila, že Erós pláče, zeptala se ho: Co tě tak roztesknilo, mohu to vědět? Šel jsem z Helikónu a nesl jsem mnoho jablek, říká Erós, ale potom mne náhle přepadly Múzy a zmocnily se sladké nůše. Dvanáctinu v mžiku popadla Euterpé, Kleió si oddělila pětinu, Thaleia osminu. Dvacátý díl pro sebe zabrala Malpomené a čtvrtinu Terpsichoré. Sedminu uchvátila a jak přelud zmizela Erató. Třicet plodů si vzala Polymnia. Sto dvacet se jich dostalo Uránii a tři sta Kalliopé. A tak se vracím domů s prázdnýma rukama, zbylo mi jen půl stovky jablek. (viz [5], str. 76) Označme x počet jablek. Úloha vede na rovnici 2 x + 5 x + 8 x + 20 x + 4 x + x = x 50, 7 z níž dostaneme, že Erós měl původně 3360 jablek. Ukovej mi korunu a smíchej dohromady zlato s mědí, vezmi k tomu také ještě cín a namáhavě připravené železo. At to váží šedesát min. Zlato a měd at váží dvě třetiny celku, zlata s cínem at jsou naopak tři čtvrtiny, ale zlato a železo dohromady at váží tři pětiny. Nuže nyní mi přesně řekni, kolik zlata musíš vzít a mědi, abys dosáhl oné směsi, jakou váhu cínu a jakou konečně železa, abys ukoval korunu přesně ze šedesáti min. (viz [6], str. 46) Označme a, b, c, d po řadě hmotnosti zlata, mědi, cínu a železa. Úloha vede k soustavě rovnic a + b + c + d = 60 a + b = 40 a + c = 45 a + d = 36 ze které dostaneme, že k ukování koruny se použilo 30,5 miny zlata, 9,5 miny mědi, 4,5 miny cínu a 5,5 miny železa. Vezmi si pětinu dědictví, můj synu, ale tobě, ó manželko, bude dvanáctina podílem. Pak synové zemřelého dítěte, čtyři do počtu, oba bratři, matka, každý at si z mých peněz odebere jedenáctinu. Dvanáct talentů mají milí bratranci obdržet a drahý přítel Eubolos at si vezme pět. Svobodu a náhradu at obdrží věrné služebnictvo, mzdu za vykonané služby; dávám jim toto: pět a dvacet min at dědí Onesimos, ty, můj Daosi, můžeš se potěšit z dvaceti, padesát at obdrží Syros, deset Synete, Tibios osm, Synetos, syn Syrosův, bude mít sedm jako podíl. 5

6 Třicet talentů pak vezměte na ozdobení hrobu a tím obětujte bohu podsvětí; dva at jsou na hranici, jídlo a plátno, a dva at jsou na ozdobení těla. ( talent = 60 min) (viz [6], str. 50) Označme x hodnotu celého dědictví v talentech. Úloha vede na rovnici 5 x + 2 x + 7 x ( ) = x, 60 ze které dostaneme, že celé dědictví obnášelo 660 talentů. Těžce naložena vínem šla oslice s mezkem. A oslice sténala velice silně pod tíží nákladu. Její společník to viděl a řekl vzdychajícímu zvířeti: Matko, pročpak naříkáš jako plačící holčička? Kdybys mi dala jednu libru, nesl bych dvakrát tolik, jako ty neseš; když mi jednu vezmeš, poneseme oba stejně. Vypočítej mi, ó matematiku, kolik každý nesl. (viz [6], str. 58) Označme x počet liber, které nesl mezek a y počet liber, které nesla oslice. Úloha vede k soustavě rovnic 2(y ) = x + x = y +, z níž dostaneme, že mezek nesl 7 liber a oslice 5 liber. Jsou čtyři fontány. První naplní nádrž za den, druhá za dva, třetí za tři a čtvrtá za čtyři dny. Jakpak dlouho to trvá, jsou-li všechny otevřené? (viz [6], str. 52) Odpověd je 2 25 dne. Pohled, jak stojí tu bronzový Kyklop Polyfémos. Jak dovedně mu kovář zhotovil oko a ústa a ruku, ukryv mu do nich trubky. Věru vypadá ten obr úplně jako by z něj lilo! Ještě ted mu proudí z úst pramen. Trubky jsou takto uspořádané: nádrž se naplní trubkou v ruce, když tři dny teče, jeden stačí oku, dvě pětiny stačí ústům. Kdo může říci čas, který potřebují ve třech? (viz [6], str. 52) Odpověd je 6 23 dne. 4. ROVNICE V ČÍNSKÉ MATEMATICE Nejstarším dochovaným čínským matematickým pojednáním je spis Matematika v devíti knihách, který vznikl patrně v prvních staletích našeho letopočtu. Obsahuje 246 úloh a jejich řešení, mezi nimi jsou i úlohy vedoucí na lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Uved me některé z nich. Příkladem úlohy, kterou dnes řešíme jednou lineární rovnicí je následující úloha: Vodní nádrž má pět přívodních struh. Jestliže otevřeme jen první z nich, nádrž se naplní za třetinu dne, když jen druhou, naplní se za den, když jen třetí - za dva a půl dne, když jen čtvrtou - za tři dny, když jen pátou - za pět dní. Za kolik dní se nádrž naplní, když otevřeme všechny přívodní strouhy? (viz [5], str ) Označíme-li x hledaný časový úsek, pak tato úloha vede k řešení rovnice ( ) x =, jejímž kořenem je x = Dále uved me tři úlohy, které dnes řešíme soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých. Ve spise Matematika v devíti knihách jsou řešeny metodou dvou falešných předpokladů. 6

7 Několik lidí společně kupuje berana. Když každý přispěje pěti penízi, bude chybět 45 penízů do ceny berana. Když každý přispěje sedmi penízi, budou chybět tři peníze. Kolik je lidí a jakou cenu má beran? (viz [5], str. 93) Označíme-li x počet lidí a y cenu berana, pak úloha vede k řešení soustavy 5x + 45 = y 7x + 3 = y, z níž dostaneme, že lidí bylo 2 a beran stál 50 penízů. Určete počet kupujících a cenu kupovaného předmětu. Jestliže každý kupující zaplatí 9 penízů, bude přebývat penízů, jestliže každý zaplatí 6 penízů, pak se nedostane 6 penízů. (viz [3], str. 34) Označíme-li x počet lidí a y cenu předmětu, pak úloha vede k řešení soustavy 9x = y 6x + 6 = y, z níž dostaneme, že lidí bylo 9 a předmět stál 70 penízů. Váha devíti zlatých prutů se rovná váze jedenácti stříbrných prutů. Při záměně zlatého a stříbrného prutu bude zlato lehčí o 3 lang. Určete váhu zlatého a stříbrného prutu. (viz [3], str ) Označme x váhu zlatého prutu a y váhu stříbrného prutu, pak úloha vede k řešení soustavy odkud x = , y = x = y 8x + y + 3 = 0y + x, Ve spise Matematika v devíti knihách se objevují také úlohy vedoucí k řešení soustav lineárních rovnic o třech až pěti neznámých. Velice zajímavá je skutečnost, že takové úlohy jsou v tomto spise řešeny pomocí matic. Uvedeme na ukázku tři z těchto úloh. Ze tří snopů dobré úrody, dvou snopů průměrné úrody a jednoho snopu špatné úrody získali 39 měr zrna. Ze dvou snopů dobré úrody, tří snopů průměrné úrody a jednoho snopu špatné úrody dostali 34 měr zrna. Z jednoho snopu dobré úrody, dvou snopů průměrné úrody a tří snopů špatné úrody získali 26 měr zrna. Kolik měr zrna dostali z každého snopu dobré, průměrné a špatné úrody? (viz [3], str. 4) Označme x, y, z po řadě hledané veličiny, pak dostaneme soustavu rovnic ze které dostaneme, x = 9 4, y = 4 4, z = x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 7

8 Dvěma snopům z dobré úrody, třem snopům z průměrné úrody a čtyřem snopům ze špatné úrody se do tou (měřice) nedostává v uvedeném pořadí snop z průměrné úrody, snop ze špatné úrody a snop z dobré úrody. Ptáme se kolik (zrní) získáme z každého snopu z dobré, průměrné a špatné úrody? (viz [3], str. 45) Úloha vede k soustavě ze které dostaneme, x = 9 25, y = 7 25, z = x = y 3y = z 4z = x Při prodeji 2 buvolů, 5 ovcí a koupi 3 vepřů zůstalo 000 čchien, při prodeji 3 buvolů a 3 vepřů stačily peníze přesně na koupi 9 ovcí a při prodeji 6 ovcí a 8 vepřů koupili 5 buvolů a nedostalo se 600 čchien. Určete cenu buvola, ovce a vepře. (viz [3], str. 46) Označme x cenu buvola, y cenu ovce, z cenu vepře, pak dostaneme soustavu rovnic ze které dostaneme, x = 200, y = 500, z = x + 5y 3z = 000 3x 9y + 3z = 0 5x + 6y + 8z = 600 Ve spise Matematika v devíti knihách se objevují také úlohy vedoucí na kvadratické rovnice. Většinou mají původ v geometrii, v některých se používá Pythagorova věta a jsou řešeny doplněním na čtverec. Vždy mají jediné kladné řešení, o existenci druhého kořene kvadratické rovnice se spis nezmiňuje. Uvedeme si dvě z těchto úloh: Určete strany obdélníka, je-li jejich rozdíl 6,8 a úhlopříčka je 0. (viz [3], str. 55) Úloha vede k soustavě Strany obdélníka jsou 2,8 a 9,6. x y = 6, 8 x 2 + y 2 = 0. Uprostřed každé strany města čtvercového půdorysu je brána. Ve vzdálenosti 20 pu na sever od severní brány stojí sloup. Jestliže se vzdálíme od jižní brány o 4 pu na jih a zabočíme o 775 pu na západ, dostaneme se na místo, z něhož sloup začíná být vidět. Jaká je délka strany čtverce? (viz [3], str. 57) Je-li x délka strany čtverce, pak z podobnosti trojúhelníků dostaneme rovnici z níž dostaneme kvadratickou rovnici Strana čtverce je 250 pu x 775 = 20 x, x x 7000 =

9 5. ROVNICE V INDICKÉ MATEMATICE Několik zajímavých úloh, které se řeší pomocí rovnic, se dochovalo v dílech indického matematika, který se jmenoval Bháskara II. (4-78). Uvedeme některé z nich. Ze svazku čistých lotosů byly jedna třetina, pětina, resp. šestina postupně obětovány bohům Šivovi, Višnovi či Šúrjovi a čtvrtina byla obětována Bhavanimu. Zbývajících šest bylo darováno vysoce váženému hodnostáři. Rychle mi řekni, kolik bylo lotosů? (viz [3], str. 25) Označíme počet lotosů x, pak danou úlohu můžeme řešit rovnicí x 3 + x 5 + x 6 + x = x, odkud dostaneme x = 20. Bháskara tuto úlohu řeší metodou falešného předpokladu, kdy za počet lotosů volí číslo 60, což je nejmenší společný násobek jmenovatelů 3, 4, 5, 6. Po dosazení tohoto čísla do zadání zbývají tři lotosy a ne 6, jak je požadováno v textu úlohy, proto je řešením číslo = 20. V další úloze se má určit majetek tří lidí, jestliže součet majetků prvního a druhého je 3, druhého a třetího 4, prvního a třetího 5. (viz [3], str. 25) Označme x, y, z po řadě majetky tří osob, pak úlohu můžeme řešit soustavou rovnic ze které dostaneme, x = 7, y = 6, z = 8. x + y = 3 y + z = 4 x + z = 5 Jinde se má určit majetek dvou osob, jestliže víme, že kdyby první osoba dostala od druhé 00, byla by dvakrát bohatší než druhá, a jestliže by druhá dostala od první 0, byla by šestkrát bohatší než první. (viz [3], str. 35) Úloha vede k soustavě x + 00 = 2(y 00) odkud x = 40, y = 70. y + 0 = 6(x 0), Stádo opic bavících se v háji se rozdělilo na dvě části. Čtverec osminy jejich počtu se bavil skákáním ve větvích. Dvanáct opic vítalo radostným křikem tichý rozbřesk dne. Kolik opic je celkem? (viz [3], str. 4) Označíme-li x počet opic, vede úloha k rovnici ( x 8 )2 + 2 = x, odkud dostaneme dvě hodnoty x, a to 48 a 6, obě vyhovují zadání. Jedna pětina stáda opic bez tří opic umocněná na druhou se schovává v jeskyni a je vidět jednu zbylou opici, která vylezla na strom. (viz [3], str. 4-42) Úloha vede k rovnici ( x 5 3)2 + = x. 9

10 která má dva kořeny, a to 50 a 5, ale Bháskara uvažuje jen kořen 50, protože pro x = 5 je číslo x 5 3 záporné, což podle něj nevyhovuje zadání. Další úlohy o rovnicích se objevují ve spisech indického matematika, jehož jméno bylo Mahávíra a který žil v 9. století n. l. Určete počet pávů, víme-li, že dvojmoc 6 hejna se nachází na mangovníkovém stromě, dvojmoc 9 zbytku sedí ještě se 4 pávy na tamalovém stromě. (viz [3], str. 40) Úloha vede k rovnici ( 6 x)2 + ( x)2 + 4 = x, která má dva kořeny. Zadání úlohy vyhovuje jen první z nich, to je x = 48. Druhý kořen není celočíselný. Během souboje kohoutů se jeden z diváků dohodl s jejich majiteli. Prvnímu řekl: Když zvítězí tvůj kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti dvě třetiny možné výhry. Druhému soupeři řekl: Když zvítězí tvůj kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatím ti tři čtvrtiny možné výhry. V obou případech získá divák 2 penízů. Jakou výhru hohl získat každý majitel kohouta? (viz [5], str. 84) Označme x, y výhry obou majitelů kohoutů, pak dostaneme soustavu x 3 4 y = 2 odkud x = 42, y = 40. y 2 3 x = 2 Plody granátových jablek, manga a obyčejných jablek se prodávají po řadě: 3 kusy za 2 peníze, 5 kusů za 3 peníze, 7 kusů za 5 penízů. Jak lze za 76 penízů koupit takový počet plodů, že je v něm třikrát více plodů manga než obyčejných jablek a šestkrát více granátových jablek než obyčejných jablek? (viz [5], str. 84) Počty plodů granátových jablek, manga a obyčejných jablek označme po řadě x, y, z a sestavíme soustavu rovnic 2 3 x y + 5 z = 76, y = 3z, x = 6z. 7 Hledané počty jsou 70 granátových jablek, 35 kusů manga a 2 3 obyčejných jablek. Zde nás jistě zarazí necelý počet kusů obyčejných jablek. 6. ROVNICE VE STŘEDOVĚKÉ EVROPĚ V 7. století žil arménský matematik Anania Širakaci. V jeho spisech se objevují i následující úlohy, které se řeší rovnicemi. Jeden kupec projel třemi městy. V prvním městě utratil polovinu a třetinu majetku, ve druhém polovinu a třetinu toho, co mu zbylo, ve třetím polovinu a třetinu toho, co ještě měl. Když se vrátil domů, zbývalo mu grošů. Kolik grošů celkem měl na počátku? (viz [5], str. 95) 0

11 Označíme x počet grošů, které měl kupec na počátku, pak v prvním městě utratil celkem ( )x = 5 6 x a zbylo mu x 6. Ve druhém městě utratil ( ) 6 x = x = 5 36 x a zbylo mu x 5 6 x 5 36 x = 36x. Ve třetím městě utratil x = 5 26x. Dostaneme pak rovnici odkud x = x x + 5 x + = x, 26 V Aténách byl vodojem s třemi rourami. První mohla naplnit vodojem za hodinu, druhá za dvě hodiny, třetí za tři hodiny. Za jakou část hodiny mohly naplnit vodojem všechny tři roury společně? (viz [5], str. 96) Všechny tři roury naplní vodojem za 6 hodiny. Dále uvedeme několik úloh ze sbírky Úlohy k bystření mladíků. Tato sbírka pravděpodobně vznikla na dvoře Karla Velikého, který panoval v letech Za autora sbírky je považován anglosaský mnich Alkuin z Yorku (asi ). Tato sbírka obsahuje také všeobecně známou úlohu o převozníkovi, který má přes řeku přepravit vlka, kozu a zelí. My z této sbírky uvedeme úlohy, které vedou na lineární rovnici o jedné neznámé. Nějaký muž procházející se po cestě viděl jiné lidi jdoucí proti němu a řekl jim: Chtěl jsem, aby vás bylo bývalo ještě jednou tolik, kolik vás je, a polovina z poloviny (onoho dvojnásobku), a opět polovina poloviny (z poloviny onoho dvojnásobku), pak by vás bylo bývalo i se mnousto. At řekne, kdo chce, kolik jich bylo, které muž viděl. (viz [6], str. 28) Úloha vede na rovnici odkud x = 36. 2x x x + = 00, 2 Dva muži procházející po cestě viděli čápy a říkali si mezi sebou: Kolik jich je? Když se o jejich počtu poradili, řekli: Kdyby jich bylo ještě jednou tolik a ještě potřetí tolik a polovina třetiny (onoho trojnásobku), po přidání dvou by jich bylo sto. At řekne, kdo může, kolik jich bylo, které pocestní pozorovali. (viz [6], str. 28) Úloha vede na rovnici odkud x = 28. 3x + 2 3x + 2 = 00, 3 Nějaký muž potkal žáky a řekl jim: Kolik vás je ve škole? Jeden z nich mu odpověděl řka: Nechci ti to říci. Ty nás spočítej dvakrát, vynásob třemi, pak rozděl na čtyři části. Čtvrtina počtu, když přidáš mě samého, naplní číslo sto. At řekne, kdo může, kolik jich bylo, které muž potkal na procházce. (viz [6], str. 29) Úloha vede na rovnici odkud x = 66. 2x = 00,

12 Významným matematikem evropského středověku byl Leonardo Pisánský zvaný Fibonacci. Žil na přelomu 2. a 3. století. Mezi jeho díla patří také spis Liber abaci (Kniha o abaku), v něm se vyskytuje velké množství úloh vedoucích na lineární a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Uvedeme z nich tři jednodušší úlohy. Lev sežere ovci za čtyři hodiny, leopard za pět hodin a medvěd za šest hodin. Za jak dlouho ji sežerou společně? (viz [], str. 283) Z rovnice ( ) x = dostaneme čas x = hodiny. Dá-li první druhému denár, budou mít stejně. Dá-li druhý prvnímu denár, bude mít první desetkrát tolik. (viz [], str. 283) Úloha vede na soustavu rovnic odkud x = 3 4 9, y = 4 9. x = y +, x + = 0(y ), Jestliže jeden člověk dostane od druhého 7 denárů, bude mít pětkrát více než druhý. Jestliže druhý člověk dostane od prvního 5 denárů, bude mít sedmkrát více než první. Kolik mají nyní? (viz [], str. 284) Úloha vede na soustavu rovnic odkud x = 7 2 7, y = x + 7 = 5(y 7), 7(x 5) = y + 5, Použitá a doporučená literatura: [] Bečvář, J. a kol.: Matematika ve středověké Evropě, edice Dějiny matematiky, 9. svazek, Prometheus, Praha 200. [2] Bečvář, J., Bečvářová, M., Vymazalová, H.: Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie, edice Dějiny matematiky, 23. svazek, Prometheus, Praha [3] Juškevič, A. P.: Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha 978. [4] Kolman, A.: Dějiny matematiky ve starověku, Academia, Praha 969. [5] Konforovič, A. G.: Významné matematické úlohy, SPN, Praha 989. [6] Mačák, K.: Tři středověké sbírky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, 5. svazek, Prometheus, Praha