Množiny, základní číselné množiny, množinové operace
|
|
- Libor Veselý
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás vrátí zpět na předcházející zobrazení v dokumentu. 2.1 Pojem množiny a základní symbolika V matematice se nezabýváme pouze jednotlivými prvky, ale také jejich skupinami, souhrny, Pokuste se uvést několik příkladů libovolných takových skupin. Např. skupina studentů FAI, souhrn stromů ve vizovickém parku, soubor listnatých stromů ve vizovickém parku, atd. Jednotlivé studenty, stromy atd. budeme považovat za objekty, které vytváří samostatný celek. Domnívám se, že nyní už jsme schopni definici množiny dát dohromady. Kromě jednotlivých prvků se v matematice často zabýváme také jejich soubory (souhrny, skupinami). Množina je soubor libovolných navzájem různých objektů, jenž je chápán jako jeden celek. Jestliže o každém objektu lze jednoznačně rozhodnout, zda do množiny patří, či nikoliv, pokládáme množinu za určenou. Každý z objektů, který patří do množiny, se nazývá prvek množiny. K označování množin používáme zpravidla velká písmena latinské abecedy A, B, M apod. a k označování jejich prvků malé písmena a, b, x apod. Výrok a je prvkem množiny M zapisujeme symbolicky ve tvaru motivace množina, prvky množiny zápisy a M. 1
2 2 2. MNOŽINY Jestliže množina obsahuje alespoň jeden prvek nazývá se neprázdná mno- žina. Prázdná množina neobsahuje žádný prvek. Značíme ji. Prvky množiny mohou být samy množinami. Pak mluvíme o systému množin (místo o množině množin). Množinu graficky znázorňujeme jako část roviny omezené uzavřenou křiv- kou, jejíž vnitřní body znázorňují prvky množiny a vnější body prvky, které do množiny nepatří. V některých úvahách budeme dále předpokládat, že množiny, o nichž bude řeč, byly vytvořeny z prvků nějaké předem zvolené množiny U. Tuto množinu nazýváme základní nebo univerzální. prázdná množina grafické znázornění množin zadávání množiny Jeho negaci pak ve tvaru a M. Množinu nejčastěji zadáváme dvěma způsoby: a) Výčtem prvků tj. vyjmenováním všech prvků (u konečných množin). Zápis vypadá takto: M = {x 1, x 2,..., x n }. Čteme M je množina prvků x 1, x 2,..., x n. b) Charakteristickou vlastností, tj. takovou vlastností, kterou mají právě jen prvky zadávané množiny z tzv. univerzální množiny U, která obsahuje všechny objekty, jež nás zajímají. Zapisujeme M = {x Z; V (x)}. Čteme M je množina všech x z množiny U, pro která platí V (x). V matematice vystupují v roli základních množin velmi často např. číselné množiny, pro něž zavedeme toto označení: N - množina všech přirozených čísel bez nuly - N = {1, 2, 3,...}, N 0 - množina všech přirozených čísel s nulou - N 0 = {0, 1, 2, 3,...}, Z - množina všech celých čísel - Z = {..., 3, { 2, 1, 0, 1, 2,.}..}, Q - množina všech racionálních čísel - Q = p q ; p Z q N, R - množina všech reálných čísel, C - množina všech komplexních čísel. Na střední škole jste pracovali zejména s množinou reálných čísel, ve které je splněno pro operace sčítání a násobení těchto devět axiomů: Pro libovolná a, b, c R platí: T1: a + b = b + a, T2: a + (b + c) = (a + b) + c, T3: existuje nulový prvek 0 R takový, že a + 0 = a pro každé a R (je to číslo 0),
3 2.2. MNOŽINOVÉ VZTAHY A OPERACE 3 T4: ke každému číslu a R existuje a, tzv. opačné číslo k a, pro které platí a + ( a) = 0, T5: a b = b a, T6: a (b c) = (a b) c, T7: existuje jednotkový prvek 1 R takový, že a 1 = a pro každé a R, (je to číslo 1), T8: ke každému číslu a 0 existuje inverzní číslo k číslu a, označujeme jej a 1 a platí a a 1 = 1, T9: a (b + c) = a b + a c. Axiomy T1 až T4 jsou zákony pro sčítání, Axiomy T5 až T8 jsou zákony pro násobení, T9 je distributivní zákon, který vyjadřuje souvislost mezi sčítáním a násobením. Množinové úvahy se často týkají pouze malého počtu množin. Situace zahrnující dvě, tři, čtyři množiny lze přehledně znázornit pomocí tzv. Vennových diagramů (Prezentace 2.1.1). Ke grafickému znázorňování množin reálných čísel je obvykle vhodnější použít číselnou osu, přičemž se množiny reálných čísel znázorňují přímo na ní, nebo pomocí vodorovných čar rovnoběžných s číselnou osou (Prezentace 2.1.2). 2.2 Množinové vztahy a operace Základní typy vztahů mezi množinami A, B (prvků z U) Množinový vztah (název Definice (slovní vyjádření) a symbolické označení) Inkluze množin A, B; A je A je podmnožinou B, právě když každý podmnožinou množiny B; prvek množiny A je zároveň prvkem Symbolický zápis: A B množiny B Rovnost množin A, B; Množiny A, B jsou si rovny, právě když Symbolický zápis: A = B A B a zároveň B A Ostrá inkluze množin A, B; A je vlastní podmnožinou B, právě když množina A je vlastní A B, avšak zároveň A B. podmnožinou množiny B Symbolický zápis: A B = inkluze, rovnost, ostrá inkluze Tabulka Protože jsme již určitě zvládli výrokovou logiku, jistě byste dovedli zapsat definice pomocí symbolických zápisů místo slovního vyjádření. Např.
4 4 2. MNOŽINY sjednocení, průnik, rozdíl množin zapíšeme inkluzi množin a vy si zkuste zapsat např. rovnost množin. Tedy definice inkluze množin A, B: A B ( x U : x A x B). Připomeňme ještě základní vztahy, které platí mezi základními číselnými množinami (uvedenými v odstavci 2.1): N Z Q R C. Základními množinovými operacemi s množinami A U, B U rozumíme vytvoření jejich sjednocení A B, průniku A B, rozdílu A B, tj. množin, jejichž definice jsou uvedeny v tab (grafické znázornění těchto operací Vennovými diagramy je v Prezentaci Základní operace s množinami A U, B U Název množiny a symbolické označení Sjednocení množin A, B označované A B Průnik množin A, B označovaný A B Rozdíl množin A, B označovaný A B (A/B) Definice (slovní a symbolické vyjádření) Sjednocení množin A, B je množina všech prvků ze základní množiny U, které patří alespoň do jedné z množin A, B. Tedy: A B = {x U : x A x B} Průnik množin A, B je množina všech prvků ze základní množiny U, které patří do množiny A a zároveň do množiny B. Tedy: A B = {x U : x A x B} Rozdíl množin A, B je množina všech prvků ze základní množiny U, které patří do množiny A a zároveň nepatří do množiny B. Tedy: A B = {x U : x A x B} Tabulka disjunktní množiny Často se ještě používají dva pojmy: disjunktní množiny a doplněk množiny související se základními množinovými operacemi. Disjunktní množiny: Říkáme, že množina A je disjunktní s množinou B právě když množiny A, B mají prázdný průnik: A B =,
5 2.3. KARTÉZSKÝ SOUČIN 5 tj. nemají žádný společný bod. Doplněk množiny A (vzhledem k základní množině U) se značí A a je definován takto A = U A = {x U : x A} (Prezentace 2.2.2). Jistě nás budou zajímat základní vlastnosti operací sjednocení, průniku a doplňku. 1. Komutativní zákony A B = B A, A B = B A. 2. Asociativní zákony (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). 3. Distributivní zákony A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 4. Idempotentnost průniku a sjednocení A A = A, A A = A. 5. Průnik a sjednocení s prázdnou a se základní množinou A =, A = A, A U = A, A U = U. 6. Involučnost doplňku A = (A ) = A. 7. Doplněk průniku a sjednocení (de Morganovy zákony) (A B) = A B, (A B) = A B. doplněk množiny vlastnosti operací sjednocení, průniku a doplňku 2.3 Kartézský součin, binární relace, zobrazení a funkce Představme si množinu n prvků {x 1, x 2,..., x n }. Jedná se o konečnou množinu. Vybírejme z této množiny dvojice prvků. Obecně nebude záviset na pořadí prvků v této dvojici v jakém je uvedeme. Tedy {x 1, x 4 } = {x 4, x 1 }. V případě, že stanovíme pevně pořadí, v němž budeme prvky brát, tj. stanovíme, který z nich vezmeme jako první, který jako druhý dostaneme tzv. uspořádanou dvojici prvků. Pro uspořádanou dvojici je definován pojem rovnosti takto: (x 1, x 2 ) = (x 1, x 2) právě když x 1 = x 1 x 2 = x 2. Nechť jsou nyní dány dvě množiny A, B. Vytvoříme množinu všech uspořádaných dvojic (x 1, x 2 ) prvků x 1 A, x 2 B. Tuto množinu nazveme kartézským součinem množin A, B (v uvedeném pořadí) a značíme ji A B. Symbolicky zapíšeme kartézský součin takto: A B = { (x, y) : x A y B }. kartézský součin, druhá kartézská mocnina, n - tá kartézská mocnina
6 6 2. MNOŽINY Jestliže A = B, pak A A označujeme jako A 2 a nazýváme druhou kartézskou mocninou množiny A. Obdobně definujeme kartézský součin A 1 A 2 A n množin A 1, A 2,..., A n jako množinu všech uspořádaných n-tic (x 1, x 2,..., x n ), kde x 1 A 1, x 2 A 2,..., x n A n. Obdobně zavedeme pojem kartézský součin n-té kartézské mocniny množiny A, kterou označujeme A n. Příklad Pro množiny A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} najděte kartézský součin A B a B A a pokuste se tyto součiny znázornit graficky. Řešení: A B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3) }, B A = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2) }. Jsou-li A, B číselné množiny, můžeme kartézský součin A B graficky zobrazit v pravoúhlé soustavě souřadnic (0, x, y) tak, že dvojici (x, y) A B znázorníme jako bod [x, y]. V Prezentaci je znázorněn kartézský součin A B a kartézský součin B A. Co myslíte platí komutativní zákon pro kartézský součin? binární relace Každou podmnožinu ϱ kartézského součinu nazýváme binární relací (krátce relací) mezi množinou A a množinou B. Jestliže A = B, pak mluvíme o relaci v A. Nechť ϱ je binární relace mezi množinami A a B. Jestliže (a, b) ϱ, říkáme,že prvek a je v relaci s prvkem b, což zapisujeme a ϱ b.tedy (a, b) ϱ a ϱ b. Relaci mezi A a B můžeme určit (jako každou množinu) dvojím způsobem: a) vyjmenováním prvků, b) jako obor pravdivosti výrokové formy p(x, y) se dvěma proměnnými v množině A B, ϱ = { (x, y) A B : p(x, y) }. Jistě byste zvládli napsat libovolnou relaci mezi množinami A a B z příkladu Zkuste to. No samozřejmě, např. ϱ = { (1, 1), (2, 3) }. Příklad Nechť A = {1, 2, 5, 6}, B = {2, 4, 5}. Definujme relaci ϕ = { (x, y) A B : x < y }. Znázorněte ji graficky. Řešení: Tuto relaci můžeme zapsat vyjmenováním prvků ϕ = { (1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5) } a znázornit graficky (viz Prezentace 2.3.2).
7 2.3. KARTÉZSKÝ SOUČIN 7 Příklad Nechť A = { x R : 1 x 3 }, b = { y R : 2 x 5 }. Nechť relace ϱ mezi množinami A a B je definována takto: Znázorněte ji graficky. ϱ = { (x, y) A B : x y } Řešení: Tuto relaci nemůžeme určit vyjmenováním dvojic, protože jak jste jistě poznali relace obsahuje těchto dvojic nekonečně mnoho. Uměli byste znázornit tuto relaci graficky? Pokuste se o to. Zkontrolujte si svůj výsledek v Prezentaci Vraťme se ještě k příkladu Co kdybychom v relaci ϕ zaměnili pořadí prvků v uspořádaných dvojicích. Dostali bychom relaci, kterou označíme ϕ 1. Zřejmě ϕ 1 = { (2, 1), (4, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 2) } B A. Taková relace se nazývá inverzní relací k relaci ϕ. Inverzní relaci bychom mohli obecně definovat takto: Nechť ϕ je libovolná relace mezi A a B. Relaci mezi B a A nazýváme inverzní relací k relaci ϕ právě tehdy, když platí (y, x) ϕ 1 (x, y) ϕ. inverzní relace Mohli bychom se nyní dále podrobněji zabývat relací ϱ v množině A. Zkoumali bychom její speciální vlastnosti jako jsou: reflexivita, symetrie, antisymetrie, tranzitivita, trichotomie. Na základě těchto pojmů se dá definovat relace ekvivalence a relace uspořádání. My se všemi těmito pojmy zatím zabývat nebudeme, zvídavý čtenář je jistě sám objeví v odborné literatuře. Přesto bychom chtěli definovat relaci uspořádání. K tomu potřebujeme pojmy trichotomická a tranzitivní relace. Relace ϱ v množině A se nazývá trichotomická, jestliže x, y A : xϱy x = y yϱx. Relace ϱ v množině A se nazývá tranzitivní, jestliže x, y, z A : (x, y) ϱ (y, z) ϱ (x, z) ϱ. Relace ϱ, která je tranzitivní a trichotomická se nazývá uspořádáním množiny A a o množině A říkáme, že je uspořádaná (pomocí relace ϱ).
8 8 2. MNOŽINY Například relace < (menší než), > (větší než) jsou uspořádáním množiny R všech reálných čísel, množina R je tedy uspořádaná množina s relací < nebo s relací >. Množinu R doplníme o tzv. nevlastní čísla,. Místo + budeme zkráceně psát jen. Takto rozšířenou množinu reálných čísel budeme označovat R, R = R { } { }. Relaci uspořádání < na R doplníme takto: a R : a > a <. Bude užitečné definovat v R operace sčítání, odčítání, násobení a dělení pro nevlastní čísla, : x > : x + = + + x = +, x < + : x + ( ) = x = + x =, x R {0}: x (+ ) = +, je-li x > 0, x R {0}: x (+ ) =, je-li x < 0, x R {0}: x ( ) =, je-li x > 0, x R {0}: x ( ) = +, je-li x < 0, x x R: + = 0, x = 0. Když a < b říkáme, že a je menší než b (nebo také b je větší než a; v tomto případě píšeme také b > a. Je-li a < b a = b píšeme a b (nebo a b) a čteme a je menší nebo se rovná b. Těmto zápisům říkáme nerovnosti (přesněji ostré nerovnosti, neostré nerovnosti). Pomocí nerovností definujeme důležité podmnožiny všech reálných čísel R, které nazýváme intervaly. Předpokládejme, že a, b R, a < b: a) (a, b) = {x R : a < x < b}, b) a, b = {x R : a x b}, c) (a, b = {x R : a < x b}, d) a, b) = {x R : a x < b}, e) (a, ) = {x R : x > a}, f) a, ) = {x R : x a}, g) (, b) = {x R : x < b}, h) (, b = {x R : x b}, i) (, ) = R. Intervaly a), e), g), i) se nazývají otevřené, interval b) je uzavřený, interval c) je zleva otevřený a zprava uzavřený, atd. V Prezentaci naleznete grafické znázornění intervalů.
9 2.4. ZOBRAZENÍ, FUNKCE Zobrazení, funkce Na závěr této kapitoly se zmíníme ještě o jedné speciální binární relaci. V příkladu se vyskytují tyto uspořádané dvojice: (1, 1), (1, 2), (1, 3). Zajímavá by mohla být relace, ve které se z této trojice může vyskytovat pouze jedna uspořádaná dvojice např. (1, 2). Tedy relace bude obsahovat dvojice, ve kterých se bude vyskytovat vždy pouze jeden prvek z množiny A. Tyto speciální relace nazývají zobrazení, přesněji množinová zobrazení. V další definici zavedeme pojem zobrazení množiny A do množiny B. Nechť A, B jsou neprázdné množiny. Přiřadíme-li ke každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu ϕ uspořádaných dvojic, která se nazývá zobrazení F množiny A do množiny B. Říkáme, že x je vzorem prvku y a prvek y je obrazem prvku x při zobrazení ϕ. Zobrazení ϕ zapisujeme takto: ϕ : A B. Uvědomíme si, že při zobrazení ϕ množiny A do množiny B, ϕ : A B má každý vzor x A právě jeden obraz y B, ale prvek y B může být obrazem více vzorů. Prvý obor zobrazení ϕ, tedy množinu vzorů O 1 (ϕ), nazýváme definičním oborem zobrazení ϕ. Druhý obor zobrazení ϕ, tedy množinu obrazů O 2 (ϕ), nazýváme oborem hodnot zobrazení ϕ. Ve vysokoškolských učebnicích se definují další pojmy, které souvisí s pojmem zobrazení. Jsou to např. tyto pojmy: zobrazení množiny A na množinu B (nebo též surjektivní zobrazení), zobrazení prosté (nebo též injektivní zobrazení), vzájemně jednoznačné zobrazení (nebo též bijektivní zobrazení), složené a inverzní zobrazení. My tyto pojmy teď definovat nebudeme. Zavedeme si je u pojmu reálné funkce reálné proměnné, kam směřujeme. Zjistíme velmi brzy, že reálná funkce reálné proměnné je také jakési speciální zobrazení. Je-li A libovolná množina, potom každé zobrazení množiny A do množiny všech reálných čísel R, se nazývá reálná funkce. Reálná funkce je tedy zobrazení f : A B, které každému prvku x A přiřadí právě jedno reálné číslo. Dovedli byste sestavit libovolný příklad reálné funkce? Jistě to není nic těžkého. Tak například: A je množina studentů studijní skupiny IT/1/1. Přiřadíme-li každému studentovi aritmetický průměr známek jeho maturitního vysvědčení, je zobrazení f : A B reálná funkce. zobrazení A do B reálná funkce
Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
VíceB i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
VícePatří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.
2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme
VíceKapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.
Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceMnožina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.
1 Teorie množin Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy z teorie množin. Začneme základními operacemi s množinami, seznámíme se s pojmy jako kartézský
VíceMnožiny. množinové operace jsou mírně odlišné od
Množiny Množina se dá chápat jako soubor prvků. ( Např. lidé na planetě zemi tvoří jednu velkou množinu.) Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný (lze spočítat) nebo nekonečný
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Množiny, relace a funkce úvod Množiny, relace a funkce
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VícePrincip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceKapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
VíceFunkce. Definiční obor a obor hodnot
Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VícePojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
VíceTeorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceReálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina
Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
VíceInovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Téma: Název: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Funkce Funkce a její vlastnosti Ing. Vacková Věra
VíceOproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.
Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice
VíceNerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceMnožinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceMnožiny. Množina je soubor objektů, o kterých můžeme rozhodnout, zda do množiny patří nebo ne. Tyto objekty nazýváme prvky.
Množiny Množina je soubor objektů, o kterých můžeme rozhodnout, zda do množiny patří nebo ne. Tyto objekty nazýváme prvky. Množiny označujeme velkými písmeny např. A, B, N, R.. Množinu lze určit a) výčtem
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceMnožiny a operace s nimi
Variace 1 Množiny a operace s nimi Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Množiny a operace s nimi
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceRELACE, OPERACE. Relace
RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé
VíceÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Více2 Reálné funkce jedné reálné proměnné
2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceFuzzy množiny, Fuzzy inference system. Libor Žák
Fuzzy množiny, Fuzzy inference system Proč právě fuzzy množiny V řadě případů jsou parametry, které vstupují a ovlivňují vlastnosti procesu, popsané pomocí přibližných nebo zjednodušených pojmů. Tedy
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška čtvrtá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Pojem relace 2 Vztahy a operace s (binárními) relacemi
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceFUNKCE. Než přistoupíme k samotným funkcím, je třeba nadefinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat.
FUNKCE Než přistoupíme k samotným unkcím, je třeba nadeinovat a vysvětlit několik pojmů, které k tomu budeme potřebovat. Kartézský součin množin A, B je množina všech uspořádaných dvojic [a; b], kde a
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0527
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
Více4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
VíceOSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA. ve studiu učitelství 1. stupně základní školy. Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PEDAGOGICKÁ FAKULTA MATEMATIKA ve studiu učitelství 1. stupně základní školy Vilma Novotná, Bohuslav Pisklák Ostrava 2003 Obsah I. Úvod do teorie množin a matematické logiky
Více1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A
1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceZáklady teorie množin
Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina
VíceI. Úvodní pojmy. Obsah
I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika 2 1.1 Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy... 2 1.2 Logickávýstavbamatematiky... 3 1.2.1 Základnímetodydůkazůmatematickýchvět..... 3 1.2.2 Negacevýroků.....
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
Více3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
Více